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Una historia de razones

Razones y tasas

APRENDER ▸ Razones, tasas y porcentajes

Libro para estudiantes

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El tema de esta pintura impresionista de perspectiva aérea es una intersección en París durante un día gris y lluvioso. En esta escena, Gustave Caillebotte crea una sensación de profundidad al usar la perspectiva y la proporción de diversas formas, por ejemplo, ubicando figuras grandes en primer plano y figuras más pequeñas a lo lejos. Imagina que hay un plano de coordenadas en el edificio del fondo. ¿Cómo podrías determinar la distancia desde el frente del edificio hasta el fondo usando el plano de coordenadas?

En la portada

Paris Street; Rainy Day, 1877

Gustave Caillebotte, French, 1848–1894 Oil on canvas

The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA

Gustave Caillebotte (1848–1894). Paris Street; Rainy Day, 1877 Oil on canvas, 212.2 x 276.2 cm (83 1/2 x 108 3/4 in). Charles H. and Mary F. S. Worcester Collection (1964.336). The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA. Photo Credit: The Art Institute of Chicago/Art Resource, NY

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Una historia de razones

Razones y tasas ▸

APRENDER

Módulo 1

Razones, tasas y porcentajes

Module

2

Module 3

Module 4

Module 5 Module 6

Operaciones con fracciones y números de varios dígitos

Números racionales

Expresiones y ecuaciones de un paso

Área, área de la superficie y volumen

Estadística, probabilidad y poblaciones

Contenido

Razones, tasas y porcentajes

Tema A 5

Razones

Lección 1

Frascos de caramelos

Lección 2

Introducción a las razones

7

13

Lección 3 23

Razones y diagramas de cinta

Lección 4

Explorar razones formando tandas

37

Lección 5 49

Razones equivalentes

Tema B

Conjuntos de razones equivalentes

Lección 6

Tablas de razones y rectas numéricas dobles

63

65

Lección 7 83

Gráficas de relaciones de razones

Lección 8

Patrones de suma en las relaciones de razones

99

Lección 9 115

Patrones de multiplicación en las relaciones de razones

Lección 10

Razonamiento multiplicativo en las relaciones de razones

Lección 11

Aplicaciones del razonamiento sobre razones

Tema C .

Comparar relaciones de razones

Lección 12

Diversas relaciones de razones

129

Lección 13

Comparar relaciones de razones, parte 1

Lección 14

Comparar relaciones de razones, parte 2

Lección 15

El valor de la razón

171

187

143

155

157

Tema D 213

Tasas

Lección 16

Velocidad

Lección 17

Tasas

Lección 18 .

Comparar tasas

Lección 19

Usar tasas para convertir unidades

Lección 20 275

Resolver problemas de tasas

Lección 21

Resolver problemas de tasas de varios pasos

Tema E

Porcentajes

Lección 22

Introducción a los porcentajes

Lección 23

Hallar el porcentaje

Lección 24

Hallar una parte

Lección 25

Hallar el total

Lección 26

Resolver problemas de porcentajes

Recursos

Práctica mixta 1 381

Práctica mixta 2 385

Recursos de la sección Fluidez

Lección 6 Rectas numéricas 387

Lección 7 Cuadrante I

Práctica veloz: Comparar fracciones .

Práctica veloz: Conversión de medidas del sistema inglés .

389

391

395

Práctica veloz: Notación decimal para fracciones con denominadores de 10 o 100. . . 399

Práctica veloz: Fracciones equivalentes con denominadores de 10 o 100 ............ 403

Práctica veloz: Factores de 100

Práctica veloz: Conversión en el sistema métrico .

Créditos

Agradecimientos .

407

411

415

416

Razones de pintura

¡¿Qué hiciste?!

Me refería a la razón de rojo a blanco, ¡no a la razón de pintura a casa!

¡Ja! ¡Ups!

Compré la pintura en una razón de 2 a 1, como me dijiste.

La magia de las razones es que nos permiten comparar cantidades: cantidades como “galones de pintura roja” y “galones de pintura blanca”; o “tazas de harina” y “tazas de azúcar”; o “número de personas adultas” y “número de estudiantes”.

Rojo Blanco Rojo

Rojo Rojo Blanco

Pero debemos prestar atención. Al usar una razón, ¡debemos especificar qué cantidades estamos comparando! De lo contrario, podríamos cometer errores graves.

Una razón de 2 a 1 de galones de pintura roja a galones de pintura blanca dará como resultado un agradable tono rosa. Pero una razón de 2 a 1 del volumen de latas de pintura al volumen de la casa en sí dará como resultado una enorme pila de latas de pintura que será dos veces mayor que el tamaño de la casa que se quiere pintar.

Eso no es recomendable, a menos que intentes construir una casa nueva y más grande hecha de latas de pintura. En ese caso, ¡adelante, hazlo!

LECCIÓN

Frascos de caramelos

Explorar

Pregunta de enfoque:

Nombre Fecha

El costo de los caramelos

Pregunta de enfoque:

BOLETO DE SALIDA 1

¿Cómo se relacionan tu estimación del número de caramelos que caben en cada frasco y el número real de caramelos que caben en cada frasco? Explica por qué tu estimación fue diferente del número real.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. ¿Cómo usaste herramientas matemáticas para estimar el número de caramelos que había en cada frasco?

2. Quieres estimar cuánto se tardará en llenar de agua con una manguera una cubeta de 5 galones.

a. ¿Qué información necesitas para responder tu pregunta?

b. ¿Qué suposiciones tendrías que hacer para responder tu pregunta?

c. Con un cronómetro, registras el tiempo que se tarda en llenar con una manguera un frasco de 8 onzas. Luego, descubres que se tarda 2.5 segundos. Con esta información, ¿cuál es una estimación razonable del tiempo que se tardará en llenar con una manguera la cubeta de 5 galones? Explica tu razonamiento.

Nombre Fecha

Recuerda

En los problemas 3 a 5, multiplica.

6. Convierte 24 yardas a pies.

7. ¿Qué enunciados describen correctamente la ecuación 12 × 15 = 180? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 180 es 15 más que 12.

B. 180 es igual a 15 veces 12

C. 180 es igual a 12 veces 15.

D. 180 es 12 más que 15.

E. 180 representa 12 grupos de 15

3. 471 × 3

4. 809 × 4

5. 975 × 5

LECCIÓN

Nombre

Introducción a las razones

Un nuevo lenguaje

1. Lisa tiene 9 fichas. Toby tiene 13 fichas. ¿Qué enunciados describen la relación entre las dos cantidades? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Lisa tiene 9 13 de la cantidad de fichas que tiene Toby.

B. Lisa tiene 13 9 de la cantidad de fichas que tiene Toby.

C. Una razón que relaciona el número de fichas que tiene Lisa con el número de fichas que tiene Toby es 9 : 13.

D. Una razón que relaciona el número de fichas que tiene Lisa con el número de fichas que tiene Toby es 13 : 9.

E. Por cada 9 fichas que tiene Lisa, Toby tiene 13 fichas.

F. Por cada 9 fichas que tiene Toby, Lisa tiene 13 fichas.

De las fichas al té

2. Una receta de limonada lleva 2 limones y 5 tazas de agua. ¿Qué enunciados describen la relación entre las dos cantidades? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Una razón que relaciona el número de limones con el número de tazas de agua es 2 a 5.

B. Una razón que relaciona el número de tazas de agua con el número de limones es 5 a 2.

C. Una razón que relaciona el número de tazas de agua con el número de limones es 2 a 5

D. Por cada 5 tazas de agua, hay 2 limones.

E. Por cada 2 tazas de agua, hay 5 limones.

F. La cantidad de agua es 2 1 2 veces la cantidad de limones.

Fecha

3. Para preparar pintura de color azul claro, Ryan mezcla 2 onzas de pintura blanca con 6 onzas de pintura azul. En las partes (a) a (e), completa los espacios.

a. Una razón que relaciona el número de onzas de pintura blanca con el número de onzas de pintura azul es .

b. Una razón que relaciona el número de onzas de pintura azul con el número de onzas de pintura blanca es .

c. Por cada onzas de pintura blanca, Ryan mezcla 6 onzas de pintura azul.

d. Por cada 1 onza de pintura blanca, Ryan mezcla onzas de pintura azul.

e. La cantidad de pintura azul que Ryan usa es veces la cantidad de pintura blanca.

Nombre Fecha

Considera las latas de pintura azul y las latas de pintura roja.

En las partes (a) a (d), completa el espacio.

a. Una razón que relaciona el número de latas de pintura azul con el número de latas de pintura roja es .

b. Una razón que relaciona el número de latas de pintura roja con el número de latas de pintura azul es .

c. La cantidad de latas de pintura azul es de la cantidad de latas de pintura roja.

d. Por cada latas de pintura azul, hay latas de pintura roja.

Azul Azul Azul Rojo Rojo

Azul Azul Rojo Rojo

RESUMEN

Nombre Fecha

Introducción a las razones

En esta lección:

• escribimos razones que relacionan dos cantidades;

• usamos el lenguaje de la comparación multiplicativa para comparar dos cantidades;

• usamos el lenguaje de las razones para comparar dos cantidades.

Ejemplos

Vocabulario

Una razón es un par ordenado de números en el que no sean ambos cero.

Una razón se puede escribir como

A a B o como A : B

1. Considera la colección de figuras que se muestra. ¿Qué enunciados describen correctamente la colección de figuras? Elige todas las opciones que correspondan.

El orden en el que se describen las cantidades nos indica el orden de los números en la razón.

Entonces, la razón del número de rectángulos naranjas al número de pentágonos azules es 4 : 5, no 5 : 4.

A. Una razón que relaciona el número de rectángulos naranjas con el número de pentágonos azules es 5 : 4.

B. La cantidad de pentágonos es 2 1 2 veces la cantidad de círculos.

C. Por cada 1 círculo, hay 2 rectángulos.

D. La cantidad de rectángulos naranjas es 1 2 de la cantidad de círculos amarillos.

Una razón que relaciona el número de pentágonos con el número de círculos es 5 : 2

Eso significa que la cantidad de pentágonos es 5 2 , o 2 1 2 , de la cantidad de círculos.

Por cada 2 círculos, hay 4 rectángulos. Eso significa que hay el doble de rectángulos que de círculos.

Entonces, por cada 1 círculo, hay 2 rectángulos.

Por cada 4 figuras naranjas, hay 2 figuras amarillas. Eso significa que la cantidad de rectángulos naranjas es 2 veces la cantidad de círculos amarillos, no 1 2 de esa cantidad.

2. Hay 12 estudiantes en la clase de Orquesta. En la clase de Banda, hay 4 veces la cantidad de estudiantes que en la clase de Orquesta.

a. Escribe una razón que relacione el número de estudiantes que hay en la clase de Orquesta con el número de estudiantes que hay en la clase de Banda.

Una razón que relaciona el número de estudiantes que hay en la clase de Orquesta con el número de estudiantes que hay en la clase de Banda es 12 : 48

El número de estudiantes que hay en la clase de Banda es 48 porque 4 × 12 = 48

b. Scott usa el lenguaje de las razones para describir la razón de la parte (a). Dice que por cada 1 estudiante que hay en la clase de Orquesta, hay 4 estudiantes en la clase de Banda. ¿Está Scott en lo correcto? ¿Por qué?

Sí. Scott está en lo correcto porque en la clase de Banda hay 4 veces la cantidad de estudiantes que en la clase de Orquesta y 1 × 4 = 4

En la clase de Orquesta, hay 1 4 de la cantidad de estudiantes que hay en la clase de Banda.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA 2

1. La receta de un batido de frutas lleva bananas y fresas en la razón que se representa en la imagen.

En las partes (a) a (d), completa los espacios.

A. Una razón que relaciona el número de fresas con el número de bananas es .

B. La cantidad de fresas es de la cantidad de bananas.

C. Por cada bananas, hay 7 fresas.

D. La cantidad de bananas es de la cantidad de fresas.

2. Considera la colección de figuras que se muestra. ¿Qué enunciados describen correctamente la colección de figuras? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Una razón que relaciona el número de cuadrados rojos con el número de círculos azules es 4 : 3.

B. La cantidad de triángulos es 2 veces la cantidad de cuadrados.

C. La cantidad de triángulos es 1 2 de la cantidad de cuadrados.

D. Por cada 1 triángulo, hay 2 cuadrados.

E. Una razón que relaciona el número de cuadrados con el número de círculos es 3 : 4.

3. Sasha dice que, en la imagen del problema 2, la cantidad de círculos es 1 1 2 veces la cantidad de triángulos. ¿Está en lo correcto? Explica.

4. En un refugio de animales, hay 9 perros y 15 gatas en adopción. Completa los espacios para hacer que los enunciados sean verdaderos.

a. Por cada perros, hay 15 gatas.

b. Por cada 3 perros, hay gatas.

c. La cantidad de gatas es de la cantidad de perros.

5. En la escuela intermedia, hay una clase optativa durante la última hora de la jornada escolar. Hay 11 estudiantes que asisten a la clase de Arte. La cantidad de estudiantes que asisten a la clase de Música es 3 veces la cantidad de estudiantes que asisten a la clase de Arte.

a. ¿Qué razón relaciona el número de estudiantes que asisten a la clase de Música con el número de estudiantes que asisten a la clase de Arte?

b. Kayla usa el lenguaje de las razones para describir la razón de la parte (a). Dice que por cada 3 estudiantes que asisten a la clase de Música, hay 1 estudiante que asiste a la clase de Arte. ¿Está Kayla en lo correcto? ¿Por qué?

Recuerda

En los problemas 6 a 8, multiplica.

6. 1,312 × 3

7. 2,214 × 4

8. 5,631 × 5

9. Convierte 5 horas a minutos.

10. Cada modelo se divide en secciones iguales. ¿Qué modelos tienen una porción sombreada que representa la fracción 1 2 ? Elige todas las opciones que correspondan.

A.

B.

C.

D.

E.

F.

Razones y diagramas de cinta

Organización de camisetas y asientos

1. En la sección de florería de un supermercado, hay 5 ramos de rosas de color rojo y 4 ramos de color rosa. En cada ramo hay media docena de rosas.

a. Escribe y explica el significado de dos razones que podrían representar esta situación.

b. Un florista usa todas las rosas para hacer ramos nuevos. En cada ramo hay una mezcla idéntica de rosas de color rojo y rosas de color rosa. ¿Cuántos ramos puede hacer? ¿Cuántas rosas de color rojo y cuántas de color rosa hay en cada ramo?

c. Usa el lenguaje de las razones para describir la relación entre el número de rosas de color rojo y el número de rosas de color rosa que hay en cada ramo de la parte (b).

Nombre Fecha

Usar diagramas de cinta para representar razones

2. La compañía también ofrece fotos impresas que miden 5 pulgadas de ancho y 7 pulgadas de alto. 5 in

a. Traza un diagrama de cinta para representar la razón del ancho a la altura de la foto.

b. ¿Qué representa 1 unidad en el diagrama de cinta?

c. ¿Cuál es la razón del ancho de la foto a su altura?

d. ¿Cuál es la razón de la altura de la foto a su ancho?

e. La altura de la foto es del ancho de la foto.

f. ¿Cuál es la razón del ancho de la foto a su perímetro?

3. En el diagrama de cinta, se representa la razón del ancho a la altura de muchos televisores antiguos.

Ancho del televisor

Altura del televisor

a. ¿Cuál es la razón del ancho del televisor a su altura?

b. Según el diagrama de cinta, ¿cuánto podría medir de ancho y de alto un televisor antiguo?

Tyler tiene 24 quarters y 6 dimes

a. Escribe y explica el significado de dos razones que podrían representar esta situación.

b. Tyler coloca todas las monedas en bolsas. En cada bolsa hay el mismo número de quarters y el mismo número de dimes. ¿Cuántas bolsas de monedas puede preparar Tyler? ¿Cuántos quarters y cuántos dimes hay en cada bolsa?

c. Usa el lenguaje de las razones para describir la relación entre el número de quarters y el número de dimes que hay en cada bolsa de la parte (b).

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Razones y diagramas de cinta

En esta lección:

• escribimos varias razones para representar la misma situación;

• usamos el lenguaje de las razones para explicar cómo se pueden usar varias razones para describir la misma situación;

• usamos diagramas de cinta para representar razones.

Ejemplos

1. Una organización benéfica local reúne juguetes para donar a un hospital infantil. La organización tiene 5 cajas de muñecas y 8 cajas de osos.

a. Escribe una razón que relacione el número de cajas de muñecas con el número de cajas de osos.

5 : 8

b. En cada caja hay 7 juguetes. Escribe una razón que relacione el número total de muñecas con el número total de osos.

35 : 56

Dado que hay 5 cajas con 7 muñecas en cada una, hay un total de 35 muñecas. Dado que hay 8 cajas con 7 osos en cada una, hay un total de 56 osos. Las razones 5 : 8 y 35 : 56 representan esta situación.

Caja de muñecas

Caja de muñecas

Caja de muñecas

Caja de muñecas

Caja de muñecas

Caja de osos

Caja de osos

Caja de osos

Caja de osos

Caja de osos

Caja de osos

Caja de osos

Caja de osos

2. Lisa tiene 12 cajas de pasas y 18 bolsas de palomitas de maíz para usar en cestas de regalos.

a. Escribe una razón que relacione el número de cajas de pasas con el número de bolsas de palomitas de maíz.

Una razón que relaciona el número de cajas de pasas con el número de bolsas de palomitas de maíz es 12 : 18.

b. Lisa prepara 6 cestas de regalos idénticas. ¿Cuántas cajas de pasas y cuántas bolsas de palomitas de maíz hay en cada cesta de regalos?

Puede preparar 6 cestas de regalos que contengan 2 cajas de pasas y 3 bolsas de palomitas de maíz cada una.

Cada uno de los 6 grupos representa una cesta de regalos. En cada grupo hay 2 cajas de pasas y 3 bolsas de palomitas de maíz. Hay un total de 12 cajas de pasas y un total de 18 bolsas de palomitas de maíz.

c. Escribe una razón que relacione el número de cajas de pasas con el número de bolsas de palomitas de maíz que hay en cada cesta de regalos.

La razón del número de cajas de pasas al número de bolsas de palomitas de maíz que hay en cada cesta de regalos es 2 : 3.

d. Usa el lenguaje de las razones para describir la relación entre el número de cajas de pasas y el número de bolsas de palomitas de maíz.

Ejemplo: Por cada 2 cajas de pasas, hay 3 bolsas de palomitas de maíz.

e. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de cajas de pasas al número de bolsas de palomitas de maíz que hay en una cesta de regalos.

Número de cajas de pasas

Número de bolsas de palomitas de maíz

Cada cinta está rotulada con la cantidad que representa. La cinta superior representa la primera cantidad en la razón 2 : 3. La cinta inferior representa la segunda cantidad en la razón 2 : 3

El diagrama tiene dos cintas. En una cinta hay 2 unidades que representan el número de cajas de pasas. En la otra cinta hay 3 unidades que representan el número de bolsas de palomitas de maíz.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. En el refugio local de animales hay 8 bolsas de juguetes para perros y 10 bolsas de juguetes para gatos.

a. Escribe una razón que relacione el número de bolsas de juguetes para perros con el número de bolsas de juguetes para gatos.

b. ¿Qué podría representar la razón 10 : 18?

c. Hay 6 juguetes en cada bolsa de juguetes para mascotas. ¿Cuál es la razón del número total de juguetes para perros al número total de juguetes para gatos?

d. Explica por qué las razones que escribiste en la parte (a) y en la parte (c) representan la misma situación.

2. Sara prepara bolsitas de regalos para una fiesta. Tiene 16 pegatinas y 24 crayones para colocar en las bolsitas.

a. Escribe una razón que relacione el número de pegatinas con el número de crayones.

b. Sara prepara 8 bolsitas de regalos. La razón del número de pegatinas al número de crayones que hay en cada bolsita es la misma. ¿Cuántas pegatinas hay en cada bolsita? ¿Cuántos crayones hay en cada bolsita?

c. Usa el lenguaje de las razones para describir la relación entre el número de pegatinas y el número de crayones que hay en cada bolsita de regalos.

d. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de pegatinas al número de crayones que hay en cada bolsita de regalos.

3. En una tienda de mascotas hay 10 cacatúas y 15 periquitos.

a. Escribe una razón que relacione el número de cacatúas con el número de periquitos.

b. En la tienda de mascotas quieren agrupar las aves de manera que las cacatúas y los periquitos no se encuentren en la misma jaula. Quieren que en cada jaula haya el mismo número de aves. ¿De qué manera se pueden agrupar las aves?

c. Usa los grupos de la parte (b) para escribir la razón del número de grupos de cacatúas al número de grupos de periquitos.

d. Usa el lenguaje de las razones para describir la relación entre el número de cacatúas y el número de periquitos.

e. Explica por qué las razones que escribiste en la parte (a) y en la parte (c) representan la misma situación.

4. En el grupo de estudiantes que ayudaron a limpiar un parque, hay 12 que juegan basquetbol y 18 que integran una banda. ¿Qué enunciados son correctos? Elige todas las opciones que correspondan.

A. La cantidad de estudiantes que integran una banda es 1 1 2 veces la cantidad de estudiantes que juegan basquetbol.

B. La razón del número de estudiantes que integran una banda al número de estudiantes que juegan basquetbol es 12 : 18.

C. La razón del número de estudiantes que juegan basquetbol al número total de estudiantes es 12 : 30.

D. En cada uno de seis grupos de estudiantes podría haber 2 estudiantes que juegan basquetbol y 3 estudiantes que integran una banda.

E. En cada uno de dos grupos de estudiantes que juegan basquetbol y 3 grupos de estudiantes que integran una banda podría haber 6 personas.

F. Hay 2 estudiantes que juegan basquetbol por cada 3 estudiantes que integran una banda.

5. El diagrama de cinta representa la razón del número de claveles al número de margaritas que hay en un ramo de flores.

Número de claveles

Número de margaritas

Usa el lenguaje de las razones para describir la razón que se representa en el diagrama de cinta.

Recuerda

En los problemas 6 a 8, multiplica.

3,132 × 3

2,416 × 4

× 5

9. Usa la regla dada y el número inicial para completar cada patrón numérico.

a. Comienza con 0 y suma 1 2 .

0, , , , ,

b. Comienza con 0 y suma 1.

0, , , , ,

10. Lacy recorre 15 millas en bicicleta el domingo. Esta distancia es 5 veces la distancia que recorrió el sábado. ¿En qué oración numérica se muestra cómo hallar el número de millas que Lacy recorrió en bicicleta el sábado?

A. 15 + 5 = 20

B. 15 - 5 = 10

C. 15 × 5 = 75

D. 15 ÷ 5 = 3

LECCIÓN

Nombre Fecha

Explorar razones formando tandas

Hacer un mosaico

Tandas de pintura

Nombre Fecha

La Sra. Chan prepara ponche para una fiesta. Una razón que relaciona el número de tazas de agua con gas con el número de tazas de jugo que hay en 1 tanda de su ponche es 2 : 5.

Número de tazas de agua con gas

Número de tazas de jugo

a. La Sra. Chan prepara 2 tandas de ponche. ¿Cuántas tazas de agua con gas y cuántas tazas de jugo usa? Usa diagramas de cinta para mostrar tu razonamiento.

b. Si la Sra. Chan usa 15 tazas de jugo para preparar ponche, ¿cuántas tazas de agua con gas usa? Usa diagramas de cinta para mostrar tu razonamiento.

RESUMEN

Nombre Fecha

Explorar razones formando tandas

En esta lección:

• creamos razones formando tandas de cantidades en una razón dada;

• usamos diagramas de cinta para determinar cantidades desconocidas en razones.

Ejemplos

1. En una tanda de la ensalada de frutas de Lacy hay 4 duraznos y 3 kiwis.

Número de du raznos

Número de kiwis

a. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de duraznos al número de kiwis que hay en 1 tanda de la ensalada de frutas de Lacy.

Número de du raznos

Número de kiwis

b. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de duraznos al número de kiwis que hay en 2 tandas de la ensalada de frutas de Lacy.

Número de du raznos

Número de kiwis

Dado que hay 2 tandas de ensalada de frutas, otra manera de representar esta situación es trazar un diagrama de cinta y dar a cada unidad un valor de 2

Número de du raznos

Número de kiwis

2

2 2

c. ¿Cuántos duraznos y cuántos kiwis hay en 2 tandas de la ensalada de frutas de Lacy?

Hay 8 duraznos y 6 kiwis en 2 tandas de la ensalada de frutas de Lacy.

Dado que en 1 tanda de la ensalada de frutas de Lacy hay 4 duraznos y 3 kiwis, en 2 tandas hay 8 duraznos y 6 kiwis.

d. ¿Cómo cambia el número total de duraznos cada vez que Lacy prepara una tanda adicional de ensalada de frutas? ¿Cómo cambia el número total de kiwis?

El número total de duraznos aumenta 4 duraznos y el número total de kiwis aumenta 3 kiwis cada vez que Lacy prepara una tanda adicional de ensalada de frutas.

e. Si Lacy usa 9 kiwis en la ensalada de frutas, ¿cuántos duraznos necesita? Traza un diagrama de cinta para mostrar tu razonamiento.

Lacy necesita 12 duraznos.

Número de du raznos

Número de kiwis

En una tanda de la ensalada de frutas de Lacy hay 4 duraznos y 3 kiwis. En tres tandas hay 9 kiwis. Al crear tres diagramas de cinta sobre la ensalada de frutas, se observa que hay 12 duraznos.

Nombre Fecha

1. Tyler usa 6 triángulos y 1 hexágono para crear el sol que se muestra.

PR ÁCTICA 4

a. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de triángulos al número de hexágonos que hay en el sol de Tyler.

b. Escribe una razón que relacione el número de triángulos con el número de hexágonos que hay en el sol de Tyler.

c. Escribe una razón que relacione el número de hexágonos con el número total de figuras que hay en el sol de Tyler.

d. Traza un diagrama de cinta que represente el número total de triángulos y de hexágonos que Tyler necesita para crear 2 soles.

e. Traza un diagrama de cinta que represente el número total de triángulos y de hexágonos que Tyler necesita para crear 3 soles.

2. La receta de Riley para preparar aderezo para ensaladas lleva 2 cucharadas de vinagre por cada 3 cucharadas de aceite de oliva.

Número de cucharadas de vinagre

Número de cucharadas de aceite de ol iva

a. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de cucharadas de vinagre al número de cucharadas de aceite de oliva.

b. Si Riley usa 4 cucharadas de vinagre, ¿cuántas cucharadas de aceite de oliva necesita? Traza un diagrama de cinta para mostrar tu razonamiento.

c. Si Riley usa 9 cucharadas de aceite de oliva, ¿cuántas cucharadas de vinagre necesita? Traza un diagrama de cinta para mostrar tu razonamiento.

3. Una compañía prepara canastas de regalos que incluyen 2 botellas de miel de maple y 5 barras de chocolate cada una.

a. ¿Cuántas botellas de miel de maple y cuántas barras de chocolate necesita la compañía para preparar 6 canastas?

b. Si la compañía usa 20 barras de chocolate en las canastas de regalos, ¿cuántas botellas de miel de maple usa?

4. Sasha mezcla 4 cucharadas de pintura blanca con 5 cucharadas de pintura roja para crear pintura rosa.

Número de cucharadas de pintura blanca

Número de cucharadas de pintura roja

¿Qué mezclas crean el mismo tono de pintura rosa? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 4 vasos de pintura blanca y 5 vasos de pintura roja

B. 3 vasos de pintura blanca y 4 vasos de pintura roja

C. 6 cucharadas de pintura blanca y 7 cucharadas de pintura roja

D. 8 cucharadas de pintura blanca y 10 cucharadas de pintura roja

E. 2 cucharadas de pintura blanca y 2 1 2 cucharadas de pintura roja

Recuerda

En los problemas 5 a 7, multiplica.

5. 24 × 14

6. 33 × 25

7. 42 × 36

8. Escribe dos razones que relacionen el número de óvalos azules y el número de triángulos rojos. Explica el significado de cada razón.

9. Elige el enunciado verdadero.

A. Todos los rectángulos son cuadrados porque todos los rectángulos tienen cuatro lados iguales.

B. Todos los rombos son cuadrados porque todos los rombos tienen cuatro ángulos rectos.

C. Todos los paralelogramos son cuadriláteros porque todos los paralelogramos tienen cuatro lados.

D. Todos los trapecios son paralelogramos porque todos los trapecios tienen dos pares de lados paralelos.

Nombre Fecha

LECCIÓN

Razones equivalentes

1. En un ramo de rosas y margaritas hay 105 flores en total. Por cada 2 rosas, hay 3 margaritas.

¿Cuántas rosas hay en el ramo? ¿Cuántas margaritas hay en el ramo?

Identificar y escribir razones equivalentes

2. Escribe dos razones: una que sea equivalente a 3 : 5 y una que no sea equivalente a 3 : 5. Justifica tu razonamiento.

Usar razones equivalentes para resolver problemas

En los problemas 3 y 4, en los ramos hay 2 rosas por cada 3 margaritas. Rotula y usa los diagramas de cinta para responder las preguntas.

3. Si en un ramo hay 16 rosas, ¿cuántas margaritas hay en él? ¿Cuál es el número total de flores que hay en el ramo?

Número de ro sas

Número de margaritas

4. Si en un ramo hay 105 flores en total, ¿cuántas rosas hay en el ramo? ¿Cuántas margaritas hay en el ramo?

Número de ro sas

Número de margaritas

5. En un juego de mesa se incluyen fichas cuadradas. Cada ficha está rotulada con una letra. Hay 3 fichas rotuladas con la letra A por cada 4 fichas rotuladas con la letra E. Si hay 9 fichas rotuladas con la letra A, ¿cuántas fichas hay rotuladas con la letra E?

6. Una receta para hacer burbujas consiste en agua y jabón para platos. Una razón que relaciona el número de tazas de agua con el número de tazas de jabón para platos es 6 : 1. Si en una mezcla para hacer burbujas hay 4 tazas de jabón para platos, ¿cuántas tazas de agua hay?

7. Sasha y Julie venden botellas de agua a fin de recaudar dinero para su escuela. Una razón que relaciona el número de botellas de agua que vende Sasha con el número de botellas de agua que vende Julie es 5 : 2. Juntas, venden 63 botellas de agua. ¿Cuántas botellas de agua vende Julie?

8. La mezcla que hay en un recipiente de alimento para colibríes consiste en azúcar y agua. Hay 2 onzas de azúcar por cada 8 onzas de agua. ¿Cuántas onzas de azúcar hay en un recipiente de 50 onzas de alimento para colibríes?

9. En un parque de diversiones hay atracciones lentas y atracciones rápidas. Por cada 2 atracciones lentas, hay 1 atracción rápida. Si en el parque de diversiones hay 11 atracciones rápidas, ¿cuál es el número total de atracciones que hay en el parque?

10. En un examen hay preguntas de opción múltiple y preguntas de ensayo. Una razón que relaciona el número de preguntas de opción múltiple con el número de preguntas de ensayo que hay en el examen es 4 : 1. En el examen hay 32 preguntas de opción múltiple. ¿Cuál es el número total de preguntas que hay en el examen?

1. Muestra que la razón 5 : 6 es equivalente a la razón 35 : 42

BOLETO DE SALIDA

2. Hay 3 marcadores rojos por cada 4 marcadores azules en un set de arte. El número total de marcadores rojos y marcadores azules que hay en el set es 84.

a. Usa un diagrama de cinta para representar esta situación.

b. ¿Cuántos marcadores rojos hay en el set de arte?

c. ¿Cuántos marcadores azules hay en el set de arte?

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Razones equivalentes

En esta lección:

• identificamos y escribimos razones equivalentes;

• representamos razones equivalentes con diagramas de cinta;

• determinamos cantidades desconocidas usando razones equivalentes.

Ejemplos

1. Muestra que la razón 5 : 2 es equivalente a la razón 20 : 8

RESUMEN

Vocabulario

Dos razones A : B y C : D son razones equivalentes si hay un número c diferente de cero, tal que C = c × A y D = c × B.

444 4 4 44 5 : 2 20 : 8 × 4 ×4

La razón 5 : 2 es equivalente a la razón 20 : 8 porque podemos multiplicar 4 por 5 para obtener 20 y multiplicar 4 por 2 para obtener 8.

2. Una receta de plastilina lleva 4 onzas de almidón de maíz por cada 5 onzas de agua.

a. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de onzas de almidón de maíz al número de onzas de agua.

Número de on zas de almidón de m aíz

Número de on zas de agua

En el diagrama de cinta hay 4 unidades que representan el número de onzas de almidón de maíz y 5 unidades que representan el número de onzas de agua.

b. En una mezcla de plastilina hay 28 onzas de almidón de maíz. ¿Cuántas onzas de agua hay en la mezcla? Usa tu diagrama de cinta de la parte (a) para respaldar tu respuesta.

Número de on zas de almidón de m aíz

Número de on zas de agua

Hay 35 onzas de agua en la mezcla.

Dado que en la mezcla hay 28 onzas de almidón de maíz, cada unidad del diagrama de cinta representa 28 ÷ 4, o 7 onzas.

Dado que cada unidad representa 7 onzas, hay 35 onzas de agua en la mezcla.

c. ¿Cuántas onzas de almidón de maíz y cuántas onzas de agua se deben mezclar para preparar un total de 45 onzas de plastilina?

Número de on zas de almidón de m aíz

Número de on zas de agua

Para preparar un total de 45 onzas de plastilina, se deben mezclar 20 onzas de almidón de maíz y 25 onzas de agua.

En la mezcla hay un total de 45 onzas, y en el diagrama de cinta hay un total de 9 unidades. Entonces, cada unidad del diagrama de cinta representa 5 onzas.

d. En una mezcla de plastilina hay 15 onzas de agua. ¿Cuál es el número total de onzas de plastilina que hay en esta mezcla?

Número de on zas de almidón de m aíz

Número de on zas de agua

Hay un total de 27 onzas de plastilina en esta mezcla.

Dado que en la mezcla hay 15 onzas de agua, cada unidad del diagrama de cinta representa 15 ÷ 5, o 3 onzas. Dado que en el diagrama de cinta hay un total de 9 unidades, hay 27 onzas de plastilina en total en esta mezcla.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. En una receta para preparar arroz, una razón que relaciona el número de tazas de agua con el número de tazas de arroz es 2 : 1

a. Traza un diagrama de cinta para representar esta razón.

b. ¿Cuántas tazas de agua se deben mezclar con 4 tazas de arroz?

2. El diagrama de cinta muestra que la razón 4 : 3 es equivalente a la razón 8 : 6

a. Traza un diagrama de cinta para mostrar que la razón 4 : 3 es equivalente a la razón 20 : 15.

b. Yuna cree que la razón 4 : 3 es equivalente a la razón 10 : 9 porque 6 + 4 = 10 y 6 + 3 = 9. ¿Cuál es el error de Yuna? ¿Qué puede hacer para hallar una razón equivalente?

3. Considera las razones 3 : 5 y 21 : D. ¿Cuánto deben ser c y D para que las razones sean equivalentes?

4. El diagrama de cinta representa la razón del número de tiros libres anotados al número de tiros libres errados en un partido de basquetbol.

Número de tiros libres anotados

Número de tiros libres errados

a. Si este patrón continúa y se realizan 12 tiros libres, ¿cuál es el número total de intentos de tiro libre en el partido?

b. Si este patrón continúa y se realizan 33 intentos de tiro libre en total en el partido, ¿cuántos tiros libres se anotan? ¿Cuántos tiros libres se erran?

5. Una receta de tiza para exterior lleva 1 onza de almidón de maíz por cada 3 onzas de bicarbonato de sodio.

a. Traza un diagrama de cinta que represente la razón del número de onzas de almidón de maíz al número de onzas de bicarbonato de sodio.

b. ¿Cuántas onzas de almidón de maíz y cuántas onzas de bicarbonato de sodio hay en un total de 32 onzas de tiza para exterior?

c. En una mezcla de tiza para exterior hay 15 onzas de bicarbonato de sodio. ¿Cuál es el número total de onzas de tiza que hay en la mezcla?

6. Por cada 4 vueltas que corre Leo, Tyler camina 2 vueltas. ¿Cuántas vueltas corre Leo si Tyler camina 10 vueltas?

7. Una razón que relaciona el número de onzas de queso crema con el número de onzas de yogur que hay en una receta de salsa de frutas es 1 : 1. ¿Cuántas onzas de queso crema y cuántas onzas de yogur hay en 16 onzas de salsa de frutas?

8. Un grupo de personas adultas y de estudiantes van a un circo. Por cada 2 personas adultas que hay en el circo, hay 3 estudiantes. Si 275 personas van al circo, ¿cuántas de ellas son estudiantes?

9. Traza una línea desde la columna izquierda hasta la columna derecha para unir las representaciones de razones equivalentes.

Recuerda

En los problemas 10 a 12, multiplica.

13. Hay 20 tarjetas de beisbol y 10 tarjetas de futbol americano exhibidas en un museo de deportes. Noah dice que la razón del número de tarjetas de beisbol al número de tarjetas de futbol americano es 2 : 1. Sara dice que la razón del número de tarjetas de beisbol al número de tarjetas de futbol americano es 4 : 2. ¿Cómo es posible que ambos tengan razón?

14. Toby usa 3 tazas de leche para preparar 4 tandas de panqueques. ¿Cuántas tazas de leche necesita para preparar 1 tanda de panqueques?

Conjuntos de razones equivalentes

La odisea del “o sea”

O sea, ¡qué hermosa esta camiseta! O sea, es mi prenda favorita.

Y, o sea, ¡costó diez dólares!

¿No es increíble?

¿Qué cosa?

La razón de la expresión "o sea" a otras palabras es siempre 1 a 4.

¡Vaya!

Es que, o sea, ¡me gusta mucho, mucho, o sea, MUCHO, MUCHO!

O sea, ¿no creen que es, o sea, la camiseta más genial?

O sea, literalmente me casaría con esta camiseta, o sea, si esa fuera una opción legal, o sea.

En cada oración que dice...

3 "o sea" y otras 12 palabras.¡Asombroso!

El compromiso con las razones es inspirador. ¡Me gusta! O sea, ¡me gusta mucho!

¿Te parece absurdo aplicar las matemáticas al lenguaje? ¡No lo es! Contar palabras ha permitido a las personas resolver todo tipo de misterios, como analizar documentos anónimos y descubrir quién los escribió. Un método para lograr esto es contar qué palabras usa con mayor frecuencia quien haya escrito el texto.

¿Qué palabra usas con mayor frecuencia? ¿Quizá sea el, la, o yo, o tal vez uses una muletilla, como emm u o sea? ¿Cuál crees que es la razón entre el número de veces que usas esa palabra y el número de veces que usas otras palabras?

¡Intenta contar para descubrirlo!

Tablas de razones y rectas numéricas dobles

Organizar razones equivalentes

1. Considera la información nutricional de 1 paquete de azúcar. Completa la tabla. Número

Nombre Fecha

Usar tablas de razones y rectas numéricas dobles para resolver problemas

2. Por cada 12 onzas de refresco, hay 40 gramos de azúcar.

a. Completa la tabla de razones.

b. Usa la tabla de razones completada de la parte (a) para crear una recta numérica doble.

c. ¿Cuántos gramos de azúcar hay en tres latas de 12 onzas de este refresco? ¿Cómo lo sabes?

d. ¿Cuántos gramos de azúcar hay en media lata de 12 onzas de este refresco? ¿Cómo lo sabes?

3. La gráfica muestra los distintos tamaños de los vasos que se han usado para servir refresco en los restaurantes de comida rápida desde 1955 hasta la actualidad. Algunos vasos están rotulados con el número de onzas de refresco que pueden contener. Otros vasos están rotulados con el número de gramos de azúcar que hay en el refresco que pueden contener.

Usa la recta numérica doble del problema 2 para completar la tabla de razones.

4. La tabla de razones muestra la relación entre el número de tazas de pretzels y el número de onzas de cereales que hay en una receta para preparar una mezcla de refrigerios.

Número de tazas de pretzels

de onzas de

a. Jada dice que, por cada 3 tazas de pretzels, hay 2 onzas de cereales.

Lacy dice que, por cada 2 tazas de pretzels, hay 3 onzas de cereales.

¿Quién está en lo correcto? Explica.

b. Completa la recta numérica doble para mostrar la relación entre el número de tazas de pretzels y el número de onzas de cereales.

Número de tazas de pretzels

Número de onzas de cereales

5. Leo compra tela en una tienda de artesanías. Por cada 2 yardas de tela, Leo paga $7.00.

a. Crea una recta numérica doble para mostrar la relación entre las posibles cantidades de tela, en yardas, y el costo total, en dólares.

b. Si el costo total de la tela es $21.00, ¿cuántas yardas de tela compra Leo?

c. Si Leo compra 1 yarda de tela, ¿cuál es el costo total de la tela?

Por cada 2 cucharadas de mantequilla de cacahuate, hay 7 gramos de proteína.

1. Crea una recta numérica doble para mostrar la relación de razones entre el número de gramos de proteína y el número de cucharadas de mantequilla de cacahuate.

2. ¿Cuántos gramos de proteína hay en 12 cucharadas de mantequilla de cacahuate?

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Tablas de razones y rectas numéricas dobles

En esta lección:

• representamos relaciones de razones usando tablas de razones y rectas numéricas dobles;

• usamos tablas de razones y rectas numéricas dobles para resolver problemas.

Ejemplos

Vocabulario

Una relación de razones es el conjunto de todas las razones que son razones equivalentes.

1. Por cada 10 minutos que Lacy practica saxofón, Noah practica saxofón durante 5 minutos.

a. Completa la tabla de razones para mostrar el número de minutos que Lacy y Noah practican saxofón.

Número de minutos que Lacy practica saxofón

Número de minutos que Noah practica saxofón

Cada fila representa una razón que relaciona el número de minutos que Lacy practica saxofón con el número de minutos que Noah practica saxofón.

b. Si Lacy practica saxofón durante 60 minutos, ¿durante cuántos minutos practica Noah?

Noah practica saxofón durante 30 minutos.

c. Si Noah practica saxofón durante 45 minutos, ¿durante cuántos minutos practica Lacy? Lacy practica saxofón durante 90 minutos.

Cada razón es equivalente a la razón 10 : 5. Por ejemplo, la razón 20 : 10 es equivalente a la razón 10 : 5 porque 20 = 2 × 10 y 10 = 2 × 5

Dado que Lacy practica saxofón el doble de tiempo que Noah, Noah practica la mitad del tiempo que Lacy.

La razón 90 : 45 es equivalente a la razón 10 : 5. Si Noah practica saxofón durante 9 × 5, o 45, minutos, Lacy practica durante 9 × 10, o 90, minutos.

2. Kelly hace 50 saltos de tijera en 1 minuto.

La recta numérica superior muestra el número de saltos de tijera que hace Kelly, mientras que la recta numérica inferior muestra el número de minutos que tarda en hacerlos.

50 0

Número de saltos de tijera

Número de minutos

0 1

La razón que relaciona el número de saltos de tijera que hace Kelly con el número de minutos que tarda en hacerlos es 50 :1 Esta razón está representada por la segunda marca de graduación.

a. Si Kelly continúa saltando al mismo ritmo, ¿cuántos saltos de tijera hará en 5 minutos?

Usa la recta numérica doble para respaldar tu respuesta.

Las marcas de graduación en la recta numérica doble muestran que Kelly hace 50 saltos de tijera más por cada 1 minuto adicional.

Haz marcas de graduación para representar razones equivalentes que muestren 250 saltos de tijera en 5 minutos.

Número de saltos de tijera

Número de minutos

Kelly hace 250 saltos de tijera en 5 minutos.

b. Si Kelly continúa saltando al mismo ritmo, ¿cuántos minutos tardará en hacer 300 saltos de tijera?

Número de saltos de tijera

Número de minutos

Kelly tardará 6 minutos en hacer 300 saltos de tijera.

Haz otra marca de graduación para mostrar 300 saltos de tijera en 6 minutos. Las razones 50 :1 y 300 : 6 son equivalentes porque 300 = 6 × 50 y 6 = 6 × 1.

Nombre Fecha

1. Kelly hace pulseras con cuentas verdes y cuentas azules. El diagrama de cinta representa la razón del número de cuentas verdes al número de cuentas azules.

Número de cuentas verdes

Número de cuentas azules

Usa el diagrama de cinta para completar la tabla de razones.

Número de cuentas verdes Número de cuentas azules

Número de tazas de agua

2. Una receta lleva 8 tazas de agua por cada 16 onzas de macarrones. Completa la recta numérica doble. 0 0 8 16

Número de onzas de macarrones

3. Blake practica piano 3 veces el tiempo que Mara practica piano.

a. Completa la tabla de razones para mostrar los posibles números de minutos que Blake y Mara practican piano.

Número de minutos que Blake practica piano

Número de minutos que Mara practica piano

b. Si Blake practica piano durante 18 minutos, ¿durante cuántos minutos practica Mara?

c. Si Mara practica piano durante 30 minutos, ¿durante cuántos minutos practica Blake?

4. Ryan corre 2 vueltas alrededor de la pista en 4 minutos.

a. Completa la recta numérica doble.

Número de vueltas

Número de minutos

0 0 2 4

b. Si Ryan continúa corriendo al mismo ritmo, ¿cuántas vueltas correrá en 10 minutos?

c. Si Ryan continúa corriendo al mismo ritmo, ¿cuántos minutos tardará en correr 7 vueltas?

5. Una receta de plastilina para modelar casera lleva 4 tazas de bicarbonato de sodio por cada 3 tazas de agua.

a. Según esta receta, ¿cuántas tazas de bicarbonato de sodio deben mezclarse con 15 tazas de agua? Completa la tabla de razones para respaldar tu respuesta.

Número de tazas de bicarbonato de sodio

Número de tazas de agua

b. Según esta receta, ¿cuántas tazas de agua deben mezclarse con 6 tazas de bicarbonato de sodio? Crea una recta numérica doble para respaldar tu respuesta.

6. La razón de la nieve reporta la cantidad de agua que hay en una cantidad de nieve dada. La tabla de razones muestra la relación entre el número de pulgadas de agua y el número de pulgadas de nieve.

Número

• Tyler dice que, por cada 10 pulgadas de agua, hay 1 pulgada de nieve.

• Yuna dice que, por cada 10 pulgadas de nieve, hay 1 pulgada de agua.

¿Quién está en lo correcto? Explica.

7. La recta numérica doble representa la relación de razones entre el número de cucharadas de vinagre y el número de gotas de jabón para platos que se necesitan para preparar un repelente de insectos casero. ¿Qué enunciados son verdaderos? Elige todas las opciones que correspondan.

Número de cucharadas de vinagre

Número de go tas de jabón para platos

02 46 810 06 12 18 24 30

A. Por cada 2 cucharadas de vinagre, hay 6 gotas de jabón para platos.

B. Por cada 6 cucharadas de vinagre, hay 2 gotas de jabón para platos.

C. La razón del número de cucharadas de vinagre al número de gotas de jabón para platos es 3 : 1.

D. La razón del número de cucharadas de vinagre al número de gotas de jabón para platos es 1: 3.

E. Hay 5 cucharadas de vinagre por cada 15 gotas de jabón para platos.

Recuerda

En los problemas 8 a 10, multiplica.

8. 1,531 × 20 9. 2,347 × 30 10. 5,162 × 40

11. La razón del número de onzas de arándanos al número de onzas de frambuesas que hay en una receta es 4 : 3.

a. Según esta receta, ¿cuántas onzas de frambuesas hay si se usan 8 onzas de arándanos? Crea un diagrama de cinta para explicar tu razonamiento.

b. Según esta receta, ¿cuántas onzas de frambuesas hay si se usan 28 onzas de arándanos en total? Crea un diagrama de cinta para explicar tu razonamiento.

En los problemas 12 a 14, el plano de coordenadas muestra la ubicación de la casa de Riley y la ubicación de la casa de Leo. También muestra el recorrido que hace Riley para ir a la casa de Leo.

Ubicaciones de las casas O

Distancia (kilómetros)

Casa de Riley Casa de Leo

Distancia (kilómetros)

12. Escribe el par ordenado que representa la ubicación de la casa de Riley y la ubicación de la casa de Leo.

Casa de Riley: ( , )

Casa de Leo: ( , )

13. ¿Cuál es la distancia total en kilómetros del recorrido que hace Riley para ir a la casa de Leo?

14. La casa de Adesh está ubicada 4 km al este y 2 km al norte de la casa de Leo. Marca la ubicación de la casa de Adesh en el plano de coordenadas dado.

LECCIÓN

Gráficas de relaciones de razones

Elegir una mascota

Comparar costos

Momento de decisión

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Un gorila se alimenta a base de frutas y verduras. El gorila come 4 verduras por cada 1 fruta.

a. Completa la tabla.

b. Usa los pares ordenados de la tabla de la parte (a) para marcar puntos en el plano de coordenadas.

Alimentación de un gorila

Número de frutas

Número de verduras

RESUMEN

Nombre Fecha

Gráficas de relaciones de razones

En esta lección:

• usamos rectas numéricas dobles y tablas de razones para crear conjuntos de pares ordenados que representan razones equivalentes;

• marcamos puntos en el plano de coordenadas para representar una relación de razones y observamos que los puntos están ubicados en la misma recta.

Ejemplos

1. Una receta de aderezo para ensaladas lleva 3 cucharadas de aceite por cada 1 cucharada de vinagre.

a. Completa la tabla de razones. Luego, determina los pares ordenados.

Dado que, en esta receta, la cantidad de aceite es 3 veces la cantidad de vinagre, multiplica el número de cucharadas de vinagre por 3 para determinar el número de cucharadas de aceite.

Número de cucharadas de vinagre

Número de cucharadas de aceite Par ordenado

El primer número de cada par ordenado representa el número de cucharadas de vinagre. El segundo número de cada par ordenado representa el número de cucharadas de aceite.

b.

Usa los pares ordenados de la parte (a) para marcar puntos en el plano de coordenadas.

Cantidades de aceite y de vinagre

Los pares ordenados de los puntos que muestra la gráfica representan razones equivalentes del número de cucharadas de vinagre al número de cucharadas de aceite en tandas de diferentes tamaños del aderezo para ensaladas.

Número de cucharadas de aceite

Número de cucharadas de vinagre

Para marcar el punto (1, 3), comienza en el origen (0, 0) Muévete 1 unidad hacia la derecha. Luego, muévete 3 unidades hacia arriba.

2. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de libros de ficción y el número de libros de no ficción que hay en una colección.

Libros de ficción y de no ficción

Los pares ordenados de los puntos que muestra la gráfica representan las razones 25 : 4, 50 : 8 y 100 : 16. Estas son razones equivalentes.

Número de libros de ficción

a. Describe la relación de razones entre el número de libros de ficción y el número de libros de no ficción que hay en la colección. Por cada 25 libros de ficción, hay 4 libros de no ficción.

b. Usa la gráfica para determinar el número de libros de no ficción que hay en la colección si hay 75 libros de ficción.

Si hay 75 libros de ficción en la colección, hay 12 libros de no ficción en la colección, porque el punto (75, 12) está ubicado en la misma recta que los otros puntos.

c. ¿Cuántos libros de ficción hay en la colección si hay 20 libros de no ficción?

Si hay 20 libros de no ficción en la colección, hay 125 libros de ficción. La razón 25 : 4 es equivalente a la razón 125 : 20, porque 125 = 5 × 25 y 20 = 5 × 4

La razón 25 : 4 es equivalente a la razón 75 : 12, porque 75 = 3 × 25 y 12 = 3 × 4

El punto (125, 20) está ubicado en la misma recta que los otros puntos.

Número de libros de no

PR ÁCTICA

1. En un canal de televisión, hay 1 minuto de anuncios publicitarios por cada 5 minutos de programación.

a. Representa la razón con un diagrama de cinta.

b. Usa el diagrama de cinta de la parte (a) para completar la tabla.

Número de minutos de anuncios publicitarios

Número de minutos de programación Par ordenado

(1, 5)

Nombre Fecha

c. Usa los pares ordenados de la parte (b) para marcar los puntos en el plano de coordenadas.

Número de minutos de programación

Número de minutos de anuncios publicitarios

2. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de cucharadas de vinagre blanco y el número de gotas de aceite esencial que hay en una receta para preparar un limpiador casero.

Limpiador casero

Número de gotas de aceite esencial

Número de cucharadas de vinagre blanco

a. Usa la gráfica para completar la tabla de razones.

Número de cucharadas de vinagre blanco

Número de gotas de aceite esencial

b. ¿Cuál es la razón del número de cucharadas de vinagre blanco al número de gotas de aceite esencial?

c. ¿Cuántas gotas de aceite esencial se necesitan para 16 cucharadas de vinagre blanco?

d. ¿Cuántas cucharadas de vinagre blanco se necesitan para 18 gotas de aceite esencial?

3. En un equipo de beisbol, hay 2 entrenadoras por cada 9 jugadoras. Usa los pares ordenados de esta relación de razones para marcar al menos tres puntos en el plano de coordenadas.

Equipo de beisbol

4. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de onzas líquidas y el número de cucharadas. Elige todos los enunciados que parecen ser verdaderos.

x

Número de onzas líquidas

A. Hay 6 onzas líquidas por cada 12 cucharadas.

B. Hay 1 cucharada por cada 2 onzas líquidas.

C. Hay 5 cucharadas por cada 2 1 2 onzas líquidas.

D. Hay 5 1 2 onzas líquidas por cada 11 cucharadas.

E. Hay 10 cucharadas por cada 20 onzas líquidas.

5. Leo prepara sándwiches de queso para sus amigas y amigos. Por cada 2 rebanadas de pan, necesita 1 rebanada de queso. ¿En qué gráfica se representa esta relación de razones? Explica.

Gráfica A

Número de rebanadas de queso

Gráfica B y x

12345 6871011 9

Número de rebanadas de pan

Número de rebanadas de queso

12345 6871011 9

Número de rebanadas de pan

Recuerda

En los problemas 6 a 8, multiplica.

6. 3,443 × 20 7. 5,165 × 50 8. 4,725 × 70

9. Julie usa hojas verdes y hojas amarillas en un proyecto sobre el otoño.

a. Completa la tabla de razones.

Número de hojas verdes

Número de hojas amarillas

b. ¿Cuál es la razón del número de hojas verdes al número de hojas amarillas que usa Julie?

10. Jada y Tyler van a la misma escuela intermedia. Jada vive a 4 5 de milla de la escuela. Tyler vive a 3 4 de milla de la escuela. Elige la oración numérica que compara correctamente las dos distancias.

A. 4 5 de milla < 3 4 de milla

B. 4 5 de milla > 3 4 de milla

C. 3 4 de milla = 4 5 de milla

D. 3 4 de milla > 4 5 de milla

Nombre Fecha

LECCIÓN

Patrones de suma en las relaciones de razones

Patrones de suma en gráficas y tablas de razones

1. La gráfica representa la relación de razones entre el número de tazas de jugo de naranja y el número de tazas de jugo de piña que hay en distintas tandas de un ponche de cítricos. Usa la gráfica para completar la tabla de razones.

Tandas de ponche de cítricos

Número de tazas de jugo de piña

Número de tazas de jugo de naranja

Número de tazas de jugo de naranja

Número de tazas de jugo de piña

2. Usa los patrones de suma de la gráfica para identificar tres pares ordenados más que estén ubicados en una recta con los puntos dados. Explica qué representan los pares ordenados en la relación de razones.

Tandas de ponche de cítricos

Número de tazas de jugo de piña

Número de tazas de jugo de naranja

Usar patrones de suma para resolver problemas

3. La leche entera se usa para elaborar mantequilla. Se necesitan alrededor de 22 tazas de leche entera para elaborar 1 libra de mantequilla.

a. Completa la tabla de razones.

Número de tazas de leche entera

Número de libras de mantequilla

b. ¿Cuál puede ser una razón del número de tazas de leche entera que se usan al número de libras de mantequilla que se elaboran?

c. Usa los patrones de suma de la tabla para completar los espacios y describir la relación de razones.

Por cada tazas más de leche entera que se usan, se elabora(n) libra(s) más de mantequilla.

4. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de libras de uvas y el costo total de las uvas en una tienda.

Costo de las uvas

Número de libras de uvas

a. Usa los patrones de suma de la gráfica para describir la relación de razones.

b. ¿Cuál es el costo total de 6 libras de uvas? Usa la gráfica para explicar tu respuesta.

c. ¿Cuántas libras de uvas se pueden comprar con exactamente $25? Usa la gráfica para explicar tu respuesta.

5. Se realiza un estudio científico sobre un grupo de personas zurdas. En el estudio, hay 10 hombres zurdos por cada 8 mujeres zurdas.

a. Completa la tabla de razones.

Número de hombres zurdos 10 20 25

de mujeres zurdas 8 12 24

b. Usa los patrones de suma de la tabla para describir la relación de razones.

c. Si hay 40 hombres zurdos en el estudio, ¿cuántas mujeres zurdas hay?

Kayla usa cinta verde y cinta amarilla para atar lazos para sus regalos. Usa la tabla de razones que se muestra para responder las partes (a) a (c).

Número de pulgadas de cinta verde

Número de pulgadas de cinta amarilla

a. Completa la tabla de razones.

b. ¿Cuál puede ser una razón del número de pulgadas de cinta verde al número de pulgadas de cinta amarilla que usa Kayla?

c. Completa los espacios para hacer que el enunciado sea verdadero. Por cada pulgadas más de cinta verde que usa Kayla, usa pulgadas más de cinta amarilla.

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Patrones de suma en las relaciones de razones

En esta lección:

• observamos patrones de suma en tablas y gráficas de relaciones de razones;

• usamos patrones de suma para hallar razones equivalentes y calcular cantidades desconocidas.

Ejemplos

1. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de cucharadas de jabón para platos y el número de cucharadas de almidón de maíz de una receta para preparar masilla.

Receta para preparar masilla

Número de cucharadas de almidón de maíz

Número de cucharadas de jabón para platos

El aumento horizontal de 3 y el aumento vertical de 4 entre los puntos muestran los patrones de suma de la relación de razones.

a. Completa los espacios para hacer que el enunciado sea verdadero.

Por cada 3 cucharadas más de jabón para platos, hay 4 cucharadas más de almidón de maíz.

b. Si hay 12 cucharadas de jabón para platos, ¿cuántas cucharadas de almidón de maíz hay?

Si hay 12 cucharadas de jabón para platos, hay 16 cucharadas de almidón de maíz.

c. Usa patrones de suma para completar la tabla de razones.

Los números de la columna izquierda aumentan de 3 en 3.

Número de cucharadas de jabón para platos

Número de cucharadas de almidón de maíz

Si continuamos los patrones de suma, el siguiente punto en la gráfica sería (12, 16). La razón 3 : 4 es equivalente a la razón 12 : 16

La razón representada en cada fila es equivalente a la razón 3 : 4.

Los números de la columna derecha aumentan de 4 en 4

d. Si hay 40 cucharadas de almidón de maíz, ¿cuántas cucharadas de jabón para platos hay?

Si hay 40 cucharadas de almidón de maíz, entonces, hay 30 cucharadas de jabón para platos.

Si los patrones de suma continúan, los números de la siguiente fila de la tabla representan la razón 30 : 40. La razón 30 : 40 es equivalente a la razón 3 : 4

PR ÁCTICA

1. Una bolsa de pastelillos congelados contiene instrucciones para cocinarlos en el microondas. Hay una relación de razones entre el número de pastelillos congelados y el número de segundos necesarios para cocinarlos.

Número de pastelillos congelados Número de segundos

a. Completa el espacio para hacer que el enunciado sea verdadero.

Por cada 6 pastelillos congelados, se necesitan segundos para cocinarlos.

b. Completa los espacios para hacer que el enunciado sea verdadero.

Por cada pastelillos congelados más, se necesitan segundos más para cocinarlos.

c. ¿Cuántos segundos se necesitan para cocinar 12 pastelillos congelados?

Nombre Fecha

2. Una escuela organiza una actividad para recaudar fondos. Cada estudiante gana puntos según el número de artículos que vende. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de artículos que vende cada estudiante y el número de puntos que gana.

Actividad para recaudar fondos

Número de puntos que gana cada estudiante

Número de artículos que vende cada estudiante

a. Completa los espacios para hacer que el enunciado sea verdadero.

Por cada artículos más que vende, cada estudiante gana puntos más.

b. ¿Cuántos puntos gana cada estudiante si vende 35 artículos?

c. La persona que más artículos vendió, ganó 24 puntos. ¿Cuántos artículos vendió?

3. Una receta para preparar plastilina para modelar casera lleva sal y harina.

a. Usa patrones de suma para completar la tabla de razones.

Número de tazas de sal

de tazas de harina

b. ¿Cuál puede ser una razón del número de tazas de sal al número de tazas de harina?

c. Usa los patrones de suma de la tabla de razones para describir la relación de razones.

4. Considera la gráfica de la relación de razones entre la cantidad de dinero que Mara ahorra en dólares y la cantidad de dinero que Mara gasta en dólares.

Dinero de Mara

Cantidad de dinero que Mara ahorra (dólares)

a. Completa el espacio para hacer que el enunciado sea verdadero. El punto (6, ) está ubicado en una recta con los tres puntos dados.

b. Escribe los pares ordenados de otros dos puntos que estén ubicados en una recta con los tres puntos dados.

c. Usa los patrones de suma de la gráfica para describir la relación de razones.

5. La recta numérica doble muestra las conversiones entre el número de tazas y el número de cuartos de galón.

Número de tazas

Número de cuartos de galón

a. Completa el espacio para hacer que el enunciado sea verdadero.

Hay tazas más por cada 1 cuarto de galón más.

b. Completa el espacio para hacer que el enunciado sea verdadero.

Hay 8 tazas más por cada cuartos de galón más.

6. La tabla muestra la relación de razones entre el número de tazas de pintura amarilla y el número de tazas de pintura azul que se necesitan para preparar tandas de pintura verde. Completa la tabla de razones.

Número de tazas de pintura amarilla Número de tazas de pintura azul 3

Recuerda

En los problemas 7 y 8, multiplica.

7. 1,536 × 42

8. 2,347 × 56

9. Muestra que la razón 2 : 5 es equivalente a la razón 14 : 35.

10. Blake, Kayla y Lacy forman un equipo de relevos. Corren la misma distancia en una pista de 13 millas. ¿Qué distancia, en millas, corre cada persona en la pista? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 3 13 de milla

B. 13 3 de milla

C. 4 1 3 millas

D. 41 3 de milla

E. 4 13 de milla

F. 4 1 13 millas

Nombre Fecha

Patrones de multiplicación en las relaciones de razones

Hacer concreto

1. El concreto se hace mezclando arena, cemento y agua. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de kilogramos de arena y el número de kilogramos de cemento que se usan en una receta para preparar concreto.

Número de kilogramos de cemento

Número de kilogramos de arena

a. Escribe un par ordenado que represente uno de los puntos marcados en la gráfica. Explica el significado del par ordenado en esta situación.

b. Escribe un par ordenado que pertenezca a esta relación de razones, pero que no represente un punto marcado en la gráfica.

c. Completa la tabla de razones. Incluye en la fila en blanco los números del par ordenado que escribiste en la parte (b).

Número de kilogramos

d. Scott tiene 60 kilogramos de arena para hacer concreto. ¿Cuántos kilogramos de cemento debería usar?

Número de kilogramos

Hacer alimento para aves

2. Las diferentes mezclas de alimento para aves atraen a distintos tipos de aves. La receta de alimento para aves de Yuna lleva semillas de girasol y semillas de calabaza.

a. Completa la tabla.

Número de tazas de semillas de girasol

Número de tazas de semillas de calabaza

b. Usa el lenguaje de las razones para describir la relación entre el número de tazas de semillas de girasol y el número de tazas de semillas de calabaza.

3. La receta de alimento para aves de Blake lleva semillas de girasol y maíz partido. La recta numérica doble representa la relación entre el número de tazas de semillas de girasol y el número de tazas de maíz partido que lleva su receta. Usa la recta numérica doble para determinar el número de tazas de maíz partido que debe usar Blake con 16 tazas de semillas de girasol.

Número de tazas de semillas de girasol

Número de tazas de maíz partido

Hacer esculturas

4. Eddie hace una escultura de una persona. Usa limpiapipas para los brazos y las piernas. La razón de la longitud de las piernas de la escultura, en centímetros, a la longitud de los brazos, en centímetros, es 7 : 5.

a. Si cada brazo de la escultura de Eddie mide 20 centímetros de largo, ¿cuánto mide de largo cada pierna, en centímetros?

b. Si cada pierna de la escultura de Eddie mide 63 centímetros de largo, ¿cuánto mide de largo cada brazo, en centímetros?

5. Jada hace una escultura de una persona. La razón de la longitud de las piernas de la escultura, en pulgadas, a la longitud de los brazos, en pulgadas, es 8 : 6. Si cada brazo de la escultura mide 9 pulgadas de largo, ¿cuánto mide de largo cada pierna, en pulgadas?

En un set de libros infantiles hay 5 páginas de texto por cada 2 páginas de ilustraciones. La tabla muestra esta relación de razones.

a. Completa la tabla de razones.

Número de páginas de texto

Número de páginas de ilustraciones

b. Si hay 25 páginas de texto, ¿cuántas páginas de ilustraciones hay?

c. Explica cómo usaste un patrón de multiplicación para hallar la solución de la parte (b).

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Patrones de multiplicación en las relaciones de razones

En esta lección:

• usamos patrones de multiplicación para completar tablas de razones;

• usamos patrones de multiplicación para hallar el valor de cantidades desconocidas en relaciones de razones.

Ejemplos

1. La tabla de razones muestra la relación entre el número de semanas transcurridas desde que se abrió una cuenta bancaria y el número de dólares que hay en la cuenta.

a. Completa la tabla de razones. 3

Número de semanas Número de dólares en la cuenta

8 18 2,160 × 6 × 6

Dado que esta es una tabla de razones, las razones representadas en cada fila son equivalentes. Si el número de semanas se multiplica por 6, el número de dólares en la cuenta también se multiplica por 6

b. Explica cómo determinaste el número de dólares que hay en la cuenta después de 18 semanas.

Dado que 18 semanas es 6 veces 3 semanas, multipliqué por 6 el número de dólares que hay en la cuenta a las 3 semanas y obtuve $2,160.

2. Julie mezcla 4 tazas de leche con 6 onzas de chocolate en trozos para preparar chocolate caliente. ¿Cuántas tazas de leche necesita Julie si usa 15 onzas de chocolate en trozos? Explica o usa un diagrama para mostrar tu razonamiento.

Primero, se multiplica cada número de la razón 4 : 6 por 1 2 para calcular la razón equivalente 2 : 3

Número de tazas de leche

Número de onzas de chocolate en trozos

Luego, se multiplica cada número de la razón 2 : 3 por 5 para calcular la razón equivalente 10 : 15

Julie necesita 10 tazas de leche si usa 15 onzas de chocolate en trozos.

PR ÁCTICA

1. Blake usa cuentas rojas y cuentas blancas para hacer llaveros. Quiere saber cuántas cuentas blancas necesita si usa 21 cuentas rojas. Blake piensa que necesita 70 cuentas blancas, porque 3 × 7 = 21 y 10 × 7 = 70.

Número de cuentas rojas

Número de cuentas blancas

7

a. ¿Está Blake en lo correcto? Explica.

b. ¿Cuántas cuentas blancas necesita Blake si usa 39 cuentas rojas?

Nombre Fecha

2. Un cocinero usa una receta que lleva 10 tazas de albahaca para preparar 5 frascos de pesto.

a. ¿Qué tabla de razones muestra correctamente la relación entre el número de tazas de albahaca y el número de frascos de pesto? A.

de

Número de tazas de albahaca

de frascos de pesto

Número de tazas de albahaca

Número de frascos de pesto

Número de tazas de albahaca

Número de frascos de pesto

Número de frascos de pesto

b. En el plano de coordenadas dado, marca al menos tres puntos que representen una razón posible en esta relación. y x 2 4 6 8

Número de tazas de albahaca

c. Usa la gráfica para determinar el número de tazas de albahaca que el cocinero necesita para preparar 4 frascos de pesto. Usa tu solución para marcar otro punto en la gráfica.

3. Riley ahorra dinero en una cuenta bancaria para comprar un auto usado. La tabla de razones muestra la relación entre el número de semanas transcurridas desde que Riley abrió una cuenta bancaria y el número de dólares que hay en la cuenta. Determina los valores desconocidos de la tabla. Número de semanas

de dólares en

4. Una artista prepara un tinte para madera de color gris. El tinte lleva 5 mililitros de tinte negro por cada 3 mililitros de pintura blanca. ¿Cuántos mililitros de tinte negro debería mezclar la artista con 27 mililitros de pintura blanca para crear el mismo tono de tinte gris? Usa la recta numérica doble.

5 ? 0

Número de mililitros de tinte negro

Número de mililitros de pintura blanca

0 3 27

5. Scott paga $12 por 8 libras de manzanas. ¿Cuál es el mayor número de libras de manzanas que Scott puede comprar con $60? Explica.

6. Kayla usa 4 libras de zanahoria rallada y el jugo de 2 limones para una ensalada. ¿Cuántos limones necesita Kayla si usa 6 libras de zanahoria? Explica.

7. Una receta de tacos picantes lleva 12 cucharaditas de chile en polvo y 9 cucharaditas de sal de ajo. ¿Cuántas cucharaditas de chile en polvo se necesitan para mezclar con 6 cucharaditas de sal de ajo? Explica.

Recuerda

En los problemas 8 y 9, multiplica.

8. 1,773 × 54

9. 3,519 × 26

10. La tabla muestra la relación de razones entre el número de minutos que Yuna lee al día y el número de minutos que tarda en hacer la tarea de matemáticas. Completa la tabla de razones.

Número de minutos que Yuna lee

Número de minutos que Yuna hace la tarea de matemáticas

11. En un restaurante hay 1 galón de sopa de pollo y 3 cuartos de galón de sopa de verduras. ¿Cuál es el número total de recipientes de una taza de capacidad que se podrían llenar con esta sopa?

Nombre Fecha

Razonamiento multiplicativo en las relaciones de razones

Seguir recetas

1. Una receta para hacer pan lleva 2 tazas de harina integral por cada 6 tazas de harina común.

a. Completa la tabla de razones.

Número de tazas de harina integral

Número de tazas de harina común

b. Completa los siguientes enunciados.

Por cada 1 taza de harina común, la receta lleva (de) taza de harina integral.

Por cada 1 taza de harina integral, la receta lleva tazas de harina común.

c. ¿En qué se parecen las dos primeras filas de la tabla?

d. ¿En qué se diferencian las dos primeras filas de la tabla?

e. El número de tazas de harina común es siempre veces el número de tazas de harina integral.

f. El número de tazas de harina integral es siempre del número de tazas de harina común.

2. La tabla de razones muestra el número de tazas de azúcar moreno y el número de tazas de kétchup que lleva una receta para preparar un aderezo casero.

Número de tazas de azúcar moreno

a. Completa la tabla de razones.

Número de tazas de kétchup

b. Describe la relación entre el número de tazas de azúcar moreno y el número de tazas de kétchup.

c. El número de tazas de kétchup es siempre del número de tazas de azúcar moreno.

d. ¿Cuántas tazas de kétchup deben mezclarse con 10 tazas de azúcar moreno para preparar el aderezo casero?

En los problemas 3 a 5, usa la razón dada para completar los enunciados.

3. Sara usa crema de afeitar y pegamento para hacer slime. La razón del número de cucharadas de crema de afeitar al número de cucharadas de pegamento es 2 a 1. Por cada 1 cucharada de pegamento, Sara usa cucharada(s) de crema de afeitar. Por cada 1 cucharada de crema de afeitar, Sara usa cucharada(s) de pegamento.

4. Tyler llena cestas con manzanas y bananas. La razón del número de manzanas al número de bananas que hay en cada cesta es 12 a 3. Por cada 1 manzana, hay (de) banana(s) en la cesta. Por cada 1 banana, hay manzana(s) en la cesta.

5. En una receta de mezcla de frutos secos, la razón del número de tazas de nueces de cajú al número de tazas de almendras es 2 a 3. La cantidad de tazas de almendras es de la cantidad de tazas de nueces de cajú. La cantidad de tazas de nueces de cajú es de la cantidad de tazas de almendras.

Estaciones de razones

Instrucciones: Completa tantas estaciones como puedas en el tiempo asignado. Crea una tabla de razones u otro diagrama para explicar tu solución al problema de cada estación.

Estación 1

Estación 2

Estación 3

Estación 4

Nombre Fecha

El Sr. Evans usa una tabla de razones para llevar la cuenta del número de vasos de agua y vasos de jugo que bebe. Bebe 5 vasos de agua por cada 2 vasos de jugo. Completa la tabla de razones.

a. ¿Cuántos vasos de jugo bebe el Sr. Evans por cada 1 vaso de agua?

b. ¿Cuántos vasos de agua bebe el Sr. Evans por cada 1 vaso de jugo?

Nombre Fecha

RESUMEN

Razonamiento multiplicativo en las relaciones de razones

En esta lección:

• escribimos razones equivalentes en las que uno de los valores era 1;

• usamos razones en las que uno de los valores era 1 para resolver problemas.

Ejemplos

1. La tabla de razones muestra el número de partes de pintura amarilla y el número de partes de pintura roja que hay en una mezcla. Completa la tabla de razones.

Número de partes de pintura amarilla

Número de partes de pintura roja

Al multiplicar cada número de la razón 3 : 5 por 1 5 , creamos la razón equivalente 3 5 1 : . El número de partes de pintura amarilla es 3 5 del número de partes de pintura roja.

La cantidad de partes de pintura roja es 5 3 de la cantidad de partes de pintura amarilla.

2. La receta de Toby para preparar barras de granola lleva 4 onzas de mantequilla de cacahuate por cada 3 onzas de miel. Completa el espacio para hacer que el enunciado sea verdadero.

a. Toby usa 1 onza de mantequilla de cacahuate por cada 3 4 de onza de miel.

El número de onzas de mantequilla de cacahuate es 4 3 del número de onzas de miel que hay en la receta de barras de granola de Toby.

Al multiplicar cada número de la razón 4 : 3 por 1 4 , se obtiene el mismo resultado que al dividir cada número de la razón entre 4. En cualquiera de los casos, el resultado es la razón equivalente 1 3 4 :

3. Para hacer plastilina casera, Yuna usa 3 tazas de sal por cada 8 tazas de harina.

a. ¿Cuántas tazas de harina usa Yuna por cada 1 taza de sal?

Yuna usa 8 3 de taza de harina por cada 1 taza de sal.

b. ¿Cuántas tazas de sal usa Yuna por cada 1 taza de harina?

Yuna usa 3 8 de taza de sal por cada 1 taza de harina.

c. Si Yuna usa 9 tazas de harina, ¿cuántas tazas de sal debería usar?

Si Yuna usa 9 tazas de harina, debería usar 27 8 de taza, o 3 3 8 tazas, de sal.

Dado que Yuna usa 3 8 de taza de sal por cada 1 taza de harina, necesita 3 8 9 × , o 3 3 8  , tazas de sal.

El número de tazas de sal es 3 8 del número de tazas de harina. El número de tazas de harina es 8 3 del número de tazas de sal.

Número de tazas de sal Número de tazas de harina

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. Yuna paga $64 por 4 pulseras. Crea la tabla de razones que se muestra para determinar el costo total que pagaría por 7 pulseras.

× Número de pulseras Costo total (dólares)

× 16

a. ¿Por qué multiplica Yuna cada número de la primera fila de la tabla por 1 4 ?

b. ¿Por qué multiplica Yuna 7 por 16 en la fila inferior?

c. ¿Cuál sería el costo total de 12 pulseras?

2. Lacy prepara una limonada con 5 cucharadas de polvo para preparar limonada por cada 2 cuartos de galón de agua. Completa las siguientes oraciones.

El número de cucharadas de polvo para preparar limonada es del número de cuartos de galón de agua.

Por cada 4 cucharadas de polvo para preparar limonada, Lacy usa de cuarto de galón de agua.

En los problemas 3 a 6, completa la tabla de razones.

3.

5.

Número de partes de pintura azul Número de partes de pintura blanca

Número de partes de pintura roja

Número de partes de pintura blanca

Número de partes de pintura azul

Número de partes de pintura

Número de partes de pintura naranja Número de partes de pintura amarilla

7. Leo necesita yeso para crear máscaras para una fiesta de disfraces. Para preparar el yeso, mezcla 2 tazas de harina con 7 tazas de agua.

a. ¿Cuántas tazas de agua usa Leo por cada 1 taza de harina?

b. ¿Cuántas tazas de harina usa Leo por cada 1 taza de agua?

c. Si Leo usa 9 tazas de harina, ¿cuántas tazas de agua debería usar?

8. Sasha usa 3 partes de agua y 2 partes de expreso para preparar un café. ¿Qué tabla muestra correctamente la relación de razones entre el número de partes de agua y el número de partes de expreso que usa Sasha? A.

Número de partes de agua

de partes de

de partes de expreso

Número de partes de agua

de partes de expreso

Número de partes de agua

Número de partes de expreso

9. Noah prepara un tono de pintura de color naranja. Mezcla 1 galón de pintura roja por cada 3 galones de pintura amarilla. Según esta razón, ¿qué enunciados son verdaderos? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Noah mezcla 1 galón de pintura amarilla por cada 1 3 de galón de pintura roja.

B. Noah mezcla 2 galones de pintura roja por cada 6 galones de pintura amarilla.

C. Hay 1 galón de pintura roja en una mezcla de 4 galones de pintura naranja.

D. Hay 2 galones de pintura amarilla en una mezcla de 8 galones de pintura naranja.

E. En una mezcla de 4 galones de pintura naranja, habría 3 4 de pintura roja.

F. En una mezcla de 4 galones de pintura naranja, habría 3 4 de pintura amarilla.

Recuerda

10. Multiplica.

14,925 × 36

11. Ryan corre y camina todos los días. Por cada 4 minutos que corre, camina durante 1 minuto.

a. Completa la tabla de razones.

Número de minutos que Ryan corre

de minutos que Ryan camina

Par ordenado

b. Rotula los ejes de la cuadrícula de coordenadas. Luego, usa los pares ordenados de la tabla para representar gráficamente la relación de razones.

12. Lisa quiere colocar cinta adhesiva alrededor de su afiche rectangular. Necesita dos trozos de cinta adhesiva que midan 54 centímetros cada uno y otros dos trozos que midan 72 centímetros cada uno. Lisa tiene 2.5 metros de cinta adhesiva. ¿Tiene suficiente cinta para colocar alrededor del afiche?

Nombre Fecha

Aplicaciones del razonamiento sobre razones

Razones múltiples y razones que cambian

1. Kelly tiene dos huertos, cada uno con un área de 40 pies cuadrados. En uno planta semillas de tomate y en el otro planta semillas de habichuela verde. Planta 1 semilla de tomate por cada 8 pies cuadrados de área del huerto. Planta 1 semilla de habichuela verde por cada 2 pies cuadrados de área del huerto. Kelly planta el número máximo de semillas posible en cada huerto.

a. ¿Cuál es el número total de semillas de tomate que planta Kelly?

b. ¿Cuál es el número total de semillas de habichuela verde que planta Kelly?

c. ¿Cuál es la razón del número total de semillas de tomate al número total de semillas de habichuela verde que planta Kelly?

2. El color de pintura favorito del maestro de Arte es una mezcla de pintura amarilla, azul y blanca. En la mezcla, hay 2 partes de pintura amarilla por cada 3 partes de pintura azul. Hay 3 partes de pintura azul por cada 5 partes de pintura blanca. Si el maestro usa 8 frascos de pintura amarilla, ¿cuántos frascos de pintura blanca usa?

3. La razón del número de pegatinas que hay en la bolsita A al número de pegatinas que hay en la bolsita B es 4 : 3. La mitad de las pegatinas de la bolsita A se pasan a la bolsita B. ¿Cuál es la nueva razón del número de pegatinas que hay en la bolsita A al número de pegatinas que hay en la bolsita B?

4. Noah mezcla 7 partes de pintura amarilla por cada 3 partes de pintura azul para preparar pintura verde. Agrega 12 pintas de pintura azul a la mezcla. Ahora, el número de partes de pintura amarilla es igual al número de partes de pintura azul. ¿Cuántas pintas de pintura verde tenía Noah antes de agregar más pintura azul?

Actividad de estaciones de razones que cambian

Comienza en la estación que indique tu maestro o maestra. Muévete en el orden de los números de estación. Tu objetivo es completar al menos tres estaciones en el tiempo asignado. Haz diagramas o tablas para respaldar tu razonamiento.

1

Estación 2

Estación 3

Estación

Estación 5

Estación 6

Estación 4

Nombre Fecha

Adesh mezcla 5 partes de pintura roja con 4 partes de pintura azul para preparar pintura morada. Luego, agrega 6 tazas de pintura azul. Su mezcla morada tiene ahora 5 partes de pintura roja y 7 partes de pintura azul.

a. Traza un diagrama de cinta para representar esta situación.

b. ¿Cuántas tazas de pintura roja usó Adesh antes de agregar más pintura azul?

c. ¿Cuántas tazas de pintura azul usó Adesh antes de agregar más pintura azul?

Nombre Fecha

Aplicaciones del razonamiento sobre razones

En esta lección:

• resolvimos problemas de razones de varios pasos;

• resolvimos problemas en los que las razones cambiaban;

• representamos razones que cambian con diagramas de cinta.

Ejemplos

1. Una tanda de la receta de granola de Mara lleva 5 partes de avena por cada 3 partes de semillas de calabaza. Por error, ella mezcla 3 partes de avena y 5 partes de semillas de calabaza. Mara quiere agregar ingredientes a su mezcla para que la razón del número de partes de avena al número de partes de semillas de calabaza sea equivalente a la razón de la receta.

¿Cuántas partes de avena y cuántas partes de semillas de calabaza debe agregar Mara a su mezcla? Explica o traza diagramas de cinta para mostrar tu razonamiento.

Mara debe agregar 7 partes de avena y 1 parte de semillas de calabaza a su mezcla.

Una tanda de granola

Número de partes de avena

Número de partes de semillas de calabaza

Número de partes de avena

Número de partes de semillas de calabaza

Número de partes de avena

Número de partes de semillas de calabaza

Dos tandas de granola

Mara usó demasiadas semillas de calabaza para una sola tanda de su receta. Para hacer una tanda doble según la receta original, Mara necesita agregar 7 partes de avena y 1 parte de semillas de calabaza.

Granola de Mara

Mara puede hacer una tanda doble de la receta de granola. Una tanda de granola lleva 5 partes de avena y 3 partes de semillas de calabaza. Dos tandas de granola llevan 10 partes de avena y 6 partes de semillas de calabaza. Si Mara agrega 7 partes de avena y 1 parte de semillas de calabaza a su mezcla, obtendrá 10 partes de avena y 6 partes de semillas de calabaza.

2. Sara mezcla 2 partes de pintura roja con 5 partes de pintura amarilla para preparar pintura naranja. Cuando agrega 9 cucharadas de pintura roja, la nueva mezcla contiene partes iguales de pintura roja y de pintura amarilla. ¿Cuál es el número total de cucharadas de pintura naranja que hay en la nueva mezcla de Sara? Traza diagramas de cinta para mostrar tu razonamiento.

Crea dos diagramas de cinta: uno para mostrar la razón original y otro para mostrar la nueva razón.

Mezcla de pintura original de Sara

Número de partes de pintura roja

Número de partes de pintura amarilla

Mezcla de pintura nueva de Sara

9

Número de partes de pintura roja

Número de partes de pintura amarilla

En la nueva mezcla de Sara, hay un total de 30 cucharadas de pintura naranja.

Dado que 3 unidades representan 9 cucharadas de pintura, 1 unidad representa 3 cucharadas de pintura. Por lo tanto, Sara tiene 10 × 3, o 30, cucharadas de pintura naranja.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. La razón del número de canicas de Sara al número de canicas de Tyler es 1 : 8. Después de que Tyler le da 9 canicas a Sara, la razón del número de canicas de Sara al número de canicas de Tyler es 4 : 5.

Número de canicas de Sara Número de canicas de Tyler

Número de canicas de Sara Número de canicas de Tyler

a. ¿Cuál es el número total de canicas que están representadas por las tres unidades sombreadas en el diagrama de cinta?

b. ¿Qué representa cada unidad en los diagramas de cinta? Completa los diagramas de cinta con el valor de cada unidad en ambos diagramas.

c. ¿Cuál es el número total de canicas que tienen Sara y Tyler?

2. En una clase de Arte, la razón del número de estudiantes que usan lentes al número total de estudiantes es 2 : 7

a. ¿Cuál es la razón del número de estudiantes que usan lentes al número de estudiantes que no usan lentes?

b. Hay 8 estudiantes que usan lentes. ¿Cuál es el número total de estudiantes que hay en la clase?

c. Dos estudiantes de la clase que antes no usaban lentes ahora sí los usan. ¿Cuál es la nueva razón del número de estudiantes que usan lentes al número de estudiantes que no usan lentes?

3. En un refugio de animales de gatos y perros únicamente, hay 40 animales. La razón del número de gatos al número de perros que hay en el refugio es 3 : 5. Si llegan 5 perros más al refugio, ¿cuál es la nueva razón del número de gatos al número de perros que hay en el refugio? Explica.

4. Ryan mezcla 3 partes de pintura blanca con 8 partes de pintura azul para preparar pintura celeste. Agrega un total de 10 cucharadas de pintura blanca. En su mezcla ahora hay partes iguales de pintura azul y de pintura blanca. Después de agregar las 10 cucharadas de pintura blanca, ¿cuál es el número total de cucharadas de pintura que tiene Ryan? Traza diagramas de cinta para mostrar tu razonamiento.

5. En sexto grado, hay dos salones de clases. En el salón de clases A, hay 28 estudiantes. La razón del número de estudiantes que escriben con la mano derecha al número de estudiantes que escriben con la mano izquierda en el salón de clases A es 5 : 2. En el salón de clases B, hay 27 estudiantes. La razón del número de estudiantes que escriben con la mano derecha al número de estudiantes que escriben con la mano izquierda en el salón de clases B es 8 : 1. ¿Cuál es la razón del número total de estudiantes que escriben con la mano derecha al número total de estudiantes que escriben con la mano izquierda? Explica.

6. Blake usa pegamento y jabón para ropa para preparar slime. Su receta lleva 5 onzas de pegamento por cada 2 onzas de jabón para ropa. Por error, Blake mezcla 2 onzas de pegamento con 5 onzas de jabón para ropa. ¿Cuántas onzas de pegamento y cuántas onzas de jabón para ropa necesita agregar Blake para que su slime siga la receta original? Explica.

7. Una florista tiene dos ramos con el mismo número de flores. Pasa 4 flores del ramo A al ramo B. La razón del número de flores del ramo A al número de flores del ramo B ahora es 1 : 3. ¿Cuántas flores hay ahora en cada ramo? Explica o traza un diagrama de cinta para mostrar tu razonamiento.

Recuerda

8. Multiplica.

23,374 × 58

9. Jada usa cuentas para hacer collares. La tabla de razones muestra la relación entre el número de cuentas rojas y el número de cuentas plateadas que usa Jada.

a. Completa la tabla de razones.

Número de cuentas rojas

Número de cuentas plateadas

b. Describe un patrón de multiplicación que hay en la tabla de razones.

10. Halla el cociente.

4,872 ÷ 12

A. 46

B. 406

C. 460

D. 4,006

Comparar relaciones de razones

Razones picantes

No me cae bien la comida picante. ¿Qué salsa tiene menos jalapeños?

Bueno, usé cuatro jalapeños en la salsa 1 y solo dos en la salsa 2... ¡Entonces quiero la 2!

... aunque debería mencionar que...

... preparé 20 galones de la 1 y una taza de la 2.

LA RAZÓN

¡AY, QUEMA!

A algunas personas les encanta la comida picante. Otras personas no la toleran. Sin importar a qué grupo pertenezcas, podemos estar de acuerdo en algo: lo importante no es la cantidad de picante, sino la razón de picante a otros ingredientes.

Una gran cantidad de pimiento picante dispersa en una gran cantidad de comida no sabrá muy picante. Asimismo, una pequeña cantidad de pimiento picante concentrada en poca cantidad de comida podría ser abrumadora.

¡No es fácil aliviar la sensación del picante! Beber agua fría no la aliviará. En su lugar, se puede beber leche, o comer pan o arroz. Esto se debe a que las sustancias químicas que generan la sensación picante se adhieren a estos otros alimentos, lo que significa que se adhieren menos a los receptores de la lengua.

(¿Cuánta leche se debe beber? ¡Depende de cuánto picante hayas comido! Las razones siempre importan).

Salsa 1 Salsa 2

Salsa 1 Salsa 2

Diversas relaciones de razones

¿Tienen el mismo tono?

Elegir una representación

Nombre Fecha

Nombre Fecha

La tabla muestra el costo total de las manzanas en la tienda A. La gráfica muestra el costo total de las manzanas en la tienda B. ¿Representan la misma relación de razones la tabla y la gráfica? Explica cómo lo sabes.

Tienda A

Tienda B

Número de libras de manzanas

RESUMEN

Nombre Fecha

Diversas relaciones de razones

En esta lección:

• usamos gráficas, tablas y rectas numéricas dobles para comparar relaciones de razones;

• determinamos si dos relaciones de razones eran iguales.

Ejemplos

1. La heladería A y la heladería B venden helado de chocolate. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de tazas de crema y el número de onzas de cacao que lleva la receta de cada heladería para preparar helado de chocolate.

Recetas de helado de chocolate

Heladería A

Número de onzas de caca o

Los conjuntos de puntos de las heladerías A y B están ubicados en diferentes rectas. Entonces, las relaciones de razones no son iguales.

Heladería B

Número de tazas de crema

Para hacer una comparación, usa puntos que tengan coordenadas en común.

Los dos puntos dentro del recuadro tienen una coordenada que representa 0.5 onzas de cacao.

Los dos puntos dentro del óvalo tienen una coordenada que representa 6 tazas de crema.

¿Deberían tener el mismo sabor los helados de chocolate? Explica.

No. Los helados de chocolate no deberían tener el mismo sabor. El conjunto de puntos de la heladería A y el conjunto de puntos de la heladería B están ubicados en diferentes rectas y, por lo tanto, representan diferentes relaciones de razones.

2. Julie y Yuna tienen una bolsita cada una con cubos rojos y amarillos. La tabla muestra la relación de razones entre el número de cubos rojos y el número de cubos amarillos que hay en la bolsita de Julie. La recta numérica doble muestra la relación de razones entre el número de cubos rojos y el número de cubos amarillos que hay en la bolsita de Yuna.

¿Es la relación de razones que muestra la tabla igual a la relación de razones que muestra la recta numérica doble? Explica cómo lo sabes.

Número de cubos rojos Cubos de Julie

Número de cubos amarillos

de Yuna

Busca cantidades que coincidan en las dos representaciones, como 18 cubos rojos o 24 cubos amarillos, para hacer una comparación. En este caso, las dos representaciones muestran 18 cubos rojos por cada 24 cubos amarillos.

Todas las razones representadas en la tabla son equivalentes a 18 : 24. Todas las razones representadas en la recta numérica doble son equivalentes a 18 : 24

Sí. Las relaciones de razones son iguales. Todas las razones representadas en la tabla son equivalentes a todas las razones representadas en la recta numérica doble. Si las dos bolsitas tienen 18 cubos rojos, las dos bolsitas tienen 24 cubos amarillos.

PR ÁCTICA

1. La tienda de batidos A y la tienda de batidos B preparan batidos de fresa con banana. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de tazas de fresas y el número de bananas que hay en el batido de fresa con banana de cada tienda.

Tienda de batidos A

Número de tazas de fresas

Tienda de batidos B

Número de bananas

¿Deberían tener el mismo sabor los batidos? Explica.

Nombre Fecha

2. La maestra Baker da a cada estudiante de su clase una bolsita que contiene canicas rojas y canicas azules. Luego, pide a cada estudiante que represente la relación de razones entre el número de canicas rojas y el número de canicas azules que hay en su bolsita usando una tabla o una gráfica. ¿Es la razón del número de canicas rojas al número de canicas azules que hay en la bolsita de Julie equivalente a la razón del número de canicas rojas al número de canicas azules que hay en la bolsita de Mara? Explica cómo lo sabes.

Canicas de Julie Número

de canicas azules

Canicas de Mara

Número de canicas rojas

Número

3. Scott y Yuna mezclan colorantes para tela. Cada estudiante crea su tono favorito de rojo mezclando colorante rojo escarlata con colorante rojo cereza. ¿Crean el mismo tono de rojo Scott y Yuna? Si la respuesta es sí, ¿cuál es la razón del número de onzas de colorante rojo escarlata al número de onzas de colorante rojo cereza que usan? Si la respuesta es no, ¿cuál es la razón que usa cada estudiante?

Colorante rojo de Scott

Número de onzas de colorante rojo escarlata

Número de onzas de colorante rojo cereza

Número de onzas de colorante rojo escarlata

Número de onzas de colorante rojo cereza

Colorante rojo de Yuna

4. La clase de Arte de 6.o grado hace velas. Cada estudiante usa 3 cucharadas de aceite de vainilla por cada 2 libras de cera para hacer las velas. ¿Qué representaciones muestran de manera correcta la relación de razones entre el número de cucharadas de aceite de vainilla y el número de libras de cera? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 0 4 12 10 2 3 18 15 0 12 8 9 6 6

Número de cucharadas de aceite de vainilla

Número de libras de cera

Nú mero de li bras de cera

2468 10 0 2 4 6 y x

Número de cucharadas de aceite de vainilla

B. 555 55 Número de cucharadas de aceite de vainilla

Número de libras de cera

D. Número de cucharadas de aceite de vainilla

Número de libras de cera 3 2 4 3 5 4

E. Número de cucharadas de aceite de vainilla Número de libras de cera 6 4 12 8 18 12

Nú mero de li bras de cera

2468 10 0 2 4 6 y x

Número de cucharadas de aceite de vainilla

C.

5. La receta de Adesh para preparar té lleva 4 cucharadas de leche en 3 tazas de té. La receta de Kelly para preparar té lleva 7 cucharadas de leche en 5 tazas de té.

a. Muestra la relación de razones entre el número de cucharadas de leche y el número de tazas de té que hay en la receta de Adesh. Crea una gráfica, una recta numérica doble o una tabla.

b. Muestra la relación de razones entre el número de cucharadas de leche y el número de tazas de té que hay en la receta de Kelly. Crea una gráfica, una recta numérica doble o una tabla.

c. ¿Hay la misma relación de razones entre el número de cucharadas de leche y el número de tazas de té en las recetas de Adesh y de Kelly? Explica.

Recuerda

En los problemas 6 y 7, divide.

6. 8,448 ÷ 2 7. 1,272 ÷ 3

8. La tabla muestra la relación de razones entre el número de onzas de pasas y el número de onzas de nueces que hay en una mezcla de frutos secos.

a. Completa la tabla.

Número de onzas de pasas

Número de onzas de nueces

b. ¿Cuántas onzas de pasas se necesitan por cada 1 onza de nueces?

c. ¿Cuántas onzas de nueces se necesitan por cada 1 onza de pasas?

9. ¿Qué par de enunciados describe con precisión la relación de razones que muestra la tabla?

Número de tazas de harina

A. La razón del número de tazas de harina al número de tazas de agua es 1 : 2. Por cada 1 taza de harina, hay 2 tazas de agua.

B. La razón del número de tazas de harina al número de tazas de agua es 1 : 3. Por cada 1 taza de harina, hay 3 tazas de agua.

C. La razón del número de tazas de harina al número de tazas de agua es 3 : 1. Por cada 3 tazas de harina, hay 1 taza de agua.

D. La razón del número de tazas de harina al número de tazas de agua es 3 : 6. Por cada 3 tazas de harina, hay 6 tazas de agua.

Nombre Fecha

Comparar relaciones de razones, parte 1

Usar tablas de razones para comparar dos relaciones de razones

1. Yuna y Tyler hacen limonada. Las tablas muestran la relación de razones entre el número de tazas de agua y el número de cucharadas de concentrado de jugo de limón que hay en cada receta.

Receta de Yuna

Número de tazas de agua

Número de cucharadas de concentrado de jugo de limón

Receta de Tyler

Número de tazas de agua

Número de cucharadas de concentrado de jugo de limón

a. ¿Cuál es una razón del número de tazas de agua al número de cucharadas de concentrado de jugo de limón que hay en la receta de Yuna?

b. ¿Cuál es una razón del número de tazas de agua al número de cucharadas de concentrado de jugo de limón que hay en la receta de Tyler?

c. Según las tablas, ¿la limonada de quién debería tener un sabor a limón más intenso?

¿Cómo lo sabes?

2. La tienda A y la tienda B venden naranjas. Las tablas muestran el costo total en dólares y el número de libras de naranjas que hay en cada tienda.

Tienda A

Tienda B

a. ¿Representa una relación de razones la tabla de la tienda A? Explica.

b. ¿Representa una relación de razones la tabla de la tienda B? Explica.

c. ¿Representan la misma relación de razones las dos tablas? Explica.

d. ¿Qué tienda cobra más por 1 libra de naranjas? Explica.

3. Lisa y Mara corren vueltas en la práctica de futbol. Las dos niñas registran el número de minutos y de vueltas que corren en tablas de razones.

¿Quién corre más rápido? Explica.

Lisa

Usar partes y totales para comparar dos relaciones de razones

4. La clase del maestro Sharma mezcla colorante para teñir camisetas. La clase mezcla colorante amarillo y colorante rojo para hacer dos mezclas diferentes de colorante naranja. ¿Qué mezcla debería verse más amarilla? Usa la información de las tablas para respaldar tu respuesta. Encierra en un círculo las filas de las tablas que usaste para determinar tu respuesta.

Mezcla A

Número de partes de colorante amarillo

Número de partes de colorante rojo

Número total de partes

Número de partes de colorante amarillo

Mezcla B

Número de partes de colorante rojo

Número total de partes

Usar tablas de razones para comparar tres relaciones de razones

5. Lacy, Riley y Adesh hacen paletas heladas de naranja y vainilla usando los dos mismos ingredientes. Las tablas muestran el número de tazas de jugo de naranja y el número de tazas de yogur de vainilla que usa cada persona.

Paletas heladas de Lacy

Número de tazas de jugo de naranja

Número de tazas de yogur de vainilla 10 12 20 24 30 36

Paletas heladas de Riley

Número de tazas de jugo de naranja

Número de tazas de yogur de vainilla

Paletas heladas de Adesh

Número de tazas de jugo de naranja

de tazas de yogur de vainilla

Según las tablas, ordena las paletas heladas desde la que debería tener más sabor a naranja hasta la que debería tener menos sabor a naranja. Explica cómo usaste los números de las tablas para determinar el orden.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Leo y Ryan hacen salsas. Las tablas de razones muestran la relación entre el número de tazas de tomate y el número de tazas de pimientos picantes que hay en cada salsa.

Salsa de Leo

Número de tazas de tomate

Salsa de Ryan

Número de tazas de tomate Número de tazas de pimientos

Según las tablas, ¿la salsa de quién debería ser más picante? Explica cómo lo sabes.

RESUMEN

Nombre Fecha

Comparar relaciones de razones, parte 1

En esta lección:

• hicimos comparaciones directas entre las gráficas y las tablas de razones para comparar relaciones de razones.

Ejemplos

1. Riley y Noah hacen slime con pegamento y crema de afeitar. La crema de afeitar hace que el slime sea esponjoso, mientras que el pegamento hace que sea pegajoso. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de tazas de pegamento y el número de tazas de crema de afeitar que hay en el slime de Riley. La tabla muestra la relación de razones entre el número de tazas de pegamento y el número de tazas de crema de afeitar que hay en el slime de Noah.

¿El slime de quién debería ser más esponjoso? Explica.

Número de tazas de pegamento Slime de Noah

Número de tazas de crema de afeitar

Número de tazas de crema de afeitar

Busca una cantidad en común, como 6 tazas de pegamento, que puedas usar para hacer una comparación directa.

Número de tazas de pegamento

El slime de Riley debería ser más esponjoso que el de Noah. El slime de Riley tiene 15 tazas de crema de afeitar por cada 6 tazas de pegamento, mientras que el slime de Noah tiene 14 tazas de crema de afeitar por cada 6 tazas de pegamento.

2. Tyler y Eddie hacen mermelada de frambuesa casera mezclando frambuesas con azúcar.

Mermelada de Tyler

Número de onzas de frambuesas

Número de onzas de azúcar

Mermelada de Eddie

Número de onzas de frambuesas

Número de onzas de azúcar

Las dos tablas tienen una fila en la que se muestra el número de onzas de frambuesas mezcladas con 6 onzas de azúcar.

La mermelada de Tyler tiene más onzas de frambuesas que la mermelada de Eddie para el mismo número de onzas de azúcar.

a. Describe la relación de razones entre el número de onzas de frambuesas y el número de onzas de azúcar que hay en la mermelada de Tyler.

La mermelada de Tyler tiene 8 onzas de frambuesas por cada 3 onzas de azúcar.

b. Describe la relación de razones entre el número de onzas de frambuesas y el número de onzas de azúcar que hay en la mermelada de Eddie.

La mermelada de Eddie tiene 4 onzas de frambuesas por cada 2 onzas de azúcar.

c. Según las tablas, ¿la mermelada de quién debería tener un sabor a frambuesa más intenso? Explica.

La mermelada de Tyler debería tener un sabor a frambuesa más intenso que la mermelada de Eddie. La mermelada de Tyler tiene 16 onzas de frambuesas por cada 6 onzas de azúcar, mientras que la mermelada de Eddie solo tiene 12 onzas de frambuesas por cada 6 onzas de azúcar.

PR ÁCTICA

1. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de limones y el número de tazas de agua que hay en la receta de la limonada A. La receta de la limonada B lleva 1 limón por cada 2 1 2 tazas de agua.

Limonada A

Número de tazas de agua

Número de limones

a. Completa la tabla de razones para la limonada B.

Limonada B

Número de limones

Número de tazas de agua 1

Nombre Fecha

b. Según la gráfica y la tabla, ¿debería una de las limonadas tener un sabor a limón más intenso que la otra? Explica cómo lo sabes.

2. Mara y Noah hacen yogur de fresa mezclando yogur natural con mermelada de fresa.

Yogur de fresa de Mara

Número de cucharadas de mermelada

de tazas de yogur

Yogur de fresa de Noah

Número de cucharadas de mermelada

Número de tazas de yogur

a. Describe la relación de razones entre el número de cucharadas de mermelada y el número de tazas de yogur natural que hay en el yogur de fresa de Mara.

b. Describe la relación de razones entre el número de cucharadas de mermelada y el número de tazas de yogur natural que hay en el yogur de fresa de Noah.

c. Según las tablas, ¿el yogur de fresa de quién debería tener un sabor a fresa más intenso? Explica.

3. Las latas A y B contienen pintura rosa. Las tablas de razones muestran la relación entre el número de partes de pintura blanca y el número de partes de pintura roja que hay en cada lata.

Lata A

Número de partes de pintura blanca

Lata B

Número de partes de pintura blanca Número de partes de pintura

Según las tablas de razones, ¿la pintura de qué lata debería verse más roja? Explica.

4. Las tablas de razones muestran la relación entre el número de onzas de aceite de coco y el número de onzas de aceite de oliva que hay en dos jabones diferentes.

a. Completa las dos tablas de razones.

Jabón 1

Número de onzas de aceite de coco Número de onzas de aceite de oliva Número total de onzas de aceite 3 4

Número de onzas de aceite de coco

Jabón 2

Número de onzas de aceite de oliva

b. ¿Cuál es la razón del número de onzas de aceite de coco al número de onzas de aceite de oliva que hay en el jabón 1?

c. ¿Cuál es la razón del número de onzas de aceite de coco al número de onzas de aceite de oliva que hay en el jabón 2?

d. El aceite de coco produce más burbujas en el jabón que el aceite de oliva. Según las tablas de razones, ¿qué jabón debería tener más burbujas? Explica.

e. Adesh razona que el jabón 1 debería tener más burbujas que el jabón 2. Por cada 12 onzas de aceite de oliva, el jabón 1 tiene 9 onzas de aceite de coco, mientras que el jabón 2 solo tiene 8 onzas de aceite de coco.

Sara razona que el jabón 1 debería tener más burbujas que el jabón 2. Por cada 70 onzas de aceite, el jabón 1 tiene 30 onzas de aceite de coco, mientras que el jabón 2 solo tiene 28 onzas de aceite de coco.

¿Qué enunciado es verdadero?

A. Solo el razonamiento de Adesh es correcto.

B. Solo el razonamiento de Sara es correcto.

C. Tanto el razonamiento de Adesh como el de Sara son correctos.

D. Ni el razonamiento de Adesh ni el de Sara son correctos.

Recuerda

En los problemas 5 y 6, divide.

5. 2,405 ÷ 5 6. 9,642 ÷ 3

7. Kayla y Yuna tienen la misma cantidad de dinero. Después de que Kayla gasta $24.00, la razón de la cantidad de dinero en dólares que tiene Kayla a la cantidad de dinero en dólares que tiene Yuna es 5 : 8. ¿Cuánto dinero tiene Kayla ahora?

En los problemas 8 y 9, completa las tablas convirtiendo cada medida a la unidad dada.

8. 9. Número de minutos Número de segundos

Número de pies Número de pulgadas

Nombre Fecha

Comparar relaciones de razones, parte 2

Mezclas de harina

1. Dos restaurantes usan diferentes mezclas de harina en sus recetas de masa para panqueques. Las tablas de razones muestran la relación entre el número de tazas de harina y el número de cucharadas de sal que hay en las mezclas.

Restaurante A

Número de tazas de harina

de

Número de tazas de harina Número de cucharadas de sal

¿La mezcla de harina de qué restaurante es más salada? Explica.

2. Las personas que se dedican a la apicultura agregan azúcar al agua para alimentar a las abejas. Durante la primavera, la mezcla de agua con azúcar ayuda a que la colonia crezca. Durante el otoño, la mezcla de agua con azúcar ayuda a las abejas a sobrevivir. Las tablas de razones muestran el número de tazas de agua y el número de tazas de azúcar que hay en las mezclas de agua con azúcar de la primavera y del otoño.

Mezcla de agua con azúcar de la primavera

Número de tazas de azúcar Número de tazas

Mezcla de agua con azúcar del otoño

Número de tazas de azúcar

de tazas de agua

Según las tablas, ¿qué mezcla de agua con azúcar es más dulce? Explica.

Baldosas

3. Una compañía de pisos ofrece dos diseños diferentes. En los dos diseños se usan baldosas cuadradas blancas y baldosas cuadradas azules. Todas las baldosas son del mismo tamaño. Las tablas de razones muestran el número de baldosas blancas y el número de baldosas azules que se necesitan para cada diseño.

Diseño del piso A

Número de baldosas blancas Número de baldosas azules

Diseño del piso B

Número de baldosas blancas Número de baldosas azules

Según las tablas, ¿el diseño de qué piso debería verse más azul? Explica.

4. La misma compañía de pisos ofrece dos diseños diferentes. En los dos diseños se usan baldosas cuadradas doradas y baldosas cuadradas negras. Todas las baldosas son del mismo tamaño. Las tablas de razones muestran el número de baldosas doradas y el número de baldosas negras que se necesitan para cada diseño.

Diseño del piso Y

Número de baldosas doradas

Número de baldosas negras

Diseño del piso Z

Número de baldosas doradas

Número de baldosas negras

Según las tablas, ¿el diseño de qué piso debería verse más dorado? Explica.

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

El café A y el café B tienen su propia receta de chocolate caliente. Las tablas de razones muestran la relación entre el número de cucharadas de polvo de cacao y el número de onzas de leche que hay en la receta de cada café.

Café A

Número de cucharadas de polvo de cacao

Número de onzas de leche 2 9 4 18 6 27

Número de cucharadas de polvo de cacao

Café B

Número de onzas de

Según las tablas, ¿el chocolate caliente de qué café debería tener un sabor a chocolate más intenso? ¿Cómo determinaste tu respuesta?

RESUMEN

Nombre Fecha

Comparar relaciones de razones, parte 2

En esta lección:

• creamos razones equivalentes para comparar relaciones de razones.

Ejemplo

Las tablas muestran la relación de razones entre el número de tazas de concentrado de naranja y el número de tazas de agua para las recetas de jugo de naranja de Ryan y Sara.

Receta de Ryan

Número de tazas de concentrado de naranja

Número de tazas de agua

a. Según las tablas, ¿el jugo de naranja de quién debería tener un sabor a naranja más intenso? Explica cómo lo sabes.

El jugo de naranja de Sara debería tener un sabor a naranja más intenso que el jugo de naranja de Ryan.

Receta de Sara

Número de tazas de concentrado de naranja Número de tazas de agua

Cuando las razones representadas en las tablas no tienen cantidades que coincidan y se puedan comparar, crea razones equivalentes para una o las dos tablas de razones.

En este caso, las 6 tazas de concentrado de naranja de la receta de Ryan y las 4 tazas de concentrado de naranja de la receta de Sara se pueden multiplicar por un número para que la cantidad coincida en 12 tazas de concentrado de naranja.

En la receta de Ryan, puedo multiplicar cada número de la razón 6 : 15 por 2 para hallar que, por cada 12 tazas de concentrado de naranja, Ryan usa 30 tazas de agua. En la receta de Sara, puedo multiplicar cada número de la razón 4 : 6 por 3 para hallar que, por cada 12 tazas de concentrado de naranja, Sara usa 18 tazas de agua. Dado que Sara usa menos tazas de agua por cada 12 tazas de concentrado de naranja, su jugo de naranja debería tener un sabor a naranja más intenso.

b. Para la receta de jugo de naranja de Julie, se necesita 1 taza de concentrado de naranja por cada 2 tazas de agua. ¿El jugo de naranja de quién debería tener un sabor a naranja más intenso: el de Sara, el de Ryan o el de Julie? ¿Cómo lo sabes?

El jugo de naranja de Sara debería tener el sabor a naranja más intenso. En la receta de Julie, puedo multiplicar cada número de la razón 1 : 2 por 12 para hallar que, por cada 12 tazas de concentrado de naranja, Julie usa 24 tazas de agua. Por cada 12 tazas de concentrado de naranja, Ryan usa 30 tazas de agua, Sara usa 18 tazas de agua y Julie usa 24 tazas de agua. Sara usa la menor cantidad de tazas de agua por cada 12 tazas de concentrado de naranja; entonces, su jugo de naranja tiene el sabor a naranja más intenso.

Para comparar razones, necesitamos que tengan cantidades que coincidan. En la receta de Julie, multiplica cada número de la razón 1 : 2 por 12 para crear la razón equivalente 12 : 24. De esta manera, las tres razones tienen una cantidad que coincide en 12 tazas de concentrado de naranja.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. Blake y Jada llevan la cuenta de la cantidad total de dinero que ganan por cortar el césped de algunos jardines.

Número de jardines en que cortó el césped

Número de jardines en que cortó el césped

a. ¿Cuánto dinero gana Jada por cortar el césped de 6 jardines? Explica cómo lo sabes.

b. ¿Quién gana más dinero por cada jardín? Explica cómo lo sabes.

2. Durante un largo viaje, dos personas que conducen autobuses llevan la cuenta del número de millas y el número de horas que viajan.

Persona A

Persona B

a. Según la tabla, ¿cuántas millas puede viajar la persona A en 10 horas? Explica cómo lo sabes.

b. ¿Qué persona viaja más millas por cada hora? Explica cómo lo sabes.

3. Las tablas muestran la relación de razones entre el número de tazas de azúcar y el número de limones que hay en las recetas de limonada de Lisa y Yuna.

Receta de Lisa

Receta de Yuna

Número de tazas de

a. Según las tablas, ¿la limonada de quién debería tener un sabor a limón más intenso? Explica cómo lo sabes.

b. Cada niña tiene exactamente 3 limones para hacer limonada. ¿Cuántas tazas de azúcar necesita cada una?

4. Riley mezcla pintura para pintar calabazas. Las tablas de razones muestran el número de gotas de pintura azul y el número de gotas de pintura blanca que mezcla Riley.

Pintura para calabazas de Riley

Número de gotas de pintura azul

Número de gotas de pintura blanca

a. Si Riley usa 1 gota de pintura blanca, ¿cuántas gotas de pintura azul usa?

b. Escribe una razón del número de gotas de pintura azul al número de gotas de pintura blanca que crearía un tono de azul más oscuro que el de la pintura de Riley.

c. Escribe una razón del número de gotas de pintura azul al número de gotas de pintura blanca que crearía un tono de azul más claro que el de la pintura de Riley.

Recuerda

En los problemas 5 y 6, divide.

5. 3,744 ÷ 6 6. 7,389 ÷ 9

7. La tabla muestra el número de minutos y el número de millas que Toby recorre en bicicleta. La gráfica muestra el número de minutos y el número de millas que Kelly recorre en bicicleta. ¿Representan la misma relación de razones la tabla y la gráfica? Explica cómo lo sabes.

Recorrido en bicicleta de Toby

Recorrido en bicicleta de Kelly

8. Halla el área del jardín rectangular de Tyler en yardas cuadradas. (1 yarda = 3 pies)

Nombre Fecha

El valor de la razón

1. Tanto los cereales A como los cereales B están hechos con malvaviscos y avena. La receta para preparar una tanda de cereales A lleva 12 libras de malvaviscos y 48 libras de avena. La receta para preparar una tanda de cereales B lleva 16 libras de malvaviscos y 80 libras de avena.

a. Completa las tablas de razones.

Cereales A

Número de libras de malvaviscos

Número de libras de avena 1

Cereales B

Número de libras de malvaviscos

Número de libras de avena

b. Si prefieres que los cereales tengan más malvaviscos, ¿qué cereales elegirías? Explica.

Cereales

En los problemas 2 y 3, completa el espacio con el valor correcto.

2. En la receta de los cereales A, el número de libras de malvaviscos es del número de libras de avena.

3. En la receta de los cereales B, el número de libras de malvaviscos es del número de libras de avena.

En los problemas 4 y 5, completa el espacio con el valor correcto.

4. En la receta de los cereales A, el número de libras de avena es veces el número de libras de malvaviscos.

5. En la receta de los cereales B, el número de libras de avena es veces el número de libras de malvaviscos.

El azul favorito

6. Toby y Mara pintan sus habitaciones de su tono favorito de azul. Toby usa una mezcla de pintura de 1 pinta de pintura azul por cada 7 pintas de pintura blanca. Mara usa una mezcla de pintura de 2 pintas de pintura azul por cada 12 pintas de pintura blanca.

a. ¿Cuál es una razón del número de pintas de pintura azul al número de pintas de pintura blanca que usa Toby?

b. ¿Cuál es el valor de la razón que compara el número de pintas de pintura azul con el número de pintas de pintura blanca que hay en la mezcla de Toby?

c. Describe qué representa en esta situación el valor de la razón de la parte (b).

d. ¿Cuál es una razón del número de pintas de pintura azul al número de pintas de pintura blanca que usa Mara?

e. ¿Cuál es la razón del número de pintas de pintura azul al número de pintas de pintura blanca que usa Mara cuando el número de pintas de pintura azul es 1?

f. ¿Cuál es el valor de la razón que compara el número de pintas de pintura azul con el número de pintas de pintura blanca que hay en la mezcla de Mara?

g. Describe qué representa en esta situación el valor de la razón de la parte (e).

h. ¿El tono de azul de quién es más claro? Explica.

i. Yuna también pinta su habitación de su tono favorito de azul. Yuna afirma que su mezcla de pintura es de un tono de azul más oscuro que el de las mezclas de pintura de Toby y de Mara. Escribe una razón del número de pintas de pintura azul al número de pintas de pintura blanca que represente la mezcla de pintura de Yuna. Explica.

7. La tabla muestra razones que comparan el número de pintas de pintura azul con el número de pintas de pintura blanca en diferentes mezclas de pintura. Decide si cada razón representa una mezcla de pintura de un tono de azul más claro o más oscuro que el de la mezcla de pintura de Toby.

Razón del número de pintas de pintura azul al número de pintas de pintura blanca

1 : 2

1 : 8

2 : 10

2 : 20

3 : 15

Más claro que la pintura de Toby

Más oscuro que la pintura de Toby

DE SALIDA

Lacy y Sasha hacen pasteles de manzana. Lacy usa 15 tazas de manzanas por cada 2 pasteles. Sasha usa 18 tazas de manzanas por cada 3 pasteles. ¿Quién usa menos tazas de manzanas por pastel? ¿Cómo lo sabes?

Nombre Fecha

Nombre Fecha

El valor de la razón

En esta lección:

• comparamos relaciones de razones usando el valor de la razón.

Ejemplos

1. En un aerosol de limpieza casero, la razón del número de galones de vinagre al número de galones de agua es 7 : 5

a. ¿Cuál es el valor de la razón 7 : 5?

El valor de la razón es 7 5 .

b. ¿Qué representa el valor de la razón que hallaste en la parte (a)?

En el aerosol, hay 7 5 de galón de vinagre por cada 1 galón de agua.

c. ¿Cuál es la razón del número de galones de agua al número de galones de vinagre?

La razón del número de galones de agua al número de galones de vinagre es 5 : 7

d. ¿Cuál es el valor de la razón que hallaste en la parte (c)? ¿Qué representa?

El valor de la razón es 5 7 . En el aerosol, hay 5 7 de galón de agua por cada 1 galón de vinagre.

RESUMEN

Vocabulario

Para una razón A : B, el valor de la razón es el cociente de A B , siempre que B no sea cero.

Crea una tabla de razones para organizar tu trabajo. Esta tabla muestra que el valor de la razón que relaciona el número de galones de vinagre con el número de galones de agua es 7 5 .

Número de galones de vinagre

Número de galones de agua

Esta tabla muestra que el valor de la razón que relaciona el número de galones de agua con el número de galones de vinagre es 5 7

Número de galones de agua

Número de galones de vinagre

2. Yuna trabaja de niñera durante 5 horas y gana un total de $60.00. Noah trabaja de niñero durante 3 horas y gana un total de $30.00

a. Yuna gana por cada 1 hora que trabaja de niñera.

$12.00

b. Noah gana por cada 1 hora que trabaja de niñero.

$10.00

60 5

El valor de la razón es , o 12. Representa que Yuna gana $12.00 por cada hora que trabaja de niñera.

c. Si tanto Yuna como Noah trabajan durante 8 horas este fin de semana, ¿quién ganará más dinero? Explica cómo lo sabes.

Yuna ganará más dinero que Noah. Si Yuna trabaja de niñera durante 8 horas, ganará $96.00. Si Noah trabaja de niñero durante 8 horas, ganará $80.00.

El valor de la razón se puede usar para determinar cuánto dinero ganan Yuna y Noah si trabajan durante 8 horas.

3. La receta de Mara para preparar galletas con chispas de chocolate lleva 6 partes de chispas de chocolate por cada 16 partes de masa. La receta de Kayla para preparar galletas con chispas de chocolate lleva 9 partes de chispas de chocolate por cada 20 partes de masa. ¿Las galletas que se preparen con la receta de quién deberían tener un sabor a chocolate más intenso?

Las galletas que se preparen con la receta de Kayla deberían tener un sabor a chocolate más intenso que las que se preparen con la receta de Mara. El valor de la razón que relaciona el número de partes de chispas de chocolate con el número de partes de masa en la receta de Mara es 6 16 . El valor de la razón que relaciona el número de partes de chispas de chocolate con el número de partes de masa en la receta de Kayla es 9 20 . La receta de Kayla lleva más partes de chispas de chocolate por cada 1 parte de masa que la receta de Mara.

Si lo necesitas, escribe el valor de la razón en forma decimal para comparar.

9 20 045 = 6 16 0 375 =

Dado que 9 20 es mayor que 6 16, la receta de Kayla lleva más partes de chispas de chocolate por cada 1 parte de masa que la receta de Mara.

PR ÁCTICA

1. Blake trabaja 4 horas y gana un total de $44.00. Leo trabaja 7 horas y gana un total de $84.00

a. Blake gana por cada 1 hora de trabajo.

b. Leo gana por cada 1 hora de trabajo.

c. Tanto Leo como Blake trabajan un turno de 8 horas cada uno este fin de semana. ¿Quién gana más dinero? Explica cómo lo sabes.

2. Julie compra 5 boletos para un concierto por un total de $110.00. Yuna compra 4 boletos para otro concierto por un total de $84.00.

a. ¿Cuál es una razón que relaciona la cantidad de dinero en dólares que paga Julie con el número de boletos que compra?

b. ¿Cuál es el valor de la razón que escribiste en la parte (a)?

c. Describe qué representa en esta situación el valor de la razón de la parte (b).

Nombre Fecha

d. ¿Cuál es el valor de la razón que describe la cantidad de dinero en dólares que paga Yuna por 1 boleto?

e. Julie y Yuna quieren comprar 2 boletos más cada una al mismo precio que han pagado por boleto. ¿Quién pagará menos por 2 boletos más?

3. La receta de Noah para preparar granizado lleva 6 cucharadas de jarabe por cada 12 onzas de hielo triturado. La receta de Kayla para preparar granizado lleva 8 cucharadas de jarabe por cada 24 onzas de hielo triturado.

a. Escribe una razón que relacione el número de cucharadas de jarabe con el número de onzas de hielo triturado que hay en la receta de granizado de Noah.

b. ¿Cuál es el valor de la razón que escribiste en la parte (a)?

c. Describe qué representa en esta situación el valor de la razón de la parte (b).

d. ¿Cuál es el valor de la razón que describe el número de cucharadas de jarabe que se usan por cada 1 onza de hielo triturado en la receta de granizado de Kayla?

e. ¿El granizado de la receta de quién debería tener un sabor más intenso? Explica.

4. Toby corre 5 vueltas en 10 minutos durante la práctica de atletismo. Ryan corre 4 vueltas en 6 minutos.

a. Escribe una razón que relacione el número de minutos con el número de vueltas que corre Toby.

b. Escribe una razón que relacione el número de minutos con el número de vueltas que corre Ryan.

c. ¿Quién corre a mayor velocidad? Usa el valor de la razón para explicar cómo lo sabes.

5. Blake y Eddie hacen limonada de fresa. Blake usa 19 fresas y hace 5 vasos de limonada. Eddie usa 18 fresas y hace 4 vasos de limonada. ¿Quién usa más fresas por vaso de limonada? Usa el valor de la razón para explicar cómo lo sabes.

Recuerda

En los problemas 6 y 7, divide.

6. 3,010 ÷ 7

7. 5,184 ÷ 6

8. Las tablas de razones muestran la relación entre el número de tazas de arándanos y el número de tazas de yogur que hay en dos batidos diferentes. ¿Qué batido debería tener un sabor a arándanos más intenso? Explica cómo lo sabes.

Batido 1

de tazas

2

de tazas de arándanos Número de tazas

En los problemas 9 y 10, completa la tabla convirtiendo cada medida a la unidad dada. 9.

Una milla en seis minutos

Mi amiga corrió una milla en seis minutos ayer. ¡Una velocidad increíblemente asombrosa!

¿Diez millas por hora?

¡Muy fácil para mí !

¿De veras?

¡Observa!

¿Y dónde está la milla? ¡Apenas corriste 30 pies!

Oye, un momento, ¡hablamos de velocidad! ¡Nunca dije nada sobre la distancia!

¿Qué tan rápido puedes correr?

Probablemente, eso dependa de la distancia. Por ejemplo, si estás corriendo 50 o 100 metros, solo tienes que mantener tu velocidad máxima por menos de 20 segundos. ¡Puedes acelerar todo lo que quieras! Pero si estás corriendo varias millas, tendrás que ir mucho más despacio para conservar tu energía.

La velocidad récord en una maratón es aproximadamente 13 millas por hora.

La velocidad récord para una sola milla está por encima de las 16 millas por hora.

¡Y la velocidad récord para cien metros es más de 23 millas por hora!

Nombre Fecha

LECCIÓN

Velocidad

1. Completa los recuadros del diagrama de llaves para mostrar qué animal gana cada carrera.

Ardilla

Ratón doméstico

Guepardo

León

Colibrí

Tábano

Águila dorada

Halcón peregrino

Interpretar la velocidad

2. Una ardilla corre a una velocidad de 12 millas por hora. Completa la tabla que muestra el número de horas y el número de millas que la ardilla corre a esa velocidad.

Número de horas

Número de millas

3. Un ratón doméstico corre a una velocidad constante. Corre 4 millas por hora más lento que la velocidad a la que corre una ardilla.

a. Determina la velocidad a la que corre el ratón doméstico en millas por hora. Usa la velocidad a la que corre la ardilla del problema 2.

b. Interpreta el significado de la velocidad a la que corre el ratón doméstico.

4. Cuando un halcón peregrino se lanza en picada para atrapar a su presa, es el animal más rápido del mundo. La tabla de razones muestra el número de segundos y el número de metros que el halcón peregrino recorre a una velocidad constante en su caída en picada.

a. Completa la tabla de razones.

b. ¿Cuál es la velocidad de la caída en picada del halcón peregrino en metros por segundo?

c. Interpreta el significado de la velocidad de la caída en picada del halcón peregrino.

5. El animal más lento del mundo es el perezoso. La recta numérica doble muestra el número de metros y el número de minutos que un perezoso se mueve a velocidad constante.

Número de metros

Número de minutos

a. Determina la velocidad a la que se mueve el perezoso en metros por minuto.

b. Interpreta el significado de la velocidad a la que se mueve el perezoso.

Velocidad, distancia y tiempo

6. La recta numérica doble muestra el número de millas y el número de horas que vuela un colibrí.

Número de millas

Número de horas

a. ¿Cuántas millas vuela el colibrí en 5 horas?

b. ¿Cuántas horas tarda el colibrí en volar 45 millas?

c. ¿Cuántas millas vuela el colibrí en 30 minutos, o media hora?

d. ¿Cuántas millas vuela el colibrí en 1 minuto, o 1 60 de hora?

7. Un tábano vuela 70 kilómetros en 30 minutos a una velocidad constante.

a. Crea una recta numérica doble para determinar el número de kilómetros que recorre en 150 minutos un tábano que vuela a esta velocidad.

b. ¿Cuántos kilómetros vuela el tábano en 1 hora?

c. ¿Cuál es la velocidad a la que vuela el tábano en kilómetros por hora?

d. ¿Cuál es la velocidad a la que vuela el tábano en kilómetros por minuto? Justifica tu razonamiento.

Comparar razones y tasas

8. Ryan va al cine con sus amigos y amigas. Gasta $24.00 para comprar 4 cubetas de palomitas de maíz.

a. ¿Cuál es una razón que relaciona el número de dólares que gasta Ryan con el número de cubetas de palomitas de maíz que compra?

b. ¿Cuál es la tasa en dólares por cubeta?

9. Lisa consulta la información nutricional de una bolsa de granola.

a. Hay 2 gramos de proteína por cada 1 porción de granola. ¿Cuál es la tasa en gramos de proteína por porción?

b. La razón del número de gramos de proteína al número de tazas de granola es 32 : 4. ¿Cuál es la tasa en gramos de proteína por taza?

Riley corre a una velocidad constante de 6 millas por hora.

a. Interpreta el significado de la velocidad de Riley.

BOLETO DE SALIDA 16

b. Crea una recta numérica doble para determinar el número de millas que corre Riley a esta velocidad en 2 horas.

c. ¿Qué cantidad de tiempo tarda Riley en correr 3 millas a esta velocidad?

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Velocidad

En esta lección:

• interpretamos el significado de velocidad usando tablas de razones y rectas numéricas dobles;

• calculamos la velocidad, la distancia y el tiempo;

• identificamos razones y tasas en una relación de razones.

Ejemplos

RESUMEN

Vocabulario

Una tasa es una cantidad que describe una relación de razones entre dos cantidades.

de

1. La tabla de razones muestra el número de segundos y el número de pies que corre un lobo. Número de segundos

La velocidad es un ejemplo de tasa. En la tasa 108 pies cada 3 segundos, los dos tipos de cantidades que se comparan son pies y segundos.

a. Determina la velocidad a la que corre el lobo en pies por segundo. Interpreta el significado de la velocidad a la que corre el lobo.

Número de segundos

Número de pies

Pies por segundo significa el número de pies que el lobo corre en 1 segundo. El lobo corre 108 pies en 3 segundos. Divide tanto 108 como 3 entre 3 para calcular el número de pies que el lobo corre en 1 segundo.

La velocidad a la que corre el lobo es 36 pies por segundo. Esto significa que por cada 1 segundo, el lobo corre 36 pies.

b. A esta tasa, ¿cuántos pies corre el lobo en 7 segundos?

El lobo corre 252 pies en 7 segundos.

c. A esta tasa, ¿cuántos segundos tarda el lobo en correr 360 pies?

El lobo tarda 10 segundos en correr 360 pies.

2. Una lata de 6 onzas de almendras tiene 960 calorías.

a. Escribe una razón que relacione el número de calorías con el número de onzas que hay en la lata de almendras.

Una razón que relaciona el número de calorías con el número de onzas que hay en la lata de almendras es 960 : 6.

b. ¿Cuál es la tasa en calorías por onza?

La tasa es 160 calorías por onza.

El lobo corre 36 pies en 1 segundo. Multiplica tanto 36 como 1 por 7 para calcular el número de pies que corre el lobo en 7 segundos.

Número de segundos Número de pies

36 1

360 10 ×10 ×10

Una razón equivalente que relaciona el número de calorías con el número de onzas es 160 : 1.

Hay 960 calorías en 6 onzas.

Divide tanto 960 como 6 entre 6 para calcular el número de calorías que hay en 1 onza.

PR ÁCTICA

1. Karl Benz manejó el primer auto en Mannheim, Alemania, en 1886. El auto se desplazó a una velocidad máxima de 10 millas por hora. Supón que el auto mantuvo esa velocidad constante.

a. Interpreta el significado de la velocidad del auto.

b. Usa tu respuesta de la parte (a) para completar la tabla de razones.

Número de horas

Número de millas

c. Crea una recta numérica doble para representar esta situación.

Nombre Fecha

2. La tabla de razones muestra el número de minutos y el número de metros que camina una tortuga de las Galápagos.

a. Determina la velocidad a la que camina la tortuga en metros por minuto.

b. A esta velocidad, ¿cuántos minutos tarda la tortuga en caminar 25 metros?

c. A esta velocidad, ¿cuántos metros puede caminar la tortuga en 15 minutos?

3. Un satélite en el espacio viaja a una tasa constante. La recta numérica doble muestra el número de kilómetros y el número de horas que viaja el satélite.

Número de kilómetros

Número de horas

3 12 0 6 9

a. A esta tasa, ¿cuántos kilómetros viaja el satélite en 3 horas?

b. A esta tasa, ¿cuántos kilómetros viaja el satélite en 1 hora?

c. A esta tasa, ¿cuántos kilómetros viaja el satélite en media hora?

d. ¿A qué velocidad viaja el satélite en kilómetros por hora?

e. A esta tasa, ¿cuántas horas tarda el satélite en recorrer 60,000 kilómetros?

4. Un pájaro llamado Zac el Guacamayo tiene el récord mundial del mayor número de latas de bebidas abiertas en 1 minuto por un loro. Zac el Guacamayo abrió 35 latas de bebidas en 1 minuto.1

a. Ryan dice que, a esta tasa, Zac el Guacamayo puede abrir más de 100 latas de bebidas en 3 minutos. ¿Estás de acuerdo con Ryan? Traza una recta numérica doble para respaldar tu respuesta.

b. A esta tasa, ¿cuántas latas de bebidas puede abrir Zac el Guacamayo en 10 minutos?

5. La razón del número de sílabas que Lisa dice al número de segundos que habla es 40 : 10. Supón que Lisa habla a una tasa constante.

a. ¿A qué tasa habla Lisa en sílabas por segundo?

b. A esta tasa, ¿cuántas sílabas dice Lisa en 30 segundos?

1 Libro Guinness de los récords (Guinness Book of World Records): “Mayor cantidad de latas de bebidas abiertas por un loro en un minuto”.

6. Toby completa 10 problemas de la tarea en 5 minutos. Supón que Toby completa los problemas de la tarea a una tasa constante.

a. ¿Cuál es una razón que relaciona el número de problemas de la tarea que completa Toby con el número de minutos que tarda en hacerlos?

b. ¿Cuál es la tasa de problemas de la tarea completados por minuto?

7. Una pinta de yogur helado tiene 440 calorías por cada 4 porciones.

a. ¿Cuál es una razón que relaciona el número de calorías con el número de porciones en esta pinta de yogur helado?

b. ¿Cuál es la tasa en calorías por porción?

8. Jada rastrilla hojas para ganar dinero extra. La razón del número de horas que rastrilla al número de dólares que gana es 4 : 30. ¿Cuál es la tasa de Jada en dólares por hora?

Recuerda

En los problemas 9 y 10, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

9. 2,561 ÷ 3

Cociente:

Residuo:

10. 5,218 ÷ 4

Cociente: Residuo:

11. Yuna y Scott preparan limonada con la misma mezcla en polvo para limonada. Las tablas muestran la relación de razones entre el número de cucharadas de mezcla para limonada y el número de onzas de agua que usan para preparar cada limonada. Según las tablas, ¿la limonada de quién debería tener un sabor a limón menos intenso? Explica cómo lo sabes.

Limonada de Yuna

Número de cucharadas de mezcla para limonada Número de onzas de agua

Limonada de Scott

Número de cucharadas de mezcla para limonada

En los problemas 12 a 16, redondea el número al décimo más cercano.

LECCIÓN 17

Nombre

Tasas

La tasa unitaria

1. La recta numérica doble representa la relación de razones entre el número de millas y el número de horas que Blake pasea en bicicleta.

Paseos en bicicleta de Blake

Número de millas

Número de horas

a. ¿Cuál es la velocidad de Blake en millas por hora? Interpreta su significado.

b. A esta velocidad, ¿cuántas horas tarda Blake en recorrer 30 millas?

Fecha

c. A esta velocidad, ¿cuántas millas recorre Blake si pasea en bicicleta durante 5 horas?

2. La tabla de razones representa la relación entre el número de millas y el número de horas que Kelly pasea en bicicleta. ¿Quién pasea en bicicleta más rápido: Kelly o Blake? Explica.

Paseos en bicicleta de Kelly

3. La recta numérica doble representa la relación de razones entre el costo total en dólares y el número de galones de gasolina.

Costo total (dólares)

Número de galones

a. ¿Cuál es la tasa en dólares por galón? Interpreta su significado.

b. ¿Cuál es la tasa unitaria?

c. A esta tasa, ¿cuál es el costo total para llenar un tanque de 26 galones con gasolina si este se encuentra vacío?

d. Una conductora gasta un total de $24.30 en gasolina. A esta tasa, ¿cuántos galones de gasolina compra la conductora?

Otra tasa unitaria

4. Yuna escribe en la computadora a una tasa constante de 2 minutos por página. Su maestra de computación, la Sra. Song, escribe en la computadora a una tasa constante de 2 páginas por minuto.

a. Completa las tablas de razones.

Escritura en computadora de Yuna

Número de páginas

Número de minutos 1 2

Escritura en computadora de la maestra Song

Número de páginas

Número de minutos 2 1

b. ¿Cuántas páginas puede escribir en la computadora Yuna en 50 minutos? ¿Y en 100 minutos?

c. ¿Cuál es la tasa en páginas por minuto de Yuna? ¿Cuál es la tasa unitaria?

d. ¿Cuántos minutos tarda la maestra Song en escribir 50 páginas en la computadora? ¿Y 100 páginas?

e. ¿Cuál es la tasa en minutos por página de la maestra Song? ¿Cuál es la tasa unitaria?

Tasas y el plano de coordenadas

5. La gráfica representa la relación de razones entre el número de latas de guisantes y el costo total en dólares de las latas de guisantes.

Costo

de las latas de guisantes

Número de latas de guisantes

a. Escribe una razón que relacione el número de latas de guisantes con el costo total en dólares. ¿Cuál es la tasa en latas de guisantes por dólar? ¿Cuál es la tasa unitaria?

b. Escribe una razón que relacione el costo total en dólares con el número de latas de guisantes. ¿Cuál es la tasa en dólares por lata de guisantes? ¿Cuál es la tasa unitaria?

c. ¿Cuál es el costo total de 8 latas de guisantes?

d. ¿Cuántas latas de guisantes se pueden comprar con $8.00?

6. Imagina que un corredor de autos profesional conduce uno de los autos deportivos más rápidos del mundo a su velocidad máxima. La gráfica representa la relación de razones entre el número de horas y el número de millas que el corredor conduce el auto deportivo. Supón que el corredor conduce el auto deportivo a una tasa constante.

Auto deportivo

Número de millas

Número de horas

a. Según la gráfica, ¿cuál es la tasa, en millas por hora, a la que el corredor conduce el auto deportivo? ¿Cuál es la tasa unitaria?

b. Según la gráfica, ¿cuál es la tasa, en horas por milla, a la que el corredor conduce el auto deportivo? ¿Cuál es la tasa unitaria?

c. Imagina que pudieras pasear en bicicleta durante 12 horas a una velocidad constante de 15 millas por hora. ¿Cuántas horas tardaría el corredor de autos en recorrer la misma distancia con el auto deportivo?

BOLETO DE SALIDA

Sasha nada 4 vueltas en 2 minutos.

a. ¿Cuál es la tasa de Sasha en vueltas por minuto? ¿Cuál es la tasa unitaria?

b. ¿Cuál es la tasa de Sasha en minutos por vuelta? ¿Cuál es la tasa unitaria?

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Tasas

En esta lección:

• escribimos tasas que describen situaciones del mundo real;

• calculamos tasas unitarias;

• usamos tasas unitarias para hallar cantidades desconocidas.

Ejemplos

RESUMEN

Vocabulario

Cuando una tasa se escribe de manera que la segunda de las dos cantidades es 1 unidad, la tasa unitaria es la parte numérica de la tasa.

1. El reloj de entrenamiento de Sara cuenta el número de pasos que da. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de pasos que da Sara y el número de minutos que dura su entrenamiento.

Entrenamiento de Sara

El par ordenado (3, 510) muestra que Sara da 510 pasos en 3 minutos.

a. ¿Cuál es la tasa de entrenamiento de Sara en pasos por minuto?

La tasa de entrenamiento de Sara es 170 pasos por minuto.

b. Cuando la tasa se expresa en pasos por minuto, ¿cuál es la tasa unitaria?

La tasa unitaria es 170.

La tasa es 170 pasos por minuto. La parte numérica de la tasa es 170.

c. A esta tasa, ¿cuántos pasos da Sara en 7 minutos?

Sara da 1,190 pasos en 7 minutos.

2. Un supermercado vende 12 naranjas a $3.00.

a. ¿Cuál es la tasa en naranjas por dólar?

La tasa es 4 naranjas por dólar.

b. ¿Cuál es la tasa en dólares por naranja?

La tasa es $0.25 por naranja.

c. ¿Cuál es el precio de 20 naranjas?

El precio de 20 naranjas es $5.00

d. La Sra. Chan tiene $9.00. ¿Cuál es el mayor número de naranjas que puede comprar?

Puede comprar 36 naranjas con $9.00.

Número de minutos

1 3

Número de pasos que da Sara

Dado que la tasa es 4 naranjas por dólar, la tasa unitaria es 4. Multiplica la tasa unitaria por 9 para hallar el mayor número de naranjas que la Sra. Chan puede comprar con $9.00

Sara da 170 pasos en 1 minuto. Multiplica tanto 170 como 1 por 7 para calcular el número de pasos que da en 7 minutos.

Número de naranjas Número de dólares

1 3 4 12

÷3 ÷3

Número de naranjas Número de dólares

÷12

0.25 3 1 12

÷12

Dado que la tasa es $0.25 por naranja, la tasa unitaria es 0.25. Multiplica la tasa unitaria por 20 para hallar el precio de 20 naranjas.

PR ÁCTICA

1. Lacy gana una tasa de $20.00 por cada hora de clases particulares.

a. ¿Cuál es la tasa unitaria?

b. Completa la tabla de razones para mostrar el número de horas que Lacy da clases y la cantidad total de dinero que gana.

Número de horas

Cantidad total ganada

c. A esta tasa, ¿cuánto dinero gana Lacy si da clases durante 8 horas?

d. A esta tasa, ¿cuántas horas de clases debe dar Lacy para ganar $200.00?

Nombre Fecha

2. Adesh está saltando la cuerda. La recta numérica doble representa el número de minutos que Adesh salta la cuerda y el número de saltos que da.

Número de minutos

Número de saltos

a. ¿Cuál es la tasa de salto a la cuerda de Adesh en saltos por minuto?

b. ¿Cuál es la tasa unitaria?

c. A esta tasa, ¿cuántos saltos puede dar Adesh en 5 minutos?

3. Blake llena 10 globos de agua en 4 minutos.

a. ¿Cuál es la tasa de globos de agua llenados por minuto? ¿Cuál es la tasa unitaria?

b. ¿Cuál es la tasa en minutos por globo de agua llenado? ¿Cuál es la tasa unitaria?

4. Un supermercado vende 5 latas de sopa a $2.50.

a. ¿Cuál es la tasa en latas por dólar?

b. ¿Cuál es la tasa en dólares por lata?

c. ¿Cuál es el precio de 10 latas de sopa?

d. La Sra. Baker tiene $15.00. ¿Cuál es el mayor número de latas de sopa que puede comprar?

5. Eddie corre 2 vueltas alrededor del gimnasio cada 3 minutos. Ryan dice que Eddie corre a una tasa de 1.5 vueltas por minuto. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con Ryan? Usa una tabla de razones o una recta numérica doble para justificar tu razonamiento.

6. Noah gana $30.00 cuidando perros durante 4 días. Noah determina su tasa en dólares por día y cree que la tasa unitaria es 30. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con Noah? Justifica tu razonamiento.

Número de millas

Autobús escolar

7. La gráfica muestra la relación de razones entre el número de millas que recorre un autobús escolar y el número de galones de combustible que usa. ¿Qué enunciados parecen ser verdaderos? Elige todas las opciones que correspondan.

A. El autobús recorre 4 millas por galón de combustible.

B. El autobús usa 4 galones de combustible por milla.

Número de galones de combustible

C. El autobús usa 40 galones de combustible por cada 160 millas.

D. El autobús recorre 1 4 de milla por galón de combustible.

E. El autobús usa 1 4 de galón de combustible por milla.

Recuerda

En los problemas 8 y 9, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

8. 6,245 ÷ 7

Cociente:

Residuo: 9. 9,371 ÷ 4

Cociente:

Residuo:

10. Sasha y Julie preparan puré de manzana. Sasha usa 15 manzanas por cada 3 pintas de puré que prepara. Julie usa 24 manzanas por cada 6 pintas de puré que prepara. ¿Quién usa más manzanas por pinta de puré de manzanas? ¿Cómo lo sabes?

11. Redondea 152.096 al valor posicional indicado.

a. centésimo

b. décimo

c. unidad

d. decena

LECCIÓN

Comparar tasas

Al compás del tambor

¿Cuál es más rápido?

El tempo perfecto

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

18

El sitio web de un museo vende 30 boletos por $480.00. La oficina del museo vende cada boleto a $15.00. ¿Qué método de compra tiene el costo más bajo por boleto? Explica cómo lo sabes.

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Comparar tasas

En esta lección:

• comparamos tasas que tenían el mismo tipo de cantidades;

• convertimos unidades de tiempo para comparar dos tasas diferentes.

Ejemplos

1. La tienda Ciudad de las Flores vende plantas de caléndula a $0.90 cada una. La tienda Centro Verde vende 3 plantas de caléndula a $3.15. ¿Qué tienda tiene el precio más bajo por planta de caléndula? Explica tu razonamiento.

Centro Verde

Número de plantas de caléndula

Precio (dólares)

En Centro Verde, el precio de 3 plantas de caléndula es $3.15. Para hallar el precio de 1 planta de caléndula, divide 3.15 entre 3. El precio de cada planta de caléndula en Centro Verde es $1.05

En Ciudad de las Flores, el precio de 1 planta de caléndula es $0.90. En Centro Verde, el precio de 1 planta de caléndula es $1.05. Entonces, el precio por planta de caléndula es más bajo en Ciudad de las Flores que en Centro Verde.

En Ciudad de las Flores, el precio de 1 planta de caléndula es $0.90. Entonces, el precio de 3 plantas de caléndula es $2.70, porque 0.9 × 3 = 2.7. El precio de 3 plantas de caléndula también es más bajo en Ciudad de las Flores que en Centro Verde.

2. La impresora de Kelly puede imprimir 20 páginas por minuto. La impresora de Adesh puede imprimir 1 2 página por segundo. ¿Qué impresora es más rápida? Explica tu razonamiento.

La impresora de Adesh es más rápida que la de Kelly porque puede imprimir 30 páginas en 60 segundos, es decir, 30 páginas por minuto. La impresora de Kelly solo puede imprimir 20 páginas por minuto.

Para comparar tasas, hay que asegurarse de que las dos tasas tengan la misma unidad. Multiplica tanto 1 2 como 1 por 60 para hallar la tasa de la impresora de Adesh en páginas por minuto.

Impresora de Adesh

Número de páginas

Número de segundos

Otra estrategia es comparar la tasa de cada impresora en páginas por segundo. La impresora de Kelly puede imprimir 20 páginas en 1 minuto, o 60 segundos. A fin de comparar las tasas como páginas por segundo, divide tanto 20 como 60 entre 60 para hallar la tasa de la impresora de Kelly en páginas por segundo.

Impresora de Kelly

Número de páginas

Número de segundos

Esto confirma que la impresora de Adesh es más rápida que la de Kelly, porque 1 2 página por segundo es más rápido que 1 3 de página por segundo.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. Las tablas representan las tasas de mensajes de texto de Kayla y Toby. ¿Quién envía más mensajes por semana? Explica.

Kayla

Número de semanas

de mensajes

de

2. Las tablas muestran el número de onzas de arándanos que se usaron para hacer diferentes números de muffins en la tienda Muffin Feliz y en la tienda Muffin al Sol. A Lisa le gustan los muffins con muchos arándanos. ¿Qué tienda de muffins le recomendarías a Lisa? Explica.

Tienda Muffin Feliz

Número

Tienda Muffin al Sol

Número de onzas de arándanos

de muffins

3. El autobús A recorre 10 millas en 15 minutos. El autobús B recorre 8 millas en 10 minutos. Los dos autobuses comienzan su viaje a la misma hora. A estas tasas, ¿qué autobús es el primero en recorrer 50 millas? Crea dos tablas para mostrar cómo lo sabes.

4. Yuna gana $266.00 aseando 14 caniches. Tyler gana $180.00 aseando 9 caniches. ¿Quién gana menos por caniche? Explica tu razonamiento.

5. En el lavadero de autos A, se lavan 5 autos en 1 hora. En el lavadero de autos B, se lava 1 auto en 15 minutos. ¿Qué compañía lava autos a una tasa más rápida? Completa las rectas numéricas dobles para respaldar tu respuesta.

Lavadero de autos A

Número de autos lavados

Número de minutos

0 0

Lavadero de autos B

Número de autos lavados

Número de minutos

0 0

6. Sara prepara 4 sándwiches en 8 minutos. Kelly dice que la tasa de Sara es 0.5 sándwiches por minuto. Ryan dice que la tasa de Sara es 2 sándwiches por minuto. ¿Quién está en lo correcto? Crea dos tablas para mostrar cómo lo sabes.

Recuerda

En los problemas 7 y 8, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

7. 6,874 ÷ 3

Cociente:

Residuo:

8. 10,580 ÷ 6

Cociente:

Residuo:

9. Un globo aerostático viaja a una velocidad constante de 15 millas por hora.

a. Interpreta el significado de 15 millas por hora en esta situación.

b. Completa la tabla de razones.

Número de horas Número de

c. Usa la tabla de razones de la parte (b) para crear una recta numérica doble que represente esta situación.

10. ¿Qué pares de fracciones y números decimales son equivalentes? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2 10 y 0.2

B. 7 10 y 0.07

C. 3 100 y 0.3

D. 6

Usar tasas para convertir unidades

huevos por docena pennies por dólar

cuartos de galón por galón

metros por kilómetro

Nombre Fecha

Conversiones de unidades como tasas

1. Selecciona tres tasas de la tabla de conversión de unidades. Indica la tasa unitaria para cada una.

Usar tasas para convertir entre los sistemas de medidas

2. La maestra Baker quiere colocar un marco alrededor del tablero de anuncios de su clase. Mide el tablero de anuncios en pulgadas y halla que mide 60 pulgadas por 72 pulgadas.

60 in

72 in

a. ¿Cuál es el perímetro en pulgadas del tablero de anuncios de la maestra Baker?

b. En la tienda de materiales, la maestra Baker descubre que el marco que venden allí está medido en centímetros. ¿Cuántos centímetros de marco necesita la maestra Baker de manera que le alcance para enmarcar el tablero de anuncios? Crea una tabla de razones u otra representación para respaldar tu respuesta.

c. La maestra Baker también necesita comprar arena para un proyecto de ciencias. El proyecto requiere al menos 5 libras de arena. En la tienda se venden bolsitas de 40 onzas de arena. ¿Es suficiente una bolsita de 40 onzas de arena para el proyecto? De no ser así, ¿cuántas bolsitas de 40 onzas de arena necesita la maestra Baker? Crea una tabla de razones u otra representación para respaldar tu respuesta.

3. La velocidad de crucero típica de un avión es 900 kilómetros por hora. Un kilómetro es aproximadamente 0.62 millas. ¿Cuántas millas por hora es la velocidad de crucero típica de un avión? Crea una recta numérica doble u otra representación para respaldar tu respuesta.

Usar tasas para resolver problemas de varios pasos

4. El agua sale de una manguera de jardín a una tasa de 91.2 litros por minuto.

a. Una piscina tiene una capacidad de 8,640 galones de agua. ¿Cuántos minutos se tardará en llenar la piscina con la manguera de jardín? Crea una tabla de razones u otra representación para respaldar tu respuesta. Usa 1 galón ≈ 3.8 litros

b. ¿Cuántas horas se tardará en llenar la piscina?

5. En un restaurante, se cocinan 10 libras de carne asada para preparar sándwiches. Cada sándwich tiene 100 gramos de carne asada. Cada libra es aproximadamente 450 gramos. ¿Cuántos sándwiches puede preparar el restaurante con 10 libras de carne asada?

Tabla de referencia para la conversión de medidas

Longitud

1 pulgada = 2.54 centímetros

1 metro ≈ 39.37 pulgadas

1 milla = 5,280 pies

1 milla = 1,760 yardas

1 milla ≈ 1.61 kilómetros

1 kilómetro ≈ 0.62 millas

1 libra = 16 onzas

1 libra ≈ 0.45 kilogramos

1 kilogramo ≈ 2.20 libras

1 tonelada = 2,000 libras

Capacidad

1 taza = 8 onzas líquidas

1 pinta = 2 tazas

1 cuarto de galón = 2 pintas

1 galón = 4 cuartos de galón

1 galón ≈ 3.79 litros

1 litro ≈ 0.26 galones

1 litro = 1,000 centímetros cúbicos

El agua sale de un grifo a una tasa de 1.7 galones por minuto.

a. ¿A qué tasa sale el agua del grifo en cuartos de galón por minuto?

BOLETO DE SALIDA 19

b. A esta tasa, ¿cuánto se tardará aproximadamente en llenar una cacerola con una capacidad de 20 cuartos de galón? Redondea tu respuesta al minuto más cercano.

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Usar tasas para convertir unidades

En esta lección:

• usamos tasas unitarias para convertir unidades dentro del mismo sistema de medidas;

• usamos tasas unitarias para convertir unidades de sistemas de medidas diferentes.

Ejemplos

Un guepardo puede correr a una velocidad de 64 kilómetros por hora.

a. A esta velocidad, ¿cuántos metros por hora puede correr un guepardo?

Un guepardo puede correr 64,000 metros por hora.

b. Hay aproximadamente 1,609 metros en 1 milla.

A esta misma velocidad, ¿cuántas millas por hora puede correr un guepardo? Redondea tu respuesta al número entero más cercano.

64,000 ÷ 1,609 ≈ 40

Un guepardo puede correr unas 40 millas por hora.

Dado que hay 1,000 metros en 1 kilómetro, multiplica 64 por 1,000 para determinar que hay 64,000 metros en 64 kilómetros.

La tasa en esta situación es 1,609 metros en 1 milla. La tasa unitaria es 1,609. Crea una tabla de razones para determinar si se debe multiplicar por o dividir entre la tasa unitaria para hallar la respuesta.

Número de metros Número de millas

1 64,000 40 1,609 ÷ 1,609 ÷ 1,609

c. A esta misma velocidad, ¿cuántas millas por minuto puede correr un guepardo?

40 60 2 3 ÷=

Un guepardo puede correr alrededor de 2 3 de milla por minuto.

d. A esta misma velocidad, ¿cuántas millas puede correr un guepardo en 6 minutos?

2 3 64×=

Un guepardo puede correr unas 4 millas en 6 minutos.

Un guepardo puede correr unas 40 millas en 60 minutos. Divide entre 60 para determinar el número de millas por minuto que puede correr un guepardo.

Número de millas Número de minutos

60 1 40 2 3

Dado que un guepardo puede correr aproximadamente 2 3 de milla en 1 minuto, multiplica tanto 2 3 como 1 por 6 para determinar el número de millas que puede correr un guepardo en 6 minutos.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

Usa la Tabla de referencia para la conversión de medidas de 6.o grado.

En los problemas 1 a 11, llena el espacio para completar la conversión de unidades. Si es necesario, redondea al centésimo más cercano.

1. 7 ft = in

2. 100 yd = ft

3. 25 m = cm

4. 4.34 km ≈ mi

5. 96 oz = lb

6. 2 mi ≈ km

7. 3 in = cm

8. 5 gal ≈ L 9. 15 L = gal

10. 6 g = mg

11. 22 lb ≈ kg

12. La Sra. Baker puede caminar 1 milla en 20 minutos. A esta tasa, ¿cuántas millas puede caminar por hora?

13. Un auto mediano normal pesa 1.5 toneladas. Tiene un tanque de gasolina con una capacidad de 15 galones de gasolina.

a. ¿Cuántos cuartos de galón caben en el tanque de gasolina?

b. ¿Cuántas libras pesa el auto?

14. Ryan compra una bolsita de 2 kilogramos de mezcla de frutos secos para una caminata. Quiere preparar bolsitas de 5 onzas para compartir con sus amigas y amigos de caminata. Hay aproximadamente 35 onzas en 1 kilogramo. ¿Cuántas bolsitas de 5 onzas puede preparar Ryan?

15. El gran tiburón blanco puede nadar a una velocidad máxima de 40 kilómetros por hora.

a. ¿Cuántos metros por hora puede nadar el tiburón a su velocidad máxima?

b. ¿Cuántas millas por hora puede nadar el tiburón a su velocidad máxima? Redondea tu respuesta al número entero más cercano.

c. Usa la tasa de la parte (b) para hallar el número de millas que puede nadar el tiburón en 12 minutos a su velocidad máxima.

d. ¿Cuántas millas por minuto puede nadar el tiburón a su velocidad máxima?

Recuerda

En los problemas 16 y 17, divide.

16. 8,320 ÷ 40 17. 11,700 ÷ 50

18. Kayla escribe un mensaje de texto que tiene 135 palabras en 3 minutos. ¿Cuál es la tasa a la que escribe en palabras por minuto? ¿Cuál es la tasa unitaria?

19. Toby tiene 7 metros de tela. La usa para hacer 10 fundas de almohada del mismo tamaño. ¿Cuánta tela en metros usa Toby para cada funda de almohada?

Nombre Fecha

Resolver problemas de tasas

Viajes

por carretera en familia

La familia Evans, la familia Pérez y la familia Chan hacen viajes por carretera. Usa la información dada para responder al menos una pregunta de cada estación.

Estación 1

Para determinar la mejor oferta, halla el precio más bajo por unidad de los productos que compra cada familia.

a. La tabla muestra el precio que paga cada familia por protectores solares. Familia Evans Familia Pérez Familia Chan

Botella de 6 onzas

$12.00

Dos botellas de 4.2 onzas

$15.96

Botella de 10 onzas

$19.50

b. La tabla muestra el precio que paga cada familia por agua embotellada.

Familia Evans Familia Pérez Familia Chan

Paquete de 12 botellas de 1 litro

$15.60

Paquete de 12 botellas de 0.5 litros

$7.68

Paquete de 10 botellas de 500 mililitros

$6.45

c. La tabla muestra el precio que paga cada familia por mezclas de frutos secos.

Familia Evans Familia Pérez Familia Chan

Paquete de 6 bolsitas de 150 gramos

$18.00

Una bolsita de 1 kilogramo

$15.00

Dos bolsitas de 1 libra

$22.50

Estación 2

Cada parte proporciona el número de millas y el número de minutos para el inicio del viaje en auto de cada familia.

a. La familia Evans recorre 21 millas en los primeros 20 minutos de viaje. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora durante este tiempo? Crea una representación para mostrar tu trabajo.

b. La familia Pérez recorre 16.5 millas en los primeros 15 minutos de viaje. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora durante este tiempo? Crea una representación para mostrar tu trabajo.

c. La familia Chan recorre 35 millas en los primeros 30 minutos de viaje. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora durante este tiempo? Crea una representación para mostrar tu trabajo.

Estación 3

Cada parte proporciona información sobre la gasolina que compra cada familia. Usa la tasa y la cantidad dadas para determinar la cantidad desconocida.

a. La familia Evans se detiene en una estación de gasolina que cobra $3.00 por galón de gasolina. ¿Cuántos galones de gasolina compra la familia Evans si gasta en total $27.00?

b. La familia Pérez se detiene en una estación de gasolina y gasta en total $35.00 en 10 galones de gasolina. ¿Cuánto cuesta cada galón en esta estación de gasolina?

c. La familia Chan se detiene en una estación de gasolina que cobra $3.25 por galón. ¿Cuál es la cantidad total en dólares que gasta la familia Chan si compra 8 galones de gasolina?

Estación 4

Cada parte requiere la conversión de una unidad de medida a otra. Usa la información para responder las siguientes preguntas.

a. Los niños y las niñas de la familia Evans caminan hasta el final de un muelle de pesca ida y vuelta. La longitud del muelle de pesca es 1,320 pies. ¿Cuántos kilómetros caminan las niñas y los niños de la familia Evans? Si es necesario, redondea al centésimo más cercano.

b. Una de las niñas de la familia Pérez observa un cangrejo de arena que corre 2 metros en 16 segundos. ¿Cuál es la tasa en centímetros por segundo a la que corre el cangrejo de arena?

c. Uno de los niños de la familia Chan observa un cangrejo ermitaño que se arrastra 12 pulgadas en 10 segundos. ¿A qué tasa en metros por minuto se arrastra el cangrejo ermitaño? Si es necesario, redondea al centésimo más cercano.

Estación 5

Cada parte proporciona tasas en otras situaciones de los viajes por carretera. Usa la información para responder las siguientes preguntas.

a. La Sra. Evans compra 6 toallas de playa pequeñas a una tasa de $5.00 por toalla. Compra 3 toallas de playa grandes a una tasa diferente. En total, gasta $54.00 en toallas de playa. ¿Qué tasa en dólares por toalla paga la Sra. Evans por las toallas de playa grandes?

b. El Sr. Pérez se detiene a comprar 9 galones de gasolina a una tasa de $3.00 por galón. Se detiene una segunda vez y compra 10 galones de gasolina a una tasa diferente. En total, gasta $58.00 en gasolina. ¿Qué tasa en dólares por galón paga el Sr. Pérez por la gasolina en la segunda parada?

c. Durante las 3 primeras noches de la estadía de la familia Chan, el hotel les cobra una tasa de $125.00 por noche. En las últimas 2 noches, el hotel les cobra una tasa diferente. En total, el hotel les cobra $585.00 por la estadía de 5 noches. ¿Qué tasa en dólares por noche le cobra el hotel a la familia Chan por las últimas 2 noches de estadía?

BOLETO DE SALIDA

20

Scott corre a una tasa de 5 minutos por kilómetro. Su objetivo es correr una carrera de 50 kilómetros en menos de 4 horas. Si corre a la tasa actual, ¿logrará su objetivo? ¿Cómo lo sabes?

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Resolver problemas de tasas

En esta lección:

• aplicamos el razonamiento sobre tasas para resolver problemas del mundo real que incluyen velocidad, precio unitario y conversiones de unidades;

• resolvimos problemas de varios pasos con más de una tasa.

Ejemplos

1. Se venden almendras, nueces pecán y nueces de Castilla.

• El precio de 1 2 libra de almendras es $3.00.

• El precio de 16 onzas de nueces pecán es $12.00.

• El precio de las nueces de Castilla es $0.50 por onza.

Julie quiere comprar la misma cantidad de cada tipo de fruto seco. Enumera los frutos secos de menor a mayor costo si Julie compra la misma cantidad de cada uno. Muestra cómo lo sabes.

De menor a mayor costo: almendras, nueces de Castilla, nueces pecán

El precio de 16 onzas de almendras es $6.00 porque

3 × 2 = 6.

El precio de 16 onzas de nueces de Castilla es $8.00 porque 16 × 0.5 = 8.

El precio de 16 onzas de nueces pecán es $12.00.

En algunos casos, es más eficiente escribir la tasa como precio por onza y hallar la tasa unitaria para comparar el precio de los productos.

En este caso, hallar el precio de 16 onzas de cada tipo de fruto seco también es un método eficiente.

Si es necesario, usa una tabla de razones para determinar el precio de los diferentes números de onzas de cada tipo de fruto seco. 3 16 6 8 ×2 ×2

Número de onzas de nueces de Castilla Precio (dólares)

16 8 1 ÷2

Número de onzas de almendras Precio (dólares)

2. Tyler gana dinero realizando trabajos de jardinería. Rastrilla hojas durante 3 horas a una tasa de $12.00 por hora. Corta el césped durante 2 horas a una tasa diferente. Gana un total de $56.00 por rastrillar y cortar el césped.

¿Cuánto dinero gana Tyler por hora cortando el césped?

12 × 3 = 36

56 - 36 = 20

20 ÷ 2 = 10

Tyler gana $10.00 por hora cortando el césped.

Tyler gana $36.00 rastrillando hojas durante 3 horas. Resta $36.00 del total, $56.00, para hallar que gana $20.00 por 2 horas cortando el césped. Esto es una tasa de $10.00 por hora.

Al resolver problemas con varias tasas, considera qué herramientas pueden ser útiles para determinar una respuesta. Considera usar un diagrama de cinta como el que se muestra.

Número de horas rastrillando

Número de horas cortando el césped

20 56 12 12 10 10 12

Nombre Fecha

PR ÁCTICA 20

1. Lisa escribe a una tasa de 40 palabras por minuto en la computadora.

a. A esta tasa, ¿cuántas palabras por hora puede escribir Lisa?

b. A esta tasa, ¿cuántas palabras por segundo puede escribir Lisa?

c. Si Lisa escribe a la misma tasa, ¿cuántos minutos tardará en escribir 320 palabras en la computadora?

2. Scott compra chips de col rizada para sus almuerzos. Puede comprar un paquete de seis bolsitas de 1 2 onza de chips de col rizada por $9.00, o puede comprar una bolsita de 5 onzas por $12.50. ¿Qué opción tiene un menor costo por onza de chips de col rizada? Explica.

3. Un tren de alta velocidad viaja a una tasa de 90 millas por hora. A esta tasa, ¿cuántas millas recorre el tren de alta velocidad en 4 1 2 horas?

4. El tanque de una cortadora de césped tiene una capacidad de 3 cuartos de galón de gasolina. Si la gasolina cuesta $3.00 por galón, ¿cuál es el costo total en dólares de llenar el tanque vacío de la cortadora de césped?

5. Dos parques de trampolines cobran tasas diferentes. El parque de trampolines A cobra $4.00 por cada 1 2 hora de tiempo de juego. El parque de trampolines B cobra $20.00 por 3 horas de tiempo de juego. Si planeas una visita de 3 horas, ¿qué parque de trampolines cobra la mejor tasa? Explica.

6. La tienda A vende un jugo de 1 2 galón a $2.65. Esta tienda vende el mismo jugo en un tamaño de 1 galón a $5.50.

a. ¿Qué tamaño de jugo de la tienda A, el de 1 2 galón o el de 1 galón, tiene el mejor precio por galón? Explica.

b. La tienda B vende el mismo jugo en una botella de 1 litro a $1.50. ¿Tiene el jugo de la tienda B mejor precio por galón que el jugo de la tienda A? Explica. Usa 1 galón ≈ 3.79 litros.

7. La siguiente lista contiene el tiempo y la distancia que corren cuatro personas. Ordena a las personas de menor a mayor velocidad en minutos por milla. Usa 1 kilómetro ≈ 0.62 millas.

• Blake corre 2 millas en 17 minutos.

• Kayla corre 3 millas en 27 minutos.

• Noah corre 2.5 millas en 20 minutos.

• Ryan corre 5 kilómetros en 31 minutos.

8. Jada da clases particulares de ciencias durante 4 horas a una tasa de $15.00 por hora. Luego, da clases de matemáticas durante 2 horas a una tasa diferente. En total, gana $100.00 por dar clases de ciencias y matemáticas durante estas horas. ¿Cuál es la tasa en dólares por hora que cobra Jada por dar clases de matemáticas?

9. En una feria de libros, Riley compra 4 novelas a una tasa de $6.00 por libro. También compra 3 libros de historietas a una tasa diferente. En total, Riley gasta $40.50 en la feria de libros.

¿Qué tasa en dólares por libro paga en los libros de historietas?

Recuerda

En los problemas 10 y 11, divide.

10. 12,240 ÷ 20

11. 16,020 ÷ 30

12. Lacy y Mara pasean en bicicleta hasta un campamento a una distancia de 30 millas. Lacy recorre 3 millas en 15 minutos. Mara recorre 5 millas en 20 minutos. Lacy y Mara salen a la misma hora y desde la misma ubicación. A estas tasas, ¿quién llegará al campamento primero? Muestra cómo lo sabes.

13. Tyler tiene 5 barras de granola del mismo tamaño para repartir en partes iguales junto con Leo y Sasha. Si cada persona recibe la misma cantidad, ¿cuántas barras de granola reciben Tyler, Leo y Sasha?

Resolver problemas de tasas de varios pasos

Cosas de caballos

1. Un caballo corre una carrera de 7,920 pies en 150 segundos.

a. ¿Cuál es la tasa del caballo en pies por segundo?

b. ¿Cuál es la tasa del caballo en pies por minuto?

c. ¿Cuál es la tasa del caballo en pies por hora?

d. ¿Cuál es la tasa del caballo en millas por hora?

Nombre Fecha

Enviar un caballo a la Luna

2. Un caballo corre 36 millas por hora. La distancia de la Tierra a la Luna es alrededor de 238,855 millas. ¿Cuántos días tardaría el caballo en correr de la Tierra a la Luna? Supón que el caballo corre a una velocidad constante. Supón que de verdad existe un camino entre la Tierra y la Luna.

Tu turno

3. Elige un método de viaje de la lista. La distancia de la Tierra a la Luna es alrededor de 238,855 millas. ¿Cuántas semanas se tardaría en viajar de la Tierra a la Luna? Supón que el método de transporte o la persona que viaja se mueve a la velocidad constante dada. Supón que de verdad existe un camino entre la Tierra y la Luna.

Una persona que corre a 1 10 de milla por minuto

Un perezoso que se arrastra a 4 metros por minuto

Un halcón peregrino que cae en picada a 88 metros por segundo

Un guepardo que corre a 120 kilómetros por hora

Una tortuga de las Galápagos que camina a 984 pies por hora

Un monopatín que va a 792 pies por minuto

Un tren que va a 95,000 metros por hora

Una moto todo terreno que va a 3,800 centímetros por segundo

Un camión de bomberos que va a 55 pies por segundo

Unos patines que se mueven a 4,224 pulgadas por minuto

Nombre Fecha

La representación en Una historia de razones

Lee

Lee el problema completo. Pregúntate:

• ¿Qué me pide hallar el problema?

Luego, vuelve a leer una parte a la vez. Mientras relees, pregúntate:

• ¿Qué sé?

Representa la situación, en lo posible con tablas, gráficas, diagramas y ecuaciones.

Representa

Representa el problema usando el modelo que hayas elegido. Pregúntate:

• ¿Qué rótulos uso en la tabla, la gráfica o el diagrama?

• ¿Cómo defino las variables?

Mientras trabajas, pregúntate:

• ¿Están claros en el modelo lo conocido y lo desconocido?

Agrega lo que falte a tu modelo o corrígelo según sea necesario.

Resuelve

Resuelve el problema. Determina si tu resultado parece ser una solución correcta. Pregúntate:

• ¿Tiene sentido mi respuesta?

• ¿Responde mi resultado a la pregunta?

Si la respuesta es negativa, corrige el modelo o crea uno nuevo. Luego, vuelve a hacerte estas preguntas usando el nuevo resultado.

Resume

Resume tu resultado y prepárate para justificar tu razonamiento.

BOLETO DE SALIDA 21

Un tábano vuela a una tasa de 90 millas por hora. La distancia de la Tierra a la Luna es alrededor de 238,855 millas. Kayla dice: “A esa tasa, el tábano tardaría menos de 16 semanas en volar a la Luna”.

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con Kayla? Justifica tu respuesta. Si es necesario, redondea al décimo más cercano.

Nombre Fecha

Nombre Fecha

Resolver problemas de tasas de varios pasos

En esta lección:

• convertimos las dos cantidades de una tasa a diferentes unidades de medida;

• resolvimos problemas de tasas de varios pasos.

Ejemplo

Una corredora profesional termina una carrera de 100 yardas en 9.58 segundos. En las partes (a) a (f), si es necesario, redondea las respuestas a la posición de los centésimos.

a. ¿Cuál es la tasa de la corredora en yardas por segundo?

100 ÷ 9.58 ≈ 10.44

La tasa de la corredora es alrededor de 10.44 yardas por segundo.

b. ¿Cuál es la tasa de la corredora en pies por segundo? 10.44 yardas por segundo

1 yarda = 3 pies

3 × 10.44 = 31.32

La tasa de la corredora es alrededor de 31.32 pies por segundo.

c. ¿Cuál es la tasa de la corredora en pies por minuto?

31.32 pies por segundo

60 segundos = 1 minuto

31.32 × 60 = 1,879.2

La tasa de la corredora es alrededor de 1,879.2 pies por minuto.

Número de yardas Número de pies

× 10.44 × 10.44

d. ¿Cuál es la tasa de la corredora en pies por hora?

1,879.2 pies por minuto

60 minutos = 1 hora

1,879.2 × 60 = 112,752

La tasa de la corredora es alrededor de 112,752 pies por hora.

e. ¿Cuál es la tasa de la corredora en millas por hora?

112,752 pies por hora

5,280 pies = 1 milla

112,752 ÷ 5,280 ≈ 21.35

La tasa de la corredora es alrededor de 21.35 millas por hora.

f. Si la corredora pudiera mantener esta tasa, ¿cuánto tardaría en terminar una carrera de 3 millas?

de horas

3 ÷ 21.35 ≈ 0.14

La corredora tardaría unas 0.14 horas en terminar una carrera de 3 millas.

1,879.2 112,752 1 60 ×60× 60 Número de minutos Número de pies 1 112,752 21.35 5,280 ÷ 5,280 ÷ 5,280

Número de pies Número de millas

de

de horas

A veces, es útil convertir unidades de manera que la respuesta tenga más sentido. Dado que hay 60 minutos en 1 hora, se puede multiplicar tanto 60 como 1 por 0.14 para hallar que hay 8.4 minutos en 0.14 horas. Esto significa que la corredora tardaría unos 8.4 minutos en terminar una carrera de 3 millas a esta tasa.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. Durante una tormenta, la lluvia cae a una tasa de 4 5 de pulgada por hora. A esta tasa, ¿cuántas pulgadas de lluvia caen en 10 horas?

2. Un autobús escolar sale de la escuela intermedia a las 2:00 p. m.

a. El autobús lleva al equipo de basquetbol a un partido a 30 millas de distancia. Si el autobús viaja a una tasa de 40 millas por hora, ¿a qué hora llega el equipo al partido?

b. En el camino de vuelta, el autobús viaja a una tasa de 35 millas por hora. ¿Qué distancia recorre el autobús en 15 minutos?

3. Leo corre las 40 yardas en 4.84 segundos. Si es necesario, redondea las respuestas al centésimo más cercano.

a. ¿Cuál es la tasa de Leo en yardas por segundo?

b. ¿Cuál es la tasa de Leo en pies por segundo?

c. ¿Cuál es la tasa de Leo en pies por minuto?

d. ¿Cuál es la tasa de Leo en pies por hora?

e. ¿Cuál es la tasa de Leo en millas por hora?

f. Imagina que Leo pudiera mantener esta velocidad por un tiempo largo. ¿Cuántas horas tardaría en correr las 277 millas de longitud del Gran Cañón?

4. Adesh compite en un triatlón. La carrera tiene tres partes: natación, ciclismo y carrera a pie.

a. Adesh nada a una tasa de 50 metros por minuto. Completa la parte de natación del triatlón en 30 minutos. ¿Qué distancia nada en kilómetros?

b. Adesh hace el recorrido en bicicleta a una tasa de 32 kilómetros por hora. ¿Cuántos minutos tarda en completar los 40 kilómetros del recorrido en bicicleta?

c. Hay dos transiciones de 10 minutos durante el triatlón. Una es entre la carrera a nado y la carrera en bicicleta. La otra es entre la carrera en bicicleta y la carrera a pie. Incluidas las dos transiciones de 10 minutos, Adesh completa el triatlón en 3 horas y 5 minutos. Halla la tasa de Adesh en kilómetros por hora para los 10 kilómetros de la carrera a pie del triatlón.

Recuerda

En los problemas 5 y 6, divide.

5. 25,060 ÷ 70

6. 75,000 ÷ 60

7. Un antílope puede correr hasta 60 millas por hora.

a. A esta tasa, ¿cuántas millas puede correr un antílope en 15 minutos?

b. A esta tasa, ¿cuántos pies puede correr un antílope en 2 minutos?

8. Al viajar a México, Jada cambió sus 10 dólares estadounidenses por 200 pesos mexicanos. ¿Cuál es la tasa de cambio entre dólares estadounidenses y pesos mexicanos? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 20 dólares por peso

B. 20 pesos por dólar

C. 1 20 de peso por dólar

D. 1 20 de dólar por peso

Una donación generosa

Haré una obra de caridad y donaré el 50 % de mi riqueza a tu causa.

¡Vaya! ¡Cuánta generosidad! ¡Eres una verdadera inspiración!

No es nada. Solo cumplo con mi deber cívico.

Mmm... Son $0.10. ¿Tienes una fortuna de $0.20?

¿Bromeas? ¿Crees que el dinero cae del cielo?

Necesitaré $0.05 de cambio.

Cuando se trata de cuestiones de dinero, como impuestos o donaciones de caridad, solemos razonar en términos de porcentajes.

Considera el caso de $1. Si tuvieras $1,000, un solo dólar quizá no parezca mucho. Pero, si solo tuvieras $2, un dólar te parecería mucho dinero. ¡Sería la mitad de lo que tienes!

Para evaluar si una suma de dinero es “mucho” o “poco”, no basta con considerar el dinero de manera aislada. También necesitas un punto de comparación. Por eso los porcentajes son tan comunes: como son razones disfrazadas, nos ayudan a hacer comparaciones.

LECCIÓN

Introducción a los porcentajes

Cargar las baterías

¿Cuál es la carga?

Mayor que el 100 %

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

22

1. Sombrea la cuadrícula para representar el 58 %.

2. Escribe el 58 % como una fracción.

3. Escribe el 58 % como un número decimal.

Nombre Fecha

Nombre Fecha

RESUMEN

Introducción a los porcentajes

En esta lección:

• exploramos el significado de porcentaje;

• escribimos porcentajes en forma fraccionaria y decimal.

Ejemplos

1. Considera los cuadrados sombreados en una cuadrícula de 10 × 10.

Vocabulario

Un porcentaje es una fracción con un denominador de 100

Un número seguido del símbolo de porcentaje, N %, indica N 100

a. ¿Cuál es la razón del número de cuadrados azules al número total de cuadrados?

39 : 100

b. ¿Qué fracción de la cuadrícula es azul?

c. ¿Qué porcentaje de la cuadrícula es azul?

39 %

d. ¿Qué porcentaje de la cuadrícula no es azul?

61 %

Hay 39 cuadrados azules de un total de 100 cuadrados. Entonces, el 39 % de los cuadrados son azules.

El porcentaje de cuadrados que son azules y el porcentaje de cuadrados que no son azules deben sumar 100 %

2. Considera 3 20 .

a. Escribe una fracción equivalente con un denominador de 100.

3 20 5 5 15 100 ×=

b. Escribe 3 20 como un número decimal.

0.15

c. Escribe 3 20 como un porcentaje.

15 %

Dado que la fracción 3 20 es equivalente a 15 100 , la fracción 3 20 se puede escribir como el 15 %

3. Considera las cuadrículas. Una sola cuadrícula de 10 × 10 representa el total.

Una cuadrícula de 10 × 10, o 100 cuadrados, representa el total, o todo. Este modelo muestra que más del 100 % del total está sombreado.

a. Representa el área sombreada como una fracción.

b. Representa el área sombreada como un número decimal.

1.13

c. Representa el área sombreada como un porcentaje. 113 %

4. Sasha dice que el 24 % del diagrama está sombreado. ¿Está Sasha en lo correcto? Explica.

Sasha no está en lo correcto. Hay 24 cuadrados sombreados de un total de 30 cuadrados, lo cual no representa el 24 %

Contar cuadrados para determinar un porcentaje solo sirve si el diagrama tiene un total de 100 cuadrados. Un diagrama con 24 cuadrados sombreados de un total de 100 cuadrados representa el 24 %

PR ÁCTICA

1. Los cuadrados sombreados de la cuadrícula muestran los asientos ocupados en un cine.

a. ¿Cuál es la razón del número de asientos ocupados al número total de asientos?

b. ¿Qué fracción de los asientos están ocupados?

c. ¿Qué porcentaje de los asientos están ocupados?

d. ¿Qué porcentaje de los asientos no están ocupados?

Nombre Fecha

2. Considera el 9 %.

a. Sombrea la cuadrícula para representar el 9 %.

b. Escribe el 9 % como una fracción.

c. Escribe el 9 % como un número decimal.

3. Considera 2 5

a. Escribe una fracción equivalente con un denominador de 100.

b. Escribe 2 5 como un número decimal.

c. Escribe 2 5 como un porcentaje.

4. Completa la tabla. Cuadrícula

5. Considera las cuadrículas. Una sola cuadrícula de 10 × 10 representa el total.

a. Representa el área sombreada como una fracción.

b. Representa el área sombreada como un número decimal.

c. Representa el área sombreada como un porcentaje.

6. Yuna dice que el 40 % del diagrama no está sombreado. Lacy dice que el 4 % del diagrama no está sombreado. ¿Quién está en lo correcto? Explica cómo lo sabes.

7. Leo dice que el 11 % del diagrama está sombreado. Adesh dice que el 55 % del diagrama está sombreado. ¿Quién está en lo correcto? Explica cómo lo sabes.

Recuerda

En los problemas 8 y 9, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

8. 6,052 ÷ 20

9. 5,410 ÷ 30

10. Sasha escribe en la computadora a una tasa de 35 palabras por minuto.

a. A esta tasa, ¿cuántas palabras escribe Sasha en media hora?

b. A esta tasa, ¿cuántas palabras escribe Sasha por segundo?

En los problemas 11 y 12, enumera todos los factores del número que se muestra.

11. 12

12. 40

LECCIÓN

Hallar el porcentaje

Hace unos 2,000 años, el Imperio romano abarcaba un territorio muy amplio. Para mantener el imperio, las personas que vivían allí debían pagar impuestos. Al principio, el sistema tributario era muy injusto, ya que dependía de ciertas personas que recaudaban impuestos dentro de una zona denominada “provincia”. Esas personas pagaban por anticipado una suma estimada de impuestos y se quedaban con el dinero adicional que les habían cobrado a quienes habitaban la provincia, gracias a lo cual se enriquecieron rápidamente. El emperador romano César Augusto puso fin a este proceso de recaudación y estableció impuestos más justos para el pueblo romano.

Las personas obtenían ingresos y pagaban impuestos con unas monedas plateadas llamadas denarios.

1. Imagina que eres el emperador de Roma. Quieres cobrar impuestos de manera justa. ¿Cuánto cobrarías de impuestos en los siguientes casos? Explica tu razonamiento.

a. La persona A gana 225 denarios al año.

b. La persona B gana 375 denarios al año.

c. La persona C gana 3,750 denarios al año.

2. El símbolo ‰ se llama por mil. El símbolo ‱ se llama por diez mil. ¿Cómo se puede expresar el 80 % como una cantidad por mil? ¿Cómo puede expresarse como una cantidad por diez mil?

Nombre Fecha

Usar diagramas de cinta para representar porcentajes

3. El diagrama de cinta representa cuánto le queda de carga a la batería de un teléfono celular.

%

a. ¿Qué porcentaje de la carga de la batería representa cada unidad del diagrama de cinta? Explica.

b. ¿Qué fracción representa cuánto queda de la carga de la batería? ¿Qué fracción representa cuánto se usó de la carga de la batería?

c. ¿Qué porcentaje de la carga de la batería queda? ¿Qué porcentaje de la carga de la batería se usó?

4. Un grupo de estudiantes estimó el número de horas que dura la batería de sus teléfonos celulares tras una carga completa.

a. La batería del teléfono de Ryan dura 10 horas. ¿Cuántas horas durará la batería del teléfono de Ryan cuando le quede el 40 % de carga? Traza un diagrama de cinta para determinar la respuesta.

b. La batería del teléfono de Kayla dura 15 horas. ¿Cuántas horas durará la batería del teléfono de Kayla cuando le quede el 40 % de carga? Traza un diagrama de cinta para determinar la respuesta.

c. La batería del teléfono de Riley dura 8 horas. ¿Cuántas horas durará la batería del teléfono de Riley cuando le quede el 40 % de carga? Traza un diagrama de cinta para determinar la respuesta.

d. La batería del teléfono de Lacy dura 6 horas. ¿Cuántas horas durará la batería del teléfono de Lacy cuando le quede el 40 % de carga? Traza un diagrama de cinta para determinar la respuesta.

5. Completa la tabla con los números de las partes (a) a (d) del problema 4.

Cantidad de carga restante de la batería (horas)

Cantidad total de carga de la batería (horas)

En los problemas 6 a 9, resuelve con cualquier método.

6. ¿Qué porcentaje es 13 de 20?

7. ¿Qué porcentaje es 18 de 36?

8. ¿Qué porcentaje es 24 de 80?

9. ¿Qué porcentaje es 17 de 85?

Usar rectas numéricas dobles para representar porcentajes

10. Noah se plantea el objetivo de consumir al menos 80 gramos de proteína al día. Hoy consumió 92 gramos. ¿Qué porcentaje de su objetivo alcanzó Noah hoy? Traza una recta numérica doble para mostrar tu razonamiento.

En los problemas 11 a 14, resuelve con cualquier método.

11. ¿Qué porcentaje de 15 es 18?

12. ¿Qué porcentaje es 450 de 150?

13. ¿Qué porcentaje es 21 de 20?

14. ¿Qué porcentaje es 675 de 500?

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 23

Blake recibe un regalo de $80.00. Gasta $60.00 en un juego nuevo y $8.00 en refrigerios.

a. Traza una recta numérica doble para representar qué porcentaje gastó Blake del dinero que recibió como regalo.

b. ¿Qué porcentaje del dinero gastó Blake en el juego nuevo?

c. ¿Qué porcentaje del dinero gastó Blake en refrigerios?

d. ¿Qué porcentaje le queda a Blake del dinero que recibió como regalo?

RESUMEN

Nombre Fecha

Hallar el porcentaje

En esta lección:

• trazamos diagramas de cinta y rectas numéricas dobles para representar porcentajes, partes y totales;

• calculamos un porcentaje cuando se dan una parte y el total.

Ejemplos

1. Tyler puede usar su auto a control remoto durante 75 minutos sin parar con una carga completa de la batería. Usa el auto durante 30 minutos sin parar.

a. Traza un diagrama para determinar el porcentaje de carga de la batería que usó Tyler.

Tanto 75 como 30 son múltiplos de 15. Para crear un diagrama de cinta, divide 75 entre 15 para obtener 5 unidades del mismo tamaño. Cada unidad representa 15 minutos. Además, cada unidad representa el 20 % del total, porque 20 × 5 = 100. Dos unidades representan 30 minutos, o el 40 % usado de la carga total de la batería.

Tyler usó el 40 % de la carga de la batería.

b. ¿Qué porcentaje de la carga de la batería le queda?

100 - 40 = 60

Queda el 60 % de la carga de la batería.

El porcentaje que queda de la carga de la batería más el porcentaje que se usó de la carga de la batería suman el 100 %, es decir, la carga total de la batería.

2. El 1 de junio, Yuna hizo 4 flexiones. El 8 de junio, Yuna hizo 14 flexiones.

a. ¿Qué porcentaje de 4 es 14? Traza un diagrama para mostrar tu razonamiento.

Número de flexiones

Porcentaje

350 %

b. ¿Qué representa tu respuesta de la parte (a) en esta situación?

El 8 de junio, Yuna hizo el 350 % del número de flexiones que hizo el 1 de junio.

3. ¿Qué porcentaje es 68 de 80?

Dado que representa el total, el número 4 está situado en la misma marca de graduación que el 100 %

Divide la sección que va desde el 0 hasta el 4 y desde el 0 % hasta el 100 % en 4 intervalos iguales para mostrar que cada flexión representa un 25 % del total. Continúa la recta numérica doble hasta alcanzar 14 flexiones, o el 350 %.

Una forma eficiente de calcular un porcentaje cuando se dan una parte y el total es dividir la parte entre el total. Luego, escribe el número decimal como un porcentaje.

4. ¿Qué porcentaje de 75 es 285?

Observa que 3.8 se puede escribir como 380 100 . Esto se puede expresar como el 380 %.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

1. Riley tiene $200.00. Gasta $60.00 en un videojuego.

a. ¿Qué porcentaje del dinero gasta Riley? Traza un diagrama para mostrar tu razonamiento.

b. ¿Qué porcentaje del dinero le queda a Riley?

En los problemas 2 a 7, determina el porcentaje desconocido con cualquier método.

2. ¿Qué porcentaje es 15 de 25?

3. ¿Qué porcentaje es 9 de 10?

4. ¿Qué porcentaje de 40 es 12?

5. 45 es el por ciento de 60.

6. ¿Qué porcentaje de 30 es 45?

7. ¿Qué porcentaje de 125 es 250?

En los problemas 8 a 13, resuelve con cualquier método.

8. Hay 25 estudiantes en la clase de Matemáticas de Kayla. Hay 32 estudiantes en su clase de Educación Física.

a. ¿Qué porcentaje de 25 es 32?

b. ¿Qué representa la respuesta de la parte (a) en esta situación?

c. Hay 12 estudiantes de la clase de Matemáticas de Kayla que dicen que Matemáticas es su materia favorita. ¿Qué porcentaje de estudiantes de la clase de Matemáticas de Kayla dice que Matemáticas es su materia favorita?

d. Hay 24 estudiantes de la clase de Educación Física de Kayla que dicen que el futbol es su deporte favorito. ¿Qué porcentaje de estudiantes de la clase de Educación Física de Kayla dice que el futbol es su deporte favorito?

9. Toby recorre 170 millas de su viaje de 500 millas por carretera.

a. ¿Qué porcentaje del viaje por carretera recorre Toby?

b. ¿Qué porcentaje del viaje por carretera le queda por recorrer a Toby?

10. En la veterinaria A, hay 4 gatos de un total de 10 animales. En la veterinaria B, hay 12 gatos de un total de 25 animales. ¿En qué veterinaria hay el mayor porcentaje de gatos?

11. En la ciudad donde vive, Yuna paga $0.80 de impuestos en una compra de $10.00. Cuando visita una ciudad de playa, paga $0.50 de impuestos en una compra de $5.00. ¿En qué ciudad se cobra el mayor porcentaje de impuestos en las compras?

12. Noah estima que su ritmo cardiaco máximo es 208 pulsaciones por minuto. En la clase de Educación Física, le dicen que el ritmo cardiaco ideal al realizar actividad física está entre el 70 % y el 85 % de su ritmo cardiaco máximo. Después de correr una milla, el ritmo cardiaco de Noah es 156 pulsaciones por minuto.

Cuando Noah corrió un milla, ¿alcanzó su ritmo cardiaco ideal? Explica.

13. Scott gana $12.00 por hora en el trabajo que tiene después de clases. Después de recibir un aumento de sueldo, Scott gana $15.00 por hora.

a. ¿Qué porcentaje de 12 es 15?

b. ¿Qué representa tu respuesta de la parte (a) en esta situación?

Recuerda

En los problemas 14 y 15, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

14. 6,244 ÷ 40 15. 9,560 ÷ 50

16. El sábado, Leo ganó un total de $70.00 por cortar el césped de los jardines y hacer tareas del hogar. Corta el césped en 3 jardines y gana $15.00 por jardín. Hace tareas del hogar durante 2 horas. ¿Qué tasa en dólares gana Leo por hacer tareas del hogar?

17. ¿25 es un múltiplo de qué números? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 1

B. 5

C. 10

D. 25

E. 50

LECCIÓN

Nombre Fecha

Hallar una parte

1. Un grupo de estudiantes quiere que en su escuela se abra un club de arte. Jada, Tyler, Blake y Lisa reunieron datos mediante una encuesta para determinar el número de estudiantes de su escuela que apoyan la creación del club de arte. Usa las rectas numéricas dobles dadas para determinar el número de estudiantes de cada conjunto de datos que apoyan la creación del club de arte.

Datos de Jada

El 75 % de 76 estudiantes apoyan la creación del club de arte.

0

Número de estudiantes

Porcentaje

Datos de Tyler

El 80 % de 60 estudiantes apoyan la creación del club de arte.

Número de estudiantes

Porcentaje

Datos de Blake

El 15 % de 360 estudiantes apoyan la creación del club de arte.

0

Número de estudiantes

Porcentaje

Datos de Lisa

%

El 70 % de 90 estudiantes apoyan la creación del club de arte.

0

Número de estudiantes

Porcentaje

Más de una manera

2. Lisa, Julie y Toby calculan por su cuenta cuánto es el 16 % de 40, pero usan distintos métodos. Usa su trabajo para responder las partes (a) a (g).

Método de Lisa

El 10 % de 40 es 4.

El 5 % de 40 es 2

El 1 % de 40 es 0.4.

10 % + 5 % + 1 % = 16 %

4 + 2 + 0.4 = 6.4

El 16 % de 40 es 6.4.

Método de Julie

El 16 % de 40 es 6.4.

Método de Toby

El 1 % de 40 es 0.4. 16 × 0.4 = 6.4

Entonces, el 16 % de 40 es 6.4

a. Explica cómo calculó Lisa el 16 % de 40.

b. Usa el método de Lisa para calcular el 31 % de 50.

c. ¿Qué otro porcentaje de 40 podrías calcular con el método de Lisa? Calcula ese porcentaje.

d. Explica cómo calculó Julie el 16 % de 40.

e. Usa el método de Julie para calcular el 3 % de 80.

f. ¿En qué se parecen los métodos de Lisa y Toby? ¿En qué se diferencian?

g. Usa el método de Toby para calcular el 8 % de 5.

3. Noah observó que puede calcular el 10 % de 40 si divide 40 entre 10. Para calcular el 32 % de 40, divide 40 entre 32. ¿Funciona su método? Explica.

4. El equipo de futbol femenino de una escuela intermedia está formado por 25 jugadoras.

a. Cinco de las jugadoras son de séptimo grado. Halla el porcentaje de jugadoras de séptimo grado que hay en el equipo. Explica o muestra tu razonamiento.

b. De las 25 niñas que hay en el equipo, el 60 % comenzó a jugar futbol en la escuela primaria. ¿Cuántas de las niñas que hay en el equipo comenzaron a jugar futbol en la escuela primaria? Explica o muestra tu razonamiento.

c. El entrenador dice que el 15 % de las jugadoras se perderán el próximo partido. ¿Por qué es falso este enunciado?

¿Qué prefieres?

En los problemas 5 a 10, responde la pregunta y justifica tu respuesta en términos matemáticos.

5. ¿Prefieres tener el 10 % de $6.00 o el 80 % de 90 centavos?

6. ¿Prefieres ayudar al 15 % de 80 personas o al 75 % de 20 personas?

7. ¿Prefieres comer el 20 % de 240 pimientos picantes o el 2 % de 1,000 pimientos picantes?

8. ¿Prefieres comer el 11 % de 300 caramelos o el 90 % de 40 caramelos?

9. ¿Prefieres lavar el 9 % de 2,000 platos o el 14 % de 1,500 platos?

10. ¿Prefieres beber el 24 % de un batido de 20 onzas o el 41 % de un batido de 15 onzas?

Rectas numéricas dobles

BOLETO DE SALIDA

24

Una medusa gigante pesa 440 libras. Si el 95 % del peso de la medusa es agua, ¿cuántas libras del peso de la medusa son agua? Justifica tu respuesta.

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Hallar una parte

En esta lección:

• calculamos una parte cuando se dan un porcentaje y el total;

• calculamos porcentajes de referencia (como el 25 % y el 10 %) de números con estrategias de cálculo mental;

• calculamos porcentajes de números con métodos de suma, resta y multiplicación.

Ejemplos

1. De 80 estudiantes que están en el comedor a la hora del almuerzo, el 65 % trae el almuerzo de su casa. Completa la recta numérica doble. Luego, determina el número de estudiantes que traen el almuerzo de su casa.

El 10 % de 80 es 1 10 de 80, porque el 10 % es 1 10 del 100 %. Cada 10 % representa 8 estudiantes en el comedor. Entonces, el 60 % representa 48 estudiantes, y el 70 % representa 56 estudiantes.

Porcentaje

52 estudiantes traen el almuerzo de su casa.

En los problemas 2 a 5, usa el cálculo mental para calcular el porcentaje.

2. El 25 % de 40 10

3. El 10 % de 70 7

El 25 % de 40 es 1 4 de 40, porque el 25 % es 1 4 del 100 %.

El 10 % de 70 es 1 10 de 70

El 65 % es el punto medio entre el 60 % y el 70 %, y 52 es el punto medio entre 48 y 56

4. El 20 % de 80

5. El 5 % de 50 2.5

Calcula el 10 % de 80 y duplica el resultado para calcular el 20 % de 80

Calcula el 10 % de 50 y divide a la mitad el resultado para calcular el 5 % de 50

6. Julie gana $22,000. Paga el 14 % de lo que gana en impuestos. ¿Cuánto dinero paga Julie en impuestos?

Método 1

El 10 % de $22,000 es $2,200.

El 5 % de $22,000 es $1,100.

El 1 % de $22,000 es $220.

El 14 % de $22,000 es $2,200 + $1,100 -  $220, o $3,080.

Julie paga $3,080 en impuestos.

Método 2

Julie paga $3,080 en impuestos.

Método 3

El 1 % de $22,000 es $220. 14 × $220 es $3,080.

Julie paga $3,080 en impuestos.

Una manera de calcular el 14 % de $22,000 es sumar el 10 % de $22,000 y el 5 % de $22,000. Luego, resta el 1 % de $22,000 de la suma.

Una manera de calcular el 14 % de $22,000 es escribir 14 % como fracción. Luego, multiplica la fracción por $22,000

Una manera de calcular el 14 % de $22,000 es hallar el 1 %, o  1 100 , de $22,000. Luego, multiplica el resultado por 14.

Nombre

1. ¿Cuántas libras es el 50 % de 16 libras?

2. ¿Cuántas millas es el 25 % de 44 millas?

3. ¿Cuántas millas es el 100 % de 44 millas?

4. ¿Cuántos kilogramos es el 10 % de 96 kilogramos?

PR ÁCTICA

5. ¿Cuántos metros es el 20 % de 24 metros?

6. ¿Cuántos minutos es el 5 % de 60 minutos?

7. ¿Cuántos dólares es el 1 % de $560.00?

8. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? Elige todas las opciones que correspondan.

A. El 50 % de 346 es igual a 0.5 × 346.

B. El 25 % de 210 es igual a 210 ÷ 4

C. El 20 % de 460 es igual a 460 ÷ 5.

D. El 10 % de 642 es igual a 1 10 642 × .

E. El 1 % de 198 es igual a 1 1 000 198 , × .

Fecha

9. Hay 60 personas en una habitación. Si el 65 % de las personas que hay en la habitación tienen cabello castaño, ¿cuántas personas tienen cabello castaño? Usa la recta numérica doble para respaldar tu respuesta.

Número de personas

Porcentaje

10. Hay 45 canicas en un frasco, y el 80 % de ellas son azules. ¿Cuántas canicas azules hay en el frasco?

11. De 32 estudiantes que hay en una clase, el 75 % participa en actividades extraescolares. ¿Qué número de estudiantes de la clase participa en actividades extraescolares?

12. Hay 300 personas en un museo, y el 18 % de ellas son mayores de edad. ¿Cuántas personas mayores de edad hay en el museo?

13. Ryan recibe un regalo de $75.00. Dona el 24 % del dinero a su organización benéfica favorita. ¿Cuánto dinero dona?

14. ¿Qué cantidad es mayor: el 15 % de 20 o el 20 % de 15? Explica.

Recuerda

En los problemas 15 y 16, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

15. 4,725 ÷ 30 16. 1,565 ÷ 60

17. Considera el 62 %.

a. Sombrea la cuadrícula para representar el 62 %.

b. Escribe el 62 % como una fracción.

c. Escribe el 62 % como un número decimal.

18. ¿Qué números son múltiplos de 6? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 6

B. 16

C. 18

D. 36

E. 40

F. 72

LECCIÓN

Nombre Fecha

Hallar el total

1. Hay 4 colores de globos. Sara y Mara tienen diferente número total de globos cada una. ¿Cuál es el número mínimo de globos que podría tener cada niña en total?

Globos de Sara

Azules, 20 % Rojos, 10 %

Verdes, 40 %

Amarillos, 30 %

Globos de Mara

Azules, 15 % Rojos, 5 %

Verdes, 45 %

Amarillos, 35 %

Verdes Amarillos Azules Rojos

Verdes Amarillos Azules Rojos

¿Cuál es el total?

2. Si 6 globos es el 30 % del número total de globos, ¿cuál es el número total de globos? Traza un diagrama de cinta o una recta numérica doble para respaldar tu respuesta.

3. Kayla tiene 12 globos rojos. Si esto es el 3 % del número total de globos que tiene, ¿cuál es el número total de globos que tiene Kayla?

Resolver problemas de porcentajes de varios pasos

4. Toby recaudó $225.00 para su organización benéfica favorita. Esto es el 60 % de su objetivo. ¿Cuánto dinero más debe recaudar Toby para alcanzar su objetivo?

5. Lisa recaudó $750.00 para su organización benéfica favorita. Esto es el 120 % de su objetivo. ¿Cuánto dinero adicional recaudó Lisa hasta ahora?

6. Sexto, séptimo y octavo grado recaudaron dinero para su escuela intermedia. Sexto grado recaudó el 40 % de la cantidad total recaudada. Séptimo grado recaudó el 22 % de la cantidad total recaudada. Octavo grado recaudó el resto. Si octavo grado recaudó $1,368.00, ¿cuál es la cantidad total de dinero recaudado entre los tres grados?

7. Yuna y Scott fueron las únicas dos personas que se postularon para representar a sexto grado. Yuna recibió el 45 % de los votos. Scott recibió 18 votos más que Yuna. ¿Cuántos votos recibió Scott?

BOLETO DE SALIDA

25

Un equipo recaudó $300.00 para comprar uniformes nuevos, que es el 60 % de la cantidad total de dinero que necesitan. ¿Cuál es la cantidad total de dinero que necesita recaudar el equipo? Justifica tu respuesta.

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre

Hallar el total

En esta lección:

• calculamos el total cuando se dan una parte y un porcentaje;

• usamos rectas numéricas dobles y diagramas de cinta para representar problemas de porcentajes;

• resolvimos problemas de porcentajes de varios pasos.

Ejemplos

1. Mara recibió dinero como regalo. Gastará el 40 % del dinero en un par de zapatos. El par de zapatos cuesta $36.00. ¿Cuánto dinero recibió Mara como regalo?

El total, o el 100 %, representa la cantidad de dinero que recibió Mara.

4 unidades representan el 40 % del total.

$36.00 es el 40 % del dinero que recibió Mara.

Mara recibió $90.00.

4 unidades = 36

1 unidad = 36 ÷ 4 = 9

10 unidades = 9 × 10 = 90

1 unidad representa el 10 % del total.

$9.00 es el 10 % del dinero que recibió Mara.

10 unidades representan el 100 % del total.

$90.00 es el 100 % del dinero que recibió Mara.

Fecha

2. Yuna ahorra $70.00. Esta cantidad es el 140 % de su objetivo de ahorro. ¿Cuánto dinero adicional ha ahorrado Yuna?

Dinero ahorrado (dólares)

Porcentaje

Divide 70 y 140 entre 7 para calcular que $10.00 es el 20 % del objetivo de ahorro de Yuna. Multiplica 10 y 20 por 5 para calcular que $50.00 es el 100 % del objetivo de ahorro de Yuna.

El total, o el 100 %, representa el objetivo de ahorro de Yuna.

Dinero adicional ahorrado: 70 - 50 = 20

Yuna ha ahorrado $20.00 adicionales.

3. Según una encuesta realizada en una escuela intermedia, el 44 % de quienes estudian allí prefiere las películas de ciencia ficción, el 32 % prefiere las películas de aventuras y el resto prefiere las películas animadas. Si 18 estudiantes prefieren las películas animadas, ¿qué cantidad de estudiantes prefieren las películas de ciencia ficción?

El 24 % de quienes respondieron la encuesta prefiere las películas animadas, dado que 100 - 44 - 32 = 24. Entonces, el grupo de 18 estudiantes que prefieren las películas animadas representa el 24 % del total.

Número de estudiantes

Porcentaje

Divide 18 y 24 entre 24 para calcular que 0.75 es el 1 % del total.

Dado que el 44 % de quienes respondieron la encuesta prefiere las películas de ciencia ficción, multiplica 0.75 y 1 por 44 para calcular que 33 es el 44 % del total.

33 estudiantes prefieren las películas de ciencia ficción.

Nombre Fecha

PR ÁCTICA

En los problemas 1 a 3, completa el espacio.

1. Si 60 es el 25 % del total, entonces, el total es .

2. 60 es el 75 % de .

3. Si 60 es el 120 % del total, entonces, es el 100 % del total.

4. Un equipo de basquetbol ha jugado 21 partidos, que es el 70 % del número total de partidos programados en el calendario del equipo. ¿Cuál es el número total de partidos programados en el calendario del equipo?

5. Han transcurrido 63 días del año escolar. Todavía queda un 65 % del año escolar por delante. ¿Cuál es el número total de días que hay en el año escolar?

6. Toby y Sara ven los siguientes resultados de una encuesta. Toby dice que 555 personas participaron en la encuesta. Sara dice que 370 personas participaron en la encuesta. Según los resultados mostrados, los dos podrían tener razón. ¿Por qué?

RESULTADOS DE LA ENCUESTA

¿Te gusta mirar beisbol? SÍ o NO

¡222 personas respondieron SÍ!

Rojo

Azul

7. Lisa ha ahorrado $33.00. Esta cantidad es el 55 % de su objetivo de ahorro. ¿Cuánto dinero debe ahorrar Lisa para alcanzar su objetivo de ahorro?

8. Sasha ahorró $40.00. Esta cantidad es el 125 % de su objetivo de ahorro. ¿Cuánto dinero adicional ha ahorrado Sasha?

9. Según una encuesta realizada en una escuela intermedia, el 48 % de quienes estudian allí prefiere leer libros de misterio, el 32 % prefiere libros de ciencia ficción y el resto prefiere libros de no ficción. Si 25 estudiantes prefieren leer libros de no ficción, ¿qué cantidad de estudiantes prefieren leer libros de misterio?

10. En una compañía, el 20 % del personal tiene trabajos de medio tiempo. Hay 33 personas más que trabajan a tiempo completo que las que trabajan a medio tiempo. ¿Cuál es el número total de personas que trabajan en esta compañía?

Recuerda

En los problemas 11 y 12, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

11. 4,831 ÷ 30

12. 9,510 ÷ 50

13. Noah tiene $200.00. Gasta $120.00 en un abrigo nuevo.

a. ¿Qué porcentaje del dinero gasta Noah en un abrigo nuevo?

b. ¿Qué porcentaje de su dinero le queda a Noah?

14. Usa la recta numérica doble para determinar cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos. Elige todas las opciones que correspondan.

Número de lecciones

Número de exámenes

A. La razón del número de lecciones al número de exámenes es 4 : 1.

B. Por cada 1 examen, hay 4 lecciones.

C. La razón del número de exámenes al número de lecciones es 12 : 3.

D. Por cada 8 lecciones, hay 2 exámenes.

E. Por cada 12 lecciones, hay 4 exámenes.

LECCIÓN

Nombre Fecha

Resolver problemas de porcentajes

Donaciones misteriosas

1. La Sra. A tiene $200.00. La Sra. B tiene $400.00. La Sra. C tiene $600.00. Una de estas mujeres quiere donarte el 1 % de su dinero. Otra de ellas quiere donarte el 2 % de su dinero. La tercera quiere donarte el 3 % de su dinero. Sin embargo, no sabes quién quiere donar cada porcentaje.

a. ¿Cuáles son todas las cantidades totales posibles de dinero que podrías recibir? Muestra o explica por qué todas ellas son cantidades totales posibles de dinero.

b. ¿Cuál es la mayor cantidad total de dinero que podrías recibir?

c. ¿Cuál es la menor cantidad total de dinero que podrías recibir?

Cálculos en el comedor

2. La persona encargada del comedor escolar pide ayuda a tu clase de Matemáticas para diseñar el menú del almuerzo. Pueden elegir entre los alimentos de la lista que se muestra y deben cumplirse los siguientes requisitos:

• El número total de calorías del menú del almuerzo no debe ser menor que 600 ni mayor que 700.

• El menú del almuerzo debe tener un plato principal, uno o dos acompañamientos y una bebida.

• Entre el 45 % y el 65 % del número total de calorías deben ser carbohidratos.

• Entre el 20 % y el 35 % del número total de calorías deben ser grasas.

• Entre el 10 % y el 35 % del número total de calorías deben ser proteínas.

Hay 4 calorías por gramo de carbohidratos, 9 calorías por gramo de grasas y 4 calorías por gramo de proteínas.

Tablas nutricionales

Acompañamientos

Tipo de bebida

Número de calorías

Bebidas

Cantidad de carbohidratos (gramos)

Cantidad

BOLETO DE SALIDA

1. Blake usa el 60 % de su sueldo para pagar cuentas. Después de pagar sus cuentas, a Blake le quedan $320.00 de su sueldo. ¿Cuál es el monto del sueldo de Blake? Justifica tu respuesta.

2. Kayla tiene $8,836.00 en su cuenta de ahorros. El banco le da un bono del 5 % de la cantidad de dinero que tiene en su cuenta. ¿Qué cantidad de dinero le da el banco a Kayla? Justifica tu respuesta.

Nombre Fecha

RESUMEN

Nombre Fecha

Resolver problemas de porcentajes

En esta lección:

• usamos lo que sabemos sobre porcentajes para resolver problemas de porcentajes de varios pasos.

Ejemplos

1. Yuna corrió 24 millas esta semana, que es el 60 % de su objetivo semanal. ¿Cuál es el número de millas que Yuna debe correr para alcanzar su objetivo semanal? Usa una recta numérica doble para mostrar tu razonamiento.

Número de millas

Porcentaje

Yuna debe correr 40 millas para alcanzar su objetivo semanal.

El número total de millas que Yuna debe correr para alcanzar su objetivo semanal representa el total, o el 100 %

Divide 24 y 60 entre 6 para calcular el 10 % del total. Luego, multiplica 4 y 10 por 10 para calcular el 100 % del total.

2. El club de ajedrez quiere recaudar $500.00 para obras benéficas. Hasta ahora, ha recaudado $380.00. ¿Qué porcentaje del objetivo ha recaudado el club hasta ahora?

380 500 38 50 76 100 ==

El club de ajedrez ha recaudado el 76 % de su objetivo.

Un método para hallar un porcentaje desconocido es escribir la parte del total como una fracción. Luego, halla una fracción equivalente con un denominador de 100. Otro método es dividir la parte, 380, entre el total, 500, para obtener 0.76

Esta es la forma decimal del 76 %

3. Un equipo de basquetbol gana el 70 % de sus partidos. Si el equipo juega un total de 20 partidos, ¿cuántos partidos gana?

70 100 07 = .

0.7 × 20 = 14

El equipo gana 14 partidos.

La respuesta a esta pregunta es la misma que la solución al problema “¿Cuánto es el 70 % de 20?”.

Nombre

Fecha

PR ÁCTICA

En los problemas 1 a 5, resuelve con cualquier método.

1. Kayla corre varias vueltas en un desafío de resistencia de la clase de Educación Física. Después de que Kayla corre 18 vueltas, sus amigas le gritan: “¡Vamos! ¡Ya has completado el 45 % del desafío!”. ¿Cuántas vueltas intenta correr Kayla?

2. El equipo de futbol recauda $600.00 en una actividad para recaudar fondos. El objetivo del equipo es recaudar un total de $750.00. ¿Qué porcentaje del objetivo recauda el equipo con la actividad para recaudar fondos?

3. El club de teatro quiere vender 48 boletos en un día. Al final del día, el maestro de teatro dice que vendieron el 175 % de su objetivo. ¿Cuántos boletos vendió el club de teatro?

4. Una tienda ofrece un cupón con el 40 % de descuento y un cupón con $10.00 de descuento. Solo se puede usar un cupón por cada producto que se compra.

a. ¿Qué cupón ofrece el precio más bajo del producto? Marca el mejor cupón para cada producto de la tabla.

Producto comprado

Bicicleta de $140.00

Bufanda de $15.00

Abrigo de invierno de $75.00

Libro de $12.00

Cupón con el 40 % de descuento

Cupón con $10.00 de descuento

b. Muestra cómo elegiste tus respuestas de la parte (a). Escribe el precio final de cada producto después de usar el mejor cupón.

Bicicleta:

Bufanda:

Abrigo de invierno:

Libro:

c. Lisa decide comprar una camiseta en esta tienda. Sin importar qué cupón use, el precio de la camiseta tendrá el mismo descuento. ¿Cuál es el precio de la camiseta? Explica cómo lo sabes.

5. Toby considera comprar tres pares de tenis para correr: un par a $20.00, otro par a $40.00 y otro par a $60.00. Tiene tres cupones: uno con el 10 % de descuento para un producto, otro con el 20 % de descuento para un producto y otro con el 25 % de descuento para un producto. Supón que Toby compra al menos un par de tenis y usa un cupón para cada par de tenis que compra.

¿Cuál es la menor cantidad de dinero que Toby podría pagar? ¿Cuál es la mayor cantidad? Explica.

Recuerda

En los problemas 6 y 7, divide. Escribe el cociente y el residuo en líneas separadas.

6. 5,264 ÷ 52

7. 8,630 ÷ 65

8. Algunos murciélagos pueden volar a una velocidad de 85 millas por hora. Yuna dice: “A esa velocidad, un murciélago tardaría menos de 2 semanas en recorrer la distancia de 29,401 millas que hay alrededor de la Tierra a la altura del ecuador”. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con Yuna? Justifica tu respuesta. Redondea tu respuesta al décimo más cercano si es necesario.

9. ¿Qué enunciados describen con precisión la relación de razones que muestra el diagrama? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Por cada 4 recuadros, hay 12 círculos.

B. Por cada 4 recuadros, hay 3 círculos.

C. Por cada 4 círculos, hay 3 recuadros.

D. Por cada 3 círculos, hay 1 recuadro.

E. Por cada 1 recuadro, hay 3 círculos.

Práctica mixta 1

En los problemas 1 y 2, enumera todos los factores del número dado.

1. 12

2. 40

3. Evalúa 55 ÷ 5 × (40 - 4 + 2).

En los problemas 4 a 7, escribe el valor que hace que las medidas sean equivalentes.

4. 7 metros = centímetros

5. 4,000 mililitros = litros

6. 9 kilómetros = metros

7. 18 kilogramos = gramos

Usa la figura para completar los problemas 8 y 9. La medida del ∠JKM es 170°.

8. Escribe una ecuación usando e para hallar la medida del ∠JKL.

9. ¿Cuál es la medida en grados del ∠JKL?

10. Durante una semana, la clase del maestro Sharma recoge agua en pluviómetros caseros. Al final de la semana, cada estudiante reporta al resto de la clase la altura del agua que muestra su pluviómetro. Los datos se muestran en la tabla.

Estudiante

a. Haz un diagrama de puntos para mostrar los datos.

2 1

b. ¿Cuántas personas reportan una altura del agua mayor que 1 1 2 pulgadas?

c. ¿Cuál es la diferencia en pulgadas entre la mayor altura del agua y la menor altura del agua?

11. Lacy construye un prisma rectangular con el mismo volumen que el prisma que se muestra.

¿Cuáles podrían ser las medidas del prisma rectangular de Lacy?

A. La longitud es 4 unidades, el ancho es 3 unidades y la altura es 3 unidades.

B. La longitud es 5 unidades, el ancho es 1 unidad y la altura es 6 unidades.

C. La longitud es 5 unidades, el ancho es 2 unidades y la altura es 2 unidades.

D. La longitud es 3 unidades, el ancho es 5 unidades y la altura es 3 unidades.

12. Suma.

13. Empareja cada expresión de división con la expresión de multiplicación equivalente.

Práctica mixta 2

1. Halla el cociente y el residuo. 429 ÷ 8

2. ¿Cuáles de los siguientes valores son equivalentes a 2.306? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Dos con trescientos seis milésimos

B. Dos con treinta y seis milésimos

C. 2 306 1,000

D. () , 21 36 1 10 1 1 000 ×+ × () +×()

E. () 21 36 1 10 1 100 ×+ × () +×()

F. 2 306 1 000 , ,

3. Multiplica.

712 × 308

4. Kelly compra una camiseta por $7.99 y un pantalón por $15.50. Le da $30.00 a la persona de la tienda. ¿Cuánto cambio recibe Kelly?

5. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura dada?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6. Marca los puntos en el plano de coordenadas. Conecta los puntos en el orden dado.

(3, 5), (5, 2), (6, 4), (7, 2), (9, 5)

7. Usa el banco de palabras para formar enunciados verdaderos sobre los cuadriláteros. Las palabras pueden usarse solo una vez.

cuadrado rombo paralelogramo rectángulo

a. Un rectángulo y un cuadrado son ejemplos de un

b. Un siempre es un rectángulo.

c. Un no siempre es un cuadrado.

Compara las fracciones usando <, > o =

las fracciones usando <, > o = .

Número de respuestas correctas:

Compara las fracciones usando <, > o = .

de respuestas correctas:

Convierte cada medida a la unidad dada.

1. 2 yd = ft

2. 4 1 4 ft = in

AConvierte cada medida a la unidad dada.

1. 1 yd = ft

2. 2 yd = ft

3. 3 yd = ft

4. 10 yd = ft

5. 5 yd = ft

6. 1 ft = in 7. 2 ft = in 8. 3 ft = in

24 in = ft 14. 48 in = ft 15. 6 in = ft

16. 36 in = ft

17. 36 in = yd

18. 72 in = yd

19. 18 in = yd

20. 1 yd = in

21. 2 yd = in

22. 1 2 yd = in

Número de respuestas correctas:

BConvierte cada medida a la unidad dada.

1. 1 ft = in

2. 2 ft = in

3. 4 ft = in

4. 8 ft = in

5. 10 ft = in

6. 1 2 ft = in

7. 1 yd = ft

8. 3 yd = ft

9. 6 yd = ft

10. 12 yd = ft 11. 10 yd = ft

12. 36 in = yd

13. 18 in = yd

14. 12 in = yd

15. 1 yd = in

16. 2 yd = in

17. 1 2 yd = in

18. 12 in = ft

19. 36 in = ft

20. 48 in = ft

21. 60 in = ft

22. 6 in = ft

Número de respuestas correctas: Progreso:

Notación decimal para fracciones con denominadores de 10 o 100

Práctica veloz

Escribe cada fracción como un número decimal.

AEscribe cada fracción como un número decimal. 1. 1

Número de respuestas correctas:

Escribe cada fracción como un número decimal.

Número de respuestas correctas:

Progreso:

Halla el numerador desconocido.

1. 6 20 10 = 2. 4 5 100 =

AHalla el numerador desconocido.

Número de respuestas correctas:

de respuestas correctas:

Halla el numerador desconocido.

Práctica veloz

Halla el factor desconocido.

1. × 10 = 100

2. 5 × 5 × = 100

Great Minds

AHalla el factor desconocido.

1. 10 × = 100

2. × 10 = 100

3. 4 × = 100

4. 25 × = 100

5. 2 × = 100

6. 50 × = 100

7. 5 × = 100

8. 20 × = 100

9. × 20 = 100

10. 2 × × 10 = 100

11. 5 × 2 × = 100

12. 2 × 5 × = 100

13. × 2 × 5 = 100

14. × 5 × 2 = 100

15. 10 × 5 × = 100

16. 5 × 10 × = 100

17. 5 × × 10 = 100

18. 10 × × 5 = 100

Número de respuestas correctas:

2 × 10 × = 100

4 × 5 × = 100

4 × × 5 = 100

× 2 × 25 = 100

5 × 5 × = 100

× 5 × 5 = 100

25 × 2 × = 100

2 × × 25 =

10 × 10 = 2 × × 10

10 × × 2 = 20 × 5

5 × 5 × 2 × 2 = 4 ×

4 × 5 × 5 = 2 × × 5 31. 25 × 4 = × 2 × 5 × 5 32. 5 × 2 × 2 × = 10 × 10 33. 25 × 2 × 2 = 5 × × 2 34. 10 × 2 × 5 = × 50 35. × 2 × 2 × 5 = 100 36. 4 × 5 × 5 = 10 × × 5

BHalla el factor desconocido.

1. 2 × = 100

2. 50 × = 100

3. 4 × = 100

4. 25 × = 100

5. 10 × = 100

6. × 10 = 100

7. 2 × × 10 = 100

8. 5 × × 10 = 100

9. × 2 × 5 = 100

10. × 5 × 2 = 100

11. 5 × 2 × = 100

12. 2 × 5 × = 100

13. 10 × 5 × = 100

14. 5 × 10 × = 100

15. 5 × = 100

16. 20 × = 100

17. × 20 = 100

18. 10 × × 5 = 100

Número de respuestas correctas: Progreso:

5 × 5 × = 100

× 5 × 5 = 100

25 × 2 × = 100

× 2 × 25 = 100

2 × 10 × = 100

4 × 5 × = 100

4 × × 5 =

2 × × 25 =

5 × 20 = 10 × × 5

10 × 2 × = 4 × 25

5 × 4 × 5 = 5 × 2 × 30. 4 × 25 = 2 × × 5 × 5 31. 25 × 4 = 5 × 5 × × 2 32. 2 × 2 × 5 × = 10 × 10 33. 2 × 25 × 2 = 5 × × 2 34. 10 × 2 × 5 = 50 × 35. × 5 × 5 × 2 = 100 36. 5 × 4 × 5 = 10 ×

Práctica veloz

Convierte cada medida a la unidad dada.

1. 3 km = m

2. 7 m = cm

AConvierte cada medida a la unidad dada.

1. 1 km = m

2. 2 km = m

3. 3 km = m

4. 7 km = m 5. 5 km = m 6. 1 m =

Número de respuestas correctas:

Número de respuestas correctas: Progreso:

Convierte cada medida a la unidad dada.

1. 1 km = m

2. 3 km = m

3. 5 km = m

4. 8 km = m

5. 9 km = m 6. 1 m = cm

Créditos

Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module.

Cover, Gustave Caillebotte (1848–1894). Paris Street; Rainy Day, 1877. Oil on canvas, 212.2 x 276.2 cm (83 1/2 x 108 3/4 in.). Charles H. and Mary F. S. Worcester Collection. (1964.336). The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, U.S.A. Photo Credit: The Art Institute of Chicago/Art Resource, NY; page 65, Alena_D/Shutterstock.com; page 321, Eduardo Estellez/Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.

For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits.

Agradecimientos

Agnes P. Bannigan, Erik Brandon, Joseph T. Brennan, Beth Brown, Amanda H. Carter, Mary Christensen-Cooper, David Choukalas, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Mary Drayer, Dane Ehlert, Scott Farrar, Kelli Ferko, Levi Fletcher, Ryan Galloway, Krysta Gibbs, Winnie Gilbert, Julie Grove, Marvin E. Harrell, Stefanie Hassan, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, Raena King, Emily Koesters, Liz Krisher, Robin Kubasiak, Sara Lack, Connie Laughlin, Alonso Llerena, Gabrielle Mathiesen, Maureen McNamara Jones, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Ben Orlin, Darion Pack, Lillian Patterson, Brian Petras, Joseph Phillip Brennan, DesLey V. Plaisance, Lora Podgorny, Janae Pritchett, Meri Robie-Craven, Bonnie Sanders, Deborah Schluben, Andrew Senkowski, Erika Silva, Ashley Spencer, Hester Sofranko, Danielle Stantoznik, Tara Stewart, Heidi Strate, James Tanton, Jessica Vialva, Carla Van Winkle, Caroline Yang

Ana Alvarez, Lynne Askin-Roush, Stephanie Bandrowsky, Mariel Bard, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Rebecca Blaho, Charles Blake, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Cindy Carlone, Gina Castillo, Ming Chan, Tatyana Chapin, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Brandon Dawley, Cherry dela Victoria, Timothy Delaney, Delsena Draper, Erin DuRant, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Sagal Hassan, Kristen Hayes, Tim Heppner, Marcela Hernandez, Sary Hernandez, Abbi Hoerst, Elizabeth Jacobsen, Ashley Kelley, Sonia Khaleel, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Jenny Loomis, Antonia López, Stephanie Maldonado, Christina Martire, Siena Mazero, Thomas McNeely, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Sara Miller, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Tara O’Hare, Max Oosterbaan, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Toy Parrish, Katie Prince, Neha Priya, Jeff Robinson, Nate Robinson, Gilbert Rodriguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Aaron Shields, Madhu Singh, Leigh Sterten, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Tracy Vigliotti, Bruce Vogel, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Samantha Wofford, Howard Yaffe, Dani Zamora

Herramienta para la conversación

Compartir tu razonamiento

Estar de acuerdo o en desacuerdo

Preguntar sobre el razonamiento

Sé que...

Lo hice de esta forma porque...

La respuesta es porque...

En mi dibujo, se ve...

Estoy de acuerdo porque...

Eso es verdadero porque...

No estoy de acuerdo porque...

Eso no es verdadero porque...

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con ? ¿Por qué?

¿Por qué has...?

¿Puedes explicar...?

¿Qué podemos hacer primero?

¿Cómo se relacionan y ?

Decirlo otra vez

Te escuché decir que... dijo que...

Otra manera de decir lo mismo es...

¿Qué significa eso?

Herramienta para el razonamiento

Cuando resuelvo un problema o hago una tarea, me pregunto...

Antes

¿He hecho algo parecido a esto antes?

¿Qué estrategia voy a usar?

¿Necesito alguna herramienta?

Durante

¿Está funcionando mi estrategia?

¿Debería intentarlo de otra manera?

¿Tiene sentido esto?

Después

¿Qué funcionó bien?

¿Qué haría de otra manera la próxima vez?

Al final de cada clase, me pregunto...

¿Qué aprendí?

¿Sobre qué tengo dudas?

LAS MATEMÁTICAS ESTÁN EN TODAS PARTES

¿Quieres comparar qué tan rápido corren tú y tus amigos y amigas?

¿Quieres estimar cuántas abejas hay en un panal?

¿Quieres calcular tu promedio de bateo?

Las matemáticas están detrás de muchas cosas maravillosas, de muchos acertijos y de muchos planes de la vida.

Desde tiempos remotos y hasta nuestros días, hemos usado las matemáticas para construir pirámides, para navegar los mares, para construir rascacielos, ¡y hasta para enviar naves espaciales a Marte!

Con tu curiosidad para comprender el mundo como combustible, las matemáticas te impulsarán en cualquier camino que elijas.

¿Todo listo para arrancar?

Módulo 1

Razones, tasas y porcentajes

Módulo 2

Operaciones con fracciones y números de varios dígitos

Módulo 3

Números racionales

Módulo 4

Expresiones y ecuaciones de un paso

Módulo 5

Área, área de la superficie y volumen

Módulo 6

Estadística, probabilidad y poblaciones

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El tema de esta pintura impresionista de perspectiva aérea es una intersección en París durante un día gris y lluvioso. En esta escena, Gustave Caillebotte crea una sensación de profundidad al usar la perspectiva y la proporción de diversas formas, por ejemplo, ubicando figuras grandes en primer plano y figuras más pequeñas a lo lejos. Imagina que hay un plano de coordenadas en el edificio del fondo. ¿Cómo podrías determinar la distancia desde el frente del edificio hasta el fondo usando el plano de coordenadas?

En la portada

Paris Street; Rainy Day, 1877

Gustave Caillebotte, French, 1848–1894 Oil on canvas

The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA

Gustave Caillebotte (1848–1894). Paris Street; Rainy Day, 1877. Oil on canvas, 212.2 × 276.2 cm (83½ × 108¾ in). Charles H. and Mary F. S. Worcester Collection (1964.336). The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA. Photo Credit: The Art Institute of Chicago/Art Resource, NY