Principio de Arquímedes
10 de agosto de 2008
Quizás muchas veces hemos podido experimentar que levantar a una persona dentro de la piscina se nos hace más fácil que cuando estamos en tierra firme, éste ejemplo como algunos otros se pueden explicar con base en el principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes establece que: Si un cuerpo esta parcial o totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. La fuerza ascensional que provoca el fluido se conoce como empuje o fuerza de empuje y se denota como Fb . Con el ánimo de despejar dudas consideremos el siguiente ejemplo: Un recipiente con un fluido de densidad ρf , se encuentra sobre una balanza y se determina que su masa en conjunto es mt , en él se introduce totalmente un cuerpo de masa m y densidad ρ, el cual esta sujeto a un dinamómetro de resorte. Interpretemos que está midiendo la balanza y el dinamómetro.
Supongamos inicialmente que la densidad del bloque es mayor que la del fluido, (ρ >ρf ) entonces, el diagrama de fuerzas para el bloque sumergido en el fluido es el siguiente:
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Del diagrama de fuerzas mostrado y de acuerdo a las Leyes de Newton, podemos decir que:
X
zy : T + Fb − mg = 0
(1)
Es decir: T = mg − Fb Y debido a que la fuerza de empuje es de carácter ascensional (se estimará siempre como positiva), la tensión en el resorte siempre será menor que el peso real del objeto. Este valor de la tensión indicada por el dinamómetro, se conoce como peso aparente y corresponde al peso del objeto menos el peso del fluido desplazado, es decir, menos el empuje, como se muestra en la ecuación anterior. En esta situación, se tiende a pensar que el valor medido en la balanza no varía mientras el cuerpo está sumergido en el recipiente, pues éste no esta siendo captado por el plato de la balanza; sin embargo esto no es lo que ocurre, pues como el fluido le está proporcionando una fuerza de empuje al cuerpo, éste ejerce sobre el fluido una fuerza de igual magnitud y de sentido contrario, por la ley de acción-reacción, lo que provoca que la lectura de la balanza aumente proporcionalmente al empuje producido. MBalanza = mt +
Fb g
A pesar de que se supuso que la densidad del bloque es mayor que la del fluido hay que recordar que la densidad del bloque, en nada afecta la magnitud de la fuerza de empuje, pues ésta solo depende del volumen sumergido del cuerpo, de la gravedad y de la densidad del fluido. Por esto, mientras estamos en una g piscina donde ρ ≈ 1 cm 3 , podemos levantar a una persona de forma más fácil g que estando fuera de ésta, donde la densidad del aire es ρ ≈ 1,2 × 10−3 cm 3, debido a que la fuerza de empuje proporcionado por el agua es mayor a la que proporciona el aire, por lo cual la fuerza que debemos aplicar para levantar el 2
cuerpo en el agua es menor que la que se emplea para levantar el mismo cuerpo en tierra firme.
Supongamos ahora que la densidad del bloque es igual a la del fluido, ρ = ρf . El diagrama de cuerpo libre para el siguiente caso, suponemos que es el mismo que el anterior, investiguemos entonces el valor de la tensión en el resorte. Según el diagrama de fuerzas y las Leyes de Newton se tiene:
X
zy : T + Fb = mg
(2)
Según el principio de Arquímedes, Fb = ρf gVf des Por la definición de densidad volumétrica para el bloque, m = ρVb Entonces la ecuacion (2) se puede expresar como: T = ρVb g − ρf gVf des Como estamos considerando que el bloque está totalmente sumergido (Vf des = Vb ) y que las densidades son las mismas (ρ = ρf ), nos queda: T =0 Es decir, que la tensión en el resorte es nula y por lo tanto éste se encuentra en su posición de equilibrio, sin embargo al igual que en el caso anterior la balanza esta marcando el peso conjunto del recipiente y el fluido más un aumento proporcional al empuje producido por el fluido. MBalanza = mt +
Fb g
Finalmente, consideremos que la densidad del bloque es menor a la del fluido, ρ < ρf . Supongamos que el diagrama de cuerpo libre para el siguiente caso no varia, entonces analicemos el valor de la tensión en el resorte:
X
zy : T + Fb = mg
3
(3)
Según el principio de Arquímedes, Fb = ρf gVf des Por la definición de densidad volumétrica para el bloque, m = ρVb Recordadndo que el objeto esta totalmente sumergido, es decir Vb = Vf des , la ecuacion (3) se puede expresar como: T = ρVb g − ρf gVf des = gVb (ρ − ρf ) Dado que la densidad del bloque es menor que la del fluido,ρ < ρf , obtenemos que T < 0. Es decir, que la tensión en el resorte es opuesta a la del DLC y por lo tanto es necesario ejercer una fuerza para evitar que el bloque suba. Además, como en los otros casos la balanza esta marcando el peso conjunto del recipiente y el fluido más un aumento proporcional al empuje que produce el fluido. MBalanza = mt +
Fb g
Referencias [1] SERWAY Raymond, JEWETT Jhon, Fisica para ciencias e Ingeniería, Vol I, 6a ed., Mc Graw Hill. [2] SEARS Francis, ZEMANSKY Mark, YOUNG Hugh, FREEDMAN Roger, Física Universitaria, Vol I, 11 ed., Pearson.
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