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PROJETO

MATEMÁTICA A CONQUISTA

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SÍNTESE DA OBRA

CAPA_COMPENDIO_ATHOS.indd All Pages

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N O I C N R. J N A A NI V I GIO VAN UCC O IO TR N G A S A C

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A C I ÁT

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6

A CO

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SUMÁRIO UNIDADE

1

Expressões numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 61

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

1. Uma história muito antiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14 As civilizações do passado e os seus sistemas de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. E o nosso sistema de numeração? . . . . . . . . . . . . . . . . 20 A história continua... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 20 O conjunto dos números naturais . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 22 Tratamento da informação Organização, leitura e interpretação de tabelas . . 24 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 29 Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30

Utilizando a calculadora para resolver expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 64 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 65 4. Ideias associadas à divisão . . . . . . . . . . . . . . . ........... 66 Propriedades da divisão de números naturais .... 69 Relação fundamental da divisão . . . . . . . . . . . ........... 70 Expressões numéricas com as quatro operações... 71 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 72 5. Resolvendo problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 73 6. Potenciação de números naturais . . . . . ........... 78 O quadrado de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 80 O cubo de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 80 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 83 Raiz quadrada exata de um número natural ....... 84

Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31

Resolvendo expressões numéricas com todas as operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 85

Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32

Calculando potências com a calculadora . ........... 85 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 87

UNIDADE

2

CÁLCULOS COM NÚMEROS NATURAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

UNIDADE

3

DIVISIBILIDADE: DIVISORES E MÚLTIPLOS . . . . ......... 90

1. Ideias associadas à adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 36 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1. Noção de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 92

Propriedades da adição de números naturais . . . . . 40

Encontrando o resto com a calculadora . . ........... 94

Tratamento da informação

2. Critérios de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 96

Da tabela para o gráfico de barras: leitura e interpretação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 42

Divisibilidade por 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 96

2. Ideias associadas à subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Divisibilidade por 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 97

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 47

Divisibilidade por 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 98

Relação fundamental da subtração . . . . . . . . . .. . . . . . . . 50

Divisibilidade por 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 98

Conhecendo algumas teclas da calculadora . . . . . . . 50

Divisibilidade por 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 99

Expressões numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Divisibilidade por 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 99

Tratamento da informação População e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 53 3. Ideias associadas à multiplicação . . . . . . . . .. . . . . . . . 54

Divisibilidade por 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 97

Divisibilidade por 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 100 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 101 Tratamento da informação

O algoritmo da multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Gráfico pictórico: leitura e interpretação . ......... 102

Propriedades da multiplicação de números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58

3. Divisores, fatores e múltiplos de um número natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 104

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Quando um número é múltiplo de outro . . . . . . . . . . 105

Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . .............. 159

4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 108

Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 160

Como reconhecer outros números primos?. . . . . . . 108 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5. Decomposição em fatores primos . . . . . . . . . . . . . . 112 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6. Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 116 Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 118 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 122 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 UNIDADE

4

UNIDADE

5

A FORMA FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS ....... 162

1. A ideia de fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 164 Conhecendo as frações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 165 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 168 2. Resolvendo problemas que envolvem frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 169 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 171 3. Comparando frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 172 4. Obtendo frações equivalentes . . . . . .............. 175

GEOMETRIA: AS IDEIAS INTUITIVAS . . . . . . . . . . . . . . . 126

1. Ponto, reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128 Noção intuitiva de ponto, de reta e de plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 129 Figuras geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Uma propriedade importante. . . . . . . . . . . .............. 176 Simplificação de frações: frações irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 176 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 179 5. Reduzindo duas ou mais frações ao mesmo denominador . . . . . . . . . . . . . . .............. 180 Tratamento da informação

2. A reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Gráfico de linhas: leitura e interpretação ......... 182

Posições relativas de duas retas em um plano . . 133

6. Adição e subtração de frações . . . . . .............. 183

Semirreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7. A forma mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 191

Segmento de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 195

Medida de um segmento e segmentos congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 139

8. Multiplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 196

3. Giros e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 141 Um giro pode ser medido . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 141

Multiplicando um número natural por um número na forma de fração. . . .............. 196

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 145

Multiplicando números na forma de fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 197

4. Polígonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A técnica do cancelamento . . . . . . . . . . . . . .............. 198

Identificando polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Potenciação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 200

Tratamento da informação

9. Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 201

Gráfico de setores: leitura e interpretação . . . . . . . 150

Inversa de uma fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 201

5. Triângulos e quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

A divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 202

Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 153

10. As frações e a porcentagem . . . . . . . . . .............. 205

Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11. Probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 208

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 155

12. Resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . .............. 210

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Tratamento da informação Interpretando gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 216

Dividindo por um número na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 246

UNIDADE

6

Dividindo por um número natural, diferente de zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 245

A FORMA DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS . . .. . . . 220

A divisão não exata: um quociente aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 247 Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 249

Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 218

7. Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens. . . . . . . . . . . . . . ......... 250

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 222

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 251

Trocando dinheiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 222

Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 252

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 254

Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 226 2. Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 227 Unidade decimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 227 Números racionais na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . 228 Transformando em fração um número na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

UNIDADE

7

MEDIDAS DE COMPRIMENTO E SUPERFÍCIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 256

1. Unidades de medida de comprimento ........ 258

3. Propriedade geral dos números na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Diferentes povos – medidas diferentes . . . ......... 258

Comparando números na forma decimal . . . . . . . . . . 232

2. Transformação das unidades de medida de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 262

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Tratamento da informação

O metro linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 260

3. Perímetro de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 264

O estudo das médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 235

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 266

4. Adição e subtração com números na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4. Unidades de medida de superfície . . . . ......... 267

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Transformação das unidades de medida de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 267

5. Multiplicação com números na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 240 Multiplicando por 10, por 100, por 1 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

O metro quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 267

As medidas agrárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 269 Explorando medidas com a calculadora . . ......... 269 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 271

Multiplicando um número natural por um na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 240

5. Áreas das figuras geométricas planas ........ 272

Multiplicando com números na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Área do retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 272 Área do quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 273

Potenciação de números na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Área do paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 273

6. Divisão com números na forma decimal . . . . . 244

Área do trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 275

Dividindo por 10, por 100, por 1 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Decompondo figuras para calcular a área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 276

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Área do triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 274

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Tratamento da informação Gráfico de linhas: Análise de estimativas e projeções. . . . . .. . . . . . . . . . . 280 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 UNIDADE

8

UNIDADE

9

MEDIDAS DE MASSA . . . . . ............. 298

1. Unidades de medida de massa . . . . . .............. 300 Unidades de medida de massa. . . . . . . . . .............. 300

VOLUME E CAPACIDADE. . . .. . . . . . . . . 282

1. Medindo o espaço ocupado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Os sólidos geométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 284 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Transformação das unidades de medida de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 301 Uma relação importante . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 302 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 305 Tratamento da informação

Unidades de medida de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Estudo com médias, análise e interpretação de tabela e gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 306

Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo. . . . 287

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . .............. 307

2. Unidades de medida de capacidade . . . . . . . . . . . 289 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 291 3. Outras unidades de medida para expressar medida de capacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Pensar, fazer, compartilhar . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 308 Um tempo para avaliações oficiais . . . . . .............. 316

Transformação das unidades de medida de capacidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 322

Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 336

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Lista de siglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 335

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JETO PRO

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ATHOS_INICIAIS.indd 3

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TA S I U NQ

7

A CO

5/18/17 4:11 PM


SUMÁRIO 5. Adição de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . ........... 47

UNIDADE

1

POTÊNCIAS E RAÍZES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

1. Potência de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Adição de três ou mais números inteiros ........... 51 Propriedades da adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 52 Notação simplificada de uma adição de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 53 6. Subtração de números inteiros . . . . . . . . . ........... 56

Descobrindo a potência de

Ampliando o conjunto N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 57

um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 59

2. Propriedades da potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7. Adição algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 61

Explorando a calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Conhecendo as propriedades da potenciação . . . . . 18 Potências de base dez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 19

8. Multiplicação de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 65 Multiplicando com números inteiros . . . . . . ........... 65

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 22

Propriedades da multiplicação . . . . . . . . . . . . . . ........... 67

3. Números quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 23

Expressões numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 69

O quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 23

9. Divisão de números inteiros . . . . . . . . . . . . . ........... 72

Como reconhecer se um número é quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24

Expressões numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 72

Raiz quadrada exata de um número racional . . . . . . 24 Tratamento da informação Gráficos de linhas, de barras e de setores . .. . . . . . . . 28 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10. Potenciação de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 74 Propriedades da potenciação em Z . . . . . . . . ........... 75 Expressões numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 75 11. Raiz quadrada exata de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 77 Expressões numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 78 Tratamento da informação

UNIDADE

2

Tabela de dupla entrada:

O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

leitura e interpretação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 79 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 80

1. A ideia de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32 Entendendo os números negativos . . . . . . . . . .. . . . . . . . 33 2. O conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 A reta numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3. Módulo de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 40 Números inteiros opostos ou simétricos . . . . . . . . . . . . 41

UNIDADE

3

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 82

1. O conjunto dos

4. Comparação de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 84

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 85

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Módulo ou valor absoluto

08/05/17 16:37


2. A reta numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 87 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3. Adição algébrica de números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada: os princípios de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 125

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 92

5. Equações do 1o grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 130

4. Mais operações com números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Resolvendo equações do 1o grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 130

Multiplicação de números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Resolvendo mais equações do 1o grau ............ 134

Divisão de números racionais . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 94 Potenciação de números racionais . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 97

6. A linguagem das equações na resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 139

Expoente inteiro negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 145

Raiz quadrada exata de números racionais . . . . . . 100 5. Média aritmética e média aritmética ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 103 Tratamento da informação Analisando gráficos com números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 109 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 110

8. Equação do 1o grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 148 Solução de uma equação do 1o grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 148 9. Sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas . . . . . . . . .............. 151 Formando um sistema de equações com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 151 Como determinar a solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 152

UNIDADE

4

7. Aplicação das equações: as fórmulas matemáticas . . . . . . . . . . . . . .............. 146

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 156

EQUAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1. Igualdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Propriedades da igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Tratamento da informação Analisando tabelas e gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 157 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . .............. 158

Princípios de equivalência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2. Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 117 Conhecendo as equações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 120 3. Conjunto universo e solução de uma equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 121 Como verificar se um número dado é raiz de uma equação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4. Equações equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Como reconhecer se duas ou mais equações são equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

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UNIDADE

5

INEQUAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 160

1. Desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 162 Propriedades das desigualdades . . . . . . .............. 162 Princípios de equivalência. . . . . . . . . . . . . . . .............. 162 2. Inequação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 166

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3. Inequação do 1o grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 169 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 171 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 172

Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 202 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 204

UNIDADE

UNIDADE

6

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 201

ESTUDO DOS ÂNGULOS . . . . . . . . .. . . . 174

1. O ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 O ângulo e seus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 177 Medida de um ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 178 Ângulos congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Ângulo raso, ângulo nulo e ângulo de uma volta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 2. Operações com medidas de ângulos . . . . . . . . . . . 184 Transformando unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 184 Simplificando os resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Adição com medidas de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Subtração com medidas de ângulos . . . . . . . . . .. . . . . . 186 Multiplicação de um número natural por medidas de ângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 186 Divisão de medidas de ângulos por um número natural não nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 3. Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 188

7

ESTUDO DOS TRIÂNGULOS E DOS QUADRILÁTEROS . . . . ........ 206

1. Triângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 208 O triângulo e seus elementos . . . . . . . . . . . . . . . ......... 208 Classificação dos triângulos quanto aos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 208 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 205 Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 208 2. Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 214 Os quadriláteros e seus elementos . . . . . . . . ......... 214 Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 214 Trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 215 Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero......... 215 Tratamento da informação O uso da moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 216 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 217

4. Bissetriz de um ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5. Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 191 Retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Tratamento da informação O uso da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 193 6. Ângulos complementares e ângulos suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Ângulos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

UNIDADE

8

RAZÕES E PROPORÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 218

1. Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 220

Ângulos suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

2. Algumas razões especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 225

7. Ângulos opostos pelo vértice. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 199

Velocidade média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 225

Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 199

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Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 226 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 228

08/05/17 16:37


Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

2. Regra de três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 268

Densidade de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Regra de três simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 268

Densidade demográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 232

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 271

As razões escritas na forma percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 272

Representando uma razão na forma percentual . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 234 Quantos por cento?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3. Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Tratamento da informação Interpretando os significados das informações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 275 Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . .............. 276

Entendendo a proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 237 Propriedade fundamental das proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 245 Outras propriedades das proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Tratamento da informação Gráfico de setores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 250 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 252 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 254

UNIDADE

10

PORCENTAGEM E PROBABILIDADE . . . . . . . . . . . . ............ 278

1. Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 280 Resolvendo problemas com porcentagem ........ 280 Tratamento da informação Possibilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 283 2. Probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 284 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 286

UNIDADE

9

Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 287

GRANDEZAS PROPORCIONAIS . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 256

1. Números e grandezas direta e inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 258 Números diretamente proporcionais . . . .. . . . . . . . . . . 259 Números inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . 261 Grandezas diretamente proporcionais . .. . . . . . . . . . . 264 Grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . 265

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Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . .............. 286 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 289 Pensar, fazer, compartilhar . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 291 Um tempo para avaliações oficiais . . . . . .............. 298 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 309 Lista de siglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 319 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 320

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SUMÁRIO UNIDADE

1

UNIDADE

PORCENTAGEM E JURO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO ALGÉBRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 60

1. Taxa ou índice percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

1. O uso de letras para representar números ......... 62

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Expressões algébricas ou literais . . . . . . . . . . ........... 64

2. Resolvendo problemas com porcentagem . . . . . . . . . . 18

Mais expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 65

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 21

3. Valor numérico de uma expressão algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 68

Tratamento da informação Interpretação e construção de gráficos . . . . .. . . . . . . . 22 3. Juro simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30

Tratamento da informação Interpretando dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 71 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 72 UNIDADE

UNIDADE

2

Uma consideração importante . . . . . . . . . . . . . . ........... 69

O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 32

1. Raiz quadrada exata de um número racional . . . . . . 34 Números quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 34 Encontrando a raiz quadrada exata de um número racional não negativo . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 39

4

POLINÔMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 7

1. Monômio ou termo algébrico . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 76 Grau de um monômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 79 Monômios semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 79 Adição algébrica de monômios . . . . . . . . . . . . . ........... 80

2. Raiz quadrada aproximada de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 82

3. Os números racionais e sua representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 43

Divisão de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 86

4. Os números irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 44

2. Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 88

A Geometria auxiliando a descoberta do número irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 44

Polinômio reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 90

Números irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 47

Polinômios com uma só variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 91

Um número irracional importante: o número  (pi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5. Os números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 52 As operações com números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tratamento da informação Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 55 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Tecnologias .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58

CS-MAT-F2-2021-V8-INICIAIS-001-009-LA-G17.indd 8

Multiplicação de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 84 Potenciação de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 87

Grau de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 91

Adição algébrica de polinômios . . . . . . . . . . . . . ........... 93 Multiplicação de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 95 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 100 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 101 3. Os produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 105 Quadrado da soma de dois termos . . . . . . . . ......... 105 Quadrado da diferença de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 106

08/05/17 19:27


Produto da soma pela diferença de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 107 Cubo da soma de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Cubo da diferença de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Como resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 152 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 156

4. Fatorando polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2. Equação fracionária com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 158

Fatoração pela colocação de um fator comum em evidência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Como resolver uma equação fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 158

Fatoração por agrupamento . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 115

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 161

Fatoração da diferença de dois quadrados . . . . . . . 117 Fatoração do trinômio quadrado perfeito . . . . . . . . 119 Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 121 Fatorando mais de uma vez . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 121 Usando a fatoração para resolver equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5. Cálculo do m.m.c. dos polinômios . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 124 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 126 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128

Como resolver uma equação literal do 1o grau com uma incógnita . .............. 162 Tratamento da informação Arredondando dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 163 4. Equação do 1o grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 165 5. Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 167 Solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas ....... 169

UNIDADE

5

3. Equações literais do 1o grau na incógnita x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 162

FRAÇÕES ALGÉBRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6. Resolução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas . . . . . . . .............. 171 Método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 171

1. Fração algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 132

Método da adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 174

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 134

7. Resolvendo problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 177

2. Simplificando frações algébricas . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 135

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 179

3. Adição e subtração de frações algébricas . . . . . . . . 137

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . .............. 180

4. Multiplicação e divisão de frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

UNIDADE

Tratamento da informação Interpretando informações em diferentes registros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 145 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 146

GEOMETRIA: RETAS E ÂNGULOS . . . . . . . . ............. 182

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 184 2. A reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 185

UNIDADE

6

7

EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1O GRAU . . . .. . . . . . . . . 148

1. Equação do 1o grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 150

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Posições relativas de duas retas em um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 186 Semirreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 187 Segmento de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 187 Ponto médio de um segmento . . . . . . . . . .............. 189 3. Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 192

08/05/17 19:27


Medida de um ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 193

internos de um polígono convexo. . . . . . . . . . ......... 232

A utilização do transferidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 193 Ângulos especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo . . . . . . . . . ......... 234

Ângulos adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5. Ângulos de um polígono regular . . . . . . . . . . . ......... 236

Bissetriz de um ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 198 Ângulos complementares e ângulos suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Ângulos opostos pelo vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 202 Tratamento da informação Analisando gráfico de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4. Reta transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) . . . . . . . . . . . . . . 205 Ângulos adjacentes suplementares . . . . . . . . . .. . . . . . 205 Ângulos correspondentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 206

Tratamento da informação A construção de um gráfico de setores . . . ......... 238 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 240 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 242 UNIDADE

9

ESTUDO DOS TRIÂNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 244

1. Elementos de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 246

Ângulos alternos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 207

Condição de existência de um triângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 246

Ângulos colaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 209

2. Os ângulos no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 249

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

3. Classificação dos triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 252

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 256

UNIDADE

8

4. Altura, mediana e bissetriz de um triângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 257

POLÍGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 257 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 258 Bissetriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 259

1. O polígono e seus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Elementos de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 220 2. Perímetro de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Tratamento da informação Análise de informações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 263 5. Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 264 Figuras congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 264

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 224

Triângulos congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 265

3. Diagonais de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 225

Casos de congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 266

Cálculo do número de diagonais de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 225 4. Ângulos de um polígono convexo . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 228 Relação entre os ângulos interno e externo de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Soma das medidas dos ângulos

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Um caso especial de congruência para os triângulos retângulos . . . . . . . . . . . . . . . ......... 267 Utilização dos casos de congruência. . . . . . ......... 268 6. Propriedades do triângulo isósceles e do triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 271 Propriedades do triângulo isósceles . . . . . . ......... 271 Propriedade do triângulo equilátero . . . . . . ......... 272

08/05/17 19:27


Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 274

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 302

Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 276

3. Posições relativas de uma reta e uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 303

UNIDADE

10

Propriedades da reta tangente . . . . . . . . .............. 304

ESTUDO DOS QUADRILÁTEROS . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 278

1. O quadrilátero e seus elementos. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 280 Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 281

4. Posições relativas de duas circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 306 5. Arco de circunferência e ângulo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 309 Tratamento da informação Interpretação de tabelas. . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 312

2. Os paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 313

Retângulo, losango e quadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6. Ângulo inscrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 314

3. Os trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 289

7. Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 320

Base média de um trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 293 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 294 UNIDADE

11

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . .............. 322 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 324 Pensar, fazer, compartilhar . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 326

ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA E DO CÍRCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 296

Um tempo para avaliações oficiais . . . . . .............. 333 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 341

1. A circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 298

Lista de siglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 351

2. O círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 352

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08/05/17 19:27


JETO PRO

M E AT

M

ATHOS_INICIAIS.indd 5

A C I ÁT

TA S I U NQ

9

A CO

5/18/17 4:12 PM


SUMÁRIO Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 49

UNIDADE

1

NOÇÕES ELEMENTARES DE ESTATÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

1. Organizando os dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14 O que representa a Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

Tratamento da informação Do gráfico de setores para a tabela de distribuição de frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 50 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 51

Como organizar os dados em tabelas . . . . . . . .. . . . . . . . 15 2. Estudando gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18 Gráficos de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Gráficos de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 19 Gráficos de setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 21 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 24 Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3. Estudando médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 26 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31

UNIDADE

3

CÁLCULOS COM RADICAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 52

1. Raiz enésima de um número real . . . . . . . . . . .......... 54 2. Radical e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 58 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 58 3. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando . . . . . . . . . . .......... 62 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 66 4. Introduzindo um fator externo no radicando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 67

UNIDADE

2

ESTUDO DAS POTÊNCIAS E DE SUAS PROPRIEDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Adicionando algebricamente dois ou mais radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 68 6. Multiplicando expressões com radicais de mesmo índice. . . . . . . . . . . . . . . .......... 71

1. Potência de um número real com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Utilizando a propriedade distributiva na multiplicação de radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 72

Propriedades das potências com expoentes naturais .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7. Dividindo expressões com radicais de mesmo índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... 74

Expoente zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes . . . . . . . . . .......... 75

2. Potência de um número real com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40 Potência de um número real com expoente inteiro negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Propriedades das potências com expoentes inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 75 Multiplicação e divisão de radicais com índices diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... 76 9. Potenciação de uma expressão com radicais ..... 77

3. Transformando e simplificando uma expressão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45

Recordando os produtos notáveis . . . . . . . . . ........... 77

A notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10. Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária . . . . . . . . . . . . . . . .......... 81

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 48

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Resolução de equações irracionais . . . . . . . . ........... 79

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Outros casos de racionalização de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 84 11. Simplificando expressões com radicais. . . . . . . . . . . . . 85 12. Potências com expoente racional . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 86 Tratamento da informação A mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6. Relacionando as raízes e os coeficientes da equação ax2  bx  c  0 . . . . . . . . . . ............. 127 7. Escrevendo uma equação do 2o grau quando conhecemos as duas raízes . . . . . . . . . . . . . ............. 131 8. Equações biquadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 132 9. Equações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 134 10. Resolvendo sistemas de equações do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 136 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 139

UNIDADE

4

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . .............. 140

EQUAÇÕES o DO 2 GRAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 94

1. Equação do 2o grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . 96 Conhecendo a equação do 2o grau com uma incógnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Equação completa e equação incompleta . . . . . . . . . . 98 Escrevendo uma equação do 2o grau com uma incógnita na sua forma reduzida . . . . . . . 100 2. Resolvendo equações incompletas do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 102 Resolvendo equações da forma ax2  bx  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 102 Resolvendo equações da forma ax2  c  0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 103 3. Resolvendo uma equação completa do 2o grau com uma incógnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 O processo de completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . 106 Resolvendo uma equação do 2o grau pelo processo de al-Khowarizmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 O processo algébrico de Bhaskara . . . . . . .. . . . . . . . . . . 112 Fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara . . . . . 114 4. Resolvendo problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 119 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 121 A equação do 2o grau e a Geometria . . . .. . . . . . . . . . . 122 5. Estudando as raízes de uma equação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

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Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 142

UNIDADE

5

FUNÇÃO POLINOMIAL o DO 1 GRAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 144

1. Sistema de coordenadas cartesianas ............. 146 Aplicações do sistema cartesiano. . . . . .............. 147 2. A noção de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 152 Educação financeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 155 3. A função polinomial do 1o grau . . . . . . . . ............. 156 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 158 4. Gráfico da função polinomial do 1o grau no plano cartesiano . . . . . . . . . . . . ............. 159 Tratamento da informação Interpretando informações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 161 5. Zero (ou raiz) da função polinomial do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 163 6. Analisando o gráfico de uma função polinomial do 1o grau . . . . . . . . . . . ............. 164 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 166 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . .............. 167

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UNIDADE

6

UNIDADE o

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2 GRAU (OU FUNÇÃO QUADRÁTICA) . . . . . . 168

8

FIGURAS SEMELHANTES . . . . ....... 214

1. Função polinomial do 2o grau (ou função quadrática) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 170

1. Figuras semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 216

2. Gráfico da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 173

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 219

Como construir o gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 176

Polígonos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 221

3. Zeros (ou raízes) da função polinomial do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 178

2. Triângulos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 228

4. Estudando a concavidade da parábola . . . . . .. . . . . 180 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 182

Encontrando semelhanças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 216

Uma propriedade importante. . . . . . . . . . . . . . . . ......... 224 Teorema fundamental da semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 233 Tratamento da informação

5. Ponto de mínimo e ponto de máximo . . . . . . . .. . . . . 183

O desvio padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 236

6. Analisando o sinal da função y  ax2  bx  c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 185

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 238

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 188 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 190 Tecnologias .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

UNIDADE

7

UNIDADE

9

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO . . . ........ 240

1. O teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 242

SEGMENTOS PROPORCIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 194

1. Razão e proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 2. Segmentos proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Quando quatro segmentos são proporcionais . . . 199 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 200 3. Feixe de retas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Propriedade de um feixe de retas paralelas . . . . . 201 Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 202

O triângulo retângulo dos egípcios . . . . . . . . ......... 243 O triângulo retângulo e um grego famoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 243 Uma demonstração do teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 246 Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 250 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 251 2. As relações métricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ 253

Teorema de Tales nos triângulos. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 206

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 257

Teorema da bissetriz interna de um triângulo . . 209

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 258

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 260

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Tratamento da informação

UNIDADE

10

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS . . . . . . . 262

Leitura e interpretação de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 292 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . .............. 293

1. Relações trigonométricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 264 As razões trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 265 Tabela de razões trigonométricas . . . . . . .. . . . . . . . . . . 268 Resolvendo problemas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 269 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

UNIDADE

12

A CIRCUNFERÊNCIA E O CÍRCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 296

1. Calculando o comprimento de uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 298 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 301 2. Relações métricas na circunferência . ............. 302

UNIDADE

11

Relação entre cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 302

ÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS . . . .. . . . . . . . . 278

Relação entre segmentos secantes . . .............. 302 Relação entre segmentos secante e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 303

1. Calculando as áreas de algumas figuras geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 280

3. Polígonos regulares inscritos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 305

Área de uma região retangular (ou área de um retângulo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Elementos de um polígono regular inscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 306

Área de uma região quadrada (ou área de um quadrado) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 282

Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 306

Área de uma região triangular (ou área de um triângulo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Área de um polígono regular . . . . . . . . . . . .............. 311

Área de uma região limitada por um paralelogramo (ou área do paralelogramo) . . . . . . . 287

Relações métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 308 Área de regiões circulares . . . . . . . . . . . . . . . .............. 312 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............. 316

Área de uma região limitada por um losango (ou área do losango) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 287

Retomando o que aprendeu. . . . . . . . . . . . . . . .............. 318

Área de uma região limitada por um trapézio (ou área do trapézio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 288

Um tempo para avaliações oficiais . . . . . ............. 329

Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 290 2. Usando a malha quadriculada para calcular a área de uma figura plana qualquer . . . . . . . . . . . . . . 291

cs-mat-f2-2021-v9-iniciais-001-009-la-g17.indd 11

Pensar, fazer e compartilhar . . . . . . . . . . . . . . ............. 322 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 337 Lista de siglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 350 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. 351

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UNID A DE

1

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO No dia a dia, lidamos o tempo todo com os números. Dificilmente você passará um dia sem utilizá-los. Para isso, usamos os algarismos do nosso sistema de numeração. Os números fazem parte do cotidiano das pessoas há milênios, mas nem todos os sistemas de numeração são como o nosso. Selecionamos três diferentes sistemas de numeração (guarani, egípcio e chinês) para que você possa perceber isso.

Renato Soares/Imagens do Brasil

Sistema de Numeração Guarani

Agora pense e responda no caderno: • Você consegue encontrar algum padrão em cada representação ilustrada? Será que existe uma regra em cada uma dessas representações? • Você conhece algum outro sistema de numeração? Qual?

Indígena Guarani de Aracruz no Espírito Santo, 2014.

MAIS

Acesse o link <http://ftd.li/wc6aci> e assista ao vídeo que mostra alguns fatos sobre a história dos números. Depois responda à pergunta. • De acordo com o vídeo, quais recursos eram utilizados para fazer a contagem de objetos e animais?

12 D1-MAT-F2-2039-V6-U01-LA-012-033-M17.indd 12

Por exemplo, para representar dois nesse sistema levanta-se os dedos polegar e mindinho.

Estúdio MW

O sistema de numeração Guarani utiliza os gestos da mão para contar.

Estúdio MW

@

Art Painter/Shutterstock/Glow Images

• Como será que os números foram criados? 1 – Petei 2 – Mokoi 3 – Bohapy 4 – Irundy 5 – Po 6 – Pote 7 – Pokoi 8 – Pohapy 9 – Porundy 10 – Pa 11 – Patei 12 – Pakoi 13 – Pahapy

Informações obtidas em: <https://repositorio.ufsc.br/ xmlui/bitstream/handle/123456789/96063/PECT0139-D. pdf?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 23 abr. 2015.

5/18/17 1:53 PM


Sistema de Numeração chinês

Templo de Karnak. Egito, 2011.

Escrita chinesa em ossos.

Observe os símbolos do sistema de numeração egípcio

O sistema chinês usa ideogramas

10

2

100

3

4

5

6

1 000 10 000

Veja ao lado a representação dos números 11 e 12.

11

7

100 000

8

1

9

1 000 000

Ilustrações: Estúdio MW

1

10

2

3

4

5

6

7

8

100 1 000 10 000

9

Ilustrações: Estúdio MW

De Agostini/G. Dagli Orti/Glow Images

Daphne Benoit/AFP/Getty Images

Sistema de Numeração egípcio

Veja abaixo a representação do número 234.

12

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1

Uma história muito antiga

Os números fazem parte da vida das pessoas. Eles estão presentes em casa, no trabalho, no lazer, no supermercado, na feira, na escola, entre outros. E a gente, muitas vezes, nem se dá conta disso. O interessante é que os números são usados com várias finalidades: contar, ordenar, medir ou codificar.

PENSE E RESPONDA no caderno um quadro com pelo menos 10 números que fazem parte de sua vida e são usados para contar, ordenar, medir ou codificar.

Meu CEP

22222-000

usado como código

Minha altura Minha idade ...

Mas nem sempre foi assim. Há muito, muito tempo, para saber quantas ovelhas tinha, um pastor separava uma pedrinha para cada ovelha quando as soltava para pastar. Ao recolher o rebanho, retirava uma pedrinha daquelas que havia separado para cada ovelha que encontrava. Cada pedrinha retirada correspondia a uma ovelha. E foi assim, comparando quantidades, que o ser humano aprendeu a contar. De um lado, temos a quantidade de pedrinhas; do outro, a quantidade de ovelhas. Surgiu daí uma ideia comum aos dois grupos que ele comparava: o número. As pessoas também costumavam registrar quantidades fazendo, por exemplo, nós em cordas, marcas em pedaços de madeira ou ossos. Cada nó, cada marquinha na madeira ou no osso, correspondia a um elemento da quantidade que se queria contar. Poucos desses registros existem hoje. Na antiga Tchecoslováquia, foi encontrado um osso de lobo com 55 incisões, dispostas em duas séries: uma com 25 e outra com 30 incisões. Em cada série, os riscos estavam em grupos de 5. Isso aconteceu há 30 mil anos!

Ilustrações: Estúdio MW

1. Faça

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Sistema de numeração é um conjunto de regras que permite escrever e ler qualquer número utilizando símbolos e palavras. Algumas das antigas civilizações A história da humanidade nos 120°O 60°O 0° 60°L 120°L 180° 180° babilônios mostra a existência de muitos sisromanos Círculo Polar Ártico de 3500 a.C. de 750 a.C. a 500 a.C. temas de numeração, criados por a 500 d.C. chineses vários povos: egípcios, babilônios, a partir de Trópico de Câncer 2200 a.C. chineses, maias, romanos, hindus, gregos OCEANO OCEANO de 1100 a.C. PACÍFICO entre outros. PACÍFICO maias Equador a 400 d.C. hindus 0° de 100 d.C. de 2000 a.C. Essas antigas civilizações viveram a 600 d.C. OCEANO a 700 d.C. ATLÂNTICO Trópico de Capricórnio há muitos, muitos anos. Veja, no egípcios OCEANO de 4000 a.C. ÍNDICO a 700 a.C. mapa ao lado, a localização de algumas delas e o período de maior 0 3 900 Círculo Polar Antártico desenvolvimento que essas civilizaFonte: ATLAS histórico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: FAE, 1991. ções tiveram.

Sonia Vaz

As civilizações do passado e os seus sistemas de numeração

SAIBA QUE...

O Sistema de Numeração Egípcio Os egípcios criaram um dos primeiros sistemas de numeração de que se tem notícia. Veja os símbolos que eles utilizavam para representar quantidades:

a.C. quer dizer “antes de Cristo”. d.C. quer dizer “depois de Cristo”.

Dez

Cem

Mil

Dez mil

Cem mil

Um milhão

Haste vertical.

Osso de calcanhar.

Corda enrolada.

Flor de lótus.

Dedo indicador.

Ave, peixe ou girino.

Homem ajoelhado com braços erguidos.

Editoria de Arte

Um

• Cada símbolo podia ser repetido no máximo nove vezes. • A cada dez símbolos repetidos fazia-se a troca por outro, de um agrupamento superior. • Adicionavam-se os valores dos símbolos utilizados para encontrar o valor representado. Assim:

2002

49

The Art Archive/Alfredo Dagli Orti/Other Images

Ao agrupar esses símbolos, era possível escrever números muito grandes, utilizando as seguintes regras:

127 Detalhe de inscrições do Templo de Karnak, no Egito, 1530-1076 a.C. Na imagem é possível observar símbolos do Sistema de Numeração Egípcio.

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Em escavações arqueológicas na região da Mesopotâmia foram encontrados blocos de argila com inscrições que se assemelhavam a cunhas. Assim, a escrita desse povo recebeu o nome de cuneiforme. Os babilônios usavam dois símbolos para registrar quantidades: cravo

Suzanne Held/AKG-Images/Latinstock

O Sistema de Numeração Babilônico

asna

O “cravo” podia ser utilizado até nove vezes, representando os números de 1 a 9.

O número 10 era representado pelo símbolo “asna”.

Inscrições em escrita cuneiforme, datadas do fim do século VI a.C., em Persépolis, antiga capital do Império Persa, atual Irã.

Exemplos: Um

Três

Cinco

Seis

Nove

Dez

O Sistema de Numeração Babilônico não possuía inicialmente um símbolo para representar o zero. Nesse sistema era usado um espaço entre os símbolos para diferenciar o tipo de agrupamento, e o símbolo usado para representar o 1 era o mesmo do 60. A contagem era feita em agrupamentos de 60, assim: 61

2

1  60  1 60

71

112

1  60  10  1

 1  61

60

 10  1  71

O Sistema de Numeração Romano O sistema de numeração que os romanos criaram era baseado em sete símbolos. I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1 000

Apesar de hoje usarmos as letras maiúsculas do alfabeto latino para esses símbolos, a sua forma inicial não teve origem nesse alfabeto. O cinco, por exemplo, indicava os 5 dedos da mão e era representado assim: Com o tempo, o símbolo foi simplificado: Veja a seguir as mudanças que ocorreram com o símbolo do número 1 000:

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As regras do Sistema de Numeração Romano O Sistema de Numeração Romano apresenta as seguintes regras: • Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo, três vezes. Ié1

X é 10

C é 100

M é 1 000

II é 2

XX é 20

CC é 200

MM é 2 000

III é 3

XXX é 30

CCC é 300

MMM é 3 000

• Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores. IV é 5  1  4

XL é 50  10  40

CD é 500  100  400

IX é 10  1  9

XC é 100  10  90

CM é 1 000  100  900

Legados da civilização romana

Lembre-se: • l só pode ser subtraído de V e X. • X só pode ser subtraído de L e C. • C só pode ser subtraído de D e M. • Os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro. • Para representar os números no Sistema de Numeração Romano, basta colocar os símbolos lado a lado e adicionar seus valores. VI é 5  1  6

Além do sistema de numeração, muitos aspectos culturais romanos estão presentes nos dias atuais, e um deles é o sistema jurídico. • Você sabe o significa a palavra “jurídico”? • É importante a existência de leis? Por quê? Science Museum/SSPL/Keystone

XI é 10  1  11

NÓS

XV é 10  5  15 XXXVII é 30  7  37 CCLIV é 200  50  4  254 CMLXII é 900  60  2  962 MDCCCXXIII é 1 000  800  20  3  1 823 • Um símbolo com um traço acima dele representa milhares; com dois traços representa milhões. V é 5 000

XX é 20 000 000

VIDCCXX é 6 720

XLVVII é 45 000 007

No Sistema de Numeração Romano não há um símbolo para representar o zero.

EXPLORE

Medalha entregue aos ganhadores do Prêmio Nobel. Nela estão indicados em símbolos romanos os anos de nascimento (1833) e de óbito (1896) de Alfred Nobel, criador do prêmio.

A jaçanã (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto. Editora FTD, 1997. Três meninos e duas meninas precisam resolver um grande desafio: manter a paz entre os povos. Uma aventura que precisa de sua ajuda para a história acabar bem.

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ATIVIDADES 1. “Talvez

o mais antigo tipo de sistema de numeração a se desenvolver tenha sido aquele chamado sistema de agrupamentos simples. [...] Os hieróglifos egípcios, cujo emprego remonta a cerca do ano 3400 a.C. e usados principalmente para fazer inscrições em pedras, fornecem um exemplo de sistema de agrupamentos simples.” Fonte: EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. 2. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 1997. p. 30.

Os números abaixo estão escritos em símbolos egípcios. • • Em símbolos atuais, estes números podem ser escritos assim: • •

= 2 236 = 1 122

Os números seguintes estão escritos em símbolos egípcios. No caderno, escreva esses números usando símbolos atuais. a) b)

2. Relacione a quantidade representada pelos símbolos egípcios com a correspondente quantidade representada pelos símbolos babilônicos. a)

1)

b)

2)

c)

3)

3. No

caderno, represente com símbolos do Sistema de Numeração Romano. a) 22 b) 8 320 c) 420

4. Escreva no caderno o valor de cada um dos números. a) MMC b) X X XCC

c) CCCXXXIII d) CLXXX

5. Você já viu algum relógio como este abaixo? a) Que horas o relógio está marcando? b) Quanto valem I, II, III, IV e V? c) Qual é o símbolo romano usado para representar o 10? Não estranhe se encontrar em alguns relógios o quatro escrito assim: IIII. Esse era o símbolo usado antes de mudar para IV.

c)

Hemera

Responda às questões no caderno.

Relógio de bolso.

DESAFIO Convide um colega para resolver o desafio, no caderno.

1. Aqui estão cinco igualdades falsas. Trocando em cada uma delas a posição de um só palito, elas

a)

c)

b)

d)

Editoria de arte

se tornam verdadeiras. A primeira já está feita. Encontre a solução para as demais.

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CONEXÕES O século XIX foi um período marcado por diversos conflitos militares, mas também foi quando se deu a Primeira Revolução Industrial. Com esses acontecimentos vieram importantes descobertas e invenções científicas, entre as quais podemos destacar:

Acervo Iconographia

Instituto Historiar de Campos do Jordão

• Locomotiva, em 1804. • Telefone, em 1854. • Fotografia, em 1816. • Teoria da Evolução, em 1859. • Anestesia, em 1846. • Eletromagnetismo, em 1879. • Lâmpada incandescente, em 1854. • Raios X, em 1895. No Brasil, parte dessas invenções chegou com o incentivo de D. Pedro II, imperador do Brasil de MDCCCXL a MDCCCLXXXIX. Entre as tecnologias destacadas, podemos citar como contribuição de D. Pedro II:

Na foto, lâmpada de arco voltaico instalada em 1883, na esquina da Avenida Sete de Setembro com a Rua Santos Dumont, em Campos, Rio de Janeiro.

1. Identifique

no texto e nas legendas os números escritos com símbolos romanos e expresse-os usando algarismos indo-arábicos. Escreva no caderno.

Acervo Iconographia

A ferrovia, em MDCCCLIV. Na foto a Estrada de Ferro D. Pedro II, a segunda ferrovia brasileira. Foto da estação de Barra do Piraí, Rio de Janeiro, 1881.

2. Identifique

no texto e nas legendas das fotos os números escritos com algarismos indo-arábicos e expresse-os usando símbolos romanos. Escreva no caderno.

3. Agora converse com os colegas e tentem ima-

ginar como seria a vida de vocês atualmente sem essas invenções e descobertas. Elas são importantes no seu dia a dia? Qual delas vocês acreditam que é a mais importante?

Na foto de 1913, telefonistas trabalhando.

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2

E o nosso sistema de numeração?

O nosso sistema de numeração nasceu em uma região conhecida como vale do Rio Indo, atual Paquistão. Usando grupos de dez, os hindus desenvolveram um sistema de numeração que estabelecia a ideia de posição. Nesse sistema, eram usados símbolos diferentes para representar as quantidades de 1 a 9. O símbolo para o zero foi criado pelos hindus no século VI e, inicialmente, era representado por um ponto ou por um pequeno círculo. A partir do século VIII, os árabes passaram a adotar o Sistema de Numeração Hindu, por ser prático e facilitar os cálculos. Quando povoaram o norte da África e parte da Espanha, os árabes ocidentais introduziram os símbolos hindus, que deram origem aos símbolos que conhecemos hoje, os símbolos indo-arábicos, e ao sistema de numeração conhecido como Sistema de Numeração Decimal, utilizado até hoje. A denominação indo-arábico deve-se ao fato de os símbolos e as regras que regem esse sistema terem sido criados pelos hindus e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes. Os símbolos indo-arábicos também são conhecidos como algarismos. Veja o porquê: o matemático árabe Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (780-850), autor do primeiro livro árabe conhecido com explicações detalhadas sobre os cálculos hindus, ga- A antiga civilização hindu: território nhou tanta reputação nos paí- UCRÂNIA Mar FEDERAÇÃO CAZAQUISTÃO ses da Europa Ocidental que o de Aral RUSSA Mar Mar Negro UZBEQUISTÃO Cáspio GEÓRGIA seu nome se tornou sinônimo QUIRGUISTÃO ARMÊNIA AZERBAIDJÃO dos símbolos inventados pelos TURCOMENISTÃO TURQUIA TADJIQUISTÃO CHINA hindus. Á S I A Assim, a palavra algaris- LÍBANO SÍRIA AFEGANISTÃO IRAQUE IRÃ mo tem origem no nome al- ISRAEL JORDÂNIA PAQUISTÃO -Khowarizmi. KUWEIT do EGITO

r Ma SUDÃO

In

NEPAL

Trópico de Câncer

ÍNDIA

Mar da Arábia

OMÃ

o

elh rm Ve

A antiga civilização hindu habitava o vale do Rio Indo, onde hoje se localiza o Paquistão.

Go lfo Pér sico BAREIN CATAR EMIRADOS ÁRABES UNIDOS

Rio

ARÁBIA SAUDITA

Sonia Vaz

A história continua...

ERITREIA

IÊMEN

ÁFRICA OCEANO ÍNDICO Vale do Rio Indo

0

490

60°L

Fonte: ATLAS histórico escolar. Rio de Janeiro: FAE, 1991.

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As transformações dos símbolos indo-arábicos ao longo dos séculos Os algarismos indo-arábicos sofreram várias transformações na sua representação antes de adquirirem, no século XVI, a aparência que conservam até hoje.

Século XII Século XIII Século XIV Século XV Por volta de 1542 Atualmente

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Os primeiros que chegaram à noção de zero foram os babilônios, povo que habitou a Mesopotâmia, atual Iraque, por volta de 2500 a.C. Na América Central, os maias também chegaram à representação do zero e usavam várias formas para representá-lo. Para eles, o conceito de vazio era tão importante que tinham um deus, o deus Zero, deus da Morte. Os indianos conheciam a noção de vazio e empregavam a palavra shúnya para representá-lo. Os árabes chamavam o zero de shfr. Já na Europa, levado pelos árabes, ficou conhecido como zephirum, depois zéfiro, zefro e, finalmente, zero. Dos indianos aos árabes, a forma do zero mudou de um ponto para um círculo. Na Europa, o zero encontrou forte resistência. Várias superstições e o medo do desconhecido impediam o seu uso. Além disso, com a popularização do conhecimento do zero e dos outros algarismos indo-arábicos, havia o perigo de que qualquer um pudesse fazer contas, habilidade que, até então, poucos detinham.

Ilustrações: Editoria de arte

O zero: uma invenção importante

Essas são duas das formas que os maias usavam para representar o zero.

Informações obtidas em: VOMERO, Maria Fernanda. A importância do número zero. Superinteressante, São Paulo: ed. Abril, n. 163, abril de 2001.

Você já observou que o nosso sistema de numeração é decimal, isto é, contamos sempre em grupos de dez? Esse costume vem, sobretudo, do fato de o ser humano ter aprendido a contar usando os dedos das mãos. A palavra “decimal” é de origem latina, decem,, que significa dez. É por esse motivo que o nosso sistema de numeração é chamado de Sistema de Numeração Decimal.

Svand/Shutterstock/Glow Images

Um costume muito antigo!

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O conjunto dos números naturais Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, teremos os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Os números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números naturais, que se indica pela letra N: N  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} Quando se exclui o zero do conjunto N, temos o conjunto dos números naturais não nulos, indicado por N*: N*  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Características importantes do nosso sistema de numeração • Com apenas estes dez símbolos pode-se escrever qualquer número, por maior que seja: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Esses símbolos são os algarismos indo-arábicos. • O sistema decimal é de base 10, já que os agrupamentos são feitos de dez em dez. • O sistema decimal é posicional, porque, dependendo da posição que ocupa no número, o mesmo símbolo pode representar valores diferentes. Exemplo: 323 tem o algarismo 3 com valor posicional trezentos (300) e valor posicional três (3). 323 300 3 • O sistema indo-arábico utiliza o zero para indicar uma “casa vazia” dentre os agrupamentos de dez do número considerado. Exemplos: 205, 100, 1 023 • O sistema decimal é multiplicativo, porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posição desse outro. Exemplo: 777



700



70



7



7



100



7 

10



7



1

7  100 7  10 7  1

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ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Considere o grupo dos dedos de uma das Photodisc/Getty Images

mãos e o grupo das vogais do nosso alfabeto.

5. Quantos algarismos você usa para escrever cada um dos seguintes números naturais? e) 10 567 901 a) 362 f) 4 b) 1 504 g) 500 c) 30 000 h) 10 005 d) 875 040

6. Com exceção do zero, que é o menor dos a) Relacione a quantidade de elementos dos dois grupos. b) Qual é o nome e o símbolo que associamos à quantidade de elementos dos dois grupos?

2. Cite cinco situações diferentes em que são usados os números naturais.

3. Todo número natural tem um sucessor. Para

encontrá-lo, basta acrescentar 1. Escreva no caderno o sucessor de cada número natural a seguir? f ) 999 a) 301 g) 9 999 b) 0 h) 99 999 c) 12 321 i) 900 d) 45 666 j) 19 899 e) 99 DICA

O sucessor de 37 é 38, porque 37  1  38. O antecessor de 26 é 25, porque 26  1  25.

4. Represente de três formas diferentes a quantidade de frutas da foto a seguir.

números naturais, todo número natural tem um antecessor. Para encontrá-lo, basta tirar 1. Escreva no caderno o antecessor de cada um dos números naturais a seguir? d) 1 a) 888 e) 12 000 b) 100 f) 7 001 c) 9 471

7. Dois ou mais números que se seguem na sucessão dos números naturais são denominados consecutivos. DICA

20, 21 e 22 são números naturais consecutivos.

Na sucessão dos números naturais, qual é o primeiro número consecutivo de: a) 1 000? c) 4 001? b) 20 009? d) 6 005?

8. A sucessão 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... é chamada sucessão de números naturais pares. Quais são o antecessor e o sucessor pares dos números: a) 638? b) 1 326? c) 19 554?

9. A sucessão 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... é chamada sucessão de números naturais ímpares. Quais são o antecessor e o sucessor ímpares dos números: a) 1 003? b) 9 009? c) 20 221?

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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Organização, leitura e interpretação de tabelas A primeira Copa do Mundo de futebol foi realizada em 1930, no Uruguai, e as seguintes, a cada quatro anos, com exceção das edições de 1942 e 1946, canceladas devido à Segunda Guerra Mundial. A tabela a seguir indica os países campeões.

Ano

País sede

Campeão

1930

Uruguai

Uruguai

1934

Itália

Itália

1938

França

Itália

1950

Brasil

Uruguai

1954

Suíça

Alemanha

1958

Suécia

Brasil

1962

Chile

Brasil

1966

Inglaterra

Inglaterra

1970

México

Brasil

1974

Alemanha

Alemanha

1978

Argentina

Argentina

1982

Espanha

Itália

1986

México

Argentina

1990

Itália

Alemanha

1994

Estados Unidos

Brasil

1998

França

França

2002

Japão/Coreia do Sul Brasil

2006

Alemanha

Itália

2010

África do Sul

Espanha

2014

Brasil

Alemanha

Informações obtidas em: FIFA. FIFA World Cup Archive. 1994-2015. Disponível em: <www.fifa.com/tournaments/ archive/worldcup/index.html>. Acesso em: 3 fev. 2015.

A Segunda Guerra Mundial foi deflagrada em 1o de setembro de 1939 e teve seu término em 2 de setembro de 1945. De uma forma ou de outra, envolveu a maioria dos países do mundo, resultando em milhões de mortos e mutilados.

Responda às questões no caderno.

1. Essa tabela está dividida em três colunas. Que informação corresponde a cada coluna? 2. Fonte é a origem dos dados pesquisados. Qual é a fonte dos dados organizados na tabela “Os campeões em cada Copa”? 3. Quantas vezes, de 1930 a 2014, o campeão mundial de futebol foi: e) a Alemanha? a) o Brasil? f) a Inglaterra? b) a Argentina? g) a França? c) o Uruguai? h) a Espanha? d) a Itália? 4. No período de 1930 até 2014, quantas vezes a Copa do Mundo de futebol foi realizada: a) no continente europeu? b) no continente asiático? c) no continente americano? d) no continente africano? 5. De acordo com os dados da tabela, quantos países conseguiram conquistar o campeonato no ano em que cada um deles foi sede da Copa? 6. Qual o país sede da Copa de 2014? Carlos Luvizari

Os campeões em cada Copa

SAIBA QUE...

Bola de futebol da final da Copa do Mundo de 1962, no Museu da Federação Paulista de Futebol, em São Paulo.

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Alexandre

Juliana

Daniel

brancos

nulos

Marcos Guilherme

A Escola do Bairro organiza, todos os anos, a eleição para representante de classe. Na classe de Janete, três alunos se candidataram: Alexandre, Juliana e Daniel. Na apuração dos votos, o professor colocou os três nomes no quadro de giz e, a cada voto recebido, assinalava um traço abaixo do nome do candidato. A eleição teve o seguinte resultado:

Vamos construir uma tabela com o resultado dessa eleição? Primeiro, escolhemos um título, por exemplo: “Eleição para representante de classe”. Depois, escrevemos em cada coluna o tipo de informação que ela contém. Fica assim: Analisando a tabela, Juliana foi a que teve a maior quantidade de votos. Mas a classe havia combinado que o candidato, para ser eleito, deveria ter ao menos a metade dos votos mais um voto (maioria absoluta). Caso contrário, haveria 2o turno com os dois candidatos mais votados.

Eleição para representante de classe Votos

Contagem ou registro dos votos

Total de votos recebidos

Alexandre

11

Juliana

20

Daniel

8

Brancos

2

Nulos

1

Total

42

7. Observe novamente a tabela e responda se Juliana foi eleita no 1o turno. Explique no caderno como você pensou para chegar a essa conclusão.

Fonte: Classe de Janete.

8. Fernando pesquisou na sua classe o esporte preferido pelos colegas e organizou os dados em uma tabela. Esporte preferido Modalidade de esporte

Contagem

Quantidade de alunos

Futebol Natação

Escolha um tema interessante (não vale ser esportes), entreviste seus colegas e, depois, faça uma tabela como a de Fernando. Por último, identifique os itens mais e menos escolhidos pelos entrevistados.

9. Pesquise em jornais e revistas outras tabelas, reproduza-as ou cole-as no caderno e responda às questões a seguir para cada tabela pesquisada. a) Qual é o título da tabela? d) Onde e quando foi publicada? b) Qual o assunto nela e) Você compreendeu a tabela? tratado? Ela o ajuda a entender melhor c) Qual é a fonte? o assunto tratado?

IDADE? COMIDA PREFERIDA? NÚMERO DO SAPATO?

QUE TEMA ESCOLHO?

Estúdio MW

Fonte: Classe de Fernando.

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O valor posicional

PENSE E RESPONDA 1. Escrevi 14 675, troquei de lugar os algarismos 7 e 5 e obtive 14 657. a) O número que escrevi primeiro é maior ou menor que o número que obtive? b) Antes da troca: quanto valia o 5 no primeiro número? E o 7? c) Depois da troca: quanto passou a valer o 5? E o 7?

2. Agora, veja este outro número: 7 056 a) Que troca eu devo fazer para o 6 aumentar seu valor em 100 vezes? Que número eu obtenho nesse caso? b) Que troca eu devo fazer para o 6 aumentar seu valor em 10 vezes? Que número eu obtenho nesse caso? c) Que troca eu devo fazer para o 7 diminuir seu valor em 1 000 vezes? Que número eu obtenho nesse caso? Você observou que o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no número. • No número 26, o valor do algarismo 2 é 2  10, ou seja, 20 unidades, porque ele ocupa a posição ou ordem das dezenas. • No número 263, o valor do algarismo 2 é 2  100, ou seja, 200 unidades, porque ele ocupa a posição ou ordem das centenas. • No número 2 635, o valor do algarismo 2 é 2  1 000, ou seja, 2 000 unidades, porque ele ocupa a posição ou ordem das unidades de milhar. Vamos considerar o número 8 594. 8 594 1a posição ou 1a ordem: 4 unidades 2a posição ou 2a ordem: 9 dezenas  9  10 ou 90 unidades 3a posição ou 3a ordem: 5 centenas  5  100 ou 500 unidades 4a posição ou 4a ordem: 8 unidades de milhar  8  1 000 ou 8 000 unidades

Escrevemos o número 8 594 por extenso e o lemos assim: oito mil, quinhentos e noventa e quatro Veja o quadro de ordens até a 10a ordem: 10a ordem

9a ordem

8a ordem

7a ordem

6a ordem

5a ordem

4a ordem

3a ordem

2a ordem

1a ordem

Centenas Dezenas de Unidades Centenas Dezenas Unidades Centenas Dezenas Unidades Unidades de unidades unidades de bilhão de milhão de milhão de milhão de milhar de milhar de milhar simples simples simples

Vamos, agora, considerar o número natural 97 025, localizá-lo no quadro de ordens e escrever como se lê esse número. DM

UM

C

D

U

9

7

0

2

5

noventa e sete mil e vinte e cinco

26 D1-MAT-F2-2039-V6-U01-LA-012-033-M17.indd 26

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Lendo e escrevendo um número natural No Sistema de Numeração Decimal, os números são lidos ou escritos mais facilmente quando separamos os algarismos em grupos de três, começando pela direita. Isso porque cada três ordens formam uma classe. Veja os números: 6 283 104 640 5 000 254 Cada grupo de três algarismos constitui uma classe, e cada classe tem um nome, como podemos ver no quadro a seguir. CLASSE DOS BILHÕES (4a classe) Centenas de bilhão

Dezenas de bilhão

CLASSE DOS MILHÕES (3a classe)

CLASSE DOS MILHARES (2a classe)

CLASSE DAS UNIDADES SIMPLES (1a classe) UniCenteDezenas dades nas simples

Unidades de bilhão

Centenas de milhão

Dezenas de milhão

Unidades de milhão

Centenas de milhar

Dezenas de milhar

Unidades de milhar

6

2

8

3

1

0

4

6

4

0

5

0

0

0

2

5

4

O quadro de ordens nos ajuda a ler, escrever, compor e decompor números. Assim: • 6 283 104 640 600  40 seiscentos e quarenta unidades (1a classe) cento e quatro mil (2a classe) 100  4 duzentos e oitenta e três milhões (3a classe) 200  80  3 seis bilhões (4a classe) 6

Lemos ou escrevemos por extenso: seis bilhões, duzentos e oitenta e três milhões, cento e quatro mil, seiscentos e quarenta. • 5 000 254 200  50  4 5

duzentos e cinquenta e quatro unidades (1a classe) cinco milhões (3a classe)

Quando todas as ordens de uma classe são representadas por zero, não se lê essa classe. Lemos ou escrevemos por extenso: cinco milhões, duzentos e cinquenta e quatro. Agora, veja este outro número escrito por extenso: • Sessenta mil, trezentos e vinte e oito 8 unidades 2 dezenas (2  10) 3 centenas (3  100) 6 dezenas de milhar (60  1 000)

No quadro de ordens, podemos representar esse número usando algarismos assim: DM

UM

C

D

U

6

0

3

2

8

Temos o número 60 328.

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ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Escreva todos os possíveis números formados por estes três algarismos, sem repeti-los: 5 2 7 a) Qual o maior número formado? b) Qual o menor número formado?

2. A altura de um prédio é medida em metros, o tempo é medido em horas, minutos, segundos... e o consumo de energia elétrica é medido em quilowatt-hora (kWh). O consumo médio de energia elétrica residencial no Brasil, em janeiro de 2015, de acordo com a Empresa de Pesquisa Energética, foi de 190 kWh. a) Como se escreve esse número por extenso?

b) Consulte a conta de luz deste mês de sua casa e verifique o consumo. Escreva o resultado por extenso. c) O que você acha a respeito do consumo de energia elétrica em sua casa?

3. Pesquise modelos e preços de três carros. Escreva no caderno esses preços usando algarismos e registre, por extenso, os números encontrados.

4. (OBM) Perguntado, Arnaldo diz que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corrigiu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre essas duas respostas? a) 1 000 d) 999 000 000 b) 999 000 e) 999 000 000 000 c) 1 000 000

Convide um colega para resolver o desafio no caderno.

1. Sobre

Estúdio MW

DESAFIO

uma faixa longa de papel foram escritos todos os números inteiros de 1 a 1 500. Essa faixa foi enrolada sobre um cilindro, resultando colunas de números, como mostra a figura, de modo que a diferença entre qualquer número e o seu vizinho de coluna seja de oito unidades, como 17 e 25, por exemplo. a) Na coluna dos números 3, 11, 19, ..., qual será o número mais próximo de 100, menor que ele? b) Escreva três números dessa coluna que estejam acima de 59 e três números que estejam abaixo de 59. c) Em qual dessas três colunas vai aparecer o número 113? d) Na coluna que vemos à direita vai aparecer o número 219. Quais os outros dois números que poderemos ver nessa mesma linha da figura? e) Em cada volta completa da fita, no desenho, podemos ver apenas três números. Quantos números estão em cada volta da fita? Explique como você chegou a essa conclusão.

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RR

Equador

Rio

Rio

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Belém

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PA e Tel Rio

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ou

Porto Velho

Rio Branco

MT

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RO

Rio Xingu

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AC

TO

l ue

ponda às questões no caderno.

Cuiabá

GO

DF

Região Hidrográfica

OCEANO PACÍFICO

0

Amazônica

310

Hidrovia

Extensão (em quilômetros)

Amazonas (Brasil)

6 992

Nilo (Egito)

6 852

Yang Tsé (China)

6 300

Mississipi-Missouri (EUA)

6 210

Yenisei (Rússia)

5 539

Luiz Claudio Marigo/Opção Brasil

MS

Maiores rios do mundo em extensão Rio

ira de Ma

Rio

2. Observe a tabela abaixo e resFonte: <http://atlas.ana.gov.br/Atlas/ dounhoads/atlas/Resumo%20Executivo/ Atlas%20Brasil%20-%20Volume%20 1%20-%20Panorama%20Nacional. pdf>. Acesso em: 17 mar. 2015.

li m õ e s

AM

Iriri Rio

Ri oJ ur uá

1. Registre em seu caderno os nú-

Manaus

s zona Ama

Tap ajó s

So

meros que aparecem em destaque no texto, colocando-os no quadro de ordens. Em seguida, escreva-os por extenso.

Macapá

RioNegro

Pu rus

Informações obtidas em: <www.inpe.br/ noticias/noticia.php?Cod_Noticia=1501> e <aguasdemarco.ana.gov.br/2007/ rhamazonica.htm>. Acesso em: 23 fev. 2015.

ri Ja

A bacia hidrográfica do rio Amazonas é a maior do mundo em disponibilidade de água, cobrindo aproximadamente 6 110 000 de quilômetros quadrados. Essa bacia continental se estende sobre vários países da América do Sul: Brasil, Peru, Bolívia, Colômbia, Equador, Venezuela e Guiana. Segundo medições do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais), o rio Amazonas é o maior rio do mundo (mais extenso e com maior volume de água), com aproximadamente 6 990 quilômetros de extensão Bacia Amazônica: parte brasileira (140 quilômetros a mais que o 50°O rio Nilo, no Egito). Seus princiOCEANO Boa pais afluentes no Brasil são os ATLÂNTICO Vista AP Rio rios Madeira, Tapajós e Negro.

Mario Yoshida

CONEXÕES

Informações obtidas em: <www.inpe.br/noticias/noticia.php?Cod_Noticia=1501>; <http://desenvolvimento.gov.br/arquivos/dwnl_1196954662.pdf>; <www.biomania.com.br/bio/conteudo.asp?cod=3070> e <wwww.russobras.com. br/rios/rio_yenisei.php>. Acessos em: 6 abr. 2015.

a) Qual é o valor posicional do algarismo 8 nos números registrados na tabela? b) E do algarismo 5? Vista aérea do Rio Solimões (AM). Foto de 2007.

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mangostock/Pantherstock/Glow Images

EDUCAÇÃO FINANCEIRA Querer é uma coisa, precisar é outra Rosely Sayão Publicado em 14 fev. 2012.

[...] Você já reparou, caro leitor, na confusão que temos feito entre dois conceitos que são tão diferentes, mas que estamos usando, principalmente na linguagem coloquial, como se fossem sinônimos? Eu me refiro aos verbos “querer” e “precisar”. Vamos, então, retomar o significado dessas duas palavras, para começar. Precisar diz respeito a uma necessidade, a uma carência que exige satisfação. Por exemplo: temos fome e sede, por isso precisamos de líquido e de alimento para a satisfação dessas necessidades. E, como dá para perceber, a necessidade sempre tem um alvo certo. Quando nós temos sede precisamos de água e quando temos fome precisamos de comida. [...] E o querer? O querer diz respeito a uma intenção, a uma aspiração. O querer é algo que nos move, mas não é uma necessidade. Um querer pode encontrar satisfação em diversos alvos diferentes. [...]

Fazer uma lista de compras ajuda na tarefa de comprar só o necessário.

Qualquer querer pode não ser satisfeito sem problema algum. Quem quer pode esperar, pode trocar o objeto do querer para que se torne mais acessível e pode, inclusive, perceber que terá de abdicar desse querer. Já quem precisa... Quem precisa pode esperar por pouco tempo, não pode trocar o objeto da necessidade e tampouco pode abdicar dele. [...] Mas todos precisam saber com clareza que querer não é precisar. E querer, muitas vezes, também não é poder. Fonte: <http://www1.folha.uol.com br/fsp/equilibrio/25683querer-e-uma-coisa-precisar-e-outra. shtml>. Acesso em: 6 mar. 2015. Fornecido pela FolhaPress.

Que tal ajudar nas compras da família e ao mesmo tempo aprender, na prática, o assunto tratado no texto acima? Converse com seus familiares e descubra de que forma são feitas as compras no supermercado.

• Verifique com que frequência (semanal, quinzenal, mensal ou sempre que necessário, sem ter dia certo) são realizadas essas compras. • Pesquise se é costume fazer uma lista do que pretendem comprar no supermercado. • Ajude a fazer a lista de compras dividindo-a em duas colunas. Na primeira coluna devem ser colocados os produtos necessários (alimentos, produtos de limpeza, de higiene e outros). Na segunda coluna serão listados os produtos desejados, mas não necessários (guloseimas, cosméticos, brinquedos, entre outros). É provável que cada pessoa da família queira coisas diferentes das outras. • Estime o valor da compra dos produtos listados na primeira coluna para, depois, verificar como foi sua estimativa. Anote o valor pago em cada produto para que, a cada compra, sua previsão de gastos seja mais próxima do gasto real. • Para os produtos da segunda coluna o ideal é determinar um valor e não ultrapassá-lo. • Na volta das compras, totalize o valor de cada coluna e compare-os.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno.

1. Escreva

três números consecutivos, todos formados por: a) 1 algarismo. b) 2 algarismos. c) 3 algarismos. d) 4 algarismos.

2. Quantos algarismos formam cada número a seguir? Quais são eles? a) 7 504 b) 1 000 c) 5 555 d) 174 100

3. Escreva o antecessor e o sucessor par dos números: a) 234 568 b) 343 859 c) 850 392 d) 999 231

4. Escreva por extenso os dois números obtidos no item a do exercício anterior.

5. Abaixo temos três números representados

em símbolos egípcios, babilônicos e romanos, respectivamente. Escreva-os em ordem crescente.

• • • MMMCCCX X X

6. (OBM) João escreveu todos os números com

menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numa folha de papel e depois somou todos eles. O valor obtido foi: a) 2 314 b) 3 000 c) 1 401 d) 2 316 e) 1 716

UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais sobre a história da Matemática, os padrões existentes em diferentes sistemas de numeração e ainda estudamos o conjunto dos números naturais. Qual desses conteúdos você achou mais interessante? Por quê? Nas páginas de abertura, além de observar os diferentes sistemas de numeração (guarani, egípcio e chinês), você foi convidado a pensar sobre a criação dos números. O que você havia imaginado se confirmou após o estudo desta Unidade? Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens desta Unidade: • Foi possível perceber que existem diferentes formas de representar os números e diferentes sistemas de numeração? • Você conseguiu identificar os padrões existentes em cada um dos sistemas estudados? • Consegue reconhecer, no dia a dia, as diferentes funções desempenhadas pelos números (contar, ordenar, medir e codificar)? • Em muitas situações do nosso cotidiano, utilizamos os números e fazemos operações matemáticas, como, por exemplo, para calcular o troco. Em qual outra situação você pode utilizar uma operação matemática?

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TECNOLOGIAS Calculadora

Evg e n

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v/Shu

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ck /Glo

w Im

ag es

Você já deve ter visto vários tipos de calculadora.

Na maioria das calculadoras simples, você encontra as seguintes teclas:

ou

Liga

Calcula a raiz quadrada

Apaga os valores

Calcula a porcentagem

Desliga



Indica o resultado

Adiciona

Ativa a memória e adiciona

Subtrai

Ativa a memória e subtrai

Multiplica

Recupera os dados da memória e limpa a memória

Divide

Introduz a vírgula

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1. Você tem uma calculadora? Ela possui teclas diferentes das descritas acima? Quais? 2. Quantos dígitos “cabem” no visor da sua calculadora? 3. Qual é o maior número natural com algarismos diferentes que sua calculadora comporta? E o menor, usando o máximo de algarismos possível? 4. Registre na sua calculadora um número ímpar de três algarismos. Compare com os números registrados por dois colegas e descubra qual deles é o maior. 5. Registre na calculadora o número 348 735. O que é possível fazer para transformá-lo no número 48 735? 6. Agora, registre o número 74 563 na calculadora. O que é possível fazer para transformá-lo no número: a) 74 564? b) 74 573? c) 74 663? d) 14 563?

@ MULTILETRAMENTOS Criando a sua calculadora Estamos acostumados a realizar operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão diariamente, no supermercado, na organização de grupos, para receber troco e em muitas outras situações. Já imaginou como seria, na correria de hoje, se tivéssemos de fazer todas as contas de cabeça ou em rascunhos no papel? Vamos aprofundar o estudo dessas operações na próxima unidade. Contudo, desde já, para facilitar alguns cálculos, podemos usar uma calculadora. Trata-se de um recurso muito importante, por isso está disponível em computadores, celulares, chaveiros e em muitos outros dispositivos. Você sabe como as calculadoras são programadas para dar respostas sempre corretas? O que acha de descobrir isso criando a sua própria calculadora? Você e os colegas de turma estão convidados a criar uma calculadora virtual usando um programa chamado Scratch (disponível em: <http:// scratch.mit.edu>) e deixá-la do jeito que acharem melhor. Como é uma atividade que envolve programação, serão necessárias algumas orientações para cada etapa. Para acessá-las, entre no espaço virtual @multiletramentos. Lá você encontrará todos os passos, tutoriais e dicas de que precisa para realizar o trabalho.

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UNID A DE

6

A FORMA DECIMAL DOS NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são utilizados em diferentes ambientes, como mercados, postos de gasolina, lojas, entre outros. Note que a escrita desses números na imagem ao lado aparece na forma decimal e não na forma fracionária. • Nessa imagem, podemos ver uma lista de compras de mercado organizada em seis divisões, quais são elas? Podemos perceber também que estas divisões estão organizadas em colunas e, por vezes, há uma indicação de quantidade. Observe, por exemplo, que no item arroz a quantidade é representada por 5, enquanto na carne aparece a representação 1,5, que já é um número não inteiro escrito na forma decimal. Na parte de baixo da lista, podemos perceber outros números escritos na forma decimal que representam a totalização dos valores gastos por categoria. • Considerando cada um dos valores, você saberia informar o valor total da compra? • Observe as cédulas no bolso que serão entregues para o pagamento dessa compra. Qual será o valor do troco? • Sua família costuma elaborar listas de compras? O que você acha desse procedimento?

MAIS

Acesse o link <http://ftd.li/2297fm> e assista ao vídeo sobre como economizar nas compras do mercado. • De acordo com o vídeo, que medidas podem ser tomadas para se economizar nas compras de casa?

Paulo Manzi

@

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Trocando dinheiro OI, VÔ! CONTAMOS NOSSAS MOEDAS E VAI DAR PARA COMPRAR O JOGO DOS MIL DESAFIOS.

Ilustrações: Estúdio MW

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A representação fracionária foi criada há quase 3 000 anos. François Viète (1540-1603), matemático francês do século XVI, estabeleceu uma forma especial de representar frações com potências de 10 nos denominadores. Essa representação, posteriormente um pouco modificada pela introdução de uma vírgula, é usada até hoje: são os números decimais.

p

Introdução

O SENHOR PODE TROCAR PRA GENTE AS MOEDAS POR NOTAS? Matemático François Viète. CLARO! ESTOU MESMO PRECISANDO DE TROCO.

1 centavo

1 centavo vale 1 décimo de

R$ 0,01

10 centavos. podem ser trocadas 10 moedas de 1 centavo

10 centavos

por 1 moeda de 10 centavos

Então: 1 centavo 

1  10 centavos 10

R$ 0,10 podem ser trocadas

10 moedas de 10 centavos

1 real

10 centavos  10  1 centavo

por 1 moeda de 1 real

1 real  10  10 centavos 1 Logo: 10 centavos  10  1 real

R$ 1,00

Moedas e cédulas: Captura via escâner

10 reais  10  1 real Logo:

podem ser trocadas 10 moedas de 1 real

1 real 

1  10 reais 10

por 1 nota de 10 reais

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PARA QUEM QUER MAIS História do Sistema Monetário Brasileiro Museu de Valores do Banco Central do Brasil

Entre 1500 e 1600, a moeda que circulava no Brasil era o Real Português. No entanto, naquele tempo, o dinheiro era escasso, e produtos aqui produzidos serviam como troca, tanto que em 1614 o açúcar tornou-se moeda legalmente reconhecida. Mas há outros exemplos: os escravos da Bahia usavam como moeda pequenas conchas, também conhecidas como guimbombo ou búzios e, no Maranhão, o pano de algodão valia como moeda. Em 1645, foram cunhadas as primeiras moedas em nosso país, feitas pelos holandeses que, na época, tomaram a região de Pernambuco. A primeira Casa da Moeda Brasileira foi criada na Bahia, em 1694; e as moedas lá cunhadas eram de ouro e prata. As de ouro eram de 1 000, 2 000 e 4 000 réis e as de prata, de 20, 40, 80, 160, 320 e 640 réis. Daquele tempo até hoje, várias foram as unidades do sistema monetário adotadas no Brasil. Acompanhe-as na tabela abaixo.

Moedas brasileiras do século XVII.

Unidades do Sistema Monetário Brasileiro

Unidade monetária

Período de vigência

Símbolo

Correspondência

Real (plural  réis)

Período colonial até 7/10/1833

R

R 1$2000  1 de ouro de 22 k 8

Mil-réis

8/10/1833 a 31/10/1942

Rs

R$ 2$500  1 de ouro de 22 k 8

Cruzeiro

1/11/1942 a 30/11/1964

Cr$

Cr$ 1,00  Rs 1$000 (um cruzeiro corresponde a mil réis)

Cruzeiro (eliminados os centavos)

1/12/1964 a 12/2/1967

Cr$

Cr$ 1  Cr$ 1,00

Cruzeiro Novo (volta dos centavos)

13/2/1967 a 14/5/1970

NCr$

NCr$ 1,00  Cr$ 1 000

Cruzeiro

15/5/1970 a 14/8/1984

Cr$

Cr$ 1,00  NCr$ 1,00

Cruzeiro (eliminados os centavos)

15/8/1984 a 27/2/1986

Cr$

Cr$ 1  Cr$ 1,00

Cruzado (volta dos centavos)

28/2/1986 a 15/1/1989

Cz$

Cz$ 1,00  Cr$ 1 000

Cruzado Novo

16/1/1989 a 15/3/1990

NCz$

Cruzeiro

16/03/1990 a 31/7/1993

Cr$

Cr$ 1,00  NCz$ 1,00

Cruzeiro Real

1/8/1993 a 30/6/1994

CR$

CR$ 1,00  Cr$ 1 000,00

Real (plural  reais)

A partir de 1/7/1994

R$

R$ 1,00  CR$ 2 750,00

NCz$ 1,00  Cz$ 1 000,00

Fonte: BOLETIM DO BANCO CENTRAL DO BRASIL. Brasília, DF, dez. 1995. Mensal.

1. Você conhece bem as cédulas e moedas do nosso sistema monetário atual? Responda no

caderno. 2. Pesquise algumas características (tamanho, cor, textura, entre outras) das notas de real e o motivo de elas terem esses recursos. Responda no caderno.

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ATIVIDADES 3. Procure, em jornais e revistas, preços de pro-

Responda às questões no caderno.

dutos em que apareçam centavos, recorte-os e cole-os em seu caderno. Depois, escreva por extenso os valores encontrados.

1. Observe as contas de energia elétrica e de água que Francisco recebeu. Escreva, por extenso, o valor de cada conta.

4. Em uma empresa, a máquina de café de uso

Estúdio MW

Fotos: Captura via escâner

135,74

dos funcionários só aceita moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. a) Usando moedas com os valores aceitos pela máquina, escreva algumas maneiras de adquirir um café expresso. b) Você colocou cinco moedas de 10 centavos e pediu um chá com limão. Quantos centavos sobraram na máquina? É possível pedir um cappuccino com as moedas que sobraram?

5. Observe os preços, por quilograma, de alguns FILÉ DE FR ANGO R$ 5,99 (Kg)

35,82 2. Escreva, na forma decimal, cada valor a seguir. a) Nove reais e quatro centavos. b) Seis reais e vinte e três centavos. c) Vinte e nove reais e trinta e sete centavos. d) Cinquenta e sete reais e vinte e oito centavos. e) Cento e vinte e oito reais e nove centavos.

COXA ESPECIAL R$ 2,29 (kg)

Sêrgio Dotta Jr/The Next

itens vendidos em um açougue.

a) Usando apenas cédulas e de forma que possa receber o menor troco possível, como você pagaria por um quilograma de filé de frango? b) Quantas moedas de 50 centavos seriam necessárias para você comprar um quilograma de coxa especial?

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CONEXÕES Responda às questões no caderno.

1. Utilizando números decimais, escreva os valores correspondentes a cada quantia representada a seguir e, depois, escreva-os por extenso. a)

d)

b)

e)

f)

Moedas e cédulas: Captura via escâner

c)

2. Com uma nota de R$ 20,00, o que você compraria? • Agora, pesquise em vários estabelecimentos e veja se realmente é possível comprar o que havia planejado, usando apenas a quantia estipulada. Além disso, observe se há diferença de preço nos estabelecimentos pesquisados.

3. No Brasil, em 1994, o real foi instituído como unidade do sistema monetário, mantendo-se

os centavos. Foi estabelecido que dois mil, setecentos e cinquenta cruzeiros reais era igual a um real. Então, CR$ 2 750,00 passou a valer R$ 1,00. Exemplo: CR$ 11 000,00 passou a valer R$ 4,00, ou seja, onze mil cruzeiros reais passou a valer quatro reais. Ao estabelecer o real como unidade de moeda, uma pessoa que possuía em sua conta bancária a importância de CR$ 2 557 500,00, ficou com que quantia no banco? Explique como você pensou.

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA Moeda também é dinheiro Juliana Ravelli (Diário do Grande ABC) Publicado em 02/10/2011

Tem gente que não dá a menor atenção às moedinhas; as deixa jogadas em qualquer canto e torce o nariz quando recebe muitas delas. Só lembra como são importantes na hora em que o vendedor pergunta: “Tem trocado?”. E é justamente para isso que elas servem. Representantes dos valores menores, as moedas são importantíssimas, principalmente para garantir troco no comércio. Atualmente, há mais de 18 bilhões de moedas em circulação no Brasil. É mais do que o dobro do número de habitantes da Terra, que até o fim deste ano será 7 bilhões. No entanto, quase a metade não é usada. Por isso, o Banco Central — responsável pela produção e circulação do dinheiro brasileiro — faz com frequência campanhas para incentivar as pessoas a gastá-las. Assim, perder ou esquecer de usá-las é desperdício de dinheiro. [...] [...] O curioso é que algumas moedas custam mais para serem fabricadas do que valem. Gasta-se R$ 0,16 para produzir cada moedinha de R$ 0,05; e custa R$ 0,20 para fazer a de R$ 0,10. Quem tem muitas moedas no cofrinho pode trocá-las nos bancos ou estabelecimentos comerciais. A maioria desses locais adora recebê-las. [...]

1. Joana notou que sua mãe, Ana, costumava deixar sobre a mesa algumas moedas que recebia durante o dia. Ela pediu à mãe que lhe desse diariamente essas moedas. Observe o que aconteceu em uma semana e, depois, responda às questões no caderno:

rangizzz/Shutterstock/Glow Images

Fonte: <http://www.dgabc.com.br/Noticia/156806/moeda-tambem-e-dinheiro>. Acesso em: 6 mar. 2015.

• Todo dia, de segunda a sexta, a mãe de Joana toma um café expresso que custa R$ 2,90. Ela normalmente paga com uma cédula de R$ 2,00 e uma moeda de R$ 1,00 e guarda o troco no bolso. Na hora do almoço, Ana sempre vai a um restaurante de preço fixo, R$ 13,80. Ela paga com R$ 14,00 em cédulas e também guarda no bolso o troco recebido. • No sábado, a mãe de Joana foi à feira. Do troco recebido, sobraram uma moeda de R$ 1,00, duas de R$ 0,25 e três de R$ 0,10. • No supermercado, a mãe de Joana fez uma compra de R$ 48,35, pagando com uma cédula de R$ 50,00, e o troco foi dado em moedas. a) Qual foi a quantia, em moedas, que Joana recebeu da mãe nessa semana? b) Suponha que Joana tivesse recebido essa quantia, de janeiro a abril (considere 17 semanas), e a tivesse guardado em seu cofrinho. Quantos reais ela teria?

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2

Representação decimal

Observe o cubo grande abaixo e considere que ele vale uma unidade.

Ilustrações: Editoria de arte

1 unidade

Dividindo a unidade em 100 partes iguais, obtemos a barra.

Dividindo essa unidade (o cubo grande) em 10 partes iguais, obtemos a placa.

Dividindo a unidade em 1 000 partes iguais, obtemos o cubinho.

PENSE E RESPONDA Responda às questões no caderno.

1. Que fração do cubo grande uma placa representa? 2. Que fração do cubo grande uma barra representa? 3. Que fração do cubo grande um cubinho representa?

Unidade decimal Toda fração decimal de numerador 1 é denominada unidade decimal. Assim: 1 é uma unidade decimal de 1a ordem, que é representada por 0,1. 10 1  0,1 um décimo 10 1 • é uma unidade decimal de 2a ordem, que é representada por 0,01. 100 1  0,01 um centésimo 100

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1 é uma unidade decimal de 3a ordem, que é representada por 0,001. 1000 1  0,001 um milésimo 1000 1 é uma unidade decimal de 4a ordem, que é representada por 0,0001. 10 000 1  0,0001 um décimo de milésimo 10 000

... e assim por diante. Utilizando o quadro posicional ou de ordens, temos:

3a

2a

1a

1a

2a

3a

4a

dezenas

unidades

décimos

centésimos

milésimos

décimos de milésimos

...

4a

centenas

...

Ordens decimais

unidades de milhar

Ordens inteiras

...

UM

C

D

U

d

c

m

dm

...

1 0

,

1

0

,

0

1

0

,

0

0

1

0

,

0

0

0

1

Na representação decimal de números racionais, a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Números racionais na forma decimal Observe como escrever uma fração decimal na forma decimal. •

17 7 7 10  7 10 7     1   1  1, 7 10 10 10 10 10 10 um inteiro

200  49 200 49 249 49     2   2, 49 • 100 100 100 100 100 dois inteiros

Lemos: um inteiro e sete décimos. sete décimos Lemos: dois inteiros e quarenta e nove centésimos. quarenta e nove centésimos

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84 1000

80 4 1000

80 1000

4 1000

8 100

4 1000

8 centésimos

 0,084 Lemos: oito centésimos e quatro milésimos ou oitenta e quatro milésimos

4 milésimos

Colocando no quadro de ordens: C

D

U 0

,

d

c

m

0

8

4

Números como 1,7, 2,49 e 0,084 são denominados números na forma decimal. Observe agora: Representação fracionária 17 10

249 100

84 1000

Representação decimal

Número misto 1

1,7 parte decimal parte inteira

2,49

parte fracionária parte inteira

2 parte decimal parte inteira

0,084 parte decimal parte inteira

7 10

49 100 parte fracionária parte inteira Não pode ser representado na forma mista.

Existe outra maneira de escrever uma fração decimal na representação decimal. Nessa maneira, tomamos apenas o numerador e nele colocamos uma vírgula, de modo que a quantidade de algarismos da parte decimal, contada da direita para a esquerda, seja igual à quantidade de zeros que aparece no denominador. Veja: 17  1,7 10

249  2,49 100 um algarismo na parte decimal

um zero

dois zeros

84  0,084 1000 dois algarismos na parte decimal

três zeros

três algarismos na parte decimal

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Transformando em fração um número na forma decimal Vamos escrever os números a seguir na forma de fração. • 3,9  3

9 9 30 9 39  3     10 10 10 10 10 4

• 2,16  2

16 16 200 16 216 54  2      100 100 100 100 100 25 4

fração irredutível equivalente à fração

 25

• 0,025  0 

216 100

25 25 1   1 000 1 000 40  25

fração irredutível equivalente à fração

25 1000

Mas existe outra maneira de escrever números na representação decimal na forma de fração. Nessa maneira, primeiro retiramos a vírgula do número. Esse número, sem a vírgula, será o numerador da fração. A seguir, no denominador, escrevemos uma potência de 10, na qual a quantidade de zeros seja igual à quantidade de algarismos da parte decimal do número dado. Observe: 3,9 

39 10

2,16  um zero um algarismo depois da vírgula

EXPLORE

216 100

0,025 

25 1000

dois zeros

três zeros

dois algarismos depois da vírgula

três algarismos depois da vírgula

Aventura decimal (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos. Editora Ática, 2006. Paulo vai parar na Terra do Povo Pequeno, onde, com a ajuda de uma amiga do colégio e uma garota misteriosa, precisará derrotar um trapaceiro chamado Ogirep.

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ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

R$ 5,29

b)

1. Que número na forma decimal Gustavo deve escrever?

Ilustrações: Estúdio MW

GUSTAVO, ESCREVA A REPRESENTAÇÃO DECIMAL DO 415 NÚMERO . 100

c)

R$ 7,46

d) R$ 3,54

2. Represente as frações na forma decimal. 52 10 52 b) 100 77 c) 10

a)

77 100 7 e) 10 7 f) 100 d)

3. Dê a fração correspondente a cada um dos

números na forma decimal a seguir. e) 0,085 a) 1,3 f) 0,3 b) 0,13 g) 2,97 c) 0,013 h) 1,005 d) 4,002 4. Considere a igualdade 0,25  25 . Qual é o x valor de x?

5. Qual é a fração, escrita na forma simplificada, dos seguintes números: a) 0,4? c) 1,6? b) 0,75? d) 0,45?

6. Escreva por extenso o preço de cada produto. a)

R$ 1,19

7. Represente com uma fração e com um núme-

ro na forma decimal o número expresso por: a) oito décimos; b) quarenta e dois centésimos; c) duzentos e vinte e cinco centésimos; d) quatro inteiros e seis centésimos. 8. Escreva uma fração equivalente a 1 que 2 tenha denominador 100. Em seguida, escreva a representação decimal dessa fração.

9. Responda: a) 20 centavos representam que fração de 1 real? b) 50 centavos representam que fração de 1 real?

10. Escreva

na forma de fração irredutível os seguintes números: a) 2,2 c) 0,25 e) 2,50 b) 0,44 d) 2,4 f ) 3,2

11. Escreva por extenso cada um dos seguintes números: a) 0,85 b) 0,008

c) 7,3 d) 1,147

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3

Propriedade geral dos números na forma decimal

Ilustrações: Editoria de arte

Observe o mesmo inteiro dividido de formas diferentes.

Essa figura representa o inteiro dividido em 10 partes iguais. A parte colorida representa 7 10 ou 0,7.

Essa figura representa o inteiro dividido em 100 partes iguais. A parte colorida representa 70 100 ou 0,70.

Essa figura representa o inteiro dividido em 1 000 partes iguais. A parte colorida representa 700 1 000 ou 0,700.

Pelas figuras, você pode notar que: 0,7  0,70  0,700. Veja:  10

7 10



 10

70 100

 10

0,7 TOME NOTA





 10

700 1000

 10

0,70





7 000 10 000

 ...

0,7000

 ...

 10

0,700



Quando acrescentamos ou suprimimos um ou mais zeros à direita da parte decimal de um número na forma decimal, esse número não se altera.

Comparando números na forma decimal Comparar dois números na forma decimal é determinar se eles são iguais ou se um deles é maior que o outro. Há dois casos: 1o caso – Quando as partes inteiras são diferentes, o maior número é o que tem a maior parte inteira. Exemplos: • 5,2  4,76, pois 5  4.

• 12,04  9,7843, pois 12  9.

2o caso – Quando as partes inteiras são iguais, igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros. O maior é aquele que tem a maior parte decimal. Exemplos: • 2,6  2,53, pois 2,6  2,60 e 60  53. • 9,07  9,048, pois 9,07  9,070 e 70  48.

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ATIVIDADES Responda Ă s questĂľes no caderno.

5. Dentre os nĂşmeros seguintes, quais sĂŁo iguais a 5,010?

1. Observe a cena.

5,01

O COMPRIMENTO DO TAMPO DA MESA Ă&#x2030; 1,5 METRO.

O COMPRIMENTO DO TAMPO DA MESA Ă&#x2030; 1,50 METRO.

5,001

EstĂşdio MW

os nĂşmeros a seguir, quais tĂŞm o mesmo valor? 2,3

2,030 2,03

2,0300 2,003

3. Use o sinal  ou  para comparar os seguintes pares de nĂşmeros: a) 0,07000 e 0,07 b) 6 e 6,000 c) 0,015 e 0,150 d) 9,32 e 9,3200 e) 2,025 e 2,25 f ) 9 e 9,00

4. (Anresc) O quadro abaixo mostra a altura de algumas crianças, em metros. Comparando as alturas das crianças, conclui-se que: Nome

Altura

Camila

1,006

Carlos

1,6

Simone

1,06

SĂŠrgio

1,600

a) Carlos Ê a criança mais baixa. b) Camila e SÊrgio possuem a mesma altura. c) Camila Ê a criança mais alta. d) Carlos e SÊrgio possuem a mesma altura.

5,01000

7,01

0,605

2. Dentre

5,0001

6. Considere os nĂşmeros abaixo. 3,7

A medida dos dois ĂŠ a mesma? Por quĂŞ?

5,0100

10,01

0,095

0,28

1,0004

3,016

Dentre eles, identifique: a) os maiores que 1. b) os menores que 1. c) os que estĂŁo entre 0,5 e 1. d) os menores que 0,1.

7. Usando o sinal ,  ou , compare os seguintes pares de nĂşmeros na forma decimal: a) 9,4 e 4,9 b) 7 e 7,1 c) 4,230 e 4,23 d) 2,081 e 2,0095 e) 3,6 e 3,601 f ) 0,95 e 0,9500 g) 1,37 e 1,037 h) 0,064 e 0,12

8. SĂŁo dados os nĂşmeros a seguir. 0,016

1,02

0,405

1,52

0,98

1,1

0,057

0,71

Dentre eles, identifique os que estĂŁo situados entre: a) 0 e 0,5 b) 0,5 e 1 c) 1 e 1,5

9. No caderno, coloque em ordem crescente os nĂşmeros abaixo: 0,074 0,4

0,08

0,009

0,001

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CONEXÕES Responda às questões no caderno.

1. Em todos os continentes há inúmeras cadeias montanhosas. O monte Everest, localizado na fronteira entre o Nepal e o Tibete, é o pico mais alto do mundo. Observe na tabela: Alguns pontos culminantes do mundo

Localização

Nome

Altura (em quilômetros)

África/Tanzânia

Kilimanjaro

5,895

Antártica

Maciço Vinson

4,897

América do Sul/Argentina

Aconcágua

6,962

Ásia/Nepal e região do Tibete

Everest

8,850

Europa/Rússia

Elbro

5,641

Oceania/Nova Guiné e Indonésia

Pirâmide Carstensz

4,884

Brasil (Amazonas)

Pico da Neblina

2,993

Informações obtidas em: <http://inema.com.br/mat/idmat020084.htm>. Acesso em: 6 mar. 2015.

a) Em que país se situa o pico mais alto da América do Sul? b) Qual continente tem o ponto mais alto do mundo? c) Reorganize a tabela em seu caderno colocando os picos em ordem decrescente de altura. d) Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa. Justifique suas respostas. I. O Everest é a montanha mais alta do mundo com 8,85 quilômetros de altura. II. Considerando o Maciço Vinson e a pirâmide Carstensz, o pico que tem altura mais próxima de 5 quilômetros é a pirâmide Carstensz.

2. Os dados relacionados abaixo se referem aos pontos culminantes no Brasil. Pesquise e relacione I. 2 791,5 metros a) Pico da Neblina b) Pico das Agulhas Negras II. 2 993,7 metros III. 2 798,3 metros c) Pico 31 de Março IV. 2 972,6 metros d) Pico da Pedra da Mina V. 2 891,9 metros e) Pico da Bandeira

Ricardo Azoury/Tyba

cada pico à sua altura, indicando o local onde se encontra.

Informações obtidas em: <http://saladeimprensa.ibge.gov.br/ noticias?view=noticia&id=1&busca=1&idnoticia=215>. Acesso em: 6 mar. 2015.

3. Em seguida, coloque esses valores em ordem

crescente e identifique a ordem de classificação do pico mais alto para o mais baixo.

Parque Nacional Pico da Neblina, AM. Foto tirada em outubro de 2012.

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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO O estudo das médias Tudo o que vimos até aqui na seção Tratamento da informação foi aprender a reunir, organizar e interpretar um conjunto de dados, organizados em tabelas ou gráficos, para tirar conclusões ou fazer previsões a respeito de determinado fato. Existem algumas medidas estatísticas que nos ajudam a interpretar melhor esses dados, mostrando como eles estão distribuídos, e uma dessas medidas é a média aritmética. Podemos dizer que a média aritmética é um valor que representa os demais valores da distribuição. As idades dos jogadores titulares de uma equipe de basquete são: 25 anos, 27 anos, 22 anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média dos jogadores titulares dessa equipe? Para resolver esse problema, devemos fazer: 25  27  22  30  31 135   27 5 5

Então, a idade média dos jogadores titulares dessa equipe é 27 anos. O número 27 é chamado de média aritmética dos números 25, 27, 22, 30 e 31. A tabela a seguir mostra a altura, em centímetros, de cinco jogadores de basquete. Estatura dos jogadores de basquete (cm)

Jogador

Altura (em cm)

Pedro

191

Antônio

211

Carlos

204

Sérgio

184

João

200 Fonte: Dados fictícios.

Usando o mesmo procedimento que fizemos para calcular a idade média, podemos descobrir a altura média desses jogadores. Somando todas as alturas e dividindo pelo número de jogadores, podemos calcular que a altura média desses jogadores é 198 cm, ou seja, 1,98 metro. Assim, podemos dizer que: TOME NOTA

A média aritmética de n números representa a soma de todos os números dividida por n.

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1. O gráfico abaixo representa a quantidade de carros vendidos em uma concessionária, durante uma semana. Observe o gráfico e calcule, no caderno, a média de carros vendidos por dia, em uma semana, nessa concessionária.

Editoria de arte

Carros vendidos em uma concessionária durante uma semana Dia Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Quantidade de carros

Domingo

Fonte: Concessionária.

2. A livraria Por dentro do assunto vendeu a seguinte quantidade de livros em certa semana. Vendas da semana

Dia

Quantidade de livros

Segunda-feira

13

Terça-feira

23

Quarta-feira

22

Quinta-feira

27

Sexta-feira

22

Sábado

25 Fonte: Livraria Por dentro do assunto.

Escreva no caderno: Qual foi a média diária de livros vendidos durante essa semana?

3. Karina comprou 5 presentes, pagando por eles respectivamente 12, 5, 29, 13 e 11 reais. Escreva no caderno: Em média, quanto ela pagou por presente? 4. A média anual mínima de aprovação na escola de Caio, dada pela média aritmética das notas bimestrais, é 6. Caio já tem as notas 5, 8 e 8. Escreva no caderno. a) Qual é a soma mínima de notas bimestrais para aprovação? b) Qual é a nota mínima que Caio necessita no 4o bimestre para ser aprovado?

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4

Adição e subtração com números na forma decimal

Veja a situação seguinte, em que aparecem a adição e a subtração de números na forma decimal.

U

Pedro tem um rolo de barbante com 10 metros de comprimento. Desse rolo, ele cortou três pedaços com comprimentos diferentes: 1,25 metro; 3,14 metros; 0,82 metro. Quantos metros de barbante ainda restaram no rolo? Inicialmente, vamos adicionar os comprimentos dos pedaços. Depois, vamos subtrair o número encontrado do comprimento inicial. Se necessário, incluímos zeros à direita do número depois da vírgula: Restaram, no rolo, 4,79 metros de barbante.

d

c

1

,

2

5

3

,

1

4

0

,

8

2

5

,

2

1

D

U

1

0



d

c

,

0

0

5

,

2

1

4

,

7

9

Para a adição ou subtração de números representados na forma decimal, devemos observar que: • Algarismos que ocupam a mesma ordem devem ficar na mesma coluna, com uma vírgula alinhada à outra. • Adicionamos e subtraímos as unidades de mesma ordem entre si. • Colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais. Veja outras situações:

1. Que número decimal vamos obter efetuando a adição 1,645  4,8  6,23? U

d

c

m

1

,

6

4

5

4

,

8

0

0

6

,

2

3

0

12

,

6

7

5

1,6 4 5 4,8 0 0  6,2 3 0 12 , 6 7 5

Vamos obter 12,675.

2. Os amigos Pedro e Jonas nasceram no mesmo dia. Pedro nasceu com 4,5 quilogramas, e Jonas tinha 2,85 quilogramas ao nascer. Pedro nasceu com quantos quilogramas a mais que Jonas? U

d

c

4

,

5

0

2

,

8

5

1

,

6

5

4,5 0  2,8 5 1,6 5

Pedro nasceu com 1,65 quilograma a mais que Jonas.

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ATIVIDADES 8. Observe a figura a seguir e descubra o seu “segredo”. Em seguida, escreva os números da linha: a) vermelha. b) roxa. c) verde.

1. Calcule: a) 16,9  7,6 b) 35,2  9,8 c) 0,85  1,376 d) 25  18,25 e) 2,33  2,033  2,666 f ) 15  9,85  3,275

? ? ?

6,1

2. Quando adicionamos 0,381 e 0,589, o resul-

3,4

tado é um número maior ou menor que 1?

2,7

2,7

0,9

5,4

1,8

3,6

cujas dimensões, em metros, estão indicadas na planta a seguir. Sabe-se que, normalmente, a espessura das paredes externas é 0,25 m, e a espessura das paredes internas é 0,15 m.

4. Mariana tem dois pedaços de fita: um deles

comprimento 1,70

3,80

4,10

Marcos Guilherme

5. Um número x é tal que:

3,6

?

9. Um jornal anuncia a venda de apartamentos

truído um segundo andar, a altura da casa passou a ser 7,4 metros. Em quantos metros a altura inicial da casa foi aumentada? com 2,5 metros de comprimento e o outro com 1,35 metro de comprimento. O comprimento do maior pedaço tem quantos metros a mais que o comprimento do menor?

?

3,80

3. A altura de uma casa era 4,78 metros. Cons-

?

Editoria de arte

Responda às questões no caderno.

largura

x  (51,7  8,36)  (16,125  7,88) Determine o número x. 4,50

6. Que número devemos adicionar a 1,899 para obter 3?

7. Encontre, mentalmente, as parcelas desconhecidas: a) 1,4    10 b) 80,75    100 c) 345, 27    1 000

4,30

2,20

3,10

Observando essa planta, determine o comprimento e a largura do apartamento.

DESAFIO Convide um colega para decifrar o quadrado mágico.

1. No caderno, substitua as letras A, B, C e D por números na forma decimal, de

modo que a soma nas filas horizontais, verticais e diagonais seja sempre a mesma.

1,6 2,1 1,4 1,5 A

B

C 1,3 D

238 D2-MAT-F2-2039-V6-U06-LA-220-255-M17.indd 238

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CONEXÕES 1. Podemos estimar o consumo de energia elétrica em nossa casa considerando as principais fontes desse consumo. Abaixo você encontra a relação dos principais eletrodomésticos e sua potência média, além do consumo médio mensal de cada aparelho.

Os aparelhos domésticos e o consumo de energia

Aparelhos elétricos Aspirador de pó

Potência Consumo médio Dias estimados Média média mensal uso/mês utilização/dia (watts) (quilowatts-hora) 500

30

20 min

5,0

3 500

30

30 min

52,5

Computador/impressora/ estabilizador

180

30

3h

16,2

Ferro elétrico automático

1 000

15

1h

5,0

Forno micro-ondas

1 200

30

20 min

12,0

Geladeira 2 portas

300

30

10 h

90

Lavadora de roupas

500

15

1h

4,0

Liquidificador

300

15

15 min

0,6

Secador de cabelo

900

30

5 min

2,25

TV em cores de 32 polegadas

200

30

5h

30

Chuveiro elétrico

Informações obtidas em: <http://consumomaisinteligente.com.br/simulador/>. Acesso em: 6 mar. 2015.

Com base nos dados da tabela, responda às questões a seguir no caderno. a) Qual o consumo médio mensal de 3 chuveiros elétricos? E de 2 computadores com impressora e estabilizador em cada um? b) De acordo com a tabela, qual é o consumo mensal médio de todos os aparelhos juntos? c) Supondo que o custo de 1 quilowatt-horas já com os impostos inclusos, seja de R$ 0,45, qual é o valor aproximado, em reais, do consumo de energia elétrica mensal de todos os aparelhos? d) Uma família composta de 4 pessoas utiliza os aparelhos que possui em casa, conforme os dados da tabela. Nessa residência há duas TVs em cores de 32 polegadas, uma lavadora de roupas, dois banheiros com chuveiro elétrico, dois secadores de cabelo, um ferro elétrico automático, um aspirador de pó, um liquidificador e três computadores com impressora e estabilizador em cada um. Qual é o consumo médio mensal de energia elétrica relativa ao uso desses aparelhos nessa residência? e) Qual será o valor aproximado da conta que a família do item anterior vai pagar? Considere o valor de 1 quilowatt-hora do item c. f ) Pesquise o consumo de energia elétrica do último mês do lugar onde você reside. g) Você acredita que é possível reduzir esse consumo? Em caso afirmativo, apresente alguns hábitos que ajudarão nessa redução de consumo.

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5

Multiplicação com números na forma decimal

Multiplicando por 10, por 100, por 1 000 Observe o que acontece ao multiplicarmos 1,235 por 10, por 100 e por 1 000. 1 235  12,35 • 1,235  10  1 235  10  100 1 000

1,235  10  12,35 a vírgula é deslocada uma posição para a direita

• 1,235  100 

1235 1 235  100   123,5 10 1 000

1,235  100  123,5 a vírgula é deslocada duas posições para a direita

• 1,235  1 000 

1 235  1 000  1 235 1 000

1,235  1 000  1235,0 a vírgula é deslocada três posições para a direita

Para multiplicar um número na forma decimal por 10, por 100, por 1 000, basta deslocar a vírgula uma, duas, três posições para a direita, respectivamente.

Multiplicando um número natural por um na forma decimal 1. Um caderno custa R$ 2,36. Preciso de 3 cadernos iguais a esse. Quanto vou pagar? Para resolver essa situação, podemos efetuar 3  2,36. 3  2,36  3 

236 3  236 708    7,08 100 100 100

Estúdio MW

Acompanhe as situações.

Pagarei pelos 3 cadernos R$ 7,08.

240 D2-MAT-F2-2039-V6-U06-LA-220-255-M17.indd 240

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2. Com sua bicicleta, Cristina percorreu 1,9 quilômetro. Ao voltar ao ponto de partida, ela percorreu a mesma distância. Quantos quilômetros ela fez nessa ida e volta? Para resolver esse problema, podemos fazer 2  1,9. 2  1,9  2 

NÓS

38 19 2  19    3,8 10 10 10

Cristina percorreu 3,8 quilômetros.

Multiplicando com números na forma decimal Observe os dois exemplos a seguir.

A bicicleta como transporte alternativo Com as cidades cada vez mais engarrafadas, cresce o número de pessoas que usam a bicicleta como meio de transporte. Além de mais econômica, a bicicleta também é um transporte ecologicamente correto, já que não polui o ambiente, e andar de bicicleta faz bem à saúde, pois é uma ótima atividade física. • Faça com seus colegas uma lista de outros meios de transporte alternativos. • Para você, é importante incentivar o uso desses meios de transporte? Por quê?

1. Um metro de um fio de arame tem 1,6 quilograma. Quantos quilogramas terão 2,3 metros desse fio? Para resolver essa situação, vamos fazer 2,3  1,6. Veja: 23  16 368 23 16     3,68 2,3  1,6  10  10 100 10 10 2,3  1,6  3,68 dois algarismos na parte decimal um algarismo na parte decimal um algarismo na parte decimal

2,3 metros desse arame terão 3,68 quilogramas.

2. Se você multiplicar 1,8 por 0,74, que número vai encontrar como resultado? 18  74 18 74 1332     1,332 1,8  0,74  10  100 10 100 1 000 1,8  0,74  1,332 três algarismos na parte decimal dois algarismos na parte decimal um algarismo na parte decimal

O resultado encontrado será 1,332. Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos: • multiplicar os números como se fossem números naturais. • colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores. 1 ,6  2 ,3 4 8 3 2 3,6 8

1 algarismo na parte decimal 1 algarismo na parte decimal

2 algarismos na parte decimal

0,7 4 1 ,8  5 9 2  7 4 1 ,3 3 2

2 algarismos na parte decimal 1 algarismo na parte decimal

3 algarismos na parte decimal

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ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Escreva o resultado de cada multiplicação a seguir. a) 10  1,08 b) 100  0,572

c) 10  0,92 d) 1 000  0,0029

2. Na planta de uma cidade, a distância entre

dois pontos é 22,5 centímetros. No real, essa distância é 1 000 vezes maior. Qual é, em metros, a distância real?

9. A miniatura de uma mesa tem 0,22 metro de comprimento. Na realidade, o comprimento da mesa é igual a 12 vezes a medida da miniatura. Qual é o comprimento real dessa mesa?

10. Com pedaços de arame que medem 41,4 centímetros e 13,8 centímetros, podemos construir o esqueleto de um bloco retangular, como você vê na figura a seguir.

3. Calcule no caderno:

13,8 cm

a) 5  9,5 b) 7  1,25 c) 12  8,3 d) 25  0,64 e) 3  0,989 f ) 7,2  4,8 g) 0,9  10,5 h) 7,25  0,6 i) 9,9  5,5 j) 0,96  0,5

13,8 cm 41,4 cm

Quantos centímetros desse arame são necessários para essa construção?

11. (Saresp-SP)

4. Calcule as multiplicações a seguir. a) 0,7  0,9  3,5 b) 14,2  0,4  2,5 c) 3,21  0,9  1,07 d) 1,7  3  5,29

12. (OBMEP) Sabendo que 987  154  151 998

5. Um número A é expresso por 257  0,006, e um número B é expresso por 3  1,025. Escreva o valor de A  B.

6. Escreva o valor de cada uma das expressões numéricas. a) 9,05  2,5  2,5 b) (6  1,07)  3,1

7. (Saresp-SP) O resultado de 0,9  0,08 é: a) 7,2 b) 0,72

Em uma padaria uma coxinha custa R$ 1,80 e um pão de queijo custa R$ 1,20. Se Marcos comeu 2 coxinhas e Paulo comeu um pão de queijo, qual o total que eles gastaram? a) R$ 4,20 c) R$ 4,60 b) R$ 4,40 d) R$ 4,80

c) 0,072 d) 0,0072

8. Um prédio tem 9 andares. Cada andar tem

3,75 metros de altura. Qual é a altura desse prédio?

podemos concluir que 9 870  1,54 é igual a: a) 15,1998 b) 1 519,98 c) 15 199,8 d) 151 998 e) 1 519 980

13. A seguir, há uma série de multiplicações. Primeiro você vai estimar o produto de cada uma delas e comparar com as estimativas do seu colega. Depois, utilizando uma calculadora, verifiquem quem chegou mais próximo da resposta correta. a) 5,1  6 b) 29,7  5 c) 7,9  7 d) 7,2  10,15

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Potenciação de números na forma decimal Usando a definição de potência, veja as potências com números na forma decimal: • (3,2)2  3,2  3,2  10,24 • (5,1)2  5,1  5,1  26,01 • (0,7)3  0,7  0,7  0,7  0,343 • (0,2)5  0,2  0,2  0,2  0,2  0,2  0,00032 As propriedades das potências de expoente 1 e expoente zero também são válidas para os números na forma decimal. Observe: • (3,7)1  3,7

• (1,21)1  1,21

• (2,9)0  1

• (0,9)0  1

ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Calcule: a) (3,7)2

e) (2,4)0

b) (0,6)3

f ) (4,1)2

c) (2,5)2

g) (1,5)3

d) (0,3)4

h) (3,02)1

2. Calcule o cubo dos números e escreva quanto falta para atingir 1 unidade.

b) o quadrado da soma dos números 1,2 e 0,9.

6. Escreva o número x, tal que x  (0,6)2  (0,8)2

7. Compare os números a e b usando apenas o símbolo . a  4  (0,4)2 e b  0,4  42

8. Escreva

a) 0,4

5% na forma decimal. A seguir, determine o quadrado desse número.

b) 0,6

9. Calcule os números na forma decimal expressa por:

c) 0,9

3. Determine o número x, sabendo que x é tal que: x  (0,08)2  102  2,6

a) (1,5  0,2)2 : (0,3  0,1) b) (0,8  0,15 : 0,3)3 : 5,4  (0,5)2

10. Calcule o resultado das expressões abaixo: a) (0,2)3  (1,3)2  (0,5)2

4. Calcule a  b, sabendo que: a  (1,2 : 0,5)

2

b  (1,2  0,5)

2

5. Determine: a) a soma dos quadrados dos números 1,2 e 0,9.

b) (0,4)3  (0,8)2  0,7 c) (1,4  2,9  0,6)2  1,8 d) (0,3)3  (1,2  0,9)2  (0,2)4 e) (1,2  0,7  0,1)2  (0,4)2 f) (1,5)2  (0,6)2  5,4  (0,5)2 g) 3,8  (1,4)2  (2,1)2  0,1

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6

Divisão com números na forma decimal

Dividindo por 10, por 100, por 1 000 Observe o que acontece quando dividimos um número na forma decimal por 10, por 100 e por 1 000: 1  235,7  0,1  23,57 • 235,7 : 10  235,7  10 1  0,1 10

235,7 : 10  235,7  0,1  23,57

TOME NOTA

a vírgula é deslocada uma posição para a esquerda

Dividir um número na forma decimal por 10 significa multiplicar o número por 0,1.

• 235,7 : 100  235,7 

1  235,7  0,01  2,357 100 1  0,01 100

235,7 : 100  235,7  0,01  2,357

TOME NOTA

a vírgula é deslocada duas posições para a esquerda

Dividir um número na forma decimal por 100 significa multiplicar o número por 0,01.

• 235,7 : 1 000  235,7 

1  235,7  0,001  0,2357 1000 1  0,001 1000

235,7 : 1000  235,7  0,001  0,2357

TOME NOTA

a vírgula é deslocada três posições para a esquerda

Dividir um número na forma decimal por 1000 significa multiplicar o número por 0,001.

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Dividindo por um número natural, diferente de zero Ilustrações: Estúdio MW

Acompanhe as situações a seguir.

1. Dona Rute foi às compras. Comprou 7 metros de tecido e pediu ao vendedor que ele dividisse o tecido em quatro partes iguais. Qual o comprimento de cada parte desse tecido? Para resolver essa situação, efetuamos 7 : 4. U 7  4 3

4 1 U

U d 7  4 3 0  2 8

7 unidades divididas por 4 dá 1 unidade, e restam 3 unidades.

4 1,7 U d

Transformando as 3 unidades em décimos, temos: 3  10 décimos  30 décimos. 30 décimos divididos por 4 dá 7 décimos, e restam 2 décimos. Coloca-se uma vírgula para separar a 1a ordem inteira e a 1a ordem decimal; no caso, entre os algarismos 1 e 7.

2

U d c 4 7  4 1 , 7 U d 3 0  2 8

5 c

2 0  2 0 0 0

Transformando 2 décimos em centésimos, temos: 2  10 décimos  20 centésimos. 20 centésimos divididos por 4 dá 5 centésimos. O resto é 0, e a divisão é exata.

De forma mais simples: U d c 4 7 3 0 1 , 7 2 0 U d 0

5 c

Cada parte do tecido terá 1,75 metro, ou seja, 1 metro e 75 centímetros.

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2. Dona Rute comprou 5 carretéis de linha e pagou R$ 8,25 por eles. Quanto custou cada carretel? Para saber quanto custou cada carretel, devemos fazer a divisão de 8,25 por 5. 8 unidades divididas por 5 dá 1 unidade, e restam 3 unidades.

U d c 8,2 5 5 3 2 3 0

5 1,6 5 U d c

3 unidades  30 décimos. 30 décimos  2 décimos  32 décimos. 32 décimos divididos por 5 dá 6 décimos, e restam 2 décimos. Coloca-se a vírgula entre os algarismos 1 e 6.

2 5  2 5 0 0

2 décimos  20 centésimos. 20 centésimos  5 centésimos  25 centésimos. 25 centésimos divididos por 5 dá 5 centésimos. O resto é 0.

Dividindo por um número na forma decimal Considere as seguintes situações: Estúdio MW

1. Para montar um mecanismo, Jorge precisa de 7 metros de fio de cobre cortados em pedaços de 0,14 metro. Quantos pedaços Jorge vai obter, usando a quantidade total desse fio? Para resolver essa situação, efetuamos a divisão de 7 por 0,14. Escrevemos o número que está na forma decimal na forma de fração decimal: 7 : 0,14  7 :

700 14 100 7   700 : 14 14 100 14

Então, dividir 7 por 0,14 é o mesmo que dividir 700 por 14. Assim, multiplicamos os dois números (dividendo e divisor) por 10 ou por 100 ou por 1 000, ..., eliminamos a vírgula e obtemos uma divisão de número natural por número natural. Continuando os cálculos da situação acima, temos:  100

7 : 0,14  700 : 14  100

C D U 7 0 0 0 0 0

1 4 5 0 D U

Jorge vai obter 50 pedaços de fio.

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2. Que número você vai obter dividindo 1,26 por 0,504? Preparando a divisão, temos:  1000 1,26  0,504  1 260  504  1000

Então, dividir 1,26 por 0,504 é o mesmo que dividir 1 260 por 504. UM C D 1 2 6 2 5 0

U d 0 2 0 0 0

5 0 4 2,5 U d

A divisão de 1,26 por 0,504 dá 2,5, e a divisão é exata.

A divisão não exata: um quociente aproximado Acompanhe os exemplos:

1. Vamos efetuar a divisão de 34 por 7. 7

3 4 6

4

A divisão não é exata.

Prosseguindo os cálculos: 3 4 6 0 4

7 4,8

A divisão continua não sendo exata. O número 4,8 representa o quociente aproximado, por falta, até décimos, de 34 por 7.

Prosseguindo, ainda, com a divisão, temos: 3 4 6 0 4 0 5

7 4,85

A divisão não é exata, e o número 4,85 representa o quociente aproximado, por falta, até centésimos, de 34 por 7.

O quociente é aproximadamente igual a 4,85.

2. Vamos dividir 8,35 por 2,3, com aproximação até centésimos: 8,35 : 2,3  835 : 230. 8 3 5 1 4 5 0 0 7 0 0 0 1 0

230 3,63

O quociente pedido é 3,63.

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ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Escreva o resultado das divisões: a) 37  10

c) 5,7  10

b) 5 006  1 000

d ) 106,2  100

2. O resultado da divisão de 6,1 por um número é 0,61. Que número é esse?

3. Sabe-se que 124,1 litros de vinho devem ser colocados, igualmente, em 17 tonéis. Quantos litros de vinho serão colocados em cada tonel?

4. Roberto gastou R$ 140,40 na compra de dólares, quando 1 dólar valia R$ 2,16. Quantos dólares ele comprou?

5. Ao iniciar uma viagem, Valdir abasteceu o tanque de combustível de seu carro, que estava totalmente vazio, e pagou R$ 162,80 pelo abastecimento. Se o litro de combustível custava R$ 2,96, quantos litros de combustível cabem no tanque do carro de Valdir?

6. Efetue as divisões seguintes. a) 10,6  2

d) 14,4  12

b) 7,25  5

e) 30,6  20

c) 0,36  3

f ) 171,6  26

7. No ano passado Caio gastou R$ 1 468,32 na compra de 552 euros. Qual era o valor do euro nessa época?

8. Um automóvel consumiu 78 litros de gasolina para percorrer 897 quilômetros. Quantos quilômetros rodou por litro?

9. Calcule cada divisão proposta. a) 13  5,2

c) 0,14  2,8

b) 21,4  2,14

d ) 5,12  0,064

10. Em uma competição automobilística, a distância é medida em milhas. Cada milha vale 1,6 quilômetro, aproximadamente. Quantas milhas há em 512 quilômetros?

11. Um

rolo de fio tem 9,9 quilogramas. Um metro desse mesmo fio tem 0,55 quilograma. Quantos metros de fio há nesse rolo?

12. Um

piloto fez um teste em uma pista de circuito oval. Uma volta completa nesse circuito tem 3,5 quilômetros de extensão. Ao completar um número N de voltas nessa pista, ele observou que percorreu 91 quilômetros. Qual é o valor de N?

13. Determine o valor de cada expressão numérica a seguir. a) 24,8  4  45,5  5 b) (0,05  0,005)  0,5 c) (2  1,1  3,83)  0,9

14. Um número decimal D é expresso por (0,012   1,5)  1,68. Qual é o triplo do número D?

15. Efetue a divisão de: a) 73 por 6, com aproximação até centésimos. b) 10 por 33, com aproximação até milésimos. c) 1,3 por 0,6, com aproximação até décimos.

16. Calcule cada quociente, por falta, com aproximação até centésimos. a) 67,2 por 13 c) 8,7 por 2,3 b) 72 por 11

17. Um prédio tem 37 metros de altura. A maque-

te desse prédio tem a altura 100 vezes menor que a altura real. a) Qual é a altura da maquete desse prédio? b) A janela do prédio mede 1,50 metro de altura. Na maquete, quanto essa janela mede?

18. O pêndulo de um relógio leva 3,14 segundos para fazer uma oscilação completa (ida e volta). a) Quantas oscilações completas ele faz em 15,7 segundos? b) Quantas vezes um observador vê o pêndulo passar nesse intervalo de tempo?

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA Compra a prazo ou à vista: decida qual é a melhor Pagar o bem na hora significa bons descontos, mas consumidor deve avaliar necessidade Marcel Gugoni Publicado em 24 ago. 2010; Economia

Comprar à vista pode parecer uma tarefa difícil em meio a um orçamento apertado, mas ela pode ser uma eficiente maneira de conseguir descontos no preço de um produto. A compra a prazo, por sua vez, permite que você dilua o custo de um bem e não precise esperar acumular todo o dinheiro necessário para levá-lo para casa. [...] Quanto mais alto seu preço e maior a necessidade dele, o parcelamento fica mais interessante. O importante aqui é ter parcelas que cabem no bolso. Se o bem tem valor baixo e nem sempre é tão necessário, guarde o dinheiro para levá-lo à vista. Os juros são o valor que você paga para antecipar uma compra que só poderia ser feita no futuro. [...]

ag Im low k /G oc rst t te hu v/ S

Al

ex

an

de

rK

az

an

t se

Muitas lojas anunciam produtos vendidos em prestações “sem juros”, ou seja, com parcelas que totalizam o mesmo valor do preço à vista do produto, porém às vezes oferecem um desconto na compra à vista. Daniel toca em um conjunto musical e deseja comprar uma guitarra nova. Por isso, decidiu fazer uma pesquisa de preço para saber qual loja oferece as melhores condições. Na Loja A, Daniel descobre que pode comprar a desejada guitarra à vista, por R$ 325,00, ou em 12 parcelas de R$ 32,50. Imagine que na Loja B a mesma guitarra da Loja A custe R$ 350,00 ou 10 parcelas de R$ 35,00. Essa loja oferece um desconto de R$ 50,00 para pagamento à vista.

es

Fonte: <http://noticias.r7.com/economia/noticias/compra-a-prazo-ou-a-vista-decida-qual-e-a-melhor-20100824.html>. Acesso em: 9 mar. 2015.

Responda às questões no caderno.

1. Se Daniel decidir comprar a guitarra à vista, em qual loja é mais vantajoso ele realizar a compra? 2. Qual é a diferença entre o preço à vista da loja A e o da loja B? 3. Considerando os valores à vista e a prazo, em sua opinião, qual é a melhor opção de compra para Daniel?

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7

Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens

Já vimos que toda fração com denominador 100 representa uma porcentagem, por esse motivo, tem uma representação na forma decimal. 42 42 ,e  0,42, então 42%  0,42. 100 100 9 9 • Como 9%  ,e  0,09, então 9%  0,09. 100 100

• Como 42% 

Veja a seguinte situação: Uma empresa tem 250 funcionários. Desses, 62% têm mais de 30 anos. Quantos funcionários dessa empresa têm mais de 30 anos? 62  0,62, devemos calcular 0,62 de 250, que é o mesmo que efetuar 0,62  250. Como 62%  100 0,6 2 2 5 0  3 1 0 0 1 2 4

Como 155,00 é o mesmo que 155 inteiros, então, 155 funcionários dessa empresa têm mais de 30 anos.

1 5 5,0 0

ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Escreva

a representação decimal de cada porcentagem a seguir. a) 3% c) 42% e) 55% b) 21%

d) 150%

2. No início do ano, um aparelho de som custava R$ 980,00. Este mês, ele sofreu um aumento de 15%. Quanto passou a custar esse aparelho de som?

3. Escreva que número representa: a) 51% de 3 340?

b) 120% de 2 500?

4. Um pintor já pintou 85% da superfície de uma parede. A parede toda tem 16,8 metros quadrados de superfície.

a) Quantos metros quadrados da parede já foram pintados? b) Quantos metros quadrados ainda restam para pintar?

5. Qual número na forma decimal representa 8% de 40%?

6. Calcule qual é o valor da expressão numérica (3% de 250)  (7% de 150)  (4% de 90)?

7. Na loja do sr. Freitas, uma calça custa R$ 88,00.

Para atrair mais compradores, ele resolveu dar um desconto de 35% sobre o preço de todas as mercadorias da loja. Usando a calculadora, determine: a) o desconto no preço de uma calça. b) o valor pago na compra de duas calças.

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CONEXÕES O Ministério da Educação (MEC) avalia todo ano as escolas públicas de Ensino Fundamental. Um dos indicadores utilizado para avaliação é o Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB), que calcula o desempenho dos estudantes de dois em dois anos. O MEC fixou a média 5,5 para o Ensino Fundamental II, como objetivo para o Brasil alcançar até 2021. Observe a seguir as notas obtidas de 2005 a 2013.

Editoria de arte

Notas obtidas no IDEB entre 2005 e 2013 – Brasil Nota 5

4

?

3,8 3,5

?

2,50%

3

4,2

4,1

5,26% 7,89%

2

1

0

2005

2007

2009

2011

2013

Ano

Informações obtidas em: <http://ideb.inep.gov.br/resultado/>. Acesso em: 9 mar. 2015.

1. Com base nas informações do texto e do gráfico, responda às questões a seguir no caderno. a) De 2011 a 2013, quanto subiu a nota IDEB? De quantos por cento foi esse acréscimo? Explique como você obteve esse percentual. b) Em algum desses anos a nota obtida atinge a meta estipulada para o país alcançar até 2021? c) Sem realizar cálculos, apenas observando o gráfico, estime a nota do IDBE de 2009. d) Encontre o valor que falta no gráfico e calcule o melhor desempenho que os alunos tiveram de uma avaliação para outra. Explique como você pensou e como realizou os cálculos. e) A estimativa que você fez no item c se confirmou com a resposta do item d? f ) Todas essas informações sobre o IDEB são públicas. Pesquise o IDEB do seu estado e do seu município, depois confronte os dados obtidos com a média nacional.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU 6. (Saresp-SP) A temperatura normal de Carlos é

Responda às questões no caderno.

de 37 graus. Ele ficou com gripe e observou que estava com 37,8 graus de temperatura. Tomando um analgésico, sua temperatura baixou 0,5 grau, chegando ao valor de: a) 37,3 graus. b) 37,4 graus. c) 37,5 graus. d) 37,6 graus.

1. Qual é o número decimal expresso por 52  3  (4,1  1,8)? a) 44,1 c) 45,5 b) 45,1 d) 46,1

e) 47,3

2. (Saresp-SP) No recreio, um aluno comprou 3 balas a R$ 0,20 cada uma e um lanche de R$ 1,50. Se ele pagou com uma nota de R$ 5,00, recebeu de troco a quantia de: a) R$ 4,10 c) R$ 2,90 b) R$ 3,30 d) R$ 2,10

7. São dados dois números decimais. O primeiro é expresso por (9 : 2  4  1,25) e o segundo, por (2  1,05  6,4 : 4). Quanto vale o produto desses dois números? d) 4,75 a) 3,75 e) 5,75 b) 4,25 c) 4,50

3. Caio comprou 1 500 dólares quando 1 dólar valia R$ 2,85. Quantos reais ele gastou nessa compra?

4. Uma substância muito perigosa para a saúde

8. A expectativa de vida, em anos, em uma re-

de uma pessoa é o monóxido de carbono que o motor de um carro lança no ar. Sabe-se que um carro com motor a gasolina lança 27,7 gramas de monóxido de carbono a cada quilômetro rodado. Se esse carro rodar 8 quilômetros, quantos gramas de monóxido de carbono ele vai lançar no ar?

gião é dada pelo valor da expressão numérica (3,5  416  715) : 10. Qual é a expectativa de vida de uma pessoa dessa região?

Stefan Redel/Shutterstock/Glow Images

9. Uma estrada começa em uma cidade A e vai

até uma cidade B, tendo um comprimento de 103,2 quilômetros. A cidade B, por sua vez, está ligada a uma cidade C por uma estrada 3 do compricujo comprimento é igual a 4 mento da estrada que liga A a B. Quantos quilômetros percorrerá, nessas estradas, um ônibus que sai de A, passa por B e atinge C? d) 179,6 a) 170,6 e) 177,4 b) 180,6 c) 181,6

10. Um levantamento feito em um grupo de 320 Escapamento de automóvel.

5. Qual é o próximo número desta sequência? 40

a) 0,625 b) 0,0625

10

c) 6,25 d) 62,5

2,5

?

e) 4,25

pessoas mostrou que 75% das pessoas desse grupo tinham curso universitário completo. Quantas pessoas desse grupo não tinham curso universitário completo? a) 240 b) 200 c) 180 d) 120 e) 80

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Estúdio MW

11. Uma

pipa de vinho enche 63 garrafas de 0,7 litro cada uma. Quantas garrafas de 0,9 litro a pipa pode encher? a) 49 c) 53 e) 59 b) 51

d) 55

12. Tenho 10 peças de barbante com 4,86 m cada uma. Preciso de pedaços desse barbante medindo 0,18 m cada um. Quantos pedaços conseguirei? a) 260 c) 280 b) 270 d) 290

13. A indústria A vende suco de laranja, em embalagens de 1,5 litro, a R$ 1,80. A indústria B vende o mesmo suco, em embalagens de 0,8 litro, a R$ 1,20. Qual das duas indústrias vende o suco mais barato?

a) 12,05 m

d) 13,45 m

b) 12,75 m

e) 13,75 m

c) 13,05 m

15. (Saresp-SP) A mãe de Paula, suspeitando de que sua filha estivesse doente, resolveu tomar a sua temperatura. Veja quanto marcou o termômetro.

14. Em certa hora do dia, a fila única de clientes para usar os caixas eletrônicos de um banco tem 16 pessoas. Se, em média, a distância entre duas pessoas que estão na fila é de 0,55 metro, e cada pessoa ocupa 0,30 metro na direção da fila. Assinale, no caderno, qual é o comprimento dessa fila nesse instante?

35 36 37 38 39 40 41 42

A temperatura de Paula é: a) 38,2 °C

c) 38,7 °C

b) 38,3 °C

d) 38,8 °C

UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, ampliamos nosso conhecimento sobre números, abordando operações e aplicações com os números decimais que fazem parte do conjunto racional, suas relações com números fracionários, porcentagens e medidas, bem como a importância do conhecimento dos números decimais nas operações monetárias do dia a dia. Além disso, estudamos outras aplicações desses números, por exemplo, na contagem do dinheiro e no cálculo de porcentagens, e ainda pudemos conhecer a importância do grande matemático François Viète. Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 6: • Você conseguiria descrever as regras operatórias para os números decimais apresentadas nesta Unidade? • Como nosso sistema monetário utiliza os números decimais? • Por que é importante utilizar nossas moedas? • Qual opção você acha mais interessante: poupar e esperar para comprar à vista ou comprar imediatamente de forma parcelada?

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TECNOLOGIAS Lim Yong Hian/Shutterstock/Glow Images

Tipos de calculadoras As calculadoras são dispositivos eletrônicos específicos para realização de cálculos. Existem três tipos: básica, financeira e científica. A calculadora básica (ou simples) não possui funções trigonométricas. Por ser a mais simples, é mais usada no dia a dia, inclusive na rotina escolar. Geralmente executa as operações básicas, raiz quadrada e porcentagem.

Peter Jordan_NE/Alamy/Glow Images

A calculadora financeira permite resolver cálculos simples e também possui funções automáticas, o que diminui os passos na solução de cálculos financeiros, permitindo que sejam executados mais rapidamente. É ideal para as áreas de negócios que envolvem administração e finanças em geral, pois tem funções específicas para aplicações, financiamentos, investimentos e conversão de moeda.

Calculadora científica gráfica.

Gerald Bernard/Shutterstock/Glow Images

Calculadora financeira.

Calculadora básica.

James Hoenstine/Shutterstock/Glow Images

A calculadora científica numérica possui algumas funções automáticas que simplificam a introdução de dados estatísticos, calculam funções como seno, cosseno e tangente. Já a calculadora científica gráfica permite construir gráficos, além de calcular funções mais complexas. São muito utilizadas nos ramos de arquitetura e engenharia.

liga e desliga a calculadora

tem a função de limpar o visor

esta tecla permite escrever números na forma decimal

Calculadora científica numérica.

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Agora é a sua vez! 1. Com uma calculadora, resolva as seguintes operações: a) 2,75  3 b) 7  4,5 c) 8  10 d) 36  3

2. Com o auxílio de uma calculadora básica, resolva: 17 453 000  349. a) Qual o resultado? b) Quantos dígitos tem esse produto?

@ MULTILETRAMENTOS Jogo de percurso Na seção Tecnologias você conheceu as diferenças e funcionalidades das calculadoras comum, científica e financeira. Vimos que essas tecnologias podem facilitar muito algumas tarefas que seriam complicadas, principalmente para quem é especialista em determinadas áreas. Será que sabemos identificar a função de cada uma dessas calculadoras em situações em que é preciso calcular o juro de uma compra pré-datada ou a área de determinado local, converter medidas, ou ainda quanto foi gasto ao terminar de fazer a feira? Seria fácil escolher entre uma e outra para fazer cálculos como esses? Para colocar os conhecimentos à prova, você e seus colegas de turma estão convidados a formar dois grandes grupos e criar dois jogos de percurso em que os obstáculos serão as situações financeiras diversas que o jogador terá de solucionar escolhendo a calculadora que vai utilizar e, assim, chegar ao final. Mas não para por aí! O seu grupo também será desafiado a escolher a calculadora mais adequada e solucionar os desafios realizando os cálculos, participando do jogo criado pelo outro grupo. Comecem com a organização dos dois grupos, que serão subdivididos em equipes de trabalho. No espaço virtual @multiletramentos você encontrará dicas, exemplos e modelos de como criar o jogo de percurso.

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Paulo Manzi

UNID A DE

8

VOLUME E CAPACIDADE Todos sabem da importância de economizar água, mas também que é necessário manter a higiene. E agora? O que fazer? Deixar sujo ou gastar água para limpar? • O que você faria para resolver esse problema? Uma opção são os sistemas de captação de água da chuva (cisternas). Como sabemos, a água da chuva não é própria para o consumo humano, mas é adequada para lavagem de quintais, calçadas, e até para uso em banheiros (descarga). • Você consegue estimar quantos litros de água são utilizados em cada descarga? Normalmente, para essas finalidades, acabamos utilizando uma água que é própria para o consumo (água vinda dos sistemas de abastecimento, poços artesianos etc.). A utilização da água da chuva pode, inclusive, ajudar a diminuir os gastos domésticos. Na figura ao lado, temos a representação do esquema de funcionamento de uma cisterna que possui caixa-d’água com capacidade de 1 000 litros e um volume de 1 m³. Para se ter uma ideia, uma chuva forte de duas horas seria suficiente para encher uma caixa-d’água com essa capacidade. • Pesquise o consumo de água em algumas atividades cotidianas e estabeleça relações entre a quantidade de água da chuva armazenada e onde ela pode ser utilizada. Vale a pena armazenar água? Por quê?

@ MAIS

Acesse o link <http://ftd.li/i9akzd> e assista ao vídeo Água no mundo. • Quais das situações apresentadas no vídeo desperdiça mais litros de água por dia?

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1

Medindo o espaço ocupado

Os sólidos geométricos

Prisma reto.

Carlos Caetano/ Shutterstock/Glow Images

Esfera.

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k/ oc r st es t te a g hu w I m S / u Glo Ev r

Ilustrações: Editoria de arte

Paralelepípedo retângulo.

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Cilindro.

Thinglass/Shutterstock/Glow Images

Em

Pirâmide.

Cone.

Cone.

Dimedrol68/ Shutterstock/Glow Images

Cubo.

Edyta Pawlowska/ Shutterstock/Glow Images

Você já sabe que figuras espaciais são aquelas em que nem todos os pontos estão num mesmo plano. Em nosso cotidiano, muitos objetos lembram uma figura espacial, a começar pelo planeta onde vivemos: a Terra. Veja outros exemplos:

Madle

n /Shu

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w Ima

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PENSE E RESPONDA 1. Escreva no caderno: quantos cubinhos há em cada figura? Figura C. Ilustrações: Editoria de arte

Figura B. Figura A.

Figura D.

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Volume Volume é a medida do espaço ocupado por um sólido, por um líquido ou por um gás. Então, quando tomamos o que o volume:

como unidade de medida para expressar volumes, podemos dizer

• da Figura A é 42

• da Figura C é 24

• da Figura B é 210

• da Figura D é 12

Acompanhe: Primeiro, vamos dividi-lo em cubinhos, para ver de quantos cubinhos é formado o bloco. Ilustrações: Editoria de arte

Como medir o volume deste bloco de concreto?

Observando apenas uma das camadas do bloco, percebemos que são cinco fileiras de 3

53

:

 15

Como o bloco todo possui quatro camadas, temos 4  15

 60

.

Então, podemos dizer que o volume desse bloco é: V  (5  3  4) Para calcular quantos

 60

formam o bloco, multiplicamos o comprimento do bloco por sua lar-

gura e por sua altura. Mais alguns exemplos: • Calcular o volume do cubo a seguir.

• Calcular o volume deste outro cubo.

u u altura u

u altura

u u largura u u u u comprimento

V  (3  3  3)

 33

u comprimento

 27

u largura

V  3 u  3 u  3 u  33 u3  27 u3

 13 1 ou V  1 u  1 u  1 u  13 u3  1 u3

Note, nesses exemplos, que o volume de cada

é 1 u3.

ou

V  (1  1  1)

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1m

1m

Ilustrações: Editoria de arte

No Sistema Métrico Decimal, a unidade fundamental de medida de volume é o , que indicamos por m3. O metro cúbico corresponde ao volume de um cubo com 1 metro de aresta.

1m

Unidades de medida de volume

Além do metro cúbico, existem outras unidades de medida padronizadas para expressar volumes. Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente, com as respectivas abreviações:

Quilômetro cúbico

Hectômetro cúbico

Decâmetro cúbico

Metro cúbico

Decímetro cúbico

Centímetro cúbico

Milímetro cúbico

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

(1 000 m)3

(100 m)3

(10 m)3

(1 m)3

(0,1 m)3

(0,01 m)3

(0,001 m)3

1 000 000 000 m3

1 000 000 m3

1 000 m3

1 m3

0,001 m3

0,000001 m3

0,000000001 m3

As unidades mais utilizadas para expressar volumes, além do eo .

, são o

Veja a seguir alguns exemplos de transformação de unidades. • Transformar 50 000 cm3 em decímetro cúbico.

km3

hm3

dam3

m3

dm3

Como, da direita para a esquerda, cada unidade representa

cm3

mm3

1 da unidade anterior, devemos 1 000

dividir 50 000 cm3 por 1 000. 50 000 cm3  (50 000  1 000) dm3  (50 000  0,001) dm3  50 dm3 • Quantos centímetros cúbicos há em

km3

hm3

1 3 m? 2

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Como, da esquerda para a direita, cada unidade representa 1 000 vezes a unidade seguinte, mul1 3 tiplicamos m por 100  100 (1 000 000). 2 1 3 m  0,5 m3  (0,5  1000 000) cm3  500 000 cm3 2

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Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo

David Santos Jr/Fotoarena

Photodisc/Getty Images

Algumas ruas são calçadas com pedras. Cada uma dessas pedras lembra um sólido geométrico conhecido como .

Rua calçada com paralelepípedo, na cidade de São Paulo. Foto tirada em dezembro de 2013.

S ér

gio

tt Do

/ Th a Jr

eN

ex t

Suponha que a imagem ao lado represente um bloco retangular de pedra, no qual consideramos: • a  comprimento • b  largura

largura b  2,5 m

• c  altura

altura c  2,5 m

comprimento a4m

Esse bloco representa um paralelepípedo retângulo. De modo prático, obtemos o volume de um paralelepípedo retângulo multiplicando suas três dimensões. No caso desse bloco, multiplicando o comprimento (4 m), a largura (2,5 m) e a altura (2,5 m). V  4 m  2,5 m  2,5 m  25 m3 O volume do bloco é 25 m3. Você sabe que um cubo é um paralelepípedo retângulo em que o comprimento, a largura e a altura têm medidas iguais. Essas três dimensões do cubo são dadas pelas medidas das arestas. No cubo, todas as arestas têm mesma medida. Acompanhe o cálculo do volume de um cubo cujas arestas medem 4,3 m.

Dados:

arestas 4,3 m

• comprimento  4,3 m • largura  4,3 m

Editoria de arte

• altura  4,3 m 4,3 m 4,3 m

V  4,3 m  4,3 m  4,3 m  (4,3)3 m3  79,507 m3 O volume do cubo é 79,507 m3.

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ATIVIDADES 6. Devo construir uma piscina de 8 m de com-

Responda às questões no caderno.

1. O cubo colorido de verde, na figura abaixo,

Ilustrações: Editoria de arte

indica a unidade padrão de medida do volume da caixa. Quantas dessas unidades cabem na caixa?

2. (Saresp) Considerando um cubinho como uni-

dade de volume, o volume do paralelepípedo representado na figura abaixo é: a) 10 b) 15 c) 25 d) 30

3. (Saresp) Na figura abaixo tem-se uma caixa sem tampa que foi preenchida com cubos cujos lados medem 1 cm. Qual é o volume dessa caixa?

primento por 5 m de largura e 1,5 m de profundidade. Qual o volume de terra que deve ser retirado?

7. Qual o sólido de maior volume: um cubo de aresta 4 m ou um paralelepípedo retângulo de dimensões 8 m, 4 m e 2 m?

8. Um depósito de material para construção utiliza um caminhão basculante para transportar areia. Quantos metros cúbicos de areia esse caminhão pode carregar, no máximo, sabendo que as dimensões internas da carroceria do caminhão são: • comprimento  3,40 m • largura  2,10 m • altura  0,80 m

9. As dimensões de um tijolo são 0,20 m de comprimento, 0,10 m de largura e 0,05 m de altura. Qual o volume de argila usada para fabricar esse tijolo?

10. Transforme em metros cúbicos: a) 840 dm3 b) 14 500 000 mm3

c) 1 000 dm3

11. Quantos decímetros cúbicos há em: a) 3,5 m3? b) 1 250 cm3? 1 3 c) m? 4

12. Qual

o volume, em decímetros cúbicos, ocupado por um cubo de aresta 1 m?

13. O a) 60 cm3 b) 50 cm3

c) 40 cm3 d) 30 cm3

4. Qual

é o volume de um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são 30 m, 18 m e 12 m?

5. Determine o volume de um cubo de 2,5 m de aresta.

volume máximo que um bujão de gás pode conter é 13,5 dm3. Tendo sido gastos 2 dessa quantidade, quantos decímetros 3 cúbicos de gás ainda restam no bujão?

14. O volume inicial de um tanque é 1 m3 de ar. Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 100 dm3 de ar desse tanque. Após o 7o golpe da bomba, quantos metros cúbicos de ar permanecem no tanque?

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2

Unidades de medida de capacidade

Você se surpreenderia se alguém lhe dissesse que uma caixa em forma de cubo com 1 dm de aresta tem capacidade de 1 litro?

Estúdio MW

PENSE E RESPONDA 1. Você é do tipo que gosta de ver para crer? Construa uma caixa de

papelão em forma de cubo de 1 dm de aresta. O professor poderá orientá-lo na confecção do molde do cubo, que, de preferência, deverá ser feito em papelão bem resistente. Ao montá-lo, fixe as arestas com fita adesiva, tomando o cuidado de deixar livre uma das faces, como mostra a figura. Para que a água não escorra da caixa, o ideal é forrá-la com um saco plástico que se amolde o melhor possível dentro dela. Depois, é só encher uma garrafa de exatamente 1 litro de água e despejar essa água com cuidado no interior da caixa.

Se você e seus colegas fizeram a experiência sugerida, puderam ver que dentro de um recipiente cúbico com 1 dm de aresta cabe exatamente 1 litro de água. Indicamos o litro por L.

SAIBA QUE...

1 dm é o mesmo que 10 cm.

TOME NOTA

1 L  1 dm3

Agora, pense: Se em 1 dm3 cabe 1 litro de água, quantos litros cabem em um recipiente com 1 m3 de capacidade?

Para responder a essa questão, imagine que esse recipiente tenha a forma de um cubo. Para que o volume desse cubo seja 1 m3, as suas arestas devem medir 1 m. Podemos escrever: 1 m3  1 m  1 m  1 m Sabemos que 1 m  10 dm. Logo: 1 m3  10 dm  10 dm  10 dm 1 m3  1 000 dm3 Então:

Vejamos algumas situações em que podemos aplicar essa relação.

1. Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi 36 m3. Quantos litros de água foram consumidos? 36 m3  36 000 dm3 Como 1 dm3  1 L, temos: 36 m3  36 000 dm3  36 000 L Foram consumidos 36 000 litros de água.

Estúdio MW

Como 1 dm3  1 L, cabem 1 000 litros dentro de um recipiente com capacidade de 1 m3.

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Olga Miltsova/Shutterstock/Glow Images

2. Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de vacina, que devem ser colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com a quantidade de vacina fabricada? Como 1 L  1 dm3  10 cm  10 cm  10 cm  1 000 cm3. Temos: 1 400 L  1 400 dm3  (1 400  1 000) cm3  1 400 000 cm3 (1 400 000 cm3)  (35 cm3)  40 000 ampolas Serão obtidas 40 000 ampolas dessa vacina.

Ampolas.

3. Uma caixa-d’água tem a forma de um paralelepípedo retângulo com as seguintes medidas internas: 4 m, 3 m e 1,5 m. Qual a capacidade, em litros, dessa caixa-d’água? Estúdio MW

V  4 m  3 m  1,5 m  18 m3 Passando de m3 para dm3: 18 m3  (18  1 000) dm3  18 000 dm3 Como 1 L  1 dm3, temos: 18 000 dm3  18 000 L A capacidade dessa caixa-d’água é 18 000 L.

ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Uma

piscina tem 10 m de comprimento, 7 m de largura e 2,50 m de profundidade. Quantos litros de água são necessários para encher totalmente essa piscina?

Ilustrações: Editoria de arte

2. (Saresp) Observe a figura abaixo.

0, 80 m

1, 00 m 1, 20 m

O volume de água na caixa é de: a) 0,96 L c) 960 L b) 96 L d) 9 600 L

3. A caixa-d’água de uma casa tem a forma de

um cubo de aresta 1,2 m e está totalmente cheia. Supondo que nessa casa o consumo diário de água seja de 432 L, aproximadamente, quantos dias serão necessários para esvaziar totalmente a caixa-d’água?

4. Na casa de Dora há uma banheira em forma

de um paralelepípedo retângulo com as seguintes medidas internas: 1,6 m de comprimento, 50 cm de largura e 45 cm de altura. a) Quantos litros de água cabem nessa banheira? b) Para tomar um banho, Dora colocou água na banheira até a altura de 30 cm. Quantos litros de água ela colocou na banheira? c) Se cada metro cúbico de água custa R$ 1,50, quanto Dora pagará por esse banho?

5. (Anresc) O aquário indicado na figura abaixo

tem capacidade para 3 litros, ou seja, 3 000 cm3. A medida da largura 10 cm do aquário, em centímetros, é igual a: a) 10 20 cm b) 15 c) 20 d) 30

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CONEXÕES Responda às questões no caderno.

1. O hidrômetro é um instrumento destinado a medir o volume de água que passa por uma

Fotos: Sérgio Dotta Jr/The Next

tubulação. Assim, toda vez que você abre a torneira, usa o chuveiro ou dá descarga, o hidrômetro entra em ação, indicando a quantidade de água que você consome. Para que os hidrômetros sejam comercializados, eles precisam ser avaliados pelo Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial). A unidade de medida utilizada pelos hidrômetros para registrar o consumo de água é o metro cúbico (m3). Os quatro roletes da esquerda indicam a parte inteira dos metros cúbicos (98 m3), os dois roletes da direita indicam os centésimos (marcando 0,67 m3). Dos dois ponteiros, o que fica mais acima indica os milésimos (como está entre sete e oito, temos 0,007 m3), enquanto o ponteiro inferior informa os décimos de milésimos (como está sobre o 7, temos 0,0007 m3) dos metros cúbicos medidos. Assim, o hidrômetro da foto registra 98,6777 m3.

Hidrômetro.

Agora, responda às questões a seguir. a) Expresse essa leitura em litros. b) Qual a leitura indicada em cada hidrômetro a seguir, até décimos de milésimos dos metros cúbicos medidos? Expresse cada medida em litros. Hidrômetro 2 Sérgio Dotta Jr/The Next

Hidrômetro 1

2. A leitura de um hidrômetro feita em um mês assinalou, aproximadamente, 1 946 m3. Um

mês depois, a leitura do mesmo hidrômetro assinalou, aproximadamente, 2 018 m3. Qual foi, em decímetros cúbicos, o consumo de água nesse período?

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FÓRUM Estima-se que no século XXI a água doce será um dos recursos naturais mais disputados do planeta. Isso porque, além de essencial à vida, ela é limitada, desperdiçada, poluída e seu consumo cresce à medida que a população do planeta cresce também. Por conta disso, diversos países vêm adotando medidas para reduzir o consumo de água doce, como regulamentação das válvulas de descarga, da vazão dos chuveiros e do consumo desse recurso por parte da indústria e do agronegócio. No Brasil, por conta das recentes crises hídricas que ameaçaram desabastecer milhões de pessoas, campanhas de conscientização sobre o uso da água doce começaram a ser veiculadas. Multas e descontos começaram a ser aplicados em contas de água para quem, respectivamente, desperdiçasse ou economizasse água, levando empresas de todos os setores a investir em tecnologias para reduzir o consumo de água.

• Tomar banhos mais rápidos. Um banho de 15 minutos com uma ducha com meia-volta de abertura consome cerca de 135 litros de água.

Estúdio MW

No entanto, além de políticas públicas para combater o desperdício, também é necessário que todos façam a sua parte. Veja uma lista com algumas pequenas atitudes que ajudam a reduzir o consumo de água:

• Dar preferência a chuveiros comuns. Uma ducha gasta 3 vezes mais do que um chuveiro.

• Fechar a torneira enquanto escovar os dentes. Escovar os dentes em 5 minutos deixando a torneira aberta desperdiça 12 litros de água, quantidade que poderia ser usada para beber durante 6 dias. A mesma atividade realizada abrindo a torneira apenas para molhar a escova e enxaguar a boca, gasta, em média, 2 litros de água.

• Fechar bem chuveiros e torneiras. Uma torneira mal fechada, pingando, gasta 46 litros de água por dia. Informações obtidas em: <www.cmais.com.br/aloescola/ciencias/ agua-bemlimitado/agua-bemlimitado2.htm>. Acesso em: 16 mar. 2017.

• Quantos litros de água são gastos em um banho de 15 minutos em um chuveiro comum e com meia-volta de abertura?

• Quantos litros de água uma pessoa que fecha a torneira enquanto escova os dentes pode economizar em uma quinzena, considerando que ela escova os dentes quatro vezes por dia?

• Além das medidas apresentadas no texto, que outras atitudes podem ser tomadas pela sociedade (pessoas, empresas e poder público) para se reduzir o consumo de água?

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3

Outras unidades de medida para expressar medida de capacidade

Dentro do Sistema Decimal, além do litro, existem outras unidades de medida para expressar capacidade, que são múltiplos e submúltiplos do litro. Veja:

Quilolitro

Hectolitro

Decalitro

Litro

Decilitro

Centilitro

Mililitro

kL

hL

daL

L

dL

cL

mL

1 000 L

100 L

10 L

1L

0,1 L

0,01 L

0,001 L

(mL), principalmente para ex-

Marcus Cappellano

Sérgio Dotta Jr/The Next

,éo

Sérgio Dotta Jr/The Next

Dentre essas unidades, a mais usada, além do pressar pequenos volumes.

Recortes de embalagens de produtos alimentícios.

Transformação das unidades de medida de capacidade Da esquerda para a direita, cada unidade contém 10 vezes a unidade seguinte. Da direita para a esquerda, cada unidade representa kL

hL

1 da unidade seguinte. 10

daL

L

dL

cL

mL

daL

L

dL

cL

mL

Veja os exemplos: • Expressar 15 L em mililitros.

kL

hL

15 L  (15  10  10  10) mL  (15  1 000) mL  15 000 mL

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• Expressar 330 mL em litros.

kL

hL

daL

L

dL

cL

mL

cL

mL

330 mL  (330  1 000) L  0,33 L • Expressar 250 mL em centímetros cúbicos. Vamos inicialmente transformar 250 mL em L:

kL

hL

daL

L

dL

250 mL  (250  1 000) L  0,25 L Lembrando que 1 L  1 dm3, temos 0,25 L  0,25 dm3. Agora transformamos dm3 em cm3: 0,25 L  0,25 dm3  (0,25  1 000) cm3  250 cm3

m3

dm3

cm3

mm3

250 mL  0,25 L  0,25 dm3  250 cm3

ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. Expresse em litros: a) 1 200 mL b) 85 cL c) 2 hL

d) 87 dm3 e) 3,5 m3 f) 1 cm3

2. Quantos litros cabem em uma lata de 33 cL? 3. Devem ser distribuídos 10 000 L de água em garrafas com capacidade de 250 mL cada uma. Quantas garrafas serão usadas?

4. Devem ser distribuídos 400 L de certa substância líquida em frascos de 50 cm3 cada um. Quantos frascos serão necessários?

5. O volume interno de um reservatório de ga-

solina é 7 500 000 cm3. Quantos litros de gasolina cabem nesse reservatório?

6. O volume interno do tanque de combustível 3 4 de sua capacidade total, quantos litros faltam para encher o tanque? de um automóvel é 0,06 m3. Estando com

7. (UFRN) Se o vazamento de uma torneira enche um copo de 200 mL de água a cada hora, é correto afirmar que, para se desperdiçar 3 m3 de água, são necessários: a) 625 dias. c) 624 dias. b) 626 dias. d) 623 dias.

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DESAFIO Responda às questões no caderno.

Editoria de arte

1. O bloco a seguir tem volume igual a 1 cm3.

1 cm (altura)

Volume do bloco: 1 cm  1 cm  1 cm  1 cm3

1 cm (largura) 1 cm (comprimento)

a) Dobrando apenas a altura do bloco, o que acontece com o volume? b) O que aconteceria com o volume do bloco, se dobrássemos apenas a largura? E se fosse dobrado apenas o comprimento? c) O que aconteceria com o volume, se dobrássemos ao mesmo tempo a altura, a largura e o comprimento do bloco?

2. Para tirar água de um poço, você possui apenas dois baldes: um de 5 litros e um de 3 litros. Você Ilustrações: Estúdio MW

precisa ficar, exatamente, com 1 litro de água. Como fazer isso?

3. Márcia está preparando um bolo. Ela já mediu quase todos os ingredientes, faltando apenas 300 mL de leite. Márcia não sabe como medir essa quantidade, pois os únicos recipientes de que dispõe são uma jarra de 500 mL e um copo de 200 mL. O que você faria se estivesse no lugar de Márcia?

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno.

1. (Saresp) Um recipiente de plástico, de forma cúbica, tem o volume de 1 331 cm3. Podemos dizer que nesse recipiente cabe: a) menos que 1 litro de água. b) entre 1 litro e 1 litro e meio de água. c) entre 1 litro e meio e 2 litros de água. d) mais que dois litros de água.

2. Um sólido é formado por 6 camadas de cubos.

Em cada camada, estão 8 cubos idênticos. Se cada cubo tiver 10 cm de aresta, qual será o volume desse sólido?

6. Um reservatório tem a forma de um paralele-

pípedo retângulo, com 5 m de comprimento, 1,20 m de largura e 1,20 m de altura. O reservatório está totalmente cheio de água. Por efeito da evaporação, o nível da água baixou 5 cm. Quantos metros cúbicos de água restaram após a evaporação?

7. O volume da caixa-d’água de um prédio é

105 m3. Sabendo que o consumo diário do prédio, em média, corresponde aos 4 da 5 capacidade da caixa, calcule quantos litros de água são consumidos, em média, por dia, nesse prédio.

8. Uma empresa comprou 100 barris, sendo que

cada barril continha 120 L de óleo. A quantidade de óleo deverá ser colocada em recipientes que têm 750 mL de capacidade. Quantos recipientes serão necessários?

9. Quantos paralelepípedos retângulos de dimen-

sólido tem um volume que corresponde aos 5 do volume do primeiro. Qual é o volume 8 do segundo sólido?

4. Uma

família consome 750 mL de suco de laranja em cada refeição. Em uma semana, considerando-se que a família faz 2 refeições diárias, quantos litros de suco serão consumidos?

10. Um cubo A tem 2 cm de aresta. Um cubo B 1 cm de aresta. Quantas vezes o cubo 2 B cabe no cubo A?

tem

11. (OBMEP) Quantos copos de 130 mililitros é

possível encher, até a borda, com dois litros de água? Ilustrações: Estúdio MW

3. Um sólido tem 1,2 m3 de volume. Um segundo

sões 2 cm, 1,5 cm e 1 cm cada um são necessários para preencher totalmente o interior de uma caixa na forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 6 cm, 3 cm e 2 cm?

5. (Saeb) Uma torneira desperdiça 125 mL de água durante 1 hora. Quantos litros de água desperdiçará em 24 horas? a) 1,5 L c) 15,0 L b) 3,0 L d) 30,00 L

a) 11 b) 12

c) 13 d) 14

e) 15

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12. (OBM)

Ilustrações: Editoria de Arte

Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas na parte de cima, pregando duas placas retangulares de 600 cm2 cada uma, duas placas retangulares de 1 200 cm2 cada uma e uma placa retangular de 800 cm2, conforme representado no desenho.

Qual é o volume, em litros, da caixa? Note que 1 litro  1 000 cm3.

14. Um reservatório, cujo volume é 10 m3, estava

totalmente cheio, quando dele foram retirados 2 200 L de água. Numa segunda vez, 1 foi retirado da quantidade de água que 3 restou. Quantos litros ainda restaram nesse reservatório?

15. (OBMEP) Cada uma das 5 xícaras da figura está cheia só com café, só com leite ou só com suco. No total, a quantidade de café é o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais as xícaras que contêm leite?

13. Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 se-

I

gundos. Sabendo que 1 hora equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos, e admitindo que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2 cm3, qual o volume, em decímetros cúbicos, de água que vaza em uma hora?

II

950 mL

III 550 mL

750 mL

IV 475 mL

V 325 mL

a) Apenas a xícara I. b) As xícaras III e IV. c) As xícaras II e V. d) As xícaras III e V. e) As xícaras IV e V.

UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, ampliamos nossos conhecimentos sobre o volume que um corpo ocupa no espaço e a capacidade de armazenamento que esse corpo tem em seu interior. Estudamos duas medidas fundamentais, a medida de volume, o metro cúbico (m3), e a medida de capacidade, o litro (L). Estudamos, também, os submúltiplos e múltiplos do m3 e do L, bem como as estratégias relacionadas à conversão de medidas. Vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 8: • Qual é a unidade fundamental de medida de volume? • Como medimos o volume de um paralelepípedo? • Qual é a diferença entre volume e capacidade? • Qual é a função do hidrômetro utilizado em sua residência? • Houve alguma mudança na sua postura em relação à pergunta feita na abertura da unidade, sobre deixar as coisas sujas ou gastar água?

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UNID A DE

10

PORCENTAGEM E PROBABILIDADE Utilizamos a ideia de favoritismo em vários momentos de nosso cotidiano, principalmente na área de esportes, afinal, quem nunca conversou sobre qual time tem maior chance de ganhar um campeonato? Um time é tido como favorito quando a maioria das pessoas acha que a chance de ele ganhar um campeonato é maior que a dos outros, mas geralmente mais de um time entra em um campeonato como favorito, por isso é importante traduzir em números essa chance. Para essa situação, podemos calcular a probabilidade e expressá-la em porcentagem. Essa porcentagem nos indica quão provável é a ocorrência de determinando evento. Por exemplo, um time que tenha 15% de probabilidade de ganhar um campeonato, provavelmente não vem jogando bem. Responda às questões no caderno. • De acordo com a imagem ao lado, quais clubes você diria que tiveram maior chance de ganhar o campeonato? • Pesquise qual foi o clube campeão. Esse clube estava na sua lista de favoritos? Por quê? • Como calculamos uma probabilidade? Além de porcentagem, há quais outras formas de se representar uma probabilidade? • Em que outras situações de seu cotidiano você estima chances?

@ MAIS

Acesse o link <http://ftd.li/c25oij> e leia um pouco sobre a história do futebol no Brasil.

MÉXICO CLUBE

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Santos Laguna León Monarcas Morelia

Primeiro Segundo Terceiro

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

112,2 120,5 126,2

0 0 0

COPA LIBERTADORES DA AMÉRICA PAÍS

TÍTULOS

VICES

Argentina Brasil Uruguai Paraguai Colômbia Chile Equador Peru México Bolívia Venezuela

23 17 8 3 2 1 1 0 0 0 0

9 15 8 5 7 5 2 2 2 0 0

PERU CLUBE

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Universitario Real Garcilaso Sporting Cristal

Primeiro Segundo Terceiro

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

36,2 30,9 38,5

0 0 0

CHILE CLUBE

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Unión Española O'Higgins Universidad de Chile

Primeiro Quarto Quinto

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

41,8 59,1 98,9

0 0 0

• De acordo com o texto, quando foi disputado o primeiro Campeonato Brasileiro e qual foi o time vencedor?

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COLÔMBIA CLUBE

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Atlético Nacional Deportivo Cali Santa Fe

Primeiro Segundo Terceiroº

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

91,0 83,7 100,9

1 0 0

VENEZUELA CLUBE

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Zamora Deportivo Anzoátegui Caracas

Primeiro Segundo Terceiro

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

29,2 32,5 35,9

0 0 0

EQUADOR CLUBE

BRASIL

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Emelec Independiente del Valle Deportivo Quito

CLUBE

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

Primeiro

90,0

0

Segundo

97,3

0

Terceiro

80,0

0

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Atlético Mineiro

8º (Campeão da Copa

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

175,3

1

230,1 148,7 144,4 109,2 143,4

2 1 2 0 0

Libertadores 2013)

Cruzeiro Flamengo Grêmio Atlético Paranaense Botafogo

Primeiro Décimo sexto Segundo Terceiro Quarto

BOLÍVIA CLUBE

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Bolívar The Strongest Oriente Petrolero

URUGUAI

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

32,9 29,9 34,5

Primeiro Segundo Terceiro

CLUBE

0 0 0

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Peñarol Defensor Sporting Nacional

Primeiro Segundo Terceiro

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

75,0 62,4 69,7

5 0 3

ARGENTINA CLUBE

No ano de 2013

Vélez Sársfield Newell's Old Boys San Lorenzo Arsenal de Sarandí Lanús

PARAGUAI

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO

CLUBE

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto

149,4 119,5 145,7 112,9 119,5

1 0 0 0 0

Fonte: <http://pluriconsultoria. com.br/uploads/relatorios/pluri%20 especial%20%20valor%20clubes%20 libertadores%202014.pdf>; <http://www.futebol.com/>. Acesso em: 28 maio 2015.

CLASSIFICAÇÃO VALOR DE NÚMERO NO CAMPEONATO MERCADO DE VEZES NACIONAL DO ELENCO CAMPEÃO No ano de 2013

Cerro Porteño Nacional Guaraní

Primeiro Quinto Quarto

Total em R$ Até o ano milhões em 2013 de 2013

68,1 49,8 43,2

0 0 0

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1

Porcentagem

Ilustrações: Estúdio MW

Com muita frequência, de alguma maneira, você já se deparou com a expressão “por cento” em seu dia a dia. Essa expressão está nas notícias veiculadas em jornais ou na TV, em ofertas comerciais e nos bate-papos diários com a família ou os amigos. JÁ ENVIAMOS 80% DOS 1 000 VENTILADORES ENCOMENDADOS.

Isso quer dizer que de uma encomenda de 1 000 ventiladores já foram enviados 800.

Relacionando a expressão “por cento” (%) com as frações de denominador 100 e as respectivas formas decimais, temos, por exemplo:

Isso significa que o comprador tem um desconto de 40 reais para cada 100 reais no preço de qualquer artigo.

Taxa percentual

Fração percentual

Forma decimal

80%

80 100

0,80

40%

40 100

0,40

Resolvendo problemas com porcentagem Veja, a seguir, algumas situações de aplicação do conceito de porcentagem.

1. NESTA CLASSE HÁ 28 ALUNOS.

OITO ALUNOS USAM ÓCULOS.

O NÚMERO DE ALUNOS QUE USAM ÓCULOS REPRESENTA QUANTOS POR CENTO DO NÚMERO TOTAL DE ALUNOS DA CLASSE?

No capítulo de razões, já vimos que: 8 0,286  100 28,6  0,286    28,6% 28 100 100 razão percentual

Aproximadamente 28,6% (vinte e oito vírgula seis por cento) dos alunos dessa classe usam óculos.

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2. Comprei 60 figurinhas. Aproveitei 75% dessas figurinhas colando-as no meu álbum. Quantas figurinhas eu colei no álbum? Pelo problema, devemos achar o número que representa 75% (setenta e cinco por cento) de 60. Representando esse número por x, temos: x  75% de 60 Como 75%  0,75, fazemos: x  0,75 de 60  0,75  60  45 Logo, colei 45 figurinhas no meu álbum.

Ilustrações: Estúdio MW

3. Em certa cidade, cuja população é de aproximadamente 110 000 habitantes, verificou-se que 12,5% desses habitantes têm mais de 60 anos. Quantos habitantes dessa cidade têm 60 anos ou menos?

Vamos representar por x o número de habitantes da cidade que têm mais de 60 anos. Assim: x  12,5% de 110 000  0,125  110 000  13 750 Como queremos descobrir o número de habitantes que têm 60 anos ou menos, precisamos ainda subtrair do total de habitantes o número de pessoas com mais de 60 anos: 110 000  13 750  96 250 Então, nessa cidade, 96 250 habitantes têm 60 anos ou menos. Podemos resolver este problema de outro modo. Veja: O total de habitantes representa 100% da população. Sabemos que 12,5% dessa população tem mais de 60 anos. Então, podemos achar a taxa percentual da população que tem 60 anos ou menos: 100%  12,5%  87,5% taxa percentual de habitantes com 60 anos ou menos Agora, já sabemos que 87,5% dessa população tem 60 anos ou menos. Então, podemos determinar o número de habitantes que essa taxa percentual representa: 87,5% de 110 000  0,875  110 000  96 250 Note que obtemos o mesmo número de habitantes de antes: 96 250 pessoas.

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FÓRUM Nós já consumimos 30% mais recursos naturais do que a capacidade de renovação da Terra. Se os padrões de consumo e produção se mantiverem no mesmo ritmo, em menos de 50 anos serão necessários dois planetas Terra para atender nossas necessidades de água, energia e alimentos. Uma das maneiras para mudar isso podem ser nossas escolhas de consumo. Um consumidor consciente é aquele que equilibra as satisfações pessoais com a sustentabilidade e por isso procura adquirir produtos de procedência ética e de empresas comprometidas com a saúde humana e animal, a preservação do meio ambiente, com as relações justas de trabalho, com a sociedade e o bem-comum. Ele também sabe o valor do dinheiro, equilibra a relação custo-benefício de suas compras e conhece seus direitos como consumidor. Informações obtidas em: <http://www.mma.gov.br/responsabilidade-socioambiental/producao-e-consumo-sustentavel/consumo-consciente-de-embalagem/quem-e-o-consumidor-consciente>. Acesso em: 22 mar. 2017

• Junto com os colegas, discutam e elaborem uma lista de perguntas que devem ser feitas no momento da compra de algum produto para ajudá-los a consumir de maneira consciente. Depois, mostre essa lista a seus familiares e amigos e ajude-os a ser também consumidores conscientes.

ATIVIDADES Responda às questões no caderno.

1. De acordo com os Primeiros Resultados Defi-

nitivos do Censo 2010 — IBGE, a população da região Norte era de aproximadamente 15,9 milhões de habitantes em 2010. O Pará, estado mais populoso dessa região, possuía cerca de 7,6 milhões de habitantes nesse ano. Informações obtidas em: <http://saladeimprensa. ibge.gov.br/noticias?view=noticia&id=1&idnoticia=1766>. Acesso em: 13 mar. 2015.

Com base nessas informações, podemos dizer que a população do Pará representa aproximadamente quantos por cento da população total da região Norte? 2. O campeonato de voleibol da escola de André terminou. O clube A ganhou 24 jogos dos 30 jogos que disputou; e o clube B ganhou 21 jogos dos 28 que disputou. a) Expresse o desempenho de cada clube com uma taxa percentual. b) Qual dos clubes apresentou o melhor desempenho?

3. O rádio ainda é o meio de comunicação de

maior abrangência e cobertura do Brasil, além de continuar sendo um veículo de comunicação de muita credibilidade. De acordo com o censo de 2010, o IBGE recenseou cerca de 57 milhões de domicílios particulares permanentes do Brasil, cerca de

82% possuíam rádio. Quantos desses domicílios aproximadamente possuíam rádio no Brasil nesse ano? Informações obtidas em: <http://7a12.ibge.gov.br/vamosconhecer-o-brasil/nosso-povo/familias-e-domicilios>. Acesso em: 14 mar. 2015.

4. Numa

competição esportiva, uma equipe ganhou 80 medalhas, sendo 25% de ouro, 35% de prata e o restante de bronze. Qual o número de medalhas de bronze que essa equipe ganhou? 5. O chuveiro é um dos itens de grande consumo de energia elétrica e de água. Preocupado com o preço alto das contas de água e luz, Ricardo percebeu que se ele reduzisse o tempo do banho diário em 1 minuto, a conta de energia elétrica teria uma redução de 5% e a de água, 3%. Responda: a) Considerando a proporção citada, observe o quadro abaixo e determine os valores de A, B, C e D. Tempo de duração do banho

10 7 5 minutos minutos minutos

Conta de energia elétrica

R$ 63,00

A

C

Conta de água

R$ 30,00

B

D

b) E, no seu banho, quantos minutos o chuveiro fica ligado? Você acha que é possível economizar alguns minutos em seu banho?

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Possibilidades

Opções

Opções de

de suco lanche natural Bárbara e Giovana foram a uma lanchonete para cada uma delas tomar um suco e comer um lanche natural. Pediram o cardápio e verificaram que podiam escolher entre três tipos de suco (laranja, melancia e uva) e dois tipos de lanche natural (simples ou completo). De quantas maneiras diferentes elas podem escolher um suco e um lanche? Para responder a essa questão, vamos organizar todas as opções em um diagrama, que é chamado árvore de possibilidades. Observando o diagrama ao lado, percebemos que as meninas podem escolher um suco e um lanche de 6 maneiras diferentes. Cada opção de suco pode ser combinada com cada opção de lanche natural. Como são 3 tipos de suco e 2 tipos de lanche natural, fazemos a seguinte multiplicação para encontrar todas as possibilidades: número de opções de suco

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Ilustrações: Estúdio MW

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Possibilidades

número de possibilidades

número de opções de lanche natural

Ilustrações: Estúdio MW

1. Bernardo é o técnico do time masculino de handebol da escola de Mari. Ele tem de mandar confeccionar os uniformes do time para o campeonato que vai acontecer no fim do ano. Como as cores da escola são azul, amarela, vermelha e branca, a empresa que vai confeccionar os uniformes deu as seguintes opções de escolha para Bernardo: Organize essas opções em uma árvore de possibilidades e responda às questões no caderno:

camiseta vermelha

camiseta amarela

camiseta branca

shorts branco com listras azuis

shorts azul com listra branca

shorts azul com listras brancas e amarela

shorts azul com listras vermelhas

a) De quantas maneiras diferentes Bernardo pode montar um uniforme com uma camiseta e um shorts? b) Do total de possibilidades, quantos uniformes podem ser formados com a camiseta branca? E com o shorts azul com listras vermelhas?

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2

Probabilidade

Estúdio MW

Acompanhe a situação a seguir: A professora Leila colocou em uma urna 15 bolinhas azuis, 25 bolinhas vermelhas e 10 bolinhas amarelas, todas de mesmo tamanho. Ela chamou Artur para ajudá-la e solicitou a ele que retirasse, sem olhar, uma bola da urna, mas antes perguntou aos outros alunos qual cor de bolinha teria a maior chance de ser retirada por Artur. Os alunos responderam que a chance de Artur retirar uma bolinha vermelha era maior, pois havia mais bolinhas vermelhas na urna, assim como a chance de retirar uma bolinha amarela era menor, pois elas estavam em menor quantidade. Depois, a professora perguntou qual era a probabilidade de Artur sortear uma bolinha amarela.

Para conseguir calcular a probabilidade de Artur retirar uma bolinha amarela, precisamos determinar a quantidade de bolinhas que há na urna. Ao todo são 50 bolinhas, então Artur tem 10 possibilidades em 50. Podemos dizer que a probabilidade de Artur retirar uma bolinha amarela é 10 em 50. A probabilidade (P) é dada pela razão entre o número de possibilidades favoráveis e o número total de possibilidades: P  número de possibilidades favoráveis número total de possibilidades Essa probabilidade pode ser representada das seguintes maneiras: 10 10 1 • 50 dez em cinquenta • 50  5  0,2 1 10 20 • 50  100  20% • 5 uma em cinco No caso desse exemplo, há 10 bolinhas amarelas na urna, logo o número de possibilidades favoráveis de Artur retirar uma bolinha amarela é 10 e, como ao todo há 50 bolinhas na urna, o número total de possibilidades é 50. Portanto, a probabilidade de Artur retirar uma bolinha amarela da urna é de 20%. Podemos pensar também na probabilidade de Artur retirar uma bolinha azul ou na probabilidade de retirar uma bolinha vermelha.

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Para calcular a probabilidade de Artur retirar uma bolinha azul, primeiro temos de determinar o número de possibilidades favoráveis, que é a quantidade de bolinhas azuis, e o número total de possibilidades, que é a quantidade de bolinhas na urna. Logo, 15 possibilidades em 50, ou seja: 15 3 Pretirar uma bolinha azul  50  10  30% Como a quantidade de bolinhas vermelhas é 25, esse é o número de possibilidades favoráveis de Artur retirar uma bolinha vermelha e sua probabilidade é dada por: 25 1 Pretirar uma bolinha vermelha  50  2  50% Como o número de possibilidades favoráveis pode ser, no máximo, igual ao número total de possibilidades, temos que a probabilidade de um determinado evento acontecer pode ser no máximo 1, ou seja, 100%. Retomando o caso das bolinhas, notamos que Artur só pode retirar uma bolinha amarela, azul ou vermelha. Se somarmos cada uma das probabilidades calculadas anteriormente, temos: Pretirar uma bolinha amarela  Pretirar uma bolinha azul  Pretirar uma bolinha vermelha  20%  30%  50%  100%

ATIVIDADES 1. Qual a probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda ao ar?

2. Calcule a probabilidade de obter um número menor que 3 no lançamento de um dado honesto.

SAIBA QUE...

Chamamos de dado honesto aquele cuja probabilidade de ocorrência de qualquer face é a mesma.

3. Cláudia irá lançar um dado honesto, calcule a probabilidade de Cláudia obter: a) um número par. b) um número maior que 2. c) um número menor que 4.

5. (Saresp)

Miriam organizou um sorteio de amigo oculto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro de um saco. Miriam, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A probabilidade de Miriam retirar seu próprio nome é:

2 1 2 1 b) c) d) 10 2 3 10 6. (Saresp) As cartas abaixo serão colocadas numa caixa e uma será retirada ao acaso. a)

Estúdio MW

Responda às questões no caderno.

4. Na

classe de Patrícia há 12 meninas e 18 meninos. Duas meninas são xarás, ambas se chamam Juliana e três dos meninos são ruivos. Serão sorteados um menino e uma menina para representar a turma nos preparativos da festa junina da escola. a) Qual a probabilidade de Patrícia ser sorteada? b) Qual a probabilidade de ser sorteada uma Juliana? c) Qual a probabilidade de ser sorteado um dos meninos ruivos?

A probabilidade de a carta retirada ter a figura de uma pessoa é a)

1 3

b)

1 4

c)

2 3

d)

2 5

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CONEXÕES 1. Pesquisas mostram que o número de cientistas do sexo feminino é praticamente o mesmo do gênero masculino. Confira, na tabela, dados que mostram a participação feminina e masculina em diversas áreas do conhecimento. Distribuição de pesquisadores por sexo, segundo área do conhecimento

Área do conhecimento

Masculino

Feminino

Medicina

49%

51%

Biologia Geral

48%

52%

Medicina Veterinária

53%

47%

Física

80%

20%

Serviço Social

19%

81%

Enfermagem

13%

87%

Mecânica

86%

14%

Demografia

49%

51%

Informações obtidas em: <www.cnpq.br/web/guest/noticiasviews/_/journal_content/56_INSTANCE_a6M0/10157/905361>. Acesso em: 28 jan. 2015.

De acordo com a tabela, responda no caderno: No Brasil, em quais áreas do conhecimento, a participação feminina é maior que a masculina?

2. O Brasil teve três grandes campeões na Fórmula 1: Jorge Araújo/Folhapress

Michael King/Getty Images

Hulton-Deutsch Collection/Corbis/Latinstock

Nelson Piquet, campeão em 1981, 1983 e 1987.

Emerson Fittipaldi, campeão em 1972 e 1974.

Ayrton Senna, campeão em 1988, 1990 e 1991.

A tabela seguinte mostra o desempenho desses pilotos. Resumo da atuação dos campeões brasileiros de Fórmula 1

Piloto Grandes Prêmios (GPs) disputados Vitórias Títulos

Emerson Fittipaldi

Nelson Piquet

Ayrton Senna

144

204

161

14

23

41

2

3

3

Informações obtidas em: <www.portalbrasil.net/formula1_estatisticas.htm>. Acesso em: 28 jan. 2015.

De acordo com essa tabela, responda no caderno: a) Aproximadamente, de quantos por cento foi a taxa de vitórias de cada um em relação ao número de GPs disputados? b) Qual deles teve melhor índice de aproveitamento?

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA Educação financeira afeta comportamento dos jovens Diário do Grande ABC Publicado em 09 de maio de 2011

Pesquisa divulgada hoje pelo Banco Mundial durante o workshop “Avaliação de Impacto do Projeto Educação Financeira nas Escolas em 2010”, realizado no Rio de Janeiro, revela que o ensino de educação financeira nas escolas afeta positivamente o conhecimento sobre a economia e o comportamento dos jovens brasileiros. [...] As conclusões vieram de um estudo que ouviu quase 27 mil estudantes do Ensino Médio de 900 escolas públicas do Brasil, todos participantes da primeira fase do programa piloto de educação financeira da Enef (Estratégia Nacional de Educação Financeira) — uma iniciativa da qual a BM&FBovespa é uma das principais patrocinadoras. A pesquisa, que envolveu escolas dos estados de São Paulo, Rio de Janeiro, Ceará, Tocantins, Distrito Federal e Minas Gerais, foi realizada em duas fases. Na primeira, em agosto do ano passado, os jovens e seus pais responderam a um questionário com cerca de 150 perguntas a fim de mensurar a percepção de conhecimento e atitudes em relação ao dinheiro. Ficou constatado, por exemplo, que 63,1% dos entrevistados costumam direcionar seus recursos com a compra de roupas, seguido por: lazer (45,7%), lanches (37,1%), alimentação (23,4%) e transporte (18,8%). Ainda na esfera do consumo, o levantamento informou que apenas 61% negociam a forma de pagamento, e 35% dos estudantes não pesquisam modelos ou marcas semelhantes antes de comprar. Os hábitos de poupança também foram avaliados: somente 15,7% costumam guardar dinheiro para projetos futuros. Fonte: <www.dgabc.com.br/News/5884739/educacao-financeira-afeta-comportamento-dos-jovens.aspx>. Acesso em: 13 mar. 2015.

De acordo com os trechos da notícia e com base nos seus conhecimentos sobre porcentagens, responda às questões no caderno.

1. Adicionando as taxas percentuais referentes a cada categoria de gasto, obtemos um número maior que 100%. Por que isso acontece? 2. Comparando a taxa percentual de estudantes que investem parte de seu dinheiro em roupas com a de estudantes que costumam guardar dinheiro para projetos futuros, o que você pode concluir? 3. Dos 27 mil estudantes pesquisados, quantos aproximadamente não negociam a forma de pagamento? 4. Aproximadamente, quantos estudantes não pesquisam modelos ou marcas semelhantes antes de comprar? 5. Qual é a importância de pesquisar preços e negociar a forma de pagamento?

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RETOMANDO O QUE APRENDEU 3. (Saresp) Duas mil pessoas foram entrevistadas

Responda às questões no caderno.

1. A América do Sul tem uma superfície de cerca de 18 milhões de quilômetros quadrados. O Brasil, que é o maior país da América do Sul, tem uma superfície aproximada de 8,5 milhões de quilômetros quadrados. Isso significa que o Brasil ocupa, aproximadamente, quantos por cento da América do Sul? a) 42% c) 45% e) 49% b) 44% d) 47%

2. Por aquecimento, o comprimento de uma 7 em relação 2 000 ao valor inicial. Isso significa que o aumento do comprimento é de: a) 1% d) 0,55% b) 0,7% c) 0,62% e) 0,35% barra de ferro aumenta

sobre o controle externo na programação da televisão. O resultado obtido foi:

• 75% foram favoráveis; • 10% não responderam; • 15% discordaram. Indique o gráfico que representa o resultado dessa pesquisa. a) b) c) d) 10%

75%

10%

75%

15%

10%

10%

15% 75%

15% 15%

75%

4. (Saresp)

Luís comprou uma bicicleta por R$ 180,00 e deseja vendê-la com um lucro de 5% para compensar alguns gastos que teve com a manutenção da bicicleta. O preço de venda será: a) R$ 171,00 c) R$ 189,00 b) R$ 185,00 d) R$ 270,00

UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, estudamos porcentagens e suas aplicações no conceito de probabilidade, na análise de dados e na Educação financeira. Na abertura desta unidade, refletimos sobre favoritismo, chances e probabilidade. Retome a abertura e compare a definição de probabilidade que você estudou nesta Unidade com a chance trabalhada inicialmente. Você percebe que, quando tratamos de times e campeonatos, os dados são calculadas de maneira intuitiva e não pela razão de probabilidade? Vamos agora refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade. Responda no caderno. • Como o conceito de porcentagem se relaciona com o conceito de razão? • Como a porcentagem se aplica no seu cotidiano? • A porcentagem é importante em uma boa organização financeira? • Elabore um quadro com seus gastos semanais e mensais. Para isso, copie, no caderno, o modelo abaixo:

Tipo de gasto

Valor (em reais)

Valor percentual

Alimentação Diversão Roupas

Você pode trocar ou acrescentar itens à vontade no seu quadro. Você consegue identificar algum excesso ou alguma possível economia?

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TECNOLOGIAS Você provavelmente já ouviu falar ou até mesmo faz uso de redes sociais, certo? Elas se tornaram muito populares no mundo, e hoje, em alguns lugares, chega a ser difícil encontrar alguém que não tenha ou que não queira ter um perfil em alguma delas.

Andresr/Shutterstock/GlowImages

Estatística e redes sociais

Existem redes de vários temas: de amigos, de filmes, fotos, textos, locais, empregos e muitas outras. Todas elas, porém, possuem um ponto em comum: você precisa montar seu perfil para ser um membro. Na montagem do perfil você informa seus dados pessoais, coisas de que gosta, que costuma fazer etc. Ao fazer os famosos check-ins, você mostra para seus contatos em que lugar você está. Ao postar fotos e inserir hashtags (palavras que costumam ser antecedidas pelo símbolo # e que têm como função inserir o conteúdo que a acompanha em um grupo maior de assuntos com o mesmo tema, ou seja, com a mesma hashtag) seu perfil entra em um ranking mundial de palavras associadas. Ou seja, toda sua movimentação nas redes está registrada e vinculada ao seu perfil online. Todos esses dados podem servir para estudos comportamentais. Você já viu surgir em sua tela alguma propaganda que, por acaso, tem a ver com aquilo que você estava buscando pouco tempo antes? Algum produto que você gostaria de comprar? Essa estratégia de marketing é elaborada através de um estudo de perfil de usuário. A sua navegação na internet gera dados, e algumas redes podem oferecer esses dados para empresas de marketing, porém os dados privados como endereço, senha, telefone, entre outros, devem ser preservados. Com isso, é possível gerar relatórios com um perfil de usuário e, então, elaborar a propaganda ou vender o produto ideal para determinado grupo.

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Que tal agora você fazer um estudo com seus amigos? Vamos tentar traçar um perfil comum de pessoas que estão nas suas redes? Siga os passos abaixo.

1. Escolha uma das redes sociais que costuma usar com maior frequência. Caso não utilize nenhuma rede social, reúna-se com um colega que possui um perfil em uma delas. 2. Na rede social, vá em “Amigos” (ou no local onde ficam listados os seus contatos). 3. Escolha seus primeiros 20 contatos. Se quiser aumentar a amostra, escolha um número maior. 4. Monte uma planilha. 5. Em “Sobre” (ou no local onde ficam as informações pessoais de cada perfil) será possível encontrar os principais dados do perfil de seus contatos. 6. Na planilha, vá preenchendo os espaços de acordo com as orientações a seguir (alguns dados podem não constar). a) Nome: insira o nome do amigo. b) Local: escolha local de nascimento ou de residência. c) Amigos em comum: liste o número de amigos em comum. d) Música: de todas as músicas listadas, considere o gênero que mais aparece. Faça o mesmo para filmes, programas de TV e livros. e) Eventos: veja se alguma atividade aparece com maior frequência. f) Lembre-se de preservar os dados sigilosos (nome completo, endereço, telefone, CEP e foto). Não os divulgue. Por fim, encontre os pontos em comum, produza gráficos e faça um relatório mostrando uma descrição estatística dos perfis estudados. Você pode usar estatísticas de proporção e dados na forma de taxa percentual. Apresente o relatório para o professor e para os colegas de classe.

@ MULTILETRAMENTOS Redes sociais (mapeamento de perfis) Nesta unidade você conheceu um pouco sobre a Álgebra e sua linguagem, estudando expressões algébricas e, mais especificamente, equações do 1o. grau. Viu também que as equações podem ser utilizadas para resolver diversas situações-problema do dia a dia. Na seção Tecnologias, você trabalhou com análise de perfis de redes sociais, levantamento de dados e elaboração de gráficos e de relatório. A partir do material com que você trabalhou, é possível criar situações-problema e representá-las algebricamente. Então, que tal organizarmos uma Gincana de Matemática, tendo como base as informações reais das redes sociais para a construção de situações-problema que envolvam expressões algébricas? Prepare-se, pois o desafio é elaborar situações e desafiar os colegas, mas também resolver os desafios propostos por eles. Monte sua equipe e mãos à obra! No espaço virtual @multiletramentos você encontrará mais informações!

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Athos matematica  
Athos matematica