Principi di equivalenza per le equazioni

Alcune proprietà delle uguaglianze

Nell’insieme dei numeri reali, l’addizione e la moltiplicazione godono di diverse proprietà. Riassumiamo nella seguente tabella quelle su cui si fondano i principi di equivalenza per le equazioni.

Addizione Moltiplicazione

Se a e b sono due numeri reali uguali, allora sono uguali anche i numeri che si ottengono aggiungendo a essi uno stesso numero reale c: se a = b, allora a + c = b + c

Se a, b e c sono tre numeri reali e a + c è uguale a b + c, allora a e b sono uguali: se a + c = b + c, allora a = b

Se a e b sono due numeri reali uguali, allora sono uguali anche i numeri che si ottengono moltiplicandoli per uno stesso numero reale c: se a = b, allora a c = b c

Se a, b e c sono tre numeri reali, con c diverso da 0, e inoltre ac è uguale a bc, allora a e b sono uguali: se a c = b c e c ≠ 0, allora a = b

Anziché dimostrare tali proprietà rigorosamente, cioè sulla base della struttura aritmetica dell’insieme dei numeri reali, preferiamo fornirne la classica interpretazione in termini di bilance a due piatti (probabilmente a te già nota dai tuoi studi precedenti, ma sempre efficace).

VISUALIZZA LE IDEE Uguaglianze e bilance a due piatti

• L’equivalenza a = b ⇔ a + c = b + c può essere facilmente interpretata così: se i due piatti di una bilancia sono in perfetto equilibrio perché contenenti pesi identici, essi mantengono inalterato l’equilibrio se si aggiungono (o sottraggono) a entrambi pesi uguali. a = ba+c = b

• L’equivalenza a = b ⇔ a c = b c (essendo c ≠ 0) si presta altrettanto bene all’immagine: se i due piatti di una bilancia sono in perfetto equilibrio perché contenenti pesi identici, essi mantengono inalterato l’equilibrio se si raddoppiano (triplicano, dimezzano ecc.) i rispettivi pesi.

Primo principio di equivalenza

Data la sua importanza, presentiamo il primo principio di equivalenza come teorema, ben evidenziandolo. Noterai come esso dipenda sostanzialmente dalle proprietà dell’uguaglianza in relazione con le operazioni di addizione e sottrazione.