Giovanni | Giovanni Jr. | Castrucci
A conquista da Matemática
A coleção A conquista da Matemática, constituída de quatro volumes, aborda os conteúdos por meio de linguagem direta e acessível. Cada livro contém unidades compostas por capítulos que, por sua vez, contam com seções e atividades variadas, facilitando o desenvolvimento do aluno na compreensão da Matemática.
ISBN 978-85-96-00049-9
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788596 000499
11519084
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A conquista da
Matemática Giovanni Giovanni Jr. Castrucci
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A conquista da
Matemática José Ruy Giovanni
Professor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1960.
José Ruy Giovanni Júnior
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1985.
Benedicto Castrucci
(Falecido em 2 de janeiro de 1995) Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.
São Paulo, 2015
9
Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Júnior, 2015 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thais Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaína Bezerra Pereira Assistente editorial Bruna Flores Assessoria Cristiane Boneto, Eliane Cabariti Casagrande Lourenço, Verilda Speridião Kluth Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de produção Marcia Berne Pereira Coordenadora de arte Daniela Máximo Projeto gráfico Casa Paulistana Capa Casa Paulistana Foto de capa Yulia Grigoryeva/Shutterstock/Glow Images, ra2studio/Shutterstock/ Glow Images, Blend Images/Shutterstock/Glow Images, se media/Shutterstock/Glow Images, ra2studio/Shutterstock/Glow Images, Robert Kneschke/Shutterstock/ Glow Images, Borko Ciric/Shutterstock/Glow Images Editor de arte Fabiano dos Santos Mariano Diagramação Nadir Fernandes Racheti, Estúdio Anexo Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Ilustrações e cartografia Alex Argozino, Alex Silva, Dawidson França, Estúdio MW, Ilustra Cartoon, Marcos Guilherme, Paulo Manzi, Studio Caparroz, Sonia Vaz Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Preparação Dilma Dias Ratto, Iraci Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr. Revisão L íder: Izabel Cristina Rodrigues. Revisores: Alessandra Maria R. da Silva, Juliana Rochetto, Jussara R. Gomes, Pedro Fandi, Solange G. Guerra Supervisora de iconografia Célia Maria Rosa de Oliveira Iconografia Danielle de Alcântara Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni, José Ruy A conquista da matemática, 9 o ano / José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — São Paulo : FTD, 2015. ISBN 978-85-96-00049-9 (aluno) ISBN 978-85-96-00050-5 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Giovanni Júnior, José Ruy. II. Castrucci, Benedicto, 1909-1995. III. Título. 15-06526 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à FTD EDUCAÇÃO. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: ensino.fundamental2@ftd.com.br
Impresso no Parque Gráfico Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Apresentação Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo de Matemática na escola? Com certeza essas são perguntas que um dia passaram ou vão passar por sua cabeça. A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem até os modernos e complexos computadores. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura. Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes de sua vida, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não têm aplicação imediata. Isso pode gerar em você certo desapontamento. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer Matemática é necessário dedicação e estudo. Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige. Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo. Não é o que você quer. Então, vamos entender e fazer Matemática!
Conheça o seu livro 1
1
Noçþes elementares de EstatĂstica
Paulo Manzi
UNIDADE
Aberturas de Unidade As pĂĄginas de abertura introduzem o trabalho que serĂĄ desenvolvido em cada Unidade. Nelas, vocĂŞ ĂŠ convidado a observar os elementos da imagem e relacionĂĄ-los com seus conhecimentos sobre o tema ou a contextos que serĂŁo articulados pelas questĂľes.
Observe a imagem ao lado. Nela estĂĄ representada uma linha de produção fabril em que hĂĄ um setor cuja atividade consiste em reparar produtos com defeitos, os quais precisam de um retrabalho, tambĂŠm chamado de melhorias. Mas como definir em quais peças hĂĄ defeito? Para isso, existe um setor de inspeção, que ĂŠ o responsĂĄvel por avaliar a qualidade dos itens produzidos. Esse setor tambĂŠm ĂŠ responsĂĄvel por fazer uma anĂĄlise estatĂstica da produção. Agora, observando a imagem, pense e responda no caderno. O retrabalho (melhorias) acontece em que momento da produção? O que vocĂŞ entende por retrabalho? VocĂŞ entende que para uma fĂĄbrica ĂŠ melhor que muitos ou poucos itens passem por esse setor? Quais procedimentos podem ser adotados para evitar o retrabalho e diagnosticar suas causas? Como esses dados podem ser organizados? Que tipo de grĂĄfico vocĂŞ acha que seria melhor para representar os problemas que causam o retrabalho? Por quĂŞ?
10
11
as cartesianas
de referĂŞncia de uma cidade e um sistema uma maquete de parte A figura abaixo nos mostra indicado por letras e nĂşmeros.
10
EstĂşdio MW
9 8 7 6 5 4 3 2 1 C
para localizar os elementos e um número, nessa ordem, Se adotarmos uma letra ordenado (D, 9). representada pelo par a torre da igreja pode ser Agora, responda no caderno. dê a localização do: 1. Usando o critÊrio acima, b) chafariz. a) restaurante. em:
2. O que vocĂŞ encontra a) (K, 9)?
dessa maquete,
c) (I, 5)?
b) (C, 5)?
pode determinar disposto numa certa ordem, Um par de número e letra, a distância medida no plano. A letra representa verticalmente a posição de um ponto representa a distância medida horizontalmente, e o número em relação a um ponto. pelo filósofo e mao de um ponto foi lançada publicado Essa ideia de representaçã (1596-1650), em um trabalho Descartes RenÊ temåtico francês em 1637.
Alberto Llinares
B
A
L
K
J
I
H
G
F
E
D
Retrato de RenĂŠ Descartes.
Tratando a informação
Explorando As atividades apresentadas valorizam a construção e a experimentação de suas próprias hipóteses com base nos seus conhecimentos prÊvios.
Explorando
Tratando a informação Esta seção trabalha de forma organizada com propostas de tratamento e organização de dados, probabilidade e EstatĂstica.
O desvio padrĂŁo Uma das principais caracterĂsticas do nosso paĂs ĂŠ a diversidade: diferentes povos e culturas, vivendo em variadas realidades sociais, sob climas e temperaturas diversas. Confira, na tabela abaixo, um registro da temperatura em algumas capitais brasileiras em certo dia de abril de 2015. Temperatura em algumas capitais brasileiras Capital
Temperatura (em ÂşC)
Belo Horizonte (MG)
28
Teresina (PI)
33
BrasĂlia (DF)
25
Campo Grande (MS)
21
FlorianĂłpolis (SC)
26
JoĂŁo Pessoa (PB)
31
Porto Alegre (RS)
23
Manaus (AM)
29
Natal (RN)
32
VitĂłria (ES)
30
Informaçþes obtidas em: <www.cptec.inpe.br>. Acesso em: 18 abr. 2015.
Responda às questþes no caderno. 1. Qual foi a variação entre a maior e a menor temperatura registrada?
Fabio Colombini
Sistema de coordenad
2. Em qual capital foi registrada a maior temperatura nesse dia? E a menor? 3. Qual a temperatura mÊdia registrada nesse dia nas cidades apresentadas na tabela? 4. Em qual capital ocorreu a temperatura mais próxima da mÊdia? 5. Podemos determinar o afastamento ou desvio de cada uma dessas temperaturas em relação à temperatura mÊdia registrada nessas capitais. Para isso, efetuamos a diferença entre a temperatura registrada em cada capital e a temperatura mÊdia. a) Determine o desvio de cada temperatura da tabela. b) Considerando o valor absoluto (módulo) desses afastamentos, em qual capital ocorreu o maior afastamento da temperatura registrada em relação à temperatura mÊdia? E o menor?
230
140
ExercĂcios
2
2
4
6
5
3
1
1
6
6
5
5
4
2
Construa uma tabela que indique a quantidade de vezes que cada número aparece, bem como a respectiva taxa percentual em relação ao número total de vezes em que o dado foi lançado. 3. Os dados a seguir se referem às notas obtidas pelos alunos em uma prova de Matemåtica. Número Nota do aluno
NĂşmero Nota do aluno
NĂşmero Nota do aluno
1
8
10
4
19
8
2
4
11
9
20
7
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5
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2
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4
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25
7
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3
17
6
26
9
9
3
18
6
Construa uma tabela que indique as notas, a quantidade de alunos que obtiveram cada nota e a respectiva taxa percentual em relação ao número total de alunos. Em seguida, responda: a) Quantos alunos obtiveram notas menores que 5?
15 11 13 14
14
15
14
13 15 12 13
14
15 12 14
13 15
14
14
16 13 12 14
11 12 15 13 15 16 15
14 12 15 13 13
14 12 14
15
14
Construa uma tabela em que apareçam as colunas â&#x20AC;&#x153;Idadeâ&#x20AC;?, â&#x20AC;&#x153;NĂşmero de alunosâ&#x20AC;? associadas a cada idade e â&#x20AC;&#x153;Taxa percentualâ&#x20AC;? em relação ao nĂşmero total de alunos. 5. Observando-se a altura de 40 jogadores de basquete, foram obtidos os seguintes dados: 11 tinham altura entre 1,70 m (inclusive) e 1,85 m de altura; 22 tinham altura entre 1,85 m (inclusive) e 2,00 m de altura; 7 tinham entre 2,00 m (inclusive) e 2,15 m de altura.
Construa uma tabela em que apareçam as colunas â&#x20AC;&#x153;Alturaâ&#x20AC;?, â&#x20AC;&#x153;Quantidade de atletasâ&#x20AC;? e â&#x20AC;&#x153;Taxa percentualâ&#x20AC;? em relação ao nĂşmero total de atletas.
15
Brasil real
39Âş15â&#x20AC;&#x2122;O
Fabio Colombini
Itapebi
Belmonte
BA 001
BR 101
BAHIA EunĂĄpolis
BR 367
Sonia Vaz
chegada Cidades da regiĂŁo da dos portugueses ao Brasil
a esquadra de Pedro 1. A regiĂŁo onde veio aportar importante centro um Ă lvares Cabral ĂŠ, hoje, turĂstico.
OCEANO ATLĂ&#x201A;NTICO 16Âş15â&#x20AC;&#x2122;S
Santa Cruz CabrĂĄlia Porto Seguro Arraial Dâ&#x20AC;&#x2122;Ajuda
Itabela BR 101
para quem deseja começar Porto Seguro Ê o ponto inicial Brasil. Possui (I) km de praias uma viagem pela história do rios, riachos, coqueirais e protegidas por recifes de corais, Na foto, Centro Histórico, uma exuberante Mata Atlântica. Foto de 2012. Casa de Câmara e Cadeia.
0
Trancoso Caraiva
20
escolar. Rio de Janeiro, 2007.
paradisĂacas de ĂĄguas mornas Cerca de (III) km de praias a paisagem de Arraial e extensos coqueirais desenham em partir da construção da igreja Dâ&#x20AC;&#x2122;Ajuda. O arraial surgiu a Foto de 2012. invocação a Nossa Senhora.
Marcos Corazza/Olhar
Eduardo Zappia/Pulsar
Santa Cruz CabrĂĄlia dispĂľe Distante (II) km de Porto Seguro, praias praticamente de moderna infraestrutura turĂstica, de local onde existiu o povoado desertas e rios navegĂĄveis. O hoje indĂgenas AimorĂŠs em 1564, Santa Cruz, destruĂdo pelos IndĂgena da Tribo PataxĂł, com corresponde Ă ĂĄrea da Reserva sede na praia de Coroa Vermelha. da Conceição. Foto de 2014. Na foto, Igreja de Nossa Senhora
Imagem
Carlos Alkmin/Olhar Imagem
Fonte: IBGE. Atlas geogrĂĄfico
Dâ&#x20AC;&#x2122;Ajuda e a (V) km de Distante (IV) km de Arraial Originalmente uma Porto Seguro, fica Trancoso. na ĂŠpoca conhecida aldeia jesuĂta do sĂŠculo XVI, Ă?ndios. Foto de 2010. como SĂŁo JoĂŁo Batista dos
em quilĂ´metros, indidescobrir as distâncias, equaçþes a seguir para Resolva, no caderno, as romanos. cadas nos textos com algarismos (III) x2 â&#x20AC;&#x201C; 15x â&#x20AC;&#x201C; 16 5 0 x2 â&#x20AC;&#x201C; 50x 1 624 5 0 (I) x2 â&#x20AC;&#x201C; 8 100 5 0 ente, em ordem crescente: (IV) e (V), respectivam (II) 2x2 â&#x20AC;&#x201C; 46x 5 0
117
Brasil real Esta seção apresenta diversas situaçþes que possibilitam ainda mais a conexĂŁo da MatemĂĄtica com diversas ĂĄreas do conhecimento. Ă&#x2030; uma Ăłtima oportunidade para pensar sobre questĂľes que podem auxiliĂĄ-lo a refletir sobre valores e atitudes que contribuem para sua formação como cidadĂŁo.
quero, eu quero
Meu bolso em dia
Publicado em 27 junho
2012.
Eu geralmente, gasta mais Uma pessoa com oneomania, e causa prejuĂzos para o dinheiro do que pode, faz dĂvidas da famĂlia. Costuma adquirir seu orçamento e atĂŠ mesmo e deixa de pagar contas essenprodutos que nunca vai usar . ciais por causa dos gastos desnecessĂĄrios uma vĂĄlvula de escape, A compulsĂŁo pode surgir como autoestima ou subselevar a ou seja, para fugir da tristeza, que podem despertar estituir outro vĂcio. Outras situaçþes ou mesmo propagandas se desejo ĂŠ a ida a um shopping por compras costuma comerciais na televisĂŁo. O compulsivo e compras de si prejuĂzos os escondendo negar o distĂşrbio, [...] mesmo e da famĂlia e amigos
da Faculdade de MeDe acordo com uma pesquisa em cada 100 brasileiros dicina da USP (FMUSP), três s e não resistem ao são compradores compulsivo coisa, sem se importar impulso de comprar qualquer de com o objeto em si. AlÊm com o valor da compra e de fazer um planejamento não pensar na importância nas consequênpensa não pessoa a antes de comprar, na satisfação do momento cias a longo prazo, apenas de comprar. conhecido como oneEsse comportamento Ê mais consideatinge as pessoas omania, um distúrbio que compulsivas. Se não tratado radas como compradoras de agir pode prejudicar a adequadamente esse modo financeira. Por isso, Ê imporvida pessoal, profissional e se assunto para saber como tante ficar por dentro do tipo de situação e evitar daprevenir ou identificar esse nos ao seu bolso. Mundial de Saúde) Segundo dados da OMS (Organização da população mundial. 1% de cerca atinge a oneomania
jul. 2012. Meu Bolso em Dia. 27 Fonte: O que sĂŁo os bancos? graus.com.br/materia/voceExtraĂdo do site: <https://www.45 Acesso em: 2 abr. 2015. -e-um-comprador-compulsivo>.
Photodisc/Getty Images
6
5
3
Educação financeira Você Ê um comprador compulsivo?
e 1. LuĂsa leu esse artigo R$ 3 000,00 Renda: desconfiou que pode o) e objetos de decoraçã ser uma compradora R$ 450,00 (roupas CartĂŁo de crĂŠdito: compulsiva. Ela listou em um caderno R$ 240,00 (roupas) sua renda mensal e CarnĂŞs de lojas: os gastos com presR$ 600,00 taçþes (dĂvidas) que Prestação do carro: mĂŞs. tem nesse comprometido com Responda no caderno. da renda de LuĂsa estĂĄ de setores mostrando quanto pagamento consome dessa renda. a) Elabore um grĂĄfico o percentual que cada is? dĂvidas. Coloque no grĂĄfico as dĂvidas, sĂŁo fundamenta listados por ela, que geraram estĂĄ em torno de b) VocĂŞ acha que os produtos do brasileiro com dĂvidas o comprometimento mĂŠdio c) Considerando que de LuĂsa? situação a ĂŠ qual supermercado, transpor22%, LuĂsa (luz, gĂĄs, aluguel, os gastos essenciais de d) O que acontecerĂĄ se te) forem de R$ 1 900,00? sua vida financeira? LuĂsa deve fazer para melhorar e) Em sua opiniĂŁo, o que
23
Educação financeira Com o objetivo de desenvolver reflexþes sobre atitudes como håbitos conscientes de consumo, a seção trata tópicos como controle de gastos, economia etc.
EntĂŁo: 7
3 11 3 11 3
4xy 7 4 7 x 7 y , com x, y R .
3
2 5 2 3 5
5a propriedade: n
a b
25 5 9 3 5 25 9 3
n n
25 e 9
Considere as expressĂľes Calculando: ď&#x20AC;ąď&#x20AC;´ď&#x20AC;´ď&#x20AC;˛ď&#x20AC;´ď&#x20AC;´ď&#x20AC;ł
5
2 2
Fotos: David Arky/Tetra Images/Corbis/Latinstock
2. Um dado foi lançado 20 vezes, sendo obtidos os seguintes pontos:
ExercĂcios Os exercĂcios apresentados visam Ă prĂĄtica do conteĂşdo aprendido por meio de atividades variadas, escritas e orais. ApĂłs retomar os principais conteĂşdos que foram trabalhados, vocĂŞ avança um pouco mais, fazendo atividades mais desafiadoras.
b) Que percentual de alunos obtiveram nota igual ou superior a 5? c) Qual nota aparece com maior frequĂŞncia? 4. Um grupo de alunos foi escolhido para representar a escola no desfile de abertura de uma olimpĂada esportiva. Pesquisando as idades dos alunos escolhidos, obtiveram-se as seguintes idades (em anos):
EstĂşdio MW
Responda às questþes no caderno. 1. Quantos alunos do sexo masculino e do sexo feminino hå na sua classe? Construa uma tabela que indique a quantidade de alunos por sexo, assim como a respectiva taxa percentual em relação ao número total de alunos.
a , com a R , b R*, n N e n 1. b 25 . 9
Comparando, temos
25 9
25 . 9
Portanto: 3 7
3 7
5
a 5
5 5
a , com a R . 5
Para quem quer mais
Raiz quadrada de alguns nĂşmeros palĂndromos e a calculadora Vamos explorar a tecla
para investigar a raiz quadrada de
Saiba que... Um nĂşmero palĂndromo ĂŠ aquele que nĂŁo se altera quando lido da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita.
alguns nĂşmeros palĂndromos. Para isso, vamos calcular Tecle
1
2
1
Tecle
1
2
3
121 e 12 321 :
, e aparecerĂĄ no visor 2
1
, e aparecerĂĄ no visor
.
. .
1. Investigue, com o auxĂlio de uma calculadora, o que acontece com a raiz quadrada do nĂşmero palĂndromo 1 234 321. Registre no caderno. 2. O que vocĂŞ acha que vai acontecer com as raĂzes quadradas dos nĂşmeros palĂndromos a seguir? Registre no caderno. a) 123 454 321 b) 12 345 654 321
58
Saiba que... Traz informaçþes complementares de maneira acessĂvel.
Para quem quer mais
Verificando a fórmula
da área de um círculo
Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado
retângulo
triângulo 1. Usando a área de um cola, papel e tesoura.
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida da diagonal e a medida do lado do quadrado.
Você vai precisar de barbante, o que se pede. entre as linhas da Com esse material, faça para cobrir os espaços com medidas suficientes a) Corte pedaços de barbante figura abaixo.
No quadrado ABCD, l é a medida do lado, e d, a medida da diagonal. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, podemos escrever:
arte Editoria de arte Ilustrações: Ilustrações: Editoria de
r
D
d2 5 2l2 (l . 0) 2l2
d 5
d
de modo que fiquem do maior para o menor, de barbante em um papel, triângulo retângulo. b) Cole esses pedaços dispostos, formem um outro, e, ao final, assim r do raio do esticados, um ao lado do formado é igual à medida do cateto menor do triângulo medida da circunc) Verifique que a medida triângulo tem a mesma que o cateto maior desse círculo. Observe também 2pr. é to comprimen cujo ferência desse círculo, retângulo: do círculo e do triângulo Agora, compare as áreas
A
Considerando que ângulo retângulo, temos: do triângulo retângulo área do círculo 5 área 2pr r pr2 área do círculo 5 2
o círculo também cobre
o tri-
retângulo 2. Usando a área de um em 16 partes iguais. um círculo, dividindo-o a) Em uma cartolina, desenhe cada pedaço. Depois, recorte-o, separando encaixanb) Junte as partes recortadas ao lado, e do-as, conforme a figura observe. o círculo em altura Faça o mesmo, dividindo que, quanto mais partes iguais. Note partes em que A maior é a quantidade de próxima de um dividimos o círculo, mais retângulo fica a figura formada.
C
B
D E
πr
305
B
1 Quanto mede a diagonal do quadrado abaixo?
Para quem quer mais Nesta seção você encontra informações complementares relacionadas ao conteúdo estudado.
D
8
C
8
B
d
8
8
A
Descubra mais Apresenta indicações de livros e sites que propiciam o enriquecimento e aprofundam o conteúdo em questão.
Ilustrações: Editoria de arte
2πr
barbante que cobre a mesma quantidade de
d 5l 2
Consideremos, então, as situações a seguir.
r
r
C
d2 5 l2 1 l2
Pela fórmula, temos d 5 l 2 . Substituindo l por 8, temos: d 5 8 2 . Logo, a medida da diagonal desse quadrado é 8 2 cm.
2 A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Determinar a medida l do lado desse quadrado. Pela situação, temos d 5 10 cm. Substituindo na fórmula d 5 l 2 , temos: 10 10 10 1010 10 22 22 1010 10 25 510 10 ll 5 l5 l55 l5 l55 10 1010 5 55 l5 l l2l2 22 ll l2l2 255 10 10 ll 5 22 22 22 22
55 5252 22
Logo, o lado desse quadrado mede 5 2 cm.
Descubra mais Os peregrinos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto. Editora FTD, 1998. Um grupo de adolescentes precisa resolver um grande desafio: evitar um cataclisma, que ameaça extinguir toda a vida terrestre.
244
Desenho Geométrico u Retomando o que aprende
Homotetia
C
C
A
B
A
B
D
C
A
B
A
B
Para entender como podemos obter a figura homotética de uma figura dada, consideremos dois pontos, O e A, do plano. Vamos construir o ponto A , correspondente de A, do seguinte modo: traçando a semirreta OA e nela marcando o ponto A , tal que OA 2 OA, por exemplo. A
A
O
Nesse caso, dizemos que A é o homotético de A em relação ao ponto O (centro da homotetia) e a razão k é 2 (razão da homotetia).
Como ampliar uma figura usando a homotetia? Temos um triângulo ABC e queremos ampliá-lo, usando a homotetia.
A
C
1o passo Primeiro, marcamos um ponto O qualquer (centro da homotetia). Daí, traçamos OA , OC e OB . O
B
A
C
B
2o passo Depois, marcamos um ponto A sobre OA , de modo que OA k OA (k razão da homotetia). No caso, vamos usar k 2. Então, como OA 3 cm e OA k OA, temos: C
A
OA 2 3 ⇒ OA 6
OA 6 cm
no caderno. Responda às questões projeta uma sombra de 1. (Saresp) Um prédio em que um poste de 2 m 40 m ao mesmo tempo 5 m. Então, a altura do projeta uma sombra de
Desenho Geométrico A seção trabalha algumas construções, demonstrações e propriedades de figuras geométricas.
prédio é de: a) 10 m b) 12 m
A
E
B
C
3
D
14
c) 8,8 d) 8,6 e) 8,5 a) 9,5 b) 10 na figura a seguir, a 6. Vamos considerar que, 20 cm, a medida do medida do lado AB seja quadrilátero BCMP relado BC seja 5 cm, e o cujo lado mede x cm. presente um losango, A
P
C
B
é o perímetro do losanNessas condições, qual go, em centímetro? e) 24 c) 20 d) 18 a) 12 b) 16
5m
4m
é a altura da árvore? Nessas condições, qual d) 38,5 m a) 35 m e) 40 m b) 36 cm
E
300
30 m
x
são a fachada de uma casa 4. A porta de entrada e s, e a razão de figuras retangulares semelhante a altura da casa para semelhança da altura da m, qual é 5 . Se a altura da casa é 6,0 porta é 2 a altura da porta? d) 3,6 m a) 2,4 m e) 1,8 m b) 2,8 m c) 3,2 m
228
B
m C
c) 37,5 m
B
x de um lago, foi utilizado
7. Para medir a largura o esquema abaixo.
30 m
C
B
12
x
c) 14 m d) 16 m
M
3 cm
O
A
14 Se o carro de Caio tem . do carro de Caio é 3 qual é o comprimento 0,9 m de comprimento, do carro do pai de Caio? d) 4,8 m a) 4 m e) 3,6 m b) 4,2 m c) 4,5 m de uma árvore, utili3. Para determinar a altura zou-se o esquema a seguir.
6 cm
Em seguida usamos o mesmo procedimento para encontrar B e C .
abaixo, determine a
5. Considerando a figura medida x indicada.
de brinquedo que é uma 2. Caio tem um carrinho o seu pai. A razão entre miniatura do carro de o do pai e o compriment comprimento do carro
arte
D
Ilustrações: Editoria de
C
Ilustrações: Editoria de arte
Duas figuras semelhantes, dispostas de tal modo que seus lados correspondentes fiquem paralelos, são chamadas figuras homotéticas. Veja alguns exemplos:
36 m
A
D
ABC EDC. Nessas condições, obteve-se x do lago. Determine, então, a largura e) 450 m c) 260 m a) 250 m d) 360 m
b) 400 m
Retomando o que aprendeu Esta seção visa sistematizar os temas trabalhados por meio de atividades que integram os conteúdos estudados na Unidade.
1 km
24 20
40 24
2 km
de quatro triângulos 11. (Saresp) As hipotenusas com os lados retângulos isósceles coincidem como indica a branca, de um quadrado, de cor figura a seguir.
2 km
1 km
2 km
a colheita total se fosEm quantos dias se faria sem: es para essa a) contratados 300 trabalhador tarefa? as mecânicas? b) usadas 20 colheitadeir
medem 4 cm, a soSe os lados desse quadrado coloridos é igual a: ma das áreas dos triângulos 2 2 c) 8 cm a) 32 cm 2 2 d) 4 cm b) 16 cm
Desafios
são conhecidas as meditriângulo qualquer, quando grego que viveu se calcular a área de um 1. Uma das maneiras de a fórmula de Heron, matemático triângulo, é aplicando das a, b, c dos lados desse I a.C. em Alexandria, no século a b c o do triângulo semiperímetr o p 2 b)(p c) , sendo do triângulo lados dos Área p(p a)(p medidas as a, b, c lados medem: a área do triângulo cujos para calcular no caderno Use a fórmula de Heron b) 40 cm, 50 cm e 60 cm. a) 40 cm, 30 cm e 20 cm. figura: o para reproduzir esta 2. Use papel quadriculad
a da malha tem área igual Considerando que cada colorida de verde. área da região da figura
1 unidade quadrada, calcule
no caderno a
278
Desafios Esta seção apresenta situações desafiadoras que podem ser resolvidas individualmente ou em grupo e que demandam diversas estratégias de resolução, como lógica, raciocínio e cálculo mental em busca de uma solução.
8. O perímetro de um triângulo ABC é 45 cm. A bissetriz interna do ângulo  desse triângulo intercepta o lado BC em um ponto D, tal que BD 9 cm e CD 6 cm. As medidas em centímetros dos lados AB e AC são, respectivamente: a) 12 e 18. c) 17 e 13. e) 20 e 10. b) 14 e 16. d) 18 e 12.
A
x 10
Um novo olhar É o momento de você refletir sobre os conhecimentos que adquiriu ao longo da Unidade e analisar sua produção e participação nas propostas de trabalho, ampliando seu comprometimento com sua aprendizagem.
C
70
O perímetro desse triângulo ABC é: a) 160 b) 190 c) 200 d) 210 e) 220 11. Dois terrenos, T1 e T2, têm frente para a rua R e fundos para a rua S. Sabe-se que o lado BC do terreno T1 é paralelo ao lado DE do terreno T2, como nos mostra a figura abaixo.
A x S
R
E
B
9. Na figura abaixo, sabe-se que RS // DE e AE 42 cm.
10
x 30
25 D x 5
y
Ru
D
20
aS
70
E
D
Nessas condições, o valor de y é: a) 14 cm c) 28 cm e) 30 cm b) 18 cm d) 24 cm
B
T2 E
Rua R
Ilustrações: Editoria de arte
2 km
foi recortada de acordo 10. Uma placa de zinco estão expressas com a figura, cujas medidas dessa placa, em a área em centímetros. Calcule centímetros quadrados.
Ilustrações: Editoria de
cana-de-açúcar de uma 9. A área de plantio de e as medidas indicadas fazenda tem o formato trabalhador é capaz de na figura. No corte, cada2 por dia, enquanto uma trabalhar em 0,001 km colhe, por dia, uma área colheitadeira mecânica 2 km . correspondente a 0,06
arte
232
35 T1 C 2x 5 A
5x
De acordo com essa figura, o valor de x é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
10. No triângulo ABC da figura a seguir, sabe-se que DE // BC. Veja:
Um novo olhar Nesta Unidade, estudamos os conceitos de razão e proporção aplicados em segmentos proporcionais. Estudamos também os feixes de retas paralelas para entender o teorema de Tales e sua aplicação nos triângulos, e finalizamos a Unidade trabalhando com o teorema da bissetriz interna. A abertura trouxe reflexões sobre o teorema de Tales e suas aplicações na medição de grandes alturas (que não seriam facilmente obtidas de outra maneira). Vamos retomar as aprendizagens desta Unidade e refletir respondendo às questões a seguir no caderno. Na abertura da Unidade você foi convidado a observar uma construção em um dia ensolarado e a sugerir como ela o ajudaria a determinar a altura dessa construção. Por que foi pedido que se fizesse a observação em um dia ensolarado? Refaça a medição da construção escolhida. A medida anterior foi confirmada pela nova medida calculada? Quando podemos afirmar que 4 segmentos são proporcionais? De que maneira podemos utilizar o teorema de Tales para determinar a altura de uma construção? Cite outras aplicações do teorema de Tales e de segmentos proporcionais na Matemática ou em seu cotidiano.
205
Investigando alturas
Kelley Chinn/MCT/Getty Images
Hoje em dia é possível fazer medições cada vez mais precisas, graças aos modernos equipamentos de medição e ao desenvolvimento de sistemas de posicionamento, como o GPS — do inglês Global Positioning System —, que é baseado em satélites. O GPS foi desenvolvido pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos e consiste num conjunto de 24 satélites artificiais em órbita a uma distância de 16 900 km da superfície terrestre. Esses satélites emitem sinais que são captados por receptores GPS, alguns do tamanho da palma da mão, e convertidos em dados como posição, velocidade e tempo.
Serra do Imeri, no Parque Nacional do Pico da Neblina. Foto de 2012. Tony Cordoza/Getty Images
Montanha Ama Dablam, na região do Everest, Nepal. Foto de 2013.
Esse aparelho de GPS é um guia de ruas que usa o sinal GPS para posicionar o usuário nesse guia.
Um navegador GPS fornece a localização do usuário ao fornecer sua latitude, longitude e altitude. Esse tipo de aparelho é usado por aviões, navios, expedições etc.
RESPOSTAS
Faces
Frequência
Taxa percentual
1
2
10%
2
5
25%
3
2
10%
4
2
10%
5
5
25%
6
4
20%
4.
Idade dos alunos no
16 15 14
No de alunos 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8
Fonte: Colégio em que
Taxa percentual
1
1
3,8%
2
2
7,7%
3
4
15,4%
4
4
15,4%
5
4
15,4%
6
2
7,7%
7
5
19,2%
8
2
7,7%
9
2
7,7%
a) 11
b) 57,7%
c) 7 (19,2%)
Há outras possibilidades de
11
2
5%
12
6
15%
13
8
20%
14
12
30%
15
10
25%
16
2
E você? Já teve curiosidade de saber qual é a altura de algum prédio? Consegue imaginar quanto mede certa torre ou determinado monumento de sua cidade? Neste Projeto, você terá oportunidade de descobrir como medir a altura dessas estruturas com um instrumento muito simples, que você mesmo irá fazer.
Altura Entre 1,70 e 1,85 Entre 1,85 e 2,00 Entre 2,00 e 2,15
313 320
Brasil real p. 28 a) 1 519 611,20 dólares. b) Resposta em aberto. Retomando o que aprendeu
30
1.
20
Quantidade de atletas
Taxa percentual
11
27,5%
22
55%
7
17,5%
Ano
2006 2002 2003 2004 2005
Fonte: Dados fictícios.
resposta.
Educação financeira p.
Esporte
No de pessoas
Voleibol
5 12
Futebol Basquetebol
Brasil real p. 22 1. a) De linhas. b) 10 bilhões de dólares. c) Aumentaram. d) 3 bilhões de dólares. e) Superávit.
p. 29
Preferência por esporte
10
2. a) 8,2
Taxa percentual 25% 60%
3
15%
b) 10
c) 0,82
3. 220,8 kg de pão. Unidade 2 de suas propriedades Estudo das potências e
23
Explorando p. 33 1.
a)
5%
5.
Altura dos alunos
Desafio p. 27 Alternativa b.
No de matrículas 50 40
Taxa percentual
Número de alunos
11. R$ 1 080,00 12. 90 centavos. 13. 4,5
no
60
Há outras possibilidades de
Idade dos alunos
Marcos estuda.
Mulheres matriculadas curso de informática
Respostas No final do livro estão todas as respostas das atividades propostas.
1. 22 2. 105 pontos. 3. 18 reais. 4. 1,99 m 5. R$ 25,75 6. 32 anos. 7. Alternativa d. 8. 4 kg. 9. a) Opção 3. b) Opção 1. c) Resposta pessoal. 10. Alternativa b.
resposta.
5.
4.
Idade
coral
Idade (em anos) 17
alunos Aproveitamento dos na prova de Matemática Quantidade de alunos
Exercícios p. 25 a 27
d) Não. 2. Alternativa d. 3. a) 22 alunas. b) 8 alunas. c) 27,2% aproximadamente.
Lançamento de dados
Nota
aumentará no mês seguinte. e) Resposta pessoal.
b) Nov./dez. c) 10 000 unidades.
1. Resposta em aberto. 2.
3.
suficiente, pois as d) A renda de 3 mil não será serão maiodívidas mais os gastos essenciais que a dívida res que a renda. Isso significa
Exercícios p. 21 1. a) 40 000 unidades.
Unidade 1 Estatística Noções elementares de Exercícios p. 15
Editoria de arte
No Brasil, o pico mais alto é o da Neblina. Fica na Serra Imeri, norte do Amazonas, perto da fronteira com a Venezuela. Seu pico está a 3 014 metros acima do nível do mar.
Projeto Para ser desenvolvido em grupo, o projeto é interdisciplinar e convida a colocar em prática o que você aprendeu ao longo do ano.
Editoria de arte
O ponto mais alto do mundo é o pico do Monte Everest, no Himalaia, fronteira entre o Nepal e o Tibete. O pico mais alto do monte Everest está a 8 848 metros acima do nível do mar.
Ricardo Azoury/Pulsar
John Harper/Corbis/Latinstock
Como medir a altura de coisas muito altas?
Parte das dívidas na Editoria de arte
Projeto
15% 8% 20%
renda
Carnês de lojas Prestação do carro Cartão de crédito
Quantidade de intervalos de tempo transcorrido 0 1 2 3
b) Resposta pessoal. comprometida, o c) Luísa tem 43% da sua renda brasileira. que é quase o dobro da média
2. a) 64 b) 1 024 c) 2n
Quantidade de bactérias existentes 1 2 4 8
Sumário 1
NOÇÕES ELEMENTARES DE ESTATÍSTICA .......................................................10
1. Organizando os dados................................................... 12 O que representa a Estatística ......................................... 12 Como organizar os dados em tabelas.............................. 13 2. Estudando gráficos ........................................................ 16 Gráficos de linhas ........................................................... 16 Gráficos de barras .......................................................... 17 Gráficos de setores ......................................................... 19
Tratando a informação Do gráfico de setores para a tabela de distribuição de frequência........................ 48 Retomando o que aprendeu .................................... 49
3
CÁLCULOS COM RADICAIS ...........................................................50
Brasil real ....................................................................... 22
1. Raiz enésima de um número real ................................. 52
Educação financeira ................................................... 23
2. Radical e suas propriedades ......................................... 56
3. Estudando médias ......................................................... 24 Brasil real ....................................................................... 28 Retomando o que aprendeu .................................... 29
Propriedades ................................................................. 56 3. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando................................. 60 Brasil real ....................................................................... 64 4. Introduzindo um fator externo no radicando ................................................................ 65
2
ESTUDO DAS POTÊNCIAS E DE SUAS PROPRIEDADES .........................................30
1. Potência de um número real com expoente natural....... 32 Propriedades das potências com expoentes naturais........ 35 Expoente zero ................................................................ 36 2. Potência de um número real com expoente inteiro .......................................................... 38 Potência de um número real com expoente inteiro negativo ........................................ 38 Propriedades das potências com expoentes inteiros ................................................... 41 3. Transformando e simplificando uma expressão .............................................................. 43 A notação científica ........................................................ 44 Brasil real ....................................................................... 46 Educação financeira ................................................... 47
5. Adicionando algebricamente dois ou mais radicais ..... 66 6. Multiplicando expressões com radicais de mesmo índice ..................................... 69 Utilizando a propriedade distributiva na multiplicação de radicais ........................................... 70 7. Dividindo expressões com radicais de mesmo índice ... 72 8. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes................................ 73 Redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice ........ 73 Multiplicação e divisão de radicais com índices diferentes ................................................... 74 9. Potenciação de uma expressão com radicais ............... 75 Recordando os produtos notáveis .................................. 75 Resolução de equações irracionais ................................. 77
10. Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária....................................... 79 Outros casos de racionalização de denominadores.......... 82
6. Relacionando as raízes e os coeficientes da equação ax2 1 bx 1 c 5 0.................................... 123
11. Simplificando expressões com radicais......................... 83
7. Escrevendo uma equação do 2o grau quando conhecemos as duas raízes......................................... 127
12. Potências com expoente racional.................................. 84
8. Equações biquadradas................................................ 128
Tratando a informação A mediana............................. 86 Retomando o que aprendeu..................................... 88
9. Equações irracionais................................................... 130 10. Resolvendo sistemas de equações do 2o grau............................................... 132 Brasil real...................................................................... 135
4
Equações do 2o grau........................................................90
Retomando o que aprendeu................................... 136
1. Equação do 2o grau com uma incógnita........................ 92 Conhecendo a equação do 2o grau com uma incógnita......................................................... 93 Equação completa e equação incompleta........................ 94
5
Função Polinomial do 1o grau......................................................138
Escrevendo uma equação do 2o grau com uma incógnita na sua forma reduzida...................... 96
1. Sistema de coordenadas cartesianas............................ 140
2. Resolvendo equações incompletas do 2o grau.............. 98
2. A noção de função....................................................... 146
Resolvendo equações da forma ax2 1 bx 5 0................ 98 Resolvendo equações da forma ax2 1 c 5 0.................. 99 o
3. Resolvendo uma equação completa do 2 grau com uma incógnita..................................................... 102 O processo de completar quadrados............................. 102
Aplicações do sistema cartesiano................................... 141
Educação financeira .................................................. 149 3. A função polinomial do 1o grau.................................... 150 Brasil real...................................................................... 152
Resolvendo uma equação do 2o grau pelo processo de al-Khowarizmi.................................... 104
4. Gráfico da função polinomial do 1o grau no plano cartesiano......................................... 153
O processo algébrico de Bhaskara................................. 108
Tratando a informação Interpretando
Fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara................... 110
informações......................... 155
4. Resolvendo problemas................................................ 115
5. Zero (ou raiz) da função polinomial do 1o grau............ 157
Brasil real...................................................................... 117
6. Analisando o gráfico de uma função polinomial do 1o grau....................................... 158
A equação do 2o grau e a Geometria............................ 118
Brasil real...................................................................... 160
5. Estudando as raízes de uma equação do 2o grau........ 121
Retomando o que aprendeu................................... 161
6
Função Polinomial do 2o grau (ou função quadrática)..............................162
1. Função polinomial do 2o grau (ou função quadrática)................................................. 164 2. Gráfico da função quadrática....................................... 167 Como construir o gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano...................................... 170 o
3. Zeros (ou raízes) da função polinomial do 2 grau....... 172 4. Estudando a concavidade da parábola......................... 174 Brasil real...................................................................... 176 5. Ponto de mínimo e ponto de máximo.......................... 177 6. Analisando o sinal da função y 5 ax2 1 bx 1 c.......... 179 Brasil real...................................................................... 182 Retomando o que aprendeu................................... 184
7
Segmentos Proporcionais...............................................186
1. Razão e proporção....................................................... 188
8
Figuras semelhantes...................................206
1. Figuras semelhantes..................................................... 208 Encontrando semelhanças............................................. 208 Brasil real...................................................................... 211 Polígonos semelhantes.................................................. 213 Uma propriedade importante......................................... 216 2. Triângulos semelhantes................................................ 220 Teorema fundamental da semelhança de triângulos................................................................. 225 Desenho Geométrico................................................. 228 Tratando a informação O desvio padrão.................. 230 Retomando o que aprendeu................................... 232
9
Relações métricas no triÂngulo retÂngulo..................................234
1. O teorema de Pitágoras............................................... 236 O triângulo retângulo dos egípcios................................. 237
2. Segmentos proporcionais............................................. 189
O triângulo retângulo e um grego famoso...................... 237
Quando quatro segmentos são proporcionais................. 191
Uma demonstração do teorema de Pitágoras................. 240
Brasil real...................................................................... 192
Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado................................................................. 244
3. Feixe de retas paralelas................................................ 193
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo equilátero.................................................. 245
Propriedade de um feixe de retas paralelas.................... 193 Teorema de Tales........................................................... 194
2. As relações métricas no triângulo retângulo................ 247
Teorema de Tales nos triângulos..................................... 198 Teorema da bissetriz interna de um triângulo................. 201
Brasil real...................................................................... 251
Retomando o que aprendeu................................... 204
Retomando o que aprendeu................................... 252
10
Relações trigonométricas Nos triÂngulos retângulos...................254
Tratando a informação Leitura e interpretação de dados............................. 284
1. Relações trigonométricas no triângulo retângulo...................................................... 256
Retomando o que aprendeu .................................. 285
As razões trigonométricas.............................................. 257 Tabela de razões trigonométricas................................... 260 Resolvendo problemas no triângulo retângulo................ 261 Brasil real...................................................................... 266 Retomando o que aprendeu................................... 268
12
A circunferÊncia e o círculo.....................................................288
1. Calculando o comprimento de uma circunferência...... 290 Brasil real...................................................................... 293
11
área de figuras geométricas planas..........................................................270
1. Calculando as áreas de algumas figuras geométricas...................................................... 272 Área de uma região retangular (ou área de um retângulo)............................................. 273 Área de uma região quadrada (ou área de um quadrado)............................................. 273 Área de uma região triangular (ou área de um triângulo).............................................. 276 Área de uma região limitada por um paralelogramo (ou área do paralelogramo)..................... 279 Área de uma região limitada por um losango (ou área do losango)..................................................... 279 Área de uma região limitada por um trapézio (ou área do trapézio)..................................................... 280 Brasil real...................................................................... 282 2. Usando a malha quadriculada para calcular a área de uma figura plana qualquer........................... 283
2. Relações métricas na circunferência............................. 294 Relação entre cordas..................................................... 294 Relação entre segmentos secantes................................. 294 Relação entre segmentos secante e tangente................. 295 3. Polígonos regulares inscritos na circunferência............ 297 Elementos de um polígono regular inscrito..................... 298 Propriedades................................................................. 298 Relações métricas.......................................................... 300 Área de um polígono regular......................................... 303 Área de regiões circulares.............................................. 304 Brasil real...................................................................... 308 Retomando o que aprendeu................................... 309 Projeto: Investigando alturas....................................... 313 Respostas........................................................................ 320 Lista de siglas................................................................. 334 Bibliografia..................................................................... 335
1
Noções elementares de Estatística Observe a imagem ao lado. Nela está representada uma linha de produção fabril em que há um setor cuja atividade consiste em reparar produtos com defeitos, os quais precisam de um retrabalho, também chamado de melhorias. Mas como definir em quais peças há defeito? Para isso, existe um setor de inspeção, que é o responsável por avaliar a qualidade dos itens produzidos. Esse setor também é responsável por fazer uma análise estatística da produção. Agora, observando a imagem, pense e responda no caderno. O retrabalho (melhorias) acontece em que momento da produção? O que você entende por retrabalho? Você entende que para uma fábrica é melhor que muitos ou poucos itens passem por esse setor? Quais procedimentos podem ser adotados para evitar o retrabalho e diagnosticar suas causas? Como esses dados podem ser organizados? Que tipo de gráfico você acha que seria melhor para representar os problemas que causam o retrabalho? Por quê?
10
Paulo Manzi
UNIDADE
11
1
Organizando os dados
O que representa a Estatística Agora, você vai conhecer melhor o ramo da Matemática chamado Estatística. Veja algumas situações em que a Estatística é muito útil. Para fazer projeções.
Ilustrações: Estúdio MW
PARA ESTIMAR O NÚMERO DE HABITANTES QUE A TERRA TERÁ NO ANO 2050...
Para conhecer necessidades. ... PRIMEIRO, PRECISAMOS OBTER OS DADOS SOBRE O CRESCIMENTO DA POPULAÇÃO NOS ÚLTIMOS ANOS.
AS EMPRESAS SE UTILIZAM DE PESQUISAS E DADOS ESTATÍSTICOS PARA LANÇAR UM NOVO PRODUTO.
EM SEGUIDA, ORGANIZAR ESSES DADOS E, FINALMENTE, ANALISÁ-LOS PARA TIRAR UMA CONCLUSÃO.
Para conhecer opiniões. Em uma pesquisa, para acompanhar a intenção de voto na eleição para prefeito de uma cidade, por exemplo, inicialmente colhem-se os dados, ou seja, a intenção de voto de um grupo da população previamente escolhido. Em seguida, esses dados devem ser organizados para, finalmente, serem submetidos a uma análise. Considerando os primeiros votos apurados (dados organizados) em uma eleição, é possível fazer uma projeção dos resultados dessa eleição (análise dos dados). A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de dados, sua organização em tabelas e gráficos e sua análise. A Estatística, hoje, está presente em quase todas as atividades do ser humano. E não é para menos: com base na análise dos dados coletados e organizados, é possível, em muitos casos, prever determinadas tendências que auxiliam na tomada de decisões, permitindo elaborar um planejamento mais adequado.
12
Para quem quer mais
Um pouco da história da Estatística As primeiras estatísticas foram realizadas pelos governantes das grandes civilizações antigas, com a finalidade de registrar os bens que o Estado possuía. Três séculos antes do nascimento de Cristo, já se faziam censos, mas a palavra estatística apareceu pela primeira vez somente no século XVIII, sugerida pelo alemão Gottfried Achemmel (1719-1772). Alguns autores consideram quatro períodos na história da Estatística. Primeiro período: após a queda do Império Romano, em 476, praticamente um milênio se passou sem que se conhecessem estatísticas importantes.
De Agostini Picture Library/Getty Images
Segundo período: no século XVII, na Inglaterra, já se analisavam grupos de observações numéricas relativas à saúde pública, a nascimentos e ao comércio. Terceiro período: o desenvolvimento do Cálculo das Probabilidades, também no século XVII, veio dar nova dimensão à Estatística. Três nomes importantes estão ligados a esse período: Fermat (1601-1665), Pascal (1623-1662) e Huygens (1629-1695). Quarto período: tem início uma dependência dos diferentes ramos do saber relativamente à Estatística. Dois nomes estão associados a esse desenvolvimento: Ronald Fisher (1890-1962) e Karl Pearson (1857-1936).
Retrato de Pierre de Fermat.
Chegou a hora de organizar um grupo de dados em tabelas e construir gráficos com base nesses dados. Para isso, você vai usar alguns conteúdos, tais como: fração, porcentagem, proporcionalidade, ângulo central e sistema de coordenadas cartesianas.
Como organizar os dados em tabelas Suponha que você tenha reunido uma série de informações (dados) sobre determinado assunto. O próximo passo é organizar essas informações. Para isso, geralmente, utilizamos tabelas de dados. Mas como organizar essas tabelas? Veja a seguinte situação. A classe de Dênis tem 40 alunos. Desses, 16 preferem voleibol, e 24 preferem futebol. Podemos construir uma tabela quanto à preferência por esporte desse grupo. Para construir a tabela de preferências, vamos seguir os seguintes passos. 1o passo: Damos um título à tabela que explique o tipo de informação que ela contém. Nesse caso, poderia ser: “Número de alunos segundo a preferência esportiva”.
13
2o passo: Escrevemos em cada coluna o tipo de informação que ela contém. Número de alunos segundo a preferência esportiva Esporte
Taxa percentual
Na 2a coluna, virá o número de alunos que votaram em cada um dos esportes. Então o título da coluna será Número de alunos.
Na 1a coluna, virão os esportes citados pelos alunos. Então o título da coluna será Esporte. 3o passo:
Número de alunos
Na 3a coluna, virá a taxa percentual do número de alunos que votou em cada um dos esportes. Então o título da coluna será Taxa percentual.
Preenchemos as colunas com as informações (dados) de que dispomos. Na coluna “Taxa percentual”, basta calcular quantos por cento 24 e 16 representam de 40, que é o total de alunos da classe de Dênis. Número de alunos segundo a preferência esportiva Esporte
Na 1a coluna, escrevemos Voleibol e Futebol.
4o passo:
Número de alunos
Na 2a coluna, escrevemos o número de pessoas que preferem cada esporte.
Taxa percentual
Na 3a coluna, escrevemos a taxa percentual do número de pessoas que escolheram cada esporte em relação ao número total de pessoas.
Escrevemos a fonte de onde os dados foram obtidos. Nesse caso, poderia ser: “Classe de Dênis”.
NA CONSTRUÇÃO DE TABELAS, OS DADOS DEVEM SER ESPAÇADOS PARA QUE POSSAM SER ANALISADOS MAIS FACILMENTE. OS TRAÇOS HORIZONTAIS TAMBÉM AJUDAM NA VISUALIZAÇÃO DA TABELA.
Número de alunos segundo a preferência esportiva
Masterfile/Otherimages
Esporte
Número de alunos
Taxa percentual
Voleibol
16
40%
Futebol
24
60%
Total
40
100% Fonte: Classe de Dênis.
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Exercícios 1. Quantos alunos do sexo masculino e do sexo feminino há na sua classe? Construa uma tabela que indique a quantidade de alunos por sexo, assim como a respectiva taxa percentual em relação ao número total de alunos.
1
5
6
2
2
2
5
4
6
5
2
3
3
1
6
6
5
5
4
2
Fotos: David Arky/Tetra Images/Corbis/Latinstock
2. Um dado foi lançado 20 vezes, sendo obtidos os seguintes pontos:
Construa uma tabela que indique a quantidade de vezes que cada número aparece, bem como a respectiva taxa percentual em relação ao número total de vezes em que o dado foi lançado. 3. Os dados a seguir se referem às notas obtidas pelos alunos em uma prova de Matemática. Número Nota do aluno
Número Nota do aluno
Número Nota do aluno
1
8
10
4
19
8
2
4
11
9
20
7
3
5
12
7
21
4
4
1
13
3
22
7
5
3
14
2
23
5
6
7
15
2
24
4
7
5
16
5
25
7
8
3
17
6
26
9
9
3
18
6
Construa uma tabela que indique as notas, a quantidade de alunos que obtiveram cada nota e a respectiva taxa percentual em relação ao número total de alunos. Em seguida, responda: a) Quantos alunos obtiveram notas menores que 5?
b) Que percentual de alunos obtiveram nota igual ou superior a 5? c) Qual nota aparece com maior frequência? 4. Um grupo de alunos foi escolhido para representar a escola no desfile de abertura de uma olimpíada esportiva. Pesquisando as idades dos alunos escolhidos, obtiveram-se as seguintes idades (em anos): 15 11 13 14
14
15
14
13 15 12 13
14
15 12 14
13 15
14
14
16 13 12 14
11 12 15 13 15 16 15
14 12 15 13 13
14 12 14
15
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Construa uma tabela em que apareçam as colunas “Idade”, “Número de alunos” associadas a cada idade e “Taxa percentual” em relação ao número total de alunos. 5. Observando-se a altura de 40 jogadores de basquete, foram obtidos os seguintes dados: 11 tinham altura entre 1,70 m (inclusive) e 1,85 m de altura; 22 tinham altura entre 1,85 m (inclusive) e 2,00 m de altura; 7 tinham entre 2,00 m (inclusive) e 2,15 m de altura.
Estúdio MW
Responda às questões no caderno.
Construa uma tabela em que apareçam as colunas “Altura”, “Quantidade de atletas” e “Taxa percentual” em relação ao número total de atletas.
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