3 PYTHAGORAS
MOK = DONUT MISSCHIEN HEB JE HET WEL EENS GEHOORD, DAT EEN MOK EN DONUT 'HETZELFDE' ZIJN. MAAR WAT IS DAT VOOR IETS GEKS? ZELF ZOU IK NOOIT MIJN KOFFIE UIT EEN DONUT DRINKEN OF EEN HAP NEMEN VAN EEN KOFFIEMOK. STEL ECHTER DAT DE MOK VAN DEEG IS GEMAAKT, DAN KUNNEN WE DE KOFFIEMOK WEL OMVORMEN TOT EEN DONUT. DIT OMVORMEN VAN OBJECTEN EN KIJKEN OF ZE GELIJK ZIJN, IS WAT VEEL WORDT BESTUDEERD BINNEN HET DEELGEBIED VAN WISKUNDE GENAAMD TOPOLOGIE, DE STUDIE VAN RUIMTEN EN VORMEN. IN DIT ARTIKEL GAAN WE DAAR NOG EENS WAT BETER NAAR KIJKEN: WANNEER ZIJN OBJECTEN NU PRECIES GELIJK EN WAAROM IS DAT ZO? D O O R N I E L S KO L E N B R A N D E R
GEVULDE OBJECTEN Allereerst gaan we in op solide objecten met inhoud, zoals de koffiemok en de donut. Als we willen weten waarom een koffiemok en een donut 'gelijk' zijn, moeten we eerst weten wanneer we solide objecten als 'gelijk' beschouwen. Binnen de topologie hebben we zelfs een naam voor het gelijk zijn van objecten: homeomorf, 'homeo' voor 'gelijk' en 'morf' voor 'vorm'. Topologen beschouwen twee solide objecten als gelijk indien er een zogenaamd homeomorfisme tussen de objecten bestaat. Maar wat is dan een 'homeomorfisme'? Een formele definitie gaat hier te ver, maar we kunnen hier wel intuïtief een begrip over krijgen en dat zal grof gezegd overeenkomen met de formele definitie. Voor onze intuïtieve definitie is het zelfs genoeg om objecten na te maken van klei en om vervolgens te kijken of ze 'netjes' om te kneden zijn. Voor het 'netjes' kneden zijn afspraken nodig over wat wel en wat niet mag tijdens het kneden. De regels van het kneden luiden als volgt:
1 Tijdens het kneden mogen er geen gaten worden toegevoegd. 2 Tijdens het kneden mogen er geen gaten worden verwijderd. 3 Het object moet tijdens het kneden één geheel blijven. Een homeomorfisme is nu intuïtief te begrijpen als een kneding volgens de bovenstaande regels. Zo zou een voorbeeld kunnen zijn dat je een bol van klei op zes vlakken platdrukt om een kubus te vormen. Die kneding is volgens de regels omdat er geen gaten worden toegevoegd of verwijderd en het object blijft één geheel. Dan spreken we over een homeomorfisme tussen een bol en een kubus en dus zijn ze homeomorf of 'gelijk'. (Je zou dan ook kunnen beargumenteren dat wiskundigen geen onderscheid kunnen maken tussen dobbelstenen en biljartballen, test dat maar eens op de biljarttafel!) Een homeomorfisme tussen twee objecten kunnen we dus zien als een continue vervorming tussen die twee objecten. Hoe kunnen we nu zien dat een mok en een donut 'gelijk'
