UNITÀ 8 Equazioni di primo grado

A equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni si dà un nome particolare.

DEFINIZIONE Equazioni equivalenti

Due equazioni con lo stesso dominio si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Le due equazioni x 2 = 0 e 5x 10 = 0 hanno entrambe come insieme delle soluzioni S = {2}, quindi sono equivalenti. Nel prossimo paragrafo presenteremo delle regole che permettono di trasformare una data equazione in un’altra equazione, equivalente a quella originaria. Queste regole ci saranno utili, successivamente, per risolvere le equazioni.

Equazioni determinate, impossibili, indeterminate e identità finito 2x = 4 infinito 2(x + 3) = 2x + 6

Si può effettuare una classificazione delle equazioni in base alle caratteristiche dell’insieme delle soluzioni, come spiegato nella seguente tabella.

L’insieme delle soluzioni può essere...

Esempio L’equazione si dice...

L’unica soluzione dell’equazione è 2, quindi S = {2}.

S è un insieme finito.

In base alla proprietà distributiva, questa equazione è soddisfatta per ogni x ∈ R vuoto x2 = 1

Ogni numero reale ha come quadrato un numero non negativo, quindi l’equazione non ha soluzioni: S = ∅ propria o determinata indeterminata impossibile

In questo volume e nel successivo studieremo per lo più soltanto equazioni algebriche, cioè equazioni i cui due membri sono costituiti da espressioni algebriche (polinomi o espressioni frazionarie). In questo ambito, le equazioni indeterminate hanno una particolare caratteristica: risultano essere sempre delle identità.

DEFINIZIONE Identità

Una identità è un’uguaglianza tra due espressioni, contenente una o più variabili, verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle variabili, con l’esclusione dei valori che fanno eventualmente perdere significato a una delle due espressioni.

Per esempio: 2(x + 3) = 2x + 6 è un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R è un’identità perché è soddisfatta per ogni x ∈ R {1}, essendo x = 1 l’unico valore per cui perde significato

Esercizi p. 348

PER SAPERNE DI PIÙ Le equazioni indeterminate sono sempre identità? Abbiamo detto che nell’ambito delle equazioni algebriche le equazioni indeterminate sono identità (e viceversa). Ciò non è più vero se si considerano equazioni non algebriche. Per esempio, l’equazione |x | = x, in base alla definizione di valore assoluto, ha come insieme delle soluzioni S = {x ∈ R | x ≥ 0}: si tratta di un’equazione indeterminata (perché ha infinite soluzioni); tuttavia non è un’identità (per esserlo avrebbe dovuto essere soddisfatta per ogni valore di x per cui è definita, cioè per ogni x ∈ R).