Issuu

VECTOR MEI 2022 - nummer 14

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

3X MOK = DONUT STATISTIEK IN DE DERDE GRAAD: Q-Q-PLOTS 40 PROJECT PLANETEN

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

2 INHOUD

3 MOK = DONUT

ALGEBRA INZETTEN 8 OM PATRONEN TE BESCHRIJVEN 10 OVER HET BELANG

VAN DATAVISUALISATIE

VECTOR

DE TANGENSREGEL 14 20 HET DING EN MEER VAN DAT

STATISTIEK IN DE DERDE GRAAD: Q-Q-PLOTS 28 36

SPAAR ZE ALLEMAAL!

PROJECT PLANETEN 40

VECTOR 5e jaargang - nummer 14 REDACTIE Tom Harteel, Nicolas Ruys, Anke Oderij, Ellemijn Van Puymbroeck die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be. COVERFOTO © Adobestock VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België. VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3 PYTHAGORAS

MOK = DONUT MISSCHIEN HEB JE HET WEL EENS GEHOORD, DAT EEN MOK EN DONUT 'HETZELFDE' ZIJN. MAAR WAT IS DAT VOOR IETS GEKS? ZELF ZOU IK NOOIT MIJN KOFFIE UIT EEN DONUT DRINKEN OF EEN HAP NEMEN VAN EEN KOFFIEMOK. STEL ECHTER DAT DE MOK VAN DEEG IS GEMAAKT, DAN KUNNEN WE DE KOFFIEMOK WEL OMVORMEN TOT EEN DONUT. DIT OMVORMEN VAN OBJECTEN EN KIJKEN OF ZE GELIJK ZIJN, IS WAT VEEL WORDT BESTUDEERD BINNEN HET DEELGEBIED VAN WISKUNDE GENAAMD TOPOLOGIE, DE STUDIE VAN RUIMTEN EN VORMEN. IN DIT ARTIKEL GAAN WE DAAR NOG EENS WAT BETER NAAR KIJKEN: WANNEER ZIJN OBJECTEN NU PRECIES GELIJK EN WAAROM IS DAT ZO? D O O R N I E L S KO L E N B R A N D E R

GEVULDE OBJECTEN Allereerst gaan we in op solide objecten met inhoud, zoals de koffiemok en de donut. Als we willen weten waarom een koffiemok en een donut 'gelijk' zijn, moeten we eerst weten wanneer we solide objecten als 'gelijk' beschouwen. Binnen de topologie hebben we zelfs een naam voor het gelijk zijn van objecten: homeomorf, 'homeo' voor 'gelijk' en 'morf' voor 'vorm'. Topologen beschouwen twee solide objecten als gelijk indien er een zogenaamd homeomorfisme tussen de objecten bestaat. Maar wat is dan een 'homeomorfisme'? Een formele definitie gaat hier te ver, maar we kunnen hier wel intuïtief een begrip over krijgen en dat zal grof gezegd overeenkomen met de formele definitie. Voor onze intuïtieve definitie is het zelfs genoeg om objecten na te maken van klei en om vervolgens te kijken of ze 'netjes' om te kneden zijn. Voor het 'netjes' kneden zijn afspraken nodig over wat wel en wat niet mag tijdens het kneden. De regels van het kneden luiden als volgt:

1 Tijdens het kneden mogen er geen gaten worden toegevoegd. 2 Tijdens het kneden mogen er geen gaten worden verwijderd. 3 Het object moet tijdens het kneden één geheel blijven. Een homeomorfisme is nu intuïtief te begrijpen als een kneding volgens de bovenstaande regels. Zo zou een voorbeeld kunnen zijn dat je een bol van klei op zes vlakken platdrukt om een kubus te vormen. Die kneding is volgens de regels omdat er geen gaten worden toegevoegd of verwijderd en het object blijft één geheel. Dan spreken we over een homeomorfisme tussen een bol en een kubus en dus zijn ze homeomorf of 'gelijk'. (Je zou dan ook kunnen beargumenteren dat wiskundigen geen onderscheid kunnen maken tussen dobbelstenen en biljartballen, test dat maar eens op de biljarttafel!) Een homeomorfisme tussen twee objecten kunnen we dus zien als een continue vervorming tussen die twee objecten. Hoe kunnen we nu zien dat een mok en een donut 'gelijk'

zijn? Wel, laten we die objecten eens namaken van klei en zien of ze in elkaar om te kneden zijn, zie figuur 1. Wellicht denk je dat deze kneding niet volgens de bovenstaande regels is, want we vullen de ruimte op waar normaal koffie in zit. Deze ruimte is echter geen gat omdat het slechts één opening heeft. We kunnen de bodem van de mok zo dik maken dat deze tot de rand van de mok komt en dan is er niet eens een holle ruimte. Als er aan de onderkant van de mok wel een opening had gezeten, dan was deze opvulling niet mogelijk omdat de openingen aan de boven- en onderkant van de mok nu samen een gat door de mok vormen, en die mag volgens de regels niet worden verwijderd.

Figuur 1 Homeomorfisme tussen een mok en een donut.

OPPERVLAKKEN Laten we nu eens kijken naar een ander soort object: oppervlakken. Anders dan solide objecten met inhoud, hebben deze objecten geen inhoud. In de wiskunde zijn ze zelfs oneindig dun, maar een goede voorstelling uit het echte leven kan een ballon zijn. Ze zijn ook wel voor te stellen als de 'buitenkanten' van solide objecten. Zoals bij de solide objecten met inhoud is het interessant om te zien wanneer oppervlakken 'gelijk' zijn. Hier is kneden natuurlijk een stuk moeilijker, maar het begrip blijft min of meer hetzelfde: als we twee oppervlakken op continue wijze in elkaar kunnen omvormen, dan zijn ze grof gezegd

homeomorf. Een voorbeeld kan zijn dat we de buitenkant van een kubus hebben. Als we die nu extra opblazen zoals een ballon, dan kunnen we voorstellen dat de vlakken van de kubus zo bol krommen dat we uiteindelijk een sfeer krijgen (een sfeer is de buitenkant van een bol, dus zoals de schil van een mandarijn, maar dan oneindig dun). En inderdaad, ook formeel zijn de buitenkant van een kubus en een sfeer homeomorf (zie figuur 2). Maar voor oppervlakken is er ook een andere manier om ze te vergelijken. Namelijk: voor oppervlakken kunnen we een zeker getal berekenen, de zogenaamde Eulerkarakteristiek. Dat is een getal die een zekere essentie van het oppervlak weergeeft en later zullen we ook zien dat dit getal in relatie

Figuur 2 Homeomorfisme tussen de buitenkant van een kubus en een sfeer.

staat met een aantal belangrijke eigenschappen van oppervlakken, zoals het aantal gaten van een oppervlak. Oppervlakken vergelijken op basis van de Eulerkarakteristiek is wel iets zwakker dan het homeomorf zijn van twee oppervlakken: twee oppervlakken kunnen dezelfde Eulerkarakteristiek hebben maar hoeven dan niet per se homeomorf te zijn. Omgekeerd geldt wel dat homeomorfe oppervlakken dezelfde Eulerkarakteristiek hebben. Maar hoe berekenen we de Eulerkarakteristiek van een oppervlak? Wederom kunnen we gebruikmaken van onze handvaardigheid, we kunnen de Eulerkarakteristiek

namelijk berekenen door driehoeken op een oppervlak te tekenen. Dit heet ook wel het trianguleren van een oppervlak. Hier moeten we ook wel werken volgens een aantal regels: 1 Verschillende zijden van driehoeken mogen elkaar enkel snijden op de hoekpunten van de driehoeken. Wel kunnen verschillende driehoeken overeenkomstige zijden hebben. 2 De driehoeken moeten het hele oppervlak overdekken. Zie figuur 3 voor een voorbeeld van triangulaties op de buitenkant van een kubus en van een sfeer.

Nu komt wellicht nog de vraag naar boven: welke triangulatie moet ik tekenen? Mag ik gewoon volgens de regels maar wat driehoeken op een oppervlak tekenen en dan op de bovenstaande manier de Eulerkarakteristiek berekenen? Het antwoord: ja, dat mag! De Eulerkarakteristiek is onafhankelijk van de triangulatie. Dus zolang je op een gegeven oppervlak een triangulatie tekent volgens de regels, zal je uiteindelijk altijd uitkomen op dezelfde Eulerkarakteristiek. Probeer dit zelf eens na te gaan door in een triangulatie een driehoek toe te voegen (deel bijvoorbeeld een driehoek door midden door op een zijde een punt toe te voegen en tussen dat punt en het tegenoverliggende punt in de driehoek een zijde toe te voegen, dan blijft de gelijk.) waarde Laten we nu maar een voorbeeld bekijken waarin we de Eulerkarakteristiek van de buitenkant van een kubus en van een sfeer bepalen. Eerder hebben we gezien dat de buitenkant van een kubus en een sfeer homeomorf zijn, dus zoals eerder gezegd moet dan ook wel gelden dat ze dezelfde Eulerkarakteristiek hebben. Dat kunnen we direct controleren door de Eulerkarakteristiek van beide oppervlakken te berekenen. We gebruiken de triangulatie van figuur 3. Voor beide oppervlakken moeten we de verzamelingen , en van hoekpunten, zijden en vlakken bepalen. Voor de sfeer hebben we

Figuur 3 Triangulatie van de buitenkant van een kubus en van een sfeer.

Nadat we klaar zijn met tekenen is het tellen geslagen. We moeten het aantal hoekpunten, het aantal zijden en het aantal vlakken van de triangulatie tellen. Algemeen zullen we de verzameling hoekpunten noteren als , de verzameling zijden als en de verzameling vlakken als . Het aantal elementen in de verzameling hoekpunten zullen en evenzo noteren we respectievelijk we noteren als en voor het aantal zijden en vlakken. Als we een geven, dan noteren we oppervlak algemeen de naam als . De Eulerkarakterisde Eulerkarakteristiek van kunnen we dan berekenen als tiek

en voor de buitenkant van de kubus hebben we

Nu kunnen we voor beide oppervlakken de Eulerkarakteristiek berekenen. Door simpelweg te tellen vinden we dat in totaal 6 de verzameling van punten op de sfeer

Figuur 4 Voorbeelden van gesloten oppervlakken.

punten bevat, dus weten we dat en we dat

. Evenzo vinden en dus krijgen we

Bij de kubus vinden we na grondig tellen dat en , dus .

Zo zien we dat zowel de sfeer als de kubus Eulerkarakteristiek 2 hebben. Ze hebben dus inderdaad dezelfde Eulerkarakteristiek! EULERKARAKTERISTIEK EN AANTAL GATEN Zoals eerder gezegd zijn er een aantal belangrijke eigenschappen van oppervlakken gerelateerd aan de Eulerka-

rakteristiek. Laten we eens kijken hoe de Eulerkarakteristiek verbonden is met het aantal gaten in een oppervlak, ook wel het genus genaamd van een oppervlak. Om geen verwarring te creëren over wat 'gaten' precies zijn, zullen we enkel naar zogenaamde gesloten oppervlakken kijken. Dit zijn oppervlakken die een stuk lucht insluiten en waaruit de lucht dan niet kan ontsnappen, je mag ook wel denken aan ballonnen. Zoiets als een sfeer, de buitenkant van een kubus of de buitenkant van een donut mogen dus wel, maar zoiets als een vel papier niet. Maar wat bedoelen we dan met 'gaten' in oppervlakken? Niet het soort gaten die zorgen dat je ballon leegloopt. Nee, we bedoelen gaten die worden 'omringd' door het oppervlak. Denk maar aan een ballon in de vorm van een

donut: dit oppervlak omringt het gat van de donut. Zo'n donutballon heeft slechts één gat, dan zeggen we dat dit oppervlak genus 1 heeft. Zie figuur 4 voor andere voorbeelden van gesloten oppervlakken met gaten. Hoe is het aantal gaten in een gesloten oppervlak, het genus dus, gerelateerd aan de Eulerkarakteristiek van een oppervlak? Als we het genus van een oppervlak noteren , dan geeft de volgende formule de relatie tussen als en de Eulerkarakteristiek : het genus

Het handige aan deze formule is dat het veel makkelijker wordt om de Eulerkarakteristiek van een oppervlak te berekenen. We hoeven een oppervlak nu niet te trianguleren en vervolgens alle punten, zijden en vlakken te tellen. We kunnen simpelweg het aantal gaten tellen. Zo , en dat geeft heeft een sfeer 0 gaten, dus , precies zoals we eerder hebben gevonden. Andersom kunnen we voor een oppervlak waarbij we niet zeker zijn over het genus ook de Eulerkarakteristiek bepalen en vervolgens het genus berekenen met de formule. Laten we met deze formule eens controleren dat de buitenkant van een donut als oppervlak precies één gat heeft. Eerst trianguleren we de buitenkant van de donut:

Figuur 5 Triangulatie van een donut.

Wellicht lijkt dit een wat vreemde triangulatie omdat we geen standaard 'driehoeken' zien. Op zowel de bovenkant als de onderkant van de donut hebben we nu echter twee driehoeken, de zijden zijn gewoon zeer gekromd. Omdat we nu meerdere zijden tussen dezelfde punten hebben, moeten we verschillende zijden tussen hetzelfde paar punten nummeren en we kunnen driehoeken nu niet meer enkel noteren door aan te geven wat de hoekpunten zijn. We gebruiken voor bijvoorbeeld de driehoek met zijden , en de notatie . We hebben dan de volgende verzamelingen

Hier hebben we dus 2 punten, 6 zijden en 4 driehoeken, dus volgt nu

Nu geeft de formule dat en oplossen geeft dan . Mocht je dus voor nog niet zeker zijn dat de buitenkant van een donut als oppervlak één gat heeft, dan weet je nu in ieder geval hoe je dat wiskundig kunt nagaan.

8 UITWISKELING

ALGEBRA INZETTEN OM PATRONEN TE BESCHRIJVEN Algebraïsche uitdrukkingen lenen zich uitstekend om patronen te beschrijven. Patroonherkenning komt in het secundair onderwijs expliciet aan bod in het onderdeel over rijen. Die vaardigheid is prima om ‘inzichtelijk kijken’ te bevorderen. In de werktekst op de volgende bladzijde nemen we een aantal opgaven over uit Kindt (2006) die tonen hoe je dit ook in andere hoofdstukken kunt inlassen. Bij deze opgaven moeten leerlingen niet enkel het patroon herkennen en nadien zelf in staat zijn om het schema voort te zetten. Vaak wordt naar een verklaring gevraagd. Bij de veralgemening en verklaring kan algebra een goed hulpmiddel zijn. We verwerken alle opgaven in één werktekst, maar je kunt de deelopgaven ook apart aanbieden. JOHAN DEPREZ, REGI OP DE BEECK, R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

BEGIN LESACTIVITEIT

VERRASSENDE RESULTATEN 1. Controleer de resultaten in de regels hieronder:

2. Geef de volgende drie regels. 3. Hoe kun je dit patroon verklaren? Antwoord: als je het bovenstaand patroon veralgemeent en de . formule uitrekent, dan heb je een verklaring: 4. Reken na dat

5. Vul nu zelf de resultaten in van de volgende drie opgaven en vervolledig het schema met twee dergelijke opgaven.

6. Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring. Antwoord: het resultaat is telkens 1. Ook hier zul je via de veralgemening van het schema de verklaring vinden: . 7. Controleer de gegeven berekeningen en voeg twee regels toe.

8. Geef een soortgelijke berekening die veel verder in de rij zou staan als je die zou voortzetten. 9. Waarom kom je telkens 2 uit? Geef een verklaring. Antwoord: Er zijn meerdere mogelijkheden om het linkerlid te veralgemenen: of … Uitwerking van die uitdrukkingen geeft telkens als resultaat 2. 10. Bereken achtereenvolgens:

11. Wat merk je op? Geef hiervoor een verklaring. Antwoord: het resultaat is telkens 25. De onderstaande veralgemening van het schema geeft de verklaring en toont zelfs dat de getallen van de tweede term enkel 10 moeten verschillen, maar zelf geen veelvouden van 10 hoeven te zijn: .

Vaak gebruiken we concrete getallen om een formule uit algebra te begrijpen. Bij de opgaven hierboven redeneren we omgekeerd: we stellen iets vast bij getallen en gebruiken de algebra om het te begrijpen. In de bovenstaande werktekst merkte je dat algebra gebruikt wordt om patronen te beschrijven en te verklaren. Dat lukt echter niet bij alle patronen. Een gekend voorbeeld waarbij het juist een meetkundige voorstelling is die een verklaring biedt, vind je hieronder.

EINDE LESACTIVITEIT

BRONNEN Kindt, M. (2006). Oefening baart kunst. In P. Drijvers (Ed.), Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle algebra op school (pp. 105–136). Utrecht, The Netherlands: Freudenthal Institute. Dit stukje verscheen in Uitwiskeling 29/1 in het kader van een artikel over algebra oefenen met inzicht. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

10 VVWL

OVER HET BELANG VAN DATAVISUALISATIE STATISTISCHE VALKUILEN: DATA SAMENVATTEN IN ÉÉN GETAL I VA N D E W I N N E I S VO O R Z I T T E R VA N D E V L A A M S E V E R E N I G I N G VA N W I S K U N D E L E R A A R S , AC T I E F L I D VA N D E G E O G E B R A W E R KG R O E P VA N D E V V W L , L I D VA N D E R E DAC T I E R A A D VA N “ W I S K U N D E E N O N D E RW I J S ” E N B E H E E R D E R VA N H E T M AT H E L O N A S C H O L I N G S P L AT F O R M VO O R W I S K U N D E .

In de beschrijvende statistiek kun je een groot aantal statistische data samenvatten in één enkel getal waarrond de waarnemingsgetallen gecentreerd liggen. Dat zijn de centrumgetallen zoals het gemiddelde, de modus en de mediaan. Je kunt ook de spreiding van deze statistische data onderzoeken door gebruik te maken van de spreidingsgetallen zoals de variantie en de standaardafwijking. Uitschieters kunnen die centrumgetallen en spreidingsgetallen sterk beïnvloeden. Het samenvatten van statistische data in één enkel getal houdt wel een aantal gevaren in omdat je geen beeld meer hebt van het geheel. Denk hierbij aan het volgende voorbeeld; een rivier is gemiddeld 1,5 meter diep maar bij het oversteken van de rivier is iedereen verdronken.

Je kunt ook een verband (correlatie) onderzoeken tussen twee statistische variabelen. - De lengte en gewicht van een persoon; - De prijs van een auto en het aantal verkochte modellen; - Het aantal ooievaars en het aantal geboren baby’s in een bepaalde regio; - Het aantal verkochte ijsjes en het aantal verdrinkingen. Indien er een sterke correlatie is tussen twee variabelen, dan betekent dit nog niet dat er een causaal verband is tussen de variabelen. Een beroemd (maar fictief) verhaal gaat als volgt: Tijdens een concert van de popgroep U2 neemt de zanger Bono de microfoon en doet deze uitspraak: “Telkens ik in mijn handen klap, sterft er in Afrika een kind van de honger.” Vervolgens begint Bono in zijn handen te klappen. Het wordt stil in het publiek tot één van de toeschouwers roept: “Stop dan met klappen.”

Dit is een voorbeeld waarbij er een (perfecte) correlatie is tussen het handgeklap en het sterven van kinderen in Afrika. Het is hier overduidelijk dat correlatie en causaliteit met elkaar worden verward. Het sterven van de kinderen is geenszins het gevolg van het handgeklap van Bono. Er is helemaal geen causaal (oorzakelijk) verband. Indien Bono stopt met klappen, dan zullen er plots niet minder kinderen sterven in Afrika. Een getal dat de sterkte van de correlatie weergeeft, is de correlatiecoëfficiënt. De correlatiecoëfficiënt behoort tot de agressiefste statistische instrumenten en het gebruik van dit getal moet met de nodige voorzichtigheid gebeuren. De correlatiecoëfficiënt vat immers honderden of duizenden data, van twee gemeten variabelen samen in één enkel getal dat gelegen is tussen -1 en 1. Uiteraard blijven sommige dingen daardoor buiten beschouwing.

Door het grote gevaar van het samenvatten van statistische data in één enkel getal is het noodzakelijk om de data ook te visualiseren. In de beschrijvende statistiek zijn grafische voorstellingen van data met staafdiagrammen of histogrammen erg nuttig. Om de correlatie tussen twee statistische variabelen te onderzoeken is het noodzakelijk om deze data te visualiseren met een spreidingsdiagram. HET KWARTET VAN ANSCOMBE Francis John "Frank" Anscombe was een Britse statisticus geboren op 13 mei 1918 in Hove (Sussex) en stierf op 17 oktober 2001. Het is bekend dat hij zijn naam heeft gegeven aan het Anscombe-kwartet, een kunstmatige dataset die de valkuilen van lineaire regressie en het belang van datavisualisatie laat zien.

Het is de bedoeling om de correlatie tussen twee variabelen van vier verschillende datasets te onderzoeken. Dat kan door een numeriek onderzoek met berekening van kengetallen en aansluitend een grafisch onderzoek met het tekenen van een spreidingsdiagram en de regressielijn of trendlijn. Gegeven zijn 4 datasets. Dataset 1

Dataset 2

Dataset 3

Dataset 4

4.26

3.1

5.39

6.58

5.68

4.74

5.73

5.76

7.24

6.13

6.08

7.71

4.82

7.26

6.42

8.84

6.95

8.14

6.77

8.47

8.81

8.77

7.11

7.04

8.04

9.14

7.46

5.25

8.33

9.26

7.81

5.56

10.84

9.13

8.15

7.91

7.58

8.74

12.74

6.89

9.96

8.1

8.84

12.5

Die vier datasets geven (benaderd) dezelfde waarden voor de centrumgetallen en de spreidingsgetallen. Idem voor de correlatiecoëfficiënt en de regressielijn. Dataset 1 Gemiddelde van de variabele xi Gemiddelde van de variabele yi Standaardafwijking van de variabele xi Standaardafwijking van de variabele yi Correlatiecoëfficiënt Vergelijking van de regressielijn en.wikipedia.org/wiki/Frank_Anscombe

Dataset 2

Dataset 3

Dataset 4

SPREIDINGSDIAGRAM EN REGRESSIELIJN Om de correlatie tussen twee sta-

tistische variabelen te onderzoeken is het noodzakelijk om de data te visualiseren met een spreidingsdia-

gram en de regressielijn te tekenen. Dat geeft een totaal ander beeld van de 4 datasets.

Spreidingsdiagram dataset 1

Spreidingsdiagram dataset 2

Spreidingsdiagram dataset 3

Spreidingsdiagram dataset 4

BESLUIT Dataset 1: redelijke positieve correlatie. De correlatiecoëfficiënt geeft aan dat er geenszins sprake is van een sterke lineaire regressie. De regressielijn is een benadering voor het spreidingsdiagram. Dataset 2: de correlatiecoëfficiënt geeft een vals beeld omdat er hier absoluut geen sprake is van een lineaire regressie. De datapunten zijn ongeveer gelegen op een parabool.

Dataset 3: redelijke positieve correlatie. De correlatiecoëfficiënt geeft aan dat er sprake is van een lineaire regressie. De regressielijn is een goede benadering voor het spreidingsdiagram met uitzondering van één koppel data. Er is één uitschieter

die ervoor zorgt dat de waarde van de correlatiecoëfficiënt van 1 vermindert tot 0,82. Dataset 4: Er is in dit geval geen sprake van correlatie! LINK NAAR INTERACTIEVE GEOGEBRA-APPLETS https://www.geogebra.org/m/ jp8rqyqg WEBSITES: www.vvwl.be Vlaamse vereniging wiskundeleraars www.mathelo.net Nascholingsplatform voor wiskunde https://www.facebook.com/ GeoGebra-Vlaanderen106036888566979 Facebookpagina GeoGebra Vlaanderen e-mail: ivan.dewinne@telenet.be

OEFENING 1 Bij het uitzenden van geluidssignalen kost het symbool - twee keer zoveel tijd als het symbool |. Welk van de onderstaande berichten kost het meest tijd? A

14 PYTHAGORAS

DE TANGENSREGEL DOOR HENK HIETBRINK

Naast de bekende sinusregel en cosinusregel bestaat ook de tangensregel. De eerste twee staan, als je in de juiste klas zit, in je wiskundeboek, maar de laatste zul je daar niet meer vinden. In dit artikel wordt de tangensregel weer tevoorschijn gehaald en zie je onder meer wanneer die heel handig is. De tangensregel is een voorbeeld van een regel die kwam en ging. In de zeventiende eeuw werd de tangensregel bewezen met meetkunde, in de negentiende eeuw met goniometrische verbanden en ergens in de twintigste eeuw werd de tangensregel uit de Nederlandse lesboeken geschrapt. In dit artikel wordt eerst uitgelegd wat de tangensregel is en hoe je die kunt gebruiken. Daarna komt het zeventiende-eeuwse meetkundige bewijs. Vervolgens komen de goniometrische verbanden aan bod. Tot slot laten we professor Van der Waerden aan het woord met de vraag hoe zinvol het is om al die regels te onthouden. SINUSREGEL, COSINUSREGEL EN TANGENSREGEL met In iedere driehoek en zijden hoekpunten , en , en en hoeken , en

gelden de sinusregel, cosinusregel en de tangensregel. De eerste twee staan in je wiskundeboek:

De sinusregel heeft een mooi ritme, de cosinusregel heeft iets weg van de stelling van Pythagoras, maar de tangensregel heeft een andere vorm en is minder bekend:

Als je de formule wilt onthouden, focus dan op som en verschil: de tangens van de halve som staat tot de tangens van het halve verschil als de som staat tot het verschil.

KIES DE JUISTE REGEL Wiskunde vraagt om de handigheid in iedere situatie snel de juiste formule te kiezen. Ieder van deze drie regels heeft zo zijn eigen toepassing. Hieronder staan enkele situaties. Vraag is welke van de drie regels je het best kunt gebruiken. Opgave 1: Gegeven zijn , en , met welke regel bereken je , en ? Opgave 2: Gegeven zijn , en , met welke regel bereken je ? Opgave 3: Gegeven zijn , en , met welke regel bereken je , en ? Opgave 4: Gegeven zijn , en , met welke regel bereken je en ? TOEPASSING Wie de tangensregel niet kent, zal bij opgave 4 eerst de cosinusregel toepassen om de lengte van zijde uit te rekenen en daarna de sinusregel voor de hoeken en . Dat kan korter met de tangensregel. Mischien denk je dat je de tangens in de teller en de noemer niet kunt uitrekenen, maar bedenk dat als de grootte van hoek gegeven is, ook de som van de hoeken . bekend is, want De tangens in de teller kun je dus wel uitrekenen! Kortom, de tangensregel is erg efficiënt wanneer je alleen de onbekende hoeken en wilt weten. Wanneer je het rekenschema zelf wilt uitvinden,

dan kun je aan de slag met de met driehoek en

Tot slot en .

en .

REKENSCHEMA Straks ga je rekenen, maar het is altijd zinvol om eerst een tekening te maken om de orde van grootte in te schatten. Teken bovenstaande met , driehoek en met pen of papier of met GeoGebra. Opgave 5: Meet de grootte van de hoeken en op. Opgave 6: Meet ook de lengte van op. de zijde Hieronder staat een rekenschema dat gebaseerd is op een bladzijde uit een anoniem manuscript uit de 17e eeuw dat in het bezit is van Forum Rare Books1. De anonieme auteur maakt de volgende stappen. De tangensregel luidt:

Eerst bereken je som en verschil: en . Daarna de som van de hoeken zodat met . Je hebt nu drie van de vier onderdelen van de tangensregel uitgerekend en kunt dus de onbekende tangens van het halve verschil uitrekenen: zodat

Opgave 7: Reken zelf het hele rekenschema na en controleer je antwoorden met je tekening. BEWIJZEN Het aardige van wiskunde is dat je iedere regel kunt bewijzen, dus ook de tangensregel. Op WisFaq en Wikipedia staan bewijzen die gebruikmaken van de regels van Simpson over de som of het verschil van twee hoeken. Deze regels krijg je meestal pas in het examenjaar. In die bewijzen wordt geen gebruik gemaakt van twee lijnstukken met en . In dit artikel lengte bespreken we een meetkundig bewijs waar die lijnstukken wel in de tekening staan. Dit bewijs is te volgen wanneer je in 3 vwo iets van meetkundig redeneren hebt meegekregen en de goniometrie van de rechthoekige driehoek kent. OPDRACHT UIT HET MANUSCRIPT Op de volgende pagina zie je een bladzijde uit dat manuscript uit de 17e eeuw. Je ziet de driehoek en alle berekeningen. Gegeven is driehoek met en en . Opgave 8: Bereken met de tangensregel de grootte van de hoeken bij de punten en .

1 2

Betrouwbare links komen op mijn website http://www.fransvanschooten.nl/tangensregel.htm Zie Elementen van Euclides, boek I propositie 18 en 19.

Merk op dat de lettering van de punten anders is dan bij de vorige opgave. Gegeven zijn , en . Je kunt in deze situatie de tangensregel herschrijven als

Invullen geeft

Afgerond op twee decimalen is zodat en . MEETKUNDIG BEWIJS In de tekening van het manuscript uit de 17e eeuw zijn hulplijnen getekend. Die hulplijnen construeren twee gelijkbenige driehoeken. Helaas zijn in het manuscript de punten niet zo handig gekozen voor ons doel. Daarom keren we terug naar onderstaande tekening van met gegeven zijdes driehoek , en hoek . Gemakshalve is waardoor volgens Euclides2 . ook We beginnen met een hulplijn. We tot punt met verlengen lijn zodat . gelijkZodoende is driehoek benig. (zie figuur volgende pagina)

Opgave 12: Toon aan dat . Driehoek

is ook rechthoekig.

Opgave 13: Toon aan dat . Opgave 9: Druk de hoeken van uit in . driehoek is de tweede hulplijn met Lijn , waardoor . Zodoende is driehoek gelijkbenig.

De driehoeken en zijn gelijkvormig vanwege die gelijke rechte hoek en die gelijke basishoek waardoor .

Uit volgt tot slot het gevraagde, namelijk de tangensregel: .

Opgave 10: Druk de hoeken van uit in en . driehoek Dankzij deze twee hulplijnen zijn lijnstukken geconstrueerd met lengte en , twee hoeken met en twee hoeken met grootte . Eerst ga je aantogrootte recht is, vervolgens ga nen dat je op zoek naar uitdrukkingen voor en

Opgave 11: Onderzoek driehoek en toon aan dat .

Frans van Schooten, Francisci Vietae opera mathematica, Leiden, Elzevirorum, 1646

GESCHIEDENIS Kort voor 1600 waren wiskundigen op zoek naar nieuwe goniometrische verbanden. Langzaam maar zeker kwamen ze op nieuwe uitdrukkingen. Latijn was toen de wetenschappelijke taal. Uiteindelijk geeft Viète de tangensregel in woorden3, maar het is een hele prestatie om in onderstaande zin de moderne uitdrukking te herkennen. Om te beginnen moet je weten dat er voor de tangens nog geen woord was. Viète heeft het over de prosinus!

CONCLUSIE De tangensregel is een logische aanvulling op de sinusregel en de cosinusregel. Het aardige is dat juist dat anonieme manuscript duidelijkheid verschafte over de meetkundige redenering achter de tangensregel. In dit artikel staat slechts één afbeelding, maar in het manuscript staan nog veel meer voorbeelden. Die voorbeelden en meer details over de geschiedenis komen op mijn website5 te staan. Je hebt ontdekt dat er elegante, ritmische formules zijn, maar ook heb je gezien dat je met hoogtelijnen en de goniometrie van de rechthoekige driehoek net zo ver komt.

Rond 1900 verschoof de aandacht van meetkunde naar algebra. Het bewijs voor de tangensregel werd verlegd naar het toepassen van goniometrische regels als de som en verschilregel. Die regels krijg je meestal pas in 6 vwo. Het bewijs slaan we daarom over. Let wel goed op de plus- en mintekens.

Opgave 14: Laat zien dat je de uitdrukking

met de

sinusregel kunt herleiden tot de som en het verschil van sinussen. Opgave 15: Pas de som- en verschilregel toe en bewijs zo de tangensregel. KAN HET SIMPELER? In 1930 vroeg Van der Waerden4 zich af waarom in de schoolboeken de aandacht uitging naar de tangensregel en dat goniometrische bewijs. Zijn standpunt was dat leerlingen wiskunde leren door zelf na te denken over triviale hulplijnen als de hoogtelijn.

4 5

Opgave 16: Ga terug naar de opgave over driehoek en met . Teken de en met voetpunt hoogtelijn uit punt op zijde . Bereken achtereenvolgens de lengte van de zijden van en en tot de driehoeken slot de grootte van de hoek bij de en . punten

Op de site fransvanschooten.nl/ tangensregel.htm staat meer over de tangensregel, waaronder meer voorbeelden uit het genoemde manuscript en meer verwijzingen en details over de geschiedenis. H E N K H I E T B R I N K G A F VO R I G SCHOOLJAAR WISKUNDE OP DE B R E U L I N Z E I S T. M O M E N T E E L DOET HIJ ONDERZOEK NAAR DE W I S K U N D E VA N S I M O N S T E V I N (VESTINGBOUW EN INTEREST) E N V E R Z O R G T WO R K S H O P S OV E R ZONNEWIJZERS EN MUQARNAS. E-MAILADRES: H I E T B R I N K . H @ P L A N E T. N L

Opgave 17: Toon aan dat .

Van der Waerden, de tangensregel in de goniometrie, in Euclides, 6e jaargang 1930, Nr. 5-6, Groningen, Noordhoff, 1930 http://www.fransvanschooten.nl/tangensregel.htm

UITWERKINGEN Opgave 1: sinusregel

Opgave 11: Omdat en

Opgave 2: cosinusregel

dus en , daarom is ,

Opgave 3: cosinusregel

en dus is driehoek

en dan tot

rechthoekig.

Opgave 4: tangensregel Opgave 12: In rechthoekige driehoek is . Vanuit hoek

Opgave 5: Opgave 6:

gezien is zijde de overstaande de aanliggende. en zijde . Daarom is

Opgave 7: Tip: vermijd tussentijds afronden Opgave 8: Gegeven is driehoek en en Invullen in

Opgave 13: In rechthoekige driehoek is

met . geeft

. Vanuit hoek gezien is zijde de overstaande en zijde de aanliggende. Daarom is .

Daarom

Opgave 16: Gegeven is driehoek met en en . De lengte van de hoogtelijn uit volgt uit . Afgerond op twee . Het decimalen is . Uit voetpunt verdeelt zijde volgt dat .

en dus is Opgave 14: Gebruikmakend van de sinusregel

Afgerond op twee decimalen en

waardoor

en dus tot

Tot slot

zodat en

Opgave 9: In gelijkbenige driehoek

kun je via en de uitdrukking herleiden tot

Opgave 17: Omdat

is zodat

. Opgave 10: In gelijkbenige driehoek is zodat

Zodoende volgt uit . dat

en daarom is Opgave 15: Gebruikmakend van de som- en verschilformule kom je uit op de uitdrukking

20 ARS ET MATHESIS

HET DING EN MEER VAN DAT IN DE VROEGE OCHTEND VAN 12 APRIL 1974 STOND DAAR ZOMAAR AAN DE CAMPUSLAAN BIJ DE HOOFDINGANG VAN DE UNIVERSITEIT TWENTE IN ENSCHEDE EEN CONSTRUCTIE VAN AFGEDANKTE TELEFOONPALEN EN VOORGEREKTE STALEN KABELS. NA EEN JAAR VAN VOORBEREIDING IN ÉÉN NACHT NEERGEZET DOOR EEN GROEPJE VAN VIJF STUDENTEN. HET OBJECT IS GEBASEERD OP EEN TENSEGRITY-MODEL VAN DE AMERIKAANSE ARCHITECT EN ONTWERPER RICHARD BUCKMINSTER FULLER (1895-1983). DOOR EEN UITGEBALANCEERD EVENWICHT VAN DUWENDE EN TREKKENDE KRACHTEN WORDEN DE ZES PALEN WAARVAN ER DRIE LIJKEN TE ZWEVEN, MET STALEN KABELS IN BALANS GEHOUDEN. PAS IN 2013 WERD BEKEND WELKE ‘GRAPPENMAKERS’ HET OBJECT, DAT BIJ GEBREK AAN BETER AL SNEL "HET DING" WERD GENOEMD, DAAR HADDEN NEERGEZET. KLAAS LAKEMAN, A R S E T M AT H E S I S

TWINTIGVLAK De uiteinden van de palen vormen de 12 hoekpunten en de verbindende kabels de zijden of randen van een twintigvlak. Niet regelmatig zoals velen ten onrechte vaak menen. Al weer jaren geleden bouwde ik zelf een model met 20 centimeter lange houten staven. Daarbij waren de draden iets langer dan 12 cm (figuur 1). Tijdens de constructie kwam ik er achter dat die draden te lang waren voor de zes verbindingen tussen de uiteinden van telkens twee evenwijdige staven. Daartussen hingen ze slap en droegen zo niet bij aan het in balans houden van de staven. Ze konden dus worden gemist! Ook bij Het Ding is te zien dat de zes kabels tussen de uiteinden van telkens twee evenwijdige palen achterwege zijn gelaten. Het gevolg is dat de constructie niet star is, maar een zekere flexibiliteit vertoont. Wanneer je twee evenwijdige staven iets uit elkaar trekt, gaan de andere twee paren evenwijdige staven tegelijk ook verdere uit elkaar. Laat je ze los, dan veert het geheel terug naar de oorspronkelijk stand. Die twaalf uiteinden van de staven zijn dus de hoekpunten van een twintigvlak dat bestaat uit 8 gelijkzijdige driehoeken en 12 gelijkbenige driehoeken. Die gelijkbenige driehoeken grenzen twee aan twee aan elkaar.

De ontbrekende draden tussen de uiteinden van twee evenwijdige staven vormen hun gemeenschappelijke fictieve basissen. De staven zijn lichaamsdiagonalen van dat twintigvlak.

Figuur 1 Model van Het Ding.

Figuur 2 Icosaëder op gouden rechthoeken.

REGELMATIG TWINTIGVLAK Om een regelmatig twintigvlak of icosaëder te krijgen moeten twee evenwijdige staven zover uit elkaar worden getrokken dat hun afstand gelijk is aan een kabellengte. De andere twee paren krijgen daarmee tegelijk ook een onderlinge afstand van een kabellengte. Die toestand kan alleen zo blijven als tussen de uiteinden van een paar evenwijdige staven een staaf wordt gezet met de lengte van een kabel. Anders gezegd op de plaatsen van de ontbrekende overbodige kabels moeten starre staven tussen de evenwijdige staven worden geklemd. In plaats van door drie paar evenwijdige staven wordt het twintigvlak dat nu regelmatig is, opgespannen door drie rechthoeken. Die staan onderling loodrecht op elkaar en hun middelpunten vallen samen met het middelpunt van de opgespannen icosaëder zoals bijvoorbeeld in figuur 2 met dichtgewerkte rechthoeken. Die rechthoeken zijn zogenoemde gouden rechthoeken.

Figuur 3 Gouden rechthoek

Figuur 4

GOUDEN RECHTHOEK Een gouden of gulden rechthoek is een rechthoek waarbij de zijden zich verhouden volgens de gulden snede of beter gezegd als het gulden getal. De gulden snede is de verdeling van een lijnstuk in twee delen waarbij het grote deel zich verhoudt tot het kleine als het gehele kan lijnstuk tot het grote deel (figuur 3). Uit door oplossen van a/b die verhouding worden berekend als

gelijkzijdige driehoek abc een zijvlak van de icosaëder . met zijden In driehoek asc is hoek gelijk aan 60°. Dat betekent dat . de lengte van lijnstuk cs gelijk is aan In een icosaëder is de hoek tussen twee zijvlakken afgerond 138°. In figuur 4D is dat hoek csk. Dan is in driehoek sec hoek afgerond 69°. Ook geldt in driehoek sec dat . en verhouden de zijden van de Dan is lichtgrijze rechthoek in figuur 4D zich afgerond als 1,617. Daarmee is aangetoond dat die lichtgrijze rechthoek inderdaad een gouden rechthoek is. Hetzelfde geldt voor de gouden en roze rechthoeken in de figuren 4A en 4B.

Dit staat bekend als het gulden getal. Niet alleen de rechthoek met zijden a+b en a in figuur 3 is een gouden rechthoek, maar ook de rechthoek met zijden a en b. Je kunt dan ook zeggen dat een gouden rechthoek een rechthoek is waarbij je een kleinere gouden rechthoek overhoudt als je er een zo groot mogelijk vierkant vanaf knipt. Bij de kleinere gouden rechthoek kun je hetzelfde doen, er blijft dan een nog kleinere gouden rechthoek over. In principe is dat tot in het oneindige door te zetten. BEREKENING De icosaëder van figuur 4A wordt opgespannen door drie loodrecht op elkaar staande congruente rechthoeken met samenvallende middelpunten. In figuur 4C is de

Figuur 5

Figuur 6

KIJKEN In de icosaëder van figuur 5A met daarin wederom de drie loodrecht op elkaar staande congruente rechthoeken, vormen de vijf groene zijden een regelmatige vijfhoek. In figuur 5B is die er apart uitgelicht. Daarin is de zijde, die tevens een korte zijde is van de grijze rechthoek, grijs gekleurd. Ook is daarin de diagonaal die tevens een lange zijde is van de roze rechthoek, roze gekleurd. Gegeven is dat in een regelmatige vijfhoek een diagonaal en een zijde zich verhouden als het gulden getal. En daarmee verhouden de zijden van de rechthoeken in figuur 5A en ook die van 4A en 4B zich evenzo als het gulden getal. Het zijn dus gouden rechthoeken.

overgebleven ringen volledig vrij komen te liggen. Zo’n Borromeaanse vervlechting kan in verschillende varianten voorkomen (figuur 6). Nog even terug naar figuur 1. Door het uit elkaar trekken van twee evenwijdige staven en er aan de uiteinden starre staven tussen te klemmen, kon een regelmatig twintigvlak worden verkregen. Dat heb ik daadwerkelijk uitgevoerd (figuur 7). Wat bij voorgaande figuren mogelijk niet direct opvalt, is daar duidelijk te zien. De drie opengewerkte gouden rechthoeken zijn als Borromeaanse ringen met elkaar verstrengeld net als in het midden van figuur 6. Door hun verschillende kleuren, wit, grijs en zwart, wordt dit extra geaccentueerd.

15 GOUDEN RECHTHOEKEN Voor een gouden rechthoek in een icosaëder zijn twee tegenover elkaar liggende zijden nodig. Omdat een verschillende icosaëder 30 zijden heeft zijn er gouden rechthoeken mogelijk. De middelpunten van die 15 gouden rechthoeken vallen samen met het middelpunt van de icosaëder. Bij elk van die rechthoeken passen steeds twee andere rechthoeken die daar loodrecht op staan, zodat ze met z’n drieën het regelmatig twintigvlak op kunnen spannen, zoals in figuur 2.

De gouden rechthoeken in figuur 7 bestaan uit balkjes met een vierkante doorsnede. Zou je die zoals doorgaans bij schilderij- en fotolijstjes middels gewoon verstek in elkaar zetten, dan zijn de hoekpunten geen echte punten. Dat wordt wel bereikt door de balkjes bij het doorzagen niet op een platte kant neer te leggen, maar eerst 45° te draaien. De lengte van de touwtjes die de drie rechthoeken op hun plaats houden, is uiteraard gelijk aan een korte zijde van de rechthoeken.

BORROMEAANSE RINGEN Borromeaanse ringen zijn drie met elkaar verstrengelde ringen en wel zo dat als je om het even welk van de drie ringen door zou knippen en wegneemt de twee

In een wat meer gestileerde vorm is deze constructie onder de naam Borromean Golden Rectangles of Borromeaanse Gouden Rechthoeken in de tentoonstelling Kunst en Wiskunde in het virtuele Museum Tesseract

Figuur 7 Borromean Golden Rectangles

opgenomen (zie de aankondigingen in het vorig nummer). MET DRIEHOEKEN Vier gelijkzijdige driehoeken kunnen zo in elkaar worden hoekpunten ook een icosageschoven dat hun ëder opspannen. En ook daarbij spelen gulden snede en gulden getal een rol. Elk van de drie zijden van een zo´n gelijkzijdige driehoek wordt door elk van de drie andere driehoeken doorgesneden volgens de gulden snede (figuur 8A). De driehoeken doorsnijden elkaar steeds volgens de zijden van de donkergroene driehoek (figuur 8A). Het zal duidelijk zijn dat de donkergroene driehoek in figuur 8A net als de omhullende witte gelijkzijdig is. Dat maakt dat de vier witte driehoeken in elkaar geschoven langs de rode inkepingen samen een tetraëder of viervlak insluiten (figuur 8B). De twaalf hoekpunten van de driehoeken spannen met elkaar verbonden een icosaëder op (figuur 9). De zijden van de driehoeken zijn per driehoek drie van de 30 mogelijke korte diagonalen in de icosaëder en zijn lang met z als de lengte van een (rode) zijde dus van de icosaëder.

Figuur 8

OOK EEN OCTAËDER Gouden rechthoeken zoals in figuren 2, 4A en 5A kunnen ook het fundament leveren voor een regelmatig achtvlak of octaëder. Of omgekeerd zijn binnen een octaëder drie loodrecht op elkaar staande gouden rechthoeken mogelijk. De 12 hoekpunten van de gouden rechthoeken liggen op elk op een van de 12 zijden van de octaëder en verdelen deze volgens de gulden snede (figuur 10A). Dit is te zien door de driehoek met als zijden de groene rechthoekzijden en de rode stippellijn uit figuur 10B te lichten. In figuur 10C zijn ADE en EFB gelijkvormige gelijkbenige rechthoekige driehoeken. De lijnstukken EF

Figuur 9

Figuur 11

octaëder en 2EF is een zijde van de icosaëder. We zagen . eerder dat Verder geldt of wel . 2EF is de zijde van de icosaëder en deze is dus 0,54AB met AB de zijde van de octaëder.

Figuur 10

en DE zijn de helft van de zijden van de grijze gouden . Vanwege rechthoek. Dat betekent dat de gelijkvormigheid van de driehoeken ADE en EFB is . dan ook Nu is ook gemakkelijk in te zien hoe een icosaëder precies in een octaëder ingekapseld kan worden door op de gouden rechthoeken van figuur 10A een icosaëder te construeren zoals in de figuren 2, 4A en 5A. Figuur 11 toont het resultaat. Met behulp van figuur 10C kan ook de verhouding van hun zijden worden bepaald. AB is een zijde van de

NOG EEN OCTAËDER Door de uiteinden van de snijlijnen van drie loodrecht op elkaar staande gouden rechthoeken met elkaar te verbinden, ontstaat ook een octaëder (figuur 12). Het hoeft geen betoog om in te zien dat de (gele) lijnen die de zijden vormen van zo’n regelmatig achtvlak even lang zijn. TENSEGRITY ACHTVLAK De benaming tensegrity is een samentrekking van de Engelse woorden tensional integrity. Figuur 13A is een voorbeeld van een zeer eenvoudig tensegrity-model: drie staven die met negen draden staande worden gehouden. Doorgaans maakt men de zes even lange draden die het driehoekige grondvlak en het driehoekige bovenvlak vormen een stuk korter dan de drie draden die grond- en bovenvlak met elkaar verbinden.

negen draden echter even lang. Door figuur 13A aan te vullen met drie rode draden die voor de constructie niet nodig zijn, ontstaat een achtvlak (figuur 13B).

Figuur 12

In figuur 13A zijn de betreffende drie draden iets dikker dan de andere zes. In het model van figuur 13A zijn alle

Figuur 13

IDEALE OCTAËDER Net als Het Ding vertoont het model van figuur 13A een zekere flexibiliteit. Anders dan bij Het Ding kunnen uiteinden van twee staven in figuur 13B met elkaar verbonden door een van de rode draden, wat naar elkaar toe getrokken worden. Daardoor gaan tegelijk ook de andere uiteinden twee aan twee naar elkaar toe. Bij loslaten gaat het model weer terug naar zijn oorspronkelijke vorm. Een regelmatig achtvlak wordt benaderd wanneer de uiteinden van de staven twee aan twee naar elkaar toe worden getrokken zodat idealiter de rode draden van figuur 13B even lang worden als de andere negen draden. De staven komen dan in het middelpunt precies tegen elkaar en zouden de drie ruimtelijke loodrecht op elkaar staande diagonalen van een octaëder moeten vormen. In het ideale geval zouden de staven daarvoor oneindig dun moeten zijn, lijnen dus zoals bij een XYZ-assenstelsel. Vanwege de noodzakelijke doorsnede afmetingen van de staven is dit fysiek echter niet mogelijk.

Baloe en Winnie smeren elk zo snel mogelijk 15 broodjes. Na 3 minuten heeft Baloe een derde van zijn broodjes gesmeerd en Winnie een vijfde van de zijne. Als beide beren aan hetzelfde tempo blijven smeren, hoeveel minuten na Baloe is Winnie klaar? A

3 minuten

9 minuten

5 minuten

15 minuten

6 minuten

OEFENING 3 Twee vierkanten liggen in een groot vierkant zoals in de ﬁguur. Wat is de verhouding van de oppervlaktes van vierkanten I en II?

17,5

22,5

27,5

OEFENING 4

OEFENING 2

In een vierkant met zijde 10 tekent men een halve cirkel en een diagonaal zoals in de ﬁguur. Wat is de oppervlakte van het gekleurde deel?

©V 􀀁 laamse Wiskunde Olympiade vzw - Eerste Ronde VWO 2022, vraag 7

©V 􀀁 laamse Wiskunde Olympiade vzw - Eerste Ronde JWO 2022, vraag 5

28 UITWISKELING

STATISTIEK IN DE DERDE GRAAD: Q-Q-PLOTS IN DE LESSEN STATISTIEK VAN DE DERDE GRAAD GEBRUIKEN WIJ MEESTAL DE 68 95 99,7-REGEL OM NA TE GAAN OF EEN REEKS WAARNEMINGEN EVENTUEEL NORMAAL VERDEELD IS. Q-Q-PLOTS BIEDEN EEN ANDERE EN VEEL GEBRUIKTE MOGELIJKHEID OM DAT TE ONDERZOEKEN. J O H A N D E P R E Z , E L S VA N L O M M E L ,

1 Q-Q-PLOT Een Q-Q-plot is een grafiek waarin de kwantielen van twee kansverdelingen tegen elkaar worden uitgezet. Als beide datasets uit eenzelfde soort verdeling komen, liggen de punten op een rechte. Als de

R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

punten niet op een rechte liggen, zijn de datasets niet gelijk verdeeld. Het is dus een grafiek waarmee je twee kansverdelingen met elkaar kunt vergelijken. De letter Q in de benaming verwijst naar het Engelse quantile.

Figuur 1 Q-Q-plot om data uit twee verschillende verzamelingen met elkaar te vergelijken

Er zijn verschillende varianten van Q-Q-plots. Je kunt kwantielen van data uit twee verschillende verzamelingen vergelijken met elkaar om na te gaan of ze uit dezelfde verdeling komen, zonder dat je die verdeling kent of wilt kennen. Een typisch voorbeeld is dat van statistisch onderzoek waarbij van een aantal mannen en vrouwen de gewichten worden bepaald. Met een Q-Q-plot kun je dan nagaan of die gewichten dezelfde verdeling hebben. Op de ene as zet je kwantielen van de gewichten van de mannen uit je steekproef, op de andere as de overeenkomstige kwantielen van de vrouwen. Als de punten die je verkrijgt nagenoeg op een rechte liggen dan zijn de gewichten gelijk verdeeld. De controle gebeurt volledig visueel. In figuur 1 zie je zo’n Q-Q-plot. De punten volgen waaruit vrij goed de rechte je kunt besluiten dat het gewicht van de mannen en vrouwen uit het onderzoek vrijwel gelijk verdeeld is.

Daarnaast kun je Q-Q-plots ook gebruiken om kwantielen van steekproefdata te vergelijken met de theoretische kwantielen van een bekende kansverdeling. Als de punten van de grafiek die je verkrijgt nagenoeg op een rechte liggen, dan weet je dat de experimentele data verdeeld zijn volgens die theoretische verdeling. Dit wordt vaak gebruikt om na te gaan of data normaal verdeeld zijn. Op het youtubekanaal StatQuest (Josh Starmer, 2017) vind je een leuk filmpje waarin wordt uitgelegd wat Q-Q-plots zijn en hoe je ze kunt gebruiken.

Eerst sorteren we in Excel de waarnemingen van klein naar groot (zie figuur 2). Daarna kiezen we de kwantielen die we willen onderzoeken. In de praktijk maakt men meestal van elke meetwaarde een kwantiel. In ons voorbeeld betekent dit dat 15,62 het 5%- of het -kwantiel is: 5% van de meetwaarden is kleiner dan of gelijk aan 15,62. Het 10%-kwantiel, of het -kwantiel, is 16,67 of met andere woorden: 10% van de meetwaarden

is kleiner dan of gelijk aan 16,67 enz. De grootste meetwaarde (23,71) is het 100%-kwantiel: alle meetwaarden zijn kleiner dan of gelijk aan 23,71. De steekproefkwantielen zetten we uit op de verticale as van de Q-Q-plot. Op de horizontale as moeten de bijbehorende theoretische kwantielen komen. Omdat we willen nagaan of de steekproefwaarden normaal verdeeld zijn, komen dus op de horizontale as de -kwantielen (met

1.1 Zelf een Q-Q-plot maken In wat volgt onderzoeken we met een Q-Q-plot of de volgende reeks van 20 waarnemingen normaal verdeeld is.

Met de meeste (wiskundige) programmeertalen (Matlab, Python, R, SPSS…) kun je onmiddellijk Q-Q-plots tekenen zonder zelf berekeningen te maken. Dat doen we hier bewust niet: om goed te begrijpen hoe een Q-Q-plot is opgebouwd, tekenen we zelf de grafiek met Excel. Eens je het principe begrepen hebt, kun je dit gemakkelijk doortrekken naar meer uitgebreide datasets.

Figuur 2 Een schermafdruk van het werkblad in Excel

= 1, 2, 3 … 20) van de normale verdeling. Welke normale verdeling we hiervoor nemen, maakt niet uit. We kiezen voor de standaardnormale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Op de horizontale as komen nu de -scores, de waarden voor x die de oppervlakte onder de dichtheidskromme verdelen in gelijke delen die telkens 5% zijn van de totale oppervlakte onder die kromme. Omdat het 100%-kwantiel gelijk is bij de normale verdeling, aan moeten we een continuïteitscorrectie doen. We vergelijken immers de kwantielen van discrete steekproefgegevens met de kwantielen van een continue verdeling (de normale verdeling). Daarom berekenen we niet de -kwantielen van de normale verdeling, maar wel de -kwantielen (met = 1, 2, 3 … 20). Met de functie NORM.INV.N kun je in

Figuur 3 Een spreidingsdiagram invoegen

Excel deze kwantielen berekenen. We hebben nu alle berekeningen gedaan en kunnen de grafiek maken. Kies bovenaan in het lint het tabblad ‘Invoegen’ en klik daar op de knop voor een spreidingsdiagram. Zie figuur 3. Daarna kies je in het tabblad ‘Ontwerpen’ voor ‘Gegevens selecteren’ en in het venster dat verschijnt, kies je ‘Toevoegen’. Je kunt dan de titel van je grafiek invullen en het celbereik voor de horizontale en de verticale as aangeven. Zie figuur 4. Het resultaat is de Q-Q-plot. Je kunt elementen van de grafiek, bijvoorbeeld het bereik van de verticale as, aanpassen door er op te klikken. Wanneer je met de rechtermuisknop op één van de punten van het spreidingsdiagram klikt, kun je een trendlijn toevoegen. Zie figuur 5.

We stellen vast dat de punten vrij goed op een rechte liggen. De afwijkingen zijn toevallig en niet structureel. We durven dus besluiten dat de steekproefgegevens normaal verdeeld zijn. Als je Q-Q-plots bespreekt in de klas, kun je de leerlingen als toepassing een Q-Q-plot laten maken met echte steekproefresultaten. Online vind je veel goede datasets die gratis opengesteld worden voor dataonderzoek: FiveThirtyEight, data.world, ProPublica, Socrata OpenData, AWS Public Data Sets... zijn maar enkele van de vele aanbieders. Maar je kunt ook iets uit de oude doos kiezen. In 1947 deden de wiskundigen H. Freudenthal en J. Sittig in opdracht van warenhuis De Bijenkorf onderzoek naar de lichaamsafmetingen van 5001 Nederlandse vrouwen. De Bijenkorf wilde op grond daarvan een maat-

Figuur 4 De gegevens selecteren

hiermee een Q-Q-plot gemaakt van de kniehoogte van de vrouwen uit het onderzoek. Die zijn heel duidelijk normaal verdeeld. Zie figuur 6. 1.2 Q-Q-plots interpreteren Het is niet altijd zo eenvoudig om Q-Q-plots goed te interpreteren. Wanneer kun je beslissen dat de punten goed genoeg op een rechte liggen? Dat kan zolang de afwijkingen klein, toevallig en niet structureel zijn. Dit blijft hoe dan ook een beetje een vage beslissing die op het zicht gebeurt. In de volgende lesopdracht gaan we dieper in op eventuele structurele afwijkingen. Figuur 5 Het resultaat: een Q-Q-plot

systeem voor kleding ontwikkelen. Van de vrouwen uit het onderzoek werden de lengte, het gewicht, de voetlengte, de kniehoogte… gemeten. In Uitwiskeling 22/2 verscheen

een artikel van Heleen Verhage waarin je meer info kunt vinden over het onderzoek en de resultaten. De data zijn gedigitaliseerd en je kunt ze online vinden. We hebben

Figuur 6 De kniehoogte van Nederlandse vrouwen is normaal verdeeld

BEGIN LESACTIVITEIT

Q-Q-PLOTS INTERPRETEREN Hieronder zie je verschillende Q-Q-plots waarbij op de horizontale as theoretische kwantielen (z-scores) van de standaardnormale verdeling staan. Op de verticale as staan de overeenkomstige kwantielen van een verzameling steekproefwaarden.

1. Het volgende histogram toont normaal verdeelde steekproefresultaten. Welke Q-Q-plot hoort erbij? Verklaar je antwoord.

2. Hieronder zie je een histogram van steekproefresultaten die linksscheef verdeeld zijn. Dit betekent dat het histogram aan de linkerkant een langere staart heeft dan aan de rechterkant. Aan de rechterkant liggen veel meetwaarden dicht bij het gemiddelde. Aan de linkerkant liggen weinig meetwaarden maar ze liggen verder van het gemiddelde. Welke Q-Q-plot hoort bij dit histogram? Verklaar je antwoord.

3. Het volgende histogram van steekproefresultaten heeft dunnere staarten dan bij de normale verdeling het geval is. Dit betekent dat er minder waarnemingen aan de uiteinden van de verdeling zitten en meer in het centrum. Welke Q-Q-plot hoort erbij? Verklaar je antwoord.

4. De volgende verdeling is rechtsscheef. Dit betekent dat het histogram aan de rechterkant een langere staart heeft dan aan de linkerkant. Welke Q-Q-plot hoort bij dit histogram? Verklaar je antwoord.

BRONNEN 5. Hieronder een histogram van steekproefresultaten met dikkere staarten dan normaal. Dit betekent dat er meer extreme waarnemingen zijn (aan de uiteinden van de verdeling) en minder waarnemingen in het centrum. Welke Q-Q-plot hoort erbij? Verklaar je antwoord.

Gordon, J. (2017). Normal Quantile (Q-Q) Plots In Excel Part 1. Youtube, geraadpleegd op 10 november 2019 via https://www.youtube.com/watch?v=nX6-j6lY9qc HollandMill (2018). Wikipedia QQplot voorbeeld2.png. Geraadpleegd op 10 november 2019 via https://commons.wikimedia. org/wiki/File:Wikipedia_QQplot_voorbeeld2.png Starmer, J. (2017). StatQuest: Quantile-Quantile Plots (QQ plots), Clearly Explained. StatQuest, Youtube. Geraadpleegd op 27 oktober 2019 via https://www.youtube.com/ watch?v=okjYjClSjOg StatFS-Bijenkorf1947. Google Spreadsheets. Geraadpleegd op 10 november 2019 via https://docs.google.com/spreadsheets/ d/1lHOT4j2f LyNkWSfds4A66_XpSVXWyatYlIJSTjXo2d4/ edit#gid=1363827413 Van den Broeck, L. (2016). Is dit normaal? Uitwiskeling 32/4, 2-5. Verhage, H. (2006). De juiste maat. Uitwiskeling 22/2, 4-13. Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 36/1 in het kader van een omvangrijk artikel rond eerstegraadsfuncties. In dat artikel staan ook de antwoorden bij de vragen uit de lesopdracht. Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

EINDE LESACTIVITEIT

OEFENING 5 Chocolatier Kamil verkoopt chocoladeletters. Gelijke letters kosten evenveel. Het woord EEN kost in totaal € 1, het woord DRIE € 3, VIER € 4, ZES € 6 en ZEVEN € 7. Twee klasgenoten kopen hun naam in chocoladeletters. Hoeveel kost MERISE meer dan DEMIR?

36 PYTHAGORAS

SPAAR ZE ALLEMAAL! EENS IN DE ZOVEEL TIJD IS HET ZOVER. DE SUPERMARKTEN ZIJN NAUWELIJKS BEGAANBAAR DOOR KINDEREN DIE BIJ DE INGANG HUN COLLECTIES VAN VOETBALPLAATJES COMPLEET PROBEREN TE KRIJGEN. MAAR NIET IEDEREEN HEEFT ZIN OM VOOR DE SUPERMARKT TE STAAN OF OM TE RUILEN. DAN IS DE VRAAG, HOEVEEL PLAATJES MOET JE EIGENLIJK GEMIDDELD MET DE BOODSCHAPPEN ‘BINNENHALEN’ OM JE COLLECTIE COMPLEET TE KRIJGEN? PAU L VA N D E V E E N

HOEVEEL GEMIDDELD? Concreet zijn we dus geïnteresseerd in het gemiddeld aantal voetbalplaatjes die men bij de boodschappen moet krijgen om een complete collectie te krijgen. Daarbij een aantal aannames: • Er zijn N verschillende voetbalplaatjes. • De actie is helemaal eerlijk en er zijn geen zeldzame plaatjes. Met andere woorden: elk plaatje heeft evenveel kans. Om te berekenen wat het gemiddelde aantal plaatjes is dat we moeten krijgen om een album te vullen, is het eerst handig om te weten hoeveel plaatjes we gemiddeld nodig hebben om een 'nieuw' plaatje te krijgen. Met 'nieuw' bedoelen we in dit geval een plaatje dat je nog niet in je stapel plaatjes hebt. Het zou dus kunnen zijn dat je verzameling voetbalplaatjes eruitziet als {Mats Seuntjens, Robin Maulun, Nick Bakker, Robin Maulun} dus 4 plaatjes in totaal en slechts 3 verschillende. Als je dan nog een Mats Seuntjens krijgt, heb je geen 'nieuwe'. Als je echter een Ricky van Wolfswinkel krijgt, dan spreek je wel over een nieuw plaatje. het aantal plaatjes dat je moet binnen We noemen zien te krijgen voor het ne item in je collectie. In de

is kansrekening staat E voor de verwachtingswaarde; het aantal plaatjes dat je moet sparen voor het ne nieuwe , want het eerste plaatje plaatje in je collectie. dat je krijgt is gegarandeerd nieuw als je net begint. Vanaf het tweede plaatje is interessanter omdat het kan zijn dat bijvoorbeeld je eerste plaatje Mats Seuntjens is, maar dat je vervolgens nog 10 keer Mats Seuntjens krijgt . Hier en dan pas Robin Maulun. Dan zou gelden komen dus kansen in het spel en we zeggen ook wel dat een kansvariabele is. bepalen. Laten we de kansen voor elke waarde van Het zou kunnen dat je geluk hebt en dat je in één keer het tweede nieuwe plaatje scoort. Dan hebben we dus en de kans daarop is , je hebt immers al één plaatje, dus een nieuw plaatje moet afkomstig zijn uit de plaatjes. overige Stel nu dat je pas na twee keer blij wordt met een nieuw plaatje, omdat je eerst een plaatje pakte dat je al had (hè bah, een dubbele). De kans dat je een plaatje pakt dat je en zoals we weten is de kans om een nieuw al had is . Dus de kans om eerst plaatje te pakken gelijk aan een plaatje te pakken dat je al had en dan een nieuw plaatje is gelijk aan

Als je pas na drie voetbalplaatjes een nieuwe hebt, had je dus eerst twee keer het voetbal plaatje dat je al had en toen pas een nieuwe; de kans daarop is en dus

Als we hier nu invullen , dan krijgen we precies die oneindige reeks tussen de haakjes. Dus

en vinden we dat Als we zo doorgaan, zie je dat de kans om pas na k voetbalplaatjes het tweede nieuwe voetbalplaatje te krijgen wordt gegeven door

. Dit is dus het gemiddelde aantal plaatjes dat we moeten krijgen om het tweede nieuwe voetbalplaatje te ontvangen.

Nu kunnen we de gemiddelde waarde, of verwachtingsberekenen. Deze is gelijk aan de som van waarde van alle mogelijke uitkomsten maal de kans op die uitkomst.

Als we het tweede nieuwe plaatje in handen hebben, dan zijn we natuurlijk geïnteresseerd in het gemiddeld kun aantal plaatjes tot het derde nieuwe plaatje. Voor je op dezelfde manier vinden dat

Om de oneindige reeks tussen de haken op te tellen maken we even een uitstapje naar de meetkundige is een bekend resultaat dat reeks. Voor

En algemener, als we noteren voor het aantal plaatjes -de nieuwe plaatje tot het dat we ontvangen na het -de nieuwe plaatje, dan kunnen we vinden dat

Als we nu beide kanten differentiëren, dan krijgen we

Dan nu de oorspronkelijke vraag: hoeveel plaatjes heb je nodig om je hele collectie van N verschillende plaatjes plaatjes hebben we 1 compleet te krijgen? Wel: Na nieuw plaatje. Vervolgens duurt het na dit eerste nieuwe

plaatje nog plaatjes om het volgende nieuwe plaatje plaatjes. te ontvangen en in totaal heb je dan al Voor je derde nieuwe plaatje moet je na je tweede plaatjes wachten en dan heb je in plaatje nog eens plaatjes. Als we dus alle N verschiltotaal lende plaatjes willen hebben, dan moeten we in totaal plaatjes sparen. Het gemiddelde aantal plaatjes dat we nodig hebben om een vol album te krijgen is dus gelijk aan het gemiddelde van deze . som:

Zie je dat er tussen de haakjes dus eigenlijk staat? Dit is de bekende Ne Harmonische som, ook wel genoteerd als . Het aantal plaatjes dat je moet binnenhalen om de hele collectie van N verschillende voetbalplaatjes compleet te krijgen is met . gemiddeld dus Door te sommeren met je Grafische Rekenmachine kun je zo'n rij makkelijker uitrekenen dan met de hand. Even wat voorbeelden:

gemiddeld aantal te sparen plaatjes

29,29

71,95

119,85

120

Bij zo’n laatste soort spaaractie waren er 292 voetbalplaatjes. Om die 292 voetbalplaatjes compleet te krijgen moet je gemiddeld 1827 plaatjes scoren! Je krijgt er vier voor € 10 dus moet er gemiddeld € 4.500 aan boodschappen worden uitgeven voor je album compleet is! Slimme actie van die supermarkt.

Twee ouders willen samen met hun dochter en zoon een rivier oversteken met een vlot dat een maximale last van 80 kg kan dragen. Elke ouder weegt 75 kg en elk kind weegt 35 kg. Het vlot moet steeds bestuurd worden door één van de ouders of kinderen. Hoeveel keer moet het vlot de rivier oversteken? A

5 keer

6 keer

7 keer

8 keer

9 keer

• Beer: “Wij zijn alle vier leugenaars.” • Das: “Precies een van ons is een leugenaar.” • Wolf: “Precies twee van ons zijn leugenaars.” • Haas: “Ik spreek de waarheid.”

Welke van de onderstaande uitspraken is correct?

OEFENING 7

A De beer en de das spreken de waarheid.

In een rechthoek met lengte 20 en breedte 16 is een gebied ingekleurd dat bestaat uit vier congruente rechthoekige driehoeken. Hoeveel procent van de oppervlakte van de rechthoek is ingekleurd?

De beer liegt en de das spreekt de waarheid.

C De beer en de wolf spreken de waarheid. D De das liegt en de haas spreekt de waarheid

16 %

20 %

22,5 %

24 %

25 %

De wolf en de haas liegen.

OEFENING 6

In het Babbelbos wonen dieren die ofwel de waarheid spreken ofwel liegen. Op een zonnige zondagnamiddag ontmoet Reynaert tijdens een wandeling een groepje van vier dieren die hem spontaan het volgende melden.

OEFENING 8

PROJECT PLANETEN TOEN INSPECTEUR KAREL MERCKX EINDE VORIGE EEUW TIJDENS EEN STUDIEDAG HET IDEE LANCEERDE OM OOK IN DE LESSEN WISKUNDE VAN DE MIDDENSCHOOL DE BEGRIPPEN PROJECT EN GROEPSWERK TE LANCEREN EN UIT TE WERKEN VATTE IK HET IDEE OP OM IETS TE DOEN ROND HET BEGRIP “PLANETEN”. HET IDEE WAS GEÏNSPIREERD DOOR EEN INTERESSANT ARTIKEL DAT IK HAD GELEZEN IN EEN BROCHURE UITGEGEVEN DOOR NASA MET ALS TITEL SPACE MATHEMATICS. AANVANKELIJK KON IN DE LESSEN ALLEEN BEROEP GEDAAN WORDEN OP PASSER EN GEODRIEHOEK, LATER DEED OOK DE ZAKREKENMACHINE ZIJN INTREDE EVENALS INTERNET. HET PROGRAMMAPAKKET CABRI WERD EEN ZEER INTERESSANT GRAFISCH HULPMIDDEL. HERMAN DIERCKX

Het woord planeet is afkomstig van het oud-Griekse woord 'planetes', dat zoveel betekent als 'zwerver'. In de Oudheid zag men dat de planeten anders bewogen dan de sterren. Zo nam men op bepaalde tijdstippen een retrograde beweging (retrogradus = achteruitgaand) waar. Vermits een verklaring niet evident was, gaf dit verschijnsel wellicht aanleiding tot paniek en gold als aankondiging van allerhande onheil (ziekte, oorlog, natuurrampen …). In de middeleeuwen dacht men immers dat de aarde het centrum was en alle hemellichamen rond de aarde bewogen (geocentrisch model).

In 1543 werd het heliocentrische model van de Poolse wiskundige Copernicus (°1473 +1543) gepubliceerd, waarbij de planeten zich rond de zon bewegen. Dit gebeurde volgens Copernicus in cirkelvormige bewegingen en met gelijkmatige snelheid maar in 1609 beschreef de Duitser Johannes Kepler (°1571 +1630) dat de banen van de planeten ellipsen zijn en dat die in hun baan van snelheid veranderen. Op aarde geven we de afstanden meestal in meters of kilometers aan, maar de afstanden in het heelal zijn natuurlijk veel groter dan de afstanden op aarde. Zo is de afstand

tussen de aarde en de zon maar liefst bijna 150 miljoen kilometer (149.597.871 km). Opzoekingen leverden de noodzakelijke gegevens op. Gemakshalve werkte ik in de klas met het model van Copernicus en als we voor de afstand aarde-zon (1 AE) 5 cm nemen, kunnen we voor de baan van Venus - de afstand Venus-zon is 0,72 AE - een cirkel met straal 3,6 cm nemen. Uiteraard werkten we in de middenschool in het vlak. (AE= astronomische eenheid).

De aarde draait rond de zon (360°) in 1 jaar (365 dagen of 12 maanden), wat betekent dat per maand een middelpuntshoek van 360:12 = 30° wordt beschreven. Venus voltooit elke 224,65 dagen een omloop om de zon, wat overeenkomt met ongeveer 7,5 aardse maanden of wat omgerekend per maand een middelpuntshoek van 360:7,5 = 48° oplevert. Gemakshalve vertrekken we van een situatie waarbij zon, aarde en Venus op één lijn liggen (collineair). De posities van aarde a0, a1, a2, a3 … en van Venus v0, v1, v2, v3 … zijn afgebeeld in figuur 1. a1

30°

48°

6o°

96°

90°

144°

120°

192°

150°

240°

180°

288°

210°

336°

240°

384°=360°+24°

a19

270°

432°=360°+72°

a10

300°

v10

480°=360°+120°

a11

330°

v11

528°=360°+168°

Deze gegevens zijn uiteraard benaderingen.

Figuur 1

De positie van Venus ten opzichte van de aarde kan dan met een georiënteerd lijnstuk (een vector!) worden aangegeven (a1v1, a2v2, …) en via verschuivingen brengen we die vectoren naar eenzelfde aanvangspunt (de aarde!). De eindpunten van de vectoren beschrijven de baan van Venus gezien vanuit de aarde en bieden een kijk op het mysterie van de retrograde beweging (figuur 2).

Figuur 2

Als

, dan is

gelijk aan

OEFENING 11 Als Timon zijn smartphone niet gebruikt, dan duurt het 2 uur om de lege batterij volledig op te laden. Als Timon zijn smartphone ondertussen wel gebruikt, dan laadt de batterij slechts half zo snel op. Timon had gisteren 3 uur en 30 minuten nodig om de lege batterij volledig op te laden. Hoelang heeft hij zijn smartphone tijdens het opladen gebruikt? A

1 uur en 30 minuten

2 uur en 30 minuten

1 uur en 45 minuten

3 uur

2 uur

A B C D E

OEFENING 12

OEFENING 10

In de ﬁguur zien we twee rechthoeken. De oppervlakte van de grijze rechthoek is A. Wat is de oppervlakte van de andere rechthoek?

VOLOP WISKUNDE OEFENEN OP EEN VERNIEUWD PLATFORM

Nando

Wiskunde met pit

Je vindt het digitale lesmateriaal van die Keure op het interactieve leerplatform Polpo. Het bevat heel wat materiaal om je lessen te verrijken, om te variëren of te individualiseren. Bovendien wordt Polpo vernieuwd! Vanaf september 2022 zullen (onder andere) de volgende vernieuwingen het platform een frisse look and feel geven: nieuwe lay-out materiaal sneller toegankelijk focus op zelfstandig leren meer mogelijkheden bij taken uitgebreid resultatenoverzicht, ook van de Algebrakit-oefeningen

850001134

• • • • •

Volg alle vernieuwingen op www.polpo.diekeure.be. Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, T 050 47 12 62, so@diekeure.be, www.diekeure.be

Inloggen op het platform doe je via www.polpo.be.