Lumpe, Gensichen: Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

BiP Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software Pr端fbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie

G端nter Lumpe, Volker Gensichen

Bauingenieur-Praxis

Inhaltsverzeichnis Vorwort Zum Gebrauch dieses Buches

1 Teil 1

Zehn einfache Prüfbeispiele zur Verifikation von Software-Ergebnissen

Beispiel 1

Einachsige Biegung mit Druck

11

Kragstütze mit aufgesetztem Koppelträger

Beispiel 2

Durchschlagprobleme – Analyse nach Th.II.O. unzulässig

16

Unsymmetrisches v. MISES-Fachwerk mit geringem Stichmaß

Beispiel 3

Doppelbiegung – ein simpler Fall?

20

Gabelgelagerter Einfeldträger mit Einzellasten Fy und Fz in Feldmitte

Beispiel 4

Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken Über vier Geschosse durchlaufende, planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-Richtung Beispiel 4a: Gabellagerung in jedem Geschoss

Beispiel 5

26

Beispiel 4b: Gabellagerung nur an den Enden der Stütze

26 29

Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebene und senkrecht zur Ebene

33

Ebenes Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen Knoten

Beispiel 6

Biegedrillknicken ohne Normalkraft – ein Standard-Beispiel aus der Literatur

37

Gabelgelagerter Einfeldträger mit Streckenlast und sinusförmiger Vorkrümmung

Beispiel 7

Biegedrillknicken mit Normalkraft

40

Abgespannter Träger mit Kragarm Beispiel 7a: Anschluss der Abspannung im Schwerpunkt Beispiel 7b: Anschluss der Abspannung am Obergurt

Beispiel 8

Zustandslinien der Torsionsmomente – Verlauf an Lasteinleitungspunkten Tordierter Balken mit Längs- und Querlasten

47

VIII

Inhaltsverzeichnis

Beispiel 9

Torsion wölbfreier Querschnitte – für Software unerwartet problematisch

50

Tordierter Kragträger

Beispiel 10

Wie genau wird die nichtlineare Verformungsgeometrie erfasst?

Zwei Prüfbeispiele mit ebener Beanspruchung Beispiel 10a: Biegeträger mit beidseitig unverschieblichen Lagern Beispiel 10b: Kragträger mit Lastmoment am freien Ende

53 53 55

Teil 2 Nichtlineare Stabtheorie großer Verformungen bei räumlicher Beanspruchung Theoretische Grundlagen und weitere Prüfbeispiele 1

Einleitung

2

Theorie II. und III. Ordnung – die großen Missverständnisse

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Vorbemerkungen Verformungsgeometrie Gleichgewicht am verformten System Einfluss der Normalkraft auf die Verdrillung Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion und der sekundären Schubverformungen Asymptotisches Verhalten und Genauigkeit Durchschlagprobleme Allgemeines Beispiel: Stahlträger einer pagodenförmigen Kuppel Klassifizierung Superposition Theorie III. Ordnung DIN 18800 / EC3: Nachweis am Gesamtsystem Zusammenfassung

2.6 2.7 2.7.1 2.7.2 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12

61

62 63 64 66 68 72 75 75 80 83 86 86 88 90

Inhaltsverzeichnis

3

Torsionstheorie II. Ordnung: Wölbkrafttorsion mit Normalkraft

3.1 3.2 3.3 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.5.1 3.5.5.2 3.5.5.3 3.5.5.4

Vorbemerkungen Erläuterung der Problematik an einem Beispiel Herleitung des Torsionsmomenten-Anteils MxN Klärung für den Sonderfall ϑ ′ = const Belastung durch MT und N (inhomogener Fall) Drillknicken (homogener Fall) Spannungen Baustatische Relevanz Allgemeiner Fall ϑ ′ ≠ const Problemstellung Übergangsbedingungen an Lasteinleitungsstellen innerhalb eines Trägers Bedingungen am Rand eines Trägers Einleitung von MT bzw. Fx : Zusammenfassung Drillknicken DK-Last des beidseitig gabelgelagerten Trägers Abgrenzung Drillknicken / Biegeknicken (DK / BK) Einfluss des Wölbwiderstands auf die Drillknicklast Last-Verdrillungskurven und asymptotisches Verhalten

4

Torsionstheorie großer Verformungen

4.1 4.2 4.2.1 4.2.2

Vorbemerkungen Helix-Torsion: der Schraubenlinien-Effekt Geometrie der Schraubenlinie (Helix) Helix-Normalspannungen σxH und Helix-Torsionsmoment MxH Ermittlung der Helix-Flächenmomente Helix-Schubspannungen τxH Torsion mit Normalkraft: Sonderfall ϑ ′ = const Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken Verformungen und Zustandslinien Last-Verdrillungskurven Analytische Lösung Ausnutzungsgrad des Querschnitts und baustatische Relevanz Torsion mit Normalkraft: allgemeiner Fall ϑ ′ ≠ const Gleichgewicht, Differenzialbeziehung, Drillknicken

4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4 4.4.1

IX

92 93 95 98 98 101 102 103 104 104 105 108 108 109 109 110 115 117

118 118 118 120 124 127 129 129 132 132 136 142 147 147

X

4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.5 4.5.1 4.5.2

Inhaltsverzeichnis

Zustandslinien Last-Verdrillungskurve Spannungen und Querschnittsausnutzung Analogiebetrachtungen zu MxN und MxH an zwei „Makro-Systemen“ Analogiebetrachtung zu MxN Analogiebetrachtung zu MxH

5

Allgemeine Stabtheorie großer räumlicher Verschiebungen und Drehungen

5.1 5.2 5.3 5.3.1

Vorbemerkungen Grundlagen und Annahmen Kinematik des Stabraums Annahmen und Voraussetzungen zur Beschreibung der Deformation Klassische Kinematik: Drehung mit „Winkelgrößen“ Rotation um eine schiefe Raumachse Rotation um raumfeste Koordinatenachsen Rotation um Folgeachsen (Kardanwinkel) Semitangentiale Drehungen Bewertung der Verwendung von „Winkelgrößen“ Drehungen, ausgedrückt durch Verschiebungen Basisvektoren und Ableitungen Drehtensor Potenzial des elastischen Stabes Einführung von Relativ- und Gesamtkinematen Verschiebungsansatz Dehnungs- und Verzerrungsmaß Allgemeine Herleitung für den Stabraum Vergleich mit den „Ingenieurdehnungen“ Elastizitätsgesetz Potenzial der inneren Kräfte Potenzialanteil aus Längsdehnungen: Π1i Darstellung der Potenzialterme aus Längsdehnungen Potenzialanteil aus Schubverzerrungen: Π i2 Elementkräfte und Element-Steifigkeitsmatrizen (Relativkinematik) Variation (Ableitung) nach Relativkinematen Transformation der Relativkinematen auf Gesamtkinematen

5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.3.2.4 5.3.2.5 5.3.3 5.3.3.1 5.3.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.3.1 5.4.3.2 5.4.4 5.4.5 5.4.5.1 5.4.5.2 5.4.5.3 5.5 5.5.1 5.5.2

147 150 154 158 158 162

166 167 169 169 170 171 177 178 179 179 180 182 183 184 184 186 188 188 192 193 194 194 196 202 204 204 205

Inhaltsverzeichnis

5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.2.1 5.6.2.2 5.6.3 5.7 5.7.1 5.7.2 5.7.3 5.7.4 5.7.4.1 5.7.4.2 5.8 5.8.1 5.8.2 5.8.3 5.8.3.1 5.8.3.2 5.8.3.3 5.9 5.9.1 5.9.2 5.9.3 5.10 5.10.1 5.10.1.1 5.10.1.2 5.10.1.3 5.10.2 5.10.3

Gesamtstruktur und globales Gleichgewicht Gelenke und lokale Randbedingungen für Verwölbungen Transformation von Komponenten auf globale Basen Transformation von Knotenverschiebungen u, v, w Transformation von Knotendrehgrößen w2 , u3 , u2 Globales Gleichgewicht und Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems Beispiel: St. VENANT-Torsion mit Normalkraft Allgemeines Verschiebungen und Verzerrungen des Stabes Verschiebungen und Verzerrungen bei St. VENANT-Torsion Gleichgewicht nach der energetischen Methode Potenzialanteil und Variation aus Längsdehnungen Potenzialanteil und Variation aus Schubverzerrungen Beispiel: Große Drehung einer Federplatte Potenzial und Gleichgewicht Berechnung der Momente: direkte Methode Berechnung der Momente über „Winkelgrößen“ Berechnung der „Drehwinkel“ Kontrolle der Drehmatrix T Ermittlung der Momente Zur Einleitung von Momenten mit richtungstreuer bzw. zirkulatorischer Charakteristik Änderung des Potenzials der äußeren Kräfte Beispiel zur Variation des Potenzials gem. 5.9.1 Beispiel: Kragträger mit zirkulatorischer bzw. nicht-zirkulatorischer Last Praktische Anwendungsbeispiele Durchlaufträger mit Doppelbiegung Systeme und Belastung Ergebnisse für System 1 (3 Gabellager) Ergebnisse für System 2 (2 Gabellager) Balken mit Kragarm und exzentrischer Einzellast Schlussfolgerungen aus den Beispielen

6

Einfluss der Güte der Stabtheorie auf das Konvergenzverhalten

6.1 6.2 6.3

Einführung Potenzial für einachsige Biegung mit Druck Lineare Kräfte und Steifigkeitsmatrix

XI

205 205 206 207 207 208 208 208 209 210 213 213 217 218 219 220 222 222 222 223 225 226 227 230 232 232 232 234 241 243 249

251 252 252

XII

6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3

Inhaltsverzeichnis

253 254 255

6.5

Nichtlineare Kr채fte und Steifigkeitsmatrix Variante 1: Ber체cksichtigung aller Terme, v linear Variante 2: ohne Terme 4. Ordnung, v linear Variante 3a: ohne Terme 4. Ordnung, v linear, N konstant Variante 3b: ohne Terme 4. Ordnung, v kubisch, N konstant Konvergenzverhalten und Bewertung

7

Zusammenfassung und Ausblick

260

6.4.4

256 257 258

Literatur und EDV-Programme

263

Sachverzeichnis

268

Beispiel 4 Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – Biegeknicken nach zwei Richtungen, Drillknicken Über vier Geschosse durchlaufende, planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze mit unterschiedlichen Randbedingungen in y- und z-Richtung

Beispiel 4a:

Gabellagerung in jedem Geschoss

Aufgabenstellung Für die in Bild 4.1 dargestellte Stütze mit einer planmäßigen zentrischen Druckkraft von 1550 kN sollen die extremalen Verformungen und Schnittgrößen ermittelt werden. Die zusätzlich zu berücksichtigenden äquivalenten geometrischen Ersatzimperfektionen in Form von Ersatzlasten sind in Bild 4.1 bereits angegeben.

Anmerkungen zu den Imperfektionsannahmen und den Eigenformen Art und Richtung der Ersatzimperfektionen ergeben sich aus dem Verlauf der Eigenformen infolge der planmäßig zentrischen Belastung (homogener Fall). Hier werden – zur Vereinfachung von Vergleichsberechnungen – keine Vorkrümmungen, sondern äquivalente Ersatzkräfte angesetzt.

Da die ersten beiden Eigenwerte (Biegeknicken: BK (z-z), BK (y-y)) sehr dicht beieinander liegen, sind beide zugehörigen Eigenformen bei den Imperfektionsannahmen zu berücksichtigen.

Die Vorkrümmungen werden hier in Anlehnung an die Stahlbaunormen pauschal mit einem Stich e0 = L/200 angesetzt und in äquivalente Ersatzkräfte F (Fy bzw. Fz) umgerechnet:

N e0 = N

N L F L 1550 = ± ⇒ F = Fy = Fz = ± = ± = ± 31 kN 200 4 50 50

Die ungünstige Richtung der Ersatzkräfte ergibt sich aus dem Verlauf der Eigenformen v und w .

Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software. Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. 1. Auflage.

Günter Lumpe, Volker Gensichen © 2014 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published 2014 by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.

27

Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – BK nach zwei Richtungen, DK

Imperfektionen zur Berücksichtigung der 3. Eigenform (Drillknicken: DK, s.

Bild 4.1) dürfen hier wegen des großen Abstands des DK-Eigenwertes zur Knicklast BK (z-z) vernachlässigt werden. Im Zweifelsfall muss diese Annahme durch Vergleichsberechnungen überprüft werden (s. Beispiel 4b).

1.

Fx

Fx = 1550 kN

v ℓz = 3,00 m

3,00 m Fz =

Eigenformen: 2.

3.

w

ϑ

31

31

L = ℓy = 12,00 m

31 kN

x

3,00 m

31

3,00 m

Fy = 31 kN

z, w H 400/180/10/14 , S 355 (Querschnittswerte s. Tab. 1.1) fyd = 35,5/1,1 = 32,3 kN/cm2 Steifigkeiten NICHT abgemindert Eigengewicht vernachlässigt

y, v

1. Ncr (BK z-z) = 3141 kN 2. Ncr (BK y-y) = 3321 kN 3. Ncr (DK) = 5490 kN

Bild 4.1 Planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze über n Geschosse (mit Ersatzlasten), in jedem Geschoss gabelgelagert

Ergebnisse Die extremalen Schnittgrößen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W (s. Tab. II/2.4) und nach der genauen Stabtheorie sowie die Fehler der Ergebnisse nach Th.II.O. sind in der Tab. 4.1 zusammengestellt.

28

Beispiel 4a

Baustatische Relevanz Die Sicherheit gegen BDK ist mit αcr = 2,03 vorhanden. Mit den Schnittgrößen nach Th.II.O.-3W beträgt die plastische Querschnittsausnutzung nach dem TSV 100 %, mit den exakten Größen liegt sie etwas darüber.

Im Gebrauchszustand (1/1,35-faches Lastniveau) ergeben sich maximale Verschiebungen von ℓy /420 bzw. ℓz /460 sowie eine maximale Torsionsverdrehung ϑ = 0,13°. Somit ist die baustatische Relevanz gegeben.

Tab. 4.1

Extremale Verformungen und Schnittgrößen (zu Bild 4.1) 1

an der Stelle 1) x≈...m

max bzw. min

2

Th.I.O.

2)

3

4

5

Th.II.O.3W

exakt

Fehler

1

v

(cm)

7,5

0,609

1,21

1,26

-4 %

2

w

(cm)

6,0

2,30

4,29

4,52

-5 %

3

My

93

159

163

8,1

13,8

14,1

23,3

42,7

44,0

15,4

28,2

29,0

0,715

1,44

2,5

4,9

4 5 6 7 8 9

⇒ σx Mz ⇒ σx

(kNm) (kN/cm2) (kNm) 2

(kN/cm )

Mω (kNm2) ⇒ σx (kN/cm2)

6,0 4,5 7,5

0

(mrad)

7,5

0

5,88

11,75

(mrad/cm)

6,0

0

0,0646

0,129

6,0

0

24

47

0,7

1,5

3,0

0

-88

-172

0,14

0,27

ϑ

10

ϑ′

11

Mxp

12

(kNcm)

14

⇒ τp Mxs ⇒ τs

15

MxN

(kNcm)

6,0

–

-28

-56

16

MxH

(kNcm)

6,0

–

–

≈0

13

(kNcm) 2

(kN/cm )

(kN/cm2)

6 3)

-2 % -3 %

≈ -50 %

Anmerkung

für die Nachweise maßgebende Größen

für die Nachweise vernachlässigbare Größen

–

1) Die maßgebenden Stellen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W und exakter Berechnung stimmen nicht immer genau überein.

2) Zu den Sp. 3 und 4 zugehörige Werte der Th.I.O. 3) Wahrer relativer Fehler der Th.II.O.-3W

Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – BK nach zwei Richtungen, DK

29

Verweis auf den theoretischen Hintergrund und ähnliche Beispiele Siehe Abschn. II/3.5.5.

Kurzkommentar Bei diesem Beispiel spielt die Torsionsbeanspruchung eine untergeordnete Rolle. Deshalb sind die Abweichungen der Ergebnisse nach Th.II.O.-3W bei den für die Bemessung maßgebenden Größen gering (≤ 5 % auf der unsicheren Seite); eine Analyse nach dieser Theorie ist hier also unter baupraktischen Aspekten unbedenklich.

Als störende Begleiterscheinung ist jedoch zu werten, dass die (für die Bemessung unerheblichen) Torsionsgrößen nach Th.II.O. ungefähr um den Faktor 1/2 zu gering ausfallen. Dies kann beim Anwender zu Verunsicherungen hinsichtlich der Bewertung der Software-Ergebnisse führen.

Beispiel 4b:

Gabellagerung nur an den Enden der Stütze

Aufgabenstellung Die Stütze mit den gegenüber dem Beispiel 4a veränderten Randbedingungen ist in Bild 4.2 dargestellt. Sie wird durch eine planmäßig zentrische Druckkraft von 1140 kN beansprucht. Die zusätzlich zu berücksichtigenden äquivalenten geometrischen Ersatzimperfektionen in Form von Ersatzlasten sind in Bild 4.2 bereits angegeben.

Gesucht sind die extremalen Verformungen und Schnittgrößen.

Anmerkungen zu den Imperfektionsannahmen und den Eigenformen Es gelten die zu Beispiel 4a angestellten Überlegungen sinngemäß. Aus der Stabilitätsanalyse ergibt sich, dass das DK maßgebend wird (Bild 4.2, 1. Eigenform) und entsprechende Imperfektionen (hier: ErsatzTorsionsmoment MT) zu berücksichtigen sind.

Für die Berechnung dieser Imperfektionen sind keine verbindlichen Angaben bekannt. Hier wird (mit e0 = L/200, s. Beispiel 4a; mehr oder weniger willkürlich) ein Ersatz-Torsionsmoment

N ϑ 1140 1200 ± ⋅ = ± ⋅ = ± 22,8 kN ⋅ 6 cm = ± 137 kNcm MT = 50 200 50 200

30

Beispiel 4b

angesetzt (mit ℓϑ = ℓy = 12,00 m); es ist gemäß dem Verlauf der 1. Eigenform in Feldmitte anzusetzen.

Fx = 1140 kN

1.

Fx

ϑ ℓz = 3,00 m

3,00 m Fz =

23 kN

v

w

23

23

L = ℓy = 12,00 m

x

Eigenformen: 2.

3.

MT = 137 kNcm 3,00 m

23

3,00 m

Fy = 23 kN

z, w H 400/180/10/14 , S 355 (Querschnittswerte s. Tab. 1.1) fyd = 35,5/1,1 = 32,3 kN/cm2 Steifigkeiten NICHT abgemindert Eigengewicht vernachlässigt

y, v

1. Ncr (DK) = 1569 kN 2. Ncr (BK z-z) = 3141 kN 3. Ncr (BK y-y) = 3321 kN

Bild 4.2 Planmäßig zentrisch beanspruchte Stütze über n Geschosse (mit Ersatzlasten), nur an den Enden gabelgelagert

Mit dieser Ersatzbelastung wird zwar die maßgebende Asymptote der LastVerschiebungskurve erzwungen; zusätzlich ist es jedoch erforderlich, den Einfluss des Biegeknickens (2. und 3. Eigenform) zu berücksichtigen, auch wenn die zugehörigen BK-Lasten ungefähr doppelt so groß wie der DKEigenwert sind. Dies wird – ohne weitere Vergleichsberechnungen – an den Vergrößerungsfaktoren V für Biegeknicken deutlich:

Planmäßig zentrische Druckbeanspruchung – BK nach zwei Richtungen, DK

31

1 = 1,52 1 − 1140 / 3321 1 V= ( BK z − z ) = 1,57 1 − 1140 / 3141 V= ( BK y − y )

Die horizontalen Ersatzkräfte Fy und Fz werden wie in Beispiel 4a angesetzt; sie ergeben sich mit N = 1140 kN zu:

N 1140 Fy = Fz = ± = ± = ± 23 kN 50 50 Ergebnisse Die extremalen Schnittgrößen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W und nach der genauen Stabtheorie sowie die Fehler der Ergebnisse nach Th.II.O. sind in der Tab. 4.2 zusammengestellt.

Baustatische Relevanz Die Sicherheit gegen BDK ist mit αcr = 1,38 vorhanden. Die plastische Querschnittsausnutzung nach dem TSV beträgt mit den Schnittgrößen nach Th.II.O.-3W 79 %, mit den exakten Größen liegt sie etwas darunter. (Eine geringfügige Laststeigerung führt zu einem Torsionsdrehwinkel ϑ > 0,3 und damit zu einem Abbruch der Berechnungen nach Th.II.O.-3W mit dem Programm P2.)

Die Verschiebungen im Gebrauchszustand (1/1,35-faches Lastniveau) sind mit einer Größenordnung von ℓ/700 sehr gering. Allerdings ist die Torsionsverdrehung mit ϑ = 128 mrad (7,3°) beträchtlich und dürfte nicht in allen Fällen akzeptabel sein.

Verweis auf den theoretischen Hintergrund und ähnliche Beispiele Siehe Abschn. II/3.5.5.

Kurzkommentar Wegen der in den Zwischengeschossen weggefallenen Torsionslager sinkt die Instabilitätslast (DK ist maßgebend) gegenüber Beispiel 4a ungefähr auf die Hälfte ab; entsprechend gering ist die aufnehmbare Belastung.

Bei diesem Beispiel ist die Torsionsbeanspruchung – anders als im Beispiel 4a – nicht mehr von untergeordneter Bedeutung. Die Biege- und die Torsionsgrößen liefern jeweils Spannungen in der gleichen Größenordnung.

32

Beispiel 4b

Mit Fehlern der (vergleichsweise hochwertigen) Th.II.O.-3W zwischen -17 % und +18 % bei den bemessungsbestimmenden Größen ergibt sich ein deutlicher Hinweis auf die begrenzten Anwendungsmöglichkeiten dieser Theorie. Die Abweichungen liegen teils auf der sicheren, teils auf der unsicheren Seite. Infolge der „glättenden“ Wirkung des Interaktionsnachweises schlagen die Fehler der Einzelgrößen nicht voll auf den Tragsicherheitsnachweis durch. Dennoch überschreiten die Fehler der Einzelgrößen auch unter baupraktischen Aspekten zumindest im Stahlbau die Grenze des Tolerierbaren.

Tab. 4.2

Extremale Verformungen und Schnittgrößen (zu Bild 4.2) 1

an der Stelle 1) x≈...m

max bzw. min

2

Th.I.O.

2)

3

4

5

Th.II.O.3W

exakt

Fehler

6 3)

1

v

(cm)

10,5

-0,452

-0,760

-0,788

-4 %

2

w

(cm)

6,0 / 6,9

1,71

2,59

3,11

-17 %

69,0

105

108

6,0

9,1

9,4

-17,25

-33,4

-28,3

11,4

22,0

18,7

1,16

2,79

2,96

4,0

9,6

10,1

80,8

290

305

-0,177

-0,740

-0,782

-64,5

-270

-285

2,0

8,4

8,9

68,5

113

119

0,1

0,2

0,2

–

235

249

–

–

-11

3

(kNm)

5

My ⇒ σx Mz

6

⇒ σx

7

Mω (kNm2) ⇒ σx (kN/cm2)

4

8 9 10

ϑ ϑ′

2

(kN/cm ) (kNm) 2

(kN/cm )

7,5

6,0

(mrad) (mrad/cm)

12,0

11

Mxp

12

(kNcm)

14

⇒ τp Mxs ⇒ τs

15

MxN

(kNcm)

16

MxH

(kNcm)

13

6,0

(kNcm) (kN/cm2)

2

(kN/cm )

6,0 12,0

Anmerkung

-3 % 18 %

für die Nachweise maßgebende Größen

-5 % bis -6 %

–

für die Nachweise vernachlässigbare Größen

1) Die maßgebenden Stellen nach Th.I.O., Th.II.O.-3W und exakter Berechnung stimmen nicht immer genau überein.

2) Zu den Sp. 3 und 4 zugehörige Werte der Th.I.O. 3) Wahrer relativer Fehler der Th.II.O.-3W

Beispiel 5 Gekoppelte Beanspruchung in der System-Ebene und senkrecht zur Ebene Ebenes Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen Knoten

Aufgabenstellung Das in Bild 5.1 dargestellte Rautenfachwerk mit biege- und torsionssteifen Knoten wird planmäßig durch die Last Fz im senkrecht zur System-Ebene nicht gehaltenen Knotenpunkt 2 beansprucht. Als Ersatzimperfektion wird an diesem Knoten zusätzlich eine Last Fy = 0,2 kN berücksichtigt.

Gesucht sind die Normalkräfte, die Verschiebung v2 am Knoten 2 senkrecht zur System-Ebene sowie die Kraft-Verschiebungskurve für v2 (Fz = variabel, Fy = 0,2 kN = const).

Fz = 24 kN

Stäbe 1–4: IPE 300

2

2

3,00 1

3,00

= 0,2 kN

2

1

z

5

x

Fy

3

QRo 120 x 5

3

y

z

4 4

6,00 m

6,00 m

4

S 355 , fyd = 36/1,1 = 32,7 kN/cm2

Steifigkeiten mit γM = 1,1 abgemindert Eigengewicht vernachlässigt

Bild 5.1 System und Belastung

Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software. Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. 1. Auflage.

Günter Lumpe, Volker Gensichen © 2014 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published 2014 by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.

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Stand: März 2014 (homepage_Probekapitel)