B. Ströbele · Modellierung von Unschärfe in Ökobilanzen von Bauwerken
µM
Bild 3. Mathematische Modellierungsmethoden zu unscharfen Daten [11] Fig. 3. Mathematical modeling methods for fuzzy data [11]
Form, dass die Emissionsmenge aus dem Prozess als „sehr hoch“ beschrieben wird. Unsicherheiten werden in der Regel mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen dargestellt und mit statistischen Methoden modelliert. Ein grundlegender Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Fuzzy-SetTheorie besteht darin, dass bei den Fuzzy-Sets keine Begrenzungen der Fläche gemacht werden. Dies steht im Gegensatz zu den Wahrscheinlichkeitsverteilungen, für welche die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer gleich 1 ist. Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Summe aus zwei wahrscheinlichkeitstheoretischen Zufallsgrößen über ein Faltungsintegral und die Summe aus zwei Fuzzy-Zahlen (unscharfe Zahlen) mit dem Erweiterungsprinzip zu bestimmen ist. Eine weiterführende Diskussion über die Unterschiede der beiden Theorien findet sich in [8] und [9]. Ein Ansatz für die Transformation von Fuzzy-Sets zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen findet sich in [10]. Ein Vorteil der Fuzzy-Set-Theorie liegt nach [7] darin, dass eine einheitliche Behandlung von Unsicherheit, Impräzision und Vagheit erlaubt wird (Bild 3). Darüber hinaus sind für die Darstellung von Unsicherheiten mit FuzzySets im Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitstheorie wenige Annahmen über die Daten notwendig und in Relation zu den Intervallen ist eine detaillierte Darstellung von Impräzision möglich.
Die Arithmetik der Fuzzy-Set-Theorie basiert auf dem Erweiterungsprinzip nach [12]. Mit diesem Erweiterungsprinzip können arithmetische Operationen auf unscharfe Zahlen und Intervalle erweitert werden. Ein Fuzzy-Intervall oder eine Fuzzy-Zahl stellen spezielle Fuzzy-Mengen dar. Eine normalisierte, konvexe Fuzzy-Menge, deren Zugehörigkeitsfunktion μ(x) stückweise stetig ist, wird als Fuzzy-Intervall definiert [13]. Der Unterschied zur FuzzyZahl besteht darin, dass im Gegensatz zum Fuzzy-Intervall nur ein Gipfelpunkt mit dem Zugehörigkeitsgrad gleich 1 besteht. Auf der Grundlage der LR-Repräsentation nach [14] wurden die erweiterten arithmetischen Operationen aufgestellt. Eine Fuzzy-Zahl M vom Typ L-R nach [14]
(
()
)
LR
(1)
wird beschrieben durch den Gipfelwert m sowie α als linke Spannweite und β als rechte Spannweite. Mit der Zugehörigkeitsfunktion
(2)
besteht die L-R-Repräsentation nach [14] und die FuzzyZahl ist mit den Referenzfunktionen L (für die linke Spannweite) und R (für die rechte Spannweite) vom Typ L-R. Die Addition und Subtraktion von zwei Fuzzy-Zahlen MLR und NLR ist mit den Formeln
( ) ⊕ ( n, γ , δ ) = ( m + n, α + γ , β + δ )
MLR ⊕ NLR = m, α, β
LR
(3)
LR
LR
und
( ) ( n, γ , δ ) = ( m − n, α + γ , β + δ )
MLR NLR = m, α, β
LR
(4)
LR
LR
möglich [14]. Eine Fuzzy-Zahl heißt nach [14] positiv, falls für die Zugehörigkeitsfunktion
()
µ M x = 0,
∀x < 0
(5)
gilt und negativ, falls
()
µ M x = 0,
∀x > 0
(6)
gilt. Diese Unterscheidung ist für die Multiplikation zweier Fuzzy-Zahlen notwendig. In [15] wird anschaulich dargestellt, dass daraus im Allgemeinen keine Fuzzy-Zahl (eine Dreiecks-Form) mehr resultiert. Um dem Bestreben nachzukommen, dass weiter einfache Rechenoperationen angewendet werden können, bestehen mit
(
MLR NLR ≈ m, α, β
(
)
LR
≈ mn, mγ + nα, mδ + nβ
5 Fuzzy-Sets
MLR = m, α, β
m − x für x ≤ m, α > 0 L α x = R x − m für x ≥ m, β > 0 β
(
n, γ , δ
)
LR
)
LR
für MLR > 0 ∧ NLR > 0
(
MLR NLR ≈ mn, − nβ − mδ, − nα − mγ
)
LR
für MLR < 0 ∧ NLR < 0
(8)
(
MLR NLR ≈ mn, nα − mδ, nβ − mγ
)
LR
(9)
für MLR < 0 ∧ NLR > 0 und
(
MLR NLR ≈ mn, mγ − nβ, mδ − nα
)
LR
für MLR > 0 ∧ NLR < 0
(10)
Näherungsformeln [14]. Nachfolgend sollen lediglich FuzzyZahlen mit einem Gipfelwert zur Anwendung kommen. Weitere Operationen für Fuzzy-Zahlen und für Fuzzy-Intervalle als besondere Form einer Fuzzy-Zahl mit zwei Gipfelwerten finden sich in [14] und [13].
Bauphysik 38 (2016), Heft 1
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