PE R CO R SI DIGITALI INTE R ATTIVI
MATEMATICA E CITTADINANZA
COMPITI DI R EALTÀ
ATTIVITÀ DI ORIENTAMENTO STEM
Tema C
8
Le risorse digitali dell’unità Matematica nella storia
Con GeoGebra
Video Esercizi interattivi
Equazioni di primo grado
Che cos’è una equazione?
Consideriamo i seguenti problemi.
PROBLEMA 1
Il responsabile delle vendite di un negozio di abbigliamento ha un lotto di 50 T-shirt, di cui 15 a tinta unita e 35 stampate. Vuole vendere le T-shirt stampate a un prezzo superiore di 4 euro rispetto al prezzo di quelle a tinta unita; inoltre desidera che il ricavo complessivo generato dalla vendita di tutte le T-shirt del lotto sia di 800 euro. Quali prezzi di vendita deve fissare per i due modelli di T-shirt?
Indichiamo con x il prezzo incognito (in euro) al quale vanno vendute le T-shirt a tinta unita e osserviamo che allora le T-shirt stampate andranno vendute al prezzo (in euro) uguale a x + 4. Possiamo così formalizzare le informazioni fornite dal testo del problema:
15x
ricavo delle T-shirt a tinta unita
+ 35 (x + 4)
ricavo delle T-shirt stampate
= 800 ricavo complessivo
[1]
Per risolvere il Problema 1 occorre dunque determinare il numero x che rende vera la [1]
Esistono varie formule per il calcolo del peso ideale. Secondo le formule di Lorenz, il peso ideale di una donna e il peso ideale di un uomo (in kg) sono espressi rispettivamente dalle formule seguenti, dove h indica il valore numerico dell’altezza (in cm):
Pdonna = h 100 0,5(h 150)
Puomo = h 100 0,25(h 150)
Secondo queste formule, a quale altezza corrisponde un peso ideale di 70 kg?
Occorre determinare il numero h per cui risulta vera l’uguaglianza:
70 = h 100 0,5(h 150) per una donna [2] e il valore di h per cui risulta:
70 = h 100 0,25(h 150) per un uomo [3] La [1], la [2] e la [3] sono esempi di equazioni.
Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori per i quali l’uguaglianza è vera.
L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro dell’equazione, l’espressione a destra si chiama secondo membro Nella [1] l’incognita è ovviamente x e abbiamo che:
15x + 35(x + 4) = 800
è il primo membro è il secondo membro Nelle equazioni [2] e [3] l’incognita è h.
Oltre all’incognita (e a eventuali costanti), in un’equazione possono comparire altre lettere, dette parametri: i parametri sono lettere che rappresentano un valore che si suppone noto, ma che non viene specificato per conferire al problema maggiore generalità.
Una equazione si dice... ... intera, se l’incognita non compare in alcun divisore (in particolare in alcun denominatore).
numerica se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, non compaiono parametri.
letterale (o parametrica) se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, compare almeno un parametro.
Esempi di equazioni numeriche intere:
5x = 1 + 2x; 3 2 x = x 2
Esempi di equazioni letterali intere nell’incognita x:
k(x 1) = x + k; 4x = x a 3
k è il parametro a è il parametro
... frazionaria, se non è intera.
Esempi di equazioni numeriche frazionarie:
x = 1 x ; 2x 1 x + 3 = 0
Esempi di equazioni letterali frazionarie nell’incognita x: 1 = 1 kx x ; ax + 2 x 2 = 0
k è il parametro a è il parametro
In questa unità ci occuperemo di equazioni numeriche intere in una incognita che, salvo avviso contrario, indicheremo con la lettera x ; le equazioni frazionarie e letterali verranno invece trattate successivamente.
Data un’equazione nell’incognita x, si chiama soluzione o radice dell’equazione un numero che, sostituito nell’equazione al posto di x, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. Se un certo numero è una soluzione, si dice anche che questo numero soddisfa o verifica l’equazione data.
Come mostriamo nel prossimo esempio, è immediato verificare per sostituzione se un dato numero è oppure no soluzione di un’equazione.
ESEMPIO Verifica delle soluzioni di un’equazione
Consideriamo l’equazione x 2 1 = 0:
• 1 è una sua soluzione perché, sostituendo 1 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza 12 1 = 0, cioè 0 = 0, che è vera;
• 2 non è una soluzione dell’equazione perché, sostituendo 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza ( 2)2 1 = 0, cioè 3 = 0, che è falsa.
Indicheremo con la lettera S l’insieme formato dalle soluzioni di un’equazione. Per esempio, l’ insieme delle soluzioni dell’equazione x + 2 = 0 sarà indicato con S = {−2}.
Le soluzioni di un’equazione dipendono dall’insieme numerico dove si cercano tali soluzioni, che prende il nome di dominio o insieme di definizione dell’equazione. Salvo avviso contrario, risolveremo le equazioni assumendo come dominio l’insieme R dei numeri reali.
ESEMPIO Dominio di un’equazione
L’equazione 2x = 1, se assumiamo come dominio R , ammette come soluzione
x = 1 2
La stessa equazione non ammette soluzioni se assumiamo come dominio l’insieme N, perché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per 2, dà come risultato 1.
A equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni si dà un nome particolare.
DEFINIZIONE Equazioni equivalenti
Due equazioni con lo stesso dominio si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Le due equazioni x 2 = 0 e 5x 10 = 0 hanno entrambe come insieme delle soluzioni S = {2}, quindi sono equivalenti. Nel prossimo paragrafo presenteremo delle regole che permettono di trasformare una data equazione in un’altra equazione, equivalente a quella originaria. Queste regole ci saranno utili, successivamente, per risolvere le equazioni.
Equazioni determinate, impossibili, indeterminate e identità
Si può effettuare una classificazione delle equazioni in base alle caratteristiche dell’insieme delle soluzioni, come spiegato nella seguente tabella.
L’insieme delle soluzioni può essere...
Esempio L’equazione si dice...
finito 2x = 4
L’unica soluzione dell’equazione è 2, quindi S = {2}.
S è un insieme finito.
infinito 2(x + 3) = 2x + 6
In base alla proprietà distributiva, questa equazione è soddisfatta per ogni x ∈ R
vuoto x2 = 1
Ogni numero reale ha come quadrato un numero non negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅
propria o determinata
indeterminata
impossibile
In questo volume e nel successivo studieremo per lo più soltanto equazioni algebriche, cioè equazioni i cui due membri sono costituiti da espressioni algebriche (polinomi o espressioni frazionarie). In questo ambito, le equazioni indeterminate hanno una particolare caratteristica: risultano essere sempre delle identità.
DEFINIZIONE Identità
Una identità è un’uguaglianza tra due espressioni, contenente una o più variabili, verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle variabili, con l’esclusione dei valori che fanno eventualmente perdere significato a una delle due espressioni.
Per esempio: 2(x + 3) = 2x + 6
è un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R
è un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R {1}, essendo x = 1 l’unico valore per cui perde significato
Esercizi p. 348
PER SAPERNE DI PIÙ Le equazioni indeterminate sono sempre identità? Abbiamo detto che nell’ambito delle equazioni algebriche le equazioni indeterminate sono identità (e viceversa). Ciò non è più vero se si considerano equazioni non algebriche. Per esempio, l’equazione |x | = x, in base alla definizione di valore assoluto, ha come insieme delle soluzioni S = {x ∈ R | x ≥ 0}: si tratta di un’equazione indeterminata (perché ha infinite soluzioni); tuttavia non è un’identità (per esserlo avrebbe dovuto essere soddisfatta per ogni valore di x per cui è definita, cioè per ogni x ∈ R).
Alcune proprietà delle uguaglianze
Nell’insieme dei numeri reali, l’addizione e la moltiplicazione godono di diverse proprietà. Riassumiamo nella seguente tabella quelle su cui si fondano i principi di equivalenza per le equazioni.
Addizione Moltiplicazione
Se a e b sono due numeri reali uguali, allora sono uguali anche i numeri che si ottengono aggiungendo a essi uno stesso numero reale c:
se a = b, allora a + c = b + c
Se a, b e c sono tre numeri reali e a + c è uguale a b + c, allora a e b sono uguali:
se a + c = b + c, allora a = b
Se a e b sono due numeri reali uguali, allora sono uguali anche i numeri che si ottengono moltiplicandoli per uno stesso numero reale c:
se a = b, allora a c = b c
Se a, b e c sono tre numeri reali, con c diverso da 0, e inoltre ac è uguale a bc, allora a e b sono uguali:
se a c = b c e c ≠ 0, allora a = b
Anziché dimostrare tali proprietà rigorosamente, cioè sulla base della struttura aritmetica dell’insieme dei numeri reali, preferiamo fornirne la classica interpretazione in termini di bilance a due piatti (probabilmente a te già nota dai tuoi studi precedenti, ma sempre efficace).
VISUALIZZA LE IDEE Uguaglianze e bilance a due piatti
• L’equivalenza a = b ⇔ a + c = b + c può essere facilmente interpretata così: se i due piatti di una bilancia sono in perfetto equilibrio perché contenenti pesi identici, essi mantengono inalterato l’equilibrio se si aggiungono (o sottraggono) a entrambi pesi uguali. a = ba+c = b
• L’equivalenza a = b ⇔ a c = b c (essendo c ≠ 0) si presta altrettanto bene all’immagine: se i due piatti di una bilancia sono in perfetto equilibrio perché contenenti pesi identici, essi mantengono inalterato l’equilibrio se si raddoppiano (triplicano, dimezzano ecc.) i rispettivi pesi.
Data la sua importanza, presentiamo il primo principio di equivalenza come teorema, ben evidenziandolo. Noterai come esso dipenda sostanzialmente dalle proprietà dell’uguaglianza in relazione con le operazioni di addizione e sottrazione.
PRINCIPIO Primo principio di equivalenza
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione un numero o un’espressione algebrica definita per tutti i valori delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
a. Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione 2x 5 = 10x il numero 5 otteniamo l’equazione equivalente 2x 5 + 5 = 10x + 5, cioè 2x = 10x + 5.
b. Sottraendo a entrambi i membri dell’equazione 12x 3 = 8x l’espressione 8x otteniamo l’equazione equivalente 12x 3 8x = 8x 8x, cioè 4 x 3 = 0.
Quando si vuole applicare il primo principio di equivalenza, è essenziale controllare che l’espressione che si aggiunge (o toglie) sia sempre definita.
Aggiungendo a entrambi i membri dell’equazione x = x 2 l’espressione 1 x , otteniamo l’equazione x + 1 x = x 2 + 1 x , che non è equivalente a quella data: infatti, la prima equazione ammette 0 come soluzione, mentre la seconda perde significato quando x = 0 (perché si annullano i denominatori), quindi non può ammettere 0 come soluzione. Ciò non è in contrasto con il primo principio: infatti, in questo caso, tale principio non si può applicare, perché l’espressione 1 x non è definita quando x = 0.
Secondo principio di equivalenza
Abbiamo visto che sommando o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione una stessa «quantità» si ottiene un’equazione equivalente, in forza del primo principio di equivalenza. Analogamente, il secondo principio afferma che se moltiplichiamo (o dividiamo) entrambi i membri di un’equazione per una stessa quantità, purché sempre definita e diversa da zero, otteniamo ancora un’equazione equivalente.
PRINCIPIO Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per un numero diverso da zero o per un’espressione algebrica definita e non nulla per tutti i valori delle variabili che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPI
a. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione x + 2 = x per il numero 3 otteniamo l’equazione equivalente 3x + 6 = 3x.
b. Dividendo entrambi i membri dell’equazione 10x + 30 = 100 per il numero 10 otteniamo l’equazione equivalente x + 3 = 10.
Quando si vuole applicare il secondo principio di equivalenza, è essenziale controllare che l’espressione per la quale si moltiplica sia sempre definita e non si annulli mai.
FISSA IL CONCETTO Necessità delle ipotesi del secondo principio
RIFLETTI
Si ottiene invece un’equazione equivalente a x = x2 moltiplicando i due membri per (x2 + 1); sai giustificare perché?
Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione x = x 2 per l’espressione x 2 otteniamo l’equazione x (x 2) = x 2 (x 2) che non è equivalente a quella data: infatti, puoi verificare che la seconda equazione ammette 2 come soluzione, mentre 2 non è una soluzione della prima equazione. Ciò non è in contrasto con il secondo principio: infatti, in questo caso, tale principio non si può applicare, perché l’espressione x 2 si annulla quando x = 2.
In questa unità abbiamo imparato a risolvere equazioni intere di primo grado; siamo ora in grado di gettare uno sguardo sul problema della risoluzione delle equazioni di grado superiore al primo. Precisamente, possiamo risolvere le equazioni di grado superiore al primo della forma P(x) = 0, in cui P(x) è un polinomio che si presenta scomposto, o sappiamo scomporre, in fattori di primo grado. La risoluzione si basa sulla legge di annullamento del prodotto:
ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
il prodotto di due numeri reali è zero se e solo se almeno uno dei due fattori è zero
ESEMPI Equazioni e legge di annullamento del prodotto
Risolviamo le equazioni:
a. (2 x + 4)(x 6) = 0 b. x 3 6x 2 = 0 c. (3x + 1)2 (x 2)2 = 0
a. Il primo membro è già scomposto; per la legge di annullamento del prodotto:
(2x + 4)(x 6) = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ∨ x 6 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 6
b. Dobbiamo scomporre in fattori il primo membro dell’equazione.
x 3 6x 2 = 0 Equazione da risolvere
x 2(x 6) = 0 Scomponendo in fattori
x 2 = 0 ∨ x 6 = 0 Per la legge di annullamento del prodotto
x = 0 ∨ x = 6 Risolvendo le due equazioni
c. Per risolvere l’equazione non conviene svolgere i quadrati, ma scomporre il primo membro come differenza di due quadrati
(3x + 1)2 (x 2)2 = 0 Equazione da risolvere
(3x + 1 + x 2)(3x + 1 x + 2) = 0 Scomponendo la differenza di quadrati
(4 x 1)(2x + 3) = 0 Semplificando
4 x 1 = 0 ∨ 2x + 3 = 0 Per la legge di annullamento del prodotto
x = 1 4 ∨ x = 3 2 Risolvendo le equazioni di primo grado
Come puoi renderti conto riflettendo sugli esempi precedenti, l’insieme delle soluzioni di un’equazione del tipo P1(x) P2(x) Pn(x) = 0 è l’unione degli insiemi delle soluzioni S1, S2, …, Sn, rispettivamente, delle equazioni P1(x) = 0, P2(x) = 0, …, Pn(x) = 0.
Un artigiano produce dei vasi dipinti a mano. Egli stima che il numero d di vasi che riuscirà a vendere in un mese dipende dal prezzo p di vendita (in euro) secondo la relazione d = 90 3p, con 0 ≤ p ≤ 30. Quale prezzo deve fissare per avere un ricavo mensile pari a 600 euro?
Il ricavo R mensile è dato dal prodotto tra il numero di vasi d venduti in un mese e il prezzo p di vendita di un singolo vaso; pertanto:
R = dp = (90 3p)p
Ponendo R uguale a 600, siamo condotti alla seguente equazione nell’incognita p, che risolviamo:
(90 3p)p = 600 ⇔ 90p 3p2 = 600 ⇔ 3p2 90p + 600 = 0
Dividendo entrambi i membri dell’ultima equazione per 3 abbiamo:
p2 30p + 200 = 0 ⇔ (p 10)(p 20) = 0 ⇔ p = 10 ∨ p = 20
Esercizi p. 369
Dunque l’artigiano può fissare come prezzo di un vaso 10 euro oppure 20 euro.
Comprendere adeguatamente quanto si legge è una capacità fondamentale in qualsiasi contesto, molto al di là, dunque, del solo ambito matematico. Ne abbiamo più volte avuto la riprova: solo afferrando in pieno il testo di un problema, riconoscendone chiaramente i dati e gli obiettivi, è possibile formalizzarlo matematicamente in modo corretto. In questa scheda ci proponiamo di insistere sulle «sfumature» di carattere linguistico che solo una lettura particolarmente attenta può cogliere. Noteremo come la scelta dei tempi verbali, dei generi e perfino della punteggiatura può… deviare il corso della risoluzione di un problema.
Determiniamo un numero con la proprietà seguente: la metà del numero, sommata a 10, è uguale alla metà del numero sommato a 10.
A prima vista, si direbbe che tutti i numeri reali soddisfino tale proprietà, e che la sua formalizzazione matematica conduca a una banale identità numerica. Una lettura meno superficiale, però, permette di riconoscere (grazie all’opportuna scelta del genere e della punteggiatura) che la corrispondente equazione è tutt’altro che indeterminata. Infatti, indicando con x il numero incognito, l’esatta trasposizione del quesito in equazione è la seguente: x 2 + 10 = x + 10 2
⇒ x + 20 = x + 10
Quest’ultima equazione non ha soluzioni: non esiste nessun numero che soddisfa la proprietà richiesta.
a. Il grande matematico Diofanto di Alessandria, noto principalmente per il suo importante contributo alla teoria delle equazioni, è considerato da alcuni storici l’ultimo matematico del periodo ellenistico. Assai curioso l’epitaffio che Diofanto volle per sé:
«L’infanzia occupò un sesto della sua vita, un dodicesimo si aggiunse affinché le sue guance si coprissero della peluria degli adolescenti. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. Questi, sfortunato, morì improvvisamente quando raggiunse la metà degli anni che il padre visse. Il genitore gli sopravvisse per quattro anni prima di giungere al termine della propria vita.» Quanti anni visse Diofanto?
L’equazione che formalizza quanto scritto nell’epitaffio è la seguente: x
= x 6 + x 12 + x 7 + 5
durata della vita di Diofanto
+ x 2
anni vissuti da Diofanto prima della nascita del figlio
anni vissuti da Diofanto con il figlio in vita
+ 4
anni successivi alla morte del figlio
Lasciamo a te la sua risoluzione, riportandone solo il risultato: x = 84.
b. Ora, immaginiamo che l’epitaffio di Diofanto si presenti, per un errore di interpretazione, in forma leggermente modificata (la variazione è indicata in corsivo):
«L’infanzia occupò un sesto della sua vita, un dodicesimo si aggiunse affinché le sue guance si coprissero della peluria degli adolescenti. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. Questi, sfortunato, morì improvvisamente quando raggiunse la metà degli anni che il padre aveva vissuto fino a quel momento. Il genitore gli sopravvisse per quattro anni prima di giungere al termine della propria vita.»
Quanti anni visse Diofanto?
Stando al nuovo testo, il figlio di Diofanto visse tanti anni quanti ne visse Diofanto prima della sua nascita. Questa volta l’esatta trasposizione è perciò: x
= ( x 6 + x 12 + x 7 + 5)
durata della vita di Diofanto
+ ( x 6 + x 12 + x 7 + 5)
anni vissuti da Diofanto prima della nascita del figlio
anni vissuti da Diofanto con il figlio in vita
+ 4
anni successivi alla morte del figlio
La soluzione di questa equazione è x = 65,3 anni, vale a dire 65 anni e 4 mesi: ben diversa, quindi, dalla prima.
PROVA TU
Il quadrato della differenza tra un numero e 5 è uguale alla differenza tra il quadrato del numero e 5. Di quale numero si tratta? Imposta la relativa equazione e trovalo.
Uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori per i quali l’uguaglianza è vera.
Data un’equazione scritta nella forma normale A(x) = 0, il grado di un’equazione algebrica è il grado del polinomio A(x).
ESEMPIO
5x2 3 = 0 è un’equazione di secondo grado.
Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una espressione algebrica sempre definita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Applicazioni del primo principio
ESEMPI
• 5x = x + 2
è equivalente a
5x x = +2
• x2 2x = 2x + 2
è equivalente a
x2 = 2
Puoi spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro pur di cambiargli il segno (regola del trasporto)
Se un termine ( 2 x) compare come addendo sia in un membro di un’equazione sia nell’altro, puoi eliderlo
Equazioni equivalenti
Equazioni con lo stesso dominio che hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione sempre definita e non nulla, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPI
• 6x = 3 + 9x
è equivalente a 2x = 1 + 3x
• x2 + 3x 4 = 0
è equivalente a
x2 3x + 4 = 0
• 1 2 x + 1 3 x = 4
è equivalente a
6 ( 1 2 x + 1 3 x) = 6 4
Se tutti i termini di un’equazione hanno in comune un fattore non nullo (3), puoi dividere i due membri per quel fattore
Puoi cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione
Puoi trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in un’equazione equivalente a coefficienti interi, moltiplicando i due membri per il m.c.m. dei denominatori
Le equazioni algebriche possono essere classificate in base al numero delle loro soluzioni. Un’equazione algebrica è detta:
• determinata, se l’insieme delle sue soluzioni è finito.
ESEMPIO 3x = 6, S = {2}
• indeterminata, se l’insieme delle sue soluzioni è infinito.
ESEMPIO 2(x + 5) = 2x + 10, S = R
• impossibile, se l’insieme delle sue soluzioni è vuoto.
ESEMPIO x2 = 3, S = ∅
Equazioni di primo grado numeriche intere
Indicando l’incognita con x, sono le equazioni riconducibili alla forma ax = b.
Procedimento risolutivo
Metodo generale per risolvere equazioni di primo grado numeriche intere.
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione 1 3 x + x + 1 2 = 4 x
2x + 3(x + 1) 6 = 4 x Svolgi le eventuali operazioni
6 2x + 3(x + 1) 6 = 6 (4 x) Se l’equazione è a coefficienti frazionari, moltiplica entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori, in modo da ricondurti a un’equazione a coefficienti interi
2x + 3x + 3 = 24 6x
2x + 3x + 6x = 24 3
Trasporta tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini
11x = 21 numerici al secondo, riducendo gli eventuali termini simili
x = 21 11
Risolvi l’equazione del tipo ax = b a cui sei giunto
1 Vero o falso?
a. l’equazione 1 2 + 1 a = x 3 , nell’incognita x, è letterale e frazionaria V F
b. se l’insieme delle soluzioni di un’equazione
è R , l’equazione è un’identità V F
c. se un’equazione è impossibile in N, allora è impossibile anche in Z V F
d. se un’equazione è impossibile in Z , allora è impossibile anche in N V F
e. un’equazione di primo grado può avere esattamente due soluzioni V F
f. se un’equazione è un’identità, allora ha infinite soluzioni V F
[3 affermazioni vere e 3 false]
2 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è letterale e frazionaria?
6 ESERCIZIO GUIDATO
Stabilisci se 1 è una soluzione dell’equazione: x 2 + 2x 3 = 4x 4
Sostituisci 1 al posto di x nei due membri dell’equazione.
Al primo membro ottieni:
1 3
ossia, svolgendo i calcoli:
Al secondo membro ottieni: ossia, svolgendo i calcoli:
I due membri risultano uguali, perciò possiamo concludere che 1 è una dell’equazione.
15 Associazione. Associa a ogni equazione posta nella prima colonna la sua soluzione posta nella seconda.
a. 3x 12 = 3
b. 1 2 x + 3 2 x = x + 1
1
= 3
3 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x è intera e letterale?
4 Quale delle seguenti equazioni nell’incognita x non è né letterale, né frazionaria? A x = (k + x)
5 Se un’equazione nell’incognita x ha infinite soluzioni allora:
A è impossibile
B è indeterminata
C è determinata
D nessuna delle precedenti risposte è corretta
Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione.
16 Completa le seguenti equazioni in modo che il valore di x indicato a fianco sia una sua soluzione.
Equazioni determinate, impossibili, indeterminate Completa le seguenti tabelle.
18
19
Equazione Dominio Classificazione
x + 2 = 0 N
x 2 = 2 Q
x + 2 = 0 Z
Determinata Indeterminata Impossibile
Determinata Indeterminata Impossibile
Determinata Indeterminata Impossibile
4x 8 = 0 N
Inventa tu.
20 Scrivi un’equazione determinata in N.
Determinata Indeterminata Impossibile
Determinata Indeterminata Impossibile (2x) 2 = 4x 2 R
22 Scrivi un’equazione impossibile in N ma non in Z .
21 Scrivi un’equazione determinata in Q ma impossibile in Z .
23 Scrivi un’equazione indeterminata in R . 24 ESERCIZIO SVOLTO
Sviluppiamo i due membri dell’equazione.
che i due membri sono uguali, l’equazione
Stabilisci se le seguenti equazioni sono identità. 25
(x 1) 2 = 2(x 2 + 1) [Sì] 27 (x + 1) 2 + (x + 1) (x 1) = 2x(x + 2)
33 Completa le seguenti equazioni in modo che risultino identità.
a. (x + 1) 3 (x 1) 3 = 2( )
b. (x 1) (x 3) (x 1) 2 = 2( )
34 Completa l’equazione x 2 + 2x = 3x + in modo che:
a. risulti frazionaria
b. risulti letterale intera, dove x è l’incognita e a è il parametro
c. abbia come soluzione x = 1
=
d. abbia come soluzione x = 2
e. sia un’identità
35 Vero o falso?
a. se due equazioni hanno una soluzione in comune, allora sono equivalenti V F
b. se due equazioni sono impossibili, allora sono equivalenti V F
c. se due equazioni sono indeterminate, allora non sono equivalenti V F
d. se due equazioni nell’incognita x sono identità valide per ogni x ∈ R , allora sono equivalenti V F
e. l’equazione A(x) = B(x) è equivalente all’equazione A(x) + 2 = B(x) + 2
f. le due equazioni A(x) = B(x) e A(x) 2 = B(x) 2 sono equivalenti in base al primo principio di equivalenza
g. l’equazione 2x 2 = x 5 è scritta in forma normale
h. l’equazione (x 2) 2 = x 2 ha grado 2
36 Completa le seguenti proposizioni (il primo caso è svolto come esempio).
[3 affermazioni vere e 5 false]
a. x 2 + 1 = 2x è equivalente a x 2 2x + 1 = 0 in base al primo principio; infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima sottraendo ai due membri 2x :
x 2 + 1 = 2x equivale a x 2 + 1 2x = 2x 2x ossia a x 2 2x + 1 = 0
b. x 2 + x = 1 è equivalente a x 2 x = 1 in base al
: infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima ...............................................................................
c. 1 2 + x 3 = 1 6 è equivalente a 3 + 2x = 1 in base al
: infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima
d. 15x + 9x 2 = 1 + 15x + x 3 è equivalente a 9x 2 = 1 + x 3 in base al ............................... : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima
e. 15x + 100 = 20x 2 + 5x 3 è equivalente a 3x + 20 = 4x 2 + x 3 in base al : infatti la seconda equazione è ottenuta dalla prima
37 Argomentare I seguenti due enunciati dei principi di equivalenza non sono corretti (perché incompleti). Spiega il motivo e correggi.
a. Aggiungendo o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, si ottiene un’equazione equivalente.
b. Moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero, si ottiene un’equazione equivalente.
Scrivi un’equazione equivalente a quella data, che soddisfi la condizione indicata a fianco.
46 Completa le seguenti proposizioni, specificando i principi di equivalenza applicati.
a. 3x + 1 = 0
a
b. 8 3 x = 11 è equivalente a 8x =
12x 10 = 0 è equivalente a
47 Completa la seguente tabella (il primo caso è svolto come esempio).
=
No, perché la prima equazione ha come soluzione 0, mentre 0 non è soluzione della seconda. Non si può applicare il 2o principio perché x non è sempre diverso da zero.
(x + 1) (x 1)
54 (x 2 2x 1) 2 = x 4 + (2x + 1) 2 [Grado = 3]
55 (x + 1) 4 (x 2 + 1) 2 = 0
56 E se? (x a) 2 (x + a) (x 2a) = a
[Grado = 3]
} Cambierebbe la risposta se l’incognita fosse a?
[Grado = 1; grado 2]
= 8]
= 2] 53 (2x 2 1) (2x 2 1) = (x 4 + 2)
Argomentare
57 E se? (x b) 3 (x + 2b) 3 = 1
} Cambierebbe la risposta se l’incognita fosse b?
[Grado = 2; grado 3]
58 Inserendo un solo monomio è possibile completare l’equazione (x + 1) 2 = ....... + 3x + 5 in modo che risulti di primo grado. Quale e perché? Spiega.
59 Non è possibile completare con un solo monomio l’equazione (3x 1) 3 = + (2x 1) 2 in modo che risulti di primo grado: occorre un binomio. Quale e perché? Spiega.
Esercizi introduttivi
60 Vero o falso?
a. l’equazione 3x = 0 è impossibile
b. l’equazione 3x = 1 ha come soluzione il reciproco di 3
c. l’equazione x 5 = 0 ha come soluzione l’opposto di 5
d. l’equazione 3 4 x = 0 ha come soluzione x = 4 3
e. l’equazione 3 4 x = 5 4 ha come soluzione x = 1 2
f. l’equazione 7x = 5 è impossibile in N ma non in Q
g. l’equazione x = x è impossibile, perché un numero non può essere uguale al suo opposto
h. l’equazione x + 6 = x + 7 è impossibile
i. l’equazione (x 1) 2 = (1 x) 2 è indeterminata
affermazioni vere e 5 false]
61 Associazione. Mentalmente, associa a ciascuna equazione sulla prima riga la sua soluzione sulla seconda.
mente Determina le soluzioni delle seguenti equazioni:
Nella risoluzione di ciascuna delle seguenti equazioni è stato commesso un errore. Individualo
Risolvi le seguenti equazioni a coefficienti interi e in forma normale.
3(2x 1) 2(x 3) = 2x 11.
da risolvere
2 In conclusione, l’insieme delle soluzioni è S = { 7}.
i
Risolvi
Risolvi le seguenti proporzioni impostando un’opportuna equazione basata sulla proprietà fondamentale delle proporzioni.
Nelle prossime tabelle raccogliamo le principali conseguenze dei principi di equivalenza, essenziali nella risoluzione di tutte le equazioni.
Conseguenze dei principi Giustificazione Esempio
Si può spostare un termine, che compare come addendo, da un membro all’altro di un’equazione pur di cambiargli segno (regola del trasporto).
Se un certo termine compare come addendo in entrambi i membri di un’equazione, può essere soppresso.
Si possono dividere i due membri di un’equazione per un fattore non nullo in comune a tutti i suoi termini.
Si possono cambiare i segni di tutti i termini di un’equazione.
Si può trasformare un’equazione a coefficienti frazionari in una equivalente a coefficienti interi.
Ciò equivale a sottrarre quel termine a entrambi i membri dell’equazione (1° principio).
L’equazione 3x = 1 + 2x
equivale a: 3x 2x = 1
Infatti, per il primo principio, 3x = 1 + 2x equivale a:
3x 2x = 1 + 2x 2x
ossia a: 3x 2x = 1
Ciò equivale a sottrarre quel termine da entrambi i membri dell’equazione (1° principio).
È una diretta applicazione del 2° principio.
Ciò equivale a moltiplicare entrambi i membri per 1 (2° principio).
Basta moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori dell’equazione (2° principio).
x2 + 3x = 7 + 3x equivale, sopprimendo +3x, a:
x2 = 7
4x + 6 = 12
è equivalente, dividendo tutti i termini per 2, all’equazione:
2x + 3 = 6
x2 + 6x 5 = 10
è equivalente a:
x2 6x + 5 = 10
1 2 x + 1 3 x = 4 m.c.m.(2, 3) = 6
è equivalente a:
6( 1 2 x + 1 3 x) = 6 4
ossia a:
3x + 2x = 24
Utilizzando la regola del trasporto, si possono sempre spostare tutti i termini di un’equazione al primo membro. Ogni equazione nell’incognita x si può perciò sempre scrivere nella forma A(x) = 0. Se A(x) è un polinomio, una volta ridotti gli eventuali termini simili si ottiene la cosiddetta forma normale (o canonica) dell’equazione e si può definire il grado dell’equazione.
DEFINIZIONE Grado di un’equazione algebrica
Si dice grado di un’equazione algebrica nell’incognita x il grado del polinomio A(x), una volta che l’equazione sia stata scritta nella forma normale A(x) = 0.
Stabiliamo il grado delle seguenti equazioni:
a. x 2 + 2 x + 1 = 0 b. (x + 1)2 = x 2 + 2
a. L’equazione x 2 + 2x + 1 = 0 è in forma normale ed è di secondo grado.
b. Riscriviamo l’equazione in forma normale:
x 2 + 2x + 1 = x 2 + 2 ⇒ x 2 + 2x + 1 x 2 2 = 0 ⇒ 2x 1 = 0
Riconosciamo così che l’equazione è di primo grado, non di secondo grado come si direbbe a prima vista.
ESEMPI Grado di un’equazione Esercizi p. 350
1 Vero o falso?
a. le due equazioni 2x + 3 = 1 e x + 15 = 17 sono equivalenti
b. l’equazione (x + 2) 2 = x 2 + 4 x + 4 è un’identità
c. l’equazione x 3 + x 2 4 x 4 = 0 ha per soluzioni i numeri 2, 1 e 2
d. l’equazione (x + 2) 2 = x 2 + 3x + 1 è determinata e di primo grado
Risolvi le seguenti equazioni.
2 3(x 2) = (x + 3) 2 x 2 3(3x + 1)
3 x 5 4 x 4 5 = 1 2 (x + 4) x 1 10 23 20
4 0,06x + ( 10 3 ) 2 (15 x) = 1,05
5 Oggi un negozio ha incassato 1380 euro. Sapendo che l’incasso di oggi è stato il 15% in più dell’incasso medio del negozio, qual è l’incasso medio? Rispondi impostando e risolvendo una semplice equazione.
6 Alina, Pietro e Igor abitano sullo stesso lato del corso Garibaldi, in tre palazzi consecutivi. La somma dei numeri civici dei palazzi è 357. Stabilisci i numeri civici in cui abitano i tre amici impostando e risolvendo una semplice equazione.
7 Di un determinato triangolo isoscele si sa che l’ampiezza degli angoli alla base è 6° in meno dell’ampiezza dell’angolo al vertice.
a. Trova le ampiezze degli angoli del triangolo.
b. Ripeti l’esercizio, supponendo ora che che l’ampiezza degli angoli alla base sia 6° in più dell’ampiezza dell’angolo al vertice.
8 Un quadrato e un rettangolo hanno lo stesso perimetro. La base del rettangolo supera di 4 cm il lato del quadrato mentre l’altezza del rettangolo è i 2 3 del lato del quadrato. Stabilisci il perimetro del quadrato (del rettangolo) e le aree dei due quadrilateri.
Tema E
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Prima di addentrarci nello studio della relazione di congruenza applicata ai triangoli, è bene precisare il significato di alcuni termini. Li riassumiamo nella seguente tabella.
Un lato di un triangolo si dice opposto all’angolo il cui vertice non appartiene al lato e adiacente agli altri due angoli.
Un angolo di un triangolo si dice opposto al lato che non contiene il suo vertice e adiacente agli altri due lati.
Un angolo si dice compreso tra due lati di un triangolo se questi ultimi appartengono ai lati dell’angolo.
AB è
• opposto a γ
• adiacente ad α e β
ATTENZIONE!
L’altezza di un triangolo può cadere esternamente al triangolo, come nel caso dell’altezza AH relativa al lato BC del triangolo ABC rappresentato in figura.
γ
opposto a BC
• adiacente ad AB e AC
Nel seguito, un triangolo di vertici A, B, C verrà indicato con il simbolo ABC. Gli angoli (interni) di vertici A, B, C verranno indicati rispettivamente con le lettere greche α , β, γ, mentre i lati a essi opposti con le lettere a, b, c
Dato un triangolo, si possono tracciare alcuni segmenti di particolare importanza, ai quali si danno dei nomi speciali. Precisamente:
• si chiama bisettrice di un angolo (interno) di un triangolo il segmento costituito dai punti della bisettrice di quell’angolo che appartengono al triangolo (Fig. 1);
• si chiama mediana il segmento che congiunge un vertice del triangolo con il punto medio del lato opposto (Fig. 2);
• si chiama altezza relativa a un lato il segmento avente un estremo nel vertice opposto a quel lato e l’altro estremo sul lato stesso (o sul suo prolungamento), che forma con quest’ultimo due angoli retti (Fig. 3). bisettr ice di AA
Si possono classificare i triangoli in base ad alcune caratteristiche dei loro lati oppure in base ad alcune caratteristiche dei loro angoli.
La classificazione in base ai lati distingue tre casi.
Un triangolo si dice:
• equilatero se tutti e tre i suoi lati sono congruenti;
• isoscele se almeno due suoi lati sono congruenti;
• scaleno se i suoi lati sono a due a due non congruenti.
triangolo equilatero triangolo isoscele triangolo scaleno
Il diagramma di Venn di Fig. 4 mostra in particolare che l’insieme dei triangoli equilateri è (propriamente) contenuto in quello dei triangoli isosceli: infatti, per definizione, ogni triangolo equilatero è anche isoscele (ma non viceversa).
Anche la classificazione in base agli angoli prevede tre casi. Un triangolo si dice:
• acutangolo se ha tutti gli angoli acuti;
• rettangolo se ha un angolo retto;
• ottusangolo se ha un angolo ottuso.
In un triangolo rettangolo il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa del triangolo, mentre gli altri due lati si chiamano cateti.
tre angoli acuti un angolo retto
un angolo ottuso
tr iangolo acut angolo tr iangolo rettangolo catet o
catet o tr iangolo ottusangolo
Giustificheremo rigorosamente nel Paragrafo 4 perché gli insiemi dei triangoli acutangoli, rettangoli e ottusangoli sono disgiunti come messo in evidenza dal diagramma di Venn di Fig. 5.
Ricorderai che abbiamo assunto il concetto di congruenza tra figure geometriche come primitivo. Nell’insieme dei triangoli possiamo tradurre l’idea intuitiva che abbiamo della nozione di congruenza in una precisa definizione.
Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i lati e gli angoli.
La congruenza fra due triangoli viene dunque definita, come è naturale, tramite la congruenza dei lati e degli angoli. C’è però un particolare cui devi prestare attenzione, l’avverbio «ordinatamente»: esso sta a indicare che a ogni elemento del primo triangolo corrisponde un elemento a esso congruente nel secondo, e le coppie di elementi congruenti non possono essere disposte casualmente. Infatti, lati congruenti devono essere opposti ad angoli congruenti e viceversa (come indicato dall’uso del colore in Fig. 6). Chiameremo corrispondenti (o omologhi) gli angoli opposti a lati congruenti o i lati opposti ad angoli congruenti.
Per controllare se due triangoli sono congruenti, in base alla definizione precedente, dovremmo eseguire sei confronti: fra le tre coppie di angoli e fra le tre coppie di lati. È possibile stabilire delle condizioni che garantiscono la congruenza di due triangoli con un minore numero di confronti?
Come vedremo, la risposta è affermativa: è sufficiente controllare la congruenza di tre coppie di elementi, opportunamente scelti. Presta attenzione: non è detto che, in generale, la congruenza di tre coppie di elementi garantisca la congruenza dei triangoli; gli elementi devono essere scelti, appunto, opportunamente. Per esempio, se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre angoli, non è detto che siano congruenti, come puoi renderti conto osservando la Fig. 7: i due triangoli ABC e A′B ′C ′ hanno i tre angoli ordinatamente congruenti ma non sono congruenti.
La definizione di triangoli congruenti si può estendere in modo naturale ai poligoni. Occorre tuttavia prestare attenzione a un aspetto: per i poligoni non ha più senso parlare di lati e angoli opposti, perciò l’avverbio «ordinatamente» va inteso con un significato più generale. Esso sta a indicare che a ogni elemento del primo poligono corrisponde un elemento a esso congruente nel secondo (per stabilire quali sono gli elementi corrispondenti bisogna prima ordinarli in modo opportuno). Quindi il primo lato (il secondo lato, il terzo lato ecc.) del primo poligono deve essere congruente al primo lato (secondo lato, terzo lato ecc.) del secondo poligono e analogamente il primo angolo (secondo angolo, terzo angolo ecc.) del primo poligono deve essere congruente al primo angolo (secondo angolo, terzo angolo ecc.) del secondo poligono.
Primo criterio di congruenza per i triangoli
Supponiamo che due triangoli ABC e A′B ′C ′ abbiano ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso (Fig. 8). Immaginiamo che i due triangoli siano ritagli di carta. Dal momento che B ≅ B ′ possiamo, con un movimento rigido, portare l’angolo A BC a sovrapporsi all’angolo A′ B ′C ′, in modo che:
• B si sovrapponga a B ′ ;
• la semiretta di origine B cui appartiene il lato AB si sovrapponga alla semiretta di origine B ′ cui appartiene il lato A′B ′ ;
• la semiretta di origine B cui appartiene il lato BC si sovrapponga alla semiretta di origine B ′ cui appartiene il lato B ′C ′
Poiché stiamo supponendo AB ≅ A′B ′ , A andrà a sovrapporsi ad A′. Analogamente, poiché BC ≅ B ′C ′ , C andrà sovrapporsi a C ′. I tre vertici dei due triangoli si sovrappongono: concludiamo che i due triangoli sono congruenti.
I ragionamenti che abbiamo presentato sono sostanzialmente quelli adottati da Euclide, nei suoi Elementi, per «dimostrare» che due triangoli che hanno due lati e l’angolo compreso ordinatamente congruenti sono congruenti. Abbiamo posto il verbo dimostrare tra virgolette perché, in realtà, non si tratta di una vera e propria dimostrazione, ma solo di ragionamenti intuitivi. La critica moderna ha provato che l’argomentazione precedente non può essere accettata come dimostrazione, a meno di non avere preventivamente fissato un sistema di assiomi che garantisca l’esistenza dei movimenti rigidi. Poiché anche noi non abbiamo assunto un tale sistema di assiomi, dobbiamo accettare la proposizione cui siamo giunti come assioma.
ASSIOMA 1 Primo criterio di congruenza per i triangoli
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso sono congruenti.
Un’importante osservazione. L’ipotesi che i due triangoli abbiano congruenti gli angoli compresi tra i due lati congruenti è essenziale. Infatti esistono triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e un angolo, ma non sono tra loro congruenti: il controesempio seguente lo illustra efficacemente.
I triangoli ABC e ABP hanno due lati e un angolo ordinatamente congruenti (il lato AB è in comune, AC ≅ AP e A BC ≅ A BP) ma non sono, evidentemente, congruenti.
Secondo e terzo criterio di congruenza per i triangoli
A partire dal primo criterio di congruenza per i triangoli se ne potrebbero dimostrare altri due, che noi ci limiteremo a enunciare.
TEOREMA 1 Secondo criterio di congruenza per i triangoli
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti sono congruenti.
Con GeoGebra
Secondo criterio di congruenza per i triangoli
Terzo
Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti sono congruenti.
Con GeoGebra
Terzo criterio di congruenza per i triangoli
APPLICA IL CONCETTO Il terzo criterio di congruenza in edilizia
In edilizia, nella costruzione di tralicci, gru e più in generale nella costruzione di strutture reticolari in acciaio, trovano larghissimo impiego strutture a forma di triangolo. Come si può giustificare tale utilizzo, in base al terzo criterio di congruenza?
Il terzo criterio di congruenza per i triangoli afferma che le misure dei tre lati di un triangolo determinano univocamente il triangolo, nel senso che tutti i triangoli i cui lati hanno quelle misure sono congruenti. Ciò porta come conseguenza che le strutture a forma di triangolo ottenute incernierando tre sbarrette rigide agli estremi sono indeformabili (Fig. 9a). È questo il principale motivo per cui esse trovano larghissimo impiego in edilizia.
Figura 9 a. b. c.
Un quadrilatero invece non è univocamente determinato dalle misure dei suoi lati. Infatti, incernierando quattro sbarrette rigide agli estremi otteniamo una struttura deformabile (Figg. 9b-c).
Esercizi p. 556
Il lato AB è opposto all’angolo γ, adiacente ad α e β.
L’angolo α è opposto al lato BC, adiacente ad AB e AC
L’angolo γ è compreso tra i lati AC e BC
Classificazione rispetto ai lati
triangolo equilatero triangolo isoscele triangolo scaleno
Classificazione rispetto agli angoli
tre angoli acuti un angolo retto
un angolo ottuso
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso sono congruenti.
tr iangolo acut angolo tr iangolo rett angolo
ipotenusa ca t e t o tr iangolo ottusangolo
cateto
Segmenti notevoli di un triangolo
bisettrice di AA BC K
Triangoli congruenti
mediana relativa a BC A
Triangoli che hanno ordinatamente congruenti i tre lati e i tre angoli.
Due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti sono congruenti.
relativa a BC
Due triangoli che hanno i tre lati ordinatamente congruenti sono congruenti.
A′C′
Tesi: ABC ≅ A′B′C′
Disuguaglianze che sussistono tra gli angoli di un triangolo, o tra i lati e gli angoli, o tra i lati.
Tra gli angoli: il primo teorema dell’angolo esterno
In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti a esso.
Tra lati e angoli
In un triangolo, a lato maggiore è opposto angolo maggiore.
Viceversa, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore.
Tra i lati: la disuguaglianza triangolare
In un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
1. Un triangolo può avere al massimo un angolo retto e al massimo un angolo ottuso.
2. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
C angolo al vertice lato obliquo lato obliquo angolo alla base angolo alla base
A base B
1. In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti.
2. In un triangolo ottusangolo, il lato maggiore è quello opposto all’angolo ottuso.
1. Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.
2. In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa alla base. C
Corollario
In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice, la mediana relativa alla base e l’altezza relativa alla base coincidono.
1 Vero o falso?
a. se un triangolo non è isoscele è scaleno V F
b. se un triangolo non è equilatero non è nemmeno isoscele V F
c. se un triangolo non è isoscele, allora certamente non è equilatero V F
d. l’insieme dei triangoli equilateri è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei triangoli isosceli V F
e. se un triangolo è equilatero, non è isoscele V F [3 affermazioni vere e 2 false]
2 Completa la seguente tabella. Per ciascuna coppia di triangoli, supponi di sapere unicamente che sono congruenti gli elementi indicati con lo stesso simbolo.
AB'
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al criterio No
AA'
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al criterio No
3 Vero o falso?
AA'
BC'
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al criterio No
Si può affermare che sono congruenti?
Sì, in base al criterio No
a. se due triangoli non sono congruenti, hanno almeno un angolo non congruente V F
b. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti tre angoli, allora sono congruenti V F
c. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati, ma non sono congruenti, gli angoli compresi tra i due lati non sono congruenti V F
d. se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli adiacenti, allora anche gli angoli opposti ai lati congruenti sono congruenti V F [2 affermazioni vere e 2 false]
4 Caccia all’errore. Tommy sostiene che le mediane, le bisettrici e le altezze di un triangolo qualsiasi cadono sempre internamente al triangolo stesso. Sara ribatte affermando che quanto sostenuto da Tommy vale solo per triangoli acutangoli. Chi ha ragione e chi è in errore? Fornisci controesempi a supporto della tua conclusione.
5 I lati di un triangolo ABC misurano rispettivamente AB = 27 cm, BC = 33 cm, CA = 39 cm. Calcola la lunghezza di ciascuno dei segmenti che devi addizionare o sottrarre ai lati del triangolo per ottenere un triangolo equilatero avente il perimetro congruente a quello del triangolo assegnato.
[Devi addizionare un segmento di 6 cm ad AB e sottrarne uno di 6 cm da CA]
6 La mediana AM relativa al lato BC del triangolo ABC divide il triangolo dato nel triangolo equilatero ABM e nel triangolo ottusangolo AMC. Sapendo che il perimetro del triangolo ABM è 59,4 cm e che AC = 35,3 cm, calcola i perimetri dei due triangoli ABC e AMC. [94,7 cm; 74,9 cm]
Dati i seguenti teoremi, disegna una figura che rappresenti l’enunciato e formula, in notazione simbolica, l’ipotesi e la tesi. Non è richiesta la dimostrazione.
7 Il triangolo che ha come vertici i punti medi dei lati di un triangolo equilatero è equilatero.
8 In un triangolo isoscele, le mediane relative ai lati obliqui sono congruenti.
9 In un triangolo in cui i tre angoli sono congruenti, anche i tre lati sono congruenti.
10 Siano P e Q due punti, appartenenti rispettivamente ai lati a e b dell’angolo a ˆ O b, tali che OP ≅ OQ. Se R è un punto appartenente alla bisettrice di a ˆ O b, allora RP ≅ RQ.
11 Se in un triangolo ABC la bisettrice dell’angolo ˆ B è anche mediana, il triangolo è isoscele.
Nei seguenti esercizi sono riportati la figura che rappresenta un teorema, l’ipotesi e la tesi. Scrivi l’enunciato del teorema corrispondente.
12 A BC
IPOTESI
AB ≅ AC, BD ≅ CE
A, B e D allineati
A, C ed E allineati
TESI
CD ≅ BE
13 A
14 A
MN
DBCE
IPOTESI AB ≅ AC, BD ≅ CE
B, C, E, D allineati
TESI AD ≅ AE
IPOTESI M ∈ AB, N ∈ AC AM ≅ MB, AN ≅ NC
TESI MN ≅ 1 2 BC
15 A
BC DE F
IPOTESI
A ˆ B C ≅ A ˆ C B, BD ≅ CE,
BE ∩ CD = { F }
A, B e D allineati
A, C ed E allineati
TESI
BF ≅ FC
Fai riferimento alla figura e supponi, per ipotesi, che gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo siano congruenti. Completa giustificando i passaggi.
16 Supponi che AC ∩ BD = {O}
a. AO ≅ CO per ipotesi
b. DO ≅ BO per
c. A ˆ O D ≅ B ˆ O C perché
d. AOD ≅ BOC per il criterio di congruenza
17 a. AC è in comune
b. CD ≅ CB per
c. A ˆ C D ≅ A ˆ C B per
d. ACB ≅ ACD per il criterio di congruenza
18 Associazione. Fai riferimento alla figura e supponi, per ipotesi, che gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo siano congruenti. A ogni congruenza nella prima colonna associa con una freccia la sua giustificazione, scelta fra quelle proposte nella seconda colonna (Attenzione: fra le giustificazioni proposte ce ne sono alcune «intruse», cioè senza corrispondenze.)
a. AB ≅ CD A. Per ipotesi
b. B ˆ A D ≅ D ˆ C B B. Per il primo criterio di congruenza
c. A ˆ B D ≅ C ˆ D B C. Per il secondo criterio di congruenza
d. ABD ≅ CBD D. Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
e. A ˆ D B ≅ C ˆ B D E. Perché somme di angoli congruenti
f. A ˆ B C ≅ A ˆ D C F. Perché differenze di angoli congruenti
QUADERNO DI INCLUSIONE E RECUPERO
Equazione
Uguaglianza contenente almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano eventuali valori che rendono l’uguaglianza vera.
ESEMPIO
2x – 1 = x + 2 è un’equazione nell’incognita x 1° membro 2° membro
Classificazione rispetto alle espressioni algebriche nei due membri
Un’equazione si dice intera se l’incognita non compare in alcun denominatore; altrimenti si dice frazionaria (o fratta).
ESEMPI
Sono equazioni intere: Sono equazioni frazionarie: x 2 – 3x = 1 x –3 2 x = 1 3 x
Ai denominatori ci sono numeri, mai l’incognita
Equazione in forma normale
Equazione della forma A(x) = 0, dove il polinomio A(x) è in forma normale.
ESEMPI È in forma Non è in forma normale normale
x 2 – 3x + 5 = 0 x 2 – 3x = 5
Soluzione di un’equazione in una incognita
equivale a 1 x
Grado di un’equazione
Il grado del polinomio A(x), una volta che l'equazione è nella forma normale A(x) = 0.
ESEMPIO
x 2 + 2x + 1 = x 2
forma normale
2x + 1 = 0 equazione di 1° grado
Numero che, sostituito nell’equazione al posto dell’incognita, la trasforma in una uguaglianza vera.
ESEMPI –1 è una soluzione dell’equazione + 2 non è una soluzione dell’equazione x 2
1 = 0 perché, sostituendo –1 x 2 – 1 = 0 perché, sostituendo + 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza al posto di x, si ottiene l’uguaglianza vera: (– 1) 2 – 1 = 0, ossia 0 = 0. falsa: (+ 2) 2 – 1 = 0, ossia 3 = 0.
Equazioni equivalenti
Equazioni che hanno le stesse soluzioni.
ESEMPIO
2x = 2 e 3x = 3 sono equivalenti perché hanno entrambe soluzione x = 1.
Classificazione in base alle soluzioni
Un’equazione di primo grado si dice:
• determinata se ammette una sola soluzione;
• impossibile se non ammette alcuna soluzione;
• indeterminata se ammette infinite soluzioni.
ESEMPI
• 2x = 2 è determinata perché ha l’unica soluzione x = 1.
• 0x = 2 è impossibile perché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0, non 2.
• 2x = 2x è indeterminata perché è verificata per ogni valore reale di x.
Si può aggiungere o sottrarre a entrambi i membri di un’equazione uno stesso termine (primo principio di equivalenza).
Si può trasportare un termine che compare come addendo da un membro all’altro di un’equazione cambiandogli il segno.
Se in un’equazione compaiono due termini uguali, uno al primo membro e uno al secondo, questi si possono «sopprimere».
Si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, purché questo sia diverso da zero (secondo principio di equivalenza).
METODO
x 1) 4x 12 = 3(x + 1) 12
12 m.c.m.(2, 3, 4)
6(2x – 1) – 4x = 3(1 + x)
12x – 6 – 4x = 3 + 3x
12x – 4x – 3x = 6 + 3
5x = 9 x = 9 5
1. Se l’equazione è a coefficienti frazionari, si riconducono i due membri al minimo comune denominatore, poi si moltiplicano per il denominatore comune per ricondursi a una equazione a coefficienti interi.
2. Si svolgono eventuali calcoli.
3. Si portano tutti i termini con la x al primo membro e quelli numerici al secondo.
4. Si risolve l’equazione del tipo ax = b a cui si giunge.
1 Completa la seguente tabella, seguendo l’esempio. Equazione Sostituisci al posto di x il numero ...
Ottieni l’uguaglianza... L’uguaglianza ottenuta è vera o falsa?
Il numero sostituito al posto di x è una soluzione dell’equazione?
2 Completa la tabella, seguendo i passi indicati nella prima colonna e l’esempio svolto nella seconda.
3 Caccia all’errore. Nella prima colonna della seguente tabella sono riportate le risoluzioni di alcune equazioni. Nel risolvere le equazioni sono stati commessi, però, vari errori. Individuali e correggili.
Problemi e modelli
4 Completa la risoluzione dei seguenti problemi.
Passi Problema 1 Problema 2
Testo del problema In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 104 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?
1. Individuare dati e obiettivo Dati:
• 30 veicoli (auto o moto)
• in tutto ci sono ........ ruote
Obiettivo: n° di auto e n° di moto
2. Formalizzare il problema
Sia x il numero di auto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale. Possiamo scrivere l’equazione: 4 x + 2 ( ) = 104 numero di ruote delle auto numero di ruote delle moto
In un parcheggio ci sono auto e moto. In totale ci sono 30 veicoli e tali veicoli hanno complessivamente 99 ruote. Quante auto e quante moto ci sono nel parcheggio?
Dati:
• 30 veicoli (auto o moto)
• in tutto ci sono ........ ruote
Obiettivo: n° di auto e n° di moto
Sia x il numero di moto del parcheggio. Osserviamo che x dovrà essere un numero naturale. Possiamo scrivere l’equazione:
4 (30 x) + = 99
3. Risolvere l’equazione Risolviamo l’equazione: x = ........ Risolviamo l’equazione: x = ........
4. Interpretare la soluzione e concludere
La soluzione trovata (numero di auto) è accettabile in quanto è un numero naturale. Concludiamo che, nel parcheggio, ci sono: auto e 30 = moto
La soluzione trovata (numero di moto) non è accettabile in quanto non è un numero Concludiamo che la situazione descritta nel problema è impossibile.
5 A fianco di ciascun problema è indicata l’equazione che lo formalizza, in cui x indica il numero di risposte non date. Completa l’equazione, risolvila e concludi la risoluzione del problema.
Problema 1. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 2 punti per ogni risposta esatta, 0 punti per ogni risposta non data e toglie un punto per ogni risposta sbagliata. Il punteggio totale ottenuto è stato 16 e le risposte sbagliate sono state uguali a quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
Problema 2. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 28 e le risposte sbagliate sono state tante quante quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
Problema 3. Un test è formato da 20 domande; l’insegnante assegna 3 punti per ogni risposta esatta e toglie un punto per ogni risposta sbagliata o non data. Il punteggio totale ottenuto è stato 20 e le risposte sbagliate sono state il quadruplo di quelle non date. Quante sono state le risposte esatte?
2(20 .....) + 0 x 1 x = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio relativo alle risposte non date
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate
punteggio totale
.....(20 .....) 1 ..... = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date
punteggio totale
.....(20 .....) 1 5x = .....
punteggio relativo alle risposte esatte
punteggio tolto a causa delle risposte sbagliate o non date
punteggio totale
1 L’equazione 1 2 + 2x = x 3 + 1 nell’incognita x è:
A numerica intera
B numerica frazionaria
2 L’equazione 1 x = a 2 + x nell’incognita x è:
A numerica intera
B numerica frazionaria
3 L’equazione 5x = 0 è:
A determinata
B indeterminata, ma non un’identità
4 L’equazione 0x = 100 è:
A determinata
B indeterminata, ma non un’identità
C letterale intera
D letterale frazionaria
C letterale intera
D letterale frazionaria
C impossibile
D un’identità
C impossibile
D un’identità
Scrivi le seguenti equazioni in forma normale e stabiliscine il grado.
5 (x 1)2 = (x + 1)2 + x2
6 x(x 1)(x 2) = x 3 3x 2
7 (x + 1)3 = (x 1)3 8 (x 1)(x + 1) = 1 + (x 2)2
Stabilisci se quella indicata a fianco è una soluzione dell’equazione. 9 (x 3)2 = 1 x = 2
(2 x 3)2 = 9 x = 3
35 Completa l’equazione x + 2 = 2 x + in modo che abbia come soluzione 0.
36 Completa l’equazione 3x 2 = 5x ….. ….. in modo che risulti indeterminata.
37 Completa l’equazione 3x 2 = 5x + in modo che risulti impossibile.
Invalsi
38 Una sorgente di montagna alimenta continuamente un serbatoio con 5 m3 di acqua ogni settimana. Oggi il serbatoio contiene 100 m3 di acqua e un villaggio inizia a prelevare 7 m3 di acqua alla settimana.
a. Completa la seguente tabella relativa al numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane a partire da oggi.
t (settimane) 0 1 2 3 4
n (m3) 100
b. Scrivi un’espressione che rappresenti il numero n di m3 di acqua contenuti nel serbatoio in funzione del numero t di settimane.
c. Dopo quante settimane il serbatoio sarà vuoto?
A 20 settimane C 98 settimane
B 50 settimane D 102 settimane
39 Un palo verticale è piantato in uno stagno. Un quinto del palo è interrato nel fondale, un sesto è immerso in acqua e la parte del palo che esce dall’acqua è lunga 8,9 metri.
a. Quale delle seguenti equazioni consente di determinare la lunghezza totale x del palo?
A 1 5 + 1 6 + 8, 9 = x B 1 5
b. Qual è la lunghezza totale x del palo? Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e poi riporta il risultato arrotondato alla seconda cifra decimale: ..................................................................
Risultato: m [b. 14,05 m] (Prova Invalsi 2015)
Problemi e modelli
40 Un paio di pantaloni, dopo uno sconto del 15%, viene venduto al prezzo di 34 euro. Qual era il prezzo originario dei pantaloni? [40 euro]
41 Un appartamento viene acquistato in tre rate: prima si paga il 10%, poi il 50% della cifra rimanente e infine si salda il conto versando 36000 euro. Quanto costa l’appartamento?
[80000 euro]
42 Si vuole formare la somma di 10 euro utilizzando 18 monete, alcune da 1 euro e altre da 50 centesimi. Quante monete da 1 euro e quante da 50 centesimi sono necessarie?
[2 monete da 1 euro e 16 da 50 centesimi]
43 Un padre, che ha 36 anni, ha un figlio di 14 anni. Fra quanti anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio? [Fra 8 anni]
44 Determina due numeri naturali consecutivi in modo che la loro somma, diminuita di 18, uguagli il triplo della differenza fra il maggiore e il doppio del minore. [4 e 5]
45 In un trapezio isoscele la base maggiore supera di 9 cm la metà della base minore, mentre i lati obliqui superano di 1 cm i 2 3 della base minore. Sapendo che il perimetro del trapezio è 28 cm, determina le lunghezze dei lati del trapezio. [12 cm, 6 cm, 5 cm, 5 cm]
46 Mirko ha notato che il giardino sotto casa è di forma quadrata, e che riducendone i lati di un metro soltanto, la sua area diminuirebbe di 65 metri quadrati. Qual è l’area del giardino, in metri quadrati? [1089 m2]
47 Su una nave da crociera ci sono 700 passeggeri. Quelli che viaggiano in classe lusso sono
1
4 di quelli di prima classe, e i passeggeri di seconda classe sono i 7 3 della somma delle altre due. Sapendo che tutti i passeggeri sono o in prima classe o in seconda classe o in classe lusso, quanti passeggeri ci sono in ogni classe?
[Classe lusso: 42; prima classe: 168; seconda classe: 490]
Triangoli
Il lato AB è opposto all’angolo γ, adiacente ad α e β.
L’angolo α è opposto al lato BC, adiacente ad AB e AC L’angolo γ è compreso tra i lati AC e BC
Classificazione rispetto ai lati
Un triangolo si dice:
• isoscele se ha almeno due lati congruenti;
• equilatero se ha i tre lati congruenti;
• scaleno se non ha lati congruenti. triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno
Classificazione rispetto agli angoli
Un triangolo si dice:
• acutangolo se tutti i suoi angoli sono acuti;
• ottusangolo se ha un angolo ottuso;
• rettangolo se ha un angolo retto. triangolo acutangolo triangolo ottusangolo triangolo rettangolo
Segmenti notevoli
• Altezza relativa a un lato: il segmento che partendo dal vertice opposto incontra il lato stesso o il suo prolungamento formando due angoli retti.
• Bisettrice uscente da un vertice: il segmento costituito dai punti della bisettrice dell’angolo interno appartenenti al triangolo.
• Mediana relativa a un lato: il segmento che congiunge il vertice opposto con il punto medio del lato stesso. altezza relativa a BC mediana relativa a BC
A
Criterio di congruenza A parole
Primo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra di essi compreso
Secondo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli a esso adiacenti
Terzo criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
Teorema A parole
Angoli alla base di un triangolo isoscele
In un triangolo isoscele (cioè avente due lati congruenti), gli angoli adiacenti alla base sono congruenti.
Teorema inverso del teorema precedente
Proprietà del triangolo isoscele
Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele e ha come base il lato adiacente agli angoli congruenti.
In un triangolo isoscele, l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice.
Teorema A parole In simboli
Primo teorema dell’angolo esterno
Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni a esso non adiacenti.
Corollari del teorema precedente
La somma di due qualsiasi angoli interni di un triangolo è sempre minore di un angolo piatto.
In ogni triangolo, almeno due degli angoli interni sono acuti.
Relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo
Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
In ogni triangolo a lato maggiore è opposto angolo maggiore.
Viceversa, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore.
Corollari del teorema precedente
In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti.
In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di ciascuno degli altri due lati.
Disuguaglianza triangolare
Ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (la differenza, naturalmente, va intesa sottraendo dal lato maggiore il lato minore).
Negli esercizi 1, 2 e 3, fai riferimento al seguente teorema: «Sia APB un triangolo; prolunga BP, dalla parte di P, di un segmento PD congruente a BP; prolunga AP, dalla parte di P, di un segmento PC congruente ad AP. Dimostra che AB ≅ CD e BC ≅ AD».
1 Individua l’ipotesi e la tesi del teorema e contrassegna nella figura con uno stesso simbolo gli elementi che sono congruenti per ipotesi.
IPOTESI: A, P, C allineati; AP ≅ PC,
TESI: ..............................
2 Completa le parti mancanti e indica con una crocetta le risposte corrette.
a. Nei due triangoli APD e BPC, per quale ragione risulta AP ≅ ..... e DP ≅ .....?
Per ipotesi
Perché somme di segmenti congruenti
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
b. Nei due triangoli APD e BPC, per quale ragione risulta AP ! D ≅ C P ! B ?
Per ipotesi
Perché opposti al vertice
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
c. In base a quale criterio i due triangoli APD e BPC sono congruenti?
Primo criterio di congruenza
Secondo criterio di congruenza
Terzo criterio di congruenza
d. Dal punto c. segue che AD ≅ Per quale ragione?
Per ipotesi
Per i criteri di congruenza dei triangoli
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
e. In base a quale criterio i due triangoli APB e CPD sono congruenti?
Primo criterio di congruenza
Secondo criterio di congruenza
Terzo criterio di congruenza
f. Dal punto e. segue che AB ≅ ..... Per quale ragione?
Per ipotesi
Per i criteri di congruenza dei triangoli
Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti
3 Completa la dimostrazione del teorema di cui nell’esercizio 1 hai espresso ipotesi e tesi, tenendo conto dei passi suggeriti nell’esercizio precedente.
Consideriamo i triangoli APB e CPD. Essi hanno:
• AP ≅ per .
• BP ≅ per
• AP ! B ≅ .......... , perché
Risultano quindi congruenti per il criterio di congruenza e quindi hanno anche congruenti i lati rimanenti: e
Consideriamo ora i triangoli APD e CPB. Essi hanno:
• AP ≅ per
• BP ≅ ..... per .......................................
• AP ! D ≅ .......... , perché ................................................................................ .
Risultano quindi congruenti per il ............................................. criterio di congruenza e quindi hanno anche congruenti i lati rimanenti: ..... e ..... .
