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De la spirale à l’ondulation
La spirale
LA SPIRALE LOGARITHMIQUE
« Un vertige : celui de la rotation. Un désir : celui de l’expansion. » André Deledicq*. Une spirale est une figure plane qui part d’un point et tourne autour de ce point d’une façon uniforme. On peut la décrire également comme une trajectoire d’un point qui s’éloigne en tournant. Du point de vue géométrique, elle est énoncée par une fonction continue qui permet de calculer son rayon r en fonction de l’angle θ. On parle de coordonnées polaires. Une spirale a une infinité de spires car le rayon augmente indéfiniment avec l’angle. Il existe plusieurs types de spirales à deux dimensions, avec des fonctions différentes qui définissent le rayon en fonction de l’angle. La spirale d’Archimède et la spirale logarithmique en sont deux cas particuliers.
LA SPIRALE D’ARCHIMÈDE** Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en additionnant au précédent un nombre constant, appelé raison. Dans la spirale d’Archimède, les spires s’éloignent du centre selon une progression arithmétique. La fonction s’écrit de la façon suivante : r = a θ r étant le rayon et θ l'angle. Cela signifie que la distance entre un point de la spirale et le centre est proportionnelle à l’angle de rotation. Plus on suit la spirale, plus on s’éloigne du centre. La distance entre chaque spire est constante. C’est la plus simple des spirales, mais ce n’est pas celle-ci que l’on retrouve dans le monde vivant.
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un coefficient constant, appelé raison. Dans la spirale logarithmique, les spires s’éloignent du centre selon une progression géométrique. La fonction s’écrit de la façon suivante : r = ab θ La distance entre un point de la spirale et le centre croit avec l’angle de rotation. Plus on suit la spirale, plus on s’éloigne du centre. La distance entre chaque spire augmente constamment. La spirale logarithmique a été étudiée initialement en 1792 par un mathématicien suisse, Jacques Bernouilli, qui l’a appelée « spira mirabilis », ce qui montre assez l’intérêt qu’il lui portait. La spirale est dessinée par un point qui s’éloigne constamment d’un centre tout en lui restant dépendant, autrement dit elle assure une extension en préservant l’unité du tout. Elle se dilate autour d’un point initial. Cette spirale est la forme qui se prête le mieux à la croissance régulière d’un organisme vivant, c’est pourquoi on la retrouve si souvent, aussi bien dans le monde végétal qu’animal. Si certaines plantes présentent une croissante en ligne droite, comme les cactus en forme de cierge, ou se gonflent en gardant une forme sphérique, comme d’autres cactus boules, les processus de croissance sont la plupart du temps moins homogènes. Si la spirale est une forme qui convient particulièrement bien à la vie, c’est également par son rapport privilégié au temps : le point qui suit la courbe décrit un mouvement, il suggère une vitesse. C’est une forme qui dépasse le monde de l’inerte par son dynamisme. La spirale est fluide comme un liquide, et elle est ouverte sur l’infini. Ce sont sans doute toutes ces propriétés qui la rendent si attrayantes et qui ont tant inspiré les artistes depuis les premières heures de l’humanité.
Voici une des manières de dessiner facilement une spirale de Fibonacci, avec une légère approximation : on construit un carré de côté 1, puis un 2e carré adjacent de côté 1, puis un 3 carré dont le côté est la somme des 2 premiers, et ainsi de suite. Les côtés des différents carrés ont pour valeur 1. 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21, etc. comme une suite de Fibonacci. Ensuite nous traçons un arc de cercle dans chaque carré, dont le rayon est égal au côté du carré. e
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Une spirale logarithmique est une homothétie : elle peut s’étendre indéfiniment vers l’extérieur ou vers l’intérieur, en gardant toujours la même forme, quelle que soit sa dimension. Dans une plante en croissance, lorsque les primordia s’ajoutent les uns aux autres autour de l’apex, et grandissent en gardant la même forme, ils s’auto-organisent en une spirale logarithmique pour occuper au mieux l’espace disponible. Comme nous l’avons vu précédemment, la disposition des écailles des cônes de pin, des f leurs d’une marguerite ou des feuilles alternes spiralées autour de la tige sont des spirales logarithmiques. Ce qui est remarquable, c’est que le nombre de spirales dans un sens et dans l’autre est relativement constant pour chaque espèce, 21 dans un sens et 34 dans l’autre, ou bien 34 et 55.
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Les jeunes fougères en crosse offrent de magnifiques spirales structurées par les nervures enroulées de l’arrière vers l’avant. 2 | En découpant une feuille de poireau bien frais, le couteau semble libérer des forces mystérieuses qui révèlent une spirale élastique. 3 | Même les pétales d’un bouton de rose sont parfois disposés en une élégante spirale.
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* In : Les spirales : aspects mathématiques/Plurisciences, Encyclopedia universalis, 1978 ** Les spirales et les hélices dans la nature, Marc Odier. Pluri-sciences, Encyclopedia universalis, 1978.
La spirale de Fibonacci est un cas particulier de spirale logarithmique.
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