Matematică. Culegere de exerciții clasa a VII-a

VREAU SĂ ȘTIU

Matematică

Culegere de exerciții. Rezolvări

ISBN 978-606-33-9346-4

GHEORGHE IACOVIȚĂ

rm

22

Matematică

N r. 3 8

/2 0

7 CLASA

C o nf o

Tradit, ie din 1989

Matematică. Culegere de exerciții. Rezolvări

Auxiliarul cuprinde: • teste de evaluare inițială, concepute și structurate după modelele publicate de Ministerul Educației, urmate de rezolvări și indicații de rezolvare; • exerciții și probleme rezolvate și explicate, care au ca scop înțelegerea raționamentului matematic; • fișe de lucru construite gradual, care permit revizuirea și aprofundarea cunoștințelor atât în timpul orei, cât și prin teme individuale; • teste sumative, structurate după modelul subiectelor de la Evaluarea Națională, clasa a VIII-a, însoțite de bareme de evaluare și notare; • teste finale anuale.

clasa a VII-a

Lucrarea aparține seriei Vreau să știu și constituie un excelent instrument în pregătirea elevilor la matematică, deoarece poate fi folosită în completarea oricărui manual școlar utilizat la clasă.

Prin conceptul inovativ care a stat la baza structurării materialului, culegerea oferă o metodă excelentă de aprofundare și evaluare, asigurând formarea competențelor prevăzute de programa școlară în vigoare.

O M 53 58

C U L E G E R E D E E X E R C I Ț I I . R E Z O LV Ă R I

VREAU SĂ ȘTIU

7 CLASA

GHEORGHE IACOVIȚĂ

Matematică C U L E G E R E D E E X E R C I Ț I I. R E Z O LV Ă R I

Matematică. Culegere de exerciții. Rezolvări Clasa a VII-a Gheorghe Iacoviță Copyright © 2023 Grup Media Litera Toate drepturile rezervate

Editura Litera tel.: 0374 82 66 35; 021 319 63 90; 031 425 16 19 e‑mail: contact@litera.ro www.litera.ro

Editor: Vidraşcu şi fiii Redactor: Gabriela Niță Corector: Carmen Bîtlan Copertă: Vlad Panfilov Ilustrații: arhiva Litera, shutterstock.com Tehnoredactare: Dorel Melinte, Banu Gheorghe, Lorena Ionică Prepress: A.B.C. POINT DESIGN S.R.L Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a României IACOVIȚĂ, GHEORGHE Matematică: clasa 7: culegere de exerciții, rezolvări / Gheorghe Iacoviță. – Bucureşti: Litera, 2022 ISBN 978-606-33-9346-4 51

Cuvânt-înainte Lucrarea de față, adresată elevilor de clasa a VII-a, este a treia dintr-o serie de patru culegeri pentru gimnaziu, cu titlul Vreau să știu.

Auxiliarul este realizat în conformitate cu Programa școlară în vigoare și poate fi folosit în completarea oricărui manual școlar de Matematică clasa a VII-a, oferind o metodă excelentă de aprofundare și evaluare.

Prima parte a auxiliarului cuprinde cinci teste de evaluare inițială, concepute și structurate după modelele publicate de Ministerul Educației.

Fiecare capitol prezintă exerciții și probleme rezolvate și explicate, care sprijină elevii în clarificarea noțiunilor teoretice predate la clasă și au ca scop înțelegerea raționamentului matematic. Sunt propuse, de asemenea, exerciții care necesită cunoștințe extinse care, de obicei, se predau în cadrul orelor de pregătire opțională sau chiar la clasă, acolo unde colectivele de elevi sunt mai receptive.

Din dorința de a ușura atât munca profesorului, cât și a elevului, sunt concepute fișe de lucru, construite gradual, care pot fi folosite în timpul orei, dar și pentru teme individuale. În funcție de complexitatea lecții­lor, numărul fișelor variază și permit revizuirea și aprofundarea cunoștințelor.

Fiecare capitol al cărții se încheie cu câte trei teste sumative, structurate după modelul celor date la examenele de Evaluare Națională la clasa a VIII-a. Acestea sunt însoțite de bareme de evaluare și notare.

Ultimul capitol al cărții cuprinde cinci teste finale anuale și un test de evaluare pentru absolvenții clasei a VII-a, elaborat și structurat întocmai ca un subiect de evaluare națională pentru absolvenții clasei a VIII-a.

Auxiliarul constituie un excelent instrument în pregătirea elevilor, pentru obținerea de bune rezultate la evaluările și examenele ulterioare.

Mult succes!

3

Cuprins Cuvânt-înainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 TESTE INIȚIALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

ALGEBRĂ I. MULȚIMEA NUMERELOR REALE . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 I.1. Rădăcina pătrată a unui număr natural; estimarea rădăcinii pătrate dintr-un număr rațional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Fișa de lucru 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.2. Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical . . . . . . . . . . . . . 20 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I.3. Numere iraționale; mulțimea numerelor reale; incluziunile ℕ ⸦ ℚ ⸦ ℤ ⸦ ℝ; modulul, compararea şi ordonarea numerelor reale; reprezentarea pe axă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 I.4. Operații cu numere reale (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, puteri cu exponent număr întreg); raționalizarea numitorului de forma a b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 I.5. Media aritmetică ponderată; media geometrică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.2. Ecuații de forma ax + b = 0 , unde a, b ∈ ℝ; mulțimea soluțiilor unei ecuații; ecuații

echivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.3. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute; rezolvare prin metoda substituției şi/sau prin metoda reducerii . . . . . . . 44 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 II.4. P robleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau al sistemelor de ecuații liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Teste de evaluare sumativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 III. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR . . . . . . . . 57 III.1. Produsul cartezian a două mulțimi nevide; reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale; distanța dintre două puncte din plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III.2. Reprezentarea şi interpretarea unor dependențe funcționale prin tabele, diagrame şi grafice; poligonul frecvențelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

I.6. Ecuația de forma x2 = a, unde a este un număr real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

GEOMETRIE

II. ECUAȚII ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE . . . . . . . . 39

I. PATRULATERUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 I.1. Patrulaterul convex; suma măsurilor

II.1. Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă; identități . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4

unghiurilor unui patrulater convex . . . . . . . . . . . . . 70

I.2. Paralelogramul: proprietăți. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 I.3. Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat; proprietăți . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Fișa de lucru 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Fișa de lucru 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 I.4. Trapezul, clasificare, proprietăți; linia mijlocie în trapez; trapezul isoscel, proprietăți . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 I.5. Arii: triunghi, paralelogram, paralelograme

III.3. Triunghiuri asemenea; criterii de asemănare a triunghiurilor; teorema fundamentală a asemănării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 IV. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 IV.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă; teorema înălțimii; teorema catetei . . . . . . . . . . . 134

particulare, trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

IV.1.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă . . . . . . . . . . . 134

Fișa de lucru 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Fișa de lucru 1 – Proiecții ortogonale pe o dreaptă. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 IV.1.2. Teorema înălțimii; teorema catetei . . . . . . . . . 136

Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Fișa de lucru 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 II. CERCUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 II.1. Unghi înscris în cerc; coarde şi arce în cerc;

Fișa de lucru 2 – Teorema înălțimii; teorema catetei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 IV.2. Teorema lui Pitagora; reciproca teoremei lui Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 IV.3. Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

tangente dintr-un punct exterior la un cerc . . . . 100

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

IV.4. Rezolvarea triunghiului dreptunghic; calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) în poligoane regulate . . . . . . . . 149

II.2. Poligoane regulate înscrise într-un cerc . . . . . . 105 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 II.3. Lungimea cercului şi aria discului . . . . . . . . . . . . 107

Fișa de lucru 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Fișa de lucru 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . 156

TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

TESTE FINALE ANUALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

III. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR . . . . . . . . . . . . . . 114 III.1. Segmente proporționale; teorema paralelelor echidistante . . . . . . . . . . . . 114 Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Testul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Testul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Testul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Testul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Testul 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

teoremei lui Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

TEST TIP EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VII-a . . . . . . . . . . . . 170

Fișă de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

RĂSPUNSURI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

III.2. Teorema lui Thales; reciproca

5

TESTE INIȚIALE • Toate subiectele sunt obligatorii. Din oficiu se acordă 10 puncte.

• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor se acordă 90 de puncte.

TESTUL 1 I

5p

Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

A. 3

5p

3. Dacă

A. 5p

5p 5p

5p 5p

5p

II

2

B. 2

C. –2

D. –12

2. Dacă a, b∈ℕ*, a · b = 180, (a, b) = 3, atunci [a, b] este egal cu:

A. 12 5p

(45p)

1. Rezultatul calculului 15 : (–3) – 3 – (–4 ) este: 2

B. 15

C. 30

D. 60

2 3

D.

x 2y − x = 0,8 , atunci valoarea raportului este egală cu: y x+ y

6 5

B.

8 10

C.

6 10

4. Un obiect care costa 160 lei s-a scumpit cu 25% și apoi s-a ieftinit cu același procent,

25%. Obiectul costă acum: A. 160 lei B. 150 lei C. 200 lei D. 180 lei 5. Dacă 4 muncitori termină o lucrare în 18 ore, atunci 9 muncitori termină aceeași lucrare în: A. 8 ore B. 40,5 ore C. 27 ore D. 36 ore 6. Trei numere sunt direct proporționale cu numerele 2, 3 și 4, iar suma lor este 36. Cel mai mare număr este: A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. Suplementul complementului unghiului cu măsura de 20° are măsura egală cu: A. 70° B. 160° C. 110° D. 140° 8. Dacă un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi de 6 cm și 8 cm, iar mediana dusă din vârful unghiului drept este de 5 cm, atunci perimetrul triunghiului este egal cu: A. 19 cm B. 24 cm C. 20 cm D. 28 cm 9. Unghiul obtuz format de bisectoarele interioare a două unghiuri ale unui triunghi echilateral are măsura egală cu: A. 140° B. 160° C. 120° D. 150° Scrieți rezolvările complete. 

1 5

(45p)  5

9p

1. Efectuați: 2 −   4,(3) −  : − 0, 4  ⋅ .

6 3   7

9p

2. Determinați elementele mulțimii: A = x ∈ 





 x−2 ∈  .

2x + 1 

7

9p

9p

9p

3. Un turist parcurge un traseu în 3 zile. În prima zi, turistul parcurge două cincimi din drum,

în a doua zi parcurge trei șeptimi din restul drumului, iar în a treia zi, restul de 12 km. Aflați lungimea traseului.

A 4. În triunghiul dreptunghic ABC din figura alăturată,  A = 90°, BD este D bisectoarea ABC , iar ACB = 30°. Arătați că aria triunghiului ADB reprezintă 50% din aria triunghiului BCD. B C 5. Pe latura BC a triunghiului echilateral ABC se consideră punctele D și E astfel încât BD = DE = EC. Arătați că d(D; AB) = d(E; AC).

TESTUL 2 I

Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect.

5p

1. Rezultatul calculului 62 + 33 : −32 − ( −2 )  ⋅ 5 este:

A. 0 5p

B. 1

3. Dacă

A. 5p

5p 5p 5p 5p

5p

8

2



C. 21

2. Dacă (a, b) = 3, a · b = 54, a, b ∈ , a, b > 1, a < b , atunci a și b pot fi:

A. 18 și 3

5p

( )



2 3

B. 9 și 6

(45p)

C. 2 și 27

D. 41 D. 6 și 9

3x − 2 y x = 0,1 , atunci valoarea raportului este: 2x + y y B.

3 4

C.

4 3

D.

3 2

4. Dacă 9 băieți reprezintă 45% din numărul elevilor unei clase, atunci numărul fetelor din clasa

respectivă este egal cu: A. 11 B. 12 C. 14 D. 16 5. Dacă 5 caiete costă 4 lei, atunci 8 caiete de același fel costă: A. 9,2 lei B. 8 lei C. 6,4 lei D. 5,6 lei 6. Dacă suma a trei numere întregi consecutive este 0, atunci cel mai mic număr este: A. 2 B. 1 C. 0 D. –1 7. Complementul suplementului unghiului cu măsura de 115° are măsura de: A. 15° B. 25° C. 35° D. 65° 8. Înălțimea din vârful unui triunghi isoscel ABC, AB = AC, este AD = 8 cm, D ∈ BC , iar medi-

ana DM corespunzătoare laturii AC a triunghiului ADC este de 5 cm. Dacă perimetrul triunghiului ADC este de 24 cm, atunci perimetrul triunghiului ABC este egal cu: A. 48 cm B. 36 cm C. 32 cm D. 28 cm 9. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 22 cm, iar lungimea unei laturi este de 8 cm.

Cea mai mică latură are lungimea egală cu: A. 6 cm B. 7 cm C. 6 cm sau 7 cm D. 8 cm

II

La următoarele probleme se cer rezolvări complete.

2

(45p)

2

9p

 2  2  4  1. Efectuați: 12,8 : 8 −  ⋅  :  −  .

5  3  5  

9p

2. Determinați toate numerele întregi x pentru care fracția

9p

3. Prețul unui obiect se mărește cu 15%, apoi, în cadrul unei promoții, se ieftinește cu 25%,

4x − 3 ∈ .

3x + 2

ajungând să coste 138 lei. Care a fost prețul inițial al obiectului?

9p

4. În triunghiul dreptunghic ABC, BAC = 90°, CD este bisectoarea

unghiului ACB, iar DE ⊥ BC, E∈BC, AE ∩ CD = {Q}, Arătați că CD ⊥ AE .

9p

D B

A Q

E

C

5. Triunghiul oarecare ABC are măsura unghiului exterior ACD egală cu 3x – 14°, D ∈ AC ,

măsura unghiului ABC este egală cu x + 18°, iar măsura unghiului BAC este egală cu media aritmetică a măsurilor celorlalte două unghiuri ale triunghiului. Aflați x.

TESTUL 3 I

Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect.

5p

1. Rezultatul calculului 15 : ( −3) − ( −2 )  : −32 este:

5p

A. –1 B. 1 C. 2 2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 27 este: A. 9 B. 36 C. 54

5p 5p 5p 5p

5p

5p



3. Dacă x + y = 15 și

2



(45p)

( )

D. 3 D. 108

2 x = , atunci diferența y – x este egală cu: 3 y

A. 3 B. 1 C. –1 D. –3 4. Dacă 32% dintr-un număr este 48, atunci numărul este egal cu: A. 64 B. 102 C. 150 D. 184 5. Dacă 6 robinete umplu un bazin în 4 ore, atunci 8 robinete pot umple același bazin în: A. 12 ore B. 8 ore C. 6 ore D. 3 ore 6. Dacă trei numere sunt proporționale cu 4, 5 și 6, iar media aritmetică a numerelor este 10, atunci diferența dintre cel mai mare și cel mai mic număr este egală cu: A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. Dacă două unghiuri exterioare ale unui triunghi au măsurile de 120° și 140°, atunci măsura unghiului triunghiului neadiacent cu niciunul din unghiurile exterioare date are măsura egală cu: A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 8. Dacă un triunghi are două unghiuri cu măsurile de 50° și 70°, atunci bisectoarea celui de-al treilea unghi formează cu laturile sale unghiuri cu măsura de: A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

9

5p

9. Un triunghi dreptunghic are aria egală cu 6 cm2. Dacă lungimea ipotenuzei este egală cu 5 cm,

atunci lungimea înălțimii duse din unghiul drept este de: A. 5,6 cm B. 4,8 cm C. 3,2 cm II

La următoarele probleme se cer rezolvări complete. 

9p 9p 9p

2. Găsiți toate numerele de forma 12xy divizibile cu 15.

9p



(45p)

2 1  5 2  33  : −  : + 0,(3).

2  2 3  12

1. Efectuați:  3 −

9p

D. 2,4 cm

3. Suma a trei numere naturale este egală cu 65. Aflați numerele, știind că suma primelor două

este cu 1 mai mare decât al treilea număr, iar împărțind pe al treilea la primul se obține câtul 2 și restul 2.

C 4. Triunghiul ABC din figura alăturată este isoscel, AB = AC, iar CA E este bisectoarea unghiului BCD, AE ⊥ BC, E ∈ BC. Demonstrați că aria triunghiului ABC este de două ori mai mare decât aria triunghiuB D lui ADC, unde D este piciorul perpendicularei din punctul C pe AB. A 5. În figura alăturată triunghiurile AMN și ABC sunt isoscele, cu vârful

A

comun A, iar AD ⊥ BC, D ∈ BC. Se știe că P∆ABC = P∆ADM = 36 cm, iar P∆AMN = 48 cm. Calculați perimetrul triunghiului ADB. M

B

D

C

N

TESTUL 4 I

5p

Scrieți litera corespunzătoare singurului răspuns corect.



B. –2 B. 32

3. Termenul necunoscut x din proporția

A. 2 5p

2



C. –1

D. 1

2. Dacă 12,5% dintr-un număr este 8, atunci numărul este egal cu:

A. 16 5p

3

2 1. Rezultatul calculului 12 : ( −2 ) − ( −2 ) + 1 : ( −2 ) − 2 este egal cu:

A. –3 5p

2

(45p)

B. 3

C. 48

D. 64

14 21 = este egal cu: 3x 9 C. 4

D. 6

4. Suma a două numere este 29. Împărțind numărul mai mare la cel mai mic se obține câtul 4

și restul 4. Diferența dintre cele două numere este egală cu: A. 18 5p

C. 20

D. 21

5. Dacă 3 caiete costă 2,4 lei, atunci 5 caiete de același fel costă:

A. 8 lei

10

B. 19 B. 6 lei

C. 4 lei

D. 10 lei

5p

6. Raportul a două numere este egal cu

suma lor este egală cu: A. 21

5p

B. 18

C. 12

D. 16

7. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC, BAC = 90° și ACB = 30°. Măsura unghiului

format de înălțimea și bisectoarea duse din vârful A are măsura egală cu: A. 60°

5p

3 . Dacă diferența numerelor este egală cu 3, atunci 4

B. 45°

C. 30°

D. 15°

8. Dacă unghiurile cu măsurile (în grade) de 4x – 30° și 3x + 25° sunt unghiuri alterne interne

formate de două drepte paralele tăiate de o secantă, atunci x este egal cu: A. 45° 5p

B. 50°

C. 55°

D. 60°

9. Fie ABC un triunghi echilateral cu perimetrul de 24 cm și AD înălțimea dusă din A pe BC,

D ∈ BC . Mediana DE, corespunzătoare laturii AC a triunghiului ADC, are lungimea de:

A. 12 cm II

B. 8 cm

C. 6 cm

D. 4 cm

La următoarele probleme se cer rezolvări complete.

(45p)

2023

9p

2

2 1. Efectuați: 23 : 42 20120 23

9p

2. Determinați elementele mulțimii: A = x ∈  |

9p

3. Un obiect se scumpește cu 12%, iar după o perioadă se ieftinește cu 25%, ajungând să coste

9p

9p

 

.

3  ∈  .

2x −1 

147 lei. Aflați prețul inițial al obiectului.

4. În figura alăturată triunghiul ABC este isoscel, AB = AC, ABC = 30°, iar AD ⊥ BC , D ∈ BC .

Punctul E aparține dreptei AB și este simetricul punctului D față de latura AC, iar Q este punctul de intersecție dintre AC și DE. Arătați că AC .

AQ = 4

E A B

5. Arătați că triunghiul ABC din figura alăturată, care are

30°

Q C

D

A

3 x° A= + 15°, B = x°, iar unghiul exterior ACD, cu 2 măsura de 3x° – 10°, este dreptunghic.

A=

B

x

3 x° + 15°, 2

3x –

C

10°

D

11

ALGEBRĂ

I. MULȚIMEA NUMERELOR REALE I.1. R ădăcina pătrată a unui număr natural; estimarea rădăcinii pătrate dintr-un număr rațional EXERCIȚII REZOLVATE 1

Calculați:

(−5) 2 ;

36;

0.

Rezolvare: 2

( −5) =−5 =5 ;

36= 6= 6 ; 2

0 =0.

alculați rădăcina pătrată din numerele naturale pătrate perfecte: C a) 324; b) 1296; c) 2304.

Rezolvare:

(

a) 324 = 22 · 34; 324 = 2 ⋅ 32

324 = 18 18 18 ; = )= 2

2

2

b) Să calculăm rădăcina pătrată a numărului 1296, urmărind algoritmul de mai jos.

1)

12 ' 96

– Despărțim numărul în grupe de câte două cifre de la dreapta la stânga.

2) 12 ' 96 3 9 =3

– Căutăm numărul cel mai mare al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 12.

Acesta este 3 și îl scriem în dreapta, sus. Pătratul numărului se așază sub 12.

Efectuăm scăderea. Obținem 3, primul rest parțial.

3) 12 ' 96 3 9 6 =396

– Lângă primul rest parțial coborâm grupa următoare.

Obținem 396. Dublăm cifra 3 a rădăcinii pătrate.

Obținem numărul 6, pe care îl așezăm sub 3.

4) 12 ' 96 36 – Ignorând ultima cifră a numărului 396, obținem numărul 39.

9 66·6 = 396 Împărțim 39 la 6 și obținem câtul 6. Așezăm cifra 6 la dreapta numărului 6. =396 Obținem numărul 66. Înmulțim 66 cu 6 și obținem 396.

396 Scădem 396 din 396 și obținem restul 0. Trecem cifra 6 la rădăcina pătrată. = = = Aici algoritmul se încheie.

23'04 48 c) Vom proceda ca la subpunctul b), fără să mai scriem algoritmul în cuvinte.

16 88 · 8 = 704 Observați alături cum am procedat. = 704 704 ===

14

3

a ⋅ b = a ⋅ b și

Calculați, folosind proprietățile: a)

3 ⋅ 27;

b) 18 ⋅ 2;

a:= b

a = b

a , b ≠ 0: b

a= :b

c) 125 : 5;

d)

343 : 7.

Rezolvare:

a)

3 ⋅ 27 = 3 ⋅ 27 = 81 = 92 = 9;

c) 125 := 5 4

125= :5

= 52 5;

= 25

b) 18 ⋅ 2=

18 ⋅ 2=

d)

343: = 7

343 := 7

36= = 49

62= 6; = 7 2 7.

Verificați dacă: a) 9 + 4 = 13; Ce observați?

b)

36 − 9 = 27;

c)

64 − 49 + 100 = 11.

Rezolvare:

a)

9 + 4 = 3 + 2 = 5 ≠ 13; b)

c)

64 49 100 8 7 10 1 10 11.

36 − 9 = 6 − 3 = 3 ≠ 27;

Observație: În general, NU sunt adevărate expresiile: pentru orice numere naturale a și b.

5

Rezolvare:

6

a − b = a − b,

Calculați: a)

a)

a + b = a + b sau

4 = 9

4 ; b) 9 2

2  3 =  

2

 3 . − 4  ;  

0,09; c)

2 2 ; = 3 3

2 0,3 = | 0,3 =| 0,3 ; c)

b) 0,09 =

2

3 3.  3  −  =− = ; 4 4  4

Calculați rădăcina pătrată a următoarelor numere raționale pozitive: a) 1,21; b) 0,0144; c) 12,25; d) 0,000049.

Rezolvare:

= a) 1,21 b)

= c) 12,25 d)

144 = 10000

= 0,0144

1225 = 100

= 0,000049

2

112 = 102

121 = 100

11  11   = = 1,1; 10  10  122 = 1002

352 = 102

49 = 1000000

2

12  12  = = 0,12;   100  100  2

35  35   = = 3,5; 10  10  72 = 10002

2

7  7  = = 0,007.   1000 1000  

15

7

Încadrați între două numere naturale consecutive: a)

2;

b)

c) 138;

7;

d) 12,9.

Rezolvare:

a) 1 < 2 < 4 ⇔ 1 < 2 < 4 ⇔ 1 < 2 < 2; b) 4 < 7 < 9 ⇔ 4 < 7 < 9 ⇔ 2 < 7 < 3; c) 121 < 138 < 144 ⇔ 121 < 138 < 144 ⇔ 11 < 138 < 12; d) 9 < 12,9 < 16 ⇔ 9 < 12,9 < 16 ⇔ 3 < 12,9 < 4.

8

Extrageți rădăcina pătrată din

655,36 .

Rezolvare:

Vom descrie algoritmul extragerii rădăcinii pătrate dintr-un număr rațional pozitiv scris sub formă zecimală.

1)

6 ' 55, 36

2) 6 ' 55, 36 25 4 46 · 6 = 276 255 45 · 5 = 225 225 = 30

– Despărțim numărul în grupe de câte două cifre, de la virgulă spre dreapta, și de la virgulă spre stânga. Prima grupă poate fi formată dintr-o singură cifră, iar dacă ultima este formată dintr-o singură cifră, se completează cu o cifră de 0.

– Procedăm ca la numere naturale (până ajungem la virgulă).

Atenție! 25 împărțit la 4 dă câtul 6, însă 46 · 6 este mai mare decât 255. Încercăm cu cifra 5; aceasta convine.

3) 6 ' 55, 36 25, 4 46 · 6 = 276 255 45 · 5 = 225 225 50 = 3036

– Punem virgula la rădăcina pătrată și coborâm lângă restul parțial grupa din dreapta virgulei. Dublăm 25 (facem abstracție de virgulă) și obținem 50.

4) 6 ' 55, 36 25,6 4 46 · 6 = 276 255 45 · 5 = 225 225 506·6 = 3036 = 30 36 30 36 = = = =

– Continuăm ca la numere naturale.

Trecem 6 la rădăcina pătrată la dreapta virgulei.

Restul parțial este 0.

Algoritmul se încheie.

16

Fișa de lucru 1 Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

• Descompunem numărul în factori primi.

• Scriem numărul ca putere cu exponentul 2.

• Baza puterii este rădăcina pătrată a numărului dat.

1. Scrieți toate numerele pătrate perfecte cuprinse

între 50 și 250.

2. Calculați:

162; (–11)2; (–2)4; (3 · 7)2; [(–8) · (–2)]2; [(–3)1]2; [18 : (–3)2]2.

3. Aflați rădăcina pătrată a numerelor:

16; 81; (–7)2; (–5)4; 169; 4·25; 36a2.

4. Calculați:

16;

64;

121;

900;

(−125) 2 .

(−4)6 ;

17 2 ;

484;

9. Calculați:

a) 15376 − 13924; b)

28561 + 58081 − 167281;

c)

34969 + 19321 − 60516;

d) 186624 − 39204 − 44944.

10. Efectuați calculele:

a)

5. Calculați:

52 + 122 ;

b) 162 122 ; d) 182 + 242 ;

a)

32 ⋅ 24 ;

b)

26 ⋅ 52 ⋅ 32 ;

c) 152 + 202 ;

c)

(−7) 2 ⋅ (−2) 2 ;

d)

42 ⋅ 34 ;

e)

352 − 282 ;

f)

452 − 362 ;

e)

(−5) 2 ⋅ 62 ;

f)

(−8) 2 ⋅ (−2)6 ;

g)

392 − 362 ;

h)

522 − 482 .

g) 132 ⋅ (−2) 4 ;

h)

232 ⋅ (−11) 2 .

6. Folosind descompunerea în produs de puteri de

11. Efectuați calculele:

a)

5 ⋅ 2025 − 7 ⋅ 784 ;

factori primi, calculați rădăcina pătrată:

b) 958 − 13689 − 699 − 529 ;

a) 324; 676; 784; 484; b) 1024; 1764; 1296; 1936.

c) 1208 − 2704 −

7. Folosind algoritmul de extragere a rădăcinii

pătrate, calculați: a)

576;

b) 1444;

361; 1225;

529;

961;

2704;

4624.

8. Folosind algoritmul de extragere a rădăcinii

pătrate, calculați: a) 10404;

b) 15876;

c)

20736;

d)

29241;

e)

42849;

f)

31684;

g)

34225;

h)

37636.

1521 + 1764 ;

d)

5184 + 9409 −

e)

7888 3 37 7056 4629 7

4624 + 2809 ;

3136 1936 .

12.

Arătați că următoarele numere sunt pătrate

perfecte, apoi calculați rădăcina pătrată a lor: a = 1 + 2 + 3 + ... + 288; b = 1 + 3 + 5 + ... + 2023; c = 3 + 6 + 9 + ... + 72; d = 34 + 37 + 40 + ... + 304 – 3; e = 9 + 15 + 16 + 17 + ... + 55; f = (20 + 21 + 22+ 23 + ... + 215) + 1.

17

I.5. Media aritmetică ponderată; media geometrică EXERCIȚII REZOLVATE 1 Calculați media aritmetică ponderată a numerelor 3, 5 și 6 știind că acestea au ponderile 2, 3,

respectiv 4.

Rezolvare:

3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 4 6 + 15 + 24 = = 2+3+ 4 9

= map

5

45 = 5.

91

2 La sfârșitul anului școlar, un elev are: 3 medii de 7; 4 medii de 8; 5 medii de 9 și 6 medii de 10.

Determinați media anuală obținută de elev.

Rezolvare: 79

3 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 + 5 ⋅ 9 + 6 ⋅ 10 21 + 32 + 45 + 60 158 79 = = =  8,77 .

3+ 4+5+ 6 18 9 18 9

= map 3

Aflați media geometrică a numerelor: a) 0,16 și 0,4;

b) 18 și 98;

c)

Rezolvare:

a) m = g

0,16 = ⋅4

c) mg =

6 2 ⋅ = 8 27

4

b) mg = 18 ⋅ 98 =

0,64 = 0,8; 6

1

2

2 21

⋅

2 = 27 9

6 2 și .

8 27 2 ⋅ 9 ⋅ 2 ⋅ 49 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42;

1 1 = .

9 3

Media geometrică a numerelor naturale 4 și x este egală cu 8. Aflați numărul x.

Rezolvare: 16

mg = 4 ⋅ x = 8 ⇔ 4 ⋅ x = 64 ⇒ x = 5

64 = 16.

41

Aflați numerele naturale a, b și c știind că media geometrică dintre a și b este egală cu 4, media geometrică dintre b și c este 12, iar media geometrică dintre a și c este egală cu 6.

Rezolvare:

a ⋅ b = 4, b ⋅ c = 12, a ⋅ c = 6 ⇔ a ⋅ b = 16, b ⋅ c = 144, a ⋅ c = 36 . Înmulțim, membru cu membru, ultimele trei egalități și obținem: (a ⋅ b) ⋅ (b ⋅ c) ⋅ (a ⋅ c) = 16 ⋅ 144 ⋅ 36 ⇔ a 2 ⋅ b 2 ⋅ c 2 = 42 ⋅ 122 ⋅ 62 ⇔ (a ⋅ b ⋅ c) 2 = (4 ⋅ 12 ⋅ 6) 2 ⇒ ⇒ a · b · c = 4 · 12 · 6, adică a · b · c = 288. În această ultimă relație, vom înlocui, pe rând, produsele 18

2

288 288 = 18; a · 144 = 288 ⇒ a = = 2; obținute din media geometrică, astfel: 16 · c = 288 ⇒ c = 16 1 144 1 8 288 = 8. În final, numerele sunt: a = 2, b = 8 și c = 18. b · 36 = 288 ⇒ b = 36 1

30

Fișă de lucru 1. Calculați media aritmetică ponderată a nume-

relor: a) 5, 7 și 9 cu ponderile 9, 4, respectiv 3; b) 4,2; 3,5 și 6 cu ponderile, 5, 2, respectiv 3; 1 1 1 și cu ponderile 9, 8, respectiv 15; c) , 3 4 5 d)

8, 18 și respectiv 4.

72 cu ponderile 3, 2,

2. Rezultatele obținute de elevii unei clase la un

test sunt înregistrate în tabelul de mai jos: Nota 5 6 7 8 9 10 Număr elevi 2 3 5 8 4 3 Calculați media clasei la test.

3. Media ponderată a numerelor 3, 7 și x, având

ponderile 6, 4, respectiv 2, este egală cu 5.

Aflați numărul natural x.

4. Calculați media geometrică a numerelor:

a) 4 și 9; 3 și 12; 5 și 20; 9 și 16; 5 și 45; 15 și 60; b) 12 și 18; 24 și 42; 16 și 40; 32 și 48; 25 și 50; 49 și 56; c) 3 și 27; 2 și 8; 8 și 50; 24 și 54; 5 și 125; 18 și 32.

5. Calculați media geometrică a numerelor:

a) b) c)

24 + 54 și 96 − 6 ; 75 și 243 ; 54 și 6 ; 15 125 d) și .

81 5 6. Fie x = 32 + 98 − 72 și y = 128 + 50 + 8. Calculați: a) media aritmetică a numerelor x și y; b) media geometrică a numerelor x și y; c) media aritmetică a numerelor x și y cu ponderile 3, respectiv 2.

7. a) Se dau numerele: x = 1,(3); y =

3

−1

și

z = 27 . Calculați x ⋅ y ⋅ z. b) Calculați media aritmetică ponderată a numerelor y și z cu ponderile 6, respectiv 2.

• Media aritmetică a n numere este: a + a + ... + an . ma = 1 2 n •M edia aritmetică a numerelor a1, a2, ..., an cu ponderile p1, p2, ..., pn este: a ⋅ p + a ⋅ p + ... + an ⋅ pn . map = 1 1 2 2 p1 + p2 + ... + pn Prin pondere înțelegem de câte ori se repetă numărul respectiv.

• Media geometrică (proporțională) a două numere reale nenegative este egală cu rădăcina a ⋅ b , a, b ≥ 0. pătrată din produsul lor: m= g Dacă 0 ≤ a ≤ b , atunci a ≤ a ⋅ b ≤ b .

8. Se dau numerele: a = 2 − 5 și b = 1− 20 .

Calculați: a) 2 ∙ a + b; b) media aritmetică ponderată a numerelor a și b cu ponderile 2, respectiv 8.

9. Media aritmetică a două numere este egală cu

4 7 . Dacă unul dintre ele este de 3 ori mai mare decât celălalt, aflați numerele.

10. Dacă media geometrică a numerelor x și 2 2

este egală cu 4, aflați numărul pozitiv x.

11. Media geometrică a două numere raționale este

egală cu 4. Aflați numerele știind că primul reprezintă 25% din al doilea.

12. Determinați numărul x∈  + , știind că media −1

27 2 este   .

24 3 13. Calculați media geometrică a numerelor reale pozitive a și b știind că: geometrică dintre el și

a) 2a − 48 +

( 3b − 27 ) ≤ 0;

b) 3a − 54 +

24 − b = 0;

c)

2

( a − 3 5 ) + ( 180 − b ) ≤ 0.

2

31

TESTE DE EVALUARE SUMATIVĂ • Toate subiectele sunt obligatorii. Din oficiu se acordă 10 puncte.

• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor se acordă 90 de puncte.

TESTUL 1 SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p

1. Rezultatul calculului: a)

5p

46

5p

24 și

24

d)

2

96 este egală cu:

b) 4 3

c) 3 2

d) 2 3

b) a = b

b)

6

c) a < b

d) a = b – 1

6 devine: 12 c)

3

d)

2

c)

5 5

d)

5 3

5. Dacă a = 3 5 , atunci a −1 este egal cu: a)

5p

c)

32

4. După raționalizare și simplificare, fracția a) 12

5p

b)

3. Între numerele a = 2 6 și b = 5, există relația: a) a > b

5p

72 − 18 − 8 este egal cu:

2. Media geometrică a numerelor a) 3 6

(30 p)

5 15

b)

5 9

6. Aproximat prin adaos, la sutimi, numărul a) 2,62 b) 2,63

7 este egal cu: c) 2,64

d) 2,65

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

(30 p)

−1

5p

 1 1 4   2 + −  este pătratul numărului: 1. Rezultatul calculului  ⋅ 18 50   15   8 a)

5p

b)

1 3

c)

1 4

2. Media geometrică a două numere reale pozitive este egală cu reprezintă 12,5% din celălalt, atunci cel mai mic este egal cu: a)

34

1 2

6 2

b)

6 3

c)

6 4

d)

1 6

3. Dacă unul dintre numere d)

6 6

5p

a) 4 5p

2 3. Cardinalul mulțimii M = x  | x 2 este egal cu:

b) 3

c) 2

d) 1

4. Ordinea crescătoare a numerelor= a 3= ,b = 8 , c 3= 2, d a) a, b, c, d

b) b, d, a, c

12 este:

c) c, d, a, b

d) b, a, d, c

5p

5. Cel mai mare număr întreg mai mic decât a) –2 b) –1

5p

6. Dacă un pătrat are aria de 108 cm , atunci perimetrul pătratului este egal cu:

5 − 3 este: c) 0

d) 1

2

a) 24 3 cm2

b) 32 3 cm2

c) 36 3 cm2

d) 54 3 cm2

SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete.

(30 p)

10p

1. Demonstrați că numărul

2n + 3n + 4n − 1 , n ∈  este irațional.

10p

2. Găsiți cifra a, astfel încât

a1 + a 2 + ... + a9 ∈ .

1a + 2a + ... + 9a

3. Trei numere sunt astfel încât media aritmetică a primelor două este egală cu 2 3, media aritmetică dintre al doilea și al treilea este egală cu 4 3 , iar media aritmetică dintre primul 6p 4p

și al treilea este egală cu 3 3 . a) Aflați media aritmetică a celor trei numere. b) Aflați numerele.

TESTUL 2 SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p

1. Rezultatul calculului a) −

5p

1 6

5p

1 5

c)

2. Media geometrică a numerelor 12 și b) 4 3

b) 3 7

a) 23 ·

3 · 52

d)

b) 2 · 3 · 5 2

2

6 6

48 este egală cu:

32 și

d) 3 2

98 , cu ponderile 3 și 6, este egală cu:

c) 3 6

4. După scoaterea factorilor de sub radical, 3

1 5

c) 2 6

3. Media aritmetică ponderată a numerelor a) 6 2

5p

3 2 − este egal cu: 2 3 b) −

a) 2 15

(30 p)

d) 4 3

720 se scrie: c) 22 · 3 ·

5

d) 24 · 32 · 52

35

5p

a) 5p

4 7 , se obține: 224

5. Raționalizând și simplificând fracția 7 2

b)

6 2

c)

3 2

2 2

d)

6. Între numerele a = 3 7 și b = 8, există relația: a) a > b b) a < b c) a = b

d) a – b = 1

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p

1. Media aritmetică a numerelor a = a) 6 2

5p

3 3

5p

c) 4 3

3 6

(

6

d) 2 6

c)

) ( )

b)

2 18  

−1

3 9

d)

3 18

− 8, este egal cu: c)

3

d) 0

2

4. Ordinea descrescătoare a numerelor = a 3= 3 , b= 5, c 2= 7 , d 4 2 este: a) a, b, c, d

5p

b)

−3  3. Rezultatul calculului  3 2 ⋅ 

a) 5p

b) 3 6

( 3 + 2) este egală cu:

2. Dacă x = 12 și y = 27 , atunci x −1 − y −1 este egal cu: a)

5p

72 − 54 și b = 3 2 ⋅

(30 p)

b) d, c, a, b

c) c, d, b, a

d) b, a, d, c

5. Cel mai mare număr întreg mai mic decât 2 3 − 3 2 este: a) –1 b) 0 c) 1

d) 2

6. Un pătrat cu aria de 32 cm2 are latura egală cu lățimea unui dreptunghi al cărui perimetru este 20 2 cm. Lungimea dreptunghiului este egală cu: a) 4 2 cm

b) 5 2 cm

c) 6 2 cm

d) 10 2 cm

SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete.

(30 p)

10p

1. Demonstrați că numărul

10p

2. Arătați că numărul n aparține mulțimii . −1 −1  1 1 1  1  5  = − + n  ⋅ 6 − 2 − 3 + ⋅3 −  2  24 8 3  12

10p

3. Trei numere reale pozitive a, b, c sunt proporționale cu 1, a2 + b2 + c2 = 36.

36

a 7 + 5 ⋅ (a + 3) este irațional.

(

)

2 și 3. Aflați numerele știind că

III. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR III.1. P rodusul cartezian a două mulțimi nevide; reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale; distanța dintre două puncte din plan PROBLEME REZOLVATE 1 Fie mulțimile A = {1, 3, 5} și B = {2, 4}. Calculați A × B și B × A .

Rezolvare:

A × B = {(1; 2), (1; 4), (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}. B × A = {(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5)}.

Observăm că A × B ≠ B × A .

2

y

eprezentați în plan punctele A(2; 1), B(–1; 2), R C(–2; –1), D(1; –2).

Rezolvare:

B –2

Figura alăturată.

C

3

2 1

–1 0 –2

ie punctele A(–3; –4) și B(5; 2). Găsiți lungimea F segmentului AB.

AB = 4

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 Deci, AB =

(5 + 3) 2 + (2 + 4) 2 =

1 –1

x

2

D

y

Rezolvare:

Putem aplica teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC, unde punctul C este intersecția paralelelor duse prin punctul A la axa Ox, respectiv, prin punctul B la axa Oy, AC = 8 u.l. și BC = 6 u.l.

AB2 = AC2 + BC2 sau AB2 = 82 + 62; AB = 10 u.l. În general, distanța dintre două puncte din plan A(x1; y1) și B(x2; y2) este dată de formula:

A

B

2 –3

5

0

A

–4

82 + 6 2 =

100 = 10 u.l.

x

C

Determinați distanța dintre punctele A(1; –5) și B(–4; 7).

Rezolvare:

Folosim formula dată la aplicația 3: AB =

2

( −4 − 1)2 + 7 − ( −5) =

( −5)2 + 122 =

25 + 144 =

169 = 13 u.l.

57

Fișă de lucru 1. Se consideră mulțimile: A = {x∈ℤ*| |x – 1| ≤ 2}

și B = {x∈ℤ| |4x – 3| ≤ 7}. a) Scrieți elementele mulțimii A × B . b) Reprezentați geometric mulțimea A × B .

2. Se consideră mulțimile A =

{x ∈  | x + 1|≤ 1}

4

 . Aflați cardinalul și B x  3x 2

mulțimilor A × B și B × A. 3. Stabiliți, pentru fiecare din punctele următoare,

în ce cadran se află.

A(–1; 4); B(5; 2); C(2; –2); D(–1; –3).

4. Fie punctul A(–2; 3). Aflați coordonatele sime-

tricului punctului A față de: a) originea sistemului de axe de coordonate și notați-l cu C; b) axa absciselor și notați-l cu B; c) axa ordonatelor și notați-l cu D. d) Arătați că ABCD este dreptunghi. e) Calculați aria triunghiului ADC. 5. Fie punctele M(2; 3), N(6; 0) și P(6; 6).

a) Reprezentați punctele M, N, P într-un sistem de axe ortogonale. b) Determinați natura triunghiului MNP. c) Aflați aria triunghiului MNP. d) Aflați perimetrul triunghiului MNP. 6. a) Reprezentați într-un sistem de axe ortogo-

nale xOy punctele: A(1; 4), B(−2; 0), C(−4; −1) și D(4; 0). b) Determinați natura patrulaterului ABCD. c) Aflați perimetrul patrulaterului ABCD. d) Aflați aria patrulaterului ABCD.

7. Aflați coordonatele mijlocului segmentului AB

în următoarele cazuri: a) A(4; 2) și B(–2; 6); b) A(–1; 3) și B(5; –3);

58

A× B = {(a, b) | a ∈ A și b ∈ B } Distanța dintre două puncte A(x1; y1) și B(x2; y2) este dată de formula: AB =

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

Mijlocul segmentului AB este punctul M de

x x2 y1 y2 , . coordonate 1 2 2

c) A(–6; –5) și B(4; 1); d) A(1; –2) și B(–7; 8).

8. a) Determinați lungimile segmentelor AB, AC și

BC din următoarea reprezentare geometrică. y C

3 A –2

–1 B

1 0 –1

2

x

b) Determinați natura triunghiului ABC. c) Aflați aria și perimetrul triunghiului ABC. 9. Fie punctele A(2; 4), B(–3; 1), C(2; –2).

a) Determinați coordonatele mijlocului segmentului AC. b) Aflați aria triunghiului ABC. c) Determinați coordonatele punctului D astfel încât punctele A, B, C, D (în această ordine) să fie vârfurile unui romb.

10. Fie punctele A(1; 3), B(–2; 0), C(5; –1).

a) Stabiliți natura triunghiului ABC. b) Aflați coordonatele punctului M, mijlocul segmentului AC. c) Calculați distanța de la punctul A la dreapta BC. d) Aflați perimetrul și aria triunghiului ABC. e) Calculați sinusul unghiului BMC.

11. Fie punctele A(3; 2), B(–1; 2), C(–4; –2) și

D(6; –2). a) Reprezentați punctele într-un sistem de axe de coordonate xOy. b) Stabiliți natura patrulaterului ABCD. c) Aflați perimetrul și aria patrulaterului ABCD. 12. Se consideră punctele A(–2; 6), B(–5; 3) și C(1; 3).

a) Reprezentați punctele într-un sistem de axe xOy. b) Stabiliți natura triunghiului ABC. c) Aflați perimetrul și aria triunghiului ABC. 13. Fie punctele A(0; 2), B(–1,5; 0), C(2,5; –3) și

D(4; –1). a) Reprezentați punctele într-un sistem de axe ortogonale xOy. b) Stabiliți natura patrulaterului ABCD. c) Aflați perimetrul și aria patrulaterului ABCD. 14. Se consideră punctele A(1; 2 3 ), B(–1; 0) și

C(3; 0). a) Reprezentați punctele într-un sistem de axe rectangulare xOy. b) Stabiliți natura triunghiului ABC. c) Aflați perimetrul triunghiului ABC. 15. Fie punctele A(3; 4), B(–1; 4), C(–5,8; 0,4),

D(–1; –6) și E(3; –6). a) Reprezentați punctele într-un sistem de axe. b) Stabiliți natura patrulaterului ABDE. c) Stabiliți natura triunghiului BCD. d) Aflați perimetrul patrulaterului ABDE. e) Aflați aria triunghiului BCD. 16. Se consideră punctele A(0; 6), B(–6; –2) și C(6; –2).

a) Reprezentați cele trei puncte într-un sistem de axe ortogonale și stabiliți natura triunghiului ABC. b) Precizați lungimea laturii BC și coordonatele mijlocului ei. c) Aflați distanța de la punctul B la segmentul AC.

17. a) Reprezentați într-un sistem de axe xOy

punctele M(x; y), știind că |x| = 3 și |y| = 2, x, y ∈ . b) Fie A, B, C, D punctele reprezentate la punctul a), astfel: punctul A se află în cadranul I, punctul B se află în cadranul II, punctul C se află în cadranul III, iar punctul D se află în cadranul IV. Care este natura patrulaterului ABCD? Justificați.

18. Determinați x, y ∈  astfel încât M să fie mij­

locul segmentului AB, unde A(–4; 1), B(2; y), M(x; 1).

19. a) Reprezentați într-un sistem de axe ortogo-

nale punctele: A(–2; 2), B(1; –3), C(0; –1); D(3; 0), E(–4; 2), F(1; 1), G(0; 0). b) Care din punctele de mai sus aparțin axei Ox? Dar axei Oy? c) Care dintre punctele date au abscisa egală cu opusul ordonatei?

20. Se dau punctele A(0; 3), B(–3; –1), C(3; –1).

a) Reprezentați cele trei puncte într-un sistem de axe ortogonale. b) Stabiliți natura triunghiului ABC. c) Precizați lungimea laturii BC și coordonatele mijlocului laturii BC. d) Aflați perimetrul și aria triunghiului ABC. 21. a) Scrieți coordonatele punctelor reprezentate

în figura de mai jos, apoi precizați cadranele în care se află fiecare punct. b) Arătați că AO = BO. c) Stabiliți natura triunghiurilor COD și AOB. y A

6 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 B –4

D

3 4 5

1 2

x

C

59

I.3. P aralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat; proprietăți PROBLEME REZOLVATE 1 În figura alăturată, triunghiul ABC este scalen, iar AD

A

este înălțimea din A. Fie M și N mijloacele laturilor AB, respectiv AC, iar Q și P, picioarele perpendicularelor din M, respectiv din N, pe BC. Arătați că MNPQ este dreptunghi.

N

M B

Q D

C

P

Rezolvare:

MN este linie mijlocie în ∆ABC ⇒ MN || BC sau MN || QP; MQ ⊥ BC și NP ⊥ BC ⇒ MQ || NP ⇒ ⇒ MNPQ este paralelogram; cum MQ ⊥ BC ⇒ MQP= 90° ⇒ MNPQ este dreptunghi (paralelogram cu un unghi drept).

2 În triunghiul dreptunghic ABC din figura alăturată,

A

BAC= 90°, ACB= 30°, punctul M este mijlocul ipotenuzei BC, iar punctul O este mijlocul segmentului AM. Fie E simetricul punctului B față de punctul O. Arătați că patrulaterul ABME este romb.

E O

B

M

30°

C

Rezolvare:

OE , Punctul O este mijlocul segmentului AM ⇒ AO = OM ; punctul E este simetricul lui B față de O ⇒ BO = deci patrulaterul ABME este paralelogram (diagonalele lui se înjumătățesc); dar AB = BC : 2 = BM (teorema unghiului de 30°), deci ABME este romb (paralelogram cu două laturi consecutive congruente).

3 Paralelogramul ABCD din figura alăturată are unghiul

format de diagonala AC cu latura AB cu măsura de 90°, iar AB = AC. Fie AE ⊥ BC , E ∈ BC și AE || FC , F ∈ AD. a) Arătați că patrulaterul AECF este pătrat. b) Arătați că patrulaterul BFDE este paralelogram.

B

A

F

E

C

D

Rezolvare:

AD a) AE = BC (mediana dusă din vârful unghiului drept), CF = , AD = BC ⇒ AE = CF și cum AE || FC ⇒ 2 2 ⇒ AECF este paralelogram; dar, AE ⊥ BC ⇒ AECF este dreptunghi și cum AE = EC ⇒ AECF este pătrat.

b) AD – AF = BC – EC ⇔ FD = BE și cum FD || BE (AD || BC) ⇒ BFDE este paralelogram (având două laturi opuse paralele și congruente).

79

4

Î n figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral ABC, în care AD este bisectoarea unghiului BAC, D ∈ BC, iar punctul E este simetricul punctului D față de punctul C. Prin punctul E se construiește EF || AD, iar AF || BC. Arătați că: a) ADEF este dreptunghi; b) ABCF este romb.

A

B

F

D

E

C

Rezolvare:

a) EF || AD; AF || BC ⇒ AF || DE, deci ADEF paralelogram; AD bisectoare în triunghiul echilateral ABC ⇒ AD înălțime, deci ADE= 90° ⇒ ADEF este dreptunghi. b) Punctul E simetricul punctului D față de punctul C ⇒ DC ≡ CE și cum BD ≡ DC (AD mediană) ⇒ BC ≡ DE ≡ AF ; dar, AF || BC ⇒ ABCF este paralelogram; în plus, AB = BC, deci ABCF este romb.

5

A

ie triunghiul echilateral ABC și fie punctele E pe F AB și D pe BC astfel încât AE = DC. Se notează cu {M = } AD ∩ CE și cu N simetricul punctului M față de latura AC, AC Ç MN = {O}. Arătați că patrulaterul AMCN este romb.

E O

M B

C

D

Rezolvare:

N

Comparăm triunghiurile AEC și CDA; avem: AE ≡ DC (ipoteză); AC ≡ AC (latură comună) și A ≡ C LUL (= 60°) ∆AEC ≡ ∆CDA ⇒ AD ≡ CE (1), AEC ≡ CDA (2). Comparăm triunghiurile AEM și LUU ∆AEM ≡ CDM; avem: AE ≡ DC (ipoteză); AME ≡ CMD (opuse la vârf) și AEC ≡ CDA (2) ≡ ∆CDM ⇒ AM ≡ CM (3). Din (3) avem că ∆AMC isoscel și cum MO ⊥ AC ⇒ punctul O este mijlocul lui AC; dar O este mijlocul lui MN, deci patrulaterul AMCN este paralelogram (4); din (3) și (4) va rezulta că AMCN este romb.

6

e diagonala BD a pătratului ABCD se consideră puncP tele E și F astfel încât BF = FE = ED. Arătați că patrulaterul AECF este romb.

Rezolvare:

D

C E F

Comparăm triunghiurile AFB și CED: AB ≡ CD, BF ≡ DE, LUL ∆AFB ≡ ∆CED ⇒ AF ≡ CE. iar  ABF≡  CDE A B Comparăm triunghiurile AED și CFB: AD ≡ BC, DE ≡ BF, LUL ∆AED ≡ ∆CFB ⇒ AE ≡ CF. iar  ADE≡  CBF Comparăm triunghiurile AED și CED: AD ≡ DC, DE ≡ DE (latură comună), LUL ∆AED ≡ ∆CED ⇒ AE ≡ CE. iar  ADE≡  CDE Am arătat că AE = EC = CF = AF, deci AECF este romb (nu poate fi pătrat, deoarece  FAE < 90°).

80

Fișa de lucru 1 Dreptunghiul; proprietăți 1. Perimetrul unui dreptunghi este egal cu 32 cm.

Aflați dimensiunile dreptunghiului știind că lățimea reprezintă trei cincimi din lungimea lui.

Paralelogramul cu un unghi drept se numește dreptunghi. Într-un dreptunghi, laturile consecutive sunt perpendiculare.

Un paralelogram este dreptunghi dacă și numai dacă are diagonalele congruente.

2. Aflați dimensiunile unui dreptunghi știind că

perimetrul său este egal cu 44 cm, iar lungimile laturilor sale sunt proporționale cu numerele 4 și 7.

3. Laturile unui dreptunghi sunt invers propor-

ționale cu numerele 3 și 4. Perimetrul dreptunghiului este egal cu 56 cm. Aflați lungimile laturilor sale.

4. Calculați perimetrul unui dreptunghi care are

2 din lungime.

3 5. Perimetrul unui dreptunghi este egal cu 26 cm.

Se știe că lățimea dreptunghiului este 62,5% din lungimea dreptunghiului. Aflați dimensiunile dreptunghiului.

lungimea de 18 cm și lățimea

8. În paralelogramul ABCD, BD ⊥ AD, iar punc-

tul E este simetricul punctului C față de punctul B. Arătați că AEBD este dreptunghi.

9. În figura de mai jos, ABCD este un patrulater

în care BAD = BCD = 90°. Paralela prin punctul B la CD intersectează latura AD în punctul F, iar paralela prin punctul A la BC intersectează latura CD în punctul E, iar punctul P este intersecția lui BF cu AE. P

7. Dreptunghiul ABCD din figura de mai jos

BC 3 = .

AB 2 Pe laturile dreptunghiului se iau punctele

are perimetrul egal cu 30 cm, iar

M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD și Q ∈ AD astfel încât AM = NC = CP = AQ. A

Q

D

B

P N

C

a) Aflați dimensiunile dreptunghiului. b) Arătați că MNPQ este paralelogram.

E

C

Arătați că patrulaterul BCEP este dreptunghi.

10. Pe laturile MN, NP, PQ și AQ ale dreptunghiu-

lui MNPQ din figura de mai jos, se iau punctele A, B, C, respectiv D, astfel încât AM ≡ CP și BN ≡ DQ. M A

N B

D Q

M

D

B

6. Media aritmetică dintre lungimea și lățimea

unui dreptunghi este egală cu 4,25 dm. Aflați perimetrul dreptunghiului.

F

A

C P

Știind că MDA ≡ DCQ, arătați că patrula­ terul ABCD este dreptunghi.

11. Arătați că patrulaterul determinat de mijloacele

laturilor unui patrulater convex ortodiagonal este un dreptunghi.

81

12. Triunghiul ABC din figură este dreptunghic, iar

triunghiul BCD este echilateral, CE mediana din C a acestui triunghi.

D C

E

A

B

a) Arătați că BDCF este dreptunghi. b) Arătați că ADFB este paralelogram. c) Determinați măsurile unghiurilor ∆BFE. d) Fie BG bisectoarea ∢CBF, G ∈ CF. Arătați că măsura ∢BGE este egală cu media aritmetică între măsurile celorlalte două unghiuri ale triunghiului BGE. 16. În figura de mai jos, triunghiul ABC este

Arătați că patrulaterul ABEC este dreptunghi.

13. Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar

punctul M este mijlocul ipotenuzei BC. Prin M se construiesc MN || AC, N ∈ AB și MP || AB, P ∈ AC. Arătați că: a) ANMP este dreptunghi; b) BMPN este paralelogram; c) NBQM este dreptunghi, punctul Q fiind simetricul punctului P față de punctul M.

isoscel (AB = AC), iar CD și BE sunt înălțimile corespunzătoare laturilor congruente. Paralela prin punctul C la AB intersectează paralela prin punctul B la CD în punctul M, iar paralela prin punctul C, la BE intersectează paralela prin punctul B la AC în punctul N. A

echilateral, iar triunghiul BDC este dreptunghic în D. BM este bisectoarea ∢ABC, iar ∢BCD = 30°.

A

M B

C

30° D

Arătați că: a) BDCM este dreptunghi; b) ABDM este paralelogram.

15. Triunghiul ABC din figura de mai jos este echi-

lateral, iar triunghiul BCE este isoscel cu măsura unghiului CBE egală cu 75°. BD este mediana corespunzătoare laturii AC, D ∈ AC, iar BF ⊥ CE, F ∈ CE. B

A

75° D

F C

82

E

E

D

14. Triunghiul ABC din figura de mai jos este B

C N

M

Arătați că: a) BDCM este dreptunghi; b) BECN este dreptunghi; c) DEMN este dreptunghi.

17. În figura de mai jos, triunghiul ABC este echi-

lateral, iar BE și CD sunt medianele corespunzătoare laturilor AB și AC. Prin A se construiesc paralelele la BE și CD, care întâlnesc paralela prin B la AC în punctul M, iar paralela prin C la AB în punctul N. A D

M B

E

N C

Arătați că: a) AMBE este dreptunghi; b) ANCD este dreptunghi; c) punctele M, D, E și N sunt coliniare.

IV. RELAȚII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC IV.1. P roiecții ortogonale pe o dreaptă; teorema înălțimii; teorema catetei IV.1.1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă PROBLEME REZOLVATE A

1 În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic

ABC, cu BAC = 90, în care AD este înălțimea din A pe BC, D ∈ BC , BAD = 30°, iar AB = 12 cm. Determinați: a) lungimea proiecției catetei AB pe ipotenuza BC; b) lungimea proiecției catetei AC pe ipotenuza BC.

B

C

D

Rezolvare:

AB = 6 cm; 2 b) Î n ∆ADB, ABD = 60° ⇒ ACB = 30° ⇒ BC = 2 ⋅ AB = 24 cm prAC BC = DC ; DC = BC – BD = = 24 – 6 = 18 cm.

a) prAB BC = BD; cum BAD= 30° ⇒ BD=

A

2 În triunghiul dreptunghic ABC, ∢A = 90°, BD este bisectoarea

∢B, D ∈ AC. Dacă AB = 42 cm, AC = 56 cm, BC = 70 cm.

Aflați: a) lungimea segmentului DC; B b) lungimea proiecției segmentului DC pe ipotenuza BC; c) cât la sută din aria triunghiului ABC reprezintă aria triunghiului DEC.

D

E

C

Rezolvare:

a) Aplicând teorema bisectoarei, se obține: AB AD AB + BC AD + DC AB + BC AC 42 + 70 56 =⇔ = ⇔ =⇒ =, de unde se găsește BC DC BC DC BC DC 70 DC 5

DC =

7

70 ⋅ 56 5 ⋅ 56 = 35 (cm). = 81 112 8

b) ∆ABD ≡ ∆EBD, conform criteriului IC (punctul D fiind pe bisectoarea BD, este egal depărtat de laturile unghiului ABC, deci AD = ED, iar BD este latură comună) ⇒ AB = BE = 42 cm, deci EC = BC – BE = = 70 – 42 = 28 (cm).

AB ⋅ AC 42 ⋅ 56 DE ⋅ EC 21 ⋅ 28 2 = = 21 ⋅ 56 cm2; A∆DEC = = = cm21 ⋅ 1421 · 14 cm2 = c) A ∆ABC = 2 2 2 2 1

1

21 ⋅ 14 AD = DE, iar AD = AC – DC = 56 – 35 = 21 (cm) ⇒ p % = ⋅ 100% = 25%.

21 1 ⋅ 56 4

134

Fișa de lucru 1 Proiecții ortogonale pe o dreaptă 1. Reproduceți pe caietele voastre figura de mai

jos și construiți proiecțiile ortogonale ale punctelor A, B, C, respectiv ale segmentelor BD, MN și NP pe dreapta d.

P D N

A M

C

4. Construiți proiecția unui segment AB pe o

d B 2. Construiți pe o dreaptă oarecare d proiecția

unui: a) segment oarecare MN; b) triunghi scalen ABC, BC || d; c) paralelogram PQRS, care are latura PQ ⊂ d.

3. Folosind figura de mai jos, stabiliți valoarea de

adevăr a propozițiilor: a) prAB C = B; b) prAD B = D; c) prBC A = D; d) prBC AB = AC; e) prBC AC = DC; f) prAD AB = AD; g) prAD AB = prAD AC.

• Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă. Dacă punctul se află pe dreaptă, proiecția lui coincide cu punctul însuși.

• Proiecția unei mulțimi de puncte pe o dreaptă este mulțimea proiecțiilor punctelor pe acea dreaptă.

• Proiecția dreptei a pe dreapta d este dreapta d sau un punct.

• Proiecția unui segment pe o dreaptă este un segment sau un punct.

dreaptă d și stabiliți natura poligoanelor formate de punctele A, B și proiecțiile lor pe d, în următoarele condiții: a) AB || d; b) AB || d; c) segmentul AB are A ∈ d , B ∉ d .

5. Fie

ABCD un paralelogram în care AC ∩ BD = {O}, iar punctele E și F sunt proiecțiile punctelor D, respectiv B, pe dreapta suport a diagonalei BD. Arătați că AE = CF.

6. În figura de mai jos este reprezentat triunghiul

dreptunghic ABC, A= 90°, în care AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei BC, D ∈ BC. A

C B

D

30° A

60°

B

D

C

Determinați proiecția ortogonală: a) a punctului C pe cateta AB; b) a punctului B pe cateta AC; c) a punctului A pe ipotenuza BC; d) a catetei AB pe ipotenuza BC; e) a catetei AC pe ipotenuza BC; f) a catetei AB pe cateta AC; g) a catetei AC pe cateta AB.

135

TESTE FINALE ANUALE • Toate subiectele sunt obligatorii. Din oficiu se acordă 10 puncte.

• Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor se acordă 90 de puncte.

TESTUL 1 SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p 5p 5p 5p

1. Rezultatul calculului

( 32 − 8 ) ⋅ 2 este egal cu:

a) 1 b) 2 c) 2 2 d) 2 3 2. Soluția întreagă a ecuației 3x – 5 = 5x – 3 este x egal cu: a) –4 b) –3 c) –2 d) –1 3. O soluție a ecuației 3x – 2y + 4 = 0 este perechea: a) (–2; 1) b) (2; –1) c) (–2; –1) d) (2; 1) 4. Dacă A(–3; 4) și B(3; –4), atunci d(A, B) este egală cu: a) 12 u.l. b) 10 u.l. c) 8 u.l. d) 6 u.l.

5p

5. Apotema triunghiului echilateral cu aria de 18 3 cm2 este egală cu:

5p

a) 2 3 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 2 cm 6. Lungimea cercului corespunzător unui disc de arie 36π cm2 este egală cu: a) 12π cm b) 16π cm c) 18π cm d) 24π cm

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p

5p

5p

5p

162

(30 p)

1. Dacă 5 kg de mere de aceeași calitate costă 27 lei, iar 3 kg de portocale costă 33 lei, atunci, în medie, 1 kg de fructe costă: a) 8 lei b) 7,5 lei c) 7 lei d) 6,5 lei 2. Dacă ecuațiile 3ax – 2 = x + a + 1 și 2x – 3 = 1 sunt echivalente, atunci numărul real a este egal cu: a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 3. Suma a două numere naturale este 45. Împărțind numărul mai mare la cel mai mic, se obține câtul 4 și restul 5. Împărțitorul este egal cu: a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 4. Fie triunghiul ABC. Punctele D, E și F sunt mijloacele laturilor BC, AC și AB. Raportul dintre ariile triunghiurilor DEF și ABC este egal cu: a)

5p

(30 p)

−1

1 2

b)

1 4

c)

1 8

d)

1 16

5. Triunghiul ABC, dreptunghic în A, are înălțimea AD = 9,6 cm și cos(∢C) = 0,6. Aria triunghiului ABC este egală cu: b) 92 cm2 c) 84 cm2 d) 72 cm2 a) 96 cm2

5p

6. Un cerc de centru O are d(O, AB) = 4 cm, unde A și B sunt două puncte pe cerc astfel încât AB = 120°. Aria triunghiului OAB este egală cu: arcul mic  a) 64 3 cm2

b) 32 3 cm2

c) 16 3 cm2

d)

3 cm2

SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete.

10p

5p 5p 5p 5p

(30 p)

−1  4 − 3 3 + 1  2 + 3  12   1 1. Arătați că numărul n=  este natural. − − ⋅  ⋅ 3  2 − 3  5   0, (3)  2  

A 2. În triunghiul dreptunghic ABC din figura alăturată, cu ∢A = 90º, se construiește bisectoarea BD a unghiului ABC și înălțimea DE a triunD ghiului BCD, E ∈ BC. Dacă AB = 15 cm și BC = 25 cm, aflați: a) perimetrul triunghiului ABD; B E b) perimetrul triunghiului DEC. 3. Triunghiul echilateral ABC este înscris într-un cerc de centru O și rază R = 9 cm. Aflați: a) aria triunghiului ABC; . b) aria sectorului de cerc corespunzător arcului mic BC

C

TESTUL 2 SUBIECTUL I – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. −1  6  + 27  ⋅ 3 este egal cu:  3 

5p

1. Rezultatul calculului 

5p

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 2. Dacă x = 1 este soluție a ecuației 2ax + 3 = 3x + 4, atunci numărul real a este egal cu: a) 0

5p 5p

5p

5p

(30 p)

b) 1

c) 2

d) 3

3. Între numerele a = 4 3 și b = 7 există relația: a) a < b b) a = b c) a > b d) a = b – 1 4. Aria triunghiului format de axele Ox, Oy și segmentul AB, unde A(–2; 0) și B(0; 3) este egală cu: c) 4 u.a. d) 3 u.a. a) 6 u.a. b) 5 u.a.

5. Lungimea înălțimii duse din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic cu catetele de 15 cm și 20 cm este de: c) 7,5 cm d) 6 cm a) 17,5 cm b) 12 cm 6. Raza cercului circumscris hexagonului regulat cu apotema de 3 3 cm are lungimea egală cu: c) 6 cm d) 9 cm a) 3 cm b) 4 cm

163

SUBIECTUL al II-lea – Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.

5p

5p

1. Soluția ecuației x − 2 = x − 8 este: 3 6 a) –3 b) –2 c) –1 2. Cel mai mic număr real x, soluție a inecuației a) 1

b) 0

(30 p)

d) 1

3 x − 27 ≤ 48, este x egal cu:

c) –1

d) –2

1 1 1 , unde n este număr natural nenul. Calculând S2022 + + ... + 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ⋅ (n + 1) se obține rezultatul: 2022 2021 2021 2023 c) d) b) a) 2022 2023 2024 2023

5p

3. Fie Sn =

5p

4. Rezultatul calculului [sin45° · (cos30° + tg45°) – cos45°] · ctg60° este egal cu:

3 2 3 1 b) d) c) 2 3 2 2 5. Un paralelogram cu una dintre laturi de 15 cm este echivalent cu un romb cu diagonalele de lungimi 10 cm, respectiv 12 cm. Atunci, înălțimea paralelogramului are lungimea egală cu: a) 12 cm b) 8 cm c) 6 cm d) 4 cm 6. Un pătrat cu perimetrul de 32 cm este înscris într-un cerc. Aria triunghiului echilateral înscris în același cerc este egală cu: a)

5p

5p

a) 36 3 cm2

b) 24 3 cm2 c) 18 3 cm2

d) 12 3 cm2

SUBIECTUL al III-lea – Scrieți rezolvările complete.

5p

(30 p)

1. a) Într-o clasă sunt 24 de elevi. Dacă numărul băieților reprezintă 60% din numărul fetelor, aflați câte fete și câți băieți sunt în clasă.

5p

 3 2 1 2 3  24 1  b) Calculați: 2 −  + − +  ⋅1, 2. :  2  6 2  4  3

5p

c) Rezolvați în mulțimea numerelor raționale ecuația:

3x − 2 2 x + 1 5 x − 1 7 x − 3 − = − .

4 3 2 6 2. În figura alăturată este reprezentat un trapez ABCD, AC = 20 cm și BC = 15 cm, iar CF ⊥ AB, F ∈ AB. Se știe că diagonala AC este bisectoarea unghiului BAD și AC ⊥ CB. a) Aflați aria trapezului ABCD. b) Arătați că perimetrul triunghiului ABE este mai mic decât 53 cm.

10p 5p

164

D

C E

A

F

B

RĂSPUNSURI TESTE INIȚIALE TESTUL 1 I

1. B; 2. D; 3. C; 4. B; 5. A; 6. D; 7. C; 8. B; 9. C.

II 1. 0,5; 2. x ​∈​ {–3, –1, 0, 2}; 3. 35 km; 4. ∆ABD ≡ ∆EBD ≡ ∆ECD, unde DE ⊥ BC, E ∈ ​ ​ BC; 5. ∆ADB ≡ ∆AEC, DM și EN înălțimi din vârfuri corespondente.

TESTUL 2 I

1. B; 2. D; 3. B; 4. A; 5. C; 6. D; 7. B; 8. C; 9. C.

II

1. 1; 2. x ∈ ​ ​{–1, 5}; 3. 160 lei; 4. ∆ACE este isoscel, iar CD este bisectoare; 5. x = 46°.

TESTUL 3

I

1. B; 2. C; 3. A; 4. C; 5. D; 6. A; 7. C; 8. B; 9. D.

II

1. 1; 2. 12xy ∈ {1200, 1215, 1230, 1245, 1260, 1275, 1290}; 3. 15; 18; 32; 4. ∆ADC ≡ ∆AEB ≡ ∆AEC; 5. 30 cm.

TESTUL 4

I

1. C; 2. D; 3. A; 4. B; 5. C; 6. A; 7. D; 8. C; 9. D.

II

1. 1; 2. x ​∈​{–1, 0, 1, 2}; 3. 175 lei; 4. Cateta opusă unghiului de 30° este egală cu jumătate din ipotenuză; 5. x = 50°; ​∢A​= 90°.

TESTUL 5

I

1. B; 2. B; 3. A; 4. C; 5. D; 6. A; 7. D; 8. C; 9. A.

II

1. ​5 ∈ ℕ​; 2. 41ab ​∈​{4140, 4185}; 3. 9 cm, 12 cm și 15 cm; 4. 24 cm2; 5. 90%.

ALGEBRĂ I. MULȚIMEA NUMERELOR REALE I.1. Rădăcina pătrată a unui număr natural; estimarea rădăcinii pătrate dintr‑un număr rațional Fișa de lucru 1 – Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect 6. a) 18; 26; 28; 22; b) 32; 42; 36; 44; 7. a) 24; 19; 23; 31; b) 38; 35; 52; 68; 8. a) 102; b) 26; c) 144; d) 171; e) 207; f) 178; g) 185; h) 194; 9. a) 6; b) 1; c) 80; d) 22; 10. a) 13; b) 20; c) 25; d) 30; e) 21; f) 27; g) 15; h) 20; 11. a) 1; b) 3; c) 25; d) 2; e) 16; 12. a = 288 ⋅ 289 : 2 = = 144 ⋅ 289 = 12 ⋅ 17 = 204; b = 1012; d = 124. e) = 1444 = 382; f) = 216 = (28)2.

173

Fișa de lucru 2 – Rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ; aproximări 2. a) 6,5; b) 7,8; c) 8,3; d) 9,4; e) 10,7; f) 13,8; g) 19,6; h) 21,7; i) 30,8; j) 27,4; 3. a) 0,58; b) 0,87; c) 0,94; d) 1,28; e) 2,73; f) 2,12; g) 0,13; h) 0,029; i) 0,67; j) 0,94; 4. a) 7,09; b) 14,03; c) 0,207; d) 2,017; e) 0,049; f) 3,094; g) 4,025; h) 0,048; 5. a) 1,41; 1,73; 4,12; 5,65; 6,85; 10,48; 13,74; 17,34; 31,62; 11,63; b) 1,80; 2,84; 3,21; 4,95; 13,19; 6,06; 4,92; 6. a) 2,645 și 2,646; 3,605 și 3,606; 13,228 și 13,229; 32,924 și 32,925; 146,792 și 146,793; b) 2,366 și 2,367; 3,007 și 3,008; 3,533 și 3,534; 7. a) 2,8 și 2,9; 3,8 și 3,9; 16,8 și 16,9; 41 și 41,1; 133,5 și 133,6; 323,6 și 323,7; 3 și 3,1; 4 și 4,1; 12,6 și 12,7; b) 2,82 și 2,83; 3,87 și 3,88; 16,88 și 16,89; 41,01 și 41,02; 133,56 și 133,57; 323,65 și 323,66; 3,03 și 3,04; 4,06 și 4,07; 12,64 și 12,65; c) 2,828 și 2,829; 3,872 și 3,873; 16,881 și 16,882; 41,012 și 41,013; 133,562 și 133,563; 323,655 și _ 5 323,656; 3,033 și 3,034; 4,066 și 4,067; 12,643 și 12,644; 8. a) ​6 ​;​ b) 1; c) 0,83; d) 0,9.

Fișa de lucru 3 – Recapitulare

_ 7 _ 57 _ 5 _ 8 _ 123 _ 22 _ 1 1. a) 19; 28; 34; 42; 102; 245; 415; b) 1,2; 2,1; 6,8; 10,7; 23,9; 32,06; c) ​​9 ​​; ​​13 ​​; ​​17 ​​; ​​25 ​​; ​​61 ​​; ​​133 ​​; ​​2 ​​;

_ _ _ 17 _ 7 _ 7 _ 9 _ 6 _ 5 _ 13 _ 8 5 _ 2 _ 4 _ 11 _ 11 11 _ 24 d) ​4 ​; ​5 ​; ​2 ​; ​ 6 ​; ​3 ​;​ e) ​3 ​;​​3 ​​; ​​3 ​​; ​​6 ​​; ​​12 ​​; 2. a) 12; 35; 66; 45; 30; b) ​12 ​; ​7 ​; ​14 ​; ​13 ​; ​25 ​​; c) 0,18; 0,1; 0,18; 0,35; _ _ 7 _ 26 32 8 _ 3 _ 5 _ 11 _ 24 _ 4 _ d) ​8 ​​; ​​9 ​​; ​​23 ​​​​ 19 ​​; 4; 3. a) 18; 28; 75; 60; 216; b) ​81 ​; ​2 ​​; ​​ 5 ​​; ​​3 ​​; ​​ 9 ​​; 4. a) 10; b) 9; c) 13; 5. a) 6; b) 16; c) –2;

_ _ _ 5 _ 13 5 11 d) ​3 ​​; e) 0,83; f) 0,9; 6. a) 4; 6; 3·105; 14; b) ​18 ​; ​24 ​​; c) ​14 ​;​7. 1012; 8. a) 35; b) 12; c) 50; 9. a) 1,4; b) 21012; c) 10; 10. a) 2; b) 3; 11. 0,5.

I.2. Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical Fișă de lucru _

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

1. a) 4​ ​√ 2 ​; 4​√ 3 ​; 2​√14 ​; 6​√ 2 ​; 3​√10 ​;​ b) 9​ ​√ 2 ​; 6​√ 5 ​; 11​√ 2 ​; 12​√ 2 ​; 13​√ 2 ​; 15​√ 3 ​; 18​√ 3 ​​; c) 12​​√ 7 ​​; 14​√ ​ 7 ​​; 42​√ ​ 2 ​​; _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2a _ _ b 5a _ _ 12 ​ a ​; ​13 ​​a​2​b √ ​ a ​​; b) ​​ ​√ ​ ab ​; 25​​√ 7 ​​; ​28​√11 ​; 30​√10 ​​; 2. a) a​ ​√ 3 ​; 2a​√ a ​; ​a​3​​√ 7 ​; 5​√ a ​;​ 8 ​a​2​√ a ​;​ 2a​√ 2 ​​; ​7 ​a​3​√ ​ 5 ​; ​ 2 ​√ ​ a ​; ​4a ​√ 3b 7 b ​ ​ ​ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13 _ b _ a 13a _ ​ 18 ​​; b) − ​ ​√ 60 ​​; c) √ ​ 1519 ​​; 4. a) √ ​ 12 ​; √ ​ 45 ​; √ ​ 32 ​; √ ​ 147 ​; √ ​ 175 ​; √ ​ 99 ​;√ ​​​ 605 ​​; b) ​− ​√28 ​; ​ ​​ ​ a ​​= ​8 ​​ ​ ​​; 3. a) √ 8b _ _ _ _ _ _ _ _ b _ _ _ _ − ​√18 ​; ​​− √ ​ 108 ​; − ​√20 ​; − ​√ 486 ​; − ​√76 ​; − ​√1331 ​​ c)​√ ​ 3 ​x​2​​; ​​√ 2 ​x​4​; √ ​ 20 ​x​6​; –​√ 9 ​x​3​;​ ​− ​√ 12 ​x​5​;​ ​− ​√ 98 ​x​5​​;

√

√

_

_

√

√

_

√

_

√

√

_

_

_

√

_

√

√

√

_

_

√

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9 _ 3 _ 13 6 3 _ 5 8 _ 3 3 15 _ 2 4 _ 1 2 12 _ 2 1 2 _ 2 _ 14 _ 5. a) ​​3 ​​ ​3 ​;​ b) ​​5 ​​ ​5 ​;​ c) ​​5 ​​ ​ 6 ​;​ d) ​​5 ​ ​7 ​;​ e) ​​4 ​​ ​3 ​;​ f) ​​11 ​​ ​3 ​;​ g) ​​9 ​​ ​5 ​;​ h) ​​13 ​​ ​2 ​;​ i) ​​ 2 ​​ ​17 ​;​ 6. a) ​​13 ​​ ​3 ​;​ _

_

_

_

_

_

_

_

_

√ √ √ √ √ _ √_ √ _ _ _ _ _ _ 8 13 28 5 5 2 ​​ 15 ​;​h) √ d) √ ​ ​21 ​;​e) √ ​ ​40 ​;​f) ​ _ ​;​g) ​√ ​ ​18 ​;​i) √ ​ ​108 ​;​8. a) a = 4; b) a = 5; c) a = 50; d) a = 8; e) a = 2; f) a = 5; ​√39 ​ √

4​√ 6 ​ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 7 _ 27 7 23 _ 25 _ 20 _ 10 3 1 2 2 11 _ 1 1 4 b) ​5 ​​ ​11 ​;​c) ​ 13 ​;​d) ​ _ ​;​e) ​​21 ​​ ​3 ​;​ f) ​19 ​​ ​3 ​;​g) ​18 ​​ ​3 ​;​h) ​49 ​​ ​ 7 ​;​i) ​ _ ​;​7. a) ​ ​ 24 ​;​b) ​ ​14 ​; ​c) ​ ​20 ​;​ 6​√3 ​ 3​√ 3 ​ _

_

_

g) a = 3; h) a = 16; 9. a) a = 125; b) a =75; c) a =75; d) a = 128; e) a = 18; f) a = 3.

I.3. Numere iraționale; mulțimea numerelor reale; incluziunile ℕ ⸦ ℚ ⸦ ℤ ⸦ ℝ; modulul, compararea şi ordonarea numerelor reale; reprezentarea pe axă Fișă de lucru

_

_

_

_

_

_

_

_

_ 1 1. a) {0, 23}; b) { ​​ − 3, −​√ 4 ​, 0, ​2​3​}​​; c) { ​​ − 3, −​√ 4 ​}​​; d) { ​​ − 3,−​​√ 4 ​, 0, ​3 ​, ​√1,69 ​, ​2​3​}​​; e) { ​​ ​√ 2 ​, ​√ 50 } ​ ​​; f) A; _

_

_

_ _ _ _ 5 4 4 4 ​​ − 3, ​2 ​, ​√ 25 ​}​​; c)​​{− 3; − ​2 ​; 1,3; ​2 ​; 2,(3 ); √ ​ 25 ​}​​; d) { ​​ ​√ 5 ​, ​√18 } ​ ​​; 3. a) F; b) A; c) F; d) A; 2. a) { ​​ ​2 ​, ​√ 25 ​}​​; b) {

174