EM2_G8_M2_Teach_23SPAA_911741_Updated 07.23

Una historia de razones

Razones y linealidad

ENSEÑAR ▸ Movimientos rígidos y figuras congruentes Módulo

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El estadounidense Al Held fue un pintor expresionista abstracto conocido por sus pinturas geométricas de “contornos duros”. Sus paletas de colores vivos y las formas llamativas que trazaba crean un espacio tridimensional que parece tener una profundidad infinita. Held, quien a veces se inspiraba en la arquitectura, solía jugar con la percepción visual de las personas. Si bien la mayor parte de sus obras son pinturas, también trabajó con mosaicos y vitrales.

En la portada

Pan North IV, 1985

Al Held, American, 1928–2005

Acrylic on canvas

Private collection

Al Held (1928–2005), Pan North IV, 1985, acrylic on canvas, 72 x 84 in, private collection. © 2020 Al Held Foundation, Inc./Licensed by Artists Rights Society (ARS), New York

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Módulo

1

Una historia de razones

Notación científica, exponentes y números irracionales

Module

2

Module

3

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Module

4

Dilataciones y figuras semejantes

5

Ecuaciones lineales de una y dos variables

6

Sistemas de ecuaciones lineales

Funciones y estadísticas bivariadas

Antes de este módulo

Módulo 5 de 6.o grado

En 6.o grado, la clase aprende a hallar la distancia entre dos puntos con la misma coordenada x o y. En 8.o grado, la clase halla la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano de coordenadas.

Módulos 2, 3 y 5 de 7.o grado

La clase amplía lo aprendido en 7.o grado sobre ángulos suplementarios, complementarios, verticales y adyacentes al aplicar estas relaciones entre ángulos a los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

La clase explora las condiciones que determinan un triángulo único en 7.o grado y aplica esas condiciones para probar el recíproco del teorema de Pitágoras en 8.o grado.

Contenido general

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Tema A

Movimientos rígidos y sus propiedades

Sus estudiantes experimentan con movimientos rígidos usando una transparencia para representar el movimiento en el plano cuando se aplica una traslación, una reflexión o una rotación. Aplican movimientos rígidos para dibujar imágenes de figuras y aprenden a usar un lenguaje preciso para describir los movimientos rígidos en el plano y en el plano de coordenadas.

Tema B

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Sus estudiantes aplican y describen secuencias de movimientos rígidos mediante actividades de aprendizaje práctico y actividades digitales. Definen una figura como congruente con otra si existe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra.

Tema C

Relaciones entre ángulos

Al aplicar movimientos rígidos y la definición de figuras congruentes, sus estudiantes establecen datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas. Aplican las relaciones entre ángulos para determinar la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo y la relación entre el ángulo externo y el par de ángulos internos no adyacentes de un triángulo.

Después de este módulo

Módulo 3 de Álgebra I

En Álgebra I, la clase aplica movimientos rígidos para describir transformaciones de funciones y para representar gráficamente funciones en el plano de coordenadas.

Módulo 1 de Geometría

En Geometría, la clase combina su conocimiento sobre movimientos rígidos y funciones para reconocer un movimiento rígido como una función en el plano, y también usa las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones para justificar teoremas de congruencia de los triángulos.

Tema D

Figuras congruentes y el teorema de Pitágoras

Sus estudiantes usan movimientos rígidos y figuras congruentes para probar el teorema de Pitágoras y su recíproco. Luego, resuelven problemas matemáticos y del mundo real hallando las longitudes desconocidas de los catetos de triángulos rectángulos, la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas y la longitud de la diagonal de un prisma rectangular.

Contenido

Movimientos rígidos y figuras congruentes

¿Por qué?

Criterios de logro académico: Contenido general

Tema A

Movimientos rígidos y sus propiedades

Lección 1

Movimientos en el plano

• Describir informalmente cómo asignar una figura a su imagen

• Demostrar que la distancia entre dos puntos se mantiene igual cuando se aplican movimientos rígidos

Lección 2

Traslaciones

• Aplicar traslaciones en el plano

• Identificar las propiedades básicas de las traslaciones

Lección 3

Reflexiones

• Aplicar reflexiones en el plano

• Identificar las propiedades básicas de las reflexiones

Lección 4 .

Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

• Aplicar traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

• Usar coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una traslación o una reflexión

Lección 5

Rotaciones

• Aplicar rotaciones en el plano

• Identificar las propiedades básicas de las rotaciones

78

Lección 6

Rotaciones en el plano de coordenadas

• Aplicar rotaciones alrededor del origen en el plano de coordenadas

• Usar coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una rotación alrededor del origen

B

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Lección 7

Trabajar de atrás hacia delante

• Describir con precisión el movimiento rígido necesario para asignar una imagen de regreso a la figura original

Lección 8

Crear una secuencia de movimientos rígidos

• Describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra

• Determinar que las propiedades de los movimientos rígidos individuales también se aplican a una secuencia de movimientos rígidos

Lección 9

Ordenar secuencias de movimientos rígidos

• Determinar si importa el orden en el que se aplica una secuencia de movimientos rígidos

Lección 10 .

Figuras congruentes

• Describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra figura congruente

90

Lección 11 . .

Demostrar si las figuras son congruentes

• Demostrar si las figuras son congruentes describiendo una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra

Tema

C

Relaciones entre ángulos

Lección 12 .

Transversales que cortan rectas

• Usar argumentos informales para definir datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta un par de rectas

Lección 13 .

La suma de los ángulos de un triángulo

• Usar argumentos informales para verificar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°

Lección 14

Demostrar si las rectas son paralelas

• Usar argumentos informales para concluir que las rectas que corta una transversal son paralelas cuando los pares de ángulos que se forman son congruentes

Lección 15 .

Los ángulos externos de los triángulos

• Usar argumentos informales para definir datos sobre los ángulos externos de los triángulos

• Determinar la medida desconocida de un ángulo interno o externo de un triángulo

Lección 16

Hallar medidas angulares desconocidas

• Usar los datos sobre las relaciones entre los ángulos para escribir y resolver ecuaciones

Tema D

Figuras congruentes y el teorema de Pitágoras

Lección 17 . .

Probar el teorema de Pitágoras

• Explicar una prueba del teorema de Pitágoras

Lección 18 .

Probar el recíproco del teorema de Pitágoras

• Explicar una prueba del recíproco del teorema de Pitágoras

Lección 19 . . . . . . . . . . .

Usar el teorema de Pitágoras y su recíproco

• Usar el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo

• Usar el teorema de Pitágoras para hallar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos

Lección 20 . .

La distancia en el plano de coordenadas

• Hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas usando el teorema de Pitágoras

Lección 21 . . .

Aplicar el teorema de Pitágoras

• Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas matemáticos y del mundo real

• Evaluar raíces cuadradas

Lección 22

En el camino correcto

• Representar una situación usando el teorema de Pitágoras y la distancia en una cuadrícula para resolver un problema

Recursos

Estándares

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias

Las matemáticas en el pasado

Materiales

334

Ejemplos de soluciones

Créditos

Agradecimientos

Tema

¿Por qué?

Movimientos rígidos y figuras congruentes

¿Por qué la clase aplica movimientos rígidos en el plano?

Sus estudiantes empiezan por aplicar movimientos rígidos en el plano para adquirir confianza con cada movimiento rígido y sus propiedades antes de comenzar a usar coordenadas para describir movimientos rígidos. Usan vectores para describir traslaciones en el plano, lo que les permite ampliar lo que saben sobre los segmentos de recta orientados que se usan para las operaciones con enteros en 7.o grado. Cuando aplican movimientos rígidos en el plano de coordenadas, usan los ejes, el origen y la estructura de la cuadrícula como ayuda para describir los movimientos rígidos y consolidar su comprensión de los movimientos rígidos y sus propiedades.

¿Por qué la clase usa

transparencias para los movimientos rígidos?

La clase usa transparencias para los movimientos rígidos a fin de representar el movimiento en el plano cuando se aplica una traslación, una reflexión o una rotación. Para hacer énfasis en el concepto de asignar, sus estudiantes usan esquemas de oración tales como Una traslación asigna la figura ABCD a su imagen, la figura A′B′C′D′ , en lugar de frases como trasladar la figura, reflejar la figura o rotar la figura. El desarrollo de este lenguaje en 8.o grado prepara a sus estudiantes para Geometría, donde aprenden que los movimientos rígidos son funciones que se aplican a todo el plano, no solo a una figura en el plano. El uso de transparencias también permite a la clase explorar diferentes tipos de figuras con mayor flexibilidad. En lugar de depender de la medición directa y la comparación de las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos entre figuras poligonales, el uso de una transparencia para realizar los movimientos rígidos permite que sus estudiantes comparen la congruencia de figuras curvas.

Dibuja y rotula la imagen del △ XYZ aplicando la siguiente secuencia de movimientos rígidos:

• Traslación a lo largo de la ⟶ RS

• Reflexión sobre la recta ��

¿Por qué la clase prueba el teorema de Pitágoras en el módulo 2?

En el módulo 1, sus estudiantes saben que existe la relación a 2 + b2 = c 2 para los triángulos rectángulos con las longitudes de los catetos a y b y la longitud de la hipotenusa c, pero no tienen las destrezas para probar la relación. En el módulo 2, usan movimientos rígidos y figuras congruentes como base para explorar y explicar una prueba formal del teorema de Pitágoras.

Criterios de logro académico: Contenido general

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo que se abarca en cada módulo.

Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.

Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:

• observaciones informales en el salón de clases;

• datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;

• Boletos de salida;

• Pruebas cortas de los temas y

• Evaluaciones de los módulos.

Este módulo contiene los nueve CLA que se indican.

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental.

8.G.A.1, 8.G.A.1.a, 8.G.A.1.b, 8.G.A.1.c

8.Mód2.CLA2 Reconocen que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de movimientos rígidos. 8.G.A.2

8.Mód2.CLA3 Describen una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que muestra la congruencia entre dos figuras dadas.

8.G.A.2

8.Mód2.CLA4 Usan coordenadas para describir el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales en el plano.

8.G.A.3

8.Mód2.CLA5 Aplican, definen y explican datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo. 8.G.A.5

8.Mód2.CLA6 Hallan medidas angulares desconocidas usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

8.G.A.5

Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:

8.Mód2.CLA7 Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su recíproco usando la geometría.

8.G.B.6

8.Mód2.CLA8 Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real, en dos y tres dimensiones.

8.Mód2.CLA9 Aplican el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.

8.G.B.7

• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 2 de 8.o grado se codifica como 8.Mód2.CLA1.

• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.

• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.

8.G.B.8

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.

Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.

• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.

Código del CLA Grado.Mód#.CLA#

Texto del CLA

8.Mód2.CLA6 Hallan medidas angulares desconocidas usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.A.5 Usan argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando una transversal corta líneas paralelas, y el criterio ángulo-ángulo de la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglan tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dan un argumento en términos de transversales que explique por qué ocurre esto.

Parcialmente competente

Hallan medidas angulares desconocidas de manera numérica usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

En el diagrama, la transversal 𝓉 corta las rectas paralelas 𝓁 y 𝓂.

Competente

Hallan medidas angulares desconocidas de manera algebraica con ecuaciones de uno o dos pasos usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

En el diagrama, la transversal 𝓉 corta las rectas paralelas 𝓁 y 𝓂.

Relaciona cada ángulo del diagrama con su medida correcta en las opciones de respuesta dadas. Las opciones de respuesta se pueden usar más de una vez.

Ángulo 1 2 3 4 5 6 7

Medida

Opciones de respuesta 28° 62° 118° 242°

¿Cuál es el valor de x?

El valor de x es

Estándar relacionado

Altamente competente

Definen y explican datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

En el diagrama, la ⟷ CD y la ⟷ FG son paralelas y la transversal ⟷ JM las corta.

FG CD L M K J

Usa movimientos rígidos para explicar por qué el ∠CLK es congruente con el ∠GKL

Indicadores del CLA

Tema A

Movimientos rígidos y sus propiedades

En el tema A, se presentan a la clase los movimientos rígidos en el plano. Sus estudiantes desarrollan su comprensión sobre lo aprendido en grados anteriores sobre los segmentos y sus longitudes, los ángulos y sus medidas, y las rectas paralelas para explorar los movimientos rígidos básicos en el plano y sus propiedades. Usan transparencias para experimentar en distintas actividades de aprendizaje práctico.

Antes de nombrar y definir formalmente estos movimientos rígidos, sus estudiantes eligen entre un conjunto de herramientas para intentar confirmar su comprensión intuitiva de lo que significa que dos figuras sean iguales. Utilizan una herramienta en particular, una transparencia, como representación del plano. Las transparencias les permiten experimentar y reconocer que el plano se puede trasladar, reflejar y rotar, y que lleva consigo cualquier punto en el plano. Sus estudiantes comprenden que estos movimientos son rígidos al observar que la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual, con lo cual las longitudes de los segmentos y las medidas de los ángulos dentro de las figuras se mantienen intactas.

Sus estudiantes intentan describir los movimientos rígidos con sus palabras, por lo que surge la necesidad de usar un lenguaje más preciso para explicar los movimientos. Aprenden a usar un vector para describir la distancia y el sentido de una traslación. Identifican ejes de reflexión para describir reflexiones, y usan una medida en grados, un sentido y un centro de rotación para describir rotaciones. Usan una transparencia para dibujar imágenes de figuras a las que se les aplica una traslación, una reflexión o una rotación. Analizan las imágenes para verificar las propiedades de estos movimientos rígidos y para examinar las semejanzas y diferencias entre los movimientos rígidos.

Asimismo, sus estudiantes usan el plano de coordenadas y las coordenadas como herramientas para describir la ubicación de las figuras y sus imágenes cuando se aplica un movimiento rígido. Hacen una transición de usar un vector para describir la distancia y el sentido de una traslación en el plano a usar una descripción con unidades y frases como hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha. Esta transición permite a sus estudiantes aprovechar la estructura que proporciona el plano de coordenadas. Cuando usan el plano de coordenadas, se enfocan en reflexiones sobre los ejes x y y, y en rotaciones de 90°, 180° y 270° alrededor del origen.

En el tema B, sus estudiantes amplían su conocimiento de los movimientos rígidos básicos para considerar secuencias de movimientos rígidos. Exploran cómo se aplican las propiedades de los movimientos rígidos básicos a una secuencia de movimientos rígidos, lo cual, finalmente, da lugar a la definición de congruente.

Progresión de las lecciones

Lección 1 Movimientos en el plano

Lección 2 Traslaciones

Lección 3 Reflexiones

Lección 4 Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

Lección 5 Rotaciones

Lección 6 Rotaciones en el plano de coordenadas

Movimientos en el plano

Describir informalmente cómo asignar una figura a su imagen

Demostrar que la distancia entre dos puntos se mantiene igual cuando se aplican movimientos rígidos

Identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

Traslación

Vistazo a la lección

En esta lección, se presentan los movimientos rígidos básicos y sus propiedades. Sus estudiantes eligen una herramienta para recrear un patrón usando una figura de manera repetida. Reconocen que una transparencia es la herramienta más universal. Usan la transparencia como una representación del plano para aplicar informalmente tres movimientos rígidos: traslaciones, reflexiones y rotaciones. Mediante actividades de aprendizaje por descubrimiento, sus estudiantes determinan que la distancia entre dos puntos se mantiene igual cuando se aplica un movimiento rígido y relacionan este razonamiento con las medidas angulares y las rectas paralelas. En esta lección, se define formalmente el término movimiento rígido, y se presentan los términos traslación, reflexión y rotación conectándolos con el lenguaje cotidiano.

Preguntas clave

• ¿Cuáles son los tres tipos de movimientos rígidos?

• ¿Cuáles son las diferencias entre una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido? ¿Por qué?

• ¿Cuáles son las semejanzas entre una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido? ¿Por qué?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental. (8.G.A.1, 8.G.A.1.a, 8.G.A.1.b, 8.G.A.1.c)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• Mover la transparencia

• Describir con precisión

• ¿Qué movimiento rígido es?

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• proyector*

• computadora o dispositivo para la enseñanza*

• libro Enseñar*

• transparencia

Estudiantes

• transportador de 6″ (1 por pareja de estudiantes)

• papel en blanco (1 trozo por pareja de estudiantes)

• marcador de borrado en seco*

• libro Aprender*

• lápiz*

• pizarra blanca individual*

• borrador para la pizarra blanca individual*

• regla (1 por pareja de estudiantes)

• calculadora científica*

• tijeras (1 por pareja de estudiantes)

• herramienta de borde recto

• transparencia

Preparación de la lección

• No se necesita.

*Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

Nota para la enseñanza

Una herramienta de borde recto se usa para dibujar una línea recta, pero no para medir. Una regla, en cambio, se puede usar para ambas tareas. Cuando se hace referencia a una herramienta de borde recto, sus estudiantes deben usarla solo para trazar una línea recta. Una regla es un sustituto aceptable de una herramienta de borde recto.

Fluidez

Trazar figuras geométricas

La clase traza figuras geométricas como preparación para describir informalmente cómo asignar una figura a su imagen.

Instrucciones: Traza un ejemplo de la figura geométrica para completar la tabla.

Nota para la enseñanza

Las actividades de fluidez son sets breves de problemas de práctica secuenciados que sus estudiantes resuelven durante los primeros 3 a 5 minutos de clase. Administre una actividad de fluidez como una actividad para iniciar la clase o conviértala en una actividad guiada de Intercambio con la pizarra blanca o de Respuesta a coro. Puede encontrar instrucciones para administrar estas actividades en el recurso de la sección Fluidez.

1. Recta: ⟷ AB

2. Semirrecta: ⟶ X Y Y X

3. Ángulo: ∠QRS

4. Segmento: AB

5. Triángulo: △DEF

6. Figura: Cuadrilátero LMNO

Presentar

La clase usa herramientas para crear un patrón de figuras repetidas.

Organice a sus estudiantes en parejas. Muestre el problema 1 y permítales que lo estudien. Haga la siguiente pregunta para guiar una conversación breve de toda la clase:

¿Qué observan?

El patrón parece una flor, un molinillo o una mariposa.

La misma figura se usa cuatro veces para hacer el patrón.

Hay cuatro figuras idénticas que están en diferentes posiciones.

Usen solo la figura A y cualquiera de las herramientas dadas para crear el patrón.

Presente las herramientas disponibles: un marcador de borrado en seco, un trozo de papel, un transportador, una regla, una herramienta de borde recto, tijeras y una transparencia. Dé tiempo a sus estudiantes para que elijan sus herramientas, comenten su estrategia e intenten crear el patrón que se muestra en el problema 1.

1. Estudia el patrón.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.

• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.

• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.

• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.

De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan la misma lengua materna.

Nota para la enseñanza

El diálogo que se muestra proporciona sugerencias de preguntas y ejemplos de respuesta. Para maximizar la participación de cada estudiante, guíe conversaciones usando herramientas y estrategias que incentiven el intercambio entre estudiantes. Por ejemplo, use con flexibilidad la Herramienta para la conversación y las rutinas Reunirse y conversar en parejas, Pensar-Trabajar en parejasCompartir y Siempre, a veces, nunca.

a. Usa cualquiera de las herramientas dadas y solo la figura A para crear el patrón.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre una regla, un transportador, un trozo de papel, una herramienta de borde recto, tijeras, una transparencia y un marcador de borrado en seco para recrear el patrón del problema 1.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Por qué eligieron las herramientas que eligieron? ¿Funcionaron bien?

• ¿Qué herramienta sería la más útil para recrear el patrón? ¿Por qué?

b. ¿Qué herramientas usaste?

Ejemplo: Usé tijeras y un trozo de papel.

c. ¿Qué estrategia usaste?

Ejemplo: Tracé la figura en el trozo de papel. Recorté la figura y la usé como plantilla para recrear el patrón.

Después de que la mayoría de las parejas hayan terminado, seleccione a representantes de algunas parejas para que compartan con la clase las herramientas y las estrategias que eligieron. Es posible que sus estudiantes compartan algunas de las siguientes estrategias:

• Trazamos la figura en nuestro papel y la recortamos para crear una plantilla.

• Medimos las diferentes partes de la figura y usamos las medidas para recrear la figura en diferentes ubicaciones.

• Trazamos la figura en la transparencia y copiamos la figura de la transparencia en el papel.

Concluya la conversación haciendo énfasis en las ventajas de la transparencia.

La transparencia es una herramienta increíblemente útil. Podemos usarla para recrear figuras que tienen líneas rectas y curvas. Podemos mover la transparencia hasta que la copia de la primera figura esté exactamente donde debería estar la segunda figura.

Hoy, usaremos nuestras transparencias como ayuda para representar determinados movimientos. Luego, describiremos matemáticamente los movimientos y sus propiedades.

Aprender

25

Mover la transparencia

Sus estudiantes usan una transparencia para aplicar movimientos rígidos y, luego, describen esos movimientos.

Dé las siguientes instrucciones para demostrar cómo usar una transparencia con el patrón del problema 1. Haga una pausa después de cada instrucción para que sus estudiantes tengan tiempo de hacer lo mismo que usted.

• Coloquen la transparencia encima del problema 1, de manera que la figura A quede cubierta por completo.

• Usen un marcador para trazar la figura A en la transparencia.

• Muevan la transparencia para que la versión trazada de la figura A quede ubicada por completo encima de la figura B.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para brindar apoyo con los diferentes significados del término aplicación, considere guiar una conversación de toda la clase y pedir a sus estudiantes ejemplos del término en la vida real. Sus estudiantes podrían relacionar el término con la tecnología, por ejemplo, “bajar una aplicación al celular”. También podrían mencionar el verbo “aplicar”, por ejemplo, “aplicar bloqueador solar en la piel” o “aplicarse en los estudios”. Contraste estos significados con el significado de correspondencia presente en este módulo. Indique a la clase que el término “aplicación en el plano” será usado como un sustantivo en un contexto matemático.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2(a).

Describan cómo mueven la transparencia para que la versión trazada de la figura A quede ubicada por completo encima de la figura B.

Muevo la transparencia hacia abajo y hacia la derecha.

Pida a sus estudiantes que escriban su descripción en la parte (a). Luego, pídales que completen las partes (b) y (c) de manera individual.

2. Para cada par de figuras, ¿cómo mueves la transparencia, de manera que la versión trazada de la primera figura quede ubicada encima de la segunda figura?

a. La figura A a la figura B

Muevo la transparencia hacia abajo y hacia la derecha.

b. La figura A a la figura C

Giro la transparencia un cuarto de un giro completo en el sentido de las manecillas del reloj.

c. La figura A a la figura D

Doy vuelta a la transparencia moviendo el borde superior hacia mí.

Invite a sus estudiantes a compartir en parejas sus respuestas del problema 2. Luego, use los planteamientos y la pregunta que siguen para que la clase participe de una conversación sobre cómo se relaciona esta actividad con las matemáticas:

Mover la transparencia es una representación de una idea matemática. Su transparencia representa algo que se llama plano. Pueden pensar en un plano como una superficie bidimensional que se extiende indefinidamente y que no tiene grosor.

¿En qué se diferencia una transparencia de un plano?

Una transparencia tiene grosor.

Una transparencia tiene bordes, así que no se extiende indefinidamente.

Trazamos la figura A en nuestra transparencia. Una figura es un conjunto de puntos en el plano. Hay un número infinito de puntos en el plano, pero generalmente prestamos atención solo a los puntos de una figura.

Cuando movemos la transparencia, representamos el movimiento de cada punto en el plano. Cuando dejamos de mover la transparencia, asignamos cada punto en el plano a una ubicación.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para brindar apoyo con los diferentes significados de las palabras plano, asignar e imagen, considere guiar una conversación de toda la clase a lo largo de la lección que resalte los diferentes usos y significados de estas palabras en matemáticas y en el mundo real. Muestre imágenes o ejemplos de cada significado según corresponda.

• Plano: Un plano urbano

• Plano: En matemáticas, un plano es una superficie bidimensional que se extiende indefinidamente y que no tiene grosor.

• Asignar: A cada persona le asignaron una tarea.

• Asignar: Un movimiento rígido asigna el punto P al punto P ʹ

• Imagen: Una imagen en una revista

• Imagen: La figura AʹBʹCʹDʹ es la imagen de la figura ABCD cuando se aplica un movimiento rígido.

Sus estudiantes vuelven a ver los términos matemáticos plano, asignar e imagen en 8.o grado y en cursos posteriores. La comprensión de estos términos por parte de sus estudiantes evolucionará a medida que experimenten con ellos en diferentes contextos de matemáticas.

Esto se llama “aplicación”. En el problema 2, describimos la aplicación de la figura A a cada una de las otras figuras.

Demuestre cómo mover la transparencia para asignar la figura A a la figura B.

También podemos decir que, por medio de una aplicación, la figura A se asigna a la figura B.

Mueva la transparencia nuevamente a la ubicación original y marque varios puntos en la figura A.

Demuestre una vez más cómo mover la transparencia para asignar la figura A a la figura B, pero esta vez ponga énfasis en los puntos.

Debido a que una figura es un conjunto de puntos, cuando se asigna la figura A a la figura B, se asignan también todos los puntos. Una vez hecho esto, la ubicación asignada a un punto específico se conoce como la imagen del punto.

El conjunto de puntos de una figura, una vez que estos han sido asignados a las nuevas ubicaciones, conforman la imagen de la figura.

Continúe la conversación de toda la clase con las siguientes preguntas:

¿Qué figuras son imágenes de la figura A?

Las figuras B, C y D son todas imágenes de la figura A.

Comparen la figura A con sus tres imágenes: las figuras B, C y D. ¿En qué se parecen?

Las figuras A, B, C y D tienen todas la misma forma.

¿En qué se diferencian?

Las figuras A, B, C y D están en ubicaciones diferentes. Las figuras han sido movidas, giradas o dadas vuelta.

Las tres maneras diferentes en que movimos la transparencia son ejemplos de movimientos rígidos. ¿Qué significa la palabra rígido?

Significa que no se puede cambiar, o que es inflexible.

Significa que no se puede doblar.

¿Por qué creen que estos movimientos se llaman rígidos?

Estos movimientos se llaman rígidos porque, cuando movimos una figura usando la transparencia, la figura no cambió. No se dobló ni se estiró cuando se aplicaron los movimientos.

Nota para la enseñanza

En esta lección y en lecciones futuras, se evita el uso de las frases trasladar la figura, reflejar la figura o rotar la figura. En su lugar, se hace énfasis en el concepto de aplicación y el uso de descripciones como las siguientes: Una traslación asigna la figura ABCD a su imagen, la figura A′B′C′D′ . Esto prepara a sus estudiantes para Geometría, donde aprenderán que los movimientos rígidos son funciones que se aplican a todo el plano, no solo a una figura en el plano.

DUA: Representación

Considere presentar ejemplos erróneos de movimientos rígidos para hacer énfasis en las características fundamentales de los movimientos rígidos. Comparta los siguientes ejemplos erróneos con sus estudiantes y pregúnteles cómo cambiarían las figuras trazadas.

• Sostengan un extremo de la transparencia con una mano y, con la otra mano, el extremo opuesto. Luego, imaginen que estiran la transparencia alejando las manos en sentidos opuestos.

• Sostengan una esquina de la transparencia con una mano y, con la otra mano, otra esquina. Luego, imaginen que estiran la transparencia alejando las manos en sentidos opuestos.

Si un movimiento es rígido, ¿creen que es posible que la distancia entre dos puntos de una figura cambie? ¿Por qué?

No, no lo creo. Trazamos la figura en una transparencia; entonces, la distancia entre dos puntos no debería cambiar solo porque movemos la transparencia.

Un movimiento rígido es el resultado de cualquier movimiento en el plano en el cual la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. Esta característica de un movimiento rígido es lo que garantiza que una imagen de una figura se mantenga igual que la figura.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y muestre las siguientes tres palabras: traslación, reflexión, rotación.

Traslación, reflexión y rotación son los términos matemáticos para los tres movimientos rígidos que usamos en el problema 2. ¿Qué palabra creen que se corresponde con cada movimiento rígido?

Pida a sus estudiantes que completen el problema 3 en parejas.

3. Completa los espacios de cada oración con uno de los movimientos rígidos: traslación, reflexión o rotación.

a. Usé una traslación para asignar la figura A a la figura B.

b. Usé una rotación para asignar la figura A a la figura C

c. Usé una reflexión para asignar la figura A a la figura D.

A medida que sus estudiantes terminen, considere usar las siguientes preguntas para guiar una actividad de Pensar-Trabajar en parejas-Compartir:

• ¿Hay situaciones del mundo real en las que usen estas palabras?

• ¿Existe una relación entre esas situaciones del mundo real y la manera en que usamos estos términos matemáticamente? Expliquen.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para brindar apoyo con los términos traslación, reflexión y rotación, considere usar un organizador gráfico con el título Movimientos rígidos para mostrar estos términos.

Dibuje un ejemplo del movimiento rígido debajo de cada término y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo. Si sus estudiantes continúan usando las palabras deslizar, girar y dar vuelta a lo largo del resto de la lección o tema, reformule sus respuestas con los términos matemáticos para demostrar el uso de vocabulario preciso.

A esta altura de la lección, no se espera que sus estudiantes usen las definiciones matemáticas de traslación, reflexión y rotación de manera independiente. En la lección 2 se define formalmente traslación, en la lección 3 se define formalmente reflexión y en la lección 5 se define formalmente rotación. Considere pedir a sus estudiantes que vuelvan al organizador gráfico a medida que se presente vocabulario nuevo para agregar dibujos, notas y otros detalles útiles para cada movimiento rígido.

Describir con precisión

Sus estudiantes rotulan imágenes y determinan las propiedades de los movimientos rígidos.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4 y pídales que completen las partes (a) a (d) de manera independiente.

4. El diagrama muestra una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido.

a. ¿Qué tipo de movimiento rígido ocurrió?

Traslación

b. ¿Puedes saber qué figura es la imagen y cuál es la original? No.

c. ¿Cómo describirías el movimiento rígido si la figura de la izquierda fuera la original? Exprésalo con la mayor precisión posible.

Es una traslación hacia la derecha de aproximadamente 2 pulgadas.

d. ¿Cómo describirías el movimiento rígido si la figura de la derecha fuera la original? Exprésalo con la mayor precisión posible.

Es una traslación hacia la izquierda de aproximadamente 2 pulgadas.

Después de que la mayoría de sus estudiantes terminen, pídales que se reúnan y conversen en parejas para comparar sus respuestas.

Muestren los pulgares hacia arriba o hacia abajo para decirme si pudieron determinar qué figura es la original y cuál es la imagen en el problema 4.

Nota para la enseñanza

En esta lección y en las siguientes, se describe la imagen de una figura cuando se aplica un movimiento rígido, cuando se aplica una traslación, cuando se aplica una rotación y cuando se aplica una reflexión. El uso de este lenguaje es intencional porque prepara a sus estudiantes para comprender los movimientos rígidos como funciones en geometría y refleja el lenguaje que se usa para describir funciones en el plano de coordenadas. Por ejemplo, si la gráfica de una función f (x) pasa por el punto (x, y), se puede decir que y es la imagen de x cuando se aplica f.

Para brindar apoyo a sus estudiantes, explique que aplicar un movimiento rígido significa que, mediante un movimiento rígido, se asigna una figura a su imagen.

Pida a un grupo pequeño de estudiantes que hayan mostrado señales diferentes que compartan su razonamiento. Luego, use la siguiente pregunta para guiar una conversación sobre por qué es importante rotular las figuras y sus imágenes:

¿Qué podemos hacer para distinguir una figura original de su imagen?

Podemos rotular la figura original y la imagen de manera diferente.

Muestre el diagrama del problema 4.

Cuando rotulamos figuras, rotulamos cada vértice con una letra mayúscula. Entonces, podemos rotular los vértices de la figura original de la derecha A, B, C y D.

Rotule los vértices de la figura de la derecha A, B, C y D. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros.

Cuando rotulamos la imagen de una figura a la que se le aplica un movimiento rígido, usamos las mismas letras que las de la figura original, pero agregamos un signo prima después de cada letra.

Rotule los vértices de la figura de la izquierda A′ , B′ , C′ y D′. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus libros. Luego, señale A′ .

Cuando decimos el rótulo de esta imagen en voz alta, decimos “A prima”.

Considere señalar cada uno de los otros vértices de la imagen, uno a la vez, y pedir a sus estudiantes que digan cada nombre en voz alta.

Observen que los vértices correspondientes entre la figura original y la imagen tienen la misma letra. Un par de vértices correspondientes es un vértice en la figura original y el vértice al que se asigna en la imagen.

Demuestre el siguiente ejemplo:

Por ejemplo, si trazo la figura ABCD y muevo mi transparencia para que la figura trazada quede ubicada encima de la segunda figura, el vértice rotulado A′ tiene que estar debajo del vértice rotulado A. Dado que un vértice es un punto, A y A′ se llaman puntos correspondientes.

¿Es importante poder identificar qué figura es la imagen y cuál es la original en un diagrama? ¿Cuándo?

Sí, es importante. Si se necesita describir el movimiento que asigna una figura a otra, entonces se necesita saber cuál es la figura original y cuál es la imagen.

Pida a sus estudiantes que vayan a sus respuestas de los problemas 4(c) y 4(d). Pídales que encierren en un círculo la descripción correcta del movimiento rígido según cómo están rotuladas las figuras ahora.

Pida a sus estudiantes que usen una regla y un transportador para completar los problemas 4(e) y 4(f) en parejas. Sugiera que una persona de la pareja mida las longitudes de los lados y los ángulos de la figura y que la otra persona mida las longitudes de los lados y los ángulos de la imagen.

Mientras recorre el salón de clases, busque estudiantes que necesiten ayuda para usar un transportador para medir los ángulos. Demuestre cómo extender los lados de los paralelogramos para que medir los ángulos sea más fácil.

e. Mide y rotula cada longitud de lado de la figura original y de su imagen en centímetros.

f. Mide y rotula cada ángulo dentro de la figura original y de su imagen.

Después de que la mayoría termine, use las preguntas y los planteamientos que siguen para animar a sus estudiantes a participar de una conversación acerca de sus respuestas:

Ya hemos hablado sobre vértices correspondientes y puntos correspondientes. ¿Qué creen que son los lados correspondientes? Usen el diagrama del problema 4 para dar ejemplos.

El término lados correspondientes probablemente se refiere a un lado de la figura original que se asigna a un lado de la imagen.

Por ejemplo, AB y A′B′ , BC y B′C′ , CD y C′D′ , y DA y D′A′ son lados correspondientes.

Un lado de la figura original y el lado al que se asigna en la imagen se llaman lados correspondientes.

¿Qué creen que son los ángulos correspondientes? Usen el diagrama del problema 4 para dar ejemplos.

El término ángulos correspondientes probablemente se refiere a un ángulo de la figura original que se asigna a un ángulo de la imagen.

Por ejemplo, el ∠ ABC y el ∠ A′B ′C ′, el ∠BCD y el ∠B′C′D′, el ∠CDA y el ∠C ′D ′A′ y el ∠DAB y el ∠D′A′B′ son ángulos correspondientes.

Un ángulo de la figura original y el ángulo al que se asigna en la imagen se llaman ángulos correspondientes.

¿Qué observan acerca de las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de las dos figuras?

Las longitudes de los lados correspondientes y las medidas de los ángulos correspondientes son iguales.

¿Les sorprende eso? ¿Por qué?

No. No me sorprende porque sé que, cuando se aplica un movimiento rígido, la distancia entre dos puntos se mantiene igual. Eso significa que la figura original y su imagen son iguales.

Dijimos que este diagrama muestra una traslación hacia la izquierda de aproximadamente 2 pulgadas. Imaginen que el diagrama mostrara una figura y una imagen cuando se aplica una reflexión o una rotación. ¿Creen que las longitudes de los lados y las medidas angulares correspondientes seguirían siendo iguales? ¿Por qué?

Sí. Como las rotaciones y las reflexiones también son movimientos rígidos, podría de igual manera usar una transparencia para mostrar que una versión trazada de la figura queda ubicada encima de la imagen. La figura original y su imagen seguirían teniendo las mismas longitudes de los lados y las mismas medidas angulares, pero la imagen podría estar en una ubicación diferente en el plano.

Los movimientos rígidos son el resultado de cualquier movimiento en el plano en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. Esto da como resultado otras propiedades de los movimientos rígidos: las longitudes de los segmentos se mantienen iguales y las medidas angulares también.

¿Qué más observan acerca de las figuras?

Hay símbolos de punta de flecha sobre los lados de las figuras.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Asegúrese de que sus estudiantes usen un lenguaje preciso en sus descripciones de las dos figuras y que observen que las longitudes de los lados correspondientes y las medidas de los ángulos correspondientes son iguales. Si sus estudiantes simplemente dicen que las medidas son las mismas, hágales una pregunta adicional: “¿Todos los lados y todos los ángulos tienen las mismas medidas?”. Compare dos partes que no sean correspondientes en la figura y la imagen, como el AB y el B′C′ , para mostrar que solo las partes correspondientes de la figura original y de su imagen tienen las mismas medidas.

¿Qué significan los símbolos de punta de flecha?

Los lados con el mismo número de símbolos de punta de flecha son paralelos.

¿Qué significa que dos lados, o segmentos, sean paralelos?

Si extendiéramos los lados en ambos sentidos indefinidamente, nunca se intersecarían.

¿Qué figura geométrica obtenemos si nos extendemos más allá de los dos extremos de un lado, o segmento, en sentidos opuestos indefinidamente?

Obtenemos una recta.

Si tenemos rectas paralelas en la figura original, entonces un movimiento rígido asigna las rectas paralelas a dos rectas que siguen siendo paralelas.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 5 a 9 con su pareja para resumir las propiedades de los movimientos rígidos. Recorra el salón de clases para responder preguntas y aclarar conceptos erróneos. Si observa el mismo concepto erróneo en muchas parejas de estudiantes, considere abordarlo con toda la clase.

En los problemas 5 a 9, completa los espacios de cada oración.

5. Las traslaciones, las reflexiones y las rotaciones son tipos de movimientos rígidos .

6. Los movimientos rígidos son el resultado de cualquier movimiento en el plano en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual .

7. Los movimientos rígidos asignan segmentos a segmentos. Los movimientos rígidos mantienen iguales las longitudes de los segmentos.

8. Los movimientos rígidos asignan ángulos a ángulos . Los movimientos rígidos mantienen iguales las medidas angulares.

9. Los movimientos rígidos asignan rectas paralelas a rectas paralelas .

Pida a sus estudiantes que comparen las respuestas con otra pareja que tengan cerca.

¿Qué movimiento rígido es?

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 10 a 13 en parejas. Mientras recorre el salón de clases, brinde apoyo a quienes necesiten ayuda para identificar los vértices correspondientes. Demuestre cómo pueden usar de ayuda los vértices rotulados en sus transparencias.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para brindar apoyo con el uso de los términos dirección y sentido, considere guiar una conversación de toda la clase y preguntar a sus estudiantes si comprenden la diferencia entre ambos términos. Si lo considera necesario, recuérdeles que la dirección se refiere a la trayectoria en una recta hacia ambos lados, mientras que el sentido implica la trayectoria hacia uno solo de los lados. Por ejemplo, en una carretera recta que uniera las ciudades de Sacramento y Denver, la carretera representaría la dirección, y habría dos sentidos posibles: hacia Sacramento o hacia Denver.

En los problemas 10 a 13, identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

Traslación

Traslación

Diferenciación: Desafío

Considere pedir a quienes terminen antes que hallen la longitud de la hipotenusa en el problema 13.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Describir informalmente cómo asignar una figura a su imagen

Demostrar que la distancia entre dos puntos se mantiene igual cuando se aplican movimientos rígidos

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase sobre los movimientos rígidos y sus propiedades. Permita que sus estudiantes consulten sus respuestas de los problemas 10 a 13.

¿Cuáles son los tres tipos de movimientos rígidos?

Son las traslaciones, las reflexiones y las rotaciones.

¿Cómo rotulamos la imagen de una figura?

Rotulamos cada vértice de la imagen con la misma letra mayúscula del vértice correspondiente de la figura original seguida de un signo prima.

¿Hay diferencias entre una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido?

Expliquen.

Sí. La ubicación de una figura y su imagen será diferente porque, al aplicar una traslación, una reflexión o una rotación, se asigna cada punto de una figura a una nueva ubicación.

¿Hay semejanzas entre una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido?

Expliquen.

Sí. Las longitudes de los segmentos y las medidas de los ángulos de una figura y su imagen son iguales porque la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual cuando se aplica un movimiento rígido.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Movimientos en el plano

En esta lección:

• definimos movimientos rígidos en el plano;

• usamos una transparencia para identificar movimientos rígidos;

• mostramos que la distancia entre dos puntos se mantiene igual cuando se aplican movimientos rígidos;

• rotulamos los vértices y las medidas conocidas de una imagen a la que se le aplica un movimiento rígido.

Ejemplos

Vocabulario

Un movimiento rígido es el resultado de cualquier movimiento en el plano en el cual la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual.

Identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

1. N L M Lʹ M N ʹ

Reflexión

Da vuelta a la transparencia.

Traza el △ LMN sobre una transparencia. Mueve, gira o da vuelta a la transparencia, de manera que la versión que se trazó del △ LMN quede encima de su imagen.

Gira la transparencia.

Una rotación asigna el punto L al punto L′ El punto L′ es la imagen del punto L Lee el rótulo L′ como “L prima”.

Traslación

Mueve la transparencia hacia arriba y hacia la derecha.

La distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual cuando se aplican movimientos rígidos, por lo que las longitudes de los segmentos y las medidas angulares se mantienen iguales.

EUREKA MATH

© Great Minds PBC

Nombre

Fecha

© Great Minds PBC

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

En los problemas 5 a 10, identifica el movimiento rígido que asigna la figura a la imagen dada. Luego, rotula los vértices de la imagen y las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

En los problemas 1 a 3, identifica el movimiento rígido que asigna el △ ABC a su imagen.

1.

Reflexión

4. Completa la tabla con el movimiento rígido que asigna la primera figura a la segunda figura.

Figura A Figura B Figura C

La figura A a la figura B La figura A a la figura C La figura B a la figura C

Movimiento rígido Reflexión Rotación Reflexión

13.

Estas figuras no muestran un movimiento rígido porque todas las longitudes de los segmentos correspondientes no son iguales.

Estas figuras muestran un movimiento rígido porque todas las longitudes de los segmentos y las medidas angulares correspondientes son iguales.

14. Kabir dice que los dos triángulos dados muestran un movimiento rígido porque los ángulos correspondientes tienen las mismas medidas. ¿Está Kabir en lo correcto? Explica.

En los problemas 11 a 13, determina si cada diagrama muestra una figura y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido. Explica.

Estas figuras no muestran un movimiento rígido porque todas las longitudes de los segmentos y las medidas angulares correspondientes no son iguales.

Kabir no está en lo correcto. Los movimientos rígidos mantienen iguales las longitudes de los segmentos, pero los dos triángulos no tienen las mismas longitudes de lado.

EUREKA MATH2

EUREKA MATH2

15. La figura P′Q′R′S′ representa la imagen de la figura PQRS cuando se aplica un movimiento rígido. 59° 121° P ʹ Q ʹ R ʹ S ʹ

a. Rotula cada vértice de la figura PQRS

b. Rotula todas las medidas angulares desconocidas de la figura PQRS

c. Los lados P′S′ y Q′R′ son paralelos. ¿Qué nos indica eso acerca de los lados de la figura PQRS ?

Los lados correspondientes de la figura PQRS también son paralelos: PS ∥ QR

d. La figura P′Q′R′S′ es un trapecio. ¿Es la figura PQRS también un trapecio? Explica.

Sí. La figura PQRS también es un trapecio porque tiene al menos un par de lados paralelos.

Recuerda

En los problemas 16 a 19, evalúa. 16. 16 + (−12) 4 17. 16 − (−12) 28 18. 16(−12) −192 19. 16 ÷ (−12) − 4 3

20. Considera el número 0.0007

a. Escribe el número en forma fraccionaria.

7 10,000

b. Escribe el número en notación científica.

7 × 10−4

21. El rectángulo ABCD tiene un perímetro de 32 unidades y un área de 48 unidades cuadradas.

a. Si las coordenadas del punto A son (−8, 2), ¿cuáles podrían ser las coordenadas de los otros tres vértices? Usa el plano de coordenadas si es necesario.

Ejemplo:

Los otros tres vértices del rectángulo podrían ser B(4, 2), C(4, 6) y D(−8, 6)

b. Explica cómo determinaste las coordenadas de los otros tres vértices.

Si un rectángulo tiene un perímetro de 32 unidades y un área de 48 unidades cuadradas, entonces tiene longitudes de lado de 12 unidades y 4 unidades. Hallé las coordenadas de un punto 12 unidades hacia la derecha del punto A en (4, 2) y lo rotulé punto B A continuación, hallé un punto 4 unidades por encima del punto B en (4, 6) y lo rotulé punto C. Luego, hallé el último punto 4 unidades por encima del punto A en (−8, 6) y lo rotulé punto D

EUREKA MATH

EUREKA MATH

Dibuja y rotula la imagen de la figura

Traslaciones

Aplicar traslaciones en el plano

Identificar las propiedades básicas de las traslaciones

2. Cuando se aplica una traslación, el

Vistazo

a la lección

Al inicio de la lección, sus estudiantes trabajan en parejas para describir y dibujar imágenes que se muestran en una animación de una traslación. Al no tener el vocabulario para describir con precisión la traslación, surge la necesidad de contar con un vector. Después de que aprenden a usar con precisión una transparencia para las traslaciones, sus estudiantes aplican las traslaciones en el plano y hallan las imágenes de puntos, segmentos, rectas y figuras a las que se les aplica la traslación. A través de la observación y la conversación con sus pares, expresan las propiedades de las traslaciones antes de participar en una rutina Siempre, a veces, nunca para formalizar estas observaciones. En esta lección, se definen formalmente los términos vector y traslación

Preguntas clave

• ¿Las traslaciones son movimientos rígidos? ¿Por qué?

• ¿Qué información necesitamos para aplicar traslaciones?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental. (8.G.A.1, 8.G.A.1.a, 8.G.A.1.b, 8.G.A.1.c)

1.

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Sentido y distancia

• Aplicar traslaciones

• Propiedades de las traslaciones

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• herramienta de borde recto

• transparencia

Estudiantes

• herramienta de borde recto

• transparencia

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Nombrar figuras geométricas

La clase nombra figuras geométricas como preparación para las traslaciones en un plano.

Instrucciones: Completa la tabla usando la notación geométrica para nombrar cada figura.

Nota para la enseñanza

Para brindar apoyo a sus estudiantes, pídales que consideren la palabra de cada figura y que, luego, relacionen la palabra con la notación geométrica. Por ejemplo, la ⟷ QP es una recta y la notación parece una recta.

Paralelogramo

Presentar

5

La clase reconoce la necesidad de contar con un lenguaje preciso para describir una traslación.

Forme parejas de estudiantes para la actividad y asegúrese de que cada estudiante tenga acceso a una transparencia y un marcador de borrado en seco. Pida a las personas de cada pareja que se sienten una frente a la otra, de manera que una de ellas pueda ver fácilmente la animación mientras la otra está sentada de espaldas a la animación.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 y presente la actividad con el siguiente planteamiento:

Reproduciré una animación que muestra la figura del problema 1 y, luego, muestra su imagen.

Si están de frente a la pantalla, su trabajo es describir lo que ven a su pareja. Si están de espaldas a la pantalla, deben escuchar a su pareja y dibujar la imagen de la figura. ¿Tienen preguntas?

Responda las preguntas que haya sobre la actividad. Luego, reproduzca Traslación: Animación 1 y pida a las parejas que completen la tarea.

Nota para la enseñanza

Si sus estudiantes se refieren a traslaciones de figuras, haga énfasis en que una traslación se aplica a todo el plano en el que está ubicada la figura. Este concepto de movimientos rígidos aplicados al plano también se refuerza en Geometría.

1.

la imagen de la figura según las instrucciones de tu pareja de trabajo.

DUA: Acción y expresión

Considere exhibir las instrucciones de la actividad.

• Estudiante A: Mira hacia la pantalla y explícale lo que ves a tu pareja.

• Estudiante B: De espaldas a la pantalla, dibuja la imagen de la figura con las herramientas que tú elijas.

• Intercambien los roles en el problema 2.

Dibuja

Cuando la mayoría de las parejas hayan terminado, pida a sus estudiantes que comenten la ubicación de la imagen.

Comparen su trabajo en el problema 1 con el de otra pareja de estudiantes. Conversen sobre la ubicación de la imagen y las descripciones que proporcionaron o que escucharon.

Recorra el salón de clases y preste atención a quienes proporcionaron descripciones en las que se mencionaban instrucciones como aproximadamente una pulgada hacia arriba o aproximadamente una pulgada hacia arriba y alrededor de media pulgada hacia la derecha. Cuando la mayoría de los grupos hayan terminado de conversar, invite a sus estudiantes a compartir las descripciones que sirvieron para ubicar su imagen.

Hoy, usaremos una transparencia para aplicar traslaciones y describiremos traslaciones con precisión usando lo que llamamos vectores.

Aprender

Sentido y distancia

La clase usa vectores para describir con precisión el sentido y la distancia de una traslación.

Defina el término vector. Luego, pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y use los siguientes planteamientos para continuar la actividad:

Las descripciones fueron más precisas cuando incluían un sentido y una distancia. Un vector, que es lo que llamamos un segmento de recta orientado, hace exactamente eso. Un vector es una manera precisa de describir un sentido y una distancia.

Intercambien de lugar y de rol con su pareja. Ahora, reproduciré otra animación que muestra un vector. ¿Qué preguntas tienen sobre su nuevo rol?

Responda las preguntas que haya sobre la actividad. Luego, reproduzca Traslación: Animación 2 el tiempo que sea necesario mientras las parejas completan la tarea.

Nota para la enseñanza

Es posible que dos parejas creen la misma imagen. Si esto sucede, considere pedir a ese grupo que comente las palabras que el o la estudiante A usó para indicar a la o el estudiante B los movimientos necesarios para dibujar la imagen.

2. Dibuja la imagen de la figura según las instrucciones de tu pareja de trabajo.

Cuando la mayoría de las parejas hayan terminado, haga las siguientes preguntas para animar a sus estudiantes a participar de una conversación sobre su experiencia:

Miren el resultado de otra pareja que esté cerca de ustedes. ¿Qué observan?

En el problema 2, nuestras ubicaciones del △ A′B ′C ′ coinciden más que nuestras ubicaciones

de la figura A′B ′C ′D ′ del problema 1.

¿Por qué creen que las imágenes coinciden más cuando se usa un vector para la traslación?

Con el vector del problema 2, puedo describir la distancia y el sentido exactos de la traslación.

En el problema 1 no hay un vector, por lo que fue más difícil describir con precisión la traslación.

Pida a sus estudiantes que regresen a sus asientos, busquen el problema 3 en sus libros y miren el diagrama. Guíe a sus estudiantes en una conversación de toda la clase.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para brindar apoyo a sus estudiantes con la precisión del lenguaje a lo largo de toda la lección, deles tiempo para determinar las respuestas con sus palabras. Como se sugiere en la lección 1, considere demostrar el vocabulario preciso reformulando las respuestas de sus estudiantes con términos matemáticos.

Si se inició un organizador gráfico en la lección 1, pida a sus estudiantes que agreguen detalles nuevos para el término traslación. Se espera que sus estudiantes incluyan información sobre un vector durante este segmento y características de una traslación cuando esa definición se presente más adelante en la lección.

¿Qué observan acerca de los vectores del diagrama?

Parecen flechas.

Un vector tiene puntos rotulados A y B. El otro vector tiene puntos rotulados C y D.

En un vector, el punto A es el punto de aplicación y el punto B es el extremo. ¿Cuáles son el punto de aplicación y el extremo del otro vector del diagrama?

D es el punto de aplicación y C es el extremo.

La longitud de un vector es la distancia desde el punto de aplicación hasta el extremo, o la longitud del segmento sobre el cual está ubicado. La longitud de un vector nos indica la distancia de una traslación. ¿Qué nos indica la punta de flecha?

La punta de flecha nos indica el sentido de una traslación.

¿Creen que el ⟶ DC es diferente del ⟶ CD ?

Sí, si las letras están en un orden diferente, el vector va en el sentido opuesto.

La notación que usamos para nombrar un vector es importante para comprender el sentido del vector. Trabajen con su pareja para completar los esquemas de oración. Incluyan cualquier información adicional de esta conversación que consideren importante.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 3 en parejas.

3. Completa los espacios de las oraciones.

Un vector es un segmento de recta orientado. Se muestran dos vectores.

A B C D

El sentido del ⟶ AB está determinado por el hecho de que comienza en el punto A y se extiende hasta finalizar en el punto B . Este sentido se muestra mediante una punta de flecha ubicada en el punto B .

La longitud de un vector es la longitud del segmento sobre el cual está ubicado.

Cuando la mayoría de sus estudiantes hayan terminado, confirme sus respuestas con toda la clase.

Aplicar traslaciones

La clase usa transparencias para aplicar traslaciones a lo largo de un vector dado.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Pídales que predigan la ubicación de la imagen del punto P.

¿Cómo podemos hallar con precisión la ubicación de la imagen del punto P?

Podemos usar el vector. Nos da el sentido y la distancia de la traslación.

Asegúrese de que cada estudiante tenga un marcador de borrado en seco, una transparencia y una herramienta de borde recto. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en su libro mientras usted demuestra cómo usar la transparencia como una herramienta para aplicar la traslación a lo largo del ⟶ AB . Cuando haya terminado la demostración, toda la clase debería tener identificada la imagen de P, que es el objetivo del problema 4. Use los siguientes planteamientos para la demostración:

1. La página de su libro representa un plano. Allí está marcado un punto P y el ⟶ AB .

2. Usen el borde de la transparencia para trazar una línea punteada que extienda el ⟶ AB en ambos sentidos. Esta es la ⟷ AB y se usará como guía.

3. Coloquen la transparencia encima de la página de su libro. Esta transparencia también representa el plano.

4. Usen el marcador para trazar el ⟶ AB y el punto P en la transparencia.

5. Mantengan la página en su lugar y muevan con cuidado la transparencia a lo largo del vector, desde el punto A hasta el punto B con la ⟷ AB como guía. Deténganse cuando el punto A en su transparencia esté encima del punto B de su libro.

6. Con una mano, mantengan la transparencia en su lugar y, con la otra, levanten una esquina de la transparencia para acceder a la página que está debajo. Transfieran la ubicación del punto P desde la transparencia a la página que está debajo. Rotulen el punto nuevo P ′ .

7. El punto P ′ es la imagen del punto P.

Nota para la enseñanza

Mire el video para el desarrollo profesional en la enseñanza, Herramientas para movimientos rígidos, para ver cómo se representa una traslación usando una transparencia.

Nota para la enseñanza

La línea punteada asegura que la transparencia no se rote erróneamente durante la traslación.

4. Marca y rotula la imagen del punto P al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ AB .

Para ayudar a sus estudiantes a resumir lo que aprendieron, haga las siguientes preguntas:

¿Por qué rotulamos el punto de la imagen distinto del punto original?

Rotulamos los puntos de manera diferente porque debemos tener claro qué punto es el original y cuál es la imagen. El signo prima indica que P ′ es la imagen de P.

La notación prima nos indica que estamos mirando una imagen. ¿Cómo describimos con precisión la traslación del problema 4?

Decimos que la traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el punto P a un punto P ′ .

Anime a sus estudiantes a complementar las respuestas de sus pares hasta alcanzar la descripción precisa: La traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el punto P a un punto P ′ .

Pida a sus estudiantes que completen el problema 5 de manera individual.

5. Traza y rotula la imagen del PQ al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ EF .

Cuando la mayoría haya terminado, use las preguntas y los planteamientos que siguen para iniciar una conversación sobre las propiedades de las traslaciones. Anime a sus estudiantes a complementar las respuestas de sus pares cuando corresponda.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando aplica traslaciones con vectores o describe traslaciones usando vectores.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿Qué significa el ⟶ EF en el problema 5?

• ¿Cómo usan el ⟶ EF en su trabajo?

• ¿En qué detalles es importante pensar cuando se aplica una traslación?

Ahora vemos un segmento y un vector en lugar de un punto y un vector. Dado que un segmento está formado por un conjunto de puntos, ¿tenemos que marcar cada punto en un segmento y, luego, aplicar la traslación como lo hicimos en el problema 4? ¿Por qué?

No. Podemos simplemente aplicar la traslación, marcar las imágenes de los extremos y, luego, conectarlas.

¿Cómo llamamos a la imagen del PQ ?

La imagen se llama P′Q′ .

Describan la relación entre el PQ y el P′Q′ usando el término traslación.

La traslación asigna el PQ al P′Q′ .

¿Qué observan acerca del PQ y el P′Q′ ?

Los segmentos tienen la misma longitud porque una traslación es un movimiento rígido.

Parecen ser paralelos.

La distancia entre cada punto en el PQ y entre cada punto en su imagen, el P′Q′ , es la misma después de la traslación. Entonces, el PQ y el P′Q′ deben ser paralelos.

Indique a sus estudiantes que completen los problemas 6 y 7 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y brinde apoyo, según sea necesario.

6. Considera el diagrama de las rectas secantes, ⟷ AB y ⟷ BC , y un vector, ⟶ GH . H

a. Traza y rotula las imágenes de las ⟷ AB y ⟷ BC a las que se les aplica una traslación a lo largo del ⟶ GH .

b. Describe algunas relaciones que observes entre la figura y su imagen en el diagrama. Puedes hacer comentarios sobre los ángulos o las rectas.

Una traslación a lo largo del ⟶ GH asigna el ∠ ABC al ∠ A′B ′C ′ .

El ∠ ABC y el ∠ A′B ′C ′ tienen la misma medida.

Los puntos A, B, A′ y B′ son colineales.

La ⟷ AB y la ← → A′B′ coinciden.

La ⟷ BC y la ⟷ B′C′ son paralelas.

La ⟷ AB y el ⟶ GH parecen ser paralelos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para incentivar el uso de lenguaje preciso, ofrezca el término colineal para describir puntos que están ubicados en la misma recta y el término coincidir para describir dos rectas que están ubicadas una encima de la otra.

Considere trazar una recta con los puntos A y B en la recta. Marque otro punto en la recta y rotúlelo C. Diga: “Los puntos A, B y C son colineales porque todos los puntos están ubicados en la misma recta”. Agregue otro punto en algún lugar en la recta y rotúlelo D. Diga: “La ⟷ AB y la ⟷ CD coinciden porque son la misma recta”.

Repita este tipo de apoyo a lo largo de la lección mientras sus estudiantes usen los términos colineal y coincidir.

7. Considera el diagrama del → IR y la figura MESA, que incluye el rectángulo MESA y un semicírculo con el diámetro ME .

a. Dibuja y rotula la imagen de la figura MESA a la que se le aplica una traslación a lo largo del → IR .

b. Describe algunas relaciones que observes entre la figura y su imagen en el diagrama. Puedes hacer comentarios sobre las partes correspondientes, que incluyen los lados correspondientes y los ángulos correspondientes.

Una traslación a lo largo del → IR asigna la figura MESA a la figura M′E′S ′A′

Las partes correspondientes se asignan entre sí. Por ejemplo, el ME se asigna al M′E′ y el ∠ASE se asigna al ∠A′S ′E′ .

Las partes correspondientes tienen la misma medida. Por ejemplo, las longitudes del ME y el M′E′ son iguales y las medida del ∠ASE y el ∠A′S ′E′ son iguales.

Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, guíe una conversación sobre sus respuestas.

En el problema 6, ¿qué observaron acerca de la relación entre la ⟷ BC y la ← → B′C′ ?

La ⟷ BC y la ← → B′C′ son paralelas.

¿Qué observaron acerca de la relación entre la ⟷ AB y la ← → A′B′ ?

La ⟷ AB y la ← → A′B′ coinciden.

¿Qué observaron acerca de la relación entre la ⟷ AB y el ⟶ GH ?

La ⟷ AB y el ⟶ GH parecen ser paralelos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Puede haber estudiantes que se beneficien de ejemplos correctos y ejemplos erróneos con la palabra correspondiente.

Los siguientes ejemplos son partes correspondientes:

• ME y M′E′

• ∠SEM y ∠S′E′M′

Los siguientes ejemplos no son partes correspondientes:

• ME y A′S′

• ∠ AME y ∠M′A′S′

Cuando se aplica una traslación, una recta y su imagen casi siempre son paralelas. Lo mismo sucede con los segmentos y las semirrectas. ¿Cuándo creen que una recta, una semirrecta o un segmento no son paralelos a su imagen?

Una recta, una semirrecta o un segmento no son paralelos a su imagen solo cuando la recta, la semirrecta o el segmento son paralelos al vector de la traslación. En ese caso, la figura y su imagen están ubicadas en la misma recta.

En el problema 7, ¿dibujar la imagen de la parte semicircular les resultó más fácil o más difícil que dibujar la imagen de la parte rectangular?

Fue más fácil dibujar la imagen de la parte rectangular que de la parte semicircular. Tuve que agregar algunos puntos en la curva de la figura original para dibujar con precisión la imagen.

Cuando dibujamos la imagen de una figura curva, tenemos que usar más puntos en la curva, no solo los vértices. Usar más puntos en la curva nos asegura que cada punto se asigna a la ubicación correcta.

¿En qué se parecen una figura y su imagen? ¿En qué se diferencian?

Las longitudes de los segmentos y las medidas angulares son iguales en una figura y su imagen.

Tanto una figura como su imagen usan los mismos rótulos en letras mayúsculas, pero son diferentes porque la imagen tiene signos prima en los rótulos.

¿Es una traslación un movimiento rígido? ¿Cómo lo saben?

Una traslación es un movimiento rígido porque la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. Entonces, las longitudes de los segmentos y las medidas angulares permanecen sin cambios cuando se aplica una traslación.

Una traslación es un movimiento rígido porque, junto con otras propiedades que observamos hoy, la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. Como resultado, las longitudes de los segmentos y las medidas angulares entre la figura y su imagen permanecen sin cambios cuando se aplica una traslación.

Propiedades de las traslaciones

La clase usa las propiedades de los movimientos rígidos para hacer enunciados sobre las traslaciones.

Pida a sus estudiantes que vayan al segmento Propiedades de las traslaciones en sus libros. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para animar a sus estudiantes a analizar las propiedades de las traslaciones y comentar sus ideas.

Dé a sus estudiantes tiempo para pensar en silencio y evaluar si cada enunciado de los problemas 8 a 12 es verdadero siempre, a veces o nunca. Considere pedirles que muestren los pulgares hacia arriba cuando terminen de reflexionar sobre todos los enunciados.

A medida que sus estudiantes completan los problemas 8 a 12, pídales que comenten su razonamiento sobre cada enunciado en parejas. Recorra el salón de clases mientras trabajan y brinde apoyo con el vocabulario, como traslación, asignar y movimiento rígido, según sea necesario. Identifique a algunas parejas de estudiantes que tengan opiniones diferentes sobre uno o más de los enunciados.

En los problemas 8 a 12, determina si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Usa tu razonamiento y da un ejemplo o un ejemplo erróneo de los problemas 4 a 7 para apoyar tu afirmación.

8. Una traslación cambia la longitud de un segmento.

Este enunciado nunca es verdadero. Una traslación es un movimiento rígido y la longitud de los segmentos se mantiene igual con los movimientos rígidos. En el problema 5, la longitud del PQ y la del P′Q′ son iguales.

9. Una traslación asigna una recta a una recta paralela.

Este enunciado a veces es verdadero. Una traslación mantiene igual la distancia entre cada punto de una figura y su imagen, pero las rectas a veces coinciden. En el problema 6, la ⟷ BC y la ← → B′C′ son paralelas, pero la ⟷ AB y la ← → A′B′ coinciden.

10. Una traslación asigna un ángulo a un ángulo de la misma medida.

Este enunciado siempre es verdadero. Una traslación es un movimiento rígido y las medidas angulares se mantienen iguales con los movimientos rígidos. En el problema 6, la medida del ∠ ABC y la medida del ∠ A′B ′C ′ son iguales.

11. Una traslación asigna una recta a una recta.

Este enunciado siempre es verdadero. Una traslación es un movimiento rígido. En el problema 6, la ⟷ BC se asigna a la ← → B′C′ .

12. Una traslación asigna rectas paralelas a rectas paralelas.

Este enunciado siempre es verdadero. Una traslación es un movimiento rígido y la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. En el problema 7, MA ‖ ES y ME ‖ AS en la figura original; entonces, M′A′ ‖ E′S′ y M′E′ ‖ A′S′ en la imagen.

Invite a quienes haya identificado en desacuerdo a que compartan su razonamiento. Pídales que proporcionen ejemplos correctos y ejemplos erróneos para apoyar su afirmación y, luego, invite al intercambio con la clase. Para concluir, llegue al consenso de que el enunciado es [siempre/a veces/nunca] verdadero [porque …].

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Aplicar traslaciones en el plano

Identificar las propiedades básicas de las traslaciones

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación breve. Pida a sus estudiantes que reformulen o desarrollen las respuestas de sus pares si es necesario.

¿Las traslaciones son movimientos rígidos? ¿Por qué?

Sí. Las traslaciones son movimientos rígidos porque mantienen igual la distancia entre dos puntos cualesquiera. Entonces, las longitudes de los segmentos y las medidas angulares permanecen sin cambios cuando se aplica una traslación.

¿Qué información necesitamos para aplicar traslaciones?

Para aplicar traslaciones, necesitamos el sentido y la distancia de la traslación, que están dados por un vector.

Pida a sus estudiantes que vayan al segmento Traslación en sus libros. Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para hacer una descripción informal del vocabulario nuevo. Se espera que las descripciones de sus estudiantes sean más cortas y menos formales que la definición proporcionada.

Un movimiento rígido: La traslación

Una traslación a lo largo del asigna una figura a su imagen.

nombre del vector

Ejemplo: Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna P a Pʹ .

Luego, pida a sus estudiantes que miren el diagrama y sigan el razonamiento mientras usted lee la definición y las características en voz alta. Considere hacer una pausa después de leer cada enunciado y animar a sus estudiantes a expresar cada característica con sus propias palabras.

Una traslación es un movimiento rígido a lo largo de un vector que asigna una figura a su imagen.

Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el punto P a un punto Pʹ con las siguientes características:

• La distancia de P a Pʹ es igual a la longitud del ⟶ AB .

• El sentido del ⟶ PP′ es el mismo que el sentido del ⟶ AB .

• Si P no está en la ⟷ AB , entonces la trayectoria de P a Pʹ es paralela al ⟶ AB .

• Si P está en la ⟷ AB , entonces Pʹ también está en la ⟷ AB .

Nota para la enseñanza

Considere mostrar el diagrama y señalar sus partes a medida que se refiere a cada característica.

Si sus estudiantes necesitan seguir el razonamiento, la definición, las características y las propiedades de las traslaciones se encuentran en la sección Resumen de esta lección.

¿Cómo se relacionan la definición formal y lo que ustedes y sus parejas describieron?

La definición formal es más precisa de lo que se nos ocurrió.

No dijimos que el punto P se asigna al punto P′ .

Para describir una traslación, se tiene que nombrar el vector. ¿Cuál es la descripción precisa de la traslación que se muestra en el diagrama?

Pida a sus estudiantes que usen el esquema de oración y el ejemplo para describir con precisión la traslación del diagrama.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Traslaciones

En esta lección:

• aplicamos traslaciones a lo largo de un vector para asignar una figura a su imagen;

• identificamos que, cuando se aplica una traslación:

▸ las rectas se asignan a rectas;

▸ los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud;

▸ los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida y

▸ las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

Ejemplos

1. Describe la traslación con lenguaje preciso.

La punta de flecha del ⟶ TW muestra un movimiento hacia abajo y hacia la izquierda.

Para asignar la figura A a la figura A′, el vector debe ir hacia arriba y hacia la derecha.

La punta de flecha del ⟶ X M muestra un movimiento hacia arriba y hacia la derecha.

Una traslación a lo largo del ⟶ X M asigna la figura A a la figura A′

Vocabulario

Un vector es un segmento de recta orientado. El sentido del ⟶ AB está determinado por el hecho de que comienza en el punto A y se extiende hasta finalizar en el punto B Este sentido se muestra mediante una punta de flecha ubicada en el punto B

Una traslación es un movimiento rígido a lo largo de un vector que asigna una figura a su imagen. Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el punto P a un punto P′ con las siguientes características:

• La distancia de P a P′ es igual a la longitud del ⟶ AB

• El sentido del ⟶ PP′ es el mismo que el sentido del ⟶ AB

• Si P no está en la ⟷ AB , entonces la trayectoria de P a P′ es paralela al ⟶ AB

• Si P está en la ⟷ AB , entonces P′ también está en la ⟷ AB A B P P

2. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABCD a la que se le aplica una traslación a lo largo del vector dado. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

• Extiende el ⟶ RS

• Traza el ⟶ RS y la figura ABCD en una transparencia.

2 pulgadas 53° 2 pulgadas 53°

• Desliza la transparencia a lo largo de la ⟷ RS hasta que el punto R se ubique sobre el punto S

• Levanta la transparencia para marcar las ubicaciones de los vértices de la imagen en la página y rotula los vértices.

• Usa una herramienta de borde recto para conectar los vértices de la imagen.

MATH

Nombre Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Una traslación a lo largo del ⟶ PQ asigna el punto A al punto A′

Una traslación a lo largo del → JE asigna el △ ABC al △ A′B′C′

En los problemas 5 a 10, traza y rotula la imagen de cada figura a la que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶

Una traslación a lo largo del ⟶ HD asigna la figura A a la figura A

Una traslación a lo largo del ⟶ XM asigna la figura A a la figura A′

En los problemas 11 y 12, traza y rotula la imagen de cada figura a la que se le aplica una traslación a lo largo del vector dado. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

13. Cuando se aplica una traslación a lo largo de un vector, ¿se intersecarán una figura y su imagen?

Si la longitud del vector es corta, entonces la figura y su imagen se pueden intersecar.

14. Cuando se aplica una traslación a lo largo de un vector, ¿la imagen A′B′ es siempre paralela al AB ?

Si el vector es paralelo al AB , entonces el A′B′ y el AB están ubicados en la misma recta. Para cualquier otro vector, el A′B′ será paralelo al AB

Recuerda

En los problemas 15 a 18, evalúa. 15. 5 + 1 3

19. ¿Cuál es la longitud de lado de un cuadrado con un área de 81 unidades cuadradas? 9 unidades

EUREKA MATH

20. Marca los puntos en el plano de coordenadas.

Reflexiones

Aplicar reflexiones en el plano

Identificar las propiedades básicas de las reflexiones

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes clasifican tarjetas con diagramas de traslaciones y otro movimiento rígido que no es una traslación. Reconocen el otro movimiento rígido como una reflexión y describen las propiedades que observan. Trabajan en parejas para mejorar la precisión en el lenguaje al describir traslaciones y reflexiones con esquemas de oración. Luego, usan una transparencia para aplicar reflexiones de manera independiente. En esta lección, se define formalmente el término reflexión.

Preguntas clave

• ¿Las reflexiones son movimientos rígidos? ¿Por qué?

• ¿Qué información necesitamos para aplicar reflexiones?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental. (8.G.A.1, 8.G.A.1.a, 8.G.A.1.b, 8.G.A.1.c)

Nombre

Fecha

BOLETO DE SALIDA

Dibuja y rotula

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• ¿Qué se necesita?

• Aplicar reflexiones

• Otro movimiento rígido: La reflexión

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• Tarjetas de traslación o reflexión (1 set)

• transparencia

Estudiantes

• Tarjetas de traslación o reflexión (1 set por pareja de estudiantes)

• transparencia

• notas adhesivas (2 por pareja de estudiantes)

• herramienta de borde recto

Preparación de la lección

• Haga copias de las Tarjetas de traslación o reflexión (en la edición para la enseñanza) y recórtelas. Prepare suficientes sets, 1 por pareja de estudiantes y 1 para mostrar durante la conversación.

Fluidez

Traslación

Sus estudiantes aplican una traslación en el plano como preparación para aplicar una reflexión en el plano.

Instrucciones: Considera el △ ABC. Aplica el movimiento rígido dado y responde las preguntas que siguen.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar la hoja extraíble de Traslación.

1. Dibuja y rotula la imagen del △ ABC al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ XY .

2. La medida del ∠ ABC es 45°.

¿Cuál es la medida del ∠ A′B′C′? 45°

3. La longitud del BC es 4 pulgadas.

¿Cuál es la longitud del B′C′ ?

4 pulgadas

Presentar

Sus estudiantes clasifican diagramas de movimientos rígidos en dos grupos.

Forme parejas de estudiantes y asegúrese de que cada estudiante tenga acceso a una transparencia y un marcador de borrado en seco. Distribuya un set de Tarjetas de traslación o reflexión a cada pareja. Dado que determinar el tipo de movimiento rígido aplicado en cada diagrama es parte de la actividad, no diga a sus estudiantes el nombre del set de tarjetas.

En cada tarjeta de su set, verán un diagrama. Con su pareja, analicen el diagrama de cada tarjeta y clasifiquen sus tarjetas en dos grupos.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y distribuya dos notas adhesivas a cada pareja. Haga las siguientes preguntas para guiar el razonamiento de sus estudiantes acerca de los grupos de tarjetas que clasificaron:

• ¿Pueden identificar la figura original y su imagen?

• ¿Les ayudan las ubicaciones de la figura original y de su imagen a clasificar las tarjetas?

• ¿Qué observan acerca de los puntos en la figura y los puntos en la imagen?

Cuando la mayoría haya clasificado las tarjetas en dos grupos, dé las siguientes instrucciones:

Ahora que han clasificado las tarjetas, usen una nota adhesiva para rotular cada grupo de tarjetas con una categoría.

Cuando las parejas hayan terminado, invite a sus estudiantes a recorrer el salón de clases en silencio para observar cómo otras parejas clasificaron y rotularon sus grupos de tarjetas. Luego, pídales que vuelvan a sus asientos.

Comenten sus observaciones con su pareja. Si quieren cambiar cómo clasificaron las tarjetas o cambiar la categoría, hagan esos cambios ahora.

Cuando las parejas estén listas, use el siguiente planteamiento para mostrar cómo clasificar las tarjetas según el movimiento rígido ejemplificado en la tarjeta. No muestre aún los encabezamientos que usaron los grupos.

Les mostraré cómo clasifiqué las tarjetas. Mis grupos de tarjetas podrían ser diferentes de los suyos. Dejen a un lado las tarjetas que ustedes y su pareja clasificaron de otra manera.

Muestre las tarjetas 1, 2, 4 y 8. Mantenga las tarjetas a la vista para que sus estudiantes puedan comprobar sus grupos de tarjetas y dejar a un lado las que clasificaron de manera diferente.

Repita este proceso para el segundo grupo de tarjetas, que contiene las tarjetas 3, 6, 7 y 9.

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

• Observen que no asigné la tarjeta 5 a ningún grupo. ¿Por qué creen que es así?

• ¿Qué tarjetas dejaron a un lado porque las clasificaron de otra manera?

• Miren las tarjetas del primer grupo. ¿Su categoría todavía las describe? De no ser así, tómense un momento para escribir un nuevo encabezamiento.

Invite a algunas parejas a compartir sus encabezamientos con la clase y a describir por qué es una descripción correcta de todos los diagramas de ese grupo de tarjetas. Guíe a la clase para llegar a un acuerdo sobre la posibilidad de rotular el primer grupo de tarjetas Traslaciones y el segundo grupo, Reflexiones.

Hoy, describiremos con precisión otro movimiento rígido: la reflexión.

Aprender

¿Qué se necesita?

La clase establece que se necesita una recta para aplicar una reflexión.

Para este segmento, pida a sus estudiantes que coloquen a un lado las tarjetas de traslación y que usen solo las tarjetas de reflexión, incluida la tarjeta 5.

Podemos usar movimientos rígidos para asignar una figura a otra. Trabajen en parejas y usen las tarjetas del grupo Reflexiones, su transparencia y otras herramientas para determinar qué se necesita para describir con precisión una reflexión.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y preste atención a la precisión que usan para describir una reflexión. Use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:

• ¿Cómo pueden hacer que la figura se asigne a la imagen?

• Si su pareja pudiera ver solo la figura, ¿qué descripción harían para ayudarle a dibujar la imagen?

• ¿Qué se necesita para describir con precisión una traslación? ¿Puede un vector ayudarles a describir con precisión una reflexión? De no ser así, ¿qué creen que podría ayudarles?

• Sin usar ninguna otra herramienta, ¿qué podrían hacer físicamente con la tarjeta para hacer coincidir la figura con su imagen? 25

Cuando la mayoría haya terminado o el esfuerzo ya no sea productivo, use cualquier tarjeta de reflexión para demostrar cómo doblar la tarjeta para que la figura se asigne a su imagen. Luego, pida a sus estudiantes que intenten doblar otra tarjeta de reflexión para asignar una figura a su imagen. Use las preguntas y el planteamiento que siguen para reflexionar sobre la actividad:

¿Están de acuerdo en que la figura se asigna a su imagen?

Sí, la figura está justo encima de la imagen cuando doblo la tarjeta.

Cuando desdoblan la tarjeta, ¿qué ven?

Veo un doblez en la tarjeta.

Veo una línea recta.

La recta que ven es lo que se necesita para describir con precisión una reflexión. En su tarjeta, usen una herramienta de borde recto para trazar una recta sobre el doblez. Luego, rotulen la recta ℓ. Trabajen con su pareja para escribir una descripción precisa de la reflexión en su tarjeta.

Después de que la mayoría haya terminado, invite a sus estudiantes a compartir sus descripciones con la clase. Guíe a la clase para llegar a un acuerdo sobre cómo describir mejor una reflexión.

Para describir con precisión una reflexión, necesitamos una recta sobre la cual aplicar la reflexión. Esta recta se llama eje de reflexión. Una reflexión sobre la recta ℓ asigna la figura a su imagen.

A continuación, usaremos una transparencia para dibujar una imagen a la que se le aplica una reflexión.

Aplicar reflexiones

La clase usa transparencias para aplicar reflexiones sobre una recta dada.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1. Pídales que hagan lo mismo en sus libros a medida que usted demuestra cómo usar la transparencia como una herramienta para aplicar una reflexión sobre la recta ℓ. Cuando haya terminado la demostración, toda la clase debería tener la imagen de la figura ABCD dibujada, que es el objetivo del problema 1. Use los siguientes planteamientos para la demostración:

1. La página de su libro representa un plano. Allí están dibujadas la figura ABCD y la recta ℓ.

2. Marquen un punto de referencia en la recta ℓ. Llamémoslo punto Q.

3. Coloquen la transparencia encima de la página de su libro. Esta transparencia también representa el plano.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Si se inició un organizador gráfico en la lección 1, pida a sus estudiantes que agreguen detalles nuevos para el término reflexión Se espera que sus estudiantes incluyan información sobre el eje de reflexión y otras características de una reflexión que hayan observado hasta ahora.

Diferenciación: Desafío

Si hay suficiente tiempo, en lugar de hacer una demostración para sus estudiantes, permítales experimentar con una transparencia para aplicar una reflexión. Invite a sus estudiantes a compartir sus estrategias con la clase.

4. Usen el marcador para trazar la recta ℓ y todos los puntos A, B, C, D y Q en la transparencia.

5. Mantengan la página en su lugar, den vuelta a la transparencia y vuelvan a colocarla sobre la página, de manera que la recta trazada y el punto Q en la transparencia coincidan con la recta real ℓ y el punto Q en la página.

6. Con una mano, mantengan la transparencia en su lugar y, con la otra, levanten una esquina de la transparencia para acceder a la página que está debajo. Transfieran la ubicación del punto A desde la transparencia a la página que está debajo. Rotulen el nuevo punto A′ . Repitan este proceso para los puntos B, C y D.

7. Usen una herramienta de borde recto para unir los puntos A′ , B ′ , C ′ y D ′ .

8. La figura A′B ′C ′D ′ es la imagen de la figura ABCD.

1. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABCD a la que se le aplica una reflexión sobre la recta ℓ.

Nota para la enseñanza

Mire el video para el desarrollo profesional en la enseñanza, Herramientas para movimientos rígidos, para ver cómo se representa una reflexión usando una transparencia.

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para animar a sus estudiantes a participar de una conversación sobre la reflexión:

Describan algunas de las relaciones que ven entre la figura ABCD y su imagen.

La reflexión sobre la recta ℓ asigna la figura ABCD a la figura A′B ′C ′D ′ .

Como una reflexión es un movimiento rígido, las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos correspondientes son iguales.

Imaginen que el perímetro de la figura ABCD es 24 unidades. ¿Qué pueden decirme acerca del perímetro de la figura A′B′C′D′? Expliquen.

El perímetro de la figura A′B ′C ′D ′ también es 24 unidades. Las reflexiones son movimientos rígidos, lo que significa que la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. Entonces, el perímetro de la figura ABCD y el de la figura A′B ′C ′D ′ es igual.

Imaginen que la medida del ∠ BCD es 72°. ¿Qué pueden decirme acerca de la medida del ∠ B′C′D′? ¿Por qué?

La medida del ∠ B ′C ′D ′ también es 72°. Las reflexiones son movimientos rígidos, lo que significa que las medidas angulares se mantienen iguales. Entonces, las medidas del ∠ BCD y del ∠ B ′C ′D ′ son iguales.

¿Por qué creen que les pedí que marcaran el punto Q en la recta ℓ?

Creo que fue para asegurarnos de alinear el eje de reflexión exactamente como se presenta.

Un punto de referencia nos permite identificar correctamente la ubicación de la imagen cuando se aplica una reflexión. Sin ese punto, podríamos mover accidentalmente la transparencia hacia arriba o hacia abajo sin darnos cuenta.

Al aplicar la reflexión, ¿se asignó a sí misma alguna de las figuras del diagrama?

Sí, la recta ℓ y el punto Q están en las mismas ubicaciones cuando se aplica la reflexión; entonces, esas figuras se asignaron a sí mismas.

Cuando se aplica una reflexión, el eje de reflexión y todos los puntos sobre el eje de reflexión siempre se asignan a sí mismos. En el problema 1, rotulen Q ′ la imagen del punto Q en el lado opuesto del eje de reflexión.

Nota para la enseñanza

No siempre es necesario rotular la imagen de un punto que está ubicado sobre un eje de reflexión, pero permite a sus estudiantes ver que estos puntos y sus imágenes siempre coinciden. Para que desarrollen buenos hábitos, anime a sus estudiantes a rotular siempre la imagen de un punto, incluso cuando coincide con el punto original.

En Geometría, la notación prima se usa con la notación de funciones. Por ejemplo, si una reflexión se representa con la notación de funciones r1, entonces un punto A que coincide con su imagen se representa como r1(A) = Aʹ .

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 2 a 5 de manera individual. Anime a quienes terminen antes a comparar las imágenes con otra persona.

2. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABCDE a la que se le aplica una reflexión sobre la ⟷ GH .

3. Dibuja y rotula la imagen de la figura AB a la que se le aplica una reflexión sobre la recta ℓ

4.

del △ ACE al que se le aplica una reflexión sobre la ⟷ RS .

5.

y rotula la imagen de la figura SEDA a la que se le aplica una reflexión sobre la recta ℓ.

Dibuja y rotula la imagen

Dibuja

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para comentar las reflexiones:

Cada figura está formada por muchos puntos. Cuando copiamos los segmentos y las curvas de la transparencia al papel, ¿tenemos que marcar cada punto de manera individual? Expliquen.

No. Podemos marcar los extremos de los segmentos y, luego, usar una herramienta de borde recto para conectarlos. Si la figura tiene curvas, tenemos que usar algo más que solo los extremos para dibujar una imagen precisa.

Vuelvan al problema 2. Usen una herramienta de borde recto para crear el CC′ . ¿Qué observan?

La recta ℓ y el CC′ parecen encontrarse en un ángulo recto.

Parece que el punto C y el punto C′ están a la misma distancia de la recta ℓ.

La recta ��, que es el eje de reflexión, y el CC′ parecen ser perpendiculares. Los puntos C y C ′ parecen estar a igual distancia de la recta ℓ. Podemos comprobar si esto es verdadero para otro conjunto de puntos.

Forme parejas de estudiantes y pídales que conecten otro punto con su imagen para crear un segmento. Pídales que conversen con su pareja acerca de si la conclusión sigue siendo verdadera. Pídales que hagan lo mismo con otra reflexión de los problemas de Aplicar reflexiones en sus libros. Para concluir, haga las siguientes preguntas e invite a sus estudiantes a mostrar a la clase su trabajo en diferentes problemas:

• En el problema adicional que eligieron, ¿el segmento que conecta un punto y su imagen todavía parece perpendicular al eje de reflexión?

• ¿Parece la distancia entre el punto y el eje de reflexión ser igual a la distancia entre su imagen y el eje de reflexión?

Otro movimiento rígido: La reflexión

Sus estudiantes definen reflexiones e identifican sus propiedades.

Pida a sus estudiantes que vayan al segmento Otro movimiento rígido: La reflexión en sus libros. Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para hacer una descripción informal del vocabulario nuevo. Se espera que las descripciones de sus estudiantes sean más cortas y menos formales que la definición proporcionada.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cuando dibujen de manera repetida las imágenes de figuras a las que se les aplica una reflexión, sus estudiantes observarán determinados patrones. Observarán que un punto y su imagen están a igual distancia del eje de reflexión. También reconocerán que una recta que contiene un punto y su imagen es perpendicular al eje de reflexión. Este trabajo ayuda a sus estudiantes a reconocer y expresar regularidad en la lógica de la repetición (MP8).

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿En qué se parece la manera en que dibujan la imagen de cada figura a la que se le aplica una reflexión?

• ¿Qué patrones observan cuando conectan los puntos de una figura con sus imágenes?

Una reflexión sobre la asigna una figura a su imagen. nombre de la recta

Ejemplo: Una reflexión sobre la recta ℓ asigna P a P ′ .

Luego, pida a sus estudiantes que miren el diagrama y sigan el razonamiento mientras usted lee la definición y las características en voz alta. Considere hacer una pausa después de leer cada enunciado y pedir a sus estudiantes que expresen cada característica con sus palabras.

Una reflexión es un movimiento rígido sobre una recta, llamada eje de reflexión, que asigna una figura a su imagen.

Una reflexión sobre la recta ℓ asigna el punto P a un punto P ′ con las siguientes características:

• P y P ′ están en lados opuestos de ℓ.

• La distancia de P a ℓ es igual a la distancia de P ′ a ℓ.

• Una recta que pasa por P y P ′ es perpendicular a ℓ.

• Si P está sobre el eje de reflexión, entonces P y P ′ son el mismo punto.

¿Cómo se relacionan la definición formal y lo que ustedes describieron?

Tengo el eje de reflexión en mi descripción, pero omití muchos detalles.

Nota para la enseñanza

Considere mostrar el diagrama y señalar sus partes a medida que se refiere a cada característica.

Si sus estudiantes necesitan leer junto con usted la definición, las características y las propiedades de las reflexiones, estas se encuentran en la sección Resumen de esta lección.

Para describir una reflexión, es necesario nombrar el eje de reflexión. ¿Cuál es la descripción precisa de la reflexión que se muestra en el diagrama?

Use el esquema de oración y el ejemplo para describir con precisión la reflexión del diagrama.

En la última lección, identificamos varias propiedades de las traslaciones. ¿Creen que esas mismas propiedades se aplican a las reflexiones? Expliquen.

Sí. Como las reflexiones son otro tipo de movimiento rígido, tiene sentido que las reflexiones tengan las mismas propiedades que las traslaciones.

Diga los siguientes enunciados uno inmediatamente después de otro. Pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba si están de acuerdo y los pulgares hacia abajo si están en desacuerdo. Haga una pausa para comentar las propiedades que obtengan diferentes señales.

• Las rectas se asignan a rectas.

• Los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud.

• Los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida.

• Las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Aplicar reflexiones en el plano

Identificar las propiedades básicas de las reflexiones

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿Las reflexiones son movimientos rígidos? ¿Por qué?

Sí, las reflexiones son movimientos rígidos porque la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual

¿Qué información necesitamos para aplicar reflexiones? ¿Existe una estrategia para asegurarnos de que aplicamos las reflexiones con precisión?

Para aplicar reflexiones, necesitamos conocer el eje de reflexión. Podemos marcar un punto sobre el eje de reflexión. Luego, cuando damos vuelta a la transparencia, podemos asignar la recta y el punto a sí mismos. De esa manera, podemos saber con certeza que hemos aplicado la reflexión con precisión.

¿Cuáles son algunas semejanzas entre las traslaciones y las reflexiones?

Tanto las traslaciones como las reflexiones son movimientos rígidos; entonces, la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. Por esta razón, la longitud de los segmentos y las medidas angulares se mantienen iguales cuando se aplica una traslación o una reflexión.

Usamos la notación prima para rotular puntos en las imágenes, tanto para las traslaciones como para las reflexiones.

¿Cuáles son las diferencias entre aplicar una traslación y aplicar una reflexión?

Necesitamos un vector para una traslación y un eje de reflexión para una reflexión.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Reflexiones

En esta lección:

• aplicamos reflexiones sobre una recta para asignar una figura a su imagen;

• identificamos que, cuando se aplica una reflexión:

▸ las rectas se asignan a rectas;

▸ los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud;

▸ los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida y

▸ las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

Ejemplos

1. Describe la reflexión que se muestra en el diagrama con lenguaje preciso.

Dado que están sobre el eje de reflexión, los puntos A y R están en la misma ubicación cuando se aplica una reflexión. Por lo tanto, tienen dos rótulos.

Una reflexión sobre la recta �� asigna la figura VOLTE a la figura V′O′L′T′E′, el punto A al punto A′ y el punto R al punto R′

Vocabulario

Una reflexión es un movimiento rígido sobre la recta ��, llamada eje de reflexión, que asigna una figura a su imagen. Una reflexión sobre la recta �� asigna el punto P a un punto P′ con las siguientes características:

• P y P′ están en lados opuestos de ��

• La distancia de P a la recta �� es igual a la distancia de P′ a ��

• Una recta que pasa por P y P′ es perpendicular a ��

• Si P está sobre el eje de reflexión, entonces P y P′ son el mismo punto.

2. Dibuja y rotula la imagen del △ PQR al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

• Marca y rotula un punto O en la recta ��

• Traza la recta ��, el punto O en la recta �� y el △ PQR en una transparencia.

• Da vuelta a la transparencia.

• Alinea el punto O y la recta ��

• Levanta la transparencia para marcar las ubicaciones de los vértices de la imagen en la página y rotula los vértices.

• Usa una herramienta de borde recto para conectar los vértices de la imagen.

EUREKA MATH

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

En los problemas 7 a 9, describe la reflexión que asigna la figura a la imagen dada.

reflexión sobre la recta

10. En el diagrama, se muestra una reflexión sobre la recta ��

4 unidades Figura

3 unidades

reflexión

asigna

Una reflexión sobre la recta �� asigna el AB al A′B

Figura G 3 unidades

𝓁 4 unidades

a. Completa los recuadros con los rótulos que faltan.

b. Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas del diagrama.

c. ¿Cuál es la medida del ∠IJK ? ¿Y del ∠KIJ ? ¿Y del ∠ ABC ? ¿Cómo lo sabes?

m∠IJK = 58°, m∠KIJ = 32° m∠ ABC = 150°. Las medidas angulares se mantienen iguales cuando se aplican reflexiones.

d. ¿Cuál es la longitud de la imagen del FH y la longitud del IK ? ¿Cómo lo sabes?

La longitud del F′H′ es 4 unidades y la longitud del IK es 3 unidades. La longitud de los segmentos se mantiene igual cuando se aplican reflexiones.

e. ¿Cuál es la ubicación de la imagen del punto D cuando se aplica una reflexión sobre la recta �� ? Explica.

El punto D y su imagen D ′ están en la misma ubicación. El punto D se asigna a sí mismo porque está sobre el eje de reflexión. La imagen de cualquier punto sobre el eje de reflexión permanecerá en la misma ubicación que el punto original.

EUREKA MATH

11. Describe el movimiento rígido que asigna el círculo C al círculo C ′. ¿Cómo lo sabes?

16. Las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 8 unidades y 10 unidades. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?

√164 unidades

Una reflexión sobre la recta �� asigna el círculo C al círculo C ′. Sé que este movimiento rígido es un reflexión porque los puntos D y D ′ están a la misma distancia de la recta ��. Además, una recta que pasa por los puntos D y D ′ es perpendicular a la recta ��

Recuerda

En los problemas 12 a 15, evalúa.

125° (x + 10)° 80°

17. En el diagrama dado, dos rectas se encuentran en un punto que también es el extremo de una semirrecta. FB A E D C

a. ¿Qué relación entre ángulos te ayudaría a hallar el valor de x ?

El ∠ AFB y el ∠ EFC son ángulos verticales.

b. Determina la medida del ∠ EFD. 45°

EUREKA MATH

Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

Aplicar traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

Usar coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una traslación o una reflexión

Vistazo a la lección

1. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura ABCDE a la que se le aplica una traslación de 7 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia arriba.

2. Representa gráficamente y rotula la imagen del △JKL al que se le aplica una reflexión sobre el eje y

En esta lección digital, sus estudiantes usan su comprensión de las traslaciones y reflexiones para explorar ambos movimientos rígidos en el plano de coordenadas. Usan un plano de coordenadas como una herramienta para describir una traslación, de manera similar a un vector en el plano. Luego, amplían su estudio al analizar y describir con precisión las reflexiones antes de identificar las propiedades tanto de las traslaciones como de las reflexiones.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

Preguntas clave

• ¿En qué se parecen las traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas a las traslaciones y reflexiones sin el plano de coordenadas?

• ¿Por qué es útil el plano de coordenadas para describir una traslación o una reflexión de forma precisa?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA4 Usan coordenadas para describir el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales en el plano. (8.G.A.3)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min D

Aprender 20 min D

• Traslaciones en el plano de coordenadas

• Reflexiones en el plano de coordenadas

Concluir 15 min D

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Marcar puntos en los cuatro cuadrantes

La clase marca puntos de coordenadas en los cuatro cuadrantes como preparación para aplicar una traslación o una reflexión en el plano de coordenadas.

Instrucciones: Marca los puntos en el plano de coordenadas.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar la hoja extraíble de Plano de coordenadas.

1. (4, 0)

2. ( 4, 0)

3. (4, −3)

4. ( 4, 3)

5. (4, 3)

6. (8, 0)

Presentar

La clase intenta describir una traslación con precisión.

Al inicio de la lección, sus estudiantes describen una traslación de una figura usando un vector. Luego, usan el plano de coordenadas como una herramienta para describir la traslación.

Descubren que la descripción de la traslación en el plano de coordenadas coincide con el sentido del vector que se usa en la traslación.

Si una compañera o un compañero no pudiera ver su vector, ¿qué necesitarían para describir su traslación?

Necesitaría describir la longitud y el sentido exactos.

Si ubican la figura y su imagen en el plano de coordenadas, ¿cómo podrían describir la traslación?

En un plano de coordenadas, podría usar unidades para la longitud y frases como hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha y hacia la izquierda para el sentido.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando describe su traslación, de manera que otros la puedan replicar.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• Cuando se describe un movimiento rígido, ¿qué pasos siguen para asegurarse de que la descripción sea precisa?

• ¿Qué detalles es importante tener en cuenta cuando pensamos en este trabajo?

Aprender

Traslaciones en el plano de coordenadas

La clase usa el plano de coordenadas para describir la ubicación de la imagen de una figura cuando se aplica una traslación.

Al comienzo de la actividad, sus estudiantes examinan una figura y su imagen y determinan si la descripción dada de una traslación se representa con precisión. Luego, usan el plano de coordenadas para representar gráficamente una imagen cuando se dan una figura y una descripción de una traslación.

Reflexiones en el plano de coordenadas

La clase usa coordenadas para describir la ubicación de la imagen de una figura cuando se aplica una reflexión.

Al comienzo de la actividad, sus estudiantes deciden si mostrarán un plano de coordenadas al ubicar un eje de reflexión entre una figura y su imagen. Luego, analizan una reflexión incorrecta comparando una figura y su imagen en el plano de coordenadas con una descripción dada. Determinan por qué la reflexión es incorrecta y cambian la ubicación de la imagen según corresponda. Después de ver los cambios que realiza el resto de la clase en la ubicación de la imagen, sus estudiantes aplican otra reflexión y comentan los patrones que observan entre las coordenadas de la figura y su imagen.

¿Cómo influye una reflexión sobre el eje y en las coordenadas y de los vértices de la figura?

Para una reflexión sobre el eje y, el cambio en la ubicación de la figura es solo horizontal; entonces, las coordenadas y no cambian.

DUA: Representación

En esta lección digital, se aborda el principio de Representación de DUA, dado que se incluye lo siguiente:

• Soportes que relacionan la información nueva con los conocimientos previos: Se presentan a sus estudiantes las traslaciones y reflexiones en el plano para relacionar la experiencia previa sobre la aplicación de traslaciones y reflexiones con aplicaciones en el plano de coordenadas.

• Oportunidades para aplicar el aprendizaje a nuevas situaciones: Sus estudiantes crean sus propias traslaciones y reflexiones únicas y las representan de varias maneras.

Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

Traslaciones en el plano de coordenadas

¿Cómo influye una reflexión sobre el eje y en las coordenadas x de los vértices de la figura?

Los vértices de la imagen deben estar a la misma distancia del eje y que los vértices de la figura; entonces, las coordenadas x de la imagen son opuestas a las coordenadas x de la figura

Concluir

Reflexión final 10 min

Objetivos: Aplicar traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

Usar coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una traslación o una reflexión

Pida a sus estudiantes que completen la actividad final en la plataforma digital. A continuación, comente los patrones y conceptos erróneos con toda la clase. Use las preguntas que siguen para hacer una reflexión final sobre la lección:

¿Cómo podemos usar el plano de coordenadas como una herramienta que nos ayude cuando aplicamos traslaciones?

En el plano de coordenadas, podemos contar el número de unidades desde los puntos de la figura hasta los puntos de la imagen de acuerdo con la descripción.

¿Cómo podemos usar el plano de coordenadas como una herramienta que nos ayude cuando aplicamos reflexiones?

En el plano de coordenadas, podemos contar el número de unidades desde el eje de reflexión hasta los puntos de la figura. Luego, podemos marcar los puntos de la imagen para el mismo número de unidades en el lado opuesto del eje de reflexión.

¿En qué se parecen las traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas a las traslaciones y reflexiones sin el plano de coordenadas?

La imagen es la misma con o sin el plano de coordenadas.

Las propiedades de las traslaciones y reflexiones son las mismas con o sin el plano de coordenadas. La distancia entre dos puntos se mantiene igual, y las medidas angulares se mantienen iguales.

La imagen de una figura, cuando se aplica una traslación, termina en la misma ubicación con o sin el plano de coordenadas, aunque la descripción de cómo la imagen llega a esa ubicación es diferente. Lo mismo es verdadero para la imagen de una figura cuando se aplica una reflexión.

¿Por qué es útil el plano de coordenadas para describir una traslación o una reflexión de forma precisa?

Como el plano de coordenadas tiene las líneas de la cuadrícula, podemos usar números de unidades y frases que indican sentido, como hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha y hacia la izquierda para describir la distancia y el sentido de una traslación.

En el plano de coordenadas, podemos usar los ejes x y y como ejes de reflexión.

Boleto

de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas

En esta lección:

• aplicamos traslaciones y reflexiones en el plano de coordenadas;

• usamos coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una traslación o una reflexión.

Ejemplos

1. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura JKLM a la que se le aplica una traslación de 6 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la derecha.

2. Representa gráficamente y rotula la imagen del △ ABC al que se le aplica una reflexión sobre el eje x

El punto A está sobre el eje de reflexión; entonces, se asigna al punto A′ en la misma ubicación.

7 unidades

7 unidades

Cada punto del triángulo se asigna a un punto que está a la misma distancia del eje de reflexión: el eje x

Cada punto de la figura se asigna a un punto de su imagen que está 6 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la derecha.

Great Minds

Nombre

Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

PRÁCTICA 4

En los problemas 1 a 4, representa gráficamente y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica la traslación dada.

1. 6 unidades hacia la derecha

5. Considera los cuadriláteros ABCD, EFGH e IJKL

3. 2 unidades hacia la izquierda y 5 unidades hacia arriba

4 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha

a. ¿Qué figura es la imagen del cuadrilátero ABCD al que se le aplica una traslación? Describe la traslación.

El cuadrilátero IJKL

Una traslación de 10 unidades hacia abajo asigna el cuadrilátero ABCD al cuadrilátero IJKL

b. ¿Qué figura es la imagen del cuadrilátero ABCD al que se le aplica una reflexión? Describe la reflexión.

El cuadrilátero EFGH

Una reflexión sobre el eje y asigna el cuadrilátero ABCD al cuadrilátero EFGH

En los problemas 6 a 9, representa gráficamente y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica una reflexión sobre la recta dada.

6. eje x

8. eje y

10. El punto A′(7, 9) es la imagen del punto A(2, 2) al que se le aplica una traslación. ¿Cuál de las siguientes opciones describe la traslación?

A. 5 unidades hacia abajo y 11 unidades hacia la derecha

B. 5 unidades hacia la izquierda y 11 unidades hacia arriba

C. 5 unidades hacia la derecha y 11 unidades hacia abajo

D. 5 unidades hacia arriba y 11 unidades hacia la izquierda

11. Determina si el siguiente enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Explica tu razonamiento.

Cuando se aplica una reflexión sobre el eje x la imagen del punto (x, y) tiene las coordenadas (x, y)

El enunciado siempre es verdadero. Cuando se aplica una reflexión sobre el eje x, la coordenada y de la imagen de un punto es el opuesto de la coordenada y del punto. Las coordenadas x se mantienen iguales. Por ejemplo, cuando se aplica una reflexión sobre el eje x, la imagen del punto (3, 2) tiene las coordenadas (3, 2)

Recuerda

En los problemas 12 a 15, evalúa.

EUREKA MATH2

MATH

16. Si la longitud del CD es 5 unidades, ¿cuál es la longitud del C′D′ al que se le aplica una traslación?

5 unidades

17. Si la medida del ∠ EBA es 75°, ¿cuál es la medida del ∠ E′B′A′ al que se le aplica una rotación?

75°

18. Los vértices de un triángulo están ubicados en ( 4, 3) ( 4, 7) y (3, 7). Marca y rotula los vértices. Luego, dibuja el triángulo.

(–4, 7) (–4, –3) (3, 7)

Considera la figura ABC y el punto O

Rotaciones

Aplicar rotaciones en el plano

Identificar las propiedades básicas de las rotaciones

unidades

unidades

a. Dibuja y rotula la imagen de la figura ABC a la que se le aplica una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O.

b. Incluye las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

c. ¿Cómo sabes que tus medidas de la imagen de la figura A′B′C′ son correctas?

Una rotación es un movimiento rígido, así que la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. Como resultado, la longitud de los segmentos y las medidas angulares se mantienen iguales cuando se aplica una rotación.

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes se basan en el trabajo previo con círculos para desarrollar una comprensión intuitiva de la rotación como un movimiento rígido. Al intentar describir una rotación, desarrollan de manera natural la necesidad de contar con un lenguaje preciso para las rotaciones. Usan transparencias para aplicar rotaciones e identifican sus propiedades básicas. En esta lección, se define formalmente el término rotación.

Preguntas clave

• ¿Las rotaciones son movimientos rígidos? ¿Por qué?

• ¿Qué información necesitamos para aplicar rotaciones?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental. (8.G.A.1, 8.G.A.1.a, 8.G.A.1.b, 8.G.A.1.c)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• Aplicar rotaciones

• Un tercer movimiento rígido: La rotación

• ¿Reflexión o rotación?

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• herramienta de borde recto

• transparencia

Estudiantes

• transportador de 6”

• herramienta de borde recto

• transparencia

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Trazar ángulos

La clase traza ángulos de referencia como preparación para aplicar rotaciones en el plano.

Instrucciones: Usa la información para dibujar una única figura que contenga todos los ángulos.

1. El ∠ ABC que mide 180°.

2. El ∠DBC que mide 90°. 3. El ∠EBC que mide 45°. 4. El ∠ ABF que mide 45°.

Presentar

La clase desarrolla la comprensión de las rotaciones.

Cada estudiante necesita su propia transparencia y un marcador de borrado en seco. Pida a sus estudiantes que completen el problema 1 de manera individual. Si preguntan en qué sentido o cuánto deben girar la transparencia, dígales que es su elección.

1. Dibuja y rotula la imagen del OP al que se le aplica una rotación alrededor del punto O.

Ejemplo:

Una vez que la mayoría haya terminado o el esfuerzo ya no sea productivo, demuestre el uso de la transparencia como una herramienta para aplicar la rotación. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo que usted con sus transparencias, según sea necesario. Use las siguientes indicaciones:

1. La página de su libro representa un plano. Allí está trazado el OP .

2. Coloquen la transparencia encima de la página de su libro. Esta transparencia también representa el plano.

Nota para la enseñanza

Si hay suficiente tiempo, en lugar de hacer una demostración para la clase, invite a sus estudiantes a compartir con la clase sus estrategias de cómo usar una transparencia para aplicar una rotación.

3. Usen el marcador para marcar los puntos P y O en la transparencia.

4. Mantengan la página en su lugar y roten la transparencia asegurándose de que el punto trazado O en la transparencia y el punto O en la página coincidan. (Nota: En la demostración para la clase, aplique una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj, pero pida a sus estudiantes que apliquen la rotación que deseen en sus libros).

5. Con una mano, mantengan la transparencia en su lugar y, con la otra, levanten una esquina de la transparencia para acceder a la página que está debajo. Transfieran la ubicación de los puntos O y P de la transparencia a la página que está debajo. Rotulen los nuevos puntos O′ y P′ .

6. Usen una herramienta de borde recto para conectar los puntos O′ y P′ .

7. Esto crea el O′P′ , que es la imagen del OP .

Una vez que sus estudiantes completen su trabajo, pídales que describan su rotación a un compañero o una compañera sin mostrársela. Cuando cada integrante de la pareja haya tenido su turno, use las siguientes preguntas a fin de resaltar la necesidad de usar lenguaje específico para describir las rotaciones.

Según su descripción, ¿creen que su pareja podría recrear su rotación de manera exacta sin verla? ¿Por qué?

¿Qué detalles específicos sobre su rotación intentaron comunicar a su pareja?

Es probable que en las respuestas se mencionen los detalles que siguen. Si sus estudiantes no los mencionan, ofrezca estas sugerencias para que describan sus rotaciones:

• el sentido de la rotación;

• la cantidad de rotación;

• lo que parece permanecer fijo (cualquier punto y su imagen en la misma ubicación);

• lo que parece cambiar (cualquier punto y su imagen en ubicaciones diferentes).

Hoy, aprenderemos qué se necesita para aplicar rotaciones y describirlas de manera precisa.

Nota para la enseñanza

Mire el video para el desarrollo profesional en la enseñanza, Herramientas para movimientos rígidos, para ver cómo se representa una rotación con una transparencia.

DUA: Representación

Usar una transparencia para representar el plano para las rotaciones promueve la comprensión conceptual de la rotación al reforzar que una rotación se aplica en el plano y que transporta consigo todos los puntos en el plano.

Nota para la enseñanza

Si sus estudiantes reconocen que necesitan una medida angular para la rotación, celebre este detalle preciso. Harán referencia al número de grados de una rotación más adelante en la lección.

Aprender

Aplicar rotaciones

La clase aplica rotaciones y las describe de manera precisa.

Use la pregunta y la actividad que siguen para animar a sus estudiantes a descubrir qué se necesita para describir una rotación de manera precisa:

¿Cómo podemos describir con precisión el sentido de una rotación?

Podemos decir en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Un concepto erróneo común para describir el sentido es decir “derecha” o “izquierda”. Si sus estudiantes usan estas palabras, use unos minutos para comentar por qué los términos derecha e izquierda podrían resultar confusos. Pídales que participen en la siguiente actividad:

• Pida a sus estudiantes que se sienten frente a un compañero o una compañera. Coloque una transparencia entre las personas de la pareja que tenga trazado el OP del problema 1. Las dos personas deben ubicarse en los extremos opuestos del segmento.

• Luego, pida a una persona de la pareja que ponga un dedo en el punto O y que rote la transparencia en cualquier sentido alrededor de ese dedo. Pida a cada persona que indique si se aplicó una rotación hacia la izquierda o una rotación hacia la derecha. Las respuestas deben ser opuestas entre sí.

• A continuación, pida a cada persona de la pareja que indique si se aplicó una rotación en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. Las respuestas deben coincidir.

¿Cómo podemos describir con precisión la cantidad de rotación?

Aunque sus estudiantes tal vez no puedan responder esto todavía, probablemente tengan un sentido intuitivo de cómo describir la cantidad de rotación.

¿Cuáles son algunas palabras que podemos usar para describir cuánto rota algo?

Podemos decir un giro completo, un giro de un medio, un giro de un cuarto o un giro de tres cuartos.

¿Un giro de un medio es un medio de qué? ¿Un giro de un cuarto es un cuarto de qué? ¿Un giro de tres cuartos es tres cuartos de qué?

Un giro completo es como un círculo; entonces, un giro de un medio es la mitad de un círculo, un giro de un cuarto es un cuarto de un círculo y un giro de tres cuartos es tres cuartos de un círculo.

Guíe la conversación para describir los giros usando las medidas de los ángulos.

¿Cuántos grados hay en un círculo?

360°

Entonces, ¿cuántos grados hay en un giro completo? ¿Y en un giro de un medio? ¿Y en un giro de un cuarto? ¿Y en un giro de tres cuartos?

360°, 180°, 90°, 270°

Sin embargo, no todas las rotaciones son giros completos, de un medio, de un cuarto o de tres cuartos.

Pida a sus estudiantes que vuelvan al problema 1.

El segmento original y su imagen forman el ∠ POP′. ¿Cuál es la medida del ∠ POP′?

Asegúrese de que cada estudiante tenga y use su transportador para medir el ángulo de rotación del problema 1 y rotule la medida angular del problema 1.

Ahora tenemos una manera de describir el sentido y la cantidad de rotación. En el problema 1, les pedí que aplicaran una rotación alrededor del punto O. ¿Qué creen que significa aplicar una rotación alrededor del punto O?

Creo que significa que el punto O se mantiene inmóvil mientras todo se mueve a su alrededor.

¿Qué observaron acerca de la imagen del punto O cuando se aplica la rotación?

Observé que el punto O y su imagen son el mismo punto.

El punto O es el centro de rotación. Dado que permanece fijo, el punto O y su imagen, el punto O′, son el mismo punto. ¿Creen que el centro de rotación O y su imagen O ′ son siempre el mismo punto? Expliquen.

Sí. En el problema 1, me aseguré de que el punto trazado O en la transparencia y el punto O en la página coincidieran al aplicar la rotación.

Para aplicar correctamente una rotación, el centro de rotación debe permanecer fijo. Eso significa que el centro O y su imagen O′ son siempre el mismo punto. Por esta razón, no necesitamos rotular el punto de la imagen del centro.

Hemos identificado tres datos necesarios para describir con precisión una rotación: el número de grados, el sentido y el punto fijo, o centro, de rotación. Por ejemplo, describiría de manera precisa mi rotación del problema 1 con esta oración: Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O asigna el OP al OP′ .

Considere exhibir el siguiente esquema de oración en el salón de clases para que sus estudiantes usen de referencia:

Una rotación de alrededor del asigna una figura a su imagen.

número de grados sentido centro de rotación

Trabajen en parejas y describan con precisión su rotación del problema 1 con estos tres detalles.

Cuando ambas personas hayan dicho su descripción, invite a diferentes estudiantes a compartir sus descripciones con la clase.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 2 y 3 en parejas, pero indíqueles que cada persona trabaje con su transparencia. Recorra el salón de clases para asegurarse de que sus estudiantes tracen el punto central y mantengan su ubicación fija mientras aplican cada rotación. Si necesitan apoyo para comenzar, considere guiarlos por los pasos para aplicar una rotación con una transparencia.

En los problemas 2 y 3, dibuja y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica la rotación dada alrededor del punto O.

2. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

Nota para la enseñanza

Dado que el objetivo del trabajo con movimientos rígidos en 8.o grado es de exploración, no se espera que sus estudiantes midan los ángulos de una rotación con un transportador más allá del problema 1. Se proporcionan los ángulos de rotación en los problemas del resto de la lección para dar a la clase una medida angular concreta con la cual trabajar.

Para facilitar la aplicación de las rotaciones, la mayoría de los ángulos de rotación de esta lección son múltiplos de 90°. Sin embargo, es importante que sus estudiantes comprendan que un ángulo de rotación puede tener cualquier medida. El trabajo que hacen en el problema 1, donde cada estudiante aplica una rotación con un número diferente de grados, es un excelente lugar para comenzar esa conversación.

Diferenciación: Apoyo

Para brindar apoyo a quienes necesiten ayuda para determinar cuánto es una rotación de 90° o de 180°, considere proporcionar las siguientes descripciones alternativas:

• 90°: Roten la transparencia hasta el punto medio de dejarla bocabajo.

• 180°: Roten la transparencia hasta que quede bocabajo.

Haga énfasis en la palabra rotar, de manera que sus estudiantes comprendan que el hecho de que la transparencia quede bocabajo se logra al girarla, no al darla vuelta.

3. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Cuando la mayoría haya terminado, use las siguientes preguntas para reflexionar sobre los problemas 2 y 3:

¿En qué se parecen los problemas 2 y 3 al problema 1?

Se parecen porque todos son rotaciones. Además, el problema 1 y el problema 2 tienen segmentos.

¿En qué se diferencian los problemas 2 y 3 del problema 1?

Son diferentes porque el centro de rotación en el problema 1 es parte de la figura, pero el centro de rotación en los problemas 2 y 3 no es parte de la figura.

Anime a sus estudiantes a que reflexionen un poco más sobre la relación entre el sentido y las rotaciones de 180°. Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta:

¿Importa el sentido en la rotación de 180° del problema 3? ¿Por qué?

Anime a sus estudiantes a que intenten aplicar de nuevo la rotación de 180° del problema 3, pero en el sentido de las manecillas del reloj. Luego, pídales que comparen la imagen nueva con la imagen original como ayuda para responder la pregunta.

A continuación, pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta:

¿Importa el sentido en las rotaciones con un número de grados diferente, como la rotación de 90° del problema 2? ¿Por qué?

Anime a sus estudiantes a que intenten aplicar de nuevo la rotación de 90° del problema 2, pero en sentido contrario a las manecillas del reloj. Luego, pídales que comparen la imagen nueva con la imagen original como ayuda para responder la pregunta.

Un tercer movimiento rígido: La rotación

La clase define y analiza rotaciones para descubrir propiedades.

Pida a sus estudiantes que vayan al segmento Un tercer movimiento rígido: La rotación en sus libros. Pídales que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para hacer una descripción informal de este término nuevo. Se espera que las descripciones de sus estudiantes sean más cortas y menos formales que la definición proporcionada.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Si se inició un organizador gráfico en la lección 1, pida a sus estudiantes que agreguen detalles nuevos para el término rotación. Se espera que sus estudiantes incluyan información sobre el número de grados, el centro de rotación y cualquier otra característica de una rotación que hayan observado hasta ahora.

Una rotación de alrededor delasigna una figura a su imagen.

número de grados sentido centro de rotación

Ejemplo: Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O asigna P a P′ .

Luego, pida a sus estudiantes que miren el diagrama y sigan el razonamiento mientras usted lee la definición y las características en voz alta. Considere hacer una pausa después de leer cada enunciado y animar a sus estudiantes a expresar cada característica con sus palabras.

Una rotación es un movimiento rígido según un número dado de grados alrededor de un punto, llamado centro de rotación, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, que asigna una figura a su imagen.

Una rotación de d° en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) alrededor del punto O asigna cualquier punto P que no sea O a un punto P′ con las siguientes características:

• La ubicación de P′ se obtiene mediante un giro en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) a partir de P en un círculo con centro O y con radio OP .

• La medida del ∠ POP′ es d° .

• El centro de rotación O y su imagen O′ son el mismo punto.

¿Cómo se relacionan la definición formal y lo que ustedes describieron?

Tengo el centro de rotación, el sentido y el ángulo de rotación, pero no dije nada sobre las características, un círculo o un radio.

Para describir una rotación con precisión, es necesario identificar el número de grados, el sentido y el centro. ¿Cuál es la descripción precisa de la rotación que se muestra en el diagrama?

Pida a sus estudiantes que usen el esquema de oración y el ejemplo para describir con precisión la rotación del diagrama.

Luego, haga una transición hacia la exploración de las propiedades de las rotaciones. Pida a sus estudiantes que completen los problemas 4 a 6 en parejas, pero cada estudiante debe trabajar con su transparencia.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y brinde apoyo con el uso de la transparencia, según sea necesario. Aunque su comprensión de las propiedades de los otros movimientos rígidos, las traslaciones y las reflexiones, probablemente se transmita en las respuestas de esta sección, anime a sus estudiantes a usar sus transparencias para confirmar las propiedades de las rotaciones.

Nota para la enseñanza

Considere mostrar el diagrama y señalar sus partes a medida que se refiere a cada característica.

Si sus estudiantes necesitan leer junto con usted la definición, las características y las propiedades de las reflexiones, estas se encuentran en la sección Resumen de esta lección.

4. Considera el paralelogramo DEFG y el punto O.

4.5 unidades

a. Dibuja y rotula la imagen del paralelogramo DEFG al que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O.

b. ¿Cuál es la longitud del D′G′ ? Explica tu razonamiento.

La longitud del D′G′ es 4.5 unidades. Una rotación es un movimiento rígido, lo que significa que la longitud de los segmentos se mantiene igual.

c. ¿Cuál es la medida del ∠ F′? Explica tu razonamiento.

La medida del ∠ F′ es 116°. Una rotación es un movimiento rígido, lo que significa que la medida de los ángulos se mantiene igual.

5. Considera el △ AOB. 78.7° A 3 unidades

ʹ B ʹ

a. Dibuja y rotula la imagen del △ AOB al que se le aplica una rotación de 45° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O.

b. ¿Cuál es la longitud del A′B′ ? Explica tu razonamiento.

La longitud del A′B′ es 3 unidades. Una rotación es un movimiento rígido, lo que significa que la longitud de los segmentos se mantiene igual.

c. ¿Cuál es la medida del ∠O′A′B′? Explica tu razonamiento.

La medida del ∠O′A′B′ es 78.7°. Una rotación es un movimiento rígido, lo que significa que la medida de los ángulos se mantiene igual.

6. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. En el problema 2, el MN es paralelo al M′N′ .

Falso

b. En el problema 2, el MN tiene la misma longitud que el M′N′ .

Verdadero

c. En el problema 3, la medida del ∠D′E′F′ es mayor que la medida del ∠DEF.

Falso

d. En el problema 4, el DE tiene la misma longitud que el E′F′ .

Falso

Nota para la enseñanza

En el problema 5, se hace énfasis en que el número de grados de la rotación no tiene que ser 90° o 180°. Tenga en cuenta que las rotaciones de sus estudiantes no necesitan ser exactas, pero deberían poder acercarse a la medida angular correcta.

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan apoyo para determinar cuánto rotar la transparencia, haga las siguientes preguntas:

• ¿Cuánto rotan la transparencia para una rotación de 90°?

• ¿Cómo se relacionan 45° y 90°?

Nota para la enseñanza

Cuando el centro de rotación está sobre la figura, puede haber estudiantes a quienes les resulte útil rotular O′ la imagen del punto O. Resalte que el ∠OA′B′ es lo mismo que ∠O′A′B′ .

e. En el problema 4, el D′E′ es paralelo al F′G′ .

Verdadero

f. En el problema 4, el OF tiene la misma longitud que el OF′ .

Verdadero

g. En el problema 5, la medida del ∠ A′O′B′ es igual a la medida del ∠ AOB.

Verdadero

h. En el problema 5, el OB tiene la misma longitud que el OB′ .

Verdadero

Confirme las respuestas con toda la clase. Luego, haga la siguiente pregunta sobre las propiedades de las rotaciones:

En lecciones anteriores, identificamos varias propiedades de las traslaciones y reflexiones. ¿Creen que esas mismas propiedades se aplican a las rotaciones? Expliquen.

Sí. Las rotaciones son otro tipo de movimiento rígido; entonces, tiene sentido que las rotaciones tengan las mismas propiedades que las traslaciones y reflexiones.

Diga los siguientes enunciados uno inmediatamente después de otro. Pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba si están de acuerdo y los pulgares hacia abajo si están en desacuerdo. Haga una pausa para comentar las propiedades que obtengan diferentes señales.

• Las rectas se asignan a rectas.

• Los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud.

• Los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida.

• Las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

¿Reflexión o rotación?

La clase observa que las rotaciones conservan la orientación, pero las reflexiones, no.

Dirija la atención de sus estudiantes a la tabla del problema 7. Haga la siguiente pregunta para guiar una conversación de toda la clase:

¿Qué observan?

Diferenciación: Apoyo

Para ayudar a sus estudiantes a evaluar el enunciado de la parte (f), pídales que tracen el OF y el OF′ en el diagrama del problema 4.

Nota para la enseñanza

Considere dirigir la atención de sus estudiantes hacia la medida del ∠O′A′B′ y usar las preguntas que siguen para guiar una conversación breve sobre la precisión en los diagramas:

• ¿Qué propiedad de los movimientos rígidos nos ayuda a determinar la medida del ∠O′A′B′?

• Si tuvieran que hallar la medida del ∠O′A′B′ con un transportador, ¿creen que podrían hallar la medida al décimo de grado más cercano?

• ¿Creen que su dibujo de la medida del ∠O′A′B′ es exacto al décimo de grado más cercano?

• ¿Conocer las propiedades de los movimientos rígidos les permite hallar con mayor precisión la medida del ∠O′A′B′?

Dé a sus estudiantes unos minutos para que piensen en silencio y, luego, pídales que se reúnan y conversen en parejas sobre lo que observaron.

7. Analiza los rectángulos de la tabla para identificar el movimiento rígido que asigna el rectángulo ABCD a su imagen.

Reflexión sobre la recta que contiene el punto O Rotación de 180° alrededor del punto O

Invite a diferentes estudiantes a compartir su razonamiento con la clase. Si sus estudiantes observaron que los rótulos de los vértices son diferentes en cada imagen, pídales que escriban una descripción precisa del movimiento rígido en la fila de arriba de cada diagrama. Luego, pídales que compartan sus descripciones en parejas.

Si sus estudiantes no observaron las diferencias en los rótulos de los vértices de las imágenes, use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar la conversación en esa dirección:

¿Cuál es el nombre de la figura original?

Rectángulo ABCD

Cuando leemos los rótulos de los vértices de este rectángulo, los leemos en orden alfabético porque ese es el orden dado en el nombre de la figura.

¿En qué sentido alrededor del rectángulo ABCD, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, leemos los rótulos?

Leemos los rótulos del rectángulo ABCD en el sentido de las manecillas del reloj.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando expresa las diferencias en la orientación de las imágenes de los dos movimientos rígidos.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿Qué detalles son importantes cuando se comparan las imágenes del rectángulo ABCD?

• ¿Cómo usan el orden de los rótulos de los vértices para analizar la relación entre el rectángulo ABCD y sus imágenes?

Al leer los rótulos de los vértices de la imagen a la que se le aplica la reflexión, comenzamos con el vértice A′ y leemos los rótulos en el mismo sentido, en el sentido de las manecillas del reloj, como lo hicimos con el rectángulo original. ¿Cuál es el nombre de la imagen a la que se le aplica la reflexión?

Rectángulo A′D′C′B′

Hagan lo mismo con la imagen a la que se le aplica la rotación. Comiencen con el vértice A′ y lean los rótulos de los vértices en el mismo sentido, en el sentido de las manecillas del reloj, como lo hicimos con el rectángulo original. ¿Cuál es el nombre de la imagen a la que se le aplica la rotación?

Rectángulo A′B′C′D′

Si comienzan con el vértice A′ en la imagen a la que se le aplica la reflexión, ¿en qué sentido tendrían que leer los rótulos de los vértices para leerlos en orden alfabético?

En sentido contrario a las manecillas del reloj

En la reflexión, los vértices correspondientes de la imagen están en el orden opuesto a los vértices de la figura original. Sin embargo, en la rotación, los vértices correspondientes de la imagen están en el mismo orden que los vértices de la figura original.

Cierre este segmento con toda la clase usando la siguiente pregunta para presentar la palabra orientación.

¿Se les ocurre una palabra que podamos usar para describir el orden de los vértices en una figura?

Pida a sus estudiantes que compartan sus palabras con la clase. Si orientación no se menciona, comparta con sus estudiantes que el orden de los vértices en una figura se llama orientación.

Usamos la palabra orientación para describir el orden de los vértices en una figura.

El problema 7 nos muestra que la orientación de una figura cambia cuando se aplica una reflexión y se mantiene igual cuando se aplica una rotación.

¿Creen que la orientación de una figura cambia o se mantiene igual cuando se aplica una traslación? ¿Por qué?

Creo que la orientación se mantiene igual cuando se aplica una traslación. Dado que una traslación es solo un movimiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, el orden de los vértices en la imagen es el mismo que el orden de los vértices en la figura original.

La orientación de una figura se mantiene igual cuando se aplica una traslación.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Aplicar rotaciones en el plano

Identificar las propiedades básicas de las rotaciones

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿Las rotaciones son movimientos rígidos? ¿Por qué?

Sí, las rotaciones son movimientos rígidos porque la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual cuando se aplica una rotación.

¿Qué información necesitamos para aplicar rotaciones?

Para aplicar rotaciones, necesitamos el número de grados, el sentido de la rotación y el centro de rotación.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Rotaciones

En esta lección:

• aplicamos rotaciones en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario alrededor de un punto para asignar una figura a su imagen;

• identificamos que, cuando se aplica una rotación:

▸ las rectas se asignan a rectas;

▸ los segmentos se asignan a segmentos de la misma longitud;

▸ los ángulos se asignan a ángulos de la misma medida y

▸ las rectas paralelas se asignan a rectas paralelas.

Ejemplo

Dibuja y rotula la imagen de la figura STUV a la que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O Rotula las longitudes de los segmentos y las medidas angulares conocidas.

• Marca el punto O y traza la figura STUV en una transparencia.

unidades

5.2 unidades

• Mantén el punto O que marcaste alineado con el punto O de la página y rota la transparencia 90° , o un giro de un cuarto, en sentido contrario a las manecillas del reloj.

• Levanta la transparencia para marcar las ubicaciones de los vértices de la imagen en la página y rotula los vértices.

• Usa una herramienta de borde recto para conectar los vértices de la imagen.

RESUMEN

Vocabulario

Una rotación es un movimiento rígido según un número dado de grados alrededor de un punto, llamado centro de rotación, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, que asigna una figura a su imagen. Una rotación de d° en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) alrededor del punto O asigna cualquier punto P que no sea O a un punto P′ con las siguientes características:

• La ubicación de P′ se obtiene mediante un giro en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) a partir de P en un círculo con centro O y con radio OP

• La medida del ∠POP ′ es d°

• El centro de rotación O y su imagen O′ son el mismo punto.

En el sentido de las manecillas del reloj

P O d°

En sentido contrario a las manecillas del reloj

EUREKA MATH2

Nombre Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

90°en sentido contrario a las manecillas del reloj

270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

En los problemas 1 y 2, rotula la imagen de la figura a la que se le aplica la rotación dada alrededor del punto O

1. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

2. 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj

En los problemas 3 a 8, traza y rotula la imagen del punto o la figura a los que se les aplica la rotación dada alrededor del punto O

3. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

4. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

45° en sentido contrario a las manecillas del reloj

180° en el sentido de las manecillas del reloj

9. Considera el AB el ∠CDE, el punto F y el punto O

Recuerda

En los problemas 11 a 14, evalúa.

5 unidades

a. Dibuja y rotula las imágenes de las figuras y el punto a los que se les aplica una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O

b. ¿Cuál es la longitud del A′B′?

5 unidades

c. ¿Cuál es la medida del ∠C ′D ′E ′ ?

60°

10. Ethan dice que una rotación puede asignar una figura a sí misma. ¿Estás de acuerdo con Ethan? Explica.

Sí, estoy de acuerdo con Ethan. Cuando una rotación es una rotación completa de 360° alrededor de un centro, entonces la figura se asigna a sí misma.

15. Resuelve la ecuación x2 = 17 Identifica cada solución como racional o irracional. √17 y −√17 Irracional

16. Marca los puntos en el plano de coordenadas. (0, 4), (−4, 0), (−3, 1), (0, 0), (−1, −3), (3, 2), (2, −3)

MATH

EUREKA MATH

Rotaciones en el plano de coordenadas

Aplicar rotaciones alrededor del origen en el plano de coordenadas

Usar coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una rotación alrededor del origen

1. Marca y rotula la imagen del punto A al que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen. Luego, identifica las coordenadas de la imagen.

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes amplían su experiencia previa con las rotaciones como movimiento rígido y aplican rotaciones de 90°, 180° y 270° alrededor del origen en el plano de coordenadas. Utilizan la estructura que proporciona el plano de coordenadas para describir las ubicaciones exactas de un punto y su imagen usando coordenadas. Profundizan el análisis de las rotaciones de 180° para identificar patrones en la relación entre las coordenadas de un punto y las coordenadas de su imagen. Sus estudiantes también participan en la rutina Siempre, a veces, nunca para explorar si una recta se asigna a una recta paralela cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

Preguntas clave

• ¿En qué se parecen las rotaciones en el plano de coordenadas a las rotaciones sin el plano de coordenadas?

2. Marca y rotula la imagen del punto B al que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen. Luego, identifica las coordenadas de la imagen.

• ¿Por qué es útil el plano de coordenadas para describir una rotación de forma precisa?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA4 Usan coordenadas para describir el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales en el plano. (8.G.A.3)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Aplicar una rotación alrededor del origen

• Aplicar una rotación de 180° alrededor del origen

• Paralelas o no paralelas

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• papel de rotafolio

• marcador

• cinta adhesiva

Estudiantes

• marcador de borrado en seco

• Casos de prueba sobre rectas paralelas

• herramienta de borde recto

• transparencia

Preparación de la lección

• Use el marcador para preparar una tabla con tres columnas en el papel de rotafolio. Escriba estos encabezamientos de columna en la tabla: Nombre de la figura, Coordenadas de los vértices de la figura y Coordenadas de los vértices de su imagen. Consulte la tabla del problema 7(d). Exhiba la tabla en una ubicación que sea visible y de fácil acceso para toda la clase.

Fluidez

Describir rotaciones

La clase describe rotaciones con múltiplos de 90° como preparación para aplicar rotaciones alrededor del origen en el plano de coordenadas.

Instrucciones: Describe la rotación que asigna el △ A al triángulo dado.

1. △ B

2. △ C

3. △ D

Una rotación de 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O

Presentar

La clase analiza un movimiento rígido en el plano de coordenadas.

Presente el problema 1 e invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir.

Asegúrese de que tengan acceso a una transparencia, un marcador de borrado en seco y una herramienta de borde recto a lo largo de la lección.

1. ¿Qué movimiento rígido se muestra? Explica.

Después de que las parejas hayan conversado, invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir su razonamiento con la clase. Use las preguntas que siguen para guiar la conversación:

¿Qué movimiento rígido se muestra? ¿Cómo lo saben?

Permita que sus estudiantes intercambien ideas. Pídales que compartan argumentos que apoyen sus respuestas. Puede haber estudiantes que afirmen que no pueden saberlo con certeza porque no tienen suficiente información. Haga las siguientes preguntas para guiar la conversación hacia esa dirección:

¿Cuál es la figura original y cuál es la imagen? ¿Eso importa?

Sin rótulos, no lo sabemos. Pero realmente no importa cuál es la figura original y cuál es la imagen.

¿Hay movimientos rígidos que podamos descartar? ¿Por qué?

Sí, podemos descartar una traslación, porque no hay una distancia ni un sentido que podamos dar para asignar una figura a la otra usando solo una traslación.

Podemos descartar las traslaciones. Si ocurriera una traslación, ambos trapecios tendrían el lado corto en la parte superior o el lado corto en la parte inferior.

¿Qué información adicional necesitamos saber para identificar qué movimiento rígido se muestra?

Necesitamos saber cuáles son los rótulos de los vértices de la figura original y de los vértices correspondientes de la imagen. Sin ellos, no sabemos si la orientación de la figura ha cambiado.

Si decimos que el movimiento rígido es una reflexión, ¿entonces cuál es el eje de reflexión?

¿Cómo lo sabemos?

El eje de reflexión es el eje  x. Sabemos esto porque los vértices correspondientes de las dos figuras están a la misma distancia del eje  x.

Si decimos que el movimiento rígido es una rotación, ¿entonces de cuántos grados y en qué sentido es la rotación?

La rotación parece ser de 180° en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario.

¿Dónde creen que está el centro de rotación?

Creo que el centro de rotación es el origen.

Hoy, aplicaremos rotaciones de 90°, 180° y 270° alrededor del origen en el plano de coordenadas.

Nota para la enseñanza

Tenga en cuenta que puede haber estudiantes que reconozcan inmediatamente que el centro de rotación es el origen, pero es posible que haya estudiantes que no lo vean. Sus estudiantes avanzan hacia el reconocimiento de que el origen es el centro de rotación a lo largo de esta lección, por lo que aún no se hace énfasis en este conocimiento.

Aprender

Aplicar una rotación alrededor del origen

La clase usa coordenadas para describir la ubicación de la imagen de una figura cuando se aplica una rotación alrededor del origen.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 2 a 5 de manera individual. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y brinde apoyo con el uso de la transparencia, según sea necesario.

En los problemas 2 a 5, representa gráficamente y rotula la imagen del punto o de la figura a los que se les aplica la rotación alrededor del origen dada. Luego, identifica las coordenadas del punto, los extremos o los vértices de la imagen.

2. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan apoyo con la transparencia, considere brindarles las siguientes estrategias para promover la precisión:

• Marquen un punto en el origen antes de superponer la transparencia, de manera que el centro de rotación sea más fácil de hallar para trazarlo.

• Tracen los ejes en la transparencia como ayuda para alinear cada giro de 90°.

Nota para la enseñanza

Aunque trazar los ejes en la transparencia ayude a sus estudiantes con la alineación, tenga en cuenta que el eje x y el eje y en realidad no se asignan a ubicaciones nuevas cuando se aplica una rotación. Considere el sistema de coordenadas como una superposición de estructura que se aplica en el plano. Una rotación aplicada en el plano lleva consigo todos los puntos en el plano, pero la estructura del sistema de coordenadas se mantiene en su lugar.

3. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

M′(7, 9), N′(5, 2)

4. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

A′(4, −3), B′(4, 3), C′(7, 2), D′(7, −4)

5. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

H′(7, 0), I′(3, 3), J′(4, 6), K′(9, 6), L′(9, 2)

Pida a sus estudiantes que comparen sus respuestas en parejas. Comente con toda la clase cualquier diferencia en las respuestas. Luego, use las preguntas y los planteamientos que siguen para conectar el trabajo en los problemas 2 a 5 con el trabajo de sus estudiantes en la lección 5:

¿Usaron su transparencia para estas rotaciones? De ser así, describan su método.

Sí, coloqué la transparencia sobre el papel, tracé la figura y el centro de rotación en la transparencia, giré la transparencia para ubicar la imagen y levanté la esquina de la transparencia para dibujar la imagen en el papel.

Si no usaron una transparencia, ¿cómo ubicaron la imagen?

Aunque la mayoría probablemente haya usado su transparencia en las rotaciones, puede haber estudiantes que comiencen a desarrollar otras maneras de ubicar las imágenes de los puntos, como los siguientes métodos:

• Reconocer y aplicar patrones sobre cómo cambian las coordenadas de los puntos cuando se aplica una rotación en particular

• Trazar los ángulos, con el origen como el vértice, como medio para ubicar las imágenes de los puntos

Anime a sus estudiantes a usar el método que mejor les funcione. Toda la clase explorará un patrón en las coordenadas para las rotaciones de 180° del problema 7. Sin embargo, no se espera que sus estudiantes memoricen y repitan una lista de reglas.

¿En qué se parecen las rotaciones de los problemas 2 a 5 a las rotaciones de la lección 5?

Se parecen porque son el mismo tipo de movimiento rígido y podemos usar una transparencia para hallar y dibujar las imágenes.

¿En qué se diferencian las rotaciones de los problemas 2 a 5 de las rotaciones de la lección 5?

Se diferencian porque ahora podemos usar coordenadas para describir las ubicaciones de las figuras y sus imágenes.

El plano de coordenadas es una herramienta que podemos usar para identificar las ubicaciones de un punto y su imagen cuando se aplica un movimiento rígido.

Pida a sus estudiantes que lean y completen el problemas 6 de manera individual. Si sus estudiantes necesitan apoyo para comenzar, haga las siguientes preguntas:

• ¿Cuántos grados hay en una rotación completa?

• ¿Cuántos cuadrantes hay en el plano de coordenadas?

• ¿Cómo se divide el número de grados que hay en una rotación completa entre el número de cuadrantes?

• ¿En qué sentido rotaron la figura del problema original?

6. Cada una de las rotaciones de los problemas 2 a 5 se puede describir en el otro sentido. En cada problema, escribe otra manera de describir la rotación alrededor del origen.

Problema 2: 270° en el sentido de las manecillas del reloj

Problema 3: 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Problema 4: 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Problema 5: 180° en el sentido de las manecillas del reloj

Confirme las respuestas con toda la clase. Celebre el razonamiento de cualquier estudiante que sugiera una rotación de un número de grados mayor que 360°, como 540° en el sentido de las manecillas del reloj, para describir una rotación alternativa en el problema 5. Sin embargo, incentive y espere que las respuestas de sus estudiantes en 8.o grado se mantengan dentro de 360°.

Use las preguntas que siguen para ayudar a sus estudiantes a identificar relaciones dentro del par de descripciones de cada rotación:

Comparen cada una de sus descripciones del problema 6 con las descripciones originales de los problemas 2 a 5. ¿Qué observan acerca del sentido de rotación en cada par?

Cada par tiene en el sentido de las manecillas del reloj y en sentido contrario a las manecillas del reloj como las dos maneras de describir el sentido de la rotación.

En una rotación de 180°, ¿es necesario especificar en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj? ¿Por qué?

No, el sentido no importa en una rotación de 180°. Será la misma imagen de cualquier manera.

¿Qué observan acerca de las medidas de los ángulos en cada par? ¿Por qué sucede esto?

Las medidas de los ángulos de cada par suman 360°. Esto sucede porque una rotación completa tiene 360°.

Cada rotación en un sentido tiene una rotación relacionada en el sentido contrario, que da como resultado la misma imagen. Las medidas de los ángulos en cada par tienen una suma de 360°.

DUA: Acción y expresión

Considere usar un esquema de oración para ayudar a sus estudiantes a resumir las rotaciones relacionadas.

• Una rotación de ° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen es lo mismo que una rotación de ° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen.

Por ejemplo, una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen es lo mismo que una rotación de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen.

Aplicar una rotación de 180° alrededor del origen

Sus estudiantes identifican una relación entre las coordenadas de un punto y las coordenadas de su imagen cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

Organice a sus estudiantes en parejas y pídales que completen el problema 7.

7. Usa el plano de coordenadas y la tabla dados con los siguientes problemas.

a. Representa gráficamente una figura con 4 vértices. Rotula los vértices.

Ejemplo:

b. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura a la que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

c. Completa la tabla para la figura y su imagen.

Nombre de la figura

Ejemplo:

ABCD

Coordenadas de los vértices de la figura

Coordenadas de los vértices de su imagen

A(−5, 5)

B (−2, 8)

C (4, 5)

D (−3, 2)

A′(5, −5)

B′(2, −8)

C′(−4, −5)

D ′(3, −2)

d. Compara las coordenadas de los vértices correspondientes de la figura y su imagen. Haz una conjetura acerca de la relación entre las coordenadas de un punto y las coordenadas de su imagen cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen. Las coordenadas de un punto y las coordenadas de su imagen cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen son opuestas.

Dirija la atención de sus estudiantes a la tabla del papel de rotafolio que se exhibe en el salón de clases. A medida que las parejas de estudiantes terminen, pida a cada pareja que rellene la tabla del papel de rotafolio con su figura única. Use la pregunta que sigue para guiar una conversación de toda la clase:

¿Qué conjetura hicieron acerca de la relación entre las coordenadas de los vértices correspondientes de la figura y de su imagen?

Invite a algunas parejas de estudiantes a compartir sus conjeturas. Pida al resto de la clase que diga si está de acuerdo o en desacuerdo y por qué.

Luego, dirija la atención de sus estudiantes a la tabla que se preparó.

Según esta tabla que tiene datos de toda la clase, ¿sigue siendo verdadera su conjetura?

¿Qué evidencias ven?

Sí, parece que mi conjetura sigue siendo verdadera para esta tabla. Veo el mismo patrón en el que las coordenadas de la figura y las coordenadas de la imagen son opuestas en todas las figuras.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando analiza la relación entre las coordenadas de un punto y su imagen, a la que se le aplica una rotación de 180 ° alrededor del origen, para descubrir el patrón (x, y) → (−x, −y).

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Qué patrón observan cuando comparan las coordenadas de los puntos y las coordenadas de sus imágenes cuando se aplica una rotación de 180°alrededor del origen?

• ¿Cómo puede el patrón ayudarles a identificar la ubicación de la imagen de un punto de forma más eficiente?

• ¿Funcionará siempre el patrón?

Pueden surgir preguntas acerca de los puntos que tienen una coordenada 0. Si estos casos no se presentaron a través de las figuras e imágenes de la clase o no surgieron de manera natural en la conversación, haga a sus estudiantes las siguientes preguntas:

• ¿Qué sucede cuando un punto está sobre el eje x o el eje y?

• ¿Cuál es el opuesto de 0?

También considere preguntar a la clase qué sucede con un punto que tiene coordenadas (0, 0) cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen. Ayude a sus estudiantes a reconocer que el punto (0, 0) es la ubicación del origen y el centro de rotación. Por definición, el centro de rotación se asigna a sí mismo; entonces, el punto (0, 0) y su imagen coincidirán y tendrán las mismas coordenadas.

Vemos que ocurre un patrón en una rotación de 180° alrededor del origen: Las coordenadas de un punto y las coordenadas de su imagen son opuestas. Esto es verdadero incluso si una coordenada es 0, porque 0 es su propio opuesto.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 8 en parejas.

8. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de un punto (x, y) cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen?

(−x, y)

Confirme la respuesta con toda la clase. Si sus estudiantes necesitan apoyo para dar el salto a una representación abstracta, considere proveer soportes para su razonamiento mediante preguntas sobre puntos con coordenadas en números primero.

Diferenciación: Desafío

Quienes puedan ir más allá tal vez quieran analizar patrones que conduzcan a una regla general usando un punto con coordenadas (x, y) para rotaciones con diferentes números de grados. Por ejemplo, pida a ese grupo de estudiantes que exploren rotaciones de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj y de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj para llegar a las siguientes reglas:

• Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj: (x, y) → (−y, x)

• Rotación de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj: (x, y) → (y, x)

Paralelas o no paralelas

La clase explora si una rotación de 180° asigna una recta a una recta paralela.

Organice a sus estudiantes en parejas y pídales que retiren los Casos de prueba sobre rectas paralelas de sus libros. Asegúrese de que cada estudiante tenga una transparencia, un marcador de borrado en seco y una herramienta de borde recto.

Dirija la atención de sus estudiantes al problema 9. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que la clase participe en la construcción de significado y comente sus ideas. Lea el planteamiento y el enunciado general sobre las rotaciones de 180° en voz alta mientras sus estudiantes siguen la lectura en sus libros.

Dé 1 minuto para que sus estudiantes piensen en silencio a fin de evaluar, sin hacer ningún trabajo, si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca. Pídales que hagan algunas suposiciones iniciales.

Luego, use el siguiente planteamiento para iniciar una exploración:

Tenemos tres casos de prueba para considerar. Exploren cada caso de prueba con su pareja y usen sus conclusiones para evaluar si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.

Pida a sus estudiantes que usen las herramientas que tengan disponibles y la hoja extraíble de Casos de prueba sobre rectas paralelas para explorar los casos de prueba y completar el problema 9. Las parejas de estudiantes tendrán ocho planos de coordenadas entre ambos integrantes. Cada pareja debe explorar al menos dos rectas diferentes por cada caso de prueba. Pueden usar los dos planos de coordenadas restantes para intentar con más, si así lo desean. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para brindar apoyo con las rotaciones, según sea necesario.

9. Determina si el enunciado es verdadero siempre, a veces o nunca.

Una rotación de 180° alrededor del origen asigna la recta ℓ a una recta paralela a la recta ℓ.

Caso de prueba 1: La recta ℓ es paralela al eje x.

Caso de prueba 2: La recta ℓ es paralela al eje y.

Caso de prueba 3: La recta ℓ pasa por el origen.

En los casos de prueba 1 y 2, las rectas son paralelas. Pero en el caso de prueba 3, las rectas coinciden. Entonces, el enunciado es verdadero a veces.

Diferenciación: Desafío

Hay un cuarto caso de prueba que no se incluye aquí para la clase: una recta ℓ que no es paralela a ninguno de los ejes y que no pasa por el origen.

La prueba que demuestra que las rectas ℓ y ℓ′ son paralelas se apoya en una rotación de 180° alrededor del origen, que asigna un punto P a un punto P′ tal que P, O (el origen) y P′ son colineales. Dado que ℓ está formada por un número infinito de puntos y una rotación de 180° alrededor del origen asigna cada uno de esos puntos sobre ℓ a ℓ′ tal que P, O, y P′ son colineales, ℓ y ℓ′ no pueden tener ningún punto en común. Si las rectas no tienen ningún punto en común, deben ser paralelas.

Cuando la mayoría de las parejas hayan terminado, invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus respuestas y su razonamiento con la clase. Anime a ese grupo a describir ejemplos correctos o ejemplos erróneos según sus casos de prueba. Invite al resto de la clase a hacer preguntas aclaratorias u ofrecer respuestas y razonamientos diferentes.

Considere plantear las preguntas que siguen, según sea necesario, para llegar a una conclusión sobre el enunciado:

• En el caso de prueba 3, ¿qué sucede cuando aplican la rotación?

• ¿Cómo sabemos si dos rectas son paralelas o no son paralelas?

• ¿Alguno de los casos de prueba da como resultado rectas que no sean paralelas?

Para concluir la conversación, comparta el siguiente enunciado:

Una rotación de 180° alrededor del origen a veces asigna la recta ℓ a una recta paralela. El enunciado no es verdadero cuando la recta ℓ pasa por el origen, porque la rotación de 180° asigna la recta ℓ a sí misma.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Aplicar rotaciones alrededor del origen en el plano de coordenadas

Usar coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una rotación alrededor del origen

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿En qué se parecen las rotaciones en el plano de coordenadas a las rotaciones sin el plano de coordenadas?

Tanto las rotaciones en el plano de coordenadas como las rotaciones sin el plano de coordenadas se apoyan en los mismos datos: un número de grados, un sentido y un centro de rotación.

Las propiedades de las rotaciones son las mismas con o sin el plano de coordenadas.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para ayudar a sus estudiantes a expresar los detalles de sus ejemplos correctos y ejemplos erróneos, pídales que usen la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación.

¿Por qué es útil el plano de coordenadas para describir una rotación de forma precisa?

Usamos sistemáticamente el origen como el centro de las rotaciones en el plano de coordenadas. Además, el plano de coordenadas se divide en cuatro cuadrantes que nos ayudan a describir las rotaciones en múltiplos de 90°. El plano de coordenadas usa coordenadas para describir las ubicaciones; entonces, podemos proporcionar coordenadas para describir la ubicación exacta de un punto cuando se aplica una rotación.

¿Cuáles son las coordenadas de la imagen del punto (6, −5) al que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen? ¿Cómo lo saben?

Las coordenadas de la imagen son (−6, 5). Lo sé porque las coordenadas de la imagen de cualquier punto al que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen son opuestas a las coordenadas originales.

Boleto de salida

5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Rotaciones en el plano de coordenadas

En esta lección:

• aplicamos rotaciones alrededor del origen en el plano de coordenadas;

• usamos coordenadas para describir la ubicación de una imagen cuando se aplica una rotación.

Ejemplos

Representa gráficamente y rotula la imagen del punto o la figura a los que se les aplica la rotación alrededor del origen dada.

1. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

Traza el punto J, el origen y los ejes en la transparencia.

Después de cada giro de un cuarto, alinea los ejes trazados con los ejes de la página. Esto ayuda a mantener con exactitud el ángulo de rotación y la ubicación de la imagen.

2. 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Una rotación de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj asigna un punto a la misma ubicación que una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj.

3. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

Las coordenadas de la imagen de un punto cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen son opuestas a las coordenadas del punto original.

Por ejemplo, el punto F tiene las coordenadas (9, −7) y el punto F ′ tiene las coordenadas (−9, 7)

Una rotación de 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj asigna un punto a la misma ubicación que una rotación de 180° en el sentido de las manecillas del reloj.

EUREKA MATH

Nombre

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

En los problemas 1 a 6, representa gráficamente y rotula la imagen del punto o la figura a los que se les aplica la rotación alrededor del origen dada.

1. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

2. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

7. Yu Yan lee mal el problema 6 y aplica una rotación de 180° en el sentido de las manecillas del reloj en vez de 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la imagen de Yu Yan? Explica.

Las coordenadas de los vértices de la imagen de Yu Yan son A′(3, 5), B′(0, 2) C ′(−2, 2), D′(−1, 6) y E ′(4, 9). No importa en qué sentido sea el giro para aplicar una rotación de 180° La imagen estará en la misma ubicación cualquiera sea el sentido.

8. ¿Qué rotaciones alrededor del origen asignan el ∠ BAC al ∠ B′A′C′?

Elige todas las opciones que correspondan.

9. ¿Qué rotaciones alrededor del origen asignan el cuadrilátero ABCD al cuadrilátero A′B′C ′D′? Elige todas las opciones que correspondan.

En los problemas 10 a 13, determina las coordenadas de la imagen del punto dado cuando se aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

10. P(5, 0) P′(−5, 0)

M(8, 10) M′(−8, −10) 12. D(−6, −6) D′(6, 6)

B(−4, 7) B′(4, −7)

Recuerda

En los problemas 14 a 17, evalúa.

A. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

B. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

C. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

D. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

E. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

F. 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

A. 90° en el sentido de las manecillas del reloj

B. 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj

C. 180° en el sentido de las manecillas del reloj

D. 180° en sentido contrario a las manecillas del reloj

E. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

F. 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj

18. Traza la imagen del ∠ ABC al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ DE Rotula tu imagen con los extremos, las longitudes de los segmentos y las medidas angulares correctas.

EUREKA MATH

EUREKA MATH2

19. Considera el diagrama dado en el que dos rectas se encuentran en un punto.

a. ¿Qué relación entre ángulos te ayudaría a hallar el valor de x ?

El ∠ ABC y el ∠ EBD son ángulos verticales.

b. Halla el valor de x 27

Tema B

Movimientos rígidos y figuras congruentes

En el tema B, sus estudiantes amplían sus conocimientos sobre los movimientos rígidos únicos al aplicar secuencias de movimientos rígidos en el plano. Descubren que las propiedades de los movimientos rígidos individuales también se aplican a las secuencias de movimientos rígidos. Luego, aprenden a definir dos figuras como congruentes.

Antes de considerar las secuencias de movimientos rígidos, la clase explora cómo asignar una imagen de regreso a la figura original. A continuación, se desafía a sus estudiantes a asignar una figura a otra con un único movimiento rígido cuando la aplicación solo se puede completar mediante una secuencia de movimientos rígidos. Por medio de esta actividad, se fomenta la necesidad de usar secuencias de movimientos rígidos. Una vez que se dan cuenta de que pueden aplicar más de un único movimiento rígido a una figura, aplican y describen secuencias de movimientos rígidos en una actividad digital interesante.

Cuando se les dan dos o más movimientos rígidos, sus estudiantes se preguntan si el orden en el que aplican los movimientos rígidos importa. Analizan muchas secuencias diferentes y descubren que, en la mayoría de los casos, el orden importa porque las imágenes de una figura están en ubicaciones diferentes cuando se aplica una secuencia en un orden diferente. Intentan crear sus propias secuencias en las que el orden no importa y hallan las pocas ocasiones en las que eso sucede.

Se da a sus estudiantes dos figuras congruentes y se les pide que describan con precisión una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. Debe existir una secuencia porque las figuras se describen como congruentes. Comprenden que la aplicación se puede llevar a cabo mediante muchas secuencias de movimientos rígidos. Luego, sus estudiantes usan secuencias de movimientos rígidos para determinar si dos figuras son congruentes. En estas instancias, puede existir o no una secuencia que asigne una figura a la otra, lo cual aumenta la complejidad de los problemas.

En el tema C, sus estudiantes aplican secuencias de movimientos rígidos y las propiedades de las figuras congruentes para explorar las relaciones entre ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas. También usan estas destrezas para definir datos sobre la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo y la relación entre las medidas de los ángulos externos y las medidas de los ángulos internos no adyacentes de los triángulos. En el tema D, sus estudiantes usan movimientos rígidos para probar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el △ ABC al △ DBE. Traza los vectores, ejes de reflexión o centros de rotación que sean necesarios.

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto B asigna el BC al BE . Luego, una reflexión sobre la ⟷ BE asigna el △ ABC al △DBE.

Progresión de las lecciones

Lección 7 Trabajar de atrás hacia delante

Lección 8 Crear una secuencia de movimientos rígidos

Lección 9 Ordenar secuencias de movimientos rígidos

Lección 10 Figuras congruentes

Lección 11 Demostrar si las figuras son congruentes

Trabajar de atrás hacia delante

Describir con precisión el movimiento rígido necesario para asignar una imagen de regreso a la figura original

1. Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen asigna la figura GHIJ a la figura G′H′I′J′. Describe el movimiento rígido que asigna la figura G′H′I′J′ de regreso a la figura GHIJ

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen asigna la figura G′H′I′J′ de regreso a la figura GHIJ

2. Una traslación a lo largo del ⟶ GO asigna el △ ABC al △ A′B′C′. Describe el movimiento rígido que asigna el △ A′B′C′ de regreso al △ ABC Una traslación a lo largo del ⟶ OG asigna el △ A′B′C′ de regreso al △ ABC LECCIÓN 7

Vistazo a la lección

En esta lección, se aplica lo que sus estudiantes saben sobre los movimientos rígidos y se sientan las bases para comprender las secuencias de movimientos rígidos. Mediante la rutina Tomar una postura, se presenta el concepto de invertir un movimiento rígido que se ha aplicado a una figura. Sus estudiantes comparan el movimiento rígido que asigna una figura a su imagen con el movimiento rígido que asigna la imagen de regreso a la figura. A través de la observación y la conversación, concluyen que cada movimiento rígido se puede deshacer. Luego, trazan una figura, aplican un movimiento rígido y usan un lenguaje preciso para describir cómo asignar la imagen de regreso a la figura original.

Preguntas clave

• ¿Cómo podemos describir un movimiento rígido que asigne una imagen de regreso a la figura original?

• ¿En qué situaciones sería conveniente describir cómo asignar una imagen de regreso a la figura original?

Criterios de logro académico

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental. (8.G.A.1, 8.G.A.1.a, 8.G.A.1.b, 8.G.A.1.c)

8.Mód2.CLA3 Describen una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que muestra la congruencia entre dos figuras dadas. (8.G.A.2)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• CTRL+Z

• Deshacer lo que has hecho

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• papel de rotafolio (3 hojas)

• marcador

• cinta adhesiva

Estudiantes

• transparencia

• Tarjetas de deshacer lo que has hecho (1 set por grupo de estudiantes)

• nota adhesiva (1 por estudiante)

Preparación de la lección

• Use el marcador para rotular cada hoja de papel de rotafolio con los siguientes encabezamientos: Traslación, Rotación y Reflexión. Exhiba las hojas de papel de rotafolio en ubicaciones que sean visibles y de fácil acceso para toda la clase.

• Haga copias de las Tarjetas de deshacer lo que has hecho (en la edición para la enseñanza) y recórtelas. Prepare suficientes sets para que haya 1 por grupo de tres estudiantes.

Fluidez

Aplicar movimientos rígidos

La clase aplica movimientos rígidos al plano como preparación para asignar la imagen de regreso a la figura original.

Instrucciones: Aplica el movimiento rígido dado.

1. Traza la imagen del △ A al que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ XY . Rotula la imagen B.

2. Traza la imagen del △ A al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��. Rotula la imagen C.

3. Traza la imagen del △ A al que se le aplica una rotación de 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O. Rotula la imagen D.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar la hoja extraíble de Movimientos rígidos.

Presentar

La clase se forma una opinión acerca de qué movimientos rígidos asignan una imagen de regreso a la figura.

Distribuya una nota adhesiva a cada estudiante. Luego, indíqueles que, en la nota adhesiva, tracen y rotulen una figura y su imagen a la que se le aplica un movimiento rígido. Permita que sus estudiantes elijan si desean usar una traslación, una reflexión o una rotación. Pídales que hagan una señal con los pulgares hacia arriba para mostrar que terminaron.

Cuando toda la clase haya terminado, pida a sus estudiantes que intercambien su nota adhesiva con otra persona. Presente la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches exhibidos en el salón de clases rotulados Traslación, Reflexión y Rotación. Luego, presente el siguiente planteamiento:

Estudien el movimiento rígido que se muestra en la nota adhesiva y decidan cómo asignarían la imagen de regreso a la figura.

Invite a sus estudiantes a colocar sus notas adhesivas en el afiche que mejor describa su razonamiento y a pararse cerca de ese afiche. Cuando cada estudiante haya colocado su nota adhesiva en un afiche, dé 2 minutos para que los grupos conversen acerca de las razones por las que eligieron ese afiche. Pídales que identifiquen las semejanzas entre los dibujos de las notas adhesivas de su grupo.

Luego, pida a cada grupo que comparta las razones que motivaron su elección y las semejanzas que identificaron. Invite a quienes cambien de parecer durante la conversación a que se unan a otro grupo.

Cuando todos los grupos hayan compartido con la clase, pida a sus estudiantes que vuelvan a sus asientos. Reflexione con toda la clase sobre la relación entre el movimiento rígido que asigna la figura a su imagen y el movimiento rígido que asigna la imagen de regreso a la figura.

En esta actividad, hallamos un movimiento rígido que asignaba la imagen de nuestra pareja de trabajo de regreso a la figura.

Hoy, describiremos con precisión cómo asignar una imagen de regreso a la figura original.

Aprender

CTRL+Z

La clase reconoce y describe cómo se puede deshacer un único movimiento rígido.

Organice a sus estudiantes en grupos de tres. Luego, use las siguientes preguntas a fin de preparar a la clase para descubrir cómo deshacer un movimiento rígido:

¿Dónde han visto o escuchado la palabra deshacer?

En una computadora, puedo presionar CTRL+Z para deshacer algo que acabo de hacer.

Puedo deshacer un nudo.

¿Cuál es el resultado de deshacer un movimiento rígido?

Sin revelar si las conjeturas de sus estudiantes son correctas, asigne los problemas 1 a 4. Recorra el salón de clases para identificar los grupos que describan con precisión los movimientos rígidos necesarios en cada problema.

En los problemas 1 a 4, describe el movimiento rígido que asigna la figura original a su imagen y el movimiento rígido que asigna la imagen de regreso a la figura original para completar la tabla.

Diagrama

Asigna la figura a la imagen Asigna la imagen a la figura

Una reflexión sobre la recta �� asigna la curva AB a la curva A′B′ . Una reflexión sobre la recta �� asigna la curva AʹBʹ de regreso a la curva AB.

Diagrama

2. Aʹ B ʹ A B K J

Asigna la figura a la imagen

Una traslación a lo largo del ⟶ JK asigna la figura AB a la figura AʹBʹ .

Asigna la imagen a la figura

Una traslación a lo largo del ⟶ KJ asigna la figura AʹBʹ de regreso a la figura AB.

Una traslación de 5 unidades hacia abajo y 7 unidades hacia la derecha asigna el △ ABC al △ AʹBʹCʹ .

Una traslación de 5 unidades hacia arriba y 7 unidades hacia la izquierda asigna el △ AʹBʹCʹ de regreso al △ ABC.

Una traslación de 7 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia abajo asigna el △ ABC al △ AʹBʹCʹ .

Una traslación de 7 unidades hacia la izquierda y 5 unidades hacia arriba asigna el △ AʹBʹCʹ de regreso al △ ABC.

Diagrama

Asigna la figura a la imagen Asigna la imagen a la figura

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen asigna el CD al CʹDʹ .

Una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen asigna el CD al C ʹD ʹ .

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen asigna el CʹDʹ de regreso al CD .

Una rotación de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen asigna el Cʹ Dʹ de regreso al CD .

Después de que la mayoría de los grupos hayan terminado, invite a uno de los grupos que haya identificado a compartir su respuesta al problema 1. Luego, haga la siguiente pregunta a la clase:

En general, ¿qué movimiento rígido asigna una imagen de regreso a la figura original cuando se aplica una reflexión?

Una reflexión sobre la misma recta asigna una imagen de regreso a la figura original.

A continuación, use las siguientes preguntas para animar a la clase a participar de una conversación que relacione los problemas 2 y 3:

¿En qué se parecen los problemas 2 y 3?

En ambos problemas hay una traslación.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando asigna repetidamente imágenes de regreso a las figuras originales para ver el patrón de que un único movimiento rígido se puede deshacer mediante el mismo tipo de movimiento rígido.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿En qué se parecen el movimiento rígido que asigna una figura a su imagen y el movimiento rígido que asigna la imagen de regreso a la figura original? ¿En qué se diferencian estos movimientos rígidos?

• ¿Qué patrones observan cuando asignan una imagen de regreso a la figura original?

• ¿Serán siempre verdaderos esos patrones?

Diferenciación: Desafío

A quienes terminen antes, pregúnteles si pueden hallar otro movimiento rígido que asigne una figura a su imagen en los problemas 3 y 4.

¿En qué se diferencian?

Los problemas son diferentes porque el problema 3 está en el plano de coordenadas y el problema 2, no. La traslación del problema 2 se describe con un vector y la traslación del problema 3 se describe con sentidos y distancias en el plano de coordenadas.

En general, ¿qué movimiento rígido asigna una imagen de regreso a la figura original cuando se aplica una traslación?

Una traslación en el sentido opuesto asigna una imagen de regreso a la figura original.

Para asignar una imagen de regreso a la figura original cuando se aplica una traslación, aplicamos una traslación en el sentido opuesto al usar un vector o sentidos y distancias en el plano de coordenadas.

Pida a otro grupo que haya identificado que comparta su respuesta al problema 4. Luego, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Qué observan acerca de la rotación que asigna la figura a su imagen y la rotación que asigna la imagen de regreso a la figura original?

Ambas rotaciones tienen el mismo centro de rotación y ángulo de rotación, pero las rotaciones son en sentidos opuestos.

Ambas rotaciones tienen el mismo centro de rotación y sentido, y la suma de las medidas de los ángulos de rotación es 360°.

En general, tenemos dos maneras diferentes de asignar una imagen de regreso a la figura original cuando se aplica una rotación. Una manera es aplicar una rotación del mismo ángulo de rotación alrededor del mismo centro pero en el sentido opuesto.

Otra manera es aplicar una rotación alrededor del mismo centro y en el mismo sentido de manera que la suma de las medidas de los ángulos de rotación sea 360°.

Si aplicamos un movimiento rígido, ¿podemos siempre deshacer ese movimiento para asignar una imagen de regreso a la figura original? Expliquen.

Sí. Siempre podemos deshacer cualquier movimiento rígido que se aplique. Podemos aplicar una traslación a lo largo de un vector en el sentido opuesto para asignar una imagen de regreso a la figura original. Podemos aplicar una reflexión sobre la misma recta para asignar una imagen de regreso a la figura original. Podemos aplicar una rotación alrededor del mismo centro en cualquier sentido mediante algún ángulo de rotación para asignar una imagen de regreso a la figura original.

Deshacer lo que has hecho

La clase crea figuras únicas para describir un movimiento rígido que asigne una imagen de regreso a la figura.

Mantenga los mismos grupos de tres estudiantes para la actividad Deshacer lo que has hecho. Distribuya un set de tres Tarjetas de deshacer lo que has hecho y colóquelas bocabajo en el medio de cada grupo.

Pida a sus estudiantes que completen los siguientes pasos en sus grupos:

1. Elijan una tarjeta. Tracen una figura en el cuadrante IV de la tarjeta. La figura debe tener tres vértices. En este primer paso, no apliquen el movimiento rígido que se menciona en la tarjeta.

2. Pasen la tarjeta hacia la izquierda.

3. Apliquen el movimiento rígido que se describe en la tarjeta. Para eso, tracen y rotulen la imagen que se obtiene.

4. Pasen la tarjeta hacia la izquierda.

5. Escriban una descripción directamente en la tarjeta que asigne la imagen de regreso a la figura original.

6. Pasen la tarjeta hacia la izquierda. La tarjeta debe regresar a la persona que trazó la figura original.

7. Hallen a alguien de otro grupo que tenga la tarjeta con el mismo movimiento rígido que ustedes y comparen sus respuestas. Una vez que la actividad esté completa, vuelva a reunir a la clase y considere hacer las siguientes preguntas:

• ¿Fueron sus descripciones de cómo asignar la imagen de regreso a la figura original iguales a las descripciones de otro grupo? ¿Por qué?

• Aunque sus figuras tenían formas diferentes, ¿estaban sus imágenes en el mismo cuadrante? ¿Por qué?

• ¿Pueden hallar otro movimiento rígido que asigne la imagen de regreso a la figura original? De ser así, ¿qué describe el movimiento rígido?

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Describir con precisión el movimiento rígido necesario para asignar una imagen de regreso a la figura original

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿En qué situaciones sería conveniente describir cómo asignar una imagen de regreso a la figura original?

Al deshacer o invertir un movimiento rígido, queremos describir cómo asignar una imagen de regreso a la figura original.

¿Cómo aplicamos los movimientos rígidos en esta lección?

Asignamos una imagen de regreso a la figura original al deshacer el movimiento rígido que asignaba una figura a su imagen.

¿Cómo podemos describir un movimiento rígido que asigne una imagen de regreso a la figura original?

En general, para asignar una imagen de regreso a la figura original, podemos aplicar el mismo movimiento rígido que dio como resultado la imagen.

Por ejemplo, una reflexión sobre la misma recta asigna la imagen de regreso a la figura original.

Una traslación en el sentido opuesto asigna la imagen de regreso a la figura original. Una rotación alrededor del mismo centro en cualquier sentido mediante algún ángulo de rotación asigna una imagen de regreso a la figura original.

¿Creen que es posible aplicar más de un movimiento rígido a una figura? Expliquen.

Sí, parece posible porque, en esta lección, examinamos un movimiento rígido seguido de otro movimiento rígido para asignar una imagen de regreso a la figura.

Boleto de salida 5

min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección.

Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Trabajar de atrás hacia delante

En esta lección:

• trazamos y rotulamos imágenes de figuras a las que se les aplican movimientos rígidos;

• describimos qué movimiento rígido asigna una imagen de regreso a la figura original.

Ejemplos

1. Se muestra la figura PQRS

a. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura PQRS a la que se le aplica una reflexión sobre el eje y

b. Describe el movimiento rígido que asigna la figura P′Q′R′S′ de regreso a la figura PQRS.

Una reflexión sobre el eje y asigna la figura P′Q′R′S′ de regreso a la figura PQRS

Una reflexión sobre la misma recta asigna una imagen de regreso a la figura original.

2. En el diagrama, se muestran la figura S y el ⟶ EF S S E F

a. Traza y rotula la imagen de la figura S a la que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ EF .

b. Describe el movimiento rígido que asigna la figura S′ de regreso a la figura S

Una traslación a lo largo del ⟶ FE asigna la figura S′ de regreso a la figura S

3. Se muestran el punto D, el △ABC y el △A′B′C′ Aʹ B C A BC D

a. Describe un movimiento rígido que asigne el △ABC al △A′B′C′

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △ABC al △A′B′C′

Una rotación de 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △ABC al △A′B′C′

Una traslación con la misma distancia pero en sentido opuesto asigna una imagen de regreso a la figura original.

Ambos movimientos rígidos son correctos porque la suma de las medidas de los ángulos de rotación, 90° y 270°, es 360°

b. Describe un movimiento rígido que asigne el △A′B′C′ de regreso al △ABC

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △A′B′C′ de regreso al △ABC

Una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto D asigna el △A′B′C′ de regreso al △ABC

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

3. Se muestra el paralelogramo EFGH

1. Se muestran los puntos A, B, C y la recta ��

a. Traza y rotula las imágenes de estos puntos a los que se les aplica una reflexión sobre la recta ��

b. Describe el movimiento rígido que asigna los puntos A′ , B′ y C′ de regreso a los puntos A, B y C.

Una reflexión sobre la recta �� asigna los puntos A′ , B′ y C′ de regreso a los puntos A, B y C

2. Se muestran la figura E y el ⟶ FG E E G F

a. Traza y rotula la imagen de la figura E a la que se le aplica una traslación a lo largo del ⟶ FG

b. Describe el movimiento rígido que asigna la figura E′ de regreso a la figura E Una traslación a lo largo del ⟶ GF asigna la figura E′ de regreso a la figura E

a. Representa gráficamente y rotula la imagen del paralelogramo EFGH al que se le aplica una rotación de 180° alrededor del origen.

b. Describe el movimiento rígido que asigna el paralelogramo E′F′G′H′ de regreso al paralelogramo EFGH Una rotación de 180° alrededor del origen asigna el paralelogramo E′F′G′H′ de regreso al paralelogramo EFGH

EUREKA MATH2

a. Representa gráficamente y rotula la imagen de la curva ST a la que se le aplica una traslación de 1 unidad hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha.

b. Describe el movimiento rígido que asigna la curva S′T′ de regreso a la curva ST

Una traslación de 1 unidad hacia arriba y 4 unidades hacia la izquierda asigna la curva S′T′ de regreso a la curva ST

5. Se muestran el punto P el rectángulo KLMN y el rectángulo K′L′M′N′ K P Lʹ M N K L M N

a. Describe el movimiento rígido que asigna el rectángulo KLMN al rectángulo K′L′M′N′

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P asigna el rectángulo KLMN al rectángulo K′L′M′N′ .

b. Describe el movimiento rígido que asigna el rectángulo K′L′M′N′ de regreso al rectángulo KLMN

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P asigna K′L′M′N′ de regreso a KLMN

EUREKA MATH2

4. Se muestra la curva ST

Se muestran la recta �� el △LMN y el △L

a. Describe el movimiento rígido que asigna el △LMN al △L′M′N′

Una reflexión sobre la recta �� asigna el △LMN al △L′M′N′

b. Describe el movimiento rígido que asigna el △L′M′N′ de regreso al △LMN

Una reflexión sobre la recta �� asigna el △L′M′N′ de regreso al △LMN

7. En el diagrama, se muestran el ⟶ OX , el △LMN y el △L′M′N′ L L OX M M N ʹ N

a. Describe el movimiento rígido que asigna el △LMN al △L′M′N′

Una traslación a lo largo del ⟶ OX asigna el △LMN al △L′M′N′

b. Describe el movimiento rígido que asigna el △L′M′N′ de regreso al △LMN

Una traslación a lo largo del ⟶ XO asigna el △L′M′N′ de regreso al △LMN

8. Una rotación de 45° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P asigna el △XYZ al △X′Y′Z′. Describe el movimiento rígido que asigna el △X′Y′Z′ de regreso al △XYZ.

Una rotación de 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P asigna el △X′Y′Z′ de regreso al △XYZ

9. Una traslación de 3 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba en el plano de coordenadas asigna el punto F al punto F′. Describe el movimiento rígido que asigna el punto F′ de regreso al punto F Una traslación de 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo asigna el punto F′ de regreso al punto F

EUREKA MATH2

Recuerda

En los problemas 10 a 13, multiplica. 10. 5 a(1 5 )

− 11 b( 1 11 )

6x(1 6 ) x

15 z (− 1 15 ) z

14. En el diagrama, se muestran el △ABC y la recta �� A B C 15 mm

15. Considera el diagrama dado, en el que dos rectas se intersecan en el punto B A C B D E (x + 8)° (15x – 52)°

a. ¿Qué relación entre ángulos te ayudaría a hallar el valor de x?

El ∠ABD y el ∠ABC son ángulos suplementarios.

b. Halla la medida del ∠ABD y la medida del ∠ABC. m∠ABD = 22°, m∠ABC = 158°

a. Traza y rotula la imagen del △ABC al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��

b. ¿Cuál es la medida del ∠A′B′C′ ?

65°

c. ¿Cuál es la longitud del A ′ C ′ ?

15 mm

Traslación de 5 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia la izquierda

Reflexión sobre el eje y

Rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

Crear una secuencia de movimientos rígidos

Describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra

Determinar que las propiedades de los movimientos rígidos individuales también se aplican a una secuencia de movimientos rígidos

Vistazo a la lección

Describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna

En esta lección digital, sus estudiantes examinan secuencias de movimientos rígidos al crear y describir movimientos rígidos que asignan una figura a su imagen. Primero, se les presenta el desafío de asignar una figura a otra con un único movimiento rígido, lo que fomenta la necesidad de usar secuencias de movimientos rígidos. Después de aplicar secuencias de movimientos rígidos y de examinar sus propiedades, continúan estudiando las secuencias al participar de un juego llamado Billar con polígonos.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

Pregunta clave

• ¿Tienen las secuencias de movimientos rígidos las mismas propiedades que los movimientos rígidos individuales?

Criterios de logro académico

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental. (8.G.A.1, 8.G.A.1.a, 8.G.A.1.b, 8.G.A.1.c)

8.Mód2.CLA3 Describen una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que muestra la congruencia entre dos figuras dadas. (8.G.A.2)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min D

Aprender 30 min D

• Aplicar secuencias de movimientos rígidos

• Crear secuencias de movimientos rígidos

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Aplicar movimientos rígidos

La clase aplica movimientos rígidos como preparación para asignar una figura a su imagen mediante una secuencia de movimientos rígidos.

Instrucciones: Aplica el movimiento rígido dado.

1. Representa gráficamente la imagen de la figura A a la que se le aplica una traslación de 5 unidades hacia abajo y 8 unidades hacia la izquierda. Rotula la imagen B.

2. Representa gráficamente la imagen de la figura A a la que se le aplica una reflexión sobre el eje x. Rotula la imagen C.

3. Representa gráficamente la imagen de la figura A a la que se le aplica una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen. Rotula la imagen D.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar la hoja extraíble de Movimientos rígidos en un plano de coordenadas.

Presentar

La clase descubre que un único movimiento rígido no siempre puede asignar una figura a su imagen.

Sus estudiantes comienzan la lección intentando usar un único movimiento rígido en el plano para asignar una figura a su imagen cuando se requiere una secuencia de movimientos rígidos.

¿Pudieron usar un único movimiento rígido para asignar la figura a su imagen? ¿Por qué?

No, no hay un único movimiento rígido que asigne la figura a su imagen.

¿Cómo podrían asignar la figura a su imagen?

Podría asignar la figura a su imagen con más de un movimiento rígido.

Aprender

Aplicar secuencias de movimientos rígidos

La clase aplica una secuencia de movimientos rígidos y examina la imagen resultante.

Sus estudiantes aplican una secuencia de movimientos rígidos en el plano de coordenadas para asignar una figura a su imagen. A continuación, examinan las propiedades de los movimientos rígidos individuales y descubren que estas también se aplican a la secuencia.

Después del primer movimiento rígido, ¿cambió la longitud de algún segmento? ¿Cambió la medida de algún ángulo? ¿Cómo lo saben?

No cambiaron las longitudes de los segmentos ni las medidas de los ángulos porque un movimiento rígido mantiene igual la distancia entre dos puntos cualesquiera.

¿Cambió la longitud de algún segmento o la medida de algún ángulo después del segundo movimiento rígido?

Las longitudes de los segmentos y las medidas de los ángulos seguían siendo las mismas.

¿Cambió la longitud de algún segmento o la medida de algún ángulo después de toda la secuencia?

La secuencia mantuvo iguales las longitudes de los segmentos y las medidas de los ángulos.

DUA: Participación

Las actividades digitales están alineadas con el principio de Participación de DUA, dado que incluyen lo siguiente:

• Desafíos de diferentes niveles: cada secuencia se puede realizar con diferentes números de movimientos rígidos, lo que permite que sus estudiantes determinen el nivel de dificultad.

• Opciones que promueven la flexibilidad y la capacidad para elegir: en la actividad, se les permite a sus estudiantes elegir y definir sus propios movimientos rígidos.

• Retroalimentación formativa inmediata: sus estudiantes ven los resultados de los movimientos rígidos que eligieron y pueden conservarlos o ajustarlos.

Crear secuencias de movimientos rígidos

La clase describe una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a su imagen.

Para describir secuencias de movimientos rígidos con figuras e imágenes nuevas, sus estudiantes consideran varias estrategias para determinar secuencias de movimientos rígidos. Al examinar dos figuras en un plano de coordenadas, descubren que hay más de una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a su imagen. Después de haber comparado los movimientos rígidos individuales con secuencias de movimientos rígidos, examinan en qué se diferencian.

¿Cómo saben qué movimiento rígido deben aplicar?

Si la imagen se ve igual que la figura, pero su ubicación ha cambiado, entonces sé que es una traslación. Si la imagen está inclinada, entonces sé que es una rotación. Si la orientación de la imagen es diferente, entonces sé que es una reflexión.

¿En qué se diferencian una secuencia de movimientos rígidos y un único movimiento rígido?

La bola

La tronera

Una secuencia de movimientos rígidos son varios movimientos rígidos seguidos. A veces, se puede asignar una figura a su imagen con un único movimiento rígido, pero, otras veces, se necesita más de un movimiento rígido para hacerlo.

Al igual que en un juego de billar real, sus estudiantes deben hallar una manera de lograr que una bola con forma de polígono entre en una tronera con forma de polígono. Definen secuencias de movimientos rígidos para asignar la bola a la tronera de una mesa de billar. Juegan en varias mesas diferentes, con distintos niveles de dificultad.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando halla puntos de partida, observa su progreso y comprueba que su secuencia de movimientos rígidos asigna un polígono a su imagen en el juego Billar con polígonos.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

• ¿Cuáles son algunas estrategias que pueden probar para lograr que la bola se acerque a la tronera?

• ¿Funciona su secuencia de movimientos rígidos? ¿Hay algo más que puedan intentar hacer?

• ¿Cómo pueden determinar la secuencia de movimientos rígidos al mirar las posiciones de la bola y la tronera?

Nota para la enseñanza

Si bien hay innumerables secuencias correctas para demostrar que una figura se asigna a la otra, las respuestas que se muestran aquí son probables respuestas de la clase. Valide todas las secuencias en las que se describa con precisión cómo asignar una figura a la otra.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra

Determinar que las propiedades de los movimientos rígidos individuales también se aplican a una secuencia de movimientos rígidos

Anime a sus estudiantes a participar de una conversación de toda la clase para hacer una reflexión final sobre la lección.

¿Cómo podemos aplicar más de un movimiento rígido?

El primer movimiento rígido asigna una figura a su imagen. El siguiente movimiento rígido asigna esa imagen a una nueva imagen. Podemos seguir aplicando movimientos rígidos a las nuevas imágenes en el plano.

¿Tienen las secuencias de movimientos rígidos las mismas propiedades que los movimientos rígidos individuales?

Las secuencias de movimientos rígidos mantienen igual la distancia entre dos puntos cualesquiera. Como resultado, cada parte individual de la secuencia no cambia las medidas de los ángulos ni las longitudes de los segmentos. La secuencia entera tampoco cambia las medidas de los ángulos ni las longitudes de los segmentos.

Boleto de

salida

5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Crear una secuencia de movimientos rígidos

En esta lección:

• describimos una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a otra;

• determinamos que las propiedades de los movimientos rígidos individuales también se aplican a una secuencia de movimientos rígidos.

Ejemplo

Considera la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Reflexión sobre el eje y

• Traslación de 2 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba

Imagen del △TUV cuando se aplica la reflexión

Imagen del △TUV cuando se aplica la reflexión seguida de la traslación

a. Representa gráficamente y rotula la imagen del △TUV al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos.

b. La medida del ∠TVU es 90°. ¿Cuál es la medida del ∠T″V″U″ ?

La medida del ∠T″V″U″ es 90°

c. ¿Cómo se relaciona la longitud del T″V″ con la longitud del TV ?

La longitud del T″V″ es igual a la longitud del TV

Las longitudes de los lados y las medidas angulares se mantienen iguales cuando se aplica una secuencia de movimientos rígidos.

EUREKA

Nombre

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. Traza y rotula la imagen del CD al que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto C

• Traslación a lo largo del ⟶ AB

2. Traza y rotula la imagen del △XYZ al que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Traslación a lo largo del ⟶ RS

• Reflexión sobre la recta 𝓁

MATH

3. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura QRST a la que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

• Traslación de 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda

4. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura S a la que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Traslación de 2 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia la izquierda

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

• Reflexión sobre el eje y

Se muestra la figura

En los problemas 6 a 8, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura a su imagen. Tu secuencia puede tener más de un movimiento rígido, aunque los vértices de la imagen estén rotulados con una prima sencilla.

6. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el △DEF al

a. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura EFGH a la que se le aplica la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Reflexión sobre el eje x

• Reflexión sobre el eje y

b. ¿Puede un único movimiento rígido asignar la figura EFGH a su imagen? De ser así, describe ese único movimiento rígido.

Sí, una rotación de 180° alrededor del origen asigna la figura EFGH a su imagen.

Una reflexión sobre la recta 𝓁 seguida de una traslación a lo largo del ⟶

asigna

7. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura ARTE a

8. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el △GOL al

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una reflexión sobre el eje x asigna la figura ARTE a la figura A′R

Una rotación de 180° alrededor del origen seguida de una traslación de 1 unidad hacia abajo y 2 unidades hacia la izquierda asigna el △GOL al △G′O′L′

9. Usa la figura A y el punto P para responder las siguientes preguntas. P A

a. Describe una secuencia de rotaciones que asigne la figura A de regreso a sí misma. Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P seguida de una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P asigna la figura A de regreso a sí misma.

b. Describe una única rotación que asigne la figura A de regreso a sí misma.

Una rotación de 360° alrededor del punto P asigna la figura A de regreso a sí misma.

EUREKA

EUREKA

Recuerda En los problemas 10 a 13, multiplica.

14. La figura A′B′C′ es la imagen de la figura ABC cuando se aplica una rotación alrededor del punto O

15. La medida del ∠ ABC es 30°

a. Si el ∠ABC y el ∠CBE son complementarios, ¿cuál es la medida del ∠CBE ?

b. Si el ∠ABC y el ∠CBF son suplementarios, ¿cuál es la medida del ∠CBF ? 150°

a. ¿Cuál es la medida del A ′ C ′ ?

b. ¿Cuál es la medida del ∠B′A′C′?

EUREKA MATH

EUREKA MATH

Ordenar secuencias de movimientos rígidos

Determinar si importa el orden en el que se aplica una secuencia de movimientos rígidos

Considera la figura P y los siguientes movimientos rígidos.

• Traslación de 2 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia la izquierda

• Reflexión sobre el eje x

P

a. Representa gráficamente la imagen de la figura P a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen Q

b. Representa gráficamente la imagen de la figura P a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen R

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica. Sí, el orden importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, las figuras Q y R están en ubicaciones diferentes.

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes trabajan en parejas con distintas secuencias de movimientos rígidos para determinar si el orden de una secuencia afecta la ubicación de la imagen. En un paseo por la galería, estudian las secuencias de otras parejas y hallan que el orden importa en la mayoría de las secuencias proporcionadas. Luego, intentan hallar secuencias en las que el orden no importe. Concluyen que importa el orden en el que se aplica una secuencia de movimientos rígidos, excepto en raras ocasiones. Sus estudiantes aprenden la importancia de aplicar una secuencia en el orden dado para asegurarse de hallar la ubicación correcta de la imagen de una figura.

Pregunta clave

• ¿Importa el orden en el que se aplica una secuencia de movimientos rígidos? ¿Por qué?

Criterios de logro académico

8.Mód2.CLA2 Reconocen que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de movimientos rígidos. (8.G.A.2)

8.Mód2.CLA4 Usan coordenadas para describir el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales en el plano. (8.G.A.3)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• Explorar el orden

• Prueba y error

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• papel en blanco (6 hojas)

• marcador

• cinta adhesiva

Estudiantes

• transparencia

• hoja extraíble de Aplicar secuencias

• cinta adhesiva (2 trozos por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• Prepare seis afiches con los siguientes rótulos: Secuencia L, Secuencia M, Secuencia N, Secuencia O, Secuencia P y Secuencia Q, y colóquelos en distintos lugares del salón de clases.

Fluidez

Aplicar secuencias de movimientos rígidos

La clase aplica secuencias de movimientos rígidos como preparación para describir secuencias de movimientos rígidos.

Instrucciones: Representa gráficamente la imagen del △ A al que se le aplica la secuencia dada.

1. Aplica una reflexión sobre el eje y seguida de una traslación de 2 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la izquierda. Rotula la imagen B.

2. Aplica una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una reflexión sobre el eje x. Rotula la imagen C.

3. Aplica una traslación de 1 unidad hacia abajo y 2 unidades hacia la derecha seguida de una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen. Rotula la imagen D.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar la hoja extraíble de Secuencia de movimientos rígidos.

Presentar

La clase predice si el orden en el que se aplica una secuencia de movimientos rígidos afecta la ubicación de la imagen de una figura.

Organice a sus estudiantes en parejas y pídales que vayan al problema 1. Pídales que retiren la hoja extraíble de Aplicar secuencias de sus libros y que ubiquen el lado 1 y el lado 2.

Lea las dos oraciones sobre la figura X y la figura Y en voz alta. Luego, use el siguiente planteamiento para comenzar a hacer predicciones sobre las ubicaciones de las imágenes:

Comenten cada una de las secuencias de la tabla con su pareja. Hagan una predicción acerca de si las ubicaciones de la figura X y de la figura Y son las mismas. Registren sí o no como su predicción para cada secuencia de la tabla.

Anime a sus estudiantes a usar el razonamiento para hacer sus predicciones. Como ayuda, pueden examinar las características del lado 1 y el lado 2 de la hoja extraíble y considerar qué movimientos rígidos se incluyen en cada secuencia.

1. La figura X es la imagen de la figura ABC cuando se aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado.

La figura Y es la imagen de la figura ABC cuando se aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto.

Secuencia L (Lado 1)

• Reflexión sobre la recta ��

• Reflexión sobre la recta ��

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción: No.

Real: No.

Secuencia M (Lado 2)

• Traslación de 3 unidades hacia abajo y 6 unidades hacia la derecha

• Reflexión sobre el eje x

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción: No

Real: No.

Secuencia N (Lado 1)

• Traslación a lo largo del ⟶ EF

• Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto O

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción: No.

Real: No.

Secuencia O (Lado 2)

• Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

• Reflexión sobre el eje y

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción: No.

Real: No.

Secuencia P (Lado 1)

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P

• Rotación de 180° alrededor del punto O

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción: No.

Real: No.

Secuencia Q (Lado 2)

• Reflexión sobre el eje x

• Traslación de 3 unidades hacia la derecha

¿Son las ubicaciones de la figura X y la figura Y las mismas?

Predicción: No.

Real: Sí.

Una vez que las parejas hayan completado sus predicciones, use la siguiente pregunta para animar a la clase a participar de una conversación breve:

¿Creen que la ubicación de las dos imágenes, la figura X y la figura Y, será la misma para cada secuencia? ¿Por qué?

No, las ubicaciones de las imágenes deben ser distintas porque la distancia entre la figura y los ejes de reflexión o los centros de rotación puede cambiar según el orden de la secuencia.

Sí, el orden de las secuencias no afectará la ubicación de las imágenes porque aplicamos los mismos movimientos rígidos cada vez.

Creo que será una combinación. Como las secuencias tienen movimientos rígidos diferentes, creo que dependerá de qué movimientos rígidos sean parte de la secuencia. A veces, las ubicaciones de las imágenes serán las mismas y, otras veces, no.

Hoy, aplicaremos secuencias de movimientos rígidos en el orden opuesto para determinar si el orden afecta la ubicación de la imagen de una figura.

Aprender

Explorar el orden

La clase aplica una secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto y determina si importa el orden de la secuencia.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

En esta lección, sus estudiantes participan de un paseo por la galería en el que su trabajo se muestra en el salón de clases.

Pida a sus estudiantes que regresen al problema 1. Luego, haga lo siguiente:

• Asigne a cada pareja una letra que indique una secuencia.

• Pida a cada pareja de estudiantes que halle la secuencia con su letra en la tabla del problema 1 y el lado correcto de la hoja extraíble para la letra de su secuencia.

Para la secuencia que tienen asignada, una persona de la pareja aplicará la secuencia en el orden dado para trazar y rotular la figura X, y la otra persona aplicará la secuencia en el orden opuesto para trazar y rotular la figura Y. 25

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando hace observaciones acerca de la ubicación de una imagen cuando se aplica una secuencia de movimientos rígidos en comparación con la ubicación de la imagen cuando se aplica la misma secuencia en el orden opuesto y halla que cambiar el orden a menudo cambia la ubicación de la imagen.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Qué patrones observan cuando miran las diferentes imágenes de cada secuencia en el paseo por la galería?

• ¿Siempre importará el orden de una secuencia de movimientos rígidos? Expliquen.

A medida que las parejas terminen, pídales que comparen sus ubicaciones de la figura X y la figura Y.

Comparen las ubicaciones de sus imágenes. ¿Son las ubicaciones de la figuras X y Y las mismas? Registren sí o no junto a Real para la secuencia que tienen asignada.

Sus estudiantes completan solo la celda de la tabla que contiene la secuencia con su letra. Completarán el resto de la tabla durante el paseo por la galería.

Una vez que las parejas completan la celda que contiene la secuencia con su letra, dirija su atención al afiche exhibido que corresponde a esa secuencia. Pida a cada pareja que pegue con cinta adhesiva sus dos hojas extraíbles de Aplicar secuencias, una al lado de la otra, debajo del afiche correspondiente.

Para comenzar el paseo por la galería, pida a las parejas que visiten cada afiche exhibido en el salón de clases. Pida a sus estudiantes que analicen ambas secuencias para cada letra que indique una secuencia a fin de determinar si el orden importa. Pídales que registren sus conclusiones en la tabla del problema 1 para cada letra de una secuencia. Dé 10 minutos como máximo para que completen el paseo por la galería. Considere configurar un temporizador con 1 minuto y 30 segundos por cada letra que indique una secuencia.

Después de que las parejas hayan completado la tabla del problema 1, pida a sus estudiantes que vuelvan a sus asientos. Pida a cada pareja que compare sus predicciones originales acerca del orden con sus conclusiones reales y que comente las razones posibles de las discrepancias.

Use los siguientes planteamientos para hacer una encuesta rápida a la clase. Después de leer cada enunciado, pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba o hacia abajo para indicar si están de acuerdo o en desacuerdo con el enunciado. Pídales que compartan ejemplos correctos y ejemplos erróneos del paseo por la galería para apoyar su decisión:

• El orden en el que se aplican las secuencias de movimientos rígidos nunca importa.

• El orden en el que se aplican las secuencias de movimientos rígidos siempre importa.

• El orden en el que se aplican las secuencias de movimientos rígidos a menudo importa.

Prueba y error

La clase crea una secuencia de movimientos rígidos en la que el orden no importa.

Pida a las parejas de estudiantes que vayan a los problemas de Prueba y error. Lea las instrucciones en voz alta, incluidos los planteamientos de los problemas 2 y 3. Mientras sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases a fin de identificar parejas para que compartan sus secuencias durante la conversación de toda la clase.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere usar la Herramienta para la conversación a lo largo de esta lección a fin de apoyar las conversaciones de sus estudiantes. Para eso, use los siguientes ejemplos:

• Pida a sus estudiantes que usen los esquemas de oración de la sección

Compartir tu razonamiento cuando comenten si el orden importa en su secuencia de movimientos rígidos dada.

• Mientras sus estudiantes recorren el salón de clases al realizar el paseo por la galería, considere pedirles que usen la sección Decirlo otra vez para reformular cómo otras personas describen si el orden importa en cada secuencia de movimientos rígidos.

En los problemas 2 y 3, crea una secuencia de dos movimientos rígidos en la que no importe el orden.

• Usa el plano o el plano de coordenadas.

• Traza los vectores, ejes de reflexión o puntos de rotación que sean necesarios.

• Escribe las secuencias en el espacio provisto en los problemas 2 y 3.

Plano:

Plano de coordenadas:

DUA: Participación

Facilite el desarrollo personal de estrategias y destrezas para afrontar los problemas mientras sus estudiantes trabajan en parejas en los problemas 2 y 3. Recuérdeles que, cuando tenemos dificultades o cometemos errores, estamos aprendiendo. Diga a la clase que son pocos los casos en los que el orden de la secuencia no importa, por lo que hallar uno puede ser una tarea desafiante.

Comente cualquiera de las siguientes estrategias para afrontar la frustración y perseverar:

• Hagan una pausa para respirar profundamente y tranquilizarse antes de volver a trabajar.

• Hagan una lista de las distintas combinaciones de movimientos rígidos que pueden probar.

• Para probar un enfoque diferente, usen solo el plano o el plano de coordenadas.

2. Usa el mismo tipo de movimiento rígido para ambos movimientos.

• •

3. Usa un tipo diferente de movimiento rígido para cada movimiento.

• • Después de que la mayoría de las parejas hayan hallado una secuencia en la que el orden no importe, o cuando el esfuerzo ya no sea productivo, pida a algunas de ellas que compartan con la clase sus secuencias de movimientos rígidos. Algunas de sus secuencias pueden incluir los siguientes movimientos rígidos:

• Dos traslaciones

• Dos rotaciones alrededor del mismo punto

• Dos reflexiones sobre rectas perpendiculares

• Una traslación y una reflexión donde el vector es paralelo al eje de reflexión

Pida a sus estudiantes que describan su experiencia al hallar las secuencias en los problemas 2 y 3.

¿Fue difícil hallar una secuencia de movimientos rígidos que, al aplicarse en cualquier orden, mantuviera las imágenes en la misma ubicación? ¿Por qué?

Sí, fue difícil porque hay más secuencias en las que el orden importa y solo unas pocas en las que el orden no importa.

No, no fue difícil hallar una secuencia con el mismo tipo de movimiento rígido. Fue más difícil hallar una secuencia con distintos tipos de movimientos rígidos en la que el orden no importa.

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan apoyo para hallar una secuencia de dos movimientos rígidos diferentes en la que el orden no importe, pregúnteles qué observan acerca de los movimientos rígidos de la secuencia Q del paseo por la galería. Pregunte si se les ocurre una secuencia con características semejantes.

Diferenciación: Desafío

Si sus estudiantes hallan rápidamente una secuencia de dos movimientos rígidos diferentes en la que el orden no importe, pídales que hallen otra secuencia con una combinación diferente de movimientos rígidos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Determinar si importa el orden en el que se aplica una secuencia de movimientos rígidos

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase.

Anime a sus estudiantes a reformular o complementar las respuestas de sus pares.

¿Importa el orden en el que se aplica una secuencia de movimientos rígidos?

En las secuencias de movimientos rígidos, el orden importa en la mayoría de los casos. En algunos, el orden no importa.

¿Qué significa cuando decimos que importa el orden en una secuencia de movimientos rígidos?

¿Cómo lo sabemos?

Si las imágenes están en la misma ubicación cuando se aplican los movimientos rígidos de la secuencia en un orden diferente, sabemos que el orden no importa. Si las imágenes están en ubicaciones diferentes cuando se aplican los movimientos rígidos de la secuencia en un orden diferente, sabemos que el orden importa. Cuando el orden importa, debemos aplicar los movimientos rígidos en el orden dado en la secuencia para hallar la ubicación correcta de la imagen.

Den un ejemplo de cuando el orden no importa al aplicar una secuencia de movimientos rígidos.

El orden de una secuencia de movimientos rígidos no importa en una secuencia de traslaciones.

Den un ejemplo de cuando el orden sí importa al aplicar una secuencia de movimientos rígidos.

El orden importa en una secuencia de movimientos rígidos como una traslación seguida de una rotación.

En algunos casos, el orden de una secuencia de movimientos rígidos no importa porque las imágenes están en la misma ubicación. Sin embargo, en la mayoría de los casos el orden sí importa. Por lo tanto, es importante aplicar los movimientos rígidos en el orden dado para hallar correctamente la ubicación de la imagen.

Boleto de salida

5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Ordenar secuencias de movimientos rígidos

En esta lección:

• hallamos que, cuando una secuencia de movimientos rígidos se aplica en un orden diferente, la imagen está a menudo en una ubicación diferente;

• determinamos cuándo importa el orden en una secuencia de movimientos rígidos.

Ejemplo

Considera la siguiente secuencia de movimientos rígidos.

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O

• Reflexión sobre la recta ��

Imagen del △R cuando se aplica la rotación seguida de la reflexión

Imagen del △R cuando se aplica la reflexión seguida de la rotación

a. Traza la imagen del △R al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen X

© Great Minds PBC

b. Traza la imagen del △R al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen Y

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

Sí, el orden importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, el △ X y el △Y, están en ubicaciones diferentes.

EUREKA MATH2

© Great Minds PBC

EUREKA MATH

Nombre

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

PRÁCTICA

1. Considera el punto P y los siguientes movimientos rígidos.

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

• Traslación de 6 unidades hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha

2. Considera el punto P, el ST , la recta �� y los siguientes movimientos rígidos.

• Reflexión sobre la recta ��

• Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P S Y Z T W X P

a. Marca la imagen del punto P al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen Q

b. Marca la imagen del punto P al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen R

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

Sí, el orden importa para esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, los puntos Q y R, están en ubicaciones diferentes.

a. Traza la imagen del ST al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen WX

b. Traza la imagen del ST al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen YZ

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica.

Sí, el orden importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, el WX y el YZ , están en ubicaciones diferentes.

3. Considera el paralelogramo JKLM y los siguientes movimientos rígidos.

• Traslación de 5 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia la izquierda

• Traslación de 1 unidad hacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda

4. Considera la figura W, el punto P el ⟶ YZ y los siguientes movimientos rígidos.

• Rotación de 180° alrededor del punto P

• Traslación a lo largo del ⟶ YZ

a. Representa gráficamente la imagen del paralelogramo JKLM al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A.

b. Representa gráficamente la imagen del paralelogramo JKLM al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen B.

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica. No, el orden no importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, los paralelogramos A y B, están en la misma ubicación.

a. Traza la imagen de la figura W a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A

b. Traza la imagen de la figura W a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen B

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica. Sí, el orden importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, las figuras A y B, están en ubicaciones diferentes.

EUREKA MATH

EUREKA MATH2

5. Considera el △T y los siguientes movimientos rígidos.

• Traslación de 3 unidades hacia abajo y 2 unidades hacia la izquierda

• Reflexión sobre el eje y

a. Representa gráficamente la imagen del △T al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A

b. Representa gráficamente la imagen del △T al que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden opuesto. Rotula la imagen B

c. ¿Importa el orden cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica. Sí, el orden importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, el △A y el △B, están en ubicaciones diferentes.

6. Dada una descripción de una secuencia de reflexiones, identifica la imagen de la figura A 𝓁 𝓃 𝓂 A Y W Z V X

a. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

Figura V

b. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

Figura Y

c. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

Figura X

d. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

Figura Z

e. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

Figura W

f. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una reflexión sobre la recta ��

Figura W

Recuerda

En los problemas 7 a 10, divide. 7. 5 a

12. Considera un segmento que tiene los extremos (−3, 5) y (−3, −4)

a. Marca los puntos y crea el segmento en el plano de coordenadas.

11. Representa gráficamente y rotula la imagen de la figura ABCD a la que se le aplica una traslación de 7 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.

b. ¿Cuál es la longitud del segmento?

9 unidades

Great Minds PBC

Figuras congruentes

Describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra figura congruente

En el diagrama, la figura DEFG ≅ la figura WXYZ. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura DEFG a la figura WXYZ.

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes intentan aplicar una secuencia de movimientos rígidos en la que no se dan los vectores, los centros de rotación ni los ejes de reflexión. En una conversación, concluyen que las descripciones de las secuencias son más claras cuando las figuras comparten un punto o un segmento. Inmediatamente, aplican este conocimiento para describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra figura congruente, asignando primero un punto o un lado correspondiente. Sus estudiantes comparten estas descripciones con una pareja de trabajo que hace preguntas aclaratorias para asegurarse de que las descripciones sean lo más replicables y precisas posibles. En esta lección, se define formalmente el término congruente.

Una traslación a lo largo del ⟶ FY asigna el punto F al punto Y. Luego, una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto Y asigna la figura DEFG a la figura WXYZ

Preguntas clave

• ¿Qué significa que dos figuras sean congruentes?

• ¿Qué estrategia podemos usar para hallar una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra figura congruente?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA3 Describen una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que muestra la congruencia entre dos figuras dadas. (8.G.A.2)

Nombre

Fecha

BOLETO DE SALIDA

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Figuras que se tocan

• Figuras que están separadas

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• transparencia

Estudiantes

• transparencia

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Identificar la imagen

La clase identifica la imagen a la que se le aplica un movimiento rígido dado como preparación para describir una secuencia de movimientos rígidos.

Instrucciones: Identifica la imagen del △ X al que se le aplica el movimiento rígido dado.

Traslación a lo largo

2. Reflexión sobre la recta ��

3. Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P

4. Traslación a lo largo del ⟶ ON

5. Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P

La clase reconoce que, para aplicar una secuencia de movimientos rígidos, es necesario que se dé información específica.

Asegúrese de que cada estudiante tenga una transparencia y un marcador de borrado en seco. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 y lea las instrucciones en voz alta a la clase. Luego, pídales que completen el problema 1 de manera independiente.

1. ¿Se asignará la figura ABCD a la figura EFGH si se usa la siguiente secuencia de movimientos rígidos?

• Aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto X. El punto X está ubicado directamente debajo del punto C.

• Aplica una reflexión sobre la recta ��. La recta �� es una recta vertical que está a la derecha del CD .

Nota para la enseñanza

Las instrucciones del problema 1 son imprecisas intencionalmente y no muestran el punto ni la recta en el diagrama. Esto permite que sus estudiantes experimenten cierta incertidumbre acerca de las ubicaciones del punto y la recta. El objetivo de esta actividad es demostrar la necesidad de contar con una manera precisa de identificar un punto de rotación y un eje de reflexión.

Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, o cuando el esfuerzo ya no sea productivo, pídales que se reúnan y conversen en parejas sobre si pudieron asignar la figura ABCD a la figura EFGH. Luego, guíe a sus estudiantes con las siguientes preguntas para que comenten qué les faltaba a las instrucciones y cómo eso afectó su trabajo:

¿Qué información necesitamos para aplicar una rotación?

Para aplicar una rotación, necesitamos el ángulo de rotación, el sentido de la rotación y el centro de rotación.

¿Qué información necesitamos para aplicar una reflexión?

Para aplicar una reflexión, necesitamos el eje de reflexión.

¿Pudieron asignar la figura ABCD a la figura EFGH? ¿Por qué?

No. Aunque los enunciados sobre cómo aplicar cada movimiento rígido son precisos, en el diagrama no se muestra la ubicación del centro de rotación ni el eje de reflexión. Necesito las ubicaciones exactas del punto X y la recta �� para poder asignar la figura ABCD a la figura EFGH.

Hoy, aprenderemos a describir con precisión una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra usando el lenguaje preciso que ya conocemos para cada movimiento rígido.

Aprender

Figuras que se tocan

La clase describe una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a otra figura congruente cuando las figuras comparten un punto o un segmento.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 4. Pídales que estudien los diagramas y, luego, use las siguientes preguntas para saber qué observan y qué se preguntan:

¿Qué observan?

Observo que en todos los problemas hay dos triángulos.

Observo que los triángulos se ven iguales en cada problema.

Observo que los triángulos están conectados ya sea en un vértice o por un lado.

¿Qué se preguntan?

Me pregunto por qué los rótulos de los vértices no tienen primas.

Me pregunto por qué los triángulos están conectados.

Si sus estudiantes no se preguntan por qué los nombres de los triángulos no tienen notación prima, sugiéralo usted como pregunta adicional.

El orden en el que escribimos los vértices cuando nombramos dos figuras puede ayudarnos a determinar las partes correspondientes de las figuras. Por ejemplo, en el problema 3 se indica que se debe asignar el △ ABC al △ DBE.

¿Cuáles son los vértices correspondientes cuando asignamos un triángulo al otro en el problema 3?

El vértice A se corresponde con el vértice D, el vértice B se corresponde con el vértice B y el vértice C se corresponde con el vértice E.

¿Cuáles son los ángulos correspondientes cuando asignamos un triángulo al otro?

El ∠ ABC se corresponde con el ∠DBE, el ∠ BCA se corresponde con el ∠BED y el ∠CAB se corresponde con el ∠ EDB.

¿Cuáles son los segmentos correspondientes cuando asignamos un triángulo al otro?

El AB se corresponde con el DB , el BC se corresponde con el BE y el CA se corresponde con el ED .

Saber qué partes se corresponden entre sí es útil para describir la secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a la otra.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 2 a 4 en parejas. Mientras trabajan, preste atención al lenguaje preciso que usan para describir cada secuencia. Identifique parejas que tengan secuencias diferentes en los problemas 3 y 4 para que compartan sus secuencias con la clase durante la conversación.

En los problemas 2 y 3, describe una secuencia de movimientos rígidos que muestre la aplicación, o cómo se asignó una figura a otra única figura correspondiente. Traza los vectores, ejes de reflexión o centros de rotación que sean necesarios.

2. Asigna el △ ABC al △ DBC.

Una reflexión sobre la ⟷ BC asigna el △ ABC al △ DBC.

3. Asigna el △ ABC al △ DBE.

Una rotación de 180° alrededor del punto B asigna el △ ABC al △ DBE.

4. Considera el △ ABC y el △ DBE. Describe una secuencia de movimientos rígidos que muestre la aplicación, o cómo se asignó una figura a la otra. Traza los vectores, ejes de reflexión o centros de rotación que sean necesarios.

a. Asigna el △ ABC al △ DBE.

Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto B asigna el BC al BE . Luego, una reflexión sobre la ⟷ BE asigna el △ ABC al △ DBE

b. Asigna el △ DBE al △ ABC.

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto B asigna el BE al BC . Luego, una reflexión sobre la ⟷ BC asigna el △ DBE al △ ABC.

Confirme la respuesta del problema 2. Luego, invite a las parejas que haya identificado a compartir sus respuestas a los problemas 3 y 4 con la clase. Pida a sus estudiantes que usen su transparencia para confirmar si cada respuesta compartida es diferente de sus respuestas.

Luego, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Hay una sola secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra? ¿Cómo lo saben?

No, porque puedo rotar en ambos sentidos o usar una secuencia de movimientos rígidos diferente.

Sin que se dé ningún vector, eje de reflexión o centro de rotación, ¿cómo determinaron qué movimientos rígidos aplicar?

Asigné pares de puntos correspondientes.

Nota para la enseñanza

En lugar de aplicar una rotación seguida de una reflexión, sus estudiantes pueden trazar su propio eje de reflexión. Celebre todas las secuencias correctas que asignen el △ ABC al △ DBE.

Una reflexión sobre la ⟷ BZ  asigna el △ ABC al △ DBE

¿En qué se parecen los problemas 2 a 4?

Los triángulos comparten un segmento o un punto.

¿Cómo usaron el segmento compartido como ayuda para describir una secuencia de movimientos rígidos?

Como el segmento compartido es parte de una recta, usé los vértices para nombrar un eje de reflexión. Luego, apliqué una reflexión sobre la recta para asignar otro par de puntos correspondientes a cada triángulo.

Para aplicar una reflexión, necesitamos un eje de reflexión. Cuando dos figuras tienen un segmento compartido, podemos usar los vértices para nombrar el eje de reflexión.

¿Cómo usaron un punto compartido como ayuda para describir una secuencia de movimientos rígidos?

Probé una rotación alrededor del punto compartido para asignar otro par de puntos correspondientes a cada figura.

Pida a sus estudiantes que consulten el problema 2. Luego, use los planteamientos y las preguntas que siguen para generar descripciones de figuras congruentes sin usar la palabra congruente:

Sabemos que el △ ABC puede asignarse al △ DBC. Describan la relación entre los dos triángulos.

Los triángulos tienen las mismas longitudes de segmento y medidas de los ángulos.

Después de una secuencia de movimientos rígidos, el △ ABC coincide exactamente con el △ DBC.

Muestre el enunciado de congruencia, △ ABC ≅ △ DBC, para que sus estudiantes lo observen.

Una figura es congruente con otra si existe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. Usamos un símbolo para demostrar que dos figuras son congruentes. En el problema 2, podemos escribir △ ABC ≅ △ DBC y decir: “El triángulo ABC es congruente con el triángulo DBC”.

¿Qué enunciado de congruencia se puede escribir en el problema 4(a)?

△ ABC ≅ △ DBE

¿Qué enunciado de congruencia se puede escribir en el problema 4(b)?

△ DBE ≅ △ ABC

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Mientras la clase define el término congruente, considere brindar a sus estudiantes ejemplos correctos y ejemplos erróneos como apoyo para la definición.

Congruente: No congruente:

Si podemos hallar una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a una segunda figura, ¿podremos siempre hallar una secuencia que asigne la segunda figura de regreso a la primera? Expliquen.

Sí, aprendimos cómo asignar una imagen de regreso a la figura original con traslaciones, reflexiones y rotaciones. Entonces, podemos aplicar esas mismas reglas a los movimientos rígidos de cualquier secuencia.

Cuando se da un enunciado de congruencia, sabemos que podemos hallar una secuencia de movimientos rígidos para asignar la primera figura a la segunda o la segunda figura a la primera.

¿Podemos también escribir △ BCA ≅ △ BED en el problema 4(a)? ¿Por qué?

Sí, podemos escribir △ BCA ≅ △ BED porque los puntos correspondientes todavía coinciden.

El punto B se corresponde con el punto B, el punto C con el punto E y el punto A con el punto D.

¿Podemos también escribir △CBA ≅ △ DBE en el problema 4(a)? ¿Por qué?

No, no podemos escribir △ CBA ≅ △ DBE porque los puntos correspondientes no coinciden.

El punto C no se corresponde con el punto D y el punto A no se corresponde con el punto E.

Podemos usar enunciados de congruencia para identificar los puntos correspondientes.

Ahora que conocemos los enunciados de congruencia, podemos usarlos como ayuda para describir con precisión la secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura dada en el enunciado a la otra.

Figuras que están separadas

La clase describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a otra figura congruente.

Muestre el problema 5 y pida a sus estudiantes que vayan al problema en sus libros. Pídales que piensen en los movimientos rígidos que usarían para asignar una figura a otra figura congruente. Luego, invite a sus estudiantes a compartir sus ideas con la clase.

¿Qué movimientos rígidos se deben aplicar para asignar la figura REINA a la figura LUJOS?

Se debe aplicar una traslación y una rotación.

¿Qué movimiento rígido creen que se debe aplicar primero en la secuencia? ¿Por qué?

Se debe aplicar una traslación para hacer que las figuras se toquen en un punto.

Se debe aplicar una rotación para hacer que las figuras apunten en el mismo sentido.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando usa el enunciado de congruencia para determinar qué partes de las figuras se corresponden entre sí.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿Qué significa el símbolo ≅ en este problema?

• ¿En qué detalles es importante pensar cuando se da un enunciado en el que una figura es congruente con otra?

• ¿Cuánta precisión o cuánto cuidado necesitan tener al describir los movimientos rígidos?

Pida a sus estudiantes que completen el problema 5 en parejas. Pida a una persona de la pareja que comience con una traslación y a la otra persona que comience con una rotación. Cada integrante de la pareja debe escribir la descripción precisa de la secuencia.

En los problemas 5 a 8, describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a otra figura congruente. Traza los vectores, ejes de reflexión o centros de rotación que sean necesarios.

5. Figura REINA ≅ figura LUJOS

Una traslación a lo largo del ⟶ EU asigna el punto E al punto U. Luego, una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto U asigna la figura REINA a la figura LUJOS.

Cuando la mayoría haya terminado, pida a sus estudiantes que intercambien sus descripciones con su pareja. Dé tiempo para que lean en silencio y confirmen la secuencia de su pareja usando una transparencia. Luego, invite a las parejas a hacer preguntas aclaratorias y ofrecer valoraciones sobre las respuestas de la otra persona. Recorra el salón de clases y preste atención al lenguaje preciso que usan en sus conversaciones. Anime a sus estudiantes a participar de una conversación de toda la clase.

A quienes aplicaron una rotación primero, ¿cuáles fueron algunas de las preguntas aclaratorias que hizo su pareja?

¿Cómo determinaste el ángulo de rotación?

¿Cómo determinaste el centro de rotación?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Mientras analizan el trabajo de sus parejas, anime a sus estudiantes a usar la sección Preguntar sobre el razonamiento de la Herramienta para la conversación a fin de desarrollar preguntas aclaratorias.

Al aplicar una rotación primero, ¿cómo determinaron el ángulo de rotación?

Apliqué la rotación hasta que dos de los segmentos correspondientes parecían paralelos.

¿Creen que su ángulo de rotación es preciso? ¿Por qué?

No, el ángulo de rotación no es preciso porque no sé con certeza si los segmentos son paralelos.

A quienes aplicaron una traslación primero, ¿cuáles fueron algunas de las preguntas aclaratorias que hizo su pareja?

¿Cómo determinaste la longitud del vector?

¿Cómo determinaste el sentido del vector?

Al aplicar una traslación primero, ¿cómo determinaron la longitud y el sentido del vector?

Usé un punto en la figura original y su punto correspondiente en la imagen para determinar la longitud y el sentido del vector.

¿Creen que la longitud y el sentido de sus vectores son precisos? ¿Por qué?

Sí, la longitud y el sentido son precisos porque usé puntos que ya estaban dados para describir el vector.

Usar los puntos correspondientes dados asegura la precisión del vector. Después de aplicar la traslación, ¿cómo describieron la rotación?

Una vez que apliqué la traslación, las figuras tenían un punto en común. Entonces, pude usar ese punto como el centro de rotación. Luego, usé mi transparencia para aproximar el ángulo de rotación.

¿Cuál de estas dos técnicas es más precisa?

Aplicar la traslación primero es más preciso porque se pueden usar los puntos dados y no es necesario determinar si los segmentos correspondientes son paralelos.

Muestre el problema 6 y pida a sus estudiantes que vayan al problema en sus libros. Pregúnteles qué observan en el diagrama. Si no observan los arcos en los ángulos, señale los arcos y pregunte si alguien más observó esto en el diagrama. Señale los arcos mientras usa los planteamientos y las preguntas que siguen para guiar una conversación:

Estos diagramas tienen arcos en algunos de los ángulos. ¿Qué creen que significan esos arcos?

Los arcos están allí para que nos enfoquemos en los ángulos.

Los arcos demuestran qué ángulos son congruentes. Los ángulos con exactamente los mismos arcos son congruentes unos con otros.

Los arcos significan que el ∠OHY es congruente con el ∠EMS, el ∠HOY es congruente con el ∠MES y el ∠HYO es congruente con el ∠MSE.

Cuando los arcos son diferentes, significa que los ángulos no son congruentes.

Los arcos de los ángulos nos indican si los ángulos son congruentes unos con otros. Si un ángulo tiene un arco, es congruente con cualquier otro ángulo con un arco. No es congruente con ningún ángulo que tenga un número diferente de arcos.

¿Cómo pueden estos arcos ayudarnos a determinar la secuencia de movimientos rígidos que asigna un triángulo a otro triángulo congruente?

Ahora podemos saber qué ángulos son correspondientes. No necesitamos basarnos solo en el enunciado de congruencia.

Podemos usar el enunciado de congruencia o los arcos como ayuda para determinar las partes correspondientes de las figuras. Esto nos ayuda a describir los movimientos rígidos que asignan una figura a otra figura congruente.

Pida a sus estudiantes que trabajen en el problema 6 de manera individual. Recorra el salón de clases mientras trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar su razonamiento:

• ¿Qué movimientos rígidos es necesario aplicar para asignar una figura a la otra? ¿Cómo lo saben?

• ¿Qué características del diagrama les ayudaron a decidir qué movimiento rígido aplicar primero?

DUA: Representación

Para ayudar a sus estudiantes a escribir enunciados de congruencia precisos en el problema 6, considere pedirles que usen resaltadores fluorescentes o marcadores a fin de identificar los ángulos correspondientes con un código de colores.

Una traslación a lo largo del ⟶ HM asigna el punto H al punto M, una rotación de 180° alrededor del punto M asigna el HO al ME y una reflexión sobre la ⟷ ME asigna el △HOY al △ MES.

A medida que sus estudiantes terminen, pídales que intercambien sus descripciones con alguien de la clase y anime a las parejas a ofrecer valoraciones sobre el trabajo de la otra persona. Recorra el salón de clases y haga las siguientes preguntas:

• ¿Qué movimientos rígidos usaron? ¿Usaron sus parejas los mismos movimientos rígidos?

• ¿En qué orden usaron los movimientos rígidos? ¿En qué orden usaron los movimientos rígidos sus parejas?

• ¿Qué estrategia usaron para hallar la secuencia de movimientos rígidos? ¿Qué estrategia usaron sus parejas?

• Después de hablar con sus parejas, ¿hay algo que cambiarían sobre la estrategia que usaron ustedes para abordar estos problemas en el futuro?

Luego, realice una encuesta a la clase y pida a sus estudiantes que levanten la mano si su secuencia no incluye una reflexión. Use los planteamientos y las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Creen que es posible asignar el △ HOY al △ MES sin usar una reflexión? ¿Por qué?

No, no creo que sea posible sin una reflexión porque las orientaciones de las dos figuras son diferentes.

Nota para la enseñanza

Se pueden usar muchas secuencias de movimientos rígidos para asignar una figura a otra. Por eso, sus estudiantes pueden elegir un vector, un eje de reflexión o un centro de rotación diferente del que se muestra en las respuestas provistas. Valide todas las secuencias que describan con precisión cómo asignar una figura a la otra.

Diferenciación: Apoyo

Para quienes no sepan con certeza cómo comenzar a hallar una secuencia de movimientos rígidos, sugiera que primero usen una traslación. Pueden asignar un punto o un segmento en una figura a su punto o segmento correspondiente en la otra figura. Sus estudiantes pueden sentir que es más fácil reconocer rotaciones o reflexiones que se necesitan para asignar una figura a otra cuando las figuras ya comparten un punto o un segmento.

En el enunciado de congruencia, miren la orientación, o el orden de las letras, en los nombres de los triángulos.

¿En qué sentido, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, leen los nombres de los vértices del △HOY?

En sentido contrario a las manecillas del reloj

¿En qué sentido, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, leen los nombres de los vértices del △MES?

En el sentido de las manecillas del reloj

Dado que las orientaciones del △ HOY y el △ MES son diferentes, tenemos que usar una reflexión en algún lugar de nuestra secuencia para asignar un triángulo al otro.

Continúe comentando las secuencias que sus estudiantes pueden usar para asignar un triángulo al otro en el problema 6. Anime a diferentes estudiantes a compartir sus secuencias, ya que hay muchas maneras de completar la aplicación.

Para que sus estudiantes vean las estrategias que usaron sus pares, considere usar algunas de las siguientes preguntas:

• ¿Cómo hallaron el eje de reflexión de su reflexión? ¿Tuvieron alguna dificultad para hallar el eje de reflexión?

• ¿Incluían sus secuencias una traslación? De ser así, ¿cómo hallaron el vector de su traslación? ¿Tuvieron alguna dificultad para hallar el vector de su traslación?

• ¿Incluían sus secuencias una rotación? De ser así, ¿cómo hallaron el centro y el ángulo de rotación?

¿Tuvieron alguna dificultad para hallar el centro y el ángulo de rotación?

• ¿El orden de los movimientos rígidos de sus secuencias hizo que fuera más fácil o más difícil hallar el vector, el eje de reflexión o el centro y el ángulo de rotación? ¿Por qué?

Si hay suficiente tiempo, pida a sus estudiantes que completen los problemas 7 y 8 de manera individual y que comparen las respuestas en parejas. Recorra el salón de clases mientras trabajan. Para incentivar su razonamiento, use las mismas preguntas que hizo durante la conversación de toda la clase del problema 6.

Una traslación a lo largo del ⟶ AL asigna el AU al LC , seguida de una reflexión sobre la ⟷ LC que asigna el △ UVA al △ COL.

Una traslación a lo largo del ⟶ PD asigna el punto P al punto D, seguida de una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto D que asigna el PE al DA , seguida de una reflexión sobre la ⟷ DA que asigna la figura PIE a la figura DRA

Invite a un grupo pequeño a compartir sus descripciones con la clase. Anime a sus estudiantes a pedir a sus compañeras y compañeros que usen un lenguaje preciso.

Nota para la enseñanza

Dado que las figuras PIE y DRA son simétricas, sus estudiantes pueden asignar por error la figura PIE a la figura DAR. Anime a sus estudiantes a analizar con cuidado el enunciado de congruencia para asegurarse de que estén asignando los vértices correspondientes entre las figuras.

Considere sugerirles que usen una ayuda visual para indicar los vértices correspondientes en el diagrama, como hacer coincidir el número de arcos o usar un código de colores.

8. Figura PIE ≅ figura DRA

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra figura congruente

Use las preguntas y el planteamiento que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿Qué significa que dos figuras sean congruentes?

Las dos figuras son congruentes si existe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra.

Describan su estrategia para hallar una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra.

Mi estrategia depende de las figuras. Si ya tienen algo en común, como un punto o un lado, puedo usar el punto como centro de rotación o los vértices de un lado para nombrar un eje de reflexión. Si las figuras no tienen un punto o un lado en común, puedo comenzar con una traslación que asigne un par de puntos correspondientes, o un par de lados correspondientes, entre ellas.

¿Es siempre necesario aplicar los movimientos rígidos en un orden en particular? ¿Por qué?

No, porque hay muchas secuencias que asignan una figura a la otra.

¿Cuáles son las ventajas de usar un punto de la figura como centro de rotación y los vértices de un lado de la figura para nombrar un eje de reflexión?

Usar un punto o un lado que ya está en la figura me ayuda a describir con precisión la secuencia de movimientos rígidos sin tener que agregar puntos o rectas adicionales al diagrama.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Figuras congruentes

En esta lección:

• usamos un enunciado de congruencia para hallar los vértices correspondientes;

• describimos una secuencia de movimientos rígidos para asignar una figura a otra figura congruente.

Ejemplo

RESUMEN

Vocabulario

Una figura es congruente con otra si existe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra.

Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a otra figura congruente. Traza un vector, un eje de reflexión o un centro de rotación si es necesario.

En el diagrama, la figura BUEN ≅ la figura ARCO

En el enunciado de congruencia se muestran estos vértices correspondientes.

B y A

U y R

E y C

N y O

B

U E

Se puede usar cualquier par de vértices correspondientes como el punto de aplicación y el extremo de un vector.

Una traslación a lo largo del ⟶ EC asigna el punto E al punto C Luego, una reflexión sobre la ⟷ RC asigna la figura BUEN a la figura ARCO

Comprueba esta secuencia con una transparencia para asignar la figura BUEN a la figura ARCO

EUREKA MATH2

Nombre Fecha

© Great Minds PBC

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

En los problemas 1 y 2, identifica cuál de las secuencias de movimientos rígidos dadas asigna una figura del diagrama a la figura congruente. Elige todas las opciones que correspondan.

1. △ABC ≅ △ADE

A. Una rotación de 180° alrededor del punto A

B. Una traslación a lo largo del ⟶ CD seguida de una reflexión sobre la recta que contiene el DE

C. Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto A seguida de una reflexión sobre la recta que contiene el AE

D. Una reflexión sobre la recta que contiene el AC seguida de una reflexión sobre la recta que contiene el AD

A L T R P O

A. Una traslación a lo largo del ⟶ OA , una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto A y una reflexión sobre la ⟷ AL

B. Una traslación a lo largo del ⟶ OA , una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto A y una reflexión sobre la ⟷ AL

C. Una traslación a lo largo del ⟶ PT , una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto T y una reflexión sobre la ⟷ TA

D. Una traslación a lo largo del ⟶ PT , una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto T y una reflexión sobre la ⟷ TA

En los problemas 3 a 6, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la figura congruente.

3. Figura MOSCA ≅ figura VUELA M O S C A V U E L

Una rotación de 180° alrededor del punto A asigna la figura MOSCA a la figura VUELA

Una reflexión sobre la ⟷ SL asigna el △SAL al △SOL

5. Cuadrado ABCD ≅ cuadrado EFGH

Una traslación a lo largo del ⟶ AE asigna el punto A al punto E. Luego, una reflexión sobre la ⟷ EF asigna el cuadrado ABCD al cuadrado EFGH

6. Rectángulo MESA ≅ rectángulo PINO M A OP

S E

Una traslación a lo largo del ⟶ AO asigna el punto A al punto O. Luego, una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto O asigna el rectángulo MESA al rectángulo PINO

7. Describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna el △ABC al △XYZ X Y Z A B C

Una traslación a lo largo del ⟶ AX asigna el punto A al punto X, una rotación de 45° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto X asigna el AC al XZ y una reflexión sobre la ⟷ XZ asigna el △ABC al △XYZ

EUREKA MATH

8. Las figuras del diagrama son congruentes. Tanto Maya como Ethan escriben una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a la otra.

Maya: Una traslación a lo largo del ⟶ MS seguida de una reflexión sobre la ⟷ SO asigna la figura MAR a la figura SOL.

Ethan: Una traslación a lo largo del ⟶ OR seguida de una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto R asigna la figura SLO a la figura MAR S L M R A O

¿Quién está en lo correcto? ¿Por qué?

Tanto Maya como Ethan están en lo correcto, porque escriben secuencias de movimientos rígidos que asignan una figura a la otra. Como no se da el enunciado de congruencia, no sé qué puntos se corresponden.

9. Describe la secuencia de movimientos rígidos que asigna la figura LUPA a la figura BOTE

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una reflexión sobre el eje x asigna la figura LUPA a la figura BOTE

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

MATH

14. Un movimiento rígido asigna la figura ABCD a la figura A′B′C′D′. ¿Qué movimiento rígido asigna la figura A′B′C′D′ de regreso a la figura ABCD?

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen asigna la figura A′B′C′D′ de regreso a la figura ABCD

15. Simplifica (5x3)(2x−4). 10 x

EUREKA MATH2

LECCIÓN 11

Demostrar si las figuras son congruentes

Demostrar si las figuras son congruentes describiendo una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra

Usa una transparencia para determinar si la figura GHJK y la figura WTUV son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

Vistazo a la lección

Para comenzar esta lección, la clase analiza una ilusión óptica y determina si las figuras de la ilusión son congruentes. Sus estudiantes usan movimientos rígidos para demostrar si dos figuras dadas son congruentes mediante el uso de descripciones precisas. Luego, examinan la congruencia en un contexto histórico al analizar patrones en tejidos navajos tradicionales. Crean su propio patrón con secuencias de movimientos rígidos y describen con precisión secuencias de movimientos rígidos dentro del patrón.

Pregunta clave

• ¿Cómo demostramos que dos figuras son congruentes?

Criterio de logro académico

La figura GHJK y la figura WTUV son congruentes. Una traslación a lo largo del ⟶ HT asigna el punto H al punto T. Luego, una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto T asigna la figura GHJK a la figura WTUV

8.Mód2.CLA2 Reconocen que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de movimientos rígidos. (8.G.A.2)

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 11

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Si todo coincide

• Idear un diseño

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• transparencia

• marcador de borrado en seco

• Idear un diseño

• set de 4 lápices de colores

Preparación de la lección

• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado para obtener más información acerca de la conexión con la historia incluida en esta lección.

Fluidez

Identificar las partes correspondientes de figuras dadas

La clase escribe las partes correspondientes dado un enunciado de congruencia como preparación para demostrar que dos figuras son congruentes.

Instrucciones: Figura ABCD ≅ figura EFGH. Escribe la parte correspondiente de la parte dada.

1. Punto B

Punto F

2. CD GH

3. FE BA

4. ∠BCD ∠FGH

5. ∠ADC ∠EHG

6. Figura CDAB

Figura GHEF

7. Figura BADC

Figura FEHG

Presentar

La clase adivina si dos figuras son congruentes y comprueba su suposición al describir la secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a la otra.

Asegúrese de que cada estudiante tenga una transparencia y un marcador de borrado en seco.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 y que describan lo que observan. Seleccione a diferentes personas para tener distintos puntos de vista. Sus estudiantes pueden hacer las siguientes observaciones:

• Hay dos mesas diferentes.

• La mesa de la izquierda parece ser más larga que la mesa de la derecha.

• Las mesas parecen tener la misma altura.

Para concluir, haga una encuesta a la clase con la siguiente pregunta. Pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba o hacia abajo para indicar si están de acuerdo o en desacuerdo.

¿Quién cree que los tableros de las mesas son congruentes?

Luego, pida a sus estudiantes que completen el problema de manera individual.

1. ¿Crees que los tableros de las mesas son congruentes? Usa una transparencia para comprobarlo y, luego, explica tu razonamiento.

Sí. Creo que los tableros de las mesas son congruentes porque puedo usar mi transparencia para asignar el tablero de una mesa al otro. Una traslación a lo largo del ⟶ AB seguida de una rotación de aproximadamente 60° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto B asigna el tablero de la mesa X al tablero de la mesa Y.

Nota para la enseñanza

La rotación que asigna el tablero de la mesa X al tablero de la mesa Y es una rotación en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto B de aproximadamente 74°. Permita cierta imprecisión al dar el ángulo de rotación, pero anime a sus estudiantes a usar su razonamiento para estimarlo. Su estimación debe estar entre 45° y 90°. Si piden un transportador para hallar un ángulo de rotación más preciso, celebre esta iniciativa.

Después de que la mayoría haya terminado, haga la misma pregunta para realizar una nueva encuesta a la clase. Pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba o hacia abajo para indicar si están de acuerdo o en desacuerdo.

¿Quién cree que los tableros de las mesas son congruentes?

Luego, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

• ¿Se sorprendieron con lo que hallaron?

• ¿Hay una diferencia grande entre los resultados de las dos encuestas? ¿Por qué?

• ¿Cómo podrían demostrar que los tableros de las dos mesas son congruentes?

¿Por qué usamos movimientos rígidos para demostrar que los tableros de las dos mesas son congruentes?

Si podemos hallar una secuencia de movimientos rígidos que asigne el tablero de una mesa al otro, entonces los tableros de las mesas son congruentes.

Hoy, usaremos movimientos rígidos para demostrar si dos figuras son congruentes.

Aprender

Si todo coincide

La clase describe una secuencia de movimientos rígidos que demuestra que dos figuras son congruentes.

Haga las siguientes preguntas para activar los conocimientos previos de la clase sobre movimientos rígidos:

¿Cuál es la definición de movimiento rígido?

Un movimiento rígido es el resultado de cualquier movimiento en el plano en el cual la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual.

¿Qué significa que dos figuras son congruentes?

Cuando dos figuras son congruentes, significa que existe una secuencia de movimientos rígidos que asigna una figura a la otra.

¿Qué significa que dos figuras no son congruentes?

Cuando dos figuras no son congruentes, significa que no existe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra.

Si dos figuras no son congruentes, la distancia entre dos puntos cualesquiera de la imagen es diferente de la distancia entre los dos puntos correspondientes de la figura original.

Las secuencias de movimientos rígidos mantienen igual la distancia entre dos puntos cualesquiera. Entonces, dos figuras son congruentes si una secuencia de movimientos rígidos asigna una figura a la otra.

Si hallamos que la distancia entre dos puntos de una figura no es igual a la distancia entre los puntos correspondientes de la otra figura, entonces las figuras no son congruentes.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y que usen la rutina Cada vez más consolidado y más claro.

• Dé 2 o 3 minutos para que sus estudiantes completen el problema de manera independiente.

• Forme parejas de estudiantes y pídales que intercambien las explicaciones escritas. Dé tiempo para que lean en silencio. Luego, invite a las parejas a hacerse preguntas aclaratorias y a ofrecer valoraciones sobre las respuestas de la otra persona.

• Pida a sus estudiantes que ofrezcan una retroalimentación verbal específica acerca de lo que no les resulta convincente sobre el argumento de su pareja.

• Dé 1 minuto para que sus estudiantes corrijan sus argumentos de nuevo según la última retroalimentación de su pareja.

• Pida a un grupo pequeño de estudiantes que compartan sus versiones finales con la clase.

Repita la rutina Cada vez más consolidado y más claro con el problema 3.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando halla puntos de partida, observa su progreso y comprueba que su secuencia de movimientos rígidos asigna una figura a la otra para demostrar la congruencia.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

• ¿Cómo podrían comenzar a asignar la figura OVNI a la figura AZUL?

• ¿Cómo pueden simplificar el problema?

• ¿Qué información o datos necesitan para aplicar una secuencia de movimientos rígidos?

En los problemas 2 y 3, usa una transparencia para determinar si las figuras dadas son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

La figura OVNI y la figura AZUL son congruentes. Una traslación a lo largo del ⟶ OA asigna el punto O al punto A, una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto A asigna el OV al AZ y una reflexión sobre la ⟷ AZ asigna la figura OVNI a la figura AZUL.

2. Figura OVNI y figura AZUL

El △ BOA y el △ PEZ no son congruentes porque las distancias entre los puntos del △ BOA no son iguales a las distancias entre los puntos correspondientes del △ PEZ. Puedo usar mi transparencia para ver que BO ≠ PE y OA ≠ EZ.

Nota para la enseñanza

No se espera que sus estudiantes calculen las distancias en esta lección. Comparar las distancias entre los puntos de una figura y los puntos correspondientes de una imagen usando una transparencia es aceptable.

3. △ BOA y △ PEZ

Idear un diseño

La clase identifica figuras congruentes en un tejido navajo y aplica movimientos rígidos para crear un patrón inspirado por el tejido.

Haga la siguiente pregunta para dar inicio a la conversación sobre cómo relacionar los movimientos rígidos con los tejidos navajos:

¿Cuáles son algunos ejemplos de figuras congruentes que vemos en la vida real?

Espere distintas respuestas de la clase. Si los patrones no surgen naturalmente, considere señalar un ejemplo de un patrón que esté a su alrededor.

Muestre la imagen.

¿Dónde ven figuras congruentes o patrones en el tejido?

Veo patrones de rectas horizontales en el tejido.

Las rayas negras parecen congruentes. Las rayas de color beige también parecen congruentes unas con otras.

La parte superior del tejido parece ser una reflexión de la parte inferior si se dobla la manta por la mitad de manera horizontal.

Nota para la enseñanza

En el recurso Las matemáticas en el pasado se incluye más información acerca de las figuras geométricas en los tejidos navajos.

Si hay suficiente tiempo, considere mostrar las piezas del pueblo navajo que figuran en el recurso Las matemáticas en el pasado y pedir a sus estudiantes que identifiquen los patrones congruentes que observen.

El pueblo indígena de los Estados Unidos conocido como navajo comenzó a elaborar tejidos como este en el siglo XVIII y continúa produciendo diferentes tejidos hasta la actualidad. Se han conservado muy pocos tejidos, pero el que vemos ahora es una manta de jefe que se elaboró alrededor de 1840.

¿Por qué creen que este tejido se llama manta de jefe?

Probablemente se llama manta de jefe porque la usaba un jefe navajo.

Muestre la imagen.

Un jefe navajo usaba la manta casi como un abrigo. Estas mantas eran bastante costosas de elaborar; entonces, solo el jefe podía pagarla.

Muestre el problema 4 y proporcione el siguiente contexto:

El pueblo navajo, al igual que los pueblos de muchas otras culturas, también creaba alfombras tejidas a mano con patrones repetitivos semejantes al del problema 4.

Permita que sus estudiantes analicen la alfombra del problema 4. Luego, pídales que completen el problema de manera individual.

4. Encierra en un círculo dos figuras congruentes de la alfombra. Escribe una secuencia de movimientos rígidos para demostrar que las dos figuras son congruentes. Traza los vectores, ejes de reflexión o puntos de rotación que sean necesarios.

A B AB

Ejemplo: Encerré en un círculo dos figuras en la parte superior de la alfombra. Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna una figura a la otra.

Cuando hayan terminado de escribir sus secuencias, pida a sus estudiantes que intercambien su trabajo con un compañero o una compañera y que usen sus secuencias de movimientos rígidos para demostrar que las figuras son congruentes.

Después de que sus estudiantes terminen de comentar la secuencia de movimientos rígidos de su pareja, use el siguiente planteamiento:

Ahora, haremos nuestra propia versión de estas alfombras con figuras congruentes para crear patrones.

Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Idear un diseño. Lea las instrucciones 1 y 2 en voz alta a la clase. Sus estudiantes pueden usar la transparencia como ayuda para crear con precisión los cuadrantes congruentes. Proporcione lápices de colores o marcadores para incentivar la creatividad en los diseños.

Dé entre 6 y 8 minutos para que sus estudiantes creen sus patrones. Luego, pídales que compartan su hoja extraíble de Idear un diseño con alguien más y que comprueben la secuencia de la otra persona.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Demostrar si las figuras son congruentes describiendo una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación. Anime a sus estudiantes a reformular o complementar las respuestas de sus pares.

¿Cómo demostramos que dos figuras son congruentes?

Para demostrar que dos figuras son congruentes, podemos describir una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra.

¿Cómo podemos demostrar que dos figuras no son congruentes?

Si la distancia entre un par de puntos de una figura no es igual a la distancia entre el par de puntos correspondientes de la otra figura, entonces las dos figuras no son congruentes.

DUA: Acción y expresión

Antes de leer las instrucciones de la actividad en voz alta a la clase, considere exhibirlas o distribuirlas a sus estudiantes para que las lean en silencio. Las instrucciones exhibidas les permiten tener una referencia visual durante toda la actividad.

Ahora que hemos comentado las figuras congruentes, ¿se les ocurren lugares donde las hayan visto en la vida real, incluso en este salón de clases, en obras de arte o en la naturaleza?

Espere distintas respuestas de la clase. Sus estudiantes pueden señalar figuras congruentes en el salón de clases o mencionar una obra de arte famosa que hayan visto.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Demostrar si las figuras son congruentes

En esta lección:

• identificamos dos figuras como congruentes o no congruentes;

• demostramos que dos figuras son congruentes describiendo una secuencia que asigna una figura a la otra;

• explicamos que dos figuras no son congruentes cuando las distancias entre los puntos de la figura no son las mismas que las distancias entre los puntos correspondientes de la imagen.

Ejemplos

Usa una transparencia para determinar si las figuras dadas son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

1. △ PIE y △ GOL

Halla una secuencia de movimientos rígidos que asigne el △PIE al △GOL para demostrar que los triángulos son congruentes.

El △ PIE y el △ GOL son congruentes. Una traslación a lo largo del → IO asigna el punto I al punto O. Luego, una rotación de 180° alrededor del punto O asigna el △ PIE al △ GOL I P E O G L

Usa una transparencia para ver que EO ≠ LZ y EC ≠ LU

Cuenta los espacios de la cuadrícula para demostrar que EO ≠ LZ. Usa el teorema de Pitágoras para demostrar que EC ≠ LU

El △ECO y el △LUZ no son congruentes porque las distancias entre los puntos del △ECO no son iguales a las distancias entre los puntos correspondientes del △LUZ Puedo usar mi transparencia para ver que EO ≠ LZ y EC ≠ LU

EUREKA MATH

EUREKA MATH2

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. ¿Qué secuencia de movimientos rígidos demuestra que △ABC ≅ △RST ? Encierra tu respuesta en un círculo.

Primer movimiento rígido Segundo movimiento rígido

Reflexión sobre el eje x

Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

Traslación de 2 unidades hacia arriba

Traslación de 10 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda

Traslación de 2 unidades hacia arriba

Reflexión sobre el eje x

Traslación de 10 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda

Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

2. En el diagrama, la figura E es congruente con la figura D. ¿Qué secuencias de movimientos rígidos describen cómo asignar una figura a la otra? Elige todas las opciones que correspondan.

E A B D

A. Una traslación a lo largo del ⟶ AB seguida de una reflexión sobre la recta �� asigna la figura E a la figura D.

B. Una traslación a lo largo del ⟶ BA seguida de una reflexión sobre la recta �� asigna la figura D a la figura E

C. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna la figura E a la figura D

D. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una traslación a lo largo del ⟶ BA asigna la figura E a la figura D.

E. Una reflexión sobre la recta �� seguida de una traslación a lo largo del ⟶ BA asigna la figura D a la figura E

En los problemas 3 a 5, usa una transparencia para determinar si las figuras dadas son congruentes. De ser así, describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. De no ser así, explica cómo lo sabes.

3. Figura ABC y figura DEF B D E C F A

La figura ABC y la figura DEF son congruentes. Una traslación a lo largo del ⟶ AD asigna el punto A al punto D. Luego, una rotación de 180° alrededor del punto D asigna la figura ABC a la figura DEF.

EUREKA MATH2

La figura STUV y la figura DEFG no son congruentes porque las distancias entre los puntos de la figura STUV no son iguales a las distancias entre los puntos correspondientes de la figura DEFG. Puedo usar mi transparencia para ver que DE ≠ ST y EF ≠ TU

6. Se muestran las figuras J y K

El △RST y el △NLE son congruentes. Una traslación a lo largo del ⟶ RN asigna el punto R al punto N. Luego, una rotación de 60° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto N seguida de una reflexión sobre la ⟷ NE asigna el △RST al △NLE.

a. ¿Es la figura J congruente con la figura K ? Explica.

Sí, la figura J es congruente con la figura K. Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una traslación de 1 unidad hacia la derecha y 3 unidades hacia abajo asigna la figura J a la figura K

b. ¿Es la figura K congruente con la figura J ? Explica.

Sí, la figura K es congruente con la figura J. Una traslación de 1 unidad hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba seguida de una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen asigna la figura K a la figura J

EUREKA MATH

EUREKA MATH2

4. Figura STUV y figura

△RST y △NLE

7. Una secuencia de movimientos rígidos crea el siguiente patrón. y x Cuadrante I

Recuerda

En los problemas 8 a 11, escribe una expresión equivalente.

Cuadrante IV Cuadrante II

Cuadrante III

Empareja cada enunciado con la secuencia de movimientos rígidos que demuestra que los patrones son congruentes. Una secuencia se puede usar más de una vez.

Enunciado

El patrón del cuadrante I es congruente con el patrón del cuadrante II.

El patrón del cuadrante II es congruente con el patrón del cuadrante III.

El patrón del cuadrante III es congruente con el patrón del cuadrante IV.

El patrón del cuadrante IV es congruente con el patrón del cuadrante I.

El patrón del cuadrante I es congruente con el patrón del cuadrante III.

Secuencia de movimientos rígidos

Una rotación de 180° alrededor del origen

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

Una reflexión sobre el eje y seguida de una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una reflexión sobre el eje y

Una reflexión sobre el eje x

12. Marca y rotula la imagen del punto A al que se le aplica una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen. Luego, identifica las coordenadas de la imagen.

13. Considera un segmento que tiene los extremos (5, −3) y (−4, −3)

a. Marca los puntos y crea el segmento en el plano de coordenadas.

b. ¿Cuál es la longitud del segmento?

9 unidades

EUREKA MATH2

Tema C

Relaciones entre ángulos

En este tema, la clase aplica lo aprendido en el tema B acerca de las secuencias de movimientos rígidos, las propiedades de los movimientos rígidos y las figuras congruentes para confirmar que los pares de ángulos son congruentes. En 7.o grado, la clase aprende acerca de los ángulos adyacentes, complementarios, suplementarios y verticales. En 8.o grado, sus estudiantes amplían su conocimiento y descubren las relaciones entre ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas. También hallan la relación entre las medidas de los ángulos externos y los ángulos internos no adyacentes de un triángulo.

Sus estudiantes comienzan el tema explorando la congruencia entre ángulos mediante movimientos rígidos y diagramas de rectas paralelas y no paralelas cortadas por una transversal. Usan relaciones conocidas y aprenden las siguientes relaciones entre ángulos nuevas: ángulos correspondientes, ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos colaterales internos. A lo largo del tema, nombran relaciones entre ángulos, identifican los movimientos rígidos necesarios para mostrar que los ángulos son congruentes y hallan medidas angulares desconocidas.

Como continuación del trabajo con las medidas angulares, sus estudiantes usan varios métodos para mostrar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo debe ser 180°. Verifican la suma de las medidas de los ángulos internos al participar en una actividad en la que arrancan las esquinas de un triángulo y colocan las tres esquinas de manera tal que formen una recta. También usan dos triángulos congruentes, las relaciones entre ángulos formados entre rectas paralelas y una transversal para mostrar que los tres ángulos internos de un triángulo forman una recta cuando son adyacentes. Asimismo, crean un triángulo con dos rectas paralelas cortadas por una transversal para mostrar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

Sus estudiantes usan enunciados si... entonces para entender una contradicción en un argumento informal. Con enunciados como “Si tengo 13 años, entonces soy adolescente” y “Si soy adolescente, entonces tengo 13 años”, reconocen que los dos enunciados no pueden ser verdaderos. Usan un razonamiento similar para evaluar enunciados si… entonces en contextos matemáticos. Por ejemplo, al usar la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo, sus estudiantes llegan a la conclusión de que, si los pares de ángulos correspondientes, alternos internos o alternos

externos creados por una transversal que corta dos rectas son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas. Luego, usan sus destrezas de razonamiento y las medidas angulares dadas para verificar que, si un par de ángulos formados por una transversal que corta dos rectas son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

Usando sus destrezas de razonamiento, sus conocimientos previos de los pares lineales y las medidas de los ángulos internos de un triángulo, sus estudiantes hallan que la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes de ese triángulo. El tema finaliza con una actividad centrada en sus estudiantes, en la que usan las relaciones entre ángulos para escribir ecuaciones y hallar valores desconocidos.

En el tema D, sus estudiantes usan las relaciones entre ángulos y triángulos congruentes en otra prueba del teorema de Pitágoras. En el siguiente módulo, describen secuencias de movimientos rígidos y dilataciones para asignar una figura a una figura semejante.

Progresión de las lecciones

Lección 12 Transversales que cortan rectas

Lección 13 La suma de los ángulos de un triángulo

Lección 14 Demostrar si las rectas son paralelas

Lección 15 Los ángulos externos de los triángulos

Lección 16 Hallar medidas angulares desconocidas

Transversales que cortan rectas

Usar argumentos informales para definir datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta un par de rectas

En los problemas 1 y 2, usa el diagrama de las rectas

,

1. La medida del ∠1 es 130° .

a. ¿Cuál es la medida del ∠3? 130°

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠3 Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el ∠1 al ∠3, así que las medidas angulares son iguales.

2. La medida del ∠2 es 50°

a. ¿Cuál es la medida del ∠6? 50°

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠6. Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el ∠2 al ∠4. Luego, una rotación de 180° alrededor del punto B asigna el ∠2 al ∠6 así que las medidas angulares son iguales.

Vistazo a la lección

En esta lección, la clase comienza haciendo predicciones sobre la congruencia de los ángulos dado un diagrama de dos rectas no paralelas cortadas por una transversal y un diagrama de dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Sus estudiantes usan una transparencia y se dan cuenta de que hay más pares de ángulos congruentes cuando una transversal corta rectas paralelas. Luego, comienzan a nombrar las relaciones entre pares de ángulos y demuestran que los pares de ángulos son congruentes usando secuencias de movimientos rígidos. Continúan nombrando relaciones entre ángulos e identifican movimientos rígidos asociados con esas relaciones mientras hallan medidas angulares desconocidas en un diagrama. En esta lección, se definen los términos transversal, ángulos correspondientes, ángulos alternos internos y ángulos alternos externos.

Preguntas

clave

• Cuando una transversal corta dos rectas, ¿qué relaciones entre ángulos se crean?

• Cuando una transversal corta dos rectas, ¿cómo podemos demostrar que un par de ángulos son congruentes?

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 12

Nombre

Fecha

BOLETO DE SALIDA

Criterios de logro académico

8.Mód2.CLA2 Reconocen que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de movimientos rígidos. (8.G.A.2)

8.Mód2.CLA3 Describen una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que muestra la congruencia entre dos figuras dadas. (8.G.A.2)

8.Mód2.CLA6 Hallan medidas angulares desconocidas usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas. (8.G.A.5)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Relaciones entre ángulos

• Hallar medidas angulares desconocidas

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• transparencia

• lápices de colores (4 colores)

Estudiantes

• transparencia

• lápices de colores (4 colores)

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Pares lineales

La clase halla las variables desconocidas dados pares lineales como preparación para establecer datos sobre los ángulos cuando una transversal corta pares de rectas.

Instrucciones: Halla el valor de x.

Presentar

La clase identifica ángulos congruentes cuando dos rectas están cortadas por una tercera recta.

Muestre los problemas 1 y 2 y pida a sus estudiantes que estudien los diagramas. Use los siguientes planteamientos para preguntarles qué observan y se preguntan.

¿Qué observan?

Observo que las rectas son paralelas en el problema 2, pero no en el problema 1.

Observo que los ángulos están rotulados de la misma forma en ambos problemas.

Generalmente, no podemos determinar a simple vista si dos rectas son paralelas. En este caso, la vista no engañó a nadie. La recta ℓ es paralela a la recta �� en el problema 2.

Escriba el enunciado ��║�� cerca del diagrama del problema 2.

¿Qué podemos agregar a las rectas del diagrama para mostrar que son paralelas?

En el diagrama, a la derecha de la transversal, dibuje una punta de flecha en cada una de las rectas �� y �� para indicar que son paralelas.

¿Qué se preguntan?

Me pregunto qué ángulos son congruentes.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 1 y 2 en parejas. 5

Me pregunto si alguno de los ángulos es congruente con otro en el problema 1.

En los problemas 1 y 2, registra qué pares de ángulos crees que son congruentes.

1. La recta ℯ se interseca con las rectas �� y ��.

2. La recta �� se interseca con las rectas �� y ��.

Ejemplo:

Después de que la mayoría de sus estudiantes haya terminado, pídales que compartan su razonamiento con la clase. Registre y muestre las respuestas a medida que las comparten.

¿Qué herramientas podemos usar para determinar si estamos en lo correcto?

Podemos usar una transparencia o un transportador.

Hoy, vamos a usar movimientos rígidos para establecer datos acerca de los ángulos creados cuando una recta cruza otras dos rectas.

Aprender

Relaciones entre ángulos

La clase investiga las medidas de los ángulos que se forman cuando una transversal corta dos rectas.

Asegúrese de que cada estudiante tenga una transparencia y un marcador de borrado en seco. Pida a sus estudiantes que trabajen en equipos y usen una transparencia para confirmar sus ideas sobre qué pares de ángulos de los problemas 1 y 2 son congruentes. Luego, vuelva a reunir a la clase para comentar los resultados de su trabajo.

¿Cómo podemos mostrar que dos ángulos son congruentes?

Si podemos hallar una secuencia de movimientos rígidos que asigne un ángulo a otro, entonces los dos ángulos son congruentes.

¿Qué sabemos sobre las medidas de dos ángulos que son congruentes?

Sus medidas son iguales.

Nota para la enseñanza

El término ángulos verticales se presenta en 7.o grado al momento de resolver ecuaciones.

Nota para la enseñanza

Los esquemas de oración del tema A, lecciones 2, 3 y 5, pueden ayudar a sus estudiantes a escribir la secuencia de movimientos rígidos con precisión.

Si dos ángulos son congruentes, sus medidas son iguales. Si dos ángulos tienen la misma medida, ¿podemos concluir que son congruentes? ¿Por qué?

Sí, si dos ángulos tienen la misma medida, entonces son congruentes porque podemos asignar un ángulo al otro mediante una secuencia de movimientos rígidos.

Continúen trabajando en parejas y escriban una secuencia de movimientos rígidos para cada par de ángulos congruentes que hallaron en los problemas 1 y 2.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y preste atención al uso de lenguaje preciso para describir cada secuencia. Luego de dar tiempo para un esfuerzo productivo, haga las siguientes preguntas para animar a la clase a participar de una conversación:

¿Qué ayudaría a que sus descripciones sean más fáciles de registrar?

Rotular los puntos de intersección ayudaría, porque podría nombrar el centro de rotación y un vector de traslación mucho más fácilmente.

Si sus estudiantes identifican los rótulos como una forma de facilitar el registro de las descripciones, trabaje con la clase para rotular los puntos de intersección.

• En el diagrama del problema 1, rotule la intersección de las rectas ℯ y �� punto A y rotule la intersección de las rectas ℯ y �� punto B.

• En el diagrama del problema 2, rotule la intersección de las rectas �� y �� punto C y rotule la intersección de las rectas �� y �� punto D.

Si sus estudiantes no consideran rotular los puntos de intersección, rotule los puntos y pregunte si rotularlos facilita las descripciones.

Dé tiempo a sus estudiantes para que revisen sus secuencias. Si es necesario, comente las secuencias de movimientos rígidos que sus estudiantes describieron de forma incorrecta.

Luego, use los siguientes planteamientos para presentar el término transversal:

Rotular los puntos de intersección ayuda al momento de comentar la relación entre cada par de ángulos. También es útil para comentar dónde está el ángulo en relación con las rectas dadas. ¿Cómo llamarían a la recta que se interseca con las otras dos rectas?

Dé a la clase un momento para nombrar la recta según su propia intuición. Luego, proporcione el término transversal y su definición con los planteamientos que siguen. Considere mostrar el problema 2 y señalar las rectas �� y �� mientras lee sobre ellas en la descripción. Desplace el dedo por la recta �� para hacer énfasis en lo que significa transversales que cortan las rectas.

Nota para la enseñanza

Estos diagramas muestran los rótulos para los puntos de intersección que se usaron en las viñetas de los problemas 1 y 2 a partir de este punto.

Las expertas y los expertos en matemáticas llaman transversal a esta recta. Dadas un par de rectas ℓ y �� en un plano, una tercera recta �� es una transversal si se interseca con la recta ℓ en un único punto y con la recta �� en un único punto diferente del anterior. Solemos decir que un par de rectas paralelas están cortadas por una transversal.

Nombren las transversales de los problemas 1 y 2.

Las rectas ℯ y ��    son las transversales.

Pida a sus estudiantes que escriban el término transversal al lado de las rectas ℯ y �� en los problemas 1 y 2.

Vamos a usar los diagramas de los problemas 1 y 2 para identificar algunas relaciones entre ángulos.

Muestre la tabla del problema 3 y distribuya cuatro lápices de colores a cada estudiante. Identifique dos ángulos para examinar, por ejemplo el ∠1 y el ∠4. Con toda la clase, completen la tabla y comenten las relaciones entre los ángulos verticales, correspondientes, alternos internos y alternos externos con las siguientes instrucciones y preguntas:

• Marque el ∠1 y el ∠4 según su código de colores de la tabla.

• ¿Son congruentes estos ángulos del problema 1? ¿Y los del problema 2?

• ¿Cómo llamamos a esta relación entre ángulos? Escribimos esta relación en el título de la tabla.

• Escriba una descripción sencilla de la relación mientras señala el par de ángulos en el diagrama.

• ¿Cómo llamamos a este par de ángulos si las rectas no son paralelas? ¿Siguen siendo congruentes?

• Use el código de colores para identificar otros ángulos con la misma relación.

• Escriba enunciados de congruencia para todos los ángulos usando el símbolo de congruencia.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para apoyar a sus estudiantes cuando hacen conexiones con el vocabulario nuevo, pregunte qué significan las palabras alterno, interno y externo fuera del contexto matemático. Se espera que respondan que alterno significa “consecuencia de cambiar o intercambiar”; interno significa “adentro” y externo significa “afuera”. Resuma la conversación y comente a la clase que, en el contexto de las relaciones entre ángulos, los términos alterno, interno y externo tienen significados parecidos a sus significados fuera del contexto matemático.

3. Completa la tabla de relaciones entre ángulos con toda la clase.

Ángulos verticales Ángulos correspondientes

Descripción:

Los ángulos verticales se forman cuando dos rectas se intersecan. Los ángulos comparten un vértice, pero no una semirrecta.

Descripción:

Cuando una transversal corta dos rectas, los ángulos ubicados del mismo lado de la transversal en posiciones que se corresponden entre sí se llaman ángulos correspondientes.

DUA: Representación

Usar un código de colores para los ángulos del diagrama ayuda a sus estudiantes a reconocer qué ángulos se describen para cada relación.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para ayudar a sus estudiantes a analizar el lenguaje necesario para completar la tabla de las relaciones entre ángulos en sus libros, considere hacer una pausa cuando completen cada sección y pedirles que expliquen de otra forma los conceptos que escribieron. Pida a sus estudiantes que vayan a la sección Decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación como ayuda para poder comunicar sus ideas.

La recta �� es paralela a la recta ��.

La recta �� es paralela a la recta ��

Ángulos alternos internos

Descripción:

Cuando una transversal corta dos rectas, los ángulos no adyacentes ubicados entre las dos rectas y en lados opuestos de la transversal se llaman ángulos alternos internos.

Ángulos alternos externos

Descripción:

Cuando una transversal corta dos rectas, los ángulos no adyacentes ubicados fuera de las dos rectas y en lados opuestos de la transversal se llaman ángulos alternos externos.

Use los siguientes planteamientos para resumir la experiencia con las relaciones entre ángulos:

¿Cuál es la diferencia entre las medidas angulares que se forman cuando una transversal corta rectas que son paralelas y cuando corta rectas que no son paralelas?

Las medidas de los ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos son iguales cuando una transversal corta rectas paralelas. Cuando una transversal corta dos rectas no paralelas, las medidas de esos ángulos no son iguales.

¿En qué se parecen las medidas angulares que se forman cuando una transversal corta rectas que son paralelas y cuando corta rectas que no son paralelas?

Las medidas de los ángulos verticales son iguales sin importar si las rectas son paralelas o no.

Los ángulos verticales siempre son congruentes porque una intersección de solo dos rectas forma ángulos verticales. Sin embargo, si una transversal corta dos rectas paralelas, los pares de ángulos adicionales son congruentes: ángulos correspondientes, ángulos alternos internos y ángulos alternos externos.

Hallar medidas angulares desconocidas

La clase usa las relaciones entre ángulos y movimientos rígidos para determinar medidas angulares cuando una transversal corta rectas paralelas.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar la medida angular desconocida en el problema 4. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las siguientes preguntas para incentivar el razonamiento matemático:

• ¿Son paralelas algunas de estas rectas?

• ¿Qué significa que los ángulos son suplementarios?

• ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos alrededor de un punto?

• ¿Qué relación entre ángulos de la tabla del problema 3 describe el par de ángulos con el que están trabajando? ¿Cómo puede esa relación entre ángulos ayudar a determinar las medidas angulares desconocidas?

• ¿Pueden asignar un ángulo a otro usando su transparencia? ¿Qué nos puede indicar esta aplicación acerca de la medida de los ángulos?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Si sus estudiantes no conocen el término suplementario de 7.o grado, considere pedir que sumen ángulos suplementarios al final de la tabla de relaciones entre ángulos con un ejemplo.

La clase puede beneficiarse de relacionar el término suplementario con el término par lineal de 7.o grado al escribir ambos términos en la tabla. Las referencias a lineal, recta o ángulo llano pueden ayudar a sus estudiantes a relacionar esto con la medida angular de 180°.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden comprobar sus cálculos con un dato que aprendieron en 7.o grado: los ángulos alrededor de un punto, o ángulos adyacentes, que comparten un vértice y cubren una rotación completa alrededor del vértice, tienen una suma de 360°.

4. En el diagrama, la recta �� se interseca con las rectas paralelas �� y ��.

a. De ser posible, halla las medidas de los siete ángulos restantes. Escribe esas medidas en el diagrama.

b. Completa la tabla. Escribe la medida de cada ángulo de la parte (a). Luego, para cada medida angular, da una explicación de la relación entre ese ángulo y el ∠ ABC.

Nombre del ángulo Medida angular

Explicación

∠DBC 59° El ∠ ABC y el ∠ DBC son ángulos suplementarios.

∠DBF 121° El ∠ ABC y el ∠DBF son ángulos verticales.

∠FBA 59° El ∠ ABC y el ∠FBA son ángulos suplementarios.

∠EFB 121° El ∠ ABC y el ∠ EFB son ángulos correspondientes.

∠GFB 59° El ∠ ABC y el ∠ DBC son ángulos suplementarios, y el ∠ DBC y el ∠ GFB son ángulos correspondientes.

∠GFH 121° El ∠ ABC y el ∠GFH son ángulos alternos externos.

∠EFH 59° El ∠ ABC y el ∠ DBC son ángulos suplementarios, y el ∠ DBC y el ∠ EFH son ángulos alternos externos.

Nota para la enseñanza

Haga énfasis en que algunas medidas angulares pueden determinarse solo porque las rectas �� y �� son paralelas. Si las rectas no fueran paralelas, algunas de estas medidas angulares permanecerían desconocidas.

Muestre la tabla del problema 4(b). Seleccione una pareja de estudiantes para que presente un ángulo desconocido y su medida. Registre la medida angular en la tabla. Seleccione otra pareja de estudiantes para que explique cómo hallar la medida angular. Registre la explicación en la tabla. Luego, repita este proceso con diferentes parejas de estudiantes hasta completar la tabla.

Haga la siguiente pregunta para evaluar la comprensión de la clase sobre la conexión entre las secuencias de movimientos rígidos y los ángulos congruentes:

¿Qué significa que el ∠DBF es congruente con el ∠ ABC?

Significa que hay un movimiento rígido, o una secuencia de movimientos rígidos, que asigna el ∠DBF al ∠ ABC. Como los movimientos rígidos mantienen iguales las distancias entre dos puntos cualesquiera, las medidas angulares se mantienen iguales.

Significa que las medidas del ∠DBF y el ∠ ABC son iguales.

Muestre la tabla del problema 4(c). Complete la primera fila con la clase y proporcione el movimiento rígido preciso que muestra que el ∠DBF es congruente con el ∠ ABC. Luego, pida a sus estudiantes que completen el problema 4(c) en parejas.

c. Usa movimientos rígidos para explicar por qué cada ángulo es congruente con el ∠ABC.

Nombre del ángulo

Movimiento rígido

∠DBF Una rotación de 180° alrededor del punto B asigna el ∠DBF al ∠ ABC.

∠EFB Una traslación a lo largo del ⟶ FB asigna el ∠EFB al ∠ ABC.

∠GFH

Una rotación de 180° alrededor del punto F seguida de una traslación a lo largo del ⟶ FB asigna el ∠GFH al ∠ ABC

Pida a cada pareja de estudiantes que trabaje con otra pareja de estudiantes para comparar las secuencias de movimientos rígidos del problema 4(c). Responda todas las preguntas aclaratorias.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante comunica con precisión y pone atención a la precisión (MP6) cuando explica por qué cada ángulo es congruente con otro al describir el movimiento rígido que asigna un ángulo a otro.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• Al explicar estos movimientos rígidos, ¿con qué pasos deben tener mucho cuidado? ¿Por qué?

• ¿Qué detalles es importante tener en cuenta cuando explicamos los movimientos rígidos?

• ¿Es exactamente correcto decir una rotación de 180°? ¿Qué podemos agregar o cambiar para decirlo con más precisión?

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 5 y 6 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y use las preguntas del problema 4 para incentivar su razonamiento:

5. En el diagrama, la ⟷ FT se interseca con las rectas paralelas ⟷ EK y ⟷ CR .

a. De ser posible, halla las medidas de los siete ángulos restantes. Escribe esas medidas en el diagrama.

b. Nombra todos los pares de ángulos correspondientes.

∠CAT y ∠ELA, ∠TAR y ∠ ALK, ∠CAL y ∠ELF, ∠LAR y ∠FLK

c. Nombra todos los pares de ángulos alternos internos.

∠CAL y ∠ KLA, ∠RAL y ∠ELA

d. Nombra todos los pares de ángulos alternos externos.

∠CAT y ∠KLF, ∠TAR y ∠FLE

6. En el diagrama, se muestran las rectas ℊ, �� y ��.

a. De ser posible, halla las medidas de los siete ángulos restantes. Escribe esas medidas en el diagrama.

b. Elige un ángulo que sea congruente con el ∠VET y describe el movimiento rígido que asigna ese ángulo al ∠VET.

El ∠ RES es congruente con el ∠VET. Una rotación de 180° alrededor del punto E asigna el ∠ RES al ∠VET.

c. ¿Cuál es la relación entre ángulos entre el ∠VET y el ∠ ERY?

Son ángulos correspondientes.

d. ¿Puedes determinar la medida del ∠ERY? Explica.

Como no sé si las rectas ℊ y �� son paralelas, no puedo determinar la medida del ∠ERY dada solamente la medida del ∠VET. Los ángulos correspondientes son congruentes solo si las rectas cortadas por la transversal son paralelas.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Usar argumentos informales para definir datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta un par de rectas

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase.

Anime a sus estudiantes a reformular o complementar las respuestas de sus pares.

Cuando una transversal corta dos rectas, ¿qué relaciones entre ángulos se crean?

Cuando una transversal corta dos rectas paralelas, se forman ángulos correspondientes, alternos internos y alternos externos.

¿Qué saben sobre las medidas de los ángulos que se forman cuando una transversal corta dos rectas paralelas? ¿Qué cambia si las rectas no son paralelas?

Si las rectas son paralelas, entonces cada par de ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos son congruentes, y sus medidas son iguales.

Si las rectas no son paralelas, entonces los ángulos verticales siguen siendo congruentes. Pero los ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos no son congruentes, y sus medidas no son iguales.

Cuando una transversal corta dos rectas, como en el problema 2, ¿cómo podemos demostrar que un par de ángulos son congruentes?

Cuando las rectas son paralelas, como en el problema 2, podemos describir una secuencia de movimientos rígidos para mostrar que los ángulos son congruentes.

Para los ángulos correspondientes, una translación a lo largo del ⟶ CD asignaría el ∠4 al ∠8.

Para los ángulos alternos internos, una traslación a lo largo del ⟶ CD seguida por una rotación de 180° alrededor del punto D asigna el ∠3 al ∠6.

Para los ángulos alternos externos, una traslación a lo largo del ⟶ CD seguida por una rotación de 180° alrededor del punto D asigna el ∠2 al ∠7.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Sus estudiantes necesitan acceso a los siguientes materiales para resolver los problemas de la sección Práctica:

• marcador de borrado en seco

• transparencia

Resumen

Transversales que cortan rectas

En esta lección:

• nombramos pares de ángulos por sus relaciones;

• usamos movimientos rígidos para mostrar que un par de ángulos era congruente;

• hallamos la medida de un ángulo a partir de su relación con otro ángulo.

Vocabulario

Dadas un par de rectas �� y �� en un plano, una tercera recta �� es una transversal si se interseca con la recta �� en un único punto y con la recta �� en un único punto diferente del anterior.

12 3 4 56 78

𝓂

Dadas las rectas �� y �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay

Si las rectas cortadas por la transversal son paralelas, entonces estos ángulos son congruentes.

Ejemplo

En el diagrama, la recta ℊ se interseca con las rectas paralelas �� y ��

F 1 3 4 5 6 7 8 2

a. ¿Cuál es la relación entre ángulos entre el ∠1 y el ∠5?

Son ángulos correspondientes.

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el ∠1 al ∠5

Una traslación a lo largo del ⟶ DF asigna el ∠1 al ∠5

c. ¿Cuál es la relación entre ángulos entre el ∠3 y el ∠5?

Son ángulos alternos internos.

• cuatro pares de ángulos correspondientes: ∠1 y ∠5, ∠2 y

6, ∠3 y ∠7, y ∠4 y ∠8;

• dos pares de ángulos alternos internos ∠3 y ∠6, y ∠4 y ∠5; y

• dos pares de ángulos alternos externos: ∠1 y ∠8, y ∠2 y ∠7

d. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el ∠3 al ∠5

Una traslación a lo largo del ⟶ DF seguida de una rotación de 180° alrededor del punto F asigna el ∠3 al ∠5

e. Si la medida del ∠3 es 56°, ¿cuál es la medida del ∠7? Explica.

56°

Dado que las rectas �� y �� son paralelas, el ∠1 puede asignarse al ∠5 Eso significa que los ángulos correspondientes son congruentes.

Como las rectas �� y �� son paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes, así que miden lo mismo.

f. Si la medida del ∠4 es 124°, ¿cuál es la medida del ∠6? Explica.

124°

Como las rectas �� y �� son paralelas, los ángulos alternos externos son congruentes, así que miden lo mismo.

EUREKA MATH2

Nombre Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 12

En los problemas 1 y 6, usa el diagrama de las rectas ��, ℊ y ��

1. Identifica todos los pares de ángulos correspondientes. ∠1 y ∠3,

y ∠8

2. Identifica todos los pares de ángulos alternos internos.

2 y ∠7, ∠3 y ∠6

3. Supón que �� ∥ ℊ y la medida del ∠4 es 72°

a. ¿Cuál es la medida del ∠2?

72°

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠2

Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el ∠4 al ∠2, así que las medidas angulares son iguales.

c. ¿Cuál es la medida del ∠5?

72°

d. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠5

Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el ∠4 al ∠2. Luego, una rotación de 180° alrededor del punto B asigna el ∠4 al ∠5, así que las medidas angulares son iguales.

4. Supón que �� ∥ ℊ y la medida del ∠6 es 108°

a. ¿Cuál es la medida del ∠1?

108°

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠1.

Una rotación de 180° alrededor del punto B asigna el ∠6 al ∠1, así que las medidas angulares son iguales.

c. ¿Cuál es la medida del ∠3?

108°

d. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠3 Una rotación de 180° alrededor del punto B asigna el ∠ 6 al ∠1 Luego, una traslación a lo largo del ⟶ BA asigna el ∠6 al ∠3, así que las medidas angulares son iguales.

5. ¿Serían las mismas tus respuestas al problema 3 si las rectas �� y ℊ no fueran paralelas? ¿Por qué?

No; si las rectas no son paralelas, no podemos usar secuencias de movimientos rígidos para mostrar que los ángulos correspondientes o los ángulos alternos externos se asignan entre ellos. Estos pares de ángulos son congruentes solo si las rectas cortadas por la transversal son paralelas.

6. Supón que las rectas �� y ℊ no son paralelas. Explica por qué la medida del ∠2 no es igual a la medida del ∠7

Sé que el ∠2 y el ∠7 son ángulos alternos internos, pero si las rectas no son paralelas, entonces no puedo hallar una secuencia de movimientos rígidos que asigne un ángulo al otro.

EUREKA MATH2

Nombre

Fecha

7. Usa el diagrama y la información dada para hallar las medidas de los ángulos en las partes (a) a (d).

• Las ⟷ AB y ⟷ CD están cortadas por la transversal ⟷ EF

• Supón que la ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD .

• La medida del ∠EGB es 60°

8. Las rectas �� �� y �� son paralelas. La recta �� se interseca con cada recta como se muestra, y la medida del ∠1 es 143°

a. Halla la medida del ∠9 37°

b. Explica las relaciones entre ángulos que verifican la medida del ∠9

Como las rectas �� y �� son paralelas, el ∠1 y el ∠3 son ángulos correspondientes y tienen la misma medida de 143° Luego, el ∠3 y el ∠9 son ángulos suplementarios y tienen medidas que suman 180°. Entonces, la medida del ∠9 es 37°

c. Usa movimientos rígidos para explicar por qué el ∠1 es congruente con el ∠12 Una traslación a lo largo de un vector desde el vértice del ∠1 hasta el vértice del ∠5 asigna el ∠1 al ∠5. Luego, una rotación de 180° alrededor del vértice del ∠5 asigna el ∠1 al ∠12

EUREKA MATH2

EUREKA MATH2

Recuerda

En los problemas 9 a 12, escribe una expresión equivalente.

9. − 3(x + 4) − 3x − 12

− 5(x + 3)

5x − 15 11. − 3(x − 2)

3x + 6

− 5(x − 7)

5x + 35

13. Una traslación a lo largo del ⟶ GH asigna la figura ABCD a la figura A′B′C′D′. Identifica el vector que asigna la figura A′B′C′D′ nuevamente a la figura ABCD

⟶ HG

14. ¿Qué expresiones son equivalentes a 2 1 × 106 ? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2,100,000

B. (1 0 × 106) + (1 2 × 105)

C. (7 0 × 103) (3 0 × 103)

D. 12 6 × 108 6 0 × 102

E. (3 0 × 106) (9 0 × 105)

La suma de los ángulos de un triángulo

Usar argumentos informales para verificar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°

1. Eve arranca las esquinas de un triángulo y las une como se muestra en el diagrama.

¿Qué nos indica el diagrama de los ángulos de Eve sobre las medidas de los ángulos internos de un triángulo? Explica.

Eve une los ángulos arrancados de manera tal que se forma una recta. Una recta mide 180°. Por lo tanto, las medidas de los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180°

2. ¿Cuál es la medida del ∠ A? Explica cómo lo sabes. C A B 61°

La medida del ∠ A es 29° La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Sé que las medidas de dos de los ángulos del triángulo son 90° y 61°, así que puedo restar estas medidas de 180° para obtener 29°

Vistazo a la lección

En esta lección digital, sus estudiantes analizan la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo para verificar que siempre es 180°. Buscan patrones alterando las longitudes de los lados de un triángulo y examinando sus medidas angulares. A medida que exploran un modelo concreto y dos modelos abstractos, usan su conocimiento de las relaciones entre ángulos y los movimientos rígidos para verificar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Luego, hallan la medida de un ángulo interno desconocido de un triángulo cuando se dan las otras dos medidas de los ángulos internos. Los términos ángulo interno de un polígono y ángulos colaterales internos se definen en esta lección.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

Pregunta clave

• ¿Por qué la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo siempre debe ser 180°?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA5 Aplican, definen y explican datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo. (8.G.A.5)

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 13 Nombre

BOLETO DE SALIDA

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min D

Aprender 30 min D

• Hazlo pedazos

• Verificar la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo

• Hallar la medida angular desconocida

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

• papel en blanco

• lápices de colores (3 por estudiante)

• tarjeta de índice

• herramienta de borde recto

• tijeras

• cinta adhesiva transparente

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Ángulos alrededor de un punto

La clase halla el valor de las variables desconocidas a partir de los ángulos alrededor de un punto como preparación para mostrar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

Instrucciones: Halla el valor de x.

Presentar

La clase examina la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo.

Sus estudiantes comienzan por ajustar los ángulos en un triángulo para hallar la mayor suma posible de las medidas de los ángulos internos de un triángulo. Luego, usan lo que saben sobre los rectángulos para explicar por qué los triángulos que se forman uniendo dos vértices en diagonal deben significar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

¿Cuál fue la mayor suma que hallaron? 180°

¿Hallaron alguna otra suma?

No, todas fueron 180°.

Aprender

Hazlo pedazos

La clase usa un modelo concreto para verificar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

Dé a cada estudiante un trozo de papel, tres lápices de diferentes colores, una tarjeta de índice, unas tijeras, una herramienta de borde recto y alrededor de 2 pulgadas de cinta adhesiva transparente. Pida a cada estudiante que construya un triángulo con las siguientes instrucciones:

• Usen la herramienta de borde recto para trazar un triángulo grande en la tarjeta de índice y, luego, recórtenlo.

• Rotulen los ángulos internos del triángulo con variables, o colores, de su elección.

• Doblen el papel a la mitad y, con cuidado, tracen el contorno del triángulo de la tarjeta de índice en una mitad del papel.

DUA: Representación

Las actividades digitales están alineadas con el principio de Representación de DUA, dado que incluyen lo siguiente:

• Varios formatos y modos de representación: La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo se presenta de forma concreta, pictórica y abstracta.

• Soportes que relacionan la información nueva con los conocimientos previos: Sus estudiantes aplican su comprensión de las relaciones entre ángulos a nuevas situaciones con triángulos para desarrollar su comprensión de la suma de las medidas angulares de un triángulo.

• Rotulen cada ángulo interno del papel con la misma variable, o color, que usaron para el triángulo de la tarjeta de índice.

• Con cuidado, arranquen las esquinas del triángulo de la tarjeta de índice. Asegúrense de que los rótulos de los ángulos estén intactos.

• Usen la otra mitad del papel para ubicar los ángulos adyacentes juntos y pegarlos con cinta.

Considere pedir a sus estudiantes que peguen lo que queda del triángulo de la tarjeta de índice dentro del triángulo que trazaron.

Cuando hayan pegado sus ángulos al papel, haga las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase sobre sus conclusiones:

¿Qué observan acerca de los tres ángulos adyacentes que pegaron?

Parecen formar una recta.

Si podemos organizar estos ángulos en una recta, ¿qué sugiere eso sobre la suma de sus medidas?

Su suma es 180°.

= 180°

¿Dónde estaban esos ángulos al principio? ¿Qué sugiere eso sobre la suma de las medidas de los ángulos dentro de un triángulo?

Estos ángulos estaban en nuestro triángulo al principio. Por lo tanto, las medidas de los tres ángulos dentro de un triángulo suman 180°.

A los ángulos dentro de un triángulo los llamamos ángulos internos. Parece que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180° porque los ángulos, cuando son adyacentes, forman una recta.

¿Creen que esto es verdadero para todos los triángulos? ¿Cómo podemos averiguarlo?

Creo que esto es verdadero para todos los triángulos. Podemos intentar averiguar si es verdadero con diferentes triángulos.

Ahora, peguen su papel en el frente del salón de clases. Mientras lo hacen, observen los triángulos de sus pares.

Después de que sus estudiantes vuelvan a sus lugares, haga una reflexión final sobre la actividad.

¿Trazamos el mismo triángulo?

No, hay muchos triángulos diferentes.

¿Qué descubrimos sobre los tres ángulos arrancados?

Los tres ángulos arrancados forman una recta cuando los juntamos uno al lado del otro.

Entonces, ¿importa el tipo de triángulo cuando hallamos la suma de sus ángulos internos? Expliquen.

No, el tipo de triángulo no importa. Cada estudiante hizo un triángulo distinto, con medidas angulares distintas, pero las medidas de los ángulos internos en cada triángulo sumó 180°.

Verificar la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo

La clase usa modelos abstractos para verificar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

Sus estudiantes siguen y defienden otra línea de razonamiento para verificar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. Después de definir un nuevo triángulo y examinar su imagen tras aplicar una traslación, verifican la suma.

¿Suman 180° las medidas de los ángulos internos de los triángulos? ¿Cómo lo saben?

Sí. Como el ∠3, el ∠7 y el ∠5 forman una recta, sus medidas suman 180°. Como el ∠7

∠1 y el ∠5 ≅ ∠2, sé que las medidas de los ángulos internos del triángulo suman 180°.

Luego, sus estudiantes examinan rectas paralelas y una transversal para identificar pares de ángulos congruentes. Después de hallar y definir los ángulos colaterales internos, continúan analizando el diagrama una vez que se lo modifica para formar un triángulo. Analizan el diagrama y usan destrezas de razonamiento para verificar la suma de las medidas de los ángulos internos del triángulo.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando justifica sus afirmaciones y escucha a sus pares razonar que las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Es una suposición decir que estos ángulos son congruentes, o lo saben con certeza? ¿Cómo pueden saberlo con certeza?

• ¿Por qué funcionan sus estrategias? Convenzan a su pareja de trabajo.

• ¿Cómo cambiarían el argumento de su pareja para que sea más preciso?

¿Suman 180° las medidas de los ángulos internos de un triángulo? ¿Cómo lo saben?

Sí. Como las medidas del ∠9, el ∠5 y el ∠10 suman 180° y el ∠10 ≅ ∠11, los ángulos internos del triángulo suman 180° también.

Hallar la medida angular desconocida

La clase usa la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo para hallar una medida del ángulo interno desconocida.

Dadas las medidas de dos ángulos internos de un triángulo, sus estudiantes usan lo que saben sobre la suma de esas medidas angulares para hallar la medida del tercer ángulo.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Usar argumentos informales para verificar que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo?

180°

¿Por qué la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo siempre debe ser 180°?

Cuando cortamos un rectángulo, que tiene medidas de ángulos internos que suman 360°, en dos triángulos congruentes, también tenemos que dividir la suma de las medidas de los ángulos internos. Como la mitad de 360° es 180°, la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo debe ser 180°.

Cuando hicimos la actividad de arrancar las esquinas de un triángulo, trazamos un triángulo en papel, lo recortamos y arrancamos cada ángulo. Luego, juntamos esos ángulos para que fueran adyacentes y formen una recta. Si bien cada quien comenzó con un triángulo diferente, el resultado fue el mismo. Esto muestra que las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Cuando observamos un par de triángulos congruentes y usamos lo que sabemos sobre los ángulos alternos internos y las rectas paralelas, ordenamos los ángulos internos de un triángulo en una recta. Esto muestra que las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Cuando usamos dos rectas paralelas cortadas por una transversal para formar un triángulo, usamos lo que sabemos sobre los ángulos alternos internos y los ángulos colaterales internos para mostrar que las medidas de los ángulos internos del triángulo suman 180°.

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°. ¿Cómo podemos usar esta información para hallar la medida del tercer ángulo sin medirlo cuando sabemos las medidas de los otros dos ángulos?

Podemos sumar las medidas de los ángulos que conocemos y, luego, restar esas medidas de 180°.

Podemos escribir y resolver una ecuación para hallar la medida del ángulo desconocida: m∠1 + m∠2 + x° = 180°.

Boleto de salida 5

min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 13

La suma de los ángulos de un triángulo

En esta lección:

• determinamos que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°;

• hallamos la medida de un ángulo interno cuando se dan las otras dos medidas de los ángulos internos de un triángulo.

Ejemplos

1. Halla la medida del ∠ ACB. 48° 32°

B

32° + 48° = 80°

180° − 80° = 100°

m ∠ ACB = 100°

Suma las medidas de los ángulos dados. Luego, resta esa suma de 180°

2. Halla la medida del ∠ EFD. D E F 63°

m ∠ DEF = 90°

Vocabulario

Un ángulo interno de un polígono es un ángulo formado por dos lados adyacentes de ese polígono. Por ejemplo, ∠1, ∠2 ∠3, ∠4 y ∠5 son todos ángulos internos del pentágono que se muestra en el diagrama. 1 2 3 4 5

Dadas las rectas �� y �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay dos pares de ángulos colaterales internos: ∠3 y ∠5, ∠4 y ∠6 𝓁 𝓂 𝓉 12 3 4 56 78

90° + 63° = 153° 180° − 153° = 27°

m ∠ EFD = 27°

180° 22° = 158° 158° 2 = 79°

m ∠ GHJ = 79°

Las medidas de los dos ángulos restantes son iguales. Divide la diferencia entre 2 para hallar la medida de cada ángulo.

Resta 22° de 180° para hallar la suma de las medidas de los otros dos ángulos.

3. Halla la medida del ∠GHJ

Nombre

Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

8. En el diagrama, el △ XYZ y el △ XYW comparten la hipotenusa XY

25° x° y° X Y W Z

a. Halla los valores de x y y

El valor de x es 31 y el valor de y es 31

b. Halla las medidas del ∠ ZXY y el ∠WYX

m ∠ ZXY = 56° , m∠WYX = 65°

9. Usa el diagrama y la información dada para responder las partes (a) y (b).

• La ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD

• La medida del ∠ABC es 28°

• La medida del ∠EDC es 42° . A B E C

a. Halla la medida del ∠CED

m∠CED = 110°

b. Explica cómo hallaste la medida del ∠CED

La ⟷ AB y la ⟷ CD son paralelas; entonces, tanto el ∠ABC como el ∠DCE miden 28°, porque los ángulos alternos internos son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida. La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°; entonces, la medida del ∠CED es 110°, porque 180 − (28 + 42) = 110

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

3(x + 2) + 7 3x + 13

5(x + 6) 7 5x + 23

−7(x + 2) + 5 −7x 9 13. −8(x 4) + 8 −8x + 40

14. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura ABCDE a la figura PQRST.

Una reflexión sobre el eje x seguida de una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen asigna la figura ABCDE a la figura PQRST

EUREKA

15. Considera la ecuación 520 5x = 540. ¿Qué ecuación se puede usar para determinar el valor de x ?

A. 20 x = 40

B. 20 · x = 40

C. 20 ÷ x = 40

D. 20 + x = 40

EUREKA MATH

14

Demostrar si las rectas son paralelas

Usar argumentos informales para concluir que las rectas que corta una transversal son paralelas cuando los pares de ángulos que se forman son congruentes

Vistazo a la lección

Determina si las rectas �� y �� son paralelas. Explica cómo lo sabes.

Las rectas �� y �� son paralelas porque los ángulos alternos externos son congruentes.

rectas �� y �� no son paralelas porque los ángulos alternos internos no son congruentes.

rectas

�� son paralelas porque los ángulos alternos internos son congruentes.

En parejas, sus estudiantes analizan si los enunciados si... entonces son verdaderos como introducción al análisis de si este enunciado es verdadero: Si los ángulos correspondientes que se forman cuando una transversal corta dos rectas son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas. Luego, siguen una argumentación informal que demuestra que el enunciado es verdadero. Extienden este razonamiento a otras relaciones entre ángulos y usan un par de medidas angulares para explicar si las rectas de un diagrama son paralelas o no. Las parejas forman grupos de cuatro y usan la rutina Cinco preguntas estructuradas para analizar el trabajo y las explicaciones de sus pares.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos usar pares de medidas angulares para demostrar que dos rectas cortadas por una transversal son paralelas?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA6 Hallan medidas angulares desconocidas usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas. (8.G.A.5)

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 14

Nombre

BOLETO DE SALIDA 14

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Verdadero o falso: Enunciados si... entonces

• Enunciados si... entonces y rectas paralelas

• ¿Qué nos indican los ángulos?

• ¿Son paralelas las rectas?

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• herramienta de borde recto

• bolígrafo rojo

Estudiantes

• herramienta de borde recto

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Pares lineales

La clase halla el valor de variables dado un par lineal como preparación para el uso de argumentos informales para sacar conclusiones sobre las rectas cortadas por una transversal.

Instrucciones: Halla el valor de x.

Nota para la enseñanza

En lugar de administrar la actividad de Fluidez de esta lección, considere usar la Práctica veloz de Relaciones entre ángulos. Puede encontrar instrucciones para administrar estas actividades en el recurso de la sección Fluidez.

Presentar

La clase se pregunta si la veracidad del recíproco de un enunciado si… entonces se basa en el enunciado original.

Muestre el diagrama y el enunciado. Pregunte a sus estudiantes si el enunciado es verdadero o falso.

• Si las rectas �� y �� son paralelas, entonces los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes.

Se espera que sus estudiantes sugieran que el enunciado es verdadero según lo que aprendieron en la lección 12. Luego, muestre el siguiente enunciado y use las preguntas que siguen para conversar con la clase sobre si es verdadero:

• Si los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes, entonces las rectas �� y �� son paralelas.

¿En qué se diferencia el segundo enunciado del primer enunciado?

El orden del enunciado cambió.

En el segundo enunciado, decimos que los ángulos son congruentes y, luego, decimos que las rectas son paralelas.

Nota para la enseñanza

En la lección 18, se presenta el término recíproco a la clase.

Sabemos que el primer enunciado es verdadero a partir de nuestro trabajo en una lección anterior. ¿Cuál creen que es la verdad sobre el segundo enunciado?

Por ahora, valide un rango de ideas. Estos dos enunciados se vuelven a considerar más adelante en la lección.

Hoy, vamos a usar enunciados si... entonces y las relaciones entre ángulos para sacar conclusiones sobre las rectas que están cortadas por una transversal. Para eso, primero necesitamos comprender la estructura de estos enunciados si… entonces.

Aprender

Verdadero o falso: Enunciados si... entonces

La clase determina si los enunciados son verdaderos o falsos.

Organice a sus estudiantes en parejas y pídales que vayan a los problemas 1 a 3. Pídales que comenten si cada enunciado es verdadero o falso y registren su respuesta.

1. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. Si hoy es martes, entonces mañana es miércoles.

Verdadero

b. Si mañana no es miércoles, entonces hoy no es martes.

Verdadero

c. Si mañana es miércoles, entonces hoy es martes.

Verdadero

2. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. Si tengo 13 años, entonces soy adolescente.

Verdadero

Nota para la enseñanza

Las condiciones si… entonces se presentaron en 7.o grado como una forma de resolver ecuaciones. Por ejemplo, si A = B, entonces A + C = B + C para todos los números reales A, B y C. Considere incluir estas condiciones si… entonces conocidas para ayudar a sus estudiantes a establecer conexiones.

b. Si no soy adolescente, entonces no tengo 13 años.

Verdadero

c. Si soy adolescente, entonces tengo 13 años.

Falso

3. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. Si me gusta el helado de chocolate, entonces me gustan todos los sabores de helado.

Falso

b. Si no me gustan todos los sabores de helado, entonces no me gusta el helado de chocolate.

Falso

c. Si me gustan todos los sabores de helado, entonces me gusta el helado de chocolate.

Verdadero

Cuando la mayoría haya terminado, confirme sus respuestas con los pulgares hacia arriba si el enunciado es verdadero o con los pulgares hacia abajo si es falso. Después de cada enunciado, invite a quienes tengan respuestas diferentes a que compartan sus explicaciones con la clase. Luego, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Qué observaron sobre la estructura de los enunciados en las partes (a) y (b) de cada problema?

Los enunciados de las partes (a) y (b) tienen las palabras si y entonces.

Los enunciados de la parte (b) tienen la palabra no en dos lugares.

El orden de la parte si y la parte entonces es el contrario y se invierte el orden en la parte (b).

¿Qué observan acerca de las respuestas a cada problema en las partes (a) y (b)?

Las respuestas a las partes (a) y (b) son las mismas. Ambas son verdaderas o ambas son falsas.

Cuando intercambiamos la parte si y la parte entonces de un enunciado si... entonces y hacemos que el significado de cada parte sea el contrario al sumar la palabra no o al quitar la palabra no, obtenemos un enunciado equivalente.

Los enunciados si… entonces equivalentes tienen el mismo valor de verdad. Ambos son verdaderos o ambos son falsos.

Nota para la enseñanza

Es posible que haya estudiantes que tengan dudas acerca de las respuestas a los problemas 2(c) y 3(a) porque hay casos particulares en los que estos enunciados son verdaderos y otros casos en los que son falsos. Considere explicar que, para estos problemas, verdadero significa “siempre verdadero”. Si sus estudiantes pueden pensar en un ejemplo en el que el enunciado no es verdadero, entonces el enunciado es falso. Considere explicar el razonamiento con un ejemplo específico.

• Problema 2(c): Hay un rango de edades en las que una persona es considerada adolescente. Alguien que tiene 15 años también es adolescente.

• Problema 3(a): Hay muchos sabores de helado. Solo porque me guste el helado de chocolate no significa que me guste el helado de durazno.

¿Qué observaron sobre la estructura de los enunciados en las partes (a) y (c) de cada problema?

El orden de la parte si y la parte entonces se invierte en la parte (c).

¿Saber que un enunciado determinado es verdadero en un orden les indica que el enunciado es verdadero en el orden contrario? ¿Cómo lo saben?

No. En cada problema, el orden de los enunciados se invierte en las partes (a) y (c). En el problema 1, ambos enunciados son verdaderos, pero en los problemas 2 y 3, un enunciado es verdadero y el otro es falso.

Cuando tenemos dos enunciados si… entonces donde la parte si y la parte entonces se invirtieron, saber que un enunciado es verdadero no nos dice nada sobre si el otro enunciado es verdadero o no.

Enunciados si... entonces y rectas paralelas

La clase determina si los enunciados si… entonces con rectas paralelas son verdaderos.

Pida a sus estudiantes que estudien el diagrama en los problemas de Enunciados si... entonces y rectas paralelas. Luego, pídales que completen los problemas 4 a 6 en parejas.

En los problemas 4 a 6, usa el diagrama de las rectas ��, �� y �� para determinar si el enunciado es verdadero o falso.

4. Si las rectas �� y �� son paralelas, entonces los ángulos alternos internos creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes.

Verdadero

5. Si las rectas �� y �� son paralelas, entonces los ángulos alternos externos creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes.

Verdadero

6. Si las rectas �� y �� son paralelas, entonces los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes.

Verdadero

Confirme las respuestas con toda la clase. Luego, haga la siguiente pregunta:

¿Cómo podemos comprobar que estos enunciados son verdaderos?

Si las rectas �� y �� son paralelas, podemos usar movimientos rígidos para asignar un ángulo alterno interno a otro ángulo alterno interno y así mostrar que los ángulos son congruentes.

Podemos hacer lo mismo con los ángulos alternos externos y con los ángulos correspondientes.

Cuando una transversal corta rectas paralelas, podemos usar movimientos rígidos para mostrar qué ángulos son congruentes.

¿Qué

nos indican los ángulos?

La clase determina que, si dos rectas están cortadas por una transversal y tienen ángulos correspondientes congruentes, son paralelas.

Muestre los problemas 7(a) y 7(b). Lea los enunciados en voz alta a la clase.

7. Considera la estructura de estos dos enunciados.

a. Si los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� son congruentes, entonces las rectas �� y �� son paralelas.

b. Si las rectas �� y �� no son paralelas, entonces los ángulos correspondientes creados por las rectas �� y �� cortadas por la transversal �� no son congruentes.

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para animar a la clase a participar de una conversación:

Los enunciados del problema 7 (a) y el problema 6 son los mismos que los que analizamos al comienzo de la lección. En ese momento, sacaron una conclusión sobre si el enunciado en el problema 7(a) es verdadero o no. ¿Todavía están de acuerdo con esa conclusión?

Sí, porque sé que los ángulos correspondientes son congruentes si las rectas son paralelas, entonces creo que es verdad en la otra forma también.

No, hablamos sobre invertir el orden de los enunciados si... entonces y dijimos que saber si un enunciado es verdadero no nos indica que el otro enunciado sea verdadero.

Que un enunciado si… entonces sea verdadero no nos indica nada sobre si un enunciado es verdadero cuando se invierten la parte si y la parte entonces. Entonces, el enunciado del problema 7(a) podría ser verdadero o falso. Por ahora, no tenemos certeza.

¿Qué observan acerca de la estructura de los dos enunciados en el problema 7?

Ambos enunciados del problema 7 son enunciados si... entonces, pero en la parte (b), el orden de las partes si y entonces se invierte, y cada parte se convierte en lo contrario al incluir la palabra no.

¿Qué saben acerca del valor de verdad de los dos enunciados en el problema 7?

Deben tener el mismo valor de verdad. Ambos son verdaderos o ambos son falsos.

Si sabemos que un enunciado es verdadero, entonces sabemos que el otro es verdadero. Por ejemplo, si hallamos que el enunciado de la parte (b) es verdadero, entonces el enunciado de la parte (a) también debe ser verdadero.

Mostramos informalmente que el enunciado de la parte (b) es verdadero a través de una exploración en la lección 12. Ahora, vamos a mostrar formalmente que es verdadero usando un diagrama.

La primera parte del enunciado dice: Si las rectas ℓ y �� no son paralelas. Debemos dibujar un diagrama que muestre esto. ¿Cómo podemos mostrar rectas que no son paralelas en un diagrama?

Podemos dibujar un diagrama donde las rectas �� y �� se intersequen.

Distribuya una herramienta de borde recto a cada estudiante. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 7(c) y representen cómo trazar las rectas secantes �� y �� con la transversal ��.

c. Traza las rectas secantes �� y �� con la transversal ��.

La siguiente parte del enunciado dice: entonces, los ángulos correspondientes creados por las rectas ℓ y ��   cortadas por una transversal ��   no son congruentes. En vez de intentar demostrar que este enunciado es verdadero, vamos a suponer que es falso para ver qué sucede.

Si suponemos que la parte entonces del enunciado del problema 7(b) es falsa, entonces estamos diciendo que los ángulos correspondientes son congruentes. Podemos mostrar esto en el diagrama marcando un par de ángulos correspondientes con arcos.

Marque un par de ángulos correspondientes con arcos como se muestra en el problema 7(c). Pida a sus estudiantes que marquen dos ángulos correspondientes con arcos en su diagrama.

Represente cómo desarrollar un argumento informal para mostrar que los ángulos correspondientes no pueden ser congruentes usando los siguientes planteamientos. Pida a sus estudiantes que sigan el razonamiento y tomen notas en sus libros.

En el diagrama, marcamos los ángulos correspondientes como congruentes y trazamos las rectas ℓ y ��   como rectas secantes; entonces, las rectas no son paralelas.

Sabemos que los ángulos congruentes tienen la misma medida; entonces, rotulen los ángulos correspondientes con una medida de x° .

Diferenciación: Apoyo

La clase puede beneficiarse de usar una medida angular numérica en vez de x° .

Rotule cada arco con x° .

Señale el ángulo interno del triángulo que es adyacente al ángulo con la medida x° .

¿Cuál es la medida del ángulo adyacente al ángulo que mide x°?

(180 − x)°

Si sus estudiantes necesitan apoyo para identificar la medida angular, determine la medida con toda la clase. Escriba (180 − x)° como la medida del ángulo adyacente a x° .

Luego, use un bolígrafo rojo, o de un segundo color, para remarcar el contorno del triángulo formado por las tres rectas.

Podemos determinar la medida del tercer ángulo del triángulo. Reúnanse y conversen en parejas sobre cuál es la medida del tercer ángulo.

Cuando la mayoría haya determinado que la medida angular debe ser 0°, o cuando el esfuerzo ya no sea productivo, use las siguientes preguntas y planteamientos para guiar una conversación con toda la clase:

Determinamos que el tercer ángulo del triángulo tiene una medida de 0°. ¿Un ángulo con la medida 0° tiene sentido? ¿Por qué?

Sí, tiene sentido. x + (180 − x) es 180, y como la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°, el tercer ángulo debe medir 0°.

No, no tiene sentido. Si el ángulo midiera 0°, no habría ángulo.

No, no tiene sentido. Un triángulo no puede incluir una medida angular de 0°.

Supusimos que los ángulos correspondientes eran congruentes. Esto dio lugar a una situación imposible: un triángulo con un ángulo interno que mide 0°.

Como nuestra suposición dio lugar a una situación imposible, nuestra suposición debe ser falsa. Por lo tanto, los ángulos correspondientes en el diagrama no son congruentes, y el enunciado del problema 7(b) es verdadero.

Pida a sus estudiantes que escriban verdadero al lado del enunciado del problema 7(b).

Si el enunciado del problema 7(b) es verdadero, ¿qué supone eso sobre el enunciado del problema 7(a)? ¿Por qué?

El enunciado del problema 7(a) debe ser verdadero, porque los dos enunciados del problema 7 deben ser ambos verdaderos o ambos falsos.

Pida a sus estudiantes que escriban verdadero al lado del enunciado del problema 7(a).

En la lección 12, aprendimos que si las rectas cortadas por una transversal son paralelas, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. Ahora, sabemos que si los ángulos correspondientes creados por dos rectas cortadas por una transversal son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas. En este caso, invertir el orden de las partes si y entonces no cambia el valor de verdad del enunciado.

¿Creen que este enunciado es verdadero? Si los ángulos alternos internos creados por dos rectas cortadas por una transversal son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas. ¿Por qué? ¿Qué ocurre con los ángulos alternos externos?

Diferenciación: Apoyo

Considere exhibir un apoyo visual en el que se identifiquen los ángulos como correspondientes, alternos internos o alternos externos para que sus estudiantes pueden consultar durante la conversación.

Sí, creo que ese enunciado es verdadero. Podría mostrar que el enunciado es verdadero de la misma forma dibujando un diagrama de rectas secantes, marcando los ángulos congruentes y marcando el tercer ángulo del triángulo como 0°. Luego, puedo usar las medidas angulares para mostrar que no es posible que las rectas se intersequen. Podría usar un proceso semejante para los ángulos alternos externos.

La misma verificación puede hacerse con los ángulos alternos internos y externos. Entonces, ahora sabemos que, si un par de ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos creados por dos rectas cortadas por una transversal son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

¿Son paralelas las rectas?

La clase usa medidas angulares para determinar si dos rectas son paralelas.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 8 a 11. Considere completar el problema 8 con toda la clase para ayudar a sus estudiantes y, luego, pídales que trabajen en parejas.

En los problemas 8 a 11, usa el diagrama de las rectas ��, �� y �� para determinar si las rectas �� y �� son paralelas. Explica cómo lo sabes. 8.

Diferenciación: Desafío

Considere pedir a quienes acepten el desafío que usen un razonamiento semejante para los enunciados sobre los ángulos alternos internos y los ángulos alternos externos.

Las rectas �� y �� son paralelas porque los ángulos alternos externos son congruentes.

Las rectas �� y �� son paralelas. Dado que 180 80 = 100, los ángulos alternos externos son congruentes.

Nota para la enseñanza

Anime a sus estudiantes a usar la notación de las rectas paralelas en los diagramas donde determinen que las rectas son paralelas.

Dado que las únicas medidas angulares conocidas están en una recta formada por la intersección de las rectas �� y ��, no hay suficiente información para determinar si las rectas �� y �� son paralelas.

Las rectas �� y �� no son paralelas. Como 180 44 = 136 y 135 ≠ 136, los ángulos alternos internos no son congruentes.

Después de alrededor de 8 minutos, organice a las parejas de estudiantes en grupos de cuatro. Pida a los grupos que elijan un problema y usen la rutina Cinco preguntas estructuradas para incentivar el intercambio mientras analizan el razonamiento de sus pares.

Proporcione los siguientes comienzos de oración para que sus estudiantes los usen mientras comentan el trabajo de sus pares. Deje los comienzos de oración a disposición de sus estudiantes para que los consulten durante la conversación.

• Observar y preguntarse: Observo que…, y eso hace que me pregunte…

• Organizar: Lo primero que hiciste fue… Lo sé porque…

Pida a una pareja que comience la conversación con la otra pareja usando los comienzos de oración. Después de 1 minuto, dé la señal para que intercambien roles.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando lee y analiza el razonamiento de otra pareja de estudiantes para respaldar sus conclusiones sobre la relación entre las rectas c y d.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Qué preguntas pueden hacer al grupo para asegurarse de que comprenden el razonamiento de cada integrante?

• ¿Con qué partes del trabajo de su grupo están en desacuerdo? ¿Por qué?

Guíe una conversación de toda la clase y pida a sus estudiantes que resuman brevemente lo que comentaron con su grupo. Luego, desafíe a sus estudiantes a relacionar el razonamiento con los movimientos rígidos usando las siguientes preguntas de Mostrar y Sintetizar:

• Mostrar: ¿Existen movimientos rígidos que respalden su razonamiento? ¿Qué movimiento rígido puede asignar un ángulo a otro? ¿Por qué un movimiento rígido no puede asignar un ángulo a otro?

• Sintetizar: ¿Qué relaciones entre ángulos respaldan su afirmación?

Continúe la rutina y guíe una conversación de toda la clase sobre uno de los problemas, o algunos más, si hay suficiente tiempo. Termine el segmento con esta pregunta de Comprender:

• Comprender: ¿Qué enunciados si... entonces verdaderos podemos crear acerca de los ángulos correspondientes que se forman cuando las rectas paralelas están cortadas por una transversal?

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Usar argumentos informales para concluir que las rectas que corta una transversal son paralelas cuando los pares de ángulos que se forman son congruentes

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿Cómo podemos usar pares de medidas angulares para demostrar que dos rectas cortadas por una transversal son paralelas?

Podemos usar pares de medidas angulares para identificar las relaciones entre ángulos, como ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos. Si estos pares de ángulos miden lo mismo, entonces las rectas son paralelas.

DUA: Acción y expresión

Considere proporcionar comienzos de oración para estos enunciados si… entonces a fin de ayudar a sus estudiantes a compartir lo que saben.

• Si los ángulos formados por dos rectas cortadas por una transversal son congruentes, entonces las rectas son     .

• Si dos rectas son    , entonces los ángulos que se forman por las dos rectas cortadas por una transversal son congruentes.

¿Cómo podemos usar pares de medidas angulares para demostrar si dos rectas cortadas por una transversal no son paralelas?

Podemos usar pares de medidas angulares para identificar las relaciones entre ángulos, como ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos. Si estos pares de ángulos no miden lo mismo, entonces las rectas no son paralelas.

¿Podemos desarrollar enunciados si… entonces para las rectas cortadas por una transversal y para los ángulos alternos internos y externos? ¿Qué enunciados?

Sí. Si los ángulos alternos internos creados por dos rectas cortadas por una transversal son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas. También, si los ángulos alternos externos creados por dos rectas cortadas por una transversal son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas.

Sí. Si dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. También, si dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, entonces los ángulos alternos externos son congruentes.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 14

Demostrar si las rectas son paralelas

En esta lección:

• hallamos que, si los ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos que se forman cuando una transversal corta dos rectas son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas;

• usamos pares de medidas angulares para determinar si dos rectas son paralelas.

Ejemplos

En los problemas 1 a 3, usa el diagrama de las rectas ��, �� y ��

a. Determina si las medidas angulares dadas muestran que las rectas �� y �� son paralelas

o no paralelas. Si no se da suficiente información, escribe indeterminado.

b. Explica tu respuesta de la parte (a).

Ángulos correspondientes

• ∠1 y ∠3 • ∠6 y ∠8 • ∠2 y ∠4 • ∠5 y ∠7

Ángulos alternos internos

• ∠2 y ∠6 • ∠3 y ∠7

Ángulos alternos externos

• ∠1 y ∠5 • ∠4 y ∠8

paralelas

b. Como el ∠5 y el ∠7 son ángulos correspondientes y tienen la misma medida, las rectas �� y �� son paralelas.

2. m∠3 = 118° , m∠6 = 62°

a. indeterminado

b. Como los ángulos están en una recta y están formados por la intersección de las rectas �� y ��, no hay suficiente información para determinar la relación entre las rectas �� y ��

3. m∠2 = 43° , m∠6 = 44°

a. no paralelas

b. Como el ∠2 y el ∠6 son ángulos alternos internos que no tienen la misma medida, las rectas �� y �� no son paralelas.

4. Se muestra el diagrama de las ⟷ AB ⟷ GF , ⟷ CH y ↔ EI 130° 50° 130° A CE B F D I H G

El ∠ECD y el ∠BEF son congruentes.

a. ¿Son paralelas la ⟷ CH y la ↔ EI ? Explica.

Sí. La ⟷ CH y la ↔ EI son paralelas porque los ángulos correspondientes, el ∠ECD y el ∠BEF, son congruentes.

b. ¿Son paralelas la ⟷ AB y la ⟷ GF ? Explica.

m∠CDF + m∠ FDH = 180°

50° + m∠ FDH = 180°

m∠ FDH = 130°

El ∠CDF y el ∠ FDH son un par lineal; entonces, la suma de sus medidas es 180°

Sí. La ⟷ AB y la ⟷ GF son paralelas porque los ángulos correspondientes, el ∠ ECD y el ∠ FDH, son congruentes.

EUREKA MATH

Nombre Fecha RESUMEN

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 14

En los problemas 1 a 7, usa el diagrama de las rectas ℊ, �� y ��. Determina si las medidas angulares dadas muestran que las rectas ℊ y �� son paralelas o no paralelas. Si no hay suficiente información, elige Indeterminado.

8. Jonás dice que no hay suficiente información para determinar si la ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD ¿Estás de acuerdo con Jonás? Explica. A B

Paralelas No paralelas Indeterminado

1. m∠4 = 56°, m∠2 = 56° X 2. m∠3 = 124°, m∠6 = 124° X 3. m∠8 = 124°, m∠4 = 56° X 4. m∠5 = 56°, m∠2 = 56° X 5. m∠6 = 124°, m∠7 = 56° X 6. m∠5 = 56°, m∠7 = 55° X

7. m∠1 = 124°, m∠4 = 56° X

Estoy de acuerdo con Jonás. Los ángulos verticales que se muestran solo se forman con la recta ⟷ AB y la recta ��. Entonces, no hay suficiente información sobre la relación entre la ⟷ AB y la ⟷ CD

9. ¿Son paralelas la ⟷ CT y la ⟷ DG ? ¿Por qué? A T C

Sí. Las rectas son paralelas porque los ángulos alternos internos, el ∠CAO y el

, son congruentes.

EUREKA MATH

EUREKA MATH

10. ¿Son paralelas la ⟷ MP y la ⟷ OA ? ¿Por qué?

Sí. Las rectas son paralelas porque los ángulos correspondientes, el ∠PMO y el ∠AOG, son congruentes.

H A D B

11. Considera el diagrama que se muestra. C FG S R VU T E

a. ¿Son paralelas la ⟷ AB y la ⟷ CD ? ¿Por qué?

La ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD porque los ángulos correspondientes son congruentes. El ∠SBT es congruente con el ∠RAB, y el ∠RAB es congruente con el ∠ACD.

b. Supón que ⟷ AB ∥ ⟷ CD . ¿Son paralelas la ⟷ CD y la ⟷ GH ? ¿Por qué?

La ⟷ CD es paralela a la ⟷ GH porque los ángulos alternos externos, el ∠BDC y el ∠UGH, son congruentes.

c. ¿Son paralelas la ⟷ CD y la ⟷ EF ? ¿Por qué?

La ⟷ CD no es paralela a la ⟷ EF porque los ángulos alternos internos, el ∠DCF y el ∠EFC, no son congruentes.

12. En el diagrama, la ⟷ AC es paralela a la ⟷ DF . Escribe las medidas angulares desconocidas en el diagrama.

EUREKA MATH2

13. En el diagrama, ¿cuáles deben ser los valores de x y de y para que ⟷

⟷ DE ? Explica.

18. Considera la figura CDEF y los siguientes movimientos rígidos.

• Una rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen

• Una reflexión sobre el eje y

El valor de x debe ser 56, y el valor de y debe ser 56. Si los ángulos alternos internos tienen la misma medida, entonces las rectas cortadas por una transversal para formar esos ángulos deben ser paralelas. Dado que m∠ ABC = 56° y m∠ DCB = 56°, ⟷ AB ∥ ⟷ CD . Dado que m∠ DCB = 56° y m∠CDE = 56°, ⟷ BC

Recuerda

En los problemas 14 a 17, escribe una expresión equivalente.

14. 2 3 (x + 6)

E F B A

a. Traza la imagen de la figura CDEF a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden dado. Rotula la imagen A

b. Traza la imagen de la figura CDEF a la que se le aplica la secuencia de movimientos rígidos en el orden contrario. Rotula la imagen B

2 3 x + 4 15. 3 4 (x + 8)

16. 1 2 (x + 10)

3 4 x + 6

1 2 x + 5 17. 2 5 (x + 25)

2 5 x + 10

c. ¿Importa el orden en el que se aplica esta secuencia de movimientos rígidos? Explica. Sí, el orden importa cuando se aplica esta secuencia de movimientos rígidos porque las imágenes, las figuras A y B, están en ubicaciones distintas.

19. Escribe una expresión equivalente a 73 74 con solo una base.

A. 4912

B. 147

C. 712

D. 77

EUREKA MATH2

LECCIÓN 15

Los ángulos externos de los triángulos

Usar argumentos informales para definir datos sobre los ángulos externos de los triángulos

Determinar la medida desconocida de un ángulo interno o externo de un triángulo

Se pide a Dylan y Noor que hallen la medida del ∠1 en el triángulo dado. 1 81° 156° 2

Vistazo a la lección

Sus estudiantes usan la comprensión intuitiva de las palabras interno y externo para identificar el ángulo externo de un triángulo en un diagrama. Aplican sus conocimientos previos sobre las relaciones entre ángulos para descubrir una nueva relación: la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes. Trabajan en parejas para escribir ecuaciones y hallar el valor de medidas angulares desconocidas en una sucesión de problemas en la que va aumentando la complejidad. Comparten y comparan sus estrategias con la clase para ilustrar todos los enfoques que puede haber para resolver un problema. En esta lección se definen formalmente los términos ángulo externo de un triángulo y ángulos internos no adyacentes de un triángulo.

Dylan halla la medida del ∠1 de esta forma:

156° + m∠2 = 180°

m∠2 = 24°

m∠1 + m∠2 + 81° = 180°

m∠1 + 24° + 81° = 180°

m∠1 = 75°

Noor halla la medida del ∠1 de esta forma:

m∠1 + 81° = 156°

m∠1 = 75°

Explica de quién es la solución correcta y por qué.

Ambas soluciones son correctas. Dylan usa las medidas de los ángulos internos de un triángulo y el par lineal que se forma con el ángulo externo y el ángulo interno adyacente para hallar la medida del ∠1

Noor usa la medida del ángulo externo del triángulo, que es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes, para hallar la medida del ∠1

Preguntas clave

• ¿A qué nos referimos cuando hablamos de los ángulos internos y externos de un triángulo?

• ¿Cuál es la relación entre las medidas de un ángulo externo de un triángulo y las medidas de los ángulos internos no adyacentes a ese ángulo?

Criterios de logro académico

8.Mód2.CLA5 Aplican, definen y explican datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo. (8.G.A.5)

8.Mód2.CLA6 Hallan medidas angulares desconocidas usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas. (8.G.A.5)

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 15

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Internos y externos

• Ángulos internos no adyacentes

• Hallar la medida angular

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• herramienta de borde recto

Estudiantes

• herramienta de borde recto

• transparencia

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Resolver ecuaciones

La clase resuelve ecuaciones de uno y dos pasos como preparación para hallar las medidas de los ángulos externos de los triángulos.

Instrucciones: Halla el valor de x. 1.

Presentar

La clase usa las relaciones entre ángulos en los triángulos y en rectas paralelas cortadas por una transversal para hallar las medidas de los ángulos en un diagrama.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 y que lo completen en parejas.

1. Dadas las rectas paralelas �� y �� con la transversal ��, halla el valor de x.

El valor de x es 59.

Cuando la mayoría haya hallado el valor de x, pida a sus estudiantes que compartan sus estrategias con la clase.

Hoy, vamos a aprender otra relación entre las medidas angulares de un triángulo y a usarla para resolver problemas.

Aprender

Internos y externos

La clase identifica los ángulos externos e internos de un triángulo en un diagrama.

Presente el problema Internos y externos mediante el siguiente planteamiento:

En nuestros estudios recientes, nos hemos enfocado en resolver problemas usando las medidas de los ángulos internos de un triángulo. A veces, necesitamos resolver problemas usando las medidas de los ángulos externos de un triángulo.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 2. Se espera que sus estudiantes usen su comprensión intuitiva de las palabras interno y externo para hacer una suposición sobre la ubicación de un ángulo externo adyacente al ∠F.

2. Identifica una ubicación para un ángulo externo adyacente al ∠F.

Nota para la enseñanza

Considere pedir a sus estudiantes que describan la ubicación de los ángulos internos del triángulo. Espere una descripción como esta: el ángulo en el vértice F que está dentro del polígono. Luego, pida a sus estudiantes que usen lo que saben sobre la ubicación de los ángulos internos para entender la ubicación de los ángulos externos.

Refuerce la comprensión de la clase sobre los ángulos externos con los planteamientos dados.

¿Dónde creen que están ubicados los ángulos externos de un triángulo?

Los ángulos externos están ubicados fuera del triángulo. Están en la parte blanca alrededor del triángulo.

Los ángulos externos están fuera del triángulo, pero no alrededor de todo el vértice. Un ángulo externo de un triángulo es un ángulo que forma un par lineal con un ángulo interno de ese triángulo. Para obtener un par lineal, debe haber una recta.

Pida a una persona de cada pareja que use una herramienta de borde recto para extender el lado EF más allá del punto F. La compañera o el compañero debe usar una herramienta de borde recto para extender el lado DF más allá del punto F.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Antes de comentar la medida de cada ángulo, considere pedir a sus estudiantes que tracen una semirrecta que continúe cada lado del △DEF y que rotulen todos los ángulos externos de cada par lineal formado.

ángulo externo

ángulo externo

Comenten en parejas la medida del ángulo que acaban de trazar.

Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, guíe una conversación de toda la clase sobre sus respuestas.

¿Cómo determinaron la medida del ángulo externo?

El ángulo externo y el ángulo interno adyacente forman un par lineal. Esto significa que sus medidas suman 180°, entonces resté 58 de 180.

¿Qué observaron sobre las medidas de los ángulos externos que trazaron en parejas?

Ambos ángulos externos miden 122°.

ángulo externo

¿Cómo podemos explicar por qué ambos ángulos externos tienen la misma medida, aunque hayamos trazado diferentes semirrectas?

Ambos ángulos externos forman un par lineal con el mismo ángulo interno.

Trace la ⟶ EF y la ⟶ DF en el triángulo. Incluya arcos en los ángulos externos para indicar que son congruentes. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Ahora que ambas semirrectas están en un diagrama, ¿se les ocurre otra razón por la que estos ángulos externos son congruentes?

Sí, los dos ángulos externos son ángulos verticales, lo que significa que son congruentes.

Entonces, independientemente de qué lado del triángulo extendamos, el ángulo externo es suplementario a su ángulo interno adyacente. Como los ángulos externos que se forman en el mismo vértice son de igual medida, usualmente extendemos cada lado solo una vez para formar un total de tres ángulos externos de un triángulo, como verán en el problema 3.

Diferenciación: Apoyo

Considere usar un código de colores para resaltar la relación del par lineal de los ángulos externos y los ángulos internos no adyacentes. Luego, explique que la suma de las medidas de cualquiera de los ángulos externos rojos y el ángulo interno adyacente azul es 180°.

Pida a la clase que complete el problema 3 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y brinde apoyo para nombrar los ángulos e identificar los ángulos internos y externos según sea necesario.

3. Considera el △HAT en el diagrama.

a. Nombra los ángulos externos del △HAT.

∠CTH, ∠OHA, ∠GAT

b. Si la medida del ∠HTA es 58° y la medida del ∠THA es 86°, halla las medidas de los siguientes ángulos.

m∠HAT = 36°

m∠GAT = 144°

m∠OHA = 94°

m∠CTH = 122°

Confirme las respuestas de la parte (a). Luego, muestre el diagrama del problema 3 e invite a sus estudiantes a escribir las medidas angulares de la parte (b) directamente en el diagrama.

Ángulos internos no adyacentes

La clase usa ecuaciones para mostrar que la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 4 y 5 en parejas.

4. Halla el valor de x.

5. Halla el valor de y.

180 − 144 = 36

58 + 36 + x = 180

94 + x = 180 x = 86

El valor de x es 86

180 − 122 = 58

86 + 58 + y = 180

144 + y = 180 y = 36

El valor de y es 36

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para explorar más a fondo las relaciones entre ángulos:

¿Qué observaron en sus cálculos de los problemas 4 y 5?

Usé 180 dos veces.

Usé dos relaciones entre ángulos para hallar el valor de la variable.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión de los ángulos suplementarios y los ángulos internos de un triángulo. Con estas relaciones entre ángulos, reconocen que la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo se relaciona la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo y la suma de los ángulos suplementarios? ¿Cómo puede ayudarles eso a determinar la relación entre las medidas de los ángulos internos no adyacentes y el ángulo externo de un triángulo?

• ¿Por qué lo que saben sobre los ángulos internos de un triángulo puede ser útil para hallar la medida del ángulo externo de un triángulo?

Para hallar el valor de la variable, usamos dos relaciones entre ángulos que incluyen 180°.

A continuación, intentaremos crear un enunciado más general sobre las relaciones entre ángulos. Pero antes, trabajen en parejas y escriban dos ecuaciones que incluyan 180° en el problema 6.

Recorra el salón de clases mientras la clase completa el problema 6 y anime a sus estudiantes a conversar en parejas sobre las ecuaciones que incluyen 180°. Se espera que sus estudiantes escriban una ecuación para la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo o una ecuación para el par lineal de ángulos.

6. Escribe ecuaciones que representen las relaciones entre ángulos que se muestran en el diagrama.

Nota para la enseñanza

Se espera que sus estudiantes escriban las primeras dos ecuaciones que se muestran en la respuesta de sus estudiantes al problema 6. El resto del trabajo se desarrolla mediante una conversación de toda la clase.

La medida de cualquier ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

Cuando la mayoría de las parejas hayan terminado, reúna a la clase y asegúrese de que sus estudiantes hayan registrado dos ecuaciones. Si es necesario, haga una de las siguientes preguntas, o ambas, antes de continuar:

• ¿Cómo podemos usar la relación entre un par lineal de ángulos para escribir una ecuación?

• ¿Cómo podemos usar la suma de las medidas de los ángulos internos del triángulo para escribir una ecuación?

Luego, muestre el problema 6 y guíe a la clase para que halle una ecuación que, de forma eficiente, permita hallar la medida del ángulo externo del triángulo. Anime a sus estudiantes a complementar las ecuaciones que ya han escrito para el problema 6.

Si dos expresiones son iguales a 180°, ¿entonces qué es verdadero sobre las expresiones?

Las expresiones que son iguales a 180° también son iguales entre ellas.

Pida a sus estudiantes que registren la ecuación m∠3 +

2 + m∠3 en sus libros para el problema 6.

Como la m∠3 es un valor en ambos lados de la ecuación, ¿qué podemos hacer con la m∠3?

Podemos restar la m∠3 de ambos lados.

¿Qué ecuación tenemos ahora?

m∠4 = m∠1 + m∠2

Pida a sus estudiantes que registren la ecuación m∠4 = m∠1 + m∠2 en sus libros para el problema 6.

Los ángulos internos que no son adyacentes al ángulo externo se llaman ángulos internos no adyacentes de un triángulo.

¿Cómo podemos interpretar esta versión final de la ecuación usando los términos ángulo externo y ángulos internos no adyacentes?

La medida de cualquier ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

Pida a sus estudiantes que registren la oración de resumen en el problema 6.

Cualquier ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes del triángulo. Por ejemplo, en el problema 6, la medida del ∠4 es igual a la suma de las medidas del ∠1 y el ∠2.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Antes de pasar al problema 7, considere pedir a sus estudiantes que tracen un triángulo con un ángulo externo. Luego, pídales que rotulen el ángulo externo, sus ángulos internos no adyacentes y el ángulo interno adyacente.

ángulo interno adyacente

ángulo interno no adyacente

ángulo interno no adyacente

ángulo externo

El problema 7 es el mismo diagrama del problema 1. Esta vez, escriban una ecuación para hallar el valor de x en la que usen la relación entre la medida del ángulo externo del triángulo y las medidas de los ángulos internos no adyacentes del triángulo. Luego, comparen su respuesta con la del problema 1.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 7 de manera individual.

7. Usa la relación entre un ángulo externo de un triángulo y los ángulos internos no adyacentes para hallar el valor de x.

+ x = 122

= 59

El valor de x es 59.

Haga énfasis en la relación entre el ángulo externo de un triángulo y los ángulos internos no adyacentes con las preguntas y los planteamientos que siguen:

Recuerden que el problema 1 y el problema 7 tienen el mismo diagrama, pero hallamos el valor de x con diferentes métodos.

¿Se obtiene en la ecuación del problema 7, en la que se usa la relación entre el ángulo externo del triángulo y sus ángulos internos no adyacentes, el mismo valor de x que hallaron en el problema 1?

Sí, hallé que el valor de x es 59 en ambos problemas.

Nota para la enseñanza

Considere concluir el segmento haciendo referencia a otras relaciones entre ángulos que existen. Por ejemplo, la suma de las medidas de los tres ángulos externos de un triángulo es 360°.

¿Importa qué método usamos para hallar el valor de x?

No, ambos métodos son correctos. No importa qué método usamos.

Hallar la medida angular

La clase usa la relación entre un ángulo externo de un triángulo y los dos ángulos internos no adyacentes para hallar el valor de una medida angular desconocida.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 8 a 13 en parejas. Recorra el salón de clases para identificar a las parejas de estudiantes que usan diferentes estrategias para hallar la solución a cada problema.

En los problemas 8 a 13, halla el valor de x en el diagrama usando cualquiera de las relaciones entre ángulos que has aprendido. Rotula todas las medidas angulares adicionales que usaste para hallar el valor de x.

DUA: Acción y expresión

Pida a las parejas que se turnen para razonar en voz alta mientras completan los problemas 8 y 9. Esto anima a sus estudiantes a conversar y observar su propio progreso. Una persona describe su decisión y la otra le da una retroalimentación. Luego, las parejas intercambian roles para el siguiente problema. Proporcione preguntas guía para las parejas de estudiantes:

• ¿Por qué eligieron esa estrategia?

• ¿Cómo hallaron su respuesta en esta etapa?

= 29 El valor de x es 29.

=

El valor de x es 26.

13. Pista: Extiende un segmento a modo de transversal.

El valor de x es

El valor de x es

Anime a sus estudiantes a comparar las estrategias para hallar la solución y a hacer conexiones entre esas estrategias. Según sea necesario, haga cualquiera de las siguientes preguntas para asegurarse de que sus estudiantes estén haciendo conexiones:

• ¿Por qué eligieron esa estrategia?

• ¿En qué se parecen las estrategias para hallar la solución?

• En el problema 12, ¿cómo pueden hallar el valor de x sin hacer ningún cálculo?

• Al usar la relación del ángulo externo de un triángulo, ¿en qué se diferencian las estrategias para hallar la solución de los problemas 8 y 9 y las estrategias usadas en los problemas 10 y 11?

• ¿Qué relaciones, además de la de los ángulos externos de un triángulo, se usan en el problema 13?

Nota para la enseñanza

Puede haber estudiantes que vean un triángulo en un diagrama e inmediatamente piensen que la suma de las medidas de los ángulos internos o la medida del ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes. El problema 12 sirve para recordar que, a veces, la estrategia más eficiente no tiene nada que ver con las relaciones entre ángulos en un triángulo.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Usar argumentos informales para definir datos sobre los ángulos externos de los triángulos

Determinar la medida desconocida de un ángulo interno o externo de un triángulo

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o complementar las respuestas de sus pares.

Describan a qué nos referimos cuando hablamos de los ángulos internos y externos de un triángulo.

Los ángulos internos se refieren a los ángulos dentro de un triángulo. Los ángulos externos se forman cuando los lados de un triángulo se extienden. Los ángulos externos son los ángulos fuera del triángulo, y cada uno es adyacente a un ángulo interno del triángulo.

¿Cuál es la relación entre las medidas de un ángulo externo de un triángulo y las medidas de los ángulos internos no adyacentes a ese ángulo? Usen el triángulo del problema 6 para explicar.

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes. Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°. El ángulo externo y el ángulo interno adyacente de un triángulo forman un par lineal. Como m

entonces

Si un diagrama contiene rectas paralelas y un triángulo, ¿qué otras relaciones entre ángulos pueden usarse?

Podemos usar los ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos.

Boleto

de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Student Edition: 8.° grado, Módulo 2, Tema C, Lección 15

Los ángulos externos de los triángulos

En esta lección:

• definimos el ángulo externo y los ángulos internos no adyacentes de un triángulo;

• determinamos que la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes del triángulo;

• resolvimos ecuaciones para hallar medidas angulares.

Ejemplos

1. Halla la medida del ∠ ACD.

El ∠ ACB es adyacente al ∠ ACD; entonces, el ∠ ABC y el ∠ BAC son los ángulos internos no adyacentes al ∠ ACD

Vocabulario 1 2 3

Un ángulo externo de un triángulo es un ángulo que forma un par lineal con un ángulo interno de ese triángulo. En el diagrama, el ∠1 es un ángulo externo del triángulo.

Los ángulos internos no adyacentes de un triángulo son los dos ángulos internos que no comparten vértice con un ángulo externo dado del triángulo. En el diagrama, el ∠1 es un ángulo externo, y el ∠2 y el ∠3 son los ángulos internos no adyacentes a ese ángulo externo. A B C D

El ∠ ACD es un ángulo externo del △ ABC

Suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes

Medida del ángulo externo

Suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes

2. Halla la medida del

Medida del ángulo externo

Nombre Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Student Edition: 8.° grado, Módulo 2, Tema C, Lección 15

En los problemas 1 a 6, halla la medida del ángulo dado.

En los problemas 7 a 10, halla la medida del ángulo dado. Describe todas las relaciones entre ángulos que usaste para hallar la medida angular desconocida. 7. ∠DAB

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes; entonces, 48 + 83 = 131.

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes; entonces,

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes; entonces, 126 − 47 = 79

∠ BAD

El ∠ BAD y el ∠ BAC son suplementarios; entonces, 180 − 77 = 103

11. Usa el diagrama y la información dada para responder las partes (a) a (d).

• La ⟷ AD y la ↔ EI son paralelas.

• La ↔ JP y la ⟷ KO son transversales.

• La medida del ∠BCQ es 67°.

• La medida del ∠QHI es 119° A B C D E Q F H I J K O P 67° 119°

a. Halla la medida del ∠QFH 67°

b. ¿Cuál es la relación entre el ∠ BCQ y el ∠QFH que verifica la medida del ∠QFH?

El ∠QFH y el ∠ BCQ son ángulos alternos internos de rectas paralelas, la ⟷ AD y la ↔ EI . Entonces, el ∠QFH y el ∠ BCQ tienen la misma medida.

c. Halla la medida del ∠FQH 52°

d. ¿Cuál es la relación entre el ∠FQH, el ∠QFH y el ∠QHI que verifica la medida del ∠FQH?

La medida del ángulo externo del △ FQH, el ∠QHI, es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes, el ∠ FQH y el ∠QFH

EUREKA MATH

12. En el diagrama, la ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD . La medida del ∠ ABE es 56°, y la medida del ∠ EDC es 22°

B F 56° 22°

a. Halla la medida del ∠BED.

Pista: Extiende el BE para que se interseque con la ⟷ CD en el punto F 78°

b. Explica cómo hallaste la medida del ∠BED

La ⟷ AB es paralela a la ⟷ CD ; entonces, tanto el ∠ABE como el ∠DFE miden 56° porque son ángulos alternos internos congruentes. El ∠BED es un ángulo externo de un triángulo con el ∠EFD y el ∠EDF como ángulos internos no adyacentes; entonces, la medida del ∠BED es 78°, porque 56 + 22 = 78.

13. En el diagrama, la ⟷ OP es paralela a la ⟷ LN con las transversales ⟷ JM y ⟷ KM

P N J M L O K

a. Halla la medida del ∠JMK 70°

b. Explica cómo hallaste la medida del ∠JMK. La ⟷ OP y la ⟷ LN son paralelas; entonces, tanto el ∠ LMK como el ∠ JKM miden 72°, porque son ángulos alternos internos congruentes. Las medidas de los ángulos internos del △ JKM suman 180°; entonces, la medida del ∠ JMK es 70°, porque 180 − (72 + 38) = 70

Recuerda

En los problemas 14 a 17, escribe una expresión equivalente.

3(x + 2) + 7x 10x + 6

PRÁCTICA

EUREKA MATH2

EUREKA MATH2

18. La figura ABCDEFG es congruente con la figura JKLMNPQ. Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne la figura ABCDEFG a la figura JKLMNPQ

Una traslación a lo largo del → AJ asigna el punto A al punto J Una rotación de 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto J asigna la figura ABCDEFG a la figura JKLMNPQ

En los problemas 19 a 20, simplifica.

Hallar medidas angulares desconocidas

Usar los datos sobre las relaciones entre los ángulos para escribir y resolver ecuaciones

Vistazo a la lección

Para comenzar esta lección centrada en sus estudiantes, la clase trabaja en parejas para hallar el valor de una variable usando lo que saben sobre las relaciones entre ángulos. La conversación que sigue al problema inicial tiene dos propósitos. Primero, hacer énfasis en que hay más de una estrategia apropiada para hallar la solución. Segundo, resaltar las diferencias entre una respuesta numérica y una respuesta con unidades. Luego, sus estudiantes participan en una actividad de Buscar la relación entre los ángulos. A lo largo de la actividad, las parejas deben describir las relaciones entre ángulos que tienen pensado usar, escribir una ecuación relacionada y resolver la ecuación para hallar el valor de la variable. Cada respuesta conduce a las parejas al siguiente problema. Repiten ese proceso hasta terminar la actividad, o hasta que se acabe el tiempo.

Pregunta clave

• ¿Cómo usamos las relaciones entre los ángulos para escribir ecuaciones?

Criterios de logro académico

b. Describe la relación entre ángulos que usaste para hallar el valor de x La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

8.Mód2.CLA5 Aplican, definen y explican datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo. (8.G.A.5)

8.Mód2.CLA6 Hallan medidas angulares desconocidas usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas. (8.G.A.5)

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 16

BOLETO DE SALIDA 16

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• Buscar la relación entre los ángulos

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• Tarjetas de buscar la relación entre los ángulos (1 set por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• Copie, recorte y mezcle las Tarjetas de buscar la relación entre los ángulos (en la edición para la enseñanza). Doble las tarjetas por las líneas entrecortadas con el lado impreso mirando hacia afuera. Prepare suficientes sets para que haya 1 por pareja de estudiantes.

Fluidez

Resolver ecuaciones de uno y dos pasos

Sus estudiantes resuelven ecuaciones de uno y dos pasos como preparación para aplicar su conocimiento sobre las relaciones entre ángulos para resolver ecuaciones.

Instrucciones: Halla el valor de x.

6. 5x + 11x = 128

Nota para la enseñanza

En lugar de administrar la actividad de Fluidez de esta lección, considere usar la Práctica veloz de Resolver ecuaciones de un paso. Puede encontrar instrucciones para administrar estas actividades en el recurso de la sección Fluidez.

Presentar

La clase usa las relaciones entre ángulos para hallar el valor de una variable.

Indique a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar el valor de x en el problema 1.

Recorra el salón de clases y busque parejas que usen una ecuación para hallar el valor de x y parejas que usen un método aritmético. Se espera que algunas parejas escriban ecuaciones usando las siguientes relaciones entre ángulos: las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°, la medida del ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes, las medidas angulares de un par lineal suman 180°. Identifique parejas de estudiantes cuyas estrategias puedan compartirse con la clase.

1. Usa el diagrama que se muestra.

(4x + 16)°

(5x + 2)°

50°

a. Halla el valor de x.

38°

(5x + 2) + 50 + 38 = 180

5x + 90 = 180 5x = 90 x = 18

El valor de x es 18

b. ¿Qué relación entre ángulos usaste para la parte (a)?

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Nota para la enseñanza

Es posible que sus estudiantes usen la aritmética para hallar el valor de x, pero anime a quien lo necesite a practicar el uso de ecuaciones. Esto será una preparación para resolver ecuaciones de varios pasos en el módulo 4.

Invite a las parejas que identificó a compartir sus estrategias con el resto de la clase. Luego, use los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Cómo usaron las relaciones entre ángulos para hallar el valor de x?

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°. Decidimos que la suma de 50, 38 y 5x + 2 es igual a 180. Luego, hallamos el valor de x.

La medida del ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes. Decidimos que la suma de 50 y 38 es igual a 4x + 16. Luego, hallamos el valor de x.

Las medidas angulares de un par lineal suman 180°. Decidimos que la suma de 5x + 2 y 4x + 16 es igual a 180. Luego, hallamos el valor de x.

¿Por qué es incorrecto decir que el valor de x es 18°?

La variable x representa un número. Los grados son una unidad que se usa para medir los ángulos; entonces, no incluimos la unidad en nuestra respuesta de x.

El símbolo de grados se muestra en el diagrama para cada ángulo, así que no tiene sentido que haya dos símbolos de grados.

Hoy, vamos a usar las relaciones entre ángulos para escribir y resolver ecuaciones, y vamos a practicar la precisión en el uso apropiado del símbolo de grados.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Cuando analicen el razonamiento de sus pares, dirija la atención de sus estudiantes a la sección Compartir tu razonamiento para que puedan comunicar sus ideas.

Diferenciación: Desafío

Pida a sus estudiantes que enumeren todas las ecuaciones que se pueden usar para hallar el valor de x.

(5x + 2) + 50 + 38 = 180 (4x + 16) = 50 + 38

(4x + 16) + (5x + 2) = 180

Aprender

Buscar la relación entre los ángulos

La clase usa relaciones entre ángulos y ecuaciones para hallar el valor de una variable.

Distribuya las Tarjetas de buscar la relación entre los ángulos a cada pareja de estudiantes. Diga a sus estudiantes que hallen la tarjeta con la palabra INICIO.

Todas las tarjetas están dobladas y tienen dos lados: un lado contiene la respuesta al problema anterior y el otro contiene la respuesta al problema siguiente. Esta tarjeta de inicio contiene el problema que acabamos de resolver. Busquen la respuesta al problema 1 para hallar la siguiente tarjeta.

Dé tiempo a sus estudiantes para que hallen la tarjeta con el número 18 de un lado.

Del otro lado de esta tarjeta está el siguiente problema que deben resolver. Ahora, observen el problema 2 en sus libros. Observen los títulos Relaciones entre ángulos y Ecuación. En el espacio provisto, escriban una oración que describa todas las relaciones entre ángulos que usan. Luego, escriban una ecuación y muestren todos sus pasos para resolver la ecuación.

Trabaje con sus estudiantes para crear una lista de las relaciones entre ángulos estudiadas en este módulo.

• Ángulos verticales

• Ángulos suplementarios

• Par lineal

• Ángulos correspondientes

• Ángulos alternos internos

• Ángulos alternos externos

• Suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo

• La medida del ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

Dé a la clase unos 25 minutos para trabajar. Considere avisar ocasionalmente a sus estudiantes cuánto tiempo de búsqueda les queda.

DUA: Acción y expresión

El número de tarjetas en la actividad puede ser abrumador. Considere dividir la tarea en segmentos para ayudar a sus estudiantes a organizarse. Por ejemplo, deje a un lado las tarjetas y distribuya la siguiente tarjeta una vez que han hallado la respuesta a la tarjeta actual.

Nota para la enseñanza

Cuando nombran las relaciones entre ángulos que usaron en la búsqueda, puede haber estudiantes que identifiquen ángulos suplementarios y otros que identifiquen ángulos en un par lineal. Ambas relaciones son correctas porque cada diagrama relevante muestra ángulos adyacentes. Ayude a sus estudiantes a entender que los ángulos suplementarios pueden ser adyacentes o no adyacentes, mientras que en un par lineal los ángulos deben ser adyacentes.

Recorra el salón de clases a fin de observar el progreso de sus estudiantes y brindar apoyo para que reconozcan las relaciones entre ángulos, escriban las ecuaciones o resuelvan las ecuaciones, según sea necesario.

En la sección Concluir, se hace una reflexión final de esta actividad, por lo que debe prever que sus estudiantes tengan tiempo para completar la búsqueda en el tiempo dado.

Para cada tarjeta,

• describe todas las relaciones entre ángulos usadas y

• escribe y resuelve una ecuación para respaldar tu respuesta.

2. Relaciones entre ángulos:

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Ecuación:

39° + 90° + m∠1 = 180°

129° + m∠1 = 180°

m∠1 = 51°

3. Relaciones entre ángulos:

Cuando las rectas cortadas por una transversal son paralelas, las medidas de los ángulos correspondientes son iguales. Los ángulos en un par lineal tienen medidas que suman 180°.

Ecuación:

m∠2 = 62.5°

m∠1 + m∠2 = 180°

m∠1 + 62.5° = 180°

m∠1 = 117.5°

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando considera todas las relaciones entre ángulos posibles en un diagrama y desarrolla un método para hallar el valor de la variable indicada.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

• ¿Qué pueden descubrir sobre las relaciones entre los ángulos al mirar el diagrama?

• ¿Cuál es su plan para abordar cada problema?

• ¿Tiene sentido el valor de x que hallaron?

Nota

para la enseñanza

Cuando en una pregunta se pide el número de grados en la medida de un ángulo, el trabajo se muestra con grados en la ecuación para que las unidades coincidan. Sin embargo, la respuesta final no incluye grados porque la palabra grados está incluida en la pregunta.

4. Relaciones entre ángulos:

Los ángulos suplementarios tienen medidas que suman 180°. La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°

Ecuación:

+ m∠2 + 26° = 180°

+ m∠2 = 180° m∠2 = 84°

5. Relaciones entre ángulos:

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Ecuación:

2x + 2x + 2x = 180 6x = 180 x = 30

6. Relaciones entre ángulos:

Cuando las rectas cortadas por una transversal son paralelas, las medidas de los ángulos correspondientes son iguales.

Ecuación:

2x + 7 = 77

2x = 70 x = 35

7. Relaciones entre ángulos:

La medida del ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

Ecuación:

72 + 63 = 8x + 75

135 = 8x + 75

60 = 8x

7.5 = x

8. Relaciones entre ángulos:

La medida del ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes. Los ángulos suplementarios tienen medidas que suman 180°

Ecuación:

54 + 75 = 2y − 7

129 = 2y − 7

136 = 2y 68 = y

54 + (4x − 12) = 180 4x + 42 = 180 4x = 138 x = 34.5

68 + 34.5 = 102.5

9. Relaciones entre ángulos:

Cuando las rectas cortadas por una transversal son paralelas, las medidas de los ángulos alternos externos son iguales. Los ángulos en un par lineal tienen medidas que suman 180°

Ecuación:

5x − 11 = 53

5x = 64 x = 12.8

(10y + 7) + (5x − 11) = 180

(10y + 7) + (5(12.8) −11) = 180

(10y + 7) + (64 − 11) = 180

10y + 7 + 53 = 180

10y + 60 = 180

10y = 120 y = 12

12.8 + 12 = 24.8

10. Relaciones entre ángulos:

Los ángulos suplementarios tienen medidas que suman 180°. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Ecuación:

(3y − 2) + 101 = 180

3y + 99 = 180

3y = 81 y = 27

(4x + 7) + (3y − 2) + 42 = 180

(4x + 7) + (3(27) −2) + 42 = 180

(4x + 7) + (81 − 2) + 42 = 180

(4x + 7) + 79 + 42 = 180

4x + 128 = 180

4x = 52 x = 13

27 + 13 = 40

Nota para la enseñanza

Asegúrese de que sus estudiantes hayan trabajado con la última tarjeta en su libro para estudiantes.

Si las parejas terminan antes la actividad de Buscar la relación entre los ángulos, considere pedirles que compartan con otra pareja las ecuaciones que escribieron y resolvieron.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Usar los datos sobre las relaciones entre los ángulos para escribir y resolver ecuaciones

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase.

Anime a sus estudiantes a complementar las respuestas de sus pares.

¿Qué relaciones entre ángulos usamos para hallar el valor de las variables?

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Los ángulos suplementarios tienen medidas que suman 180°.

La medida del ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

Cuando las rectas cortadas por una transversal son paralelas, las medidas de los ángulos correspondientes son iguales.

Cuando las rectas cortadas por una transversal son paralelas, las medidas de los ángulos alternos internos son iguales.

Cuando las rectas cortadas por una transversal son paralelas, las medidas de los ángulos alternos externos son iguales.

¿Cómo usamos las relaciones entre los ángulos para escribir ecuaciones? Den un ejemplo para apoyar su respuesta.

Si sabemos que los ángulos son congruentes porque identificamos la relación entre los ángulos, luego, podemos establecer que las dos medidas son iguales, como 2x + 7 = 77 en el problema 6.

Si los ángulos son un par lineal, entonces podemos establecer que la suma de las medidas es igual a 180°, como m∠1 + m∠2 = 180° en el problema 3.

Si estamos usando la relación entre el ángulo externo y los ángulos internos no adyacentes de un triángulo, entonces podemos establecer que la medida del ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos internos no adyacentes. Por ejemplo, 8x + 75 = 72 + 63 en el problema 7.

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180°. Podemos establecer que la suma de las tres medidas angulares es igual a 180, como 2x + 2x + 2x = 180 en el problema 5.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic C, Lesson 16

Hallar medidas angulares desconocidas

En esta lección:

• determinamos las relaciones entre ángulos en un diagrama dado;

• escribimos ecuaciones usando las relaciones entre ángulos para hallar valores desconocidos.

Ejemplos

En los problemas 1 y 2, escribe una ecuación y halla el valor de x Describe todas las relaciones entre ángulos que usaste para escribir la ecuación.

x

El valor de x es 125

La suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes es igual a la medida del ángulo externo, x°

La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.

3. Las rectas paralelas �� y �� están cortadas por la transversal �� Escribe una ecuación para hallar el valor de x. Identifica todas las relaciones entre ángulos que usaste para escribir la ecuación.

x + 42 + 38 = 180 x + 80 = 180 x = 100

El valor de x es 100

Las medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180° .

Escribe una ecuación que muestre que la suma de las tres medidas de los ángulos internos es igual a 180°. Luego, halla el valor de x

Esta medida angular es 62° porque los ángulos correspondientes de las rectas paralelas miden lo mismo.

El valor de x es 118

Las medidas de los ángulos correspondientes son iguales porque las rectas �� y �� son paralelas. Los pares lineales tienen medidas que suman 180° .

EUREKA MATH

© Great Minds PBC

EUREKA MATH2

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

En los problemas 4 a 6, escribe una ecuación usando las relaciones entre ángulos dadas en el diagrama. Luego, halla el valor de x

En los problemas 1 a 3, escribe una ecuación usando las relaciones entre ángulos dadas en el diagrama. Luego, halla la medida del ∠1

En los problemas 7 y 8, escribe ecuaciones usando las relaciones entre ángulos dadas en el diagrama. Luego, halla el valor de x y y

(6y)° (6x + 24)°

82°

(5x + 7)° (11y + 8)°

5x + 7 = 62

El valor de x es 11

11y + 8 + 62 = 180

El valor de y es 10

118 = 82 + 6y

El valor de y es 6

(6x + 24) + (6y) = 180

El valor de x es 20

9. Ava resuelve este problema de forma correcta. Analiza el trabajo de Ava. Luego, halla la medida del ∠IFO usando una estrategia diferente. Explica tu trabajo.

Trabajo de Ava:

+

= y 114 = y

Dado que ↔ BI ∥ ⟷ AO , los ángulos alternos internos, el ∠ BIT y el ∠ FTO son congruentes. Entonces, la medida del ∠FTO es 77°. La medida del ángulo externo del triángulo, el ∠IFO, es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes, el ∠ FTO y el ∠TOF Entonces, la medida del ∠IFO es 114° . Sea la m∠TFO = x° y la m∠ IFO = y° 77 + 37 + x = 180 114 + x = 180 x = 66 x + y = 180 66 + y = 180 y = 114

La medida del ∠ IFO es 114°

EUREKA MATH

EUREKA MATH2

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

10. 5(x + 3) + 8(x + 2)

13x + 31

12. −2(x 4) + 4(x + 2)

2x + 16

9(x − 5) + 3(x 2) 12x 51

3(x − 4) − 7(x − 1) −4x 5

14. Las rectas paralelas �� y �� están cortadas por la transversal ��

𝓃 A B 8 7 6 5 4 3 2 1

a. En el diagrama, ¿qué relación entre ángulos existe entre el ∠2 y el ∠6? Son ángulos correspondientes.

b. Usa movimientos rígidos para describir cómo sabes que el ∠2 y el ∠6 son congruentes. Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el ∠2 al ∠6; entonces, los ángulos son congruentes.

15. Considera la ecuación 27 · 92 3n = 36. ¿Cuál es el valor de n? 1

Halla el número de grados en la medida del ∠ STR . R S T 39°

Halla el valor de x . 38° 50° (5 x + 2)° (4 x + 16)°

Halla el número de grados en la medida del ∠ 1 si ��║��

Halla el número de grados en la medida del ∠ 2 C B A

Halla el valor de x si

(2 x + 7)°

Halla el valor de x (2 x )° (2 x )° (2 x )°

Halla el valor de x + y . 54° 75° (2 y –7)° (4 x –12)°

Halla el valor de x . 72° 63° (8 x + 75)°

24.8

Halla el valor de x + y . 42° 101° (3 y –2)° (4 x + 7)°

102.5

Halla el valor de x + y . Supón que ��║�� . 53° (10 y + 7)° (5 x –11)°

Tema D

Figuras congruentes y el teorema de Pitágoras

En el tema D, sus estudiantes amplían el trabajo con el teorema de Pitágoras del módulo 1. En el módulo 1, aprenden que existe la relación a 2 + b2 = c 2 para los triángulos rectángulos con catetos con longitudes a y b y la hipotenusa con longitud c. Sin embargo, aún no tienen los conocimientos necesarios para probar formalmente esta relación.

En el tema D, sus estudiantes usan los movimientos rígidos y la congruencia como base para explorar y explicar una prueba formal del teorema de Pitágoras. Luego, consideran si el recíproco del teorema de Pitágoras también es verdadero. Por último, explican una prueba del recíproco a partir de su comprensión de 7.o grado acerca de las condiciones que determinan un triángulo único.

A lo largo del tema, sus estudiantes usan el teorema de Pitágoras para hallar longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en distintos tipos de situaciones y problemas. Por ejemplo, hallan la altura de una pared a la que puede llegar una escalera y, dados dos caminos, determinan cuál es más corto. Además, usan el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si tres longitudes de lado crean triángulos rectángulos.

Sus estudiantes aplican el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas, basándose en la experiencia que adquirieron en 6.o grado para hallar la distancia entre dos puntos verticales o dos puntos horizontales. Usan triángulos rectángulos para representar y resolver problemas de aplicación en dos y tres dimensiones. Por ejemplo, determinan el tamaño de un televisor que cabrá en un centro de entretenimiento y si un objeto con una longitud determinada cabrá en una caja. Además, aplican el teorema de Pitágoras para resolver problemas que incluyen otros conceptos geométricos, como el área y el perímetro. Mientras trabajan con los problemas de aplicación, usan una calculadora como herramienta para entender los valores en contexto y resolver los problemas de forma eficiente.

800 d

20 pulgadas

Prueba del cuadrado grande

Prueba de los dos cuadrados

20 pulgadas

20 pulgadas

Al final del tema D hay una lección para representar en la que sus estudiantes tienen la oportunidad de combinar sus destrezas usando el teorema de Pitágoras y los conceptos de razones y tasas de 6.o grado a fin de resolver un problema abierto que incluye distancia, tasa y tiempo. En el módulo 3, sus estudiantes descubren que los triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen catetos horizontales y verticales y tienen hipotenusas que están en una misma recta, lo que sirve como preparación para estudiar la pendiente de una recta en el módulo 4.

Progresión de las lecciones

Lección 17 Probar el teorema de Pitágoras

Lección 18 Probar el recíproco del teorema de Pitágoras

Lección 19 Usar el teorema de Pitágoras y su recíproco

Lección 20 La distancia en el plano de coordenadas

Lección 21 Aplicar el teorema de Pitágoras

Lección 22 En el camino correcto

Probar el teorema de Pitágoras

Explicar una prueba del teorema de Pitágoras

1. ¿De qué manera usó tu pareja de trabajo los movimientos rígidos en su prueba?

Mi pareja de trabajo verificó que el área del triángulo se mantiene igual porque las longitudes de los lados y las medidas angulares no cambian cuando se aplica una secuencia de movimientos rígidos.

Vistazo a la lección

2. ¿De qué manera usó tu pareja de trabajo la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo en su prueba?

Mi pareja de trabajo usó la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo para verificar que cada una de las cuatro medidas angulares desconocidas del cuadrado con la longitud de lado c es 90°

8.Mód2.CLA7 Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su recíproco usando la geometría. (8.G.B.6) Teacher Edition: Grade 7, Module 8, Topic D, Lesson 17

En esta lección digital, sus estudiantes usan movimientos rígidos para generar y explicar una prueba del teorema de Pitágoras. Primero, completan un rompecabezas que es una representación visual del teorema de Pitágoras. Luego, para probar el teorema de Pitágoras, eligen uno de dos argumentos geométricos y lo explican paso a paso. En esta lección, se presentan los términos prueba y probar.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos probar el teorema de Pitágoras?

Criterio de logro académico

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 17

Nombre

Fecha

BOLETO DE SALIDA 17

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min D

Aprender 25 min D

• Probar el teorema de Pitágoras

Concluir 15 min D

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

• tarjeta de índice

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Resolver la ecuación

La clase resuelve ecuaciones de la forma x2 = p como preparación para usar el teorema de Pitágoras a fin de hallar una longitud de lado desconocida de un triángulo rectángulo.

Instrucciones: Resuelve la ecuación.

Nota para la enseñanza

En lugar de administrar la actividad de Fluidez de esta lección, considere usar la Práctica veloz de Raíces cuadradas. Puede encontrar instrucciones para administrar estas actividades en el recurso de la sección Fluidez.

Presentar

5

La clase examina una representación visual del teorema de Pitágoras.

Para comenzar la lección, sus estudiantes completan un rompecabezas que es una representación visual del teorema de Pitágoras. Determinan si el área de un cuadrado con una longitud de lado c es equivalente al área combinada de dos cuadrados: uno con una longitud de lado a y otro con una longitud de lado b.

¿Qué les indica esta actividad sobre la relación entre a 2 , b2 y c 2?

Al observar las áreas de los cuadrados, las áreas combinadas de los cuadrados más pequeños son iguales al área del cuadrado más grande. Esto significa que a 2 + b2 = c 2 .

En esta actividad se usan las áreas de los cuadrados con longitudes de lado a, b y c para demostrar que lo que ya sabemos sobre el teorema de Pitágoras, que a 2 + b2 = c 2 , es verdadero.

Cuando hallamos un argumento convincente que verifica un enunciado, podemos decir que estamos probando ese enunciado. Una prueba es un argumento lógico escrito que se usa para demostrar que un enunciado matemático es verdadero.

DUA: Representación

Las actividades digitales están alineadas con el principio de Representación de DUA, dado que incluyen lo siguiente:

• Soportes que relacionan la información nueva con los conocimientos previos: cada parte de la prueba se presenta gradualmente, junto con preguntas guía que fomentan la activación de los conocimientos previos relevantes que tienen sus estudiantes sobre los cuadrados, los triángulos y los movimientos rígidos.

• Estrategias que hacen énfasis en patrones, relaciones e ideas clave fundamentales: con una serie de animaciones, se pide a sus estudiantes que reconozcan patrones importantes relacionados con los movimientos rígidos, las relaciones entre ángulos y la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo. Las respuestas de la clase se agrupan en una tabla para que sus estudiantes las usen como referencia al explicar una prueba del teorema.

Aprender

Probar el teorema de Pitágoras

La clase explica una prueba del teorema de Pitágoras.

DNota para la enseñanza

Primero, sus estudiantes explican el teorema de Pitágoras con sus palabras. A continuación, examinan el teorema escrito como un enunciado si… entonces: si un triángulo rectángulo tiene longitudes de lado a, b y c, entonces a 2 + b2 = c 2. Sus estudiantes comparan el enunciado si… entonces con un enunciado que debe probarse: Dado un triángulo rectángulo con longitudes de lado a, b y c, prueben que a 2 + b2 = c 2. Después de observar que los dos enunciados expresan la misma información, eligen una de las dos pruebas geométricas para examinarla y explicarla. En cada prueba, se basan en su experiencia con las secuencias de movimientos rígidos, las longitudes de lado, las sumas de las medidas angulares de los triángulos y las relaciones entre ángulos para responder preguntas específicas y defender enunciados a medida que trabajan con la prueba geométrica. Las respuestas de la clase a las preguntas se agrupan en una tabla en la que se muestra cada enunciado junto con su justificación. Luego, sus estudiantes explican una prueba del teorema de Pitágoras.

Prueba del cuadrado grande

Prueba de los dos cuadrados

La Prueba de los dos cuadrados es la que contiene un mayor razonamiento numérico de las dos pruebas, lo que hace que sea más difícil para sus estudiantes. Considere asignar a cada estudiante una de las opciones de prueba teniendo en cuenta los distintos niveles de dificultad.

Concluir

Reflexión final 10 min

Objetivo: Explicar una prueba del teorema de Pitágoras

Proyecte la diapositiva con las imágenes de la prueba para que la clase la vea. Dé una tarjeta de índice a cada estudiante y pídales que resuman brevemente su prueba con algunas oraciones en su tarjeta.

Una vez que la mayoría haya terminado, reúna a la clase para hacer una reflexión final sobre las dos pruebas mediante la siguiente pregunta:

¿Cómo podemos probar el teorema de Pitágoras?

Considere invitar a sus estudiantes a presentar su propio trabajo para cada una de las opciones de la prueba. Proyecte el trabajo de una persona por cada prueba como ayuda para la explicación.

Pida a sus estudiantes que intercambien las tarjetas de índice en parejas. Indíqueles que escriban directamente en la tarjeta de índice de su pareja de trabajo para ofrecerle valoraciones sobre sus respuestas.

Una vez que la mayoría haya terminado de analizar la respuesta de su pareja, pida a sus estudiantes que compartan su retroalimentación con la otra persona.

Luego, haga la siguiente pregunta:

¿Qué información y destrezas previas necesitaron para completar estas pruebas?

Necesité usar la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo, las secuencias de movimientos rígidos y sus propiedades, y las relaciones entre ángulos para completar la prueba.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

DPromoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando trabaja para analizar y explicar las relaciones entre lados y ángulos a fin de probar el teorema de Pitágoras y comentar la prueba con sus pares.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Por qué funciona su estrategia? Convenzan a su pareja de trabajo.

• ¿Cómo cambiarían el argumento de su pareja para que sea más preciso?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere pedir a sus estudiantes que usen todas las secciones de la Herramienta para la conversación a fin de desarrollar sus pruebas y analizar las pruebas de otras personas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Probar el teorema de Pitágoras

En esta lección:

• analizamos una prueba del teorema de Pitágoras;

• usamos movimientos rígidos, longitudes de lado y relaciones entre ángulos para probar el teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Halla la longitud de la hipotenusa.

c

0.42 + 0.32 = c2

0.16 + 0.09 = c2

0.25 = c2

0.5 = c

La longitud de la hipotenusa es 0.5 unidades.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos con longitudes a y b y la hipotenusa con longitud c, entonces a2 + b2 = c2

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 17

Nombre Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 17

Completa la tabla para describir el teorema de Pitágoras con símbolos y palabras.

teorema de Pitágoras

Símbolos

Recuerda

En los problemas 6 a 9, escribe una expresión

Palabras

La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Las rectas paralelas ℓ y �� están cortadas por la transversal ��

a. La medida del ∠1 es 45°. ¿Cuál es la medida del ∠8? 45°

b. Describe una secuencia de movimientos rígidos que verifique la medida del ∠8 Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el ∠1 al ∠5. Luego, una rotación de 180° alrededor del punto B asigna el ∠5 al ∠8 Entonces, el ∠1 y el ∠8 son congruentes.

los problemas 11 a 16, evalúa la expresión.

Probar el recíproco del teorema de Pitágoras

Explicar una prueba del recíproco del teorema de Pitágoras

1. Determina si las longitudes de lado 6, 8 y 10 forman un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

Si el triángulo es un triángulo rectángulo, entonces 62 + 82 debe ser igual a 102 o 100 Como 62 + 82 = 36 + 64 = 100, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Vistazo a la lección

En esta lección digital, sus estudiantes generan y explican una prueba del recíproco del teorema de Pitágoras. Primero, examinan enunciados si… entonces conocidos y sus recíprocos. Después, crean sus propios triángulos para generar ejemplos del recíproco del teorema de Pitágoras. Luego, continúan su razonamiento para probar el recíproco del teorema de Pitágoras. En esta lección, se define formalmente el término recíproco.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

2. Determina si las longitudes de lado 6, 11 y 14 forman un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

Si el triángulo es un triángulo rectángulo, entonces 62 + 112 debe ser igual a 142, o 196 Como 62 + 112 = 36 + 121 = 157 el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Pregunta clave

• ¿Podemos probar el recíproco del teorema de Pitágoras? ¿Cómo?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA7 Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su recíproco usando la geometría. (8.G.B.6)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min D

Aprender 25 min D

• El recíproco del teorema de Pitágoras

• Probar el recíproco

• Usar el recíproco

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Evaluar la expresión

La clase evalúa expresiones con números enteros como exponentes como preparación para usar el recíproco del teorema de Pitágoras.

Instrucciones: Evalúa la expresión.

Presentar

La clase examina enunciados conocidos y sus recíprocos.

Para comenzar la lección, sus estudiantes consideran enunciados si… entonces y sus recíprocos a fin de decidir si son verdaderos. Luego, observan si la veracidad del enunciado se relaciona con la veracidad del recíproco.

A este enunciado en el que las partes intercambian sus posiciones, lo llamamos recíproco.

El recíproco de un enunciado si... entonces es el enunciado que se obtiene al intercambiar la parte que empieza con “si” por la parte que empieza con “entonces”.

¿Cuál sería el recíproco del enunciado Si A, entonces B ?

Si B, entonces A.

En su experiencia, ¿es siempre verdadero el recíproco de un enunciado verdadero?

No. Por ejemplo, el enunciado Si tengo 13 años, entonces soy adolescente es un enunciado verdadero cuyo recíproco es falso.

Aprender

El recíproco del teorema de Pitágoras

La clase genera el recíproco del teorema de Pitágoras.

A partir de su comprensión de los enunciados si… entonces, sus estudiantes examinan el teorema de Pitágoras y producen su recíproco. Después de decidir si creen que el recíproco es verdadero, crean y analizan triángulos con longitudes de lado que satisfacen la relación a2 + b2  = c 2 para ver si son triángulos rectángulos.

¿Creen que el recíproco del teorema de Pitágoras es verdadero? Imaginen que tengo un triángulo con longitudes de lado a, b y c, donde c es la longitud del lado más largo. Si a2 + b2  = c 2, ¿debe el triángulo ser un triángulo rectángulo?

Con todos los valores que probé se han formado triángulos rectángulos. Creo que podría ser siempre verdadero, pero no lo sé con certeza.

Probar el recíproco

La clase explica una prueba del recíproco del teorema de Pitágoras.

Sus estudiantes comienzan la prueba suponiendo que las longitudes de lado de un triángulo dado satisfacen la relación a 2 + b2 = c 2. Consideran un triángulo rectángulo que tiene catetos con longitudes que son iguales a las longitudes de los dos lados más cortos del triángulo dado. Hallan que la hipotenusa del triángulo rectángulo también tiene la misma longitud que el lado más

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando analiza y explica, en pareja, las relaciones entre lados y ángulos para probar el recíproco del teorema de Pitágoras y comenta la prueba con sus pares.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Por qué funciona su estrategia? Convenzan a su pareja de trabajo.

• ¿Cómo cambiarían el argumento de su pareja para que sea más preciso?

largo del triángulo dado. Después de razonar que los triángulos deben ser congruentes, sus estudiantes identifican el triángulo dado como un triángulo rectángulo para concluir la prueba.

Usar el recíproco

La clase identifica qué grupos de tres longitudes de lado forman un triángulo rectángulo.

Sus estudiantes usan el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si los triángulos con conjuntos de longitudes de lado dadas formarían un triángulo rectángulo. Luego, justifican sus respuestas.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Explicar una prueba del recíproco del teorema de Pitágoras

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

Si un enunciado es verdadero, ¿significa eso que su recíproco también es verdadero? Den un ejemplo para explicar su respuesta.

No necesariamente. Algunos enunciados, como Si tengo 13 años, entonces soy adolescente, son enunciados verdaderos con recíprocos que no lo son. Otros enunciados, como Si el maestro Adams es el maestro de Sara, entonces Sara es estudiante del maestro Adams, son enunciados verdaderos con recíprocos que también lo son.

¿Podemos probar el recíproco del teorema de Pitágoras? ¿Cómo?

Sí. Podemos demostrar que cada vez que hay un triángulo con longitudes de lado a, b y c que satisfacen a 2 + b2 = c 2, podemos formar un triángulo rectángulo al usar estas longitudes de lado. Como tres longitudes de lado forman un triángulo único, eso significa que el triángulo dado debe ser un triángulo rectángulo.

DUA: Representación

Las actividades digitales están alineadas con el principio de Representación de DUA, dado que incluyen lo siguiente:

• Soportes que relacionan la información nueva con los conocimientos previos: cada parte de la prueba se presenta gradualmente, junto con preguntas guía que fomentan la activación de los conocimientos previos relevantes que tienen sus estudiantes sobre los cuadrados, los triángulos y los movimientos rígidos.

• Estrategias que hacen énfasis en patrones, relaciones e ideas clave fundamentales: con una serie de animaciones, se pide a sus estudiantes que reconozcan patrones importantes relacionados con la singularidad de los triángulos y las longitudes de lado que, por último, les permite resumir el proceso de prueba.

Boleto

de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 18

Probar el recíproco del teorema de Pitágoras

En esta lección:

• analizamos una prueba del recíproco del teorema de Pitágoras;

• determinamos si tres longitudes de lado dadas forman un triángulo rectángulo.

El recíproco del teorema de Pitágoras

Vocabulario

El recíproco de un enunciado si… entonces es el enunciado que se obtiene al intercambiar la parte que empieza con “si” por la parte que empieza con “entonces”.

Un triángulo tiene longitudes de lado a b y c donde c es la longitud del lado más largo.

Si a2 + b2 = c2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Ejemplos

1. Escribe el recíproco del enunciado. Luego, indica si el recíproco es verdadero o falso.

Si Nora come una manzana, entonces Nora come una fruta.

Intercambia la parte que empieza con “si” por la parte que empieza con “entonces”.

Si Nora come una fruta, entonces Nora come una manzana. Falso

Nora podría comer una naranja.

2. Determina si las longitudes de lado 5, 6 y 8 forman un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

Sea a = 5, b = 6 y c = 8. Si a2 + b2 = c2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

a2 + b2 :

= 64

Las longitudes de lado 5 6 y 8 no forman un triángulo rectángulo.

La longitud del lado más largo es 8 unidades. Por lo tanto, sustituye c por 8

Student

Nombre

Fecha RESUMEN

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 18

En los problemas 6 a 9, indica si un triángulo con las longitudes de lado dadas es un triángulo rectángulo.

En los problemas 1 a 4, escribe el recíproco del enunciado. Luego, indica si el recíproco es verdadero o falso.

1. Si un avión vuela del Polo Norte al Polo Sur, el avión vuela hacia el norte.

Si un avión vuela hacia el norte, entonces el avión vuela del Polo Norte al Polo Sur.

Falso

2. Si Jonás toca el clarinete, entonces toca un instrumento.

Si Jonás toca un instrumento, entonces toca el clarinete.

Falso

3. Si un número es mayor que 0, entonces el número es positivo.

Si un número es positivo, entonces el número es mayor que 0

Verdadero

4. Si una figura es un cuadrado, entonces la figura tiene cuatro ángulos rectos.

Si una figura tiene cuatro ángulos rectos, entonces la figura es un cuadrado.

Falso

5. Completa los espacios para expresar el recíproco del teorema de Pitágoras.

Un triángulo tiene longitudes de lado a, b y c, donde c es la longitud del lado más largo.

Si a2 + b2 = c2 , entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Recuerda

En los problemas 10 a 13, escribe una expresión equivalente.

EUREKA MATH

EUREKA MATH

Nombre Fecha

14. ¿Es el △ ABC congruente con el △ DEF ? Explica.

No, el △ ABC no es congruente con el △ DEF. No hay una secuencia de movimientos rígidos que asigne el AC al DF porque las longitudes son diferentes.

En los problemas 15 y 16, usa las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir la expresión como una sola potencia.

Usar el teorema de Pitágoras y su recíproco

Usar el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo

Usar el teorema de Pitágoras para hallar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos

Vistazo a la lección

Al comienzo de esta lección, sus estudiantes participan de la rutina Siempre, a veces, nunca para incentivar la reflexión sobre las posibles longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. A lo largo de la lección, se les pide que revisen su elección de siempre, a veces o nunca en función de lo que han aprendido. Participan de una actividad de clasificación de tarjetas que les sirve para comprender cómo se usa el recíproco del teorema de Pitágoras a fin de determinar si un triángulo con las longitudes de lado dadas es un triángulo rectángulo. Antes de hacerlo, deben comparar las longitudes de lado para determinar cuál de las longitudes de lado dadas podría representar la hipotenusa. Luego, hallan una longitud de lado desconocida de un triángulo rectángulo dadas las otras dos longitudes de lado.

Pregunta clave

• ¿Cuándo es útil conocer y usar el teorema de Pitágoras?

longitud de lado desconocida es √132 unidades.

Criterios de logro académico

8.Mód2.CLA7 Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su recíproco usando la geometría. (8.G.B.6)

8.Mód2.CLA8 Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real, en dos y tres dimensiones. (8.G.B.7)

EUREKA MATH

La

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 19

Nombre

Fecha

BOLETO DE SALIDA 19

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Clasificación de tarjetas

• Hallar la longitud de los catetos

• ¿Es un triángulo rectángulo?

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• Tarjetas de longitudes de lados de triángulos (1 set por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• Haga copias de las Tarjetas de longitudes de lados de triángulos (en la edición para la enseñanza) y recórtelas. Prepare suficientes sets para que haya 1 por pareja de estudiantes.

Fluidez

Resolver ecuaciones

La clase resuelve ecuaciones con raíces cuadradas como preparación para usar el teorema de Pitágoras a fin de hallar una longitud de lado desconocida de un triángulo rectángulo.

Instrucciones: Resuelve las ecuaciones.

Presentar

La clase determina si un enunciado sobre un triángulo rectángulo siempre, a veces o nunca es verdadero.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1. Use la rutina Siempre, a veces, nunca para que participen de la construcción de significado y comenten sus ideas sobre las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos.

Dé 1 o 2 minutos para que sus estudiantes lean el problema de manera individual y evalúen si el enunciado siempre, a veces o nunca es verdadero.

1. La longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo es 3 unidades. La longitud de otro de los lados es 4 unidades.

Determina si el siguiente enunciado sobre el triángulo rectángulo siempre, a veces o nunca es verdadero.

La longitud del tercer lado es 5 unidades. El enunciado a veces es verdadero.

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Se espera que la mayoría diga que el enunciado siempre es verdadero porque han visto triángulos rectángulos 3–4–5, pero aún no han considerado cómo hallar el valor de las longitudes de los catetos. Puede haber estudiantes que se den cuenta de que la longitud de la hipotenusa puede ser 4 unidades, así que la longitud del tercer lado no será 5 unidades.

Considere pedir a sus estudiantes que usen una señal silenciosa para votar si creen que el enunciado siempre, a veces o nunca es verdadero. Tome nota de los resultados para volver a verlos más adelante en la lección.

Hoy, aprenderemos cómo hallar la tercera longitud de lado de un triángulo rectángulo cuando se dan las otras dos longitudes de lado y aplicaremos el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo.

Nota para la enseñanza

En este momento, procure que la conversación sea lo más breve posible. Puede que sus estudiantes no obtengan la respuesta correcta en esta parte, pero repasarán de nuevo este enunciado en la sección Aprender. El objetivo de esta actividad es obtener una reacción inicial por parte de sus estudiantes a partir de su experiencia con el teorema de Pitágoras en el módulo 1.

Aprender

Clasificación de tarjetas

La clase identifica las longitudes de lado que forman un triángulo rectángulo.

Forme parejas de estudiantes para la actividad de clasificación de tarjetas. Distribuya un set de Tarjetas de longitudes de lados de triángulos a cada pareja. No mencione que los números en las tarjetas representan las longitudes de lado de los triángulos.

Pida a sus estudiantes que revisen las tarjetas, que identifiquen las relaciones que hay entre ellas y, luego, que las clasifiquen en dos grupos. Dígales que deben prepararse para describir sus grupos de tarjetas a la clase.

Recorra el salón de clases para observar cómo las parejas de estudiantes clasifican las tarjetas. Sus estudiantes pueden usar el espacio provisto en sus libros para realizar cálculos.

En este momento, respete cualquier grupo que las parejas de estudiantes elijan para clasificar las tarjetas. Por ejemplo, algunas parejas pueden agrupar las tarjetas de acuerdo a si las longitudes de lado son números racionales o irracionales. Sin embargo, recorra el salón de clases e identifique a las parejas que hayan clasificado las tarjetas en los siguientes dos grupos:

forman un triángulo rectángulo

Clasificación de tarjetas

Nota para la enseñanza

Puede haber estudiantes que recuerden de 7.o grado que la suma de dos longitudes de lado de un triángulo debe ser mayor que la longitud del tercer lado. Las longitudes √5 , √5 y √50 no son longitudes de lado posibles para un triángulo porque √5 + √5 < √50 . Quienes reconozcan esto pueden clasificar las tarjetas como es un triángulo o no es un triángulo, con solo una tarjeta en el grupo no es un triángulo. Considere pedir a esas personas que compartan sus agrupaciones y su razonamiento con la clase.

Invite a las parejas que identificó a describir qué tienen en común las tarjetas de cada grupo y en qué se diferencian los dos grupos.

Use las preguntas que siguen para animar a la clase a participar de una conversación:

¿Cómo determinaron una manera de clasificar las tarjetas en grupos?

Supusimos que los tres números dados eran las longitudes de los lados de un triángulo. Usamos el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si las tres longitudes de lado que estaban en una tarjeta formaban un triángulo rectángulo.

¿Cómo saben por qué números deben sustituir a, b y c en la ecuación a2 + b2 = c 2?

La variable c en la ecuación representa la longitud de la hipotenusa. Como la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, sustituimos c por el mayor de los tres números. Las variables a y b representan las longitudes de los catetos, así que sustituimos esas variables por los otros dos números.

En la lista de cada tarjeta, ¿es la longitud de la hipotenusa siempre el tercer número?

Expliquen.

No, el tercer número no siempre es la longitud de la hipotenusa porque ese número no siempre es el mayor.

¿Hubo alguna tarjeta en la que les resultó difícil determinar cuál era la longitud más larga? ¿Por qué?

Se espera que sus estudiantes identifiquen las tarjetas que contienen tanto una raíz cuadrada como números enteros. Es posible que les resulte más difícil identificar el número mayor porque deben aproximar un valor para la raíz cuadrada y compararlo con los números enteros.

Nota para la enseñanza

Puede haber estudiantes que necesiten apoyo para recordar la relación entre un número expresado con una notación de raíz cuadrada y el cuadrado de ese número. Considere guiar a esas personas mientras prueban un grupo de longitudes de lado que tienen una raíz cuadrada antes de que intenten probar los otros grupos de forma independiente.

Hallar la longitud de los catetos

La clase halla el valor de las longitudes de los catetos desconocidas de triángulos rectángulos.

Pida a sus estudiantes que vuelvan al problema 1. Si la clase ya votó, reformule los resultados o haga la siguiente pregunta y pida a sus estudiantes que muestren su voto con la señal silenciosa una vez más:

¿Ha cambiado su razonamiento sobre el enunciado del problema 1 después de clasificar las tarjetas?

Use las siguientes preguntas para resumir su razonamiento y hacer la transición a hallar el valor de la longitud de un cateto:

¿Es posible que el enunciado del problema 1 nunca sea verdadero? ¿Por qué?

No. Sabemos que un triángulo rectángulo que tiene catetos con longitudes de 3 unidades y 4 unidades tiene una hipotenusa con longitud de 5 unidades. Entonces, no es posible que el enunciado nunca sea verdadero.

Si decimos que el enunciado siempre es verdadero, ¿qué suposición estamos haciendo?

Estamos suponiendo que las longitudes de los catetos son 3 unidades y 4 unidades.

¿Deben las dos medidas dadas ser las longitudes de los catetos? ¿Por qué?

No. La longitud de la hipotenusa podría ser 4 unidades, y la longitud del cateto desconocida podría ser menor que 4 unidades.

¿Es posible que la longitud de la hipotenusa sea 3 unidades? ¿Por qué?

No, la hipotenusa no puede medir 3 unidades de largo. La hipotenusa debe ser el lado más largo de un triángulo rectángulo, y 3 unidades es menor que 4 unidades.

Entonces, es posible que las longitudes de los catetos sean 3 unidades y 4 unidades, pero también es posible que la longitud de un cateto sea 3 unidades y la longitud de la hipotenusa sea 4 unidades.

Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de la siguiente pregunta. Dé tiempo para pensar antes de que se reúnan en parejas.

¿Cuál es la longitud del tercer lado del triángulo si la longitud de un cateto es 3 unidades y la longitud de la hipotenusa es 4 unidades?

Después de que sus estudiantes hayan tenido la oportunidad de conversar, muestre un triángulo rectángulo.

La longitud de la hipotenusa es 4 unidades y la longitud de uno de los catetos es 3 unidades.

Rotule la longitud de la hipotenusa 4 y la longitud de uno de los catetos 3.

¿Es importante rotular la longitud del cateto desconocida a o b? ¿Por qué?

No, no es importante con qué letra rotulamos la longitud del cateto desconocida. Tanto a como b representan las longitudes de los catetos, así que puedo usar cualquiera de las variables.

Rotule la longitud del cateto desconocida a o b.

Pida a sus estudiantes que hallen el valor de la longitud del cateto desconocida. Si necesitan apoyo para resolver la ecuación de dos pasos, considere trabajar en la solución con toda la clase.

32 + b2 = 42

9 + b2 = 16

b2 = 7

b = √7

Entonces, cuando la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es 3 unidades y la longitud de la hipotenusa es 4 unidades, la longitud del otro cateto es √7 unidades.

Si resolviéramos la ecuación 9 + b2 = 16 sin saber que los números representan las longitudes de los lados de un triángulo, ¿nuestra solución seguiría siendo √7 ? ¿Por qué?

Nuestras soluciones serían √7 y √7 porque, sin el contexto de las longitudes de lado, tendríamos que considerar todos los números de b que hacen que la ecuación sea verdadera.

Pida a sus estudiantes que examinen de nuevo el enunciado del problema 1. Pídales que se reúnan y conversen brevemente en parejas para perfeccionar sus respuestas y desarrollar sus explicaciones con mayor profundidad. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus respuestas y explicaciones perfeccionadas.

Nota para la enseñanza

Considere comentar que cualquier variable es aceptable para rotular la longitud del cateto desconocida, no solo a o b. Sin embargo, la clase puede beneficiarse del uso previsible y conocido de a o b.

Anime a sus estudiantes a usar un esquema de oración para compartir sus respuestas:

El enunciado que establece que la longitud del tercer lado del triángulo es 5 unidades es verdadero porque .

Las respuestas y explicaciones completas deben incluir lo siguiente:

• El enunciado a veces es verdadero.

• Un triángulo rectángulo que tiene catetos con longitudes de 3 unidades y 4 unidades tiene un tercer lado, o una hipotenusa, con una longitud de 5 unidades.

• Un triángulo rectángulo en el que la longitud de un cateto es 3 unidades y la longitud de la hipotenusa es 4 unidades tiene un tercer lado, o cateto, con una longitud de √7 unidades.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 2 a 5 de manera individual.

En los problemas 2 a 5, halla la longitud de lado desconocida.

2.

La longitud de lado desconocida es 12 unidades. 3. a 2 + 92 = 112 a 2 + 81 = 121 a 2 = 40

52 + b2 = 132

25 + b2 = 169

b2 = 144

b = √144

b = 12

= √40

La longitud de lado desconocida es √40 unidades.

DUA: Acción y expresión

Los esquemas de oración pueden ayudar a sus estudiantes a organizar y expresar sus pensamientos e ideas. Exhiba esquemas de oración en una ubicación central, donde toda la clase pueda verlos.

Diferenciación: Desafío

Al comenzar con la estructura a2 + b2 = c2 para hallar el valor de las longitudes de los catetos, puede haber estudiantes que observen que el primer paso después de evaluar los exponentes siempre es una resta. Pida a esas personas que representen este patrón simbólicamente.

a2 = c2 − b2

b2 = c2 − a2

a 2 + 72 = (√113 ) 2 a 2 + 49 = 113 a 2 = 64 a = √64 a = 8

La longitud de lado desconocida es 8 unidades.

La longitud de lado desconocida es √20 unidades.

Pida a sus estudiantes que comprueben sus respuestas en parejas. Confirme las respuestas con toda la clase y responda cualquier pregunta que surja.

¿Es un triángulo rectángulo?

La clase aplica el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Dirija la atención de sus estudiantes al diagrama del problema 6.

¿Qué observan acerca de este diagrama?

Hay más de un triángulo.

Algunas de las longitudes de lado son desconocidas.

Hay dos triángulos rectángulos más pequeños que forman el triángulo grande.

¿A qué triángulo se refiere la pregunta del problema?

Al △ ABC

¿Qué otros triángulos ven?

El △CDA y el △CDB

¿Qué tipo de triángulos son el △CDA y el △CDB? ¿Cómo lo saben?

Los dos son triángulos rectángulos. En el diagrama, se muestra que se forma un ángulo recto entre el CD y el AB , así que tanto el ∠CDA como el ∠CDB son ángulos rectos. Como el △CDA y el △CDB tienen un ángulo recto, los dos son triángulos rectángulos.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 6 en parejas.

6. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica.

Sea x la longitud del AD .

x 2 + 62 = (√52 ) 2

x 2 + 36 = 52 x 2 = 16 x 2 = √16 x = 4

La longitud del AD es 4 unidades.

Sea y la longitud del CB .

Diferenciación: Apoyo

Si necesitan apoyo para entender el diagrama y la información dada, anime a sus estudiantes a cubrir el △CDA con la mano o con un trozo de papel para que puedan enfocarse en el △CDB. Luego, pídales que repitan el proceso al cubrir el △CDB. Puede que quienes usen esta táctica quieran rotular primero la longitud del CD con un 6 en el lado izquierdo de manera que puedan verlo cuando el △CDB esté cubierto.

La longitud del CB es √117 unidades.

Entonces, la longitud del AB es 4 unidades + 9 unidades, o 13 unidades.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza estructuras (MP7) cuando usa los dos triángulos más pequeños para hallar información sobre el △ ABC

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo se relacionan el △ ABC, el △CDA y el △CDB? ¿Cómo les puede ayudar eso a determinar si el △ ABC es un triángulo rectángulo?

• ¿Cómo les puede ayudar lo que saben sobre las longitudes de los lados de los triángulos a decidir si el △ ABC es un triángulo rectángulo?

Sea a la longitud del AC , b la longitud del BC y c la longitud del AB .

Si a 2 + b2 = c 2, entonces el △ ABC es un triángulo rectángulo.

a 2 + b2 = (√52 ) 2 + (√117 ) 2 = 52 + 117 = 169 c 2 = 132 = 169

Sí, el △ ABC es un triángulo rectángulo porque a 2 + b2 = 169 y c 2 = 169, entonces a 2 + b2 = c 2 .

Según el recíproco del teorema de Pitágoras, el △ ABC es un triángulo rectángulo.

Cuando la mayoría de las parejas haya terminado, confirme la respuesta con toda la clase. Invite a algunas parejas a describir su proceso de resolución de problemas con la clase. Dé tiempo para que el resto de la clase haga preguntas aclaratorias o agregue información sobre cualquier parte de las explicaciones.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Usar el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo

Usar el teorema de Pitágoras para hallar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a volver a expresar o reformular las respuestas de sus pares usando sus propias palabras.

¿Qué información necesitamos para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo?

¿Cómo usamos esa información?

Necesitamos saber las longitudes de los lados del triángulo. Si sabemos las longitudes de los lados, podemos usarlas para sustituir en la ecuación a 2 + b2 = c 2. Las dos longitudes de los lados más cortos son a y b, y la longitud del lado más largo es c. Si a 2 + b2 es igual a c 2, el triángulo es un triángulo rectángulo. Si a 2 + b2 no es igual a c 2, el triángulo no es un triángulo rectángulo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Pida a sus estudiantes que usen la sección

Preguntar sobre el razonamiento de la Herramienta para la conversación como apoyo para hacer preguntas aclaratorias.

¿Cuándo es útil conocer y usar el teorema de Pitágoras?

Es útil conocer y usar el teorema de Pitágoras cuando queremos hallar una longitud de lado desconocida de un triángulo rectángulo o cuando sabemos las tres longitudes de los lados de un triángulo y queremos saber si es un triángulo rectángulo.

Si hay suficiente tiempo, considere hacer otra pregunta de siempre, a veces o nunca como desafío para sus estudiantes.

La longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo es 2 unidades. La longitud de otro de los lados también es 2 unidades. ¿Es la longitud del tercer lado siempre, a veces o nunca 2 unidades?

La longitud del tercer lado nunca es 2 unidades. Si la longitud del tercer lado es 2 unidades, entonces el triángulo es equilátero y no puede ser un triángulo rectángulo. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo siempre es mayor que las longitudes de cada uno de los otros dos lados.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 19 Nombre Fecha

Usar el teorema de Pitágoras y su recíproco

En esta lección:

• usamos el recíproco del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo;

• usamos el teorema de Pitágoras para hallar una longitud de lado desconocida en un triángulo rectángulo.

Ejemplos

1. Indica si un triángulo con longitudes de lado 5, √41 y 4 es un triángulo rectángulo. Justifica tu respuesta.

Sea a = 4, b = 5 y c = √41

Si a 2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

La longitud del lado más largo es √41 unidades. Entonces, sustituye c por √41

a 2 + b 2 = 42 + 52 = 16 + 25 = 41

La ecuación a2 + b2 = c2 es verdadera.

c 2 = (√41 )2 = 41

Un triángulo con longitudes de lado 5, √41 y 4 es un triángulo rectángulo.

En los problemas 2 y 3, halla la longitud de lado desconocida.

La longitud de un cateto es desconocida. La longitud de la hipotenusa es desconocida.

La longitud de lado desconocida es √91 unidades.

La longitud de lado desconocida es √38 unidades.

EUREKA MATH2

© Great Minds PBC

EUREKA MATH2

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson

En los problemas 1 a 4, indica si un triángulo con las longitudes de lado dadas es un triángulo rectángulo.

1. 2, 5, 6

En los problemas 5 a 12, halla la longitud de lado desconocida.

13. ¿Es el △QRS un triángulo rectángulo? Explica. 5 5 Q R T S

No, el △QRS no es un triángulo rectángulo. La longitud del TS es 7 unidades; entonces, la longitud del QS es 12 unidades. La longitud del QR es √50 unidades. Como (√50 )2 + (√74 )2 ≠ 122, el △QRS no es un triángulo rectángulo.

14. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es √162 unidades.

a. ¿Cuál es un posible par de longitudes de los catetos del triángulo?

Ejemplo: 9 unidades y 9 unidades

b. Verifica que las longitudes de los catetos de la parte (a) tengan como resultado un triángulo rectángulo con una longitud de la hipotenusa de √162 unidades.

Sea c la longitud de la hipotenusa.

92 + 92 = c 2

81 + 81 = c 2 162 = c 2 √162 = c

La longitud de la hipotenusa es √162 unidades.

Recuerda

En los problemas 15 a 18, escribe una expresión equivalente.

19. En el diagrama, las rectas �� y �� son paralelas, y las rectas �� y �� son paralelas. ¿Cuál es la medida del ∠5?

EUREKA MATH

EUREKA MATH

20. Abdul gana $12.50 por cada hora que trabaja.

a. Completa la tabla para mostrar la cantidad de dinero que gana Abdul por el número de horas que trabaja.

Número de horas trabajadas 2 4 5 8

Dinero ganado en total (dólares) 25.00 50.00 62.50 100.00

b. Abdul quiere comprarse un abrigo que cuesta $75.00 ¿Cuántas horas debe trabajar a fin de ganar suficiente dinero para comprarse el abrigo?

Abdul debe trabajar 6 horas a fin de ganar suficiente dinero para comprarse el abrigo.

Teacher Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 19

La distancia en el plano de coordenadas

Hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas usando el teorema de Pitágoras

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes descubren cómo les pueden ayudar los triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras a hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas. Primero, observan y se preguntan acerca de un conjunto de puntos en el plano de coordenadas, lo que establece el marco para la lección. Luego, hallan las longitudes de segmentos y aplican esta nueva destreza durante una actividad grupal para determinar si un triángulo en el plano de coordenadas es un triángulo rectángulo. Sus estudiantes hacen una transición de hallar la longitud de los segmentos a hallar distancias a medida que repasan una pregunta sobre el conjunto de puntos del comienzo de la lección.

Pregunta

clave

• ¿Cómo podemos hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA9 Aplican el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. (8.G.B.8)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Hallar la longitud de los segmentos

• ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo?

• Hallar la distancia entre dos puntos

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• herramienta de borde recto

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Hallar la longitud de las hipotenusas

La clase halla la longitud de las hipotenusas de triángulos rectángulos como preparación para hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas.

Instrucciones: Halla la longitud de la hipotenusa c de un triángulo rectángulo que tiene catetos de longitudes a y b.

a = 3, b = 6

4. a = 7, b = 9

5. a = 10, b = 10

6. a = 3, b =

Presentar

La clase observa y se pregunta acerca de los puntos en el plano de coordenadas.

Muestre el siguiente diagrama de tres puntos en el plano de coordenadas:

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación sobre el diagrama:

¿Qué observan?

Observo puntos en el plano de coordenadas.

Observo que los tres puntos están en cuadrantes diferentes.

Observo que puedo formar un triángulo si conecto los puntos con segmentos.

Observo que no hay dos puntos que estén sobre la misma recta vertical u horizontal.

¿Qué se preguntan?

Me pregunto por qué estamos observando puntos en el plano de coordenadas.

Me pregunto si se supone que el plano de coordenadas nos ayude a hacer algo.

Me pregunto a qué distancia está cada par de puntos.

Me pregunto qué dos puntos están más lejos uno del otro.

Reconozca y valide todas las observaciones y preguntas. Si sus estudiantes no se preguntan qué dos puntos están más lejos uno del otro, plantee esa pregunta y pídales que indiquen si también se preguntan eso.

¿Qué dos puntos creen que están más lejos uno del otro?

Dé a la clase un momento para hacer una suposición basándose solo en una evaluación visual. Considere hacer una encuesta a sus estudiantes. Luego, use las siguientes preguntas:

Hicimos suposiciones sobre qué puntos están más lejos uno del otro basándonos solo en lo que vemos. ¿Cómo podríamos determinar con certeza qué dos puntos están más lejos uno del otro?

Podríamos usar una regla para medir la distancia entre cada par de puntos.

Podríamos trazar los puntos en una transparencia y, luego, rotarla para comparar la distancia entre un par de puntos y otro par de puntos.

Tal vez podríamos usar las coordenadas de los puntos A, B y C.

¿Ven algún posible problema al medir las distancias con una regla? ¿Por qué?

Las distancias podrían no ser exactas; entonces, necesitaríamos aproximarlas.

Podría haber un error humano al leer la regla.

La regla podría no darnos una medida lo suficientemente precisa.

Hoy, aprenderemos cómo determinar qué dos puntos están más lejos uno del otro sin usar ninguna herramienta adicional más que el diagrama.

Aprender

Hallar la longitud de los segmentos

La clase halla las longitudes de segmentos en el plano de coordenadas.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 1 a 3 de manera individual.

1. Halla la longitud del AC .

La longitud del AC es 9 unidades.

Diferenciación: Apoyo

Al hallar la longitud de los segmentos verticales u horizontales, busque estudiantes que accidentalmente puedan comenzar a contar desde la línea de la cuadrícula que contiene el punto en lugar de desde la siguiente línea de la cuadrícula. Anime a esas personas a contar en su lugar los espacios de la cuadrícula.

La longitud del CB es 12 unidades.

2. Halla la longitud del CB .

Sea c la longitud del AB .

La longitud del AB es 15 unidades.

3. Halla la longitud del AB .

Cuando la mayoría haya terminado, use las preguntas que siguen para guiar una conversación breve:

¿Qué estrategia usaron para hallar la longitud de los segmentos en los problemas 1 y 2?

Conté el número de unidades en el plano de coordenadas.

¿Están relacionados los problemas 1 y 2 con el problema 3? De ser así, ¿cómo?

Sí, están relacionados. Los segmentos de los problemas 1 y 2 son los segmentos vertical y horizontal que forman un triángulo rectángulo con el segmento del problema 3 como hipotenusa.

¿Qué estrategia usaron para hallar la longitud del AB en el problema 3?

Usé mis respuestas a los problemas 1 y 2 como a y b en el teorema de Pitágoras para hallar la longitud del AB .

Pida a sus estudiantes que completen el problema 4 de manera individual. Recorra el salón de clases y busque estudiantes que intenten contar las unidades a lo largo del MN para determinar la longitud. Como apoyo, pídales que piensen de qué forma pueden usar los problemas 1 a 3 como modelo para asegurarse de hallar la longitud correcta del segmento.

Sea c la longitud del MN .

La longitud del MN es √185 unidades.

Nota para la enseñanza

Durante su trabajo en el problema 4, puede haber estudiantes que reconozcan que hay dos triángulos rectángulos que tienen el MN como hipotenusa. Considere preguntarles por qué los dos triángulos tienen la misma longitud para el MN

4. Halla la longitud del MN .

A medida que sus estudiantes terminen, pídales que se reúnan y conversen en parejas para comparar las respuestas y comentar la estrategia que usaron. Luego, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Pudieron aplicar en el problema 4 la misma estrategia que aplicaron en los problemas 1 y 2?

¿Por qué?

No, no pude aplicar la misma estrategia. En los problemas 1 y 2, los segmentos están sobre las líneas de la cuadrícula; entonces, pude contar el número de unidades para hallar la longitud. En el problema 4, el segmento es diagonal; entonces, no pude contar el número de unidades para hallar la longitud.

¿Pudieron aplicar en el problema 4 la misma estrategia que aplicaron en el problema 3?

¿Por qué?

Sí, pude aplicar la misma estrategia. Primero, tracé un triángulo rectángulo con el MN como hipotenusa. Luego, hallé la longitud de los catetos y usé el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa.

En el problema 4, el punto M tiene coordenadas negativas. ¿Afecta esto la longitud del MN o la estrategia que usamos para hallar la longitud? ¿Por qué?

Las coordenadas negativas del punto M no afectan la longitud del MN o la estrategia que usamos. La longitud siempre es positiva.

Para hallar la longitud de un segmento diagonal en el plano de coordenadas, podemos trazar un triángulo rectángulo con el segmento como su hipotenusa, hallar la longitud de los catetos y, luego, aplicar el teorema de Pitágoras.

¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo?

La clase determina si un triángulo en el plano de coordenadas es un triángulo rectángulo.

Organice a sus estudiantes en grupos de tres y pídales que completen el problema 5. Sugiera que asignen a cada integrante del grupo una longitud de lado. Después de que sus estudiantes hallen las longitudes, pida a cada integrante del grupo que compare su trabajo con alguien de otro grupo a quien se haya asignado la misma longitud de lado.

Nota para la enseñanza

Un error común al hallar la longitud de un segmento diagonal en el plano de coordenadas es contar el número de líneas de la cuadrícula con las que se interseca el segmento.

Para corregir el concepto erróneo en el que se basa este error, anime a sus estudiantes a usar el sentido numérico y las destrezas de aproximación del módulo 1.

• En el problema 4, ¿entre qué dos números enteros se encuentra el valor de √185 ?

• ¿Con cuántas líneas de la cuadrícula se interseca el MN ?

Un número entre 13 y 14 es mayor que 11, que es el número de líneas de la cuadrícula que se intersecan con el MN . Entonces, la estrategia de conteo no es válida. Puede que sus estudiantes también reconozcan que una de las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo es 11 unidades; entonces, la longitud de la hipotenusa debe ser mayor que 11.

DUA: Acción y expresión

Animar a los grupos a dividir el trabajo les ayuda con la planificación y la elaboración de estrategias.

Además, considere exhibir las siguientes preguntas y animar a sus estudiantes a reflexionar después de comparar su trabajo en parejas:

• ¿Qué hice bien?

• ¿Qué haría de otra manera la próxima vez?

5. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica.

Diferenciación: Apoyo

Si necesitan apoyo para visualizar dónde trazar los catetos de cada triángulo rectángulo, anime a sus estudiantes a trazar un rectángulo por fuera del triángulo dado donde el punto B sea un vértice del rectángulo y los puntos A y C estén ubicados en los lados del rectángulo.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar cualquier variable para representar la longitud de los segmentos.

Según el recíproco del teorema de Pitágoras, si (√45 )2 + (√34 )2 es igual a (√73 )2, entonces el △ ABC es un triángulo rectángulo.

(√45 )2 + (√34 )2 = 45 + 34 = 79

(√73 )2 = 73

Como 79 ≠ 73, sabemos que (√45 )2 + (√34 )2 ≠ (√73 )2; entonces, el △ ABC no es un triángulo rectángulo.

Cuando la mayoría de los grupos hayan terminado, elija a un grupo para que comparta su respuesta y su razonamiento con la clase. Pida a los otros grupos que hagan una señal silenciosa, como los pulgares hacia arriba, para indicar que están de acuerdo. Si es necesario, invite a otras personas a complementar la explicación del grupo para aportar mayor claridad. Si hay grupos que no están de acuerdo, dé algunos minutos para que compartan sus procesos a fin de identificar las dificultades que tuvieron y descubrir conceptos erróneos o errores de cálculo.

Luego, guíe una conversación breve.

¿Cómo determinamos si un triángulo es un triángulo rectángulo?

Podemos usar el recíproco del teorema de Pitágoras. En un triángulo, si el cuadrado de la longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, entonces es un triángulo rectángulo.

¿Nos preparó el problema 4 para el problema 5? ¿Por qué?

Sí, el problema 4 nos preparó para el problema 5. En el problema 4, aprendimos cómo hallar la longitud de un segmento diagonal. En el problema 5, los tres lados del triángulo son diagonales. Como no podemos contar los espacios en la cuadrícula para hallar las longitudes, podemos aplicar la misma estrategia del problema 4.

Hallar la distancia entre dos puntos

La clase calcula y compara las distancias entre puntos.

Dirija la atención de sus estudiantes al problema 6.

En el problema 6 se plantea la pregunta que nos hicimos anteriormente. Vean si su grupo puede decidir con certeza qué dos puntos están más lejos uno del otro.

Nota para la enseñanza

Aunque sus estudiantes no necesitan ninguna destreza nueva para completar este problema, la ausencia de segmentos puede ser un obstáculo. Brinde apoyo a quienes necesiten ayuda para comenzar incentivando el uso de la herramienta de borde recto para trazar un segmento entre los dos puntos en los que se están enfocando. Luego, pregunte si los problemas que resolvieron anteriormente en la clase les pueden servir de ayuda ahora.

Proporcione a cada estudiante una herramienta de borde recto. Pídales que completen el problema 6 en grupos.

6. ¿Qué dos puntos están más lejos uno del otro? Explica.

Sea x la longitud del AB :

+ 122 = x 2 16 + 144 = x 2

= x 2

160 = x Sea y la longitud del AC :

Sea z la longitud del BC :

Los puntos B y C están más lejos uno del otro porque √164 unidades es mayor que √160 unidades y √148 unidades.

Diferenciación: Desafío

Considere pedir a quienes puedan enfrentar una mayor complejidad que usen las coordenadas de los puntos en lugar de contar para hallar la longitud de los catetos.

Por ejemplo, en el problema 6, las coordenadas de un posible tercer vértice D para un triángulo rectángulo con la hipotenusa AB son (−7, −7). Pida a sus estudiantes que resten para hallar la distancia entre A(−7, 5) y D(−7, −7) y la distancia entre B(−3, −7) y D(−7, −7). AD = |5 − (−7)| = |12| = 12 BD = |−3 − (−7)| = |4| = 4

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas Cada estudiante utiliza estructuras (MP7) cuando usa triángulos rectángulos para hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo se relacionan la distancia y la longitud? ¿Cómo puede ayudarles eso a hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas?

• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre el teorema de Pitágoras a hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas?

Cuando la mayoría de los grupos haya terminado, considere hacer otra encuesta rápida a la clase para preguntar si alguien ha cambiado su respuesta, ya que evaluaron la distancia a simple vista al comienzo de la lección.

Invite a un grupo a compartir su respuesta y a describir a la clase cómo resolvieron el problema. Responda las preguntas que puedan surgir. Luego, use las siguientes preguntas para finalizar la actividad:

¿En qué se parece el problema 6 a los problemas anteriores de esta lección?

Se parece en que podemos aplicar la misma estrategia para hallar la distancia entre dos puntos que usamos para hallar la longitud de los segmentos.

¿En qué se diferencia el problema 6 de los problemas anteriores de esta lección?

Se diferencia porque en la gráfica solo se muestran puntos, no segmentos.

¿Qué significa hallar la longitud de un segmento?

Cuando hallamos la longitud de un segmento, estamos hallando la distancia entre sus dos extremos.

¿Qué significa hallar la distancia entre dos puntos?

Cuando hallamos la distancia entre dos puntos, estamos hallando el número de unidades entre los dos puntos.

La longitud de un segmento es la distancia entre sus dos extremos. La distancia entre dos puntos es el número de unidades entre los dos puntos. Podemos usar la misma estrategia para hallar la longitud de un segmento y la distancia entre dos puntos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Hallar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas usando el teorema de Pitágoras

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular o desarrollar las respuestas de sus pares.

¿Cómo podemos hallar la distancia entre dos puntos que están ubicados en la misma recta vertical u horizontal en el plano de coordenadas?

Para hallar la distancia entre dos puntos que están ubicados en la misma recta vertical u horizontal, podemos contar unidades en el plano de coordenadas.

¿Cómo podemos hallar la distancia entre dos puntos que están ubicados en una recta diagonal en el plano de coordenadas?

Para hallar la distancia entre dos puntos que están ubicados en una recta diagonal, podemos conectar los dos puntos con un segmento y trazar un triángulo rectángulo con el segmento como hipotenusa. Luego, podemos contar las unidades en los catetos vertical y horizontal del triángulo y usar esas longitudes en el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa. La longitud de la hipotenusa es la distancia entre los dos puntos.

Si sus estudiantes brindan respuestas breves a la pregunta anterior, como “Uso el teorema de Pitágoras”, considere hacer las siguientes preguntas para comprobar mejor su razonamiento:

• Para usar el teorema de Pitágoras, necesitamos un triángulo rectángulo. ¿Dónde está el triángulo rectángulo?

• ¿Cómo se relacionan los dos puntos con el triángulo rectángulo?

• ¿Cómo hallamos la longitud de los catetos?

Boleto

de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 20

La distancia en el plano de coordenadas

En esta lección:

• hallamos la longitud de un segmento diagonal en el plano de coordenadas;

• formamos triángulos rectángulos en el plano de coordenadas a fin de usar el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos.

Ejemplos

1. Halla la distancia entre los puntos A y B y

Traza un segmento que conecte los puntos A y B

Traza un triángulo rectángulo con la hipotenusa AB Luego, cuenta las unidades para hallar las longitudes de los catetos.

Sea c la longitud del AB

+ 102 = c 2

La longitud del AB es √164 unidades.

Entonces, la distancia entre los puntos A y B es √164 unidades.

La longitud del AB también es la distancia entre los puntos A y B

2. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica. y x

Usa el teorema de Pitágoras tres veces para hallar las longitudes del BC el AC y el AB Como ninguna de las longitudes de los lados del triángulo están sobre las líneas de la cuadrícula, traza segmentos que formen triángulos rectángulos para cada par de puntos. Luego, cuenta las unidades para hallar las longitudes de los segmentos.

Sea x la longitud del BC :

32 + 32 = x 2

9 + 9 = x 2

18 = x 2

√18 = x

Sea y la longitud del AC : 22 + 22 = y 2 4 + 4 = y 2 8 = y 2 √8 = y Sea z la longitud del AB :

Según el recíproco del teorema de Pitágoras, si (√18 )2 + (√8 )2 es igual a (√26 )2 , entonces el △ ABC es un triángulo rectángulo.

(√18 )2 + (√8 )2 = 18 + 8 = 26 (√26 )2 = 26

Como 26 = 26, sabemos que (√18 )2 + (√8 )2 = (√26 )2; entonces, el △ ABC es un triángulo rectángulo.

Usa el recíproco del teorema de Pitágoras: si la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Nombre

Fecha

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 20

En los problemas 1 y 2, halla la longitud del

7. ¿Es el △ ABC un triángulo rectángulo? Explica.

los problemas 3 a 6, halla la distancia entre los puntos A y B.

No, el △ ABC no es un triángulo rectángulo. La longitud del AC es

unidades, la longitud del BC es 10 unidades y la longitud del AB es 12 unidades. Como (

, el

no es un triángulo rectángulo.

EUREKA MATH

Considera

a. Halla el perímetro del triángulo que se forma al conectar los puntos A B y C

32 unidades

b. ¿Qué tipo de triángulo es el △ ABC ? Explica cómo lo sabes.

El △ ABC es un triángulo isósceles porque dos de los tres lados tienen la misma longitud.

Recuerda

En los problemas 9 a 12, escribe una expresión equivalente. 9. 1 2 ( 8 x + 14 ) + 3 x 7x + 7 10. 3 8 ( 8 x − 64 ) + 9 3x 15

11. 5 11 ( 22 x + 55 ) − 4 x −14x 25

3 10 ( 30 x − 100 ) − 8 −9x + 22

13. En el diagrama, el ∠ DGH es congruente con el ∠ EIH. Describe un movimiento rígido que asigne el ∠ DGH al ∠ EIH G H E D I

Una traslación a lo largo del → GI seguida de una rotación de 180° alrededor del punto I asigna el ∠ DGH al ∠ EIH

14. En la cuadrícula, crea un dibujo a escala del rectángulo dado con el factor de escala 1 2 .

Ejemplo:

EUREKA MATH

Aplicar el teorema de Pitágoras

Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas matemáticos y del mundo real

Evaluar raíces cuadradas

Maya quiere construir una rampa para patinetas con las dimensiones que se muestran. ¿Qué longitud debe tener la madera contrachapada que necesita Maya para la parte superior de la rampa? Redondea al décimo de una pulgada más cercano.

18 in

72 in

Sea c la longitud de la madera contrachapada que se necesita para la parte superior de la rampa en pulgadas.

182 + 722 = c 2

324 + 5184 = c 2

5508 = c 2

√

5508 = c

74.2 ≈ c

Maya necesita aproximadamente 74.2 pulgadas de madera contrachapada para la parte superior de la rampa.

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes aplican sus destrezas con el teorema de Pitágoras a situaciones nuevas, tanto matemáticas como del mundo real. Se suma una nueva y notable complejidad, que consiste en aplicar el teorema de Pitágoras en tres dimensiones. Como apoyo ante esta mayor complejidad, sus estudiantes participan de una breve tarea para representar. A lo largo de esta lección, permita que usen una calculadora como herramienta para obtener eficiencia en los cálculos, lo que les ayudará a mantener el enfoque en el proceso de resolución de problemas.

Preguntas clave

• ¿En qué situaciones matemáticas y del mundo real se aplica el teorema de Pitágoras?

• ¿Es útil una calculadora para resolver problemas? ¿Por qué?

Criterio de logro académico

8.Mód2.CLA8 Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real, en dos y tres dimensiones. (8.G.B.7)

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 21

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• Resolver un problema del mundo real

• Resolver un problema matemático

• Una caja bien pensada

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• calculadora científica

Estudiantes

• calculadora científica

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Hallar la longitud de los lados

La clase halla la longitud de los lados de triángulos rectángulos como preparación para aplicar el teorema de Pitágoras a fin de resolver problemas matemáticos y del mundo real.

Instrucciones: Un triángulo rectángulo tiene catetos con longitudes a y b y la hipotenusa con longitud c. Halla la longitud de lado desconocida.

a = 6, b = 8

2. a = 8, b = 6

1.

Presentar

La clase usa una calculadora para hallar una raíz cuadrada.

Dirija la atención de sus estudiantes al problema 1. Lea el planteamiento en voz alta mientras sus estudiantes siguen la lectura. Dé un momento para que hagan cualquier pregunta aclaratoria.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 1 de manera individual sin usar una calculadora.

Si tienen dificultades para elevar 50 y 30 al cuadrado, anime a sus estudiantes a relacionar los números con números más pequeños cuyos cuadrados conozcan y a usar el razonamiento del valor posicional. Por ejemplo, 52 = 25; entonces, 502 = 2500.

1. El centro de entretenimiento de Dylan tiene una abertura rectangular para un televisor. La abertura mide 50 pulgadas de ancho y 30 pulgadas de alto. El tamaño de un televisor se describe por la longitud de su diagonal.

De la lista, ¿cuál es el televisor más grande que cabe en el centro de entretenimiento de Dylan? Explica.

43 pulgadas 50 pulgadas 55 pulgadas 60 pulgadas 65 pulgadas

Sea c la longitud de la diagonal de la abertura rectangular en el centro de entretenimiento.

502 + 302 = c 2

2500 + 900 = c 2

3400 = c 2

Cuando la mayoría haya llegado a √3400 = c en la solución, use las siguientes preguntas para guiar una conversación:

Si c representa la longitud de la diagonal de la abertura rectangular en el centro de entretenimiento de Dylan, ¿cuál es el valor exacto de c?

El valor exacto de c es √3400 .

Entonces, Dylan tiene espacio para un televisor de √3400 pulgadas.

Nota para la enseñanza

En el problema 1, se genera naturalmente la necesidad de que sus estudiantes usen una calculadora. Dé tiempo para que realicen un esfuerzo productivo antes de permitir el uso de una calculadora durante la conversación de toda la clase que sigue al problema 1.

Dado que sus estudiantes aún no tienen acceso a una calculadora, probablemente pidan ayuda cuando lleguen a √3400 = c.

El objetivo de este problema es crear la necesidad de usar esa herramienta.

DUA: Representación

Considere proporcionar un apoyo visual como ayuda para la comprensión del tamaño del televisor. Por ejemplo, muestre un diagrama como el siguiente a medida que lee en voz alta la oración “El tamaño de un televisor se describe por la longitud de su diagonal”. 43 in

Como apoyo adicional, considere permitir que sus estudiantes tengan la experiencia concreta de medir la diagonal de una pantalla en el salón de clases.

¿Hay algo extraño en ese enunciado? ¿Por qué?

Sí, es un enunciado extraño porque no solemos usar raíces cuadradas para hablar de medidas de la vida real.

No podemos ir a una tienda y buscar un televisor cuyo tamaño esté indicado como √3400 pulgadas. ¿Qué podemos hacer para que esta medida tenga más sentido en el mundo real?

Podemos hallar un valor aproximado de √3400 .

En el módulo 1, aprendimos un método para aproximar este valor al centésimo más cercano.

¿Hay una forma más eficiente de hallar un valor aproximado de √3400 ?

Sí, podemos usar una calculadora.

La función de la raíz cuadrada en la calculadora puede ayudarnos a hallar la aproximación de forma eficiente. Sin embargo, debemos seguir practicando para mantener un buen sentido numérico y así saber si el número que se muestra en la calculadora puede ser correcto.

Asegúrese de que cada estudiante tenga una calculadora.

¿Entre qué dos números enteros podemos esperar hallar el valor de √3400 ? ¿Por qué?

Podemos esperar hallar √3400 entre 50 y 60 porque 502 = 2500 y 602 = 3600.

Guíe a sus estudiantes para que usen una calculadora a fin de hallar un valor aproximado de √3400 .

¿Cuál es el valor de √3400 redondeado al décimo más cercano?

58.3

Registren 58.3 en el problema 1. De la lista, ¿cuál es el televisor más grande que cabe en el centro de entretenimiento de Dylan?

El televisor más grande que cabe en su centro de entretenimiento es el de 55 pulgadas.

Sin embargo, 58.3 está más cerca de 60 que de 55. ¿Por qué Dylan no puede comprar un televisor de 60 pulgadas?

Un televisor de 60 pulgadas es demasiado grande y no cabe en la abertura.

Hoy, usaremos el teorema de Pitágoras para mejorar nuestros cálculos de longitudes desconocidas en problemas matemáticos y del mundo real.

Nota para la enseñanza

En los diferentes dispositivos, la manera de ingresar las raíces cuadradas es distinto. Anime a sus estudiantes a usar la misma calculadora o tecnología a lo largo del año, incluso en las evaluaciones, de manera que se familiaricen con las características del ingreso de los datos y los resultados que se muestran.

Aprender

Resolver un problema del mundo real

La clase aplica el teorema de Pitágoras para resolver un problema del mundo real.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema 2. Permita que usen calculadoras en el resto de la lección. Recorra el salón de clases para asegurarse de que pueden hallar y usar la función de la raíz cuadrada de la calculadora.

2. En el libro ¿Cuál es tu ángulo, Pitágoras?, Saltos y Pepros discuten porque su escalera de 12 pies no llega hasta el techo de un templo, como se muestra. ¿Hasta qué altura de la pared del templo llega la escalera? Redondea al décimo de un pie más cercano.

Sea h la altura de la pared del templo a la que llega la escalera en pies.

12 pies

5 pies

52 + h2 = 122

25 + h2 = 144 h2 = 119 h = √119 h ≈ 10.9

La escalera llega a una altura de aproximadamente 10.9 pies de la pared del templo.

Confirme la respuesta con toda la clase.

Resolver un problema matemático

La clase aplica el teorema de Pitágoras para resolver un problema matemático.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 3 en parejas.

3. El área del triángulo rectángulo es 26.46 unidades cuadradas. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

Sea b la base del triángulo donde la altura h es 6.3 unidades.

Sea c la longitud de la hipotenusa del triángulo con longitudes de los catetos de 6.3 unidades y 8.4 unidades.

+

= c 2

Se calcula el perímetro del triángulo.

El perímetro del triángulo es 25.2 unidades.

Confirme la respuesta con toda la clase. Invite a las parejas de estudiantes a describir su estrategia para hallar la solución. Si es necesario, use las preguntas que siguen para guiar una conversación:

¿Qué información necesitamos para hallar el perímetro de una figura?

Necesitamos las longitudes de los lados.

¿Qué información dada en este problema es útil para hallar la longitud de un lado?

¿Por qué es útil?

Se nos dan el área y la altura del triángulo rectángulo. Podemos usar la fórmula del área para hallar la longitud de la base.

¿Tiene importancia si llamamos al lado que tiene una longitud de 6.3 unidades base o altura del triángulo? ¿Por qué?

No, no tiene importancia. Sabemos que los dos lados que forman el ángulo recto son la base y la altura de este triángulo. Podemos sustituir b o h por 6.3 unidades en la fórmula del área.

Entonces, no tiene importancia si llamamos al lado que tiene una longitud de 6.3 unidades base o altura. Lo que tiene importancia es que los lados que llamamos base y altura formen un ángulo recto.

¿Puede 8.4 unidades ser la longitud de la hipotenusa? Expliquen.

No. Dijimos que la base y la altura de este triángulo son los dos lados que forman el ángulo recto. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

¿Fue útil usar una calculadora para resolver este problema? ¿Por qué?

Sí, fue útil al elevar los valores decimales al cuadrado. También fue útil para hallar √110.25 porque no es una raíz cuadrada que reconozca fácilmente.

Una caja bien pensada

La clase aplica el teorema de Pitágoras para hallar longitudes en una figura tridimensional.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema Una caja bien pensada. Reproduzca la parte 1 del video de Una caja bien pensada, en la que se muestra a una persona haciendo una compra en línea que incluye un bate de 32 pulgadas.

¿Qué preguntas tienen?

Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir algunas preguntas. Pregunte si alguien más tiene las mismas preguntas. Si sus estudiantes no preguntan si el bate cabe en la caja, plantee esa pregunta y consulte si alguien tiene la misma inquietud.

Solo tenemos tiempo para responder una pregunta hoy. Podemos enfocarnos en si el bate cabe en la caja.

Pida a sus estudiantes que registren la pregunta de enfoque. Luego, pídales que, en parejas, se tomen 1 minuto para compartir ideas sobre la información que necesitan a fin de responder la pregunta. Se espera que la clase genere una lista semejante a la siguiente:

• Necesitamos saber la longitud del bate.

• Necesitamos saber las dimensiones de la caja.

Ahora que sus estudiantes han identificado la información necesaria para responder la pregunta de enfoque, reproduzca la parte 1 del video una vez más, o las veces que sean necesarias, para que reúnan y registren los datos necesarios. Luego, pídales que trabajen en parejas para responder la pregunta de enfoque. Informe a las parejas que deben estar preparadas para compartir sus estrategias para hallar la solución.

Recorra el salón de clases para apoyar a sus estudiantes a fin de que apliquen correctamente el teorema de Pitágoras. Si alguna pareja de estudiantes indica inmediatamente que las tres dimensiones lineales son demasiado cortas para que el bate quepa en la caja, anime a esas personas a pensar de manera creativa en otras maneras de colocar el bate en la caja.

Pregunta de enfoque

¿Cabe el bate en la caja?

Longitud del bate: 32 pulgadas

Dimensiones de la caja: 20 pulgadas por 20 pulgadas por 20 pulgadas

Diagonal de la base

Diagonal desde la esquina superior hasta la esquina inferior opuesta

c 20 pulgadas

20 pulgadas

20 pulgadas

202 + 202 = c 2

400 + 400 = c 2

800 = c 2

√

800 = c

 800 d

20 pulgadas

20 pulgadas

20 pulgadas

(√800 )2 + 202 = d2

800 + 400 = d2 1200 = d2

√1200 = d 34.64 ≈ d

Hay aproximadamente 34.64 pulgadas de longitud diagonal disponibles desde la esquina superior hasta la esquina inferior opuesta de la caja. Entonces, sí, el bate de 32 pulgadas puede caber en la caja.

DUA: Representación

Considere ofrecer a sus estudiantes una experiencia práctica. Por ejemplo, proporcione una caja y algunos objetos de distintas longitudes para que puedan explorar las diferentes maneras en que los objetos pueden caber en la caja.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando aplica el teorema de Pitágoras para resolver problemas del mundo real.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué situaciones del mundo real se representan con triángulos rectángulos?

• ¿Qué se pide en el problema?

Cuando las parejas hayan terminado, pida a sus estudiantes que voten si creen que el bate puede caber en la caja. Invite a algunas parejas a compartir sus estrategias para hallar la solución con la clase a fin de justificar si creen que el bate cabe en la caja. Invite a sus estudiantes a hacer preguntas aclaratorias sobre las estrategias para hallar la solución compartidas. Luego, pregúnteles si están de acuerdo o en desacuerdo con los cálculos.

Reproduzca la parte 2 del video para que sus estudiantes puedan comprobar su respuesta a la pregunta de enfoque.

Luego, haga una de las preguntas que siguen, o todas, para guiar una conversación de toda la clase:

• ¿Qué suposiciones hicieron con sus parejas para resolver el problema?

• ¿Podría cambiar algo en esta situación el ancho del bate? ¿Por qué?

• ¿Podrían cambiar algo en esta situación los otros objetos en la caja? ¿Por qué?

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas matemáticos y del mundo real

Evaluar raíces cuadradas

Use las siguientes preguntas para que sus estudiantes participen de una conversación de toda la clase:

¿En qué situaciones matemáticas y del mundo real se aplica el teorema de Pitágoras? El teorema de Pitágoras se aplica cuando hay una longitud de lado desconocida de un triángulo rectángulo o cuando una situación se puede representar con un triángulo rectángulo. Algunas situaciones del mundo real que incluyen triángulos rectángulos son los tamaños de las pantallas de los televisores, una escalera apoyada contra una pared y ciertas dimensiones de una caja. Las situaciones matemáticas incluyen la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas y hallar la longitud de un lado en un triángulo rectángulo cuando se da información sobre las longitudes de los otros lados.

Diferenciación: Desafío

Para quienes puedan enfrentar una mayor complejidad, considere ofrecer la siguiente extensión:

• Hallen las posibles dimensiones de otra caja en la que pueda caber el bate, pero que aún tenga una longitud, un ancho y una altura que sean menores que 32 pulgadas.

• Hallen las posibles dimensiones de una caja que tenga dimensiones semejantes, pero en la que se use menos cartón que la caja de la parte 1.

¿Es útil una calculadora para resolver problemas como este? ¿Por qué?

Una calculadora permite resolver estos problemas de forma más eficiente porque generalmente necesitamos hacer cálculos que llevan mucho tiempo si se hacen a mano o mentalmente, como aproximar raíces cuadradas y elevar números decimales al cuadrado.

¿Les sorprendió alguna de las situaciones de esta lección en las que se aplicó el teorema de Pitágoras? Expliquen.

Permita que diferentes estudiantes compartan sus respuestas. Si hay suficiente tiempo, pregunte a la clase sobre situaciones que no estén en la lección en las que se podría aplicar el teorema de Pitágoras.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Para resolver los problemas de la sección Práctica, sus estudiantes necesitan acceso a una calculadora científica o un dispositivo digital similar.

Resumen

2. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? Redondea al décimo de una unidad más cercano.

Aplicar el teorema de Pitágoras

En esta lección:

• aplicamos el teorema de Pitágoras para resolver problemas matemáticos y del mundo real;

• usamos una calculadora como herramienta para evaluar raíces cuadradas.

Ejemplos

1. Se apoya una escalera de 12 pies en una pared como se muestra. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera? Redondea al décimo de un pie más cercano.

La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. La escalera es la hipotenusa.

12 pies

La altura de la pared a la que llega la escalera es la longitud del cateto desconocida.

2.9 pies

Sea h la altura de la pared a la que llega la escalera en pies.

2.92 + h2 = 122

8.41 + h2 = 144

La escalera llega a una altura de aproximadamente 11.6 pies de la pared.

Usa una calculadora para hallar la raíz cuadrada.

Sea c la longitud de lado desconocida.

+ 82 = c2

El perímetro del triángulo es aproximadamente 25.6 unidades.

La longitud de lado desconocida es la longitud de la hipotenusa. Usa una calculadora para sumar las longitudes de los lados.

EUREKA MATH

© Great Minds PBC

EUREKA MATH

Nombre

Fecha

RESUMEN

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 21

1. Un televisor de 80 pulgadas tiene una altura de 39.2 pulgadas. ¿Cuál es el ancho del televisor? Redondea al décimo de una pulgada más cercano.

80 in

El ancho del televisor es aproximadamente 69.7 pulgadas.

2. Se apoya una escalera de 13 pies en una pared como se muestra. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera? Redondea al décimo de un pie más cercano.

pies

3.4 pies

La escalera llega a una altura de aproximadamente 12.5 pies de la pared.

3. Noor puede tomar dos caminos desde su casa hasta la casa de Liam. Un camino es directo. En el otro camino, Noor tiene que recorrer dos calles diferentes, como se muestra.

Casa de Noor

1.5 millas

Casa de Liam

2 millas

¿Cuánto más corto es el camino directo que el camino por dos calles diferentes?

El camino directo desde la casa de Noor hasta la casa de Liam es 1 milla más corto que el camino por dos calles diferentes.

4. Considera el diagrama de una portería de futbol portátil. Las líneas negras muestran la estructura de la portería. 6 ft 10 ft 6 ft 5 ft 5 ft

¿Cuántos pies de material se necesitan para la estructura de la portería? Redondea al décimo de un pie más cercano.

Se necesitan alrededor de 57.6 pies de material para la estructura de la portería.

EUREKA MATH2

© Great Minds PBC

EUREKA MATH2

Student

Nombre

Fecha

5. El área del triángulo rectángulo dado es 66.5 unidades cuadradas. 9.5

a. ¿Cuál es la longitud del cateto desconocida del triángulo? 14 unidades

b. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? Redondea al décimo de una unidad más cercano. 40.4 unidades

En los problemas 6 y 7, halla la longitud de la diagonal c de la caja con forma de prisma rectangular recto. Redondea tu respuesta final al décimo de una pulgada más cercano.

6. 8 in

in 8 in c 13.9 pulgadas

Recuerda

En los problemas 8 a 11, escribe una expresión equivalente.

12. Halla la medida del ∠3. 3

2

¿Qué movimiento rígido asigna el ∠ABC al ∠DEF? A B P E C D F

A. Rotación de 180° alrededor del punto P

B. Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto P

C. Reflexión sobre una recta vertical que pasa por P

D. Reflexión sobre una recta horizontal que pasa por P

En el camino correcto

Representar una situación usando el teorema de Pitágoras y la distancia en una cuadrícula para resolver un problema

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes participan de una exploración de representación abierta. Trabajan en parejas y aplican las destrezas relacionadas con la distancia entre dos puntos en una cuadrícula, la tasa y el tiempo para determinar a cuántas atracciones pueden subirse en un parque de diversiones en un periodo de tiempo específico. Comparten con la clase sus estrategias para hallar la solución y reflexionan sobre el proceso de representación.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos usar el teorema de Pitágoras y la distancia en una cuadrícula para representar situaciones y resolver problemas?

Criterios de logro académico

8.Mód2.CLA8 Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real, en dos y tres dimensiones. (8.G.B.7)

8.Mód2.CLA9 Aplican el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. (8.G.B.8)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Hora de cierre

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• Mapa con cuadrícula del parque de diversiones

• calculadora científica (1 por pareja de estudiantes)

• herramienta de borde recto (1 por pareja de estudiantes)

• Tarjeta de información de las atracciones del parque (1 tarjeta por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• Haga copias de las Tarjetas de información de las atracciones del parque (en la edición para la enseñanza) y recórtelas. Prepare suficientes para que haya 1 tarjeta por pareja de estudiantes.

Fluidez

Convertir unidades

La clase convierte unidades como preparación para representar una situación que incluye distancias, tasas y tiempo.

Instrucciones: Completa el espacio.

1. 3 horas = segundos

6. 60 millas por hora = pies por segundo

Nota para la enseñanza

Si hay estudiantes que necesitan apoyo, considere proporcionar las siguientes conversiones:

• 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos

• 1 milla = 5280 pies

5. 45 pies por minuto = pies por segundo

Presentar

La clase analiza un mapa como preparación para una tarea de representar.

Dirija la atención de sus estudiantes al mapa del parque de diversiones en sus libros. Luego, use el siguiente planteamiento a fin de dar lugar al razonamiento sobre la situación para representar:

Supongan que vamos de excursión a un parque de diversiones. Este es un mapa de una sección del parque.

Considere usar las preguntas que siguen para guiar una conversación breve acerca del mapa:

• ¿Han visto alguna vez un mapa como este? ¿En qué se parece a los que han visto? ¿En qué se diferencia?

• ¿Qué información podríamos recopilar a partir del mapa?

• ¿Qué herramientas podrían ser útiles para recopilar información del mapa? ¿Por qué?

Carritos de carrera

Sillas voladoras

Entrada

Carritos chocones

Montaña rusa

Carrusel

Tobogán de agua

Tazas locas

El parque de diversiones cierra pronto y queremos subir a más atracciones. ¿A qué atracciones podemos subir? ¿Podemos subir antes de que cierre el parque?

Hoy, usaremos el teorema de Pitágoras para respaldar las respuestas a preguntas como estas.

Aprender

Hora de cierre

La clase aplica un método para hallar la distancia entre dos puntos a una situación del mundo real.

Organice a la clase en parejas. Pida a sus estudiantes que retiren la hoja extraíble de Mapa con cuadrícula del parque de diversiones de sus libros. Asegúrese de que cada pareja tenga también una herramienta de borde recto y una calculadora. Considere pedir a sus estudiantes que coloquen sus mapas en sus pizarras blancas individuales para que les sea más fácil hacer cambios a medida que prueban distintos caminos.

Reproduzca el video Hora de cierre. Luego, dirija la atención de sus estudiantes al problema Hora de cierre y pídales que lean en silencio el planteamiento completo. Pídales que comenten brevemente la situación en parejas y que lleguen a un acuerdo sobre lo que comprenden de la tarea. Pregunte si necesitan alguna aclaración sobre el planteamiento antes de comenzar. Pida a las parejas que se preparen para compartir con la clase sus estrategias para hallar la solución.

Anime a las parejas a dedicar tiempo a formular un plan antes de comenzar con un camino. Considere hacer alguna de las siguientes preguntas como ayuda para que formulen un plan:

• ¿Qué podría afectar cuánto se tardará en recorrer su camino?

• A partir de su conocimiento sobre los parques de diversiones, ¿qué podría ocupar la mayor parte del tiempo total?

• ¿Cuál es el camino más eficiente para ir de una atracción a otra?

• ¿Qué atracciones tienen caminos directos entre una y otra? ¿Cuáles no los tienen?

• ¿Importará el orden de las atracciones de su camino? ¿Por qué?

DUA: Participación

El contexto del parque de diversiones proporciona una situación divertida y conocida que permite que sus estudiantes apliquen las destrezas relacionadas con el teorema de Pitágoras. También pueden elegir a qué atracciones subirse y qué caminos tomar.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando hace suposiciones, identifica caminos, representa las distancias con triángulos rectángulos, interpreta sus resultados en contexto y reconoce las limitaciones de su modelo para planificar un camino óptimo a través de un parque de diversiones.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:

• ¿Qué modelos matemáticos pueden trazar para representar su camino entre dos atracciones?

• ¿Qué suposiciones pueden hacer como ayuda para resolver el problema?

• ¿Qué necesitan saber para resolver este problema?

Para obtener una idea precisa del tiempo total, puede que las parejas descubran rápidamente que necesitan saber el tiempo en la fila de cada atracción y cuánto es el tiempo en cada atracción antes de comenzar su camino.

Si las parejas preguntan sobre esta información, proporcióneles una Tarjeta de información de las atracciones del parque.

Atracción Tiempo de espera Tiempo en la atracción Carritos chocones

Si algunas parejas comienzan a trabajar en su camino inmediatamente sin considerar otros factores que podrían afectar el tiempo total, considere volver a hacer las preguntas sugeridas para la planificación. Si algunas parejas continúan trabajando durante más de 5 minutos sin preguntar por los tiempos de espera y los tiempos en las atracciones, proporcióneles la Tarjeta de información de las atracciones del parque y haga la siguiente pregunta:

• ¿Afectará o cambiará esta información el trabajo que hicieron hasta ahora? ¿Por qué?

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para observar su progreso. Si siempre corren por caminos verticales y horizontales para moverse de una atracción a otra, pregunte si pueden hallar un camino más rápido o más directo de una ubicación a la siguiente. Si intentan pasar a través de obstáculos físicos en el mapa, como partes de las atracciones, elementos decorativos, la fuente o los puestos de comida coloridos, pregunte si moverse de esa manera es posible en la vida real.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Además de reproducir el video, considere brindar más apoyo sobre el contexto basándose en la experiencia de sus estudiantes. Por ejemplo, muestre ejemplos de imágenes de cada atracción para guiar una conversación sobre cuál podría ocupar la mayor cantidad del tiempo total según los tiempos de espera y en la atracción. Comente y aclare las suposiciones necesarias para resolver el problema, como que los tiempos de espera sean constantes durante las 1.5 horas o decidir si se tiene en cuenta o no el tiempo que lleva subir y bajar de una atracción.

DUA: Acción y expresión

Dado que la escala del mapa está en pies y los tiempos en las atracciones en minutos y segundos, sus estudiantes pueden necesitar apoyo para usar correctamente la tasa dada. Considere darles acceso a una hoja de recursos con las conversiones necesarias.

• 1 milla = 5280 pies

• 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos

Puede haber estudiantes que también se beneficien de comenzar con la tasa dada de 5 millas por hora en pies por minuto o en pies por segundo.

• 440 pies por minuto

• Aproximadamente 7.3 pies por segundo

Imagina que te quedan 1 hora y 30 minutos hasta la hora de cierre para explorar las atracciones en esta sección del parque de diversiones.

Comenzando en la entrada, usa el mapa para determinar un camino que puedas seguir para subir a 4 atracciones y regresar a la entrada antes de la hora de cierre.

Pautas:

• No puedes repetir una atracción.

• Corres entre las atracciones a 5 millas por hora.

a. Traza tu camino en el mapa.

b. ¿Cuánto tardas en regresar a la entrada?

c. ¿Te sobra tiempo antes de que cierre el parque? De ser así, ¿cuánto?

Ejemplo:

Tobogán de agua

Tazas locas Carrusel

Carritos de carrera

Sillas voladoras Entrada

10 pies Carritos chocones

Montaña rusa

Diferenciación: Desafío

Para quienes terminen antes o quienes se beneficiarían de una mayor complejidad en la tarea original, considere usar cualquiera de las siguientes variaciones o extensiones:

Variaciones:

• Pida a sus estudiantes que incluyan una parada para comprar un refrigerio en alguno de los puestos de comida coloridos del mapa.

• Informe a sus estudiantes en mitad de la tarea que una de las atracciones se ha roto y que ya no está disponible como opción.

Extensiones:

• Pregunte a sus estudiantes si pueden hallar un segundo camino que tome menos tiempo.

• Pregunte a sus estudiantes si pueden hallar un camino que les permita subirse a 5 atracciones antes de la hora de cierre. Luego, pregunte cuánto tardarán en regresar a la entrada.

• Pregunte a sus estudiantes qué tan rápido podrían subirse a las 7 atracciones y regresar a la entrada.

Parte (b)

Sea c la distancia entre el par de ubicaciones en pies.

Entrada al punto A:

32 + 242 = c 2

9 + 576 = c 2

585 = c 2

585 = c

Punto B a los carritos de carrera: 62 + 32 = c 2 36 + 9 = c 2

= c 2

45 = c

Punto A al carrusel:

+ 32 = c 2

Carrusel al tobogán de agua:

Tobogán de agua al punto B:

+ 12 = c 2

+ 1 = c 2

= c 2

65 = c

Carritos de carrera a las sillas voladoras:

Sillas voladoras al punto C:

Punto C a la entrada:

+ 32 = c 2

+ 9 = c 2

= c 2

58 = c

El número total de unidades para el camino trazado es

√585 + √13 + √522 + √65 + √45 + √185 + √205 + √58 , o aproximadamente 100.95.

Cada unidad representa 10 pies, así que la longitud total del camino es 1009.5 pies porque 100.95 · 10 = 1009.5.

Se convierte la tasa de 5 millas por hora a pies por minuto.

5 · 1 60 · 5280 = 440

A 440 pies por minuto, el tiempo total para correr por el camino es aproximadamente 2.3 minutos porque 1009.5 ÷ 440 ≈ 2.3.

El tiempo total de espera y en las atracciones, en minutos, es 79 minutos porque 12 + 27.5 + 20 + 19.5 = 79.

El tiempo total que incluye el tiempo de espera, el tiempo en las atracciones y el tiempo para correr por el camino es aproximadamente 81.3 minutos porque 79 + 2.3 = 81.3.

Se tardan aproximadamente 81.3 minutos en subir al carrusel, al tobogán de agua, a los carritos de carrera y a las sillas voladoras y, luego, en regresar a la entrada.

Parte (c)

Teníamos un total de 1 hora y 30 minutos, o 90 minutos, para regresar a la entrada. Entonces, nos quedan alrededor de 8.7 minutos antes de que cierre el parque.

Cuando hayan terminado, invite a las parejas a compartir sus respuestas y a describir sus estrategias para hallar la solución. Luego, use las preguntas que siguen para animar a sus estudiantes a participar de una conversación de toda la clase:

• ¿Qué información necesitaron? ¿Cómo usaron esa información?

• ¿Qué suposiciones hicieron? ¿Cómo afectaron las suposiciones sus respuestas?

• ¿Qué cambios podrían hacer a las suposiciones? ¿Cómo podrían esos cambios afectar sus respuestas?

• ¿En qué se parecen su estrategia para hallar la solución y la de otra pareja? ¿En qué se diferencian?

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Representar una situación usando el teorema de Pitágoras y la distancia en una cuadrícula para resolver un problema

Use la siguiente pregunta para ayudar a sus estudiantes a reconocer y expresar dónde y cómo aplicaron las destrezas relacionadas con el teorema de Pitágoras y la distancia entre dos puntos durante la tarea. Anime a sus estudiantes a complementar las respuestas de sus pares.

¿Cómo usaron con su pareja de trabajo lo que saben sobre el teorema de Pitágoras y la distancia en una cuadrícula para determinar su camino?

Usamos el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos en nuestro camino que están ubicados en una recta diagonal. Conectamos los dos puntos con un segmento y trazamos un triángulo rectángulo con el segmento como hipotenusa. Luego, hallamos las longitudes de los catetos vertical y horizontal del triángulo y usamos esas longitudes en el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa. La longitud de la hipotenusa es la distancia entre los dos puntos.

Considere usar también las siguientes preguntas para hacer una reflexión final sobre la experiencia:

• ¿Enfrentaron desafíos con su pareja de trabajo? ¿En qué momentos enfrentaron esos desafíos?

• ¿Cómo superaron con su pareja estos desafíos?

• ¿Qué podrían hacer con su pareja de otra manera la próxima vez?

• ¿Qué fue lo más útil? ¿Por qué?

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

En el Boleto de salida, sus estudiantes reflexionan sobre la lección. Considere guiar la reflexión con una pregunta que no se haya planteado durante la reflexión final.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Student Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 22

1. ¿Qué suposiciones hiciste sobre la situación del parque de diversiones para resolver el problema de la lección?

Ejemplo: Supuse que siempre estaba corriendo a la misma velocidad. También supuse que los tiempos de espera en las atracciones eran constantes.

2. ¿Qué herramientas usaste para resolver el problema de la lección?

Usé el teorema de Pitágoras, el mapa, la cuadrícula, la información sobre los tiempos de espera, la información sobre los tiempos en las atracciones, una herramienta de borde recto y una calculadora.

3. El Sr. Adams va a la tienda a comprar leche y manzanas.

a. Traza un camino que lleve al Sr. Adams desde el punto de inicio hasta los dos productos y, luego, hasta las cajas.

Ejemplo:

b. Si el Sr. Adams camina a una tasa de 3 pies por segundo, ¿aproximadamente cuánto tiempo tardará en llegar a las cajas?

Ejemplo: El Sr. Adams tardará aproximadamente 104 segundos, o aproximadamente 1 minuto y 44 segundos, en llegar a las cajas.

c. ¿Qué suposiciones hiciste para resolver este problema?

Ejemplo: Supuse que la velocidad del Sr. Adams era constante y que tomó los productos mientras caminaba sin reducir la velocidad ni detenerse. También supuse que podía caminar a lo largo de los bordes de las estanterías y pasar por una esquina en un pasillo.

EUREKA MATH2

Leche

Inicio Cajas

Manzanas

5 pies

EUREKA MATH2

Nombre Fecha

Recuerda

En los problemas 4 a 7, escribe una expresión equivalente.

4.

8. Halla la longitud de lado desconocida. 9 15 a 12 unidades

9. ¿Qué movimientos rígidos asignan un segmento a otro segmento de la misma longitud? Elige todas las opciones que correspondan.

A. Traslación

B. Reflexión

C. Rotación

Teacher Edition: Grade 8, Module 2, Topic D, Lesson 22

Tiempo en la atracción

Tiempo de espera

Atracción

Carritos chocones 20 min 1 min 30 s

Carrusel 10 min 2 min

Tobogán de agua 25 min 2 min 30 s

Tiempo en la atracción

Tiempo de espera

Atracción

Carritos chocones 20 min 1 min 30 s

Carrusel 10 min 2 min

Tobogán de agua 25 min 2 min 30 s

Carritos de carrera 15 min 5 min Montaña rusa 30 min 1 min 52 s

Sillas voladoras 18 min 1 min 30 s

Tazas locas 8 min 2 min

Carritos de carrera 15 min 5 min Montaña rusa 30 min 1 min 52 s

Sillas voladoras 18 min 1 min 30 s Tazas locas 8 min 2 min

Tiempo en la atracción

Tiempo de espera

Atracción

Carritos chocones 20 min 1 min 30 s

Carrusel 10 min 2 min

Tobogán de agua 25 min 2 min 30 s

Tiempo en la atracción

Tiempo de espera

Atracción

Carritos chocones 20 min 1 min 30 s Carrusel 10 min 2 min

Tobogán de agua 25 min 2 min 30 s

Carritos de carrera 15 min 5 min

Montaña rusa 30 min 1 min 52 s

Sillas voladoras 18 min 1 min 30 s

Tazas locas 8 min 2 min

Carritos de carrera 15 min 5 min Montaña rusa 30 min 1 min 52 s

Sillas voladoras 18 min 1 min 30 s

Tazas locas 8 min 2 min

Edición para la enseñanza: 8.o grado, Módulo 2, Estándares

Estándares

Estándares de contenido del módulo

Entienden la congruencia y semejanza utilizando modelos físicos, transparencias o programas de geometría.

8.G.A.1 Verifican de manera experimental las propiedades de rotación, reflexión y traslación:

a. Las líneas corresponden a líneas, los segmentos de líneas a segmentos de líneas de la misma longitud.

b. Los ángulos corresponden a ángulos de la misma medida.

c. Las líneas paralelas corresponden a líneas paralelas.

8.G.A.2 Entienden que una figura bidimensional es congruente con otra si se puede obtener la segunda a partir de la primera por una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describen una secuencia que exhibe la congruencia entre ellas.

8.G.A.3 Describen el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones sobre figuras bidimensionales usando coordenadas.

8.G.A.5 Usan argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando una transversal corta líneas paralelas, y el criterio ángulo-ángulo de la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglan tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dan un argumento en términos de transversales que explique por qué ocurre esto.

Entienden y aplican el teorema de Pitágoras.

8.G.B.6 Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su opuesto.

8.G.B.7 Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes laterales desconocidas en triángulos rectos en problemas del mundo real y matemáticos en dos y tres dimensiones.

8.G.B.8 Aplican el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.

Estándares para la práctica de las matemáticas

MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.

MP4 Representan a través de las matemáticas.

MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

MP6 Ponen atención a la precisión.

MP7 Reconocen y utilizan estructuras.

MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

Edición para la enseñanza: 8.o grado, Módulo 2, Criterios de logro académico: Indicadores de competencias

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias

8.Mód2.CLA1 Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADOS

8.G.A.1 Verifican de manera experimental las propiedades de rotación, reflexión y traslación:

8.G.A.1.a Las líneas corresponden a líneas, los segmentos de líneas a segmentos de líneas de la misma longitud.

8.G.A.1.b Los ángulos corresponden a ángulos de la misma medida.

8.G.A.1.c Las líneas paralelas corresponden a líneas paralelas.

Parcialmente competente

Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental (las rectas se corresponden con rectas y los segmentos de recta con segmentos de recta de la misma longitud; los ángulos se corresponden con ángulos de la misma medida y las rectas paralelas con rectas paralelas) al dibujar la imagen aplicando un movimiento rígido básico.

Dibuja y rotula la imagen de la figura WXYZ a la que se le aplica una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P.

Competente

Verifican las propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones de manera experimental (las rectas se corresponden con rectas y los segmentos de recta con segmentos de recta de la misma longitud; los ángulos se corresponden con ángulos de la misma medida y las rectas paralelas con rectas paralelas) aplicando un movimiento rígido único o aplicando una secuencia de movimientos rígidos.

El trapecio P′Q′R′S′ es la imagen del trapecio PQRS al que se le aplica una reflexión sobre la recta ��.

Altamente competente

Selecciona las respuestas correctas de las listas desplegables.

La longitud del R′S′ es [menor que/mayor que/ igual a] la longitud del RS

La medida del ∠Q′ es [menor que/mayor que/igual a] la medida del ∠Q.

La ⟷ P′S′ es [paralela/perpendicular] a la ← → Q′R′ .

8.Mód2.CLA2 Reconocen que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de movimientos rígidos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.A.2 Entienden que una figura bidimensional es congruente con otra si se puede obtener la segunda a partir de la primera por una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describen una secuencia que exhibe la congruencia entre ellas.

Parcialmente competente Competente

Dibujan la imagen que se obtiene al aplicar una secuencia determinada de movimientos rígidos.

Dibuja y rotula la imagen de la figura WXYZ aplicando la siguiente secuencia de movimientos rígidos:

• Rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto P

• Reflexión sobre la recta ��

Reconocen que una figura bidimensional es congruente con otra si la segunda se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de movimientos rígidos.

¿Es la figura A congruente con la figura B? Explica.

Altamente competente

Explican por qué dos figuras no congruentes no se pueden asignar entre sí mediante una secuencia de movimientos rígidos.

Shawn dice que la figura QRST es la imagen de la figura DEFG a la que se le aplica una secuencia de movimientos rígidos. ¿Estás de acuerdo con Shawn? Explica.

8.Mód2.CLA3 Describen una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que muestra la congruencia entre dos figuras dadas.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.A.2 Entienden que una figura bidimensional es congruente con otra si se puede obtener la segunda a partir de la primera por una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones; dadas dos figuras congruentes, describen una secuencia que exhibe la congruencia entre ellas.

Parcialmente competente

Identifican la secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que asigna una figura a su imagen.

El △BCD y su imagen, el △B′C′D′, se representan gráficamente en el plano de coordenadas.

Competente

Describen la secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones que muestra la congruencia entre dos figuras dadas.

En el diagrama, el trapecio ABCD ≅ al trapecio JKLM.

¿Qué secuencias de movimientos rígidos asignan el △BCD al △B′C′D′? Selecciona todas las opciones que correspondan.

A. Una reflexión sobre el eje y seguida de una reflexión sobre el eje x

B. Una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una traslación de 2 unidades hacia la izquierda

C. Una rotación de 180° alrededor del origen

D. Una reflexión sobre el eje x seguida de una rotación de 90° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen

E. Una rotación de 270° en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del origen seguida de una traslación de 3 unidades hacia abajo

Describe una secuencia de movimientos rígidos que asigne el trapecio ABCD al trapecio JKLM

Altamente competente

8.Mód2.CLA4 Usan coordenadas para describir el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales en el plano.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.A.3 Describen el efecto de dilataciones, traslaciones, rotaciones y reflexiones sobre figuras bidimensionales usando coordenadas.

Parcialmente competente

Usan coordenadas para identificar el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales dadas en el plano.

La figura K′L′M′N′ es la imagen de la figura KLMN a la que se le aplica una reflexión sobre el eje y

Competente

Usan coordenadas para describir el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales dadas en el plano.

El △ ABC se representa gráficamente en el plano de coordenadas.

Altamente competente

Usan reglas de coordenadas para describir el efecto de las traslaciones, reflexiones y rotaciones en figuras bidimensionales en el plano.

En el △PQR, el punto P tiene las coordenadas (x, y). El △P′Q′R′ es la imagen del △PQR al que se le aplica una rotación de 180°. ¿Cuáles son las coordenadas de P′?

A. (x, y)

B. (−x, y)

C. (x, y)

D. (−x, y)

¿Cuáles son las coordenadas de M′?

A. (−4, −3)

B. (−3, −4)

C. (3, 4)

D. (4, 3)

Representa gráficamente y rotula la imagen del △ ABC al que se le aplica una traslación de 3 unidades hacia abajo y 4 unidades hacia la derecha.

8.Mód2.CLA5 Aplican, definen y explican datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.A.5 Usan argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando una transversal corta líneas paralelas, y el criterio ángulo-ángulo de la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglan tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dan un argumento en términos de transversales que explique por qué ocurre esto.

Parcialmente competente

Hallan medidas angulares desconocidas de manera numérica usando los datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo.

Se muestran las medidas del ∠ A y el ∠B para el △ ABC.

Competente

Hallan medidas angulares desconocidas de manera algebraica con ecuaciones de uno o dos pasos usando los datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo.

Se muestran las medidas del ∠T y el ∠U para el △TUV.

x + 3)°

Halla la medida del ∠C.

C = °

Halla el valor de x.

El valor de x es _____.

Altamente competente

Definen y explican datos sobre la suma de los ángulos y sobre los ángulos externos de un triángulo.

Ava dice que m∠1 + m∠2 = m∠4. 1 23 4

Parte A

¿Qué dos ecuaciones explican por qué el enunciado de Ava debe ser correcto?

A. m∠1 + m∠2 + m∠3 = 90°

B. m∠1 + m∠2 + m∠3 = 180°

C. m∠1 + m∠2 + m∠3 = 360°

D. m∠3 + m∠4 = 90°

E. m∠3 + m∠4 = 180°

F. m∠2 + m∠3 = 180°

G. m∠3 + m∠4 = 360°

Parte B

Explica por qué tus dos opciones de respuesta de la parte A son correctas.

8.Mód2.CLA6 Hallan medidas angulares desconocidas usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.A.5 Usan argumentos informales para establecer hechos sobre la suma de ángulos y el ángulo exterior de triángulos, sobre los ángulos creados cuando una transversal corta líneas paralelas, y el criterio ángulo-ángulo de la semejanza de triángulos. Por ejemplo, arreglan tres copias del mismo triángulo de manera que la suma de los tres ángulos parezca formar una línea, y dan un argumento en términos de transversales que explique por qué ocurre esto.

Parcialmente competente

Hallan medidas angulares desconocidas de manera numérica usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

En el diagrama, la transversal �� corta las rectas paralelas �� y ��

Competente

Hallan medidas angulares desconocidas de manera algebraica con ecuaciones de uno o dos pasos usando los datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

En el diagrama, la transversal �� corta las rectas paralelas �� y ��.

Altamente competente

Definen y explican datos sobre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas.

En el diagrama, la ⟷ CD y la ⟷ FG son paralelas y la transversal ⟷ JM las corta.

Relaciona cada ángulo del diagrama con su medida correcta en las opciones de respuesta dadas. Las opciones de respuesta se pueden usar más de una vez.

Ángulo 1 2 3 4 5 6 7

Medida

Opciones de respuesta 28° 62° 118° 242°

¿Cuál es el valor de x?

El valor de x es .

K J

Usa movimientos rígidos para explicar por qué el ∠CLK es congruente con el ∠GKL.

8.Mód2.CLA7 Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su recíproco usando la geometría.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.B.6 Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su opuesto.

Parcialmente competente

Aplican el recíproco del teorema de Pitágoras para resolver problemas.

¿Es el triángulo un triángulo rectángulo? Explica.

Competente

Explican una prueba del teorema de Pitágoras y su recíproco usando la geometría.

¿Cómo puedes reorganizar los triángulos del cuadrado exterior más grande para probar el teorema de Pitágoras? Explica.

Altamente competente

8.Mód2.CLA8 Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real, en dos y tres dimensiones.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.B.7 Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes laterales desconocidas en triángulos rectos en problemas del mundo real y matemáticos en dos y tres dimensiones.

Parcialmente competente Competente

Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas matemáticos, en dos y tres dimensiones.

Considera el △FGH

H 3 in 6 in x in G F

¿Cuál es el valor de x?

A. 3

B. 5

C. Aproximadamente 5.2

D. Aproximadamente 6.7

Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas del mundo real, en dos y tres dimensiones.

So-hee dibuja un modelo del campo de su equipo de beisbol favorito. En el modelo, la distancia desde la segunda base hasta la tercera base es 9 pulgadas, y la distancia desde la tercera base hasta la base de bateo es 9 pulgadas.

Altamente competente

Aplican el teorema de Pitágoras para determinar las longitudes de lado desconocidas de triángulos rectángulos en problemas matemáticos y del mundo real, en los que el teorema debe aplicarse más de una vez.

Se muestra un contenedor para transporte con forma de prisma rectangular recto.

Tercera base Primera base

9 in 9 in 9 in c 9 in Segunda base

Base de bateo

¿Cuál es la distancia c desde la base de bateo hasta la segunda base? Redondea al décimo de una pulgada más cercano.

La distancia aproximada c desde la base de bateo hasta la segunda base es pulgadas.

12 ft

3 ft d

6 ft

¿Cuál es la longitud de la diagonal d del contenedor para transporte?

pies

8.Mód2.CLA9 Aplican el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

8.G.B.8 Aplican el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas.

Parcialmente competente

Aplican el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos vértices de un triángulo rectángulo que se representa gráficamente en el plano de coordenadas.

Considera el triángulo.

¿Cuál es la distancia entre los puntos A y B?

Competente

Aplican el teorema de Pitágoras para hallar la distancia entre dos puntos que se marcan en el plano de coordenadas.

Halla la distancia entre el punto A y el punto B.

Altamente competente

Aplican el teorema de Pitágoras dadas las coordenadas de los vértices de triángulos en el plano de coordenadas.

Los vértices de un triángulo son (17, 6), (4, 15) y (15, 4). Verifica que el triángulo sea un triángulo rectángulo.

Edición para la enseñanza: 8.<superscript>o</superscript>

Vocabulario

Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 2 de 8.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase use el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.

Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.

Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.

Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.

Nuevo

ángulo externo de un triángulo

Un ángulo externo de un triángulo es un ángulo que forma un par lineal con un ángulo interno de ese triángulo. (Lección 15)

En el diagrama, el ∠1 es un ángulo externo del triángulo. (Lección 15)

ángulo interno de un polígono

Un ángulo interno de un polígono es un ángulo formado por dos lados adyacentes de ese polígono. Por ejemplo, ∠

y

5 son todos ángulos internos del pentágono que se muestra en el diagrama. (Lección 13)

ángulos alternos externos

Dadas las rectas �� y �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay dos pares de ángulos alternos externos: ∠1 y ∠8, y

ángulos alternos internos

2 y ∠7. (Lección 12)

Dadas las rectas �� and �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay dos pares de ángulos alternos internos: ∠3 y ∠6, y ∠4 y ∠5. (Lección 12)

ángulos colaterales internos

Dadas las rectas �� y �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay dos pares de ángulos colaterales internos: ∠3 y ∠5, y ∠4 y ∠6. (Lección 13)

ángulos correspondientes

Dadas las rectas �� y �� y la transversal �� que se muestran en el diagrama, hay cuatro pares de ángulos correspondientes: ∠1 y ∠5, ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7, y ∠4 y ∠8. (Lección 12)

ángulos internos no adyacentes de un triángulo

Los ángulos internos no adyacentes son los dos ángulos internos que no comparten vértice con un ángulo externo dado del triángulo.

En el diagrama, el ∠1 es un ángulo externo, y el ∠2 y el ∠3 son los ángulos internos no adyacentes a ese ángulo externo. (Lección 15)

congruente

Una figura es congruente con otra si existe una secuencia de movimientos rígidos que asigne una figura a la otra. (Lección 10)

movimiento rígido

Un movimiento rígido es el resultado de cualquier movimiento en el plano en el cual la distancia entre dos puntos cualesquiera se mantiene igual. (Lección 1)

prueba

Argumento lógico escrito que se usa para demostrar que un enunciado matemático es verdadero (Lección 17)

recíproco

El recíproco de un enunciado si... entonces es el enunciado que se obtiene al intercambiar la parte que empieza con “si” por la parte que empieza con “entonces”. (Lección 18)

reflexión

Una reflexión es un movimiento rígido sobre la recta ��, llamada eje de reflexión, que asigna una figura a su imagen. Una reflexión sobre la recta �� asigna el punto �� a un punto ��′ con las siguientes características: (Lección 3)

• �� y ��′ están en lados opuestos de ��.

• La distancia de �� a �� es igual a la distancia de ��′ a ��.

• Una recta que pasa por �� y ��′ es perpendicular a ��.

• Si �� está sobre el eje de reflexión, entonces �� y ��′ son el mismo punto.

rotación

Una rotación es un movimiento rígido según un número dado de grados alrededor de un punto, llamado centro de rotación, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, que asigna una figura a su imagen. Una rotación de d° en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) alrededor del punto O asigna cualquier punto �� que no sea O a un punto ��′ con las siguientes características: (Lección 5)

• La ubicación de ��′ se obtiene mediante un giro en el sentido de las manecillas del reloj (o en sentido contrario) a partir de �� en un círculo con centro O y con radio OP .

• La medida del ∠POP′ es d° .

• El centro de rotación O y su imagen O ′ son el mismo punto.

transversal

Dadas un par de rectas �� y �� en un plano, una tercera recta �� es una transversal si se interseca con la recta �� en un único punto y con la recta �� en un único punto diferente del anterior. (Lección 12)

traslación

Una traslación es un movimiento rígido a lo largo de un vector que asigna una figura a su imagen. Una traslación a lo largo del ⟶ AB asigna el punto �� a un punto ��′ con las siguientes características: (Lección 2)

• La distancia de �� a ��′ es igual a la longitud del ⟶ AB .

• El sentido del ⟶ PP es el mismo que el sentido del ⟶ AB .

• Si �� no está en la ⟷ AB , entonces la trayectoria de �� a ��′ es paralela al ⟶ AB .

• Si �� está en la ⟷ AB , entonces ��′ también está en la ⟷ AB .

vector

Un vector es un segmento de recta orientado. El sentido del ⟶ AB está determinado por el hecho de que comienza en el punto

A y se extiende hasta finalizar en el punto B. Este sentido se muestra mediante una punta de flecha ubicada en el punto B. (Lección 2)

Conocido

ángulo suplementario

ángulos alrededor de un punto

ángulos verticales

colineal

par lineal

rectas paralelas

teorema de Pitágoras

Verbos académicos

probar

Las matemáticas en el pasado

Reflexiones sobre los tejidos navajos

¿Cuándo fue que empezó a tejer el pueblo navajo?

¿Cómo se producen los tejidos navajos?

¿Qué figuras geométricas hay en los tejidos navajos?

Pregunte a sus estudiantes qué figuras geométricas ven en la naturaleza. Las respuestas pueden incluir pirámides (montañas), círculos u óvalos (lagos), conos (árboles de hoja perenne), esferas (piedritas) o simplemente líneas rectas (ríos). Cuando un o una artista quiere plasmar la geometría de la naturaleza, solo tiene que mirar a su alrededor en busca de inspiración.

El pueblo indígena de los Estados Unidos conocido como navajo tiene artistas de esa clase. El pueblo navajo, o Diné, ve belleza, armonía y orden en la geometría de la naturaleza, y sus artistas tejen esos diseños en ropa, mantas y alfombras. Las tejedoras navajo (en su mayoría son mujeres) necesitan tener buen ojo y buen sentido de las matemáticas para realizar los elaborados diseños que solo existen en sus mentes. No hay dibujos ni patrones escritos.

El pueblo navajo comenzó a tejer en el siglo XVIII. Lamentablemente, se han conservado muy pocos de sus primeros tejidos.

La imagen muestra una manta de jefe, doblada, que se tejió alrededor de 1840. Estas mantas se llaman así porque eran bastante costosas. ¡Solo un jefe podía comprar una!

Las mantas de jefe de la primera fase (de 1700 a la década de 1840), como la que se muestra en la imagen, se caracterizan por estar hechas con la lana de un tipo de ovejas llamadas churras. Las rayas de las mantas conservan el blanco natural de la lana o están teñidas de marrón, índigo o rojo.

Cuando se desdobla, la manta de jefe muestra mucha simetría. Pregunte a sus estudiantes cómo podrían doblar la manta de manera que los patrones idénticos queden ubicados uno arriba del otro. Por ejemplo, el borde superior se puede doblar de dos maneras diferentes. ¿Cómo podrían sus estudiantes describir esos dobleces en términos de movimientos rígidos?

¿Y si se dobla la manta de derecha a izquierda? Pregunte a sus estudiantes de cuántas maneras se puede doblar el borde derecho de modo tal que los patrones coincidan. ¿Existe una sola manera?

¡Sugiera que hay infinitas maneras!

Hoy en día, la actividad de producir tejidos sigue en pie y en auge en la nación navaja, la reserva indígena más grande de los Estados Unidos. La imagen muestra una alfombra en un telar del estilo Teec Nos Pos que teje la maestra tejedora Elsie Bia (nacida en 1951).

Los telares navajos son verticales. A medida que se teje la alfombra, la parte terminada se enrolla hacia abajo para mantener la fila superior a una altura que sea cómoda para la tejedora.

Los hilos de estambre verticales se llaman urdimbre y los hilos horizontales entrelazados se llaman trama.

En cada fila, se deben contar los hilos de la urdimbre para que los colores correctos de los hilos de la trama puedan aparecer al frente y quedar atrás.

El centro de la nación navaja es el Cañón de Chelly, que se ubica en el noreste de Arizona, cerca de la población de Chinle.

El Cañón de Chelly es sagrado para el pueblo navajo. Allí está la Roca araña (Spider Rock), una aguja de arenisca que se eleva a más de 700 pies desde el fondo del cañón. En la tradición navaja, esta zona es el lugar donde la diosa Abuela Araña vivía, tejía sus telas y enseñaba a tejer a su pueblo.

En la imagen, Elsie Bia sostiene la alfombra que tejió en el telar, con la aguja Roca araña al fondo.

Esta es la alfombra del estilo Teec Nos Pos terminada, de Elsie Bia. Es una magnífica pieza que sirve como modelo para analizar traslaciones, reflexiones y rotaciones. Ayude a la clase a seleccionar partes de la alfombra para estudiarlas. Luego, use movimientos rígidos para verificar que las figuras sean congruentes en esas áreas.

Esto es lo que dice Elsie Bia sobre su arte:

Tejer alfombras es una tradición navaja […] Se necesita mucho tiempo, no solo para tejer sino también para todos los conteos y cálculos matemáticos. Me encanta lo que hago, y siempre me desafío a mí misma con nuevos patrones y diseños.1

¡Observe que habla de “los conteos y cálculos matemáticos”!

Mientras aprecia la belleza, la armonía y el orden de la alfombra terminada, imagine a Elsie Bia trabajando concentrada en los cálculos matemáticos y en el conteo para hacer realidad su visión.

1 Traducido de Nizhoni Ranch Gallery, “Master Weaver, Elsie M. Bia”.

Materiales

Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas

se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.

1 bloc de papel de rotafolio

25 borradores para las pizarras blancas individuales

25 calculadoras científicas

1 computadora o dispositivo para la enseñanza

12 computadoras o dispositivos para estudiantes

25 herramientas de borde recto

42 hojas de papel en blanco

25 lápices

1 lápiz rojo

1 libro Enseñar

24 libros Aprender

25 transparencias Edición para la enseñanza: 8.o grado, Módulo 2, Materiales

1 marcador

25 marcadores de borrado en seco

48 notas adhesivas

25 pizarras blancas individuales

1 proyector

25 reglas de plástico

1 rollo de cinta adhesiva transparente

1 set de 24 transportadores de 6″

25 sets de 4 lápices de colores

48 tarjetas de índice

25 tijeras

Edición para la enseñanza: 8.o grado, Módulo 2, Fluidez

Fluidez

Las actividades de fluidez permiten que sus estudiantes desarrollen y practiquen la automaticidad con las destrezas fundamentales, de modo que puedan dedicar su capacidad cognitiva a resolver problemas más desafiantes. Las destrezas se incorporan a las actividades de fluidez solo después de haber sido presentadas conceptualmente dentro del módulo.

Cada lección de Una historia de razones comienza con un segmento de Fluidez, diseñado para que sus estudiantes se preparen para la lección del día. Este segmento diario proporciona problemas de práctica secuenciados que sus estudiantes pueden resolver de manera independiente, por lo general, durante los primeros minutos de clase. Sus estudiantes pueden usar sus pizarras blancas individuales para completar la actividad, o bien puede darles una versión impresa que se encuentra disponible en línea. Cada rutina de fluidez está diseñada para que pueda completarse en entre 3 y 5 minutos y no forma parte de los 45 minutos destinados a la lección. Adminístrela como una actividad para iniciar la clase o conviértala en una actividad guiada de Intercambio con la pizarra blanca o de Respuesta a coro.

Actividad para iniciar la clase

En esta rutina, sus estudiantes cuentan con determinado tiempo para trabajar de manera independiente y determinar las respuestas a un grupo de problemas.

1. Muestre todos los problemas a la vez.

2. Anime a sus estudiantes a trabajar de manera independiente y a su propio ritmo.

3. Lea o muestre las respuestas.

Intercambio con la pizarra blanca

En esta rutina, sus estudiantes adquieren fluidez mediante la práctica repetida y la retroalimentación inmediata. Un Intercambio con la pizarra blanca maximiza la participación, ya que cada estudiante debe registrar soluciones o estrategias para una secuencia de problemas. Gracias a estos registros escritos, usted puede llevar a cabo diferenciaciones: según las respuestas que observe, puede ajustar la secuencia de problemas al instante de acuerdo a las necesidades de la clase. Para esta rutina, cada estudiante necesita una pizarra blanca individual y un marcador para pizarra con borrador.

1. Muestre un problema de la secuencia.

2. Dé tiempo a sus estudiantes para que trabajen. Espere hasta que casi toda la clase haya terminado.

3. Dé una señal para que sus estudiantes muestren las pizarras blancas. Ofrezca retroalimentación inmediata y específica a cada estudiante. Si necesitan corregir su trabajo, regrese brevemente para validarlo una vez que sus estudiantes lo hayan corregido.

4. Continúe con el siguiente problema de la secuencia y repita el proceso.

Respuesta a coro

En esta rutina, sus estudiantes participan de forma activa para familiarizarse con las destrezas aprendidas previamente, lo que refuerza el conocimiento fundamental necesario para ampliar y aplicar los conceptos de matemáticas. La respuesta a coro permite que toda la clase participe, a la vez que disminuye el riesgo para quienes puedan dar una respuesta incorrecta.

1. Establezca una señal para que sus estudiantes respondan al unísono.

2. Muestre un problema. Pida a sus estudiantes que levanten la mano cuando sepan la respuesta.

3. Cuando casi todas las manos estén levantadas, dé la señal para que respondan.

4. Muestre la respuesta y continúe con el siguiente problema.

Conteo salteado

En esta rutina, sus estudiantes participan de forma activa en la memorización de secuencias de conteo, lo que refuerza el conocimiento fundamental necesario para ampliar y aplicar los conceptos de matemáticas.

1. Establezca una señal para contar hacia arriba y contar hacia abajo, y otra señal para dejar de contar.

2. Diga a sus estudiantes qué unidad van a usar para contar. Establezca el número inicial y final para el conteo.

3. Dé comienzo al conteo salteado brindando las señales. Mientras sus estudiantes cuentan, tenga cuidado de no hacer gestos con la boca que indiquen la respuesta.

Prácticas veloces

Las Prácticas veloces son actividades que desarrollan la fluidez con las matemáticas mediante una variedad de operaciones y destrezas. Uno de los objetivos principales de cada Práctica veloz es que sus estudiantes puedan apreciar su propio progreso en un lapso muy breve de tiempo. La rutina Práctica veloz es una experiencia divertida, de ritmo rápido y llena de adrenalina que genera energía y entusiasmo de forma intencional.

Esta estimulante rutina motiva a sus estudiantes para que hagan su mejor esfuerzo y les da tiempo para celebrar sus logros.

Cada Práctica veloz incluye dos partes, A y B, que contienen problemas muy relacionados. Sus estudiantes completan la Práctica veloz A, seguida de dos rutinas de conteo salteado (una de ritmo rápido y otra de ritmo lento) que incluyen estiramientos u otros movimientos físicos.

Luego, sus estudiantes completan la Práctica veloz B con el objetivo de mejorar la puntuación que obtuvieron en la Práctica veloz A. Se calcula la puntuación de cada parte, pero no se asigna una calificación.

Las Prácticas veloces se pueden administrar en cualquier momento después de que el contenido de la Práctica veloz se haya desarrollado conceptualmente y se haya practicado. La misma Práctica veloz se puede repetir más de una vez a lo largo del año o de los niveles de grado. Con la práctica, la rutina se completa en aproximadamente 10 minutos.

Instrucciones:

1. Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y los ejemplos de problema. Presente la tarea animando a sus estudiantes a completar tantos problemas como puedan y a que hagan su mejor esfuerzo.

2. Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz A, pero no espere que sus estudiantes la terminen en ese tiempo. Cuando se acabe el tiempo, pídales que hagan una línea debajo del último problema que hayan completado.

3. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Pida a sus estudiantes que digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta, o que encierren en un círculo su respuesta si es incorrecta.

4. Pida a sus estudiantes que cuenten las respuestas correctas y que registren ese número en la parte superior de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

5. Celebre el esfuerzo de sus estudiantes y el éxito logrado en la Práctica veloz A.

6. Para generar mayor éxito con la Práctica veloz B, dé tiempo adicional para que sus estudiantes completen más problemas de la Práctica veloz A o haga preguntas para comentar y analizar los patrones de la Práctica veloz A.

7. Guíe a sus estudiantes para que completen las rutinas de conteo salteado de ritmo rápido y lento. Incluya un estiramiento u otro movimiento físico durante el conteo.

8. Pida a sus estudiantes que tengan en mente el objetivo personal que establecieron en la Práctica veloz A.

9. Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B.

10. Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz B. Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que hagan una línea debajo del último problema que hayan completado.

11. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Pida a sus estudiantes que digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta, o que encierren en un círculo su respuesta si es incorrecta.

12. Pida a sus estudiantes que cuenten las respuestas correctas y que registren ese número en la parte superior de la hoja.

13. Pida a sus estudiantes que hallen la diferencia entre el número de respuestas correctas de la Práctica veloz A y de la Práctica veloz B para calcular cuánto mejoraron. Dígales que registren el número en la parte superior de la hoja.

14. Celebre el progreso que hayan logrado de la Práctica veloz A a la Práctica veloz B.

Ejemplo de diálogo

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema. Presente la tarea:

• Quizás no terminen, y eso está bien. Completen tantos problemas como puedan; hagan su mejor esfuerzo.

• En sus marcas, prepárense, ¡a pensar!

Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz A.

• ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

• Voy a leer las respuestas rápidamente. A medida que las lea, digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta. Si se equivocaron, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.

• Cuenten el número de respuestas correctas que obtuvieron y registren ese número en la parte superior de la hoja. Ese es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

Dé 2 minutos para que sus estudiantes completen más problemas o haga preguntas para que comenten y analicen los patrones en la Práctica veloz A.

Guíe a sus estudiantes para que completen las rutinas de conteo salteado de ritmo rápido y lento. Incluya un estiramiento u otro movimiento físico durante el conteo.

• Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B.

• En sus marcas, prepárense, ¡a mejorar!

Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz B.

• ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

• Voy a leer las respuestas rápidamente. A medida que las lea, digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta. Si se equivocaron, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.

• Cuenten el número de respuestas correctas que obtuvieron y registren ese número en la parte superior de la hoja.

• Calculen cuánto mejoraron y regístrenlo en la parte superior de la hoja.

Celebre el progreso de sus estudiantes.

En esta tabla encontrará una guía de implementación para las Prácticas veloces que se recomiendan en este módulo.

Práctica veloz Pautas de administración Preguntas para conversar Rutinas de conteo salteado

Relaciones entre ángulos

Aplicar las propiedades de los exponentes a los cocientes

La clase usa el diagrama, las relaciones entre ángulos y la información dada para hallar un valor desconocido.

Administrar antes de la lección 14 del módulo 2 o en lugar de la actividad de Fluidez de la lección 14 del módulo 2.

La clase aplica las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir una expresión equivalente con un exponente positivo.

Administrar después de la lección 1 del módulo 2.

Ángulos complementarios

La clase halla la medida angular que es complementaria a una medida angular dada.

Administrar después de la lección 1 del módulo 2.

¿Qué relaciones entre ángulos se muestran en cada diagrama?

¿Cómo les ayuda la relación entre ángulos a resolver los problemas 1 a 8?

Ritmo rápido: Contar de cuatro en cuatro desde el 0 hasta el 64.

Ritmo lento: Contar de noventa en noventa desde el 90 hasta el 900.

¿Qué observan acerca de las soluciones a los problemas 4 y 6?

¿Cómo se relacionan los exponentes de los problemas 4 y 6?

¿Cómo se relacionan el problema 12 y el problema 13?

¿Qué significa que los ángulos sean complementarios?

¿Cómo les puede ayudar el problema

12 a resolver los problemas 13 a 16?

Ritmo rápido: Contar de seis en seis desde el 0 hasta el 60.

Ritmo lento: Contar de doce en doce desde el 0 hasta el 72.

Resolver ecuaciones de un paso

La clase resuelve ecuaciones de un paso.

Administrar antes de la lección

16 del módulo 2 o en lugar de la actividad de Fluidez de la lección 16 del módulo 2.

Raíces cuadradas La clase evalúa raíces cuadradas.

Administrar antes de la lección

17 del módulo 2 o en lugar de la actividad de Fluidez de la lección 17 del módulo 2.

¿Qué operación se usa para resolver los problemas 1, 3, 5 y 8?

¿Qué operación se usa para resolver los problemas 2, 4, 6 y 7?

¿Son los sumandos siempre positivos?

¿Cómo les ayudan los problemas 1 y 3 a resolver el problema 11?

¿Cómo les ayuda el problema 3 a resolver los problemas 17 y 27?

¿Qué observan acerca de la ubicación de los decimales en el problema 19 y su respuesta?

Ritmo rápido: Contar de un medio en un medio desde −4 medios hasta 4 medios.

Ritmo lento: Contar de un medio en un medio desde −2 hasta 1 usando números mixtos.

Ritmo rápido: Contar de un quinto en un quinto desde 0 quintos hasta 15 quintos.

Ritmo lento: Contar de un quinto en un quinto desde el 0 hasta el 3 usando números mixtos.

Ritmo rápido: Contar de nueve en nueve desde el 0 hasta el 90.

Ritmo lento: Contar de ocho en ocho desde −80 hasta 0.

Relaciones entre ángulos

M2 ▸ Práctica veloz ▸ Relaciones entre ángulos

Número de respuestas correctas:

Usa el diagrama y la información dada para hallar el valor desconocido. Es posible que los diagramas no estén dibujados a escala.

Relaciones entre ángulos

EUREKA MATH 2

Número de respuestas correctas: Progreso:

Relaciones entre ángulos

Práctica veloz

BUsa el diagrama y la información dada para hallar el valor desconocido. Es posible que los diagramas no estén dibujados a escala.

EUREKA MATH 2

Número de respuestas correctas: A Aplicar las propiedades de los exponentes a los cocientes

▸ Aplicar las propiedades de los exponentes a los cocientes

▸ Práctica veloz

8 ▸ M2

Aplica las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir una expresión equivalente con un exponente positivo. Supón que x y y son diferentes de cero.

EUREKA MATH 2

Aplicar las propiedades de los exponentes a los cocientes

M2 ▸ Práctica veloz ▸ Aplicar las propiedades de los exponentes a los cocientes

8

Número de respuestas correctas: Progreso:

BAplica las propiedades y definiciones de los exponentes para escribir una expresión equivalente con un exponente positivo. Supón que x y y son diferentes de cero.

Ángulos complementarios

Ángulos complementarios

Número de respuestas correctas:

Escribe la medida de un ángulo que sea complementario a un ángulo con la medida dada.

Ángulos complementarios

Ángulos complementarios

Número de respuestas correctas: Progreso:

BEscribe la medida de un ángulo que sea complementario a un ángulo con la medida dada.

Resolver ecuaciones de un paso

Número de respuestas correctas:

Resolver ecuaciones de un paso

Número de respuestas correctas: Progreso:

Edición para la enseñanza: 8.o grado, Módulo 2, Ejemplos de soluciones

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Edición para estudiantes: 8.o grado, Módulo 2, Práctica mixta 1

Práctica mixta 1

Nombre Fecha

1. Henry creó una expresión equivalente para 1 3 − 2 8 m + 5 6 − 1 1 8 m usando los siguientes pasos. Ava piensa que Henry cometió un error.

Paso 3 = (2 6 + 5 6 ) − (2 8 m − 1 1 8 m)

Paso 4 = 1 1 6 − (2 8 − 1 1 8 ) m

Paso 5 = 1 1 6 − (− 7 8 ) m

Paso 6 = 1 1 6 + 7 8 m

a. ¿En qué paso cometió un error Henry, si es que lo cometió? Explica.

Henry cometió un error en el paso 2. Al agrupar términos semejantes, Henry colocó el signo negativo de − 2 8 m delante de los paréntesis. El signo negativo de − 2 8 m debe estar dentro de los paréntesis, y debe haber un signo más entre la primera expresión que está entre paréntesis y la segunda expresión que está entre paréntesis.

b. Si Henry cometió un error, corrige el error. Luego, halla una expresión equivalente.

1 1 6 − 1 3 8 m

En los problemas 2 a 5, resuelve y representa gráficamente la solución de la desigualdad.

6. Considera el diagrama dado, en el que la ⟷ DB y la ⟷ CF se encuentran en el punto A. El punto A también es el extremo de la ⟶ AE

F E 120° 40° D C (x + 5)°

a. Describe una relación entre ángulos que te ayude a hallar el valor de x

El ∠CAB y el ∠DAF son ángulos verticales. Dado que el ∠CAB mide 120° el ∠DAF también mide 120°

b. Escribe una ecuación para hallar el valor de x Luego, determina la medida del ∠EAD

(x + 5) + 40 = 120

El valor de x es 75. La medida del ∠EAD es 80°

7. ¿Qué expresión es equivalente a 56 54 ?

A. 2524

B. 1010

C. 524

D. 510

8. Considera la ecuación 8 15 8 x = 8 30. ¿Qué ecuación se puede usar para determinar el valor de x ?

A. 15 + x = 30

B. 15 − x = 30

C. 15 x = 30

D. 15 ÷ x = 30

© Great

9. Mientras Eve hace los cálculos para su tarea de ciencias, la calculadora muestra lo siguiente:

4.1633363e -17

x! () %AC

Escribe este número en notación científica para ayudar a Eve a interpretar lo que ve en su calculadora.

4.1633363 × 10−17

10. Los expertos y las expertas en ciencias creen que Júpiter está a unos 391 millones de millas de la Tierra y que Marte está a unos 49 millones de millas de la Tierra.

a. Aproxima la distancia de Júpiter a la Tierra como un solo dígito multiplicado por una potencia de 10.

La distancia de Júpiter a la Tierra es aproximadamente 4 × 108 millas.

b. Aproxima la distancia de Marte a la Tierra como un solo dígito multiplicado por una potencia de 10.

La distancia de Marte a la Tierra es aproximadamente 5 × 107 millas.

c. ¿Aproximadamente cuántas veces la distancia de Júpiter a la Tierra es la distancia de Marte a la Tierra?

La distancia de Júpiter a la Tierra es aproximadamente 8 veces la distancia de Marte a la Tierra.

11. El volumen total de agua dulce de la Tierra es aproximadamente 3.5 × 107 km3. El volumen total de toda el agua de la Tierra es aproximadamente 1.4 × 109 km3. Del volumen total aproximado de agua de la Tierra, ¿cuánto no es agua dulce? Escribe tu respuesta en notación científica. El volumen total aproximado de agua de la Tierra que no es agua dulce es 1.365 × 109 km3

EUREKA MATH2

1. Se muestra el rectángulo 2. El rectángulo 2 es un dibujo a escala del rectángulo 1, que no se muestra. El área del rectángulo 1 es 81 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala se usa para relacionar las longitudes de los lados del rectángulo 1 y las longitudes de los lados del rectángulo 2?

5. Lily invierte $3000 en un plan de ahorros. El plan paga 1.25 % de interés simple al final de cada año. Lily no hace depósitos ni extracciones del plan de ahorros.

a. ¿Cuál es el saldo del plan de ahorros de Lily al final de 3 años?

Al final de 3 años, el saldo del plan de ahorros de Lily es $3112.50

b. ¿Al final de cuántos años el plan de ahorros de Lily tiene un saldo de al menos $3200?

El plan de ahorros de Lily tiene un saldo de al menos $3200 al final de 6 años.

Rectángulo 2

2. Resuelve x 2 = 196 para hallar el valor de x 14 y −14

3. Halla la longitud del lado de un cubo que tiene un volumen de 343 in3 7 pulgadas

4. Usando la información de la tabla, escribe una ecuación para mostrar cómo se relacionan el costo total y el número de envases de fresas. Sea t el costo total en dólares. Sea f el número de envases de fresas.

Número de envases de fresas, f Costo total, t (dólares) 6 16.50 8 22.00

6. Eve compra 3 camisetas en una tienda. Recibe un descuento del 5 % y paga un 8 % de impuesto sobre las ventas. Si cada camiseta cuesta $10, ¿cuál es el costo total de las 3 camisetas después de aplicar el descuento y el impuesto sobre las ventas?

Las 3 camisetas cuestan un total de $30.78 después de aplicar el descuento y el impuesto sobre las ventas.

7. Indica si la forma decimal del número es finita o periódica.

Número Finita Periódica

3 8 X 4 15 X 3 20 X 11 32 X 7 49 X 47 80 X

8. Considera los siguientes números: 2.9, √ 4 , 7 3 , π √ 7 , 2 1 2

a. Usa la aproximación para ubicar cada número en la recta numérica. 2 3

b. Clasifica cada número como racional o irracional. Los números 2.9, √ 4 , 7 3 y 2 1 2 son racionales, y los números π y √ 7 son irracionales.

Edición para la enseñanza: 8.o grado, Módulo 2, Créditos

Créditos

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Common Core State Standards for Mathematics © Copyright 2010 National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. All rights reserved.

For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/ media-credits.

Cover, Al Held (1928–2005), Pan North IV, 1985, acrylic on canvas, 72 x 84″, private collection. © 2020 Al Held Foundation, Inc./ Licensed by Artists Rights Society (ARS), New York; page 205, “Shepard tables illusion” by Roger Shepard, courtesy Wikimedia Commons, is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International (CC BY-SA 4.0) license, https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/; pages 210, 211, 428, National Museum of the American Indian, Smithsonian Institution (11/2820). Photo by NMAI Photo Services.; page 212, RinArte/Shutterstock.com; pages 401, 404 Shpadaruk Aleksei/Shutterstock.com; page 429, (photos and text), Courtesy navajorug.com - Nizhoni Ranch Gallery; All other images are the property of Great Minds.

Edición para la enseñanza: 8.o grado, Módulo 2, Agradecimientos

Agradecimientos

Adriana Akers, Amanda Aleksiak, Tiah Alphonso, Lisa Babcock, Christopher Barbee, Reshma P. Bell, Chris Black, Erik Brandon, Beth Brown, Amanda H. Carter, Leah Childers, David Choukalas, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Mary Drayer, Karen Eckberg, Dane Ehlert, Samantha Falkner, Scott Farrar, Kelli Ferko, Krysta Gibbs, Winnie Gilbert, Danielle Goedel, Julie Grove, Marvin E. Harrell, Stefanie Hassan, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, Kathy Kehrli, Raena King, Emily Koesters, Liz Krisher, Alonso Llerena, Gabrielle Mathiesen, Maureen McNamara Jones, Pia Mohsen, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Ben Orlin, April Picard, John Reynolds, Bonnie Sanders, Aly Schooley, Erika Silva, Hester Sofranko, Bridget Soumeillan, Ashley Spencer, Danielle Stantoznik, Tara Stewart, James Tanton, Cathy Terwilliger, Cody Waters, Valerie Weage, Allison Witcraft, Caroline Yang

Ana Alvarez, Lynne Askin-Roush, Stephanie Bandrowsky, Mariel Bard, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Rebecca Blaho, Charles Blake, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Cindy Carlone, Gina Castillo, Ming Chan,

Tatyana Chapin, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Brandon Dawley, Cherry dela Victoria, Timothy Delaney, Delsena Draper, Erin DuRant, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Sagal Hassan, Kristen Hayes, Tim Heppner, Marcela Hernandez, Sary Hernandez, Abbi Hoerst, Elizabeth Jacobsen, Ashley Kelley, Sonia Khaleel, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Jenny Loomis, Antonia López, Stephanie Maldonado, Christina Martire, Siena Mazero, Thomas McNeely, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Sara Miller, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Tara O’Hare, Max Oosterbaan, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Toy Parrish, Katie Prince, Neha Priya, Jeff Robinson, Nate Robinson, Gilbert Rodriguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Aaron Shields, Madhu Singh, Leigh Sterten, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Tracy Vigliotti, Bruce Vogel, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Samantha Wofford, Howard Yaffe, Dani Zamora

Exponencialmente mejor

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¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El estadounidense Al Held fue un pintor expresionista abstracto conocido por sus pinturas geométricas de “contornos duros”. Sus paletas de colores vivos y las formas llamativas que trazaba crean un espacio tridimensional que parece tener una profundidad infinita. Held, quien a veces se inspiraba en la arquitectura, solía jugar con la percepción visual de las personas. Si bien la mayor parte de sus obras son pinturas, también trabajó con mosaicos y vitrales.

En la portada

Pan North IV, 1985

Al Held, American, 1928–2005

Acrylic on canvas

Private collection

Al Held (1928–2005), Pan North IV, 1985, acrylic on canvas, 72 x 84 in, private collection. © 2020 Al Held Foundation, Inc./Licensed by Artists Rights Society (ARS), New York

Módulo 1

Notación científica, exponentes y números irracionales

Módulo 2

Movimientos rígidos y figuras congruentes

Módulo 3

Dilataciones y figuras semejantes

Módulo 4

Ecuaciones lineales de una y dos variables

Módulo 5

Sistemas de ecuaciones lineales

Módulo 6

Funciones y estadísticas bivariadas