Ondas en barras y gases

Ondas en medios elĂĄsticos MarĂ­a Alejandra DĂĄvila, Victor Escorcia mdavilaa@uninorte.edu.co, escorciav@uninorte.edu.co Universidad del Norte 18 de septiembre de 2008

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Ondas elĂĄsticas en una barra

Si provocamos una perturbaciĂłn en uno de los extremos de una barra, la perturbaciĂłn se propaga a lo largo de la barra y eventualmente se siente en el otro extremo. Consideremos una barra de secciĂłn transversal uniforme A, sujeta a una fuerza segĂşn su eje indicada por F . La fuerza F no es necesariamente la misma en todas las secciones y puede variar a lo largo del eje de la barra. Sobre cada secciĂłn trnasversal actĂşan dos fuerzas iguales y opuestas; una es la tensiĂłn sobre la parte izquierda debida a la porciĂłn derecha y la otra es la tensiĂłn sobre la parte derecha debida a la parte izquierda de la barra. El esfuerzo normal o tensiĂłn Ď‚ sobre una seciĂłn de la barrab se define como la fuerza por unidad de ĂĄrea que se ejerce perpendicularmente a la secciĂłn transversal en ambos sentidos

(1) Ď‚ = F/A Nm−2 Bajo la acciĂłn de estas fuerzas la barra experimenta un desplazamiento Ξ paralelo al eje, si ĂŠste es igual en todos los puntos la barra no es deformada, sino desplazada rigidamente sobre el eje. Por tanto analicemos el caso en que se produce una deformaciĂłn, con un cambio Ξ a lo largo de la barra, esto es que Ξ sea funcion de x. Consideremos las secciones A y A0 separadas la distancia dx en estado de equilibrio (VeĂĄse figura 1). Cuando las fuerzas se manifiestan, la secciĂłn A se desplaza la distancia Ξ y la secciĂłn A0 , la distancia Ξ 0 . Luego, la separaciĂłn entre A y A0 cuando se ha deformado la barra es dx + (Ξ 0 − Ξ) = dx + dΞ donde dΞ = Ξ 0 − Ξ. La deformaciĂłn de la barra en es aregiĂłn ha sido dΞ. La deformaciĂłn unitaria normal en la barra es la deformaciĂłn por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra. Como la deformaciĂłn dΞ corresponde a la longitud dx vemos que la deformaciĂłn unitaria de la barra es = ∂Ξ/∂x

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Figura 1: Onda longitudinal en una barra

ObsĂŠrvese que la deformaciĂłn unitaria es el conciente de dos dos longitudes, por tanto es una cantidad adimensional. Entre el esfuerzo normal Ď‚ y la deformaciĂłn unitaria hay una realciĂłn llamada ley de Hooke, que establece que dentro del limite de elasticidad del material, el esfuerzo normal es proporcional a la deformaciĂłn unitaria norm es decir Ď‚ =Y (3) donde Y es el mĂłdulo de elasticidad de Young se expresa en N m2 , ya que es un factor sin dimensiones. L aley de Hooke es una buena aproximaciĂłn al comportamiento elĂĄstico de una sustancia siempre que las deformaciones sean pequeĂąas. Cuando las tensiones y deformaciones son grandes la ecuaciĂłn 3 no es vĂĄlida y la descripciĂłn de la situaciĂłn fĂ­sica se complica. Introduciendo las ecuaciones 1 y 2 en la ecuaciĂłn 3 y despejando F obtenemos F =YA

∂Ξ ∂x

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En el caso de una barra o alambre en equilibrio con un extremo fijo en el punto O (Veåse figura 1) y sujeto a una fuerza F aplicada en otro extremo A, tenmos que la fuerza soobre cada sección debe ser la misma e igual a F . Entonces, integrando la ecuación 4 con F constante obtenemos la deformación en cada sección Z Ξ Z x F F dΞ = x dx o´ Ξ = Y A Y A 0 0 En particular, la deformación l en el extremo libre A se obtiene haciendo x = L,

Figura 2: Barra fija en O y sujeta a una fuerza F

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L de modo que l = YF A . Esta relaciĂłn nos permite medir experimentalmente el mĂłdulo de Young. Cuando la barra no estĂĄ en equilibrio, la fuerza no es la misma en todas sus secciones, por lo que una de ellas de espesor dx estarĂĄ sometida a una fuerza resultante distinta de cero. La fuerza neta sobre la secciĂłn F 0 − F = dF = (∂F /∂x) dx hacia la derecha. Si Ď es la densidad del material de la barra, la masa de la secciĂłn es dm = Ď V = Ď Adx, donde Adx es el volumen

de la secciĂłn. La aceleraciĂłnde esta masa de ∂ 2 Ξ ∂t2 . Por lo tanto, aplicando la relaciĂłn dinĂĄmica podemos escribir la ecuaciĂłn de movimiento de la secciĂłn en la forma ∂F ∂2Ξ ∂2Ξ ∂F o´ (5) dx = (Ď Adx) 2 = Ď A 2 ∂x ∂t ∂x ∂t Para el caso de la barra tenemos dos campos: uno es el desplazamiento Ξ de cada secciĂłn de la barra, donde Ξ es una funciĂłn de la posiciĂłn y del tiempo, y el optr es la fuerza F que se ejerce sobre cada secciĂłn, siendo F , tambiĂŠn funciĂłn de la posiciĂłn y del tiempo. Estos dos campos estan relacionados por las ecuaciones 4 y 5 que se denominan ecuaciones diferenciales del campo elĂĄstico de la barra deformada y que describen las condiciones fĂ­sicas del problema. Combinaremos ahora las ecuaciones 4 y 5. Tomando la derivada de la ecuaciĂłn 4 respecto a x tenemos ∂F ∂2Ξ =YA 2 ∂x ∂t Sustituyendo este resultado en la ecuaciĂłn 5 y cancelando el factorcomĂşn A, tenemos ∂2Ξ Y ∂2Ξ = (6) 2 ∂t Ď âˆ‚x2 2

2 ∂ Ξ 1 ∂ Ξ Esta es una ecuaciĂłn similar a la ecuaciĂłn del movimiento ondulatorio ∂x 2 = v 2 ∂t2 y por lo tanto podemos concluir que el campo de deformaciĂłn de Ξ se propaga a lo largo de la barra con una velocidad q (7) v = Y /Ď

resultado que puede ser confirmado experimentalmente, midiendo independientemente las tres cantidades.

Referencias [1] ALONSO Marcelo, FINN Edward, FĂ­sica, Vol I MecĂĄnica, Fondo Educativo Interamericano, 1970.

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