EEN DRIEHOEK

DOBBELEN IN EEN DRIEHOEK

UITWISKELING

KOEN DE NAEGHEL, HILDE EGGERMONT, ANNE SCHATTEMAN REDACTIE UITWISKELING

WE MAKEN AL EENS VAN DE GELEGENHEID GEBRUIK OM HET IN DE LES OVER FRACTALEN TE HEBBEN, BIJVOORBEELD IN DE LESSEN OVER COMPLEXE GETALLEN EN BINNEN DE CONTEXT VAN RIJEN. HET ZIJN BIJZONDER FASCINERENDE MEETKUNDIGE FIGUREN MET HEEL VEEL TOEPASSINGEN IN DE REËLE WERELD. IS HET BIJVOORBEELD NIET VERRASSEND DAT MEN IN DE GENEESKUNDE HEEL GEÏNTERESSEERD IS IN DE STUDIE VAN FRACTALEN? LONGSTRUCTUREN, BLOEDVATENSTELSELS, DARMWANDEN ENZ. BLIJKEN BETER DOOR EEN FRACTAAL TE WORDEN BENADERD DAN DOOR DE KLASSIEKE MEETKUNDIGE FIGUREN. OOK BIJ BEELDCOMPRESSIE WORDT VAAK GEBRUIKGEMAAKT VAN FRACTALEN OM DE GROOTTE VAN DE DATATRANSMISSIE TE KUNNEN REDUCEREN. STRUCTUREN IN DE NATUUR ZOALS BLOEMKOLEN, BOMEN, WOLKEN, KUSTLIJNEN, VARENS… WORDEN BIJ BENADERING ALS EEN FRACTAAL BESCHOUWD EN KUNNEN HIERDOOR BETER BESTUDEERD WORDEN. WE PAKKEN GRAAG UIT MET DEZE SPECTACULAIRE BEELDEN EN TONEN HOE VERRASSEND EENVOUDIG ZE BESCHREVEN KUNNEN WORDEN.

Figuur 1. Koch-kromme Bij het onderwerp meetkundige rijen en reeksen kan de Koch-kromme ter sprake komen (zie figuur 1), waarbij men aantoont dat de omtrek oneindig is en de oppervlakte van het gebied binnen de Koch-kromme daarentegen wel eindig is..

Als je dan bovendien illustreert dat deze figuur noch als een lijn (eendimensionaal) noch als een vlakke figuur (tweedimensionaal) beschouwd kan worden en dat de dimensie dus geen natuurlijk getal is, vallen de leerlingen spreekwoordelijk van hun stoel. Op zich garanderen deze eigenschappen over fractalen al spektakel in de klas. We willen er nog een schepje bovenop doen en de leerlingen verbazen met een kansspel, het chaosspel, waarbij het resultaat op een verrassende wijze leidt naar een fractaal.

CONSTRUCTIE VAN EEN SPECIFIEKE FRACTAAL Een ander bekend voorbeeld van een fractaal is de zogenaamde Sierpinskidriehoek. Deze figuur is het resultaat van een iteratief proces (d.w.z. dat je telkens dezelfde constructiestappen herhaalt op het laatst verkregen resultaat en dit tot in het oneindige,

dus zonder dat het proces ooit stopt). De theoretische limiet van dit proces vormt dan de fractaal. Het procedé verloopt als volgt: 1. We starten met een opgevulde gelijkzijdige driehoek en verbinden de middens van de zijden. 2. We nemen de kleine gelijkzijdige driehoek (op schaal ), die in het midden ontstaat, weg. 3. Er verschijnen drie volle gelijkzijdige driehoeken (op schaal ).

We hernemen de stappen 1, 2 en 3 voor elk van de drie driehoeken die zijn ontstaan. Zo krijgen we 9 kleinere driehoeken, ditmaal op schaal , waarop we de drie stappen opnieuw gaan toepassen. We blijven dit procedé herhalen. De figuur die als limiet ontstaat, kun je nooit tekenen. Na een eindig aantal stappen heb je de Sierpinski-driehoek nog niet geconstrueerd. Wat bijzonder is, is dat, net als voor de Koch-kromme, het resultaat noch eendimensionaal noch tweedimensionaal is. De fractaal wordt gekenmerkt door een dimensie die geen geheel getal is, maar die gelegen is tussen 1 en 2, vandaar de naam ‘fractaal’. HET CHAOSSPEL Iedereen zal het eens zijn met de idee dat de bovenstaande procedure op een heel gestructureerde manier gebeurt. Omgekeerd verwachten we dat structuren en patronen die gecreëerd worden vanuit een willekeurige, kansgedreven actie, er chaotisch zullen uitzien. Des te meer zal het resultaat van het volgende spel verbazen. 1. Je vertrekt van de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek waarvan de hoekpunten gemarkeerd zijn met de paren {1,2}, {3,4} en {5,6}. Dit zijn de mogelijke uitkomsten van een worp met de dobbelsteen. 2. Je kiest willekeurig een punt binnen de driehoek. 3. Je gooit met een dobbelsteen en vanuit het gekozen punt viseer je het hoekpunt dat overeenkomt met de uitkomst van je worp. Je plaatst een punt halfweg het eerste punt en het geviseerde hoekpunt.

Je herhaalt stap (3) met het nieuwe verkregen punt (zie figuur 3).

Figuur 2. Ceci n’est pas un triangle de Sierpinski

Figuur 3.

De bedoeling is om deze stap te herhalen totdat een patroon zichtbaar wordt. Er verschijnen lege gebieden. Dit is zeer intrigerend.

Figuur 4. Chaosspel na 1000, 10000 en 100000 stappen

Nadien kunnen de gevonden punten met een computer geplot worden (die applets zijn talrijk te vinden op het internet (o.a. Giesen)) en dan verschijnt …., jawel, een benadering van de Sierpinski-driehoek. Niet te geloven! Het willekeurig gekozen startpunt en het toevalsaspect van de dobbelsteen leiden naar dit verrassend gestructureerd resultaat.

Nadat de leerlingen een korte klassikale introductie hebben gekregen over fractalen met als voorbeeld de opbouw van de Sierpinski-driehoek kan een klasactiviteit in groepjes gebouwd worden rond het chaosspel.

HET CHAOSSPEL

Instructie Jullie werken in groepjes van drie. Indien jullie de instructies nauwgezet opvolgen, zullen jullie verbaasd staan van wat jullie gecreëerd hebben.

Jullie beschikken over: - een transparant waarop de hoekpunten van een voor iedereen zelfde gelijkzijdige driehoek getekend staan. Eén hoekpunt wordt gemarkeerd met {1,2}, een ander met {3,4} en het laatste met {5,6}. Dit zijn de mogelijke uitkomsten van een worp met de dobbelsteen. - een dobbelsteen, een latje en een stift.

Handelingen 1. Kies een willekeurig punt binnen de driehoek. Markeer het punt op het transparant maar plaats de naam er niet bij. 2. Gooi met de dobbelsteen.

Viseer vanuit het punt het hoekpunt dat overeenkomt met de uitkomst van je worp en plaats een punt halfweg en het geviseerde hoekpunt. Dit is . 3. Herhaal stap (2) met het nieuw verkregen punt (zie figuur). Doe dit minstens 30 keer.

Verdeel de taken: één leerling gooit met de dobbelsteen, een tweede hanteert het latje, een derde plaatst de stip halfweg. 1. Zien jullie een patroon verschijnen? Waarschijnlijk wordt het patroon versterkt door alle transparanten zorgvuldig op elkaar te leggen?

De leerlingen merken dat bepaalde zones binnen de driehoek onaangeroerd zijn gebleven. 2. Op http://www.jgiesen.de/

ChaosSpiel/Spiel1000.html kunnen jullie een groot aantal herhalingen laten uitvoeren aan de hand van een applet. (Geef in het Java-security-luik de toelating om deze applet te runnen.)

De computer tekent dan punten die ad random gevonden zijn.

Jullie herkennen vast en zeker de figuur die benaderd wordt?

De Sierpinski-driehoek verschijnt traag. 3. We zoeken een verklaring voor het gevonden fenomeen.

Veronderstel dat het startpunt van de rij geconstrueerde punten zich in de middelste driehoek van de onderstaande figuur bevindt.

Veronderstel dat er een 5 wordt gegooid met de dobbelsteen. - Beschrijf welke transformatie van het vlak het punt op het nieuwe punt . stuurt? - Wat doet deze transformatie met de lengtes van lijnstukken? Kunnen jullie hiermee de positie van . beschrijven zonder de constructie uit te voeren die onder (2) beschreven werd? - Verklaar dat de rij van punten die je construeert steeds dichter en dichter bij de punten van de Sierpinskidriehoek gaan terechtkomen.

Het witte driehoekje waarin het punt zich bevindt, zal door een homothetie met verhouding en centrum (zie figuur op de volgende bladzijde) gestuurd worden op opnieuw een wit driehoekje met gehalveerde zijden. De afstand van tot aan is dus de helft van de afstand van tot aan . Dit fenomeen herhaalt zich. Bij elke iteratiestap halveert de afstand

4. tot de zijden van de verkleinde witte driehoek. We zien dus dat de rij van punten de rand van een wit driehoekje willekeurig

dicht benadert. Stel dat het startpunt is zoals in de onderstaande figuur. Er worden enkele worpen gedaan met de dobbelsteen en het punt is terechtgekomen in het donkerste driehoekje.

Hoeveel worpen zijn er nodig? Hoeveel ogen zijn er bij elk van de worpen gegooid? Probeer meer dan één oplossing te geven. We komen terecht in een driehoekje dat in stap 4 van het iteratieproces gecreëerd is. Er werd dus drie keer met de dobbelsteen gegooid. Je kan met verschillende sequenties van worpen tot in het driehoekje raken bijvoorbeeld (3,4,1) maar (3,3,1) kan ook. Deze worpen genereren dezelfde puntensequentie.

5.

Aan jullie om onderzoek te doen. Stel zelf (onderzoeks-) vragen over mogelijke rijen van punten die gerealiseerd kunnen worden. Hoeveel maal kan men in een bepaald wit driehoekje terechtkomen? Zijn er punten die via verschillende puntensequenties bereikt kunnen worden? Is er een verklaring waarom alle punten van de Sierpinskidriehoek benaderd zullen worden?

Is er een probleem als het startpunt buiten de driehoek gekozen wordt? Of als we starten met een punt van de Sierpinskidriehoek zelf? BRONNEN 1. Peitgen H.O., Hartmut J., Dietmar S.,(1992). Fractals fort the classroom.

NCTM. Springer-Verlag: New York. 2. math.bu.edu/DYSYS/chaos-game/ node4.html (Chaos Game) 3. math.bu.edu/DYSYS/chaosgame/node4.html#SECT ION00040000000000000000 (Chaos Game) 4. math.rice.edu/~lanius/fractals/ (Fractalen) 5. webserv.jcu.edu/math//vignettes/ chaosgame.htm (Chaos Game) 6. www.jgiesen.de/ChaosSpiel/ Spiel1000.html (Chaos game)

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 32/3 als onderdeel van het artikel ‘Verrassende wiskunde’ waarin we allerlei losse stukjes verzamelden met een probleem waarvan de uitkomst op een of andere manier verrast. Benieuwd naar meer? Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.