Inkijkexemplaar KERN Wiskunde leerboek vmbo-kgt 2

methodeconcept / redactie Boom voortgezet onderwijs

auteurs Corné van Berchum Paul Gritter Piet Hanemaaijer Henk Hollander Ilona van Houwelingen-Verkaik Greetje de Jong Frans Meijers Kim van de Minkelis-Went Marieke Spijkstra Francisca Stinnissen

KERN WISKUNDE VMBO-KGT LEERJAAR 2

BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS

3

Lineaire verbanden

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

WISKUNDEWEETJE Hoe steil moet een trap zijn? 48 Woordformule opstellen bij een grafiek 50 Richtingsgetal berekenen 52 Negatieve getallen en stapgrootte op de y-as 54 Twee grafieken vergelijken 56 Snijpunt controleren met woordformules 58

Inhoud

PRAKTISCHE WISKUNDE Economie 60 Plaats-tijddiagram 62

Toetsvoorbereiding 64

1

Balk en kubus

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

WISKUNDEWEETJE Rubiks kubus 8 Balk en kubus 10 Inhoud 12 Inhoud balk en kubus 14 Balk en kubus tekenen 16 Uitslagen 18

Driehoeken

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

WISKUNDEWEETJE Tangram 68 Driehoeken 70 Driehoeken tekenen met twee bekende hoeken 72 Driehoeken tekenen met twee bekende zijden 74 Driehoeken tekenen met een passer 76 Hoogte en oppervlakte van een driehoek 78

PRAKTISCHE WISKUNDE Balken en kubussen in gebouwen 20 Eenpuntsperspectief 22

PRAKTISCHE WISKUNDE Dakhelling 80 Driehoeksmeting 82

Toetsvoorbereiding 24

Toetsvoorbereiding 84

2

Gewicht, tijd en schaal

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

WISKUNDEWEETJE Maanden en jaren 28 Gewicht 30 Tijd en tijdseenheden 32 Rekenen met tijdsduren 34 Schaallijn 36 Schaal 38 PRAKTISCHE WISKUNDE Madurodam 40 Tijdzones 42

Toetsvoorbereiding 44

4

4

5

Getallen

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

WISKUNDEWEETJE Bijzondere getallen 88 Kwadraten 90 Wortels 92 Machten 94 Inhoudsmaten 96 Rekenen met een rekenmachine 98 PRAKTISCHE WISKUNDE Rijen 100 Computers 102

Toetsvoorbereiding 104

6

Stelling van Pythagoras

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

WISKUNDEWEETJE Touwstrekkers 108 Rechthoekszijden en schuine zijde 110 De stelling van Pythagoras 112 Rechthoekszijde berekenen 114 De stelling van Pythagoras toepassen 116 Hulplijn tekenen 118

9

Statistiek

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

WISKUNDEWEETJE Getallen in beeld 168 Beelddiagram en lijndiagram 170 Staafdiagram 172 Turven en frequentietabel 174 Cirkeldiagram 176 Gemiddelde, modus en mediaan 178

PRAKTISCHE WISKUNDE De 3-4-5 steek 120 Pythagoras in de sport 122

PRAKTISCHE WISKUNDE Misleidende diagrammen 180 Marktonderzoek 182

Toetsvoorbereiding 124

Toetsvoorbereiding 184

7

Verhoudingen

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

WISKUNDEWEETJE Het ℮-teken 128 Breuk vermenigvuldigen met een geheel getal 130 Percentages, breuken en decimale getallen 132 Deel berekenen met een breuk 134 Afname en toename als percentage 136 Procentuele afname en toename berekenen 138

10

Hoeken berekenen

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

WISKUNDEWEETJE Mozaïekpatronen 188 Driehoeken en vierhoeken 190 Bijzondere vierhoeken 192 Gestrekte, volle en overstaande hoeken 194 Schuifsymmetrie 196 Vierhoeken tekenen 198

PRAKTISCHE WISKUNDE Verhoudingen en percentages 140 Zijn de ramen groot genoeg? 142

PRAKTISCHE WISKUNDE Programmeren 200 Figuren op een puntraster 202

Toetsvoorbereiding 144

Toetsvoorbereiding 204

8

Ruimtefiguren

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

WISKUNDEWEETJE Hoe maak je een bal? 148 Prisma en piramide 150 Cilinder, kegel en bol 152 Inhoud ruimtefiguren 154 Aanzichten 156 Doorsnedes 158

11

Vergelijkingen

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

WISKUNDEWEETJE De balans 208 Vergelijking oplossen met grafieken 210 Inklemmen 212 Twee formules vergelijken met inklemmen 214 Balansmethode 216 Balansmethode met variabelen links en rechts 218

PRAKTISCHE WISKUNDE Ruimtefiguren om je heen 160 Toepassing van doorsnedes 162

PRAKTISCHE WISKUNDE Van boom naar plank 220 Energierekening 222

Toetsvoorbereiding 164

Toetsvoorbereiding 224

5

1 Balk en kubus In dit hoofdstuk leer je: ɲ wat een Rubiks kubus is; ɲ wat ruimtefiguren zijn en hoe je verschillende soorten ruimtefiguren herkent; ɲ wat inhoud is en hoe je de inhoud van een balk en een kubus berekent; ɲ hoe je een ruimtefiguur in 3D tekent; ɲ wat een uitslag van een ruimtefiguur is en hoe je een uitslag van een balk en een kubus tekent; ɲ hoe je ruimtefiguren kunt gebruiken bij het ontwerpen van gebouwen.

WISKUNDEWEETJE Rubiks kubus 8 1.1

Balk en kubus 10

1.2

Inhoud 12

1.3

Inhoud balk en kubus 14

1.4

Balk en kubus tekenen 16

1.5

Uitslagen 18 PRAKTISCHE WISKUNDE Balken en kubussen in gebouwen 20 Eenpuntsperspectief 22 Toetsvoorbereiding 24

1

balk en kubus

Wiskundeweetje – Rubiks kubus DOEL → Je maakt kennis met een Rubiks kubus. Ook leer je berekeningen maken bij een Rubiks kubus.

ɲ

ɲ

Puzzel

De Hongaarse wiskundige en architect Erno Rubik bedacht in 1974 een puzzel in de vorm van een kubus, de Rubiks kubus. De puzzel werd in 1980 door een spellenmaker wereldwijd op de markt gebracht en werd een rage.

De Rubiks kubus heeft 6 vlakken. Elk vlak van de kubus kan draaien ten opzichte van de rest en is opgedeeld in negen kleine vierkanten. De vierkanten hebben zes verschillende kleuren. De puzzel is opgelost wanneer op elk vlak alle vierkanten één kleur hebben.

De puzzel oplossen

Een van de manieren om de puzzel op te lossen is om het laag voor laag te doen. Elk jaar worden er internationale wedstrijden gehouden in het zo snel mogelijk oplossen van de puzzel. Het wereldrecord uit 2018 is 3,47 seconden.

Je kunt de puzzel laag voor laag oplossen.

ɲ

Verschillende varianten

Naast de originele Rubiks kubus zijn er verschillende varianten. Er is een kleine variant waarbij elk vlak bestaat uit vier vierkanten. Ook bestaan er grote kubussen met vlakken van 25 vierkanten en zijn er puzzels met andere vormen.

de originele Rubiks kubus

verschillende varianten van de Rubiks kubus elk vlak kan draaien

8

wiskundeweetje

Opdrachten – Rubiks kubus 1

5

a Vul in. De originele Rubiks kubus bestaat uit … vlakken. r b Vul in. Elk vlak is opgedeeld in … vierkanten. r c Hoeveel vierkanten heeft de kubus in totaal? t1 d De grote Rubiks kubus heeft op één vlak 25 vierkanten. Hoeveel vierkanten heeft deze kubus in totaal? t2

a Uit hoeveel kleuren bestaat de kleine variant?

Leg je antwoord uit. i b Hoeveel vierkanten op de hele kubus zijn groen? t1

6 2

Bekijk de linker originele Rubiks kubus op de linkerbladzijde. a Hoeveel gekleurde vierkanten zijn er zichtbaar? t1 b Hoeveel gele vierkanten zijn er zichtbaar? t1 c Hoeveel gele vierkanten zitten er op de vlakken die je niet kunt zien? t2

3

4

Bij deze variant van de Rubiks kubus hebben alle vlakken dezelfde vorm.

De grote Rubiks kubus heeft op één vlak 25 vierkanten.

Hoeveel vierkanten passen er in de lengte en in de breedte van zo’n vlak? i

Woorden Rubiks kubus vlak

Je hebt een Rubiks kubus met vierkanten van 2 cm bij 2 cm. De ruimte tussen de vierkanten tel je niet mee. t2 a Bereken de oppervlakte van één vierkant. b Bereken de oppervlakte van een heel vlak. c Bereken de oppervlakte van alle vlakken van de Rubiks kubus samen.

Je ziet hiernaast de kleine variant van de Rubiks kubus.

Doel bereikt? ɲ ɲ

Ik weet wat een Rubiks kubus is. r Ik kan vlakke figuren herkennen in de originele Rubiks kubus en in een variant van de Rubiks kubus. t1 ɲ Ik kan berekeningen maken bij een Rubiks kubus. t2 ɲ Ik kan redeneren over verschillende varianten van de Rubiks kubus. i

a Welke vorm hebben de vlakken? t1 b Hoeveel vlakken heeft deze variant? i c Hoeveel driehoeksvormen zijn er te zien in één vlak van deze variant? Leg je antwoord uit. i Tip: het zijn er meer dan negen.

9

1

balk en kubus

1.1

Balk en kubus DOEL → Je leert wat ruimtefiguren zijn en uit welke onderdelen een ruimtefiguur bestaat.

Ook leer je welke eigenschappen een balk en een kubus hebben.

Ruimtefiguren

Opdrachten – Ruimtefiguren

Een ruimtefiguur is een figuur in de ruimte. Een ruimtefiguur wordt ook 3D-figuur of driedimensionale figuur genoemd. ɲ Een ruimtefiguur heeft een lengte, een breedte en een hoogte. ɲ De zijkanten van een ruimtefiguur heten grensvlakken. ɲ Een lijnstuk waar twee grensvlakken samenkomen heet een ribbe. ɲ Een punt waar ribben samenkomen heet een hoekpunt.

7

a Een ……… is een ruimtefiguur met zes even grote vierkante grensvlakken. b Een ……… is een ruimtefiguur met zes rechthoekige grensvlakken.

8

Balk Een balk is een ruimtefiguur met zes rechthoekige grensvlakken.

Voorbeeld 1 ▸ In balk ABCD.EFGH is ɲ BCGF een grensvlak ɲ H een hoekpunt ɲ AB een ribbe.

E

G F D

A

F grensvlak D

C B ribbe

Kubus Een kubus is een ruimtefiguur met zes even grote vierkante grensvlakken. ribbe S

R

P

Q grensvlak N

K

M L

hoekpunt

10

H E

G

A

Voorbeeld 2 ▸ In kubus KLMN.PQRS is vierkant KNSP even groot als vierkant PQRS.

Neem over en vul in.

Kies uit: grensvlak / ribbe / diagonaal / hoekpunt a DH is een ……… . t1 b C is een ……… . t1 c ADHE is een ……… . t1 d AF is een ……… . t2

hoekpunt

H

Vul het juiste soort ruimtefiguur in. r

9

Neem over en vul de juiste getallen in. t1 Een kubus heeft: a … grensvlakken b … hoekpunten c … ribben

Een balk heeft: d … grensvlakken e … hoekpunten f … ribben

10 Je ziet hier een dobbelsteen. t1 a Hoeveel grensvlakken heeft de dobbelsteen? b Wat voor soort vlakke figuur zijn de grensvlakken van de dobbelsteen? c Wat voor soort ruimtefiguur is de dobbelsteen?

C B

balk en kubus

11 Werkblad 1.11 Op het werkblad zie je ruimtefiguur ABCD.EFGH. H

14 Je ziet hier kubus ABCD.EFGH. t1 a Welke ribben komen samen in hoekpunt B? b Welke hoekpunten verbindt ribbe FG? c Geef de namen van de zes grensvlakken.

G F

E

C

D A

G F

D A

C B

B

a Wat voor soort ruimtefiguur is dit? t1 b Geef ribbe CD een kleur. t1 c Geef alle ribben die evenwijdig zijn aan ribbe CD dezelfde kleur. t2 d Hoeveel ribben heb je gekleurd? t1 e Kleur grensvlak ABFE en geef het grensvlak er tegenover dezelfde kleur. t2 f Welk grensvlak ligt tegenover grensvlak BCGF? t2 g Welke vorm heeft grensvlak BCGF? t2

Breinbreker Waarom kan een balk wel bestaan uit 2 vierkanten en 4 rechthoeken, maar niet uit 4 vierkanten en 2 rechthoeken?

Woorden ruimtefiguur 3D-figuur driedimensionale figuur lengte breedte hoogte

12 Werkblad 1.12 Op het werkblad zie je kubus KLMN.PQRS. a Kleur ribbe LM. t1 b Welke ribben staan loodrecht op ribbe LM? t2 c Kleur grensvlak PQRS. t1 d Welke grensvlakken staan loodrecht op grensvlak PQRS? t2

H E

S

R

P

Q N

K

grensvlak ribbe hoekpunt balk kubus

Doel bereikt?

M L

13 a Noem twee verschillen tussen een balk en een kubus. i b Noem twee overeenkomsten tussen een balk en een kubus. i

ɲ

Ik weet wat een ruimtefiguur is. Ook weet ik hoe de onderdelen van een balk en een kubus heten. r ɲ Ik kan in een ruimtefiguur een hoekpunt, een ribbe en een grensvlak aangeven. t1 ɲ Ik kan tegenover elkaar liggende, evenwijdige en loodrechte grensvlakken en evenwijdige en loodrechte ribben aangeven in een ruimtefiguur. t2 ɲ Ik kan de verschillen en de overeenkomsten tussen een balk en een kubus benoemen. i

11

1.1

1

balk en kubus

1.2

Inhoud DOEL → Je leert hoe je de inhoud van een ruimtefiguur kunt berekenen.

Inhoud

Opdrachten – Inhoud

De inhoud van een ruimtefiguur is een maat voor de hoeveelheid ruimte die de figuur inneemt. ɲ Je meet de inhoud in inhoudsmaten of inhoudseenheden. ɲ Een kubus van 1 m bij 1 m bij 1 m heeft een inhoud van 1 m³. Je zegt: ‘één kubieke meter’. ɲ 1 cm³ is de inhoud van een kubus van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm. Je zegt: ‘één kubieke centimeter’. ɲ Je bepaalt de inhoud door te tellen hoeveel keer een inhoudseenheid in de figuur past.

Voorbeeld 1 ▸ Bepaal de inhoud van de ruimtefiguur.

De inhoud van elke kubus is 1 cm³. ɲ

15 Hoe spreek je 1 m³ uit? r

16 Neem over en vul in. t1 Kies uit: omtrek / oppervlakte / inhoud a De ……… van het plein is 500 m². b De ……… van het huis is 250 m³. c De ……… van het weiland is 600 m.

17 De onderstaande ruimtefiguren bestaan uit kubussen.

Elke kubus heeft een inhoud van 1 cm³. t1 a Uit hoeveel kubussen bestaat elke ruimtefiguur? b Wat is de inhoud van elk van de ruimtefiguren? c Welke ruimtefiguur heeft de grootste inhoud?

In totaal zijn er 10 kubussen in de ruimtefiguur. ɲ De ruimtefiguur heeft een inhoud van 10 cm³.

Let op: tel ook de kubussen mee die je op de tekening niet kunt zien. ɲ Je berekent de inhoud van een balk zo: Stap 1 Bepaal hoeveel kubussen passen op de bodem van de balk.

Stap 2 Vermenigvuldig de uitkomst van stap 1 met het aantal lagen kubussen.

Voorbeeld 2 ▸ Bereken de inhoud van de balk. Elke kubus is 1 cm³.

1 lengte = 5 kubussen breedte = 4 kubussen ɲ Op de bodem passen 5 × 4 = 20 kubussen. cm 2 aantal lagen = 3 inhoud = 20 × 3 cm = 60 kubussen ɲ 60 kubussen = 60 × 1 cm³ = 60 cm³

12

A

C

18 In een hoek van een loods is een aantal dozen opgestapeld. Elke doos heeft de vorm van een kubus met een inhoud van 1 m³. t2 a Hoeveel dozen zijn hier opgestapeld? b Bereken de inhoud van de stapel dozen.

cm

B

inhoud

19 In de balk hieronder heeft elke kubus een inhoud van 1 cm³. t1

22 De grote kubus hieronder is gevuld met kleine kubussen, die elk een inhoud hebben van 1 cm³. a Hoeveel kubussen van 1 cm³ passen er op de bodem van de grote kubus? i b Bereken de inhoud van de grote kubus. t1

a Hoeveel kubussen van 1 cm³ passen op de bodem van de balk? b Hoeveel lagen heeft de balk? c Bereken de inhoud van de balk.

Breinbreker Een kubus is een bijzondere balk, maar een balk is geen kubus. Leg uit.

20 Een doosje wordt helemaal gevuld met suikerklontjes.

Eén suikerklontje is 1 cm bij 1 cm bij 1 cm.

Woorden inhoud inhoudsmaat

a Wat is de inhoud van één suikerklontje? r b Wat is de inhoud van het doosje? t2

inhoudseenheid kubieke meter

Doel bereikt?

21 In 2020 kon het grootste containerschip ter wereld meer dan twintigduizend zeecontainers laden. Een zeecontainer is 2,44 m breed, 6,1 m lang en 2,59 m hoog.

ɲ ɲ

a Is een zeecontainer een kubus of een balk? t1

ɲ

Bij het laden worden er 13 lagen van 24 containers breed en 64 containers lang geplaatst.

ɲ

Ik weet wat inhoud is. r Ik kan de inhoud van een ruimtefiguur in kubussen van 1 m2 of 1 cm2 weergeven. t1 Ik kan in praktijksituaties de inhoud van een ruimtefiguur bepalen. t2 Ik kan mijn kennis over de eigenschappen van een balk en een kubus gebruiken bij het bepalen van de inhoud. i

b Hoeveel containers zijn er geladen? t2 Op de eerste 13 lagen komen nog 5 lagen met een breedte van 24 en een lengte van 32 containers.

Bovenop komt nog 1 laag van 184 containers. c Hoeveel containers staan er in totaal op het schip? t2 d De inhoud van een zeecontainer is ongeveer 38,5 m³.

Hoeveel m³ vracht is op het schip geladen? t2

13

1.2

1

balk en kubus

1.3

Inhoud balk en kubus DOEL → Je leert hoe je de inhoud van een balk en van een kubus berekent.

Inhoud van een balk en een kubus

Opdrachten – Inhoud van een balk en een kubus

De inhoud van een balk en een kubus bereken je met de woordformules:

23 Geef de woordformules voor het berekenen van de inhoud van de volgende ruimtefiguren. r a een balk b een kubus

inhoud balk = lengte × breedte × hoogte inhoud kubus = lengte × lengte × lengte

24 Waarom hoef je van een kubus alleen de lengte van één ribbe te weten om de inhoud te kunnen berekenen? i

Voorbeelden ▸ 1 Bereken de inhoud van de balk in cm³. hoogte = 3 cm

25 Hieronder zie je ruimtefiguur ABCD.EFGH. t1

breedte = cm lengte =

inhoud balk = lengte × breedte × hoogte = 21 × 4 × 3 = 252 cm³ 2

en kubus heeft ribben van 5 cm. Bereken de inhoud E van de kubus. inhoud kubus = lengte × lengte × lengte = 5 × 5 × 5 = 125 cm³

Let op: Als je de inhoud berekent, moeten alle maten dezelfde eenheid hebben.

Voorbeeld ▸ 3 Een balk is 0,2 m bij 40 cm bij 6 dm. Bereken de inhoud van de balk in cm³. ɲ Reken de maten om naar cm: 0,2 m = 20 cm en 6 dm = 60 cm. inhoud balk = lengte × breedte × hoogte = 40 × 20 × 60 = 48 000 cm³

14

H

cm

G

E

F D

A

3 cm C 4 cm

cm

B

a Wat voor soort ruimtefiguur is dit? b Hoeveel cm is de lengte? c Hoeveel cm is de breedte? d Hoeveel cm is de hoogte? e Bereken de inhoud van de ruimtefiguur.

26 Bereken de inhoud van een kubus met ribben van 8 m. t1

27 Een balk heeft een lengte van 0,5 dm, een breedte van 30 mm en een hoogte van 6 cm. t1 a Reken de afmetingen van de balk om naar cm. b Bereken de inhoud van de balk in cm³.

inhoud balk en kubus

28 Een bedrijfseigenaar wil een airco kopen voor het kantoor hieronder. Zij kan kiezen uit de volgende modellen: A voor 125 m3

B voor 150 m3

C voor 165 m3

Welk model airco moet zij kiezen om de hele ruimte goed te koelen? Leg uit. t2

3m

31 Een afvalcontainer heeft een inhoud van 240 000 cm³.

De lengte van de container is 55 cm en de breedte is 48 cm. Bereken de hoogte van de container in hele cm. i

32 Op een bouwplaats ligt 220 m³ puin. De laadbak van de vrachtwagen mag maximaal tot de rand worden gevuld. Hoe vaak moet deze vrachtwagen rijden om al het puin naar de vuilstort te brengen? t2 22 dm 8m

4m 120 cm

12 m

29 De ruimtefiguur hiernaast is opgebouwd uit 6 lagen. Iedere laag is 5 cm hoog. De onderste laag is 15 cm bij 15 cm. a Is de onderste laag een kubus of balk? t1 b Bereken de inhoud van de onderste laag. t1

Breinbreker Hoeveel kubussen met ribben van 3 cm passen er in een grote kubus met een inhoud van 27 m3?

De tweede laag is 12 cm bij 12 cm, en de volgende zijn: 10 cm bij 10 cm, 7,5 cm bij 7,5 cm, 5 cm bij 5 cm en tot slot 2,5 cm bij 2,5 cm. c Bereken de totale inhoud van het bouwwerk. t2 d Welke laag heeft de vorm van een kubus? Leg uit. t2

Doel bereikt? ɲ ɲ

30 a Bereken de inhoud van een kubus met ribben van 3 cm. t1 b Van een grotere kubus zijn alle ribben twee keer zo lang. Bereken de inhoud van deze grote kubus. t2 c Hoeveel keer zo groot is de inhoud van de kubus van opdracht b als de inhoud van de kubus van opdracht a? t2

ɲ ɲ

Ik ken de woordformules voor het berekenen van de inhoud van een balk of kubus. r Ik kan de inhoud van een balk of een kubus berekenen met behulp van de woordformules. t1 Ik kan mijn kennis over de inhoud van een balk en een kubus toepassen in praktijksituaties. t2 Ik begrijp hoe ik de woordformules kan gebruiken om de lengte, breedte of hoogte van een kubus of balk te berekenen als de inhoud is gegeven. i

15

1.3

1

balk en kubus

1.4

Balk en kubus tekenen DOEL → Je leert hoe je een balk of een kubus in 3D tekent.

Balk en kubus tekenen in 3D

Opdrachten – Balk en kubus tekenen in 3D

Wanneer je een balk of een kubus in 3D wilt tekenen, moet je diepte aanbrengen in je tekening. Dat doe je zo: ɲ Teken de ribben die diepte aangeven schuin naar achteren. ɲ Teken de ribben die je niet kunt zien met stippellijnen.

33 Hoe breng je diepte aan in een tekening? r

34 Werkblad 1.34 Op het werkblad zijn het voorvlak en het achtervlak van een balk getekend op ware grootte.

Voorbeeld ▸ Teken kubus ABCD.EFGH met ribben van 4 cm.

Stap 1 Teken het voorvlak op ware grootte.

a Maak de 3D-tekening van de balk af. Teken de ribben die diepte aangeven schuin naar achteren. t1 Let op: gebruik een stippellijn voor de ribbe die je niet kunt zien. b Wat is de lengte van de balk? t1 c Wat is de hoogte van de balk? t1 d Wat is de breedte van de balk ongeveer? t2

Stap 2 Teken het zijvlak. Neem voor de ribben die de diepte aangeven ongeveer de helft van de echte lengte en eindig op een roosterpunt. Hier ga je bijvoorbeeld twee vakjes naar rechts en één omhoog.

35 Je ziet hier kubus KLMN.PQRS. t1 S P

Stap 3 Teken het bovenvlak.

Evenwijdige ribben zijn even lang.

Stap 5 Zet de letters bij de hoekpunten.

16

Q

N K

Stap 4 Teken de ribben die je niet kunt zien als stippellijnen.

Evenwijdige ribben zijn even lang.

R

H E

G F

D A

C B

6 cm

M L

a Teken het voorvlak op ware grootte. b Teken het rechter zijvlak. Teken de ribbe die diepte aangeeft ongeveer de helft van de echte lengte en eindig op een roosterpunt. c Teken het bovenvlak. d Teken de ribben die je niet ziet als stippellijnen. e Zet de letters bij de hoekpunten.

balk en kubus tekenen

36 Hieronder zie je balk ABCD.EFGH. t1 H

G F

E

cm

D A

40 Werkblad 1.40 Op het werkblad zie je het woord KERN. Van deze letters kun je 3D-letters maken. Bij de letter K is een begin gemaakt.

C B

cm

a Maak het woord KERN in 3D af. i b Kleur de zijvlakken. t2 c Kleur de bovenvlakken met een andere kleur. t2

4 cm

a Teken het voorvlak ABFE op ware grootte. b Teken de balk verder af in 3D.

Breinbreker

37 Teken de volgende ruimtefiguren in 3D. t2 a Een balk van 8 cm lang, 6 cm breed en 4 cm hoog. b Een kubus met ribben van 3 cm.

Bekijk de figuren hieronder.

38 Werkblad 1.38 Op het werkblad zie je het begin van een balk in 3D. Maak de balk af. t2 a Waarom zijn deze figuren geen ruimtefiguren? b Teken één van de figuren na.

E

F

Woord

D

A

diepte voorvlak

B

zijvlak bovenvlak

Doel bereikt?

39 Een kubusvormig cadeau met ribben van 10 cm wordt ingepakt. Om het inpakpapier komt een lint van 2 cm breed, precies in het midden van de zijvlakken. Teken het ingepakte cadeau in 3D. t2

ɲ ɲ

Ik weet hoe ik diepte aanbreng in een tekening. r Ik kan een 3D-tekening namaken van een balk en een kubus. t1 ɲ Ik kan zelf een 3D-tekening maken van een balk of een kubus. Ook kan ik de breedte van een balk ongeveer bepalen aan de hand van een 3D-tekening. t2 ɲ Ik begrijp hoe ik letters in 3D kan tekenen. i

17

1.4

1

balk en kubus

1.5

Uitslagen DOEL → Je leert wat een uitslag van een ruimtefiguur is en hoe je een uitslag tekent.

Uitslag

Opdrachten – Uitslag

Als je een ruimtefiguur losknipt over een aantal ribben, openvouwt en plat neerlegt, krijg je een uitslag. Als je de ruimtefiguur over andere ribben losknipt, ziet de uitslag er anders uit.

Voorbeeld 1 ▸ Twee uitslagen van een kubus.

Als je een uitslag tekent, teken je alle grensvlakken van de figuur op ware grootte. De uitslag van een balk of kubus teken je zo: Stap 1 Teken het grondvlak.

Stap 2 Teken aan elke zijde een zijvlak.

Stap 3 Teken het bovenvlak aan één van de zijvlakken.

Voorbeeld 2 ▸ Teken een uitslag van de balk.

mm mm mm

2

mm

mm mm mm

18

3

mm

42 Schrijf van onderstaande uitslagen op van wat voor soort ruimtefiguur ze zijn. t1 a

Uitslag tekenen

1

41 Wat is een uitslag van een ruimtefiguur? r

b

43 Werkblad 1.43 Op het werkblad zie je de uitslag van de balk hiernaast.

Schrijf de letters van de hoekpunten op de juiste plek. t2 Let op: sommige letters komen vaker voor.

H E

G F

D A

C B

44 Werkblad 1.44 Op het werkblad zie je vier uitslagen van een kubus.

Het grondvlak is telkens gekleurd. Kleur in de uitslagen ook het bovenvlak. i

uitslagen

Opdrachten – Uitslag tekenen

48 Teken een uitslag van een balk van: t1 a 2 cm bij 3 cm bij 2 cm. b 3 cm bij 3 cm bij 5 cm.

45 Van de onderstaande balk hebben de grensvlakken die tegenover elkaar liggen dezelfde kleur. t1 S

R

P

1 cm

Q N

K

M 1,5 cm

L

3 cm

a Teken het grondvlak KLMN op ware grootte. b Teken aan ribbe KL het zijvlak KLQP. c Teken aan ribbe MN het zijvlak MNSR. d Teken aan ribbe KN het zijvlak KNSP. e Teken aan ribbe LM het zijvlak LMRQ. f Teken het bovenvlak PQRS aan één van de zijvlakken. g Geef alle vlakken de juiste kleur.

49 Het doosje hiernaast heeft de vorm van een balk.

De bovenkant heeft twee helften.

Teken een uitslag van het doosje. t2

3 cm

4 cm

4 cm

Breinbreker Een kubus heeft elf verschillende uitslagen. Teken alle elf uitslagen van een kubus.

46 Werkblad 1.46 Op het werkblad is een begin gemaakt van een uitslag van balk ABCD.EFGH hieronder. Maak de uitslag af en schrijf de letters bij de juiste hoekpunten. t2 H E

Woorden uitslag grondvlak

G 2 cm F

D

C

Doel bereikt?

4 cm A

6 cm

B

47 a Teken een uitslag van een dobbelsteen. Teken de ribben 4 cm lang. t1 b De ogen van een dobbelsteen zijn op evenwijdige grensvlakken altijd samen zeven. Teken de ogen op de uitslag van de dobbelsteen. t2

ɲ ɲ

ɲ ɲ

Ik weet wat een uitslag is. r Ik kan herkennen of een uitslag van een kubus of een balk is. Ook kan ik een uitslag van een balk of van een kubus tekenen. t1 Ik kan de letters van de hoekpunten aangeven in een uitslag. t2 Ik begrijp dat ik de uitslag van een balk en die van een kubus op verschillende manieren kan tekenen. i

19

1.5

1

balk en kubus

Praktische wiskunde – Balken en kubussen in gebouwen DOEL → Je leert balken en kubussen herkennen in je omgeving.

kubuswoningen, Rotterdam

O|2 gebouw, Amsterdam

Wanneer je om je heen kijkt, kun je in gebouwen kubussen en balken herkennen.

Een gebouw kan meerdere lagen hebben. Deze lagen noem je verdiepingen. De verdieping op de grond heet de ‘begane grond’. De eerste verdieping ligt daarboven.

Vuistregel: een verdieping is ongeveer 3 meter hoog.

Het Gebouw van Stanley Brouwn & Bertus Mulder, Leidsche Rijn

Balk van Beel, Leuven

20

praktische wiskunde

Opdrachten – Balken en kubussen in gebouwen

54 Het O|2 gebouw in Amsterdam heeft 14 verdiepingen. a Hoe hoog is het gebouw ongeveer in m? t2 b Het gebouw is een kubus waaruit halverwege een kubus verwijderd is. Wat is ongeveer de hoogte van de kubus die eruit gehaald is? t2 c Wat is ongeveer de inhoud van de kubus die uit het gebouw verwijderd is? t2 d Wat is ongeveer de inhoud van het O|2 gebouw? i e Teken de kubus van het O|2 gebouw in 3D. Je hoeft geen rekening te houden met de verwijderde kubus.

Teken 2 verdiepingen als 1 cm. t2 f Geef nu de verwijderde kubus in je tekening van opdracht e aan. Gum daarvoor een stuk van de juiste ribbe weg en teken het gebouw af. i

50 Wat is de hoogte in m van een verdieping ongeveer? r

51 De gele woningen op de linkerbladzijde worden ‘kubuswoningen’ genoemd. Leg uit waarom. t1

52 Bekijk het gebouw Balk van Beel op de linkerbladzijde. a Hoeveel op elkaar gestapelde balken herken je in dit gebouw? t1 b Hoe hoog is het gebouw ongeveer in m? t2

53 Het Gebouw in Leidsche Rijn bestaat uit twee even grote ruimtefiguren. a Uit wat voor soort ruimtefiguren bestaat Het Gebouw in Leidsche Rijn? t1 b Hoeveel zijvlakken heeft het gebouw? t1

55 Je gaat zelf een gebouw ontwerpen dat bestaat uit balken en kubussen. I a Teken een balk of kubus in 3D. Teken 1 m als 1 cm. b Verwijder een balk of een kubus uit je tekening of teken een tweede verdieping.

Op de zijvlakken van Het Gebouw zie je vierkanten.

Ook de ramen zijn even grote vierkanten. De zijde van elk vierkant is 1,5 m. c Bereken de lengte, de breedte en de hoogte van de begane grond. t2 d Bereken de inhoud van de begane grond. t2 e Bereken de totale inhoud van de twee verdiepingen. t2 f Teken de onderste verdieping in 3D. Teken 3 m als 1 cm. t2 g Teken een uitslag van de onderste verdieping. t2 h Kleur de vloer van het gebouw in de getekende uitslag van opdracht g rood. t2 i Kleur het glazen gedeelte van het gebouw in de getekende uitslag van opdracht g met een andere kleur. t2

Woord verdieping

Doel bereikt? ɲ ɲ ɲ

Ik weet wat een verdieping is. r Ik kan ruimtefiguren herkennen in gebouwen. t1 Ik kan gebouwen die bestaan uit balken en kubussen in 3D tekenen. Ook kan ik berekeningen maken bij gebouwen die bestaan uit balken en kubussen. t2 ɲ Ik kan zelf een gebouw ontwerpen en tekenen dat bestaat uit balken en/of kubussen. i

21

1

balk en kubus

Praktische wiskunde – Eenpuntsperspectief DOEL → Je leert diepte tekenen met eenpuntsperspectief.

De rails lopen evenwijdig, maar op de foto lijken ze elkaar in de verte te snijden.

De manier waarop je in deze paragraaf hebt geleerd hoe je diepte kunt aanbrengen in je tekening heet parallelprojectie.

Parallel is een ander woord voor ‘evenwijdig’: je tekent lijnen die in het echt evenwijdig lopen en die even lang zijn op de tekening ook evenwijdig en even lang.

Maar als je om je heen kijkt, lijken dingen die verder weg zijn kleiner dan dingen die dichterbij staan. Als je dit in een tekening wilt laten zien, gebruik je eenpuntsperspectief.

In een 3D-tekening met eenpuntsperspectief zijn de lijnen die diepte aangeven en in het echt evenwijdig lopen op de tekening niet meer evenwijdig. Als je deze lijnen denkbeeldig verlengt, snijden ze elkaar in het verdwijnpunt op de horizon.

Voorwerpen die verder weg liggen, zijn op de tekening kleiner dan dezelfde voorwerpen die dichterbij staan.

verdwijnpunt

horizon

22

Een balk in eenpuntsperspectief teken je zo 1 Teken een horizontale lijn. Dit is de horizon.

2 Kies op de horizon het verdwijnpunt.

3 Teken het voorvlak van de balk.

4 Teken stippellijnen van de hoekpunten van de balk naar het verdwijnpunt.

5 Teken tussen de stippellijn de verticale en horizontale lijnstukken van het achtervlak.

6 Maak de balk af door de ribben die diepte aangeven over de stippellijn te tekenen.

praktische wiskunde

Opdrachten – Eenpuntsperspectief 56 Noem twee verschillende manieren van tekenen waarmee je diepte kunt aanbrengen in je tekening. r

59 Werkblad 1.59 Op het werkblad staan de drie foto’s van de linkerbladzijde. a Teken op alle foto’s de horizon. t2 b Teken op alle foto’s het verdwijnpunt. t2 c De voorste lantaarnpalen op de brug lijken groter dan de lantaarnpalen die erachter staan. Laat met stippellijnen zien of dit echt zo is. i

57 Werkblad 1.57 Je ziet hieronder de voorvlakken van twee balken. Ook de horizon en het verdwijnpunt zijn getekend.

60 Werkblad 1.60 Je ziet hier het begin van een eenpuntsperspectief tekening. De twee strepen die er al staan, kunnen een weg zijn, of de rails van een treinspoor. Kies wat jij leuk vindt. Teken gebouwen, bomen of palen langs de weg of de rails. Maak de tekening af op het werkblad. i

horizon

horizon

a Bij de linker balk zijn de stippellijnen van de hoekpunten naar het verdwijnpunt al getekend.

Maak de balk af. Kies zelf hoe diep de balk is. t1 b Teken bij de rechter balk zelf de stippellijnen naar het verdwijnpunt. Maak de balk daarna af. t1 c Teken in beide balken een deur in het voorvlak en een raam in het zijvlak. t2

58 Werkblad 1.58 Op het werkblad zie je de voorvlakken van twee balken.

De horizon is al getekend. a Kies zelf een verdwijnpunt en maak de balken af. t1 b Wat is het verschil tussen de twee balken die je hebt getekend? t2 c Leg uit hoe het verschil van opdracht b ontstaat. i

ɲ ɲ ɲ ɲ

Woorden parallelprojectie parallel eenpuntsperspectief

Doel bereikt?

verdwijnpunt horizon

Ik weet wat parallelprojectie en eenpuntsperspectief zijn. r Ik kan een 3D-tekening in eenpuntsperspectief afmaken. t1 Ik kan in een afbeelding in eenpuntsperspectief de horizon en het verdwijnpunt aangeven. t2 Ik begrijp dat de plaats van de horizon ten opzichte van een ruimtefiguur invloed heeft op hoe je de ruimtefiguur ziet. i

23

1

balk en kubus

Toetsvoorbereiding

Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en de leerdoelen hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.

ɲ

Wiskundeweetje

61 Op elk grensvlak van een grote Rubiks kubus zitten 8 vierkanten in de lengte en 8 vierkanten in de breedte.

Hoeveel vierkanten zitten er in totaal op de Rubiks kubus? t2

ɲ

65 Bekijk de figuur hiernaast.

Elke kubus heeft een inhoud van 1 cm³. a Hoeveel blauwe kubussen tel je? t1 b Bereken de inhoud van alle blauwe kubussen samen. t1 c Hoeveel kleine kubussen moet je toevoegen om een grote kubus met ribben van 4 cm te maken? i

1.1

62 Geef aan of de volgende zinnen waar of niet waar zijn. t1 a Een kubus is een 3D-figuur. b Een 3D-figuur heet ook wel ‘ruimtefiguur’. c Een balk heeft acht grensvlakken. d Een balk heeft acht hoekpunten.

63 Neem over en vul in.

ɲ

66 Neem over en vul de juiste woorden in. r Kies uit: lengte / breedte / hoogte

H

E a AB is een ……… . t1 b Grensvlak BCGF staat loodrecht op de grensvlakken ……, ……, ……

D en …… . t2 c Ribbe GH is evenwijdig aan de A ribben ……, ……, en …… . t2 d De ribben AD, DH en CD komen samen in hoekpunt … . t1

1.3

G F

C

a inhoud kubus = ……… × ……… × ……… b inhoud balk = ……… × ……… × ………

67 Bereken de inhoud van de volgende ruimtefiguren. t1

B 20 cm

3 dm

13 m

0,4 m 11 m

ɲ

8m

9 cm

8 cm

1.2

64 In de balk hieronder heeft elke kubus een inhoud van 1 m³. Bereken de inhoud van de balk. t1

24

2,1 dm

68 Een groot luciferdoosje heeft een lengte van 8 cm en een breedte van 5,5 cm. De inhoud van het luciferdoosje is 132 cm³.

Wat is de hoogte van het doosje? i

toetsvoorbereiding ɲ

ɲ

1.4

69 Teken een balk van 4 cm bij 4 cm bij 3 cm op ware grootte in 3D. t2

70 Hiernaast zie je kubus ABCD.EFGH. Teken de kubus op ware grootte E in 3D. t1

74 Wat is het verschil tussen parallelprojectie en eenpuntsperspectief? t2

H

G F

D A

ɲ

75 Werkblad 1.75 Op het werkblad zie je de voorkant van een huis. De horizon en het verdwijnpunt zijn al getekend. Maak het huis af. Je mag zelf de diepte van het huis bepalen. t1

C 0,5 dm

Praktische wiskunde – Eenpuntsperspectief

horizon

B

1.5

71 Bekijk de uitslag hieronder. a

b

c d

e

f

ɲ a Van wat voor soort ruimtefiguur is dit een uitslag? t1 b Welke grensvlakken komen na het dichtvouwen van de ruimtefiguur tegenover elkaar te liggen? t2 c Teken twee andere uitslagen van deze ruimtefiguur. i

72 Werkblad 1.72 Op het werkblad is een begin getekend van de uitslag van een balk van 6 cm bij 2 cm bij 3 cm. Maak de uitslag af. t2

ɲ

Praktische wiskunde – Balken en kubussen in gebouwen

73 a Noem vijf voorwerpen uit het dagelijkse leven die de vorm hebben van een balk. t2 b Noem twee voorwerpen die de vorm van een kubus hebben. t2

Hoofdstuk 1

76 Bekijk de kubus ABCD.EFGH. t1 a Waarom is ribbe AD gestippeld? b Welk grensvlak ligt tegenover grensvlak BCGF? c Bereken de inhoud van de kubus.

H

G F

E

D A

C 8 cm

B

77 Je maakt van ijzerdraad een draadmodel van een balk van 3 cm bij 3 cm bij 5 cm.

5 cm

a Hoeveel ribben van 3 cm heeft deze balk? t1 b Bereken hoeveel cm ijzerdraad je gebruikt. t2 3 cm c Je maakt nog een draadmodel 3 cm van een balk. Het grondvlak van dit draadmodel is een vierkant met zijden van 5 cm.

In totaal gebruik je 1 m ijzerdraad. Hoe hoog is deze balk? i

25