VBTL 5/6 D&A - Leerwerkboek Uitgebreide analyse en algebra - inkijk methode (materiaal vbtl)

LEERWERKBOEK

Uitgebreide analyse en algebra

D&A-finaliteit

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Dit boek bevat twee hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

1 2

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging.

Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets.

Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

In het vorige boek van analyse focuste je op de kenmerken van een reële functie. In dit boek diepen we de theorie over functies verder uit. In hoofdstuk 1 bestudeer je in het bijzonder tweedegraadsfuncties. Er is geen achtbaan ter wereld die zonder dergelijke functies ontworpen kan worden. Wat is bijvoorbeeld de wiskundige vergelijking van de weg die de wagentjes afleggen op de achtbaan ?

Hoe hoog moeten de stellingen zijn bij een welbepaalde stijging (of daling) van de weg ?

In hoofdstuk 2 leer je functies differentiëren. Het gaat daarbij vooral om de beschrijving van de verandering van functiewaarden. Een belangrijk aspect daarbij is de vraag met welke snelheid een verandering plaatsvindt. Tot nog toe gebruikte je daarvoor ICT, maar in dit boek leer je een methode om dat algebraïsch te beschrijven, en daarbij draait alles rond differentiëren.

Voor de mountainbikers op deze foto varieert de berghelling in steilheid terwijl ze die afdalen, de kabelbanen op de achtergrond daarentegen gaan even steil omhoog. Maar hoe steil precies ?

En hoeveel procent is de gemiddelde helling van het bergprofiel ? Waar is de helling het steilst ?

Hoe kun je meten hoe steil een helling is op een bepaalde plaats ?

Uitgebreide analyse en algebra

1

2

Functies 1

De Lupubrug is een van de langste boogbruggen ter wereld en verbindt twee grote districten van Shanghai : Luwan en Pudong (vandaar de naam). Deze brug heeft de vorm van een (deel van een) parabool. Daardoor loopt een horizontale rechte, die voetgangers en auto’s naar de overkant brengt. Als je de coördinaten van enkele punten kent, kun je de vergelijking van de parabool terugvinden. Die leidt dan weer naar andere berekeningen zoals de hoogte van de brug en de afstand tussen het begin en einde van de boog. In dit hoofdstuk lossen we tweedegraadsvergelijkingen op en illustreren we ze met een waaier aan realistische toepassingen.

Functies

1.1 Even herhalen

1.4

1.2 Tweedegraadsfuncties

1.5

1.6

1.3 Ontbinden in factoren

1.7

1.1 Even herhalen

1 Reële functies

Hieronder vind je de grafische voorstelling van een aantal verbanden tussen twee variabele grootheden. Zijn deze verbanden functies ? Hoe kun je dit grafisch onderzoeken ?

reële functie

Een functie is een verband tussen twee variabelen x en y waarbij voor elke x -waarde hoogstens één y -waarde bestaat. We noemen y de afhankelijke variabele en x de onafhankelijke variabele. Een reële functie is een functie waarbij de variabelen x en y reële getallen zijn. Er zijn verschillende representaties van een functie mogelijk : verwoording, tabel, letterformule (voorschrift) en grafiek.

Voor reële functies gebruiken we de letters f , g , h ... of f 1, f 2, f 3

De formule die de functie bepaalt, is het functievoorschrift

Zo spreken we over de functie f met voorschrift f ( x ). De y -waarden noemen we ook de functiewaarden of beelden.

Voorbeeld :

Elk reëel getal heeft juist één tweevoud, dus is dat verband een functie f 1 met voorschrift f 1( x ) = 2x f 1( 3) = 2 3 = 6 ( 3, 6) ∈ f 1 f 1(– 2) = 2 ( –2) = –4 dom f 1 = R ber f 1 = R

Merk op :

Een grafiek is de grafiek van een functie als en slechts als elke rechte evenwijdig met de verticale as hoogstens één gemeenschappelijk punt heeft met de grafiek.

2 Domein, bereik en nulwaarden van een reële functie

domein

Het domein van een functie f is de verzameling van de x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat.

Notatie : dom f

Merk op :

Het domein van een functie kun je grafisch vinden door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de x -as.

bereik

Het bereik (of beeld) van een functie f is de verzameling van de y -waarden waarvoor er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x )

Notatie : ber f

Merk op :

Het bereik van een functie kun je grafisch vinden door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de y -as.

nulwaarde

Een nulwaarde van een functie is een x -waarde waarvoor de functiewaarde nul is.

in symbolen :

α is een nulwaarde van f ⟺ f ( α) = 0

⟺ de grafiek van f snijdt of raakt de x -as in ( α, 0)

Merk op :

– De nulwaarden van f zijn de oplossingen van de vergelijking y = f ( x ) = 0.

– Een functie kan meer dan één nulwaarde hebben.

– De nulwaarden zijn de eerste coördinaatgetallen van de snijpunten van de grafiek van de functie met de x -as.

Voorbeelden :

=

∩ : doorsnede

∪ : unie

\ : verschil

3 Eerstegraadsfuncties

Vorig jaar bestudeerde je de eerstegraadsfuncties (of lineaire functies). We herhalen kort.

eerstegraadsfunctie

Een eerstegraadsfunctie is een functie die elk reëel getal x afbeeldt op ax + b met a ∈ R0 en b ∈ R Het functievoorschrift ax + b is een veelterm van de eerste graad in x . in symbolen :

f is een eerstegraadsfunctie ⇐⇒ f ( x )= ax + b met a ∈ R 0 en b ∈ R

Andere notaties : f : x → ax + b of : y = ax + b

• dom f = ber f = R

• De nulwaarde van f is b a

• Grafiek en tekentabel : de grafiek van f is een rechte met richtingscoëfficiënt a die gaat door het punt met coördinaat ( 0, b )

a > 0 a < 0

De functie is stijgend. De functie is dalend.

x y 0 f ( x ) = ax + b ( 0, b)

b a ,0 x y 0 f ( x ) = ax + b ( 0, b)

4 Constante functies

constante functie

Een functie f is een constante functie ⟺ f ( x ) = b met b ∈ R

De grafiek van een constante functie is een rechte evenwijdig met de x -as door het punt met coördinaat ( 0, b ) De richtingscoëfficiënt van de grafiek is nul.

Taak:

x y 0 f ( x ) = b ( 0, b)

Teken de grafieken van de functie f met voorschrift f ( x ) = 2x – 1 en de functie g met voorschrift g ( x ) = –2x + 5. Bepaal daarna voor elke functie het domein, het bereik, de nulwaarden, de snijpunten van de grafiek met de assen, de richtingscoëfficiënt van de grafiek, het stijgen/dalen en het tekenverloop.

5 Samenvatting

• Je weet dat een functie een verband is tussen twee variabelen x en y waarbij voor elke x -waarde hoogstens één y -waarde bestaat. We noemen y de afhankelijke variabele en x de onafhankelijke variabele. De representaties van een functie zijn : verwoording, tabel, letterformule en grafiek.

• Je weet dat een reële functie een functie is waarbij de variabelen x en y reële getallen zijn.

• Je weet wat bedoeld wordt met een functievoorschrift.

De ‘formule’ die de functie bepaalt, noemen we het functievoorschrift. We spreken van de functie f met voorschrift f ( x ). We noemen y de functiewaarde van f in x als f ( x ) = y

Notatie : y = f ( x )

• Je kent de betekenis van domein, bereik en nulwaarde van een functie.

Het domein van een functie f is de verzameling van de x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat.

Notatie : dom f (grafisch : projecteer de grafiek van de functie loodrecht op de x -as)

Het bereik van een functie f is de verzameling van de y -waarden waarvoor er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x )

Notatie : ber f (grafisch : projecteer de grafiek van de functie loodrecht op de y -as)

Een nulwaarde van een functie is een x -waarde waarvoor de functiewaarde nul is. Een nulwaarde is het eerste coördinaatgetal van een snijpunt of raakpunt van de grafiek van de functie met de x -as.

In symbolen : α is een nulwaarde van f ⟺ f ( α) = 0 ⟺ de grafiek van f snijdt of raakt de x -as in ( α, 0)

• Je kunt een grafiek construeren en je kunt bepalen of de grafiek al dan niet de grafiek van een functie voorstelt.

Een grafiek is de grafiek van een functie als en slechts als elke rechte evenwijdig met de verticale as hoogstens één gemeenschappelijk punt heeft met de grafiek.

• Je weet dat een functie f een eerstegraadsfunctie is als en slechts als f ( x ) = ax + b met a ∈ R0 en b ∈ R

• Je weet dat een functie f een constante functie is als en slechts als f ( x ) = b met b ∈ R

6 Oefeningen

Is de grafiek een grafische voorstelling van een functie ? Zo ja, schrijf de letter(s) op en maak hiermee een woord.

d g

f ( x ) = –2x + 5

a Stel een tabel op.

x f ( x ) = –2x + 5

b Bereken f ( 6), f 1 4 en f (0).

f ( –6) =

f 1 4 = f ( 0) =

c Construeer de grafiek van f

d Is f een functie ? Verklaar.

e Bepaal het domein, het bereik en de nulwaarden van f .

f ( x ) = x 2 + 2x

a Stel een tabel op.

x f ( x ) = x 2 + 2x

b Bereken f ( 2), f 1 2 , f ( 4) en f ( –5)

f ( 2) = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– f ( 4) =

f 1 2 = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– f ( –5) =

c Construeer de grafiek van f .

d Is f een functie ? Verklaar.

e Bepaal het domein, het bereik en de nulwaarden van f

Construeer de grafiek van volgende functies met behulp van ICT. Bepaal telkens het domein, het bereik en de nulwaarden.

a

b

Hieronder vind je acht functievoorschriften en acht grafieken. Onderzoek welke bij elkaar horen.

f 1 ( x )= 2 x

f 2 ( x )= 2 x

f 3 ( x )= 2 + x

f 4 ( x )= x 2

f 5 ( x )= 12 4 x 3

f 6 ( x )= x 2

f 7 ( x )= x 2

f 8 ( x )= x 2 4

In deze Finse saunablokhut midden in het bos kun je je favoriete temperatuur opzoeken. Er zijn immers banken op verschillende hoogten. De temperatuur bovenaan kan meer dan 100 °C bedragen, terwijl het aan de grond maar 20 °C kan zijn. Op deze grafiek lees je de temperatuur af in functie van de hoogte in de blokhut.

Gebruik de grafiek om volgende vragen op te lossen.

a Stel : je zit op de onderste bank en gaat één bank (= 50 cm) hoger zitten. Met hoeveel °C stijgt de temperatuur ?

b Noteer het functievoorschrift dat hoort bij de grafiek.

c Een man (met een lengte van 1,75 m) staat recht in de blokhut. Wat is het temperatuurverschil tussen zijn hoofd en zijn tenen ?

Construeer met ICT de grafiek van de functies met volgende voorschriften. Geef ook het domein, het bereik, de nulwaarden, het tekenverloop, het stijgen/dalen en de extrema.

a f ( x )= 3 x 4

b f ( x )= x 2 9

c f ( x )=( x + 2)3

d f ( x )= √ x 2

e f ( x )= x 2 + 4 x 3

f f ( x )= 1 x 3 + 1

1.2

Tweedegraadsfuncties

1 Definitie

Wanneer je een elastisch balletje op de grond gooit en je zou de weg die het balletje volgt kunnen tekenen, dan krijg je een baan die er als volgt uitziet :

Wanneer een speerwerper zijn speer werpt en je zou de baan van de speer in slow motion weergeven, dan zou je volgende figuur te zien krijgen.

Wanneer Julie een bal uittrapt, dan zou de baan die de bal volgt er als volgt kunnen uitzien :

Het kwadratisch verband tussen s (horizontale verplaatsing in meter) en h ( s ) (hoogte in meter) wordt weergegeven door :

h ( s )= 3 50 s 2 + 6 5 s

– De baan van de bal wordt bepaald door de tweedegraadsfunctie h met voorschrift h ( s )= 3 50 s 2 + 6 5 s

– De grafiek van die functie is een parabool

– Uit de grafiek leiden we af dat de maximumhoogte van de bal 6 m is bij een horizontale verplaatsing van 10 m. Het hoogste punt T( 10, 6) wordt de top van de parabool genoemd.

– De grafiek is symmetrisch om de rechte r met vergelijking x = 10. Die rechte r wordt de as van de parabool genoemd.

– Als de bal niet tegengehouden wordt, zal hij de grond raken op 20 m van zijn vertrekpunt. We noemen 0 en 20 de nulwaarden van de tweedegraadsfunctie h

tweedegraadsfunctie

Een tweedegraadsfunctie is een functie f met voorschrift f ( x ) = ax 2 + bx + c waarbij a , b en c gegeven reële getallen zijn (met a ≠ 0). Die functie noemen we ook een kwadratische functie of een functie van de tweede graad

Voorbeelden :

Tegenvoorbeelden :

f ( x ) = 2x 2 k ( x ) = 2x 3 – 2x + 8

g ( x ) = –x 2 + 4x – 3

l ( x ) = –x + 3

h ( x ) = 6x 2 – 9xm ( x ) = 6

Verklaar waarom de functies k , l en m geen tweedegraadsfuncties zijn.

In wat volgt behandelen we de verschillende gevallen die kunnen voorkomen. We starten met het eenvoudigste geval, waarbij a = 1 en b = c = 0.

2 Grafiek van de functie f met f ( x) = x2

Om de grafiek van de tweedegraadsfunctie f met voorschrift f ( x ) = x 2 te tekenen, bepalen we een aantal koppels van f in een visgraatdiagram. We kiezen een aantal x -waarden en we zoeken voor elk van die waarden het beeld of de functiewaarde.

Wanneer we de punten uitzetten in een georthonormeerd assenstelsel (dat is een assenstelsel waarbij de x -as en de y -as loodrecht op elkaar staan en de lengten van de eenheden op beide assen gelijk zijn) en ze door een vloeiende lijn verbinden, zien we een kromme ontstaan, die we een parabool noemen.

De grafiek van f met f ( x ) = x 2 is een parabool.

Kenmerken :

a Domein van de functie

Het domein van een functie f is de verzameling van de x -waarden waarvoor de functiewaarde bestaat. Grafisch vinden we het domein van een functie door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de x -as.

Het domein van de functie f is R. We noteren dom f = R

b Het bereik van de functie

Het bereik van een functie f is de verzameling van de y -waarden waarvoor er een x -waarde bestaat zodat y = f ( x ). Grafisch vinden we het bereik van een functie door de grafiek van de functie loodrecht te projecteren op de y -as.

Het bereik van de functie is [ 0, +∞[. We noteren : ber f = [ 0, +∞[ = R+

c De nulwaarden van de functie

De nulwaarden van een functie f zijn de x -waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt, m.a.w. de nulwaarden zijn de oplossingen (ook wel de wortels genoemd) van de vergelijking f ( x ) = 0. Grafisch vinden we de nulwaarden als de eerste coördinaatgetallen van de snijpunten van de grafiek met de x -as. Hierhebbenweéénnulwaarde,nl.0want f ( x )= x 2 = 0

x = 0

d Tekenverloop van de functie

De grafiek van de functie ligt steeds boven de x -as want ∀ x ∈ R : f ( x ) = x 2 ⩾ 0. In de nulwaarde is de functiewaarde gelijk aan 0. In een tekentabel geeft dat :

x –∞ 0

f ( x ) + 0 +

e Stijgen en dalen van de functie

We zien duidelijk dat deze functie eerst daalt, een minimum bereikt en nadien weer stijgt. Het punt van de grafiek waarin de functie de minimumwaarde bereikt, noemen we de top T van de parabool. In dit geval is de top T( 0, 0)

x

f ( x )

f Dalparabool

De opening van de parabool is naar boven gericht (hol). We noemen die parabool een dalparabool

g Symmetrieas

De grafiek is symmetrisch om de y -as. Dat blijkt trouwens ook al uit het visgraatdiagram want f ( –x ) = f ( x ). Daarom noemen we de functie een even functie. De y -as noemen we de symmetrieas van de parabool (of korter : de as van de parabool). Het snijpunt van de parabool met zijn symmetrieas is precies de top van de parabool.

f is een even functie

⟺ de y -as is de symmetrieas van de grafiek van f

∀ x ∈ dom f : f ( x ) = f ( –x )

3 Grafiek van de functie f met f ( x) = ax2

a a > 0

We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift : f 1( x ) = x 2 f 2( x ) = 2x 2 f 3 ( x )=

Kenmerken :

Degrafiekvandefunctie f 2 met f 2 ( x )= 2 x 2 endegrafiekvandefunctie f 3 met f 3 ( x )= 1 2 x 2 vertonendezelfde algemenekenmerkenalsdegrafiekvan f 1 met f 1 ( x )= x 2

Deopeningvandegrafiekvan f 2 met f 2 ( x )= 2 x 2 issmallerdandievandegrafiekvan f 1 met f 1 ( x )= x 2

Deopeningvandegrafiekvan f 3 met f 3 ( x )= 1 2 x 2 isbrederdandievandegrafiekvan f 1 met f 1 ( x )= x 2 .

Degrafiekvan f 2 met f 2 ( x )= 2 x 2 heeftdevolgendekenmerken:

• dom f 2 = R

• ber f 2 = [0, +∞[

• T (0,0) isdetop.Heteerstecoördinaatgetalisdenulwaardevandefunctie.Hettweedecoördinaatgetalis hetminimumvandefunctie.Deopeningvandeparaboolisnaarbovengericht(hol).Wesprekenvaneen dalparabool.

• Deasisde y -as.

• f 2 iseenevenfunctie.

Diekenmerkengeldenookvoor f 3

Merk op :

– Als a ( a > 0) groter wordt, dan wordt de opening van de parabool smaller. We noemen a de openingscoëfficiënt van de parabool. We zeggen dat de grafiek van f uitgerokken is volgens de y -as met factor a

– Grafische betekenis van a : als T( 0, 0) de top is van de grafiek, dan zijn A( 1, a ) en B( –1, a ) punten van de grafiek.

b a < 0

We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift :

f 1( x ) = x 2 f 2( x ) = –x 2 f 3( x ) = –2x 2 f 4 ( x )= 1 2 x 2

Kenmerken :

De grafiek van de functie f 2 met f 2( x ) = –x 2 is het spiegelbeeld t.o.v. de x -as van de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2 .

Voor dezelfde x -waarden krijgen we immers tegengestelde y -waarden.

De grafiek van f 2 met f 2( x ) = –x 2 heeft de volgende kenmerken :

• dom f 2 = R

• ber f 2 = ] –∞, 0]

• T( 0, 0) is de top. Het eerste coördinaatgetal is de nulwaarde van de functie. Het tweede coördinaatgetal is het maximum van de functie. De opening van de parabool is nu naar onderen gericht (bol), we spreken van een bergparabool

• De as is de y -as.

• f 2 is een even functie.

Die kenmerken gelden ook voor f 3 en f 4

Besluit :

De grafiek van de functie f met f ( x ) = ax 2 is een parabool waarvan de opening wordt bepaald door het teken van a

– Is a > 0, dan is de opening naar boven gericht ; we hebben een dalparabool. Is a < 0, dan is de opening naar onderen gericht ; we hebben een bergparabool. We noemen a de openingscoëfficiënt van de parabool.

– Als | a | groter wordt, dan wordt de opening van de parabool smaller. Als | a | kleiner wordt, dan wordt de opening van de parabool breder.

4 Grafiek van de functie f met f ( x) = ( x – α ) 2

We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift :

f

Kenmerken :

De grafiek van de functie f 2 met f 2( x ) = ( x + 2)2 is congruent met de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste twee eenheden naar links te verschuiven. De as is de rechte met vergelijking x = –2 en het punt T( –2, 0) is de top. Om dezelfde functiewaarden te bekomen, moeten we x -waarden nemen die twee eenheden kleiner zijn.

f 1( 3) = f 2( 1) = 9

De grafiek van f 3 is congruent met de grafiek van f 1. Ze wordt verkregen door die laatste 3 eenheden naar rechts te verschuiven. De as is de rechte met vergelijking x = 3 en het punt T( 3, 0) is de top. Om dezelfde functiewaarden te bekomen, moeten we x -waarden nemen die drie eenheden groter zijn.

f 1( 3) = f 3( 6) = 9

Besluit :

De grafiek van f met f ( x ) = ( x – α)2 is congruent met de grafiek van g met g ( x ) = x 2 Ze wordt verkregen door die laatste te verschuiven evenwijdig met de x -as :

Is α > 0, dan verschuiven we horizontaal naar rechts met α eenheden ;

Is α < 0, dan verschuiven we horizontaal naar links met | α | eenheden.

De as is de rechte met vergelijking x = α en het punt T( α, 0) is de top.

5 Grafiek van de functie f met f ( x) = x2 + β

We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift :

f 1( x ) = x 2 f 2( x ) = x 2 + 3 f 3( x ) = x 2 – 2

Kenmerken :

De grafiek van de functie f 2 met f 2( x ) = x 2 + 3 is congruent met de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste 3 eenheden naar boven te verschuiven. De as is de y -as en het punt T( 0, 3) is de top.

Het bereik van de functie is [ 3, +∞[

Merk op dat bij dezelfde x -waarden de functiewaarden bij f 2 drie eenheden groter zijn. Merk ook op dat er geen snijpunten met de x -as zijn. De functie heeft dus geen nulwaarden.

De grafiek van f 3 met f 3( x ) = x 2 – 2 is congruent met de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2. Ze wordt verkregen door die laatste twee eenheden naar onderen te verschuiven. De symmetrieas is de y -as en het punt T( 0, –2) de top.

Het beeld van de functie is [ –2, +∞[

Merk op dat bij dezelfde x -waarden de functiewaarden bij f 3 twee eenheden kleiner zijn. Merk ook op dat er twee snijpunten met de x -as zijn. De functie heeft dus twee nulwaarden.

Besluit :

De grafiek van f met f ( x ) = x 2 + b is congruent met de grafiek van g met g ( x ) = x 2 Ze wordt verkregen door die laatste te verschuiven evenwijdig met de y -as :

Is b > 0, dan verschuiven we verticaal naar boven met b eenheden ; Is b < 0, dan verschuiven we verticaal naar onderen met | b | eenheden.

De as is de y -as en het punt T( 0, b) is de top. ber f = [ b, +∞[

6 Grafiek van de functie f met f ( x) = a(x – α )2 + β

Voorbeeld 1 : f ( x ) = ( x – 2)2 + 3

f1( x) = x 2

Kenmerken:

– de coördinaat van de top T is ( 2, 3);

– de as gaat door de top en heeft als vergelijking x = x T of x = 2 ;

– dom f = R ;

– ber f = [ y T, +∞[ = [ 3, +∞[ ;

– de grafiek van f met f ( x ) = ( x – 2)2 + 3 ontstaat door die van f 1 met f 1( x ) = x 2 horizontaal twee eenheden te verschuiven naar rechts, gevolgd door een verticale verschuiving van drie eenheden naar boven (of omgekeerd).

Voorbeeld 2 : f ( x ) = 2( x + 4)2 – 1

f3( x) = 2( x + 4)2

f( x) = 2( x + 4)2 – 1

Kenmerken :

– de coördinaat van de top T is ( –4, –1);

– de as gaat door de top en heeft als vergelijking x = x T of x = –4 ;

– dom f = R ;

– ber f = [ y T, +∞[ = [ –1, +∞[ ;

– de grafiek van f met f ( x ) = 2( x + 4)2 – 1 ontstaat door die van f 1 met f 1( x ) = x 2 verticaal uit te rekken met factor 2 en daarna te verschuiven, eerst horizontaal naar links met vier eenheden en daarna verticaal naar onderen met één eenheid.

7 Grafiek van de functie f met f ( x) = ax2 + bx + c

Voorbeeld 1 : f ( x ) = x 2 – 6x + 8

We herschrijven het voorschrift van de functie f : f ( x ) = x 2 – 6x + 8

⟺ f ( x ) = ( x 2 – 6x + 9) – 1

⟺ f ( x ) = ( x – 3)2 – 1

De grafiek van de functie f wordt dus bekomen door de grafiek van f 1 met f 1( x ) = x 2 tweemaal te verschuiven. Eerst horizontaal naar rechts met drie eenheden en daarna verticaal naar onderen met één eenheid, of omgekeerd.

Kenmerken:

– de coördinaat van de top T is ( 3, –1);

– de as gaat door de top en heeft als vergelijking : x = x T of x = 3 ;

– dom f = R ;

– ber f = [ y T, +∞[ = [ –1, +∞[ ;

– snijpunt met de y -as : x = 0

f (0)= 02 6 · 0 + 8 = 8

A( 0, 8) is dus het snijpunt van de grafiek van f met de y -as.

Voorbeeld 2 : f ( x ) = –x 2 + 2x + 8

Taak: toon aan dat je dit functievoorschrift kunt herschrijven tot f ( x ) = –( x – 1)2 + 9.

Geef de kenmerken van deze functie f

Voorbeeld 3 : f ( x ) = –2x 2 + 4x – 3

We herschrijven het voorschrift van de functie f : f ( x ) = –2x 2 + 4x – 2 – 1

⟺ f ( x ) = –2( x 2 – 2x + 1) – 1

⟺ f ( x ) = –2( x – 1)2 – 1

De grafiek van f wordt dus bekomen door de grafiek van f 1( x ) met f 1( x ) = x 2 achtereenvolgens :

– te spiegelen om de x -as : f 2( x ) = –x 2

– uit te rekken met factor 2 : f 3( x ) = –2x 2

– één eenheid horizontaal naar rechts te verschuiven : f 4( x ) = –2( x – 1)2

– één eenheid verticaal naar onderen te verschuiven : f ( x ) = – 2( x – 1)2 – 1

f4( x) = –2( x – 1)2

3(

Kenmerken :

– de coördinaat van de top T is ( 1, –1);

– de as heeft als vergelijking x = 1 ;

– dom f = R ;

– ber f = ] –∞, –1];

– snijpunt met de y -as : A( 0, –3).

f ( x) = –2( x – 1)2 – 1

Algemeen :

f ( x )= ax 2 + bx + c en f ( x )= a ( x α)2 + β zijngelijkwaardigwant:

f ( x )= a ( x α)2 + β

f ( x )= a ( x 2 2αx + α2 )+ β

f ( x )= ax 2 2a αx + a α2 + β

2aα = b en aα2 +β = c

f ( x )= ax 2 + bx + c

Berekening van en β in functie van a, b en c :

2a α = b ⇐⇒ α = b 2a

a α2 + β = c ⇐⇒ β = a α2 + c

α = b 2a

β = a b 2a 2 + c

β = b 2 4a + c

β = b 2 + 4ac 4a

f ( x )= ax 2 + bx + c en f ( x )= a ( x α)2 + β zijngelijkwaardigals α = b 2a en β =

b 2 + 4ac

4a

De grafiek van de functie f met f ( x ) = a ( x – α)2 + b ontstaat uit de grafiek van de functie f 1 met f 1( x ) = x 2 in maximaal vier stappen :

– Is a negatief, spiegel dan de grafiek om de x -as.

– Rek de grafiek verticaal uit volgens de y -as: | a | > 1 betekent versmallen, | a | < 1 betekent verbreden. Zo bekom je de grafiek van f 2 met f 2( x ) = ax 2

– Verschuif de grafiek evenwijdig met de x -as over een afstand | α |. Zo bekom je de grafiek van f 3 met f 3( x ) = a ( x – α)2. Als α > 0 verschuif je de grafiek naar rechts, als α < 0 verschuif je de grafiek naar links.

– Verschuif de grafiek evenwijdig met de y -as over een afstand | b |. Zo bekom je de grafiek van f met f ( x ) = a ( x – α)2 + b. Als b > 0 verschuif je de grafiek naar boven, als b < 0 verschuif je de grafiek naar onderen.

Kenmerken :

a Grafiek

De grafiek van de functie f met f ( x ) = ax 2 + bx + c is een parabool p waarvan de as evenwijdig is met de y -as. y = ax 2 + bx + c wordt de vergelijking van de parabool genoemd.

Als a > 0, dan is p een dalparabool. Als a < 0, dan is p een bergparabool.

b Top T α, β = T b 2a , b 2 + 4ac 4a = T b 2a , f b 2a

c As x = α of x = b 2a

d Domein dom f = R

e Bereik Als a > 0,danisber f = β , +∞ = b 2 + 4ac 4a , +∞ = f b 2a , +∞

Als a < 0,danisber f = −∞, β = −∞, b 2 + 4ac 4a = −∞, f b 2a

f Nulwaarden De nulwaarden zijn de oplossingen van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (zie 1.4).

g Stijgen en dalen Als a > 0 Als a < 0

x –∞ b 2a +∞ f ( x ) +∞ ↘ f b 2a ∥ min. ↗ +∞ x –∞ b 2a +∞ f ( x ) –∞ ↗ f b 2a ∥ max. ↘ –∞

h Snijpunt met de y -as Als x = 0, dan is f ( 0) = 0 + 0 + c = c . Dus A( 0, c ) is het snijpunt met de y -as.

8 Onderzoek van een tweedegraadsfunctie

Bespreek de kenmerken van de tweedegraadsfunctie f met f ( x ) = x 2 + 2x – 8.

– Omdat a = 1 ( > 0), is de grafiek van de tweedegraadsfunctie een dalparabool.

– Top T( α, b): α = b 2a = 2 2 · 1 = 1

β = b 2 + 4ac 4a = 4 + 4 · ( 8) 4 = 4 32 4 = 36 4 = 9

m.a.w.decoördinaatvandetopTis ( 1, 9)

controle: β = f ( 1) = ( 1)2 + 2 ( 1) 8 = 9

– As : x = α ⇐⇒ x = 1

– Visgraatdiagram

Om de grafiek te kunnen schetsen, berekenen we nu enkele punten van de grafiek aan de hand van een visgraatdiagram. Hierbij maken we dankbaar gebruik van de symmetrieas.

f ( 1)=( 1)2 + 2 · ( 1) 8 = 9

f (0)= 02 + 2 0 8 = 8 f ( 2)=( 2)2 + 2 ( 2) 8 = 8

f (1)= 12 + 2 1 8 = 5 f ( 3)=( 3)2 + 2 ( 3) 8 = 5

f (2)= 22 + 2 · 2 8 = 0 f ( 4)=( 4)2 + 2 · ( 4) 8 = 0

– dom f = R

– ber f = [ b, +∞[ = [ –9, +∞[

Nulwaarden

–

De nulwaarden zijn de x -waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt. Blijkbaar kunnen we in dit geval de nulwaarden aflezen uit het visgraatdiagram (dat is niet steeds mogelijk). nulwaarden : –4 en 2

– Stijgen en dalen

x –∞ –1 +∞

f ( x ) +∞ ↘ –9 ∥ min ↗ +∞

De functie heeft een minimum –9 voor x = –1.

– Snijpunt met de y -as : A( 0, –8)

– Grafiek

9 Differentiequotiënt

Gegevenisdefunctie f met f ( x )= 1 2 x 2 2 x + 3. Bekijkenweevendegemiddeldetoenamevan defunctieoverhetinterval [0,6]

f (0)= 3 f (6)= 9

∆ x = 6 0 = 6 (toenamevan x )

∆ f ( x )= 9 3 = 6 (toenamevan f ( x ))

Degemiddeldetoenamevan f over [0,6] :

∆ f ( x )

∆ x [0,6] = ∆ f ( x )

∆ x = 6 6 = 1

Die gemiddelde toename of de verhouding van de toename van de afhankelijke variabele ten opzichte van de toename van de onafhankelijke variabele noemen we het differentiequotiënt.

Dat de toename geen constante toename is, blijkt duidelijk als we het interval [ 0, 6] opsplitsen in drie deelintervallen.

Degemiddeldetoenamevan f over [0,2] ofhetdifferentiequotiëntvan f over [0,2] :

f (0)= 3 f (2)= 1

∆ x = 2 0 = 2

∆ f ( x )= 1 3 = 2

∆ f ( x )

∆ x [0,2] = ∆ f ( x )

∆ x = 2 2 = 1

Degemiddeldetoenamevan f over [2,4] of hetdifferentiequotiëntvan f over [2,4] :

f (2)= 1 f (4)= 3

∆ x = 4 2 = 2

∆ f ( x )= 3 1 = 2

∆ f ( x )

∆ x [2,4] = ∆ f ( x )

∆ x = 2 2 = 1

Degemiddeldetoenamevan f over [4,6] of hetdifferentiequotiëntvan f over [4,6] :

f (4)= 3 f (6)= 9

∆ x = 6 4 = 2

∆ f ( x )= 9 3 = 6

∆ f ( x )

∆ x [4,6] = ∆ f ( x )

∆ x = 6 2 = 3 f

differentiequotiënt

AlsA a , f (a ) enB b , f ( b ) tweepuntenzijnvan degrafiekvaneenfunctie f ,dannoemenwe ∆ y ∆ x = ∆ f ( x ) ∆ x = f ( b ) f (a ) b a het differentiequotiënt of de gemiddeldeverandering van f overhetinterval [a , b ]

Als ∆ y ∆ x > 0,danstijgtdiefunctieoverdatinterval; als ∆ y ∆ x < 0,dandaaltdiefunctieoverdatinterval.

10 Samenvatting

y = f ( x )

f ( b ) f ( a ) ba 10 1

B( b, f ( b ))

A( a, f ( a ))

D y D x

• Je kent de definitie van een tweedegraadsfunctie. Een tweedegraadsfunctie is een functie f met voorschrift f ( x ) = ax 2 + bx + c waarbij a , b en c gegeven reële getallen zijn (met a ≠ 0). Die functie noemen we ook een kwadratische functie of een functie van de tweede graad.

• Je weet dat de grafiek van een tweedegraadsfunctie een parabool is.

• Je kent de betekenis van een dalparabool en een bergparabool.

Bij een dalparabool is de opening naar boven gericht (hol).

Bij een bergparabool is de opening naar beneden gericht (bol).

• Je weet dat de grafiek van de functie f met f ( x ) = a ( x – α) 2 + b ontstaat uit de grafiek van de functie f1 met f1( x ) = x 2 in maximaal vier stappen :

– Is a negatief, spiegel dan de grafiek om de x -as.

– Rek de grafiek verticaal uit volgens de y -as.

| a | > 1 : versmallen

| a | < 1 : verbreden

Zo bekom je de grafiek van f 2 met f 2( x ) = ax 2 .

– Verschuif de grafiek van f 2 evenwijdig met de x -as over een afstand | α |

Zo bekom je de grafiek van f 3 met f 3( x ) = a ( x – α)2.

Als α > 0 verschuif je de grafiek naar rechts, als α < 0 verschuif je de grafiek naar links.

– Verschuif de grafiek van f 3 evenwijdig met de y -as over een afstand | b |

Zo bekom je de grafiek van f met f ( x ) = a ( x – α)2 + b.

Als b > 0 verschuif je de grafiek naar boven, als b < 0 verschuif je de grafiek naar onderen.

• Je kunt het voorschrift van f ( x ) = ax 2 + bx + c omvormen tot f ( x )= a ( x α)2 + β met α = b 2a en β = b 2 + 4ac 4a

• Je kunt een tweedegraadsfunctie f met f ( x ) = ax 2 + bx + c als volgt onderzoeken.

a Grafiek

De grafiek is een parabool met vergelijking y = ax 2 + bx + c waarvan de as evenwijdig is met de y -as.

b Top T α, β = T b 2a , b 2 + 4ac 4a = T b 2a , f b 2a

c As x = α of x = b 2a

d Domein dom f = R

e Bereik Als a > 0,danisber f = β , +∞ = b 2 + 4ac 4a , +∞ = f b 2a , +∞

Als a < 0,danisber f = −∞, β = −∞, b 2 + 4ac 4a = −∞, f b 2a

f Nulwaarden De nulwaarden zijn de x -waarden van de snijpunten van de grafiek met de x -as.

g Stijgen en dalen Als a > 0 Als a < 0

x –∞ b 2a +∞

f ( x ) +∞ ↘ f b 2a ∥ min. ↗ +∞ x –∞ b 2a +∞ f ( x ) –∞ ↗ f b 2a ∥ max. ↘ –∞

h Snijpunt met de y -as A( 0, c )

• Je weet dat het differentiequotiënt van een functie f over het interval [ a , b ] gelijk is aan de gemiddelde toename van de afhankelijke variabele t.o.v. de onafhankelijke variabele over het interval.

Notatie:

∆ f ( x )

∆ x [a , b ]

• Je kent de betekenis van het differentiequotiënt.

AlsA a , f (a ) enB b , f ( b ) tweepuntenzijnvan degrafiekvaneenfunctie f ,dannoemenwe

∆ y

∆ x = ∆ f ( x ) ∆ x = f ( b ) f (a ) b a hetdifferentiequotiëntof degemiddeldeverandering van f overhetinterval [a , b ].

Als ∆ y

∆ x > 0,danstijgtdiefunctieoverdatinterval; als ∆ y ∆ x < 0,dandaaltdiefunctieoverdatinterval. y x

D x f ( b ) f ( a ) ba 10 1 y = f ( x )

A( a, f ( a ))

B( b, f ( b ))

D y

2

11 Oefeningen

Gegeven zijn onderstaande voorschriften van functies. Plaats een kruisje in de juiste kolom.

VOORSCHRIFTEERSTEGRAADSFUNCTIE

a f ( x )= 3 x 4

b f ( x )= x 2 3 x

c f ( x )= 1 x 2

d f ( x )= x (2 x )

e f ( x )= x 2 3

TWEEDEGRAADSFUNCTIE

Teken de grafiek van volgende tweedegraadsfuncties. Controleer met ICT.

a f ( x ) = x 2 – 4

b f ( x ) = x 2 – 4x + 3

GEEN VAN BEIDE

Bepaal het voorschrift van de tweedegraadsfuncties als gegeven is : a

Bespreek de kenmerken van de volgende tweedegraadsfuncties (berg-/dalparabool, domein, extreme waarde, bereik, symmetrieas, stijgen/dalen, nulwaarden, tekenverloop) aan de hand van hun grafiek.

Welke grafiek hoort bij welk voorschrift ?

a f 1 ( x )= 2( x 1)2 3

b f 2 ( x )= x 2 2

c f 3 ( x )= x 2 + 2 d f 4 ( x )=( x 2)2

y

e f 5 ( x )=( x + 2)2

f f 6 ( x )= ( x + 1)2 + 3

V

g f 7 ( x )= 0,5( x + 3)2 1

h f 8 ( x )= ( x 3)2 + 1

Stel het voorschrift op van de functie g waarvan je de grafiek bekomt als je de grafiek van de functie f met f ( x ) = x 2 :

a twee eenheden horizontaal verschuift naar rechts.

b twee eenheden horizontaal verschuift naar links.

c drie eenheden verticaal naar boven verschuift.

d drie eenheden verticaal naar boven verschuift en spiegelt om de x -as.

e drie eenheden verticaal naar onderen verschuift en spiegelt om de x -as.

f verticaal uitrekt met factor 4, spiegelt om de x -as en horizontaal twee eenheden naar links verschuift.

g twee eenheden horizontaal verschuift naar rechts, drie eenheden verticaal verschuift naar boven en spiegelt om de x -as.

h vier eenheden horizontaal verschuift naar links, vijf eenheden verticaal verschuift naar onderen, verticaal uitrekt met factor 1 2 en spiegelt om de x -as.

Welke transformatie(s) beeldt de grafiek van f met f ( x ) = x 2 af op die van g met voorschrift :

a g ( x ) = x 2 – 3

d g ( x ) = ( x + 2)2

b g ( x ) = 4x 2

e g ( x ) = –2x 2

c g ( x ) = ( x – 2)2 + 3

f g ( x ) = 3( x – 1)2 – 1

Vul de gebruikte transformaties in.

a f ( x )= x 2 ➦

f 1 ( x )=( x 2)2 ➦

g ( x )=( x 2)2 + 3

b f ( x )= x 2 ➦

f 1 ( x )= x 2 3 ➦

f 2 ( x )= x 2 + 3 ➦

g ( x )= ( x + 1)2 + 3

c f ( x )= x 2 ➦

f 1 ( x )=(1 x )2 ➦

f 2 ( x )= 1 3 (1 x )2 ➦

f 3 ( x )= 1 3 (1 x )2

g ( x )= 1 3 (1 x )2 4

In de onderstaande tabel is het verband weergegeven tussen de hoogte h( s ) die een speer bereikt na het aantal meter horizontale verplaatsing s .

s 0 10 20 30 40 50 h ( s ) 0 25 40 45 40 25

a Zet de koppels ( s , h ( s )) uit in een assenstelsel en verbind de punten door een vloeiende lijn.

b Welke van de volgende formules geeft het verband weer tussen het aantal meters s en de hoogte h ( s )?

c Lees op de grafiek af na hoeveel meter de speer de grond bereikt.

d Controleer je antwoord met ICT.

(A) h ( s )= s 1 2 s 2 (C) h ( s )=

(B) h ( s )= 2,5 s (D) h ( s )= 3 s 1 2 s

Bepaal de vergelijking van de symmetrieas en de coördinaat van de top van de grafieken van de functies waarvan onderstaande voorschriften zijn gegeven. Zet het voorschrift om naar de vorm f ( x ) = a ( x – α)2 + b

a f ( x )= x 2 4 x + 3

b f ( x )= x 2 + 3 x + 2

c f ( x )= x 2 3 x

d f ( x )= 2 x 2 + 8

e f ( x )= x 2 4 + 4 x + 1

f f ( x )= x ( x 4)

Gegeven :

f ( x )= 2 x 2 4 x + 6

g ( x )= x 2 2 x + 3

h ( x )= x 2 3 2 3 x + 1

Gevraagd :

a Teken de grafieken van de tweedegraadsfuncties waarvan het voorschrift is gegeven.

b Wat valt je op aan de toppen van de grafieken ?

Teken de grafiek van de functies waarvan het voorschrift gegeven is. Doe dat met ICT en bespreek : domein, coördinaat van de top, bereik, vergelijking van de symmetrieas, nulwaarden (indien afleesbaar), tekenverloop en stijgen/dalen.

a f ( x )= x 2 6 x + 5

b f ( x )= x 2 2 x + 3

c f ( x )= x 2 + 5 x

d f ( x )= 4 x 2 + 4 x 1

Voor welke x -waarde bereiken de volgende uitdrukkingen een zo groot of zo klein mogelijke getalwaarde ? Wat is die uiterste getalwaarde ?

x -waarde uiterste getalwaarde

a 1 4 x 2

b 1 4 x 2 3

c –x 2 + 4x

d 2x 2 + 3x

e x 2 – 10x + 16

f –4x 2 + 16x – 7

g –4x ( x + 3) + 7

h 2( x – 1)2 + 3

De remweg van een auto wordt bepaald door de snelheid. Op een testbaan werden volgende metingen gedaan :

a Bepaal het voorschrift van de remweg f ( x ) in functie van de snelheid x . Ga uit van de vorm f ( x ) = ax 2 .

b Teken de grafiek met ICT.

c Welke remafstand heeft de wagen bij een snelheid van 80 km/h ?

d Bij een ongeval meet de politie een remspoor van 80 m. Wat was de snelheid van die wagen ?

De kabels van deze hangbrug bepalen een parabool die de grafiek is van een functie met volgend voorschrift :

a Teken met ICT de grafiek van de functie f

b Zoek de vergelijking van de symmetrieas s en de coördinaat van de top T. s ⟷ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Top T heeft als coördinaat : ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

c Hoeveel meter hangt het laagste punt van de stalen kabel boven de grond ? –––––––––––––––––––––––––––––––

d Hoeveel meter steekt elke pijler minimaal boven het wegdek uit ? ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

e Hoe ver staan de 2 pijlers van elkaar ? ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Bepaal het differentiequotiënt van de gegeven functies over het gegeven interval.

a f ( x ) = x 2 – 6x + 2 [ 0, 1] [ 1, 2] [ 2, 3]

b f ( x ) = –x 2 – 3x + 2 [ –5, –3] [ –3, –1] [ –1, 0]

c f ( x ) = x 2 – 4x [ –4, –2] [ –2, 0] [ 0, 2]

WISKUNDE & WETENSCHAPPEN

Bijdevrijevalbeweginggeldtvolgendeformule: s ( t )= gt 2 2

met s ( t ): de afgelegde weg in meter

t : de tijd in seconden

g : de gravitatieconstante

a Teken de grafiek met behulp van ICT.

b De Torre Cepsa (links op de foto) staat samen met vier andere hoge kantoorgebouwen in een zakenwijk in Madrid. Hij is precies 250 meter hoog en is meteen het hoogste bouwwerk van Spanje. Als je een steen laat vallen van op 250 meter, welke afstand heeft de steen dan afgelegd na één seconde ?

c Hoelang duurt het voordat de steen uit vraag b op de grond valt ?

1.3 Ontbinden in factoren

Een veelterm ontbinden in factoren is die veelterm schrijven als een product van zo veel mogelijk factoren. Dat is nuttig om algebraïsche vormen te vereenvoudigen en vergelijkingen van hogere graad op te lossen.

1 Gemeenschappelijke factoren afzonderen

Als je volgende bewerking moet uitvoeren door te hoofdrekenen, dan ga je het best als volgt te werk :

7 18 + 3 18 stap1 = 18 (7 + 3)= 18 10 = 180

In stap 1 heb je de factor 18 afgezonderd. Dat doe je door de eigenschap van de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling van reële getallen toe te passen. Je hebt in dit geval de gemeenschappelijke factor 18 buiten de haakjes gebracht.

Voorbeelden : 3

3

Bij het afzonderen van gemeenschappelijke factoren pas je dus de distributieve eigenschap toe van het vermenigvuldigen ten opzichte van het optellen in R

Gemeenschappelijke factoren afzonderen

in symbolen : ab + ac = a · ( b + c )

in woorden : Om gemeenschappelijke factoren af te zonderen, noteer je

voor de haakjes : de factoren die in elke term van de veelterm voorkomen : – de ggd van de gehele coëfficiënten ; – alle gemeenschappelijke letters, elk met hun kleinst voorkomende exponent. tussen de haakjes : het quotiënt van de gegeven veelterm met de afgezonderde eenterm.

Opmerkingen :

• Ontbind een veelterm altijd zo ver mogelijk.

2

• Niet alle veeltermen zijn te ontbinden in factoren. Zo kan 4a 2 + 3b niet ontbonden worden.

• Je kunt de ontbinding controleren door je resultaat weer uit te werken door toepassing van de distributieve eigenschap.

2 Merkwaardige tweeterm a2 – b2

In de vorige jaren heb je kennisgemaakt met merkwaardige producten. Een daarvan was het product van twee toegevoegde tweetermen: ( a – b )( a + b ) = a 2 – b 2

Als we onze opgave nu omdraaien, vinden we voor een verschil van twee kwadraten dat a 2 – b 2 = ( a – b )( a + b ). Wanneer we dat nu toepassen op de veeltermen in R, dan kunnen we een verschil van twee kwadraten ontbinden.

Voorbeelden :

Merkwaardige tweeterm ontbinden in symbolen : a 2 – b 2 = ( a – b ) · ( a + b )

Opmerkingen :

• Je kunt de ontbinding controleren door je resultaat weer uit te werken. Je past dan de formule toe en je krijgt weer de opgave.

• Een som van twee kwadraten zoals 25a 2 + 1 kun je niet ontbinden.

• Als het minteken bij het eerste kwadraat staat, herschrijf je de opgave :

– 16x 2 + 9 = 9 – 16x 2 = ( 3 – 4x )( 3 + 4x )

• Ga steeds eerst na of je een gemeenschappelijke factor kunt afzonderen. 2a 4 – 8a 2 = 2a 2( a 2 – 4) = 2a 2( a – 2)( a + 2) 5 x 2 20 x + 20 =

3 Merkwaardige drieterm a2 ± 2ab + b2

Het kwadraat van een tweeterm kun je snel uitwerken met de formules :

( a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2

( a – b )2 = a 2 – 2ab + b 2

Als je een drieterm hebt van de vorm a 2 – 2ab + b 2 of van de vorm a 2 + 2ab + b 2 kun je die ontbinden in factoren door de formule in omgekeerde zin toe te passen.

Hoe vind je de grondtallen terug?

Zeker twee van de drie termen zijn kwadraattermen. Stel jezelf de vraag: waarvan is de term het kwadraat ?

Zo vind je de twee grondtallen terug. Controleer zeker dat de derde term wel degelijk het dubbel product is van de twee grondtallen.

Voorbeelden :

Merkwaardige drieterm ontbinden in symbolen : a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b )2

Opmerkingen :

• Je kunt je ontbinding controleren door je resultaat weer uit te werken. Je past dan de formule toe en je krijgt weer de opgave.

• Als de drie termen kwadraattermen zijn, zul je de vierkantswortels zoeken van de termen met de grootste en de kleinste exponent.

Zois x 4 + x 2 + 1 4 = x 2 + 1 2 2

• Ga steeds eerst na of je een gemeenschappelijke factor kunt afzonderen.

49a 5 + 126a 3 + 81a = a ( 49a 4 + 126a 2 + 81)

= a ⋅ ( 7a 2 + 9)2

5x 2 – 20x + 20 = 5( x 2 – 4x + 4)

= 5( x – 2)2

4 Samenvatting

• Je weet dat een veelterm ontbinden betekent dat je de veelterm schrijft als een product van zo veel mogelijk factoren.

• Je kunt een veelterm ontbinden in factoren door de volgende werkwijze toe te passen.

Zonder alle gemeenschappelijke factoren af door de distributieve eigenschap in R toe te passen.

Voor de haakjes noteer je de factoren die in elke term voorkomen (de ggd van de coëfficiënten en alle gemeenschappelijke letters, elk met hun kleinst voorkomende exponent).

Tussen de haakjes noteer je het quotiënt van de gegeven veelterm met de afgezonderde eenterm.

Pas indien mogelijk een van de formules van de merkwaardige producten toe.

ab + ac = a ( b + c )

a 2 – b 2 = ( a – b ) ( a + b )

a 2 ± 2ab + b 2 = ( a ± b )2

5 Oefeningen

Ontbind volgende veeltermen in factoren door de gemeenschappelijke factoren af te zonderen.

Ontbind volgende merkwaardige tweetermen.

a

b7 x 2

(2 x 1)2

c

d 16 y 2 + 9 x 2

a 2 (a 1) 4(a 1)

e 100 + 25 b 4

(2 x + 3)2 ( x + 1)2

Ontbind volgende merkwaardige drietermen.

a

b x 2 + 2 xy 2 y 4 g x 2 + 2√2 x +

c3 x 4 12 x 2 y + 12 y

d a 4 + 2a 2 + 1i x 2 + x 1

e

Ontbind in factoren. Je moet soms meer dan één methode toepassen.

a a 3 9a f a 4 64 1 81

b x 6 9 x 2 g x 2 x 2 x

c3 x 2 24 x + 48 h (2a b )2 a

d3 x 4 12 x 2 y + 12 y

i9 (3 x + 1)2 e x 2 x 2 y

Wat hoort niet thuis in het rijtje ? Verklaar.

a

Draai maar rond !

Toon aan dat 4( x + y )2 – ( x – y )2

( 3x + y )( x + 3y ) 5 6

Bereken zonder rekenmachine en door een merkwaardig product toe te passen.

Voorbeeld :

98 102 = ( 100 – 2)( 100 + 2)

= 1002 – 22

= 10 000 – 4

= 9996

a 1001 999

b 10032

c 9992

d 52 48

e 502–1 498–1

1.4

Tweedegraadsvergelijkingen

1 Vergelijkingen herleiden naar de standaardvorm

Instap :

Meryem trapt de bal uit. De baan van de getrapte bal kunnen we beschrijven met volgend functievoorschrift : h ( x )= 1 50 x 2 + 4 5 x

Hierbij is h ( x ) de hoogte in meter en x de horizontale verplaatsing in meter.

a Hoe hoog trapt Meryem de bal ?

b Hoe ver trapt ze de bal ?

c Op welke horizontale afstand vloog de bal 6 meter hoog ?

Oplossing :

a Het antwoord op de vraag hoe hoog Meryem de bal trapt, kun je al beantwoorden. Eigenlijk wordt hier gevraagd naar de y -waarde van de top van de parabool.

Dat is de grafiek van de functie h met h ( x )= 1 50 x 2 + 4 5 x .

hoogte: β = b 2 + 4ac 4a = = 8(gaditna)

Antwoord : Meryem trapt de bal 8 meter hoog.

b Om te weten hoe ver Meryem de bal trapt, moet je de nulwaarden van de functie h berekenen. M.a.w. je moet de oplossingen zoeken van de vergelijking : h ( x )= 0

⇐⇒− 1 50 x 2 + 4 5 x = 0 (1)

a iseennulwaardevan f f (a )= 0

c Om te weten op welke horizontale afstand de bal 6 meter hoog vloog, moet je de oplossingen zoeken van de vergelijking.

h ( x )= 6

⇐⇒− 1 50 x 2 + 4 5 x = 6

⇐⇒− 1 50 x 2 + 4 5 x 6 = 0 (2)

Die laatste vergelijking noemen we een tweedegraadsvergelijking (of vierkantsvergelijking) omdat de onbekende x als hoogste macht 2 heeft.

De standaardvorm van de tweedegraadsvergelijking is ax 2 + bx + c = 0 : a ( ≠ 0) is de coëfficiënt van x 2 , b is de coëfficiënt van x , c is de constante term.

Hoe kun je een tweedegraadsvergelijking herleiden naar de standaardvorm ?

Voorbeelden :

Methode :

Als er haakjes voorkomen, werk ze dan eerst weg.

Als er breuken voorkomen, verdrijf dan de noemers.

Breng alle termen naar het linkerlid.

Tel de gelijksoortige termen bij elkaar op en rangschik volgens dalende machten van x .

2 Tweedegraadsvergelijkingen oplossen

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking worden wortels genoemd. wortel

k iseen wortel (oplossing)vandetweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a · k 2 + b · k + c = 0.

We noemen de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 volledig als a , b , c ∈ R0.

We noemen de tweedegraadsvergelijking onvolledig als b = 0 en/of c = 0.

a Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen

b = c = 0

Voorbeeld :

3 x 2 = 0

x 2 = 0

x = 0

V = {0}

Algemeen :

ax 2 = 0

x 2 = 0 want a = 0

x = 0

V = {0}

De vergelijking heeft één oplossing. Dat betekent dat de grafiek van de corresponderende tweedegraadsfunctie de x -as raakt in de oorsprong. M.a.w. de ‘twee’ snijpunten van de parabool met de x -as vallen samen. Daarom zeggen we ook dat de gegeven vergelijking twee gelijke wortels heeft of een dubbele wortel.

b ≠ 0, c = 0

Voorbeeld :

5 x 2 + 4 x = 0

x (5 x + 4)= 0

x = 0 of 5 x + 4 = 0

x = 0 of x = 4

5

V = 4 5 ,0

een product van factoren is nul als en slechts als één of meer factoren nul zijn

Algemeen :

ax 2 + bx = 0

x (ax + b )= 0

x = 0 of ax + b = 0

x = 0 of x = b a

V = b a ,0

p q = 0

p = 0of q = 0

Devergelijkingheefttweeverschillendeoplossingen.Datbetekentdatdegrafiekvandecorresponderende tweedegraadsfunctiede x -assnijdtindeoorsprongO (0,0) eninhetpuntP b a ,0

b = 0, c ≠ 0

Voorbeelden :

4 x 2 9 = 0

4 x 2 = 9

x 2 = 9

x = 3 2 of x =

Algemeen :

2 + c = 0

ax 2 = c

x 2 = c a

Negatieve getallen hebben geen reële vierkantswortel.

Is c a < 0,danisV = ∅.Datbetekentdatdegrafiekvandecorresponderendetweedegraadsfunctiegeenpunten metde x -asgemeenheeft.Deparaboolligtofwelvolledigbovende x -as(dalparabool)ofwelvolledigonderde x -as(bergparabool).

Is c a > 0,danzijnertweeoplossingen:

x = c a of x = c a

V = c a , c a

Dat betekent dat de grafiek van de corresponderende functie de x -as snijdt in twee punten die symmetrisch gelegen zijn t.o.v. de oorsprong. De top ligt op de y -as, die is ook de symmetrieas.

b Volledige tweedegraadsvergelijkingen oplossen

Voorbeelden :

4 x 2 + 12 x + 9 = 0

(2 x + 3)2 = 0

2 x + 3 = 0

x = 3 2 V = 3 2

x 2 + 2 x 15 = 0

x 2 + 2 x + 1 16 = 0

( x + 1)2 = 16

x + 1 = 4 of x + 1 = 4

Algemeen :

x = 3 of x = 5

V = {−5,3}

x 2 + 4 x + 11 = 0

x 2 + 4 x + 4 + 7 = 0

( x + 2)2 = 7

V = ∅

4 x 2 + 8 x 5 = 0

4 x 2 + 8 x + 4 9 = 0

(2 x + 2)2 9 = 0

(2 x + 2)2 = 9

2 x + 2 = 3 of 2 x + 2 = 3

x = 1 2 of x = 5 2

V = 5 2 , 1 2

Deze werkwijze zijn we al tegengekomen bij de tweedegraadsfunctie. In plaats van die telkens opnieuw voor elke tweedegraadsvergelijking te herhalen, zullen we een formule opstellen om de eventuele wortels onmiddellijk te bepalen.

De noemer in het rechterlid is steeds strikt positief. Het teken van het rechterlid, en dus het bestaan van de wortels, hangt af van de uitdrukking b 2 – 4ac . Die uitdrukking noemen we de discriminant en stellen we voor door D

discriminant

D = b 2 – 4ac

De vergelijking wordt dus :

x + b 2a 2 = D 4a 2

Er zijn nu drie mogelijkheden :

• ofwel D < 0

D

• ofwel D = 0

• ofwel D > 0

De vergelijking

ax 2 + bx + c = 0 heeft geen reële oplossingen.

De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft twee oplossingen die aan elkaar gelijk zijn. Er zijn twee gelijke oplossingen, dat noemen we ook een dubbele wortel

De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft twee verschillende oplossingen.

Conclusie :

Omdetweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0optelossen,berekenenwedediscriminant

D = b 2 4ac .

D < 0 ⇐⇒ ax 2 + bx + c = 0heeftgeenreëleoplossingen V = ∅

D = 0 ⇐⇒ ax 2 + bx + c = 0heefttweegelijkeoplossingenV = b 2a

D > 0 ⇐⇒ ax 2 + bx + c = 0heefttweeverschillendeoplossingenV = { x 1 , x 2 } met x 1 = b √D 2a en x 2 = b + √D 2a

Dieformulenoemenwede wortelformule ofookde abc -formule.

Voorbeeld 1 : 6 x 2 + 11 x 10 = 0

a = 6

b = 11

c = 10

D = b 2 4ac

= 112 4 6 ( 10)

= 361

= 192 D > 0,dus2verschillendeoplossingen

Voorbeeld 2 : 25 x 2 30 x + 9 = 0

a = 25

b = 30

c = 9

D = b 2 4ac

30)2 4 25 9 = 900 900 = 0 D = 0,dus1dubbeleoplossing

0,dusgeenoplossingen V =

Voorbeeld 4 :

We hernemen het voorbeeld van blz. 68 :

h ( x )

Om te weten hoe ver Meryem de bal trapt, berekenen we de nulwaarden van de functie h : h ( x )= 0

1 50 x 2 + 4 5 x = 0

x 2 + 40 x = 0

x ( x + 40)= 0

x = 0of x = 40

Antwoord : de bal wordt 40 m ver getrapt.

Om te weten op welke afstand de bal op 6 m hoogte is, lossen we de vergelijking h ( x ) = 6 op. h ( x )= 6

1 50 x 2 + 4 5 x = 6

x 2 + 40 x = 300

x 2 + 40 x 300 = 0

D = 402 4 ( 1) ( 300)= 400

x = 40 ± 20 2

x = 30of x = 10

Antwoord : op 10 m en op 30 m afstand was de bal op een hoogte van 6 m.

3 Eigenschappen van de wortels van een tweedegraadsvergelijking

Gegeven is de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) waarbij we veronderstellen dat D ⩾ 0. De tweedegraadsvergelijking is dus oplosbaar en heeft twee wortels x 1 en x 2.

Som van de wortels :

som S = x 1 + x 2

=

b √D 2a + b + √D 2a

= b √D b + √D 2a

= 2 b 2a = b a

Product van de wortels :

product P = x 1 x 2

= b √D 2a · b + √D 2a

= ( b √D ) · ( b + √D ) 4a 2

= ( b )2 (√D )2 4a 2

= b 2 D 4a 2

=

b 2 ( b 2 4ac ) 4a 2

= b 2 b 2 + 4ac 4a 2

= 4ac 4a 2 = c a

Besluit :

som en product van wortels

Voordetweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 (a = 0) metoplossingen x 1 en x 2 geldt:

S = x 1 + x 2 = b a P = x 1 · x 2 = c a

Tweedegraadsvergelijkingen oplossen m.b.v. de som en het product van de wortels

Soms zijn voor een tweedegraadsvergelijking de getallen S en P zo eenvoudig dat je de wortels x 1 en x 2 uit het hoofd kunt vinden.

Voorbeelden :

x 2 7 x + 10 = 0

S = 7 1 = 7

P = 10 1 = 10  

Vuistregel :

x 2 + x 12 = 0

S = 1

x 2 + 9 x + 8 = 0

9

Wanneer a = 1 en b , c ∈ Z, loont het zeker de moeite om de regel van som en product voor het oplossen van een tweedegraadsvergelijking te proberen.

Twee getallen zoeken waarvan som en product gegeven zijn

We kunnen de tweedegraadsvergelijking herschrijven in de gedaante :

ax 2 + bx + c = 0

x 2 + b a x + c a = 0 want a = 0

x 2 Sx + P = 0

Voorbeeld :

Zoek twee getallen waarvan de som 6 is en het product 7 is.

x 2 Sx + P = 0wordt:

x 2 6 x + 7 = 0

x = 6 √8 2 of x = 6 + √8 2

x = 3 √2 of x = 3 + √2

Antwoord: detweegetallenzijn3 √2en3 + √2.

Een vergelijking met gegeven wortels opstellen

Voorbeeld : steleentweedegraadsvergelijkingopdie 2 5 en 7alswortelsheeft.

Eerste methode : Tweede methode :

x 2 5 ( x + 7)= 0heeft 2 5 en 7alswortels.

De tweedegraadsvergelijking wordt :

x 2 2 5 x + 7 x 14 5 = 0

5 x 2 2 x + 35 x 14 = 0

5 x 2 + 33 x 14 = 0

Algemeen :

S = 2 5 +( 7)= 2 5 35 5 = 33 5

P = 2 5 ( 7)= 14 5

Detweedegraadsvergelijkingwordt: x 2 Sx + P = 0

x 2 + 33 5 x 14 5 = 0

5 x 2 + 33 x 14 = 0

Een tweedegraadsvergelijking opstellen die x1 en x2 als wortels heeft :

S = x 1 + x 2

P = x 1 x 2

De tweedegraadsvergelijking is dus :

x 2 – Sx + P = 0 of x 2 – ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0

4 De drieterm ax2 + bx + c ontbinden in factoren

Kijk eerst of je geen factoren kunt afzonderen en/of de drieterm geen merkwaardige tweeterm (als b = 0) of merkwaardige drieterm is.

Om de drieterm ax 2 + bx + c te ontbinden in factoren maken we eveneens gebruik van de discriminant D = b 2 – 4ac

D > 0

Als x 1 en x 2 deoplossingenzijnvan ax 2 + bx + c = 0,danis ax 2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 ) .

Want : ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c a (a = 0)

= a ( x 2 Sx + P )

= a x 2 ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2

= a ( x 2 x 1 · x x 2 · x + x 1 · x 2 )

= a [ x · ( x x 1 ) x 2 ( x x 1 )]

= a ( x x 1 )( x x 2 )

D = 0

Als x 1 de dubbele oplossing is van ax 2 + bx + c = 0, dan is ax 2 + bx + c = a ( x – x 1)2.

Want : ax 2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 )

= a ( x x 1 )( x x 1 ) x 1 = x 2

= a ( x x 1 )2

D < 0

De drieterm is niet ontbindbaar in R

Want :

ax 2 + bx + c

= a ( x x 1 )( x x 2 ) als D > 0

= a ( x x 1 )2 als D = 0

als de drieterm ax 2 + bx + c ontbindbaar zou zijn, dan zou die na ontbinding geschreven kunnen worden in de vorm :

a ( x – p )( x – q )

De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 zou dan gelijkwaardig zijn met de vergelijking :

a ( x – p )( x – q ) = 0

Die vergelijking heeft oplossingen x = p en x = q , wat niet kan omdat D < 0.

Voorbeeld 1 :

Ontbind x 2 – 6x + 9 in factoren.

We bepalen eerst de (eventuele) wortels van x 2 – 6x + 9 = 0.

a = 1

b = –6

c = 9

D = ( –6)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 – 36 = 0

x 1 = x 2 = 6 2 = 3

Dus : x 2 – 6x + 9 = 1 ( x – 3)2 = ( x – 3)2

Dat resultaat konden we ook vinden door toepassing van het merkwaardig product a 2 – 2ab + b 2 = ( a – b )2

Voorbeeld 2 :

Ontbind 2x 2 – 7x – 4 in factoren. We bepalen eerst de (eventuele) wortels van 2x 2 – 7x – 4 = 0.

a = 2

b = 7

c = 4 D

Enpassenwenudeformulevanvorigebladzijdetoe:

Voorbeeld 3 :

Ontbind x 2 + x + 5 in factoren. We bepalen eerst de (eventuele) wortels van x 2 + x + 5 = 0.

a = 1

b = 1

c = 5

D = 12 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 1 – 20 = –19 < 0

Deze drieterm is niet ontbindbaar in R.

Zet steeds in de vorm

Ga na of de tweedegraadsvergelijking op te lossen is door ontbinding in factoren.

↳ Gemeenschappelijke factoren afzonderen ma + mb = m · (a + b )

↳ Verschil van twee kwadraten

a 2 b 2 =(a b )(a + b )

↳ Merkwaardige drieterm

ax 2 + bx + c = 0.

↳ Maak eventueel noemervrij.

Voorbeelden

• 3 x 2 6 x = 2 3 x 2 6 x 2 = 0

• 1 2 x 2 3 4 x + 1 = 0

2 x 2 3 x + 4 = 0

Opmerking :

Voorbeelden

•

•

•

Is de vergelijking onvolledig, dan kun je de methodes van blz. 70 toepassen.

a 2 ± 2ab + b 2 =(a ± b )2

x (3 x 1)= 0

⇐⇒ x = 0of x = 1 3 V = 0, 1 3

(2 x 3)(2 x + 3)= 0

⇐⇒ 2 x 3 = 0of2 x + 3 = 0

⇐⇒ x = 3 2 of x = 3 2

V = 3 2 , 3 2

(2 x 3)2 = 0

⇐⇒ 2 x 3 = 0

⇐⇒ x = 3 2

V = 3 2

Ga na of de methode van som en product mogelijk is.

↳ Bij ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) met oplossingen

x 1 en x 2 geldt :

S = x 1 + x 2 = b a

P = x 1 · x 2 = c a

Voorbeeld

• x 2 + 6 x + 5 = 0

S = b a = 6

P = c a = 5     

V = {−5, 1}

=⇒ x = 5of x = 1

↳

D = b 2 – 4ac

↳

Alle tweedegraadsvergelijkingen zijn op te lossen met behulp van de wortelformule.

D > 0 =⇒ x =

b ± √D 2a

D = 0 =⇒ x = b 2a

D < 0 =⇒ V = ∅

Voorbeelden

• 2 x 2 + 5 x 3 = 0

D = 52 4 · 2 · ( 3)= 49

x 1 = 5 7 4 = 3

x 2 = 5 + 7 4 = 1 2

V = 3, 1 2

• 9 x 2 6 x + 1 = 0

D =( 6)2 4 9 1 = 0

x = 6 18 = 1 3

V = 1 3

• 3 x 2 4 x + 6 = 0

D =( 4)2 4 · 3 · 6 = 56

D < 0 =⇒ geenreëleoplossingen

V = ∅

5 Samenvatting

• Je kent de betekenis van een tweedegraadsvergelijking of vierkantsvergelijking en van een oplossing of wortel van die tweedegraadsvergelijking.

k iseenwortel(oplossing)vandetweedegraadsvergelijking

ax 2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a · k 2 + b · k + c = 0

• Je kunt een tweedegraadsvergelijking herleiden naar de standaardvorm.

– Als er haakjes zijn, werk ze dan weg.

– Als er breuken met constante noemers voorkomen, verdrijf dan die noemers.

– Breng alle termen naar het linkerlid.

– Tel de gelijksoortige termen bij elkaar op en rangschik volgens dalende machten van de onbekende.

• Je kunt de oplossing van een tweedegraadsvergelijking bepalen met de wortelformule of met de abc -formule. Bereken van de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 de discriminant D = b 2 – 4ac

D < 0 ⇐⇒ ax 2 + bx + c = 0heeftgeenreëlewortels

D = 0 ⇐⇒ ax 2 + bx + c = 0heefttweegelijkewortels

x 1 = x 2 = b 2a

D > 0 ⇐⇒ ax 2 + bx + c = 0heefttweeverschillendewortels

x 1 = b √D 2a en x 2 = b + √D 2a

V = ∅

V = b 2a

V = b √D 2a , b + √D 2a

• Je kent de betekenis van de som en het product van de wortels. Je kunt de wortels bepalen van een tweedegraadsvergelijking en kunt een tweedegraadsvergelijking oplossen als de som en het product van de wortels gegeven zijn.

Voordetweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 (a = 0) metoplossingen x 1 en x 2 geldt:

S = x 1 + x 2 = b a

P = x 1 x 2 = c a

Devergelijkingkangeschrevenwordenals x 2 Sx + P = 0.

• Je kunt een drieterm ax 2 + bx + c ontbinden in factoren.

Berekenvandedrieterm ax 2 + bx + c dediscriminant D = b 2 4ac

D < 0 =⇒ dedrietermisnietontbindbaarin R

D = 0 =⇒ ax 2 + bx + c = a ( x x 1 )2

D > 0 =⇒ ax 2 + bx + c = a ( x x 1 )( x x 2 )

Parabolen

Parabolen werden al in de oudheid bestudeerd. De Griekse wiskundige Apollonius van Perga (derde eeuw voor Christus) gaf de naam parabool aan de doorsnede van een kegel met een vlak dat evenwijdig is aan een beschrijvende van de kegel (zie figuur). De grote natuurkundige Galileo Galilei (1544–1642) ontdekte 2000 jaar later dat projectielen afgevuurd met een kanon een parabolische baan volgen (met verwaarlozing van luchtweerstand). Ook spoorwegtunnels en bruggen zijn soms parabolisch. De lob van een voetbalspeler, de worp van een speerwerper of een kogelstoter zijn parabolen als er niet te veel wind staat… Laat je een parabool wentelen rond zijn as, dan ontstaat er een omwentelingsparaboloïde. Een voorbeeld daarvan is een schotelantenne.

6 Oefeningen

g (5 x 1)2 =(2 x + 1)2 1

Schrijf volgende vergelijkingen in de vorm ax 2 + bx + c = 0.

a4 x 2 8 x + 7 = 3 x 2 + 5 x 1

b ( x 4)(2 x + 3)= x 2 5 x + 8

c2 x 2 + 4 x 8 = 2 x x 2 + 5

d ( x 1)( x + 1)= 4 x 2 + 6 x 2

e 1 3 ( x 2 + 5 x 3)= 2 x 2 4 x + 7 9

f (3 x 1)2 =( x 1)( x + 1)

Los

op in R. Het kan zonder de wortelformule.

a

b4 x 2 16 = 0e x 2 + 16 = 0

c x 2 6 x + 9 = 0f 9 x 2 + 24 x 16 = 0

i4 x 2 + 25 = 20 x

l1 x 2 = 1 x

Los op in R. Gebruik de wortelformule.

a2

b3 x 2 x 2 = 0e x 2 + x 30 =

c x 2 + x 2 = 0f x 2 4 x + 2 = 0

Bepaal de nulwaarden van de functie f waarvan het functievoorschrift gegeven is. Controleer met ICT.

a f ( x )= x 2 + x 2d f ( x )= 6 x 2 3 x + 2

b f ( x )= 2 x 2 5 x + 2e f ( x )= 3 x 2 18

c f ( x )= 3 x 2 4 x f f ( x )= x 2 2 4 x + 8

Bepaal de eventuele snijpunten van de grafiek van f met de twee assen als het voorschrift gegeven is.

a f ( x )= x 2 10 x + 16 e f ( x )= x 2 3 + x 1

b f ( x )= x 2 + 4 x + 5f f ( x )= x 2 3 x + 2

c f ( x )= x 2 3 x g f ( x )= x 2 2 x

d f ( x )= x 2 + x + 1h f ( x )= 2 x 2 4 x + 1

Bepaal de som en het product van de wortels van de volgende vergelijkingen en bereken hiermee rechtstreeks de wortels.

a x 2 – 5x – 14 = 0

b x 2 – 7x + 12 = 0

c x 2 + 5x + 6 = 0

d x 2 + x – 30 = 0

e x 2 – 11x + 30 = 0

f x 2 + 11x + 30 = 0

g 6x 2 – 5x + 1 = 0

h 6x 2 + x – 1 = 0

i –x 2 – 4x + 5 = 0

j x 2 + 11x + 18 = 0

k x 2 + 14x – 32 = 0

l 2x 2 + x – 1 = 0

m –x 2 + 10x + 24 = 0

n x 2 – 1 = 0

Los volgende tweedegraadsvergelijkingen op. Gebruik een methode naar keuze.

a3

b x 2 36 = 0e x 2 8 x + 16 = 0

c x 2 8 = 0f x 2 + 3 x 2 = 0

Gegeven :

De functie f met f ( x ) = x 2 – 3x + 2

Gevraagd :

aBepaal f (0), f ( 2), f 1 2 en f √3

bBepaaltelkens x opdat:

• f ( x )= 0

• f ( x )= 2

• f ( x )= 1

Zoek de twee getallen met gegeven som S en product P

a S = 4

P = 1

b S = 8

P = 1

c S = 1 12 P = 1

Stel een tweedegraadsvergelijking op met :

a oplossingen 2 en 5 en a = 1

c oplossingen –7 en –6 en a = –3

b oplossingen –3 en 4 en a = 5

d twee gelijke oplossingen gelijk aan 3 2 en a = 4

Ontbind, indien mogelijk, in factoren. Controleer met ICT.

a x 2 + 4 x + 4

b x 2 7 x + 12

c4 x 2 x 18

d 1 2 x 2 + x 12

e3 x 2 + 3 x 18

f 20 x 2 + 100 x 125

g

h

k

1.5 Toepassingen op

tweedegraadsvergelijkingen

1 Vraagstukken oplossen met behulp van tweedegraadsvergelijkingen

VRAAGSTUK

KEUZE VAN DE ONBEKENDE x

EEN VERGELIJKING OPSTELLEN

DE VERGELIJKING OPLOSSEN

EEN ANTWOORD FORMULEREN

2 Voorbeeld 1

Wat wordt er gevraagd ?

Wat moet ik zoeken ?

Probeer de tekst uit het vraagstuk om te zetten in een vergelijking.

Los de vergelijking op.

Controleer of alle oplossingen wel voldoen binnen de context van het vraagstuk.

Het product van de leeftijden van Marie en Lena is 6 keer meer dan de som van hun leeftijden. Hoe oud zijn ze als je weet dat Marie 5 jaar ouder is dan Lena ?

1) Keuze van de onbekende x : x : de leeftijd van Marie x – 5 : de leeftijd van Lena

2) De vergelijking opstellen en oplossen : x ( x 5)= 6 [ x + ( x 5)]

x 2 5 x = 12 x 30

x 2 17 x + 30 = 0

S = 17 P = 30

x = 2of x = 15

3) Antwoord :

Marie is 15 jaar en Lena is 10 jaar.

Taak: waarom moeten we x = 2 als oplossing schrappen ?

3 Voorbeeld 2

Een stuk bouwgrond is rechthoekig. De omtrek bedraagt 84 m en de oppervlakte is 432 m2. Bereken de lengte en de breedte van de bouwgrond.

1 Exploreren

• Wat is er gegeven ?

• Wat is er gevraagd?

• Begrijp het probleem.

• Maak eventueel een bijkomende tekening of schets.

2 Mathematiseren

• Welke heuristiek (oplossingsmethode) ga je gebruiken?

3 Berekenen

• We lezen en herlezen het probleem. We weten wat gegeven is en wat gevraagd is.

• We zoeken een oplossingsmethode. We zetten de gegevens om in een tweedegraadsvergelijking. De onbekende x krijgt als betekenis de lengte van de weide.

• Welke formule moet je gebruiken ?

• Welke bewerkingen zul je uitwerken ?

4 Controleren

• Heb je de gegevens gebruikt ?

• Kan het antwoord kloppen ?

5 Geef een antwoord

• Dit is demathematiseren.

• Moet je het antwoord gepast afronden ? Formuleer het antwoord in een zin.

4 Voorbeeld 3

• We zullen gebruikmaken van deze formules voor een rechthoek : p = 2 ⋅ ( l + b ) en A = l ⋅ b

De omtrek is 84 m. De halve omtrek is dus 42 m. De breedte van de weide is 42 – x

Lengte maal breedte is gelijk aan de oppervlakte, dat wordt dus : x · (42 x )= 432

x = 24of x = 18

• Antwoord : de lengte van de weide bedraagt 24 m en de breedte van de weide 18 m.

Het product van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 210. Bepaal die getallen.

• x : het eerste getal

• x + 1: het tweede getal

• Antwoord: de twee getallen zijn 14 en 15.

5 Oefeningen

De som van de kwadraten van twee opeenvolgende natuurlijke getallen is 365. Bepaal die getallen.

Het product van twee opeenvolgende natuurlijke even getallen is 224. Bepaal die getallen.

Als je van een reëel getal zijn kwadraat aftrekt, dan krijg je – 272. Bepaal dat getal.

1

2

3

5 6

De som van twee getallen is 6, hun product – 391. Bepaal die getallen.

Het verschil van twee getallen is 7, hun product 800. Bepaal die getallen.

De refter van een school is rechthoekig van vorm en heeft een vloeroppervlakte van 216 m2. De lengte van de refter is 6 m langer dan de breedte. Hoe lang is de refter van de school ?

7

Een school organiseert voor de vijfdejaars een uitstap naar de Ardennen. De totale prijs hiervoor is 375 euro. Vijf leerlingen zijn ziek en kunnen niet deelnemen aan de uitstap. Hierdoor moet elke deelnemer 3,75 euro meer betalen.

Hoeveel leerlingen waren er oorspronkelijk ingeschreven ?

8

Een natuurlijk getal is één meer dan de helft van een ander natuurlijk getal en het verschil van hun kwadraten is 340. Bepaal die getallen.

9

Een weide is rechthoekig, de oppervlakte bedraagt 832 m2. Bereken de lengte en de breedte als je weet dat het verschil tussen beide 6 m bedraagt.

10

Om een living te vloeren heb je precies 1260 vierkante tegeltjes nodig.

Neem je echter vierkante tegeltjes waarvan de zijde 4 cm langer is, dan heb je er slechts 875 nodig.

a Hoe groot waren de oorspronkelijke tegeltjes ?

b Hoe groot is de oppervlakte van de living ?

De som van de kwadraten van drie opeenvolgende even natuurlijke getallen is 56. Bepaal die getallen. 11 12

a In een rechthoek is een diagonaal 10 cm en de omtrek 28 cm. Bepaal de lengte en de breedte van die rechthoek.

b In een rechthoekige driehoek is één rechthoekszijde 1 cm korter dan de schuine zijde terwijl de andere rechthoekszijde 18 cm korter is dan de schuine zijde. Bereken de lengte van de rechthoekszijden.

Oppervlakteproblemen.

a Bereken x als A rechthoek = 348 m2.

Een tuin is perfect rechthoekig van vorm en meet 40 m bij 18 m.

De eigenaars willen de tuin afboorden met plantjes. De boord moet wel overal even breed zijn en er moet voor de kinderen nog een oppervlakte van 408 m2 grasperk overblijven om op te spelen. Bepaal de breedte van de boord.

b Bereken x als A driehoek = 96 m2.

15

Als een 8 meter lange ladder stevig tegen een muur moet staan, dan moet de afstand van de voet van de muur tot de top van de ladder 2 meter langer zijn dan de afstand van de muur tot het steunpunt van de ladder. Bepaal tot op 1 cm nauwkeurig op welke hoogte de ladder tegen de muur komt.

16

8 m

Bereken x opdat de oppervlakte van de driehoek en de oppervlakte van de rechthoek gelijk zouden zijn.

Bereken x in deze driehoek.

Lotte en Hanne wonen beiden op 15 km van hun werk. Lotte neemt steeds de elektrische fiets, Hanne gaat altijd met de auto. Als je weet dat de auto gemiddeld 15 km/h sneller rijdt dan Lotte met haar fiets en er ook 10 minuten minder over doet, bepaal dan de snelheid van Hanne en Lotte.

Tweedegraadsvergelijkingen

Tweedegraadsvergelijkingen werden al door Euclides (365 – 300 voor Christus) langs meetkundige weg opgelost. Diophantus werkte al met de notatie ax 2 + bx = c en duidde één positieve wortel aan. De Indiër Bhāskara (1114 –1185) herleidde in 1150 een tweedegraadsvergelijking op nul en kende haar twee wortels toe. De negatieve wortel schrapte hij echter ‘omdat mensen niet houden van negatieve getallen’. Pas vanaf 1544 gebruikten o.a. de Duitser Stifel en de Bruggeling Stevin negatieve wortels. Descartes (1596 –1650) is de eerste die een tweedegraadsvergelijking oploste zoals wij dat nu nog steeds doen. De vergelijkingen van de Babyloniërs, de Chinezen en de Grieken waren voornamelijk vergelijkingen van de eerste en de tweede graad. De oplossingsmethoden voor de hogeregraadsvergelijkingen hebben we te danken aan enkele Italianen : Tartaglia, Cardano en zijn leerling Ferrari. Zij klaarden in de 16e eeuw de klus voor een derde- en een vierdegraadsvergelijking.

Maarten belegt 1200 euro tegen een bepaalde rentevoet. 1 jaar later laat hij zowel het bedrag als de intrest op zijn rekening staan. 2 jaar later is het totaal al aangegroeid tot 1298 euro.

Hoe hoog staat de rentevoet ?

Charley Wheeler was op weg naar Birmingham. Toen hij in Warwick kwam, vroeg hij aan een agent hoever hij nog moest rijden. De dappere handhaver van de wet antwoordde : “Wel, meneer, misschien kunt u het zelf wel uitdokteren als ik u zeg dat, indien u de afstand kwadrateert en door 5 deelt, het resultaat 80 zal zijn.”

“Hartelijk dank,” zei de fietser, “ik denk dat ik nog tweeënhalf uur nodig zal hebben.”

Hoe ver was de afstand en hoe groot was de snelheid ?

1.6 Tekenverloop van een tweedegraadsfunctie

1 Voorbeelden

Voorbeeld 1 :

Beschouw de functie f met f ( x ) = x 2 + 2x + 3.

We tekenen de grafiek van f :

Blijkbaar zijn er geen nulwaarden.

Dat volgt ook uit D = b 2 – 4ac =

Aangezien a = 1 > 0, is de grafiek een dalparabool. Het tekenverloop van de functie wordt gegeven door : x – ∞ + ∞ f ( x ) +

De grafiek van de functie ligt immers steeds boven de x -as. Merk ook op dat uit het visgraatdiagram al bleek dat alle functiewaarden strikt positief zijn.

Taak:

onderzoek het tekenverloop van f met f ( x ) = –x 2 + 4x – 5.

Algemeen :

D < 0

• f heeft geen nulwaarden.

• De parabool snijdt de x -as niet. a < 0

• De grafiek van f is een bergparabool.

• De grafiek van f ligt onder de x -as.

• f ( x ) is steeds strikt negatief.

• f ( x ) heeft overal hetzelfde teken als a . a > 0

• De grafiek van f is een dalparabool.

• De grafiek van f ligt boven de x -as.

• f ( x ) is steeds strikt positief.

• f ( x ) heeft overal hetzelfde teken als a x – ∞ + ∞ f ( x ) teken van a

Voorbeeld 2 :

Beschouw de functie f met f ( x )

We tekenen de grafiek van f :

We vinden één nulwaarde, namelijk x = 3.

Dat volgt ook uit D = b 2 – 4ac = ( −6)2 –

En: x = b 2a = 6 2 = 3

Omdat a = 1 > 0, is de grafiek een dalparabool. Het tekenverloop van de functie wordt gegeven door :

x –∞ 3 +∞

f ( x ) + 0 +

De grafiek van de functie ligt steeds boven de x -as, behalve in het punt waar x = 3, daar raakt de parabool de x -as.

Merk ook op dat uit het visgraatdiagram al bleek dat alle functiewaarden strikt positief zijn, behalve voor x = 3, waar de functiewaarde gelijk is aan nul.

Taak: onderzoek het tekenverloop van de functie f met f ( x ) = –x 2 + 2x – 1.

Algemeen :

D = 0

• f heeft één nulwaarde.

• De parabool raakt de x -as.

a < 0

• De grafiek van f is een bergparabool.

• De grafiek van f raakt de x -as langs onderen in de top.

• f ( x ) is steeds strikt negatief, behalve in de nulwaarde.

• f ( x ) heeft overal hetzelfde teken als a , behalve in de nulwaarde.

a > 0

• De grafiek van f is een dalparabool.

• De grafiek van f raakt de x -as langs boven in de top.

• f ( x ) is steeds strikt positief, behalve in de nulwaarde.

• f ( x ) heeft overal hetzelfde teken als a , behalve in de nulwaarde.

x –∞ x 1 = x 2 = b 2a

Voorbeeld 3 :

Beschouwdefunctie f met f ( x )= 1 2 x 2 x 4.

We tekenen de grafiek van f :

We vinden twee nulwaarden, namelijk –2 en 4. Omdat je de nulwaarden van een tweedegraadsfunctie niet altijd grafisch nauwkeurig kunt bepalen, worden ze meestal berekend :

f ( x )= 0

Aangezien a = 1 2 > 0,isdegrafiekeendalparabool.Hettekenverloopvandefunctiewordtgegevendoor:

x –∞ –2 4 +∞ f ( x ) + 0 – 0 + grafiek ligt boven de x -as

grafiek snijdt de x -as grafiek ligt onder de x -as grafiek snijdt de x -as grafiek ligt boven de x -as

Taak: onderzoek het tekenverloop van f met f ( x ) = – x 2 – 2x + 3.

Algemeen :

D > 0

• f heeft twee nulwaarden.

• De parabool snijdt de x -as in twee verschillende punten.

a < 0

• De grafiek van f is een bergparabool.

• f ( x ) is eerst negatief, wordt nul, is positief, wordt weer nul en opnieuw negatief.

• f ( x ) heeft hetzelfde teken als a , wordt nul, heeft het tegengestelde teken van a , wordt nul en heeft ten slotte het teken van a

a > 0

• De grafiek van f is een dalparabool.

• f ( x ) is eerst positief, wordt nul, is negatief, wordt weer nul en opnieuw positief.

• f ( x ) heeft het teken van a , wordt nul, heeft het tegengestelde teken van a , wordt nul en heeft ten slotte het teken van a

f ( x ) teken van a 0 tegengesteld teken van a 0 teken van a

2 Samenvatting

• Je kunt het tekenverloop van een tweedegraadsfunctie weergeven.

3 Oefeningen

Bepaal het tekenverloop van de tweedegraadsfuncties waarvan de grafiek gegeven is.

a

y

Teken de grafiek (eventueel met ICT) van de functies met onderstaand voorschrift en bepaal het tekenverloop.

a f ( x ) = x 2 – 2x – 15

b f ( x ) = x 2 + 4x – 21

Voor welke waarde(n) van x :

• snijdt de grafiek van f de x -as ?

• ligt de grafiek van f boven de x -as ?

• ligt de grafiek van f onder de x -as ?

a f ( x ) = x 2 + 7x + 6

b f ( x ) = 2x 2 + 5x + 2

Gegeven is het volgende tekenverloop van een functie f :

x –∞ –3 –2 1 +∞

f ( x ) + 0 – 0 – 0 –

a Welke van de volgende drie grafieken hoort bij het bovenstaande tekenverloop ? Omcirkel die.

b Zijn volgende beweringen over de functie juist of fout ? Verklaar telkens.

• ( –1, 1) ∈ f

• De grafiek van de functie f bevindt zich onder de x -as in ] –2, 1[

• De grafiek van de functie f raakt de x -as in ( 1, 0).

1.7 Toepassingen op tweedegraadsfuncties

1 Voorbeeld 1

Eenvolleybalstertoetsteenbalvolgenseenparabolischebaandiebepaaldwordtdoordefunctie h met h ( x )= 1 4 x 2 + 3 2 x + 7 4 ,hierbijis h ( x ) dehoogteinmeteren x dehorizontaleverplaatsinginmeter.

a Waar raakt de bal de grond ?

b Wat was de maximale hoogte van de bal ?

Oplossing :

a Om te weten waar de bal de grond raakt, moeten we de vergelijking h ( x ) = 0 oplossen. h ( x )= 0

x

x = 1of x = 7

Antwoord : De bal valt na 7 meter op de grond.

b Wat was de maximale hoogte van de bal ?

M.a.w. hier wordt naar het tweede coördinaatgetal van de top van de parabool (grafiek van h ) gevraagd.

Antwoord : De bal ging maximaal 4 meter hoog.

2 Voorbeeld 2

BertenIlkezijngraagindeweermettelegeleideauto’sendrones.Bertmaakteeenschansvoorzijnwagentje envroegIlkeomdesprongtefilmenmethaardrone.Debaanvanhetwagentjewordtbepaalddoordefunctie f met f ( x )= x 2 4 + 2 x endievandedronewordtbepaalddoordefunctie g met g ( x )= x 2 4 2 x + 7.

Daarbijis x dehorizontaleafstand(inm)enzijn f ( x ) en g ( x ) dehoogtebovendegrond(inmeter).Opwelke hoogtekunnenhetwagentjeendedronemetelkaarinbotsingkomen? Oplossing g

x

Antwoord : De drone en het wagentje kunnen elkaar raken op 2,59 m en 5,41 m.

Dat is op een hoogte van f ( 2,59) = 3,50 m en f ( 5,41) = 3,50 m

3 Het voorschrift van een tweedegraadsfunctie opstellen

Om het functievoorschrift te kunnen opstellen, zijn er twee vormen waarvan we kunnen vertrekken.

a De top ( α, β) en een punt van de grafiek zijn gegeven.

f ( x ) = a ( x – α)2 + β

Na het invullen van de coördinaat van de top bevat dit voorschrift nog slechts één onbekende a .

b De nulwaarden x1 en x2 van de functie en een punt van de grafiek zijn gegeven.

f ( x ) = a ( x – x 1)( x – x 2)

Na het invullen van de nulwaarden x 1 en x 2 bevat ook dit voorschrift nog slechts één onbekende a .

Voorbeeld 1:

Bepaal het voorschrift van een tweedegraadsfunctie waarvan de grafiek een parabool p is die gaat door P( 1, 12) en die als top T( –3, 4) heeft.

Oplossing :

Omdat we de coördinaat van de top kennen, vertrekken we van het voorschrift f ( x ) = a ( x – α)2 + β

De top is T( –3, 4), het voorschrift wordt :

f ( x ) = a ( x + 3)2 + 4

Het punt P( 1, 12) ligt op de grafiek van f , dus geldt :

12 = a (1 + 3)2 + 4

8 = 16a

a = 1 2

Hieruit volgt :

f ( x )= 1 2 ( x + 3)2 + 4

f ( x )= 1 2 x 2 + 3 x + 17 2

Antwoord :

Het voorschrift van de gevraagde tweedegraadsfunctie is f ( x )= 1 2 x 2 + 3 x + 17 2

Controleer nu grafisch of die parabool p inderdaad T( –3, 4) als top heeft en door het punt P( 1, 12) gaat.

Voorbeeld 2 :

Stel het voorschrift op van een tweedegraadsfunctie f als je weet dat –2 en 3 de nulwaarden zijn en de grafiek door het punt P( 2, –4) gaat.

Oplossing :

We kunnen het voorschrift van f schrijven als : f ( x ) = a ( x – x 1)( x – x 2)

We weten dat –2 en 3 de nulwaarden zijn van f

Het voorschrift wordt dus : f ( x ) = a ( x + 2)( x – 3).

Antwoord : f ( x ) = ( x + 2)( x – 3) of f ( x ) = x 2 – x – 6. (2, 4) ∈ f 4 = a (2 + 2)(2 3)

4 = 4a a = 1 x y

Toepassing :

Langs een stuk van het Bajkalmeer ligt de Circum-Bajkalspoorlijn. Daar willen ze een nieuw type trein in gebruik nemen, maar ze willen natuurlijk weten of die door de tunnels past. Deze tunnel is parabolisch van vorm. Aan de grond is de tunnel 6 m breed, terwijl hij in het midden 5 m hoog is. De nieuwe treinen zijn 3 m breed en 4 m hoog. Kunnen ze erdoor ? Hoeveel cm heeft een trein over om erdoor te raken of hoeveel cm is hij te hoog ?

Oplossing :

1 Exploreren

• Wat is er gegeven ?

• Wat is er gevraagd?

• Begrijp het probleem.

• Maak eventueel een bijkomende tekening of schets.

2 Mathematiseren

• Welke heuristiek (oplossingsmethode) ga je gebruiken?

3 Berekenen

• Welke formule moet je gebruiken ?

• Welke bewerkingen zul je uitwerken ?

4 Controleren

1 We plaatsen de gegevens op het assenstelsel. We kunnen de oefening oplossen door eerst het voorschrift op te stellen van de tweedegraadsfunctie waarvan de grafiek bepaald wordt door de drie punten.

2 We kennen van de grafiek :

• de top en een punt ;

• de nulwaarden van de functie en een punt van de grafiek.

3 We kiezen voor ‘top + punt’ :

• f ( x )= a ( x α)2 + β

(α, β )=(0,5)

=⇒ f ( x )= a ( x 0)2 + 5

=⇒ f ( x )= ax 2 + 5

(3,0) ∈ f

=⇒ 0 = a 32 + 5

=⇒ a = 5

Besluit: f ( x )= 5 9 x 2 + 5

• Heb je de gegevens gebruikt ?

• Kan het antwoord kloppen ?

5 Geef een antwoord

• Dit is demathematiseren.

Nuwehetvoorschriftvandetweedegraadsfunctiehebben, gaanwenaofdenieuwetreinendoordetunnelkunnen. Wegaandusnaofhetpunt 3 2 ,4 op,onderofboven

deparaboolligt.Webepalendus f 3 2

• Moet je het antwoord gepast afronden ? Formuleer het antwoord in een zin.

f 3 2 =

4 Het gevonden antwoord is realistisch. Je controleert met ICT.

5 De treinen kunnen niet door de tunnel, ze zijn 25 cm te hoog.

4 Extremumvraagstukken

Bij heel wat praktische problemen wordt gevraagd om na te gaan of een gegeven functie een maximum of een minimum bereikt, waar dat gebeurt en wat de waarde ervan is. Denk maar aan het bepalen van de maximale inhoud, de maximale of minimale oppervlakte, de maximale winst of minimale kosten. Dergelijke vraagstukken noemen we extremumvraagstukken.

Voorbeeld 1 :

Een rechthoekig huis heeft een omtrek van 36 m. Hoe groot moeten de lengte en de breedte genomen worden opdat de oppervlakte van het huis maximaal wordt ?

1 Exploreren

We maken een schets van het huis. Is de omtrek 36 m, dan weten we dat één keer de lengte plus één keer de breedte 18 m zal zijn. l b B C A D

2 Mathematiseren

We moeten reële getallen bepalen waarvan de som 18 is. Het ene getal zullen we voorstellen door x , het andere is dan 18 – x . De oppervlakte van het huis moet maximaal zijn.

3 Berekenen pABCD = 36 dusis l + b = 18

Stellen we de lengte gelijk aan x , dan is de breedte gelijk aan 18 – x Wanneer is x · ( 18 – x ) maximaal ? We zoeken het maximum van de functie f met f ( x ) = x · ( 18 – x ) of f ( x ) = –x 2 + 18x .

α = b 2a = 18 2 = 9 β = f (9)= 92 + 18 9

= 81 + 162

= 81

4 Controle

5 Antwoord

De oppervlakte is maximaal 81 m2. Dan zijn lengte en breedte elk 9 m. We hebben dus een vierkant huis.

Voorbeeld 2 :

De som van twee getallen is 10. Wanneer is de som van hun kwadraten zo klein mogelijk ? Wat is die som ? We kiezen een aantal willekeurige getallen en berekenen de som.

De som varieert. Blijkbaar is 50 de kleinste som, maar is dat ook zo ?

Oplossing :

• getal 1 : x getal 2 : 10 – x

• De kleinste waarde kunnen we bepalen door het minimum te zoeken van de functie s met s ( x ) = x 2 + ( 10 – x )2 of s ( x ) = 2x 2 – 20x + 100

α = b 2a = 20 2 2 = 5

β = s (α)= 2 · 52 20 · 5 + 100 = 50

Antwoord :

De som van de kwadraten is minimaal 50. Dan is zowel het eerste als het tweede getal gelijk aan 5.

5 Samenvatting

• Je kunt het voorschrift van een tweedegraadsfunctie opstellen.

• Je kunt vraagstukken in verband met tweedegraadsfuncties oplossen.

• Je weet wat een extremumvraagstuk is en hoe je dat oplost.

6 Oefeningen

Mats en Miel duiken vanaf een rots in het water. De baan die Mats volgt, wordt bepaald door het voorschrift f ( x ) = x 2 – 6x + 5

met x : de horizontale afstand tot de rots (in m)

f ( x ): de hoogte boven het water (in m)

De baan die Miel volgt, wordt bepaald door g ( x )= 20 9 x 2 80 9 x + 35 9

met x : de horizontale afstand tot de rots (in m)

g ( x ): de hoogte boven het water (in m)

a Op welke afstand van de rots komen Mats en Miel in en uit het water ?

b Wat was hun maximale diepte en waar hebben ze die bereikt ?

c Over welke horizontale afstand bevonden zij zich 2 m onder het water ? Werk tot op 0,01 m nauwkeurig.

Controleer steeds met ICT.

a Waar komt de bal op de grond ?

Bij voetbalclub F.C. Bruggerlecht trapt de doelman de bal van op de grond uit. De baan van de bal wordt bepaald door d ( x ) = –0,04x 2 + 0,8x met x : de horizontale afstand (in meter) ; d ( x ) : de hoogte boven de grond (in meter).

b Een speler die 1,80 m groot is, staat op 16 m van de bal verwijderd op het ogenblik dat de uittrap wordt gegeven Raakt de bal de speler ? Verklaar.

Een rotsblok heeft de vorm van twee parabolen naast elkaar die voorgesteld kunnen worden als de grafieken van de functies f 1 en f 2 met :

f 1 ( x )= 6 x x 2 f 2 ( x )= 1 2 x 2 + 8 x 16

Gevraagd :

a Teken de grafieken van f 1 en f 2 met ICT.

b Waar liggen de toppen van dat rotsblok ?

c Hoe breed is het rotsblok ?

d Bij het beklimmen van de rots heeft iemand zijn fototoestel laten vallen ; dat ligt nu tussen de ‘twee’ blokken in. Wat is de coördinaat van dat fototoestel ?

Lotte duikt van een rots in het water. De baan die zij hierbij volgt, kan beschreven worden door de functie

h met h ( x )= x 2 4 9 4 x + 2

met x : de horizontale afstand tot de rots (in m) ; h ( x ): de hoogte boven het water (in m).

a Van welke hoogte dook Lotte?

b Waar komt ze in het water en waar komt ze er weer uit ?

c Hoe ver was ze van de rots verwijderd als ze 2 m onder water was ?

d Wat was de maximale diepte die ze bereikte en waar werd die bereikt ?

e Hoe diep was ze als ze 3 m van de rots was verwijderd ?

Controleer steeds met ICT.

Amira schopt een rugbybal in de hoogte. De baan die de bal volgt, kun je beschrijven door de functie f met

f ( x )= x 2 2 + 7 2 x + 1 met x : de horizontale afstand tot Amira (in m)

f ( x ): de hoogte boven de grond (in m)

a Op welke hoogte raakt Amira’s voet de bal ?

b Waar moet de bal terug op de grond komen ?

c Wat is de maximale hoogte van de bal en waar werd die bereikt ?

d In de tuin staat een hoge boom die 6 m van Amira verwijderd is. Op welke hoogte komt de bal in de boom terecht ?

Controleer steeds met ICT.

Stel de vergelijking op van de parabool die als top T( 1, –2) heeft en door A( 3, 2) gaat.

De nulwaarden van een tweedegraadsfunctie zijn –3 en 5. Bepaal het voorschrift van die functie als je weet dat de grafiek door het punt A( –1, 3) gaat.

Bij een tweedegraadsfunctie is het extremum van de functie gelijk aan 5 voor x gelijk aan 2. Bepaal het voorschrift van die functie als je weet dat de grafiek door het punt A( 4, –1) gaat.

Bepaal het functievoorschrift f ( x ) van de tweedegraadsfunctie f als je de volgende gegevens krijgt : f

De sprongen van twee kangoeroes zijn parabolisch van vorm.

De eerste springt 4 meter ver en bevindt zich over een afstand van 2 meter hoger dan 75 cm. Hoe hoog springt die kangoeroe ?

De tweede springt 75 cm hoog en bevindt zich over een afstand van 1,8 meter hoger dan 48 cm. Hoe ver springt de tweede kangoeroe ?

11

In de jaren ’60 waren de ‘kevertjes’ van Volkswagen wereldberoemd. Eigenaardig aan deze auto’s is dat de motor zich achteraan bevindt en de kofferruimte vooraan. Die koffer is parabolisch van vorm en heeft volgende doorsnede :

80 cm

110 cm

Als jij de eigenaar zou zijn van zo’n oldtimer, zou je dan een valies met afmetingen 70 cm en 40 cm rechtopstaand in de koffer krijgen ?

De som van twee getallen is 50.

a Wanneer is hun product maximaal ?

b Wanneer is de som van hun kwadraten zo klein mogelijk ?

Om veiligheidsredenen wil een ondernemer een stuk grond omheinen. Hij beschikt hiervoor over een budget van 600 euro. Het stuk grond paalt aan een gebouw dat aan één zijde als afsluiting dient. De afsluiting parallel met het gebouw kost 7,50 euro/m en de afsluiting van de twee andere zijden kost 5 euro/m. Welke lengte en breedte moet de ondernemer voor het stuk grond nemen om een maximale oppervlakte te hebben ? Hoe groot is die oppervlakte ?

Boer Hans wil op zijn land een rechthoekig stuk met gaas afzetten. Hij doet dit op dat deel van zijn land dat begrensd wordt door een gracht waar twee bochten in zitten (zie figuur). De grachtkant hoeft niet afgezet te worden. Hans heeft 60 meter gaas beschikbaar. Onderzoek wat de grootst mogelijke oppervlakte van het land is dat Hans op deze manier kan afzetten.

Een zinken plaat is 4 meter lang en 20 cm breed. Beide kanten worden omgebogen zodat een goot ontstaat met een rechthoekige doorsnede. Onderzoek bij welke afmetingen de inhoud van de goot maximaal is.

Met 40 m draad wil iemand een zo groot mogelijk rechthoekig kippenhok maken. Hoe groot moeten de lengte en de breedte zijn om een maximale oppervlakte te krijgen ?

Jonas wil uit een stuk karton een rechthoekig doosje maken met hoogte 6 cm en omtrek 80 cm. Het volume van het doosje moet zo groot mogelijk zijn. Welke afmetingen moet het oorspronkelijke karton hebben ?

Wanneer is het product van twee opeenvolgende oneven getallen minimaal ? Welk product is dat ?

19

De omtrek van een rechthoek is 80 cm. Voor welke lengte en breedte hebben we de maximale oppervlakte ?

20

Twee getallen hebben als som 20. Wanneer is hun product maximaal ?

Rayan bezit een aantal paarden en een kudde schapen. Hij heeft genoeg materiaal om een omheining van 300 m te maken. Hij wil de (rechthoekige) weide afspannen in twee delen. De paarden moeten dubbel zoveel weiland krijgen als de schapen. Welke afmetingen moet hij nemen als hij zijn dieren zo veel mogelijk ruimte wil geven ? Controleer met ICT.

Functies 1

Ik weet wat bedoeld wordt met een reële functie en ken de betekenis van de afhankelijke en de onafhankelijke variabele.

Ik ken de betekenis van het domein, het bereik en de nulwaarde(n) van een functie en kan die bepalen op de grafiek.

2

Hoofdstuktitel 0

Afgeleiden

Hier komt het introductie tekstje. Witregels worden manueel ingegeven.

In dit hoofdstuk gaat het vooral om het beschrijven van de verandering van functiewaarden. Hoe kun je op de grafiek van een functie zien of er sprake is van een toename of afname ? In welke intervallen is de functie stijgend ? In welke intervallen is ze dalend ? Waar bereikt de functie een maximum en waar een minimum ? Hoe kun je aan de grafiek zien of er sprake is van een snelle of minder snelle verandering ? En hoe kun je de snelheid waarmee de verandering in een interval plaatsvindt, uitdrukken in een getal ? Al die kennis speelde een grote rol bij de bouw van deze rollercoaster. Topingenieurs ontwierpen elke bocht, elke versnelling en elke afremeenheid op het parcours. Voor een ritje op deze Formula Rossa moet je naar Ferrari World in Abu Dhabi. Misschien wel de moeite als je weet dat hij een topsnelheid haalt van 240 km/h, tweemaal zo snel als je op een Belgische snelweg mag rijden …

Afgeleiden

2.1