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DEMOSTRACIÓN DEL ÁNGULO DE FASE Como se pudo apreciar en las diapositivas del MAS el ángulo de fase en el movimiento oscilatorio se puede expresar de las sigueintes formas: x  0

φ = arcsin  φ = arctg

(1)

A w0 x0 v0



v0 φarctg − x0 w0

 (2)

 (3)

Por medio de las identidades trigonométricas proponemos obtener la ecuación (2) mediante la la ecuación (1) de la siguiente forma:   x por tanto la ecuación (1) se exRecordemos que arcsen (x) = arctg √1−x 2 presa así:   φ = arctg

p

1−(



x0 A x0 A

2

)



 = arctg  qx0 A

A2 −x0 A2

 = arctg

x0 A2 −x20

empleando la deducción que aparece en la presentación de A2 = x20 + podemos expresar lo anterior como   φ = arctg



v0 x0

2

 √

x0 A2 −x20

= arctg  q x20 +

x0 v0 x0

2

 −x20

de lo cual se obtiene claramente la ecuación (2)  φ = arctg

w0 x0 v0



Para demostrar la ecuación (3) recordemos que la posicion del objeto en cualquier instante esta dado por la ecuacion: x(t) = A cos(ωt + φ) derivando la ecuación anterior obtenemos la velocidad del objeto en cualquier instante de tiempo:

1


v(t) = −Aω sin(ωt + φ) Para t = 0 tenemos las siguientes condiciones iniciales x(0) = x0 y v(0) = v0 , v(t) dividiendo x(t) y evaluando este cociente en t = 0 obtenemos −Aω sin(φ) A cos(φ)

= −ω tan(φ) =

v0 x0

donde se aprecia claramente v0 tan(φ) = − ωx 0

la cual es otra forma de la ecuación (3). La consatante fase φ es útil para identificar retrasos o adelantos en un movimiento armónico u oscilatorio, así mismo en la solucion de problemas dependiendo de los datos que se conozcan A, x0 , w0, v0 será más practico usar alguna de las tres relaciones de φ.

Referencias [1] LARSON Roland, HOSTETLER Robert; Calculo y Geometría Analítica, 6 ed., Mc Graw Hill. [1] SEARS Francis, ZEMANSKY Mark, YOUNG Hugh, FREEDMAN Roger, Física Universitaria, Vol I, 11 ed., Pearson. [2] Referencias SERWAY Raymond, JEWETT Jhon, Fisica para ciencias e Ingeniería, Vol I, 6 ed., Mc Graw Hill.

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Angulo de Fase  

Esta es una demostracion de las distintas formas del angulo de fase

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