Ejercicios

Page 1

1

Ejercicios Propuestos María Alejandra Dávila, Victor Escorcia mdavilaa@uninorte.edu.co, escorciav@uninorte.edu.co Universidad del Norte

I.

M OVIMIENTO B IDIMENSIONAL

Debido a que nos informan las ecuaciones de desplazamiento de describe la cuerda en y y z podemos construir una función vectorial de desplazamiento de la siguiente forma: u(x, t) = A cos (kx − ωt) ˆj + A sin (kx − ωt) kˆ

(1)

Para x = 0, podemos observar claramente que es la ecuación paramétrica de una circunferencia de radio A en el plano yz la cual se puede observar en la figura I1 .

Figura 1. Movimiento Bidimensional de la partícula de una cuerda vista desde el eje x

Para t = 0 la partícula se encuentra en u(0, 0) = A cos(k · 0 − ω · 0)ˆj + A sin(k · 0 − ω · 0)kˆ = Aˆj, es decir en el extremo superior de la circunferencia. ˆ es En t = π/2ω la partícula se encuentra en u(0, π/2ω) = A cos(k · 0 − ω · π/2ω)ˆj + A sin(k · 0 − ω · π/2ω)kˆ = −Ak, decir en en el extremo izquierdo de la circunferencia. Para t = π/ω la partícula se halla en u(0, π/ω) = A cos(k · 0 − ω · π/ω)ˆj + A sin(k · 0 − ω · π/ω)kˆ = −Aˆj, es decir en en el extremo inferior de la circunferencia. ˆ es En t = 3π/2ω la partícula se halla en u(0, 3π/2ω) = A cos(k · 0 − ω · 3π/2ω)ˆj + A sin(k · 0 − ω · 3π/2ω)kˆ = Ak, decir en en el extremo derecho de la circunferencia. La velocidad de una partícula de cuerda se puede hallar tomando la derivada parcial con respecto al tiempo del desplazamiento de la cuerda ∂u(x, t) v(x, t) = = Aω sin(kx − ωt)ˆj − Aω cos(kx − ωt)kˆ (2) ∂t Para probar que la velocidad es tangencial al movimiento de la partícula bastara con efectuar el producto punto entre las ecuaciones 1 y 2 u(x, t) • v(x, y) = A2 ω cos(kx − ωt) sin(kx − ωt) − A2 ω cos(kx − ωt) sin(kx − ωt) = 0 1 Haga y = A cos(−ωt) z = A sin(−ωt), eleve al cuadrado ambos miembros y sume miembro a miembro las expresiones y obtendrá una expresión similar a la de una circunferencia centrada en el origen del plano yz de radio A

2

Como a u(x, t) • v(x, y) = 0, esto quiere decir que estos dos vectores son ortogonales, y efectivamente la velocidad es tangencial al movimiento. Ahora obtengamos la norma o magnitud del vector velocidad q p kvk = (Aω sin(kx − ωt))2 + (−Aω cos(kx − ωt))2 = A2 ω 2 (cos2 (kx − ωt) + sin2 (kx − ωt)) = Aω Y podemos observar que ésta no depende ni de la posición en x, ni del tiempo t, es decir es constante. Obtengamos el vector aceleración para cualquier partícula de la cuerda tomando la derivada parcial con respecto al tiempo del vector velocidad antes hallado ∂v(x, t) a(x, t) = = −Aω 2 cos(kx − ωt)ˆj − Aω 2 sin(kx − ωt)kˆ ∂t De forma similar a los pasos anteriores podemos calcular su norma y encontrar que es igual a q p kak = (−Aω 2 cos(kx − ωt))2 + (−Aω 2 sin(kx − ωt))2 = A2 ω 4 (cos2 (kx − ωt) + sin2 (kx − ωt)) = Aω 2 También podemos observar que el vector aceleración es igual al vector desplazamiento escalado −w2 , lo que significa que éste siempre esta dirigido al centro del circulo descrito en la figura I. a(x, t) = ω 2 (−u(x, t)) Otra forma de observar esto es tomando el producto punto entre los vectores u(x, t) y a(x, t) u(x, t) • a(x, t) = −A2 ω 2 cos(kx − ωt) − A2 ω 2 sin(kx − ωt) = −A2 ω 2 Dado que la norma de ku(x, t)k = A, de ka(x, t)k = Aω 2 y empleando la definición alterna de producto punto tenemos u(x, t) • a(x, t) = ku(x, t)k ka(x, t)k cos φ A2 ω 2 cos φ = −A2 ω 2 cos φ = −1 Es decir φ = 180 de donde se concluye que estos vectores son antiparalelos. Si el desplazamiento de la cuerda ahora fuese u(x, t) = A cos(kx − ωt)ˆj − A sin(kx − ωt)kˆ Los resultados serían similares a los obtenidos anteriormente, es decir se obtendría que el movimiento para una partícula es circular uniforme, sin embargo al evaluar el desplazamiento en x = 0 para t = 0, π/2ω, π/ω, 3π/2ω obtenemos un resultado inverso al anterior lo cual quiere decir que la partícula esta realizando el mismo movimiento pero en sentido contrario2 .

2 Ver

anexos

3

II.

L OCALIZACIÓN DE RAYOS POR RADIO

En la figura II se muestra de forma clara un esquema del problema Es claro que la velocidad de la luz es muchísimo mayor que la del sonido y que las ondas de radio viajan con esta misma

Figura 2. Esquema del problema de localización de rayos por radio

velocidad, por lo tanto el suceso de captar el rayo y escuchar el trueno por la radio se pueden considerar que sucedieron de forma instantánea. Como la velocidad de la ondas es constante, mientras no cambien de medio, podemos encontrar las distancias d1 y d2, con el fin de aplicar ley del coseno y buscar el ángulo φ. d1 = vs (4,43s) = (344m/s)(4,43s) = 1523,92m d2 = vs (3,0s) = (344m/s)(3,0s) = 1032m Aplicando la ley del coseno cos φ =

d12 −d22 −1120 −2·1120·d22

φ = arccos

obtenemos que

(1523,92m)2 − (1032m)2 − (1120m)2 = 90,07◦ −2(1032m)(1120m)

Por tanto el rayo cayó a una distancia de 1,032km y 90,07◦ al oeste del norte del estadio.

4

III.

O NDAS DE FORMA ARBITRARIA

En t = 0 la función de onda ha experimentado una perturbación inicial que puede caracterizarse mediante la ecuación y(x, 0) = F (x) Consideremos que la máxima perturbación ocurre cuando el argumento es igual a cero, con la definición de función de argumento x − vt queda claro que el punto máximo se obtendrá cuando x = vt, en otras palabras el punto se moverá a la derecha, con velocidad constante. Hay que observar que esto se aplica para los demás puntos definidos por F (x − vt), y en consecuencia, es evidente que el argumento de la función definido de la forma x − vt hace que la función viaje en la dirección x como lo hace la onda. De forma gráfica se ilustra el procedimiento en las figuras III. Haciendo u = x − vt nos queda que y(x, t) = f (u) y tomando las respectivas derivadas parciales de y respecto a t y x nos

(b) Ejemplo de la importancia del argumento x − vt

(a) Forma general

Figura 3. Ilustración de la importancia del argumento x − vt en las pulsaciones de onda

queda ∂y ∂t ∂y ∂x

= =

df du df du

∂u ∂t ∂u ∂t

df = − du v df = du

Tomamos nuevamente derivadas parciales respecto a x y t ∂2y ∂t2 ∂2y ∂x2

Despejando

d2 f du2

2 df d ∂u = −v du = v 2 d f2 du ∂t 2 du df d f d ∂u = du du ∂t = du2

e igualando miembros nos queda la ecuación de onda ∂2y ∂x2

=

2 1 ∂ y v 2 ∂t2 2

Analicemos cual es la velocidad de la pulsación de onda descrita por y(x, t) = De−(Bx−Ct) , donde B, C y D son contantes positivas. Para determinar la velocidad de esta pulsación basta con realizar un factor común dentro del argumento de la pulsación y compararlo con el de la función antes descrita. 2

C

2

y(x, t) = De−(Bx−Ct) = De−(B(x− B t)) = De−B C C x− B t, v = B

2

C (x− B t)2

5

IV.

15.60

La siguiente gráfica representa la función de desplazamiento y(x, t) = A cos(kx − ωt + Φ), para una onda con A = k = ω = 1, y para cuatro valores distintos del ángulo de fase.

La velocidad transversal vy =

∂y(x,t) ∂t ,

para y(x, t) = A cos(kx − ωt + Φ), es: vy = ωA sin(kx − ωt + Φ)

(3)

No es posible determinar el valor de Φ, puesto que la cuerda presenta un movimiento ondulatorio, definido por una función senoidal, lo cual permite encontrar, dos valores del ángulo de fase, que cumplen con las condiciones planteadas. Por ejemplo, para el primer caso, cuando t = 0, x = 0 y y = √A2 , se tienen dos ángulos de fase posibles, Φ = pi 4 y pi 3pi , y para las condiciones de t = 0 x = 0 y = 0, se encuentran Φ = y Φ = , como ángulos posibles. Φ = 7pi 4 2 2 Esto se presenta, debido a que en una determinada longitud de onda, la partícula pasa dos veces por un mismo punto, es decir, se encuentra en la misma posición . Para determinar el valor de Φ, en un instante determinado, es necesario conocer además de la posición, para un punto y tiempo determinado,la dirección de la velocidad.

6

V.

15.61

La potencia media Pmed ,está definida como: Pmed = Si se tiene en cuenta que v 2 =

F µ,

1p µF ω 2 A2 2

es decir, F = µv 2 , entonces, 1p µ(µv 2 )ω 2 A2 2 1p 2 2 2 2 = µ v ω A 2

Pmed = Pmed Si se sabe que µ =

F v2 ,

resulta, F vω 2 A2 v2 1 F = ωωA2 2 v 1 2

1 = 2

Pmed = Pmed y dado que ω = kv Pmed

F v

kvωA2

Finalmente resulta que la potencia media, también se puede expresar de la siguiente manera: Pmed =

1 F kωA2 2

Cuando se cuadriplica la tensión F en la cuerda, se modifica también la velocidad v = puesto que v = ωk , se tiene que el cociente de ω y k se duplica también. Si consideremos que Ff = 4F0 y que

ωf ω0 =2 kf k0

al analizar la potencia media Pmed =

q

F µ,

es decir, que se duplica;

(4) (5)

1 F kωA2 2

, la cual se desea constante, se tiene que, Ff kf ωf = F0 k0 ω0

(6)

De aquí se obtiene que 4kf ωf = k0 ω0 , lo cual equivale a decir que kf ωf =

k0 ω0

(7)

Al multiplicar las ecuaciones (3) y (5), se tiene que ω02 2

(8)

ω0 ωf = √ 2

(9)

k02 8

(10)

ωf2 = lo cual es lo mismo que,

Y si ahora dividimos la ecuación (3) y (5), obtenemos kf2 = es decir,

k0 kf = √ (11) 8 Entonces, si se quiere mantener constante la potencia media Pmed , cuando se cuadriplica la tensión F en la cuerda, se debe considerar que la relación de ω√y k, se modifican también, por lo cual se obtiene que el ω se debe disminuir en un √ factor de 2 y k en un factor de 2 2

7

VI.

E NERGÍA DE UN P ULSO TRIANGULAR

La siguiente gráfica representa la pulsación dada en el instante t = 0.

Para cualquier instante t, la función se define, teniendo en cuenta que el movimiento lleva una velocidad v, en la dirección +x, entonces se reemplaza x, por x − vt, luego resulta:  0 ; (x − vt) < −L    h(L + x − vt)/L ; −L < (x − vt) < 0 (12) y(x, t) = h(L − x + vt)/L ; 0 < (x − vt) < L    0 ; (x − vt) > −L ∂y(x,t) Considerando que la potencia instantánea P (x, t) = −F ∂y(x,t) ∂x ∂t , se determina que para este caso, queda definida solo para −L < (x − vt) < L, tal como se muestra a continuación:  −F (0)(0) = 0 ; (x − vt) < −L     −F (h/L)(−hv/L) = F h2 v/L2    ; −L < (x − vt) < 0 (13) P (x, t) = −F (−h/L)(hv/L) = F h2 v/L2     ; 0 < (x − vt) < L    −F (0)(0) = 0 ; (x − vt) > −L

8

VII. 15.79 Por definiciĂłn de energĂ­a cinĂŠtica y de acuerdo a la definiciĂłn de densidad lineal de masa podemos decir que la energĂ­a cinĂŠtica por unidad de longitud de la cuerda es 1∆mv 2 (x, t) 1 ∆K = = Âľv 2 (x, t) ∆m ∆x 2 /Âľ 2 Para el caso de una onda senoidal la ecuaciĂłn anterior se puede expresar de la siguiente forma 1 1 (14) uk (x, t) = Âľ(Aω sin(kx − ωt))2 = A2 ¾ω 2 sin2 (kx − ωt) 2 2 Con el fin de demostrar que tambiĂŠn hay energĂ­a potencial elĂĄstica asociada al trabajo realizado para deformarla, consideremos inicialmente un segmento corto de cuerda cuya longitud no estirada es ∆x (VĂŠase la figura VII). Si despreciamos la pequeĂąa curvatura del segmento, podemos afirmar que su pendiente es ∂y(x,t)/∂t. De acuerdo a la definiciĂłn de distancia entre dos puntos y la consideraciĂłn anterior podemos afirmar que la longitud del uk (x, t) =

Figura 4. Diagrama de cuerpo libre de un segmento de cuerda

segmento de cuerda no estirado es igual a 2

2 1/2

(∆x) + (∆y)

=

2

2

(∆x) + (∆x)

∂y(x, t) ∂x

2 !1/2

= ∆x 1 +

∂y(x, t) ∂x

2 !1/2

Si consideramos que el desplazamiento de la√cuerda respecto equilibrio es pequeĂąo, ∂y(x,t)/∂t tiene magnitud mucho menor que 1, por lo tanto podemos usar la relaciĂłn 1 + u ≈ 1 + 21 u y expresar la ecuaciĂłn anterior de la siguiente forma 2 ! 1 ∂y(x, t) ∆x 1 + (15) 2 ∂x La energĂ­a potencial almacenada en el segmento es igual al trabajo efectuado por la fuerza de tensiĂłn de la cuerda F para estirar el segmento de su longitud no estirada ∆x a la longitud 15. Por lo tanto la energĂ­a potencial por unidad de longitud de la cuerda es h i ∂y 2 2 2 ∆x 1 + 12 ( ∂x ) − ∆x 1 ∂y ∆x 1 ∂y up = F = F = F ∆x 2 ∂x ∆x 2 ∂x Por tanto la energĂ­a potencial para una onda senoidal esta dada por la ecuaciĂłn ?? teniendo en cuenta que 2 1 ∂y 1 1 2 up = F = F (−kAsin(kx − ωt)) = F A2 k 2 sin2 (kx − ωt) 2 ∂x 2 2

∂y ∂x

= −kAsin(kxâˆ’Ď‰t) (16)

Observemos que las ecuaciones 14 y 16 son iguales, ya que por definiciones y relaciones bĂĄsicas k 2 = ω 2 v 2 = ω 2 Âľ/F , lo cual al reemplazarlo en la ecuaciĂłn 16 nos lleva a la ecuaciĂłn 14. Para ilustrarnos de como varĂ­a la energĂ­a y el desplazamiento de la onda observemos la figura VII. En la cual podemos observar que cuando el desplazamiento es cero la energĂ­a es mĂĄxima y viceversa esto se debe a que cuando la cuerda presenta un desplazamiento igual a cero, ĂŠsta se encuentra estirada y con mayor velocidad, mientras que cuando el desplazamiento es mĂĄximo la cuerda se encuentra relajada y su velocidad es cero. Finalmente podemos observar que la energĂ­a total por unidad de longitud multiplicada por la velocidad es igual a la potencia instantĂĄnea (uk + up ) v = F k 2 A2 sin2 (ωt − kx) v = F k(ω/v)A2 sin2 (ωt − kx) v = P (x, t) Lo cual es lĂłgico puesto que estamos analizando como cambia la densidad de energĂ­a total de la cuerda, es decir la velocidad de cambio de la energĂ­a.

9

Figura 5. Variación de la energía y el desplazamiento en una onda para t = 0

VIII.

P OTENCIA INSTANTÁNEA DE UNA ONDA ESTACIONARIA

Para una onda estacionaria de la forma y(x, t) = AOE sin(kx) sin(ωt), la potencia instantánea definida como: P (x, t) = ∂y(x,t) −F ∂y(x,t) ∂x ∂t , entonces, se tiene que P (x, t) = −4F A2 kω cos(kx) sin(ωt) sin(kx) cos(ωt)

10

IX. IX-A.

A NEXOS

Ondas Bidimensionales

Para la nueva función de desplazamiento, comprobemos que el vector velocidad es perpendicular al desplazamiento u2 (x, t) = A cos(kx − wt)ˆj − A sin(kx − wt)kˆ v2 (x, t) = Aω sin(kx − wt)ˆj + Aω cos(kx − wt)kˆ u2 • v2 = −A2 ω sin(kx − wt) cos(kx − wt) + A2 ω cos(kx − wt) sin(kx − wt) = 0 Comprobemos de igual forma que la norma del vector velocidad y del vector aceleración son iguales a las obtenidas para la función de desplazamiento inicial v2 (x, t) = Aω sin(kx − wt)ˆj + Aω cos(kx − wt)kˆ a2 (x, t) p = −Aω 2 cos(kx − wt)ˆj + Aω 2 sin(kx − wt)kˆ kv2 k = p(Aω cos(kx − wt))2 + (Aω sin(kx − wt))2 = Aω ka2 k = (−Aω 2 cos(kx − wt))2 + (Aω 2 sin(kx − wt))2 = Aω 2 Comprobemos de forma vectorial que la circunferencia del desplazamiento u(x, t) = A cos (kx − ωt) ˆj + A sin (kx − ωt) kˆ se recorre en sentido antihorario y que la circunferencia del desplazamiento u(x, t) = A cos(kx − ωt)ˆj − A sin(kx − ωt)kˆ se recorre en sentido horario. Anteriormente determinamos que el vector velocidad de cada desplazamiento estaba determinado por las ecuaciones v1 (x, t) = Aω sin(kx − wt)ˆj − Aω cos(kx − wt)kˆ v2 (x, t) = Aω sin(kx − wt)ˆj + Aω cos(kx − wt)kˆ Al evaluar estas en x = 0 y t = 0 nos quedan dos vectores que apuntan el sentido en que se recorrerá la circunferencia, para nuestros casos obtenemos v1 (0, 0) = −Aω kˆ v2 (0, 0) = Aω kˆ Lo cual confirma nuestra afirmación. Para ilustrar mejor este procedimiento se puede observar la figura IX-A.

Figura 6. Vectores de velocidad en x = 0 y t = 0 para los desplazamientos u1 , u2

Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.