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P´endulo F´ısico Mar´ıa Alejandra D´avila, Victor Escorcia mdavilaa@uninorte.edu.co, escorciav@uninorte.edu.co Universidad del Norte
Resumen The oscillatory motion is very common in the physical systems, for example imagine that we put our shirt on a hook and suspend it on hanger. If we push our hook, we will appreciate a swing of our clothes homemade. In this report we consider a particular oscillatory system called Physical Pendulum, which consist in a hanging object oscillates about a ?xed axis that does not pass through its center of mass and the object cannot be approximated as a point mass. Whit this report we analyze the oscillations of the system and implement a method to locate the object’s moment of inertia. El movimiento oscilatorio es muy com´un encontrarlo en los sistemas, por ejemplo imaginemos que colgamos nuestra camisa en un gancho y los suspendemos de un perchero basta con dar un empujoncito en nuestro gancho y apreciaremos de una oscilaci´on casera de nuestra ropa. En el presente informe consideraremos un sistema particular oscilante denominado p´endulo f´ısico, el cual consiste en un sistema que oscila de un pivote localizado en un punto distinto al centro de gravedad del sistema, el fin de e´ ste informe ser´a analizar las oscilaciones del sistema e implementar un m´etodo para localizar el momento de inercia de un cuerpo. Index Terms Centro de masa, Momentos de Inercia, Oscilaciones, P´endulo f´ısico, Periodo.
I.
´ I NTRODUCCI ON
Un cuerpo que presenta movimientos oscilatorios alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masa y que no puede ser analizado como una masa puntual, es considerado como un p´endulo f´ısico. Este sistema oscilante presenta un movimiento que se asemeja a un movimiento arm´onico simple(MAS), siempre que se estime un desplazamiento corto. Consideremos un sistema de masa m, con momento de inercia I, que rota alrededor de un punto O, o pivote, que se encuentra a una distancia d, de su centro de gravedad cg. El sistema presenta un desplazamiento peque˜no x = d sin(θ) de su punto de equilibrio, donde sin(θ) ≈ θ por ser θ peque˜no; entonces, su movimiento se puede describir mediante la ecuaci´on: d2 θ mgd +( )θ = 0 (1) dt2 I Siendo esta la ecuaci´on q de un movimiento arm´onoco simple, se dice que su frecuancia angular w = mgd I . Por lo cual su periodo T , definido como T = 2π , se expresa por medio de la siguiente ecuaci´on: w s I T = 2π (2) mgd Esto implica que el periodo T para el movimiento de un p´endulo f´ısico, relacionado con la masa m del objeto, la distancia d del eje de rotaci´on al centro de masa, tambi´en conocida como brazo de giro y el momento de inercia I con respecto al punto O, por el cual pasa el eje de rotaci´on. El momento de inercia de un cuerpo r´ıgido de masa uniforme, esta definido como: Z I = r2 dm
Figura 1. Pendulo Fisico
Donde r expresa la distancia del elemento infinitesimal de masa dm al eje o punto con respecto al cual se e´ ste hallando el momento de inercia. De donde se puede demostrar que para una varilla uniforme de masa m y longitud L, el momento de inercia con respecto a su centro de masa es, mL2 (3) ICM = 12
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En la descripci´on del movimiento de un p´endulo f´ısico, se emplea el momento de inercia del objeto con respecto a su pivote, para lo cual se recurre al uso del Teorema de Steiner o mejor conocido como teorema de los Ejes Paralelos, que expone que dicho momento esta determinado como I = ICM + md2 , para el caso de una varilla uniforme es: I= II.
mL2 + md2 12
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M ETODOLOG ´I A
Se utilizaron los siguientes instrumentos: Interfase Pasco Sensor de movimiento rotacional Varilla homog´enea con orificios igualmente espaciados Base y soporte Balanza Cinta m´etrica 1. Conecte la interfaz science workshop a la PC. Seguidamente encienda primero la interfaz y luego el PC. 2. Configurar el sensor de movimiento rotacional as´ı (Ajuste la frecuencia del sensor de movimiento rotacional a 20 Hz, las vueltas por divisi´on 1440 y el convertidor lineal en el bastidor). 3. Conecte el sensor de movimiento rotacional a los canales 1 y 2 de la interfaz, como se muestra en la figura 3.
Figura 2. Montaje de la Experiencia
4. Instale el sensor de rotaci´on en la barra vertical y despu´es atornille la varilla al sensor como se muestra en la figura 3. 5. Abrir el programa DataStudio. 6. Levantar la varilla un a´ ngulo peque˜no, aproximadamente 15o , soltarlo y dar Inicio al mismo tiempo en la barra de herramientas. 7. En pantalla del monitor aparecer´a la grafica de posici´on angular contra tiempo. Mida en ella el per´ıodo entre dos picos consecutivos, utilizando la herramienta inteligente y anote sus datos en la tabla I. 8. Como los orificios est´an espaciados igualmente en la varilla, cada 4 cent´ımetros, puede obtener el valor del brazo de giro y anotarlo tambi´en en la tabla I. 9. Repita el procedimiento anterior soltando la varilla del sensor y volvi´endola a atornillar en el siguiente orificio hasta completar 12 ensayos para llenar completamente las casillas de la tabla I. 10. Mida las dimensiones de la varilla que actu´o como p´endulo f´ısico y su respectiva masa. III.
´ A N ALISIS DE R ESULTADOS
Considerando que el movimiento oscilatorio que presenta un p´endulo f´ısico es semejante a un MAS, se realizaron distintos ensayos para analizar las caracter´ısticas a trav´es de la resoluci´on a las siguientes preguntas tem´aticas. 1. Periodo de oscilaci´on experimental del p´endulo f´ısico Para analizar el movimiento arm´onico que presentan los p´endulos f´ısicos, bajo ciertas condiciones como un peque˜no desplazamiento con respecto al punto de equilibrio, y las variaciones de su periodo, se realizaron diferentes ensayos con una varilla de masa uniforme m = 0,155kg y longitud L = 100,5cm, en los cuales se modificaba el pivote del sistema, disminuyendo el brazo de giro(d) y por tanto, su momento de inercia respecto al pivote.
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Las gr´aficas que se presentan a continuaci´on representan la posici´on angular del objeto, en funci´on del tiempo, medida con respecto al punto de equilibrio; estas se obtuvieron de tres de los ensayos realizados y se encuentran ordenadas de mayor a menor brazo de giro. Estas son tres de las gr´aficas obtenidas en los diferentes ensayos, y corresponden a las de mayor,valor medio y menor brazo de giro. Para cada gr´afica obtenida en cada uno de los ensayos, se realiz´o un ajuste sinusoidal, por medio
(a) Brazo de giro d = 0,502
(b) Brazo de giro d = 0,28
(c) Brazo de giro d = 0,04
Figura 3. Gr´aficas de posici´on angular vs. tiempo (θvst)
del cual se estim´o el valor experimental del periodo; luego se tabularon estos resultados, de acuerdo a sus respectivos brazos de giro. Ensayos Brazos de giro [m] Periodo experimental [s]
1 0,502 1,65
2 0,447 1,6
3 0,4 1,58
4 0,36 1,56
5 0,32 1,54
6 0,28 1,54
7 0,24 1,56
8 0,2 1,59
9 0,16 1,7
10 0,12 1,86
11 0,8 2,21
12 0,4 2,97
Cuadro I TABLA 1
2. Periodo de oscilaci´on te´orico del p´endulo f´ısico y calculo del error porcentual Para cada uno de los ensayos realizados se calcul´o el periodoqte´orico de oscilaci´on, de acuerdo a los valores del brazo de giro, 2 +12d2 . teniendo en cuenta que para una varilla homog´enea T = 2π L 12gd |D
−D
|
experimental Luego, se determin´o el error porcentual de dicho periodo, sabiendo que Error = teoricoDteorico 100 %. Estos datos obtenidos se tabularon, junto a los valores experimentales, tal como se muestra a continuaci´on.
Ensayos Brazos de giro [m] Periodo experimental [s] Periodo te´orico [s] Error porcentual
1 0,502 1,65 1,64 0,60976
2 0,447 1,6 1,59 0,62893
3 0,4 1,58 1,55 1,93548
4 0,36 1,56 1,57 0,63694
5 0,32 1,54 1,53 0,65359
6 0,28 1,54 1,53 0,65359
7 0,24 1,56 1,54 1,2987
8 0,2 1,59 1,57 1,27389
9 0,16 1,7 1,64 3,65854
10 0,12 1,86 1,78 4,49438
11 0,08 2,21 2,12 4,24528
Cuadro II TABLA 1
3. ¿C´omo cambia el per´ıodo de oscilaci´on cuando aumentamos el brazo de giro d? Analizando las gr´aficas obtenidas y los datos recopilados en la tabla I, se pudo verificar para el p´endulo f´ısico, que su periodo de oscilaci´on var´ıa de acuerdo a la distancia d del pivote al centro de masa. Se puede observar en la tabla, que para mayores valores del brazo de giro (d), el sistema se mueve con un menor periodo (T ). Esta deducci´on se puede evidenciar m´as facilmente, si se observa anal´ıticamente la gr´afica 4, que presenta la relaci´on del periodo respecto al brazo de giro, en la cual se nota que para mayores valores del brazo de giro d, el periodo disminuye. Es necesario resaltar, que para valores de brazo de giro m´as peque˜nos, el periodo toma valores m´aximos, y cuando el pivote se encuentra sobre el centro de masa, el periodo tiende al infinito. 4. ¿Que sucede cuando le ejercemos una fuerza impulsiva a la barra, mientras esta sujeta en el centro de masa? ´ El registro obtenido de este evento se puede observar en la figura III. Este indica que la posici´on angular inicialmente est´a aumentando de forma negativa conforme transcurre el tiempo, lo cual se debe a que el sensor de rotaci´on se encontraba registrando el numero de ciclos del mismo con el paso del tiempo pues la barra se encontraba girando en un solo sentido. Transcurrido un tiempo 180s se puede observa que el movimiento registrado por el sensor es oscilatorio, esto se debe a que la barra se mov´ıa entre dos puntos, similar a los sucesos antes descritos. Para entender por que la barra a partir de un instante de tiempo dado comienza el movimiento oscilatoria hay que tener en cuenta que la energ´ıa incial transmitida a la
12 0,04 2,97 2,95 0,67797
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Figura 4. Grafica de T vs.d
barra es disipada por fuerzas no conservativas, y cuando e´ stas est´an a punto de disipar toda la energ´ıa nos encontramos con que la barra esta desfasada de su posici´on de equilibrio y por tanto el sistema se torna oscilatorio amortiguado similar al que ven´ıamos analizando en las preguntas anteriores. Sin embargo hay que aclarar que durante todo el suceso experimental la gr´afica revela la presencia de fuerzas no conservadoras pues tanto en el primer suceso como en el segundo no se present´o una concordancia arm´onica entre ciclo y ciclo. Este fen´omeno es m´as visible en la gr´afica para un t > 180s, pues la gr´afica del movimiento oscilatorio adopta la forma de un movimiento oscilatorio amortiguado y visualmente en la experiencia era evidente la participaci´on de estas fuerzas pues se observ´o como la barra iba disminuyendo su velocidad.
Figura 5. Grafica de la barra oscilando por su centro, debido a una fuerza impulsiva
5. ¿El per´ıodo del p´endulo se incrementa si aumentamos la masa? Consideremos que alojamos una disco de masa 101,8gr y radio 3,75cm en el extremo inferior de la barra, la cual va rotar con respecto al otro extremo. Modelemos entonces la barra y la masa de la siguiente forma: Con los datos de la tabla IV se pudo hallar de forma pr´actica que el centro de masa del nuevo sistema esta ubicado en (0, −68,82) cm, esta coordenada resulta ser una muy buena aproximaci´on del centro de gravedad. Te´oricamente la ecuaci´on 2 se ver´ıa afectada de la siguiente forma s Ib0 + Id0 T = 2π M gd
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Figura 6. Modelo aumento de masa
P
Masa(gr) 151,7 101,8 253,5
x ¯(cm) 50,25 96,5
y¯(cm) 0 0
M¯ x(gr cm) 0 0 0
My¯ y (gr cm) 7622.925 9823.7 17446,625
Cuadro III C ENTRO DE M ASA
donde Ib0 , Id0 son los momentos de inercia de la barra y las masas adicionales respecto al punto de rotaci´on y M es la masa total del sistema. Aplicando el teorema de Steiner transformamos la anterior ecuaci´on en la siguiente: s 1 mb L2 + mb d21 + 12 md r2 + md d22 (5) T = 2π 12 M gd En donde d1 y d2 son las distancias de la barra y el disco al pivote. Evaluando estas expresiones con los datos que se tienen, se obtienen los resultados de ´ la tabla IV. Este resultado te´oricamente encontrado concuerda con lo obtenido de forma experimental pues contrastando los valores del periodo te´orico con los experimentales presentes en la tabla IV, encontramos que el nuevo periodo es mayor que el periodo anterior. Sin embargo para realizar un generalizaci´on acxerca de este evento consideremos la ecuaci´on 5 evaluada para los mismos parametros de masa, longitud y radio, pero modificando la posici´on relativa de la masa en la barra, es decir consideremos que ubicamos la masa a una distancia 25,125cm y 50,25 con respecto al extremo pivotado de la barra. Realizando un calculo similar al anterior obtenemos: Figura 7. Barra con discos en su extremo Para los discos ubicados a 25,15cm del extremo pivotado El Centro de masa es (0, −40,17) cm, por tanto d = y¯ = 40,17cm, adem´as los d1 y d2 ser´an 50,25cm y 25,15cm respectivamente. Reemplazando todos estos datos en la ecuaci´on 5 obtenemos s 1 (0,1517kg)(0,1005m)2 + (0,1517kg)(0,5025m)2 + 12 (0,1018kg)(0,035m)2 + (0,1018kg)(0,2515m)2 T = 2π 12 = 1,50s (0,2535kg)(9,8m/s2 )(0,4017m) Para los discos ubicados en el centro de la barra El Centro de masa es (0, −50,25) cm, por tanto d = y¯ = 50,25cm, adem´as los d1 y d2 ser´an 50,25cm y 50,25cm respectivamente. Reemplazando todos estos datos en la ecuaci´on 5 obtenemos s 1 (0,1517kg)(0,1005m)2 + (0,1517kg)(0,5025m)2 + 12 (0,1018kg)(0,035m)2 + (0,1018kg)(0,5025m)2 T = 2π 12 = 1,55s (0,2535kg)(9,8m/s2 )(0,5025m)
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Estos resultados te´oricos nos revelan que al variar la posici´on de los discos estamos afectando la posici´on del centro de gravedad del sistema, es decir estamos modificando una de las variables que afecta de forma directa al periodo, lo cual se observa con nuestros resultados. Adem´as podemos notar que cuando los discos estan m´as alejados del extremo de rotaci´on producen un mayor per´ıodo, sin embargo ser´ıa bueno profundizar experimentalmente este tema en otra oportunidad.
Con Masa Sin masa
Periodo (s) Te´orico Experimental 1,8357 1,83 1,64 1,65
Cuadro IV P ERIODOS PARA P E´ NDULO F´I SICO CON MASA
6. ¿C´omo hallar´ıas el momento de inercia de un cuerpo irregular? Consideremos que tenemos un cuerpo de forma irregular plano como el de la figura I y contamos con los elementos y el ingenio suficiente para realizar los siguientes pasos: – Suspendemos al cuerpo de un punto y esperamos que el mismo alcance el equilibrio, alcanzado el equilibrio trazamos una l´ınea vertical que cruce el punto del cual tenemos suspendido el objeto. – Repetimos el paso anterior pero suspendiendo al objeto de otro punto diferente. – El lugar donde se cruzan las l´ıneas anteriormente trazadas ser´a el centro de masa del cuerpo, la exactitud de su ubicaci´on depender´a de nuestra destreza y de los instrumentos con los cuales tracemos las l´ıneas. – Localizado el centro de masa del cuerpo, lo suspendemos de nuevo de un punto distinto al centro de masa, pero esta vez sujeto al sensor de rotaci´on. – Alcanzado el equilibrio medimos la distancia del punto de suspensi´on al centro de masas, obteniendo de esta manera el dato d de la ecuaci´on 2. – Tomamos el cuerpo y lo desfasamos del equilibrio aproximadamente un a´ ngulo θ < 15 con respecto a la vertical, y liberamos el cuerpo para que oscile libremente. – Por medio de la interfaz DataStudio registramos este movimiento oscilatorio y procedemos a medir el per´ıodo T de la oscilaci´on. – Empleando una balanza hallamos la masa m del cuerpo en cuesti´on. – De la ecuaci´on 2, despejamos el momento de inercia I en termino de las dem´as datos y reemplazamos todos los datos obtenidos m, T, d en la ecuaci´on. – Finalmente recordemos que el momento de inercia hallado es respecto al punto de suspensi´on, as´ı que bastar´a con aplicar el teorema de Steiner y despejar el momento de inercia del cuerpo con respecto al centro de masa. 2 gT − d ICM = md 4π 2 A pesar de que el m´etodo anterior emplea el centro de masa como referencia para obtener el brazo de giro, es importante recordar que la diferencia entre el centro de masa y el centro de gravedad en la mayor´ıa de casos es muy m´ınima y para aplicaciones en ingenier´ıa como la construcc´on de edificios su diferencia no es muy relevante. Otro aspecto que hay que aclarar es que el empleo de e´ sta metodolo´ıa con el fin de hallar el momento de inercia, es que resulta poco u´ til cuando poseemos un cuerpo q no sea plano, para este caso lo m´as util seria ponerlo a girar sobre un disco del cual conocemos su momento de inercia y con ayuda del sensor de rotaci´on y la segunda ley de newton aplicada al movimiento rotacional despejar su momento de inercia. 7. ¿C´omo se comportar´ıa el p´endulo f´ısico para a´ ngulos grandes? Es claro que la ecuaci´on 1 es la ecuaci´on diferencial aplicada al p´endulo f´ısico siempre y cuando θ ≈ 0, es decir θ ≤ 150 . En caso de que no se cumpla esta condici´on nuestra ecuaci´on diferencial quedar´ıa de la forma d2 θ mgd + sin θ = 0 dt2 I La cual es una integral el´ıptica, y no se estudia en los cursos de pregrado de ingenier´ıa, pero puede demostrarse1 que para amplitudes mayores, la ecuaci´on general del periodo es s I 1 θm 1 32 θm T = 2π 1 + 2 sin2 + 2 2 sin2 + ... mgd 2 2 2 4 2 Donde θm es el desplazamiento a´ ngular m´aximo. Obs´ervese entonces que el periodo del pendulo aumenta comforme la amplitud o a´ ngulo inicial es mayor. 1 Ve´ ase
K. R. Simon, Mechanics, 3a. edici´on (Addison-Wesley, 1971), secci´on 5.3.
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8. ¿Qu´e sugerencias puede hacer de este experimento? En pr´oximas ocasicones ser´ıa oportuno poder contar con un medidor para obtener angulos menores a 150 , debido a que la principal fuente de errores en esta experiencia se debieron a e´ ste factor. Tambi´en ser´ıa ben´efico que se desarrollara una experiencia para que los estudiantes descubrieramos como se relacionan el pendulo fisico con el pendulo simple a trav´es del conocido centro de oscilaci´on, al igual que llevaramos acabo una aplicaci´on de cualquiera de estos tipos de p´endulo. IV.
´ C ONCLUSI ON
Gracias a los resultados obtenidos experimentalmente y a la teor´ıa conocida acerca del p´endulo f´ısico, se pudo determinar ciertas caracter´ısticas del movimiento arm´onico que e´ ste presenta cuando realiza un peque˜no desplazamiento, es decir, cuando θ ≤ 15rad. Se verific´o que para un sistema de masa m, cuando se var´ıa la distancia d del pivote al centro de masa, el periodo var´ıa, tal como lo indica la teor´ıa correspondiente, y se verifica con los resultados obtenidos en los diferentes ensayos. Se pudo comprobar que para un mayor brazo de giro d el periodo T tambi´en es mayor. Adem´as se pudo observar que para un sistema que gira alrededor de un punto P , que esta a una distancia d de su centro de masa, el periodo Igualmente, gracias a esta experiencia se pudo constatar, como e´ sta aplicaci´on del movimiento arm´onico puede resultar u´ til para calcular el momento de inercia de un cuerpo respecto a un pivote. Finalmente podemos concluir que el periodo de un p´endulo f´ısico que se mueve, bajo ciertas condiciones en un MAS, es un par´ametro que se mantiene inalterable sin importar la masa del sistema, pero que es dependiente del radio de giro y del centro de masa del sistema, como lo demuestran los datos experimentales obtenidos con esta experiencia. R EFERENCIAS [1] [2] [3] [4] [5]
ALONSO Marcelo, FINN Edward, F´ısica, Vol I Mec´anica, Fondo Educativo Interamericano, 1970. HALLYDAY David, KRANE Kenneth, RESNICK Robert, F´ısica, Vol I, Continental, 1993. WILSON Jerry, College Physics, PEARSON, 2004. SEARS Francis, ZEMANSKY Mark, YOUNG Hugh, FREEDMAN Roger, F´ısica Universitaria, Vol I, 11 ed., Pearson. SERWAY Raymond, JEWETT Jhon, Fisica para ciencias e Ingenier´ıa, Vol I, 6a ed., Mc Graw Hill.