MOVIMIENTO ARMÓNICO
29 de agosto de 2008
Abstract In most of the objects of the universe are movements of different forms, one of these swings are, which are considered regular movements, where the object is moved from one side to another regarding their break-even point. These movements have different characteristics that fall into different classifications. In all cases the oscillatory movement can be modeled a system composed of a mass coupled with a spring. To make a proper analysis of this movement and the conditions that modify this, we realized differences experiences, which ranged mass of the object, the amplitude and spring’s elasticity constant. Finally, an analysis of data obtained with the help of DataStudio software, which showed that for this type of movement, it is necessary to consider the mass of the system and further that the frequency and period are independent of the scale, but depend on the values of the mass and the constant elasticity.
1.
INTRODUCCIÓN
Cualquier sistema que al presentar una perturbación de su punto de equilibrio vuelve a éste realizando oscilaciones sinusoidales o sinusoidales amortiguadas, recibe el nombre del oscilador armónico. Por ejemplo un reloj de cuerda o un radio. El tipo más sencillo de movimiento armónico es el movimiento armónico simple (MAS) y recibe su nombre debido a que sobre el sistema oscilatorio no actúan fuerzas disipativas y es producido por una fuerza restauradora que es directamente proporcional al desplazamiento y aplicada en la misma dirección pero de sentido opuesto. Se acostumbra a modelar este tipo de movimiento a través de un sistema masa-resorte, a continuación se muestra la deducción de la ecuación del movimiento armónico simple modelado como un sistema masaresorte dispuesto de forma vertical, y se presentan algunas relaciones básicas presentes en cualquier oscilador. Disponemos de un resorte con masa m y longitud l empotrado en el techo, de él se cuelga un bloque de masa M que lo desplaza una posición ∆l. Luego el 1
bloque se sube una distancia y por encima del punto de equilibrio y se libera nuevamente, provocando que el sistema oscile. Este movimiento tiene asociado una ecuación diferencial que puede ser deducida bien sea por métodos de energía o por la segunda ley de Newton. y¨ +
ms 3
k y=0 +M
(1)
La anterior ecuación diferencial del movimiento del sistema masa-resorte que considera al resorte con una masa significativa, presenta una solución que representa la posición del objeto dentro del sistema en un instante de tiempo t y es la siguiente x(t) = A sin(w0 t + φ)
(2)
Donde w0 es la frecuencia angular, para nuestro caso w0 =
q ms 3
k +M
. Otros
conceptos importantes relacionados con el movimiento oscilatorio son los siguiente: Amplitud (A), máxima magnitud del desplazamineotmedida desde el equilibrio. Frecuencia (f ), es el numero de ciclo por unidad de tiempo f = w0/2π. Período (T ), es el tiempo par realizar un ciclo T = caso partiicular de la ecución (1) es s 2π 2π T = =q k w0 1
= 2π
2π/w0
= 1/f , para el
1 3 mr
+m k
(3)
3 mr +m
2.
METODOLOGÍA DE DESARROLLO
Para analizar como cambia la ecuación del movimiento armónico variando la masa, la amplitud o la constante elástica del resorte se realizaron las siguientes tres pruebas a un sistema masa-resorte, dispuesto de la siguiente forma. Se fijo un soporte universal a la mesa de trabajo, sobre el cual se encontraba sujeto el sensor de fuerza y del mismo se suspendió el resorte y una canasta portadora de masas. Por debajo del sistema descrito y a una distancia adecuada se ubico el sensor de movimiento, el cual reposaba sobre una banco de madera. Antes de dar paso a la explicación del procedimiento realizado de variación de parámetros, hay que citar que para todos los resortes empleados se hallo de
2
manera experimental su respectiva constante elástica, poniendo a oscilar el sistema y por medio de la interfaz y el software DataStudio se graficó como variaba la fuerza con respecto a la posición en unos instantes de tiempo específico. Al gráfico obtenido se le realizó un ajuste lineal y por medio de la Ley de Hooke podemos afirmar que la pendiente obtenida es la constante elástica del resorte usado. Las constantes elásticas de los resortes empleados serán enunciadas una vez iniciado el respectivo análisis.
1) Variación de la amplitud manteniendo la constante elástica y la masa constante. Para esta etapa de la experiencia se dispuso una masa de 50g sobre la canasta N portadora de masas y se empleo el resorte de constante elástica 14 m una vez alcanzado el punto de equilibrio del sistema éste se desplazó una distancia x0 del punto de equilibrio y el sistema quedo oscilando por un tiempo determinado, mediante la interfaz y el software DataStudio se obtuvo el graficó de la posición con respecto al tiempo. Este procedimiento fue realizado en otras dos oportunidades con diferentes x0 y los resultado de todas la gráficas se observan el la figura 1. 2) Variación de la masa manteniendo la amplitud y la constante elástica constante. En ésta parte la de la experiencia se dispuso inicialmente una masa de 20g sobre la canasta portadora de masas y se empleo un resorte de constante elástica N 9,27 m y masa 19,6g una vez alcanzado el punto de equilibrio del sistema éste se desplazó una distancia x0 del punto de equilibrio y el sistema quedo oscilando por un tiempo determinado, mediante la interfaz y el software DataStudio se obtuvo el graficó de la posición con respecto al tiempo. Este procedimiento fue realizado en otras dos oportunidades aumentando en 5g la masa sobre la canasta por cada oportunidad y los resultado de todas la gráficas se observan el la figura 2.
3
3) Variación de la constante elástica manteniendo la amplitud y la masa constante. En ésta oportunidad se dispuso de una masa de 80g sobre la canasta portadora N y masa de masas y se empleo inicialmente un resorte de constante elástica 8,79 m 10,7g una vez alcanzado el punto de equilibrio del sistema éste se desplazó una distancia x0 del punto de equilibrio y el sistema quedo oscilando por un tiempo determinado, mediante la interfaz y el software DataStudio se obtuvo el graficó de la posición con respecto al tiempo. Este procedimiento fue realizado en otra N y masa 5,6g con oportunidad empleando un resorte de constante elástica 16,3 m igual masa sobre la canasta y un desplazamiento muy cercano a x0 por debajo de la posición de equilibrio para la primera oportunidad, los resultados de todas la gráficas se observan el la figura 3. Hay que apuntar que para todas las mediciones del desplazamiento inicial x0 del sistema no se tuvo control alguno mediante un instrumento de medición, además debido a la imprecisión humana para iniciar la toma de datos de forma adecuada el ángulo de fase es distinto para todas las experiencias.
Figura1
3.
Figura2
Figura3
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Variación de la amplitud Utilizando un sistema masa-resorte, se realizaron varias pruebas de un MAS, en las cuales se trabajaba con distintos valores de amplitud, lo que se lograba estirando a diferentes distancias el resorte, en su posición inicial, y donde se conservaban los valores de la masa y la k del resorte, así como la masa del objeto colgante. Con los datos obtenidos, se graficó el movimiento y se realizó un ajuste sinusoidal, que es el más acorde con el movimiento oscilatorio, como se muestra en la figura 1; además, con los datos empleados y los resultados obtenidos en el experimento se construyó la tabla 1. En esta experiencia, se analizaron las gráficas anteriores y se confrontó con la teoría correspondiente, por lo cual se pudo verificar, que el periodo y la frecuencia con que oscila un objeto, que se mueve en MAS, son independientes del valor de la amplitud que adquiera dicho cuerpo. Esto se verifica al considerar que, si se aumenta la elongación inicial del resorte, la fuerza restauradora será mayor, 4
Cuadro 1: Tabla 1 Ensayo 1 2 3
Color Morado Café Rojo
Amplitud (Cte) 0,05 0,03 0,03
Masa (g) Constante Constante Constante
K del resorte Constante Constante Constante
Período 0,55 0,56 0,55
por tanto el sistema adquirirá una mayor aceleración, lo cual hace que se realice este desplazamiento, en un periodo de tiempo determinado. Análogamente, si se considera una menor elongación inicial, se tiene una menor aceleración que reproduce el movimiento oscilatorio en un mismo periodo de tiempo, debido a que se presenta un menor desplazamiento. Aunque los valores obtenidos para el periodo no son exactos, se puede decir que este se mantuvo constante en los tres casos, debido a que la experiencia se realizó en un ambiente sometido a continuas variaciones, por ejemplo se observo que el resorte describía pequeños desplazamientos horizontales en algunos instantes, debido a la distribución de la masa en la cansata, los cuales pueden influir en la medición. Variación de la masa Para realizar un análisis de un sistema masa-resorte, es necesario considerar la masa del sistema completo, esto es considerar la masa del objeto colgante y la masa del resorte, en conjunto, lo cual permite desarrollar un modelo más real de la situación. Organizando los datos empleados para el experimento y los resultados obtenidos, se construyó la tabla 2. Debido a que en todos los ensayos se empleo el mismo resorte la masa del mismo se expresa mediante la constante M . De los resultados obtenidos se puede observar, que en un movimiento oscilatorio, Cuadro 2: Tabla 2 Ensayo 1 2 3
Color Rojo Azul Negro
Amplitud (Cte) 0,03 0,03 0,03
Masa (g) 20 + M 25 + M 30 + M
K del resorte (Cte) 9.27 9.27 9.27
Periodo 0,829 0,876 0,861
como el de un sistema masa-resorte, la masa es un parámetro que influye en la frecuencia y en el periodo del movimiento. También se nota, que para pequeños aumentos de la masa colgante, del orden de los 0.005kg, se presentan aumentos en el período de pequeña magnitud, lo cual confirma que ambas variables, masa y período, estan relacionados de forma estrecha, sin embargo nuestro rango de aumento de masas es muy limitado para construir por completo la generalizacion indicada en la ecuación (3). Variación de la constante elástica Al igual que en el caso anterior, hay que aclarar que la masa que cuelga de los resortes no es lo suficientemente mayor a la de los resorte, por tanto sería una ligereza no tomar en cuenta la masa de los resortes empleados. La tabla 5
3 muestra los datos de los elementos usados para cada oscilación, al igual que los datos obtenidos mediante el software DataStudio. Como se logra observar Cuadro 3: Tabla 3 Resorte 1 Resorte 2
Color de Gráfica Verde Morada
Masa Colgante(g) 50 50
Masa del resorte(g) 10,7 5,1
Constante elástica 8,79 16,3
de la figura 3 el período de la oscilación para el resorte 1 es menor que para los demás resortes, analicemos en que reside esto recordando la ecuación (3). Dicha expresión nos revela el período de un movimiento oscilatorio muy parecido al realizado en el laboratorio y mediante ella podemos comparar y determinar en que medida se ve afectado el período del oscilador al variar la masa y la constante de elasticidad del resorte. Es claro a partir de la ecuacion (3)que el período de oscilación del sistema depende de forma inversa de la raíz cuadrada de la constante elástica y de forma directa de la raíz cuadrada de la suma de la masa del bloque mas un tercio de la masa del resorte. Calculando las relaciones de los períodos de los dos sistemas obtenemos los siguientes resultados. T1 T2
=
0,4904 0,3544
Las anteriores relaciones concuerdan con lo encontrado en el laboratorio pues la gráfica del resorte 1 es más lenta que la gráfica del resorte 2. Sin embargo hallemos el error relativo porcentual entre los periodos experimentales y teóricos. E1 =
|0,49−0,471| 0,49
∗ 100 % = 3,87 %
E2 =
|0,354−0,345| 0,354
∗ 100 % = 2,25 %
Y obtenemos valores muy satisfactorios, por tanto podemos afirmar que al aumentar la constante y disminuir la masa del resorte, evidentemente el período del oscilador armónico disminuye. Estas variaciones en la masa y la constante elástica se consiguieron cortando el resorte por la mitad, hecho que explica la disminución de masa y recordando que la constante elástica depende en forma inversa de la longitud del resorte explicando de forma somera el aumento de la constante elástica.
4.
CONCLUSIONES
Por medio de las experiencias realizadas, con un sistema de masa-resorte oscilando bajo ciertas condiciones iniciales, estudiando los resultados obtenidos gráfica y analíticamente y confrontándolos con la teoría concerniente a este tipo de movimiento; se pudo verificar que, es de vital importancia considerar la masa del resorte, en el análisis de este movimiento, pues no es un valor irrelevante comparado con la masa colgante, y además, permite crear un modelo que se asemeje más a los movimientos oscilatorios presentes en la naturaleza. También 6
Período 0,471 0,345
se evidenció que en el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud, pero dependen del valor de la masa del sistema y de la constante de elasticidad que posea el resorte, como se presentó en el caso 3. De este último punto hay que resaltar que el período obtenido con el segundo resorte presenta una diferencia del teórico debido a que la constante de elasticidad propia del resorte es irregular ya que se vio afectada en el proceso de corte del resorte.
5.
BIBLIOGRAFÍA SEARS Francis, ZEMANSKY Mark, YOUNG Hugh, FREEDMAN Roger, Física Universitaria, Vol I, 11 ed., Pearson. SERWAY Raymond, JEWETT Jhon, Fisica para ciencias e Ingeniería, Vol I, 6 ed., Mc Graw Hill.
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