JOHN CONWAY

JOHN CONWAY EN HET BEWIJS VAN MORLEYS MIRAKEL

PAUL LEVRIE , FACULTEIT TOEGEPASTE INGENIEURSWETENSCHAPPEN, UNIVERSITEIT ANTWERPEN

OP 11 APRIL BEZWEEK JOHN CONWAY AAN COVID-19. MET HEM VERDWIJNT EEN VAN DE ORIGINEELSTE WISKUNDIGEN VAN DE LAATSTE 100 JAAR. HIJ WERD 82. CONWAY IS VOORAL BEKEND ALS UITVINDER VAN THE GAME OF LIFE. HIJ WAS ACTIEF IN VERSCHILLENDE TAKKEN VAN DE WISKUNDE EN VERSCHILLENDE BEGRIPPEN IN DE WISKUNDE ZIJN NAAR HEM VERNOEMD. HIJ HEEFT OOK HEEL WAT WERK VERZET IN DE RECREATIEVE WISKUNDE. ZO IS BIJVOORBEELD DE VOLGENDE PUZZEL NAAR HEM VERNOEMD: MAAK VAN DEZE 9 STUKKEN EEN KUBUS.

Dit is de Slothouber-GraatsmaConway-puzzel. De 5 x 5 x 5-versie is nog meer een uitdaging. En wie kent er niet zijn Look and Say-rij?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, …

Conway heeft ook een algoritme bedacht dat alle priemgetallen genereert. Wat je ervoor nodig hebt, zijn de volgende 14 breuken:

Start met het getal 2. Zoek in bovenstaande lijstje naar een breuk die vermenigvuldigd met 2 een geheel getal oplevert (het is 15/2.) Neem nu dat gehele getal (15) en ga opnieuw op zoek in het lijstje naar de breuk die vermenigvuldigd met 15 een geheel resultaat geeft. Hou dit vol, tot je een macht van 2 uitkomt.

De eerste macht van 2 (4, of 22) kom je tegen na 19 stappen. Ga op dezelfde manier verder. Vijftig stappen later heb je 23. Daarna komt 25, ongeveer 200 stappen verder. Er ontstaat een patroon: de exponenten zijn 2, 3, 5 … En we kunnen bewijzen dat dit een (weliswaar zeer omslachtige) manier is om alle priemgetallen te genereren.

In 2014 verscheen Conways bewijs van de trisectorstelling van Frank Morley, ook wel Morley’s Miracle genoemd, een eigenschap in een driehoek waar Morley in 1899 toevallig op botste.

Stelling van Morley

Gegeven een willekeurige driehoek. Vanuit elk hoekpunt vertrekken er 2 rechten die die hoek in 3 gelijke delen verdelen, de trisectrices. Per paar hoekpunten bepalen we het snijpunt van de 2 trisectrices die het dichtst bij de zijde liggen die die 2 hoekpunten verbindt. Deze 3 snijpunten vormen een gelijkzijdige driehoek, de driehoek van Morley.

Figuur 1 laat zien wat de stelling precies inhoudt. We starten met een willekeurige driehoek. We verdelen elke hoek in drie gelijke delen. We tekenen dan de 6 rechten op de figuur en bepalen de 3 snijpunten die je aangeduid ziet op de figuur. Deze drie punten vormen steeds een gelijkzijdige driehoek, welke vorm de driehoek waarmee je start ook heeft.

Deze eigenschap stond bekend als zeer moeilijk om te bewijzen. We laten zien hoe Conway het deed. Voor het bewijs gebruiken we wat elementaire meetkunde maar niet veel meer dan dat. O.a. de eigenschap dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180°.

We vertrekken van een willekeurige driehoek en noemen de hoeken , , . We verdelen elke hoek in drie gelijke delen, en we werken nu verder met de hoeken , , . Elk van deze hoeken stellen we voor met een kleur, de som ervan is dus 60°, wat te zien is op figuur 2. We nemen verder ook een gelijkzijdige driehoek (zie driehoek bovenaan).

Figuur 2.

Nu plaatsen we op de drie zijden van deze gelijkzijdige driehoek even grote gelijkzijdige driehoeken (figuur 3 bovenaan - de grijze driehoeken)

en we passen dan vanuit de hoekpunten van de gegeven gelijkzijdige driehoek de drie gekleurde hoeken af zoals op figuur 3 (onder). Door lijnen te verlengen krijgen we dan drie nieuwe driehoeken, het resultaat is te zien op figuur 4. Merk op dat de hoeken in de punten ook een kleur hebben gekregen. Voor de driehoek linksboven is dat blauw, want van deze driehoek kennen we twee hoeken, nl. groen + grijs en bruin + grijs. Maar grijs = 60°. En de som: (groen + grijs) + (bruin + grijs) + (nieuwe hoek) moet 180° geven. Dat kan alleen indien de derde hoek gelijk is aan de blauwe hoek, want groen + bruin + blauw = 60°. Ook van de andere twee nieuwe driehoeken op de volgende figuur kennen we zo de derde hoek (zie figuur 4).

In een volgende stap halen we de nieuwe driehoeken linksboven en linksonder even uit de figuur, spiegelen ze om een van de zijden en leggen ze naast elkaar zoals op figuur 5.

Figuur 5.

Uit symmetrieoverwegingen volgt dadelijk dat deze twee driehoeken dezelfde hoogte hebben, en we kunnen ze dan ook over elkaar schuiven zoals onderaan te zien is. Merk op dat de tophoek van deze nieuwe driehoek gelijk zal zijn aan grijs +

bruin + grijs, want de drie hoeken geven samengeteld natuurlijk weer 180°. Je ziet dit links op de figuur (volg de pijl).

Het resultaat proberen we nu in te passen in de figuur die we al hadden. Merk op dat de zijden die tegen elkaar moeten komen dezelfde lengte hebben (een gevolg van het spiegelen), maar de vraag is: past ook de hoek in het gat? We kunnen uitrekenen hoe groot het gat is, zie onderstaand detail van de vorige figuur 5:

Samen met de hoeken groen + grijs + wit + grijs + blauw moeten we aan 360° komen, en wit=grijs=60°. We hebben dus nog 120° + bruin tekort, of nog: grijs + bruin + grijs. Dus het past!

Precies dezelfde redenering laat ons toe de twee andere gaten in de figuur op te vullen (zie figuur 7).

Wat uiteindelijk leidt tot figuur 8.

En hiermee is de stelling bewezen: op de figuur zie je de willekeurige driehoek waarmee we gestart zijn en waarvan de hoeken in 3 gelijke delen verdeeld zijn.

Figuur 7.

OEFENING 6

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE VZW, EERSTE RONDE VWO 2020, VRAAG 6

Hoeveel congruente kubussen moet je minimaal aan de constructie toevoegen om de ruimtelijke kronkel te sluiten door de kubussen met de zijvlakken aan elkaar te kleven?

A

D

6

9

B

E

7

10

C

8

Op zoek naar inspiratie voor je les?

Ook leken zien schoonheid in wiskunde Kunnen leken wiskundige bewijzen beoordelen op schoonheid? En zijn ze met elkaar eens welke daarvan de mooiste zijn? Dat onderzochten twee hoogleraren. Benieuwd naar de resultaten van de studie? Lees dan zeker verder! Wat is dat feestje?

Pi is dat feestje! Hou je van wiskunde? Dan hou je van

Maar op 14 maart is het pi-dag en viert iedereen het waardevolle 3,14 lekker mee.

Nando

Wiskunde met pit

16 gifs als hulpmiddel voor de les wiskunde Gifs zijn handig om wiskundige theorieën visueel weer te geven. Zo helpen ze de leerlingen om moeilijke materie vlotter te verwerken en beter te onthouden. En ze zijn natuurlijk ook gewoon leuk! Ontdek hier 16 gifs voor de les wiskunde.

Leuke acties, evenementen, downloads en nog veel meer inspiratie vind je op www.educatief. diekeure.be