Equazioni di primo grado

Equazioni di primo grado

Introduzione alle equazioni

Che cos’è una equazione?

Consideriamo i seguenti problemi.

PROBLEMA 1

Il responsabile delle vendite di un negozio di abbigliamento ha un lotto di 50 T-shirt, di cui 15 a tinta unita e 35 stampate. Vuole vendere le T-shirt stampate a un prezzo superiore di 4 euro rispetto al prezzo di quelle a tinta unita; inoltre desidera che il ricavo complessivo generato dalla vendita di tutte le T-shirt del lotto sia di 800 euro. Quali prezzi di vendita deve fissare per i due modelli di T-shirt?

Indichiamo con x il prezzo incognito (in euro) al quale vanno vendute le T-shirt a tinta unita e osserviamo che allora le T-shirt stampate andranno vendute al prezzo (in euro) uguale a x + 4. Possiamo così formalizzare le informazioni fornite dal testo del problema:

15x ricavo delle T-shirt a tinta unita

+ 35 (x + 4) ricavo delle T-shirt stampate

= 800 ricavo complessivo

[1]

Per risolvere il Problema 1 occorre dunque determinare il numero x che rende vera la [1]

Problema 2

Esistono varie formule per il calcolo del peso ideale. Secondo le formule di Lorenz, il peso ideale di una donna e il peso ideale di un uomo (in kg) sono espressi rispettivamente dalle formule seguenti, dove h indica il valore numerico dell’altezza (in cm):

Pdonna = h 100 0,5(h 150)

Puomo = h 100 0,25(h 150)

Secondo queste formule, a quale altezza corrisponde un peso ideale di 70 kg?

Occorre determinare il numero h per cui risulta vera l’uguaglianza:

70 = h 100 0,5(h 150) per una donna [2] e il valore di h per cui risulta:

70 = h 100 0,25(h 150) per un uomo [3] La [1], la [2] e la [3] sono esempi di equazioni.

DEFINIZIONE Equazione

Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni che contiene almeno una lettera, detta incognita, di cui si cercano gli eventuali valori per i quali l’uguaglianza è vera.

L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro dell’equazione, l’espressione a destra si chiama secondo membro Nella [1] l’incognita è ovviamente x e abbiamo che:

15x + 35(x + 4) = 800 è il primo membro è il secondo membro Nelle equazioni [2] e [3] l’incognita è h. numerica se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, non compaiono parametri. letterale (o parametrica) se, oltre all’incognita e a eventuali costanti, compare almeno un parametro.

Oltre all’incognita (e a eventuali costanti), in un’equazione possono comparire altre lettere, dette parametri: i parametri sono lettere che rappresentano un valore che si suppone noto, ma che non viene specificato per conferire al problema maggiore generalità.

Una equazione si dice... ... intera, se l’incognita non compare in alcun divisore (in particolare in alcun denominatore).

Esempi di equazioni numeriche intere:

5x = 1 + 2x; 3 2 x = x 2

Esempi di equazioni letterali intere nell’incognita x: k(x 1) = x + k; 4x = x a 3 k è il parametro a è il parametro

... frazionaria, se non è intera.

Esempi di equazioni numeriche frazionarie: x = 1 x ; 2x 1 x + 3 = 0

Esempi di equazioni letterali frazionarie nell’incognita x: 1 = 1 kx x ; ax + 2 x 2 = 0 k è il parametro a è il parametro

In questa unità ci occuperemo di equazioni numeriche intere in una incognita che, salvo avviso contrario, indicheremo con la lettera x ; le equazioni frazionarie e letterali verranno invece trattate successivamente.

Le soluzioni e il dominio di un’equazione

Data un’equazione nell’incognita x, si chiama soluzione o radice dell’equazione un numero che, sostituito nell’equazione al posto di x, trasforma l’equazione in una uguaglianza vera. Se un certo numero è una soluzione, si dice anche che questo numero soddisfa o verifica l’equazione data.

Come mostriamo nel prossimo esempio, è immediato verificare per sostituzione se un dato numero è oppure no soluzione di un’equazione.

ESEMPIO Verifica delle soluzioni di un’equazione

Consideriamo l’equazione x 2 1 = 0:

• 1 è una sua soluzione perché, sostituendo 1 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza 12 1 = 0, cioè 0 = 0, che è vera;

• 2 non è una soluzione dell’equazione perché, sostituendo 2 al posto di x, si ottiene l’uguaglianza ( 2)2 1 = 0, cioè 3 = 0, che è falsa.

Indicheremo con la lettera S l’insieme formato dalle soluzioni di un’equazione. Per esempio, l’ insieme delle soluzioni dell’equazione x + 2 = 0 sarà indicato con S = {−2}.

Le soluzioni di un’equazione dipendono dall’insieme numerico dove si cercano tali soluzioni, che prende il nome di dominio o insieme di definizione dell’equazione. Salvo avviso contrario, risolveremo le equazioni assumendo come dominio l’insieme R dei numeri reali.

ESEMPIO Dominio di un’equazione

L’equazione 2x = 1, se assumiamo come dominio R , ammette come soluzione x = 1 2

La stessa equazione non ammette soluzioni se assumiamo come dominio l’insieme N, perché non esiste alcun numero naturale che, moltiplicato per 2, dà come risultato 1.