Efecto Bernoulli
15 de agosto de 2008
Los fluidos en movimiento se idealizan para un adecuado análisis de su comportamiento. Esta idealización consiste en considerar que su flujo es estable o estacionario, es decir, que las partículas del fluido se desplazan en trayectorias conocidas como líneas de flujo, las cuales no se cruzan entre si, además, en cualquier punto del fluido, la velocidad de las partículas no varía con el tiempo. También se considera que el fluido es incompresible, lo que significa que su densidad es constante, que el flujo es irrotacional o no turbulento, esto es, que en ningún punto tiene cantidad de movimiento angular, además, se estima que el fluido es no viscoso, aunque no existen realmente fluidos no viscosos, se hace esta consideración, despreciando en cierta región del fluido la fricción interna entre sus capas adyacentes. Bajo estas condiciones, el físico Suizo Daniel Bernoulli, encontró una relación, aproximada, entre la presión, la velocidad y la elevación, para los fluidos en movimiento, la cual es conocida como Ecuación de Bernoulli. Para determinar esta ecuación, consideremos un tubo con un fluido en movimiento como el que se muestra en la figura.
Figura 1: Patron de referencia para la ecuación de Bernoulli
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Para un mismo intervalo de tiempo ∆t W1 = F1 ∆x1 − P1 A1 ∆x1 = P1 ∆x1 W2 = F2 ∆x2 − P2 A2 ∆x2 = P2 ∆x2 Entonces, W = (P1 − P2 )V Energía cinética ∆K = 12 mv22 − 12 mv12 Energía potencial ∆U = mgy2 − mgy1 Luego, dividiendo sobre el volumen V , y sabiendo que ρ =
m V ,
se tiene
(P1 − P2 ) = 21 ρv22 − 12 ρv12 + ρgy2 − ρgy1 Es decir,
1 1 P1 + ρv12 + ρgy1 = P2 + ρv22 + ρgy2 2 2
(1)
La Ecuación de Bernoulli queda expresada de la siguiente forma: P + 12 ρv 2 + ρgy = constante Esta ecuación se puede considerar como una expresión del balance de energía mecánica y se enuncia así: "La suma de la Energía Cinética, la Potencial y de Flujo de una partícula de fluido es constante a lo largo de una línea de corriente en el transcurso del flujo estacionario, cuando los efectos de la compresibilidad y de la fricción son despreciables". Consideremos un caso particular de la ecuación de Bernoulli, suponiendo que las la diferencia debida a la energía potencial es mínima o despreciable, entonces la ecuación (1) se reduce a la siguiente forma: 1 1 P1 + ρv12 = P2 + ρv22 2 2
(2)
La ecuación (2) es conocida por los físicos e ingenieros como Efecto Bernoulli y tiene importantes aplicaciones como el medidor de Venturi y la sustentación de los aviones. Estudiemos un poco más el transfondo de ésta ecuación. 2
Supongamos que tenemos un fluido que va de una región de mayor área seccional a otra de menor área seccional (A1 > A2 ), por la ecuación de continuidad sabemos que: A1 v1 = A2 v2 v1 =
A2 A1 v2
Dedibo a que el cociente
A2/A1
< 1, nos queda que v1 < v2 .
Ahora reemplazando lo anterior en (2)obtenemos: P1 − P2 = 21 ρ v22 − v12 2 P1 − P2 = 12 ρv22 1 − A A1 2 Dedibo a que el cociente A2/A1 < 1 el resultado de 1 − A > 0 y debido a la A1 naturaleza de las demás unidades podemos afirmar con seguridad que: P1 − P2 > 0 o lo que es igual P1 > P2 Lo anteriormente expresado muestra la explicación matemática de por que en el área seccional mayor se presenta una mayor presión que en la menor, en el marco del efecto Bernoulli, pero interpretemos físicamente el resultado de la siguiente manera, tenemos un fluido incompresible que fluye por un tubo de sección transversal variable, es decir que la velocidad en diferentes áreas es distinta debido a la ecuación de continuidad, por lo cual un elemento de fluido debe poseer una aceleración. Consideremos que el tubo es horizontal, entonces la fuerza que causa la aceleración debe ser aplicada por el fluido circundante, es decir que la presión debe ser diferente en secciones con área transversal distinta, pues si fuera la misma, la fuerza neta sobre cada elemento sería cero. Por lo anterior es lógico concluir que si un tubo horizontal se estrecha, el fluido se acelera, por lo cual dicho fluido debe estar moviendose de un área de mayor presión a un área de menor presión, para tener una fuerza neta hacia adelante que lo acelere. Aplicaciones del efecto Bernoulli son muy usuales, dentro de las más comunes se encuentran la sustención de un avión, el medidor de Venturi y el fenómeno de succión. Veamos como funciona un medidor de Venturi y expliquemos someramente una apicación del fenómeno de succión. Medidor de Venturi El medidor de Venturi es usado para medir la rapidez de flujo en un tubo, la parte angosta del tubo se conoce como garganta. El fin último del medidor es encontrar v1 en terminos de h, A1 , A2 .
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Figura 2: Medidor de Venturi sencillo
Aplicamos la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 2 (y1 = y2 ) como se ve en la figura, o consideramos que se esta observando el tubo de flujo desde la planta superior, asi que tenemos un caso de aplicación del efecto Bernoulli. P1 + 21 ρv12 = P2 + 21 ρv22 Por la ecuación de continuidad sabemos que v2 = modando los terminos nos queda: P1 − P2 = + 21 ρv12
A1 A2
A1 A2 v1 ,
−1
sustituyendo y reaco-
La diferencia de presión P1 − P2 se obtiene de igualar la presion con respecto a la línea aa0 P1 + ρgh = P2 Combinando estos resultado en una sola ecuación obtenemos: v1 =
r
2gh −1
A1 A2
El anterior esquema no es el unico medidor de Venturi utilizado, existen diferentes tipos de medidores de Venturi usados a nivel científico e incluso industrial sin embargo todos basan su funcionamiento en el efecto Bernoulli y su semejanza con el caso presentado es indiscutible.
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Succión Muchos quizás hemos podido experimentar el fenómeno de succión a diario y sin darnos cuenta cuando tomamos una bebida por medio de una pajilla. Tanto éste, como el siguiente obtienen una explicación mediante el trasfondo del efecto Bernoulli. Consideremos un vaso plastico con un pequeño agujero en el fondo sobre una hoja de papel, al aspirar aire sobre el vaso provocaremos una corriente de aire sobre la superficie superior de la hoja, es decir un aumento de velocidad que consecuentemente producira una reducción en la presión de la misma, similar a la garganta en el medidor de Venturi. Debido a que en la parte inferior, la corriente de aire y por lo tanto la velocidad son mínimas, se presentará una diferencia de presión que empujará al vaso sobre nuestra boca, hay que aclarar que el papel queda adherido al vaso, por decirlo de alguna forma. Para el caso de la pajilla sucede algo parecido, solo que para éste hay que tener en cuenta las alturas y en teoría se transforma la ecuación del efecto Bernoulli, pero en causa sigue siendo la misma explicacón del ejemplo anterior.
Referencias [1] CENGEL Yunus, CIMBALA John, Mecánica de Fluidos Fundamentos y Aplicaciones, Mc Graw Hill. [2] SEARS Francis, ZEMANSKY Mark, YOUNG Hugh, FREEDMAN Roger, Física Universitaria, Vol I, 11 ed., Pearson. [3] SERWAY Raymond, JEWETT Jhon, Fisica para ciencias e Ingeniería, Vol I, 6a ed., Mc Graw Hill. [4] WILSON Jerry, College Physics, PEARSON, 2004. [2] Figura 1: tomada de http://www.speedace.info/pitot_tube.htm. [3] Figura 2: tomada de SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN , Física Universitaria, Vol I, Cap. 14, 11 ed., p.532, Pearson.
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