DEMOSTRACIÓN DEL ÁNGULO DE FASE Como se pudo apreciar en las diapositivas del MAS el ángulo de fase en el movimiento oscilatorio se puede expresar de las sigueintes formas: x 0
φ = arcsin φ = arctg
(1)
A w0 x0 v0
v0 φarctg − x0 w0
(2)
(3)
Por medio de las identidades trigonométricas proponemos obtener la ecuación (2) mediante la la ecuación (1) de la siguiente forma: x por tanto la ecuación (1) se exRecordemos que arcsen (x) = arctg √1−x 2 presa así: φ = arctg
p
1−(
x0 A x0 A
2
)
= arctg qx0 A
A2 −x0 A2
= arctg
√
x0 A2 −x20
empleando la deducción que aparece en la presentación de A2 = x20 + podemos expresar lo anterior como φ = arctg
v0 x0
2
√
x0 A2 −x20
= arctg q x20 +
x0 v0 x0
2
−x20
de lo cual se obtiene claramente la ecuación (2) φ = arctg
w0 x0 v0
Para demostrar la ecuación (3) recordemos que la posicion del objeto en cualquier instante esta dado por la ecuacion: x(t) = A cos(ωt + φ) derivando la ecuación anterior obtenemos la velocidad del objeto en cualquier instante de tiempo:
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v(t) = −Aω sin(ωt + φ) Para t = 0 tenemos las siguientes condiciones iniciales x(0) = x0 y v(0) = v0 , v(t) dividiendo x(t) y evaluando este cociente en t = 0 obtenemos −Aω sin(φ) A cos(φ)
= −ω tan(φ) =
v0 x0
donde se aprecia claramente v0 tan(φ) = − ωx 0
la cual es otra forma de la ecuación (3). La consatante fase φ es útil para identificar retrasos o adelantos en un movimiento armónico u oscilatorio, así mismo en la solucion de problemas dependiendo de los datos que se conozcan A, x0 , w0, v0 será más practico usar alguna de las tres relaciones de φ.
Referencias [1] LARSON Roland, HOSTETLER Robert; Calculo y Geometría Analítica, 6 ed., Mc Graw Hill. [1] SEARS Francis, ZEMANSKY Mark, YOUNG Hugh, FREEDMAN Roger, Física Universitaria, Vol I, 11 ed., Pearson. [2] Referencias SERWAY Raymond, JEWETT Jhon, Fisica para ciencias e Ingeniería, Vol I, 6 ed., Mc Graw Hill.
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