MANUAL DO PROFESSOR
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Git asimus ut provit imi, consenitis autatus et occulla udiaeceat faceatus dolo modia int que estrum eosantum nuscips aperiorem apiciist ut faccaborem quodiam eribus excea nonsecu llupta nempers pedistotati ullaborat aliqui di ad ent alitat velendias adit que vel iuntist, nieniaerit ut utes qui ratectet porem. Us quidel im ut asint optas sit, sus nimolor saeptatet facius, cumquatesto quis estius id mos arum fuga. Et peruptas as arundem. Fere venissitate porro dit voluptas dipsand ellorepta.
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TEREZA MARANGONI ELENICE OGASSAWARA
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Cada livro contém tópicos que contam com imagens, exemplos e construções, facilitando o estudo e a compreensão da Geometria.
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As técnicas apresentadas são utilizadas em desenho técnico, desenho industrial e arquitetura, tornando a coleção um ótimo incentivo para o despertar da criatividade e o desenvolvimento do raciocínio lógico.
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A coleção Desenho Geométrico, constituída de quatro volumes, aborda os conteúdos de forma intuitiva por meio de linguagem direta e acessível.
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ISBN 978-85-96-00205-9
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SÃO PAULO, 2016
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Coleção Desenho Geométrico Copyright © José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara, 2016. Diretor editorial Gerente editorial Editor Editores assistentes Estagiário Assessoria Gerente de produção editorial Coordenadora de arte Projeto gráfico Capa Supervisor de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações Assistentes de arte Ilustrações e cartografia Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Preparação Revisão Coordenador de iconografia e licenciamento de textos Supervisora de licenciamento de textos Iconografia Diretor de operações e produção gráfica
Lauri Cericato Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva Thais Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaína Bezerra Pereira Vinícius de Oliveira Santos Tatiana Ferrari D’Addio Mariana Milani Daniela Máximo Bruno Attili Alexandre Santana de Paula Vinicius Fernandes Estúdio Arte4 Eziquiel Racheti Márcia Berne Talita T. Tardone, Gislene Aparecida Benedito, Dayane Santiago Costta Editoração Lilian Semenichin Izabel Cristina Rodrigues Iraci Miyuki Kishi Desirée Araújo, Jussara R. Gomes, Solange Guerra Expedito Arantes Elaine Bueno Rosa André Reginaldo Soares Damasceno
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Desenho geométrico, volume 4 / José Ruy Giovanni... [et al.]. -- São Paulo : FTD, 2016. Outros autores: José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara ISBN 978-85-96-00205-9 (aluno) ISBN 978-85-96-00206-6 (professor) 1. Desenho geométrico (Ensino fundamental) 2. Matemática (Ensino fundamental) I. Giovanni, José Ruy. II. Giovanni Junior, José Ruy. III. Fernandes, Tereza Marangoni. IV. Ogassawara, Elenice Lumico. 15-11407
CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático: 1. Desenho geométrico : Matemática : Ensino fundamental
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à FTD EDUCAÇÃO Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: central.atendimento@ftd.com.br
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Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
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APRESENTAÇÃO
Este é o quarto volume da coleção Desenho Geométrico. Como incentivo ao estudo da Geometria, procuramos expor de modo bem intuitivo a teoria essencial em que se baseia o Desenho Geométrico. Lembramos que o importante nessa área é o despertar para a criatividade e o desenvolvimento do raciocínio. Aos poucos, você dominará várias técnicas das construções geométricas elementares utilizadas no desenho técnico, no desenho industrial e em qualquer planta ou projeto de arquitetura. Esperamos que este livro seja um bom auxiliar nas atividades que você vai desenvolver em Desenho Geométrico no decorrer do ano letivo. Os autores
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Sumário Tópico 1 – Divisão de um segmento ...........................................................................................................6 Razão entre dois segmentos ......................................................................................................................................... 6 Segmentos proporcionais .............................................................................................................................................. 7 Teorema de Tales ............................................................................................................................................................ 8 Aplicações do teorema de Tales ................................................................................................................................... 9 1. Dividir um segmento em n partes de medidas iguais .................................................................................... 9 2. Dividir um segmento em uma razão dada ..................................................................................................... 10 3. Dividir um segmento em partes proporcionais ............................................................................................. 11 4. Dados três segmentos de medidas a, b e c, obter a quarta proporcional desses segmentos, a c ou seja, um segmento de medida x, tal que: .................................................................................. 13 b x 5. Dados dois segmentos de medidas a e b, obter a terceira proporcional desses segmentos, a b ou seja, um segmento de medida x, tal que: .................................................................................. 15 b x Média geométrica ou proporcional ........................................................................................................................... 17
1.
Dados dois segmentos AB e BC, de medidas a e b, respectivamente, construir um segmento que represente a média geométrica ou proporcional dos segmentos AB e BC ............17 Média ou extrema razão (segmento áureo) ......................................................................................................20 1. Determinar a média ou extrema razão (segmento áureo) de um segmento AB de medida a ........20 Tópico 2 – Semelhança de polígonos ........................................................................................................24 Polígonos semelhantes ................................................................................................................................................ 24 Construções .................................................................................................................................................................. 26 1. Construir um triângulo cujo perímetro seja conhecido e semelhante a um triângulo dado..................... 26 2. Construir um triângulo semelhante a um triângulo dado sabendo a razão de semelhança..................... 27 3. Construir um retângulo semelhante a um retângulo dado sabendo a razão de semelhança .................. 28 Tópico 3 – Homotetia ...............................................................................................................................30 Centro de homotetia .................................................................................................................................................... 31 1. Construir o triângulo A B C homotético do triângulo ABC, de centro O e K 3 (razão de homotetia) ............................................................................................................................. 31 1 2. Construir o triângulo A B C homotético do triângulo ABC, de centro O e K (razão de homotetia) ... 32 2 Usando a homotetia para reduzir ou ampliar figuras planas .................................................................................... 32 Construções .................................................................................................................................................................. 33 1. Construir o homotético de um quadrado, com medida do lado conhecida e em dada razão de homotetia .......................................................................................................................................... 33 2. Construir o homotético de um triângulo dado sabendo a razão de homotetia ........................................ 35 3. Construir o homotético de um quadrilátero dado, conhecida a razão de homotetia ............................... 36 4. Dada a razão de homotetia, construir o homotético de um triângulo cujas medidas dos lados são conhecidas ....................................................................................................................................... 38 5. Sabendo a razão de homotetia, construir o homotético de um pentágono dado .................................... 40 Tópico 4 – O teorema de Pitágoras e suas aplicações ..............................................................................41 Teorema de Pitágoras .................................................................................................................................................. 42 Construções .................................................................................................................................................................. 43 1. Construir um quadrado cuja área seja igual à soma das áreas de dois quadrados de lados conhecidos ........................................................................................................................................ 43 2. Construir segmentos cujas medidas são: 2u , 3u , 5u , 6u , ... ... ....................................................... 44 3. Dado um segmento de medida z, construir um segmento de medida z 2 .............................................. 45 1
2 ........................................ 46 x 3 Tópico 5 – Aplicações das relações métricas no triângulo retângulo ........................................................47 As relações métricas ..................................................................................................................................................... 48 Construções .................................................................................................................................................................. 49 1. Construir um triângulo retângulo, sabendo as medidas da hipotenusa e da projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa .......................................................................................................... 49 2. Construir um triângulo retângulo conhecendo as medidas dos segmentos resultantes das projeções dos catetos sobre essa hipotenusa ............................................................................................... 50
4.
Dado um segmento de medida 1u, determinar a medida x, tal que
Tópico 6 – Polígonos inscritos em uma circunferência e polígonos circunscritos a uma circunferência .....51 Polígonos inscritos em uma circunferência ................................................................................................................ 51 Polígonos circunscritos a uma circunferência ............................................................................................................ 52 Polígonos regulares ...................................................................................................................................................... 52 Construção de polígonos regulares inscritos em uma circunferência ..................................................................... 53
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1. Construção de um quadrado inscrito em uma circunferĂŞncia ..................................................................... 54 2. Construção de um octĂłgono regular inscrito em uma circunferĂŞncia ........................................................ 55 3. Construção de um triângulo equilĂĄtero inscrito em uma circunferĂŞncia .................................................... 56 4. Construção de um hexĂĄgono regular inscrito em uma circunferĂŞncia ........................................................ 57 5. Construção de um decĂĄgono regular inscrito em uma circunferĂŞncia........................................................ 58 6. Construção de um pentĂĄgono regular inscrito em uma circunferĂŞncia ...................................................... 60 PolĂgonos regulares circunscritos a uma circunferĂŞncia............................................................................................ 69 1. Circunscrever um triângulo equilĂĄtero a uma circunferĂŞncia ....................................................................... 69 TĂłpico 7 – Retificação da circunferĂŞncia ...................................................................................................71 MĂŠtodos de retificação da circunferĂŞncia .................................................................................................................. 71 TĂłpico 8 – EquivalĂŞncia de ĂĄreas ..............................................................................................................74 Ă rea da superfĂcie de uma figura plana...................................................................................................................... 74 EquivalĂŞncia de polĂgonos .......................................................................................................................................... 76 EquivalĂŞncia entre triângulos ...................................................................................................................................... 77 Construçþes .................................................................................................................................................................. 77 1. Construir um triângulo equivalente a um triângulo dado e que tenha a mesma base e a mesma altura ................................................................................................................................................ 77 2. Construir um triângulo retângulo equivalente a um triângulo dado ........................................................... 79 3. Construir um triângulo isĂłsceles equivalente a um triângulo dado ............................................................ 80 4. Construir um triângulo, no qual um dos ângulos meça 45 e seja equivalente a um triângulo dado ................................................................................................................................................. 81 Outras construçþes ...................................................................................................................................................... 86 1. Construir um quadrado equivalente a um triângulo dado ........................................................................... 86 2. Construir um quadrado equivalente a um retângulo dado .......................................................................... 87 3. Construir um quadrado equivalente a um paralelogramo dado ................................................................. 88 4. Construir um quadrado equivalente a um losango dado............................................................................. 90 5. Construir um quadrado equivalente a um trapĂŠzio dado ............................................................................ 91 6. Construir um quadrado equivalente a uma circunferĂŞncia dada ................................................................. 92 TĂłpico 9 – Concordância ...........................................................................................................................94 Elementos ..................................................................................................................................................................... 94 Propriedades ................................................................................................................................................................. 95 1. Concordância de n arcos de circunferĂŞncia com um segmento de reta dado........................................... 95 2. Concordância de um arco de circunferĂŞncia com um segmento de reta que passa por um ponto dado ................................................................................................................................................ 97 3. Concordância de um arco de circunferĂŞncia com duas retas paralelas dadas ........................................... 98 4. Concordância de duas semirretas paralelas dadas, orientadas em sentido contrĂĄrio e cujas origens estĂŁo em uma mesma perpendicular, com dois arcos de circunferĂŞncia ............................ 99 5. Concordância de duas semirretas paralelas dadas, orientadas em sentido contrĂĄrio e cujas origens nĂŁo estĂŁo em uma mesma perpendicular, com dois arcos de circunferĂŞncia ............................102 6. Concordância de duas retas concorrentes dadas, com um arco de circunferĂŞncia sem conhecer o vĂŠrtice do ângulo formado por elas .........................................................................................105 7. Concordância de duas retas dadas a uma terceira reta, por meio de um arco tangente a essa reta ....106 8. Concordância de um arco, em determinado ponto, com outro arco que passe por um ponto dado ..107 9. Concordância de dois arcos de circunferĂŞncia de centros e ponto de concordância com o primeiro arco conhecidos ..............................................................................................................................109 10. Concordância de uma reta com um arco afastado e conhecendo a medida do raio do segundo arco 111 TĂłpico 10 – Arcos ...................................................................................................................................113 Classificaçþes ..............................................................................................................................................................114 Construçþes ................................................................................................................................................................114 1. Construir um arco pleno sabendo que o vĂŁo mede 3 cm ..........................................................................114 2. Construir um arco abatido de trĂŞs centros sabendo que o vĂŁo AB mede 5 cm e a flecha CD, 1,5 cm ........................................................................................................................................115 3. Construir um arco ogival que tenha 4 cm de vĂŁo........................................................................................117 4. 5.
Construir um arco ogival sabendo que o vĂŁo AB mede 4 cm e a flecha CD, 5 cm ........................................118 Construir um arco ogival de ferradura sabendo que o vĂŁo mede 53 mm ................................................120
Tópico 11 – Espirais ................................................................................................................................122 Classificação ................................................................................................................................................................124 Construçþes ................................................................................................................................................................124 1. Construir uma falsa espiral bicêntrica ou de dois centros ..........................................................................124 2. Construir uma falsa espiral tricêntrica regular .............................................................................................125 3. Construir uma falsa espiral tricêntrica irregular ...........................................................................................126 4. Construir uma falsa espiral quadricêntrica ...................................................................................................127 5. Construir uma espiral de Arquimedes ..........................................................................................................128
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TÓPICO
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DIVISÃO DE UM SEGMENTO
Razão entre dois segmentos Consideremos os segmentos AB e CD, cujas medidas são 3 cm e 6 cm, respectivamente. 3 cm
I
I
A
B
I
6 cm
C
I
D
A razão do segmento AB para o segmento CD é dada por: AB 3 cm AB 1 ou CD 6 cm CD 2 Chama-se razão entre dois segmentos a razão entre os números, expressos por uma mesma unidade, que indicam as medidas desses segmentos.
Chan
wang
rong/
Shutt
erstoc
k.com
Na foto, as cordas do violão lembram segmentos de reta.
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Segmentos proporcionais Consideremos, agora, quatro segmentos: AB, CD, EF e GH, nessa ordem. A
2 cm
A C I
2 cm 4 B cm I
C
4 cm
I
I
I
2 cm
B
F
D
E G I
5 cm
F 10 Icm
H
D
G
10 cm
H
I
I
I
I
I
5 cm
F
5 cm
10FIcm
H
10 cm
H
B 2 cm 4 cm I
D I
E G I
4 cm
D
G
I
5 cm
I
I
E I
I
E
B
I
I
I
I
I
I
I
Podemos notar que:
AB 2 cm 1 CD 4 cm 2
EF 5 cm 1 GH 10 cm 2
A razão entre os segmentos AB e CD é igual à razão entre os segmentos EF e GH, ou seja:
AB EF CD GH
Nesse caso, temos que os segmentos dados, nessa ordem, são segmentos proporcionais.
Como uma proporção representa a igualdade entre duas razões, dizemos que quatro segmentos AB, CD, EF, GH, nessa ordem, são proporcionais quando os números que expressam suas medidas (tomados na mesma unidade) formam uma proporção.
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Teorema de Tales A figura seguinte mostra um feixe de paralelas (a // b // c // d // e // f) que cortam duas retas transversais t1 e t2. a
b
c
d
e
t1
f
u u
D
u u u A
B
v v
C v v v
E t2
Notamos que:
■ na reta t1:
AB 2u ⇒ AB 2 BD 3u BD 3
■ na reta t2:
AC 2v ⇒ AC 2 CE 3v CE 3
Comparando com , temos:
AB AC . BD CE
Logo, AB, BD, AC e CE são proporcionais.
Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.
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Aplicações do teorema de Tales 1 Dividir um segmento em n partes de medidas iguais ● Dado o segmento AB, vamos dividi-lo em 5 partes de medidas iguais.
B
A
1 o passo: Pela extremidade A, traçamos
2o passo: Sobre essa semirreta, a partir
uma semirreta qualquer.
do ponto A, marcamos cinco vezes um mesmo segmento, com uma medida qualquer, obtendo os pontos A1, A2, A3, A4 e A5. B
A
B
A A1 A2 A3 A4 A5
3o passo: Unimos o ponto A5 à extremi-
dade B, obtendo o segmento BA5.
B
A A1
4o passo: Traçamos, por A1, A2, A3 e A4, paralelas ao segmento BA5. A
II
II
II
II
II
B
A1 A2
A2 A3
A3 A4
A4 A5
A5
O segmento AB foi dividido em 5 partes de medidas iguais.
9
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2 Dividir um segmento em uma razão dada ● Determine, sobre um segmento AB dado, dois segmentos, AM e MB, tal que: AM 2 . MB 3 B
A
1 o passo: Traçamos, pela extremidade A,
2o passo: Considerando uma medida u
uma semirreta qualquer.
qualquer, marcamos sobre essa semirreta os pontos C e D, de modo que AC 2u e CD 3u. B
A
B
A
2u
C
3u
D
3o passo: Unimos o ponto D à extremida-
4o passo: Traçamos, pelo ponto C, uma
de B, obtendo o segmento BD.
reta paralela ao segmento BD, que corta AB em M. B
A
A
B
M
C
2u
C
3u
D
D
O ponto M divide o segmento AB em dois segmentos cuja razão é 2 . 3
10
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3 Dividir um segmento em partes proporcionais ● Divida um segmento AB em partes proporcionais a 2, 3 e 4. A
B
1 o passo: Traçamos, pela extremidade A, uma semirreta qualquer. A
B
2o passo: Considerando uma medida u qualquer, marcamos sobre essa semirreta os pontos M, N e P, de modo que AM 2u, MN 3u e NP 4u. A
B
2u
M
3u
N
4u
P
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3o passo: Unimos o ponto P à extremidade B e obtemos o segmento BP. A
B
M
N
P
4o passo: Traçamos, por M e N, as paralelas ao segmento BP, que cortam AB, respectivamente, em M e N . A
M
B
N
2u
M
3u
N
4u
P
Os pontos M e N dividem o segmento AB em segmentos proporcionais a 2, 3 e 4, ou seja: AM M N N B ⇒ AM M N N B AM MN NP 2 3 4
12
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4 Dados três segmentos de medidas a, b e c, obter a quarta propro● porcional desses segmentos, ou seja, um segmento de medida x, tal que: a c b x
Dados três segmentos de medidas AB = a, BC = b e AD = c, obtenha, nessa a c . ordem, um quarto segmento de medida DX = x, tal que b x
a
b
c
1o passo: Sobre uma reta r qualquer marcamos AB a e BC b. A
B
a
C
b
r
2o passo: Traçamos, pela extremidade A, uma semirreta s qualquer e marcamos AD c.
A
a
B
b
C
r
c D
s
13
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3o passo: Unimos o ponto D ao ponto B e obtemos o segmento BD.
A
a
B
b
C
r
c D
s
4o passo: Traçamos, pelo ponto C, uma reta paralela a BD e determinamos o ponto X na semirreta s.
A
a
B
b
C
r
c D x
X
s
O segmento DX, que tem a medida procurada x, ĂŠ a quarta proporcional.
14
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5 Dados dois segmentos de medidas a e b, obter a terceira proproâ—? porcional desses segmentos, ou seja, um segmento de medida x, tal que: a b b x
Dados dois segmentos de medidas AB = a, BC = b, obtenha, nessa ordem, a terceira proporcional DX = x, tal que a b . b x
a
b
1o passo: Sobre uma reta r qualquer marcamos AB a e BC b.
A
B
a
C
b
r
2o passo: Traçamos, pela extremidade A, uma semirreta s qualquer e marcamos AD b.
A
a
B
b
C
r
b D
s
15
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3o passo: Unimos o ponto D ao ponto B, obtendo o segmento BD.
A
B
a
b
C
r
b D
s
4o passo: Traçamos, pelo ponto C, uma reta paralela a BD e determinamos o ponto X na semirreta s.
A
B
a
b
C
r
b D x X
s
O segmento DX, com a medida procurada x, ĂŠ a terceira proporcional.
16
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Média geométrica ou proporcional Considere dois segmentos AB e BC de medidas a e b, respectivamente. Denomina-se média geométrica ou proporcional desses segmentos um terceiro segmento de medida x, tal que: a x ⇒ x2 a b x b
1 Dados dois segmentos AB e BC , de medidas a e b, respectivamen●
te, construir um segmento que represente a média geométrica ou proporcional dos segmentos AB e BC a b
Para resolver esse problema, podemos utilizar dois processos.
1o processo 1o passo: Sobre uma reta r qualquer, marcamos AB a e BC b. a
b
A
B
r
C
2o passo: Determinamos o ponto médio M do segmento AC e traçamos a semicircunferência com centro em M e raio MA.
A
M
B
C
r
17
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3o passo: No ponto B, traçamos uma perpendicular a r que cortará a semicircunferência no ponto D. D
x
A
M
B
r
C
O segmento BD, de medida x, é a média geométrica ou proporcional procurada.
2o processo 1o passo: Sobre uma reta r qualquer, marcamos AB de medida a. a A
B
r
2o passo: Sobre a reta r e a partir do ponto B (para a esquerda), marcamos o ponto C, distante a b do ponto B. a b C
A
B
r
3o passo: Determinamos o ponto médio M do segmento AB e traçamos uma semicircunferência com centro em M e raio MA.
A
M
C
B
r
18
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4o passo: No ponto C, traçamos uma perpendicular a r que cortará a semicircunferência no ponto D.
D
M
A
C
B
r
5o passo: Unimos os pontos A a D e obtemos o segmento AD.
D x
A
M
C
B
r
O segmento AD, com a medida x, é a média geométrica ou proporcional procurada.
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Média ou extrema razão (segmento áureo) Determinar a média ou extrema razão de um segmento dado consiste em decompor esse segmento em duas partes, tais que a razão entre a primeira parte e o segmento dado seja igual à razão entre a segunda parte e a primeira parte.
1 Determinar a média ou extrema razão (segmento áureo) de um ● segmento AB de medida a
a
1o processo Marcamos o segmento AB em uma reta r qualquer.
A
r
B
1o passo: Determinamos o ponto médio do segmento AB e, pela extremidade B, levantamos uma perpendicular BP de medida igual a AM (ou MB).
P
A
M
B
r
20
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P
2o passo: Unimos os pontos P a A.
A
M
B
r
P C
3 passo: Com a ponta-seca do o
compasso em P e raio PB, traçamos um arco que determinará o ponto C em AP.
A
M
B
r
P C
4 o passo: Com a ponta-seca do compasso em A e raio AC, traçamos um arco que divide o segmento dado AB em AD e DB. AD é o segmento áureo de AB.
A
M
D
B
r
21
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2o processo Dado um segmento com AB a. a
1o passo: Traçamos uma circunferência de centro A e raio AB. Prolongamos o segmento AB e determinamos o diâmetro CB.
C
B
A
2o passo: Construímos em A uma perpendicular ao segmento AB e que determina na circunferência o ponto P.
P
C
A
B
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3o passo: Determinamos o ponto médio M de AC.
P
C
M
B
A
4o passo: Com a ponta-seca do compasso em M e raio MP, traçamos um arco que determinará em AB o ponto D. AD é o segmento áureo de AB.
P
C
M
A
D
B
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