EM2_Spanish_G5_M1_TEACH_05.23

Una historia de unidades®

Las fracciones son números ENSEÑAR ▸ Módulo 1 ▸ Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?

En la portada

Thirteen Rectangles, 1930

Wassily Kandinsky, Russian, 1866–1944

Oil on cardboard

Musée des Beaux-Arts, Nantes, France

Wassily Kandinsky (1866–1944), Thirteen Rectangles, 1930. Oil on cardboard, 70 x 60 cm. Musée des Beaux-Arts, Nantes, France. © 2020 Artists Rights Society (ARS), New York. Image credit: © RMN-Grand Palais/ Art Resource, NY

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USA

ISBN 978-1-63898-684-3

Las fracciones son números ▸ 5 ENSEÑAR

Módulo

1 Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

2 Suma y resta con fracciones

3 Multiplicación y división con fracciones

4 Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales

5 Suma y multiplicación con área y volumen

6 Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas

Antes de este módulo

Módulo 1 de 4.o grado

La clase lee, escribe, compara y redondea números enteros de varios dígitos hasta los millones en forma unitaria, escrita, desarrollada y estándar. Describen la relación entre un dígito en una posición y el dígito en la siguiente posición mayor usando la comparación multiplicativa 10 veces una cantidad.

Módulos 2 y 3 de 4.o grado

Contenido general

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

Tema A

Comprensión del valor posicional en números enteros

números enteros de hasta cuatro dígitos por números de un dígito y divide números enteros de hasta cuatro dígitos entre números de un dígito (y expresa cocientes con residuos de números enteros), y multiplica 2 números de dos dígitos. Usan métodos basados en la tabla de valor posicional, en modelos de área, en las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación y en la propiedad distributiva.

La clase multiplica y divide números enteros de hasta cuatro dígitos entre números de un dígito (incluida la expresión de cocientes con residuos de números enteros) y multiplica 2 números de dos dígitos. Usan métodos basados en la tabla de valor posicional, en modelos de área, en las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación y en la propiedad distributiva.

La clase usa enunciados de comparación multiplicativa para explicar que un dígito en una posición representa 10 veces lo que representa en la posición a su derecha. Observan cómo se desplazan los dígitos de un número cuando se multiplican por o dividen entre una potencia de 10 y expresan una potencia de 10 en forma exponencial. Luego, hallan productos y cocientes usando potencias de 10 y convierten medidas del sistema métrico de unidades más grandes a unidades más pequeñas.

Unidades Decenas Centenas Millares

Tema B Multiplicación de números enteros

La clase adquiere fluidez con la multiplicación de números de varios dígitos usando el algoritmo convencional. Usan la comprensión del valor posicional para visualizar la descomposición de factores mientras multiplican un único dígito a la vez por otro único dígito en el algoritmo convencional.

Tema C División de números enteros

La clase usa métodos basados en el valor posicional para hallar cocientes de números enteros con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de dos dígitos. Estiman cocientes y, luego, usan diagramas de cinta, modelos de

y la forma vertical para registrar cocientes y residuos.

Tema D

Problemas de varios pasos con números enteros

La clase se mueve entre representaciones escritas, pictóricas y numéricas de enunciados matemáticos. Usan diagramas de cinta para determinar cuándo se necesitan los paréntesis en expresiones y evalúan expresiones que contienen símbolos de agrupación.

3 veces la suma de 15 y 25 15 + 25 15 + 25 15 + 25 ? 3 × (15 + 25)

(26 − 8) ÷ 2

En el parque hay 26 personas. 8 personas se van a casa. El resto de las personas forman 2 grupos iguales para participar de un juego. ¿Cuántas personas hay en cada grupo?

(26 − 8) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 Hay 9 personas en cada grupo.

Después de este módulo

Módulo 4 de 5.o grado

La clase usa el conocimiento sobre el valor posicional y el lenguaje veces una cantidad para aprender sobre números decimales. Ven cómo las estrategias que usan para las operaciones con números enteros también se pueden usar para las operaciones con números decimales. Convierten medidas del sistema métrico de unidades más pequeñas a unidades más grandes.

Módulos 2 y 4 de 6.o grado

En el módulo 2, la clase aprende a dividir números enteros con cualquier número de dígitos usando el algoritmo convencional. En el módulo 4, utilizan el conocimiento de 5.o grado y escriben y evalúan expresiones numéricas con términos que tienen bases y exponentes de números enteros.

Relacionar las unidades de valor posicional adyacentes utilizando la comprensión del valor posicional

Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando la propiedad distributiva

Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando el algoritmo convencional

números de tres y cuatro dígitos por números de tres dígitos usando el algoritmo convencional

Multiplicar por y dividir entre 10

100 y 1,000 e identificar patrones en los productos y cocientes

Multiplicar dos números de varios dígitos usando el algoritmo convencional

Usar exponentes para multiplicar por y dividir entre potencias de 10

Estimar productos y cocientes usando potencias de 10 y sus múltiplos

Convertir medidas y describir relaciones entre unidades métricas

Resolver problemas verbales de varios pasos usando la conversión de medidas del sistema

Dividir números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10

Dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de dos dígitos Lección 16

Dividir números de cuatro dígitos entre números de dos dígitos

Escribir, interpretar y comparar expresiones numéricas

Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas determinadas

Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división

Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con las cuatro operaciones

¿Por qué?

¿Por qué la multiplicación y la división de números enteros se enseñan primero?

Tras un análisis exhaustivo del aprendizaje de cada estudiante, la contribución de maestras y maestros y la investigación acerca de cómo la clase aprende y cómo avanzan los conceptos matemáticos, decidimos que tiene más sentido enseñar primero los conceptos de valor posicional y las operaciones con números enteros. ¿Por qué?

1. El principal énfasis de los estándares de 5.o grado está en la comprensión del sistema de valor posicional, la realización de operaciones con números enteros de varios dígitos y la aplicación y la extensión del conocimiento de las operaciones con números enteros a las fracciones y los números decimales. Comenzar el año enfocándose en el valor posicional y en las operaciones con números enteros prepara a sus estudiantes para el éxito para cuando trabajen con operaciones con fracciones en los módulos 2 y 3 y, luego, con números decimales en el módulo 4.

2. Comenzar el año aprendiendo cómo multiplicar números de varios dígitos brinda a sus estudiantes la oportunidad de desarrollar fluidez con el uso del algoritmo convencional a lo largo del año, como lo exigen los estándares.

3. Multiplicar y dividir números de varios dígitos da lugar al desarrollo de destrezas de estimación y a la presentación de las potencias de 10 de forma significativa. Las potencias de 10 no son solo los números de una tabla de valor posicional, sino que son herramientas importantes para realizar estimaciones de productos y cocientes y para comprobar si las respuestas son razonables.

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

¿Cuándo se enseñan los números decimales? ¿Por qué?

En el módulo 4 de 5.o grado se aborda el trabajo con decimales y va en paralelo con el contenido del módulo 1. La clase comienza relacionando unidades de valor posicional adyacentes y usa el lenguaje de la comparación, como 1 décimo es 10 veces 1 centésimo, como lo hicieron con los números enteros. Enseñar los números decimales en el módulo 4, luego de estudiar en profundidad los números enteros en el módulo 1 y, luego, las fracciones en los módulos 2 y 3, tiene sentido matemáticamente. Esto también tiene sentido pedagógicamente porque la clase puede usar 1 10 , 1 100 y 1 1,000 para describir las relaciones entre los números en la tabla de valor posicional y para realizar operaciones con números decimales.

La clase solo convierte

unidades métricas más grandes a unidades métricas más pequeñas en este módulo. ¿Por qué?

Módulo 1

=   cm 32 m = 32 × 1 m

Décimos Unidades Decenas CentésimosMilésimos

3759 4

Criterios de logro académico: Contenido general

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo cubierto en cada módulo.

Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.

Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:

• observaciones informales en el salón de clases;

• los datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;

• Boletos de salida;

• Pruebas cortas de los temas y

• Evaluaciones de los módulos.

Este módulo contiene los 12 CLA que se indican.

5.Mód1.CLA1

Escriben expresiones numéricas de números enteros con paréntesis.

5.Mód1.CLA2

Evalúan expresiones numéricas de números enteros con paréntesis.

5.Mód1.CLA3

Reescriben expresiones numéricas de números enteros como descripciones verbales matemáticas o contextuales.

5.Mód1.CLA4

Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica de números enteros.

5.Mód1.CLA5

Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos.

5.NBT

5.Mód1.CLA6

Explican la relación entre los dígitos en los números enteros de varios dígitos.

5.NBT.A.1

5.Mód1.CLA9

Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.

5.NBT.B.5

5.Mód1.CLA10

Resuelven problemas que involucran la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos.

5.NBT.B.6

5.Mód1.CLA7

Explican el efecto de multiplicar números enteros por y dividir números enteros entre potencias de 10.

5.NBT.A.2

5.Mód1.CLA8

Expresan potencias de 10 de números enteros en forma exponencial, forma estándar y como multiplicación repetida.

5.NBT.A.2

5.Mód1.CLA11

Representan la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando modelos.

5.NBT.B.6

5.Mód1.CLA12

Convierten entre cantidades de números enteros dentro del sistema métrico de medidas para resolver problemas.

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.

5.OA.A.1

5.OA.A.1

5.OA.A.2

5.OA.A.2

5.MD.A.1

Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.

Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:

• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo, y luego presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 1 de 5.o grado se codifica como 5.Mód1.CLA1.

• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.

• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.

• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.

5.Mód1.CLA11 Representan la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando modelos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.B.6 Hallan números enteros como cocientes de números enteros con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones, y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares y modelos de área.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Determinan el cociente para la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando un modelo proporcionado.

Usa el modelo que se muestra como ayuda para dividir.

1,540 ÷ 14

14

1,400 140

El cociente es .

Crean modelos para la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos.

Usa la expresión para responder la parte A y la parte B.

4,102 ÷ 14

Parte A

Dibuja un modelo para la expresión.

Parte B

Usa tu modelo para determinar el cociente y el residuo.

Interpretan modelos para la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos. ¿Qué valores pueden representar las letras del modelo? Explica tu razonamiento.

Tema A Comprensión del valor posicional en números enteros

En el tema A, la clase aplica su comprensión del valor posicional para multiplicar por y dividir entre potencias de 10 y sus múltiplos.

Antes de 5.o grado, la clase usa su comprensión del valor posicional para redondear números enteros de varios dígitos a cualquier valor posicional. Comparan cantidades por medio de la comparación multiplicativa y reconocen que, en un número entero, un dígito en una posición representa 10 veces el valor que representa en la posición a su derecha.

Como presentación del tema, la clase usa tablas de valor posicional para mostrar que, cuando dos dígitos adyacentes de un número dado son iguales, el valor del dígito de la izquierda es 10 veces el valor del dígito que está a su derecha, y el valor del dígito de la derecha es 10 veces menor que el valor del dígito que está a su izquierda. Usan modelos de puntos para comprender qué sucede cuando un número se multiplica por o se divide entre 10. Luego, aplican lo que aprendieron con los modelos de puntos para llegar a la conclusión de que, cuando multiplican un número por 10, cada dígito del número se desplaza una posición hacia la izquierda y, cuando dividen un número entre 10, cada dígito del número se desplaza una posición hacia la derecha. Al desarrollar su comprensión del tema, observan cómo se desplazan los dígitos al multiplicar por o dividir entre 100 y 1,000.

La clase halla productos y cocientes de expresiones que solo se componen de potencias de 10, como 10,000 × 100, usando lo que aprendieron sobre cómo se desplazan los dígitos de un número. Cuando hallan productos y cocientes de expresiones que solo se componen de números 10, se da inicio al aprendizaje sobre los exponentes de base 10. Escriben potencias de 10 en forma estándar, desarrollada y exponencial. Amplían su comprensión de los desplazamientos que observan cuando multiplican por o dividen entre 10 al multiplicar por y dividir entre 102 o 103.

La clase estima productos y cocientes de números de varios dígitos mediante el redondeo de factores, divisores y dividendos a múltiplos de potencias de 10. Al comparar estimaciones y analizar las estrategias de estimación, comprenden qué puede provocar una subestimación o sobrestimación. Luego, estiman productos y cocientes con situaciones del mundo real. La clase finaliza el tema usando sus observaciones acerca de cómo se desplazan los dígitos al multiplicarlos por potencias de 10 para convertir medidas del sistema métrico.

Al combinar el lenguaje de la comparación multiplicativa con su comprensión de las potencias de 10, la clase describe unidades de medida relativas de longitud, peso y capacidad del sistema métrico. Convierten unidades y expresan unidades más grandes en términos de unidades más pequeñas usando las potencias de 10. Resuelven problemas verbales de varios pasos que incluyen conversiones de medidas del sistema métrico, y aplican sus destrezas de estimación de lecciones anteriores para determinar si las respuestas son razonables.

En el tema B, la clase aplica su comprensión del valor posicional para multiplicar números enteros de varios dígitos.

Progresión de las lecciones

Lección 1

Relacionar las unidades de valor posicional adyacentes utilizando la comprensión del valor posicional

Lección 2

Multiplicar por y dividir entre 10, 100 y 1,000 e identificar patrones en los productos y cocientes

Lección 3

Usar exponentes para multiplicar por y dividir entre potencias de 10

Puedo representar la multiplicación por y la división entre 10 en una tabla de valor posicional. Observo que, cuando dos dígitos adyacentes son el mismo número, el valor del dígito de la izquierda es 10 veces el valor del dígito de la derecha, y el valor del dígito de la derecha es 10 veces menor que el valor del dígito de la izquierda.

Al multiplicar un número por 10, 100 o 1,000, los dígitos se desplazan hacia la izquierda. Al dividir un número entre 10, 100 o 1,000, los dígitos se desplazan hacia la derecha. Por ejemplo, si multiplico

4 decenas por 1,000, el 4 se desplaza tres posiciones hacia la izquierda y se convierte en 4 decenas de millar, o 40,000. Si divido 4 decenas de millar entre 100, el 4 se desplaza dos unidades de valor posicional hacia la derecha y se convierte en 4 decenas, o 40.

Puedo escribir potencias de 10 en forma estándar y forma exponencial. Puedo usar lo que sé acerca de cuántos números 10 hay en un número para multiplicar o dividir con eficiencia al desplazar los dígitos hacia la izquierda o la derecha.

Lección 4

Estimar productos y cocientes usando potencias de 10 y sus múltiplos

129 ÷ 4 ≈ 12 0 ÷ 4 = 30

Puedo estimar productos y cocientes mediante el redondeo de números a múltiplos de 10. Por ejemplo, puedo estimar el producto de 47 y 61 calculando 50 × 60. Puedo estimar el cociente de 316 y 45 calculando 300 ÷ 50.

Lección 5

Convertir medidas y describir relaciones entre unidades métricas

kilómetro, metro, centímetro, milímetro más largomás corto

Puedo convertir unidades métricas más grandes a unidades métricas más pequeñas usando la multiplicación. Puedo usar prefijos para recordar la relación entre las unidades métricas.

Lección 6

Resolver problemas verbales de varios pasos usando la conversión de medidas del sistema métrico

6 m 40 cm o 64 0 cm

80 cm

Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para entender y resolver problemas verbales. Los modelos me ayudan a ver distintas maneras de resolver un problema. Puedo resolver problemas verbales que tienen distintas unidades métricas convirtiendo las unidades más grandes en unidades más pequeñas.

Relacionar las unidades de valor posicional adyacentes utilizando la comprensión del valor posicional

Vistazo a la lección

Nombre Fecha

a. Escribe una ecuación de división que relacione el 2 de la izquierda con el 2 de la derecha.

2,000 ÷ 10 = 200

b. Usa la palabra veces para comparar el 5 de la izquierda con el 5 de la derecha.

El 5 de la izquierda es 10,000 veces el 5 de la derecha.

En parejas, la clase organiza y cuenta una colección de billetes que requiere que usen su comprensión del valor posicional. Representan 10 veces la cantidad para cada unidad de la tabla de valor posicional hasta 1 millón y determinan que, cuando dos dígitos adyacentes son iguales, el dígito de la izquierda es 10 veces el dígito de la derecha. Luego, representan la división entre 10 en la tabla de valor posicional y observan que, cuando dos dígitos adyacentes son iguales, el dígito de la derecha es 10 veces menor que el dígito de la izquierda. Comparan el mismo dígito en distintas posiciones y describen la relación entre los números usando lo que saben acerca de la multiplicación y la división. En esta lección se presenta el verbo académico considerar.

Pregunta clave

• ¿Cómo se relacionan las unidades de valor posicional entre sí?

Criterio de logro académico

5.Mód1.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números enteros de varios dígitos. (5.NBT.A.1)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Organizar y contar billetes para comparar

• Comparar y relacionar un mismo dígito con distintos valores

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• computadora o dispositivo*

• proyector*

• libro Enseñar*

• Colección de conteo de dinero (en la edición para la enseñanza)

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en la edición para la enseñanza)

Estudiantes

• marcador de borrado en seco*

• libro Aprender*

• lápiz*

• pizarra blanca individual*

• borrador para la pizarra blanca individual*

• herramientas de organización

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en el libro para estudiantes)

* Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

Preparación de la lección

• Imprima o copie la Colección de conteo de dinero y recorte las colecciones de dinero. Prepare una colección para cada pareja de estudiantes.

• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase durante la lección.

• Brinde a sus estudiantes herramientas que les ayuden a organizar sus conteos. Las herramientas pueden ser vasos, clips, pizarras blancas, bolsas, bandas elásticas o papel cuadriculado.

Fluidez

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional

La clase usa la forma unitaria para identificar un número que se representa con discos de valor posicional y, luego, componen y expresan con otro nombre para prepararse para relacionar unidades de valor posicional adyacentes.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre los 10 discos de una unidad en la tabla.

¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

10 unidades

Muestre 10 unidades = decena.

¿10 unidades es igual a cuántas decenas?

1 decena

10 unidade s = decena 1

Nota para la enseñanza

Utilice señales con las manos para presentar un procedimiento para responder las preguntas de la actividad Respuesta a coro. Por ejemplo, coloque la mano alrededor de la oreja para escuchar, lleve un dedo hacia la sien para pensar y levante la mano para recordar a sus estudiantes que deben levantar las suyas.

Enseñe el procedimiento usando preguntas de conocimiento general, como las siguientes:

• ¿En qué grado están?

• ¿Cuál es el nombre de nuestra escuela?

• ¿Cómo se llama su maestro o maestra?

Diferenciación: Apoyo

Considere tener a disposición discos de valor posicional durante esta actividad para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional.

Muestre la respuesta y los discos agrupados como una decena en la tabla.

Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

12 unidades = 1 decena y 2 unidades

13 decenas = 1 centena y 3 decenas

= 10 decenas 1 centena

15 centenas = 1 millar y 5 centenas

10 centenas = 1 millar

10 millares = 1 decena de millar

16 millares = 1 decena de millar y 6 millares

10 decenas de millar = 1 centena de millar

8 18 decenas de millar = 1 centena de millar y decenas de millar

Intercambio con la pizarra blanca: Valor posicional

La clase identifica un valor posicional y el valor de un dígito en un número de varios dígitos y, luego, escriben el número en forma desarrollada para prepararse para relacionar unidades de valor posicional adyacentes.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta.

Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 2,518.

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra.

¿Comenzamos?

2,518

¿Qué dígito está en la posición de los millares?

2,518

2,000 + 50 0 + 10 + 8

Nota para la enseñanza

Establezca una señal (p. ej., Muéstrenme sus pizarras) para presentar un procedimiento para mostrar las respuestas en la actividad Intercambio con la pizarra blanca.

Practiquen con cálculos básicos como los siguientes hasta que sus estudiantes se acostumbren al procedimiento:

• ¿Cuánto es 10 + 8?

• ¿Cuánto es 500 + 18?

Determine un procedimiento para ofrecer retroalimentación sobre los intercambios con las pizarras. Considere recorrer el salón y dar señales de aprobación o para que lo intenten de nuevo.

Muestre el 2 subrayado.

¿Qué valor representa el 2 en este número?

2,000

Escriban 2,518 en forma desarrollada. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el número en forma desarrollada.

Continúe el proceso con la siguiente secuencia: 9,703 53,194 76,029

Presentar

La clase convierte distintas medidas y analiza las relaciones multiplicativas entre ellas.

Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre cuatro enunciados y pida a la clase que los analice.

A

1 pie = 12 pulgadas

B

1 metro tiene la misma longitud que 100 centímetros.

Nota para la enseñanza

Considere pedir a la clase que exprese cada número en forma desarrollada de diferente manera. Por ejemplo, pida que usen solo la suma para algunos números e incorporen la multiplicación para otros, como en los siguientes ejemplos:

• 2,518 = 2,000 + 500 + 10 + 8

• 2,518 = (2 × 1,000) + (5 × 100) + (1 × 10) + (8 × 1)

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.

• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.

• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.

1 L = 1,000 mL

1,000 gramos = 1 kilogramo

Dé a la clase 2 minutos para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no.

Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y que justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.

Destaque las respuestas que enfatizan el razonamiento sobre los factores y los múltiplos de 10 entre las unidades métricas.

Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a establecer conexiones y a hacer sus propias preguntas.

Use los siguientes ejemplos de preguntas y planteamientos.

¿Cuál no pertenece al grupo?

A no pertenece al grupo porque es el único enunciado en el que no se usan unidades métricas.

B no pertenece al grupo porque es el único enunciado en el que se usan palabras en lugar de un signo igual.

C no pertenece al grupo porque es el único enunciado que tiene unidades abreviadas.

D no pertenece al grupo porque es el único enunciado en el que 1 unidad se muestra a la derecha del signo igual.

Completen el enunciado: × 1 mL = 1 L.

1,000 × 1 mL = 1 L

1 litro es 1,000 veces 1 mililitro.

Completen el enunciado: 1 metro = × 1 centímetro.

1 metro = 100 × 1 centímetro

1 metro es 100 veces 1 centímetro.

Completen el enunciado: 1 kilogramo = × 1 gramo.

1 kilogramo = 1,000 × 1 gramo

1 kilogramo es 1,000 veces 1 gramo.

Expresamos cada relación usando la multiplicación.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy usaremos nuestra comprensión del valor posicional para describir la relación entre unidades de valor posicional usando la multiplicación y la división.

Aprender

Organizar y contar billetes para comparar

Materiales: E) Colección de conteo de dinero, herramientas de organización

Cada estudiante usa sus propias estrategias para organizar y contar una colección y registrar el proceso.

Forme parejas de estudiantes y distribuya una colección de conteo a cada pareja.

Pida a sus estudiantes que busquen la página de registro en sus libros. Oriente brevemente a la clase sobre los materiales y el procedimiento para la actividad de colección de conteo:

• La parejas colaboran para contar una colección.

• Las parejas elaboran sus propios registros para mostrar cómo contaron.

• Las parejas pueden usar la tabla de valor posicional y otras herramientas de organización. Las herramientas de organización pueden incluir elementos que estén disponibles en el salón, como vasos, clips, pizarras blancas individuales, etc.

Antes de comenzar a contar, invite a las parejas de estudiantes a trabajar en equipo para estimar cuántos dólares hay en su colección. Pídales que escriban una estimación. Luego, anime a las parejas a conversar acerca de cómo organizarán su colección para contarla.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) mientras comenta y selecciona estrategias de conteo y herramientas de organización para contar la colección.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Qué estrategias o herramientas pueden usar como ayuda para contar su colección?

• ¿Qué herramienta sería la más útil para contar su colección? ¿Por qué?

• ¿Por qué eligieron esa estrategia para contar su colección? ¿Funcionó la estrategia?

Invite a la clase a seleccionar las herramientas de organización que les gustaría usar, y asegúrese de que comprenden que pueden intercambiar las herramientas a medida que perfeccionan los planes.

Pida a las parejas que empiecen a contar sus colecciones. Recorra el salón y observe de qué manera se conducen en los siguientes puntos:

Organizar: Las estrategias pueden incluir agrupar billetes de la misma unidad, hacer grupos de 10 de la misma unidad, organizar los billetes en la tabla de valor posicional y escribir expresiones o ecuaciones. Es posible que las parejas organicen sus colecciones usando atributos que no permitan contar de forma eficiente, como mezclar unidades para hacer grupos iguales de billetes.

Contar: Las parejas pueden contar los subgrupos y, luego, sumar para hallar el total, o pueden usar una tabla de valor posicional y escribir los dígitos que representan el número de cada unidad. Habrá otras parejas que quizás usen una combinación de multiplicación y suma para hallar el total.

Registrar: Los registros pueden incluir dibujos, números, expresiones, ecuaciones y explicaciones escritas.

Use preguntas y planteamientos como los siguientes para evaluar e incentivar el razonamiento matemático mientras la clase organiza y cuenta la colección:

• Muestren y expliquen lo que hicieron.

• ¿Cómo pueden organizar sus colecciones para que les resulte más fácil contarlas?

• ¿Por qué la forma en que organizaron sus colecciones hizo que contar les resultara más fácil?

• ¿Cómo llevaron la cuenta de lo que ya habían contado y lo que les faltaba contar?

• ¿Cómo nombraron las unidades más grandes? ¿Por qué?

• ¿Cómo supieron cómo debían escribir sus totales?

• ¿Qué tan cerca estuvo su estimación del conteo real?

Nota para la enseñanza

Los niveles de complejidad de las colecciones de conteo varían. Forme parejas de estudiantes y asigne estratégicamente a cada una de ellas una colección de conteo.

• La colección de conteo A no requiere componer unidades.

• La colección de conteo B requiere componer unidades en un valor posicional.

• La colección de conteo C requiere componer unidades en dos valores posicionales.

• La colección de conteo D requiere componer unidades en tres valores posicionales.

DUA: Acción y expresión

Considere ofrecer notas adhesivas para los rótulos con el fin de ayudar a sus estudiantes a organizar las colecciones. Por ejemplo, si hay estudiantes que organizaron los billetes como en una tabla de valor posicional, pueden usar las notas adhesivas para rotular cada posición. Esto les brinda flexibilidad mientras organizan y llevan la cuenta.

Para esta colección de conteo, mi pareja es .

Estamos contando .

Creemos que tienen un valor de

Así es cómo organizamos y contamos la colección:

Contamos en total.

Esta es una ecuación que describe cómo contamos: .

Reflexión

Escribe algo que les haya funcionado bien cuando trabajaron en pareja. Explica por qué funcionó.

Agrupar cuando teníamos 10 de una unidad fue útil porque, luego, pudimos expresar esa cantidad con el nombre de la siguiente unidad más grande. Eso nos ayudó a hallar el total.

Escribe acerca de un desafío que hayan encontrado. ¿Cómo lo superaron?

No sabíamos con seguridad cuáles eran algunas de las unidades de valor posicional. Usamos los números de los billetes como ayuda.

Reúna a la clase y guíe una conversación breve acerca de cómo decidieron organizar y contar los billetes.

¿Cómo organizaron los billetes?

Pusimos juntas las unidades semejantes.

Agrupamos los billetes en grupos de 10.

Organizamos los billetes como en una tabla de valor posicional.

¿Cómo hallaron el total?

Contamos salteado de unidad en unidad.

Agrupamos los billetes para formar unidades más grandes cuando podíamos. Luego, escribimos cuántas unidades teníamos de cada valor posicional para hallar el total.

Contamos cuántos billetes de cada unidad teníamos. Luego, multiplicamos para hallar la cantidad de cada unidad. Sumamos las cantidades de cada unidad para hallar el total.

¿Cómo decidieron cuándo componer una unidad más grande?

Cuando teníamos 10 billetes de una unidad más pequeña, los agrupamos para formar 1 de la siguiente unidad más grande.

Cuando teníamos un grupo de 10, los agrupamos con un clip. Luego, pusimos el grupo en la siguiente unidad más grande de la tabla.

Cuando teníamos 10 millares, los agrupamos para formar 1 decena de millar.

Invite a cada grupo a compartir la cantidad total de dinero que contaron en su colección. Registre los totales para que puedan ser consultados más adelante.

Comparar y relacionar un mismo dígito con distintos valores

Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millones

La clase determina que un mismo dígito en distintas posiciones no representa el mismo valor, y expresan la semejanzas y diferencias entre dígitos de distinto valor posicional.

Pida a sus estudiantes que ubiquen la Tabla de valor posicional hasta los millones en sus libros. Pídales que retiren la tabla y que la inserten en sus pizarras blancas.

Pídales que escriban 1,731,225 en forma estándar, mientras usted hace lo mismo.

Subraye el 2 en la posición de las centenas y el 2 en la posición de las decenas. Señale los números y haga las siguientes preguntas.

¿Estos números 2 representan la misma cantidad?

No, representan cantidades distintas.

Escribamos el número en forma desarrollada para que podamos ver con más claridad cuánto representa cada 2.

Pida a sus estudiantes que escriban 1,731,225 en forma desarrollada, mientras usted hace lo mismo.

Señale el 2 en la posición de las centenas.

¿Cuánto representa este 2?

200

Señale el 2 en la posición de las decenas.

¿Cuánto representa este 2?

20

Señale el 2 en la posición de las centenas.

El primer 2 representa 200.

Señale el 2 en la posición de las decenas.

El otro 2 representa 20. Consideren, o piensen, en qué se parecen y en qué se diferencian

2 centenas y 2 decenas.

Proporcione tiempo para pensar y, luego, invite a la clase a responder.

Ambos muestran 2 de una unidad.

2 centenas es mayor que 2 decenas.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si preferirían tener 2 billetes de cien dólares o 2 billetes de diez dólares y por qué.

Pida a sus estudiantes que muestren 2 decenas en la tabla de valor posicional.

Pensemos un poco más sobre la relación entre 2 decenas y 2 centenas. ¿Por cuánto tenemos que multiplicar 2 decenas para obtener 2 centenas? 10

Use la Tabla de valor posicional hasta los millones para dibujar dos puntos en la columna de las decenas. Dibuje una flecha, rotulada × 10 desde las 2 decenas en la columna de las decenas hasta la columna de las centenas, y dibuje 2 centenas.

Muestre el enunciado de comparación:

200 es  veces 20.

Completen el enunciado: 200 es veces 20.

200 es 10 veces 20.

Registre 200 = 10 × 20 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Pida a sus estudiantes que borren.

Veamos la relación entre 200 y 20 usando la división.

Pida a sus estudiantes que dibujen 2 centenas.

Escriba 200 ÷ = 20. Señale el enunciado 200 = 10 × 20.

Sabemos que 200 es 10 veces 20. Usemos ese dato para completar el enunciado:

200 ÷ = 20.

200 ÷ 10 = 20

Apoyo para la comprensión del lenguaje

En este segmento, se presenta el término considerar. Considere enseñar el significado del término por adelantado, anticipándose al momento en el que sus estudiantes deban considerar las semejanzas entre los números. Relacione el término con pensar acerca del estado del tiempo mientras deciden cómo vestirse, o pensar acerca de las razones por las que eligieron hacer una determinada actividad durante el recreo.

Nota para la enseñanza

La actividad digital interactiva Tabla de valor posicional ayuda a sus estudiantes a representar y comparar el tamaño de los números.

Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

Decenas (10) Un idade s (1)

Dibuje dos puntos en la columna de las centenas. Dibuje una flecha, rotulada ÷ 10, desde las 2 centenas en la columna de las centenas hasta la columna de las decenas, y dibuje 2 decenas.

Escriba el enunciado de comparación: 20 es veces menor que 200.

Completen el enunciado: 20 es veces menor que 200. 20 es 10 veces menor que 200.

Cuando tenemos el mismo dígito en posiciones adyacentes, o uno al lado del otro, el dígito de la izquierda es 10 veces el dígito de la derecha.

Veamos las relaciones entre otros dígitos de este número.

Encierren con un círculo el 1 en la posición de los millones y el 1 en la posición de los millares.

Consideren, o piensen, en qué se parecen y en qué se diferencian 1 millón y 1 millar.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comparar los dos dígitos.

Ambos muestran 1 de una unidad.

1 millón es mayor que 1 millar.

Los números 1 están en distintas posiciones.

1 millar es 10 centenas. 1 millón es 10 centenas de millar.

Señale el registro en forma desarrollada.

Señale el 1 en la posición de los millones.

¿Cuánto representa este 1?

1,000,000

Señale el 1 en la posición de los millares.

¿Cuánto representa este 1? 1,000

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere repasar el término conocido adyacente con la clase. Los ángulos adyacentes son aquellos que están uno al lado del otro y tienen un lado en común. Los ángulos no adyacentes no comparten un lado. Establezca conexiones con el valor posicional comentando qué posiciones están una al lado de la otra y cuáles no. Cree una ayuda visual que pueda utilizar para resaltar ejemplos de dígitos adyacentes y no adyacentes, como se muestra en la siguiente tabla:

¿1 millón es 10 veces 1 millar? ¿Por qué?

No, porque la posición de los millones no es adyacente a la posición de los millares. 10 veces 1 millar es 1 decena de millar, no 1 millón.

Veamos cuántas veces 1 millar es 1 millón.

Dibuje 1 millar en la tabla de valor posicional y multiplíquelo por 10 (usando la flecha para mostrar el desplazamiento) hasta llegar a 1 millón. Rotule cada flecha × 10.

¿Cuántas veces tenemos que multiplicar por 10 para llegar de 1,000 a 1,000,000?

Tenemos que multiplicar por 10 tres veces.

¿Cuál es el valor de 10 × 10 × 10?

1,000

Completen el enunciado: 1,000,000 es veces .

1,000,000 es 1,000 veces 1,000.

Registre 1,000,000 = 1,000 × 1,000 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y diferencias entre los dígitos que son iguales y adyacentes, y los dígitos que son iguales, pero no adyacentes.

Un dígito que es igual a otro dígito adyacente tiene un valor de 10 veces el valor del dígito igual que se ubica justo a su derecha.

Los dígitos que son iguales, pero no adyacentes, tienen un valor que es un múltiplo de 10 veces el valor del dígito igual que se ubica en otro valor posicional hacia la derecha.

Veamos la relación entre 1,000,000 y 1,000 usando la división.

Pida a sus estudiantes que dibujen 1 millón en la tabla de valor posicional, mientras usted hace lo mismo.

Escriba 1,000,000 ÷ = 1,000. Señale el enunciado 1,000,000 = 1,000 × 1,000.

Sabemos que 1,000,000 es 1,000 veces 1,000. Usemos ese dato para completar este enunciado: 1,000,000 ÷ = 1,000.

1,000,000 ÷ 1,000 = 1,000

Diferenciación: Apoyo

Ayude a sus estudiantes a comprender que 10 veces 1 millar es 1 decena de millar mostrando y agrupando discos de valor posicional físicos en la tabla de valor posicional hasta que tengan una comprensión sólida de la representación pictórica.

Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional, considere ofrecerles calculadoras para que confirmen la relación de 10 veces una cantidad y 10 veces menor que una cantidad. Apoye a sus estudiantes ingresando 1 en la calculadora y estableciendo una conexión directa con la posición de las unidades antes de que empiecen a multiplicar por 10. Pida que multipliquen por 10 y lo relacionen con la posición de las decenas. Continúe multiplicando por 10 hasta llegar a los millones, señalando que, cada vez que multiplican por 10, el producto se desplaza una posición a la izquierda en la tabla de valor posicional. Repita el proceso dividiendo entre 10 hasta que cada estudiante llegue de nuevo a la posición de las unidades.

Dibuje varias veces una flecha, rotulada ÷ 10, desde 1 millón en la posición de los millones hasta la posición de los millares, y dibuje 1 millar.

Escriba el enunciado de comparación: 1,000 es veces menor que .

Completen el enunciado: 1,000 es veces menor que .

1,000 es 1,000 veces menor que 1,000,000.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si preferirían tener un billete de $1,000 o un billete de $1,000,000 y por qué.

Veamos si esto funciona con otros totales que contamos.

Consulte la lista de los valores de la colección de conteo y pida a sus estudiantes que observen el número 2,988,396. Indique a la clase que escriba el número en forma estándar, mientras usted hace lo mismo.

Subraye los dos números 8 y encierre en un círculo los dos números 9.

Use una secuencia semejante para guiar a la clase para que describan la relación entre el 8 en la posición de las decenas de millar y el 8 en la posición de los millares, y la relación entre el 9 en la posición de las centenas de millar y el 9 en la posición de las decenas.

Considere usar las siguientes preguntas para guiar el análisis de sus estudiantes:

• ¿Estos dos números 8 son iguales? ¿Cómo lo saben?

• ¿En qué se parecen y en qué se diferencian 8 decenas de millar y 8 millares?

• ¿En qué se parecen y en qué se diferencian 9 centenas de millar y 9 decenas?

Señale los números 9 en forma estándar encerrados en un círculo.

Si dividimos 9 centenas de millar entre 10, ¿obtenemos 9 decenas? ¿Por qué?

No, no obtenemos eso. La posición de las decenas no es adyacente a la posición de las centenas de millar.

¿Qué obtenemos si dividimos 9 centenas de millar entre 10? ¿Por qué?

Obtenemos 9 decenas de millar porque la posición de las decenas de millar es adyacente a la posición de las centenas de millar.

Nota para la enseñanza

Pida a la clase que piense acerca de la relación entre la posición de los millones y la de las decenas de millón, entre otras. O pida a la clase que piense acerca de la relación entre la posición de las decenas y la posición de las unidades. Observe que el patrón continúa, incluso si las unidades de valor posicional se vuelven mayores o menores.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo saben que 9 centenas de millar divididas entre 10 equivale a 9 decenas de millar.

¿9 centenas de millar es 10 veces 8 decenas de millar? ¿Por qué?

No, porque los dígitos no son iguales. 10 veces 8 decenas de millar es 8 centenas de millar, no 9 centenas de millar.

Dos dígitos que no son iguales no tienen la relación de 10 veces una cantidad.

Muestre las ecuaciones.

10 ÷ 10 = 100 ÷ 10 = 1,000 ÷ 10 = 10,000 ÷ 10 = 100,000 ÷ 10 = 1,000,000 ÷ 10 =

¿Cuánto es 10 ÷ 10? 1

¿Cuánto es 100 ÷ 10? 10

¿Cuánto es 1,000 ÷ 10? 100

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para predecir los cocientes de las ecuaciones que quedan por resolver basándose en el patrón que observan.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para completar este enunciado: Cuando dividimos entre 10, el cociente .

Cuando dividimos entre 10, el cociente se desplaza una unidad de valor posicional hacia la derecha.

Cuando dividimos entre 10, el cociente es 10 veces menor que el dividendo.

Diferenciación: Desafío

Muestre a sus estudiantes un número, como 2,458,136, y pida que cambien el orden de los dígitos para producir un número con el mayor valor posible. Luego, pídales que elijan uno de los dígitos y que usen el lenguaje de 10 veces o 10 veces menor para describir el valor del dígito antes y después de cambiar el orden. Pida que muestren su razonamiento en la tabla de valor posicional.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Relacionar las unidades de valor posicional adyacentes utilizando la comprensión del valor posicional

Guíe una conversación de toda la clase sobre la relación entre unidades de valor posicional adyacentes usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Muestre el número que tiene los dígitos subrayados y encerrados en un círculo.

¿Cuál es la relación entre 3 centenas de millar y 3 decenas de millar?

3 centenas de millar es 10 veces 3 decenas de millar.

¿Es correcto decir que 3 decenas de millar es 10 veces 2 millares? ¿Cómo lo saben?

No, es incorrecto. 10 veces 2 millares es 20,000, no 30,000.

Los dígitos deben ser iguales para que uno de los dígitos sea 10 veces el otro.

¿Cómo se relacionan las unidades de valor posicional entre sí?

Hay una relación de 10 veces una cantidad entre una unidad de valor posicional y la siguiente, si empezamos por la posición de las unidades y nos desplazamos hacia la izquierda.

Cuando los dígitos de un número son iguales y adyacentes, el dígito de la izquierda es 10 veces el dígito que está junto a él.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan ayuda para completar los problemas 6 a 12 del Grupo de problemas, demuestre cómo pueden seguir usando sus tablas de valor posicional cuando lo necesiten. Consulte el siguiente ejemplo del problema 5.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

4.

Millones Centenas de millar Decenas de millar Millares Centenas Decenas Unidades ÷10

Usa la tabla de valor posicional para completar el enunciado y la ecuación.

1.

Millones Centenas de millar Decenas de millar MillaresCentenas Decenas Unidades ×10

3 decenas de millar es 10 veces 3 millares

30,000 = 10 × 3,000

2.

Millones Centenas de millar Decenas de millar MillaresCentenas Decenas Unidades ×10

9 millones es 10 veces 9 centenas de millar 9,000,000 = 10 × 900,000

Usa la tabla de valor posicional para completar la ecuación.

3.

Millones Centenas de millar Decenas de millar Millares Centenas Decenas Unidades ÷10

60,000 ÷ 10 = 6,000

8,000,000 ÷ 10 = 800,000

5. Completa cada enunciado trazando una línea hasta el valor correcto. 9,000 ÷ 10 = 9,000

9 millones ÷ 10 = 9 millones

El 9 en 3,429,015 representa . 9 centenas de millar es 10 veces 9 centenas de millar. 9 decenas de millar

9 centenas de millar es 10 veces 900

Usa la tabla de valor posicional para completar los problemas 6 a 12.

11. 5 millares es 1,000 veces 5 unidades.

12. 5,000 = 1,000 × 5

13. Considera el número que se muestra. 8 7 7, 4 8 7

a. Completa la ecuación para representar el número en forma desarrollada.

877,487 = ( 800,000 ) + ( 70,000 ) + ( 7,000 ) + ( 400 ) + ( 80 ) + ( 7 )

b. Dibuja un recuadro alrededor del dígito que representa 10 veces el dígito subrayado.

c. Completa las ecuaciones para mostrar la relación entre el dígito encerrado en un recuadro y el dígito subrayado.

70,000 = 10 × 7,000

70,000 ÷ 10 = 7,000

d. Explica cómo se relaciona el dígito en la posición de las centenas de millar con el dígito en la posición de las decenas. 8 centenas de millar es 10,000 veces 8 decenas.

14. Kayla y Blake escriben un número.

Número de Kayla 2,308,467 308,467

Número de Blake 713, 548

a. Kayla dice: “El 3 en mi número es 10 veces el 3 en el número de Blake”. ¿Estás de acuerdo con Kayla? Explica tu razonamiento.

No, no estoy de acuerdo con Kayla. El 3 en el número de Blake representa 3,000 El 3 en el número de Kayla representa 300,000. Entonces, el 3 en el número de Kayla representa 100 veces el 3 en el número de Blake, no 10 veces. El valor del 3 en el número de Kayla es 300,000, no 30,000

b. Escribe una ecuación de división para relacionar el 8 en el número de Kayla con el 8 en el número de Blake.

8,000 ÷ 1,000 = 8

12 GRUPO

Multiplicar por y dividir entre 10 , 100 y 1,000 e identificar patrones en los productos y cocientes

Vistazo a la lección

Halla cada producto.

1. 80 × 10 = 800

2. 80 × 100 = 8,000

3. 80 × 1,000 = 80,000

Halla cada cociente.

4. 340,000 ÷ 10 = 34,000

5. 340,000 ÷ 100 = 3,400

6. 340,000 ÷ 1,000 = 340

7. ¿Cómo se compara el valor que representa el 6 en 3,604 con el valor que representa el 6 en el producto de 3,604 y 1,000? Explica cómo lo sabes sin multiplicar. El valor que representa el 6 en el producto de 3,604 y 1,000 es 1,000 veces el valor del 6 en 3,604. Cuando se multiplica por 1,000, cada dígito se desplaza tres posiciones hacia la izquierda, por lo que 600 se convierte en 600,000, que es 1,000 veces 600

La clase usa una tabla de valor posicional para multiplicar por 10. Observan que, al multiplicar por 10, cada dígito se desplaza una posición hacia la izquierda. Relacionan la multiplicación por 100 o 1,000 con la multiplicación por 10. La clase usa una tabla de valor posicional para dividir entre 10 y observa que, al dividir entre 10, cada dígito se desplaza una posición hacia la derecha. Relacionan la división entre 100 o 1,000 con la división entre 10.

Preguntas clave

• ¿Cuál es la relación que hay entre multiplicar por o dividir entre 100 o 1,000 y multiplicar por o dividir entre 10?

• ¿En qué se parecen y en qué se diferencian multiplicar por 10, 100 y 1,000 y dividir entre 10, 100 y 1,000?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números enteros de varios dígitos. (5.NBT.A.1)

5.Mód1.CLA7 Explican el efecto de multiplicar números enteros por y dividir números enteros entre potencias de 10. (5.NBT.A.2)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 10 min

Aprender 30 min

• Multiplicar por 10, 100 y 1,000

• Dividir entre 10, 100 y 1,000

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en la edición para la enseñanza)

Estudiantes

• Tabla de valor posicional hasta los millones (en el libro para estudiantes)

Preparación de la lección

Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de valor posicional hasta los millones de los libros para estudiantes e insertarla en las pizarras blancas o si la preparará con la clase durante la lección.

Fluidez

Respuesta a coro: Expresar con otro nombre unidades de valor posicional

La clase usa la forma unitaria para identificar un número que se representa con discos de valor posicional y, luego, descomponen y expresan con otro nombre para practicar la comprensión del valor posicional adquirida en 4.o grado.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre el disco de 1 decena en la tabla.

¿Qué valor se representa en la tabla? Digan la respuesta en forma unitaria.

1 decena

Muestre 1 decena = unidades.

¿1 decena es igual a cuántas unidades?

10 unidades

1 decena = unidades 10

Muestre la respuesta y el disco desagrupado como 10 unidades en la tabla.

Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

1 decena y 2 unidades = 12 unidades

1 centena = 10 decenas

1 centena y 4 decenas = 14 decenas

1 millar = 10 centenas

1 millar y 5 centenas = 15 centenas

1 decena de millar y 7 millares = 17 millares

1 centena de millar y 9 decenas de millar = 19 decenas de millar

1 decena de millar = 10 millares

1 centena de millar = 10 decenas de millar

Intercambio con la pizarra blanca: Valor posicional

La clase identifica un valor posicional y el valor de un dígito en un número de varios dígitos y, luego, escriben el número en forma desarrollada para practicar la comprensión del valor posicional que aprendieron en 4.o grado.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 48,359.

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra. ¿Comenzamos?

48,359

¿Qué dígito está en la posición de las decenas de millar?

4

Muestre el 4 subrayado.

¿Qué valor representa el 4 en este número?

40,000

Escriban 48,359 en forma desarrollada.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el número en forma desarrollada.

Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

La clase aplica su comprensión de 10 veces una cantidad para resolver un problema que implica 100 veces una cantidad.

Presente el siguiente problema y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.

Mara tiene 54 clavos en su caja de herramientas. Necesita 100 veces esa cantidad de clavos para construir una casa en un árbol.

¿Cuántos clavos necesita?

Dé a la clase 5 minutos para que comenten su razonamiento y resuelvan el problema en parejas. Permita que seleccionen por su cuenta las estrategias para hallar la solución. Recorra el salón y escuche las conversaciones. Seleccione un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las conexiones entre las estrategias.

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a cada estudiante que comparta su razonamiento con todo el grupo y, luego, registre su razonamiento.

Valide diferentes ideas y ayude a sus estudiantes a establecer conexiones entre las estrategias, pero centre el debate en la siguiente respuesta: Sabemos que 100 es equivalente a 10 × 10. Multiplicamos 54 por 10 y desplazamos el 5 y el 4 una posición hacia la izquierda. Luego, multiplicamos por 10 una vez más, por lo que desplazamos el 5 y el 4 una posición hacia la izquierda otra vez. 54 × 100 = 5,400, por lo tanto, Mara necesita 5,400 clavos.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, buscaremos patrones en los productos y cocientes cuando multipliquemos por y dividamos entre 10, 100 y 1,000, para poder hacer ese trabajo mentalmente.

Considere tener a disposición discos de valor posicional para quienes podrían beneficiarse de una representación concreta del problema. Si más de una pareja desea usar discos de valor posicional para representar el problema, anímelas a que trabajen en grupo. Este trabajo en equipo servirá para aliviar la demanda de discos y ayudará a la clase a resolver el problema en el tiempo previsto.

DUA: Acción y expresión

Aprender

Multiplicar por 10, 100 y 1,000

Materiales: M/E) Tabla de valor posicional hasta los millones

La clase multiplica por 10, 100 y 1,000, y observan patrones que les ayudan a multiplicar mentalmente.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 3 de sus libros.

1. 5 × 10 = 50

2. 5 × 100 = 500

3. 5 × 1,000 = 5,000

Señale cada problema y registre los productos mientras hace cada una de las siguientes preguntas.

¿Cuánto es 5 × 10?

50

¿Cuánto es 5 × 100?

500

¿Cuánto es 5 × 1,000?

5,000

Pida a la clase que registre los productos de los problemas 1 a 3. Luego, pida a sus estudiantes que analicen los problemas y que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para describir qué patrón ven.

Observo que, cada vez que multiplico por 10, hay otro cero al final del producto.

Observo que cada producto es 10 veces el anterior.

Pida a sus estudiantes que retiren la Tabla de valor posicional hasta los millones de sus libros y que la inserten en sus pizarras blancas.

Veamos cómo funcionan estos patrones para otros números.

Nota para la enseñanza

Parte de la clase puede observar que el número de ceros al final del producto coincide con el número de ceros al final de los factores. Aunque ese patrón de ceros siempre funciona al multiplicar números enteros por potencias de 10, el objetivo de esta lección es enfocarse en cómo los dígitos se desplazan una cierta cantidad de posiciones. En el módulo 4, cuando se multiplica con decimales como 5.2 × 10, la clase verá que no hay ceros en el producto, pero el patrón de desplazamiento de dígitos se mantiene. Para evitar conceptos erróneos, anime a sus estudiantes a enfocarse en cómo se desplazan los dígitos cuando multiplican por 10, 100 y 1,000.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Pídales que representen 50 dibujando la menor cantidad de puntos posible. Pídales que le muestren sus pizarras para poder comprobar que tengan cinco puntos en la columna de las decenas.

4. 50 × 10 = 500

¿Cuántas decenas es

5 decenas por 10?

50 decenas

Muestre la tabla de valor posicional que muestra 50 decenas.

¿Cómo podemos expresar

50 decenas con otro nombre?

Podemos expresar

50 decenas como

5 centenas, porque cada vez que tenemos 10 decenas, podemos agruparlas y expresarlas como 1 centena.

Muestre la tabla de valor posicional que muestra

50 decenas expresado como 5 centenas.

En forma estándar, ¿cuánto es 50 × 10?

500

Registre el producto 500 en el espacio del problema 4 y pida a la clase que haga lo mismo.

Dibujar puntos, agrupar y expresar con otro nombre para mostrar 10 veces una cantidad puede llevar mucho tiempo. Observen cómo muestro 10 veces una cantidad de forma más eficiente.

Nota para la enseñanza

Los problemas 1 a 6 están organizados intencionalmente de modo secuencial para que sus estudiantes observen patrones en los productos. Si lo considera apropiado, quite el soporte parcialmente y permita que sus estudiantes trabajen de manera individual o en parejas.

Use la Tabla de valor posicional hasta los millones para dibujar cinco puntos en la columna de las decenas. Dibuje una flecha, rotulada × 10, que señale la posición de las centenas. Luego, dibuje 5 centenas. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Cuando multiplicamos 5 decenas por 10, podemos ver que las unidades se desplazan. ¿En qué sentido se desplazan las 5 unidades?

Hacia la izquierda

¿Cuántas posiciones se desplazan las 5 unidades?

Una posición

Cuando multiplicamos por 10 una vez, las unidades se desplazan hacia la izquierda una vez.

Pida a la clase que borre las pizarras y comience un nuevo problema.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Pídales que vuelvan a representar 50 dibujando la menor cantidad de puntos posible.

5. 50 × 100 = 50 × 10 × 10 = 5,000

¿Cómo se relaciona 50 × 100 con 50 × 10?

100 es 10 veces 10, por lo que 50 × 100 es 10 veces 50 × 10.

El producto de 50 y 100 es 10 veces el producto de 50 y 10.

Como 100 es equivalente a 10 × 10, sabemos que 50 × 100 tiene el mismo valor que 50 × 10 × 10. Registre la expresión 50 × 10 × 10 en el primer espacio del problema 5 y pida a la clase que haga lo mismo.

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para predecir el producto basándose en el patrón que observan. Observo que cuando multiplicamos por 10, las unidades se desplazan hacia la izquierda. En este problema, tenemos que multiplicar por el factor 10 dos veces, por lo que 5 decenas se desplazarán hacia la izquierda dos veces.

Si las unidades se desplazan hacia la izquierda dos veces, las decenas pasan a la posición de los millares. Creo que 50 × 100 = 5,000. Como sé que 50 × 10 = 500, creo que 50 × 100 es 10 veces 500, que es 5,000.

¿Cuánto es 50 × 100?

5,000

Registre 5,000 en el último espacio del problema 5 y pida a la clase que haga lo mismo.

Mostrémoslo en nuestra tabla de valor posicional.

Dibuje cinco puntos en la posición de las decenas. Dibuje una flecha que señale hacia la posición de las centenas, rotulada × 10, y dibuje 5 centenas. Dibuje una segunda flecha, rotulada × 10, y dibuje 5 millares. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿En qué sentido se desplazan las 5 unidades?

Las 5 unidades se desplazan hacia la izquierda.

¿Cuántas posiciones se desplazan las 5 unidades?

Las 5 unidades se desplazan dos posiciones.

¿Por qué esta vez las 5 unidades se desplazan dos posiciones?

Esta vez, las 5 unidades se desplazan dos posiciones porque multiplicamos por el factor 10 dos veces.

DUA: Representación

Para consolidar la comprensión de lo que ocurre al multiplicar repetidamente por 10, considere mostrar una tabla de valor posicional con el producto representado por puntos junto a una tabla de valor posicional como la siguiente, con el producto representado por dígitos.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 6.

6. 50 × 1,000 = 50 × 10 × 10 × 10 = 50,000

¿Qué expresión podemos escribir para mostrar 1,000 usando solamente 10 como factor?

50 × 10 × 10 × 10

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para predecir el producto.

¿Cuánto es 50 × 1,000?

50,000

Muestre la tabla de valor posicional completada.

Confirme que la tabla de valor posicional muestra 50 × 1,000 = 50,000. Luego, pida a la clase que complete los espacios del problema 6.

Pida a sus estudiantes que analicen las ecuaciones de los problemas 1 a 6 y que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los patrones que ven.

Observo que los puntos en la tabla de valor posicional se desplazan hacia la izquierda una vez por cada factor de 10 por el que multiplicamos. Por lo tanto, cuando multiplicamos por 10 dos veces, los puntos se desplazan hacia la izquierda dos veces.

Cuando multiplicamos por un número que es 10 veces el número por el que multiplicamos antes, el producto también es 10 veces el producto anterior.

¿Creen que veremos los mismos desplazamientos si multiplicamos por 30 en lugar de 10, 100 o 1,000, como vimos en los últimos problemas? Reúnanse y conversen en parejas.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 7.

7. 48 × 30 = 48 × 3 × 10 = 144 × 10 = 1,440

Escribamos 30 para poder ver 10 como factor. 30 es igual a 3 × 10, así que podemos escribir este problema como 48 × 3 × 10.

Registre 48 × 3 × 10 en el primer espacio.

Diferenciación: Apoyo

Si las parejas tienen dificultades para hallar 48 × 3, use las siguientes preguntas y planteamientos:

• ¿Qué saben acerca de este problema?

• ¿Pueden hacer un problema semejante que puedan resolver mentalmente?

• Represéntenlo con un problema parecido: Si el primer factor fuera 98, lo redondearía a 100 porque es un número más sencillo. ¿Podrían usar una estrategia como esa para redondear 48 a un número con el que sea más sencillo trabajar?

Pida a la clase que trabaje en parejas para hallar 48 × 3.

¿Cuánto es 48 × 3?

144

¿Hemos hallado el producto de 48 × 30?

No, solo hallamos el producto de 48 × 3.

¿Qué nos queda por hacer?

Nos queda multiplicar por 10. Registre 144 × 10 en el segundo espacio.

¿Qué ocurre con cada unidad cuando mostramos la multiplicación por 10 en la tabla de valor posicional?

Cada unidad se desplaza una posición hacia la izquierda.

Sabemos que 48 × 3 = 144. ¿Cuánto creen que es 48 × 30?

48 × 30 = 1,440

Muestre la tabla de valor posicional completada.

Confirme que la tabla de valor posicional muestra

48 × 30 = 1,440. Luego, pida a la clase que complete el último espacio del problema 7.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 8.

8. 48 × 300 = 48 × 30 × 10 = 1,440 × 10 = 14,400

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo 48 × 30 puede ayudarles a hallar 48 × 300.

100 es 10 veces 10, así que 48 × 300 es 10 veces 48 × 30.

Podemos volver a multiplicar el producto de 48 y 30 por 10.

Cada uno de los puntos se desplazará una posición más hacia la izquierda que en el último problema.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere apoyar las respuestas de sus estudiantes con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar sus estrategias.

¿Cuánto es 48 × 300?

48 × 300 = 14,400

Muestre la tabla de valor posicional que muestra 48 × 300.

Confirme que la tabla de valor posicional muestra 48 × 300 = 14,400.

Luego, pida a la clase que complete los espacios del problema 8.

Repita el proceso que se utilizó en el problema 8 para resolver el problema 9.

9. 48 × 3,000 = 48 × 300 × 10 = 14,400 × 10 = 144,000

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo escribir expresiones de manera que un factor sea 10, 100, o 1,000 puede ayudarles a hallar productos.

Si uno de los factores es 10, entonces sé que cada dígito del otro factor se desplaza una posición hacia la izquierda.

Si uno de los factores es 100, entonces sé que cada dígito del otro factor se desplaza dos posiciones hacia la izquierda.

Si uno de los factores es 1,000, entonces sé que cada dígito del otro factor se desplaza tres posiciones hacia la izquierda.

Dividir entre 10, 100 y 1,000

La clase divide entre 10, 100 y 1,000 y observa patrones que sirven como ayuda para dividir mentalmente.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 10.

10. 270,000 ÷ 10 = 27,000

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando halla patrones en problemas de multiplicación (y división) relacionados en los que se multiplica por (o divide entre) 10, 100 o 1,000. Aplican estos patrones para hallar productos (y cocientes) en problemas más complejos, como 48 × 300

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Qué patrones observan cuando multiplican por 10, 100 o 1,000? ¿Cómo puede ayudarles eso a multiplicar de forma más eficiente?

• ¿Funcionará siempre este patrón? Expliquen su razonamiento.

Diferenciación: Apoyo

La clase aprende la división viéndola primero como un problema de factor desconocido. Considere escribir el problema de multiplicación relacionado junto a cada problema de división para ayudar a sus estudiantes a hallar el número desconocido.

Ecuación de división 270,000 ÷ 10 = Ecuación de multiplicación

10 × = 270,000

Cuando multiplicamos por 10, las unidades se desplazan hacia la izquierda. ¿En qué sentido creen que se desplazan las unidades cuando dividimos entre 10?

Hacia la derecha

Pida a sus estudiantes que representen 270,000 en la tabla de valor posicional.

¿Cuánto es 27 decenas de millar ÷ 10?

27 millares

Dibuje una flecha, rotulada ÷ 10, desde la posición de 2 centenas de millar hasta la posición de las decenas de millar. Dibuje 2 decenas de millar. Dibuje otra flecha, rotulada ÷ 10, desde la posición de las decenas de millar hasta la posición de los millares. Dibuje 7 millares. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿En qué sentido se desplazan el 2 y el 7?

El 2 y el 7 se desplazan hacia la derecha.

¿Cuántas posiciones se desplazan?

Cada uno se desplaza una posición.

Confirme que la tabla de valor posicional muestra 270,000 ÷ 10 = 27,000. Luego, pida a la clase que complete el espacio del problema 10.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 11.

11. 270,000 ÷ 100 = 270,000 ÷ 10 ÷ 10 = 2,700

¿Cómo se relaciona la división entre 100 con la división entre 10?

Cuando dividimos entre 10, desplazamos los dígitos hacia la derecha una vez, así que, cuando dividimos entre 100, desplazamos los dígitos hacia la derecha una vez más, ya que 100 = 10 × 10.

Como 100 = 10 × 10, podemos mostrar que dividir entre 100 es equivalente a dividir entre 10 una vez y, luego, dividir entre 10 una segunda vez.

Registre 270,000 ÷ 10 ÷ 10 en el primer espacio y pida a la clase que haga lo mismo.

Nota para la enseñanza

Los problemas 10 a 12 están organizados intencionalmente de modo secuencial para que sus estudiantes observen patrones en los cocientes. Si lo considera apropiado, quite el soporte parcialmente y permita que sus estudiantes trabajen de manera individual o en parejas.

Nota para la enseñanza

La experiencia previa que tuvo la clase en 3.er y 4.o grado de ver cómo se desplazan los dígitos de un número al multiplicar por o dividir entre 10 debería apoyar su comprensión acerca de cómo encontrar el valor de la expresión con la división repetida entre 10. Sin embargo, puede que parte de la clase divida primero 10 ÷ 10 en la expresión 270,000 ÷ 10 ÷ 10, lo que les lleva a hacer 270,000 ÷ 1 = 270,000.

Ayude a sus estudiantes a comprender por qué esto es incorrecto volviendo a ver la expresión original y comparándola con la expresión del problema 10.

Pregunte a la clase:

• En el problema 10, dividimos 270,000 entre 10. ¿Es nuestro cociente menor que, igual a o mayor que 270,000?

• ¿Tiene sentido que el cociente sea igual a 270,000 en el problema 11 cuando se lo divide entre 100?

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para predecir si 270,000 ÷ 100 es mayor o menor que 270,000 ÷ 10.

Creo que 270,000 ÷ 100 es menor que 270,000 ÷ 10 porque estamos dividiendo entre 10 dos veces en lugar de una.

Creo que 270,000 ÷ 100 es menor que 270,000 ÷ 10 porque las unidades se desplazan más posiciones hacia la derecha.

Ya sabemos que 270,000 ÷ 10 = 27,000. ¿Qué podemos hacer para hallar 270,000 ÷ 100?

Podemos volver a dividir entre 10. Podemos dividir 27,000 entre 10.

Dibuje una flecha, rotulada ÷ 10, desde la posición de 2 decenas de millar hacia la de los millares. Dibuje 2 millares. Dibuje otra flecha, rotulada ÷ 10, desde la posición de los millares hacia la de las centenas. Dibuje 7 centenas. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuánto es 270,000 ÷ 100?

2,700

¿En qué sentido se desplazan el 2 y el 7?

El 2 y el 7 se desplazan hacia la derecha.

¿Cuántas posiciones se desplazan el 2 y el 7 para mostrar la división entre 100? ¿Por qué?

Cada uno se desplaza dos posiciones porque dividimos entre 10 dos veces.

Confirme que la tabla de valor posicional muestra 270,000 ÷ 100 = 2,700. Luego, pida a la clase que complete el segundo espacio del problema 11.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 12.

12. 270,000 ÷ 1,000 = 270,000 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 270

Repita el proceso para hallar el cociente y haga las siguientes preguntas:

• ¿Cómo se relaciona la división entre 1,000 con la división entre 100?

• ¿En qué sentido se desplazaron el 2 y el 7?

• ¿Cuántas posiciones se desplazaron el 2 y el 7 para mostrar la división entre 1,000? ¿Por qué?

Pida a la clase que complete los espacios del problema 12.

Pida a sus estudiantes que analicen los problemas 10 a 12 y que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué patrón observan. Mientras comparten, registre las ecuaciones para resaltar el patrón.

Observo que, a medida que el divisor aumenta, el cociente disminuye.

Observo que, cada vez que dividimos entre 10, las unidades se desplazan una posición hacia la derecha.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 13.

13. 270,000 ÷ 30 = 270,000 ÷ (10 × 3) = 270,000 ÷ 10 ÷ 3 = 9,000

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las semejanzas y las diferencias entre 270,000 ÷ 30 y 270,000 ÷ 10.

Tenemos el mismo total, 270,000.

Ahora, estamos dividiendo entre 30, no entre 10, pero sé que 30 es 10 × 3.

En el problema 10, hallamos que 270,000 ÷ 10 = 27,000. Usemos esa operación para hallar 270,000 ÷ 30 escribiendo 30 como 10 × 3.

Registre 270,000 ÷ (10 × 3) en el primer espacio y pida a la clase que haga lo mismo.

Podemos expresar 30 como 10 × 3, o 3 × 10. Eso significa que podemos elegir entre qué número queremos dividir primero. Como ya hicimos 270,000 ÷ 10, mostremos en el divisor que primero estamos dividiendo entre 10 y, luego, entre 3.

Nota para la enseñanza

Tenga cuidado con la idea errónea que pueden tener sus estudiantes de que dividir entre 30 significa dividir entre 3 decenas, lo que se interpretaría como 270,000 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10. Dividir entre 10 tres veces es igual a dividir entre 1,000, que no es el número entre el que se debe dividir en el problema 13.

Si la clase necesita apoyo para comprender cómo ÷ (10 × 3) se convierte en ÷ 10 ÷ 3, considere pedirles que piensen en lo que hicieron al dividir entre 100 y 1,000. Al dividir entre 100, pensaron en 100 como 10 × 10. Al dividir entre 1,000, pensaron en 1,000 como 10 × 10 × 10. La única diferencia en el problema 13 es que un factor es un número distinto de 10.

Registre 270,000 ÷ 10 ÷ 3 en el segundo espacio y pida a la clase que haga lo mismo. Luego, pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para hallar el cociente.

Confirme que el cociente es 9,000 y pida a la clase que registre el cociente en el último espacio.

Pida a la clase que complete los problemas 14 y 15 de forma individual o en parejas. Recorra el salón mientras sus estudiantes trabajan y apoye su comprensión haciendo cualquiera de las siguientes preguntas:

• ¿En qué se parece o se diferencia este problema del anterior?

• ¿Qué pueden usar del problema anterior como ayuda para resolver este problema?

• ¿Esperan que las unidades se desplacen hacia la izquierda o hacia la derecha? ¿Por qué?

• ¿Cuántas veces esperan que se desplacen las unidades? ¿Por qué?

Cuando la mayoría haya terminado, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar por qué es útil expresar el divisor con otro nombre para hallar el cociente.

Expresar el divisor usando 10, 100 o 1,000 me ayuda a dividir porque puedo desplazar los dígitos hacia la derecha tantas posiciones como se requieran para el problema.

Nos ayuda a dividir mentalmente porque, cuando divido entre 10, sé que las unidades se desplazarán hacia la derecha.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Multiplicar por y dividir entre 10, 100 y 1,000 e identificar patrones en los productos y cocientes

Guíe una conversación de toda la clase sobre la multiplicación por y la división entre 10, 100 y 1,000 usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Muestre una imagen que represente estudiantes razonando.

Dana dice que 450 ÷ 50 es equivalente a 450 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 porque 50 es 5 decenas. ¿Están de acuerdo? ¿Por qué?

No estoy de acuerdo. Dividir entre 10 cinco veces es equivalente a dividir entre 100,000.

450 ÷ 50 = 450 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10

No estoy de acuerdo. Dana solo tiene que dividir entre 50, lo que es equivalente a dividir entre 10 y, luego, dividir entre 5, ya que 50 = 10 × 5.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian multiplicar por 10, 100 y 1,000 y dividir entre 10, 100 y 1,000?

Cuando se multiplica por 10, 100 o 1,000, los dígitos se desplazan una, dos o tres posiciones hacia la izquierda.

Cuando se divide entre 10, 100 o 1,000, los dígitos se desplazan una, dos o tres posiciones hacia la derecha.

¿Cuál es la relación que hay entre multiplicar por o dividir entre 100 o 1,000 y multiplicar por o dividir entre 10?

Multiplicar por 100 es equivalente a multiplicar por 10 dos veces. Multiplicar por 1,000 es equivalente a multiplicar por 10 tres veces.

Dividir entre 100 es equivalente a dividir entre 10 dos veces. Dividir entre 1,000 es equivalente a dividir entre 10 tres veces.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. Completa el enunciado.

El 8 en 58,701 representa 10 veces el 8 en 5,870

2. Escribe una ecuación de multiplicación para relacionar el 7 en 58,701 con el 7 en 587,019

700 × 10 = 7,000

3. Escribe una ecuación de división para mostrar la relación entre el valor del 5 en 587,019 y el valor del 5 en 5,870

500,000 ÷ 100 = 5,000

Multiplica.

4. 62 × 1 decena = 62 decenas

62 × 10 = 620

5. 62 × 1 centena = 62 centenas

62 × 100 = 6,200

6. 62 × 1 millar = 62 millares

62 × 1,000 = 62,000

28. Toby halla el producto de 3,240 y 1,000

3,240 x 1,000 = 324,000

Usa el número de ceros en el producto para explicar por qué la respuesta de Toby no es correcta. Toby multiplica por 1,000, por lo que cada dígito del número debe desplazarse tres posiciones hacia la izquierda. El cero en la posición de las unidades debe desplazarse a la posición de los millares y, luego, debe haber tres ceros más. Toby tiene que desplazar los dígitos una posición más, y así tendrá cuatro ceros en el producto.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

29. Una banquera tiene un total de $54,200, todo en billetes de cien dólares. ¿Cuántos billetes de cien dólares tiene la banquera?

54,200 ÷ 100 = 542

La banquera tiene 542 billetes de cien dólares.

LECCIÓN 3

Usar exponentes para multiplicar por y dividir entre potencias de 10

Vistazo a la lección

Nombre Fecha 3

Multiplica o divide. Luego, escribe cada producto o cociente en forma exponencial.

1. 10 × 10 × 10 × 10 = 104

2. 10 × 1,000 = 104

3. 100 × 104 = 106

4. 100,000 ÷ 102 = 103

Multiplica o divide. Luego, escribe cada producto o cociente en forma estándar.

5. 4 × 105 = 400,000

6. 200 × 104 = 2,000,000

7. 70,000 ÷ 104 = 7

8. 340,000 ÷ 103 = 340

La clase multiplica varias veces por 10 y relaciona el número de factores con los exponentes de expresiones exponenciales. Practican escribir múltiples factores de 10 en forma estándar, en forma desarrollada y en forma exponencial. Aplican esta comprensión a problemas de multiplicación y división que involucran potencias de 10. En esta lección se presentan los términos exponente, forma exponencial y potencia de 10.

Preguntas clave

• ¿Saber qué sucede cuando el número 10 es un factor les ayuda a multiplicar por y dividir entre potencias de 10? ¿Por qué?

• ¿Por qué puede ser útil escribir las potencias de 10 en forma exponencial?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA7 Explican el efecto de multiplicar números enteros por y dividir números enteros entre potencias de 10. (5.NBT.A.2)

5.Mód1.CLA8 Expresan potencias de 10 de números enteros en forma exponencial, forma estándar y como multiplicación repetida. (5.NBT.A.2)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 10 min

Aprender 30 min

• Determinar patrones en potencias de 10

• Intercambio con la pizarra blanca: Forma exponencial y forma estándar

• Multiplicar con potencias de 10

• Dividir entre potencias de 10

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• Tabla de potencias de 10 (en la edición para la enseñanza)

Estudiantes

• Tabla de potencias de 10 (en el libro para estudiantes)

Preparación de la lección

• Muestre o recree la Tabla de potencias de 10 para que toda la clase pueda verla.

• Considere si desea retirar con antelación la hoja extraíble de Tabla de potencias de 10 de los libros para estudiantes o si la retirará con la clase antes de la lección.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: De forma unitaria a forma estándar

La clase escribe la forma estándar de un número de cuatro dígitos dado en forma unitaria para conservar la fluidez con la escritura de números hasta 1,000,000 que aprendieron en 4.o grado.

Muestre 1 millar, 9 centenas, 4 decenas y 3 unidades = .

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma unitaria. ¿Comenzamos?

1 millar, 9 centenas, 4 decenas y 3 unidades

Escriban el número en forma estándar.

1 millar, 9 centenas, 4 decenas y 3 unidades = 1,943

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre la respuesta.

Repita el proceso con la siguiente secuencia: 2

Considere proporcionar a sus estudiantes una tabla de valor posicional, o indicarles que dibujen una, para apoyar la comprensión de los valores posicionales mientras escriben los números en forma estándar.

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números de varios dígitos

La clase redondea un número de tres dígitos a la centena y la decena más cercanas como preparación para estimar productos a partir de la lección 4.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre 192 ≈ .

¿Cuánto es 192 redondeado a la centena más cercana?

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 192 ≈ .

¿Cuánto es 192 redondeado a la decena más cercana?

Muestre el valor redondeado.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

La clase examina representaciones que muestran factores de 10.

Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo? Muestre cuatro representaciones y pida a la clase que las analice.

Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la que pertenezcan tres de los elementos, pero uno no pertenezca.

Cuando se acabe el tiempo, invite a sus estudiantes a que expliquen la categoría que eligieron y justifiquen por qué uno de los elementos no pertenece a esa categoría.

Destaque respuestas que enfaticen el razonamiento sobre 10 como factor.

Haga preguntas que inviten a la clase a usar un lenguaje preciso, a hacer conexiones y a hacer sus propias preguntas.

Estos son algunos ejemplos de preguntas:

¿Cuál no pertenece al grupo?

A no pertenece porque es el único que muestra 10 veces 1,000 en una ecuación.

B no pertenece porque es el único que muestra 10 como un factor cuatro veces.

C no pertenece porque es el único que tiene 100 como un factor dos veces.

D no pertenece porque es el único que muestra una división.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian las representaciones A y B?

Las dos muestran el producto 10,000, pero A lo muestra como 10 veces 1,000 y B lo muestra como 10 × 10 × 10 × 10.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian las representaciones B y D?

Las dos muestran unidades en las columnas de decenas, centenas, millares y decenas de millar.

B muestra una multiplicación repetida por 10.

D muestra una división repetida entre 10.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian las representaciones A y C?

Tanto A como C tienen productos de 10,000.

Las dos ecuaciones tienen 10 como factor cuatro veces. Si se descompone cada factor en varios números 10, cada uno tiene 10 como factor cuatro veces.

Si se descompone cada factor en varios números 10, se obtiene la misma ecuación para A y C, solo que con los números 10 agrupados de manera diferente: 10 × (10 × 10 × 10) = 10,000 y (10 × 10) × (10 × 10) = 10,000.

La única diferencia es cómo están agrupados los números 10.

Las dos muestran ecuaciones con 2 factores y no muestran un modelo.

Ya vieron el 10 como factor de muchas maneras.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, vamos a multiplicar y dividir con números 10.

Aprender

Determinar patrones en potencias de 10

Materiales: M/E) Tabla de potencias de 10

La clase interpreta un exponente como el número de veces que 10 es un factor.

Invite a la clase a retirar la hoja extraíble de Tabla de potencias de 10 de sus libros. Pida a la clase que complete cada tabla con usted mientras les hace las siguientes preguntas.

Nuestro objetivo es completar esta tabla usando solamente números 10 como factores. Observen la primera ecuación. ¿Cómo podemos escribir un producto que sea igual a 100 usando solo números 10? 10 × 10

Registre 10 × 10 para completar la ecuación.

Representemos 10 × 10 en la tabla de valor posicional con la menor cantidad de puntos posible. Dibuje un solo punto en la posición de las decenas. Luego, dibuje una flecha, rotulada × 10, y otro punto en la posición de las centenas.

¿Dónde ven los dos números 10 representados en sus modelos?

Uno de los números 10 está representado por el punto en la posición de las decenas. El otro número 10 está representado por la flecha que muestra que multiplicamos 10 por 10.

Podemos usar un exponente para representar cuántas veces usamos el mismo número, en este caso 10, como factor. ¿Cuántos números 10 multiplicamos para obtener 100?

Dos números 10

DUA: Acción y expresión

La tabla de registro requiere que sus estudiantes escriban varias ecuaciones y que escriban el exponente como un numeral más pequeño que la base. Para reducir las exigencias de motricidad fina, considere hacer copias de las respuestas para las columnas Ecuación, Representación y Forma exponencial de la hoja de registro. Ofrezca a la clase la opción de seleccionar y pegar las respuestas correctas en la hoja de registro. Para ayudar a sus estudiantes a escribir el exponente con mayor comodidad, proporcione una plantilla y dé tiempo para practicar.

10 10

Al escribir números muy grandes usando solo números 10 como factores, ocupamos menos espacio en la página si usamos la forma exponencial. Cuando escribimos un número con un exponente, estamos escribiendo el número en forma exponencial.

100 no es un número muy grande, pero usémoslo para practicar la forma exponencial. Ya que usamos 10 dos veces para obtener 100, ¿qué exponente deberíamos usar?

Escribamos 102 en la columna Forma exponencial.

Señale 102 en la tabla.

Ahora vemos que 10 × 10, 100 y 10 a la segunda potencia son diferentes maneras de representar 100.

Pida a sus estudiantes que vayan a la siguiente ecuación en la tabla.

¿1,000 es cuántas veces 100?

1,000 es 10 veces 100.

¿100 es cuántas veces 10?

100 es 10 veces 10.

¿Cómo podemos escribir 1,000 usando solo números 10?

10 × 10 × 10

Registre 10 × 10 × 10 para completar la ecuación.

Pida a sus estudiantes que representen 10 × 10 × 10 usando puntos y flechas en la tabla de valor posicional, mientras usted hace lo mismo.

¿Cuántos números 10 multiplicamos para obtener 1,000?

Multiplicamos tres números 10 para obtener 1,000.

¿Cómo podemos escribir 1,000 en forma exponencial?

103 porque 1,000 = 10 × 10 × 10. 10 es un factor 3 veces, así que 1,000 es 103 en forma exponencial.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para apoyar la comprensión de sus estudiantes de los nuevos términos de vocabulario exponente y forma exponencial, considere crear un afiche de referencia que la clase pueda consultar.

Además, proporcione a sus estudiantes un protector de hojas transparente para la Tabla de potencias de 10 y pídales que consulten esta tabla cuando sea necesario.

¿Cómo se relaciona el número de ceros del producto con el exponente y el número de 10 como factores?

El número de ceros de cada producto coincide con el exponente de la forma exponencial. El número de ceros de cada producto es igual al número de 10 que se multiplican en total.

Pida a la clase que, en parejas, completen la tabla hasta 1,000,000 usando el patrón que acaban de observar.

Señale 103.

¿Cómo lo leemos en voz alta?

10 a la tercera potencia

¿Cuánto es 103?

Es igual a 1,000.

Es igual a 10 × 10 × 10.

Cuando un número se puede escribir como el producto de multiplicar números 10 entre sí, o como el 10 con un exponente, ese número es una potencia de 10. Así que 100 es una potencia de 10. ¿Qué otro número es una potencia de 10?

10,000 es una potencia de 10.

¿Cómo saben que un número es una potencia de 10? Den un ejemplo.

Sé que un número es una potencia de 10 si puedo escribirlo como un producto usando solo números 10 como factores. Por ejemplo, 10,000 es una potencia de 10 porque puedo escribirlo como 10 × 10 × 10 × 10 y como 104.

Cuando tienen un número en forma exponencial como 10 a la cuarta potencia, ¿cuántos ceros hay en el producto?

Hay cuatro ceros en el producto.

¿Pueden usar el número de ceros como ayuda para escribir una potencia de 10, como 10,000, en forma exponencial? ¿Cómo?

Sí. Puedo contar el número de ceros en una potencia de 10 y usar ese número como exponente.

¿La única manera de determinar qué exponente usar es contando el número de ceros?

Expliquen su razonamiento.

No. Primero, puedo escribir el número como una expresión, para poder ver cuántos factores de 10 hay en el número. Luego, puedo contar el número de factores de 10 para determinar qué exponente usar.

Volvamos a la tabla y usemos lo que sabemos para completar la última fila. ¿Cuántos números 10 multiplicamos para que sea igual a 10?

Necesitamos un solo 10 para que sea igual a 10.

10 Millones (1,000,000) Centenas de millar (10 0,000)

Decenas de millar (10,000) Millares (1,0 00) Centenas (10 0) Decenas (10) Unidades (1)

¿Cómo mostramos 10 en la tabla de valor posicional?

Podemos dibujar un punto en la posición de las decenas.

¿Cómo se ve la forma exponencial de 10? ¿Por qué?

La forma exponencial de 10 tiene un 1 como exponente porque necesitamos un solo 10 para que sea igual a 10.

Intercambio con la pizarra blanca: Forma exponencial y forma estándar

La clase escribe potencias de 10 como ecuaciones en forma estándar y en forma exponencial.

Muestre cada una de las siguientes expresiones, una a la vez.

Escriban una ecuación que muestre cada potencia de 10 de forma que sea igual a una expresión de multiplicación que solo use números 10.

• 102 = 10 × 10

• 103 = 10 × 10 × 10

• 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10

• 106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

• 104 = 10 × 10 × 10 × 10

• 101 = 10

Escriban una ecuación que muestre cada número reescrito en forma exponencial.

• 1,000 = 103

• 100,000 = 105

• 100 = 102

• 10,000 = 104

• 10 = 101

• 1,000,000 = 106

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo determinar la manera en que cada número está representado en forma exponencial.

Multiplicar con potencias de 10

La clase multiplica potencias de 10 usando una variedad de estrategias.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 y 2 de sus libros. Pídales que completen los problemas en parejas. Recorra el salón e identifique si hay estudiantes que multiplican usando diferentes métodos y expresan el producto de diferentes maneras.

Nota para la enseñanza

Asegúrese de que sus estudiantes escriban la ecuación completa y no solo la expresión. Esta práctica les ayudará a conectar la forma estándar con la forma exponencial.

Para este Intercambio con la pizarra blanca revise lo siguiente:

Cuando la clase vea 102, asegúrese de que escriban la ecuación 102 = 10 × 10 y no solo la expresión 10 × 10.

Cuando la clase vea 1,000, asegúrese de que escriban la ecuación 1,000 = 103 y no solo la expresión 103.

Multiplica.

1. 10,000 × 100 = 1,000,000

2. 1,000 × 103 = 106

Invite a quienes haya identificado a compartir sus métodos y respuestas con la clase. Considere hacer cualquiera de las siguientes preguntas durante la conversación:

• Veo que escribiste el producto en forma estándar. ¿Cuál es el producto en forma exponencial?

• Veo que escribiste el producto en forma exponencial. ¿Cuál es el producto en forma estándar?

• ¿Cómo supiste qué exponente usar cuando escribiste el producto en forma exponencial?

• ¿Expresaste cada potencia de 10 usando primero los exponentes, o usaste otro método?

• ¿En qué parte del trabajo de tu par ves tu respuesta?

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Luego, haga las siguientes preguntas.

¿En qué se parece o se diferencia este problema de los que resolvimos antes?

Este problema tiene un factor que no es una potencia de 10.

¿Cómo podemos escribir 7 × 102 usando 10 como factor?

7 × 10 × 10

Pida a la clase que complete los problemas 3 y 4 en parejas. Multiplica.

3. 7 × 102 = 700

4. 300 × 103 = 300,000

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) a medida que piensa y comparte, a partir de su nueva comprensión de los exponentes, una progresión lógica de los enunciados que explique cómo halló cada producto.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Es 106 una suposición, o lo saben con seguridad? ¿Cómo lo saben?

• ¿Este paso en su trabajo es verdadero? ¿Cómo lo saben?

• ¿Qué preguntas pueden hacerles a sus pares para asegurarse de que comprenden su razonamiento?

Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, confirme sus respuestas y, luego, haga la siguiente pregunta.

Los dos problemas tenían un factor que no era una potencia de 10. ¿Pudieron expresar el producto usando la forma exponencial? ¿Por qué?

No. No pudimos escribir el producto en la forma exponencial porque, en el problema, había factores que no eran 10.

Por ahora, solo podemos escribir números en forma exponencial cuando el número es una potencia de 10, lo que significa que el producto solo puede escribirse con números 10.

Dividir entre potencias de 10

La clase divide entre potencias de 10 usando una variedad de estrategias y comparten su trabajo para comparar.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5. Luego, haga la siguiente pregunta.

¿En qué se parece o se diferencia este problema de los anteriores?

Este problema es de división. Los otros problemas que hicimos hasta ahora eran de multiplicación. Este problema contiene potencias de 10, al igual que todos los otros problemas que hicimos hasta ahora.

Pida a la clase que complete los problemas 5 y 6 en parejas. Recorra el salón e identifique si hay estudiantes que dividen usando diferentes métodos y expresan los cocientes de diferentes maneras.

Divide.

5. 10,000 ÷ 102 = 102

6. 1,000,000 ÷ 103 = 103

Invite a quienes haya identificado a compartir sus métodos y respuestas con la clase. Considere hacer cualquiera de las siguientes preguntas durante la conversación:

• Veo que escribiste el cociente en forma estándar. ¿Cuál es el cociente en forma exponencial?

• Veo que escribiste el cociente en forma exponencial. ¿Cuál es el cociente en forma estándar?

Nota para la enseñanza

En 6.o grado, se amplía la comprensión de la forma exponencial para que incluya cualquier base de número entero. En 8.o grado, aprenden a expresar números muy grandes y muy pequeños en notación científica. Luego, en ese mismo grado, se realizan operaciones en números escritos en notación científica. En 5.o grado se sientan las bases de esta comprensión al enfocarse solamente en las potencias de 10.

• ¿Cómo supiste qué exponente usar cuando escribiste el cociente en forma exponencial?

• ¿Expresaste cada potencia de 10 usando primero los exponentes, o usaste otro método?

• ¿En qué parte del trabajo de tu par ves tu respuesta?

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 7 y 8.

Al igual que antes, estos problemas son un poco diferentes. ¿Qué observan?

Observo que 9,000 y 360,000 no son potencias de 10.

Pida a la clase que complete los problemas 7 y 8 con sus parejas.

Divide.

7. 9,000 ÷ 103 = 9

8. 360,000 ÷ 104 = 36

Cuando la mayoría de sus estudiantes haya terminado, confirme sus respuestas y, luego, haga las siguientes preguntas.

¿Pudieron expresar el cociente usando la forma exponencial? ¿Por qué?

No. No pudimos escribir los cocientes en forma exponencial porque no multiplicamos por ningún 10 para obtener 9 o 36.

¿Cómo hallaron el cociente para cada problema?

Usé la tabla de valor posicional y pensé cuántas veces los dígitos se desplazarían hacia la derecha.

Me di cuenta de que el exponente me muestra cuántas veces el dígito 9 se desplaza hacia la derecha. Para 103, significa que el 9 en la posición de los millares se desplaza tres veces hacia la derecha.

Puse el dígito 3 en la posición de las centenas de millar y el dígito 6 en la posición de las decenas de millar en la tabla de valor posicional para representar 360,000. Luego, desplacé cada dígito cuatro veces hacia la derecha para representar la división entre 10 cuatro veces.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Usar exponentes para multiplicar por y dividir entre potencias de 10

Reúna a la clase con sus Grupos de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre el uso de exponentes para multiplicar por o dividir entre potencias de 10 usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Muestre las diferentes representaciones de 10,000. Dé a sus estudiantes 1 o 2 minutos para que analicen las representaciones.

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan ayuda para hacer la transición del dibujo de puntos a la escritura de dígitos en los problemas 14 a 19 en el Grupo de problemas, considere brindarles una experiencia concreta. Pídales que desplacen dígitos en la tabla de valor posicional usando dígitos escritos en notas adhesivas o tiras de papel de construcción. Pueden desplazar los dígitos físicamente en la tabla de valor posicional para mostrar la multiplicación o la división.

¿Qué número debemos colocar en el medio para mostrar el valor de todas estas representaciones? ¿Por qué?

Debemos escribir 10,000 porque cada representación es igual a 10,000.

Los billetes de mil dólares muestran 1,000 diez veces, que es igual a 10,000.

Tanto la tabla de valor posicional como la expresión 100 × 10 × 10 muestran 100 multiplicado por 10 dos veces. 100 es 10 × 10, así que 10 × 10 × 10 × 10 es otra expresión igual a 100 × 10 × 10, que es 10,000.

El exponente 4 en 104 representa el número de veces que 10 es un factor en el número. 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000

¿Saber qué sucede cuando el número 10 es un factor les ayuda a multiplicar por y dividir entre potencias de 10? ¿Por qué?

Sí. Sabemos que, cuando multiplicamos por 10, los dígitos se desplazan hacia la izquierda, y cuando dividimos entre 10, los dígitos se desplazan hacia la derecha. Así que podemos usar la cantidad de números 10 como ayuda para encontrar el producto o el cociente con solo desplazar los dígitos.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 1 a 5 de su Grupo de problemas.

¿Por qué puede ser útil escribir las potencias de 10 en forma exponencial?

Escribir una potencia de 10 en forma exponencial es más rápido y ocupa menos espacio. Por ejemplo, escribir 106 es más rápido y ocupa menos espacio en la página que escribir 1,000,000.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 15.

¿Cómo hallaron el cociente?

Pensé en la división entre 105 como el desplazamiento de los dígitos en 500,000 cinco posiciones hacia la derecha en la tabla de valor posicional. Cuando los dígitos en 500,000 se desplazan cinco posiciones hacia la derecha, eso quiere decir que el cociente es 5.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Nombre Fecha       3

Completa la tabla para representar cada número de tres formas diferentes. El primero ya está resuelto como ejemplo.

Forma estándar Expresión de multiplicación con 10 como único factor Forma exponencial

1. 100 10 × 10 102

2. 1,000 10 × 10 × 10 103

3. 10,000 10 × 10 × 10 × 10 104

4. 100,000 10 × 10 × 10 × 10 × 10 105

5. 1,000,000 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 106

Escribe cada producto o cociente en forma exponencial. 6.

11. Usa palabras y ecuaciones para explicar en qué se diferencia 105 de 10 × 5

105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100,000

10 × 5 = 50

10 a la quinta potencia significa que 10 se usa como factor 5 veces. 10 por 5 es igual a 10 grupos de 5

Reescribe cada expresión usando un exponente. Luego, halla el producto o cociente y escríbelo en forma estándar.

12. Decenas de millar Millares Centenas Decenas Unidades

13. Decenas de millar Millares Centenas Decenas Unidades

10. Considera la expresión que se muestra. 1,000 × 103

¿Cómo te ayuda el exponente a pensar cómo desplazar los dígitos en el primer factor para hallar el producto?

El exponente 3 me ayuda a saber que debo desplazar los dígitos tres posiciones. Dado que es una expresión de multiplicación, sé que debo desplazar los dígitos tres posiciones hacia la izquierda.

Halla cada producto o cociente y escríbelo en forma estándar.

20. Explica cómo hallaste el cociente en el problema 16. Pensé en la división entre 102 como un desplazamiento de los dígitos de 39,000 dos posiciones hacia la derecha en una tabla de valor posicional. Cuando los dígitos de 39,000 se desplazan dos posiciones hacia la derecha, el cociente es 390.

21. Yuna halla 300 × 103. Explica la estrategia de Yuna.

Primero, Yuna reescribió 300 como 3 × 10 × 10. Luego, pudo ver que 10 es un factor 5 veces porque hay dos 10 y un 103. Halló que 3 × 105 = 300,000

LECCIÓN 4

Estimar productos y cocientes usando potencias de 10 y sus múltiplos

Vistazo a la lección

Un helicóptero grande puede cargar 25,000 libras. El peso promedio de un auto es 4,110 libras. Si hay suficiente espacio, ¿aproximadamente cuántos autos puede cargar un helicóptero al mismo tiempo? Explica cómo lo sabes.

El helicóptero puede cargar aproximadamente 6 autos. Si cada auto pesa aproximadamente 4,000 libras, entonces 6 autos pesan aproximadamente 24,000 libras, porque 4,000 × 6 = 24,000, y 7 autos pesan aproximadamente 28,000 libras, porque 4,000 × 7 = 28,000. El helicóptero puede cargar aproximadamente 6 autos al mismo tiempo porque puede cargar 25,000 libras, y 7 autos serían demasiado pesados.

La clase estima productos y cocientes aplicando su comprensión de la multiplicación por y división entre potencias de 10. La clase compara las estimaciones y comenta las estrategias de estimación. Después de comentar por qué la estimación es una destreza valiosa, la clase aplica estrategias para estimar productos y cocientes en situaciones del mundo real. En esta lección se presenta el término analizar.

Preguntas clave

• ¿Qué es importante tener en cuenta cuando usan la estimación?

• ¿Por qué podrían redondear un número a una potencia de 10, o a un múltiplo de una potencia de 10, antes de estimar un producto o un cociente?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

5.Mód1.CLA7 Explican el efecto de multiplicar números enteros por y dividir números enteros entre potencias de 10. (5.NBT.A.2)

Nombre Fecha

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Estimar productos

• Estimar cocientes

• Estimar productos y cocientes en el mundo real

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: De forma unitaria a forma estándar

Dado un número de cinco dígitos en forma unitaria, la clase lo escribe en forma estándar para conservar la fluidez con la escritura de números hasta 1,000,000 que aprendieron en 4.o grado.

Muestre 1 decena de millar, 3 millares, 7 centenas, 2 decenas y 9 unidades = .

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma unitaria. ¿Comenzamos?

1 decena de millar, 3 millares, 7 centenas, 2 decenas y 9 unidades

Escriban el número en forma estándar.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre la respuesta.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

de millar, 3 millares, 7 centenas, 2 decenas y 9 unidades = 13,729

Intercambio con la pizarra blanca: Redondear números de varios dígitos

La clase redondea un número de cuatro dígitos al millar y a la centena más cercanos para prepararse para estimar productos.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre 1,832 ≈   .

¿Cuánto es 1,832 redondeado al millar más cercano?

Muestre el valor redondeado y, luego, muestre 1,832 ≈ .

¿Cuánto es 1,832 redondeado a la centena más cercana?

Muestre el número redondeado.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

5 Nota para la enseñanza

La clase estima el número de días que ha vivido una persona.

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para la siguiente situación.

En su cumpleaños número 11, Blake quiere saber cuántos días ha vivido.

¿Cómo puede determinarlo?

Blake puede multiplicar 11 por 365 para determinar cuántos días ha vivido.

Blake no tiene lápiz ni papel, por lo que quiere estimar cuántos días ha vivido. En parejas, usen el cálculo mental para estimar cuántos días ha vivido Blake. Prepárense para compartir sus razonamientos con la clase.

Invite a algunas parejas a compartir sus estimaciones y razonamientos.

Blake ha vivido cerca de 3,700 días, porque 10 × 370 = 3,700. Redondeamos 11 a 10 y 365 a 370 y multiplicamos 10 por 370.

Blake ha vivido cerca de 3,650 días porque 10 × 365 = 3,650. Redondeamos 11 a 10 y multiplicamos 10 por 365.

A medida que la clase las comparte, registre sus estimaciones para que la clase pueda verlas, y haga las siguientes preguntas:

• ¿Qué números eligieron redondear? ¿Por qué?

• ¿Cómo decidieron a qué valor posicional redondearlos?

Si la clase no proporciona las siguientes estimaciones, añádalas a la lista.

• 10 × 365 = 3,650

• 10 × 360 = 3,600

• 10 × 370 = 3,700

• 10 × 400 = 4,000

• 11 × 400 = 4,400

Multiplicar 11 por 365 no da el número exacto de días que Blake ha vivido porque hacer esto no tiene en cuenta los años bisiestos. Considere conversar sobre cómo ajustar la respuesta para los años bisiestos o en qué casos la clase podría elegir ignorar los años bisiestos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para proporcionar apoyo a la clase en la comprensión de la palabra redondear, considere crear en conjunto y publicar una lista de razones por las cuales se redondean los números. Incluya las palabras aproximadamente y estimar como apoyo para cuando sus estudiantes encuentren estos términos en los problemas o las instrucciones.

Destaque que la palabra redondear tiene varios significados (terminar o completar algo y estimar números) y enfatice el significado específico de redondear en esta lección.

Luego, use las siguientes preguntas para guiar una conversación breve.

Redondear puede ayudarnos a convertir un problema desafiante en un problema de cálculo mental que podemos usar para estimar cuando no se necesita una respuesta precisa, o esta es difícil de hallar.

¿Por qué las estimaciones del número de días que ha vivido Blake son diferentes?

Son diferentes porque elegimos diferentes maneras de redondear la edad de Blake y el número de días que hay en un año.

¿Qué notan sobre los factores en cada una de estas estimaciones?

Noto que al menos uno de los factores de cada una de estas estimaciones es una potencia de 10.

Noto que muchos de los factores que representan el número de días que hay en un año pueden escribirse como un producto con al menos un 10.

Noto que en muchas de las estimaciones se usa un factor que es 10, un múltiplo de 10 o ambos.

A los números como 400 o 370 se los llama múltiplos de una potencia de 10 porque podemos escribirlos como un número multiplicado por una potencia de 10. ¿Cómo podemos mostrar que 400 es un múltiplo de una potencia de 10?

Como 400 = 4 × 100, podemos mostrarlo como un múltiplo de una potencia de 10 escribiendo 400 como 4 × 100 o como 4 × 102.

¿Por qué creen que redondeamos factores a potencias de 10 o a múltiplos de una potencia de 10?

Creo que redondeamos a potencias de 10 o a múltiplos de una potencia de 10 para poder hallar productos usando el cálculo mental. De otro modo, necesitaríamos lápiz y papel.

¿Se crea una estimación más cercana al producto real cuando se multiplica 10 por 365 o cuando se multiplica 10 por 360? ¿Por qué?

Cuando se multiplica 10 por 365, se crea una estimación más cercana al producto real porque se redondea solo un factor, y no ambos.

Para que una estimación sea razonable, debe estar cerca del valor real. El producto real de 11 y 365 es 4,015. ¿Creen que las estimaciones son razonables? Expliquen.

Sí. Todas las estimaciones están cerca de 4,015 días.

Hacer una estimación en la clase de matemáticas puede ayudarnos a hallar cocientes y productos más rápido porque podemos usar el cálculo mental. Las estimaciones también pueden ayudarnos a detectar errores. Si una respuesta está lejos de nuestra estimación, puede que hayamos cometido un error al multiplicar o al dividir.

La estimación también aparece en el mundo real. Por ejemplo, podrían estimar cuánto costará una salida al cine para asegurarse de tener suficiente dinero. O podrían estimar cuánto tiempo les tomará terminar su tarea.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de una situación del mundo real en la que crean que es útil la estimación.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, utilizaremos nuestra experiencia con la multiplicación por y división entre potencias de 10 para estimar productos y cocientes.

Aprender

Estimar productos

La clase estima productos usando potencias de 10 y sus múltiplos.

Escriba 28 × 79.

Podemos calcular el producto de 28 y 79 usando un lápiz y papel. Podemos estimar el producto usando el cálculo mental. ¿Por qué podríamos estimar el producto de 28 y 79 antes de calcularlo?

Estimar nos ayudará a decidir si nuestra respuesta es razonable cuando hallemos el producto real.

Podemos estimar un producto redondeando los factores y multiplicándolos luego. ¿Cómo redondearían 28 y 79 para poder usar el cálculo mental y estimar el producto? Expliquen.

Redondearía ambos números a la decena más cercana porque luego multiplicaría dos múltiplos de 10. Redondearía 28 a 30 y 79 a 80.

DUA: Representación

Antes de comenzar el segmento Aprender de la lección, considere activar los conocimientos previos resaltando los aspectos importantes del redondeo que la clase aprendió en 4.o grado.

• Hay una diferencia entre redondear al número más cercano, redondear a un número mayor y redondear a un número más pequeño.

• Redondear sirve para hacer estimaciones. Las estimaciones no suelen ser exactas.

• Según la situación, pueden decidir la manera más útil de redondear.

¿Cuánto es 30 × 80? ¿Cómo lo saben?

30 × 80 = 2,400 porque 30 × 80 = 3 × 10 × 8 × 10. Eso es igual a 24 × 102, que es 2,400.

¿Creen que la estimación 2,400 es mayor o menor que el producto real de 28 y 79? Expliquen.

2,400 es mayor que el producto real porque redondeamos ambos factores a la decena siguiente.

28 × 79 = 2,212. Nuestra estimación es mayor que el producto real porque redondeamos ambos factores a la decena siguiente, pero sigue siendo razonable porque 2,400 está cerca de 2,212.

Escriba 278 × 31. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el producto.

El producto es aproximadamente 9,000 porque 300 × 30 = 9,000.

El producto es aproximadamente 9,300 porque 3 × 100 × 31 = 93 × 100 = 9,300.

Destaque distintos razonamientos que pueda tener la clase. Considere enfatizar los siguientes puntos:

• Podemos estimar el producto multiplicando 280 por 30, pero ese producto podría ser difícil de calcular mentalmente para algunas personas.

• Podemos estimar el producto multiplicando 300 por 30, pero también podríamos multiplicar 300 por 31, que es más preciso.

¿Creen que su estimación es mayor o menor que el producto real de 278 y 31? Expliquen. Creo que mi estimación es mayor que el producto real porque redondeé 278 a un número más grande, 300.

278 × 31 = 8,618

Escriba 308 × 24. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el producto. Es probable que las respuestas de sus estudiantes incluyan las que se muestran. Explique que cada una de estas tres estimaciones diferentes es razonable.

310 × 20 = 6,200

3 × 100 × 25 = 75 × 100 = 7,500

300 × 20 = 6,000

Nota para la enseñanza

Considere mostrar el trabajo para 30 × 80 usando las propiedades de la multiplicación:

30 × 80 = 3 × 10 × 8 × 10 = 3 × 8 × 10 × 10 = 24 × 100 = 2,400

En el renglón 2, se usa la propiedad conmutativa para cambiar el orden de los factores. En el renglón 3, se utiliza la propiedad asociativa para multiplicar el 3 y el 8 de forma separada de los otros factores.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) mientras redondea y razona sobre los números de una expresión determinada para estimar su valor mentalmente.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿De qué otra manera pueden pensar en 308 × 24 de modo que les sirva para estimar el producto?

• ¿De qué manera sus conocimientos sobre multiplicación (o división) con potencias de 10 pueden servirles para multiplicar (o dividir) con otros números?

¿Creen que su estimación es mayor o menor que el producto real de 308 y 24? Expliquen. Creo que mi estimación es menor que el producto real porque redondeé ambos factores a números más pequeños. No sé con certeza si mi estimación es mayor o menor que el producto real porque redondeé un factor a un número más grande y el otro factor a un número más pequeño.

308 × 24 = 7,392. Cuando redondeamos factores de manera diferente, como cuando redondeamos un factor a un número más grande y el otro factor a un número más pequeño, puede ser difícil saber si nuestra estimación es mayor o menor que el producto real. Lo importante es que hagan una elección razonada sobre cómo redondear para que puedan decidir si el producto real es correcto o si cometieron un error.

Muestre el problema y el ejemplo de trabajo.

Luego, pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas y planteamientos.

Describe lo que hizo Mara para estimar el valor de 4,598 × 7.

Mara redondeó 7 a 10, y redondeó 4,598 a 4,000; luego, multiplicó para obtener una estimación de 40,000.

4,598 × 7 = 32,186. ¿Creen que la estimación de Mara es razonable? ¿Por qué?

La estimación de Mara es razonable porque redondeó uno de los factores a un número más pequeño y el otro factor a un número más grande. Uno de los factores es una potencia de 10, así que pudo calcular el producto mentalmente.

La estimación de Mara no es razonable porque es muy alta comparada con el producto real.

¿Puede hacer Mara una estimación más razonable? ¿Cómo?

Sí. Mara podría redondear 4,598 a 5,000 y, luego, hallar el producto de 5,000 y 7, que es 35,000. La estimación de 35,000 está mucho más cerca del producto real que la estimación que hizo Mara de 40,000.

Hay muchas formas de hacer una estimación razonable. Redondear a un número que es una potencia de 10 es útil porque podemos usar lo que sabemos sobre desplazar dígitos hacia la izquierda cuando multiplicamos por una potencia de 10. En este caso, redondear 4,598 a 5,000 y, luego, multiplicar por 7 dio una mejor estimación que redondear los dos factores.

4, 598 × 7 ≈ 4,000 × 10 = 40,000

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea las instrucciones en voz alta y, luego, use los siguientes planteamientos para representar cómo hallar y mostrar una estimación para el producto.

Estima cada producto. Muestra tu razonamiento.

1. 7,114 × 20

7,114 × 20 ≈ 7,000 × 20 = 7 × 1,000 × 2 × 10 = 7 × 10 × 10 × 10 × 2 × 10 = 14 × 104 = 140,000

7,114 × 20 ≈ 140,000

Para 7,114 × 20, observo que 7,114 está cerca de 7,000, que es un múltiplo de una potencia de 10. Como 20 es el otro factor, no lo redondearé, pero observo que también es un múltiplo de una potencia de 10.

Registre 7,114 × 20 ≈ 7,000 × 20 y pida a la clase que haga lo mismo.

Como estoy redondeando y no hallando el producto real, necesito mostrar eso usando el signo aproximadamente igual a.

Señale el signo en 7,114 × 20 ≈ 7,000 × 20.

Sé que, al multiplicar por decenas, los dígitos se desplazan hacia la izquierda, así que escribiré cada factor de modo tal que muestre cuántas decenas hay en cada uno.

Registre = 7 × 1,000 × 2 × 10 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Observen que, esta vez, usé el signo igual. Usé el signo igual porque ahora estoy hallando el producto real de 7,000 y 20, y no una estimación. Ahora, mostraré exactamente cuántas decenas hay en esta estimación.

Registre = 7 × 10 × 10 × 10 × 2 × 10 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Ahora, reorganizo los factores y veo la estimación 14 × 104. Reúnanse y conversen en parejas sobre dónde ven 14 y 104.

Registre = 14 × 104 y = 140,000 y el enunciado 7,114 × 20 ≈ 140,000 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Para estimar el producto, usamos lo que sabemos sobre las potencias de 10 y sus múltiplos, así como lo que aprendimos sobre cómo se desplazan los dígitos cuando multiplicamos por decenas.

Practiquen mostrar su razonamiento de esta manera, con el signo igual y el signo aproximadamente igual a, para que quede claro cuándo están estimando y cuándo están hallando un producto real.

Pida a la clase que complete los problemas 2 a 4. Destaque que la clase debe mostrar los números que utiliza para hallar la estimación, pero que debe poder utilizar el cálculo mental para hacer los cálculos. Recorra el salón para brindar apoyo a sus estudiantes y para identificar a quienes usan una potencia de 10 en su trabajo.

2. 1,009 × 51

1,009 × 51 ≈ 1,000 × 50 = 10 × 10 × 10 × 5 × 10 = 5 × 104 = 50,000

Nota para la enseñanza

No es necesario que cada estudiante replique el trabajo que se muestra en los problemas 2 y 3 para cada estimación. El uso intencional de las potencias de 10 y sus múltiplos en estos problemas es para demostrar la utilidad de ver las decenas como factores en cualquier problema para que los cálculos puedan hacerse mentalmente.

1,009 × 51 ≈ 50,000

3. 92 × 396,285

92 × 396,285 ≈ 90 × 400,000 = 9 × 10 × 4 × 100,000 = 9 × 10 × 4 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 36 × 106 = 36,000,000

92 × 396,285 ≈ 36,000,000

4. ¿Qué número es la mejor estimación de 976 × 52?

A. 4,500

B. 45,000

C. 50,000

D. 500,000

Cuando sus estudiantes terminen, pídales que compartan sus estimaciones para los problemas 2 y 3. Si alguien utilizó una potencia de 10 o un múltiplo de una potencia de 10, pídale que comparta su trabajo con la clase. Enfatice que hay varias respuestas correctas porque cada persona tiene diferentes ideas sobre cómo convertir un cálculo desafiante en otro que pueda resolverse usando el cálculo mental.

Para el problema 4, destaque que, aunque no hayan obtenido 50,000 para su estimación, debería estar más cerca de 50,000 que de cualquiera de las otras opciones. Por ejemplo, si alguien estimó multiplicando 1,000 por 52, su estimación es 52,000. En este caso, redondear ambos factores resulta en una mejor estimación que redondear solo uno de los factores. No es necesario enfatizar esto con la clase, pero puede que la situación surja naturalmente mientras sus estudiantes continúan redondeando números para hacer estimaciones.

Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre cómo redondean factores cuando estiman un producto.

Estimar cocientes

La clase estima cocientes usando potencias de 10 y sus múltiplos.

Escriba 118 × 7 y 118 ÷ 7. Luego, use las siguientes preguntas para presentar la estimación de cocientes.

Analicen, u observen con atención, las expresiones. ¿Qué expresión podemos usar para estimar el producto de 118 y 7?

120 × 7

¿Usarían 120 ÷ 7 para estimar el cociente de 118 y 7? ¿Por qué?

No. Es difícil para mí dividir 120 entre 7 porque 120 no es un múltiplo de 7.

¿A qué números podemos redondear para poder estimar mentalmente el cociente de 118 y 7?

Podríamos dividir 140 entre 7 para obtener 20.

Podríamos dividir 120 entre 6 para obtener 20.

¿Cómo sabemos que podemos dividir mentalmente 140 entre 7?

140 es un múltiplo de 7 ya que 140 es igual a 14 decenas.

Diferenciación: Apoyo

Para quienes necesiten apoyo adicional para estimar cocientes, considere proporcionar una tabla de multiplicación para que la utilicen para identificar totales y divisores.

Por ejemplo, alguien puede mirar la columna del 7 de una tabla de multiplicación y ver que 12 no es divisible entre 7, pero que 14 sí lo es. Por lo tanto, 140 es divisible entre 7

Apoyo para la comprensión del lenguaje

En este segmento, se presenta el término analizar. Considere enseñar el término por adelantado, anticipándose al momento en el que sus estudiantes deben analizar las expresiones. Relacione el término con sus usos en otras áreas de contenido, como analizar la trama de un cuento o los resultados de un experimento científico.

¿Cómo sabemos que podemos dividir mentalmente 120 entre 6?

Sé que 12 decenas dividido entre 6 es 2 decenas, porque 12 ÷ 6 = 2.

120 es un múltiplo de 6.

¿Por qué podría ser más desafiante estimar cocientes que estimar productos?

Puede que sea más difícil determinar números redondeados que funcionen bien para una división de cálculo mental.

Escriba 5,247 ÷ 73 y pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para estimar el cociente. Anticípeles que crearán estimaciones de 4,900 ÷ 70 = 70 o 5,600 ÷ 70 = 80. Invite a sus estudiantes a compartir sus estimaciones y su razonamiento. Luego, haga la siguiente pregunta.

¿Redondearon a algún número que no funcionó bien? Expliquen.

Sí, redondeé 5,247 a 5,200 y 73 a 70, pero no puedo dividir 5,200 entre 70 sin papel y lápiz.

Escriba 376 ÷ 45. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el cociente. Es probable que las respuestas de sus estudiantes incluyan las que se muestran. Destaque que cada una de estas tres estimaciones diferentes es razonable. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento y destaque cualquier razonamiento que incluya identificar múltiplos o usar operaciones de división o multiplicación. Por ejemplo, sus estudiantes podrían elegir dividir 360 entre 4 porque saben que 360 es un múltiplo de 40, o porque saben que 36 ÷ 4 = 9.

360 ÷ 40 = 9

400 ÷ 40 = 10

400 ÷ 50 = 8

Muestre el problema y el ejemplo de trabajo.

Leo está haciendo una estimación para el valor de 26,215 ÷ 56. Analicen su trabajo. ¿Creen que la estimación de Leo es razonable? ¿Por qué?

No. La estimación de Leo no es razonable. 56,000 es más del doble de 26,215, por lo que su estimación probablemente no estará cerca del cociente real.

DUA: Participación

Enfatice que identificar y comprender cuándo no funcionan bien las estrategias puede ayudar a la clase a aprender y usar esa información para tener éxito en el futuro.

¿Cómo puede hacer Leo para que su estimación sea más razonable?

Leo puede dividir 25,000 entre 50.

Leo puede dividir 24,000 entre 60.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 5 a 7. Lea las instrucciones en voz alta. Explique que la clase debe mostrar los números que utiliza para hallar la estimación, pero que debe poder utilizar el cálculo mental para hacer los cálculos. Recorra el salón y proporcione apoyo a la clase mientras trabaja.

Estima cada cociente. Muestra tu razonamiento. 5.

Cuando sus estudiantes terminen, seleccione uno o dos de los problemas 5 a 7 y pídales que compartan sus estimaciones. Explique que cada problema tiene varias respuestas correctas porque cada persona tiene diferentes ideas sobre cómo convertir un cálculo desafiante en uno más simple. Destaque los razonamientos de sus estudiantes que incluyan pensar en múltiplos al elegir números para utilizar al calcular una estimación.

Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre cómo elegir los números para utilizar cuando estiman un cociente.

Estimar productos y cocientes en el mundo real

La clase estima productos y cocientes en situaciones del mundo real.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 8 y 9 en parejas.

8. La maestra Baker compra 327 sombreros para estudiantes de su escuela. Cada sombrero cuesta $18.

¿Cuánto cuestan aproximadamente los sombreros en total? Muestra tu razonamiento.

327 × 18 ≈ 330 × 20 = 6,600

El costo total de los sombreros es aproximadamente $6,600

9. Un corredor sube 1,276 escalones en 11 minutos. Estima el número de escalones que sube el corredor en 1 minuto. Muestra tu razonamiento.

1,276 ÷ 11 ≈ 1,300 ÷ 10 = 130

El corredor sube aproximadamente 130 escalones por minuto.

Cuando sus estudiantes terminen, pídales que comparen sus respuestas a los problemas 8 y 9 con otra pareja. Anime a las parejas a conversar sobre qué estimaciones creen que son más razonables, y por qué. Luego, haga la siguiente pregunta.

¿Cómo saben que la respuesta al problema 8 debe ser una estimación y no tiene que ser exacta?

La pregunta dice “cuánto aproximadamente” en lugar de “cuánto”.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué la maestra Baker podría necesitar solo una estimación del costo.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Diferenciación: Desafío

Para quienes necesiten un desafío adicional, considere proporcionar el siguiente problema. Una compañía de papel de baño promociona que sus cuadrados de papel de baño miden 4 1 2 pulgadas de largo, y que cada rollo tiene 426 cuadrados. ¿Aproximadamente cuántos pies de largo mide un rollo de papel de baño de esta compañía?

Sus estudiantes deben razonar que la respuesta está entre 4 × 420 y 5 × 430. El primer producto es una estimación baja, y el segundo producto es una estimación alta.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Estimar productos y cocientes usando potencias de 10 y sus múltiplos

Guíe una conversación de toda la clase sobre estimar productos y cocientes usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Por qué estimamos?

Estimamos para hallar una respuesta aproximada mentalmente antes de hacer el cálculo exacto.

Estimamos para determinar si una respuesta o un número es razonable.

Estimamos en el mundo real cuando no necesitamos una respuesta exacta.

¿Qué es importante tener en cuenta cuando usan la estimación?

Se debe redondear a números que se puedan calcular mentalmente. Se debe redondear correctamente.

Hay más de una estimación correcta para cualquier producto o cociente.

¿Por qué podrían redondear un número a una potencia de 10, o a un múltiplo de una potencia de 10, antes de estimar un producto o un cociente?

Puedo multiplicar y dividir mentalmente cuando redondeo un número a una potencia de 10.

Cuando multiplico por o divido entre 10, 100, 1,000, u otra potencia de 10, es más simple para mí y lleva a una estimación razonable.

Cuando redondeo a un múltiplo de una potencia de 10, es útil porque puedo pensar cuántas decenas necesito para que sea equivalente al número que estoy redondeando. Luego, puedo multiplicar o dividir mentalmente y usar el número de decenas para ayudarme a desplazar dígitos hacia la derecha o hacia la izquierda.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

8. Kelly y Adesh escribieron expresiones para mostrar cómo estimar 1,846 × 7

Expresión de Kelly 2,000 × 7

Expresión de Adesh 2, 000 × 10

¿Qué estimación está más cerca del producto real? Explica tu respuesta.

La estimación de Kelly está más cerca del producto real porque redondeó solo un factor a un número más grande. Adesh redondeó ambos factores a un número más grande, lo que hace que su estimación sea mayor que la de Kelly.

Estima cada cociente. Muestra tu razonamiento.

7. Scott comenzó a hacer una estimación de 718 × 41, pero no terminó.

a. Completa las ecuaciones para terminar la estimación de Scott.

700 × 40 = 7 × 100 × 4 × 10

28 × 10

28,000

b. ¿La estimación de Scott es mayor o menor que el producto real de 718 y 41? Explica cómo lo sabes sin calcular el producto real.

La estimación de Scott es menor que el producto real porque redondeó ambos factores a un número más pequeño.

15. Tim comete un error cuando estima 3,714 ÷ 94. ¿Cuál es el error que comete Tim?

3,714 ÷ 94 ≈ 3,600 ÷ 90 = 400

Tim tiene demasiados ceros en el cociente que estimó. La estimación del cociente de Tim debería ser 40

16. La tabla muestra cuánto cuestan los boletos para un concierto.

Boleto para personas adultas Boleto para niños y niñas

$27 $18

a. Hay 8,309 personas adultas en el concierto. ¿Cuánto se gastó aproximadamente en boletos para personas adultas?

Se gastó aproximadamente $240,000 en boletos para personas adultas.

b. La cantidad total que se gastó en boletos para niños y niñas fue $6,288. ¿Qué cantidad aproximada de niños y niñas hay en el concierto?

Hay aproximadamente 300 niños y niñas en el concierto.

Convertir medidas y describir relaciones entre unidades métricas

Vistazo a la lección

La clase identifica objetos del mundo real con longitudes, pesos o capacidades del sistema métrico dados. Usan el lenguaje de comparación multiplicativa para describir tamaños de unidades relativos. Usan la multiplicación con números enteros para expresar unidades de mayor tamaño como unidades de menor tamaño. En esta lección se formalizan los términos milímetro, centilitro, kilolitro, miligramo y centigramo.

Preguntas clave

• ¿Qué conexiones observan entre las unidades métricas de peso, longitud y capacidad?

• ¿Cómo se relacionan las unidades métricas con las potencias de 10?

Criterio de logro académico

5.Mód1.CLA12 Convierten entre cantidades de números enteros dentro del sistema métrico de medidas para resolver problemas. (5.MD.A.1)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Tamaño relativo de las unidades métricas

• Convertir unidades métricas

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• regla de un metro

• papel de rotafolio

Estudiantes

• regla de un metro (1 por grupo de estudiantes)

Preparación de la lección

Prepare 1 regla de un metro por grupo de 3 a 5 estudiantes.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Estimar productos

La clase usa el redondeo para estimar el producto de un número de un dígito y de un número de dos dígitos para prepararse para evaluar si los productos en el tema B son razonables.

Muestre 18 × 3 ≈ × 3.

¿Cuánto es 18 redondeado a la decena más cercana? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

20

Muestre el factor redondeado.

Cuando dé la señal, leamos juntos el enunciado. ¿Comenzamos?

18 × 3 es aproximadamente 20 × 3.

Muestre 18 × 3 ≈ .

Escriban y completen el enunciado con el producto estimado.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el producto estimado.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Respuesta a coro: Convertir unidades métricas

La clase convierte kilómetros a metros, kilogramos a gramos o litros a mililitros para prepararse para convertir unidades de medida del sistema métrico.

Muestre la tabla.

¿Cuántos metros equivalen a 1 kilómetro? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1,000 metros

Nota para la enseñanza

En 4.o grado, la clase expresó medidas en una unidad más grande en términos de una unidad más pequeña, como kilómetros en términos de metros. En 5.o grado, a partir de esta lección, la clase también expresa medidas en una unidad más pequeña en términos de una unidad más grande, como metros en términos de kilómetros.

Muestre la respuesta.

Continúe el proceso para completar la tabla para los kilómetros y los metros.

Repita el proceso con la siguiente secuencia de tablas:

Presentar

La clase comenta objetos del mundo real con medidas del sistema métrico dadas.

Reproduzca el video Unidades de longitud del sistema métrico. Si es necesario, reproduzca el video nuevamente y pida a la clase que tome nota de los detalles. El video muestra a un corredor preparándose para una carrera y varias medidas, como el ancho de sus cordones y la distancia que recorre.

Dé un minuto para que se reúnan y conversen acerca de lo que observaron.

Guíe una conversación sobre lo que observó la clase en el video y responda las preguntas relevantes que hagan. Destaque el razonamiento que relaciona el tamaño de una unidad con otra. Considere la siguiente secuencia posible.

¿Qué observaron sobre las unidades de medida en el video?

Noto que son unidades métricas.

Noto que las unidades van de muy cortas a muy largas.

Noto que las unidades medían la longitud de objetos y las distancias.

¿Qué se preguntan acerca de las unidades de medida?

Me pregunto qué es un milímetro.

Me pregunto cuántos milímetros hay en un metro.

Me pregunto cuántos centímetros hay en un kilómetro.

¿De qué maneras pueden describir los tamaños de las unidades?

Puedo usar palabras como largo y corto.

Puedo describir otros objetos o distancias que son del tamaño de cada unidad.

Puedo usar una unidad para describir otra. Sé que un kilómetro tiene la misma longitud que 1,000 metros.

Sé que un metro es 100 veces tan largo como un centímetro.

¿Por qué podríamos elegir medir la longitud de un objeto con centímetros en lugar de metros?

Los centímetros son más pequeños que los metros, por lo que son una buena unidad para usar cuando mides algo que no es muy grande, como la longitud de un lápiz.

Podríamos medir con centímetros si no tenemos una regla de un metro y solo tenemos una regla. Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, describiremos relaciones entre unidades métricas y convertiremos medidas.

Aprender

Tamaño relativo de las unidades métricas

Materiales: M) Regla de un metro, papel de rotafolio; E) Regla de un metro La clase identifica patrones entre las unidades métricas.

Dé una regla de un metro a cada grupo pequeño de tres a cinco estudiantes. Diga a la clase que la regla de un metro muestra tres unidades métricas. Use una regla de un metro para dibujar y rotular tres unidades: metro, centímetro y milímetro.

¿Dónde vieron o escucharon los prefijos centi- y mili- antes?

Medimos la longitud con centímetros y la cantidad de agua y otro líquido, con mililitros.

Escuché la palabra centavo al hablar sobre dinero antes.

Escuché las palabras centenario y milenario al hablar sobre el número de años antes.

Muestre una regla de un metro. Diga a la clase que la longitud de la regla es 1 metro. Pida a la clase que, en grupos pequeños, analicen las marcas de graduación y observen dónde ven centímetros y dónde ven milímetros.

¿Dónde ven centímetros? ¿Cuántos centímetros hay en 1 metro?

Vemos los centímetros rotulados, y hay 100 centímetros en 1 metro.

¿Dónde ven milímetros?

Los milímetros son la unidad más pequeña, por lo que las marcas de graduación más pequeñas representan milímetros.

Pida a la clase que use la regla de un metro para contar el número de milímetros entre 0 centímetros y 1 centímetro.

¿Cuántos milímetros hay en 1 centímetro?

Hay 10 milímetros en 1 centímetro.

Nota para la enseñanza

En Artes del lenguaje y Lectura de 3.er grado, la clase adquiere familiaridad con el uso de prefijos. En 5.o grado, la clase también usa prefijos comunes de origen griego y latino para determinar el significado de las palabras.

Si hay 10 milímetros en 1 centímetro y 100 centímetros en 1 metro, ¿cuántos milímetros hay en 1 metro? ¿Cómo lo saben?

Hay 1,000 milímetros en 1 metro porque 10 × 100 = 1,000.

¿La regla de un metro muestra kilómetros? ¿Por qué?

La regla de un metro no muestra kilómetros porque un kilómetro es mucho más largo que 1 metro. Necesitaríamos 1,000 reglas de un metro para representar 1 kilómetro.

Acabamos de nombrar algunas unidades métricas que miden la longitud o la distancia: kilómetro, metro, centímetro y milímetro.

Muestre la lista de unidades métricas de longitud. Invite a sus estudiantes a compartir enunciados que resuman los tamaños relativos de las unidades usando el lenguaje de tantas veces tan largo como. Mientras la clase nombra equivalencias, registre las ecuaciones que coinciden en un afiche de referencia, y pídales que observen las abreviaturas de cada unidad.

kilómetro, metro, centímetro, milímetro

más largomás corto

1 kilómetro es 1,000 veces tan largo como 1 metro.

Registre 1 km = 1,000 m.

1 metro es 100 veces tan largo como 1 centímetro.

Registre 1 m = 100 cm.

1 metro es 1,000 veces tan largo como 1 milímetro.

Registre 1 m = 1,000 mm.

1 centímetro es 10 veces tan largo como 1 milímetro.

Registre 1 cm = 10 mm.

¿Cómo puede 1 metro ser igual a 100 centímetros, pero también igual a 1,000 milímetros?

Podemos determinar que 1 metro es igual tanto a 100 centímetros como a 1,000 milímetros porque los centímetros y milímetros son de distintos tamaños. Los milímetros son muy pequeños, por lo que necesitamos más de ellos que de centímetros para que sea equivalente a 1 metro.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Use los siguientes esquemas de oración con el fin de brindar apoyo a sus estudiantes para que describan las relaciones entre las unidades.

Longitud: es veces tan largo como .

Peso: es veces tan pesado como .

Capacidad: es veces .

DUA: Representación

Muestre el afiche de referencia durante toda esta lección y en la siguiente. Las conversiones métricas se repasan en el módulo 4.

Anime a sus estudiantes a identificar objetos del mundo real que representen cada medida y añada ilustraciones o imágenes.

Ahora, apliquemos lo que sabemos sobre unidades métricas que miden la longitud y conversemos sobre unidades métricas que miden el peso.

Muestre la lista de las unidades métricas de peso. Considere preguntar a sus estudiantes qué unidades elegirían para medir el peso de diferentes objetos y por qué. O si es necesario, proporcione a sus estudiantes los pesos de los siguientes objetos: una pluma pequeña pesa aproximadamente 1 miligramo, una hormiga grande, aproximadamente 1 centigramo, un clip, aproximadamente 1 gramo y una piña, aproximadamente 1 kilogramo.

kilogramo, gramo, centigramo, miligramo

más pesado más liviano

¿En qué se parecen las unidades métricas para medir el peso a las unidades métricas para medir la longitud?

Milímetro y miligramo tienen el mismo prefijo. Centímetro y centigramo también tienen el mismo prefijo, al igual que kilómetro y kilogramo. Metro y gramo no tienen prefijo porque ambos pueden representarse en la posición de las unidades en una tabla de valor posicional.

Invite a sus estudiantes a compartir enunciados que resuman los tamaños relativos de las unidades usando el lenguaje de tantas veces tan pesado como. Mientras la clase nombra equivalencias, registre las ecuaciones que coincidan en un afiche de referencia. Por ejemplo, un kilogramo es 1,000 veces tan pesado como 1 gramo, entonces registre 1 kg = 1,000 g.

Ahora, apliquemos lo que sabemos sobre unidades métricas que miden la longitud y el peso y conversemos sobre las unidades métricas que miden la capacidad. Muestre la lista de las unidades métricas de capacidad.

kilolitro, litro, centilitro, mililitro

mayor capacidadmenor capacidad

¿En qué se parecen las unidades métricas para medir la capacidad y las unidades métricas para medir la longitud y el peso?

Los prefijos que se usan para describir el tamaño relativo de las unidades son los mismos. Por ejemplo, hay 1,000 mililitros en 1 litro, así como hay 1,000 milímetros en 1 metro y 1,000 miligramos en 1 gramo.

Nota para la enseñanza

Los módulos de 5.o grado se refieren a la medida de peso del sistema métrico, no a la masa. Técnicamente, esas dos unidades no son equivalentes, pero tanto el peso como la masa pueden utilizarse de manera indistinta cuando el objeto que se mide permanece en la Tierra y está bajo los efectos de la gravedad. Si la diferencia entre peso y masa ya se ha presentado a sus estudiantes, tal vez corresponda usar la palabra masa en su lugar.

Invite a sus estudiantes a compartir enunciados que resuman los tamaños relativos de las unidades usando el lenguaje de tantas veces una cantidad. Mientras la clase nombra equivalencias, registre las ecuaciones que coincidan en un afiche de referencia. Por ejemplo, un centilitro es 100 veces 1 litro, entonces registre 1 L = 100 cL.

Convertir unidades métricas

La clase expresa con otro nombre las unidades métricas.

Pida a dos estudiantes que sostengan una regla de un metro de extremo a extremo.

¿Cuántos metros estamos mostrando?

2 metros

¿Cuántos centímetros estamos mostrando? ¿Cómo lo saben?

Se muestran 200 centímetros porque 1 m = 100 cm, entonces 2 m = 200 cm.

¿Cuántos milímetros estamos mostrando? ¿Cómo lo saben?

Se muestran 2,000 milímetros porque 1 m = 1,000 mm, así que 2 m = 2,000 mm.

Mentalmente, pueden haber sumado dos veces o multiplicado para hallar el número de centímetros o milímetros que hay en 2 metros. Cualquiera de las maneras es correcta. Digamos que tenemos 32 metros y queremos expresarlo con otro nombre, o convertirlo, a centímetros o milímetros. ¿Es más eficiente sumar o multiplicar?

Es más eficiente multiplicar que sumar 100 o 1,000 treinta y dos veces.

¿Qué ecuación de multiplicación pueden usar para convertir 32 metros a centímetros?

32 × 100 = 3,200

Exploremos con mayor profundidad cómo podemos convertir medidas multiplicando.

Escriba 32 m = cm. Debajo de eso, escriba 32 m = 32 × 1 m.

¿Cómo saben que esta ecuación es verdadera?

32 metros es igual a 32 unidades, o 32 grupos, de 1 metro.

¿Cuáles son los factores?

32 y 1 metro

Diferenciación: Apoyo

Considere dar a sus estudiantes una regla con centímetros y milímetros para que la puedan consultar durante este segmento. Pueden contar el número de milímetros que forman un centímetro y confirmar la relación entre las dos unidades.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Convertir es un término conocido de 4.o grado. Considere proporcionar a la clase apoyo para la comprensión de este término y de términos relacionados compartiendo que convertir unidades significa expresarlas con otro nombre. La manera correcta de describir matemáticamente la expresión con otro nombre de las unidades métricas es usando la palabra convertir.

Nota para la enseñanza

En esta lección, cada estudiante convierte unidades más grandes a unidades más pequeñas usando la multiplicación con números enteros. En los módulos 3 y 4, la clase convierte unidades más pequeñas a unidades más grandes usando la multiplicación de fracciones menores que 1 y números decimales.

Resalte 1 m para aclarar que esta es la medida inicial.

Estamos convirtiendo de metros a centímetros, así que podemos preguntarnos: ¿cuántos centímetros equivalen a 1 metro?

100 centímetros

En la ecuación, escribamos 1 metro como 100 centímetros. Usemos el resaltado para aclarar que 100 centímetros y 1 metro representan la misma longitud.

Escriba = 32 × 100 cm. Resalte 100 cm para aclarar que es equivalente a 1 m.

¿Cuánto es 32 × 100 centímetros?

3,200 centímetros

Entonces, ¿qué nos indica la ecuación?

32 metros es igual a 3,200 centímetros.

Escriba 32 m = 3,200 cm.

¿Cómo es posible que estos dos números representen la misma longitud?

Los números pueden representar la misma longitud porque las unidades son diferentes. Sabemos que 32 m y 3,200 cm son equivalentes debido al tamaño de las unidades. Un metro es una unidad más grande que un centímetro. Un metro es 100 veces tan largo como un centímetro, así que necesitamos 100 veces 32 para representar un número igual de centímetros.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Luego, haga las siguientes preguntas para guiar a la clase en la conversión. Escriba las ecuaciones de conversión y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Convierte.

1. 456 kL = 456,000 L 456 kL = 456 × 1 kL = 456 × 103 L = 456,000 L

Convirtamos 456 kilolitros a litros. Primero, registremos 456 kilolitros como una expresión de multiplicación. ¿Cómo podemos escribir eso?

Podemos escribir 456 × 1 kL.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando aprende el significado de los prefijos usados en las unidades del sistema métrico y convierte unidades usando potencias de 10

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿Qué significa cg en la medida 10 cg?

• ¿Qué significa 103 en la ecuación 456 kL = 456 × 103 L?

• ¿Cuáles son los errores más comunes al convertir unidades métricas?

Queremos convertir kilolitros a litros. ¿Qué podemos preguntarnos?

¿Cuántos litros equivalen a 1 kilolitro?

¿Y cuántos litros equivalen a 1 kilolitro?

1,000 litros equivalen a 1 kilolitro.

Estamos usando la conversión 1 kL = 1,000 L, y 1,000 es una potencia de 10. ¿Cómo podemos escribir 456 × 1,000 L con exponentes?

456 × 103 L

Entonces, ¿cuántos litros equivalen a 456 kilolitros convertidos a litros? ¿Cómo lo saben?

456,000 litros equivalen a 456 kilolitros. Un kilolitro es 1,000 veces un litro, así que necesitamos

1,000 veces 456 para representar una cantidad igual de litros. Como estamos multiplicando por 103, desplazamos cada dígito tres posiciones hacia la izquierda, así que el número de litros es 456,000.

Registre 456 kL = 456,000 L.

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 2 a 5 en parejas. Anime a sus estudiantes a que practiquen registrar sus productos con exponentes para reforzar su aprendizaje de lecciones anteriores. El problema 5 incluye la nueva complejidad de unidades mixtas dentro de una medida (es decir, 2 kg 300 g). Dé tiempo a sus estudiantes para realizar un esfuerzo productivo mientras intentan comprender el problema, pero proporcione apoyo según sea necesario preguntándoles si sería útil convertir 2 kg a gramos para hallar el peso total en gramos antes de hacer la conversión a miligramos.

2. 6,985 g = 6,985,000 mg 6,985 g = 6,985 × 1 g = 6,985 × 103 mg = 6,985,000 mg

3. 30,800 cm = 308 m

308 m = 308 × 1 m

= 308 × 102 cm = 30,800 cm

Diferenciación: Desafío

Para quienes necesiten un desafío, considere pedirles convertir una unidad mayor que un metro (o un gramo o un litro) a una unidad menor que un metro (o un gramo o un litro). Por ejemplo,

4 km = cm

= 4 × 1 km

= 4 × 1,000 m

= 4 × 1,000 × 1 m

= 4 × 1,000 × 100 cm

= 400,000 cm

Anime a sus estudiantes a usar varias conversiones si no están seguros de cómo hacer una conversión directa de kilómetros a centímetros.

4. El rótulo de una botella de agua muestra que la capacidad de la botella es 50 centilitros. ¿Cuál es la capacidad de la botella en mililitros?

50 cL = 50 × 1 cL = 50 × 10 mL = 500 mL

La capacidad de la botella es 500 mililitros.

5. En el rótulo de un paquete de arroz, se lee 2 kg 300 g. En el rótulo de un paquete de frijoles, se lee 2,300 mg. ¿Qué paquete es más pesado?

2 kg = 2 × 1 kg = 2 × 1,000 g = 2,000 g

2,000 g + 300 g = 2,300 g

2,300 g = 2,300 × 1 g = 2,300 × 1,000 mg = 2,300,000 mg

El paquete de arroz es más pesado porque 2,300,000 mg es mayor que 2,300 mg.

Cuando sus estudiantes terminen, haga las siguientes preguntas.

¿Qué tienen en común todos los problemas?

En todos los problemas, convertimos unidades métricas.

En todos los problemas, convertimos de una unidad métrica más grande a una unidad métrica más pequeña.

¿Qué observaron acerca del problema 3?

Observé que el problema 3 tenía un espacio a la izquierda del signo igual.

¿Tener el espacio a la izquierda del signo igual les hizo pensar de otra manera el problema? Expliquen.

No. No tuve que pensarlo de otra manera porque hice los mismos tipos de conversiones que para los problemas 1 y 2, pero, esta vez, con metros y centímetros.

La única diferencia fue que puse mi respuesta en el espacio a la izquierda del signo igual.

¿En qué se diferencia el problema 5 de los demás?

El problema 5 es diferente porque una de las medidas incluye kilogramos y gramos.

¿Cómo determinaron que el paquete de arroz es más pesado que el de frijoles?

Tuvimos que convertir kilogramos a gramos para hallar el peso total del paquete de arroz en gramos antes de convertir ese peso a miligramos para poder hacer la comparación.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Convertir medidas y describir relaciones entre unidades métricas

Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de la clase sobre la relación entre las unidades métricas mediante las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas del resto.

¿Cómo se relaciona un milímetro con otras unidades métricas de longitud?

Un centímetro es 10 veces tan largo como 1 milímetro.

Un metro es 1,000 veces tan largo como 1 milímetro.

Un kilómetro es 1,000,000 de veces tan largo como 1 milímetro.

DUA: Acción y expresión

Considere ayudar a sus estudiantes a evaluar su propio progreso. Proporcione las siguientes preguntas y anime a las parejas a reflexionar.

• ¿Qué hicimos bien?

• ¿Qué podríamos hacer de otra manera la próxima vez?

¿Cómo se relacionan las unidades métricas con las potencias de 10? Den un ejemplo específico de su Grupo de problemas sobre cómo usaron una potencia de 10. Usamos una potencia de 10 para escribir nuestros productos cuando convertimos unidades métricas.

En el problema 1, la potencia de 10 que usé fue 1,000 o 103 porque 1 m = 1,000 mm.

¿Qué conexiones observan entre las unidades métricas de peso, longitud y capacidad?

Los prefijos que usamos para describir las unidades son los mismos. Esos prefijos nos ayudan a saber cómo se relacionan las unidades entre sí. Por ejemplo, hay 1,000 metros en 1 kilómetro, así como hay 1,000 litros en 1 kilolitro y 1,000 gramos en 1 kilogramo. Siempre multiplicamos por una potencia de 10 cuando convertimos unidades métricas más grandes a unidades métricas más pequeñas.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Convierte cada medida. Escribe una expresión como ayuda para convertir. El primero ya está empezado como ejemplo.

1. Metros (m) Expresión Milímetros (mm)

12. Riley corre 11 kilómetros. ¿Qué distancia corre Riley en metros? Riley corre 11,000 metros.

7. Considera las expresiones.

600 × 100 mL 600 × 103 mL

6 × 102 × 1,000 mL

a. Encierra en un círculo la expresión que no representa cómo convertir 600 litros a mililitros.

b. Explica tu elección.

Encerré en un círculo la primera expresión porque sé que 1 litro = 1,000 mililitros. Para hallar cuántos mililitros equivalen a 600 litros, debo multiplicar 600 por 1,000. La segunda y la tercera expresión muestran 600 × 1,000 de diferentes maneras.

13. El perro del Sr. Sharma pesa 21 kg 96 g. ¿Cuál es el peso del perro del Sr. Sharma en gramos? El perro del Sr. Sharma pesa 21,096 gramos.

LECCIÓN 6

Resolver problemas verbales de varios pasos usando la conversión de medidas del sistema métrico

Vistazo a la lección

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

Lacy necesita 650 centímetros de cinta para un proyecto. Ya tiene 2 m 596 mm de cinta. ¿Cuántos milímetros más de cinta necesita Lacy? ? mm 2 m 596 mm

2 m 596 mm = 2,596 mm

650 cm = 6,500 mm

6,500 mm − 2,596 mm = 3,904 mm

Lacy necesita 3,904 mm más de cinta.

650 cm

La clase resuelve problemas verbales de varios pasos que involucran conversiones métricas. Sus estudiantes usan el proceso Lee-Dibuja-Escribe para entender y resolver problemas. Por medio de una experiencia guiada, la clase dibuja diagramas de cinta y los analizan para determinar qué información tienen y qué información necesitan para resolver el problema.

Preguntas clave

• ¿Representar con diagramas de cinta les ayuda a resolver problemas? ¿Cómo?

• ¿Es útil tener un modelo cuando se resuelve un problema con unidades métricas? ¿Cómo?

Criterio de logro académico

5.Mód1.CLA12 Convierten entre cantidades de números enteros dentro del sistema métrico de medidas para resolver problemas. (5.MD.A.1)

Nombre Fecha

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Resolver problemas con unidades métricas

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Estimar productos

La clase usa el redondeo para estimar el producto de un número de un dígito y un número de tres dígitos para prepararse para evaluar si los productos en el tema B son razonables.

Muestre 174 × 3 ≈ × 3.

¿Cuánto es 174 redondeado a la centena más cercana? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

200

Muestre el factor redondeado.

Cuando dé la señal, leamos juntos el enunciado. ¿Comenzamos?

174 × 3 es aproximadamente 200 × 3.

Muestre 174 × 3 ≈ .

Escriban y completen el enunciado con el producto estimado.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el producto estimado.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Respuesta a coro: Convertir unidades métricas

La clase convierte metros a centímetros, litros a centilitros o gramos a centigramos para prepararse para resolver problemas verbales de varios pasos que involucran la conversión de medidas del sistema métrico.

Muestre la tabla.

¿Cuántos centímetros equivalen a 1 metro? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

100 centímetros

Muestre la respuesta.

Continúe el proceso para completar la tabla para metros y centímetros.

Repita el proceso con la siguiente secuencia de tablas:

Presentar

La clase convierte unidades métricas para comparar los pesos de dos colecciones de monedas de oro.

Muestre las bolsas con los pesos rotulados.

Mientras Toby juega un videojuego, ve dos colecciones de monedas de oro. Si determina qué colección de monedas pesa más, puede quedarse con ambas colecciones. Trabajen en parejas para determinar qué colección pesa más. Prepárense para defender su respuesta.

Pida a sus estudiantes que compartan sus respuestas y estrategias. Anticipe que, mientras algunas personas pueden convertir todas las unidades a gramos, otras pueden convertir todas las unidades a miligramos o a otra unidad.

La colección A pesa 13,000 g + 10,000 g + 200 g = 23,200 g.

La colección B pesa 21,000 g + 2,000 g + 6 g = 23,006 g.

Luego, haga la siguiente pregunta.

¿Por qué es una estrategia eficiente convertir todas las medidas de una colección a la misma unidad?

Cuando convertimos todas las medidas de una colección a la misma unidad, podemos sumar las medidas y, luego, comparar ese total con el total de la otra colección.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, resolveremos problemas del mundo real que involucran convertir unidades métricas.

Aprender

Resolver problemas con unidades métricas

La clase resuelve problemas de varios pasos que involucran la conversión de unidades métricas.

Diga a la clase que usarán el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos.

Muestre el problema 1 y pida a sus estudiantes que vayan al problema en sus libros. Pida a la clase que lea el problema en silencio.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

1. Sasha tiene 6 metros y 40 centímetros de cinta. Planea dividir la cinta en partes iguales para envolver 8 regalos que son del mismo tamaño. ¿Cuántos centímetros de cinta debe cortar Sasha para cada regalo?

6 m 40 cm o 64 0 cm

80 cm

6 m = 600 cm

600 cm + 40 cm = 640 cm

640 ÷ 8 = 80

Sasha debe cortar 80 centímetros de cinta para cada regalo.

Lea el problema a coro con la clase y anime a sus estudiantes a visualizar la situación mientras escuchan. Pida a sus estudiantes que lean el problema otra vez. Pídales que dejen de leer y dibujen cada vez que se proporciona nueva información. Mientras demuestra cómo dibujar y rotular, pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Nota para la enseñanza

Considere repasar el proceso de resolución de problemas Lee-Dibuja-Escribe con sus estudiantes antes de comenzar a resolver los problemas verbales.

Lee-Dibuja-Escribe (LDE)

Lean el problema completo. Luego, vuelvan a leer una parte a la vez. A medida que leen, pregúntense: “¿Puedo dibujar algo?”. Luego, pregúntense: “¿Qué puedo dibujar?”.

Dibujen para representar el problema mientras lo leen por segunda vez. Agreguen detalles a sus dibujos o corríjanlos a medida que van descubriendo información nueva o hallan la información desconocida. Rotulen lo que conocen y lo que no conocen mientras dibujan. Cuando terminen de releer y dibujar, pregúntense: “¿Qué muestra mi dibujo?”. El dibujo les puede servir como ayuda para hallar una manera de resolver.

Escriban oraciones numéricas o ecuaciones para representar su razonamiento.

Resuelvan el problema.

Luego, usen su solución para escribir un enunciado que responda la pregunta original.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Después de leer cada problema, considere mostrar a sus estudiantes imágenes de los objetos involucrados en cada uno de ellos. Por ejemplo, muestre cinta o un regalo envuelto con cinta para el problema 1, y un mapa de los Estados Unidos que indique la ubicación de la ciudad de Nueva York, Chicago y Seattle para el problema 2.

Lea la primera parte del problema con la clase y deténgase después de leer la primera oración.

¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?

Sí, podemos dibujar un diagrama de cinta para representar la longitud de la cinta que tiene Sasha.

Dibuje un diagrama de cinta que muestre un total de 6 metros y 40 centímetros.

Lea la segunda oración en voz alta.

¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?

Sí, podemos dividir nuestro diagrama de cinta en 8 partes iguales para representar los 8 regalos.

Divida el diagrama de cinta en 8 partes iguales.

Sabemos que el rótulo 6 m 40 cm representa la longitud total de la cinta. ¿Qué representa 1 parte?

Representa la longitud de la cinta que se necesita para envolver 1 regalo.

Lea la tercera oración en voz alta.

¿Aprendimos información nueva?

Dice que Sasha cortará la cinta en partes iguales para los regalos, y la longitud de esas partes estará en centímetros. Ahora mismo, el total en el diagrama de cinta muestra metros y centímetros.

Cuando aprendemos información nueva, podemos corregir nuestro modelo o agregarle la información. ¿Debemos corregir nuestro modelo? ¿Cómo?

Sí. Debemos convertir la longitud de la cinta a centímetros.

¿Cuántos centímetros es 6 metros y 40 centímetros? ¿Cómo lo saben?

6 metros y 40 centímetros es igual a 640 centímetros porque 6 × 100 + 40 = 640.

Nota para la enseñanza

Los diagramas de cinta se utilizan en todos los grados a partir de 1.er grado. No son el único modelo aplicable, pero se utilizan constantemente porque pueden representar muchas situaciones.

Diferenciación: Apoyo

Para quienes necesiten apoyo adicional con los diagramas de cinta o que nunca los hayan utilizado, considere destacar los siguientes aspectos de los diagramas de cinta:

• Cada recuadro en el diagrama de cinta se denomina parte.

• Cada parte tiene el mismo valor cuando el diagrama de cinta se divide en partes iguales.

• Pueden usar llaves o ramas para mostrar el valor total del diagrama de cinta o el valor de una sección.

• Pueden usar un signo de interrogación o una letra para representar un valor desconocido.

Rotule la longitud total 640 centímetros.

Pida a sus estudiantes que vuelvan a leer la tercera oración.

¿Qué nos pide la pregunta que hallemos?

La pregunta nos pide que hallemos la longitud de la cinta que necesita Sasha para cada regalo.

Mostremos lo que debemos hallar usando un signo de interrogación para representar el número desconocido.

Rotule una parte del diagrama de cinta con un signo de interrogación.

Observen nuestro modelo. ¿Qué información conocemos?

Sabemos que la cinta de Sasha tiene una longitud total de 640 centímetros.

?

Sabemos que la longitud de la cinta para cada regalo será menor que 640 centímetros.

¿Cómo podemos hallar la longitud de la cinta que se necesita para envolver cada regalo?

Podemos dividir 640 entre 8.

¿Cuántos centímetros de cinta debe cortar Sasha para cada regalo?

80 centímetros

Escriban su respuesta en una oración.

Sasha debe cortar 80 centímetros de cinta para cada regalo.

Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen sobre si la respuesta es razonable.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando dibuja diagramas de cinta y usa conversiones de medidas del sistema métrico para resolver problemas del mundo real.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué les pide el problema que hallen?

• ¿El diagrama de cinta representa el problema? ¿Cómo?

• ¿Su respuesta tiene sentido?

Muestre el problema 2 y pida a sus estudiantes que lo lean en silencio.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

2. Una familia hace un viaje por carretera desde la ciudad de Nueva York hasta Seattle y, en el camino, se detiene en Chicago. La distancia desde la ciudad de Nueva York hasta Chicago es 1,963 kilómetros menor que la distancia desde Chicago hasta Seattle. La distancia desde Chicago hasta Seattle es 3,288 kilómetros. Si la familia viaja por el mismo camino hasta Seattle ida y vuelta, ¿cuántos metros viaja en total?

9,226 × 1,000 = 9,226,000

La familia viaja 9,226,000 metros.

Lea el problema a coro con la clase y anime a sus estudiantes a visualizar la situación mientras escuchan. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar dónde pudieron dejar de leer y dibujar algo.

Pudimos detenernos después de la tercera oración porque nos dice algo exacto sobre la distancia entre las dos ciudades.

Pudimos detenernos después de la segunda oración porque sabemos que necesitamos dos cintas y que una debe ser más corta que la otra.

Pudimos detenernos después de la primera oración porque sabemos que necesitamos dos cintas y pudimos rotularlas Nueva York a Chicago y Chicago a Seattle.

Recuerde a sus estudiantes que, a medida que siguen el proceso Lee-Dibuja-Escribe, deben determinar cuándo detenerse y dibujar. Cada estudiante puede decidir detenerse en distintas partes del texto, y eso está bien.

Podríamos detenernos después de la primera, segunda o tercera oración aquí. Detengámonos después de la segunda oración y usemos lo que sabemos para dibujar.

Relea las dos primeras oraciones en voz alta.

¿Qué podemos dibujar?

Podemos dibujar una cinta y rotularla Nueva York a Chicago. Luego, podemos dibujar otra cinta y rotularla Chicago a Seattle.

¿Qué cinta debe ser más corta?

La cinta que rotulamos Nueva York a Chicago debe ser más corta porque la historia dice que la distancia es algunos kilómetros menor que la distancia de Chicago a Seattle.

Para ahorrarnos un poco de tiempo y espacio, usemos la abreviatura NY para la ciudad de Nueva York cuando rotulemos nuestro diagrama de cinta.

Demuestre cómo dibujar las cintas para que estén alineadas verticalmente. Cuando las cintas están alineadas verticalmente, eso muestra la relación entre ellas.

¿Podemos rotular algo más?

Sabemos que la distancia entre la ciudad de Nueva York y Chicago es 1,963 kilómetros menor que la distancia entre Chicago y Seattle. Entonces, la parte del diagrama de cinta que representa la diferencia entre la distancia de Chicago a Seattle y a la ciudad de Nueva York es igual a 1,963 kilómetros.

Rotule mientras la clase hace lo mismo.

Lea la tercera oración.

¿Podemos dibujar algo?

¿Qué podemos dibujar?

No hay nada más para dibujar, pero podemos rotular la cinta para mostrar que la distancia de Chicago a Seattle es igual a 3,288 kilómetros.

Rotule mientras la clase hace lo mismo.

Lea la cuarta oración.

¿Qué nos pide la pregunta que hallemos?

Debemos hallar la distancia total en metros si la familia va de la ciudad de Nueva York a Chicago a Seattle y regresa.

¿Podemos ver esa distancia desconocida en nuestro modelo? ¿Qué muestra nuestro modelo?

No. Nuestro modelo muestra la distancia de la ciudad de Nueva York a Chicago y la distancia de Chicago a Seattle. Conocemos la distancia de Chicago a Seattle. No conocemos la distancia de la ciudad de Nueva York a Chicago.

Pida a sus estudiantes que, de forma independiente, determinen la distancia, en kilómetros, de la ciudad de Nueva York a Chicago usando lo que saben del modelo. Una vez que sus estudiantes determinen la distancia, rotúlela en el diagrama de cinta.

Enfatice que el modelo ahora muestra la distancia entre las ciudades. La pregunta pide hallar la distancia total ida y vuelta a Seattle. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para pensar en un modelo que puedan dibujar para representar la distancia total que recorre la familia.

Podríamos hacer cada cinta del doble de longitud.

Podríamos mostrar una cinta parte-entero con dos 1,325 y dos 3,288.

Muestre la siguiente cinta.

¿Qué observan sobre esta cinta?

La cinta tiene un signo de interrogación. La pregunta representa el número desconocido del problema verbal.

¿Por qué necesitamos dibujar esta cinta?

Nuestro primer modelo solo muestra una parte del problema. Necesitamos un segundo modelo para representar la segunda parte y el número desconocido del problema.

Comparta con sus estudiantes que, a veces, mientras dibujan pueden darse cuenta de que el número desconocido de la pregunta no está en ese modelo y que deben dibujar un segundo diagrama de cinta como ayuda para representar el problema. Pida a sus estudiantes que dibujen el diagrama de cinta.

¿Cuál es una estimación razonable para la distancia total que recorre la familia?

10,000 km es una estimación razonable porque 1,325 ≈ 1,500 y 3,288 ≈ 3,500. Dos 1,500 y dos 3,500 es igual a 10,000.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para resolver el problema y registrar su enunciado de la respuesta final. Luego, reúna a la clase y conversen.

¿Cómo resolvieron el problema?

Hallamos 1,325 + 3,288 + 1,325 + 3,288.

Hallamos 1,325 + 3,288 y, luego, lo multiplicamos por 2.

Hallamos 1,325 × 2 y 3,288 × 2, luego sumamos los productos.

Observen los diferentes caminos que tomó cada estudiante para hacer el cálculo exacto y que, aun así, hallaron la misma respuesta.

¿La distancia que hallamos, 9,226 kilómetros, es razonable?

Sí, porque estimamos que la distancia sería aproximadamente 10,000 kilómetros.

¿Incluyeron 9,226 kilómetros en su oración de la respuesta final?

No, porque la pregunta pedía la distancia en metros.

¿Cómo convirtieron 9,226 kilómetros a metros?

Sabemos que 1 kilómetro = 1,000 metros. Entonces, hallamos 9,226 × 1,000. Cuando multiplicamos por 1,000, sabíamos que cada dígito de 9,226 debe desplazarse tres lugares hacia la izquierda, así que el número de metros es 9,226,000.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo los diagramas de cinta fueron de ayuda para hallar un camino para resolver el problema.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

DUA: Acción y expresión

Considere mostrar el ejemplo típico de un diagrama de cinta para que la clase pueda consultarlo mientras trabaja de forma independiente.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos usando la conversión de medidas del sistema métrico

Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de la clase acerca de cómo resolver problemas verbales que involucran conversiones métricas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Representar con diagramas de cinta les ayuda a resolver problemas? ¿Cómo?

Representar me ayuda a ver lo que sé, lo que no sé y lo desconocido.

Me ayuda a comprender mejor el problema porque estoy dibujando solo una parte a la vez.

Me ayuda a decidir si puedo sumar, restar o multiplicar.

Representar me ayuda a ver cuándo necesito varios pasos para hallar la respuesta.

Si la respuesta que hallo tiene sentido para el número desconocido del diagrama de cinta, sé que respondí la pregunta.

¿Es útil tener un modelo cuando se resuelve un problema que involucra unidades métricas?

¿Cómo? Den un ejemplo de su Grupo de problemas.

Fue útil dibujar un modelo para el problema 1 porque no tenía certeza de si necesitaba multiplicar o dividir para responder la pregunta. Dibujé un diagrama de cinta con 8 partes iguales para representar los 8 vasos de precipitado y, luego, rotulé cada parte 750 mL. Luego me di cuenta de que necesitaba multiplicar para hallar el total.

Fue útil dibujar un modelo para el problema 4. Después de dibujar un diagrama de cinta para mostrar cuánta cinta azul y cuánta cinta verde tenía Eddie, me di cuenta de que no podía dividir la cinta azul en longitudes de 9 cm antes de convertir 4 m 23 cm a centímetros.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

2. Un león recién nacido pesa 1 kg 736 g El león recién nacido pesa 8 veces lo que pesa un perro recién nacido.

a. Convierte el peso del león recién nacido a gramos.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. El Sr. Pérez vierte agua en 8 vasos de precipitado. Vierte 750 mililitros de agua en cada vaso de precipitado.

a. ¿Aproximadamente cuántos mililitros de agua hay en total en los vasos de precipitado?

8 × 750 ≈ 8 × 800 = 6,400

Hay aproximadamente 6,400 mililitros de agua en los vasos de precipitado.

b. ¿Exactamente cuántos mililitros de agua hay en total en los vasos de precipitado?

8 × 750 = 6,000

Hay 6,000 mililitros de agua en los vasos de precipitado.

c. ¿Cómo sabes que tu respuesta en la parte (b) es razonable?

Mi respuesta es razonable porque 6,000 mililitros está cerca de mi estimación de 6,400 mililitros.

1 kg = 1,000 g

1,000 + 736 = 1,736

El león recién nacido pesa 1,736 gramos.

b. ¿Aproximadamente cuántos gramos pesa el perro recién nacido?

1,736 ÷ 8 ≈ 1,600 ÷ 8 = 200

El perro recién nacido pesa aproximadamente 200 gramos.

c. ¿Exactamente cuántos gramos pesa el perro recién nacido?

1,736 ÷ 8 = 217

El perro recién nacido pesa 217 gramos.

d. ¿Cómo sabes que tu respuesta en la parte (c) es razonable?

Mi respuesta es razonable porque 217 gramos está cerca de mi estimación de 200 gramos.

3. Leo usa aceite y vinagre para preparar una botella de aderezo para ensaladas. Usa 12 centilitros de vinagre. La cantidad de aceite que usa es 3 veces la cantidad de vinagre. ¿Cuántos mililitros de aderezo para ensaladas prepara Leo?

12 × 3 = 36

12 + 36 = 48

48 × 10 = 480

Leo prepara 480 mililitros de aderezo para ensaladas.

5. Una agricultora pone manzanas en 36 cajas. Cada caja contiene 25 kilogramos de manzanas. Vende 486,235 gramos de manzanas. ¿Cuántos gramos de manzanas le quedan?

36 × 25 = 900

900 kg = 900,000 g

900,000 − 486,235 = 413,765

Le quedan 413,765 gramos de manzanas.

4. Eddie tiene una cinta azul que mide 4 m 23 cm de largo y una cinta verde que mide

756 cm de largo. Corta cada cinta en trozos que miden 9 cm de largo. ¿Cuántos trozos más de cinta verde que de cinta azul tiene Eddie?

4 m 23 cm = 423 cm

756 − 423 = 333

333 ÷ 9 = 37

Eddie tiene 37 trozos más de cinta verde que de cinta azul.

Tema B

Multiplicación de números enteros

En el tema B, se explora la pregunta “¿cómo puedo multiplicar números enteros de manera eficiente?”.

6 × 24,1 65 = 6 × ( 20,000 ,0 00 12 0, 00 0 000 2 4 , 00 0 000 60 0 36 0 30 14 4, 99 0

4,000 6 120,000 24 000 600 60 0 36 0 30 20,000 4,000 10 0 60 5

10 Modelo de área 14 4, 99 0 × 6 2 3 3

20,000 2 4 , 16 5 Algoritmo convencional × +

0

24,000 6 30 36 0 60 0 2 4 , 00 0 12 0, 000 00 0 14 4, 99 0

14 2 4 , 16 5 Productos parciales

Continúan relacionando diversos métodos de multiplicación, pero el número de dígitos en los factores aumenta a números de dos y tres dígitos multiplicados por números de dos dígitos. Sus estudiantes consideran los factores que hay en la multiplicación y aprenden a designar una unidad que les permite tener menos productos parciales o tener productos parciales que pueden hallarse usando el cálculo mental. A medida que aumenta el número de dígitos en los factores, reconocen la necesidad de descomponer ambos factores, en lugar de solo uno, y así poder aplicar el cálculo mental para hallar el producto.

Sus estudiantes avanzan hacia la multiplicación de números de tres y cuatro dígitos por números de tres dígitos usando el algoritmo convencional mientras resuelven problemas verbales de un paso. Continúan usando el modelo de área como herramienta para apoyar su razonamiento y hacer conexiones entre el modelo de área y el número de productos parciales del algoritmo convencional. Multiplican usando el algoritmo convencional y visualizando cómo pueden descomponerse los factores, en lugar de usar el modelo de área. A lo largo de todo el trabajo de multiplicación en este tema, sus estudiantes deben estimar antes de hallar el producto y evaluar si sus respuestas son razonables.

En el tema C, dividen números enteros.

Progresión de las lecciones

Lección 7

Multiplicar usando métodos conocidos

Lección 8

Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando la propiedad distributiva

Lección 9

Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando el algoritmo convencional

Algoritmo

Productos parciales

Puedo hacer conexiones entre el método de separar y distribuir, el modelo de área y la forma vertical. En cada uno de estos métodos, puedo aplicar la propiedad distributiva para hallar el producto, por lo que los productos parciales son iguales. También puedo multiplicar los factores en cualquier orden gracias a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Puedo aplicar los métodos de multiplicación que aprendí anteriormente para multiplicar números con más dígitos. Puedo descomponer un factor para que sea más fácil multiplicar.

Puedo descomponer uno o ambos factores para que sea más fácil multiplicar. Puedo usar el mismo razonamiento cuando multiplico usando el algoritmo convencional que cuando multiplico usando el modelo de área. Puedo hacer conexiones entre el número de filas de un modelo de área y el número de productos parciales en el algoritmo convencional, y puedo usar esa información para decidir qué factor designo como unidad y qué factor representa el número de grupos.

convencional

Lección 10

Multiplicar números de tres y cuatro dígitos por números de tres dígitos usando el algoritmo convencional

Lección 11

Multiplicar dos números de varios dígitos usando el algoritmo convencional

Puedo multiplicar usando el algoritmo convencional y puedo usar el modelo de área como ayuda si lo necesito. Cuando hallo los productos parciales, puedo usar el razonamiento de la forma unitaria o el razonamiento de la forma estándar, o puedo multiplicar de a un solo dígito mientras retengo el valor posicional.

Puedo multiplicar usando el algoritmo convencional. Puedo designar un factor como unidad de manera estratégica, considerando cuántos productos parciales puede formar. Puedo analizar los errores de otras personas y ofrecerles una sugerencia.

Multiplicar usando métodos conocidos

Vistazo a la lección

La clase usa sus conocimientos previos para multiplicar un factor de cinco dígitos por un factor de un dígito. Esta lección es una oportunidad para hacer una evaluación informal, para medir los conocimientos previos sobre multiplicación y para determinar con qué métodos, modelos o representaciones de 4.o grado cuenta la clase. Surgen conversaciones centradas en cada estudiante a medida que se exploran los métodos de multiplicación.

Pregunta clave

• ¿Es útil descomponer un factor cuando multiplican? ¿Por qué?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA1 Escriben expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA2 Evalúan expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA9 Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (5.NBT.B.5)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 10 min

Aprender 30 min

• Seleccionar un método para multiplicar

• Compartir, comparar y conectar

• Aplicar un método de registro diferente para multiplicar

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

10

Intercambio con la pizarra blanca: De forma escrita a forma estándar

La clase escribe la forma estándar de un número de cuatro o cinco dígitos dado en forma escrita para conservar la fluidez al escribir números hasta 1,000,000 que aprendieron en 4.o grado.

Muestre tres mil ochocientos diecinueve =      .

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma escrita. ¿Comenzamos?

Tres mil ochocientos diecinueve

Escriban el número en forma estándar.

tres mil ochocientos diecinueve = 3,819

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre la respuesta.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

dos mil cuatrocientos setenta = 2,470 cuatro mil ochent a y dos = 4,082

siete mil siete = 7,007 catorce mil doscientos novent a y cinco = 14,295

veinticinco mil seiscientos cuatro = 25,604

cincuent a mil ciento tres = 50,103

ochent a y seis mil veinte = 86,020

Intercambio con la pizarra blanca: Estimar productos

La clase usa el redondeo para estimar el producto de un número de un dígito y un número de cuatro dígitos como preparación para evaluar si los productos son razonables a partir de la lección 8.

Muestre 1,832 × 3 ≈ × 3.

¿Cuánto es 1,832 redondeado al millar más cercano? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

2,000

Muestre el factor redondeado.

Cuando dé la señal, leamos el enunciado. ¿Comenzamos?

1,832 × 3 es aproximadamente 2,000 × 3.

Muestre 1,832 × 3 ≈  .

Escriban y completen el enunciado con el producto estimado.

1,832 × 3 ≈

1,832 × 3 ≈ × 3 2,000 6,000

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el producto estimado.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

La clase representa un número de cinco dígitos usando modelos y expresiones. Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Presente el siguiente número y siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.

1. Escribe el siguiente número de tantas maneras como sea posible.

Dé 3 minutos de trabajo en silencio para que representen el número de tantas maneras como sea posible. Pídales que hagan una señal silenciosa para indicar que terminaron.

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las conexiones que hay entre los métodos.

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Invite a sus estudiantes a compartir su razonamiento con todo el grupo y registre lo que comparten.

A medida que se desarrolla la conversación, valide las distintas formas en las que expresan 28,741, pero haga hincapié en los razonamientos que usan el valor posicional. Si no se comparten los siguientes modelos o formas, preséntelos.

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a establecer conexiones y permítales hacer sus propias preguntas.

¿En qué se parecen las formas de descomponer 28,741 en cada ejemplo?

En cada ejemplo, se descompone por valor posicional.

En cada representación, podemos ver el número de decenas de millar, millares, centenas, decenas y unidades.

Señale cada ejemplo de forma desarrollada.

¿Qué observan acerca de la forma desarrollada y la forma desarrollada con multiplicación?

Ambas formas desarrolladas representan el mismo número.

Una forma tiene solo suma y la otra forma tiene suma y multiplicación.

En la forma que solo tiene suma, cada número se escribe como un múltiplo de una potencia de 10.

En la forma con suma y multiplicación, cada número se escribe como un producto de un número y una potencia de 10.

Una expresión puede ser un número, como 8,000, y también puede ser un producto de factores, como 8 × 1,000.

Muestre el ejemplo de la forma desarrollada con multiplicación que no está en orden de valor posicional.

¿Este ejemplo también representa 28,741? ¿Cómo lo saben?

Sí. Lo sé porque tiene el mismo número de decenas de millar, millares, centenas, decenas y unidades. Están sumados en un orden diferente.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy descompondremos, o separaremos, números para multiplicar números de cinco dígitos usando métodos que ya conocemos.

Aprender

30 DUA: Representación

Seleccionar un método para multiplicar

La clase multiplica un número de un dígito por un número de cinco dígitos.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y lea el problema a coro con la clase. Indíqueles que trabajen de forma independiente con el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Anime a cada estudiante a seleccionar las herramientas y los métodos de su preferencia.

Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes. Seleccione a dos o tres para que compartan en el siguiente segmento de la lección. Busque ejemplos de trabajos que contribuyan a promover el objetivo de la lección de explorar métodos de multiplicación conocidos. Use las siguientes preguntas para determinar el razonamiento de la clase:

• Cuéntenme cómo su dibujo se relaciona con la historia.

• Cuéntenme acerca de su método.

• ¿Qué representa este número? (Señale un número que se muestre en el ejemplo de trabajo).

• ¿Cómo se relaciona el trabajo con la oración numérica/expresión/ecuación?

Cuando hable con sus estudiantes, pida que expliquen su razonamiento mientras evalúa informalmente su comprensión y elige a estudiantes para que compartan su trabajo. Seleccione a dos o tres para que compartan en el siguiente segmento de la lección. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las conexiones entre los ejemplos de trabajo de sus estudiantes.

Considere invitar a la clase a compartir ideas sobre los métodos de descomposición que ya conocen. Cree un organizador gráfico de red para que sus estudiantes puedan consultarlo mientras hacen un plan para resolver el problema 2.

Diferenciación: Apoyo

Para quienes necesiten apoyo para comenzar, haga las siguientes preguntas:

• ¿Qué pueden dibujar para representar 5 estudiantes? ¿Necesitan representar a alguien más?

• ¿Qué saben acerca del número de veces que respira una o un estudiante de 5.o grado? ¿Qué pueden rotular en sus dibujos?

• ¿Qué ecuación pueden escribir para hallar el número de veces que respiran 6 estudiantes de 5.o grado en un día?

• ¿Qué método usarán para hallar el número total de veces que respiran 6 estudiantes de 5.o grado en un día?

Los siguientes ejemplos de trabajo demuestran la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Nota para la enseñanza

El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.

Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?".

Nota para la enseñanza

Cada uno de estos métodos de multiplicación es conocido a partir del módulo 3 de 4.o grado. Nota para la

enseñanza

El nombre completo de la propiedad es propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma porque ambas operaciones deben estar presentes para aplicar la propiedad. En 5.o grado, es aceptable que sus estudiantes se refieran a esta propiedad como propiedad distributiva.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

2. En un día normal, una o un estudiante de 5.o grado respira 24,165 veces. ¿Cuántas veces respiran tú y 5 estudiantes más en un día?

?

24,165 24,165 24,165 24,165 24,165 24,165

5 estudiantes más Yo

6 × 24,165 = 144,990

En un día, 5 estudiantes más y yo respiramos 144,990 veces.

Compartir, comparar y conectar

La clase comparte y compara las soluciones y razona acerca de sus conexiones.

Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones. Considere ordenar el trabajo de sus estudiantes de la solución menos eficiente a la más eficiente.

A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento y ofrezca aclaraciones sobre cómo halló el producto. Haga preguntas a la clase para establecer conexiones entre las soluciones que se mostraron y el trabajo de cada estudiante. Anime a la clase a que haga preguntas.

El ejemplo de conversación demuestra preguntas que invitan a razonar y a conectar.

Separar y distribuir (Método de Jada)

Díganme, ¿qué expresión usó Jada para hallar la respuesta?

6 × 24,165

Jada, ¿por qué usaste esa expresión?

Sé que cada estudiante de 5.o grado respira 24,165 veces en un día, y entre 5 estudiantes y yo, somos 6 personas; entonces, multipliqué 6 por 24,165 para determinar el número de veces que respiramos en un día.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere pedir a las parejas que vayan a la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para ayudarles a comentar las semejanzas y diferencias entre su trabajo y el de otras parejas en este segmento.

Examinen el trabajo de Jada.

¿Cómo halló el producto?

Jada descompuso 24,165 en 20,000 + 4,000 + 100 + 60 + 5.

Luego, multiplicó cada parte por 6.

Jada sumó cada producto parcial para hallar el total: 144,990.

Jada, ¿descomponer 24,165 te ayudó a multiplicar? ¿Por qué?

Sí. Me ayudó a pensar acerca de las unidades que estaba multiplicando en cada parte. Cuando escribí 6 × 20,000, pensé en que sé que 6 × 2 = 12; entonces, 6 × 2 decenas de millar es 12 decenas de millar, o 120,000.

Modelo de área (Método de Noah)

Examinen el trabajo de Noah.

¿Cómo halló el producto?

Noah usó un modelo de área.

Descompuso 24,165 en cinco partes: 20,000, 4,000, 100, 60 y 5.

Multiplicó cada parte por 6 y sumó los productos parciales.

Noah, cuéntanos por qué mostraste tu trabajo de esta forma. Quería multiplicar cada parte por 6; entonces, dibujé un modelo de área para organizar mi razonamiento. No quería cometer un error por hacer muchos cálculos mentales cuando sumaba los productos parciales; entonces, mostré mi razonamiento verticalmente para la suma.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian el trabajo de Noah y el trabajo de Jada?

Noah y Jada descompusieron 24,165 y multiplicaron cada parte por 6.

Empezaron multiplicando 6 por la unidad más grande. Puedo ver que empezaron por 6 × 20,000.

Sumaron los productos después de multiplicar.

Noah mostró el factor que descompuso usando un modelo de área, pero Jada usó la forma desarrollada con multiplicación. Tuvieron razonamientos parecidos, pero registraron su trabajo de forma diferente.

Productos parciales (Método de Sasha)

Sasha, ¿cómo hallaste el producto?

Multipliqué 6 por el valor del dígito que está en cada posición. Obtuve 6 unidades × 5 unidades = 30 unidades, 6 unidades × 6 decenas = 36 decenas o 360, y seguí hasta 6 unidades × 2 decenas de millar = 12 decenas de millar o 120,000.

Registré cada uno de los productos parciales y los alineé según el valor posicional. Luego, sumé para hallar el total. Díganme, ¿en qué se parecen y en que se diferencian el trabajo de Sasha y el trabajo de Noah y Jada?

Sasha, Noah y Jada descompusieron 24,165 en partes de valor posicional y, luego, multiplicaron cada parte por 6.

Sasha, Noah y Jada compusieron todos los productos parciales para hallar el entero.

Sasha empezó multiplicando la unidad más pequeña, las unidades, pero Noah y Jada empezaron multiplicando la unidad más grande, las decenas de millar.

Aunque Sasha empezó multiplicando una unidad diferente, obtuvo el mismo producto que Noah y Jada. ¿Por qué?

Porque cuando sumamos productos parciales, el orden no importa. El producto es el mismo porque estamos usando la propiedad distributiva para obtener los productos parciales y sumamos los productos parciales en cualquier orden por la propiedad conmutativa de la suma.

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si descomponer un factor en muchas partes es útil para multiplicar, y por qué les sirve como ayuda.

Cuando descomponemos un factor en partes, podemos multiplicar cada parte por el otro factor usando operaciones de multiplicación.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del método que planean usar para el siguiente problema y cómo usar ese método puede ayudarles a ser eficientes.

Diferenciación: Desafío

Pida a sus estudiantes que observen un ejemplo de trabajo en el que se halle el producto usando el algoritmo convencional. Pregunte si pueden ver los productos parciales en el algoritmo convencional. Luego, pídales que expliquen su razonamiento.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre los diferentes métodos para mostrar su razonamiento, tales como la forma desarrollada, la forma desarrollada con multiplicación o un modelo de área, al determinar el producto de dos factores.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Qué métodos pueden servir como ayuda para resolver este problema?

• ¿Qué método es el más eficiente para hallar el producto de los dos factores? ¿Por qué?

• ¿Cómo pueden estimar el producto?

¿Les parece razonable su estimación?

Aplicar un método de registro diferente para multiplicar

La clase selecciona métodos diferentes de registro para multiplicar y razonar acerca de la eficiencia.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Dé 3 minutos para que representen el problema usando un método de registro diferente del que usaron para el problema anterior. Anime a sus estudiantes a mostrar su razonamiento.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que se adapten al objetivo de reflexionar sobre las diferentes formas en las que se pueden registrar o pensar los productos parciales.

Multiplica. Muestra o explica tu trabajo.

3. 4 veces 32,157

4 veces 32,157 es 128,628.

32,157 × 4 = 128,628

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar el método de registro que eligieron y cómo eso afectó su trabajo y su razonamiento.

En el problema 2, usé el método de separar y distribuir, pero en este problema mostré mi razonamiento en el modelo de área. Pude hallar el producto de manera más eficiente mediante el modelo de área porque no reescribí la expresión. La última vez, sumé los productos parciales mentalmente, pero cometí un error; entonces, esta vez alineé todos mis productos parciales como ayuda para sumar.

En el problema 2, usé el método de separar y distribuir, y multipliqué empezando por la unidad más grande. En este problema, mostré productos parciales. Con los productos parciales, comencé multiplicando por la unidad más pequeña, las unidades.

Piensen en los dos métodos que probaron. ¿Cuál les resultó más eficiente?

Separar y distribuir resultó más eficiente porque pude hacer mentalmente gran parte de la multiplicación y la suma.

El modelo de área resultó más eficiente porque me ayudó a ver mejor cada uno de los productos parciales.

Los productos parciales resultaron más eficientes porque estaban todos alineados según su valor posicional y no tuve que reescribir cuando los sumé.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Multiplicar usando métodos conocidos

Guíe una conversación de toda la clase acerca de los métodos de multiplicación usando las siguientes preguntas. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Es útil descomponer un factor cuando multiplican? ¿Por qué?

Sí. Me ayuda a multiplicar porque puedo usar el cálculo mental para hallar cada producto parcial, ya que pienso en las operaciones de multiplicación.

¿Piensan que esos métodos funcionan si multiplicamos números con más dígitos, como 234 × 4,567? Expliquen su razonamiento.

Pienso que funcionarán para números con más dígitos. Puedo usar estos métodos para multiplicar números con menos dígitos; entonces, pienso que funcionarán también para números con más dígitos.

¿Deben pensar diferente si multiplican por un factor con más dígitos que si lo hacen por un factor de un dígito?

No, de todas formas multiplicaría cada parte del factor por cada parte del otro factor. Luego, sumaría los productos parciales para hallar el producto final.

Mi razonamiento no cambiaría, pero seguramente habría más productos parciales.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

5. La Sra. Chan da 13,564 pasos por día durante 4 días. ¿Cuántos pasos da en total durante esos 4 días?

13,564 × 4 = 54,256

La Sra. Chan da 54,256 pasos durante esos 4 días.

2. 7 veces tan largo como 3,098 kilómetros

6. Un avión pesa 40,823 kilogramos. ¿Cuál es el peso total de 7 aviones como ese?

7 × 40,823 = 285,761

El peso total de 7 aviones como ese es 285,761 kilogramos.

Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando la propiedad distributiva

Vistazo a la lección

Sus estudiantes multiplican números de varios dígitos usando la propiedad distributiva. Registran su razonamiento con modelos de área, de forma vertical y con el método de separar y distribuir. Determinan que todos estos métodos están relacionados porque en todos se descompone un factor, se hallan productos parciales y se suma para hallar el total. La clase explora cómo designar un factor como unidad para expandir su comprensión sobre la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Preguntas clave

• ¿Descomponer factores les ayuda a multiplicar? ¿Por qué?

• ¿Cómo pueden describir la propiedad distributiva?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA1 Escriben expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA2 Evalúan expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA9 Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (5.NBT.B.5)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 10 min

Aprender 30 min

• Relacionar la forma vertical y el método de separar y distribuir con el modelo de área

• Designar una unidad

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: De forma escrita a forma estándar

La clase escribe la forma estándar de un número de seis o siete dígitos dado en forma escrita para adquirir fluidez con la escritura de números hasta el 10,000,000 que aprendieron en el tema A.

Muestre ciento dieciséis mil trescientos noventa y cinco = .

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma escrita. ¿Comenzamos?

Ciento dieciséis mil trescientos noventa y cinco

Escriban el número en forma estándar.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre la respuesta.

Ciento dieciséis mil trescientos noventa y cinco = 116,395

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

trescientos veinticinco mil sesenta y cuatro = 325,06 4

seiscientos treinta mil cuarenta = 630,040

setecientos ocho mil nueve = 708,009

dos millones cuatrocientos cincuenta y tres mil ciento ochenta y seis = 2,453,186

cinco millones cien mil doce = 5,10 0,012

ocho millones cincuenta mil cincuenta = 8,050,05 0

Intercambio con la pizarra blanca: Estimar productos

La clase usa el redondeo para estimar el producto de un número de un dígito y un número de cinco dígitos como preparación para evaluar si los productos son razonables.

Muestre 19,352 × 3 ≈ × 3.

¿Cuánto es 19,352 redondeado a la decena de millar más cercana? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

20,000

Muestre el factor redondeado.

Cuando dé la señal, leamos el enunciado a coro. ¿Comenzamos?

19,352 × 3 es aproximadamente 20,000 × 3.

Muestre 19,352 × 3 ≈ .

Escriban y completen el enunciado con el producto estimado. Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el producto estimado.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

La clase resuelve un problema verbal que involucra una multiplicación de dos dígitos por tres dígitos.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

1. En una carrera de relevos de matemáticas compiten 122 ciudades. Cada ciudad envía 41 estudiantes de 5.o grado para competir. ¿Cuál es el número de estudiantes que compiten?

?

41 . . .

122 ciudades

122 × 41 = 5,002

5,002 estudiantes de 5.o grado compiten en la carrera de relevos de matemáticas.

Siga la rutina Charla matemática para que toda la clase participe de una conversación matemática.

Dé 3 o 4 minutos de trabajo en silencio para usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Anime a sus estudiantes a practicar las representaciones con un diagrama de cinta antes de resolver el problema.

Pida a sus estudiantes que comenten su razonamiento en parejas. Recorra el salón de clases y escuche las conversaciones. Elija a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan su razonamiento. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de las diferentes formas en las que pueden haber mostrado 122 × 41.

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento con todo el grupo y registre lo que comparten.

Valide diferentes ideas y apoye a la clase mientras hacen observaciones acerca de los ejemplos de trabajo, pero dirija la conversación hacia la siguiente respuesta:

Descompuse cada factor en partes de valor posicional y, luego, usé la propiedad distributiva para multiplicar cada parte de uno de los factores por cada parte del otro factor. Multipliqué cada parte para hallar los productos parciales y los sumé para hallar el total.

Muestre un diagrama de cinta que se relacione con la historia.

Antes de multiplicar, hicieron un modelo de la historia. Este puede ser uno de los modelos que dibujaron. ¿Qué observan acerca de este modelo?

Observo que el diagrama de cinta no muestra las 122 ciudades. Solo muestra una parte rotulada 41.

Observo que los puntos del diagrama de cinta representan todas las otras ciudades y personas que compiten.

En este modelo, ¿cuál es el valor de una parte? 41

Entonces, en la expresión 122 × 41, ¿qué representa el 122?

Representa el número de ciudades o el número de grupos.

¿Qué representa el 41?

Representa el número de estudiantes que cada ciudad envió a la competencia.

También podemos decir que la unidad es 41 y observar la unidad 41 en nuestro diagrama de cinta. Podemos interpretar la expresión como ciento veintidós 41.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si el producto cambiaría si la unidad fuera 122 (lo que significa que muestran cuarenta y un 122).

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, exploraremos la propiedad conmutativa de la multiplicación y la propiedad distributiva.

Aprender

Relacionar la forma vertical y el método de separar y distribuir con el modelo de área

La clase descompone factores para multiplicar y relaciona el método de separar y distribuir con el modelo de área.

A lo largo de la lección, sus estudiantes trabajan en parejas y usan la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir. Considere designar estudiante A y estudiante B a quienes forman la pareja.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. A medida que guía a sus estudiantes para resolver el problema usando las siguientes preguntas, pida que registren su trabajo para hallar el producto en sus libros. 2.

Nota para la enseñanza

Hallemos el producto de 24 y 40 usando la propiedad distributiva. Podemos interpretar esta expresión de multiplicación como 24 grupos de 40 o como 40 grupos de 24. Interpretémosla como 24 grupos de 40, que en forma unitaria podemos decir que es 24 cuarentas.

Escriba 24 cuarentas = 20 cuarentas + 4 cuarentas.

¿Esta oración numérica es verdadera? ¿Cómo lo saben?

Sí, es una oración numérica verdadera porque la unidad es cuarenta y 20 + 4 = 24.

Registremos eso en forma estándar.

Pedir a la clase que multiplique en forma unitaria les ayuda a recordar las operaciones de multiplicación. 4 unidades × 4 decenas es más conocido para sus estudiantes que 4 × 40 porque saben que 4 × 4 = 16.

Además, esto ayuda a sus estudiantes a registrar el valor correcto cuando usan el algoritmo convencional. Por ejemplo, sus estudiantes pueden pensar: “Sé que 10 × 10 = 100; entonces, 2 decenas × 4 decenas = 8 centenas”.

Registre 24 × 40 = (20 + 4) × 40.

Para representar mejor los tamaños de los productos parciales, mostremos nuestro razonamiento en un modelo de área.

Rotule la longitud del rectángulo 40 y el ancho, 4 y 20.

Cuando multiplicamos 20 por 40 y 4 por 40, ¿tiene importancia cuál multiplicamos primero? ¿Por qué?

No. Podemos multiplicar 20 por 40 primero o podemos multiplicar 4 por 40 primero. La multiplicación puede hacerse en cualquier orden porque los productos parciales que sumamos son los mismos, sin importar el orden.

Así es, podemos multiplicarlos en cualquier orden. Comencemos multiplicando 4 por 40.

Señale cada parte correspondiente del modelo de área y registre los productos parciales a medida que hace las siguientes preguntas.

¿Cuánto es 4 unidades × 4 decenas en forma unitaria?

16 decenas

¿Cuánto es 16 decenas en forma estándar?

160

¿Cuánto es 2 decenas × 4 decenas en forma unitaria?

8 centenas

¿Cuánto es 8 centenas en forma estándar?

800

Registremos esos productos parciales verticalmente.

Registre 40 × 24 verticalmente en la cuadrícula que está a la derecha del modelo de área.

Sabemos que 24 × 40 = 40 × 24 por la propiedad conmutativa de la multiplicación. En este caso, estamos registrando primero la unidad cuarenta. Para hallar el valor de 24 cuarentas, debemos sumar los productos parciales.

¿Cuántos productos parciales pueden ver en nuestro modelo de área? ¿Cuáles son?

Hay dos productos parciales: 160 y 800.

Nota para la enseñanza

Los términos longitud y ancho se usan generalmente para indicar los lados más largos y más cortos de un rectángulo, respectivamente. Sin embargo, es posible reemplazar uno por otro. Por ejemplo, en algunos contextos la longitud puede corresponder a la altura o al número de cada fila y puede ser la más pequeña de las dos dimensiones. La orientación en la que se dibuja un rectángulo puede influir en qué dimensión se considera como el ancho. Cuando no hay un contexto dado, ambos términos son correctos para cualquiera de las dimensiones. Anime a sus estudiantes a reemplazar uno por otro. Al intercambiar estos términos, sus estudiantes se preparan para usar la palabra por para identificar y describir rectángulos. Por ejemplo, considere describir un rectángulo como 4 por 7 en lugar de 4 pies de ancho y 7 pies de largo, a medida que sus estudiantes se familiarizan con el intercambio de los términos longitud y ancho.

¿Qué representa el 160?

4 × 40

Registre 160 verticalmente como el primer producto parcial.

¿Qué representa el 800?

20 × 40

Registre 800 verticalmente como el segundo producto parcial.

¿Cuánto es 160 + 800?

960

¿Cuál es la ecuación completa?

24 × 40 = 960

Registre el producto en el espacio de la ecuación.

¿Por qué hay dos productos parciales?

Porque multiplicamos 40 por dos partes. Multiplicamos 40 por 4 y por 20.

¿Fue útil descomponer el factor 24? ¿Por qué?

Fue útil. Cuando descompusimos 24, el problema quedó separado en partes más manejables para hallar el producto.

Fue útil. Pude multiplicar 20 por 40 mentalmente porque sé que 2 × 4 = 8; entonces, 2 decenas × 4 decenas = 8 centenas.

No fue útil. Hubiera pensado en 24 × 4, que sé que es 96, y, luego, lo hubiera multiplicado por 10 porque 40 es 10 veces 4.

Nota para la enseñanza

En esta lección, sus estudiantes exploran tres propiedades:

Propiedad conmutativa de la multiplicación

La clase puede elegir qué factor es la unidad y multiplicar los factores en cualquier orden.

24 × 40 = 40 × 24

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

La clase multiplica cada parte de un factor por la unidad.

24 × 40 = (20 + 4) × 40 = (20 × 40) + (4 × 40)

Propiedad conmutativa de la suma

La clase puede multiplicar la unidad por las partes del otro factor en cualquier orden.

(20 × 40) + (4 × 40) = (4 × 40) + (20 × 40)

Muestre el ejemplo de trabajo. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para hacer observaciones y analizar las conexiones entre este ejemplo de trabajo y sus propios trabajos con el modelo de área y la forma vertical.

Observo que este trabajo muestra el método de separar y distribuir.

24 × 40

= (20 + 4) × 40

= (20 × 40) + (4 × 40) )

= 20 × 40 + 4 × 40

= 80 0 + 16 0

= 96 0

Este ejemplo coincide con cómo multiplicamos con el modelo de área. Primero, descompusimos 24 en 20 + 4. Luego, multiplicamos cada parte por 40. Una vez que obtuvimos los productos parciales, sumamos.

Muestre la imagen de los tres ejemplos de trabajo que muestran los productos parciales resaltados.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar en qué se parecen y en qué se diferencian las tres representaciones (el modelo de área, la forma vertical y separar y distribuir).

Los tres métodos usan la propiedad distributiva para descomponer 24 y multiplicar cada parte por 40.

En los tres modelos, primero multiplicamos y, luego, sumamos. Todos los métodos tienen los mismos productos parciales.

La única diferencia es la forma en la que registramos los productos.

Recuerde a sus estudiantes que pueden usar cualquiera de estas tres formas para mostrar el razonamiento porque en los tres métodos pueden aplicar la propiedad distributiva.

Designar una unidad

La clase determina que designar una unidad diferente no significa cambiar el producto.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3 y que trabajen en parejas para registrar una estimación.

¿De qué dos formas podemos interpretar la expresión 22 × 41?

22 grupos de 41 o 41 grupos de 22 22 cuarenta y unos o 41 veintidoses Muestre los dos modelos de área.

¿Qué observan acerca de los modelos?

El modelo A descompone 22 y el modelo B descompone 41.

Ambos modelos representan la expresión 22 × 41. Cada modelo tendrá dos productos parciales.

El modelo A muestra 22 grupos de 41; entonces, la unidad elegida es 41. El modelo B muestra 41 grupos de 22; entonces, la unidad elegida es 22. Cada modelo muestra un número de grupos diferente de unidades diferentes. ¿Cómo afecta esto el producto?

No afecta el producto porque 22 × 41 = 41 × 22.

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para conversar sobre qué modelo elegirían para resolver el problema y por qué.

Elegiría el modelo B porque me resulta más fácil multiplicar por 1 unidad.

Usaría el modelo A porque puedo multiplicar 41 y 2 mentalmente. También puedo multiplicar 41 y 20 mentalmente porque 20 es 10 veces 2.

Anime a sus estudiantes a registrar sus estimaciones usando la estructura que se muestra en el Grupo de problemas:

22 × 41 ≈ 20 × 40 = 800

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas. Una persona debe multiplicar usando el modelo A y su pareja debe multiplicar usando el modelo B. Anime a sus estudiantes a registrar su razonamiento verticalmente. Recorra el salón de clases mientras las parejas trabajan y seleccione un ejemplo de trabajo con el modelo A y otro con el modelo B.

282 820 2 1 4 2

Muestre dos ejemplos de trabajo que sean correctos: uno que use el modelo A y otro que use el modelo B.

82 41 820 20 2 22 22 880 40 1 4 1 2 2 82 82 0 9 02 × + 1 22 41 22 880 902 × + 1 Modelo A Modelo B

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando utiliza diferentes modelos para multiplicar dos números y observa que descomponer cualquiera de los factores resultará en el mismo producto.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Se repite algo cuando usan diferentes modelos para hallar el producto de dos factores? ¿Cómo pueden usar esta repetición para multiplicar de forma más eficiente?

• ¿Será siempre verdadero este patrón?

¿Qué observan?

Los productos parciales son diferentes. Los productos son iguales.

Podemos designar cualquier factor como la unidad y los productos seguirán siendo iguales. Podemos elegir multiplicar usando cualquier unidad que sea más fácil o más eficiente para multiplicar.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si prefieren designar 22 o 41 como la unidad.

Estimamos que el producto es aproximadamente 800. ¿Es razonable que nuestro producto sea 902?

Sí. 902 no está tan lejos de 800. Redondeamos cada factor hacia abajo, así que se entiende que el producto real sea mayor que nuestro producto estimado.

Si hay tiempo suficiente, repita el proceso para hallar los productos de los problemas 4 y 5, y permita que cada estudiante trabaje individualmente a medida que demuestra tener competencia. Pida a sus estudiantes que estimen antes de multiplicar.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para apoyar la comprensión de la palabra designar, considere preguntar a sus estudiantes qué otra palabra pueden usar en su lugar. Asegúrese de que sus estudiantes comprenden que tienen que elegir un factor y nombrarlo como la unidad. Comparta estos ejemplos de designar que se usan en contextos conocidos:

• El maestro designa a una persona diferente cada semana para reunir la tarea.

• La directora designa el patio de juegos como lugar de reunión durante un simulacro de incendio.

Considere ofrecer a la clase una plantilla y dar un ejemplo para apoyar a sus estudiantes en la comprensión acerca de designar la unidad. Sus estudiantes pueden resaltar la unidad con un color y el factor que deben descomponer con otro color.

4.

× 343 = 7,203

DUA: Acción y expresión

22 × 41 =

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para comentar qué modelo de área eligen para resolver el problema y por qué.

Elegí el modelo B porque no tengo que multiplicar mentalmente 201 por 30.

Elegí el modelo B porque me resulta más fácil multiplicar 200 por 32 mentalmente. Pienso en 2 centenas × 3 decenas, que es 6 millares. Luego, sumo los 400 restantes.

Diferenciación: Apoyo

Si hay estudiantes que necesitan apoyo para usar sus conocimientos previos cuando hacen cálculos mentales, considere hacer las siguientes preguntas:

• ¿Cuánto es 3 decenas × 2 centenas?

¿Cuánto es 3 decenas × 0 decenas?

¿Cuánto es 3 decenas × 1 unidad?

¿Qué más debemos hacer para hallar 32 × 201?

• ¿Cuánto es 32 en forma unitaria? ¿Pueden usar la forma unitaria para multiplicar?

• Si saben a cuánto equivale 3 × 201, ¿cómo pueden usarlo para hallar 30 × 201?

Diferenciación: Desafío

Desafíe a quienes terminen primero a completar el siguiente problema de dos maneras diferentes, designando una unidad diferente para cada una:

Cuando nace, un panda bebé pesa 130 gramos. Dos meses después, el panda pesa 32 veces esa cantidad de gramos. ¿Cuánto pesa el panda a los dos meses de edad?

Comente cuál es la manera más simple para multiplicar mentalmente.

Elegí multiplicar usando el modelo A. 2 × 201 es 201 duplicado y cuando multipliqué 30 por 201, pensé en 30 × 200, que es 6,000. Luego, sumé un 30 más.

Podemos usar cualquiera de los modelos de área para multiplicar los factores en cualquier orden gracias a la propiedad conmutativa de la multiplicación. El producto seguirá siendo el mismo.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando la propiedad distributiva

Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo multiplicar usando la propiedad distributiva con las siguientes preguntas. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Considerando los métodos que exploraron hoy, ¿cómo pueden describir la propiedad distributiva?

Podemos descomponer uno o ambos factores y multiplicar cada parte de cada factor por cada parte del otro factor gracias a la propiedad distributiva.

Usamos la propiedad distributiva en el modelo de área, en el algoritmo convencional y en el método de separar y distribuir.

¿Descomponer un factor nos ayuda a multiplicar? ¿Por qué?

Sí. Cuando descomponemos, el problema queda separado en partes más manejables para multiplicar.

Podemos multiplicar los factores mentalmente cuando descomponemos uno o ambos factores.

Nota para la enseñanza

Es probable que para las personas adultas sea más conocido y cómodo escribir el factor mayor arriba en la forma vertical. Muestre a sus estudiantes que pueden escribir cualquier factor arriba para que puedan ver y comprender que no importa qué factor designen como la unidad según la propiedad conmutativa de la multiplicación. Esta exploración continúa en las próximas lecciones.

Pida a sus estudiantes que vuelvan a ver el diagrama de cinta de la sección Presentar.

122 ciudades

Al comienzo de la lección, comentaron esta pregunta: ¿Cambia el producto si nuestra unidad es 122 y mostramos en cambio cuarenta y un 122? ¿Por qué?

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si desean repetir, revisar o agregar algo a lo que compartieron con anterioridad.

Elijo repetir lo que dije antes, ya que dije que el producto no cambia porque 122 × 41 = 41 × 122.

Elijo revisar lo que dije antes porque dije que el producto es diferente si el otro factor es la unidad.

Ahora, veo que no importa y que el producto no cambia.

Elijo agregar algo a lo que dije antes. Dije que el producto no cambia, pero ahora agrego que el producto no cambia debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

8

un modelo de área para hallar dos productos parciales. Luego, multiplica usando dos productos parciales.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

9. Una jirafa de juguete mide 403 milímetros de alto. Una jirafa de verdad es 12 veces tan alta como la jirafa de juguete. ¿Cuánto mide de alto la jirafa de verdad?

12 × 403 = 4,836

La jirafa de verdad mide 4,836 milímetros de alto.

Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando el algoritmo convencional

Vistazo a la lección

Sus estudiantes multiplican números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando el modelo de área. Relacionan este modelo con el algoritmo convencional y comentan cuál es la estrategia más eficiente. Exploran cómo designar un factor como la unidad afecta el número de productos parciales que se muestran en el algoritmo convencional.

Pregunta clave

• ¿Cómo se relaciona el modelo de área con el algoritmo convencional de multiplicación?

Criterio de logro académico

5.Mód1.CLA9 Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (5.NBT.B.5)

Agenda

Fluidez 15 min

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Relacionar el modelo de área con el algoritmo convencional

• Multiplicar números de tres dígitos por números de dos dígitos

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10, 100, 1,000 y 10,000 (en el libro para estudiantes)

Preparación de la lección

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Fluidez

Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10, 100, 1,000 y 10,000

Materiales: E) Práctica veloz: Multiplicar por múltiplos de 10, 100, 1,000 y 10,000

EUREKA MATH2 5 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por múltiplos de 10, 100, 1,000 y 10,000

La clase multiplica un factor de un dígito por múltiplos de 10, 100, 1,000 o 10,000 para desarrollar fluidez al evaluar si los productos son razonables.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe el producto.

1. 1 × 20 = 20

2. 2 × 600 = 1,200

3. 3 × 9,000 = 27,000

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.

No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.

En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.

¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.

Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica Veloz B.

Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.

¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.

Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Calculen en cuántos puntos progresaron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Celebre el progreso de sus estudiantes.

Nota para la enseñanza

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 7? ¿En qué se parecen los problemas 1 a 7 a los problemas 8 a 12?

• ¿Qué estrategia podrían usar para los problemas 1 a 7? ¿Cambiaron su estrategia durante la Práctica veloz A? ¿Por qué?

Nota para la enseñanza

Cuente hacia delante de 200 en 200 del 0 al 2,000 para la actividad de conteo de ritmo rápido.

Cuente hacia atrás de 2,000 en 2,000 del 20,000 al 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Presentar

La clase comenta el uso del modelo de área en el mundo real.

Reproduzca el video Pintar un mural. En el video se muestra cómo se pinta un mural en secciones. Aparecen líneas y rótulos alrededor de las secciones para delimitar regiones rectangulares. A medida que sus estudiantes miran el video, vuelva a reproducir lo que sea necesario y permítales que registren la información que les parezca importante en sus pizarras blancas individuales. Luego, guíe una conversación haciendo las siguientes preguntas sobre lo que observaron y se preguntaron.

¿Qué observaron en el video?

Observé que hallar el área de un mural es parecido a hallar un producto usando el modelo de área. Observé que la pintora halló el área del mural por partes mientras trabajaba.

Observé que las dimensiones del mural se descompusieron en centenas, decenas y unidades.

¿Qué se preguntan?

Me pregunto acerca del área total del mural.

Me pregunto si podemos usar los productos parciales que ya conocemos para hallar el área total del mural.

Pida a las parejas que hallen 28 × 140.

¿Es útil separar los factores según el valor posicional para multiplicar? ¿Por qué?

Sí. Me ayudó a hallar el producto porque pude usar operaciones de multiplicación para hallar los productos parciales. Luego, sumé los productos parciales para hallar el área total.

El método de separar y distribuir, el modelo de área y el algoritmo convencional están relacionados. En todos se descomponen los factores, se multiplican las partes y se suman los productos parciales para hallar el total.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, mejoraremos en el uso del algoritmo convencional para multiplicar números de dos y tres dígitos.

Nota para la enseñanza

El énfasis de la conversación está puesto en hacer conexiones entre hallar el área de un rectángulo, el modelo de área y separar y distribuir factores para hallar productos parciales. Sus estudiantes pueden hacer la pregunta: “¿La pintora tiene suficiente pintura para todo el mural?”. De ser así, considere pedir que respondan brevemente la pregunta luego de hallar el producto.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 en sus libros y que lean el problema en silencio.

1. El Sr. Pérez pinta la pared del gimnasio. La pared tiene 24 pies de ancho y 33 pies de largo. ¿Cuántos pies cuadrados pinta el Sr. Pérez?

Nota para la enseñanza

La actividad digital interactiva de Modelo de área ayuda a visualizar la conexión entre el área y este método de multiplicación.

Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

El Sr. Pérez pinta 792 pies cuadrados.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comentar lo que saben y lo que no saben sobre la historia. Anime a sus estudiantes a representar el problema con un diagrama de cinta si lo necesitan.

¿Qué sabemos y qué necesitamos saber?

Sabemos que el Sr. Pérez pinta la pared del gimnasio y sabemos cuáles son la longitud y el ancho de la pared. Necesitamos saber cuántos pies cuadrados pinta el Sr. Pérez.

Si necesitamos determinar cuántos pies cuadrados pinta, ¿qué nos pide hallar la pregunta?

El área de la pared

¿Qué debemos hacer para hallar el área total de la pared?

Necesitamos multiplicar la longitud de la pared por el ancho de la pared.

¿Aproximadamente cuántos pies cuadrados pinta el Sr. Pérez? ¿Cómo lo saben?

Pinta aproximadamente 600 pies cuadrados porque 24 × 33 ≈ 20 × 30 y 20 × 30 = 600.

Pida a sus estudiantes que registren sus estimaciones.

En otros problemas, usamos operaciones de multiplicación para hallar los productos parciales después de descomponer un factor. ¿Podemos usar operaciones de multiplicación para hallar el producto de 33 × 24?

Sí.

¿Deberíamos descomponer uno o ambos factores? ¿Por qué?

Deberíamos descomponer ambos factores. Ningún factor es múltiplo de 10; entonces, si descomponemos ambos factores, eso puede ayudarnos a usar operaciones de multiplicación para multiplicar diferentes unidades de valor posicional.

¿Cuál es el ancho de la pared?

24 pies

¿Cómo se escribe 24 en forma desarrollada?

20 + 4

Rotule 20 y 4 a lo largo del lado izquierdo del modelo de área y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuál es la longitud de la pared?

33 pies

¿Cómo se escribe 33 en forma desarrollada?

30 + 3

Registre 30 y 3 a lo largo de la parte superior del modelo de área y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

Multipliquemos cada parte, una a la vez, empezando por las unidades.

Señale cada parte correspondiente del modelo de área y registre los productos parciales en forma estándar a medida que hace las siguientes preguntas y pida a la clase que responda a coro.

¿Cuánto es 4 unidades × 3 unidades en forma unitaria?

12 unidades

¿Cuánto es 4 unidades × 3 decenas en forma unitaria?

12 decenas

¿Cuánto es 2 decenas × 3 unidades en forma unitaria?

6 decenas

¿Cuánto es 2 decenas × 3 decenas en forma unitaria?

6 centenas

¿Cuánto es 4 grupos de 33?

132

¿Cuánto es 20 grupos de 33?

660

¿Cuánto es 24 × 33?

792

Usemos el algoritmo convencional para mostrar nuestro trabajo. Señale cada parte correspondiente del algoritmo convencional mientras hace las siguientes preguntas.

¿Cuánto es 4 unidades × 3 unidades en forma unitaria?

12 unidades

Se puede expresar 12 unidades como 1 decena y 2 unidades. Miren mientras registro 12 unidades. Registre 1 decena y 2 unidades y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuánto es 4 unidades × 3 decenas en forma unitaria?

12 decenas

Nota para la enseñanza

Para multiplicar cada parte del modelo de área, comience por la posición de las unidades como lo haría con el algoritmo convencional y, luego, continúe hacia la izquierda. Una vez hallados todos los productos parciales, repita el proceso con la fila de abajo.

¿Cuánto es 12 decenas más 1 decena más?

13 decenas

Registre 1 centena y 3 decenas y tache 1 decena adicional para mostrar que se sumó. Pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuánto es 2 decenas × 3 unidades en forma unitaria?

6 decenas

¿Cuánto es 6 decenas en forma estándar?

60

Registre 60 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuánto es 2 decenas × 3 decenas en forma unitaria?

6 centenas

Registre 6 y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿Cuánto es 132 + 660?

792

¿Es 792 una respuesta razonable según nuestras estimaciones?

Sí. Estimamos que el producto era 600 pies cuadrados. Como elegimos estimar con números menores que los factores reales, tiene sentido que el producto real sea algo mayor que el producto estimado.

Pida a sus estudiantes que escriban el enunciado con la respuesta final: El Sr. Pérez pinta 792 pies cuadrados.

¿Dónde pueden ver los productos parciales del modelo de área en el algoritmo convencional?

La suma de 4 × 30 y 4 × 3 es 132. Vemos eso en la primera fila de productos parciales del algoritmo convencional. 132 es el producto de 4 y 33.

La suma de 20 × 3 y 20 × 30 es 660. Vemos eso en la segunda fila de productos parciales del algoritmo convencional. 660 es el producto de 20 y 33.

Resalte o encierre en un círculo los productos parciales en ambos métodos y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo.

¿En qué se parece multiplicar usando el modelo de área a multiplicar usando el algoritmo convencional?

Cuando multiplico usando cualquiera de los métodos, pienso: “¿Cuánto es 4 unidades × 3 unidades? ¿Cuánto es 4 unidades × 3 decenas?”. Y así sucesivamente.

Ahora que sabemos cómo se relaciona el modelo de área con el algoritmo convencional para la multiplicación, multipliquemos usando el algoritmo convencional.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.

2. 28 × 63 = 1,764

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando descompone factores y halla productos parciales al multiplicar un número de dos dígitos por un número de dos o tres dígitos mediante el algoritmo de multiplicación convencional.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿Cómo pueden escribir los productos parciales cuando usan el algoritmo convencional?

• ¿Dónde pueden cometer errores cuando usan el algoritmo convencional?

Sabemos que podemos interpretar este problema como veintiocho 63 o como sesenta y tres 28.

Para practicar en grupo, interpretemos esto como veintiocho 63, lo que significa que hallaremos el total de 28 grupos de 63.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar el producto.

Pida a sus estudiantes que registren los factores verticalmente.

Aunque no mostremos los factores o los productos parciales en un modelo de área, podemos usar el mismo razonamiento.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para multiplicar usando el algoritmo convencional y así hallar los productos parciales de 8 × 63 y 20 × 63. Use las siguientes preguntas para apoyar a sus estudiantes mientras multiplican usando el algoritmo convencional:

• ¿Cuánto es 8 unidades × 3 unidades en forma unitaria?

• ¿Cuánto es 8 unidades × 6 decenas en forma unitaria?

• ¿Cuánto es 2 decenas × 3 unidades en forma unitaria?

• ¿Cuánto es 2 decenas × 6 decenas en forma unitaria?

Reúna a la clase para conversar.

¿Qué representa el 504?

Ocho 63

¿Qué representa el 1,260?

Veinte 63

¿Qué representa el 1,764?

Veintiocho 63

Si interpretamos la ecuación como sesenta y tres 28, ¿tenemos un número diferente de productos parciales? ¿Cómo lo saben?

Igual tenemos dos productos parciales porque hallamos 3 × 28 y, luego, 60 × 28.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comentar por qué hay dos productos parciales en ambas interpretaciones y qué situaciones dan como resultado más de dos productos parciales.

Multiplicar números de tres dígitos por números de dos dígitos

La clase multiplica usando el algoritmo convencional, comenta cómo se relaciona con el modelo de área y determina la estrategia más eficiente.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.

DUA: Representación

Una vez que las parejas hallen el producto, considere escribir comentarios sobre el algoritmo convencional para resaltar cómo descomponer los factores, multiplicar las partes y sumar los productos parciales.

Descomponer: Piensen en 63 como 60 y 3, y en 28 como 20 y 8.

Habría 22,204 huevos de tortuga en 427 nidos.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de lo que saben y lo que no saben sobre la historia. Pueden representar el problema con un diagrama de cinta si lo necesitan.

¿Qué sabemos y qué necesitamos saber?

Sabemos cuántos nidos hay y cuántos huevos hay en cada nido. No sabemos cuántos huevos de tortuga habría en total.

Muestre el siguiente diagrama de cinta o, si alguien dibujó un diagrama de cinta parecido, muestre ese diagrama.

¿Qué expresión podemos usar para determinar el número de huevos de tortuga?

× 427

3. Una tortuga plana pone 52 huevos en un nido. ¿Cuántos huevos de tortuga habría en 427 nidos?

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para estimar el número total de huevos de tortuga. Anime a sus estudiantes a registrar sus estimaciones.

Muestre los siguientes modelos de área.

¿Qué observan? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian?

Ambos modelos de área

muestran 52 × 427.

Ambos modelos de área tienen seis productos parciales.

El modelo A muestra 52 grupos de 427; entonces, la unidad es 427.

El modelo B muestra 427 grupos de 52; entonces, la unidad es 52.

Señale los modelos de área. Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la respuesta a la siguiente pregunta.

Recuerden la relación que hay entre los modelos de área y el algoritmo convencional.

¿Cuántos productos parciales hay en cada modelo? ¿Cómo lo saben?

El modelo A tiene dos productos parciales porque hay dos filas. El algoritmo convencional muestra 2 × 427 y 50 × 427.

El modelo B tiene tres productos parciales porque hay tres filas. El algoritmo convencional muestra 7 × 52, 20 × 52 y 400 × 52.

Sabemos que podemos designar cualquier factor como la unidad. Si usamos el algoritmo convencional, ¿qué factor debemos designar como la unidad? ¿Por qué?

Debemos usar 427 como la unidad para hallar 52 grupos de 427. De esta manera, tenemos solo dos productos parciales.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para multiplicar usando el algoritmo convencional y así hallar los productos parciales de 2 × 427 y 50 × 427. Use las siguientes preguntas para apoyar a sus estudiantes mientras multiplican usando el algoritmo convencional:

• ¿Cuánto es 2 × 7? ¿Y 2 × 20? ¿Y 2 × 400?

• ¿Cuánto es 50 × 7? ¿Y 50 × 20? ¿Y 50 × 400?

Aquí, las preguntas usan intencionalmente lenguaje de la forma estándar para que sus estudiantes consideren los productos parciales usando ambas formas. Luego, pueden decidir qué forma es más útil.

Reúna a la clase para conversar.

¿Qué producto hallaron? ¿Es razonable según sus estimaciones?

El producto es 22,204. Es razonable, ya que estimé el producto como 20,000 porque 400 × 50 = 20,000.

Pida a sus estudiantes que registren el enunciado con la respuesta final: Habría 22,204 huevos de tortuga en 427 nidos.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere apoyar las respuestas de la clase con la Herramienta para la conversación. Invite a sus estudiantes a usar la sección Compartir tu razonamiento para explicar cómo hallaron el producto.

Señale los modelos de la derecha.

El trabajo que está a la derecha muestra cómo hallar el producto usando 52 como la unidad. Observen que el producto es el mismo en ambos modelos, pero en el modelo de la derecha hay tres productos parciales en lugar de los dos que hay en el modelo de la izquierda. ¿Por qué el producto es el mismo, a pesar de que hay un número diferente de productos parciales? El producto es el mismo porque la propiedad conmutativa de la multiplicación dice que podemos multiplicar los factores en cualquier orden. Podemos nombrar cualquier factor como la unidad y obtendremos el mismo producto.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es útil pensar en qué factor designar como la unidad cuando multiplican.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Multiplicar números de dos y tres dígitos por números de dos dígitos usando el algoritmo convencional

Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo usar el algoritmo convencional para multiplicar usando las siguientes preguntas. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Cómo se relaciona el modelo de área con el algoritmo convencional de multiplicación?

En ambos métodos, descomponemos los factores y usamos la propiedad distributiva para multiplicar.

En ambos métodos, podemos elegir qué factor es la unidad y qué factor es el número de grupos.

El número de filas del modelo de área coincide con el número de productos parciales del algoritmo convencional.

¿Es útil el algoritmo convencional para multiplicar? ¿Por qué?

Es útil porque escribimos menos productos parciales que con el modelo de área.

Todos los productos parciales ya están alineados y listos para sumarse.

Nota para la enseñanza

Al comienzo de 4.o grado, la clase ve la longitud descompuesta para mostrar primero la unidad más pequeña. Esto es intencional porque se corresponde directamente con las filas del algoritmo convencional para la multiplicación. Sus estudiantes pueden descomponer el factor del lado izquierdo del modelo de área de forma diferente y hallar los mismos productos parciales, pero sus filas tal vez no se correspondan con las filas del algoritmo convencional. En tanto descompongan los factores de forma adecuada y multipliquen de forma precisa, hallarán el mismo producto.

¿Es útil el modelo de área para multiplicar, incluso si conocen el algoritmo convencional? ¿Por qué?

Sí. Puede ayudarme a decidir qué factor nombrar como la unidad, porque el número de filas me ayudará a ver cuántos productos parciales mostrar en el algoritmo convencional.

Sí. Puede ayudarme a recordar qué estoy multiplicando en el algoritmo convencional.

Sí. El tamaño de las filas me recuerda el tamaño de los productos parciales. El primer producto parcial tiene menos valor que el segundo o el tercero. Esto puede ser útil para comprobar si un producto es razonable mientras trabajo.

Cuando multiplicamos números con más dígitos, ¿tendrán en mente los productos parciales en forma estándar o en forma unitaria? Den un ejemplo para apoyar su elección.

Pensaré en los productos parciales en forma unitaria porque me ayuda a multiplicar mentalmente.

Cuando multiplico 22 por 342, puedo pensar en 2 unidades × 2 unidades, 2 unidades × 4 decenas, 2 unidades × 3 centenas y así sucesivamente.

Pensaré en los productos parciales en forma estándar porque puedo usar lo que sé sobre los múltiplos de las potencias de 10 y las operaciones de multiplicación. Cuando multiplico 50 por 300, pienso en 5 × 10 × 3 × 100, que es igual a 15 × 1,000 o 15,000.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Número de respuestas correctas:

23. 5,000 × 7 = 35,000

24. 6,000 × 8 = 48,000

25. 7,000 × 9 = 63,000

26. 1 × 10,000 = 10,000

27. 2 × 20,000 = 40,000

28. 3 × 30,000 = 90,000

29. 40,000 × 4 = 160,000

30. 50,000 × 5 = 250,000

31. 60,000 × 6 = 360,000

32. 7 × 70,000 = 490,000

33. 8 × 80,000 = 640,000

34. 9 × 90,000 = 810,000

35. 2 × 90 = 180

36. 3 × 90 = 270

37. 6 × 10,000 = 60,000

38. 20,000 × 5 = 100,000

39. 7 × 60,000 = 420,000

40. 50,000 × 4 = 200,000

41. 5 × 60,000 = 300,000

42. 70,000 × 8 = 560,000

43. 8 × 50,000 = 400,000

44. 90,000 × 8 = 720,000

Escribe el producto.

1. 1 × 10 = 10

2. 1 × 20 = 20

3. 2 × 20 = 40

4. 3 × 20 = 60 5. 20 × 3 = 60 6. 30 × 4 = 120 7. 40 × 5 = 200 8. 1 × 100 = 100 9. 2 × 200 = 400 10. 3 × 400 = 1,200

Número de respuestas correctas: Progreso:

23. 4,000 × 7 = 28,000

24. 5,000 × 8 = 40,000

25. 6,000 ×

50,000

38. 5 × 20,000 = 100,000

39. 60,000 × 7 = 420,000

40. 4 × 50,000 = 200,000

41. 60,000 × 5 = 300,000

42. 8 × 70,000 =

43. 50,000 × 8 = 400,000

44. 8 × 90,000 = 720,000

B5 ▸ M1 ▸ Práctica veloz ▸ Multiplicar por múltiplos de 10, 100, 1,000 y 10,000 EUREKA MATH2 ©

Dibuja un modelo de área para hallar los productos parciales. Luego, multiplica usando el algoritmo convencional.

Estima el producto. Luego, multiplica.

5. 38 × 529 ≈ 40 × 500 = 20,000

38 × 529 = 20,102

6. 63 × 804 ≈ 60 × 800 = 48,000

63 × 804 = 50,652

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

8. Un autobús escolar recorre 508 kilómetros por semana. ¿Cuántos kilómetros recorre el autobús escolar en 36 semanas?

36 × 508 = 18,288

El autobús escolar recorre 18,288 kilómetros en 36 semanas.

7. Julie comete un error con la propiedad distributiva cuando halla 83 × 624. Observa su trabajo.

83 × 624 = 80 × 600 + 80 × 20 + 80 × 4 = 48,000 × 1,600 + 320 = 49,920

a. ¿Qué error cometió Julie?

Julie multiplicó 80 por 624, pero olvidó multiplicar 3 por 624

b. Halla el producto.

83 × 624 = 51,792

Multiplicar números de tres y cuatro dígitos por números de tres dígitos usando el algoritmo convencional

Vistazo a la lección

Sus estudiantes resuelven problemas verbales de un paso con multiplicación usando el modelo de área y el algoritmo convencional al mismo tiempo. Luego, hacen la transición completa al algoritmo convencional y exploran cómo pueden multiplicar dígitos mientras retienen el concepto de valor posicional.

Preguntas clave

• ¿Por qué elegirían multiplicar usando el algoritmo convencional?

• ¿Cómo deciden qué factor designar como la unidad?

Criterio de logro académico

5.Mód1.CLA9 Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (5.NBT.B.5)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 10 min

Aprender 30 min

• Relacionar el modelo de área con el algoritmo convencional

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para la enseñanza de la lección.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre 2, 3 o 4

La clase usa la estrategia de valor posicional para dividir un número de dos dígitos entre un número de un dígito como preparación para dividir números de varios dígitos entre números de dos dígitos en el tema C.

Muestre 84 ÷ 2 = .

Escriban el cociente y el residuo. Muestren su método.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el cociente y el residuo.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

96 ÷ 3 =

Cociente: 32

Residuo: 0

76 ÷ 3 =

Cociente: 25

Residuo: 1

92 ÷ 4 =

Cociente: 23

Residuo: 0

84 ÷ 2 =

Cociente: 42

Residuo: 0

Nota para la enseñanza

En 4.o grado, sus estudiantes usan distintos modelos para representar estrategias de valor posicional para la división, entre ellas las tablas de valor posicional, los modelos de área, la forma vertical y las ecuaciones. A medida que aumenta el tamaño de los números, especialmente en el divisor, la tabla de valor posicional se vuelve más ineficiente que otros modelos. Pueden elegir cualquier método para resolver los problemas de esta actividad, pero anime a sus estudiantes a usar modelos más eficientes si observa que se inclinan por los menos eficientes.

83 ÷ 4 =

Cociente: 20

Nota para la enseñanza

.

Mediante esta forma de registrar, sus estudiantes pueden distinguir con claridad el cociente del residuo. La clase aprende a registrar los residuos en forma fraccionaria en el módulo 2 y en forma decimal, en 6.o grado.

Respuesta a coro: De forma exponencial a forma estándar

La clase lee una potencia de 10 en forma exponencial y dice el valor en forma estándar para adquirir fluidez con los exponentes del tema A.

Muestre 101 en la tabla de dos columnas.

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma exponencial.

10 a la primera potencia

¿Cuánto es 101 en forma estándar? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

10

Muestre el número en forma estándar.

Continúe el proceso con 102, 103, 104, 105 y 106.

Divida a la clase en dos grupos y pida que se pongan de pie en lados separados del salón de clases que usted designe como lado A y lado B.

Cada lado se turnará para decir una potencia de 10 de forma diferente, desde 101 a 106.

El lado A dirá el número en forma exponencial y el lado B dirá el valor en forma estándar.

Lado A, digan… (Señale el lado A).

10 a la primera potencia

Lado B, digan… (Señale el lado B).

10

Continúe el proceso hasta 106 o 1,000,000. Haga una transición al uso exclusivo de señales cuando la clase esté lista.

Ahora, cambien los roles y vayan de 106 a 101. Lado A, empiecen con 1,000,000. Lado B, digan 10 a la sexta potencia.

Presentar

La clase prueba un método antiguo de multiplicación y lo compara con el algoritmo convencional.

Aprendimos cómo multiplicar usando el algoritmo convencional de multiplicación. Antes de usar este algoritmo, muchas personas usaban otra serie de pasos para hallar el producto. Estos pasos se conocen como el método etíope de multiplicación.

El método se usó en el siglo XX. Cuando un coronel austríaco que visitaba Etiopía quiso comprar 7 toros que costaban 22 táleros de María Teresa (monedas de plata) cada uno, nadie en el pueblo sabía calcular el costo total de los 7 toros.

Para hallar el costo total de los toros, llamaron a un sacerdote local y a su ayudante. Ellos hicieron dos columnas en el piso con agujeros en cada columna llamados casas. La columna de la izquierda era para dividir a la mitad, y la columna de la derecha era para duplicar. Ubicaron 22 piedritas en la primera casa, o fila, de la columna de división a la mitad. Luego, ubicaron 7 piedritas en la primera casa de la columna de duplicación. Este método les ayudó a hallar el producto correcto: 154.

Intentemos usar este método para multiplicar 44 por 15.

Nota para la enseñanza

El recurso de Las matemáticas en el pasado incluye más información acerca del método etíope de multiplicación. Considere invitar a sus estudiantes a usar ese método para hallar otros productos.

Muestre los pasos para multiplicar usando este método.

Pasos del método etíope de multiplicación

1. Ubica un factor en cada columna.

2. En la columna de división a la mitad, divide reiteradamente entre 2 (ignora los residuos) hasta que solo quede el número 1.

3. En la columna de duplicación, multiplica reiteradamente por 2 hasta que ambas columnas tengan el mismo número de filas completas.

4. Tacha las filas que tengan un número par en la columna de división a la mitad.

5. Suma los números que quedaron en la columna de duplicación.

Pida a sus estudiantes que dividan sus pizarras blancas individuales en dos columnas haciendo una línea por la mitad.

La columna izquierda es la columna de división a la mitad. Escriban 44 en la parte superior de la columna izquierda.

La columna derecha es la columna de duplicación. Escriban 15 en la parte superior de la columna derecha.

¿Cuánto es la mitad de 44?

Pida a sus estudiantes que registren 22 en la columna izquierda.

¿Cuánto es 15 duplicado?

Pida a sus estudiantes que registren 30 en la columna derecha.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Defina los conceptos división a la mitad y duplicación.

• División a la mitad: dividir entre 2

• Duplicación: multiplicar por 2

Continúe este proceso hasta que la columna de división a la mitad llegue al número 1.

Se consideraba que los números pares eran malignos, así que tachen todos los números pares de la columna de división a la mitad. Luego, tachen el número de la misma casa, o fila, en la columna de duplicación.

Pida a sus estudiantes que sumen los números que quedaron en la columna de duplicación.

¿Cuál es el total?

660

El producto de 44 y 15 es igual a 660; entonces, este método de multiplicación funciona. Aunque no usemos mucho este método en la actualidad, es una forma interesante de multiplicar.

Si hay tiempo suficiente, permita que sus estudiantes trabajen en parejas para intentar resolver el siguiente ejemplo con el método etíope: 36 × 12.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, mejoraremos en hallar productos usando el algoritmo convencional para la multiplicación.

Desafíe a sus estudiantes a que piensen por qué se tachan los números pares y los residuos.

Aprender

Relacionar el modelo de área con el algoritmo convencional

La clase multiplica usando el modelo de área y el algoritmo convencional al mismo tiempo.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.

Pida a la clase que se reúna y converse en parejas acerca de lo que saben y lo que no saben sobre la historia. Pueden representar el problema con un diagrama de cinta si lo necesitan.

1. Lisa coloca baldosas en un piso rectangular que tiene 204 pulgadas de largo y 123 pulgadas de ancho. ¿Cuántas pulgadas cuadradas de baldosas necesita usar Lisa?

Diferenciación: Apoyo

Invite a sus estudiantes a multiplicar en voz alta en forma unitaria para apoyar su trabajo. Por ejemplo, alguien puede decir:

“4 unidades × 3 unidades = 12 unidades, 2 decenas × 4 unidades = 8 decenas, 2 decenas × 2 centenas = 4 millares”. La forma unitaria ayuda a sus estudiantes a comprender que, por ejemplo, cuando escriben 4 después de multiplicar 2 decenas por 2 centenas, ese 4 representa 4 millares.

Lisa necesita usar 25,092 pulgadas cuadradas de baldosas.

¿Qué sabemos y qué necesitamos saber?

Sabemos que Lisa coloca baldosas, y sabemos cuáles son la longitud y el ancho del piso. No sabemos cuántas pulgadas cuadradas de baldosas necesita usar.

¿Cuál es la expresión que puede ayudarnos a hallar el número de pulgadas cuadradas de baldosas? ¿Cómo lo saben?

Podemos multiplicar 204 por 123 porque necesitamos hallar el área del piso rectangular que cubre con las baldosas.

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la respuesta a la siguiente pregunta. Anime a sus estudiantes a crear un modelo de área que represente cualquier situación.

Cuando multiplicamos, sabemos que podemos designar cualquier factor como el número de grupos y cualquier factor como la unidad. ¿Qué factor pueden designar como el número de grupos y cuál como la unidad? ¿Por qué?

Puedo designar 123 como la unidad y 204 como el número de grupos porque, entonces, tengo dos productos parciales en el algoritmo convencional: 123 × 4 y 123 × 200.

Puedo designar 204 como la unidad y 123 como el número de grupos. En un modelo de área, puedo mostrar 123 como el ancho y 204 como la longitud. Aunque habría más productos parciales en el algoritmo convencional, tiene más sentido hacerlo de esta manera porque coincide mejor con la historia.

¿Aproximadamente cuántas pulgadas cuadradas de baldosas necesita usar Lisa?

¿Cómo lo saben?

Lisa necesita usar aproximadamente 20,000 pulgadas cuadradas de baldosas porque 204 ≈ 200 y 123 ≈ 100. Sé que 200 × 100 = 20,000.

Invite a sus estudiantes a que hallen el producto del problema 1. Recorra el salón de clases y supervise el trabajo. Anime a sus estudiantes a que practiquen cómo usar el algoritmo convencional, aunque es probable que parte de sus estudiantes prefieran comenzar con un modelo de área. Cada estudiante puede elegir cualquier factor como la unidad.

Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, reúna a sus estudiantes para conversar.

¿Cuántas pulgadas cuadradas de baldosas necesita usar Lisa? ¿Es una respuesta razonable?

Lisa necesita usar 25,092 pulgadas cuadradas de baldosas. 25,092 es razonable porque los dos números que usamos para hacer una estimación eran menores que los números que se dan en el problema; entonces, tiene sentido que el área real sea mayor que nuestra estimación.

Pida a sus estudiantes que registren el enunciado con la respuesta final: Lisa necesita usar 25,092 pulgadas cuadradas de baldosas.

Muestre los siguientes ejemplos de trabajo:

¿Qué representa el 2 que está resaltado?

20,000

¿Cuáles son los dos factores que se multiplicaron para producir 20,000?

100 × 200

Si nuestro razonamiento es en forma unitaria, nos preguntamos: “¿Cuánto es 1 centena × 2 centenas?”. Si nuestro razonamiento es en forma estándar, nos preguntamos: “¿Cuánto es 100 × 200?”. ¿Qué pregunta resulta más fácil de visualizar?

Para mí, es más fácil visualizar 100 × 200 porque puedo multiplicar usando una operación de multiplicación y mover los dígitos según lo que sé acerca de las potencias de 10. Sé que 1 × 2 = 2. Entonces, puedo pensar en 2 × 104 y mover el dígito 2 cuatro posiciones hacia la izquierda.

Observemos más de cerca dónde se ubica el 2 en el algoritmo convencional. ¿Cuántas posiciones a la izquierda de la posición de las unidades está ubicado el 2?

Cuatro posiciones a la izquierda

Entonces, el valor posicional se mantiene debido al lugar en el que registramos ese 2. Practiquemos cómo multiplicar usando el algoritmo convencional y cómo multiplicar de a un solo dígito mientras retenemos el valor posicional.

Pida a la clase que observe y responda mientras usted guía y registra.

Designemos 123 como nuestra unidad para tener dos productos parciales.

¿Qué representa el primer producto parcial?

4 × 123

¿Qué representa el segundo producto parcial?

200 × 123

×

+

¿Cuánto es 4 × 3?

Registre 12.

¿Cuánto es 4 × 2?

8

Sabemos que el 8 representa 8 decenas y reagrupamos 1 decena del 12, entonces, ahora tenemos 9 decenas.

Tache 1. Registre 9.

¿Cuánto es 4 × 1?

4

Sabemos que el 4 representa 4 centenas. Observen cómo registramos 4 en la posición de las centenas.

Registre 4.

¿Cuánto es 4 × 123?

492

Hallamos el producto parcial 492 multiplicando un dígito por un dígito mientras retenemos mentalmente el valor posicional. Hallemos el segundo producto parcial.

¿Cuánto es 2 × 3?

6

¿Qué representa el 6?

600

Registremos 600 para poder retener mentalmente el valor posicional de otros dígitos.

Registre 600.

¿Cuánto es 2 × 2?

4

Registre 4.

¿Por qué registramos el 4 aquí?

Sabemos que el 4 representa 200 × 20, que es igual a 4 × 103; entonces, el 4 debe moverse tres posiciones hacia la izquierda.

¿Cuánto es 2 × 1?

Registre 2.

¿Por qué registramos el 2 aquí?

Sabemos que el 2 representa 200 × 100, que es igual a 2 × 104; entonces, el 2 debe moverse cuatro posiciones hacia la izquierda.

Hallamos el producto parcial 24,600 multiplicando un dígito por un dígito mientras retenemos mentalmente el valor posicional. De ahora en adelante, al multiplicar usando el algoritmo convencional, pueden hallar productos parciales usando la forma unitaria, la forma estándar o la multiplicación de un dígito por un dígito.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cuál de los tres métodos les resulta más útil y por qué.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comentar lo que saben y lo que no saben sobre la historia. Pueden representar el problema con un diagrama de cinta si lo necesitan.

2. La población de Waverly, Pensilvania, es 604 personas. La población de Scranton, Pensilvania, es 127 veces la población de Waverly. ¿Cuál es la población de Scranton?

604 × 127 = 76,708

La población de Scranton, Pensilvania, es 76,708 personas.

¿Qué sabemos y qué necesitamos saber?

Sabemos cuál es la población de Waverly. Sabemos que la población de Scranton, Pensilvania, es 127 veces la población de Waverly. Necesitamos saber cuál es la población de Scranton.

Muestre el siguiente diagrama de cinta. Si sus estudiantes crearon un diagrama de cinta parecido, muestre ese modelo.

¿Qué expresión podemos usar para determinar la población de Scranton?

127 × 604

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para comentar, registrar y estimar.

Waverly

604 ?

Scranton ranton

604 . . .

127 veces la cantidad ca

En el diagrama de cinta, 604 es la unidad y 127 es el número de grupos. ¿Pueden designar 127 como la unidad? ¿Por qué lo harían?

Sí, podemos designar 127 como la unidad porque podemos multiplicar los factores en cualquier orden. Podemos designar 127 como la unidad para que haya solo dos productos parciales: 4 × 127 y 600 × 127.

Pida a cada estudiante que trabaje de forma independiente o en parejas para multiplicar usando el algoritmo convencional.

¿Cuál es la población de Scranton?

76,708

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si el producto es razonable. Pida a sus estudiantes que registren el enunciado con la respuesta final: La población de Scranton, Pensilvania, es 76,708 personas.

Muestre el ejemplo de trabajo y pida a sus estudiantes que lo analicen para hallar el error.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cuál es el error y cómo pueden corregirlo.

Multiplicó por 27 en lugar de por 127.

El error es que no multiplicó 604 por 100.

No distribuyó por completo todas las partes de 127.

Para corregirlo, puedo multiplicar 1 centena por 4 unidades, 0 decenas y 6 centenas para hallar el tercer producto parcial: 60,400.

¿Cómo podemos evitar cometer el mismo error?

Podemos asegurarnos de que tenemos el número correcto de productos parciales según qué designamos como la unidad y qué designamos como el número de grupos.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3.

Pida a la clase que se reúna y converse en parejas para estimar el producto.

Luego, invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar si prefieren designar 1,429 o 312 como la unidad y por qué.

Prefiero designar 1,429 como la unidad porque tendré solo tres productos parciales en lugar de cuatro productos parciales.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando analiza ejemplos de trabajo en los que se utiliza el algoritmo de multiplicación convencional para determinar el producto de dos números de tres dígitos e identifica y explica cómo corregir un error.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿Qué detalles debemos considerar cuando pensamos en este trabajo?

• Cuando usan el algoritmo convencional para multiplicar números de varios dígitos, ¿con qué pasos deben ser muy cuidadosos? ¿Por qué?

Pida a sus estudiantes que completen el problema 3 de forma independiente o en parejas. Recorra el salón de clases y supervise el trabajo. Brinde asistencia según sea necesario. Anime a sus estudiantes a multiplicar usando el algoritmo convencional sin el apoyo del modelo de área.

DUA: Acción y expresión

Ayude a sus estudiantes a autoevaluar su progreso animándoles a hacerse preguntas mientras usan el algoritmo convencional. Resalte la importancia de razonar para tomar decisiones y de hacer cambios si una estrategia no funciona. Piense en voz alta para representar de qué manera hacerse preguntas usando como ejemplo el problema 3. Comente cómo hacer este tipo de preguntas puede ayudar a cada estudiante a evitar errores y trabajar de forma más eficiente:

• ¿Qué número debería designar como la unidad?

• ¿Tengo el número correcto de productos parciales?

445,848

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo multiplicaron usando el algoritmo convencional. Luego, considere hacer las siguientes preguntas a la clase:

• ¿Piensan en los productos en forma unitaria o en forma estándar?

• ¿Multiplicaron un solo dígito por un solo dígito mientras retenían mentalmente el valor posicional?

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

• ¿Distribuí todas las partes del otro factor?

• ¿Debería hacer algo diferente?

3. 1,429 × 312

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Multiplicar números de tres y cuatro dígitos por números de tres dígitos usando el algoritmo convencional

Guíe una conversación de toda la clase acerca de cómo multiplicar usando el algoritmo convencional con las siguientes preguntas. Anime a sus estudiantes a replantear las respuestas de sus pares.

¿Por qué elegirían multiplicar usando el algoritmo convencional?

Si los factores del problema tienen muchos dígitos, elegiría el algoritmo convencional porque puedo multiplicar cada dígito individualmente. Si uso un modelo de área, podría tardar mucho tiempo en dibujarlo.

Puedo multiplicar un dígito por un dígito porque me sé las tablas del 1 al 10. También puedo retener mentalmente el valor posicional mientras uso las tablas del 1 al 10, por lo que me resulta eficiente usar el algoritmo convencional.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 del Grupo de problemas y muestre el modelo de área.

¿Cuál es el factor designado como la unidad en este modelo de área: 342 o 1,627? ¿Por qué creen que se eligió esa unidad?

1,627 está designado como la unidad. Creo que se eligió porque de esta manera solo hay tres productos parciales. Si se designa 342 como la unidad, hay cuatro productos parciales.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Estima el producto. Luego, multiplica.

Completa el modelo de área y halla la suma de los productos parciales. Luego, multiplica usando el algoritmo convencional. Compara tus respuestas en cada parte para comprobar que el producto es correcto.

Dibuja un modelo de área para hallar los productos parciales y su suma. Luego, multiplica usando el algoritmo convencional. Compara tus respuestas en cada parte para comprobar que el producto es correcto.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

7. Sandra bebe de una botella que contiene 946 mililitros de agua. Llena la botella y bebe toda el agua dos veces por día.

a. ¿Cuántos mililitros de agua bebe Sandra por día?

2 × 946 = 1,892 Sandra bebe 1,892 mililitros de agua por día.

b. ¿Cuántos mililitros de agua bebe Sandra en 365 días?

365 × 1,892 = 690,580 Sandra bebe 690,580 mililitros de agua en 365 días.

Multiplicar dos números de varios dígitos usando el algoritmo convencional

Vistazo a la lección

Sus estudiantes usan el algoritmo convencional de multiplicación para multiplicar dos números de varios dígitos. Resuelven problemas con y sin expresión con otro nombre y usan la forma vertical para registrar los pasos del algoritmo convencional. Usan la estimación para evaluar si sus respuestas son razonables.

Preguntas clave

• ¿Por qué estimamos antes de multiplicar?

• ¿Es útil y eficiente el algoritmo convencional de multiplicación? ¿Por qué?

Criterio de logro académico

5.Mód1.CLA9 Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional. (5.NBT.B.5)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Multiplicar dos números de varios dígitos

• Analizar una respuesta errónea

• Pasar la pizarra blanca

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Respuesta a coro: De forma exponencial a forma estándar

La clase lee una potencia de 10 en forma exponencial y dice el valor en forma estándar para adquirir fluidez con los exponentes del tema A.

Muestre 106 en la tabla de dos columnas.

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra en forma exponencial.

10 a la sexta potencia

¿Cuánto es 106 en forma estándar? Levanten la mano cuando sepan la respuesta.

Espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

1,000,000

Muestre el número en forma estándar.

Continúe el proceso con 105, 104, 103, 102 y 101.

Divida a la clase en dos grupos y pida que se pongan de pie en lados separados del salón de clases que usted designe como lado A y lado B.

Cada lado se turnará para decir una potencia de 10 de forma diferente, de 106 a 101.

El lado A dirá el número en forma exponencial y el lado B dirá el valor en forma estándar.

Lado A, digan… (Señale el lado A).

10 a la sexta potencia

Lado B, digan… (Señale el lado B).

1,000,000

Continúe el proceso hasta 101 o 10. Haga una transición al uso exclusivo de señales cuando la clase esté lista.

Ahora cambien los roles y vayan de 101 a 106. Lado A, empiecen con 10. Lado B, digan 10 a la primera potencia.

Intercambio con la pizarra blanca: Dividir entre 2, 3 o 4

La clase usa la estrategia de valor posicional para dividir un número de tres dígitos entre un número de un dígito como preparación para dividir números de varios dígitos entre números de dos dígitos en el tema C.

Muestre 264 ÷ 2 = .

Escriban el cociente y el residuo. Muestren su método.

Dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el cociente y el residuo.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

=

Cociente: 122

Residuo: 2

0

54

82

0

4 ÷ 2 =

Cociente: 132

Residuo: 0

Cociente: 76

Residuo: 1

Presentar

La clase compara productos parciales con el algoritmo convencional de multiplicación.

Muestre los ejemplos de trabajo sombreados que representan 1,243 × 132.

En los tres métodos de multiplicación, podemos ver los tres mismos productos parciales:

2,486, 37,290 y 124,300.

¿Qué representa el producto parcial 2,486?

2 × 1,243

2 veces 1,243

2 grupos de 1,243

¿Dónde está representado 2,486 en el ejemplo A?

La suma de las primeras cuatro filas de productos parciales, 6 + 80 + 400 + 2,000, representa 2,486.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere resaltar la diferencia entre un producto parcial y un producto. Diga a la clase que suman los productos parciales para determinar el producto. Dirija la atención de sus estudiantes hacia la palabra parciales en la frase productos parciales.

Por ejemplo, en el ejemplo B, los productos parciales de 1,243 × 132 son 2,486, 37,290 y 124,300. El producto es 164,076. En el ejemplo C, los productos parciales son los números escritos dentro de los rectángulos del modelo de área.

¿Dónde está representado 2,486 en el ejemplo B?

Es el primer producto parcial.

¿Dónde está representado 2,486 en el ejemplo C?

Los cuatro productos parciales de la primera fila del modelo de área suman 2,486.

Observemos el ejemplo B. ¿Por qué hay un 8 en la posición de las decenas en el número 2,486?

2 veces 40 es igual a 80, u 8 decenas.

¿Por qué hay un 4 en la posición de las centenas en el número 2,486?

2 veces 200 es igual a 400, o 4 centenas.

¿Qué representa el producto parcial 37,290?

30 × 1,243

30 veces 1,243

30 grupos de 1,243

Expliquen por qué podemos multiplicar 30 por 1,243 y registrar el producto parcial 37,290 en una línea en el ejemplo B.

Cuando se multiplicó 3 por 3 en el algoritmo para obtener 9, en realidad, se multiplicó 30 por 3 para obtener 90.

El 2 representa 200 y es parte del 1,200, que es el producto de 30 y 40.

El 7 representa 7,000. Es el resultado de sumar 30 grupos de 200, que da 6,000, más el 1,000 de 1,200 del producto parcial anterior.

El 3 representa 30,000 y es el resultado formar 30 grupos de 1,000.

¿Qué representa el producto parcial 124,300?

100 × 1,243

100 veces 1,243

100 grupos de 1,243

Cuando multiplicamos usando el algoritmo convencional, registrar puede ser más simple que cuando usamos un modelo de área porque en este caso se combinan varios productos parciales en uno solo, pero necesitamos llevar la cuenta del valor posicional mentalmente.

¿Cuándo creen que podemos elegir multiplicar números de varios dígitos con el algoritmo convencional en lugar de hacerlo con productos parciales o con el modelo de área?

El algoritmo convencional es un método más eficiente para registrar cuando tenemos dos factores con muchos dígitos diferentes de cero.

Alguien puede usar el algoritmo convencional cuando los factores son números de varios dígitos y ninguno o pocos factores son ceros.

¿Por qué alguien elegiría no usar el algoritmo convencional para multiplicar números de varios dígitos? Den un ejemplo.

Alguien puede usar un método diferente si la multiplicación se puede resolver mentalmente con productos parciales. Por ejemplo, alguien puede multiplicar 1,200 por 40 mentalmente si halla 12 × 4 × 100 × 10. O puede calcular (1,000 × 40) + (200 × 40).

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, multiplicaremos dos números de varios dígitos usando el algoritmo de multiplicación convencional.

Aprender

Multiplicar dos números de varios dígitos

La clase multiplica dos números de varios dígitos usando el algoritmo de multiplicación convencional.

Presente el siguiente problema.

¿Cuánto es 111 veces 2,222?

¿Qué expresión de multiplicación podemos usar para responder esta pregunta?

111 × 2,222

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el producto de 111 y 2,222.

110 × 2,000 = 220,000

100 × 2,200 = 220,000

100 × 2,000 = 200,000

Pida que trabajen en parejas para determinar el producto de 111 y 2,222 usando el algoritmo convencional.

Invite a sus estudiantes a compartir las soluciones que hallaron con el resto de la clase. Pregunte si sus respuestas son razonables y cómo lo saben.

Escriba 4,603 × 507.

¿En qué se diferencian los factores de este problema de multiplicación de cuatro dígitos por tres dígitos de los factores del problema de multiplicación anterior?

El dígito 0 está en cada factor.

Algunos dígitos de los factores son mayores. No se repite el mismo dígito en los factores.

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el producto.

4,500 × 500 = 2,250,000

5,000 × 500 = 2,500,000

Pida que trabajen en parejas para determinar el producto de 4,603 y 507 usando el algoritmo convencional.

Invite a sus estudiantes a compartir sus respuestas con el resto de la clase. Pregunte si sus respuestas son razonables y cómo lo saben.

Muestre el trabajo para hallar 4,603 × 507.

¿Es una respuesta razonable? ¿Cómo lo saben?

Sí. 2,333,721 está cerca de mi estimación de 2,500,000.

Diferenciación: Desafío

Para quienes necesiten un desafío adicional, presente los siguientes problemas:

1. Multipliquen.

11 × 11

11 × 111

11 × 1,111

11 × 11,111

Haga las siguientes preguntas: ¿Qué patrones observan en los productos? ¿Por qué creen que hallan esos patrones? ¿Cuál predicen que será el valor de 11 × 111,111?

2. Multipliquen.

111 × 22

111 × 33

111 × 44

111 × 55

Haga las siguientes preguntas: ¿Qué patrones observan en los productos? ¿Por qué creen que hallan esos patrones? ¿Cuál predicen que será el valor de 111 × 66?

¿Por qué hay dos 0 al final del segundo producto parcial?

Hay dos 0 porque multiplicamos 500 por 4,603.

¿Por qué hay dos productos parciales? ¿Qué representa cada producto parcial?

Hay dos productos parciales porque hallamos 7 grupos de 4,603 y 500 grupos de 4,603.

32,221 = 7 × 4,603

2,301,500 = 500 × 4,603

Analizar una respuesta errónea

La clase analiza ejemplos de trabajo que involucran el algoritmo convencional de multiplicación.

Presente la rutina Analizar una respuesta errónea y el siguiente problema:

Una empresa planea comprar 112 escritorios que cuestan $249 cada uno. Julie dice que el costo total de los escritorios es aproximadamente $25,000. ¿Están de acuerdo? ¿Por qué?

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para responder las preguntas.

¿Están de acuerdo con Julie? ¿Por qué?

Estoy de acuerdo. 112 escritorios es aproximadamente 100 escritorios y $249 es aproximadamente $250. Sé que 100 × 250 = 25,000. Entonces, el costo total de los escritorios es aproximadamente $25,000.

Muestre el trabajo con errores de 249 × 112.

Este trabajo muestra un cálculo erróneo del costo total de los escritorios que hizo Toby. ¿Cómo saben que Toby cometió un error?

La respuesta de Toby no se acerca a la estimación de 25,000.

Dé a sus estudiantes 1 minuto para identificar el error y pídales que compartan sus respuestas.

El último producto parcial debería ser 24,900 en lugar de 2,490. Toby multiplicó 10 por 249 en lugar de multiplicar 100 por 249.

Dé a sus estudiantes 2 minutos para resolver el problema usando su propia comprensión. Recorra el salón de clases y compruebe que sus respuestas sean correctas mientras trabajan.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden registrar 507 sobre 4,603, que es otra forma correcta de plantear el algoritmo. El producto es el mismo, pero tendrán tres productos parciales en lugar de dos porque deben hallar 3 × 507, 600 × 507 y 4,000 × 507.

Mientras sus estudiantes repasan el trabajo de otra persona, recuérdeles que pueden usar la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para apoyar sus conversaciones.

Luego, guíe una conversación de toda la clase. Pida a un un grupo pequeño de estudiantes que compartan su respuesta con todo el grupo.

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para resumir el error de Toby y cómo corregirlo. Guíe a la clase para acordar cuál es la mejor manera de corregir la respuesta incorrecta.

Toby debería recordar cuáles son los productos parciales que debe hallar antes de multiplicar. En este problema, debemos hallar 2 × 249, 10 × 249 y 100 × 249.

Toby debería conectar el producto con la estimación y preguntarse: “¿Tiene sentido mi producto?”.

Toby puede comprobar su trabajo usando un modelo de área para ver si obtiene la misma respuesta.

Toby puede volver a multiplicar usando el algoritmo convencional, pero necesita cambiar el orden de los factores para ver si obtiene la misma respuesta.

Pasar la pizarra blanca

La clase participa en una actividad grupal que involucra la multiplicación de números de varios dígitos.

Siente a sus estudiantes en grupos de 4.

Esta actividad se llama Pasar la pizarra blanca. Cada estudiante escribe un problema de multiplicación de tres dígitos por cuatro dígitos en su pizarra blanca. Una vez que escriban el problema, pasen la pizarra blanca a quien está a su izquierda.

Cuando reciban la pizarra blanca con el problema de multiplicación, hagan una estimación del producto y escríbanla en la pizarra blanca. Luego, pasen la pizarra blanca hacia su izquierda.

Cuando reciben la pizarra blanca con el problema de multiplicación y la estimación, usen el algoritmo convencional para multiplicar los dos números. Usen la estimación para comprobar si la respuesta es razonable. Cuando crean que tienen la respuesta correcta, pasen la pizarra blanca hacia su izquierda.

DUA: Participación

La actividad de Pasar la pizarra blanca brinda a sus estudiantes la oportunidad de elegir, porque les permite crear sus propios problemas de multiplicación.

Diferenciación: Apoyo

Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional, considere formar grupos de 2 en lugar de grupos de 4 para la actividad de Pasar la pizarra blanca.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando estima, calcula y comprueba el trabajo hecho por sus pares en el equipo al hallar el producto de números de varios dígitos durante la actividad de Pasar la pizarra blanca.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Qué partes cuestionan del trabajo que se muestra del algoritmo convencional de multiplicación? ¿Por qué?

• ¿Qué preguntas pueden hacerle a su pareja de trabajo para asegurarse de que comprendan su trabajo?

Cuando reciban la pizarra blanca con una respuesta, comprueben ese trabajo. ¿Cómo pueden comprobar el trabajo de otra persona?

Puedo resolverlo y ver si obtuve la misma respuesta. Puedo seguir su proceso y comprobar cada cálculo.

Si piensan que se cometió un error, pidan a esa persona que explique su razonamiento. Sugieran cómo puede cambiar su trabajo para que sea correcto.

Permita a sus estudiantes que participen de la actividad de Pasar la pizarra blanca hasta que sea necesario comenzar con el Grupo de problemas. Una vez que un grupo haya completado la rotación completa con las pizarras blancas, deben empezar el ciclo de nuevo. Recorra el salón de clases mientras los grupos trabajan, compruebe su trabajo y corrija conceptos erróneos.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Multiplicar dos números de varios dígitos usando el algoritmo convencional

Guíe una conversación de toda la clase acerca de las razones para usar el algoritmo convencional con los siguientes planteamientos. Anime a sus estudiantes a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Por qué estimamos antes de multiplicar?

Estimamos un producto para determinar si nuestra respuesta es razonable.

Nota para la enseñanza

Para apoyar la capacidad de cada estudiante de brindar retroalimentación útil en la actividad de Pasar la pizarra blanca, considere comentar los siguientes planteamientos. Pueden usar los planteamientos en parejas para que su retroalimentación sea útil y constructiva.

• Presten atención a las operaciones de multiplicación, para poder tener precisión.

• Presten atención al tamaño de las unidades que están multiplicando.

• Descompongan el factor que están nombrando como el número de grupos para llevar la cuenta. (Aquí multiplicamos 9, 10 y 100).

• Comparen su producto con la estimación. ¿Es razonable?

Si sus estudiantes cometen un error, considere pedirles que identifiquen el error o que vuelvan a hacer la multiplicación con su ayuda o la de la clase.

¿Por qué usamos el algoritmo convencional de multiplicación en lugar de un modelo de área o productos parciales?

El algoritmo convencional suele ser más eficiente que otros métodos, especialmente con multiplicaciones de dos números de varios dígitos que pueden ser difíciles de multiplicar usando el cálculo mental. Con el algoritmo convencional, no hay que escribir tantos productos parciales.

Den un ejemplo de dos números de varios dígitos que pueden multiplicar mentalmente.

¿Por qué usarían la multiplicación mental con ese ejemplo?

Puedo multiplicar mentalmente 40 por 700. Tardaría más tiempo si usara el algoritmo convencional porque puedo multiplicar 4 por 7 y, luego, desplazar los dígitos tres veces hacia la izquierda, ya que 10 × 100 = 1,000.

Den un ejemplo de una multiplicación de dos números de varios dígitos con los que usarían el algoritmo convencional. ¿Por qué usarían el algoritmo convencional con ese ejemplo?

Usaría el algoritmo convencional para multiplicar 465 por 23. Sería difícil llevar la cuenta usando la propiedad distributiva porque hay varios dígitos que no son 0; entonces, el algoritmo convencional podría ayudarme a llevar la cuenta y registrar mi razonamiento de forma más eficiente.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

5. Blake quiere hallar 312 × 675. Observa el trabajo de Blake.

a. ¿Es razonable la respuesta de Blake? ¿Cómo lo sabes? 312 × 675 ≈ 300 × 700

210,000

No. La respuesta de Blake no es razonable porque 4,050 no está cerca de mi estimación de 210,000

b. ¿Qué errores cometió Blake?

Blake multiplicó 675 por 1 en lugar de hacerlo por 10. Además, multiplicó 675 por 3 en lugar de hacerlo por 300

6. 651 × 823

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

10. Una vaca pesa 712 kilogramos. Una ballena azul es 255 veces tan pesada como la vaca. ¿Cuántos kilogramos pesa la ballena azul?

255 × 712 = 181,560

La ballena azul pesa 181,560 kilogramos.

Tema C División de números enteros

En 4.o grado, la clase aprende a hallar cocientes enteros y residuos en problemas con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de un dígito usando el cálculo mental, modelos de área y cocientes parciales. En el tema C, la clase usa diferentes métodos para determinar cocientes de dividendos y divisores de varios dígitos.

El tema comienza con la división de números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10 de dos dígitos. Antes de dividir, la clase estima los cocientes. Repiten las unidades en diagramas de cinta para determinar los cocientes y registran su razonamiento en forma vertical. La clase luego comprueba sus respuestas escribiendo ecuaciones que incluyen la multiplicación y la suma, y determinan si las ecuaciones son verdaderas.

A continuación, se pasa a la división de números de dos y tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que dan como resultado cocientes de un dígito. La clase usa el proceso de estimar, dividir y comprobar, y registra el trabajo de división en forma vertical. Sus estudiantes explican por qué los métodos de división son los mismos sin importar cuántos dígitos tengan el dividendo o el divisor.

Para dividir números de varios dígitos en problemas que dan como resultado cocientes de dos dígitos, la clase usa los cocientes parciales y registra el trabajo en modelos de área y en forma vertical. Reconocen que cada cociente parcial representa un número de grupos del divisor que cabe en el dividendo, y que el cociente es la suma de los cocientes parciales. Para profundizar su comprensión de la división, la clase identifica errores en ejemplos de trabajos. En el tema C, se desarrolla fluidez con la estimación. La clase explica cómo la estimación ayuda a comenzar con la división y a determinar si un cociente es razonable. La clase sabe que, si una estimación es demasiado alta, el número de grupos del divisor no cabe en el dividendo, por lo que se debe quitar al menos un grupo. Si una estimación es demasiado baja, más grupos del divisor caben en el dividendo, así que se debe agregar al menos un grupo.

A lo largo del tema, se exploran los significados de cocientes y residuos en situaciones matemáticas y del mundo real. Se practica cómo interpretar los residuos usando el contexto de los problemas verbales. La clase también explica por qué dos expresiones de división con el mismo cociente y residuo no son necesariamente equivalentes.

En el tema D, se aplica la comprensión de la división para resolver problemas verbales de varios pasos.

Progresión de las lecciones

Lección 12

Dividir números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10

Lección 13

Dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Lección 14

Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Puedo dividir números de varios dígitos entre múltiplos de 10 y registrar mi trabajo en forma vertical. Puedo dibujar repetidamente unidades del divisor en un diagrama de cinta como ayuda para ver cuántos grupos del divisor caben en el dividendo. Usar operaciones de multiplicación y división me ayuda a estimar los cocientes.

Puedo dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos y registrar mi trabajo en forma vertical. Puedo estimar para comprobar si un cociente es razonable. Puedo hallar el cociente y luego usar la multiplicación para comprobar el resultado. Puedo interpretar los cocientes y residuos en problemas verbales.

Cuando observo un problema de división, sé si el cociente es mayor o menor que 10. Sé que puedo usar el mismo razonamiento para dividir, sin importar si el dividendo tiene tres dígitos o dos dígitos.

Lección 15

Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de dos dígitos

Lección 16

Dividir números de cuatro dígitos entre números de dos dígitos

Puedo usar cocientes parciales para dividir. Sé cómo registrar mi razonamiento en un modelo de área y en forma vertical. Sé que el cociente es la suma de los cocientes parciales.

Puedo usar la estimación para determinar si un cociente es razonable y puedo usar la estimación como ayuda para hallar los cocientes parciales. Sé cómo interpretar los cocientes y los residuos en situaciones del mundo real.

LECCIÓN 12

Dividir números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10

Vistazo a la lección

La clase divide números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10. Exploran casos con y sin residuos. La clase estima cocientes antes de dividir; luego, usan diagramas de cinta para determinar los cocientes, registran su razonamiento en forma vertical y usan la multiplicación y la suma para comprobar sus respuestas. En esta lección se formaliza el término dividendo.

Preguntas clave

• ¿Por qué es útil estimar un cociente antes de dividir?

• ¿Cómo podemos representar una división con un diagrama de cinta?

b. Determina el cociente y el residuo.

Cociente: 8 Residuo: 15

c. Escribe una ecuación para comprobar tu trabajo.

× 80 + 15 = 640 + 15 = 655

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

5.Mód1.CLA10 Resuelven problemas que involucran la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos. (5.NBT.B.6)

5.Mód1.CLA11 Representan la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando modelos. (5.NBT.B.6)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Dividir entre múltiplos de 10

• Problemas de división

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Potencias de 10

La clase escribe una expresión de multiplicación usando solo el 10 como factor y la forma exponencial para una potencia de 10 dada en forma estándar para adquirir fluidez con exponentes del tema A.

Muestre 100.

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra. ¿Comenzamos?

100

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Escriban el número en forma exponencial.

Muestre el número en forma exponencial.

Escriban el número como una expresión de multiplicación usando solo el 10 como factor.

Muestre la expresión de multiplicación.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

10 0 = 10 2 = 10 × 10

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden dudar cuando encuentren el 10 en la secuencia. Considere replantear la explicación de exponente y mencionar el caso especial de 101 de la lección 3.

Un exponente representa cuántas veces se usa el mismo número como factor en una expresión de multiplicación. En el caso de 10, no es posible escribir una expresión de multiplicación sin usar otro factor. Esto es diferente con los otros números de esta secuencia, donde 10 es el único factor en las expresiones de multiplicación.

Contar salteado usando múltiplos de 2 y de 20

La clase dice los primeros diez múltiplos de 2 y de 20 como preparación para estimar cocientes.

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 2. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 20. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200

Nota para la enseñanza

Dado que cero multiplicado por cualquier otro número es cero, se lo puede considerar el primer múltiplo de todos los números. Sin embargo, al contar salteado, se suele comenzar el conteo con la unidad que se está usando para contar salteado y considerar la propia unidad como el primer múltiplo, en lugar del cero. Por ejemplo, para contar salteado usando una unidad de 10, el primer múltiplo es 1 × 10, el segundo es 2 × 10, y así sucesivamente.

Nota para la enseñanza

Considere pedir a la clase que compare y explique lo que observa acerca de las dos listas de múltiplos. La clase debería observar que cada número de la segunda lista es 10 veces el múltiplo de 2 correspondiente de la primera lista.

Respuesta a coro: Dividir en forma unitaria y en forma estándar

La clase divide decenas entre decenas y dice la ecuación con los números en forma estándar como preparación para dividir números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 4 decenas ÷ 2 decenas = .

¿Cuántos grupos de 2 decenas hay en 4 decenas?

2

Muestre la respuesta.

Cuando dé la señal, digan la ecuación con los números en forma estándar.

40 ÷ 20 = 2

Muestre la ecuación con los números en forma estándar.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

La clase identifica métodos para dividir entre múltiplos de 10.

Muestre el siguiente problema:

La Sra. Song separa 360 camisetas en cajas. Pone 40 camisetas en cada caja.

Pida a la clase que trabajen en parejas para determinar el número exacto de cajas de camisetas. Deben usar al menos dos métodos diferentes.

Pídales que compartan su razonamiento. Considere mostrar los métodos que comparten las parejas para que los vea la clase.

Puedo dividir 36 decenas entre 4 decenas para obtener 9.

Puedo descomponer 360 en 200 y 160, y, luego, hallar cuántos 40 hay en 200 y cuántos 40 hay en 160.

¿Cómo podemos comprobar que la respuesta es correcta?

Podemos multiplicar. 9 × 40 = 360.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué método prefieren para dividir 360 entre 40 y por qué.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, vamos a dividir números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10.

Nota para la enseñanza

Tenga en cuenta que la clase puede usar los siguientes métodos de división en la sección

Presentar:

• Expresar en forma unitaria. (Dividir 36 decenas entre 4 decenas y obtener 9).

• Usar la forma unitaria con operaciones de división. (36 decenas entre 4 decenas puede hallarse usando la operación de división 36 ÷ 4).

• Pensar en cuántas unidades hay en el total. (Descomponer 360 en 200 y 160 o cualquier otro múltiplo de 40 que sea conocido, y, luego, determinar cuántas veces cabe 40 en 200 y cuántas veces cabe 40 en 160).

Aprender

Dividir entre múltiplos de 10

La clase usa estimaciones y cocientes parciales para dividir entre múltiplos de 10.

Escriba 360 ÷ 40.

¿Cómo podemos interpretar este problema de división?

Podemos pensar: ¿Cuántos grupos de 40 hay en 360?

Podemos pensar: ¿40 grupos de qué número hacen 360?

Vamos a representar esta división con un diagrama de cinta. Podemos determinar cuántos grupos de 40 hay en 360 sumando grupos de 40 hasta llegar a 360.

Dibuje una unidad de 40.

Continúe agregando unidades y contando salteado hasta llegar a un total de 360.

El diagrama de cinta representa el total de 360. El divisor, 40, nos muestra el tamaño de cada grupo.

Este diagrama muestra que 360 es equivalente a 9 grupos de 40. Al mirar el diagrama de cinta, ¿cómo saben que el residuo de 360 ÷ 40 es 0?

El diagrama de cinta muestra que 9 unidades de 40 dan un total de 360.

También podemos representar 360 ÷ 40 con un diagrama de cinta diferente. ¿Cómo se vería el otro diagrama de cinta?

Tendría 40 grupos y no sabríamos el tamaño de cada grupo.

Muestre el diagrama de cinta que representa 40 unidades con un total de 360. 360

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué diagrama de cinta usarían para representar 360 ÷ 40 y por qué.

Usaría el primer diagrama de cinta para representar grupos de 40 porque no quiero dibujar un diagrama de cinta con 40 unidades.

Usaría el primer diagrama de cinta, porque el segundo diagrama representa la expresión, pero no me ayuda a determinar el valor de 360 ÷ 40.

Podemos registrar el trabajo que hicimos para resolver 360 ÷ 40 en forma vertical.

Escriba 360 ÷ 40 en forma vertical.

¿Por qué escribí el 9 arriba del 0?

El 9 representa 9 unidades, y, cuando escribimos la división en forma vertical, los dígitos se alinean según su valor posicional. El dígito de las unidades del cociente se coloca arriba del dígito de las unidades del total.

¿Cuál es el residuo cuando dividimos 360 entre 40?

Si miran la forma vertical, ¿cómo saben que el residuo es 0?

Cuando restamos 360 de 360 en forma vertical, la diferencia, o la parte que sobra, es 0.

Nota para la enseñanza

La clase aprende a registrar su trabajo en forma vertical en 4.o grado. Esta lección les recuerda su experiencia previa y prepara a la clase para usar la forma vertical para resolver problemas que incluyen dividendos y divisores con más dígitos en las siguientes lecciones. Aunque sus estudiantes pueden preferir usar otros métodos para hallar el valor de 360 ÷ 40, usar la forma vertical sirve como base para realizar divisiones complejas, como 3,268 ÷ 47, en las siguientes lecciones.

Escriba 360 ÷ 40 = 9.

¿Cuál es el cociente en esta ecuación? ¿Cómo lo saben?

El cociente es 9 porque un cociente es el número que se obtiene cuando se divide un número entre otro número.

¿Cuál es el divisor? ¿Cómo lo saben?

El divisor es 40 porque un divisor es el número entre el que se divide.

El número 360 también tiene un nombre especial. Se llama dividendo. En una expresión de división, el número que se divide entre otro número es el dividendo.

Muestre las tres representaciones de 360 ÷ 40 = 9.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de dónde ven el dividendo, el divisor y el cociente en cada representación.

Problemas de división

La clase resuelve problemas de división que incluyen dividir entre múltiplos de 10.

Muestre el problema acerca del Sr. Pérez.

El Sr. Pérez separa 216 sombreros en bolsas. Llena cada bolsa con 30 sombreros y dona los sombreros que sobran para un sorteo. ¿Cuántos sombreros dona?

¿Qué representa el 216?

El 216 representa el número total de sombreros que se separan en bolsas o se donan.

¿Qué representa el 30?

El 30 representa el número de sombreros que hay en cada bolsa, o el tamaño de cada grupo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

En 4.o grado, la clase se refiere al dividendo como total. Para apoyar el uso del nuevo término dividendo y de otros términos conocidos relacionados con la división, considere exhibir un afiche de referencia, como el que se muestra, para que sus estudiantes puedan consultarlo a lo largo del tema.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa la división para resolver problemas del mundo real e interpreta el significado del dividendo, divisor, cociente y residuo en el contexto del problema.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué deben hacer según el problema?

• ¿Qué significa el residuo en el problema del Sr. Pérez?

• ¿Qué situaciones del mundo real podemos representar con la división?

¿Qué podemos hacer para hallar cuántas bolsas llena con sombreros el Sr. Pérez? ¿Por qué?

Podemos usar la división para hallar cuántas bolsas llena con sombreros. Llena cada bolsa con 30 sombreros; así que debemos hallar cuántos 30 hay en 216.

¿Qué expresión se puede usar para hallar cuántas bolsas llena?

216 ÷ 30

En la expresión 216 ÷ 30, ¿qué número es el dividendo y qué número es el divisor? ¿Qué representa cada uno?

El dividendo es 216, y representa el número total de sombreros. El divisor es 30, y representa el tamaño de cada grupo.

¿Aproximadamente cuántas bolsas puede llenar? ¿Cómo lo saben?

Puede llenar aproximadamente 7 bolsas. Puedo pensar en 216 como 210, porque puedo dividir 210 entre 30 mentalmente. 210 ÷ 30 = 7.

Podemos decir que 216 dividido entre 30 es aproximadamente 210 dividido entre 30. ¿Por qué 210 es un número adecuado para usar para estimar el cociente 216 ÷ 30? ¿También sería adecuado usar 220?

210 es un múltiplo de 30, y 210 está cerca del dividendo 216. Dado que 220 no es un múltiplo de 30, creo que 210 es un dividendo más apropiado para usar para hacer una estimación.

Vamos a hacer un diagrama de cinta para determinar cuántos 30 hay en 216.

Dibuje una unidad de 30. Continúe agregando unidades, y contando salteado hasta llegar a la estimación de 7 grupos de 30.

¿Cuántos 30 hay en 216? ¿Dónde ven ese número en el diagrama de cinta?

Hay siete 30 en 216 porque hay 7 grupos de 30 en el diagrama de cinta.

Diferenciación: Apoyo

Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional con la división entre potencias de 10, cuando hagan estimaciones, sugiera que usen la forma unitaria. Por ejemplo: 210 ÷ 30 es igual a 21 decenas ÷ 3 decenas, o 7

Vamos a registrar esta información en forma vertical.

Hicimos 7 grupos de 30. ¿Cuánto sobró de 216? Digan la oración de resta completa. Sobraron 6 de 216 porque 216 − 210 = 6.

¿Qué representa el 6?

Representa los sombreros que sobraron después de que el Sr. Pérez llenó 7 bolsas con 30 sombreros cada una.

Volvamos a ver el diagrama de cinta. Nos sobran 6 cuando dividimos 216 entre 30. ¿Podemos hacer otro grupo de 30 con el 6 que sobró? ¿Por qué?

No. Necesitamos 30 para hacer otro grupo, y 6 es menor que 30.

No podemos hacer otro grupo de 30, pero podemos mostrar el residuo si rotulamos una parte 6 en el diagrama de cinta.

Dibuje una parte al final del diagrama de cinta y rotúlela 6.

Podemos escribir el cociente y el residuo al lado del registro en forma vertical.

Escriba el cociente y el residuo al lado del trabajo en forma vertical.

¿Cuál es el cociente y el residuo de 216 ÷ 30? El cociente es 7. El residuo es 6.

A partir de nuestro trabajo y nuestro diagrama de cinta, hallamos que 216 es igual a 7 grupos de 30 más 6.

Escriba 216 = 7 × 30 + 6.

Veamos si esta ecuación es verdadera. ¿Cuál es el valor de 7 × 30 + 6?

Comprobamos nuestra respuesta cuando escribimos y evaluamos una expresión. La ecuación es verdadera porque el valor de cada lado es 216, así que sabemos que nuestra respuesta es correcta.

DUA: Representación

Considere hacer una tabla de dos columnas, como la que se muestra, para comparar el método del diagrama de cinta y el método vertical. Rotule cada columna y proporcione un ejemplo del mismo problema de división en cada una. Comente las semejanzas y diferencias para ayudar a sus estudiantes a ver las conexiones.

¿Cuántos sombreros dona el Sr. Pérez para el sorteo? ¿Cómo lo saben?

El Sr. Pérez dona 6 sombreros porque le sobran 6 sombreros que no caben en las bolsas.

¿Por qué podríamos usar la forma vertical para registrar el trabajo de división?

Puede ser más eficiente y no hay que escribir tanto como con otros métodos.

Muestra claramente el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si la estimación les ayudó a determinar el valor de 216 dividido entre 30 y a explicar cómo les ayudó la estimación.

Escriba 546 ÷ 70.

En la expresión 546 ÷ 70, ¿qué número es el dividendo y qué número es el divisor? ¿Cómo lo saben? ¿Qué significa cada uno en la expresión?

El dividendo es 546 porque es el número que se divide entre otro número. El divisor es 70 porque es el número entre el que se divide 546.

Vamos a estimar el cociente de 546 ÷ 70. ¿Qué número deberíamos usar para el dividendo como ayuda para estimar? ¿Por qué?

Podemos usar 560 para el dividendo porque 560 es el múltiplo de 70 que está más cerca de 546.

Escriba 560 ÷ 70.

En forma unitaria, ¿cómo decimos 560 ÷ 70?

56 decenas ÷ 7 decenas

¿Qué operación de división se podría usar para hallar el cociente de esta expresión?

56 ÷ 7

¿Cuánto es 56 ÷ 7?

¿Cuánto es 560 ÷ 70?

¿Qué nos dice esto acerca del cociente de 546 ÷ 70?

El cociente de 546 ÷ 70 es aproximadamente 8.

Dibujen un diagrama de cinta con 8 partes y rotulen cada parte 70.

8 parece una buena estimación porque 560 es el múltiplo de 70 que está más cerca de 546, pero mirémoslo con más atención. ¿Qué observan acerca de nuestra estimación?

Nuestra estimación es demasiado alta. 8 grupos de 70 es 560, así que no podemos dividir 546 en 8 grupos de 70 porque 546 es menor que 560.

A veces usamos la estimación para comprobar si nuestra respuesta es razonable. Cuando dividimos, también usamos estimaciones como punto de partida. En este caso, sobrestimamos. Dado que nuestra estimación de 8 es demasiado alta, ¿qué debemos hacer a continuación?

Debemos probar con 7 grupos de 70, en lugar de 8 grupos de 70.

Dibujen un diagrama de cinta con 7 partes y rotulen cada parte 70.

¿Cuántos 70 hay en 546? ¿Por qué?

Hay siete 70 en 546. Este es el mayor número de 70 que caben en 546.

¿Dónde ven 7 en el diagrama de cinta?

Hay 7 partes en el diagrama de cinta.

Vamos a registrar esta información en forma vertical.

Hicimos 7 grupos de 70. ¿Cuánto sobró de 546? Digan la oración de resta completa.

Sobraron 56 de 546 porque 546 − 490 = 56.

Volvamos a ver el diagrama de cinta. Nos sobran 56 cuando dividimos 546 entre 70.

¿Podemos hacer otro grupo de 70 con el 56 que sobró?

No.

No podemos hacer otro grupo de 70, pero podemos mostrar el residuo si rotulamos una parte 56 en el diagrama de cinta.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere brindar apoyo adicional para la comprensión de los términos subestimar y sobrestimar. Pregunte a sus estudiantes qué creen que significan estos términos. Anime a la clase a proporcionar subestimaciones y sobrestimaciones de cantidades que les resulten conocidas.

• Una estudiante estima el cociente de 75 ÷ 5 como 10. Pregunte: ¿Se trata de una subestimación o una sobrestimación?

¿Por qué?

• Un estudiante estima el cociente de 87 ÷ 10 como 9. Pregunte: ¿Se trata de una subestimación o una sobrestimación?

¿Por qué?

Dibuje una parte al final del diagrama de cinta y rotúlela 56.

Podemos escribir el cociente y el residuo al lado del trabajo en forma vertical.

Escriba la siguiente información al lado del trabajo en forma vertical.

Cociente: 7

Residuo: 56

A partir de nuestro trabajo, hallamos que 546 es igual a 7 grupos de 70 más 56, o que 546 es igual a 70 grupos de 7 más 56. Observen que el divisor 70 puede ser el número de grupos o el tamaño de los grupos.

Escriba 546 = 7 × 70 + 56.

Veamos si esta ecuación es verdadera. ¿Cuál es el valor de 7 × 70 + 56?

546

Comprobamos nuestra respuesta cuando escribimos y evaluamos una expresión. La ecuación es verdadera porque el valor de cada lado es 546, así que sabemos que nuestra respuesta es correcta. ¿546 = 70 × 7 + 56 también es verdadera? ¿Cómo lo saben?

Sí. La ecuación 546 = 70 × 7 + 56 también es verdadera. La única diferencia entre las ecuaciones es el orden de los factores, 70 y 7. Sé que 70 × 7 = 7 × 70 debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de si hacer una estimación les ayudó a hallar la respuesta y a explicar cómo les ayudó la estimación.

Muestre el siguiente problema.

Un número dividido entre 60 tiene un cociente de 3 y un residuo de 12. ¿Qué número es ese?

Pida a la clase que trabaje en parejas para hallar el número.

¿Qué número es ese? ¿Cómo lo saben?

El número es 192 porque 60 × 3 + 12 = 192.

Diferenciación: Desafío

Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere presentar el siguiente planteamiento:

Un número dividido entre otro número tiene un cociente de 7 y un residuo de 12. Mencionen al menos tres pares de números para los que este enunciado sea verdadero.

Muestre el problema verbal.

Lea el problema en voz alta. Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas y a que use el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

Luego, pídales que completen el problema 1 del libro con su pareja de trabajo.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

1. Tyler quiere donar cajas de crayones a las clases de kindergarten. Tiene 347 cajas. Dona paquetes de 40 cajas a tantas clases como puede. ¿Cuántas cajas le quedan?

Diferenciación: Apoyo

Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional, proponga usar el proceso de estimar, dibujar un diagrama de cinta, dividir y comprobar.

? 40 A Tyler le quedan 27 cajas.

¿Cuántos paquetes de 40 cajas hay?

Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, haga las siguientes preguntas.

¿A cuántas clases de kindergarten dona crayones Tyler? ¿Cómo lo saben?

Dona crayones a 8 clases de kindergarten porque hay ocho 40 en 347.

¿Cuántas cajas de crayones dona Tyler a las clases de kindergarten? ¿Cómo lo saben?

Tyler dona 320 cajas de crayones a las clases de kindergarten porque 8 × 40 = 320.

¿Cuántas cajas de crayones le sobran a Tyler? ¿Cómo lo saben?

A Tyler le sobran 27 cajas porque esa cantidad es la que le queda después de donar el mismo número de cajas de crayones a las clases de kindergarten.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo usaron la estimación como ayuda para resolver el problema o cómo estimaron si su solución era razonable.

¿Qué tienen en común todos los divisores que usamos hoy?

Todos son múltiplos de 10.

¿Resulta de ayuda tener un divisor que es múltiplo de 10? ¿Cómo?

Sí. Solo tengo que pensar en qué número usar para el dividendo para hacer una estimación.

Sí. Puedo usar el cálculo mental cuando trabajo con múltiplos de 10.

¿El divisor tiene que ser múltiplo de 10?

No.

¿Cómo podemos estimar si el divisor no es múltiplo de 10?

Podemos usar un número para el divisor que sea múltiplo de 10 antes de hacer una estimación.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Dividir números de dos y tres dígitos entre múltiplos de 10

Organice una conversación de la clase acerca de la división entre múltiplos de 10 usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Por qué es útil estimar un cociente antes de dividir?

Si primero estimo, eso me ayuda a ver cómo comenzar con la división. Cuando estimo primero, comparo el cociente con mi estimación para comprobar si el cociente es razonable.

¿Cómo se pueden representar un cociente y un residuo con un diagrama de cinta?

Un diagrama de cinta muestra cuántas unidades del divisor caben en el dividendo y cuántas unidades sobran.

¿Por qué registramos nuestro trabajo en forma vertical cuando dividimos?

La forma vertical puede ser más eficiente y no hay que escribir tanto como con otros métodos. La forma vertical nos ayuda a llevar la cuenta de nuestro trabajo. El registro muestra claramente el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Divide. Luego, comprueba tu trabajo.

5. 120 ÷ 30

30 120

Cociente: 4

Residuo: 0

Comprueba:

4 × 30 = 120

6. 72 ÷ 60

Cociente: 1

Residuo: 12

Comprueba:

1 × 60 + 12 = 60 + 12 = 72

9. Un número dividido entre 40 tiene un cociente de 6 y un residuo de 15 ¿Qué número es?

40 × 6 + 15 = 240 + 15 = 255

El número es 255

7. 731 ÷ 80

8. 560 ÷ 70

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

10. Una estudiante tiene 174 centímetros de listón para hacer moños. Para cada moño necesita 20 centímetros de listón. Quiere hacer tantos moños como sea posible. ¿Cuántos moños puede hacer? ¿Cuántos centímetros de listón sobrarán?

174 ÷ 20

Cociente: 8

Residuo: 14

La estudiante puede hacer 8 moños. Sobrarán 14 centímetros de listón.

Cociente: 9

Residuo: 11

Comprueba:

9 × 80 + 11 = 720 + 11 = 731

© Great Minds PBC

Cociente: 8

Residuo: 0

Comprueba:

8 × 70 = 560

103 GRUPO DE PROBLEMAS

104 GRUPO DE PROBLEMAS

Dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Vistazo a la lección

La clase usa la rutina Construcción colaborativa para contextualizar un enunciado que incluye la división. La clase usa el proceso de estimar, resolver y comprobar para dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos y registra su trabajo en forma vertical. Explican, además, cómo abordar las situaciones en las que subestiman o sobrestiman un cociente, e interpretan los residuos en situaciones del mundo real.

Preguntas clave

• ¿Cuál es el objetivo que tiene estimar cuando dividen?

• ¿Qué significa que una estimación sea demasiado baja o demasiado alta?

• ¿Cómo comprueban la respuesta a un problema de división si hay un residuo?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

5.Mód1.CLA10 Resuelven problemas que involucran la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos. (5.NBT.B.6)

5.Mód1.CLA11 Representan la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando modelos. (5.NBT.B.6)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos

• Acertijo de división

• Problemas verbales de división

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Potencias de 10

La clase escribe una potencia de 10 expresada en palabras en forma exponencial como una expresión de multiplicación usando solo al 10 como factor y en forma estándar para adquirir fluidez con exponentes del tema A.

Muestre Diez a la segunda potencia.

Cuando dé la señal, lean el número que se muestra. ¿Comenzamos?

Diez a la segunda potencia

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Escriban el número en forma exponencial.

Muestre el número en forma exponencial.

Escriban el número como una expresión de multiplicación usando solo al 10 como factor.

Muestre la expresión de multiplicación.

Escriban el número en forma estándar.

Muestre el número en forma estándar.

Diez a la segunda potencia

Repita el proceso con la siguiente secuencia: Diez a la tercera potencia

Diez a la quinta potencia Diez mil

Diez Un millón

Contar salteado usando múltiplos de 3 y de 30

La clase dice los primeros diez múltiplos de 3 y de 30 como preparación para estimar cocientes.

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 3. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 30. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

Respuesta a coro: Dividir en forma unitaria y en forma estándar

La clase divide decenas entre decenas y dice la ecuación con los números en forma estándar como preparación para dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 4 decenas ÷ 2 decenas = .

¿Cuántos grupos de 2 decenas hay en 4 decenas?

2

Muestre la respuesta.

Cuando dé la señal, digan la ecuación con los números en forma estándar.

40 ÷ 20 = 2

Muestre la ecuación con los números en forma estándar.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

La clase usa la rutina Construcción colaborativa para contextualizar un enunciado que incluye la división.

Escriba la siguiente información:

87 ÷ 13

Cociente: 6

Residuo: 9

Cuando dividimos 87 entre 13, el cociente es 6 y el residuo es 9.

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen una situación del mundo real que se pueda representar con este enunciado matemático.

Dé a las parejas de estudiantes 1 minuto para comparar las situaciones que crearon con las situaciones que crearon las otras parejas. Luego, invite a las parejas a compartir con la clase. Pida a sus estudiantes que expliquen las relaciones entre la situación y la oración.

Una persona reparte 87 manzanas en 13 cestas y cada cesta tiene 6 manzanas. Sobran 9 manzanas.

Una florista usa 87 flores para armar ramos; cada ramo tiene 13 flores. Arma 6 ramos y le sobran 9 flores.

Una persona vierte 87 onzas de agua en vasos que pueden contener 13 onzas de agua cada uno. Llena 6 vasos y le sobran 9 onzas de agua.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo crearon una situación del mundo real que se represente con un enunciado matemático.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, dividiremos números de dos dígitos entre números de dos dígitos.

Nota para la enseñanza

El cociente y el residuo de 87 ÷ 13 están escritos intencionalmente como Cociente: 6 y Residuo: 9 y no están expresados como 6 R 9.

Tanto 69 ÷ 10 como 87 ÷ 13 tienen cocientes de 6 y residuos de 9. Sin embargo, estas expresiones no son equivalentes. Escribir los cocientes y los residuos como 6 R 9 implica que estas expresiones son equivalentes.

En el módulo 2, la clase aprende a expresar los residuos como fracciones. Escriben 69 ÷ 10 como 6 9 __ 10 y 87 ÷ 13 como 6 9 __ 13 , y observan que 6 9 10 y 6 9 13 no son equivalentes.

Aprender

Dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos

La clase divide números de dos dígitos entre números de dos dígitos.

Muestre el siguiente problema:

¿95 es 19 veces qué número?

¿Qué ecuación con factor desconocido podemos escribir para representar esta pregunta?

95 = 19 ×

¿Qué expresión de división podemos escribir para determinar el valor del factor desconocido?

95 ÷ 19

Escriba 95 ÷ 19. Registre el trabajo de la clase, como se muestra, a medida que guía a sus estudiantes mientras hacen una estimación, dibujan un diagrama de cinta, dividen y comprueban su respuesta.

Nota para la enseñanza

En 3.er grado, la clase representa la división como una multiplicación con un factor desconocido. Esta comprensión puede ayudar a sus estudiantes a interpretar los enunciados de comparación multiplicativa como una división.

Vamos a comenzar haciendo una estimación. ¿Qué número debemos observar primero? ¿Por qué?

Debemos observar el 19 porque es el divisor. Una vez que ya consideramos el divisor, podemos hacer lo mismo con el dividendo y, luego, dividir para obtener una estimación.

¿Qué número debemos usar para 19?

Diferenciación: Apoyo

Anime a quienes necesitan apoyo adicional para hacer estimaciones a que continúen usando las operaciones de multiplicación o de división que conocen. Esta manera de razonar es importante para alcanzar el éxito con la estimación.

Si usamos 20 como divisor, ¿qué número debemos usar como dividendo? ¿Por qué?

Debemos usar el 100 porque 100 es el múltiplo de 20 que está más cerca de 95. Tanto el 80 como el 100 son múltiplos de 20, pero 100 está más cerca del dividendo.

Podemos decir que 95 dividido entre 19 es aproximadamente 100 dividido entre 20.

Escriba 100 ÷ 20.

¿Qué operación de división ven en esta expresión?

10 ÷ 2

¿Cuánto es 10 ÷ 2?

5

¿Cuánto es 100 ÷ 20?

5

¿Qué nos indica eso?

El cociente de 95 ÷ 19 es aproximadamente 5. Hay aproximadamente 5 grupos de 19 en 95.

Como punto de partida, vamos a considerar la pregunta “¿A cuánto equivalen 5 grupos de 19?”.

95

En este caso, nuestra estimación es el cociente.

Podemos mostrar la división con un diagrama de cinta. ¿Cómo se verá el diagrama de cinta?

El diagrama de cinta mostrará 5 partes y cada parte estará rotulada 19.

Dibuje una parte y rotúlela 19. Continúe agregando partes, contando salteado de 19 en 19, hasta llegar a un total de 95.

¿Por qué podrían elegir no hacer un diagrama de cinta con un divisor de 19?

Para mí es difícil contar salteado de 19 en 19.

Vamos a registrar el trabajo en forma vertical.

Registre la división en forma vertical.

Nota para la enseñanza

En esta lección, la clase dibuja diagramas de cinta para hallar cocientes. En la siguiente lección, dibujan diagramas de cinta para entender problemas que incluyen la división, y, luego, hallan los cocientes usando la forma vertical.

¿Cuál es el residuo de 95 ÷ 19?

A partir de nuestro trabajo, sabemos que 95 es igual a 5 grupos de 19.

Escriba 95 = 5 × 19.

Veamos si esta ecuación es verdadera. ¿Cuál es el valor de 5 × 19?

Comprobamos nuestra respuesta cuando escribimos y evaluamos una expresión. La ecuación es verdadera porque el valor de cada lado es 95, así que sabemos que nuestra respuesta es correcta.

Volvamos a leer la pregunta original. ¿95 es 19 veces qué número?

Reúnanse y conversen en parejas acerca de cómo pueden estimar un cociente usando operaciones de multiplicación o de división.

Muestre el trabajo que representa 84 ÷ 16.

Este trabajo muestra una estimación y el cálculo que hizo una estudiante cuando dividió 84 entre 16.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar lo que observan acerca de sus estimaciones.

Puedo ver que hay un residuo de 20, lo que significa que cabe un grupo más de 16 en 84.

Puedo ver que se subestimó, porque hay un residuo de 20, que es mayor que el divisor de 16.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando realiza aproximaciones apropiadas de los dividendos y los divisores para estimar el cociente de una expresión de división y aprende la manera de ajustar su trabajo si las estimaciones son demasiado altas o demasiado bajas.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo puede servirles de ayuda lo que saben acerca de 80 ÷ 20 para hallar 84 ÷ 16?

• ¿Qué relación hay entre el divisor 16 y el residuo 20 en el trabajo que se muestra? ¿Cómo pueden usar eso como ayuda para determinar si se hizo una subestimación o una sobrestimación?

• ¿Cómo pueden usar como ayuda lo que saben acerca de las subestimaciones para ajustar el cociente?

¿Es razonable la estimación de esta estudiante? Expliquen.

Sí. La estimación es razonable porque la estudiante usó números para el dividendo y el divisor que están cerca de los valores reales del dividendo y el divisor, y 80 es múltiplo de 20.

Aunque 4 no es el cociente final, es una parte del cociente y es una estimación razonable que nos da un punto de partida para la división. Podemos ver en el ejemplo de trabajo que 4 unidades de 16 es igual a 64.

El residuo es mayor que el divisor. ¿Qué debemos hacer?

Podemos agregar otro grupo de 16 al cociente.

Podemos cambiar el cociente de 4 a 5.

Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar el cociente y el residuo de 84 ÷ 16. Luego, pida que comprueben sus respuestas. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento.

84 ÷ 16 tiene un cociente de 5 y un residuo de 4 porque 16 × 5 + 4 = 84.

Muestre el trabajo que representa 92 ÷ 13.

Este trabajo muestra una estimación y los cálculos que hizo un estudiante cuando dividió 92 entre 13.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar lo que observan acerca de su estimación de 9.

Puedo ver que hay una sobrestimación, porque 9 grupos de 13 es 117 y el dividendo solo es 92. 9 grupos de 13 es mayor que el dividendo.

¿El estudiante subestimó o sobrestimó? ¿Cómo lo saben?

El estudiante sobrestimó, porque 9 grupos de 13 es igual a 117, y 117 es mayor que el dividendo.

¿Qué puede hacer el estudiante?

Puede probar con menos grupos, porque el total de 9 grupos de 13 es mayor que el dividendo.

Puede probar con dos grupos menos que 9, porque 117 es 25 más que 92 y sé que 2 × 13 = 26.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden mostrar cómo agregar otro grupo, como se ve en el siguiente registro vertical, como cuatro grupos de 16 y un grupo más de 16 en el cociente. (Observe que todas las unidades están registradas en forma vertical en la columna de las unidades). El 4 y el 1 se llaman cocientes parciales y se exploran con mayor detalle en las siguientes lecciones. 16

Invite a la clase a trabajar en parejas para determinar el cociente y el residuo de 92 ÷ 13. Luego, pida que comprueben sus respuestas. Pida a sus estudiantes que compartan su razonamiento.

92 ÷ 13 tiene un cociente de 7 y un residuo de 1 porque 7 × 13 + 1 = 92.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo abordar los casos en los que subestiman o sobrestiman.

Acertijo de división

La clase usa un diagrama de cinta dado para escribir un enunciado de división. Muestre el diagrama de cinta que representa unidades de 27 y 16 y el enunciado.

16 27 27 27

dividido entre tiene un cociente de y un residuo de .

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen el diagrama de cinta para determinar qué número corresponde a cada espacio.

97 dividido entre 27 tiene un cociente de 3 y un residuo de 16.

Pida a la clase que comenten su razonamiento y sus estrategias. Considere hacer las siguientes preguntas a medida que sus estudiantes comparten:

• ¿Cómo determinaron que el dividendo es 97?

• ¿Cómo determinaron que el divisor es 27?

• ¿Cómo determinaron que el cociente es 3?

• ¿Cómo determinaron que el residuo es 16?

• ¿Cómo pueden representar este diagrama de cinta con una oración numérica en la que se usen la multiplicación y la suma?

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que pueden usar para resolver los acertijos de división.

Diferenciación: Desafío

Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere presentar el siguiente planteamiento:

Escriban tres expresiones de división diferentes que se puedan representar con este diagrama de cinta. Para cada expresión, usen el diagrama de cinta para justificar su razonamiento. Cada una de las cinco unidades sin rótulo tienen el mismo valor.

Problemas verbales de división

La clase resuelve problemas del mundo real que involucran la división.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Dé a sus estudiantes varios minutos para que completen los problemas 1 a 3 en parejas.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. Sasha está entrenando para una competencia y planea hacer 96 flexiones en un día. Planea hacer las flexiones en series de 16. ¿Cuántas series de flexiones deberá hacer para alcanzar su meta de 96 flexiones? Muestra tu razonamiento. Incluye una estimación y una comprobación.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere comentar los contextos de los problemas 1 a 3 antes de que la clase comience a trabajar en ellos. Puede ser útil hacer lo siguiente:

• Demostrar cómo hacer una flexión o pedir a sus estudiantes que hagan una flexión.

• Mostrar a la clase una imagen de estudiantes en un campamento de verano.

• Mostrar a la clase una imagen de diferentes tipos de monedas.

Diferenciación: Apoyo

Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional para determinar la expresión de división que representa la situación, considere hacer la pregunta al comienzo del problema. Por ejemplo, lea el problema 1 de manera diferente: ¿Cuántas series de flexiones deberá hacer Sasha para alcanzar su meta de 96 flexiones? Sasha está entrenando para una competencia y planea hacer 96 flexiones en un día. Planea hacer las flexiones en series de 16.

Comprueba: 16 × 6 = 96

Sasha debe hacer 6 series de flexiones.

Si se necesita más apoyo para completar el problema, considere pedirles que rotulen tres secciones, Estimar, Dividir y Comprobar (o sus abreviaturas: E, D, C), para los problemas 2 y 3. La clase puede usar el problema 1 como modelo para calcular la cantidad de espacio que se debe dejar debajo de cada sección. Otra posibilidad es que usted rotule las secciones para sus estudiantes o que les proporcione una plantilla.

2. Un campamento planea llevar a sus 92 estudiantes a una excursión. En cada autobús caben 21 estudiantes. ¿Cuántos autobuses necesita el campamento para la excursión? Muestra tu razonamiento.

4 21 92

– 84

8

El campamento necesita 5 autobuses.

3. Hay 92 monedas repartidas en 21 pilas. Cada pila tiene el mismo número de monedas y la mayor cantidad posible de monedas. ¿Cuántas monedas hay en cada pila?

4 21 92

– 84

8

Hay 4 monedas en cada pila.

Cuando sus estudiantes terminen, haga las siguientes preguntas.

En el problema 1, ¿su primera estimación resultó ser el cociente real o tuvieron que corregirlo?

Mi estimación fue muy baja. Estimé 5 pero el cociente es 6.

¿Por qué creen que una estimación de 5 fue muy baja?

Redondeé el divisor de 16 a 20, así que no cabrán tantos 20 como 16 en el dividendo.

En el problema 2, ¿por qué el campamento necesita 5 autobuses en lugar de 4 autobuses?

El campamento necesita 5 autobuses para llevar a los y las estudiantes que quedan. En 4 autobuses caben 84 estudiantes, pero hay 92 estudiantes.

En el problema 2, decidimos que el campamento necesita 5 autobuses y no 4. En el problema 3, ¿por qué hay 4 monedas en cada pila y no 5?

No hay monedas suficientes para tener 5 monedas en cada pila.

DUA: Acción y expresión

Considere colocar un afiche de diagramas de cinta que representen ecuaciones. Esto apoyará la comprensión de sus estudiantes acerca de las relaciones (con o sin contexto) entre el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo.

96 = 16 × 6

92 = 21 × 4 + 8

92 = 21 × 4 + 8

En los problemas 2 y 3, el dividendo, el divisor y el cociente son los mismos. Sin embargo, tuvimos que pensar en la división de manera diferente. Expliquen la diferencia.

En el problema 2, el divisor 21 representa el tamaño de cada grupo. Determinamos cuántos 21 caben dentro de 92.

En el problema 3, el divisor 21 representa el número de grupos. Repartimos 92 en 21 grupos de igual tamaño.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias para interpretar los residuos en situaciones del mundo real.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Dividir números de dos dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Organice una conversación de la clase acerca de la división de números de dos dígitos entre números de dos dígitos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Cuál es el objetivo que tiene estimar cuando dividen?

La estimación sirve como punto de partida para la división. La estimación nos permite determinar si un cociente es razonable.

¿Qué significa que una estimación sea demasiado baja o demasiado alta?

Si la estimación es demasiado alta, el número de grupos del divisor no cabe en el dividendo. Por lo tanto, podemos sacar un grupo.

Si la estimación es demasiado baja, hay más grupos del divisor que caben en el dividendo. Por lo tanto, podemos agregar un grupo.

¿Qué pueden hacer si subestiman o sobrestiman un cociente? Den un ejemplo.

Puedo usar mi estimación como ayuda para hallar el cociente, incluso si subestimo o sobrestimo. Por ejemplo, si estimo que un cociente es 6 y observo que 6 grupos de mi divisor es más que el dividendo, puedo intentar con 5 como cociente.

¿Cómo comprueban la respuesta a un problema de división si hay un residuo?

Multiplico el cociente por el divisor y, luego, sumo el residuo. El número que obtengo debe ser igual al dividendo.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

5. 96 ÷ 32

3

32 96 – 96 0

Cociente: 3

Residuo: 0

Comprueba:

3 × 32 = 96

7. 83 ÷ 21

6. 54 ÷ 27

Cociente: 3

Residuo: 20

Comprueba:

3 × 21 + 20 = 63 + 20 = 83

Cociente: 2

Residuo: 0

Comprueba:

2 × 27 = 54

8. 95 ÷ 19

Cociente: 5

Residuo: 0

Comprueba:

5 × 19 = 95

111

9. Scott quiere hallar 78 ÷ 42 Primero, estima el cociente. Luego, usa su estimación para dividir. 84 42 78 2

78 ÷ 42 ≈ 80 ÷ 40 = 2

a. ¿Qué debe hacer Scott a continuación?

Scott debe probar con 1 como cociente porque su estimación es muy alta. Dos grupos de 42 es 84, que es mayor que el dividendo.

b. Halla 78 ÷ 42

Cociente: 1

Residuo: 36

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

10. Un auditorio tiene 25 asientos en cada fila. ¿Cuántas filas se necesitan para que puedan sentarse 92 estudiantes?

92 ÷ 25

Cociente: 3

Residuo: 17

Se necesitan 4 filas para que puedan sentarse 92 estudiantes.

112 GRUPO DE PROBLEMAS

GRUPO DE PROBLEMAS

Divide. Luego, comprueba tu trabajo.

Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Vistazo a la lección

Hay 418 personas en una excursión. En cada autobús caben 72 personas. ¿Cuál es el número mínimo de autobuses que debe usar la escuela? Explica tu respuesta.

La clase explora y explica por qué dos expresiones de división con el mismo cociente y residuo no son necesariamente equivalentes. También explican por qué se pueden usar los mismos métodos para dividir, sin importar cuántos dígitos tiene el dividendo. Resuelven problemas verbales en los que dividen números de tres dígitos entre números de dos dígitos e interpretan los residuos en contexto.

Preguntas clave

La escuela debe usar al menos 6 autobuses para que quepan todas las personas. En 5 autobuses caben 360 personas, así que la escuela necesita un autobús más para las 58 personas que faltan.

• ¿Por qué es importante saber interpretar el residuo para resolver problemas del mundo real?

• ¿Cómo pueden saber, incluso antes de estimar, que un cociente es mayor o menor que 10?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

5.Mód1.CLA10 Resuelven problemas que involucran la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos. (5.NBT.B.6)

Nombre Fecha

Agenda

Fluidez 15 min

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Comparar expresiones de división

• Problemas verbales de división

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• Práctica veloz: Potencias de 10 (en el libro para estudiantes)

Preparación de la lección

Considere retirar las páginas de Práctica veloz antes de comenzar la lección.

Fluidez

Práctica veloz: Potencias de 10

Materiales: E) Práctica veloz: Potencias de 10

La clase usa la forma exponencial para escribir una potencia de 10 expresada de diferentes maneras para adquirir fluidez con los exponentes del tema A.

Práctica veloz

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema.

Escribe cada potencia de 10 en forma exponencial.

1. 100 102

2. 10 × 10 × 10 × 10 104

3. Diez a la tercera potencia 103

4. Un millón 106

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz A. Presente la tarea.

No espero que terminen la práctica. Completen tantos problemas como puedan, hagan su mejor esfuerzo.

En sus marcas. Prepárense. ¡A pensar!

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz A.

¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente.

Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.

Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja. Este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

Dé alrededor de 2 minutos para que completen más problemas o para que analicen y conversen acerca de los patrones en la Práctica veloz A. Si completan más problemas, vuelva a leer las respuestas, pero indique que no deben modificar sus objetivos personales.

Guíe a la clase en una actividad de conteo de ritmo rápido y otra de ritmo lento, cada una con un estiramiento o movimiento físico.

Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Indíqueles que vayan a la Práctica veloz B.

En sus marcas. Prepárense. ¡A mejorar!

Dé 1 minuto para que trabajen en la Práctica veloz B.

¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

Voy a leer las respuestas. A medida que las leo, digan “¡Sí!” si respondieron correctamente. Si cometieron un error, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.

Cuenten cuántas respuestas correctas obtuvieron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Calculen en cuántos puntos mejoraron y escriban el número en la parte de arriba de la hoja.

Celebre el progreso de sus estudiantes.

Nota para la enseñanza

Considere hacer las siguientes preguntas para comentar los patrones de la Práctica veloz A:

• ¿Qué observan acerca de los problemas 1 a 12? ¿Y acerca de los problemas 13 a 22?

• ¿Qué estrategia usaron para los problemas 1 a 6? ¿Y para los problemas 7 a 12? ¿Y para los problemas 18 a 22?

Nota para la enseñanza

Cuente hacia delante de 100,000 en 100,000 desde el 0 hasta 1,000,000 para la actividad de conteo de ritmo rápido.

Cuente hacia atrás de 10,000 en 10,000 desde el 100,000 hasta el 0 para la actividad de conteo de ritmo lento.

Presentar

La clase determina por qué las expresiones con el mismo cociente y el mismo residuo pueden no tener el mismo valor.

Escriba las siguientes expresiones.

92 ÷ 3

122 ÷ 4

Pida a sus estudiantes que determinen el cociente y el residuo de cada expresión. Cuando la clase haya terminado, haga las siguientes preguntas.

¿Qué observan? ¿Qué se preguntan?

Puedo observar que las expresiones tienen diferentes dividendos y divisores, pero tienen los mismos cocientes y residuos.

Me pregunto por qué expresiones diferentes pueden tener el mismo cociente y residuo.

Me pregunto si hay otros números que podamos dividir y obtener el mismo cociente y residuo.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta. Dé 1 o 2 minutos para razonar acerca de la pregunta. Anime a sus estudiantes a hacer dibujos o a considerar una situación similar con números más bajos. Acepte todas las respuestas de la clase.

Sabemos que las expresiones 12 ÷ 3 y 20 ÷ 5 tienen el mismo valor, 4. Si 92 ÷ 3 y 122 ÷ 4 tienen el mismo cociente y el mismo residuo, ¿entonces las expresiones tienen el mismo valor? Expliquen su razonamiento.

Pienso que tienen el mismo valor porque tienen el mismo cociente y el mismo residuo.

Las expresiones 5 ÷ 4 y 6 ÷ 5 tienen un cociente de 1 y un residuo de 1, pero no creo que tengan el mismo valor.

Podemos hacer un diagrama como ayuda para razonar acerca de la situación. Vamos a pensar en repartir $92 entre 3 personas y repartir $122 entre 4 personas.

Muestre los diagramas que representan 92 ÷ 3 y 122 ÷ 4.

En ambas situaciones, una vez que se reparte el dinero en partes iguales, cada persona recibe $30 y sobran $2 para compartir. Si podemos repartir en partes iguales los $2 que sobran entre las personas del grupo, ¿las personas del grupo de 4 reciben la misma cantidad de dinero que las personas del grupo de 3? ¿Cómo lo saben?

No. En ambas situaciones, se reparten $2, pero, como el número de personas de cada grupo es diferente, las personas reciben una cantidad diferente de dinero. Las personas del grupo de 4 reciben menos dinero que las personas del grupo de 3 porque hay más personas que tienen que compartir la misma cantidad de dinero.

Sabemos que las expresiones 92 ÷ 3 y 122 ÷ 4 no tienen el mismo valor porque las personas no reciben la misma cantidad de dinero. Más adelante, aprenderán más acerca de cómo manejar los residuos en situaciones como esta.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, interpretaremos los residuos en divisiones de números de tres dígitos entre números de dos dígitos.

Aprender

Comparar expresiones de división

La clase compara dos expresiones de división.

Muestre las siguientes expresiones.

310 ÷ 43

95 ÷ 19

¿En qué se parecen estas dos expresiones? ¿En qué se diferencian?

Ambas expresiones muestran una división.

En las dos expresiones, el divisor es un número de dos dígitos.

Las expresiones son diferentes, porque una tiene un dividendo de tres dígitos y la otra tiene un dividendo de dos dígitos.

¿Podemos usar el mismo proceso para dividir que usamos en lecciones anteriores? ¿Por qué?

Sí. Podemos usar la estimación, mostrar la división en un modelo de área o en forma vertical y, luego, comprobar usando la multiplicación.

¿Tener más dígitos en el dividendo afecta la forma en que van a dividir? ¿Cambia su comprensión del dividendo y el divisor?

No. Podemos interpretar el dividendo como el número que estamos dividiendo, sin importar cuántos dígitos tiene. El divisor puede representar el número de grupos o el tamaño del grupo.

Entonces, podemos distribuir en partes iguales el total en grupos del mismo tamaño, o podemos determinar cuántas unidades del divisor caben en el total.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca del proceso que usan para determinar un cociente.

Problemas verbales de división

La clase resuelve problemas del mundo real que involucran la división.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que completen los problemas 1 a 4 en parejas.

Recorra el salón de clases y anime a sus estudiantes a hacer estimaciones, dividir y, luego, comprobar sus respuestas. Use preguntas y planteamientos como los siguientes para apoyar a la clase e incentivar el razonamiento matemático:

• ¿Cuál es el dividendo? ¿Cuál es el divisor? ¿Cómo lo saben? ¿Qué representan?

• ¿Cómo pueden estimar el cociente?

• Si sobrestimaron, ¿por qué creen que su estimación fue demasiado alta?

• Si subestimaron, ¿por qué creen que su estimación fue demasiado baja?

• ¿Cuál es el cociente? ¿Qué representa?

• ¿Cómo saben que su respuesta es correcta?

• ¿Hay un residuo?

• ¿Qué representa el residuo en esta situación y cómo afecta su respuesta a esta pregunta?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. Para una actividad escolar, 301 estudiantes se separan en 43 grupos iguales. ¿Qué cantidad de estudiantes hay en cada grupo?

Diferenciación: Apoyo

En esta lección, la clase dibuja diagramas de cinta para entender problemas que incluyen la división, y, luego, hallan los cocientes usando la forma vertical. Anime a los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional a continuar usando diagramas de cinta para dividir.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere pedir a sus estudiantes que usen la Herramienta para la conversación mientras completan los problemas verbales de división. Pueden usar la sección Puedo compartir mi razonamiento de la herramienta cuando comunican sus ideas.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando realiza estimaciones, ajusta sus estimaciones e interpreta los residuos al resolver problemas del mundo real mediante la división.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

• ¿Cómo pueden simplificar el problema?

• ¿Funciona su estimación? ¿Podrían intentar hacer algo diferente?

• ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?

Divide:

7

43 301 – 301 0

Comprueba:

7 × 43 = 301

Hay 7 estudiantes en cada grupo.

2. Eddie tiene 34 días para leer un libro de 170 páginas. Si lee la misma cantidad de páginas cada día, ¿cuántas páginas debe leer por día para terminar el libro en 34 días?

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden comprobar su trabajo de varias maneras: con un modelo de área, con el algoritmo convencional o con la estrategia de separar y distribuir. Por ejemplo, puede haber estudiantes que comprueben su trabajo del problema 1 de la siguiente manera:

7 × 43 = 7 × (40 + 3)

= 7 × 40 + 7 × 3

= 280 + 21

= 301

El hecho de que comprueben su trabajo es más importante que el método que elijan para hacerlo.

DUA: Participación

Considere brindar retroalimentación orientada al dominio que enfatice el esfuerzo y las estrategias de cada estudiante. Por ejemplo, destaque a quienes hacen una aproximación del dividendo y el divisor para estimar el cociente, a quienes cambian el cociente si subestimaron o sobrestimaron y a quienes comprueban su respuesta usando la multiplicación y la suma. Brinde reconocimiento a sus estudiantes mediante la retroalimentación, con enunciados como los siguientes:

5 × 34 = 170

Eddie debe leer 5 páginas por día.

• Me parece bueno que hayas probado con 6 como estimación y que, al notar que habías subestimado, hayas probado con 7

• Me parece bueno que hayas probado con 8 como estimación y que, al notar que habías sobrestimado, hayas probado con 7.

3. La maestra Baker necesita ordenar 546 lápices. Si cada paquete tiene 72 lápices, ¿cuál es la menor cantidad de paquetes que debe ordenar la maestra Baker?

54 6 72 . . .

? paquetes de lápices

Estima:

546 ÷ 72 ≈ 560 ÷ 70 = 56 ÷ 7 = 8

DUA: Representación

Estos problemas verbales incluyen dos interpretaciones del divisor. En los problemas 1 y 2, el divisor representa el número de grupos. En los problemas 3 y 4, el divisor representa el tamaño de cada grupo. Los diagramas de cinta reflejan esas interpretaciones. Considere hacer un afiche de referencia para que la clase pueda consultarlo. Hacer diagramas de cinta para representar problemas verbales ayuda a sus estudiantes a reconocer qué operación pueden usar para resolver el problema. Entender el contexto e interpretar el significado del divisor en un problema verbal ayuda a sus estudiantes a reconocer que pueden usar la división para resolver el problema.

En este diagrama de cinta, el divisor representa el número de grupos, así que el cociente representa el tamaño de cada grupo.

Comprueba:

7 × 72 + 42 = 504 + 42 = 546

La maestra Baker debe ordenar 8 paquetes de lápices.

En este diagrama de cinta, el divisor representa el tamaño de cada grupo, así que el cociente representa el número de grupos.

4. Riley tiene 457 centímetros de listón. Para cada disfraz que hace, necesita 55 centímetros de listón.

¿Cuántos disfraces puede hacer?

Estima:

457 ÷ 55 ≈ 480 ÷ 60 = 48 ÷ 6 = 8

Divide:

Comprueba:

8 × 55 + 17 = 440 + 17 = 457

Riley puede hacer 8 disfraces.

Reúna a la clase cuando hayan terminado.

Invite a la clase a que se reúna y converse con una nueva pareja acerca de lo que representan el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo en cada problema.

Luego, haga las siguientes preguntas.

Antes, cuando multiplicábamos, considerábamos primero los factores. A veces, cuando observábamos un cero en uno de los factores, considerábamos qué factor designaríamos como la unidad, para tener menos productos parciales. Tanto en el problema 1 como en el 2, uno de los dígitos del dividendo es cero. Cuando hay un cero en el dividendo, ¿cambia el modo en que plantean la división? ¿Por qué?

No. Igual pienso en el número de grupos del divisor que pueden caber en el total.

Diferenciación: Desafío

Para los o las estudiantes que terminen rápidamente los problemas 1 a 4, proporcione el siguiente problema:

15 estudiantes quieren repartir $126 en partes iguales. ¿Cuánto dinero recibe cada estudiante?

Tenga en cuenta que es probable que sus estudiantes aún no sepan dividir con números decimales ni escribir los residuos como números decimales. La intención de este problema es que haya quienes puedan determinar cómo repartir los $6 que sobran después de que cada estudiante reciba la misma cantidad de dólares.

¿En qué problemas subestimaron? ¿Qué hicieron a continuación?

Subestimé en el problema 1 porque consideré 43 como 50 y 301 como 300 y obtuve 6 como estimación. Sumé 1 más al divisor y probé con un cociente de 7 en lugar de un cociente de 6.

Subestimé en el problema 2 porque consideré 34 como 40 y 170 como 160 y obtuve 4 como estimación. Sumé 1 más al divisor y probé con un cociente de 5 en lugar de un cociente de 4.

Subestimé en el problema 4 porque consideré 55 como 60 y 457 como 420 y obtuve 7 como estimación. Sumé 1 más al divisor y probé con un cociente de 8 en lugar de un cociente de 7.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Muestre el siguiente ejemplo de trabajo. Invite a sus estudiantes a compartir lo que observan.

¿Qué observan?

Observo dos cocientes. Ambos están escritos de manera vertical en la posición de las unidades.

Podemos decir que 7 y 1 son cocientes parciales. Son parte del cociente.

¿Qué representa el 7?

7 grupos de 55

¿Qué representa el 1?

1 grupo más de 55

¿Por qué creen que registraron 7 y 1 de manera vertical, de ese modo?

Los dos son unidades.

Subestimaron y, luego, mostraron otro grupo con el 1 encima del 7 con el que comenzaron.

En lugar de borrar el 7 y escribir 8, escribieron 1 para mostrar 1 grupo más de 55.

Cuando trabajamos con productos parciales, ¿qué hicimos para hallar el producto real?

Para hallar el producto real, sumamos los productos parciales.

Nota para la enseñanza

En 4.o grado, se presentan los cocientes parciales a la clase. Esta conversación les recuerda ese concepto y prepara a la clase para usar con fluidez los cocientes parciales en la conversación de la siguiente lección.

Entonces, ¿qué podemos hacer con los cocientes parciales para hallar el cociente real?

Podemos sumarlos porque son partes del cociente.

¿Cuál es el cociente? ¿Cómo lo saben?

El cociente es 8 porque siete 55 y un 55 es igual a 440, y esa es la cantidad de grupos iguales que podemos formar con el dividendo 457.

¿En qué problemas sobrestimaron? ¿Qué hicieron entonces?

Sobrestimé en el problema 2 porque consideré 34 como 30 y 170 como 180 y obtuve 6 como estimación. Entonces, borré 6, resté 1 del divisor y, luego, probé con un cociente de 5.

Sobrestimé en el problema 4 porque consideré 457 como 500 y 55 como 50 y obtuve 10 como estimación. Entonces, borré 10, resté 1 grupo del divisor y, luego, probé con un cociente de 9. El cociente seguía siendo demasiado grande, entonces borré otra vez y resté otro grupo del divisor y, luego, probé con un cociente de 8.

Si subestimaron o sobrestimaron, ¿de todos modos les resultó útil su estimación? Expliquen.

Sí. Incluso si una estimación es demasiado baja o demasiado alta, sirve como punto de partida para dividir. También podemos usar la estimación para determinar si nuestra respuesta es razonable.

Sí. Si nuestra estimación es demasiado baja, eso quiere decir que hallamos solo parte del cociente y necesitamos más grupos del divisor.

En el problema 3, el cociente es 7. ¿Por qué la maestra Baker debe ordenar 8 paquetes de lápices?

Si ordena 7 paquetes, tendrá 504 lápices. Como necesita 546 lápices, debe ordenar otro paquete.

¿Cuánto listón le sobra a Riley en el problema 4? ¿Cómo lo saben?

A Riley le sobran 17 centímetros de listón porque ese es el residuo después de que hace 8 disfraces.

¿Qué observan acerca de los cocientes en los problemas 1 a 4?

Los cocientes son menores que 10.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo saben si un cociente es menor que 10 o mayor que 10.

Si el dividendo es mayor que 10 veces el divisor, el cociente es mayor que 10.

Si el dividendo es menor que 10 veces el divisor, el cociente es menor que 10.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos. El problema 9 amplía el razonamiento que comenzó en la sección

Presentar acerca de cómo dos expresiones de división pueden tener el mismo cociente y residuo, y no ser expresiones equivalentes.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de un dígito

Guíe una conversación de la clase sobre la división usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿En qué se parece dividir un número de tres dígitos entre un número de dos dígitos a dividir un número de dos dígitos entre un número de dos dígitos?

El razonamiento es el mismo, sin importar cuántos dígitos tiene el problema. Podemos usar números en lugar del dividendo y el divisor originales para estimar el cociente del problema matemático con un cálculo mental. Registramos el trabajo en forma vertical. Luego, podemos cambiar el cociente si subestimamos o sobrestimamos. Podemos comprobar la respuesta usando la multiplicación y la suma.

¿Por qué es importante saber interpretar el residuo para resolver problemas del mundo real? Den un ejemplo.

El residuo nos indica que, aunque tal vez hallamos el cociente correcto, a veces debemos usar el siguiente número entero más grande para la respuesta. Por ejemplo, si quiero determinar cuántas mesas necesita un grupo de personas, y tengo un residuo cuando divido, entonces debo agregar una mesa adicional para las personas que no caben en ninguno de los grupos del cociente.

Muestre las siguientes expresiones.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen el razonamiento para clasificar las expresiones en dos grupos: cocientes menores que 10 y cocientes mayores que 10. Pídales que registren sus agrupaciones en sus pizarras blancas individuales.

¿Cómo pueden saber, incluso antes de estimar, que un cociente es mayor o menor que 10? Si el dividendo es al menos 10 veces el divisor, el cociente es mayor que 10. Por ejemplo, 577 ÷ 55 es mayor que 10 porque 55 × 10 = 550, y 577 > 550.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Estima el cociente. Luego, completa la forma vertical y comprueba tu trabajo. Dibuja un diagrama de cinta si te ayuda a dividir.

Divide. Luego, comprueba tu trabajo.

5. 287 ÷ 41

41 287

Cociente: 7

Residuo: 0

Comprueba:

7 × 41 = 287

7. 555 ÷ 91

6. 415 ÷ 83

9. Considera el trabajo realizado en la división.

a. Muestra otro problema de división que tenga el mismo cociente y el mismo residuo que 284 ÷ 39

Cociente: 5

Residuo: 0

Comprueba: 5 × 83 = 415

8. 702 ÷ 78

Cociente: 6

Residuo: 9

Comprueba:

6 × 91 + 9 = 546 + 9 = 555

Cociente: 9

Residuo: 0

Comprueba:

9 × 78 = 702

b. Explica cómo hallaste otro problema de división con el mismo cociente y el mismo residuo que 284 ÷ 39

Pensé en 7 × + 11, que es como suelo comprobar mi trabajo con la división. Elegí 52 y lo multipliqué por 7 luego sumé 11 más y obtuve 375.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

10. El libro de Kayla tiene 307 páginas. Planea leer 45 páginas por día. ¿Cuántos días tardará Kayla en terminar de leer el libro?

307 ÷ 45

Cociente: 6

Residuo: 37

Kayla tardará 7 días en terminar de leer el libro.

© Great Minds

125 GRUPO DE PROBLEMAS

126 GRUPO DE PROBLEMAS

Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de dos dígitos

Vistazo a la lección

Como preparación para la representación de cocientes parciales con un modelo de área, la clase identifica valores desconocidos en un modelo de área y escribe ecuaciones de multiplicación y división para representar el modelo. La clase usa los cocientes parciales para dividir un número de tres dígitos entre un número de dos dígitos y explica lo que representan los cocientes parciales. Registran su trabajo en un modelo de área y en forma vertical. La clase resuelve problemas de división con y sin residuos.

Preguntas clave

• ¿Es necesario que cada estudiante use los mismos cocientes parciales cuando dividen? ¿Por qué?

• ¿Por qué tanto el modelo de área como la forma vertical funcionan bien para registrar los cocientes parciales?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

5.Mód1.CLA10 Resuelven problemas que involucran la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos. (5.NBT.B.6)

5.Mód1.CLA11 Representan la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando modelos. (5.NBT.B.6)

Nombre Fecha

Un estacionamiento tiene 567 lugares distribuidos en 27 filas. Si cada fila tiene el mismo número de lugares, ¿cuántos lugares hay en cada fila?

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Comparar un modelo de área y la forma vertical

• Hallar cocientes sin residuos

• Hallar cocientes con residuos

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones

La clase escribe y evalúa una expresión como preparación para realizar cálculos de dos pasos, que comienzan en el tema D.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el enunciado: El total de 2 y 3.

Escriban una expresión que represente el enunciado.

Muestre el ejemplo de expresión.

Escriban el valor de la expresión.

Muestre la respuesta.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Nota para la enseñanza

Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Por ejemplo, un o una estudiante puede escribir 0.7 − 0.4 para 4 décimos menos que 7 décimos, a pesar de que todavía no se hayan enseñado los cálculos con números decimales formalmente.

Contar salteado usando múltiplos de 4 y de 40

La clase dice los primeros diez múltiplos de 4 y de 40 para desarrollar fluidez con la estimación de cocientes.

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 4. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 40. ¿Comenzamos?

Múltiplos de 4: 4 , 8 , 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

Múltiplos de 40: 40, 80, 120, 160, 20 0, 240, 280, 320, 360, 40 0

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400

Respuesta a coro: Dividir en forma estándar

La clase divide en forma estándar para desarrollar fluidez con la división de números de tres dígitos entre números de dos dígitos.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 140 ÷ 20 = .

¿Cuántos grupos de 20 hay en 140? 7

Muestre la respuesta.

Cuando dé la señal, digan la ecuación completa.

140 ÷ 20 = 7

Muestre la ecuación completa.

14 0 ÷ 20 = 7

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

La clase escribe ecuaciones de multiplicación y división que se representan con modelos de área.

Muestre el modelo de área que representa 11 × 52.

Pida a la clase que comparta lo que observa y lo que se pregunta sobre el modelo.

Puedo ver que el modelo es un modelo de área. Puedo ver que el área de cada rectángulo está escrita dentro del rectángulo.

Me pregunto por qué se designó al 11 como la unidad.

Me pregunto por qué el modelo no es vertical.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué ecuación de multiplicación y qué ecuación de división representa el modelo. Si hay estudiantes que tienen ideas, pídales que las compartan.

52 × 11 = 572

572 ÷ 11 = 52

Nota para la enseñanza

Los modelos de área se pueden dibujar de manera vertical u horizontal. Por una cuestión de coherencia, los modelos de área incluidos en este tema se dibujan de manera horizontal, con el divisor en el lado izquierdo del rectángulo para representar su ancho.

De manera similar a como podemos usar modelos de área para multiplicar y determinar los productos, podemos usar modelos de área para dividir y determinar los cocientes.

Muestre el rompecabezas de modelo de área del problema 1 y pida a sus estudiantes que vayan al problema en sus libros.

Lea las instrucciones del problema 1 en voz alta. Pídales que completen el problema en parejas.

1. Determina los valores desconocidos del modelo de área. Luego, escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división que el modelo de área represente.

Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, pida a un par de estudiantes que compartan el método que usaron para determinar los valores desconocidos. Luego, haga las siguientes preguntas.

¿El lado izquierdo del modelo tiene que ser 14 o podría ser otro número? ¿Cómo lo saben?

El lado izquierdo del modelo tiene que ser 14 porque el único número que se puede multiplicar por 60 para obtener 840 es 14.

¿Dónde ven el dividendo en este modelo?

El dividendo es el área total de los rectángulos, que es 840 + 70 + 28.

El dividendo es la suma de los productos parciales, que es 840 + 70 + 28.

Si 14 es el divisor, ¿dónde ven el cociente en el modelo? ¿Cómo saben que ese es el cociente?

El cociente es la longitud total de la parte superior del modelo, que es 60 + 5 + 2. Sé que es el cociente porque puedo ver que 67 grupos de 14 equivalen a 938.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.

¿De qué manera un modelo de área completado puede representar tanto una ecuación de multiplicación como una ecuación de división?

Depende de cómo se mire el modelo de área. Puedes pensar en la longitud y el ancho como los factores de una ecuación de multiplicación, o como el divisor y el cociente de una ecuación de división.

La longitud y el ancho de un modelo de área representan los factores en una expresión de multiplicación. Cuando multiplicas para obtener los productos parciales, están dentro del modelo de área. Los factores y la suma de los productos parciales forman la ecuación de multiplicación.

Un modelo de área puede representar una ecuación de división cuando el divisor está a un lado. El dividendo es la suma de las áreas dentro del modelo. El cociente es la suma de los números de la parte superior del modelo. Juntos, forman una ecuación de división.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, dividiremos números de tres dígitos entre números de dos dígitos.

Aprender

Comparar un modelo de área y la forma vertical

La clase compara un ejemplo de trabajo en el que se registran los cocientes parciales en modelos de área con un trabajo en el que se registran los cocientes parciales en forma vertical.

Muestre los ejemplos de trabajo que muestran los tres métodos para hallar 798 ÷ 38. Use la rutina Cinco preguntas estructuradas para invitar a sus estudiantes a que analicen los tres ejemplos.

Observar y preguntarse

La imagen muestra tres métodos para registrar el trabajo para dividir 798 entre 38. Kayla y Mara usaron un modelo de área para determinar los cocientes parciales y Eddie usó la forma vertical para determinar los cocientes parciales. ¿Qué observan en el trabajo que hicieron?

¿Qué se preguntan a partir de esas observaciones?

Puedo observar que las ecuaciones finales son iguales.

Observo que el divisor 38 está en el lado izquierdo de los modelos de área.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para apoyar la comprensión de los cocientes parciales, considere pedir a sus estudiantes que recuerden lo que saben acerca de los productos parciales. Luego, explique que, cuando separan un dividendo en partes, crean problemas de división más pequeños, cada uno con su propio cociente. La suma de los cocientes parciales es el cociente entero. Comente las semejanzas y diferencias entre los productos parciales y los cocientes parciales.

Observo que tanto Kayla como Mara usaron modelos de área, pero Kayla tiene dos rectángulos que representan 10 grupos de 38 y Mara tiene un rectángulo que representa 20 grupos de 38.

Kayla tiene tres cocientes parciales y Mara solo tiene dos.

Observo que los mismos cocientes parciales de 20 y 1 aparecen en los métodos de Mara y de Eddie.

Observo que la resta se muestra dentro de la forma vertical y la suma se muestra debajo de cada modelo de área.

Me pregunto si el modelo de área podría ser vertical en lugar de horizontal. Me pregunto si podría usar la forma vertical y obtener los mismos cocientes parciales que Kayla.

Organizar

Kayla y Mara tienen diferentes modelos de área y diferentes cocientes parciales, pero tienen el mismo cociente. ¿Cómo es eso posible?

Kayla y Mara usaron un número diferente de cocientes parciales, así que sus modelos de área se ven diferentes, pero la suma de los cocientes parciales es la misma porque 10 + 10 + 1 = 21 y 20 + 1 = 21.

Kayla y Mara usaron diferentes operaciones de multiplicación para comenzar a hallar el cociente. Kayla multiplicó 38 por 10 dos veces, pero Mara multiplicó 38 por 20 una vez. Por eso los modelos de área se ven diferentes, pero los cocientes parciales tienen el mismo total de 21.

Aunque los métodos de Mara y de Eddie se ven diferentes, tienen los mismos cocientes parciales, el mismo cociente y el mismo residuo. Describe el razonamiento que usaron Mara y Eddie.

Mara y Eddie usaron 20 como el primer cociente parcial. 20 grupos de 38 es 760, así que, de 798, les sobraron 38. Ambos sumaron un cociente parcial de 1 para agregar 1 grupo más de 38 en 798. Formaron un total de 21 grupos de 38 en 798 sin que sobre nada, así que el cociente es 21 y el residuo es 0.

Profundice la conversación de sus estudiantes para que se enfoquen en los cocientes parciales y fomente el razonamiento que les permita hacer conexiones entre el modelo de área y la forma vertical.

Mostrar

Vamos a ver cómo el modelo de área y la forma vertical apoyan el razonamiento acerca de los cocientes parciales. ¿Cuántos grupos de 38 decidieron Mara y Eddie que cabrían en 798 al principio? ¿Cómo lo saben?

Al principio, ambos decidieron que podían caber 20 grupos de 38 en 798. Los dos métodos muestran que multiplicaron 20 por 38 para obtener 760. El método de Mara muestra 20 como el primer cociente parcial en la parte superior del modelo de área, y el método de Eddie muestra 20 como el primer cociente parcial en la parte superior de la forma vertical.

¿Cómo supieron Mara y Eddie que debían probar con 20 grupos de 38?

Quizá estimaron 20 como el cociente, porque 800 ÷ 40 = 20.

Quizá sabían que el dividendo 798 es al menos 10 veces el divisor, porque 38 × 10 = 380, y observaron que podían caber 10 grupos más de 38 en 798 porque 38 × 20 = 760.

¿Por qué Eddie restó 760 de 798?

Eddie quería saber cuánto quedaba para dividir después de que tomó los 20 grupos de 38 de 798.

En el trabajo de Kayla, no se ve una resta. ¿Cómo hizo Kayla para calcular cuánto quedaba para dividir?

Tal vez usó una estrategia de contar hacia arriba o el cálculo mental. Puedo hallar la diferencia entre 798 y 760 sin mostrar mi trabajo.

Tal vez hizo la resta en una pizarra blanca o en un papel borrador.

¿Cómo saben que 798 ÷ 38 tiene un cociente de 21 y un residuo de 0?

21 grupos de 38 es exactamente 798.

¿Cómo pueden comprobar que el cociente y el residuo de 798 ÷ 38 son correctos?

Podemos comprobar que el cociente y el residuo son correctos usando la multiplicación:

21 × 38 = 798.

Sintetizar

¿Por qué podrían usar un modelo de área para dividir?

Cuando se descompone el dividendo en partes, se divide cada parte entre el divisor, que es más simple que intentar dividir el dividendo de una sola vez.

Un modelo de área me ayuda a ver cuáles son los cocientes parciales y lo que representan.

Cuando dibujo el modelo de área, puedo hacer la cantidad de rectángulos que necesite para representar los cocientes parciales hasta llegar al total.

Comprender

Podemos registrar el trabajo de división en un modelo de área o en forma vertical. ¿Es útil saber que los cocientes son los mismos en las dos representaciones? ¿Por qué?

Sí. Sé que puedo registrar mi razonamiento y mi trabajo del modo que tenga más sentido para mí. Sí. Si sé que un modelo visual me ayudaría a dividir, entonces puedo usar un modelo de área.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo prefieren registrar su trabajo de división y por qué.

Hallar cocientes sin residuos

La clase divide números de tres dígitos entre números de dos dígitos sin residuos usando cocientes parciales.

Muestre el siguiente problema. Pida a sus estudiantes que lean el problema en silencio mientras usted lo lee en voz alta.

Una máquina hace 28 camisas en 1 hora. ¿Cuántas horas tarda la máquina en hacer 672 camisas?

Indíqueles que trabajen de forma independiente o en parejas con el proceso Lee-Dibuja-Escribe para representar el problema. Luego, muestre el siguiente diagrama de cinta. Si un o una estudiante dibujó un diagrama de cinta similar, muestre su trabajo.

? horas

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando estima y utiliza modelos de área a lo largo de la lección para dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos. Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿De qué otra forma pueden estimar 672 ÷ 28 como ayuda para hallar el cociente?

• ¿De qué manera lo que saben acerca de los múltiplos de 10 puede ayudarles a decidir si el cociente es menor que 10 o mayor que 10?

• ¿Pueden separar 672 ÷ 28 en problemas de división más simples para hallar cocientes parciales?

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las conclusiones que pueden sacar a partir del modelo.

La máquina hace un total de 672 camisas.

La máquina puede hacer 28 camisas en 1 hora.

No sabemos cuántas horas tarda en hacer 672 camisas. Queremos hallar cuántos 28 hay en 672.

¿Qué expresión podemos usar para determinar el número de horas que tardará en hacer 672 camisas? ¿Cómo lo saben?

Podemos usar 672 ÷ 28. Sabemos que la máquina hace un total de 672 camisas y que hace 28 camisas en 1 hora, así que podemos dividir 672 entre 28 para hallar el número de horas que tarda en hacer 672 camisas.

Escriba 672 ÷ 28.

¿El cociente de 672 y 28 es mayor que 10 o menor que 10? ¿Cómo lo saben?

El cociente es mayor que 10 porque 28 × 10 = 280 y 672 es mayor que 280.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para determinar una estimación razonable para el cociente.

660 ÷ 30 = 22

690 ÷ 30 = 23

600 ÷ 30 = 20

Vamos a registrar nuestro trabajo de división en un modelo de área.

Dibuje un rectángulo y escriba 28 en el lado izquierdo del modelo de área. Continúe agregando partes al modelo de área durante la conversación, como se muestra.

Nota para la enseñanza

Dado que usted dibuja el modelo de área mientras avanza con el razonamiento sobre la división, use los aportes de la clase para dibujar el diagrama. El modelo de área que dibuje con la clase puede diferir del usado en la conversación. Sus estudiantes deben saber que cualquier modelo de área es correcto si es correcto matemáticamente. Otros modelos de área posibles incluyen:

Podemos rotular el lado izquierdo del modelo de área 28, porque es el divisor.

Antes dijeron que hay al menos 10 grupos de 28 en 672, porque 10 × 28 = 280. Como sabemos que hay al menos 10 grupos de 28 en 672, vamos a mostrar 10 como un producto parcial.

¿A cuánto equivalen 10 grupos de 28?

A 280

¿Caben 10 grupos más de 28 en 672? ¿Cómo lo saben?

Sí. 280 + 280 = 560, que es menor que 672.

Agreguen al diagrama de cinta una parte que muestre 10 grupos más.

Hasta ahora, tenemos 20 grupos de 28 y un total de 560. ¿Cuánto queda del dividendo 672?

112

¿Caben 10 grupos más de 28 en nuestro modelo de área? ¿Cómo lo saben?

No. 10 × 28 = 280 y solo nos quedan 112.

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.

¿Cuántos grupos de 28 caben en los 112 que quedan? ¿Por qué?

Caben 4 grupos de 28. Sé que 10 × 28 = 280 y 5 × 28 = 140 porque 5 es la mitad de 10. La mitad de 280 es 140, y 1 grupo menos de 28 es 112.

Como 5 grupos de 28 es demasiado, probemos con 4 grupos de 28. ¿A cuánto equivalen 4 grupos de 28?

112

Agreguen al diagrama de cinta una parte que muestre 4 grupos.

¿Cuánto es 280 + 280 + 112?

672

DUA: Representación

Para ayudar a la clase a hacer conexiones entre un modelo de área y la forma vertical, considere hacer un afiche de referencia con un código de colores que muestre el mismo problema de división en un modelo de área y en forma vertical. Resalte los cocientes parciales de cada representación con el mismo color.

¿Tenemos que agregar otro cociente parcial a nuestro rectángulo? ¿Por qué?

No. El área total de nuestro rectángulo es 672 y nuestro dividendo es 672.

¿Tenemos un residuo?

No.

¿Cuántos grupos de 28 caben en 672? 24

¿Cuánto es el cociente de 672 ÷ 28? 24

¿Cómo podemos comprobar nuestra respuesta?

Podemos multiplicar 24 por 28 para asegurarnos de que es igual a 672.

Dé tiempo a la clase para que comprueben el trabajo con la multiplicación. Continúe mostrando el modelo de área mientras registra el trabajo para 24 × 28.

¿Cuánto tarda la máquina en hacer 672 camisas?

La máquina tarda 24 horas en hacer 672 camisas.

Muestre la siguiente ecuación.

(280 ÷ 28) + (280 ÷ 28) + (112 ÷ 28) = 10 + 10 + 4 = 24

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo se relaciona esta ecuación con el modelo de área.

La expresión dentro de cada par de paréntesis representa la longitud de un rectángulo del modelo de área.

El área de cada rectángulo dividida entre su ancho da su longitud. La suma de las tres longitudes es 24.

La expresión dentro de cada par de paréntesis representa un cociente parcial.

Diferenciación: Desafío

Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, pídales que usen un modelo de área para determinar el valor de 986 ÷ 34 usando la menor cantidad de cocientes parciales posible. Pida a sus estudiantes que muestren su razonamiento.

Ejemplo: 34 680 306

20 9

En efecto, la expresión dentro de cada par de paréntesis representa un cociente parcial. ¿Por qué el divisor 28 está dentro de cada par de paréntesis?

Como el divisor es 28 y tenemos tres cocientes parciales, tiene sentido que 28 esté dentro de cada par de paréntesis. 280 + 280 + 112 = 672 y el modelo de área representa 672 ÷ 28, que es igual a (280 ÷ 28) + (280 ÷ 28) + (112 ÷ 28).

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo podrían haber dibujado un modelo de área diferente.

Hallar cocientes con residuos

La clase divide números de tres dígitos entre números de dos dígitos con residuos usando cocientes parciales.

Escriba 926 ÷ 23.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para estimar el cociente.

900 ÷ 30 = 30

900 ÷ 20 = 45

1,000 ÷ 20 = 50

¿Por qué piensan que hay un rango tan grande en nuestras estimaciones?

Para mí, es difícil pensar en operaciones de división que pueda usar con números que estén cerca de 926 y 23.

¿Alguna de nuestras estimaciones es incorrecta? Expliquen.

No. Las estimaciones nos ayudan a comenzar con la división y a determinar si nuestra respuesta es razonable.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué estimación usarían para comenzar con la división y por qué.

No hay una estrategia correcta para determinar qué estimación usar. Una estrategia es usar una estimación baja. Si subestimamos, siempre podemos agregar más cocientes parciales.

¿Qué pasa si usamos una estimación demasiado alta como primer cociente parcial? Debemos probar con un cociente más pequeño.

Nota para la enseñanza

El objetivo para la clase en esta instancia del aprendizaje de la división con números de varios dígitos es la precisión y no la fluidez. Es aceptable que sus estudiantes subestimen o sobrestimen los cocientes y hagan los ajustes necesarios.

A medida que el dividendo y el divisor se hacen más grandes, la estimación puede tornarse más desafiante, porque es probable que sus estudiantes ya no puedan valerse siempre de las operaciones de multiplicación y división. Cuando sea posible, comente las estrategias de estimación con la clase. Por ejemplo, en el problema 926 ÷ 23, es probable que no use 45 como estimación ya que es difícil multiplicar mentalmente por ese número, y es probable que no use 50 ya que el producto de 50 y 23 es mayor que 926.

Vamos a usar 30 como primer cociente parcial. Podemos registrar nuestro trabajo en un modelo de área y en forma vertical.

Dibuje un rectángulo con el divisor rotulado y prepare la forma vertical para 926 ÷ 23. A medida que sus estudiantes responden las siguientes preguntas, registre el trabajo en el modelo de área y en forma vertical hasta que el trabajo final se vea similar al que se muestra.

Diferenciación: Apoyo

El modelo de área que se usa en la lección para representar 926 ÷ 23 muestra un primer cociente parcial de 30. Si hay estudiantes que necesitan apoyo adicional, considere animarles a que comiencen con cocientes parciales de 10.

¿Por qué rotulé el lado izquierdo de mi modelo de área 23? 23 es el divisor.

¿Cuántos grupos de 23 caben en 926? ¿Por qué?

Nuestra estimación fue 30 y 23 × 30 = 690, así que sabemos que caben al menos 30 grupos de 23 en 926.

30 grupos de 23 equivalen a 690. ¿Qué debemos hacer a continuación? ¿Por qué?

Debemos restar 690 de 926 para hallar si caben más grupos de 23 en lo que queda.

¿Cuánto queda después de restar 690 de 926?

236

¿Ya terminamos de dividir o podemos hacer otro cociente parcial? ¿Cómo lo saben?

Podemos hacer otro cociente parcial porque caben más grupos de 23 en 236.

¿Caben 10 grupos más de 23 en 236? ¿Cómo lo saben?

Sí. 23 × 10 = 230, que es menor que 236.

Hasta ahora, tenemos 30 grupos de 23 más 10 grupos más de 23, que hacen un total de 40 grupos de 23 en 926. ¿Cuánto queda?

6

¿Cabe otro grupo de 23 en 6?

No.

¿Cuál es el cociente y cuál es el residuo?

El cociente es 40 y el residuo es 6.

¿Cómo podemos comprobar nuestra respuesta?

Podemos comprobar que 40 × 23 + 6 es igual a 926.

Escriba 40 × 23 + 6 = 926. Pida a sus estudiantes que usen sus pizarras blancas individuales para determinar si la ecuación es verdadera.

Una vez que hayan confirmado que la oración numérica es verdadera, invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué deben obtener el mismo cociente, sin importar qué método usen para registrar su trabajo.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Nota para la enseñanza

El residuo no se incluye como parte del modelo de área porque el área que estaría representada por el residuo es una fracción. La clase aprende a interpretar los residuos como fracciones en el módulo 2.

Diferenciación: Desafío

Para quienes necesiten un desafío adicional, presente la siguiente tarea:

Hallen otra expresión de división que tenga un cociente de 40 y un residuo de 6.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Dividir números de tres dígitos entre números de dos dígitos en problemas que resultan en cocientes de dos dígitos

Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Use las siguientes preguntas para organizar una conversación de la clase que refuerce cómo dividir estratégicamente con cocientes parciales. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Pida a sus estudiantes que comparen con diferentes parejas su trabajo de los problemas 4 y 5 del Grupo de problemas.

¿Es necesario que cada estudiante use los mismos cocientes parciales cuando dividen? ¿Por qué?

No, no necesario que usemos los mismos cocientes parciales. Es posible tener más o menos decenas y unidades en los cocientes parciales en comparación con otra persona, según cómo pensemos en el dividendo, el divisor y el número de grupos que podemos formar.

¿Por qué podemos usar tanto el modelo de área como la forma vertical para registrar los cocientes parciales?

El razonamiento que usamos para dividir es el mismo en los diferentes métodos. El cociente y el residuo son los mismos, sin importar cómo se registre la división. En ambos casos se pueden registrar los mismos cocientes parciales. Ambos métodos muestran el dividendo, el divisor, los cocientes parciales, el cociente y el residuo.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Usa un modelo de área para dividir. Luego, comprueba tu trabajo.

2. 234 ÷ 18

1. Julie comenzó la división de 464 ÷ 29 usando el modelo de área que se muestra.

Ejemplo: 18

10 21 Comprueba: 234 = 13 × 18

a. Completa el modelo de Julie.

b. Usa los cocientes parciales de la parte (a) para mostrar la división de 464 ÷ 29 en forma vertical.

Estima los cocientes parciales a medida que divides. Luego, comprueba tu trabajo.

3. 436 ÷ 17 7463 1

Comprueba: 436 = 25 × 17 + 11

c. ¿Cuánto es 464 ÷ 29? ¿Cómo lo sabes?

464 ÷ 29 = 16 porque 10 grupos de 29, más 5 grupos de 29, más 1 grupo de 29 es igual a 464

Cociente: 25

Residuo: 11

©

Divide. Luego, comprueba tu trabajo.

4. 868 ÷ 28

Cociente: 31

Residuo: 0

5. 504 ÷ 21

28 868 Comprueba: 868 = 31 × 28

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

7. Mara usa 25 bloques para construir una torre. Tiene 362 bloques. ¿Cuántas torres de 25 bloques puede construir?

362 ÷ 25

C: 14

R: 12

Mara puede construir 14 torres.

21 504 Comprueba: 504 = 24 × 21

Cociente: 24

Residuo: 0

6. 865 ÷ 43

Comprueba: 865 = 20 × 43 + 5

Cociente: 20

Residuo: 5

133 GRUPO DE PROBLEMAS

134 GRUPO DE PROBLEMAS

LECCIÓN 16

Dividir números de cuatro dígitos entre números de dos dígitos

Vistazo a la lección

La clase divide números de cuatro dígitos entre números de dos dígitos. Identifican errores en el ejemplo de trabajo y comentan las estrategias para hacer estimaciones cuando trabajan con los cocientes de números grandes. Trabajando en grupo y en parejas, la clase resuelve problemas de división del mundo real con y sin residuos.

Preguntas clave

• ¿El número de dígitos del dividendo y del divisor les hace cambiar lo que piensan mientras dividen? ¿Por qué?

• Antes de saber sobre el contexto, ¿qué interpretación del divisor usaron para dividir, número de grupos o tamaño del grupo? ¿Por qué?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

5.Mód1.CLA10 Resuelven problemas que involucran la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos. (5.NBT.B.6)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Analizar las estimaciones

• Problema verbal de división sin residuo

• Problema verbal de división con residuo

• Grupo de problemas

Concluir 10 minutos

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones

La clase escribe y evalúa una expresión como preparación para realizar cálculos de dos pasos, que comienzan en el tema D.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el enunciado: 2 por 4.

Escriban una expresión que represente el enunciado.

Muestre el ejemplo de expresión.

Escriban el valor de la expresión.

Muestre la respuesta.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

cociente de

dividido entre

cociente de

dividido entre

Contar salteado usando múltiplos de 5 y de 50

La clase dice los primeros diez múltiplos de 5 y de 50 para desarrollar fluidez con la estimación de cocientes.

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 5. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

Múltiplos de 5: 5 , 10 , 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

Múltiplos de 50: 50, 10 0, 150, 20 0, 250, 30 0, 350, 40 0, 450, 50 0

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 50. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500

Respuesta a coro: Dividir en forma estándar

La clase divide en forma estándar como preparación para dividir con números de varios dígitos.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan. Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 120 ÷ 20 = .

¿Cuántos grupos de 20 hay en 120?

Muestre la respuesta.

Cuando dé la señal, digan la ecuación completa.

120 ÷ 20 = 6

Muestre la ecuación completa.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

La clase identifica errores en trabajos que muestran la división de un número de cuatro dígitos entre un número de dos dígitos.

Escriba 3,618 ÷ 27.

¿El cociente de 3,618 ÷ 27 es mayor que 10 o menor que 10? ¿Por qué?

Creo que es mayor que 10, porque 10 × 27 = 270 y 270 es menor que 3,618.

¿El cociente de 3,618 ÷ 27 es mayor que 100 o menor que 100? ¿Por qué?

Creo que es mayor que 100 porque 100 × 27 = 2,700 y 2,700 es menor que 3,618.

¿El cociente de 3,618 ÷ 27 es mayor que 1,000 o menor que 1,000? ¿Por qué?

Creo que es menor que 1,000 porque 1,000 × 27 = 27,000 y 27,000 es mayor que 3,618.

Muestre el trabajo con errores para 3,618 ÷ 27.

Esta imagen muestra el trabajo de Scott. ¿Cuál fue el cociente que halló Scott para 3,618 ÷ 27? ¿Cómo lo saben?

Scott halló el cociente 1,304 porque esa es la suma de sus cocientes parciales, 4, 300, y 1,000.

¿Scott está en lo correcto? ¿Cómo lo saben?

No. El cociente debe ser menor que 1,000, pero su trabajo muestra un cociente mayor que 1,000.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar los errores que ven en el trabajo.

El primer cociente parcial debe ser 100, no 1,000, porque

, o 100, y 27 × 100 = 2,700.

El segundo cociente parcial debe ser 30, no 300, porque

¿De qué manera la estimación podría haber ayudado a Scott a identificar su error?

Si hubiera estimado, se habría dado cuenta de que el cociente 1,304 no es razonable.

Si primero hubiera estimado, se habría dado cuenta de que el primer cociente parcial debe estar cerca de 100, no de 1,000.

¿En qué se diferencia este problema de división de los otros que resolvieron en lecciones anteriores?

El dividendo tiene cuatro dígitos.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué es importante estimar cuando dividen.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, dividiremos números de cuatro dígitos entre números de dos dígitos.

Aprender

Analizar estimaciones

La clase compara estimaciones para el cociente de un número de cuatro dígitos y un número de dos dígitos.

Escriba 2,792 ÷ 76.

Muestre las tres estimaciones para el cociente.

Estimación A

2,400 ÷ 80 = 30

Estimación B

3,200 ÷ 80 = 40

Aquí hay tres estimaciones diferentes para 2,792 ÷ 76.

Estimación C

2,800 ÷ 70 = 40

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué pueden haber pensado quienes hicieron estas estimaciones.

Para la estimación A, creo que la estudiante redondeó 76 a la decena más cercana, que es 80, y, luego, eligió 2,400 como dividendo porque 2,400 es múltiplo de 80.

Diferenciación: Desafío

Si hay estudiantes que necesitan un desafío adicional, considere presentar el siguiente planteamiento:

• ¿Es posible que un dividendo de cuatro dígitos dividido entre un divisor de dos dígitos dé como resultado un cociente de cuatro dígitos? Justifiquen su respuesta.

• ¿Es posible que un dividendo de cuatro dígitos dividido entre un divisor de dos dígitos dé como resultado un cociente de tres dígitos? Justifiquen su respuesta.

Nota para la enseñanza

Considere incluir estas estrategias cuando conversen sobre cómo estimar cocientes de números grandes.

• Redondear el divisor a la decena o centena más cercana y, luego, aproximar el dividendo al múltiplo más cercano del divisor redondeado.

3,402 ÷ 46 ≈ 3,500 ÷ 50

• Pensar acerca de las operaciones de división y usar una operación para elegir tanto el divisor como el dividendo al mismo tiempo.

2,792 ÷ 76 ≈ 2,800 ÷ 70

• Subestimar intencionalmente el primer cociente parcial eligiendo un dividendo menor que el dividendo real, ya que, de ser necesario, se pueden agregar cocientes parciales.

2,002 ÷ 32 ≈ 1,800 ÷ 30

Para la estimación B, creo que el estudiante redondeó 76 a la decena más cercana, que es 80, y, luego, eligió 3,200 como dividendo porque 3,200 es múltiplo de 80.

Para la estimación C, creo que la estudiante redondeó el dividendo a 2,800. Luego, eligió 70 como divisor porque sabía que 28 ÷ 7 = 4.

¿Son útiles estas estimaciones? Expliquen.

Sí. Las estimaciones están cerca unas de otras. Podemos usar cualquiera de las estimaciones para comenzar a dividir o para comprobar si nuestro cociente es razonable.

Sí. En conjunto, nos indican que el cociente es mayor que 30 pero menor que 40.

¿Qué estimación usarían para hallar el cociente de esta expresión de división? ¿Por qué?

Usaría la estimación A, porque prefiero comenzar a dividir con una estimación que creo que es menor que el cociente. Luego, puedo sumar más cocientes parciales si es necesario.

Usaría la estimación C, porque creo que está más cerca del cociente real.

Diga a la clase que el cociente real es 36 y que hay un residuo de 56.

Cada una de las estimaciones es útil de alguna manera. También podemos usar otras estimaciones útiles. Los números que elegimos para hacer estimaciones son elecciones individuales y varían de persona a persona.

El cociente 36 se encuentra entre nuestras dos estimaciones: 30 y 40. Sabíamos que el cociente sería al menos 30, pero que no sería mayor que 40, porque 40 × 76 = 3,040.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las estrategias que pueden usar para hacer estimaciones de cocientes.

Problema verbal de división sin residuo

La clase resuelve un problema de división del mundo real sin residuo.

Muestre el problema 1.

Pida a la clase que lea el problema en silencio. Luego, lea el problema en voz alta. Diga a la clase que van a completar el problema usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe. Pídales que sigan el razonamiento y que registren a medida que avanzan en el problema.

Nota para la enseñanza

Se encuentran disponibles videos de contexto para los problemas 1 y 2. Los videos pueden servir para eliminar barreras culturales e incentivar la participación en clase. Antes de comenzar cada problema, considere mostrar los videos y guiar una conversación acerca de lo que cada estudiante observa y se pregunta. Esta herramienta les ayuda a visualizar la situación antes de interpretarla de forma matemática.

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

1. Una granja tiene 15 filas de árboles. Cada fila tiene el mismo número de árboles. Si en total hay 1,635 árboles, ¿cuántos árboles hay en cada fila?

1,635

. . . ?

15 filas

1,635 ÷ 15 = 109

En cada fila hay 109 árboles.

Lea la primera y la segunda oración.

¿Podemos dibujar algo? ¿Qué podemos dibujar?

Podemos dibujar un diagrama de cinta y dividirlo en 15 partes para mostrar las 15 filas.

Podemos dibujar un diagrama de cinta para mostrar la primera fila y la última fila, porque 15 filas son demasiadas para dibujarlas.

Dibuje el diagrama de cinta.

Lea la tercera oración.

¿Podemos rotular algo? ¿Qué podemos rotular?

Sabemos que hay 1,635 árboles en total, entonces podemos rotular toda la cinta 1,635.

Rotule la parte superior del diagrama de cinta.

¿Cómo podemos hallar cuántos árboles hay en cada fila? ¿Cómo lo saben?

? ?

Podemos dividir 1,635 entre 15 porque sabemos que hay 1,635 árboles en 15 filas o 15 grupos. Para calcular el número de árboles que hay en cada fila, podemos dividir el número total de árboles entre el número total de filas.

¿Creen que el número de árboles que hay en cada fila es mayor que 100 o menor que 100?

El número de árboles es mayor que 100 porque 15 × 100 = 1,500 y 1,635 es mayor que 1,500. Vamos a registrar nuestro trabajo para dividir 1,635 entre 15 en forma vertical.

Escriba la forma vertical para 1,635 ÷ 15.

¿Qué representa el divisor 15?

15 representa el número de grupos, o las filas de árboles.

Si el divisor representa el número de grupos, o las filas de árboles, ¿qué representa el cociente?

El cociente representa el tamaño de cada grupo, o cuántos árboles hay en cada fila.

Mientras continuamos dividiendo, vamos a usar el contexto de cuántas filas hay y cuántos árboles hay en cada fila como ayuda para pensar y responder las preguntas que nos hacemos.

¿Qué estimación podemos usar para el cociente de 1,635 ÷ 15? ¿Cómo lo saben?

Podemos usar 100 porque 1,500 ÷ 15 = 100.

Escriba la estimación al lado del modelo vertical.

Pensamos que hay cerca de 100 árboles en cada una de las 15 filas, o grupos. ¿Qué podemos hacer con esa información?

Podemos determinar a cuánto equivalen 15 grupos de 100 y restar esa cantidad del dividendo.

¿Por qué restamos ese total de 1,635?

La diferencia nos indica cuántos árboles quedan para distribuir entre cada uno de los 15 grupos.

Escriba el primer cociente parcial en el modelo vertical y, luego, escriba el problema de resta para hallar la diferencia.

¿Por qué el 100 del cociente está alineado arriba del 635 del dividendo?

Cuando registramos la división en forma vertical, alineamos el cociente y el dividendo de acuerdo con el valor posicional.

Diferenciación: Apoyo

Para los o las estudiantes que necesiten apoyo adicional con los problemas 1 y 2, anímeles a que usen un modelo de área para hacer la división.

¿Necesitamos otro cociente parcial? ¿Cómo lo saben?

Sí. Quedan 135 y ese número es mayor que el divisor. En este problema, 135 representa el número de árboles que sobran después de repartir, en partes iguales, 100 árboles entre cada una de las 15 filas. Ahora debemos preguntarnos cómo podemos distribuir en partes iguales los árboles que quedan. Si quedan 135 árboles, ¿cuántos árboles podemos distribuir, en partes iguales, entre 15 filas, o grupos? ¿Qué estimación podemos usar como ayuda?

140 ÷ 20 = 7 es una estimación útil.

Escriba la estimación al lado del modelo vertical.

Pensamos que podemos distribuir, en partes iguales, 7 árboles más entre cada una de las 15 filas, o grupos.

¿Qué podemos hacer ahora? ¿Por qué?

Determinar a cuánto equivalen 15 grupos de 7 y restar esa cantidad de 135 para determinar cuánto queda del dividendo para dividir.

Escriba el cociente parcial 7 en la posición de las unidades arriba del cociente parcial 100.

¿Qué pasaría si pusiéramos el 7 en la posición de las decenas? Si pusiéramos el 7 en la posición de las decenas, tendríamos setenta 15 y no siete 15, y setenta 15 son demasiados.

Escriba 105 y la diferencia en el modelo vertical.

Nos quedan 30 árboles. ¿Podemos distribuir, en partes iguales, más árboles entre cada fila, o grupo? De ser así, ¿cuántos?

Sí. Podemos distribuir 2 árboles más entre cada uno de los 15 grupos.

Como podemos distribuir, en partes iguales, 2 árboles más entre cada uno de los 15 grupos sin que sobre ningún árbol, no es necesario estimar el último cociente parcial.

Nota para la enseñanza

Anime a sus estudiantes a ser flexibles cuando razonan acerca de las estimaciones y los cocientes parciales. Por ejemplo, puede haber estudiantes que estimen que 135 ÷ 15 es aproximadamente 7 porque 140 ÷ 20 = 7. También puede haber estudiantes que piensen en múltiplos de 15. Dado que saben que 10 × 15 = 150, y 135 es un 15 menos que 150, pueden razonar que 15 × 9 = 135. Razonar que 15 × 9 = 135 les permite ser más flexibles en su razonamiento y eliminar un cociente parcial adicional.

Escriba el tercer cociente parcial en la posición de las unidades.

¿Terminamos de dividir? ¿Cómo lo saben?

Sí. El residuo es 0, así que ya terminamos de dividir.

Sí. Distribuimos 1,635, en partes iguales, entre cada uno de los grupos.

¿Cuál es el cociente de 1,635 ÷ 15? 109

¿Cómo podemos comprobar nuestra respuesta?

Podemos multiplicar 109 por 15.

Pida a sus estudiantes que multipliquen para comprobar la precisión del cociente.

Cuando comprobamos el cociente usando la multiplicación, podemos ver que 109 es la respuesta correcta al problema de división. Eso significa que encontramos el número que va donde está el signo de interrogación en el modelo. Ahora podemos responder la pregunta del problema: “¿Cuántos árboles hay en cada fila?”. ¿Qué debemos registrar como enunciado para responder esta pregunta?

En cada fila hay 109 árboles.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de cómo hacer estimaciones que les ayuden a determinar cuántos árboles hay en cada fila.

Problema verbal de división con residuo

La clase resuelve un problema de división del mundo real que incluye un residuo.

Muestre el problema 2. Lea el problema en voz alta a la clase. Lacy planea recorrer en bicicleta 2,900 millas, que es aproximadamente la distancia de San Francisco a Nueva York. Si recorre 68 millas cada semana, ¿cuántas semanas le tomará recorrer 2,900 millas?

DUA: Acción y expresión

Considere preguntar a la clase qué preguntas se hacen mientras resuelven los problemas de división. Escriba la lista en un afiche de referencia que sus estudiantes puedan consultar. Estos son algunos ejemplos de preguntas:

• ¿ ?

•

• ¿ ?

•

•

•

•

Apoyo para la comprensión del

Considere activar los conocimientos previos comentando y mostrando en un mapa la ubicación de San Francisco y de Nueva York.

Invite a la clase a trabajar en parejas para completar el problema. Recorra el salón de clases a medida que sus estudiantes trabajan para identificar a quienes usan cocientes parciales diferentes.

Mientras recorre el salón de clases, brinde apoyo a sus estudiantes haciendo las siguientes preguntas:

• ¿Pueden dibujar algo? ¿Qué pueden dibujar? ¿Qué pueden rotular?

• ¿Qué expresión pueden usar para hallar el número desconocido?

• ¿Qué representa el dividendo? ¿Y el divisor? ¿Y el cociente?

• ¿Cómo pueden registrar su trabajo?

• ¿Qué pueden hacer primero?

• ¿Qué estimación pueden hacer?

• ¿Sus respuestas son razonables? ¿Cómo lo saben?

• ¿Qué representa el residuo en esta situación?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

2. Lacy planea recorrer en bicicleta 2,900 millas, que es aproximadamente la distancia de San Francisco a Nueva York. Si recorre 68 millas cada semana, ¿cuántas semanas le tomará recorrer 2,900 millas?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando usa diagramas de cinta para interpretar problemas verbales de división y analizar los residuos en contexto al hallar la solución del problema.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué les indica su diagrama de cinta acerca del problema?

• ¿Qué significa un residuo de 44 en este contexto?

A Lacy le tomará aproximadamente 43 semanas recorrer 2,900 millas.

• ¿Sus respuestas tienen sentido en este contexto?

Reúna a la clase cuando hayan terminado. Invite a sus estudiantes a compartir y comparar sus estimaciones. Pregunte si hay estudiantes que sobrestimaron y, de ser así, cómo ajustaron su trabajo.

Invite a quienes usaron diferentes cocientes parciales a compartir su trabajo. Anime a sus estudiantes a explicar su razonamiento preguntando: “¿Por qué usaron esos cocientes parciales? ¿De qué manera el contexto de la historia hizo que cambiaran las preguntas que se hicieron?”.

Señale que el cociente y el residuo son los mismos, sin importar cuántos cocientes parciales se usen. Por ejemplo, el ejemplo de trabajo muestra otra manera en que se podrían haber usado los cocientes parciales.

¿Por qué le tomará a Lacy 43 semanas en lugar de 42 semanas recorrer 2,900 millas en bicicleta si el cociente es 42?

El residuo es 44. Si Lacy anda en bicicleta durante 42 semanas, aún le quedarán 44 millas más por recorrer. Necesitará andar en bicicleta cerca de 1 semana más para un total de cerca de 43 semanas para recorrer 2,900 millas.

Muestre los siguientes diagramas de cinta.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y las diferencias que hay entre los dos diagramas de cinta.

Para las o los estudiantes que terminen primero el problema 2, considere hacer las siguientes preguntas:

• ¿Cuántas millas recorre Lacy en 1 día?

• ¿Cuántas millas recorre Lacy en 1 hora?

• ¿Cuántos días tarda Lacy en recorrer 2,900 millas?

¿En qué se diferencian los dos diagramas de cinta?

En el primer diagrama de cinta, conocemos el número de grupos y el total. Debemos hallar el tamaño de cada grupo.

En el segundo diagrama de cinta, conocemos el tamaño de cada grupo y el total. Debemos hallar el número de grupos.

En la primera cinta, el divisor es el número de grupos y el cociente es el tamaño de cada grupo. En la segunda cinta, el divisor es el tamaño de cada grupo y el cociente es el número de grupos. ¿Esta diferencia afecta las preguntas que se hacen cuando dividen?

Sí. En el problema sobre los árboles, pensé en distribuir 1,635 árboles, en partes iguales, entre grupos. Entonces me hice preguntas acerca de cuántos árboles cabían en los 15 grupos. Por ejemplo: ¿Puedo distribuir 10 árboles, en partes iguales, entre los 15 grupos? ¿Y 100 árboles? Si me quedan 30 árboles, ¿cuántos árboles puedo distribuir, en partes iguales, entre cada uno de los 15 grupos?

En el problema acerca de la bicicleta, pensé acerca de cuántos 68 hay en 2,900. Así que me hice preguntas acerca de cuántos grupos de 68 caben en 2,900. Por ejemplo: ¿Caben diez 68 en 2,900? ¿Y veinte 68? ¿Y cuarenta 68? Si quedan 136 millas, ¿caben dos 68?

Cuando no tienen un problema verbal, ¿importa si piensan en el divisor como el número de grupos o como el tamaño de cada grupo? ¿Por qué?

No. No importa porque podemos interpretar el divisor de diferentes maneras.

A medida que continuamos practicando la división o resolviendo problemas que incluyen la división, recuerden que pueden pensar en el divisor como el número de grupos o como el tamaño de cada grupo. Elijan la interpretación que les ayude a hallar los cocientes parciales.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué interpretación les resulta más útil para hallar los cocientes parciales.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes deben usar el contexto como guía para hacerse preguntas mientras dividen. Esto puede ayudarles a interpretar el significado del dividendo, el divisor, los cocientes parciales y el cociente.

Cuando el divisor es el tamaño del grupo o el tamaño de la unidad, pueden hacer preguntas como las siguientes:

• ¿Cuántos caben en ?

• ¿Caben 10 en ? ¿Y 100?

¿Y 1,000?

Cuando el divisor es el número de grupos, pueden hacer preguntas como las siguientes:

• Si necesito distribuir, en partes iguales, entre grupos, ¿cuántos puedo distribuir en cada grupo?

• ¿Puedo distribuir, en partes iguales, 10 en cada grupo? ¿Y 100? ¿Y 1,000?

Con el tiempo, la clase usará lenguaje más formal relacionado con la multiplicación y la división. Usar la interpretación del divisor para guiar el trabajo metacognitivo de resolución de problemas sirve de apoyo para la clase en la comprensión conceptual de la división.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Dividir números de cuatro dígitos entre números de dos dígitos

Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Organice una conversación de la clase acerca de la división de números de cuatro dígitos entre números de dos dígitos usando los siguientes planteamientos. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿El número de dígitos del dividendo y del divisor les hace cambiar lo que piensan mientras dividen? ¿Por qué?

No. para cualquier problema de división, debemos hallar el cociente. No importa cuántos dígitos tenga el problema, porque sigo pensando en hallar cocientes parciales.

En realidad, no. El único cambio en mi razonamiento es que es posible que tenga más cocientes parciales porque los números son más grandes.

Sí. Comencé pensando entre qué potencias de 10 se encuentra el cociente. Eso me ayudó a tener una idea del tamaño del cociente.

Pida a sus estudiantes que elijan uno de los problemas de cálculo del Grupo de problemas para comentar en parejas. Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar la respuesta a la siguiente pregunta.

Antes de conocer el contexto, ¿qué interpretación del divisor, número de grupos o tamaño del grupo usaron para dividir? ¿Por qué?

En el problema 4, pensé acerca del divisor como el tamaño de cada grupo, así que pensé en cuántos treinta y cuatros hay en 7,242. Me ayudó a pensar acerca del divisor como la unidad porque podía preguntarme: ¿Pueden caber 10 treinta y cuatros? ¿Y 100 treinta y cuatros? Esas preguntas me ayudaron a pensar en la multiplicación, y me gusta usar la multiplicación como ayuda para dividir.

En el problema 6, pensé acerca del divisor como el número de grupos, así que pensé en distribuir 5,123, en partes iguales, entre 47 grupos. Inventé el contexto de una persona que comparte $5,123, en partes iguales, entre 47 personas como ayuda para visualizar lo que necesitaba hacer.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Estima los cocientes parciales a medida que divides. La primera estimación ya está empezada como ejemplo. Haz todas las estimaciones que sean necesarias. Luego, comprueba tu trabajo.

Cociente: 315

Residuo: 0

2. 1,376 ÷ 32

6 7 3 21, 3

30 = 14 ,2000

5, 985 = 315 × 19

Cociente: 225 Residuo: 6 Divide. Luego, comprueba tu trabajo.

Cociente: 43

Residuo: 0

= 43 × 32

213

Cociente: 70

Residuo: 14 6. 5,123 ÷ 47

Comprueba: 3,164 = 45 × 70 + 14

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema.

7. En un depósito hay 1,250 videojuegos para distribuir, en partes iguales, entre 12 tiendas. Si se distribuyen todos los videojuegos disponibles, ¿cuántos recibe cada tienda? ¿Cuántos videojuegos sobran?

1,250 ÷ 12

C: 104

R: 2

Cada tienda recibe 104 videojuegos y sobran 2 videojuegos.

Cociente: 109

Residuo: 0

Comprueba:

5,123 = 47 × 109

Tema D Problemas de varios pasos con números enteros

Después de haber desarrollado estrategias de multiplicación y división en el tema C, la clase ahora espera responder la pregunta: ¿Cómo me sirve hacer operaciones con números enteros para resolver problemas difíciles del mundo real?

La clase comienza el tema D representando un enunciado de varias partes con un diagrama de cinta y una expresión. Por ejemplo, dado este enunciado: 3 veces la suma de 11 y 29, la clase dibuja un diagrama de cinta relacionado y escribe una expresión, pensando primero en una unidad como 11 + 29.

11 + 29 11 + 29 11 + 29 3 × (11 + 29)

Según la representación dada, la clase genera enunciados, expresiones o diagramas de cinta. Consideran por qué la presencia o la ausencia de paréntesis cambia el valor de una expresión. Por ejemplo, evalúan expresiones como 3 × 11 + 29 y 3 × (11 + 29) y, luego, comparan los resultados.

A medida que la clase crea y resuelve problemas del mundo real, continúa desarrollando la comprensión de la importancia de usar paréntesis para aclarar el significado y para asegurar la interpretación correcta de las expresiones. La clase escribe problemas verbales que demuestran su comprensión sobre cómo se reflejan las operaciones en situaciones del mundo real. Una consideración que hacen sus estudiantes es la colocación de paréntesis en una expresión cuando escriben un problema verbal relacionado. Por ejemplo, dada la expresión (24 − 6) ÷ 3, primero escriben una situación que representa la diferencia entre 24 y 6 y, luego, expanden la historia para representar la división de la diferencia entre 3.

Se avanza hacia resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división. Sus estudiantes determinan el valor de varios números desconocidos dibujando primero un modelo para entender el problema y, luego, escribiendo una expresión para hallar el producto o el cociente. Reconocen que la forma en que dibujan sus diagramas de cinta les sirve para determinar qué operación usar para resolver el problema. Una vez que saben la operación correspondiente, están capacitados para elegir una estrategia, modelo o método para resolver el problema.

El tema D concluye impulsando a la clase a resolver problemas verbales de varios pasos usando las cuatro operaciones. La clase observa que hay varias maneras de dibujar un modelo que represente el mismo problema.

En el módulo 2, sus estudiantes aplican su comprensión de la división a la interpretación de las fracciones como divisiones.

Progresión de las lecciones

Lección 17

Lección 18

Lección 19

Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas determinadas

3 veces la suma de 15 y 25

Escribir, interpretar y comparar expresiones numéricas 15 + 25 15 + 25 15 + 25

3 × (15 + 25)

Puedo dibujar un diagrama de cinta para representar un enunciado. El diagrama de cinta puede ayudarme a escribir una expresión relacionada con el enunciado. Entiendo que los paréntesis pueden cambiar el valor de una expresión. Puedo comparar expresiones sin evaluarlas.

Ejemplo:

Blake prepara 96 muffins para la jornada de venta de pasteles Vende 33 muffins y pone los que sobran en 3 recipientes para llevarlos a su casa. Si pone el mismo número de muffins en cada recipiente, ¿cuántos pone en cada uno?

Puedo crear situaciones del mundo real relacionadas con una expresión o un diagrama de cinta. Entiendo que las agrupaciones dentro de una expresión representan varios pasos dentro de un problema.

Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división

Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división. Puedo dibujar un modelo para representar un problema verbal, escribir una expresión relacionada y seleccionar una estrategia, modelo o método para resolver el problema.

Lección 20

Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con las cuatro operaciones $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ ?

$

Puedo usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con las cuatro operaciones. Puedo usar un diagrama de cinta para descubrir los distintos pasos y operaciones necesarios para resolver el problema.

LECCIÓN 17

Escribir, interpretar y comparar expresiones numéricas

Vistazo a la lección

La clase analiza el trabajo que evalúa las expresiones numéricas y usa la rutina Tomar una postura para considerar la forma correcta de evaluar una expresión. Se dan cuenta de que los paréntesis cambian el valor de la expresión, según donde se coloquen en la expresión. Los diagramas de cinta ayudan a cada estudiante a escribir, evaluar y emparejar enunciados y expresiones numéricas. Las parejas de estudiantes trabajan juntas para comparar expresiones numéricas sin calcular. En esta lección se presenta el verbo evaluar.

Preguntas clave

• ¿Representar con diagramas de cinta les ayuda a escribir enunciados de ecuaciones y expresiones? ¿Por qué?

• ¿Representar con diagramas de cinta les ayuda a entender dónde se ubican los paréntesis en las ecuaciones y las expresiones? ¿Por qué?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA1 Escriben expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA3 Reescriben expresiones numéricas de números enteros como descripciones verbales matemáticas o contextuales. (5.OA.A.2)

5.Mód1.CLA4 Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica de números enteros. (5.OA.A.2)

Nombre Fecha

1. Escribe una expresión para representar el enunciado. Dibuja un diagrama de cinta si te ayuda. 4 veces la suma de 3 y 12 4 × (3 + 12)

2. Coloca paréntesis para hacer que la ecuación sea verdadera. 12 × (3 + 2) − 5 = 55

3. Usa >, = o < para comparar las expresiones. (24 × 3) + (10 × 3) > (47 × 3) − (15 × 3)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Representar enunciados con diagramas de cinta y ecuaciones

• Escribir enunciados para representar diagramas de cinta

• Emparejar diagramas de cinta, enunciados y expresiones

• Comparar expresiones

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• Expresiones numéricas (en la edición para la enseñanza)

• papel (3 hojas)

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• Prepare tres afiches en papel. Rotule un afiche 77, otro afiche 128 y el tercer afiche No resuelto. Cuelgue los afiches en lugares diferentes del salón de clases.

• Imprima o haga una copia de la hoja de Expresiones numéricas y recorte cada rectángulo.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta

La clase escribe y evalúa una expresión como preparación para relacionar diagramas de cinta, enunciados y expresiones.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el diagrama de cinta.

¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo.

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas.

El total es desconocido. Hay dos partes. Una parte tiene un valor de 30 y la otra parte tiene un valor de 18.

Escriban una ecuación de suma para representar el diagrama de cinta. Usen la letra a para representar el número desconocido.

Muestre la ecuación de ejemplo.

Escriban el valor del número desconocido.

Muestre la respuesta.

30 para la enseñanza

a 18 Nota

Valide todas las respuestas correctas que no se hayan mostrado en la imagen. Por ejemplo, sus estudiantes pueden escribir ecuaciones de suma o resta para los diagramas de cinta con una parte desconocida.

Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones

La clase expresa un enunciado de suma, de resta, de multiplicación o de división como una expresión y evalúa la expresión como preparación para los cálculos de dos pasos.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el enunciado: 11 más que 73.

Escriban una expresión que represente el enunciado.

Muestre la expresión de ejemplo.

Escriban el valor de la expresión.

Muestre la respuesta.

11 más que 73

73 + 11 84

Presentar

Materiales: M) Afiches

La clase considera la forma correcta de evaluar una expresión.

Presente a la clase la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches que colgó en el salón de clases: 77, 128, y No resuelto.

Muestre el siguiente trabajo de sus estudiantes e invite a la clase a ponerse de pie junto al afiche que mejor describa lo que piensan acerca de cuál es el ejemplo correcto.

Cuando todos sus estudiantes estén junto a un afiche, dé 2 minutos para que los grupos comenten por qué lo eligieron.

A continuación, pida a cada grupo que comparta las razones de su elección. Dígales que pueden unirse a otro grupo si cambiaron de opinión durante la conversación.

Pídales que vuelvan a sentarse. Con la clase, reflexionen sobre cómo una expresión puede llevar a dos respuestas diferentes.

En las respuestas en el trabajo de Toby y Yuna, podemos ver que hallaron el valor de la expresión de maneras diferentes. Cuando evaluamos una expresión, o hallamos su valor, es importante que todos obtengamos la misma respuesta. ¿Por qué creen que esto puede ser importante?

Es muy confuso si cada estudiante tiene respuestas diferentes para el mismo problema. No tiene sentido que un problema tenga dos respuestas completamente diferentes; entonces, es importante que cada estudiante obtenga el mismo número.

Si la respuesta puede ser muchos números diferentes, nunca se sabe si es correcta.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, escribiremos, interpretaremos y evaluaremos expresiones.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

En este segmento, se presenta el verbo evaluar. Considere mostrar el término y repetir el significado: hallar el valor de. Explique que parte de la palabra evaluar se parece a valor. Conversen acerca del significado de valor, resalte las letras v, a y l en el término, y escriba la definición. Refiérase al término que mostró durante toda la lección cuando lo use.

Aprender

Representar enunciados con diagramas de cinta y ecuaciones

La clase dibuja y usa diagramas de cinta para escribir enunciados como expresiones numéricas.

Muestre el problema y los diagramas de cinta relacionados e invite a la clase a estudiarlos.

Luis planta 17 margaritas y 15 girasoles. Riley planta 4 veces la cantidad de flores que planta Luis. ¿Cuántas flores planta Riley?

El trabajo que vimos anteriormente muestra lo que hicieron Toby y Yuna para resolver este problema. Ahora, tenemos más información acerca de cómo hicieron su trabajo y, al observar sus diagramas de cinta, sobre por qué obtuvieron respuestas distintas.

Trabajo de Toby: ?

15 15 15 15 17

Trabajo de Yuna:

17 15

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué diagrama de cinta representa el problema correctamente.

El diagrama de cinta de Yuna representa el problema correctamente porque Luis plantó un total de 17 margaritas y 15 girasoles. Riley plantó 4 veces la cantidad de flores que plantó Luis, o 4 veces la suma de 17 + 15.

El diagrama de cinta de Yuna es correcto porque muestra 4 grupos del número total de flores que plantó Luis.

El diagrama de cinta de Toby es incorrecto porque muestra que Riley plantó 4 veces 15 flores y, luego, plantó otras 17 flores, lo que no coincide con el problema.

¿Quién resolvió el problema verbal correctamente? ¿Cómo lo saben?

Yuna resolvió el problema correctamente. El diagrama de cinta de Yuna muestra el total de margaritas y girasoles con las unidades de 17 y 15 repetidas 4 veces.

Nota para la enseñanza

La actividad digital interactiva de Expresiones con diagramas de cinta ayuda a representar visualmente y a manipular expresiones numéricas.

Considere permitir que cada estudiante experimente con la herramienta de manera individual o realizar una actividad de demostración para toda la clase.

Antes, nos resultó difícil determinar si Toby o Yuna tenían razón porque no teníamos el contexto como ayuda para entender por qué 17 y 15 debían sumarse antes de multiplicar por 4. ¿Qué podemos incluir en la expresión 17 + 15 × 4 para aclarar que necesitamos sumar primero?

Podemos usar paréntesis alrededor de 17 + 15 para mostrar que necesitamos sumar el número de margaritas y girasoles antes de multiplicar por 4.

Escriba (17 + 15) × 4 = 128.

Si la expresión que observamos anteriormente hubiera incluido paréntesis, habría sido claro que el trabajo de Yuna era correcto. Para evitar una confusión como la que tuvimos, es importante usar paréntesis para evaluar nuestras expresiones correctamente, incluso cuando no sabemos el contexto o no vemos un diagrama de cinta.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pida a sus estudiantes que trabajen individualmente o en parejas para escribir la expresión. Recorra el salón de clases para asegurarse de que cada estudiante use los paréntesis correctamente e identifique a quienes puedan escribir el factor 3 a la derecha y a la izquierda de la suma.

Escribe una expresión para representar el enunciado. Usa el diagrama de cinta como ayuda.

1. 3 veces la suma de 15 y 25

15 + 25 15 + 25

15 + 25 ?

3 × (15 + 25)

Cuando sus estudiantes terminen de escribir la expresión, invite a quienes haya identificado a compartir sus expresiones con la clase.

¿Qué incluyeron en su expresión para mostrar claramente que necesitamos hallar la suma antes de multiplicar?

Incluimos paréntesis alrededor de 15 + 25.

Nota para la enseñanza

En grados anteriores, la clase usa un único número o símbolo para representar una unidad en un diagrama de cinta. El problema 1 muestra una unidad como la expresión 15 + 25. Según sea necesario, muestre a sus estudiantes que, en su trabajo, Yuna usó una sola llave para una unidad en su diagrama de cinta para representar 17 margaritas y 15 girasoles, que es lo mismo que mostrar una unidad con la expresión 17 + 15.

Diferenciación: Desafío

Pida a quienes terminen antes que escriban y evalúen una expresión relacionada con el diagrama de cinta que se muestra. Luego, pida que hallen la diferencia entre el valor de la expresión del problema 1 y el valor de la expresión para este diagrama de cinta.

15 15 15 25

¿Importa que parte de la clase haya escrito 3 × (15 + 25) y otra parte haya escrito (15 + 25) × 3?

¿Por qué?

No importa, porque la propiedad conmutativa de la multiplicación dice que podemos multiplicar un número por otro número en cualquier orden y obtendremos el mismo producto.

Evalúen su expresión.

Dé tiempo para que sus estudiantes evalúen la expresión. Asegúrese de que hayan obtenido 120 y, luego, pida que conviertan su expresión a una ecuación escribiendo = 120 en el problema 1.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2 y que lean el problema.

Dibuja un diagrama de cinta y escribe una expresión para representar el enunciado.

2. La diferencia entre 72 y 48, dividida entre 2

(72 − 48) ÷ 2

¿Cuál es la diferencia entre este enunciado y el último?

Esta vez dice diferencia, en lugar de suma; entonces, debemos restar. Dice dividida entre; entonces, necesitamos un signo de división en nuestra expresión.

Muestre los diagramas de cinta.

Diagrama A

Diagrama B

Nota para la enseñanza

Es frecuente que haya más de una manera correcta de representar una situación con un diagrama de cinta. A continuación, hay otra manera de representar (72 − 48) ÷ 2 usando un diagrama de cinta. ?

72 48

Cuando cada estudiante dibuje su propio diagrama de cinta para entender los problemas, es probable que haya variedad en los diagramas.

DUA: Representación

Considere crear un afiche de referencia mientras la clase describe cómo sabe que el uso de paréntesis afecta el valor de la expresión. Muestre el afiche durante el resto del tema como ejemplo de por qué se usan los paréntesis y de la importancia de mostrar grupos en una ecuación o expresión.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar qué diagrama de cinta coincide con el enunciado.

El diagrama A coincide con el enunciado porque muestra la diferencia entre 72 y 48 dividida entre 2.

El diagrama B no coincide con el enunciado porque muestra 48 dividido entre 2.

Como el diagrama A coincide con el enunciado, significa que la agrupación de este enunciado es la diferencia entre 72 y 48.

Pida a sus estudiantes que escriban una expresión que coincida con el enunciado y hallen el cociente. Recorra el salón de clases y supervise el trabajo de sus estudiantes.

Invite a sus estudiantes a compartir sus expresiones y a justificar el uso de paréntesis.

Escribí (72 − 48) ÷ 2 para representar el enunciado porque tengo que hallar la diferencia entre 72 y 48 para que coincida con el enunciado. La diferencia se divide entre 2.

Escribí (72 − 48) ÷ 2 porque debemos dividir la diferencia entre 2 partes, no el 72 ni el 48.

¿El uso de paréntesis cambia cómo evalúan la expresión?

Sí.

¿Cómo lo saben?

(72 − 48) ÷ 2 = 12. Si movemos los paréntesis y escribimos 72 − (48 ÷ 2), obtenemos 72 − 24, que es 48, no 12.

Escribir

enunciados para representar diagramas de cinta

La clase escribe enunciados y ecuaciones para demostrar su razonamiento acerca de los grupos que ven en los diagramas de cinta.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 3. Considere pedir a sus estudiantes que trabajen en parejas para escribir el enunciado y la ecuación que coincidan con el diagrama de cinta. Recorra el salón de clases y supervise el trabajo de sus estudiantes. Espere diferentes ecuaciones, como las siguientes:

• 8 + 8 + 8 + 6 + 6 = 36

• 3 × 8 + 2 × 6 = 36

• (3 × 8) + (2 × 6) = 36

Escribe un enunciado y una ecuación para representar el diagrama de cinta.

3. 86 6 8 8

La suma de tres grupos de 8 y dos grupos de 6 (3 × 8) + (2 × 6) = 36

Invite a sus estudiantes a compartir con la clase las ecuaciones que hallaron. Luego, muestre la ecuación 3 × (8 + 2) × 6 = 180.

¿Esta ecuación coincide con el diagrama de cinta? ¿Por qué?

No, no coincide porque muestra un grupo de 8 + 2, pero no hay un grupo de 8 + 2 en el diagrama de cinta.

No, no representa el diagrama de cinta porque muestra un producto de 180, pero el total de nuestro diagrama de cinta es 36.

Imaginen que alguien de otra clase no tiene el diagrama de cinta. ¿Dónde debemos colocar paréntesis para asegurarnos de que esa persona evalúe la expresión 3 × 8 + 2 × 6 correctamente?

Debemos colocar paréntesis alrededor de 3 × 8 y alrededor de 2 × 6.

¿Qué enunciado podemos escribir para representar este diagrama de cinta?

La suma de 3 ochos y 2 seises

La suma de tres grupos de 8 y dos grupos de 6

Pida a sus estudiantes que registren el enunciado.

Emparejar diagramas de cinta, enunciados y expresiones

Materiales: M) Expresiones numéricas

La clase determina si las expresiones, los diagramas de cinta y los enunciados coinciden analizando el uso de paréntesis. Distribuya una representación de las Expresiones numéricas a cada estudiante.

• Si sus estudiantes reciben una expresión, pídales que escriban un enunciado y dibujen un diagrama de cinta que coincida.

• Si reciben un enunciado, pídales que escriban una expresión y dibujen un diagrama de cinta que coincida.

• Si reciben un diagrama de cinta, pídales que escriban una expresión y un enunciado que coincida.

Pida a sus estudiantes que se pongan de pie y busquen dos estudiantes que tengan representaciones que coincidan. Por ejemplo, alguien que tenga un diagrama de cinta que muestre 2 seises y 5 cincos debe buscar a otra persona que tenga la expresión (2 × 6) + (5 × 5) y a alguien que tenga el enunciado: La suma de 2 seises y 5 cincos.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué coinciden las representaciones.

Nota para la enseñanza

Distribuya cada representación de la hoja de Expresiones numéricas según las necesidades de cada estudiante. Un diagrama de cinta puede beneficiar a quienes estén comenzando a desarrollar la destreza, mientras que un enunciado presentará un mayor desafío para quienes ya tengan un mejor dominio.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando determina las dos maneras adicionales en las que una expresión numérica puede representarse y halla a dos estudiantes que tengan esas representaciones que coinciden.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿Qué es importante tener en cuenta cuando piensan en esta actividad?

• Cuando escriben una expresión, ¿con qué necesitan tener mucha precisión? ¿Por qué?

Comparar expresiones

La clase aplica su comprensión de la función de los paréntesis para comparar expresiones sin evaluarlas.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 4 a 6. Pida que trabajen en parejas para comparar las expresiones sin multiplicar.

Usa >, = o < para comparar las expresiones.

4. 22 × (18 + 31) < (18 + 31) × 34

5. (2 × 8) + (10 × 8) > (7 × 8) − (4 × 8)

6. 145 × 71 = (100 + 45) × (70 + 1)

Reúna a la clase para conversar.

¿Cómo pudieron comparar cada una de las expresiones sin multiplicar?

En el problema 4, pensé en las unidades de cada expresión. La unidad es la misma: (18 + 31).

22 veces la suma de 18 y 31 es menos que 34 veces la suma de 18 y 31.

En el problema 5, sé que dos grupos de 8 más diez grupos de 8 es doce grupos de 8, y siete grupos de 8 menos cuatro grupos de 8 es tres grupos de 8. Doce 8 es mayor que tres 8.

En el problema 6, el valor del grupo (100 + 45) es igual a 145, y el valor del grupo (70 + 1) es igual a 71. Como los factores son los mismos en cada expresión, sé que los valores de las expresiones son iguales.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Diferenciación: Apoyo

Para quienes necesiten apoyo cuando comparan las expresiones, considere pedir que cubran o solo miren algunas partes de cada expresión a fin de que puedan entender la expresión completa, de a una parte a la vez.

Para el problema 4, pídales que cubran el factor 22 de la parte izquierda y el factor 34 de la derecha. Pregunte qué observan acerca del otro factor en cada expresión. Luego, pida que comparen las expresiones.

Para el problema 5, pídales que cubran el factor (2 × 8) de la parte izquierda y el factor (4 × 8) de la derecha, y que comparen las expresiones que quedan. Luego, pida que observen, antes de volver a comparar las expresiones, que en la parte izquierda se suman más grupos de 8 y en la derecha se restan grupos de 8.

Para el problema 6, pídales que cubran el factor 71 de la parte izquierda y el factor (70 + 1) de la derecha. Pregúnteles qué observan. Luego, haga lo mismo con el otro factor en cada expresión.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

En el Grupo de problemas de la lección, sus estudiantes encontrarán frases como “la suma de cuatro 9 y dos 7”. Explíqueles que las cifras no pueden mostrar el plural y que, cuando los números están escritos con dígitos, son las palabras que los rodean las que nos dan las pistas para saber si se trata de uno o más de uno. En el ejemplo anterior, las palabras “cuatro” y “dos” nos indican que son varios “nueves” y “sietes”, por lo que debería leerse como “la suma de cuatro nueves y dos sietes”.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Escribir, interpretar y comparar expresiones numéricas

Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre expresiones numéricas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares. Pida a sus estudiantes que consulten sus Grupos de problemas para explicar su razonamiento.

¿Representar con diagramas de cinta les ayuda a escribir enunciados de ecuaciones y expresiones? ¿Por qué?

Sí. Cuando veo la ecuación y la expresión representadas por un diagrama de cinta, me resulta más fácil pensar en un enunciado relacionado.

A veces, sí. Si es una ecuación, puedo ver en las agrupaciones qué números deben sumarse o multiplicarse, y sé el valor de la expresión. Si es una expresión, el diagrama de cinta puede ayudarme a entender la expresión para poder escribir un enunciado relacionado.

¿Representar con diagramas de cinta les ayuda a entender dónde se ubican los paréntesis en las expresiones? ¿Por qué?

Sí. Representar con diagramas de cinta me ayuda a ver qué partes de la expresión deben agruparse.

Muestre la siguiente expresión:

20 − 2 × 3

Una estudiante evaluó esta expresión como 54 y otro estudiante la evaluó como 14. ¿Qué podemos hacer para asegurarnos de que alguien que no ve un diagrama de cinta ni conoce el contexto del que surgió esta expresión la evalúe como 14? ¿Por qué?

Debemos colocar paréntesis alrededor de 2 × 3 para que, al evaluarla, la clase sepa hallar la diferencia entre 20 y 2 grupos de 3.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Escribe un enunciado y una expresión para representar el diagrama de cinta. Luego, evalúa tu expresión.

5. 3718 3718 3718 3718

Enunciado: 4 veces la suma de 37 y 18

Dibuja un diagrama de cinta y escribe una expresión para representar el enunciado.

1. El doble de la suma de 9 y 6

6 6 (9 + 6) × 2

2. La diferencia entre 67 y 43, dividida entre 2

? (67 − 43) ÷ 2

3. 3 veces la suma de 11 y 29

3 × (11 + 29)

4. La suma de dos 18 y tres 12 1818 12 12 12 (2 × 18) + (3 × 12)

Expresión: 4 × (37 + 18)

Valor de la expresión: 220

6. 9999 77 Enunciado: La suma de cuatro 9 y dos 7

Expresión: (4 × 9) + (2 × 7)

Valor de la expresión: 50

7. Evalúa.

a. 40 + (3 × 9) − 6

b. (40 + 3) × (9 − 6)

c. ¿Por qué las expresiones (a) y (b) tienen valores diferentes?

En cada expresión, se agrupan los números de diferente manera. En la expresión (a), (3 × 9) es un grupo; entonces, estamos hallando el valor de 40 + 27 − 6. En la expresión (b), (40 + 3) es un grupo y (9 − 6) es un grupo; entonces, estamos hallando el valor de 43 × 3

148 GRUPO DE PROBLEMAS

8. Kelly olvidó poner los paréntesis en su ecuación. Escribe los paréntesis para hacer que su ecuación sea verdadera.

6 + 8 × 12 2 = 140

Usa >, = o < para comparar las expresiones. Explica cómo puedes comparar las expresiones sin evaluarlas.

9. 35 × (12 + 28) < (12 + 28) × 70

Explica: La suma es la misma en ambas expresiones, pero la segunda expresión se multiplica por 70 en lugar de 35, por lo que sé que tiene un valor mayor.

10. 225 × 81 = (200 + 25) × (80 + 1)

Explica: Son iguales porque la segunda expresión muestra cómo pueden descomponerse los números de la primera expresión.

11. (48 × 7) − (37 × 7) > (5 × 7) + (5 × 7)

Explica: La primera expresión tiene un valor mayor porque es 11 sietes, y la otra expresión es solo 10 sietes.

12. Considera el enunciado.

5 veces la suma de 319 y 758

a. Adesh comete un error cuando escribe una expresión para representar el enunciado. ¿Cuál es el error que comete Adesh?

(5 × 31 9) + 758

Adesh puso los paréntesis en el lugar equivocado.

b. Escribe una expresión para representar el enunciado.

5 × (319 + 758)

c. Evalúa la expresión que escribiste en la parte (b).

5 × (319 + 758) = 5 × 1,077 = 5,385

Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas determinadas

Vistazo a la lección

Nombre Fecha

Escribe un problema verbal que pueda resolverse usando la expresión que se muestra. (6 + 7) × 11 − 34

Ejemplo:

Julie gana $11 por cada hora que trabaja. Trabaja 6 horas el sábado y 7 horas el domingo. Luego, gasta $34 en ropa. ¿Cuánto dinero le queda?

Dada una expresión o un diagrama de cinta, la clase crea problemas verbales basados en situaciones del mundo real que les resultan relevantes. La clase considera el uso de paréntesis y cómo las agrupaciones dentro de los paréntesis determinan varios pasos en un problema verbal.

Preguntas clave

• ¿Qué es importante tener en cuenta cuando escriben problemas verbales?

• ¿Los paréntesis de las expresiones les ayudaron a escribir problemas verbales? ¿Por qué?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA2 Evalúan expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA3 Reescriben expresiones numéricas de números enteros como descripciones verbales matemáticas o contextuales. (5.OA.A.2)

Agenda

Fluidez 15 min

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Desarrollar situaciones de problemas verbales de varias partes

• Escribir problemas verbales para emparejar expresiones y diagramas de cinta

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• papel de rotafolio (1 hoja)

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

Divida una tabla en cinco columnas. Rotule las columnas Situación, Sumar, Restar, Multiplicar y Dividir.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Relaciones de valor posicional

La clase dice el valor de dos dígitos adyacentes idénticos en un número de cuatro o cinco dígitos y, luego, escribe una ecuación de multiplicación y de división para adquirir fluidez con las relaciones de valor posicional del tema A.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 2,388 con la posición de las unidades subrayada.

¿Cuál es el valor del dígito subrayado?

8

Muestre la respuesta y, luego, la posición de las decenas subrayada.

¿Cuál es el valor del dígito subrayado?

80

Muestre la respuesta.

8 × 10 = 80

80 ÷ 10 = 8

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Escriban una ecuación de multiplicación para mostrar la relación entre los valores de los dígitos subrayados.

Muestre la ecuación de multiplicación.

Escriban una ecuación de división para mostrar la relación que hay entre los valores de los dígitos subrayados.

Muestre la ecuación de división.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Contar salteado usando múltiplos de 6, de 60, de 7 y de 70

La clase dice los primeros diez múltiplos de 6 y de 60 y, luego, de 7 y de 70 para adquirir fluidez con la estimación de cocientes.

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 6. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 60.

¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600

Ahora, digamos los primeros diez múltiplos de 7.

¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

Nota para la enseñanza

Controle el ritmo del conteo mientras muestra los números. Recuerde prestar atención a las respuestas de la clase para detectar errores, dudas y falta de participación.

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 70. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan. 70

Intercambio con la pizarra blanca: Escribir y evaluar expresiones

La clase escribe y evalúa una expresión como preparación para resolver problemas del mundo real con expresiones numéricas.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el enunciado: La suma de 1 séptimo y 2 séptimos.

Escriban una expresión para representar el enunciado.

Muestre

Escriban

Muestre

Presentar

La clase usa paréntesis mientras escribe expresiones que coincidan con el contexto de un problema verbal.

Muestre la siguiente expresión a la clase: 5 + 2

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen una situación del mundo real que puedan aplicar a la expresión.

Dé a las parejas 1 minuto para comparar con otros grupos los contextos que construyen.

Invite a sus estudiantes a compartir sus ideas con la clase y a explicar la relación con la expresión.

En la pecera hay 5 peces dorados y 2 peces payaso. ¿Cuántos peces hay en la pecera?

En una parada de autobús hay 5 estudiantes. Llegan 2 estudiantes más. ¿Cuántas personas hay ahora en la parada de autobús?

Pida a sus estudiantes que ajusten las situaciones que crearon para que coincidan con esta expresión:

3 × (5 + 2)

En la pecera pequeña hay 5 peces dorados y 2 peces payaso. Hay 3 veces la cantidad de peces en la pecera grande. ¿Cuántos peces hay en la pecera grande?

En una parada de autobús hay 5 estudiantes. Llegan 2 estudiantes más. Hay 3 veces la cantidad de estudiantes en el autobús que quienes están esperando en la parada del autobús. ¿Cuántas personas hay en el autobús?

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, escribiremos y resolveremos problemas del mundo real que coincidan con expresiones.

Aprender

Desarrollar situaciones de problemas verbales de varias partes

Materiales: M) Papel de rotafolio

La clase desarrolla situaciones de problemas verbales que coincidan con cada operación.

Pida a sus estudiantes que nombren situaciones de la vida real en las que usan las matemáticas, como cuando hornean galletas. Registre sus ideas en una tabla.

De a una operación a la vez, invite a sus estudiantes a dar un ejemplo de cómo usan esa operación en cada situación. Repita el proceso con dos o tres situaciones.

Mientras responden, complete la tabla. El siguiente ejemplo ilustra los tipos de respuestas que puede escuchar.

DUA: Participación

Las situaciones que se presentan aquí son solo ejemplos. Invite a la clase a compartir ideas sobre situaciones del mundo real que sean relevantes para sus vidas. Si sus estudiantes plantean las situaciones que se comentan, hay una oportunidad para fijar las instrucciones en contextos que les resultan conocidos y significativos.

Situación Sumar Restar Multiplicar Dividir

Hornear galletas Hallar el número total de galletas.

Organizar lápices Hallar el número total de lápices.

¿Cuántas galletas quedan luego de comer algunas?

¿Cuántos lápices quedan luego de que otra clase pide algunos prestados?

Contar dinero ¿Cuánto dinero tienes en total? Si gastas parte del dinero, ¿cuánto dinero te queda?

La cantidad de galletas de chispas de chocolate es veces la cantidad de galletas de azúcar.

La cantidad de lápices morados es veces la cantidad de lápices azules.

Hallar la cantidad de dinero que cuesta comprar sándwiches.

¿Cuántas galletas puede comer cada persona?

¿Cuántos lápices pueden colocarse en cada contenedor?

Hallar la cantidad de dinero que obtiene cada persona si se divide el dinero en partes iguales.

Viajar en metro

Hallar el número total de personas que hay en el vagón del metro.

¿Cuántas personas quedan en el vagón luego de que bajan personas?

Si quedan personas en cada vagón del metro, ¿cuántas personas hay en vagones?

Si hay personas en total en vagones, y hay el mismo número de personas en cada vagón, ¿cuántas personas hay en cada vagón?

A veces, los problemas verbales tienen más de un paso, y cada paso puede involucrar una operación diferente. Observemos algunas expresiones que tienen más de una operación y escribamos problemas verbales relacionados. Pueden usar las situaciones que inventamos o inventar sus propias situaciones.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros.

1. 2 × (15 + 20)

Ejemplo:

Scott cocina 15 galletas de mantequilla de cacahuate y 20 galletas de chispas de chocolate. Sandra cocina el doble de galletas que Scott. ¿Cuántas galletas cocina Sandra?

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas creen un contexto que puedan aplicar a la expresión.

Dé a las parejas 2 minutos para comparar con otros grupos los contextos que construyen.

Invite a estudiantes a compartir con la clase sus ideas.

Scott cocina 15 galletas de mantequilla de cacahuate y 20 galletas de chispas de chocolate. Sandra cocina el doble de galletas que Scott. ¿Cuántas galletas cocina Sandra?

Lacy dedica 15 minutos a su tarea de matemáticas y 20 minutos a su tarea de ciencias. Ryan dedica el doble de tiempo que Lacy a su tarea. ¿Cuántos minutos dedica Ryan a su tarea?

El lunes, Jada camina 15 minutos. El martes, camina 20 minutos. El miércoles, camina 2 veces la cantidad de minutos que caminó el lunes y el martes. ¿Cuánto caminó Jada el miércoles?

Pida a sus estudiantes que intercambien los problemas verbales con su pareja de trabajo y los resuelvan.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para explicar por qué el problema verbal de su pareja coincide con la expresión.

Diferenciación: Apoyo

Invite a sus estudiantes a dibujar un diagrama de cinta para representar y entender la expresión antes de escribir un problema verbal. ?

15 + 20 15 + 20

Escribir problemas verbales para emparejar expresiones y diagramas de cinta

La clase analiza diagramas de cinta y expresiones para desarrollar situaciones de problemas verbales relacionadas.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 a 5. Considere las siguientes opciones para formar grupos de estudiantes, según sus necesidades:

• Sus estudiantes practican cómo escribir problemas verbales para todos los problemas de forma independiente, los resuelven y, luego, comparan sus problemas verbales en parejas.

• En parejas, practican cómo escribir problemas verbales para algunos o todos los problemas, y los resuelven.

• Grupos de tres estudiantes practican cómo escribir problemas verbales para uno o dos problemas y completan un paseo por la galería para estudiar los otros problemas.

Dé instrucciones y tiempo para que sus estudiantes trabajen. Anime a sus estudiantes a consultar la tabla de situaciones de problemas verbales según sea necesario.

2. 9

? 16 16 16 9 9

Ejemplo:

Una figura de acción cuesta $9 y un rompecabezas cuesta $16. Una familia compra 3 figuras de acción y 3 rompecabezas para sus hijos e hijas. ¿Cuánto dinero gasta?

3. 33

96 ?

Ejemplo:

Blake prepara 96 muffins para la jornada de venta de pasteles. Vende 33 muffins y pone los que sobran en 3 recipientes para llevarlos a su casa. Si pone el mismo número de muffins en cada recipiente, ¿cuántos pone en cada uno?

DUA: Participación

Considere ofrecer a sus estudiantes la posibilidad de completar los problemas 2 a 5. En lugar de formar grupos de estudiantes, anime a la clase a elegir la forma de agrupación que prefiera.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando escribe problemas verbales que coinciden con diagramas de cinta y expresiones numéricas.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué situaciones del mundo real representa el diagrama de cinta?

• ¿Qué les dicen los paréntesis en la expresión sobre su problema verbal?

4. (24 − 6) ÷ 3

Ejemplo:

Julie hornea galletas. Prepara 24 galletas, pero 6 de ellas se queman y debe tirarlas. Les da el resto de las galletas a 3 estudiantes. Si cada estudiante recibe el mismo número de galletas, ¿cuántas galletas recibe cada estudiante?

5. (9 + 4) × 3 − 6

Ejemplo:

El lunes, un maestro compró 3 cajas de marcadores para pizarra blanca. En cada caja había 9 marcadores negros y 4 marcadores azules. Para el viernes, 6 de los marcadores se habían secado. ¿Cuántos marcadores quedan?

Reúna a la clase.

Invite a sus estudiantes a que seleccionen un problema que hayan completado y a que se reúnan y conversen en parejas acerca de cómo su problema verbal se relaciona con la expresión o el diagrama de cinta correspondiente.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 5 y muestre el problema verbal incorrecto.

Pida a sus estudiantes que lean el problema verbal a coro.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejasCompartir para analizar si el problema verbal coincide con la expresión (9 + 4) × 3 − 6 y cómo lo saben. No, el problema verbal no coincide con la expresión porque muestra 3 veces $4, pero la expresión muestra 3 veces la suma de 9 y 4.

Noah gana $4 cada vez que saca la basura. Saca la basura 3  veces. Gana otros $9 por cortar el césped. Gasta $6 en una tarjeta de beisbol. ¿Cuánto dinero tiene Noah?

Debemos considerar los grupos así como también el orden cuando escribimos problemas verbales que coincidan con expresiones.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Diferenciación: Desafío

Invite a sus estudiantes a escribir una expresión y dibujar un diagrama de cinta para representar el problema verbal incorrecto y compararlo con su propia respuesta al problema 5.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para ayudar a sus estudiantes a explicar si el problema coincide con la expresión, pídales que vayan a la sección Compartir tu razonamiento de la Herramienta para la conversación.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Crear y resolver problemas del mundo real para expresiones numéricas determinadas

Guíe una conversación de toda la clase sobre expresiones numéricas usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Hoy, practicamos cómo escribir problemas verbales relacionados con expresiones o diagramas de cinta. ¿En qué pensaron como ayuda para desarrollar sus problemas verbales?

Pensé si había grupos entre paréntesis y qué situación podía relacionar con esos grupos.

Pensé acerca de cómo veo las matemáticas en mi vida fuera de la escuela y acerca de los problemas verbales que resolví en el pasado.

Pensé en qué operación era necesaria y me aseguré de que mi historia coincidiera con esa operación.

¿Los paréntesis de las expresiones les ayudaron a escribir problemas verbales? ¿Por qué?

Cuando había paréntesis, me ayudaron a pensar en una situación que representara esa agrupación. Me ayudaron a pensar en una parte de la expresión a la vez.

Muestre los siguientes diagramas de cinta:

Diferenciación: Desafío

Invite a sus estudiantes a escribir una expresión relacionada con el segundo diagrama de cinta y otra relacionada con el tercer diagrama de cinta.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar sus respuestas a las siguientes preguntas.

¿El problema verbal que crearon para cada diagrama de cinta es el mismo? ¿Por qué?

La situación del mundo real puede ser la misma, pero la pregunta no. Como el signo de interrogación representa un número desconocido diferente en cada diagrama de cinta, la pregunta que se hace al final de cada problema verbal no es la misma.

Recuerde a sus estudiantes que, aunque los números o los diagramas de cinta de los distintos problemas pueden ser los mismos o similares, el número desconocido marca la diferencia. Entonces, cuando crean o resuelven problemas verbales, deben prestar mucha atención a qué deben hallar.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

3. Considera la expresión. 4 × (15 + 8)

Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión dada.

1. Traza líneas para emparejar las expresiones con los problemas verbales.

a. (3 + 9 − 5) × 12

Yuna compra 3 bolsas de naranjas. Hay 9 naranjas en cada bolsa. Come 5 naranjas. Luego, les da 12 naranjas a sus amigas y amigos. ¿Cuántas naranjas tiene Yuna ahora?

b. 3 × 9 − 5 − 12

Tyler tiene 3 lápices. Encuentra 9 lápices más. Sasha tiene 5 veces la cantidad de lápices que tiene Tyler. Eddie tiene 12 lápices menos que Sasha. ¿Cuántos lápices tiene Eddie?

c. (3 + 9) × 5 − 12

Riley toma prestados 3 libros de la biblioteca el lunes y 9 libros más el martes. Lee 5 libros y los devuelve el miércoles. En su estantería, Riley tiene 12 veces la cantidad de libros que todavía tiene en préstamo de la biblioteca.

¿Cuántos libros hay en su estantería?

2. Escribe una expresión que represente el diagrama de cinta. Luego, escribe un problema verbal que pueda representarse con el diagrama de cinta y la expresión.

12

? 12 12 17

3 × 12 + 17

Ejemplo:

Hay 3 estantes con 12 latas de sopa en cada uno. Un cuarto estante tiene 17 latas de sopa. ¿Cuántas latas de sopa hay en total?

Ejemplo:

El lunes, Julie hace 15 saltos de tijera por la mañana y 8 saltos de tijera por la tarde. El martes, Julie hace 4 veces la cantidad de saltos de tijera que hizo el lunes. ¿Cuántos saltos de tijera hizo el martes?

4. Considera la expresión. (26 − 8) ÷ 2

a. Escribe un problema verbal que pueda representarse con la expresión dada.

Ejemplo:

En el parque hay 26 personas. 8 personas se van a su casa. El resto de las personas forman 2 grupos iguales para participar de un juego. ¿Cuántas personas hay en cada grupo?

b. Resuelve el problema. Hay 9 personas en cada grupo.

LECCIÓN 19

Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división

Vistazo a la lección

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Blake compra 6 cajas de agua para un pícnic. Cada caja tiene 32 botellas de agua. Blake piensa dar el mismo número de botellas de agua a cada persona. Si hay 48 personas en el pícnic, ¿cuántas botellas recibe cada una?

La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división. Las conversaciones centradas en cada estudiante ocurren a medida que la clase explora cómo representar con un diagrama de cinta le ayuda a entender problemas verbales de varios pasos. Además, sus estudiantes ven que, una vez que entienden el problema, pueden elegir el camino por el cual resolver el problema, como usar un diagrama de cinta o resolver numéricamente escribiendo y evaluando expresiones.

Preguntas clave

• ¿Representar les ayuda a resolver problemas? ¿Por qué?

• ¿De qué manera pensar en lo que conocen y en lo que desconocen les ayuda a resolver problemas verbales de multiplicación y división?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA2 Evalúan expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA3 Reescriben expresiones numéricas de números enteros como descripciones verbales matemáticas o contextuales. (5.OA.A.2)

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

Agenda

Fluidez 10 min

Presentar 5 min

Aprender 35 min

• Representar problemas verbales con modelos y expresiones

• Compartir, comparar y conectar

• Resolver problemas de varios pasos

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• tarjetas de Clasificación de tarjetas: Diagramas de cinta de multiplicación y división (en el libro para estudiantes)

• sobres (8)

Estudiantes

• sobre con tarjetas de Clasificación de tarjetas: Diagramas de cinta de multiplicación y división (1 por grupo de estudiantes)

Preparación de la lección

Retire y recorte las tarjetas de Clasificación de tarjetas: Diagramas de cinta de multiplicación y división de los libros para estudiantes. Organice cada juego en un sobre (1 por grupo de estudiantes). Considere si desea preparar estos materiales con antelación o si los preparará con la clase antes de la lección.

Fluidez

Intercambio con la pizarra blanca: Relaciones de valor posicional

La clase dice el valor de dos dígitos adyacentes idénticos en un número de seis o siete dígitos y, luego, escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para adquirir fluidez con las relaciones de valor posicional del tema A.

Cada vez que haga una pregunta, espere hasta que la mayor parte de la clase haya levantado la mano y, luego, dé la señal para que respondan.

Levanten la mano cuando sepan la respuesta a cada pregunta. Esperen mi señal para decir la respuesta.

Muestre 156,629 con la posición de las centenas subrayada.

¿Cuál es el valor del dígito subrayado?

600

Muestre la respuesta y, luego, muestre la posición de los millares subrayada.

¿Cuál es el valor del dígito subrayado?

6,000

Muestre la respuesta.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Escriban una ecuación de multiplicación para mostrar la relación que hay entre los valores de los dígitos subrayados.

Muestre la ecuación de multiplicación.

Escriban una ecuación de división para mostrar la relación que hay entre los valores de los dígitos subrayados.

Muestre la ecuación de división.

Repita el proceso con la siguiente secuencia:

Intercambio con la pizarra blanca: Interpretar diagramas de cinta

La clase escribe y completa una ecuación para representar un diagrama de cinta como preparación para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con las cuatro operaciones.

Cada vez que pida una respuesta escrita, dé tiempo para trabajar. Cuando la mayor parte de la clase haya terminado, dé la señal para que muestren sus pizarras blancas. Ofrezca una retroalimentación específica en el momento. Si hay estudiantes que necesitan corregir su trabajo, valide brevemente sus correcciones después.

Muestre el diagrama de cinta.

¿Qué se muestra en el diagrama de cinta? Díganselo a su pareja de trabajo.

Dé tiempo para que las parejas piensen y compartan sus ideas. El total es desconocido. Hay dos partes. Una parte tiene un valor de 300 y la otra parte tiene un valor de 180.

y

300 180

30 0 + 180 = y 480 = y

Escriban una ecuación para representar el diagrama de cinta. Usen la letra que se muestra en el diagrama para representar el número desconocido.

Muestre la ecuación de ejemplo.

Escriban el valor del número desconocido.

Nota para la enseñanza

Si fuera necesario, anime a sus estudiantes a usar el método escrito que prefieran para hallar el valor del número desconocido.

Muestre la respuesta.

Continúe el proceso con la siguiente secuencia:

Presentar

Materiales: E) Sobre con tarjetas de Clasificación de tarjetas: Diagramas de cinta de multiplicación y división

La clase clasifica los diagramas de cinta en tres grupos: multiplicación, división (número de grupos conocido) y división (tamaño de cada grupo conocido).

Forme grupos de tres estudiantes. Distribuya un sobre con tarjetas de Clasificación de tarjetas: Diagramas de cinta de multiplicación y división a cada grupo. Pida a sus estudiantes que saquen las tres tarjetas que muestran las categorías: Multiplicación, División (número de grupos conocido) y División (tamaño de cada grupo conocido). Invite a sus estudiantes a clasificar cada diagrama de cinta en la categoría a la que pertenece. Dé a sus estudiantes 2 minutos para clasificar.

En la actividad de clasificación de tarjetas, hay dos diagramas de cinta sin signos de interrogación que pueden pertenecer a cualquiera de las tres categorías. La conversación que sigue a la actividad explora el porqué. Permita que sus estudiantes realicen un esfuerzo productivo mientras lidian con las dudas sobre dónde deben ubicar estos diagramas de cinta.

Nota para la enseñanza

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes clasifican y evalúe informalmente su razonamiento de por qué un diagrama de cinta pertenece a una categoría particular.

¿Cómo supieron que un diagrama de cinta representaba la multiplicación?

Si pude ver el número de grupos y el tamaño de cada grupo, pero no el total, supe que el diagrama de cinta representaba la multiplicación.

¿Cómo supieron que el diagrama de cinta representaba la división con el número de grupos conocido? ¿Y con el tamaño de cada grupo conocido?

Si pude ver el total y el número de grupos de igual tamaño, pero no el tamaño de cada grupo, supe que el diagrama de cinta representaba la división con el número de grupos conocido.

Si pude ver el total y el tamaño de cada grupo o la unidad, pero no el número de grupos iguales, supe que el diagrama de cinta representaba la división con el tamaño de cada grupo conocido.

¿Hubo algunos diagramas de cinta que no supieron dónde colocar? ¿Por qué?

No pude colocar el diagrama que mostraba a como el total porque puede mostrar

5 × 3 = a, a ÷ 3 = 5 o a ÷ 5 = 3.

No pude colocar el diagrama que mostraba 20 como el total porque puede mostrar

4 × 5 = 20, 20 ÷ 5 = 4 o 20 ÷ 4 = 5.

¿Qué les hubiera sido de ayuda para decidir a qué categoría pertenecían esos diagramas de cinta?

Hubiera sido de ayuda un signo de interrogación en el diagrama de cinta que mostrara 20 como el total, para poder ver claramente qué se desconocía.

Si hubiera tenido un problema verbal para entender mejor qué representaban los números, podría haber decidido a qué categoría pertenecía el diagrama de cinta.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, usaremos un modelo para entender problemas verbales relacionados con la multiplicación y la división y, luego, elegiremos usar un modelo u otro método para resolver los problemas.

Aprender

Representar problemas verbales con modelos y expresiones

La clase analiza, representa y resuelve problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Pídales que usen el proceso Lee-DibujaEscribe para resolver el problema de forma independiente. Anímeles a seleccionar las herramientas y las estrategias de su preferencia. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes.

Mientras usted recorre el salón de clases, considere usar los siguientes planteamientos:

• Cuéntenme acerca de su método.

• Cuéntenme cómo su dibujo se relaciona con la historia.

• ¿Qué representa este número?

• ¿Revisaron su diagrama de cinta? ¿Por qué?

• ¿Por qué usaron esa operación?

• ¿Su respuesta parece razonable? ¿Por qué?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. Una florista usa 2,448 flores para hacer ramos. Pone 24 flores en cada ramo y los vende por $25 cada uno. Si la florista vende todos los ramos de flores, ¿cuánto dinero gana?

2,448 ÷ 24 = 102

102 × 25 = 2,550

La florista gana $2,550.

Nota para la enseñanza

Para ayudar a sus estudiantes con el proceso Lee-Dibuja-Escribe mientras trabajan, considere hacer las siguientes preguntas:

• ¿Qué información conocen?

• ¿Pueden dibujar algo?

• ¿Qué pueden dibujar?

• ¿Pueden rotular algo?

• ¿Deben modificar o agregar algo a sus dibujos?

• ¿Tienen toda la información que necesitan para resolver el problema?

• ¿A qué conclusiones pueden llegar a partir de sus dibujos?

Pida que uno o dos dibujos se compartan con el resto de la clase. Busque dos ejemplos de trabajo que representen la historia con dos diagramas de cinta: uno que represente la división y otro que represente la multiplicación.

Nota para la enseñanza

El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave.

Pida que uno o dos métodos de solución se compartan con el resto de la clase. Busque ejemplos de trabajo que muestren distintas maneras de multiplicar o dividir. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora acerca de por qué dibujar un modelo nos ayuda a razonar sobre un problema y a elegir las operaciones apropiadas para resolver el problema.

Los siguientes ejemplos de trabajo demuestran el uso de diferentes métodos para multiplicar y dividir.

Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para compartir y destaque la manera en que esos trabajos contribuyen a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando utiliza el proceso Lee-Dibuja-Escribe para crear modelos que representen problemas verbales y demuestra métodos de multiplicación y división para resolver los problemas verbales.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:

• ¿Qué ideas clave de este problema necesitan incluir en sus modelos?

• ¿Cómo representan las ideas clave de este problema en sus modelos?

• ¿Cómo pueden mejorar sus modelos para representar mejor el problema?

Compartir, comparar y conectar

La clase comparte las soluciones y razona acerca de sus conexiones.

Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones.

A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento. Haga preguntas a sus estudiantes que les sirvan como ayuda para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que se mostraron. Anime a la clase a que haga sus propias preguntas.

El siguiente ejemplo de conversación demuestra preguntas que invitan a razonar y a conectar.

Sasha, cuéntanos por qué construiste tus diagramas de cinta así.

Primero, dibujé un diagrama para mostrar 2,448 flores. Luego, dibujé una unidad para mostrar que 1 ramo tiene 24 flores. No sabía cuántos ramos había hecho la florista; entonces, me detuve a hallar esa respuesta.

Descubrí que la florista hizo 102 ramos; así que incluí esa información en mi diagrama de cinta. Según el problema, debo hallar cuánto dinero ganó la florista; entonces, dibujé otro diagrama para mostrar que 1 ramo significa que la florista gana $25. Como no sabía cuánto dinero era en total, rotulé el total con un signo de interrogación.

Sasha, ¿qué operación usaste para hallar el número de ramos?

La división

Al observar el primer diagrama de Sasha, ¿por qué creen que supo que tenía que dividir? Sabía el total y el tamaño de cada grupo, pero no sabía el número de grupos iguales. Entonces, se dio cuenta de que podía hallar el número de grupos usando la división.

Sasha, ¿qué operación usaste para hallar la cantidad de dinero que gana la florista? La multiplicación

Al observar el segundo diagrama de Sasha, ¿por qué creen que supo que tenía que multiplicar?

Sabía el número de grupos y el tamaño de cada grupo igual, pero no el total. Entonces, se dio cuenta de que podía hallar el total multiplicando.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar cómo escribir una expresión que coincida con los diagramas de cinta de Sasha.

(2,448 ÷ 24) × 25

¿De qué manera la expresión (2,448 ÷ 24) × 25 coincide con la historia?

Primero, debemos hallar cuántos ramos hace la florista determinando cuántos 24 hay en 2,448. Ese número, 102, representa el número total de ramos. Para hallar la cantidad de dinero que gana la florista, multiplicamos 102 por $25 porque la florista gana $25 por cada ramo que vende.

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar las respuestas a las siguientes preguntas.

¿Los diagramas de cinta les ayudan a escribir una expresión que coincida con la historia? ¿Por qué?

Los diagramas de cinta me ayudan a escribir una expresión porque puedo ver toda la información acerca de la historia en el diagrama de cinta. Entonces, sé qué debo escribir en la expresión.

Los diagramas de cinta me ayudan a ver qué operaciones puedo usar para resolver el problema. El diagrama también me ayuda a ver qué puede agruparse según los pasos que utilicé para resolver el problema; entonces, sé dónde poner los paréntesis.

Ahora, veamos cómo resolvieron el problema diferentes estudiantes.

Modelo de área de multiplicación y cocientes parciales con forma vertical (método de Noah)

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar sus observaciones acerca del trabajo de Noah.

Noah dividió usando cocientes parciales y mostró su razonamiento usando la forma vertical. Tiene tres cocientes parciales.

Noah multiplicó usando un modelo de área. Tiene cuatro productos parciales.

Noah, cuéntanos por qué elegiste dividir usando cocientes parciales en forma vertical y, luego, multiplicar usando el modelo de área.

Dividí usando cocientes parciales porque me ayudó a mostrar los grupos del divisor que estaba formando, uno a la vez. Comencé con el grupo más grande posible, que eran las centenas. Cuando me quedaban 48, coloqué dos 24 más, pero creé un grupo a la vez, lo que hizo que me resultara más fácil que intentar dividir todo de una vez.

Multipliqué usando el modelo de área porque me ayudó a asegurarme de que estaba usando la propiedad distributiva con precisión y multiplicando todas las partes de un factor por todas las partes del otro factor.

Conversemos sobre el diagrama de cinta de Sasha y la elección de Noah del modelo de área para la multiplicación. ¿En qué se diferencian estos dos modelos?

Los diagramas de cinta de Sasha la ayudaron a entender la historia. La ayudaron a saber qué operación utilizar y si tenía más pasos para hallar la respuesta. Los diagramas de cinta también la ayudaron a escribir una expresión. El modelo de área de Noah para la multiplicación fue su método para multiplicar.

Aunque solemos usar modelos para entender un problema, también podemos usarlos para multiplicar, dividir, sumar o restar. Pueden decidir si el modelo que usan para entender un problema es también el modelo que usan para resolver el problema.

Es posible que hayan usado los mismos métodos que Noah, o métodos diferentes, para dividir y multiplicar. Escuchamos el razonamiento de Noah para los métodos que eligió. Ahora, piensen por qué decidieron dividir y multiplicar como lo hicieron.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las razones de sus elecciones de métodos para la división y la multiplicación.

Recuerden que, una vez que entienden el problema, pueden elegir la estrategia, el método o el modelo que quieren usar para resolverlo.

Cuando sus estudiantes comparan su trabajo con el de sus pares y conversan sobre las razones por las que eligieron los métodos que usaron, controlan y evalúan su progreso con la división y la multiplicación. Anime a sus estudiantes a pensar sobre lo que hicieron bien y a probar un nuevo método la próxima vez.

DUA: Acción y expresión

Resolver problemas de varios pasos

La clase dibuja modelos para representar y resolver problemas verbales.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 2 y 3. Considere asignar a cada estudiante un solo problema, según sus necesidades. Quienes terminen antes pueden completar el problema restante.

Dé 5 minutos a la clase para resolver el problema asignado. Anime a sus estudiantes a usar el proceso Lee-Dibuja-Escribe y el diagrama de cinta para guiar su razonamiento acerca del problema, ayudarles a descubrir las operaciones que necesitan para resolverlo y a escribir y evaluar una expresión.

2. La maestra Song compra 15 cajas de refrigerios de frutas para la excursión de la escuela. Cada caja contiene 24 paquetes de refrigerios de frutas. Reparte tantos paquetes como sea posible a 22 salones de clases para que cada uno obtenga el mismo número. ¿Cuántos paquetes de refrigerios de frutas le sobran a la maestra Song?

Diferenciación: Apoyo

Considere quitar un nivel de complejidad proporcionando a sus estudiantes diagramas de cinta. Luego, pídales que rotulen, escriban expresiones y resuelvan el problema.

para la

A la maestra Song le sobran 8 paquetes de refrigerios de frutas.

3 × 12 × 12 = 432 Total de huevos en 1 caja 12 cartones

Diferenciación: Desafío

Pida a sus estudiantes que consideren cómo cambiaría la respuesta del problema 3 si cada cartón de huevos tuviera una docena larga, es decir, 13 huevos.

5

80 6

12 × 12 12 × 12 12 × 12 12 5 432 –400 32 –30 2

El máximo número de pasteles que el pastelero puede preparar es 86.

Dé 2 minutos a sus estudiantes para comparar sus representaciones, métodos y respuestas en parejas.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de por qué sus diagramas de cinta les ayudaron a decidir qué operación usar, a completar cada uno de los pasos necesarios y a escribir una ecuación.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la multiplicación y la división

Guíe una conversación de toda la clase sobre resolver problemas verbales usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

¿Representar les ayuda a resolver problemas? ¿Por qué?

Sí, representar nos ayuda a entender un problema porque podemos dibujar lo que entendemos de la historia mientras la leemos.

Una vez que dibujamos un modelo, podemos ver cuántos números desconocidos hay, y nos ayuda a determinar qué operación usar para resolver el problema.

También podemos usar un modelo para multiplicar o dividir. Por ejemplo, si nuestro diagrama de cinta nos muestra que podemos multiplicar, podemos multiplicar usando el modelo de área. O si el diagrama de cinta nos muestra que podemos dividir, podemos dividir usando el modelo de área.

¿De qué manera les ayuda pensar en lo que conocen y en lo que desconocen para resolver problemas verbales de multiplicación y división?

Si conozco el número de grupos iguales y el número en cada grupo, pero no conozco el total, puedo multiplicar para hallar el total.

Si conozco el total y el tamaño de cada grupo, pero no el número de grupos iguales, puedo dividir. Si conozco el total y el número de grupos iguales, pero no el tamaño de cada grupo, puedo dividir.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

3. En un concierto, hay 9,675 personas. Hay un número igual de personas sentadas en cada una de las 15 secciones. Un boleto para un asiento de la sección B cuesta $47. ¿Cuál es el costo total de los boletos de las personas sentadas en la sección B?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. La Sra. Baker ordena 13 cajas de sopa para su supermercado. Cada caja tiene 48 latas de sopa. La Sra. Baker pone todas las latas en los estantes de manera que cada estante tenga el mismo número. Si hay 16 estantes, ¿cuántas latas de sopa hay en cada estante?

13 × 48 = 624

624 ÷ 16 = 39

Hay 39 latas de sopa en cada estante.

9,675 ÷ 15 = 645

645 × 47 = 30,315

El costo total de los boletos de la sección B es $30,315

2. El Sr. Sharma hornea 732 pastelitos cada semana para su panadería. Pone 12 pastelitos en cada caja y gana $14 por cada caja que vende. Si vende todas las cajas de pastelitos, ¿cuánto dinero gana?

732 ÷ 12 = 61

61 × 14 = 854

El Sr. Sharma gana $854

4. Hay 24 estudiantes en cada salón de clases en la Escuela Oak Street. Hay 37 salones de clases. Cada fila del auditorio tiene 45 asientos. ¿Cuál es el número mínimo de filas que se necesitan para que cada estudiante tenga un asiento?

24 × 37 = 888

888 ÷ 45

C: 19

R: 33

El número mínimo de filas que se necesita es 20

5. Una caja contiene 18 etiquetas para nombres. Un paquete de etiquetas para nombres contiene 25 cajas. La directora Song compra 17 paquetes de etiquetas para nombres. Reparte un número igual de etiquetas para nombres a cada uno de los 42 salones de clases. Si entrega la mayor cantidad de etiquetas para nombres posible, ¿cuántas etiquetas le sobran?

25 × 18 = 450

17 × 450 = 7,650

7,650 ÷ 42

C: 182

R: 6

A la directora Song le sobran 6 etiquetas para nombres.

6. Las vacas de una granja producen 9,548 litros de leche en 31 días. Cada vaca produce 28 litros de leche por día. En la granja, alimentan a cada vaca con 17 kilogramos de heno por día. ¿Cuál es el número total de kilogramos de heno que comen las vacas por día?

9,548 ÷ 31 = 308

308 ÷ 28 = 11

11 × 17 = 187

Las vacas comen un total de 187 kilogramos de heno por día.

LECCIÓN 20

Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con las cuatro operaciones

Vistazo a la lección

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Sasha coloca una cerca alrededor de parte de su patio. Los tres lados donde se coloca la cerca miden 88 pies, 32 pies y 48 pies. La cerca viene en piezas que miden 8 pies de largo. Cada pieza cuesta $48 ¿Cuánto

La clase usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con la suma, la resta, la multiplicación y la división. Las conversaciones centradas en cada estudiante ocurren a medida que exploran cómo representar con un diagrama de cinta les ayuda a entender problemas verbales de varios pasos y a encontrar un camino hacia la solución.

Preguntas clave

• ¿El proceso Lee-Dibuja-Escribe les ayuda a resolver problemas verbales de varios pasos? ¿Por qué?

• ¿Cómo saben qué operación usar cuando resuelven un problema verbal?

Criterios de logro académico

5.Mód1.CLA2 Evalúan expresiones numéricas de números enteros con paréntesis. (5.OA.A.1)

5.Mód1.CLA3 Reescriben expresiones numéricas de números enteros como descripciones verbales matemáticas o contextuales. (5.OA.A.2)

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos. (5.NBT)

Agenda

Fluidez 5 min

Presentar 5 min

Aprender 40 min

• Resolver un problema verbal

• Compartir, comparar y conectar

• Grupo de problemas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

No se necesita.

Fluidez

Contar salteado usando múltiplos de 8, de 80, de 9 y de 90

La clase dice los primeros diez múltiplos de 8 y de 80 y, luego, de 9 y de 90 para adquirir fluidez con la estimación de cocientes.

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 8. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 80. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

80, 160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800

Ahora, digamos los primeros diez múltiplos de 9. ¿Comenzamos?

Muestre los múltiplos, uno a la vez, mientras sus estudiantes cuentan.

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

Cuando dé la señal, digan los primeros diez múltiplos de 90. ¿Comenzamos?

Muestre

Presentar

5

La clase empareja expresiones matemáticas con situaciones del mundo real.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1 de sus libros. Lea las instrucciones en voz alta. Pida a sus estudiantes que completen el problema en parejas.

1. Empareja cada expresión matemática con la situación del mundo real que representa.

Expresión matemática

A. (18 × 4) + 5

B. 18 ÷ (4 + 5)

C. (18 × 4) − 5

D. 18 + (4 × 5)

Situación del mundo real

Luis compra 4 bolígrafos. Blake compra 5 bolígrafos. El costo total de los bolígrafos es $18. Si todos los bolígrafos cuestan lo mismo, ¿cuál es el costo de 1 bolígrafo?

En un campamento, 1 grupo tiene 18 niños y niñas, y 4 grupos tienen 5 niños y niñas cada uno. ¿Cuántos niños y niñas hay en el campamento?

Sandra compra 4 cajas de agua. Cada caja tiene 18 botellas. Si Sandra tiene además 5 latas de jugo, ¿cuántas bebidas tiene en total?

Yuna corta el césped de 4 jardines y le pagan $18 por cada uno. Si Yuna gasta $5, ¿cuánto dinero le queda?

Reúna a la clase cuando hayan terminado. Comparta las respuestas correctas y haga las siguientes preguntas.

¿Cuál es la diferencia entre el significado de la expresión A y el significado de la expresión C?

La expresión A muestra 5 más que 18 grupos de 4, y la expresión C muestra 5 menos que 18 grupos de 4.

¿Cuál es la diferencia entre el significado de la expresión A y el significado de la expresión D?

La expresión A muestra 5 más que 18 grupos de 4, y la expresión D muestra 18 más que 4 grupos de 5.

Pida a sus estudiantes que vayan a la situación del mundo real relacionada con la expresión D.

Suele haber varias expresiones matemáticas que representan cualquier situación del mundo real. ¿Pueden pensar en otra expresión para representar el número total de niños y niñas que hay en el campamento?

4 × 5 + 1 × 18 4 × 5 + 18

5 + 5 + 5 + 5 + 18

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas para que elijan una de las otras tres situaciones y comenten otra expresión que represente la situación.

Presente el trabajo que van a hacer en el siguiente segmento para establecer una transición.

Hoy, resolveremos problemas verbales de varios pasos relacionados con las cuatro operaciones.

Aprender

Resolver un problema verbal

La clase resuelve problemas verbales de varios pasos con varias operaciones y compara sus métodos con los de sus pares.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Pida que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema de forma independiente. Anímeles a seleccionar las herramientas y las estrategias de su preferencia. Recorra el salón de clases y observe el trabajo de sus estudiantes.

Mientras recorre el salón de clases, considere usar los siguientes planteamientos:

• Cuéntenme acerca de su método.

• Cuéntenme cómo su dibujo se relaciona con la historia.

• ¿Qué representa este número?

• ¿Revisaron su diagrama de cinta? ¿Por qué?

• ¿Por qué usaron esa operación?

• ¿Su respuesta parece razonable? ¿Por qué?

• ¿Cómo pueden comprobar su respuesta?

Nota para la enseñanza

Use esta lección como evaluación formativa para analizar cómo aborda cada estudiante los problemas verbales de varios pasos. El propósito de esta lección no es presentar nuevas destrezas aritméticas. Destaque las semejanzas y diferencias en la elección de cada estudiante para hacer sus cálculos.

Nota para la enseñanza

Para ayudar a sus estudiantes con el proceso Lee-Dibuja-Escribe mientras trabajan, considere hacer las siguientes preguntas:

• ¿Qué información conocen?

• ¿Pueden dibujar algo?

• ¿Qué pueden dibujar?

• ¿Pueden rotular algo?

• ¿Deben modificar o agregar algo a sus dibujos?

• ¿Tienen toda la información que necesitan para resolver el problema?

• ¿A qué conclusiones pueden llegar a partir de sus dibujos?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el problema. Muestra tu razonamiento.

2. Jada está ahorrando dinero para comprar una computadora que cuesta $1,149. Eso es el triple del dinero que ya tiene ahorrado. Además, su familia le da $150 para la computadora. Jada gana $14 por hora en su trabajo. ¿Cuántas horas debe trabajar Jada para ganar el dinero que le falta ahorrar para comprar la computadora?

3 900 ÷ 3 = 300

Estimaciones: 240 ÷ 3 = 80

Diferenciación: Apoyo

Considere dividir el problema en tres partes diferenciadas. Invite a sus estudiantes a dibujar diagramas de cinta para representar cada parte del problema verbal.

• Parte (a): Hallen cuánto dinero tiene Jada.

• Parte (b): Hallen cuánto dinero necesita Jada.

• Parte (c): Hallen cuántas horas debe trabajar Jada.

Seleccione a dos o tres estudiantes para que compartan su trabajo. Elija trabajos que den lugar a una conversación enriquecedora sobre las diferentes maneras de llegar a la solución del problema. El

de sus

cómo varios diagramas de cinta pueden

Nota para la enseñanza

El ejemplo de trabajo muestra respuestas típicas. Busque trabajos similares entre sus estudiantes y promueva conversaciones auténticas sobre los conceptos clave. Si la clase no produjo ningún trabajo similar, seleccione uno o dos trabajos de la clase para

y destaque la manera en que esos

a avanzar hacia el objetivo de la lección. Luego, seleccione un ejemplo de trabajo de la lección que mejor sirva para incentivar el razonamiento matemático. Considere decir lo siguiente para presentar el trabajo: “Alguien resolvió el problema de esta otra manera. ¿Qué fue lo que hizo?”.

Diagrama de cinta comparativo

Compartir, comparar y conectar

La clase comparte y compara las soluciones y razona acerca de sus conexiones.

Reúna a la clase y pida a quienes seleccionó en el segmento anterior que se turnen para compartir sus soluciones.

A medida que cada estudiante comparte su trabajo, haga preguntas para que explique su razonamiento. Haga preguntas a sus estudiantes que les sirvan como ayuda para establecer conexiones entre sus trabajos y las soluciones que se mostraron. Anime a la clase a que haga sus propias preguntas.

El siguiente ejemplo de conversación demuestra preguntas que invitan a razonar y a conectar.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve problemas verbales de varios pasos mediante el proceso Lee-Dibuja-Escribe para desglosar el problema y hallar puntos de partida, controla su propio progreso y se cuestiona si los valores que calcula tienen sentido.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

• ¿Qué pasos pueden realizar para comenzar a resolver el problema?

• ¿Su respuesta tiene sentido? ¿Por qué?

Varios diagramas de cinta para mostrar cada paso (método de Ryan)

Diferenciación: Desafío

Pida a quienes terminen antes que usen el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver el siguiente problema:

La longitud de un parque rectangular mide 3 veces el ancho. Noah corre 5 vueltas a lo largo del perímetro del parque y recorre una distancia total de 8 kilómetros. ¿Cuáles son la longitud y el ancho del parque, en metros?

8 × 1,000 = 8,000

Noah corre 8,000 metros.

1 6 0 0

5 8 , 000 – 8 00 0 0

Cada vuelta alrededor del parque mide 1,600 metros. La mitad de una vuelta alrededor del parque mide 800 metros. Longitud Ancho

800 ÷ 4 = 200

El parque mide 200 metros de ancho y 600 metros de largo.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Invite a la clase a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para analizar sus observaciones acerca del trabajo de Ryan.

Ryan mostró tres diagramas de cinta. Mostró sus cálculos a la derecha de sus diagramas de cinta.

Ryan mostró cocientes parciales usando un modelo de área. Cuando restó, usó la forma vertical.

Considere pedir a las parejas que vayan a la sección Estar de acuerdo o en desacuerdo de la Herramienta para la conversación para ayudarles a comentar las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el de sus pares en este segmento.

Ryan, cuéntanos acerca de tu primer diagrama de cinta. ¿Por qué lo dibujaste de esa manera?

Dibujé un diagrama de cinta para representar el costo de la computadora. Luego, dividí la cinta en 3 partes iguales porque sabía que el costo de la computadora era 3 veces la cantidad de dinero que había ahorrado Jada.

Luego, dividí 1,149 entre 3 para determinar que Jada ya había ahorrado $383. Resté $383 de $1,149 para hallar que necesita $766.

Entonces, en tu primer diagrama, usaste tanto la división como la resta. ¿Por qué creen que Ryan supo, a partir del diagrama de cinta, que tenía que dividir y, luego, restar?

El total 1,149 se divide en 3 partes iguales y, como todos los grupos son del mismo tamaño, sabía que podía usar la división para hallar el valor de un grupo.

Una vez que halló el valor de un grupo, no sabía cuánto dinero le faltaba ganar a Jada; entonces, necesita hallar la diferencia entre 1,149 y 383.

Ryan, ¿por qué hiciste un segundo diagrama?

766 no es la respuesta a lo que pide la pregunta. 766 representa la cantidad de dinero que necesita Jada para comprar la computadora. La historia no había terminado; entonces, dibujé otro diagrama de cinta para representar cuánto dinero necesitaba Jada luego del regalo de sus padres. Resté $150 de $766 para determinar que necesita otros $616.

¿Por qué creen que Ryan hizo un tercer diagrama?

La historia todavía no había terminado. $616 representa la cantidad de dinero que necesita Jada luego del regalo de sus padres. La pregunta pide determinar cuántas horas debe trabajar Jada, y el segundo diagrama de cinta no muestra eso.

Ryan, ¿cómo supiste que podías dividir para hallar el número de horas?

Sabía que el total era $616 y que 1 hora significaba que Jada ganaría $14. A partir del diagrama de cinta, vi que debía determinar cuántos 14 hay en 616. Entonces, 14 era el tamaño de la unidad, y debía determinar cuántas de esas unidades de igual tamaño cabían en 616.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de las semejanzas y diferencias entre sus trabajos y el trabajo de Ryan.

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para compartir observaciones acerca del trabajo de Lacy y para compararlo con el de Ryan.

Lacy representó la historia con dos diagramas, y Ryan lo hizo con tres.

Lacy usó la forma vertical para mostrar los cocientes parciales, y Ryan usó un modelo de área.

Ambos usaron la división y la resta para hallar los números desconocidos.

Lacy, cuéntanos acerca de tu primer diagrama de cinta. ¿Por qué lo dibujaste de esa manera?

Dibujé un diagrama de cinta para representar el costo de la computadora. Luego, dividí el diagrama en 3 partes iguales porque sabía que el costo de la computadora era 3 veces la cantidad de dinero que Jada ya había ahorrado. Dividí 1,149 entre 3 para determinar que ya había ahorrado $383. Luego, mostré los $150 que Jada recibió de sus padres. Sumé $383 y $150 para hallar que tiene $533 de los $1,149 necesarios para comprar la computadora. Resté $533 de $1,149 para determinar que necesita otros $616.

Entonces, en tu primer diagrama, usaste la división, la suma y la resta. Díganme, ¿cómo creen que Lacy supo, a partir del diagrama de cinta, que tenía que dividir, luego sumar y, luego, restar?

Podía ver en el diagrama de cinta que la cantidad que ya había ahorrado Jada era una de las tres unidades de igual tamaño con un total de 1,149; entonces, Lacy podía dividir para hallar el valor de una de las unidades.

Sabía que podía sumar 383 y 150 porque eso le diría cuánto dinero tenía Jada luego de que sus padres le dieran $150, por lo que podíamos sumar esas dos partes del diagrama de cinta. Supo que podía restar porque 533 representa cuánto dinero tiene Jada, y la diferencia entre 533 y 1,149 representa cuánto dinero necesita.

En su primer diagrama, Ryan usó la división y la resta para hallar los números desconocidos. En su primer diagrama, Lacy usó la división, la suma y la resta para hallar los números desconocidos. Cuando dividieron, Ryan usó el modelo de área y Lacy usó la forma vertical. ¿Tenemos que hacer exactamente lo mismo para hallar los números desconocidos? ¿Por qué?

No, porque nuestros diagramas de cinta pueden verse un poco diferentes. Siempre que los diagramas de cinta muestren la historia con exactitud, podemos tomar decisiones acerca de cómo hallar los números desconocidos basándonos en lo que vemos en nuestros diagramas de cinta.

Lacy, ¿por qué hiciste un segundo diagrama?

Mi primer diagrama mostraba cuánto dinero tiene Jada y cuánto dinero necesita. No me decía cuántas horas debía trabajar; entonces, dibujé otro diagrama de cinta para representar los $616 que debe ahorrar.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de qué operaciones usaron para hallar los números desconocidos, y por qué.

Diagrama de cinta comparativo (método de Kelly)

Invite a sus estudiantes a usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para realizar observaciones acerca del trabajo de Kelly y para compararlo con el de Lacy y el de Ryan.

Kelly tiene tres diagramas de cinta como Ryan, pero son diferentes.

Kelly rotuló los diagramas de cinta y sus partes, pero Lacy y Ryan solo rotularon partes de sus diagramas de cinta.

Kelly usó la división, la resta y la suma, al igual que Lacy.

Kelly, cuéntanos sobre tu primer diagrama de cinta. ¿Por qué lo dibujaste de esa manera?

Primero, dibujé un diagrama largo para representar el costo de la computadora y lo rotulé $1,149. Luego, sabía que el costo es 3 veces la cantidad de dinero que ahorró Jada; entonces, dividí el diagrama en tres partes. Hice otro diagrama debajo de ese con el mismo tamaño que una unidad del diagrama anterior para representar el dinero que ahorró. Una vez que supe que recibió un regalo de $150, sumé una parte al segundo diagrama para mostrar cuánto dinero tenía. Luego, dibujé llaves para mostrar cuánto dinero más necesita para la computadora.

¿En qué se diferencia el primer modelo de diagrama de cinta de Kelly de los modelos de Ryan y de Lacy?

Kelly mostró la relación entre el costo de la computadora y el dinero que Jada ahorró de otra forma. En lugar de escribir la cantidad de dinero que ahorró Jada y el regalo que le dieron sus padres en el diagrama del costo de la computadora, hizo un diagrama de cinta separado para esa información.

Cuando en una historia se usan palabras como el triple de, podemos mostrar la relación que hay entre los números usando dos diagramas de cinta. Los llamamos diagramas de cinta comparativos.

¿Qué diagrama de cinta mostraron las y los tres estudiantes de la misma manera?

Mostraron de la misma manera el diagrama de cinta que representaba los $616 que necesita Jada. Cada uno de los tres diagramas mostraba que tenemos que calcular cuántos 14 hay en 616.

¿Qué observan acerca de la longitud del diagrama en comparación con los diagramas anteriores?

El diagrama que muestra que Jada necesita $616 es el más corto de todos los diagramas del trabajo de cada estudiante.

¿Cómo les ayuda la longitud de los diagramas a seguir la razonabilidad?

La cantidad de dinero que necesita Jada debe ser menor que $1,149 porque ya ahorró una parte. Si hubiera hallado que Jada necesitaba más de $1,149, eso no hubiera tenido sentido según el modelo.

El problema verbal que resolvimos es un problema de varios pasos, y tuvieron la oportunidad de practicar usando el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver problemas. Luego, hicimos observaciones y conexiones analizando el trabajo de Ryan, el de Lacy y el de Kelly.

Pida a la clase que use la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta.

¿El proceso Lee-Dibuja-Escribe les ayuda a resolver problemas verbales de varios pasos? ¿Por qué?

Sí. Leemos, dibujamos y escribimos en partes. Cuando escuchamos información nueva, nos detenemos a dibujar; luego, volvemos a leer y dibujar cuando aprendemos algo nuevo. Escribimos expresiones o ecuaciones mientras determinamos qué operación podemos usar para hallar información desconocida.

Sí. El modelo me ayuda a decidir qué operación puedo usar para hallar un número desconocido. Una vez que sé la operación, puedo elegir el método que quiera para calcular. Cada vez que calculamos para hallar información nueva, podemos compararla con nuestro modelo de diagrama de cinta y preguntarnos: “¿Esto tiene sentido basándome en lo que veo en el modelo?”.

Grupo de problemas

Diferencie el grupo de problemas seleccionando problemas que cada estudiante pueda terminar de forma independiente dentro del tiempo dado. Los problemas están organizados de simples a complejos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Resolver problemas verbales de varios pasos relacionados con las cuatro operaciones

Reúna a la clase y pídales que tengan a mano su Grupo de problemas. Guíe una conversación de toda la clase sobre cómo resolver problemas verbales de varios pasos usando las siguientes preguntas. Anime a la clase a replantear o complementar las respuestas de sus pares.

Invite a la clase a que se reúna y converse en parejas acerca de uno de los problemas del Grupo de problemas. Pida que conversen acerca de por qué dibujaron los diagramas de cinta como lo hicieron y cómo decidieron qué operación usar para resolver el problema.

DUA: Acción y expresión

Considere dar tiempo a sus estudiantes para que reflexionen antes de comenzar el Grupo de problemas. Pídales que observen su trabajo una vez más y, luego, que observen otra vez el de sus pares. Haga preguntas como las siguientes:

• ¿Qué les funcionó bien?

• ¿Qué podrían hacer de otra manera la próxima vez?

¿De qué manera dibujar un modelo les ayudó a entender uno de los problemas del Grupo de problemas?

En el problema 2, dibujé diagramas de cinta para la bicicleta, la motocicleta y el auto para ayudarme a llevar la cuenta de sus pesos.

En el problema 3, dibujé un diagrama para ayudarme a determinar el área de la biblioteca.

En el problema 4, el diagrama de cinta me ayudó a entender la relación entre el peso de las cargas de ladrillos y el de las cargas de madera.

¿Cómo saben qué operación usar cuando resuelven un problema verbal?

Sé qué operación debo usar cuando resuelvo un problema luego de rotular mi modelo. Por ejemplo, cuando muestro información conocida y desconocida en un modelo, me ayuda a determinar qué operación usar.

¿Cómo les ayudó su modelo a ver que este problema tiene varios pasos?

Dibujé un diagrama de cinta y, luego de completarlo con la información del problema, me di cuenta de que no veía lo que necesitaba para responder la pregunta. Entonces, hice otro diagrama de cinta con la información que conocía y la información que debía hallar a continuación.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

3. El bibliotecario de la escuela tiene $9,050 para gastar en alfombras y sillas nuevas para la biblioteca. La biblioteca mide 42 pies de largo y 37 pies de ancho. El bibliotecario compra una alfombra que cuesta $4 por pie cuadrado. ¿Cuánto dinero tiene el bibliotecario para gastar en sillas?

Usa el proceso Lee-Dibuja-Escribe para resolver cada problema.

1. Noah entrega paquetes 4 días por semana. Se espera que entregue 115 paquetes cada día que trabaja. Esta semana, entrega 48 paquetes adicionales. ¿Cuántos paquetes entrega Noah esta semana?

115 × 4 = 460

460 + 48 = 508

Noah entrega 508 paquetes.

42 × 37 = 1,554

1,554 × 4 = 6,216

9,050 − 6,216 = 2,834

El bibliotecario tiene $2,834 para gastar en sillas.

2. Una motocicleta es 24 veces tan pesada como una bicicleta. La motocicleta pesa 1,329 kilogramos menos que un auto. El auto pesa 1,521 kilogramos. ¿Cuántos kilogramos pesa la bicicleta?

1,521 − 1,329 = 192

192 ÷ 24 = 8

La bicicleta pesa 8 kilogramos.

4. Una carga de ladrillos es dos veces tan pesada como una carga de madera. El peso total de 4 cargas de ladrillos y 4 cargas de madera es 768 kilogramos. ¿Cuál es el peso total de 17 cargas de madera?

768 ÷ 12 = 64

17 × 64 = 1,088

El peso total de 17 cargas de madera es 1,088 kilogramos.

5. Una conductora gana $17 por hora. Gana un total de $1,224 en 4 semanas. Un jardinero trabaja el doble de horas que la conductora y gana $21 por hora. ¿Cuánto dinero más que la conductora gana el jardinero en 4 semanas?

1,224 ÷ 17 = 72

72 × 2 = 144

144 × 21 = 3,024

3,024 − 1,224 = 1,800

El jardinero gana $1,800 más que la conductora.

6. Cada pecera de la tienda de mascotas contiene 662 litros de agua. Hay 9 peceras de peces dorados y 4 peceras de peces ángel. El acuario del zoológico contiene 78 veces la cantidad de litros de agua que contienen todas las peceras de la tienda de mascotas. ¿Cuántos litros más de agua contiene el acuario que las peceras?

9 + 4 = 13

662 × 13 = 8,606

8,606 × 78 = 671,268

671,268 − 8,606 = 662,662

El acuario contiene 662,662 más litros de agua que las peceras.

Estándares

Estándares de contenido del módulo

Convierten unidades de medida equivalentes dentro de un mismo sistema de medición.

5.MD.A.1 Convierten unidades de medición estándar de diferentes tamaños dentro de un sistema de medición dado (por ejemplo, convierten 5 cm en 0.05 m), y utilizan estas conversiones en la solución de problemas de varios pasos y del mundo real.

Comprenden el sistema de valor posicional.

5.NBT.A.1 Reconocen que en un número de varios dígitos, cualquier dígito en determinado lugar representa 10 veces lo que representa el mismo dígito en el lugar a su derecha y 1 10 de lo que representa en el lugar a su izquierda.

5.NBT.A.2 Explican los patrones en la cantidad de ceros que tiene un producto cuando se multiplica un número por una potencia de 10, y explican los patrones en la posición del punto decimal cuando hay que multiplicar o dividir un decimal por una potencia de 10. Utilizan números enteros como exponentes para denotar la potencia de 10.

Efectúan cálculos con números enteros de múltiples dígitos y con decimales hasta las centésimas.

5.NBT.B.5 Multiplican números enteros de varios dígitos con fluidez, utilizando el algoritmo convencional.

5.NBT.B.6 Hallan números enteros como cocientes de números enteros con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones, y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares y modelos de área.

Escriben e interpretan expresiones numéricas.

5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.

5.OA.A.2 Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado .

Estándares para la práctica de las matemáticas

MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.

MP4 Representan a través de las matemáticas.

MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

MP6 Ponen atención a la precisión.

MP7 Reconocen y utilizan estructuras.

MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias

5.Mód1.CLA1 Escriben expresiones numéricas de números enteros con paréntesis.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.

Parcialmente competente Competente

Identifican el efecto que tienen los paréntesis en expresiones numéricas de números enteros.

¿Qué expresión es igual a 10 × 10 + 2 + 5 + 4?

A. (10 × 10) + 2 + 5 + 4

B. 10 × (10 + 2) + 5 + 4

C. 10 × (10 + 2 + 5) + 4

D. 10 × (10 + 2 + 5 + 4)

Crean expresiones numéricas de números enteros para igualar un valor determinado.

Kayla olvidó escribir paréntesis en su oración numérica. Inserta paréntesis para hacer que la oración numérica de Kayla sea verdadera.

10 × 10 + 2 + 5 + 4 = 129

5.Mód1.CLA2 Evalúan expresiones numéricas de números enteros con paréntesis.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.OA.A.1 Utilizan paréntesis, corchetes o llaves en expresiones numéricas, y evalúan expresiones con estos símbolos.

Parcialmente competente Competente

Evalúan expresiones numéricas de números enteros con un único grupo de paréntesis.

Evalúa. 17 × (18 + 2)

Evalúan expresiones numéricas de números enteros con dos grupos de paréntesis no anidados.

Evalúa.

(8 − 1) × (16 + 7)

Altamente competente

Altamente competente

5.Mód1.CLA3 Reescriben expresiones numéricas de números enteros como descripciones verbales matemáticas o contextuales.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.OA.A.2 Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Reescriben expresiones numéricas de números enteros como descripciones verbales.

Escribe la frase como una expresión numérica.

Tres veces la diferencia entre diecinueve y dos.

Escriben expresiones numéricas de números enteros para representar descripciones verbales basadas en el contexto.

Escribe una expresión numérica que pueda usarse para resolver el problema.

Kelly compra 28 cajas de agua y 40 cajas de jugo. Cada caja de agua tiene 42 botellas y cada caja de jugo tiene 24 botellas.

¿Cuántas botellas compró Kelly en total?

Crean y explican contextos que pueden representarse con expresiones numéricas de números enteros que les son dadas.

Escribe un problema verbal que pueda resolverse evaluando la expresión que se muestra.

28 × 42 + 40 × 24

5.Mód1.CLA4 Comparan el efecto de cada número y operación sobre el valor de una expresión numérica de números enteros.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.OA.A.2 Escriben expresiones simples que contengan cálculos numéricos, e interpretan expresiones numéricas sin evaluarlas. Por ejemplo, expresan el cálculo “suma 8 más 7, luego multiplica por 2” como 2 × (8 + 7). Reconocen que 3 × (18,932 + 921) es tres veces mayor que 18,932 + 921, sin tener que calcular la suma o producto indicado.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Comparan los valores de dos expresiones que tienen, como máximo, dos operaciones con números enteros y, como máximo, un grupo de paréntesis sin evaluar.

Compara las expresiones usando >, = o <.

65 × (63 + 39) 37 × (63 + 39)

Comparan los valores de dos expresiones que tienen, como mínimo, dos operaciones con números enteros o varios grupos de paréntesis sin evaluar.

Compara las expresiones usando >, = o <.

(2 + 6) × (63 + 39) (1 + 3) × (63 + 39)

Justifican las comparaciones de dos expresiones diferentes sin evaluar.

Explica cómo puedes determinar cuál de las expresiones es mayor sin evaluar.

( 2 + 6 ) × ( 63 + 39 ) ( 1 + 3 ) × ( 63 + 39 )

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT Números y operaciones basados en diez

Parcialmente competente Competente

Identifican la operación relevante en un contexto.

El Sr. Evans tiene 4,724 revistas de historietas. Compra cajas para guardarlas. En cada caja caben 75 revistas. ¿Cuál es el menor número de cajas que necesita el Sr. Evans para guardar todas sus revistas?

¿Qué expresión representa el problema?

A. 4,724 + 75

B. 4,724 − 75

C. 4,724 × 75

D. 4,724 ÷ 75

Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran hasta dos operaciones con números enteros de varios dígitos.

Eddie mezcla 14 latas de pintura. Cada lata contiene 128 onzas de pintura blanca y 32 onzas de pintura verde. ¿Cuántas onzas de pintura mezcla

Eddie en total?

Altamente competente

Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran tres o más operaciones con números enteros de varios dígitos.

Riley tiene 1,361 gramos de chispas de chocolate, el doble de gramos de pasas que de chispas de chocolate y 4,536 gramos de nueces para mezclar y preparar bolsas para 82 personas. ¿Aproximadamente cuántos gramos recibirá cada persona?

5.Mód1.CLA5 Resuelven problemas matemáticos y del mundo real que involucran suma, resta, multiplicación y división de números enteros de varios dígitos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.1 Reconocen que en un número de varios dígitos, cualquier dígito en determinado lugar representa 10 veces lo que representa el mismo dígito en el lugar a su derecha y 1 10 de lo que representa en el lugar a su izquierda.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Identifican números enteros en los que el valor de un determinado dígito es igual al valor del mismo dígito en otro número entero multiplicado por 10 o dividido entre 10.

Cuando divides 26,540 entre 10, ¿el dígito 5 del cociente tiene el mismo valor que el dígito 5 de cuál de los números que se muestran?

A. 145

B. 1,450

C. 4,510

D. 5,410

Explican la relación entre un dígito en una posición y el mismo dígito en una posición adyacente, ya sea en el mismo número o en números diferentes.

Usa el número que se muestra para responder la parte A y la parte B.

7,6 6 4, 948

Parte A

Escribe un número en cada espacio en blanco para completar correctamente cada enunciado.

El valor del 6 subrayado es El valor del 6 encerrado en un recuadro es .

Parte B

Encierra en un círculo una palabra de A y una palabra de B para hacer que el enunciado sea verdadero.

Explican la relación entre un dígito en una posición determinada y el mismo dígito en cualquier otra posición, ya sea en el mismo número o en números diferentes.

Usa el número que se muestra para responder la parte A y la parte B.

724,766

Parte A

Describe el valor de cada 7.

Parte B

Describe la relación entre los valores de cada 7

El 6 (A) representa 10 veces el 6 (B) A B encerrado en un recuadro subrayado

encerrado en un recuadro subrayado

5.Mód1.CLA6 Explican la relación entre los dígitos en los números enteros de varios dígitos.

5.Mód1.CLA7 Explican el efecto de multiplicar números enteros por y dividir números enteros entre potencias de 10.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.2 Explican los patrones en la cantidad de ceros que tiene un producto cuando se multiplica un número por una potencia de 10, y explican los patrones en la posición del punto decimal cuando hay que multiplicar o dividir un decimal por una potencia de 10. Utilizan números enteros como exponentes para denotar la potencia de 10.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Multiplican números enteros por y dividen números enteros entre potencias de 10.

Evalúa.

54,000 ÷ 102

Explican el efecto de multiplicar números enteros por y dividir números enteros entre potencias de 10.

¿Cuántos ceros hay en el producto que se muestra? Explica cómo lo sabes.

54 × 102

5.Mód1.CLA8 Expresan potencias de 10 de números enteros en forma exponencial,

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.A.2 Explican los patrones en la cantidad de ceros que tiene un producto cuando se multiplica un número por una potencia de 10, y explican los patrones en la posición del punto decimal cuando hay que multiplicar o dividir un decimal por una potencia de 10. Utilizan números enteros como exponentes para denotar la potencia de 10.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Expresan potencias de 10 de números enteros en forma exponencial, forma estándar y como multiplicación repetida.

Escribe cada número en forma exponencial.

10 × 10 × 10 = 10,000 =

forma estándar y como multiplicación repetida.

5.Mód1.CLA9 Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.B.5 Multiplican números enteros de varios dígitos con fluidez, utilizando el algoritmo convencional.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando estrategias conocidas. Completa las expresiones para determinar el producto.

669

Multiplican dos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo convencional.

Multiplica.

106 × 973

Analizan representaciones del algoritmo convencional para la multiplicación de dos números enteros de varios dígitos.

Explica por qué el trabajo que se muestra es incorrecto.

5.Mód1.CLA10 Resuelven problemas que involucran la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.B.6 Hallan números enteros como cocientes de números enteros con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones, y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares y modelos de área.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Dividen múltiplos de 100 de hasta cuatro dígitos entre múltiplos de 10 de dos dígitos.

Divide.

2,400 ÷ 20

Dividen dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos entre divisores de números enteros de hasta dos dígitos.

Divide.

2,415 ÷ 21

Analizan y comparan representaciones de división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos.

La maestra Baker le da a la clase el problema que se muestra.

372 ÷ 12

Sasha y Yuna hallan el cociente de diferentes maneras. ¿Quién está en lo correcto? Explica el error que cometió la otra persona.

Trabajo de Sasha:

12 x 10 = 120

372 – 120 = 252

252 – 120 = 132

132 – 120 = 12

12 ÷ 12 = 1

372 ÷ 12 = 31

Trabajo de Yuna:

12 x 30 = 360

37 2 – 360 = 12

12 x 1 = 12

37 2 ÷ 12 = 301

5.Mód1.CLA11 Representan la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando modelos.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.NBT.B.6 Hallan números enteros como cocientes de números enteros con dividendos de hasta cuatro dígitos y divisores de dos dígitos, utilizando estrategias basadas en el valor de posición, las propiedades de las operaciones, y/o la relación entre la multiplicación y la división. Ilustran y explican el cálculo utilizando ecuaciones, matrices rectangulares y modelos de área.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Determinan el cociente para la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos utilizando un modelo proporcionado.

Usa el modelo que se muestra como ayuda para dividir.

1,540 ÷ 14

14 1,400 140

El cociente es .

Crean modelos para la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos.

Usa la expresión para responder la parte A y la parte B.

4,102 ÷ 14

Parte A

Dibuja un modelo para la expresión.

Parte B

Usa tu modelo para determinar el cociente y el residuo.

Interpretan modelos para la división de dividendos de números enteros de hasta cuatro dígitos y divisores de números enteros de hasta dos dígitos.

¿Qué valores pueden representar las letras del modelo? Explica tu razonamiento.

14 588 BD

5.Mód1.CLA12 Convierten entre cantidades de números enteros dentro del sistema métrico de medidas para resolver problemas.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

5.MD.A.1 Convierten unidades de medición estándar de diferentes tamaños dentro de un sistema de medición dado (por ejemplo, convierten 5 cm en 0.05 m), y utilizan estas conversiones en la solución de problemas de varios pasos y del mundo real.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Convierten entre cantidades de números enteros dentro del sistema métrico de medidas.

Expresa cada medida con otro nombre.

34 m = cm

79 km = m

Convierten entre cantidades de números enteros dentro del sistema métrico de medidas para resolver problemas matemáticos y del mundo real.

Sasha tiene 3 kilogramos y 14 gramos de nueces y 1 kilogramo y 53 gramos de nueces de macadamia. ¿Cuántos gramos de nueces y de nueces de macadamia tiene Sasha en total?

Vocabulario

Los siguientes términos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 1 de 5.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.

Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.

Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.

Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.

Nuevo

centigramo

Un centigramo es una unidad métrica para medir el peso. Un gramo es igual a 100 centigramos. Una hormiga grande pesa aproximadamente

1 cg. (Lección 5)

centilitro

Un centilitro es una unidad métrica para medir la capacidad o el volumen líquido. Un litro es igual a 100 centilitros. (Lección 5)

dividendo

En una expresión de división, el número que se divide entre otro número es el dividendo. Por ejemplo, en la expresión 18 ÷ 3, el dividendo es 18. (Lección 12)

exponente

Un exponente representa cuántas veces se usa el mismo número como factor. (Lección 3)

forma exponencial

Un número que tiene un exponente está en forma exponencial. (Lección 3)

kilolitro

Un kilolitro es una unidad métrica para medir la capacidad o el volumen líquido. Un kilolitro es igual a 1,000 litros. (Lección 5)

miligramo

Un miligramo es una unidad métrica para medir el peso. Un gramo es igual a 1,000 miligramos. Una pluma pequeña pesa aproximadamente 1 mg. (Lección 5)

milímetro

Un milímetro es una unidad métrica para medir la longitud. Un metro es igual a 1,000 milímetros. (Lección 5)

potencia de 10

Cuando un número se puede escribir como el producto de multiplicar números 10 entre sí, o como el 10 con un exponente, ese número es una potencia de 10. 100 es una potencia de 10. (Lección 3)

Conocido

Las matemáticas en el pasado

Piedritas en la arena

¿Qué es el método etíope de multiplicación?

¿Por qué funciona? ¿Este método es exclusivo de Etiopía?

En el siglo XX, un coronel austriaco que visitaba una región remota de Etiopía quiso comprar siete toros. El costo de un toro era 22 táleros de María Teresa (monedas de plata), pero nadie en el pueblo sabía calcular el costo total de los siete toros. Según cuenta la historia en Excursions in Number Theory, de C.S. Ogilvy y J. T. Anderson, la transacción involucraba piedritas, un sacerdote y muchos agujeros en la arena. Pida a sus estudiantes que calculen el costo total de los toros usando un método que conozcan. Luego, pídales que reserven sus respuestas para más adelante.

Para calcular el costo total de los siete toros, llamaron a un sacerdote local y a su ayudante. Cavaron varios agujeros en el suelo, organizados en dos columnas.

Llamaron a los agujeros casas. En la primera casa de la primera columna, colocaron 22 piedritas: el precio de un toro. En la primera casa de la segunda columna, colocaron 7 piedritas: una por cada toro.

La primera columna dividía las piedritas a la mitad; entonces, 22 piedritas en la primera casa llevaban a 11 piedritas en la casa debajo de ella y, de ese modo, podríamos pensar que eso llevaría a colocar 5 1 2 piedritas en la casa debajo de esa. Sin embargo, los números impares como el 11 no podían dividirse en partes iguales en dos grupos ¡porque no podía

haber media piedrita! Cuando aparecía una fracción, el ayudante ignoraba la cantidad fraccionaria y mantenía el número entero. Entonces, se colocaron 5 piedritas en la siguiente casa, 2 piedritas en la casa debajo de esta (una vez más, se ignoraba la parte fraccionaria) y, luego, 1 piedrita en la casa debajo de aquella. El ayudante dejó de dividir a la mitad cuando quedó solo 1 piedrita en la última casa.

Para completar la columna de casas de la derecha, que se utilizaba para duplicar, el ayudante colocó 14 piedritas en la segunda casa, 28 piedritas en la tercera y, luego, 56 piedritas, y así sucesivamente, siempre duplicando la cantidad de piedritas colocadas en la casa anterior. El ayudante dejó de duplicar cuando el número de casas coincidió con el número de casas que había en la columna de división a la mitad.

En este punto, el sacerdote revisó la columna de división a la mitad para ver qué casas tenían un número par de piedritas y qué casas tenían

7 × 22

un número impar; un número par se consideraba malo, y un número impar se consideraba bueno. Si se descubrían casas malas en la columna de división a la mitad, las piedritas se descartaban y no se contaban. Las piedritas de la columna de duplicación correspondiente también se descartaban. Se contaban todas las piedritas restantes de la columna de duplicación, lo que resultaba en la respuesta final. En este caso, el 22 y el 2 de la columna de división a la mitad se descartaron (por ser pares), junto con el 7 y el 56 correspondientes de la columna de duplicación. El sacerdote sumó los números restantes de la columna de duplicación y halló que el costo total de los siete toros era 154 táleros de María Teresa. ¿La clase halló el mismo total con sus propios métodos de cálculo?

Tal vez, designar a los números pares como malos tenía relación con la naturaleza espiritual del sacerdote que realizó los cálculos. Lo que resulta interesente es que el algoritmo no funciona si se descartan las casas impares de la columna de división a la mitad en lugar de las casas pares. El método etíope de multiplicación utiliza tres operaciones: el emparejamiento (organizar los números correspondientes en una tabla), la división a la mitad y la duplicación. Pida a sus estudiantes que calculen los siguientes productos usando este método de multiplicación. Anímeles a usar la historia para guiar sus pasos.

1. 4 × 8    2. 13 × 5 3. 35 × 20

• Ubiquen un factor en cada columna. (Gracias a la propiedad conmutativa de la multiplicación, no importa qué factor se divide a la mitad y qué factor se duplica).

• En la columna de división a la mitad, dividan repetidamente entre 2 (ignoren los residuos) hasta que solo quede el número 1.

• En la columna de duplicación, multipliquen repetidamente por 2 hasta que ambas columnas tengan el mismo número de filas completas.

• Tachen las filas que tengan un número par en la columna de división a la mitad.

• Sumen los números que quedaron en la columna de duplicación.

Pida a sus estudiantes que elijan uno de los tres problemas de práctica y vuelvan a multiplicar, pero que esta vez inviertan el orden de los

factores. La respuesta seguirá siendo la misma, aunque a veces tomará más tiempo resolver el problema cuando se inviertan los factores.

Pero ¿por qué funciona tan bien el método etíope de multiplicación?

En pocas palabras, dividir a la mitad repetidamente el multiplicador (el número que nos dice cuántas veces multiplicar) y, luego, tachar las casas pares de la columna de división a la mitad nos brinda una buena forma de descomponer el multiplicador. Por ejemplo, nos indica descomponer 22 en 2 + 4 + 16.

Como ayuda para ver cómo se descompone el 22, añadan una tercera columna a la tabla utilizada para calcular el costo de los toros. Comiencen con el 1 y duplíquenlo. Continúen duplicando hasta que la tercera columna tenga el mismo número de filas que la columna de división a la mitad. Tachen todos los números que estén alineados con los números tachados de la columna de división a la mitad.

Después de tachar todas las filas, quedan los números 2, 4 y 16. No por casualidad, la suma de estos números es el multiplicador original: 22.

El proceso puede representarse con la siguiente ecuación:

(7 × 16). La cuarta línea suma todo y contiene los números de la columna de duplicación.

A pesar de que la historia sobre el uso de este método para hallar el costo de los toros ocurrió en el siglo XX, versiones anteriores de esta técnica de multiplicación aparecen también en un texto antiguo de Egipto llamado papiro de Rhind (también conocido como papiro de Ahmes), que data de 1650 a. e. c. Este método también fue particularmente popular en Rusia. De hecho, esta técnica también se conoce como el método ruso de multiplicación. Sin importar cómo lo llames, el método es una manera útil de multiplicar números enteros. Pero ¡no insistas en calcular tu próxima compra grande con una bolsa llena de piedritas!

La segunda línea de la ecuación es verdadera gracias a la propiedad distributiva. La siguiente línea muestra que 2, 4 y 16 pueden reescribirse como una duplicación (es decir, la multiplicación repetida por 2). El 7 se duplica (7 × 2), se duplica dos veces (7 × 4) y, luego, cuatro veces

Materiales

Se necesitan los siguientes materiales para implementar este módulo. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.

25 borradores para las pizarras blancas individuales

1 computadora o dispositivo para la enseñanza

5 hojas de rotafolio

3 hojas en blanco

25 lápices

1 libro Enseñar

Visite http://eurmath.link/materials para saber más.

24 libros Aprender

25 marcadores de borrado en seco

25 pizarras blancas individuales

1 proyector

9 reglas de un metro de madera

8 sobres

Por favor, consulte la lección 1 para obtener una lista de herramientas de organización (tazas, bandas elásticas, papel cuadriculado, etc.) sugerida para la colección de conteo.

Obras citadas

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Créditos

Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module.

Common Core State Standards Spanish Language Version © Copyright 2013. San Diego County Office of Education, San Diego, California. All rights reserved.

All United States currency images Courtesy the United States Mint and the National Numismatic Collection, National Museum of American History. For a complete list of credits, visit http://eurmath.link/media-credits.

Cover, Wassily Kandinsky (1866–1944), Thirteen Rectangles, 1930. Oil on cardboard, 70 x 60 cm. Musee des Beaux-Arts, Nantes, France. © 2020 Artists Rights Society (ARS), New York. Image credit: © RMN-Grand Palais/ Art Resource, NY.; pages 25, 39, 45, 50, 56, 57, GAlexS/Shutterstock. com; page 132, Brovko Serhii/Shutterstock.com; page 434, Shane Dial/ Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.

Agradecimientos

Kelly Alsup, Adam Baker, Agnes P. Bannigan, Reshma P Bell, Joseph T. Brennan, Dawn Burns, Amanda H. Carter, David Choukalas, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Lauren DelFavero, Jill Diniz, Mary Drayer, Karen Eckberg, Melissa Elias, Danielle A Esposito, Janice Fan, Scott Farrar, Krysta Gibbs, January Gordon, Torrie K. Guzzetta, Kimberly Hager, Karen Hall, Eddie Hampton, Andrea Hart, Stefanie Hassan, Tiffany Hill, Christine Hopkinson, Rachel Hylton, Travis Jones, Laura Khalil, Raena King, Jennifer Koepp Neeley, Emily Koesters, Liz Krisher, Leticia Lemus, Marie Libassi-Behr, Courtney Lowe, Sonia Mabry, Bobbe Maier, Ben McCarty, Maureen McNamara Jones, Pat Mohr, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Darion Pack, Geoff Patterson, Victoria Peacock, Maximilian Peiler-Burrows, Brian Petras, April Picard, Marlene Pineda, DesLey V. Plaisance, Lora Podgorny, Janae Pritchett, Elizabeth Re, Meri Robie-Craven, Deborah Schluben, Michael Short, Erika Silva, Jessica Sims, Heidi Strate, Theresa Streeter, James Tanton, Cathy Terwilliger, Rafael Vélez, Jessica Vialva, Allison Witcraft, Jackie Wolford, Caroline Yang, Jill Zintsmaster

Ana Álvarez, Lynne Askin-Roush, Trevor Barnes, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Jessica Dahl, Brandon Dawley, Julie Dent, Delsena Draper, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Jen Forbus, Reba Frederics, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Dennis Hamel, Cassie Hart, Sagal Hasan, Kristen Hayes, Abbi Hoerst, Libby Howard, Elizabeth Jacobsen, Amy Kanjuka, Ashley Kelley, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Stephanie Maldonado, Siena Mazero, Alisha McCarthy, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Patricia Mickelberry, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Max Oosterbaan, Tara O’Hare, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Jeff Robinson, Gilbert Rodríguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Amy Schoon, Aaron Shields, Leigh Sterten, Rhea Stewart, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Karrin Thompson, Cherry dela Victoria, Tracy Vigliotti, Dave White, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Howard Yaffe

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¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

A Wassily Kandinsky, un pintor abstracto y músico con formación en piano y chelo, le fascinaban el color y la música. Algunas de sus pinturas parecen estar “compuestas” de una manera que nos permite ver el arte como una composición musical. En matemáticas, componemos y descomponemos números para familiarizarnos con el sistema numérico. Cuando miras un número, ¿puedes ver las partes que forman el total?

En la portada

Thirteen Rectangles, 1930

Wassily Kandinsky, Russian, 1866–1944

Oil on cardboard

Musée des Beaux-Arts, Nantes, France

Wassily Kandinsky (1866–1944), Thirteen Rectangles, 1930. Oil on cardboard, 70 x 60 cm. Musée des Beaux-Arts, Nantes, France. © 2020 Artists Rights Society (ARS), New York. Image credit: © RMN-Grand Palais/Art Resource, NY

Módulo 1

Conceptos de valor posicional para la multiplicación y división con números enteros

Módulo 2

Suma y resta con fracciones

Módulo 3

Multiplicación y división con fracciones

Módulo 4

Conceptos de valor posicional para las operaciones con números decimales

Módulo 5

Suma y multiplicación con área y volumen

Módulo 6

Fundamentos de la geometría en el plano de coordenadas

ISBN 978-1-63898-684-3