HET DING EN MEER VAN DAT

ARS ET MATHESIS

IN DE VROEGE OCHTEND VAN 12 APRIL 1974 STOND DAAR ZOMAAR AAN DE CAMPUSLAAN BIJ DE HOOFDINGANG VAN DE UNIVERSITEIT TWENTE IN ENSCHEDE EEN CONSTRUCTIE VAN AFGEDANKTE TELEFOONPALEN EN VOORGEREKTE STALEN KABELS. NA EEN JAAR VAN VOORBEREIDING IN ÉÉN NACHT NEERGEZET DOOR EEN GROEPJE VAN VIJF STUDENTEN. HET OBJECT IS GEBASEERD OP EEN TENSEGRITY-MODEL VAN DE AMERIKAANSE ARCHITECT EN ONTWERPER RICHARD BUCKMINSTER FULLER (1895-1983). DOOR EEN UITGEBALANCEERD EVENWICHT VAN DUWENDE EN TREKKENDE KRACHTEN WORDEN DE ZES PALEN WAARVAN ER DRIE LIJKEN TE ZWEVEN, MET STALEN KABELS IN BALANS GEHOUDEN.

PAS IN 2013 WERD BEKEND WELKE ‘GRAPPENMAKERS’ HET OBJECT, DAT BIJ GEBREK AAN BETER AL SNEL "HET DING" WERD GENOEMD, DAAR HADDEN NEERGEZET.

KLAAS LAKEMAN,

ARS ET MATHESIS

TWINTIGVLAK De uiteinden van de palen vormen de 12 hoekpunten en de verbindende kabels de zijden of randen van een twintigvlak. Niet regelmatig zoals velen ten onrechte vaak menen. Al weer jaren geleden bouwde ik zelf een model met 20 centimeter lange houten staven. Daarbij waren de draden iets langer dan 12 cm (figuur 1). Tijdens de constructie kwam ik er achter dat die draden te lang waren voor de zes verbindingen tussen de uiteinden van telkens twee evenwijdige staven. Daartussen hingen ze slap en droegen zo niet bij aan het in balans houden van de staven. Ze konden dus worden gemist! Ook bij Het Ding is te zien dat de zes kabels tussen de uiteinden van telkens twee evenwijdige palen achterwege zijn gelaten. Het gevolg is dat de constructie niet star is, maar een zekere flexibiliteit vertoont. Wanneer je twee evenwijdige staven iets uit elkaar trekt, gaan de andere twee paren evenwijdige staven tegelijk ook verdere uit elkaar. Laat je ze los, dan veert het geheel terug naar de oorspronkelijk stand. Die twaalf uiteinden van de staven zijn dus de hoekpunten van een twintigvlak dat bestaat uit 8 gelijkzijdige driehoeken en 12 gelijkbenige driehoeken. Die gelijkbenige driehoeken grenzen twee aan twee aan elkaar. De ontbrekende draden tussen de uiteinden van twee evenwijdige staven vormen hun gemeenschappelijke fictieve basissen. De staven zijn lichaamsdiagonalen van dat twintigvlak.

REGELMATIG TWINTIGVLAK Om een regelmatig twintigvlak of icosaëder te krijgen moeten twee evenwijdige staven zover uit elkaar worden getrokken dat hun afstand gelijk is aan een kabellengte. De andere twee paren krijgen daarmee tegelijk ook een onderlinge afstand van een kabellengte. Die toestand kan alleen zo blijven als tussen de uiteinden van een paar evenwijdige staven een staaf wordt gezet met de lengte van een kabel. Anders gezegd op de plaatsen van de ontbrekende overbodige kabels moeten starre staven tussen de evenwijdige staven worden geklemd. In plaats van door drie paar evenwijdige staven wordt het twintigvlak dat nu regelmatig is, opgespannen door drie rechthoeken. Die staan onderling loodrecht op elkaar en hun middelpunten vallen samen met het middelpunt van de opgespannen icosaëder zoals bijvoorbeeld in figuur 2 met dichtgewerkte rechthoeken. Die rechthoeken zijn zogenoemde gouden rechthoeken.

Figuur 1 Model van Het Ding. Figuur 2 Icosaëder op gouden rechthoeken.

Figuur 3 Gouden rechthoek

GOUDEN RECHTHOEK Een gouden of gulden rechthoek is een rechthoek waarbij de zijden zich verhouden volgens de gulden snede of beter gezegd als het gulden getal. De gulden snede is de verdeling van een lijnstuk in twee delen waarbij het grote deel zich verhoudt tot het kleine als het gehele lijnstuk tot het grote deel (figuur 3). Uit kan door oplossen van a/b die verhouding worden berekend als

Dit staat bekend als het gulden getal. Niet alleen de rechthoek met zijden a+b en a in figuur 3 is een gouden rechthoek, maar ook de rechthoek met zijden a en b. Je kunt dan ook zeggen dat een gouden rechthoek een rechthoek is waarbij je een kleinere gouden rechthoek overhoudt als je er een zo groot mogelijk vierkant vanaf knipt. Bij de kleinere gouden rechthoek kun je hetzelfde doen, er blijft dan een nog kleinere gouden rechthoek over. In principe is dat tot in het oneindige door te zetten.

BEREKENING De icosaëder van figuur 4A wordt opgespannen door drie loodrecht op elkaar staande congruente rechthoeken met samenvallende middelpunten. In figuur 4C is de

Figuur 4

gelijkzijdige driehoek abc een zijvlak van de icosaëder met zijden . In driehoek asc is hoek gelijk aan 60°. Dat betekent dat de lengte van lijnstuk cs gelijk is aan . In een icosaëder is de hoek tussen twee zijvlakken afgerond 138°. In figuur 4D is dat hoek csk. Dan is in driehoek sec hoek afgerond 69°. Ook geldt in driehoek sec dat

Dan is en verhouden de zijden van de lichtgrijze rechthoek in figuur 4D zich afgerond als 1,617. Daarmee is aangetoond dat die lichtgrijze rechthoek inderdaad een gouden rechthoek is. Hetzelfde geldt voor de gouden en roze rechthoeken in de figuren 4A en 4B.

Figuur 5

Figuur 6

KIJKEN In de icosaëder van figuur 5A met daarin wederom de drie loodrecht op elkaar staande congruente rechthoeken, vormen de vijf groene zijden een regelmatige vijfhoek. In figuur 5B is die er apart uitgelicht. Daarin is de zijde, die tevens een korte zijde is van de grijze rechthoek, grijs gekleurd. Ook is daarin de diagonaal die tevens een lange zijde is van de roze rechthoek, roze gekleurd. Gegeven is dat in een regelmatige vijfhoek een diagonaal en een zijde zich verhouden als het gulden getal. En daarmee verhouden de zijden van de rechthoeken in figuur 5A en ook die van 4A en 4B zich evenzo als het gulden getal. Het zijn dus gouden rechthoeken.

15 GOUDEN RECHTHOEKEN Voor een gouden rechthoek in een icosaëder zijn twee tegenover elkaar liggende zijden nodig. Omdat een icosaëder 30 zijden heeft zijn er verschillende gouden rechthoeken mogelijk. De middelpunten van die 15 gouden rechthoeken vallen samen met het middelpunt van de icosaëder. Bij elk van die rechthoeken passen steeds twee andere rechthoeken die daar loodrecht op staan, zodat ze met z’n drieën het regelmatig twintigvlak op kunnen spannen, zoals in figuur 2.

BORROMEAANSE RINGEN Borromeaanse ringen zijn drie met elkaar verstrengelde ringen en wel zo dat als je om het even welk van de drie ringen door zou knippen en wegneemt de twee overgebleven ringen volledig vrij komen te liggen. Zo’n Borromeaanse vervlechting kan in verschillende varianten voorkomen (figuur 6).

Nog even terug naar figuur 1. Door het uit elkaar trekken van twee evenwijdige staven en er aan de uiteinden starre staven tussen te klemmen, kon een regelmatig twintigvlak worden verkregen. Dat heb ik daadwerkelijk uitgevoerd (figuur 7). Wat bij voorgaande figuren mogelijk niet direct opvalt, is daar duidelijk te zien. De drie opengewerkte gouden rechthoeken zijn als Borromeaanse ringen met elkaar verstrengeld net als in het midden van figuur 6. Door hun verschillende kleuren, wit, grijs en zwart, wordt dit extra geaccentueerd.

De gouden rechthoeken in figuur 7 bestaan uit balkjes met een vierkante doorsnede. Zou je die zoals doorgaans bij schilderij- en fotolijstjes middels gewoon verstek in elkaar zetten, dan zijn de hoekpunten geen echte punten. Dat wordt wel bereikt door de balkjes bij het doorzagen niet op een platte kant neer te leggen, maar eerst 45° te draaien. De lengte van de touwtjes die de drie rechthoeken op hun plaats houden, is uiteraard gelijk aan een korte zijde van de rechthoeken.

In een wat meer gestileerde vorm is deze constructie onder de naam Borromean Golden Rectangles of Borromeaanse Gouden Rechthoeken in de tentoonstelling Kunst en Wiskunde in het virtuele Museum Tesseract

Figuur 7 Borromean Golden Rectangles

opgenomen (zie de aankondigingen in het vorig nummer).

MET DRIEHOEKEN Vier gelijkzijdige driehoeken kunnen zo in elkaar worden geschoven dat hun hoekpunten ook een icosaeder opspannen. En ook daarbij spelen gulden snede en gulden getal een rol. Elk van de drie zijden van een zo´n gelijkzijdige driehoek wordt door elk van de drie andere driehoeken doorgesneden volgens de gulden snede (figuur 8A). De driehoeken doorsnijden elkaar steeds volgens de zijden van de donkergroene driehoek (figuur 8A). Het zal duidelijk zijn dat de donkergroene driehoek in figuur 8A net als de omhullende witte gelijkzijdig is. Dat maakt dat de vier witte driehoeken in elkaar geschoven langs de rode inkepingen samen een tetraëder of viervlak insluiten (figuur 8B).

De twaalf hoekpunten van de driehoeken spannen met elkaar verbonden een icosaëder op (figuur 9). De zijden van de driehoeken zijn per driehoek drie van de 30 mogelijke korte diagonalen in de icosaëder en zijn dus lang met z als de lengte van een (rode) zijde van de icosaëder. OOK EEN OCTAËDER Gouden rechthoeken zoals in figuren 2, 4A en 5A kunnen ook het fundament leveren voor een regelmatig achtvlak of octaëder. Of omgekeerd zijn binnen een octaëder drie loodrecht op elkaar staande gouden rechthoeken mogelijk. De 12 hoekpunten van de gouden rechthoeken liggen op elk op een van de 12 zijden van de octaëder en verdelen deze volgens de gulden snede (figuur 10A). Dit is te zien door de driehoek met als zijden de groene rechthoekzijden en de rode stippellijn uit figuur 10B te lichten. In figuur 10C zijn ADE en EFB gelijkvormige gelijkbenige rechthoekige driehoeken. De lijnstukken EF

Figuur 8

Figuur 9 Figuur 11

Figuur 10

en DE zijn de helft van de zijden van de grijze gouden rechthoek. Dat betekent dat . Vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken ADE en EFB is dan ook .

Nu is ook gemakkelijk in te zien hoe een icosaëder precies in een octaëder ingekapseld kan worden door op de gouden rechthoeken van figuur 10A een icosaëder te construeren zoals in de figuren 2, 4A en 5A. Figuur 11 toont het resultaat. Met behulp van figuur 10C kan ook de verhouding van hun zijden worden bepaald. AB is een zijde van de octaëder en 2EF is een zijde van de icosaëder. We zagen eerder dat . Verder geldt

of wel . 2EF is de zijde van de icosaëder en deze is dus 0,54AB met AB de zijde van de octaëder.

NOG EEN OCTAËDER Door de uiteinden van de snijlijnen van drie loodrecht op elkaar staande gouden rechthoeken met elkaar te verbinden, ontstaat ook een octaëder (figuur 12). Het hoeft geen betoog om in te zien dat de (gele) lijnen die de zijden vormen van zo’n regelmatig achtvlak even lang zijn.

TENSEGRITY ACHTVLAK De benaming tensegrity is een samentrekking van de Engelse woorden tensional integrity. Figuur 13A is een voorbeeld van een zeer eenvoudig tensegrity-model: drie staven die met negen draden staande worden gehouden. Doorgaans maakt men de zes even lange draden die het driehoekige grondvlak en het driehoekige bovenvlak vormen een stuk korter dan de drie draden die grond- en bovenvlak met elkaar verbinden.

Figuur 12

In figuur 13A zijn de betreffende drie draden iets dikker dan de andere zes. In het model van figuur 13A zijn alle negen draden echter even lang. Door figuur 13A aan te vullen met drie rode draden die voor de constructie niet nodig zijn, ontstaat een achtvlak (figuur 13B).

IDEALE OCTAËDER Net als Het Ding vertoont het model van figuur 13A een zekere flexibiliteit. Anders dan bij Het Ding kunnen uiteinden van twee staven in figuur 13B met elkaar verbonden door een van de rode draden, wat naar elkaar toe getrokken worden. Daardoor gaan tegelijk ook de andere uiteinden twee aan twee naar elkaar toe. Bij loslaten gaat het model weer terug naar zijn oorspronkelijke vorm. Een regelmatig achtvlak wordt benaderd wanneer de uiteinden van de staven twee aan twee naar elkaar toe worden getrokken zodat idealiter de rode draden van figuur 13B even lang worden als de andere negen draden. De staven komen dan in het middelpunt precies tegen elkaar en zouden de drie ruimtelijke loodrecht op elkaar staande diagonalen van een octaëder moeten vormen. In het ideale geval zouden de staven daarvoor oneindig dun moeten zijn, lijnen dus zoals bij een XYZ-assenstelsel. Vanwege de noodzakelijke doorsnede afmetingen van de staven is dit fysiek echter niet mogelijk.

Figuur 13

OEFENING 2

Baloe en Winnie smeren elk zo snel mogelijk 15 broodjes. Na 3 minuten heeft Baloe een derde van zijn broodjes gesmeerd en Winnie een vijfde van de zijne. Als beide beren aan hetzelfde tempo blijven smeren, hoeveel minuten na Baloe is Winnie klaar?

A 3 minuten

B 9 minuten

C 5 minuten

D 15 minuten

E 6 minuten

OEFENING 3

Twee vierkanten liggen in een groot vierkant zoals in de figuur. Wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkanten I en II?

A B C D E In een vierkant met zijde 10 tekent men een halve cirkel en een diagonaal zoals in de figuur. Wat is de oppervlakte van het gekleurde deel?

OEFENING 4

A 17,5

B 20

C 22,5

D 25

E 27,5