INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS VORWORT I
EINFÜHRUNG
1
AUFGABE UND ABGRENZUNG DER BAUSTATIK 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
ALLGEMEINES GRUNDLAGEN DER BAUSTATIK BAUSTATISCHE VERFAHREN BAUSTATIK UND BAUDYNAMIK BAUSTATIK UND KONSTRUKTION
2
GESCHICHTLICHER HINTERGRUND
II
GRUNDLAGEN
3
PROJEKTIERUNG VON TRAGWERKEN 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
4
ALLGEMEINES TRAGWERKSENTWURF NUTZUNGSVEREINBARUNG UND PROJEKTBASIS ZUSAMMENFASSUNG AUFGABEN
TRAGWERKSANALYSE UND BEMESSUNG 4.1 ALLGEMEINES 4.2 EINWIRKUNGEN 4.2.1 Einwirkungen und Auswirkungen 4.2.2 Einwirkungsmodelle und repräsentative Werte 4.3 TRAGWERKSMODELL 4.4 GRENZZUSTÄNDE 4.5 BEMESSUNGSSITUATIONEN UND LASTFÄLLE 4.6 NACHWEISE 4.6.1 Nachweiskonzept 4.6.2 Bemessungswerte 4.6.3 Nachweis der Tragsicherheit 4.6.4 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit 4.7 BEMERKUNGEN 4.8 HINWEISE ZUR STATISCHEN BERECHNUNG 4.9 HINWEISE ZUM TECHNISCHEN BERICHT 4.10 ZUSAMMENFASSUNG 4.11 AUFGABEN
5
STATISCHE BEZIEHUNGEN 5.1 KRÄFTESYSTEME UND GLEICHGEWICHT 5.1.1 Grundbegriffe 5.1.2 Kräftesysteme 5.1.3 Gleichgewicht 5.1.4 Standfestigkeit 5.1.5 Lager 5.1.6 Gelenke
1 1 1 2 3 3 5
9 9 9 12 22 23 25 25 25 25 26 27 27 28 28 28 29 30 30 31 32 34 35 35 37 37 37 38 39 39 41 44
INHALTSVERZEICHNIS
5.1.7 Schnittgrössen 5.2 SPANNUNGEN 5.2.1 Grundbegriffe 5.2.2 Einachsiger Spannungszustand 5.2.3 Ebener Spannungszustand 5.2.4 Räumlicher Spannungszustand 5.3 DIFFERENTIELLE TRAGWERKSELEMENTE 5.3.1 Gerade Stäbe 5.3.2 In einer Ebene gekrümmte Stäbe 5.4 ZUSAMMENFASSUNG 5.5 AUFGABEN 6
KINEMATISCHE BEZIEHUNGEN 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
7
GRUNDBEGRIFFE EBENER VERFORMUNGSZUSTAND RÄUMLICHER VERFORMUNGSZUSTAND ZUSAMMENFASSUNG AUFGABEN
WERKSTOFFBEZIEHUNGEN 7.1 GRUNDBEGRIFFE 7.2 LINEAR ELASTISCHES VERHALTEN 7.3 IDEAL PLASTISCHES VERHALTEN 7.3.1 Einachsiger Spannungszustand 7.3.2 Räumlicher Spannungszustand 7.3.3 Fliessbedingungen 7.4 ZEITABHÄNGIGES VERHALTEN 7.4.1 Schwinden 7.4.2 Kriechen und Relaxation 7.5 TEMPERATURVERFORMUNGEN 7.6 ERMÜDUNG 7.6.1 Allgemeines 7.6.2 S-N-Diagramme 7.6.3 Schadensakkumulation unter Betriebslasten 7.7 ZUSAMMENFASSUNG 7.8 AUFGABEN
8
ENERGIEVERFAHREN 8.1 EINFÜHRENDES BEISPIEL 8.1.1 Statisch bestimmtes System 8.1.2 Statisch unbestimmtes System 8.1.3 Arbeitsgleichung 8.1.4 Bemerkungen 8.2 VARIABLEN UND OPERATOREN 8.2.1 Einleitung 8.2.2 Ebene Stabtragwerke 8.2.3 Räumliche Stabtragwerke 8.2.4 Ebener Spannungszustand 8.2.5 Ebener Verzerrungszustand 8.2.6 Platten
45 48 48 48 50 52 57 58 59 65 66 69 69 70 73 75 76 77 77 79 81 81 82 84 89 90 90 94 94 94 94 96 98 99 101 101 101 103 105 105 106 106 108 110 112 114 114
INHALTSVERZEICHNIS
8.2.7 Dreidimensionale Kontinua 8.2.8 Bemerkungen 8.3 PRINZIP DER VIRTUELLEN ARBEITEN 8.3.1 Virtuelle Kraft- und Verformungsgrössen 8.3.2 Prinzip der virtuellen Verformungen 8.3.3 Prinzip der virtuellen Kräfte 8.3.4 Bemerkungen 8.4 ELASTISCHE SYSTEME 8.4.1 Hyperelastische Werkstoffe 8.4.2 Konservative Systeme 8.4.3 Linear elastische Systeme 8.5 NÄHERUNGSVERFAHREN 8.5.1 Einleitung 8.5.2 Verfahren von RITZ 8.5.3 Verfahren von GALERKIN 8.6 ZUSAMMENFASSUNG 8.7 AUFGABEN
117 118 118 118 118 119 119 121 121 123 130 134 134 134 138 139 140
III LINEARE STATIK DER STABTRAGWERKE 9
AUFBAU VON STABTRAGWERKEN 9.1 ALLGEMEINES 9.2 TRAGWERKSMODELLIERUNG 9.3 DISKRETISIERTES TRAGWERKSMODELL 9.3.1 Beschreibung des statischen Systems 9.3.2 Knotengleichgewicht 9.3.3 Statische Bestimmtheit 9.3.4 Kinematische Herleitung der Gleichgewichtsmatrix 9.4 ZUSAMMENFASSUNG 9.5 AUFGABEN
10
KRAFTGRÖSSENERMITTLUNG
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11
143 143 143 146 146 147 148 149 153 153 155
ALLGEMEINES BETRACHTUNG AUSGEWÄHLTER SCHNITTKÖRPER KNOTENGLEICHGEWICHT KINEMATISCHE METHODE ZUSAMMENFASSUNG AUFGABEN
155 156 160 162 165 165
SCHNITTGRÖSSEN UND ZUSTANDSLINIEN
167
11.1 ALLGEMEINES 11.2 GELENKSTABWERKE 11.2.1 GERBERträger 11.2.2 Gelenkbogen und -rahmen 11.2.3 Verstärkte Balken mit Zwischengelenk 11.3 FACHWERKE 11.3.1 Voraussetzungen und Tragwerksaufbau 11.3.2 Berechnungsverfahren 11.3.3 Knotengleichgewicht 11.3.4 CREMONAplan 11.3.5 RITTERsches Schnittverfahren
167 168 169 170 173 174 174 176 177 179 180
INHALTSVERZEICHNIS
11.3.6 Kinematische Methode 11.4 ZUSAMMENFASSUNG 11.5 AUFGABEN 12
EINFLUSSLINIEN
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 13
ALLGEMEINES EINFLUSSLINIENERMITTLUNG MITTELS GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN KINEMATISCHE EINFLUSSLINIENERMITTLUNG ZUSAMMENFASSUNG AUFGABEN
ELEMENTARE VERFORMUNGEN
13.1 ALLGEMEINES 13.2 BIEGUNG UND NORMALKRAFT 13.2.1 Spannungs- und Verformungszustand 13.2.2 Hauptachsen 13.2.3 Spannungsberechnung 13.2.4 Verbundquerschnitte 13.2.5 Temperaturverformungen 13.2.6 Ebene Biegung gekrümmter Stäbe 13.2.7 Praktische Hinweise 13.3 QUERKRAFT 13.3.1 Näherung für prismatische Stäbe unter spezieller Biegung 13.3.2 Approximativer ebener Spannungszustand 13.3.3 Dünnwandige Querschnitte 13.3.4 Schubmittelpunkt 13.4 TORSION 13.4.1 Kreisquerschnitte 13.4.2 Allgemeine Querschnitte 13.4.3 Dünnwandige Hohlquerschnitte 13.4.4 Wölbtorsion 13.5 ZUSAMMENFASSUNG 13.6 AUFGABEN 14
EINZELVERFORMUNGEN
14.1 ALLGEMEINES 14.2 ARBEITSSATZ 14.2.1 Einführendes Beispiel 14.2.2 Allgemeine Formulierung 14.2.3 Berechnung der Verschiebungsarbeitsintegrale 14.2.4 Systematisches Vorgehen 14.3 ANWENDUNGEN 14.4 SATZ VON MAXWELL 14.5 ZUSAMMENFASSUNG 14.6 AUFGABEN 15
VERFORMUNGSLINIEN
15.1 ALLGEMEINES 15.2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GERADER STABELEMENTE 15.2.1 Ebene Beanspruchung
181 182 182 185 185 186 187 190 190 191 191 191 191 193 195 197 198 199 201 201 201 203 204 207 208 208 209 213 216 226 228 231 231 231 231 232 233 236 236 241 242 243 245 245 245 245
5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht
5
Statische Beziehungen
5.1
Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht
5.1.1
Grundbegriffe
Kra¨fte werden durch ihre Wirkung wahrgenommen. Sie entsprechen physikalischen Wechselwirkungen, welche Verformungs- oder Bewegungszusta¨nde von materiellen Systemen verursachen oder vera¨ndern. Die Wirkung einer Kraft ha¨ngt von ihrem Angriffspunkt, ihrem Betrag und ihrer Richtung ab. Eine Kraft kann deshalb gema¨ss Bild 5.1(a) als punktgebundener Vektor F mit Angriffspunkt A, Betrag F und Wirkungslinie f dargestellt werden. Die Wirkungslinie f und ein beliebiger Bezugspunkt O definieren eine Ebene. Denkt man sich einen mit dieser Ebene verbundenen Ko¨rper, so erkennt man, dass F eine Verdrehung des Ko¨rpers um die zur Ebene senkrechte, durch O gehende Achse n bewirken wu¨rde. Die Tendenz zur Verdrehung ist zum Betrag F und zum Abstand a der Kraft F von O proportional. Mit dem Ortsvektor r des Angriffspunkts A von F wird die Tendenz zur Verdrehung mit dem Moment MwrqF (5:1) betrags- und richtungsma¨ssig korrekt ausgedru¨ckt. Es gilt |M| = Fa, und die Vektoren M, r und F bilden eine Rechtsschraube, siehe Bild 5.1(b). Wie man sieht, bleibt das Moment M unvera¨ndert, wenn die Kraft F entlang ihrer Wirkungslinie f verschoben wird. Zu jeder Kraft F geho¨rt eine Reaktion – F mit derselben Wirkungslinie. Nach diesem sogenannten Reaktionsprinzip kann eine Kraft ohne ihre Reaktion nicht existieren.
Fernkra¨fte (wie z. B. Gravitationskra¨fte) haben von ihren Reaktionen verschiedene Angriffspunkte; die Wechselwirkung zwischen zwei massebehafteten Ko¨rpern findet in der Regel ohne Beru¨hrung statt. Dagegen sind bei Kontaktkra¨ften (wie z. B. Lagerkra¨ften) die Angriffspunkte von Kraft und Reaktion zwar nicht materiell aber geometrisch identisch; die Wechselwirkung zwischen Lager und gelagertem Ko¨rper entsteht durch Beru¨hrung – wird der Kontakt aufgehoben, so verschwindet auch die Kontaktkraft. Die in der Dynamik zu beru¨cksichtigenden Tra¨gheitskra¨fte (vgl. Kapitel 8.3.4) besitzen keine Reaktionen. Sie entsprechen keinen physikalischen Wechselwirkungen, sondern sind mathematische Hilfsgro¨ssen. Kontaktkra¨fte sind im Allgemeinen als Fla¨chenkra¨fte (Fla¨chenlasten) auf einer endlichen Fla¨che verteilt. Die auf die Fla¨cheneinheit bezogene Kontaktkraft, die Fla¨chenkraftdichte (a)
(b) M
(M ) (F )
M a
O
F
(r) A
n
r f
Bild 5.1 Kraft und Moment: (a) Bezugspunkt O, Angriffspunkt A, Wirkungslinie f, Drehachse n; (b) Rechtsschraube.
Baustatik y Marti Copyright c 2010 Ernst & Sohn, Berlin ISBN: 978-3-433-?????-?
43
44
5 Statische Beziehungen
(a)
(b)
(c) dV
t
ds
dF dF dF
dA
q
q
Bild 5.2 Verteilte Kra¨fte: (a) Fla¨chenkraftdichte; (b) Raumkraftdichte; (c) Linienkraftdichte.
dF (5:2) dA bezeichnet man auch als Spannungsvektor, siehe Bild 5.2(a) und Kapitel 5.2.1. tw
Analog bezeichnet man die auf einen endlichen Raum verteilten Fernkra¨fte als Raumkra¨fte (Raumlasten) mit der Raumkraftdichte dF (5:3) qw dV siehe Bild 5.2(b). Wird schliesslich ein Ko¨rper wie ein Balken oder ein Seil als eindimensional idealisiert und wirken auf diesen verteilte Kra¨fte als Linienkra¨fte (Linien- oder Streckenlasten), gelangt man zur Linienkraftdichte dF (5:4) qw ds siehe Bild 5.2(c). Kraftbetra¨ge besitzen im SI- oder MKS-System die Einheit Newton [1 N = 1 mkgs–2 ] bzw. [kN] oder [MN]. Fu¨r Momente verwendet man dementsprechend die Einheit [Nm] bzw. [kNm] oder [MNm]. Zur Unterscheidung von Kra¨ften und Momenten werden letztere mit Doppelpfeilen dargestellt, siehe Bild 5.1(a). Fu¨r Linien-, Fla¨chen- und Raumkraftdichten resultieren die Einheiten [Nm–1 ], [Nm–2 = Pa] und [Nm–3 ]. 5.1.2
Kra¨ftesysteme
Im Folgenden betrachten wir Kra¨ftegruppen (Gruppen von Kra¨ften), deren materielle Angriffspunkte innerhalb eines beliebig abgegrenzten Ko¨rpers bzw. Systems liegen. Durch Isolation eines Ko¨rpers bzw. eines Systems (oder eines Ko¨rper- bzw. Systemteils) durch einen geschlossenen Rundschnitt gewonnene Ko¨rper nennen wir Schnittko¨rper (Abku¨rzung SK). Durch Einfu¨hren aller Kra¨fte, die auf den Schnittko¨rper wirken, erha¨lt man ein Schnittko¨rperdiagramm (Abku¨rzung SKD). Die Resultierende einer Kra¨ftegruppe erha¨lt man durch Vektoraddition u¨ber den Schnittko¨rper: X Rw F (5:5) SK
Ebenso erha¨lt man das Gesamtmoment der Kra¨ftegruppe bezu¨glich eines beliebigen Bezugspunkts O: X MO w rqF (5:6) SK
O
siehe Bild 5.3 und (5.1). Wa¨hlt man anstelle von O einen anderen Bezugspunkt Ol, so folgt gema¨ss Bild 5.3 mit rl = r – rL und (5.5) sowie (5.6) X X X M Ol w (5:7) F w M O s rL q R r q F s rL q rl q F w SK
SK
SK
Die Vektorpaare {R, MO} bzw. {R, MOl} nennt man Dyname der Kra¨ftegruppe in O bzw. Ol.
y
x
r ´´
z r
r´
O ´
SK
F Bild 5.3 Schnittko¨rperdiagramm mit Bezugspunkten O und Ol.
5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht
Zwei Kra¨ftegruppen sind a¨quivalent, wenn ihre Dynamen bezu¨glich eines beliebigen Bezugspunkts gleich sind. Gema¨ss (5.7) muss die quivalenz zweier Kra¨ftegruppen nur fu¨r einen Bezugspunkt nachgewiesen werden; die Identita¨t der Gesamtmomente ist dann fu¨r alle Punkte gegeben. 5.1.3
Gleichgewicht
Eine Kra¨ftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Dyname verschwindet: (5:8) Rw0 , MO w 0 Die Gleichgewichtsbedingungen (5.8) liefern bei ra¨umlichen Kra¨ftegruppen sechs skalare Gleichungen, na¨mlich drei Komponentenbedingungen und drei Momentenbedingungen. Bei ebenen Kra¨ftegruppen reduziert sich diese Zahl auf drei, na¨mlich zwei Komponentenbedingungen in der Ebene der Kra¨ftegruppe und eine Momentenbedingung in senkrechter Richtung dazu. Gilt (5.8), so ist nach (5.7) MOl = 0. Die Komponentenbedingungen ko¨nnen folglich durch Momentenbedingungen um einen zweiten Bezugspunkt ersetzt werden. Allgemein ko¨nnen im ra¨umlichen Fall Momentenbedingungen um sechs nicht kollineare Achsen und im ebenen Fall um drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte formuliert werden. Dies ist in der Anwendung oft einfacher als das Aufstellen der Komponentenbedingungen. Je nach Problemstellung wird man im ebenen Fall oft nur eine und im ra¨umlichen Fall nur eine oder zwei Komponentenbedingungen durch Momentenbedingungen ersetzen, wie in Kapitel 10 weiter erla¨utert. Wendet man (5.8) auf differentielle Tragwerkselemente an, entstehen Differentialgleichungen des Gleichgewichts, wie in Kapitel 5.3 ausgefu¨hrt. Bei der Definition von Schnittko¨rpern und der Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen auf dieselben macht man allgemein Gebrauch vom sogenannten Schnittprinzip : Trennt man aus einem im Gleichgewicht befindlichen und kompatibel verformten Ko¨rper oder System beliebige Teile durch fiktive Schnitte heraus, ist jeder dieser Teile im Gleichgewicht und kompatibel verformt. Auf beliebige Schnittko¨rper wirkende Kra¨fte werden als innere bzw. a¨ussere Kra¨fte bezeichnet, je nachdem ob der materielle Angriffspunkt der Reaktion einer Kraft innerhalb oder ausserhalb des Schnittko¨rpers liegt. Da die inneren Kra¨fte nach dem Reaktionsprinzip eine Gleichgewichtsgruppe (d. h. eine Kra¨ftegruppe im Gleichgewicht) bilden, mu¨ssen die a¨usseren Kra¨fte notwendigerweise fu¨r sich im Gleichgewicht sein, wenn der Schnittko¨rper insgesamt im Gleichgewicht ist. Diese Aussage bezeichnet man als Hauptsatz der Statik. Reichen die Gleichgewichtsbedingungen – allenfalls nach geeigneter Systemzerlegung – zur Bestimmung der Unbekannten eines Problems aus, spricht man von einem statisch bestimmten, andernfalls von einem statisch unbestimmten System. 5.1.4
Standfestigkeit
Tragwerke mu¨ssen standfest sein, d. h. sie du¨rfen nicht als Ganzes versagen (z. B. durch Aufschwimmen, Abgleiten oder Kippen). Ihr Starrko¨rpergleichgewicht bzw. ihre Gesamtstabilita¨t muss gewa¨hrleistet sein (vgl. Kapitel 4.4, Grenzzustand Typ I). Beispiel 5.1
Die in Bild 5.4(a) dargestellte Winkelstu¨tzmauer soll bezu¨glich Kippen um den vorderen Fusspunkt O untersucht werden. Dazu betrachten wir die von ihrer Umgebung freigeschnittene (befreite) Winkelstu¨tzmauer gema¨ss Bild 5.4(b) als Schnittko¨rper und fu¨hren, um zu einem Schnittko¨rperdiagramm zu gelangen, alle auf sie wirkenden Kra¨fte ein. Dabei handelt es sich um die (auf die Einheitsla¨nge senkrecht zur yz-Ebene bezogenen) Eigenlasten der Sohlplatte (G1) und der aufgehenden Wand (G2), die auf den Sohlplattenu¨bersta¨nden ruhenden Erdlasten G3 und G4 , die aktiven und passiven Erddruckkra¨fte Ea und Ep sowie eine auf die Plattensohle wirkende Kontaktkraft A. Wasserdruckkra¨fte werden
45
46
5 Statische Beziehungen
(a)
(d)
A
G2 B
G4 G3 D
Ep
E
C
y O
y O
G1
z
z
A
(b)
Ea
(c)
a
G4
b
Az
G2 Ea E p G3
G1
2 Az 3a
G4 G2
y
O
(e)
A
3a
G1 z
A
G3 Ep
Ay
Bild 5.4 Standfestigkeit einer Winkelstu¨tzmauer: (a) U¨bersicht; (b) Schnittko¨rperdiagramm; (c) Kra¨fteplan; (d) Lageplan; (e) mo¨gliche Sohldruckverteilung.
vereinfachend vernachla¨ssigt. Ferner entspricht die Rechnung mit den Erdlasten G3 und G4 einer starken Idealisierung. Tatsa¨chlich mu¨sste sich bei einem Kippversagen im Boden hinter der Wand ein keilfo¨rmiger Bruchko¨rper ausbilden. Dies wa¨re mit der Mobilisierung von weiteren, hier vernachla¨ssigten Kra¨ften verbunden; a¨hnliches gilt fu¨r die Bruchzone am vorderen Wandfuss. Die Kontaktkraft A la¨sst sich mit (5.8) z. B. durch Aufstellen der beiden Komponentenbedingungen in y- und z-Richtung sowie der Momentenbedingung um O nach Betrag, Richtung und Angriffspunkt ohne weiteres ermitteln. Alternativ kann A auch graphisch ermittelt werden. Bild 5.4(c) zeigt die zugeho¨rige Aneinanderreihung der Kraftvektoren im sogenannten Kra¨fteplan (Kra¨ftepolygon); Gleichgewicht verlangt, dass der Kra¨fteplan geschlossen ist, womit A nach Betrag und Richtung festgelegt ist. Der Angriffspunkt von A folgt aus dem Lageplan gema¨ss Bild 5.4(d), indem man sukzessive die im Kra¨fteplan strichliert eingetragenen Zwischenresultierenden der Kra¨fte Ea und G4 etc. bildet, deren Wirkungslinien ausgehend vom Schnittpunkt A von Ea und G4 einzeichnet und zum Schnitt B mit der na¨chsten Kraft G1 bringt etc. Auf diese Weise gelangt man zum Schnittpunkt E der Wirkungslinien CE und DE von (Ea , G4 , G1 , G2) bzw. (Ep , G3), und damit ist die Wirkungslinie von A festgelegt. Standfestigkeit bedeutet, dass A an der Sohlplatte angreift, d. h. 0 J a J b, siehe Bild 5.4(d). Fu¨r den Grenzfall a = 0 (bzw. a = b) wu¨rde der Sohldruck unendlich gross, was wegen der endlichen Festigkeit des Baugrunds unmo¨glich ist. Bild 5.4(d) stellt einen praktisch mo¨glichen Fall dar, und Bild 5.4(e) zeigt eine statisch a¨quivalente lineare Sohldruckverteilung mit dem Maximalwert 2Az /(3a) bei O. Wie man sieht, ist 3a I b, d. h. im Bereich – 3a i y j – b liegt eine klaffende Sohlfuge mit verschwindender Kontaktkraft vor.
Ea
5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht
(a)
(c) C B
D
Q
A G0
Q
A
h G1 + G2 G0 G1 + G2 C B
D
A
(d)
(b) F
H A
E
Q
I G2 D
D2 G0
A
Q
D1 G1 C B a1 a0
G0 J
G 1 + G2 A
Bild 5.5 Winkel auf horizontaler Unterlage: (a) Aufriss; (b) Grundriss; (c) Kra¨fteplan; (d) Lageplan.
ber die Verteilung der Horizontalkomponente Ay von A in der Sohlfuge kann aufgrund statischer berlegungen allein keine Aussage gemacht werden. Vereinfachend kann man eine zur Verteilung von Az proportionale, im vorliegenden Fall also ebenfalls dreieckfo¨rmige Verteilung annehmen. Beispiel 5.2
Der in Bild 5.5(a) und (b) dargestellte rechteckige Winkel auf horizontaler Unterlage wird bei Al durch eine Horizontalkraft Q belastet. In Bild 5.5(b) sind die Beru¨hrungsfla¨che ABCDEF und die Standfla¨che ABCEF zu unterscheiden. Letztere ist die kleinste konvexe Hu¨lle der Ersteren. Die Standfestigkeit des Winkels kann mit einer Momentenbedingung um die Achse CE u¨berpru¨ft werden. Das treibende Moment Qh infolge Q um CE darf das widerstehende Moment G0 a0 + (G1 + G2) a1 infolge der Eigenlastanteile G0(AD1DD2), G1(D1BCD) und G2(DEFD2) nicht u¨berschreiten, andernfalls kippt der Winkel. Bild 5.5(c) und (d) illustrieren die alternative graphische berpru¨fung mit Hilfe von Kra¨fte- und Lageplan. Der Angriffspunkt J der Kontaktkraft A muss fu¨r die Standfestigkeit innerhalb der Standfla¨che liegen. Die Kontaktkraft A wird je ha¨lftig in den Endbereichen der beiden Schenkel des Winkels aufgenommen. Im Grenzfall konzentriert sie sich in den Punkten C und E, wobei dann die lokale Pressung unendlich gross wird.
5.1.5
Lager
Lager entsprechen o¨rtlich verhinderten Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten (Freiheitsgraden) von Tragwerken. Sie ko¨nnen nach den verhinderten (gefesselten) Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten bzw. den passivierten Freiheitsgraden klassifiziert werden, d. h. je nachdem, ob die Verschiebungen u, v, w und die Rotationen fx , fy , fz in x-, y-, z-Richtung mo¨glich oder verhindert sind, siehe Bild 5.6. Die Anzahl passivierterer (gefesselter) Freiheitsgrade (bzw. die Anzahl der Komponenten der Lagerdyname) bezeichnet man als Wertigkeit des Lagers.
x y v
z
u
ϕx
w
ϕy ϕz Bild 5.6 Verschiebungen und Rotationen.
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48
5 Statische Beziehungen
(a)
y
(b)
(c)
(d)
(e)
x
z Bild 5.7 Lagerbauformen: (a) Betongelenk; (b) Stahl-Linienlager; (c) Stahl-Rollenlager; (d) Gummi-Schichtlager; (e) Neotopf-Gleitlager.
Bild 5.7 zeigt einige Bauformen von Lagern. Wird das in Bild 5.7(a) dargestellte Betongelenk als (in y-Richtung langes) Linienlager ausgebildet, verhindert es die Verschiebungen u, v, w sowie die Rotationen fx und fz ; als (in y-Richtung kurzes) Punktlager sind sowohl fx als auch fz wie fy praktisch unbehindert. Beachtenswert ist, dass das Lager bezu¨glich der Kra¨fte in allen drei Richtungen zweiseitig wirkt, d. h. es ko¨nnen an dem in der Lagerfuge aufgeschnittenen Lagerko¨rper positive und negative Kra¨fte auftreten, insbesondere – wegen der die Lagerfuge kreuzenden Bewehrung – auch in z-Richtung. Das in Bild 5.7(b) dargestellte Stahl-Linienlager wirkt bezu¨glich u zweiseitig und bezu¨glich w einseitig – das Lager wu¨rde bei verschwindender Kraft in z-Richtung abheben; bezu¨glich v wirkt es entweder u¨ber Reibung oder mit seitlichen Anschla¨gen (nach berwindung des Spiels zwischen Anschlag und Lagerko¨rper) bis zu einem gewissen Betrag zweiseitig; die Rotation fy ist praktisch unbehindert, und die Rotationen fx , fz sind verhindert. Bei dem in Bild 5.7(c) dargestellten Stahl-Rollenlager sind u und fy unbehindert, und das Lager wirkt bezu¨glich w einseitig; seitliche Fu¨hrungsleisten verhindern die Verschiebung v sowie die Rotation fz ; die Rotation fx ist wegen der in y-Richtung langen Rolle verhindert. Das in Bild 5.7(d) dargestellte Gummi-Schichtlager wirkt bezu¨glich w einseitig und ermo¨glicht je nach Ausfu¨hrung die Verschiebungen u, v sowie die Rotationen fy , fx . Gleiches gilt fu¨r das in Bild 5.7(e) dargestellte Neotopf-Gleitlager. Die Betrachtung von Bild 5.7 zeigt, dass die Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten von Lagern je nach Ausfu¨hrung stets innerhalb bestimmter Grenzen und nicht absolut vorhanden oder verhindert sind. Ebenso sind die zu den verhinderten Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten geho¨rigen Komponenten der Lagerdyname auf bestimmte Grenzwerte beschra¨nkt. In der Praxis gilt es in jedem Fall, diese Grenzen sorgfa¨ltig zu beachten. In der Baustatik geht man von entsprechenden, in Bild 5.8 fu¨r den ebenen Fall dargestellten Idealisierungen aus. Bild 5.8(a) zeigt ein ein- oder zweiseitig wirkendes Gleitlager (verschiebliches Gelenklager), das lediglich w verhindert und dessen Lagerdyname auf die Kraftkomponente in z-Richtung beschra¨nkt ist. Bei dem in Bild 5.8(b) dargestellten (festen) Gelenklager ist auch u verhindert, und die Lagerdyname wird um die entsprechende Kraftkomponente in x-Richtung erweitert. Bei der in Bild 5.8(c) dargestellten (festen) Einspannung ist schliesslich auch fy verhindert; die Lagerdyname weist auch ein Moment um die y-Achse auf. Die Ausdehnung dieser Betrachtungen auf den allgemeinen ra¨umlichen Fall ist anhand von Bild 5.6 ohne weiteres mo¨glich. Die in Bild 5.8 dargestellten Lagerungsarten ko¨nnen gema¨ss Bild 5.9 statisch a¨quivalent mit Pendelsta¨ben realisiert werden. Dabei handelt es sich um gerade und gewichtslose, beidseitig zentrisch mit reibungsfreien Gelenken angeschlossene Sta¨be. Unter diesen Voraussetzungen ko¨nnen von den Sta¨ben lediglich Kra¨fte u¨bertragen werden, deren Wirkungslinien mit den Stabachsen zusammenfallen. Ein Gleitlager kann also, wie in Bild 5.9(a) gezeigt, statisch a¨quivalent durch eine Pendelstu¨tze ersetzt werden; die wegen Schiefstellung der Pendelstu¨tze infolge einer Verschiebung u auftretende Kraftkomponente in x-Richtung ist unter Annahme infinitesimal kleiner Verschiebungen (Theorie 1. Ordnung, vgl. Kapitel 6.1) im Vergleich zur Kraftkomponente in z-Richtung vernachla¨ssigbar. Die bei einem Gelenklager mo¨gliche Lager-
(a)
(b)
(c)
x z
Bild 5.8 Lager-Idealisierungen: (a) Gleitlager; (b) Gelenklager; (c) Einspannung.
5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht
(a)
(b)
49
(c)
x
z Bild 5.9 A¨quivalente Lagerung mit Pendelsta¨ben: (a) Gleitlager; (b) Gelenklager; (c) Einspannung.
kraftkomponente in x-Richtung erfordert einen entsprechenden zweiten Pendelstab, wie in Bild 5.9(b) gezeigt. Schliesslich ist zur Realisierung einer Einspannung ein dritter Pendelstab erforderlich, wie in Bild 5.9(c) dargestellt; dabei mu¨ssen die ersten beiden Pendelsta¨be verschiedene Wirkungslinien haben, und die Achse des dritten darf nicht durch den Schnittpunkt der ersten beiden gehen, sonst wu¨rde das Lager nicht wie eine Einspannung sondern wie ein Gelenklager in diesem Punkt wirken. Fu¨r den allgemeinen ra¨umlichen Fall sind sechs Pendelsta¨be zur unverschieblichen Lagerung erforderlich. Mit der Dyname {R, MO}, den Koordinaten rij eines Punkts der Achse des Pendelstabs i sowie den Richtungskosinus cij der sechs Pendelsta¨be und den Pendelstabkra¨ften Ni gilt gema¨ss (5.5) und (5.6) 9 2 38 9 8 c1x c2x . . . c6x N1 > > Rx > > > > > > > 6 7> > > >N > > > > c1y c2y . . . c6y Ry > 2> > > > > 6 7> > > > > > > > 6 7> = < < 6 7 N3 c1z c2z . . . c6z Rz = 6 7 w 6 r c sr c > > > > N4 > > MOx > r2y c2z s r2z c2y . . . r6y c6z s r6z c6y 7 1z 1y 6 1y 1z 7> > > > > > > 6 7> > > > > > > > > 4 r1z c1x s r1x c1z r2z c2x s r2x c2z . . . r6z c6x s r6x c6z 5> N M > > > > 5 Oy > > ; > ; : > : r1x c1y s r1y c1x r2x c2y s r2y c2x . . . r6x c6y s r6y c6x N6 MOz Damit (5.9) fu¨r beliebige Dynamen eine Lo¨sung N besitzt, muss die Matrix linkerhand regula¨r sein, d. h. ihre Determinante darf nicht verschwinden. Wa¨hlt man fu¨r den ebenen Fall (drei Sta¨be in der xz-Ebene) mit Rx , Rz , MOy den Koordinatenursprung O im Schnittpunkt der Sta¨be 1 und 2 (r1 = r2 = 0) und betrachtet man den Punkt der Pendelstabachse 3 auf der z-Achse (r3x = 0, r3z 0 0), so erha¨lt man aus der um die zweite, vierte und sechste Zeile sowie die vierte bis sechste Spalte reduzierten Matrix in (5.9) die Matrix 2 3 c1x c2x c3x 4 c1z c2z (5:10) c3z 5 0 0 r3z c3x und damit die Forderung (5:11) det w r3z c3x ðc1x c2z s c1z c2x Þ00 Ohne Beschra¨nkung der Allgemeinheit kann man die x-Achse in Richtung der Stabachse 1 legen, d. h. c1x = 1, c1z = 0. Somit erha¨lt man die Forderungen c3x 0 0, c2z 0 0, d. h. die Stabachse 3 darf nicht durch O gehen, und die Sta¨be 1 und 2 du¨rfen nicht kollinear sein. Die oben aufgestellten Forderungen werden damit besta¨tigt. Oft wird man Lager nicht wie bisher vorausgesetzt als fest idealisieren ko¨nnen, sondern man hat deren Nachgiebigkeit zu beru¨cksichtigen. Zu diesem Zweck verwendet man gema¨ss Bild 5.10 entsprechende Weg- und Drehfedern und setzt im einfachsten Fall eine lineare Beziehung zwischen den Komponenten der Lagerdyname und den entsprechenden Verschiebungen und Rotationen voraus: Ax w s kx uA , Az w s kz wA , MA w s ky fy A (5:12) Dabei bezeichnen kx , kz und ky die Weg- und Drehfedersteifigkeiten.
(5:9)
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Titel Marti, Peter: Baustatik. Grundlagen - Stabtragwerke Flächentragwerke
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