VBTL 5 D-gevorderde wiskunde - Leerboek Analyse 2 en differentiaalrekening - inkijk methode (materia

LEERBOEK

Analyse 2 i Differentiaalrekening

D-finaliteit gevorderde wiskunde

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Dit boek bevat vier hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

1 2

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur.

Een sterretje duidt op een extra uitdaging.

Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens.

Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets.

Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

1

In de twee boeken van analyse 1 focuste je op verschillende soorten functies : veeltermfuncties, en ook rationale, irrationale, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies.

In dit boek diepen we de theorie over functies verder uit. Het gaat daarbij vooral om de beschrijving van de verandering van functiewaarden. Een belangrijk aspect daarbij is de vraag met welke snelheid een verandering plaatsvindt. Tot nog toe gebruikte je daarvoor ICT, maar in dit boek leer je een methode om dat algebraïsch te beschrijven, en daarbij draait alles rond differentiëren.

Voor de mountainbikers op deze foto varieert de berghelling in steilheid terwijl ze die afdalen, de kabelbanen op de achtergrond daarentegen gaan even steil omhoog. Maar hoe steil precies ? En hoeveel procent is de gemiddelde helling van het bergprofiel ? Waar is de helling het steilst ? Hoe kun je meten hoe steil een helling is op een bepaalde plaats ?

We wensen je een leerrijke en boeiende tocht doorheen het berglandschap van de differentiaalrekening.

Analyse 2 I Differentiaalrekening

1

2

3

Rijen 1

De wiskundige beschrijving van de ogenblikkelijke beweging werd uitgevonden door twee meesterlijke breinen uit de tweede helft van de 17e eeuw: de Brit Isaac Newton (1642 –1727) en de Duitser Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Ze maakten ons vertrouwd met de begrippen raaklijn, versnelling, helling, oneindig klein en differentiaal. Zij kwamen wel niet verder dan benaderingen van snelheid op basis van redeneringen. Hun theorie werd verbeterd door Augustin Louis Cauchy (1789 –1857), toen die 150 jaar later het limietbegrip ontwikkelde. De invloed die de drie heren hadden op de wiskunde kan niet onderschat worden. Bovendien waren ze alle drie niet enkel met wiskunde bezig. Op de foto zie je de werkkamer van een van de drie heren (aan een grote universiteit). Als we je vertellen dat er een symbolische appelboom bij staat, weet je dan wie daar vele jaren gewerkt heeft?

Rijen

1.1 Limiet van een rij

1Even herhalen

aHet begrip ‘rij’

In het boek analyse 1 kwamen getallenrijen al aan bod. Er werden enkele bijzondere rijen bestudeerd : rekenkundige, meetkundige en harmonische rijen, alsook de rij van Fibonacci. In dit hoofdstuk veralgemenen we het begrip rij en gaan we op zoek naar de limiet van een rij.

Voorbeeld 1 : kettingberichtjes

Kettingsberichtjes of -sms’en (vaak hebben die oneerlijke bedoelingen) werken in hun meest eenvoudige vorm als volgt: een eerste persoon stuurt een bericht naar twee personen. Die twee personen moeten dat bericht elk op hun beurt één dag later naar twee personen versturen enzovoort. Elke persoon die het berichtje ontvangt, stuurt het dus één dag later door naar twee nieuwe personen.

Wanneer we per dag bepalen hoeveel berichtjes verstuurd worden, krijgen we volgende getallen: 2, 4, 8, 16, 32, … Bedenk maar eens hoe snel het gaat als je het naar al je contacten moet doorsturen …

Voorbeeld 2 : vierkantjes

Als je het aantal vierkantjes in de opeenvolgende figuren telt, bekom je de volgende getallen :

Voorbeeld 3 : Pay it forward

In de film ‘Pay it forward’ geeft een leraar de opdracht om een idee te bedenken om de wereld te verbeteren. Trevor heeft een bijzonder idee : ‘Ik doe iets goeds voor drie mensen. Die drie doen weer iets goeds voor drie andere mensen.’ Mocht het idee lukken, dan zou het leiden tot heel veel goede daden : 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, Die getallen vormen een ( reële) rij. De opeenvolgende getallen zijn de termen van de rij.

In het eerste voorbeeld is de eerste term u 1 gelijk aan 2 = 21.

De tweede term u 2 is 4 = 22. De derde term u 3 is 8 = 23

We zien een duidelijk patroon in de getallen van de rij.

De beginterm is 2 en elke term is gelijk aan de vorige, vermenigvuldigd met 2.

Hierdoor wordt het mogelijk om een willekeurige term van de rij terug te vinden. Zo is de vijftiende term u 15 = 215 = 32768. De algemene term is u n = 2n

rij

Een rij is een aantal reële getallen die in een bepaalde volgorde gegeven zijn.

Algemeen kunnen we een rij ( un ) als volgt noteren : u 1 , u 2 , u 3 , , un , Elk element heeft dus een volgnummer dat we onderaan als index noteren. De elementen van een rij noemen we de termen. De n -de term un noemen we de algemene term

Voorbeelden :

• 0,2,4,6,8,... rijvandeevennatuurlijkegetallenmet u n = 2n 2

• 2,3,5,7,11,... rijvandepriemgetallen

• 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,... rijmet u n = 1 n

• 0,3;0,33;0,333;0,3333;...rijmet u n = 3 10 1 + 3 10 2 + ... + 3 10 n

• 1,1,2,3,5,8,13,... rijvanFibonacci

• 1,2,6,24,120,... rijmet u n = 1 · 2 · 3 · · n = n !(n -faculteit)

bBepaling van een rij: expliciet voorschrift

Een rij is volledig bepaald als we voor elk volgnummer de bijbehorende term kunnen berekenen. Dat kan echter gebeuren op verschillende manieren; de eerste is met een expliciet voorschrift.

Algemeen :

Bij sommige rijen kunnen we een formule un = f ( n ) vinden waarmee we un kunnen berekenen voor een willekeurige n . We zeggen dat de rij bepaald is door een expliciet voorschrift. Met zo’n formule kun je elke term van de rij direct berekenen. Van een aantal voorbeelden op pagina 9 werd het expliciet voorschrift bepaald. Dat het bepalen van het expliciet voorschrift van een rij soms wat denkwerk vereist, illustreren we met de volgende opdracht.

Op een assessment werd aan sollicitanten gevraagd de rij

1, 7 4 , 17 9 , 31 16 , 49 25 ,... met nog twee termen aan te vullen en de algemene term te bepalen.

Je merkt hierbij op : de noemers zijn 12, 22, 32, 42, 52 en elke teller is één minder dan het dubbele van de noemer.

Een goed antwoord is dan ook

71 36 , 97 49 en 2n 2 1 n 2

Het expliciet voorschrift van de rij is u n = 2n 2 1 n 2

cBepaling van een rij: recursief voorschrift

Algemeen :

Bij sommige rijen kunnen we een formule un + 1 = f ( un) vinden die ons toelaat een term te berekenen uit een of meer voorgaande termen. We spreken dan van een recursief voorschrift (Latijn: recurrere = teruglopen).

Met zo’n formule bereken je de termen indirect, namelijk door voorgaande termen te gebruiken.

Opdat de rij bepaald zou zijn, moet je ook de startwaarde(n) kennen, meestal de eerste term(en) van de rij.

Voorbeelden :

– De rij van de kettingmails: 2, 4, 8, 16, 32, kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden :

u 1 = 2 en un +1 = 2 · un

Door toepassing van deze formule vinden we dat u 1 = 2, u 2 = 2u 1 = 4, u 3 = 2u 2 = 8,

De rij van ‘Pay it forward’ kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden :

–

u 1 = 3 en un +1 = 3 · un

– De rij van even natuurlijke getallen: 0, 2, 4, 6, 8, … kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden: u 1 = 0 en un +1 = un + 2

– De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden :

u 1 = 1 en u 2 = 1 en un +2 = un + un +1

Hier zijn dus twee termen gegeven, u 1 en u 2

Door toepassing van deze formule vinden we dat: u 3 = u 1 + u 2 = 2, u 4 = u 2 + u 3 = 3,

– De rij 1, 2, 6, 24, 120, … kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden :

u1 = 1 en un +1 = ( n + 1) · un

Opmerkingen :

Denk niet dat je bij elke rij zomaar een formule kunt geven. Er zijn rijen waarbij het zelfs onmogelijk is een expliciet of een recursief voorschrift te vinden.

Bij de rij van de priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, werd tot nu toe geen enkel verband gevonden tussen de opeenvolgende termen. De Franse wiskundige MarinMersenne ( 1588 –1648) stelde vast dat als k een priemgetal is, 2k 1 ook vaak een priemgetal is.

Voor k = 2, 3, 5, 7, 13 en 17 krijg je inderdaad priemgetallen, de zogenaamde priemgetallen van Mersenne. Maar voor k = 11 krijg je geen priemgetal, want 211 1 = 2047 en 2047 is deelbaar door 23.

Bij de eerste druk van dit boek (2023) is 282589933 – 1 het recordpriemgetal. Het werd ontdekt in 2018. Dat getal bestaat uit 24862048 cijfers. Om het te kunnen schrijven zul je meer dan 9000 pagina’s nodig hebben. Om het getal, cijfer na cijfer, voor te lezen (je leest 12 uur per dag één cijfer per seconde) heb je meer dan 575 dagen nodig.

Marin Mersenne (1588–1648)

Marin Mersenne werd geboren in het Franse dorpje Oizé. Hij studeerde theologie aan de Sorbonne, werd eerst monnik en daarna priester aan het koninklijk paleis in Parijs. Toch stond z’n leven evenzeer in het teken van wiskunde en wetenschap. Al in het jezuïetencollege van La Flèche leerde hij Descartes kennen. Maar hij raakte ook bevriend met Galilei, Fermat, Pascal en een heleboel andere knappe koppen. Met anderen correspondeerde hij, zodat hij een belangrijke rol speelde in de verspreiding van wiskundige en wetenschappelijk kennis; noem hem dus gerust een beetje het internet (en doorgeefluik) voor geleerden in die tijd. Naast de priemgetallen van Mersenne, die ook nuttig zijn voor het beveiligen van codes, werd zijn naam ook verbonden aan de ‘wet van Mersenne’, nu bekend als de eerste wet van de akoestiek. Hij stelde dat de frequentie van een trillende snaar recht evenredig is met de vierkantswortel van de spankracht en omgekeerd evenredig met de lengte van de snaar en de vierkantswortel uit de massa per lengte-eenheid.

dRekenkundige en meetkundige rij

REKENKUNDIGERIJ

definitie (recursief voorschrift)

n-de term (expliciet voorschrift)

algemene vorm

u 1, u 2,… un, …

∀ i ∈ N0 : ui + 1 = ui + v (v is het verschil van de rekenkundige rij) un = u1 + ( n – 1) · v

u1, u1 + v , u1 + 2v , …, u1 + ( n – 1) · v , …

gemiddelden a , b , c zijn 3 opeenvolgende termen van een rekenkundige rij ⟺

b = a + c 2

(b is het rekenkundig gemiddelde van a en c )

overeenkomst van de bewerkingen

optelling aftrekking vermenigvuldiging deling lineaire groei

som en product van de eerste n termen

MEETKUNDIGERIJ

∀ i ∈ N0 : ui + 1 = ui q (q is de reden van de meetkundige rij) un = u1 · qn – 1

u1, u1 · q , u1 · q 2 , …, u1 · q n – 1 , …

a , b , c zijn 3 opeenvolgende termen van een meetkundige rij ⟺

b 2 = a · c

(b is het meetkundig gemiddelde van a en c )

vermenigvuldiging deling machtsverheffing worteltrekking exponentiële groei

eHarmonische rij

Derij1, 1 2 , 1 3 ,..., 1 n ,...met u n = 1 n iseenharmonischerij.

Algemeengeldtvoordeharmonischerij: 1 u n 1 + 1 u n +1 = 2

Als a , b en c drieopeenvolgendetermenzijnvaneenharmonischerij,danis 2 b = 1 a + 1 c en b is het harmonischgemiddelde van a en c

2Limiet van een rij

Instap:

Voorbeeld 1 :

Beschouw de rij ( u n ) : 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,... voor steeds toenemende waarden van n .

De algemene term van de rij is: u n = n n + 1

De grafiek van de rij bestaat uit losse punten: de punten behoren immers bij de discrete waarden n = 1, 2, 3, 4, …

We merken dat un bij stijgende waarden van n steeds dichter tot 1 nadert.

Dat wordt ook bevestigd door de volgende tabel :

n un

100,909090

1000,990099

10000,999000999

100000,9999001

De termen van deze rij naderen een vaste waarde 1.

We zeggen dat de rij convergent is en dat ze naar 1 convergeert.

De bijbehorende vaste waarde 1 heet de limiet van de rij.

We noteren: lim n → +∞ u n = 1

Voorbeeld 2 :

Beschouw de rij ( un ): 2, 5, 10, 17, … voor steeds toenemende waarden van n .

De algemene term van de rij is: un = n 2 + 1

We merken dat un bij stijgende waarden van n onbegrensd toeneemt.

Dat wordt ook bevestigd door de volgende tabel :

n un

10101

10010001

1000 1 000001

10000100000001

De termen van deze rij nemen onbegrensd toe.

We zeggen dat de rij divergent is en dat ze naar +∞ (plus oneindig) divergeert.

De limiet van de rij is +∞.

We noteren: lim n → +∞ u n =+∞

Voorbeeld 3 :

Beschouw de rij ( u n ) : 1 2 , 4 3 , 9 4 , 16 5 ,... voor steeds toenemende waarden van n

De algemene term van de rij is: u n = ( 1)n n 2 n + 1

We merken dat | un | bij stijgende waarden van n onbegrensd toeneemt. Dat wordt bevestigd door volgende tabel : n un

109,0909

10099,0099

1000999,000999 100009999,00001

De termen van deze rij worden in absolute waarde oneindig groot. Hun echte waarde schommelt echter voortdurend en met steeds grotere sprongen. We zeggen dat de rij divergent is en dat er geen limiet bestaat.

We noteren: lim n → +∞ u n bestaat niet.

3Eindige limieten

We gaan nu nauwkeuriger onderzoeken wat een limiet precies is. We moeten dus op een wiskundig correcte wijze omschrijven wat ‘naderen tot’ betekent.

Instap:

Beschouw de rij ( u n ) :2, 1 2 , 4 3 , 3 4 , 6 5 ,...

In de noemer 1 optellen, in de teller beurtelings 1 aftrekken of 3 optellen. De algemene term un bepalen we als volgt : 2,

= 1 + ( 1)n +1 n

=⇒ u n = 1 + ( 1)n +1 n

Deze rij convergeert naar 1, m.a.w. lim n → +∞ u n = 1

Grafisch wil dat zeggen dat de punten ( n , un) vanaf voldoende grote n ‘te vangen’ zijn in elke strook rond de rechte met vergelijking y = 1, hoe smal ook.

Neem een strook met breedte 0,4 (0,2 boven en 0,2 onder de rechte met vergelijking y = 1). We beschouwen dus het interval ] 0,8; 1,2[. Uit deze grafiek blijkt dat vanaf n = 6 de termen in dit interval liggen.

Immers: als n ⩾ 6, dan is

| u n 1 | = ( 1)n +1 n = 1 n 1 6 < 0,2.

Voor n > 5 liggen dus alle termen van de rij in ] 0,8; 1,2[

Neem een strook met breedte 0,2 (0,1 boven en 0,1 onder de rechte met vergelijking y = 1). We beschouwen dus het interval ]0,9; 1,1[. Door in te zoomen of door de grafiekpunten te ‘volgen’ kun je op de onderstaande grafiek nagaan of vanaf n = 11 de punten wel strikt binnen de strook gevangen zijn.

We gaan dit narekenen: als n ⩾ 11, dan is

| u n 1 | = 1 n 1 11 < 0,1.

Voor n > 10 liggen dus alle termen van de rij in ]0,9; 1,1[

Analoog: voor n > 100 liggen alle termen in ] 0,09; 1,01[ want | un – 1 | < 0,01. voor n > 1000 liggen alle termen in ] 0,009; 1,001[ want | un – 1 | < 0,001.

Nu is 0,001 wel klein maar nog steeds niet nul. We moeten daarom laten zien dat | un – 1 | ook kleiner wordt dan een willekeurig kleine afstand ê ( ∈ R0 +). ê lees je als ‘epsilon’

| u n 1 | < ⇐⇒ 1 n < ⇐⇒ n > 1 (1)

kies n 0 (∈ N0 )

1 ,dangeldt: n > n 0 =⇒ n > 1 =⇒ (1) | u n 1 | <

Vanaf de n 0-de term is | un – 1 | kleiner dan ê

Omdat ê willekeurig dicht bij 0 kan worden gekozen, hebben we aangetoond dat | un – 1 | vanaf een bepaalde term willekeurig dicht bij 0 ligt. We komen dus zo dicht mogelijk bij de limiet als we willen.

We hebben bijgevolg aangetoond dat lim n → +∞ u n = 1

∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 1 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒| u n 1 | <

Hierbij is | u n 1 | < ⇐⇒ 1 < u n < 1 +

eindige limiet van een rij

Het getal a is de limiet van een rij ( un) enkel en alleen indien Grafische betekenis we voor elk willekeurig positief getal ê (hoe klein ook) een rangnummer n 0 kunnen vinden zodat alle termen van de rij ( un) vanaf dat rangnummer in het interval ] a – ê, a + ê[ liggen.

Voor die termen geldt ook dat | un – a | < ê We zeggen dat de rij ( un) convergent is en dat ze naar a convergeert. We noteren lim n → +∞ u n = a

in symbolen:

lim

n → +∞ u n = a ⇐⇒∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒| u n a | <

Opmerkingen :

• Let in de definitie op de volgorde van de kwantoren ( ∀ en ∃) en de variabelen ( ê en n0) De keuze van n 0 is afhankelijk van de keuze van ê en moet dus op de tweede plaats komen.

Convergeren → op 1 punt richten

Divergeren → uiteenwijken

• Het interval ] a – ê, a + ê[ noemen we een basisomgeving van a met straal ê in symbolen : B a = B ( a , ê) = ] a – ê, a + ê[ un n0 n a + ê a a – ê

Voorbeeld 1 :

We hernemen de rij met u n =

voorbeeld 1 van blz. 13.

1

Uit de grafiek hebben we afgeleid dat de limiet van de rij vermoedelijk 1 is.

We moeten dus bewijzen dat lim

Bewijs

We hebben dus bewezen dat

Volgens de definitie van eindige limiet is lim

convergeert naar 1.

Voorbeeld 2 :

Gegeven :

De rij met voorschrift

u

Gevraagd : Is de rij ( un) convergent ?

Uit de grafiek blijkt dat de rij vermoedelijk convergeert naar 3 2

We moeten dus bewijzen dat

Volgens de definitie van de eindige limiet

Anders gezegd: de rij met voorschrift

De bewijzen uit voorbeeld 1 en 2 zijn elementaire bewijzen omdat de convergentie werd aangetoond met behulp van de definitie. Bij veel rijen zijn elementaire bewijzen heel moeilijk te leveren. In de volgende paragrafen tref je daarom een aantal rekenregels en een aantal standaardlimieten aan die je helpen bij het bewijzen van de convergentie van rijen.

4Oneindige limieten

Beschouw de rij uit het voorbeeld 2 van blz. 13 met un = n 2 + 1.

Uit de grafiek van de rij hebben we afgeleid dat de termen van deze rij willekeurig groot worden, m.a.w. ze overstijgen elk getal r op voorwaarde dat we n groot genoeg maken.

– Nemen we r = 100.

u 9 = 82 en dus kleiner dan r

u 10 = 101, u 11 = 122, u 12 = 145 en alle volgende termen van de rij zijn groter dan r

– Nemen we r = 1000.

u 31 = 962 en dus kleiner dan r

u 32 = 1025, u 33 = 1090, u 34 = 1157 en alle volgende termen van de rij zijn groter dan r .

– Nemen we r willekeurig in R + 0

u n = n 2 + 1 > r ⇐⇒ n 2 > r 1 ⇐⇒ r >1 n > √ r 1 (1)

Kies n 0 ∈ N0 √ r 1,dangeldt: n > n 0 =⇒ n > √ r 1 =⇒ (1) u n > r

Besluit :

Hoe groot we het getal r ook nemen, we kunnen altijd een rangnummer vinden zodat alle termen van de rij vanaf dat rangnummer groter zijn dan r

We hebben aangetoond dat ∀ r ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒ u n > r

We noteren dit als lim n → +∞ u n =+∞

oneindige limiet van een rij

De limiet van een rij ( un ) is gelijk aan plus oneindig ( +∞) enkel en alleen indien we voor elk willekeurig positief getal r (hoe groot ook) een rangnummer n0 kunnen vinden zodat alle termen van de rij ( un ) vanaf dit rangnummer groter zijn dan r . We zeggen dat de rij ( un ) divergeert naar +∞.

We noteren lim n → +∞ u n =+∞

in symbolen: lim n → +∞ u n =+∞⇐⇒∀ r ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒ u n > r

Grafische betekenis :

u n

Analoog hebben we :

De limiet van een rij ( un ) is gelijk aan min oneindig ( –∞) enkel en alleen indien we voor elk willekeurig positief getal r (hoe groot ook) een rangnummer n 0 kunnen vinden zodat alle termen van de rij ( un ) vanaf dat rangnummer kleiner zijn dan –r

We zeggen dat de rij ( un ) divergeert naar –∞

We noteren lim n → +∞ u n = −∞

in symbolen:

→ +∞

Grafische betekenis : n u

Voorbeeld :

De rij –1, –2, –4, –8, –16, –32, … heeft –∞ als limiet. Toon dit aan met behulp van de definitie.

Opmerking :

We hernemen de rij ( u n ) : 1 2 , 4 3 , 9 4 , 16 5 ,... uit het voorbeeld 3 van blz. 14. Dit is een schommelende of alternerende rij.

De termen van de rij worden in absolute waarde oneindig groot. Hun echte waarde schommelt echter voortdurend en met steeds grotere sprongen. De limiet van deze rij bestaat niet.

Nemen we bijvoorbeeld r = 100. Welk rangnummer n 0 we ook kiezen, er zijn altijd termen voorbij n 0 die kleiner zijn dan 100, namelijk de negatieve termen. In dat geval zeggen we ook dat de rij divergent is.

5Uniciteit van de limiet van een convergente rij

stelling

Elke rij kan hoogstens één limiet hebben.

Bewijs :

– Het is mogelijk dat een rij ( un) geen limiet heeft (zie voorbeeld 3 blz. 14). In dat geval is de stelling waar.

– Als de rij een limiet heeft, dan moeten we bewijzen dat er slechts één getal b als de limiet van un in aanmerking komt. Dat tonen we aan met een bewijs uit het ongerijmde.

Bewijs uit het ongerijmde

We gaan uit van de negatie van het te bewijzen, dat we toevoegen aan het gegeven. Zo proberen we tot een contradictie te komen.

We veronderstellen dat er twee verschillende limieten zijn. We tonen aan dat die veronderstelling fout is.

Stel:lim n → +∞ u n = b enlim n → +∞ u n = b

Uitlim n → +∞ u n = b volgt: ∀ 2

n > n 1 =⇒| u n b | < 2

Uitlim n → +∞ u n = b volgt: ∀ 2 ∈ R + 0 , ∃n 2 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 2 =⇒| u n b | < 2

Noemen we n0 het grootste van beide rangnummers n 1 en n 2, dan geldt :

n > n 0 =⇒ n > n 1 en n > n 2

=⇒| u n b |< 2 en | u n b | < 2

=⇒| u n b |< 2 en | b u n | < 2

=⇒| u n b | + | b u n | <

=⇒| u n b + b u n | ∗ | u n b | + | b u n | <

=⇒| b b | <

Wehebbendusaangetoonddat ∀ ∈ R + 0 : | b b | <

Hieruitvolgtdat | b b | = 0ofdat b = b

Dat is in strijd met het gegeven.

Conclusie :

Als een rij convergeert, dan is zijn limiet uniek.

(*) De absolute waarde van een som is kleiner dan of gelijk aan de som van de absolute waarden van de termen.

∀x , y ∈ R : | x + y | ⩽ | x | + | y | .

Bewijs :

∀x , y ∈ R : –| x | ⩽ x ⩽ | x | en –| y | ⩽ y ⩽ | y | ⟹ –| x | – | y | ⩽ x + y ⩽ | x | + | y | ⟹ –( | x | + | y |) ⩽ x + y ⩽ | x | + | y |

∀x ∈ R :∀a ∈ R+ : –a ⩽ x ⩽ a ⟺ | x | ⩽ a ⟹ | x + y | ⩽ | x | + | y |

7Rekenregels voor eindige limieten

Taak : beschouw de rijen ( un) en ( vn) met u n = 2 + 1 n en vn = 1 1 n .

– Bepaal grafisch lim n → +∞ u n enlim n → +∞ vn

– Door de termen met hetzelfde volgnummer op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen, bekomen we de somrij ( un + vn), de verschilrij ( un – vn), de productrij ( un · vn) en de quotiëntrij u n vn

– Controleer de juistheid van de volgende beweringen.

• lim n → +∞ ( u n + vn )= lim n →+∞ u n + lim n → +∞ vn = a + b

• lim n → +∞ ( u n vn )= lim n → +∞ u n lim n → +∞ vn = a b

• lim n → +∞ ( u n · vn )= lim n → +∞ u n · lim n → +∞ vn = a · b

• lim n → +∞ u n vn = lim n → +∞ u n lim n → +∞ vn = a b als b = 0

stelling

Alslim n → +∞ u n = a enlim n → +∞ vn = b ,dangeldt: lim n → +∞ ( u n + vn )= lim n →+∞ u n + lim n → +∞ vn = a + b (1)

lim n → +∞ ( u n vn )= lim n → +∞ u n lim n → +∞ vn = a b (2)

lim n → +∞ ( u n vn )= lim n → +∞ u n lim n →

∞ vn = a b (3)

(4)

∞

Bewijs van (1) : Wemoetenbewijzendat

• Kieseenwillekeurige of 2

Noemen we n 0 het grootste van beide rangnummers

2, dan geldt n > n 0 =⇒ n > n 1 en n > n 2

=⇒| u n a | < 2 en | vn b | <

=⇒| u n a | + | vn b | <

=⇒| u n a + vn b |

=⇒| ( u n + vn ) (a + b ) | <

Wehebbendusaangetoonddat ∀ ∈ R

Volgensdedefinitievaneindigelimietislim

De absolute waarde van een som is kleiner dan of gelijk aan de som van de absolute waarden van de termen van de som.

(

Derekenregels (2), (3) en (4) kunjeopdezelfdemanieralsdesomregelbewijzen.

vn ) (a + b ) | <

Toepassingen :

Ga zelf na hoe de rekenregels en de standaardlimieten zijn gebruikt.

•

Merk op dat je deze uitkomst ook als volgt kunt vinden :

Merk op dat je deze uitkomst ook als volgt kunt vinden :

in teller en noemer

Opmerking :

In de bovenstaande voorbeelden is de limiet van de breuk telkens gelijk aan de limiet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen in teller en noemer. Dat is logisch omdat voor grote waarden van n de hoogstegraadstermen sterk gaan overheersen.

8Rekenregels voor oneindige limieten

Beschouwderijen ( u n ) en ( vn ) metvoorschrift u n = n 2 + 1en vn = n 2

Wehebbenalaangetoonddatlim n → +∞ u n =+∞ enlim n → +∞ vn =+∞

Desomrij: u n + vn = 2n 2 + 1 =⇒ lim n → +∞ ( u n + vn )= lim n → +∞ (2n 2 + 1)

Deverschilrij: u n vn = 1 =⇒ lim n → +∞ ( u n vn )= lim n → +∞ 1 = 1

Deproductrij: u n · vn = n 4 + n 2 =⇒ lim n → +∞ ( u n · vn )= lim n → +∞ n 4 · 1 + 1

lim n → +∞ n 4

Dequotiëntrij: u n vn = n 2 + 1 n 2 =

Bewijs van (1) :

Noemen we n 0 het grootste van beide rangnummers

Wehebbendusaangetoonddat ∀ r ∈ R + 0 , ∃

Volgensdedefinitievanoneindigelimietislim

Rekenregel (2) kunjeopanalogewijzeaantonen.

symbolische voorstelling van de stelling ( +∞) + ( +∞) =+∞ ( +∞) ( +∞) =+∞

)=+∞

Ook over de volgende uitdrukkingen kunnen we een algemene uitspraak doen. Je kunt deze bewijzen met behulp van de definities van limieten.

stelling

(−∞)+(−∞)= −∞

(+∞) (−∞)=(−∞) (+∞)= −∞

(−∞) (−∞)=+∞

∀ x ∈ R : x +(+∞)=(+∞)+ x =+∞

∀ x ∈ R : x +(−∞)=(−∞)+ x = −∞

∀ x ∈ R + 0 : x (+∞)=(+∞) x =+∞

∀ x ∈ R + 0 : x · (−∞)=(−∞) · x = −∞

∀ x ∈ R 0 : x · (+∞)=(+∞) · x = −∞

∀ x ∈ R 0 : x · (−∞)=(−∞) · x =+∞

∀ x ∈ R : x +∞ = x −∞ = 0

n √+∞ =+∞ voorelke n ∈ N0

n √−∞ = −∞ als n onevenis

(+∞)n =+∞

(−∞)n =+∞ als n evenis

(−∞)n = −∞ als n onevenis

Opmerking :

Oneindig min oneindig Is ( +∞) – ( +∞) = 0 ?

We onderzoeken vier limieten van het type ( +∞) – ( +∞).

• lim n → +∞ (n n )= 0

• lim n → +∞ n 3 n 2 = lim

• lim n → +∞

• lim n → +∞ n 2 1 + n 2 = 1

holtveelsnellernaar + ∞ dan n 2

Het besluit is dat een limiet van het type ( +∞) – ( +∞) allerlei waarden kan hebben afhankelijk van de twee termen. We zeggen dat ( +∞) – ( +∞) een onbepaaldheid is. Je moet in elk concreet geval verder onderzoeken wat de limietwaarde is.

Dat is ook het geval voor deze onbepaaldheden :

0 (+∞) ;0 (−∞) ; +∞ +∞ ; +∞ −∞ ; −∞ +∞ ; −∞

9Toepassingen

• lim

→ +∞ (n 2 + 3n + 5)=+∞ wantlim

2 =+∞;lim

→ +∞ (3n )=+∞ enlim n → +∞ 5 = 5

• lim n → +∞ (3n 2 2n 1)=(+∞) (+∞) 1(onbepaald)

maarlim

• lim

4 2n 2 2n 3 + n 3 = (+∞) (+∞) (−∞)+(+∞) 3 (onbepaald) maarlim

↳ quotiënt van de hoogstegraadstermen in teller en noemer

10Samenvatting

• Je kent de betekenis van het begrip ‘rij’ en weet wat bedoeld wordt met een expliciet en recursief voorschrift. Je kent het verschil tussen een rekenkundige rij en een meetkundige rij en weet wat bedoeld wordt met een harmonische rij.

• Je weet wanneer de limiet van een rij ( un) een getal of oneindig is. Je kent de betekenis van convergeren en divergeren.

– Het getal a is de limiet van een rij ( un) enkel en alleen indien we voor elk willekeurig positief getal ê (hoe klein ook) een rangnummer n 0 kunnen vinden zodat alle termen van de rij ( un) vanaf dat rangnummer in ] a – ê, a + ê[ liggen. We zeggen dat de rij ( un) convergent is en dat ze naar a convergeert.

lim n → +∞ u n = a ⇐⇒∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒| u n a | <

– De limiet van een rij ( un) is gelijk aan plus oneindig ( +∞) enkel en alleen indien we voor elk willekeurig positief getal r (hoe groot ook) een rangnummer n 0 kunnen vinden zodat alle termen van een rij ( un) vanaf dat rangnummer groter zijn dan r . We zeggen dat de rij ( un) divergeert naar +∞

lim n → +∞ u n =+∞⇐⇒∀ r ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒ u n > r

– De limiet van een rij ( un) is gelijk aan min oneindig ( –∞) enkel en alleen indien we voor elk willekeurig positief getal r (hoe groot ook) een rangnummer n 0 kunnen vinden zodat alle termen van de rij ( un) vanaf dit rangnummer kleiner zijn dan –r . We zeggen dat de rij ( un) divergeert naar –∞. lim n → +∞ u n = −∞⇐⇒∀ r ∈ R + 0

• Je weet dat een rij hoogstens één limiet kan hebben en je kunt dit aantonen.

• Je kent de volgende standaardlimieten :

lim

n → +∞ n 2 =+∞

lim n → +∞ n 3 =+∞

lim

lim n → +∞ √n =+∞

lim n → +∞ 3 √n =+∞

n → +∞ n 4 =+∞ lim n → +∞ 1 √n = 0

n → +∞ 1 n = 0 lim n → +∞ 1 3 √n = 0

lim

n → +∞ 1 n 2 = 0 lim n → +∞ c = c

lim

lim n → +∞ 1 n 3 = 0

• Je kent de rekenregels voor eindige limieten.

Alslim n → +∞ u n = a enlim n → +∞ vn = b ,dangeldt:

lim

n → +∞ ( u n + vn )= lim n → +∞ u n + lim n → +∞ vn = a + b lim n → +∞ u 2 n =( lim n → +∞ u n )2

lim n → +∞ ( u n vn )= lim n → +∞ u n lim n → +∞ vn = a b lim n → +∞ √ u n = lim n → +∞ u n

lim

n → +∞ ( u n vn )= lim n → +∞ u n lim n → +∞ vn = a b lim n → +∞ 3 √ u n = 3 lim n → +∞ u n

lim

n → +∞ u n vn = lim n → +∞ u n lim n → +∞ vn = a b als b = 0

• Je kent de rekenregels voor oneindige limieten.

(+∞)+(+∞)=+∞

(+∞) · (+∞)=+∞

(−∞)+(−∞)= −∞

(+∞) (−∞)=(−∞) (+∞)= −∞

(−∞) · (−∞)=+∞

n √+∞ =+∞ voorelke n ∈ N0

n √−∞ = −∞ als n onevenis

(+∞)n =+∞

(−∞)n =+∞ als n evenis

(−∞)n = −∞ als n onevenis

∀ x ∈ R : x +(+∞)=(+∞)+ x =+∞

∀ x ∈ R : x +(−∞)=(−∞)+ x = −∞

∀ x ∈ R + 0 : x (+∞)=(+∞) x =+∞

∀ x ∈ R + 0 : x (−∞)=(−∞) x = −∞

∀ x ∈ R 0 : x · (+∞)=(+∞) · x = −∞

∀ x ∈ R 0 : x · (−∞)=(−∞) · x =+∞

∀ x ∈ R : x +∞ = x −∞ = 0

• Je weet dat de volgende uitdrukkingen onbepaald zijn :

(+∞) (+∞) 0 (+∞) 0 (−∞) +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞

2 3 4 5 6

11 Oefeningen

Geef voor de volgende rijen telkens de twee eerstvolgende termen. Bepaal ook een expliciet voorschrift van elke rij.

a7,12,17,22,...

b √3, √12, √27, √48,...

c 6,2, 2 3 , 2 9 ,...

d 1 2 , 1 6 , 1 6 , 1 2 , 5 6 ,...

e2, 2,2, 2,...

f 1 2 , 2 5 , 3 10 , 4 17 ,...

g 1 2 , 1 2 , 3 8 , 1 4 , 5 32 ,...

h π 2 , 4π 3 , 9π 4 , 16π 5 ,...

De volgende rijen zijn bepaald door een expliciet voorschrift. Bepaal de eerste vijf termen.

a u n = n 2 n

b u n = n 2 n 2 n + 1

c u n =( 0,1)n +1

d u n = 1 +( 1)n

e u n = n √2

f u n = cos n · π 4

g u n = n 2 2n

h u n = ( 3)n n !

De volgende rijen zijn gegeven door een recursief voorschrift. Bepaal de eerste vijf termen.

a u n +1 = u n en u 1 = 10

b u n +1 = u n + 1 u n en u 1 = 1

c u n +1 = 4 u n 3 4 en u 1 = 1 4

d u n +1 = 3 u n n + 1met u 1 = 2

e u n +1 = 1 + u 2 n met u 1 = 1

f u n +1 = cos( u n ) met u 1 = 0

Geef voor de volgende rijen telkens de twee eerstvolgende termen. Bepaal ook een recursief voorschrift van elke rij.

a 3, 13 3 , 17 3 ,7, 25 3 ,...

b 1,2, 3,4, 5,... c1;1,2;1,44;1,728;2,0736;...

Beschouw de rij ( un) met un + 2 = 4 un + 1 – un en u 4 = 194.

Bovendien is gegeven dat ui ∈ N0 en u1 < u2

Bereken u1, u2, u3 en u5.

d1,0,1,1,2,3,... e0,3;0,33;0,333;0,3333;... f0,1,5,21,85,...

Bepaal met ICT de gevraagde termen van de volgende rijen ( un):

a u 100 als u n +1 = u n + 2n met u 1 = 2

b u 10 als u n +1 = 1 2 u n + 2 u n met u 1 = 1

c u 100 als u n = 1 + 1 n n

d u 25 als u n =

ExplicietvoorschriftvanderijvanFibonacci,gevondendoorBinet

Stijn heeft op 1 januari 2024 een bedrag van € 500 op een spaarrekening geplaatst. Hij krijgt elk jaar 2% intrest. Met ingang van 1 januari 2025 zal hij jaarlijks € 50 afhalen van die spaarrekening.

a Welke formule hoort bij die situatie ?

1 un = 500 · ( 1,02)n – 50

2 un = 500 · ( 1,02)n – 1 – 50

3 un + 1 = un – 50 met u1 = 500

4 un + 1 = 1,02 · un – 50 met u1 = 500

b Onderzoek met ICT op welke datum het saldo van de spaarrekening voor het eerst ontoereikend zal zijn.

De toren van Hanoi is een bekend wiskundig probleem. In de tekening hieronder zie je drie spijkers A, B en C. Het is de bedoeling een aantal schijven die over spijker A zijn geschoven, te verplaatsen naar spijker C zodanig dat : – bij elke beurt juist één schijf wordt verplaatst ; – er nooit een grotere schijf op een kleinere ligt. Spijker B mag als tussenstand gebruikt worden.

Op onderstaande tekeningen zie je het aantal verplaatsingen bij 1, 2 en 3 schijven.

1 schijf: 1 verplaatsing

2 schijven: 3 verplaatsingen

3 schijven: 7 verplaatsingen

a Hoeveel verplaatsingen zijn er nodig voor 4 schijven, 5 schijven, 6 schijven ? Maak de volgende tabel af :

b Stellen we het aantal schijven voor door n , dan vormen de aantallen verplaatsingen een rij ( un). Geef een recursief voorschrift voor deze rij en bereken hoeveel zetten je nodig hebt om een stapel van 10 schijven te verplaatsen.

c Geef een expliciet voorschrift voor deze rij en bereken hoeveel zetten je nodig hebt om een stapel van 10 schijven te verplaatsen.

d De legende wil dat enkele vrome monniken in een klooster in Hanoi 24 uur op 24 bezig zijn met een toren van Hanoi met 64 schijven. Elk uur verplaatsen ze, met het nodige ceremonieel, één schijf. Er wordt beweerd dat de wereld zal vergaan als de hele toren is verplaatst. Bereken hoeveel tijd ons nog rest voor het einde van de wereld als de monniken op 1 januari 1500 begonnen zouden zijn met hun werk.

12

a Geef voor de rij ( un) met un = 3n – 2 het recursief voorschrift en de beginwaarde u 1

b De rij ( vn) met vn +1 = 3 · vn – 2 en v 1 = 2 heeft een expliciet voorschrift van de vorm vn = a · 3n + b

Bereken a en b .

a Beschouwderij ( u n ) met u n = n 2 + n .Vanafwelkrangnummeris u n > 100?

b Beschouwderij ( vn ) met vn = 12 n (n + 1) .Vanafwelkrangnummeris vn < 0,005?

c Beschouwderij ( w n ) met w n = 2 + ( 1)n n .Vanafwelkrangnummeris1,9999 < w n < 2,0001?

Bereken de limieten van de volgende rijen.

13 14

Bewijs door middel van de definitie van de limiet van een rij.

a lim n → +∞ n 4 =+∞

b lim n → +∞ 1 √n = 0 clim n → +∞ n 1 n = 1 dlim n → +∞ 2n n + 1 = 2 elim n → +∞ n 2 + 1 n = −∞ flim n → +∞ n √2 = 1

Bewijs : alim n → +∞ (k · u n )= k · lim n → +∞ u n

blim n → +∞ u k n =( lim n → +∞ u n )k k ∈ N0

cAlslim n → +∞ u n = lim n → +∞ vn =+∞,danislim n → +∞ ( u n vn )=+∞.

dAlslim n → +∞ u n = lim n → +∞ vn = −∞,danislim n → +∞ ( u n + vn )= −∞

eAlslim n → +∞ u n =+∞ enlim n → +∞ vn = −∞,danislim n → +∞ ( u n · vn )= −∞

fAlslim n → +∞ u n = lim n → +∞ vn = −∞,danislim n → +∞ ( u n vn )=+∞.

gAlslim n → +∞ u n =+∞,danislim n → +∞ 1 u n = 0.

Bepaal (als die bestaat) de limiet van de volgende rijen met gegeven expliciet voorschrift voor n → + ∞ met behulp van de rekenregels en van de standaardlimieten. Welke rijen zijn convergent? Welke rijen zijn divergent ?

1.2 Convergentie van rekenkundige en meetkundige rijen

In de gevallen waar we de definities van de limieten niet kunnen toepassen, zullen we vaak een beroep doen op hulpeigenschappen zoals de bekende ongelijkheid van Jakob Bernoulli, die door hem in 1689 werd bewezen.

1De ongelijkheid van Bernoulli

ongelijkheid van Bernoulli

Bewijs :

Om aan te tonen dat deze eigenschap geldt voor elke n ∈ N0 ⧵ {1} gebruiken we de methode van volledige inductie. Een dergelijk bewijs bestaat uit 3 delen.

Deel 1 : De eigenschap geldt voor n = 2.

Inderdaad : (1 + x )2 = 1 + 2 x + x 2 x 2 > 0

(1 + x )2 > 1 + 2 x

Deel 2 : Als de eigenschap geldt voor n = k , dan geldt ze ook voor n = k + 1.

Nemen we aan dat : (1 + x )k > 1 + kx 1 + x > 0(gegeven)

(1 + x ) · (1 + x )k > (1 + x ) · (1 + kx )

(1 + x )k +1 > 1 + kx + x + kx 2

(1 + x )k +1 > 1 +(k + 1) x + kx 2 kx 2 > 0

(1 + x )k +1 > 1 +(k + 1) · x

Deel 3 : De eigenschap geldt voor n ∈ n 0 { 1}.

Bewijs door volledige inductie

Om de geldigheid van een eigenschap te bewijzen ∀n ∈ N0 gaan we als volgt te werk :

a We bewijzen dat de eigenschap geldt voor n = n 0 (in de praktijk is n 0 meestal 1 of 2).

b We bewijzen voor elke k ∈ N0 : als de eigenschap geldt voor n = k , dan geldt ze voor n = k + 1. Dat is het dominoprincipe

Dit volgt uit een van de axioma’s van Peano voor natuurlijke getallen: “Een uitspraak die geldt voor het getal 1 (of 2) en die, als ze geldt voor een natuurlijk getal, ook geldt voor een volgend natuurlijk getal, geldt voor alle elementen van N0 ( of N0 \ {1}).”

De eigenschap van Bernoulli geldt voor n = 2 (deel 1)

⟹ de eigenschap geldt voor n = 3 (deel 2)

⟹ de eigenschap geldt voor n = 4 (deel 2)

2Limiet van de rij met

voorschrift

un = an met a ∈ r

Taak : bepaal de limiet van de volgende rijen aan de hand van hun grafiek.

(1) 3,9,27,81,... met u n = 3n (a = 3)

(2) 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,...

(3) 2,4, 8,16,...

(4) 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1 81 ,...

(5) 1,1,1,1,...

met u n = 1 2 n (a = 1 2 )

met u n =( 2)n (a = 2)

met u n = 1 3 n (a = 1 3 )

met u n = 1n (a = 1)

(6) 1,1, 1,1,... met u n =( 1)n (a = 1)

stelling

Als a > 1,danislim n → +∞ a n =+∞.

Als 1 < a < 1,danislim n → +∞ a n = 0.

Bewijs : a > 1

Nemen we r , een willekeurig (groot) getal in R + 0 , dan moeten we aantonen dat :

∀ r ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒ a n > r (1)

a n > r

(1 + a 1)n > r

[1 + (a 1)]n > r

Bernoulli (n > 1en x = a 1 > 0)

1 + n (a 1) > r a 1 > 0

n > r 1 a 1

Kiezen we een natuurlijk getal n 0 r 1 a 1 , dan geldt : n > n 0 =⇒ n > r 1 a 1 =⇒ a n > r

De uitspraak (1) is dus bewezen.

Bewijs : a ∈ ] – 1, 1[ of | a | < 1

Stel b = 1 | a |

| a |< 1 =⇒ b > 1 1egeval =⇒ lim n → +∞ b n =+∞ (2)

Een direct of rechtstreeks bewijs :

Een direct bewijs bestaat uit een reeks uitspraken waardoor je al redenerend komt van uitspraken die je van tevoren hebt aangenomen (axioma’s) of aangetoond (vroeger bewezen stellingen) tot de uitspraak die bewezen moet worden. Je vertrekt hierbij vanuit het gegeven.

Een regressief bewijs :

Bij een regressief bewijs vervang je het te bewijzen voortdurend door een gelijkwaardige uitspraak totdat je duidelijk ziet hoe de gegevens toe te passen zijn.

Je werkt dus eerst met dubbele pijlen en pas op het einde plaats je één of meerdere enkele pijlen. De enkele pijlen moeten wel in de juiste richting geplaatst worden !

lim n → +∞ | a n | = lim n → +∞ | a |n = lim n →+∞ 1 b n = 1 lim n → +∞ b n (2) = 0 1 +∞ = 0

lim n → +∞ | a n | = 0 =⇒ lim n → +∞ a n = 0

Opmerkingen :

• a = 1 ( taak (5)) ⟹ a n = 1 ⟹ lim n → +∞ a n = 1

• a = –1 ( taak (6)) ⟹ rij met un = a n is een schommelende rij ⟹ lim n → +∞ u n bestaat niet

• a < –1 ( taak (3)) ⟹ rij met un = a n is een schommelende rij ⟹ lim n →

3 Convergentie van rekenkundige, meetkundige en harmonische rijen

Convergentie van rekenkundige rijen

Bij rekenkundige rijen met verschil v geldt : u n = u 1 +(n 1) v =( u 1 v )+ n v

=⇒ lim n → +∞ u n = u 1 v + lim n → +∞ (n v )

• v > 0 : lim n → +∞ u n =( u 1 v )+(+∞)=+∞ ⟹ ( un) is divergent

• v < 0: lim n → +∞ u n =( u 1 v ) (+∞)= −∞ ⟹ ( un) is divergent

• v = 0: lim n → +∞ u n = lim n → +∞ u 1 = u 1 ⟹ ( un) is convergent

Rekenkundige rijen zijn steeds divergent, behalve als ze constant zijn.

Convergentie van meetkundige rijen

Bij meetkundige rijen met u 1 ≠ 0 en reden q ≠ 0 geldt :

u n = u 1 · q n 1 = u 1 q · q n

=⇒ lim n → +∞ u n = u 1 q lim n → +∞ q n

We passen de stelling en de opmerkingen van vorige bladzijde toe om lim n → +∞ u n te bepalen.

a q > 1 =⇒ lim n → +∞ q n =+∞ =⇒ lim n → +∞ u n = +∞ (naargelang u 1 > < 0)=⇒ ( u n ) isdivergent

b q = 1 =⇒ lim n → +∞ u n = u 1 =⇒ ( u n ) isconvergent

c 1 < q < 1 =⇒ lim n → +∞ q n = 0 =⇒ lim n → +∞ u n = 0 =⇒ ( u n ) isconvergent

d q = 1 =⇒ u n isafwisselendgelijkaan u 1 en u 1

=⇒ lim n → +∞ u n bestaatniet

=⇒ ( u n ) isdivergent

e q < 1 =⇒ lim n → +∞ q n bestaatniet =⇒ lim n → +∞ u n bestaatniet =⇒ ( u n ) isdivergent

Besluit :

Een meetkundige rij met een eerste term verschillend van nul convergeert 1 < q 1

Convergentie van de harmonische rij

De harmonische rij ziet er als volgt uit: 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,..., 1 n ,...met u n = 1 n

Op blz. 21 hebben we bewezen dat

lim n → +∞ 1 n = 0

Deharmonischerijisdusconvergent.

4 Een paradox van Zeno

Achilles en de schildpad

Achilles - zo vertelt ons Homeros - achtervolgde in de strijd de vijanden als een echte recordman, zodat hij al snel de bijnaam ‘snelvoetige’ kreeg. Een schildpad is, zoals we allemaal weten, een van de traagste dieren, juist omdat ze dat zware schild overal moet meeslepen. We weten niet of het bedoeld was als grapje of dat hij het deed om de Griekse wiskundigen uit die tijd (5e eeuw voor Christus) slapeloze nachten te bezorgen, maar Zeno van Elea (495 – 435 voor Christus) redeneerde als volgt: aangezien een lijnstuk bestaat uit een oneindig aantal keer een oneindig kleine afstand, moet ook een hardloopbaan op dezelfde wijze in te delen zijn. Laten we nu Achilles aan de startlijn plaatsen, terwijl we de schildpad 1000 meter voorsprong geven. Achilles loopt tienmaal sneller dan de schildpad.

Zeno beweert dat Achilles de schildpad niet kan inhalen, want als hij aankomt in B, het punt waar de schildpad vertrok, is de schildpad al in C, 100 meter verder, enz.

Zo blijft de schildpad steeds voor. Omdat deze redenering natuurlijk in strijd is met de ervaring, hebben we te maken met een uitspraak die schijnbaar ongerijmd is: een paradox.

De Griekse wiskundigen van toen konden de fout in de redenering moeilijk aanwijzen maar voelden wel aan dat het wat te maken had met oneindigheid. Daarom vermeden ze van dan af alles wat met oneindigheid te maken had.

Dankzij de studie van de rijen zijn wij echter wat meer vertrouwd geraakt met dit begrip en kunnen we het raadsel oplossen.

Achilles loopt de volgende afstand :

( 1000 + 100 +10 +1 + 0,1 + 0,01 + ) meter

De termen van deze oneindige som vormen een meetkundige rij met u 1 = 1000 en q = 0,1.

In het boek analyse 1b hebben we de volgende formule gezien voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij met reden q ( ≠ 1):

De som s van de oneindige rij bekomen we door de limiet te nemen :

Achilles haalt de schildpad in na een afstand van ongeveer 1111,11 meter. Dat is in overeenstemming met de ervaring. Wat Zeno in zijn verhaal suggereerde was dat de som van een oneindig aantal termen ook oneindig moest zijn. We hebben nu gezien dat dit niet zo is, waarmee de paradox verklaard is.

Hetzelfde probleem is daarna in tal van vormen opgediend (zie oefeningen).

5 Som van de termen van een meetkundige rij

Net als bij de paradox van Zeno kunnen we ook voor andere meetkundige rijen proberen de som te bepalen. Voor een meetkundige rij met eerste term u 1 ≠ 0 en reden q ( ≠ 1) geldt voor de som van de eerste n termen : sn = u 1 · 1 q n 1 q

Desomvanalletermenisbijgevolg: s = lim n → +∞ sn = lim n → +∞ u 1 · 1 q n 1 q = u 1 1 q (1 lim n → +∞ q n )

• q > 1 =⇒ lim n → +∞ q n =+∞ =⇒ lim n → +∞ sn = ±∞

• q = 1 =⇒ sn = n u 1 =⇒ lim n → +∞ sn = ±∞

•−1 < q < 1 =⇒ lim n → +∞ q n = 0 =⇒ lim n → +∞ sn = u 1 1 q =⇒ s = u 1 1 q

• q = 1 =⇒ lim n → +∞ q n bestaatniet =⇒ lim n → +∞ sn bestaatniet

Opmerking :

Is u 1 = 0, dan bestaat de meetkundige rij uitsluitend uit nullen en is s = 0.

Besluit :

Als –1 < q < 1, dan is de som van de termen van de (oneindige) meetkundige rij met eerste term u 1 en reden q gelijk aan u 1 1 q

s = +∞ i = 1 u i = u 1 1 q

Voorbeelden :

Repeterende decimale vormen zoals 0,3333… zijn op te vatten als sommen van meetkundige rijen en kunnen langs die weg in breukvorm omgezet worden.

•

• 1,9999... = 1 + 9 10 + 9 100 + 9 1000 + 9 10000 + = 1 + 9 10 1 1 10 = 2

somvandetermenvaneen meetkundigerijmet q = 1 10 en u 1 = 9 10

• 0,6343434... = 0,6 + 34 1000 + 34 100000 + ... = 0,6 + 34 1000 1 1 100

somvandetermenvaneen

meetkundigerijmet q = 1 100 en u 1 = 34 1000 = 0,6 + 34 990

= 3 5 + 17 495 = 314 495

6 Stijgende en dalende rijen, monotone rijen

monotoon stijgende/dalende rij

Een rij ( un) is monotoon stijgend

⟺∀n ∈ N0 : un ⩽ un + 1

Een rij ( un) is strikt monotoon stijgend ⟺∀n ∈ N0 : un < un + 1

Een rij ( un) is monotoon dalend

⟺∀n ∈ N0 : un ⩾ un + 1

Een rij ( un) is strikt monotoon dalend ⟺∀n ∈ N0 : un > un + 1

Een rij ( un) is constant

Een rij ( un) is alternerend

Voorbeelden :

⟺∀n ∈ N0 : un = u1

⟺∀n ∈ N0 : un un + 1 < 0

• De rij 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,..., n n + 1 ,... is strikt stijgend omdat elke term kleiner is dan zijn opvolger.

Bewijs :

u n +1 u n = n + 1 n + 2 n n + 1 = (n + 1)2 n (n + 2) (n + 1) · (n + 2) = 1 (n + 1) · (n + 2) > 0

Dus : ∀n ∈ N0 : un < un +1

• De rij 2,2, 4 3 , 2 3 ,..., 2n n ! ,... , is monotoon dalend omdat elke term groter is of gelijk is aan zijn opvolger.

Bewijs :

u n +1 u n = 2n +1 (n + 1)! 2n n ! = 2n 2 n !(n + 1) 2n n ! = 2n n ! 2 n + 1 1 = 2n n ! 1 n 1 + n 0

Dus : ∀n ∈ N0 : un ⩾ un +1

• De rij 1, –2, 4, –8, 16, …,( –2)n–1, … is alternerend omdat telkens twee opeenvolgende termen van teken wisselen. Deze rij is noch stijgend, noch dalend. Toon dit aan.

• De rij 1, 1, 1, 1, … is constant omdat ∀n ∈ N0 : un = 1.

7 Begrensde rijen

Instap :

Beschouwderij ( u n ) met u n = n n + 1 ,danis ( u n )= 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,... De grafiek van de rij ziet er als volgt uit :

Aangezienvoorelke n ∈ N0 geldtdat n n + 1 < 1,ishet getal 1 een bovengrens of majorant van ( un ).

Ook 3 2 ,2,5 zijn majoranten van ( un ). We zeggen dat ( un ) naar boven begrensd is.

De kleinste van deze bovengrenzen is 1, want als we van 1 een strikt positief getal ê aftrekken, dan zal tussen 1 – ê en 1 ten minste één term van de rij liggen.

1 < u n < 1 ⇐⇒ 1 < n n + 1 < 1

⇐⇒ 1 < n n + 1 want ∀n ∈ N0 : n n +1 <1

⇐⇒ n + 1 n < n

⇐⇒ n > 1

Kiezen we een natuurlijk getal n 0 1 , dan geldt: n > n 0 =⇒ n > 1 =⇒ 1 < n n + 1 < 1

Vanaf het rangnummer n 0 liggen er dus termen van de rij tussen 1 – ê en 1 en dus is 1 – ê geen bovengrens van de rij. We noemen daarom 1 de kleinste bovengrens of het supremum van de rij ( un ).

• Aangezien voor elke n ∈ N0 geldt dat n n + 1 1 2 ,ishetgetal 1 2 een ondergrens of minorant van ( un ).

Ook 0, 1 4 , 1 3 zijn minoranten van ( un ). We zeggen dat ( un ) naar onderen begrensd is. De grootste van die ondergrenzen is 1 2 . Omdat 1 2 het kleinste element (minimum) van de rij is, kan 1 2 + geen ondergrens van de rij zijn. We noemen daarom 1 2 de grootste ondergrens of het infimum van de rij ( un ).

Opmerkingen :

– Het supremum 1 is geen element van de rij. De rij heeft geen maximum.

– Het infimum 1 2 is wel een element van de rij en dus ook het minimum van de rij.

begrensde rijen

Een rij ( un) is naar boven begrensd als ze minstens één majorant (bovengrens) b heeft zodat ∀n ∈ N0 : un ⩽ b

Een rij ( un) is naar onderen begrensd als ze minstens één minorant (ondergrens) b heeft zodat ∀n ∈ N0 : un ⩾ b . Is een rij naar boven en naar onderen begrensd, dan noemen we ze begrensd.

b is het supremum of de kleinste bovengrens van een rij ( un) ⇐⇒∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 : b < u n 0 b

b is het infimum of de grootste ondergrens van een rij ( un) ⇐⇒∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 : b u n 0 < b +

8 Convergentiekenmerk voor monotone rijen

Om de convergentie van een rij te onderzoeken, proberen we in de eerste plaats de limiet van de algemene term te bepalen.

In heel wat gevallen is deze limietberekening te lastig of zelfs onmogelijk met de beschikbare methoden.

We kunnen dan voor het onderzoek de volgende stelling gebruiken.

Een monotoon stijgende rij die naar boven begrensd is, convergeert.

Bewijs :

Beschouw de rij ( un ): u 1, u 2, … un ,…

Omdat ( un ) naar boven begrensd is, vormen de termen een niet-ledige, naar boven begrensde deelverzameling

V van R. V = {u 1, u 2, …, un , …}

Volgens de stelling van de kleinste bovengrens (zonder bewijs) heeftV een supremum b

We bewijzen dat dit supremum de limiet is van de rij.

Voor dit getal b geldt: ∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N

Nu is de rij monotoon stijgend, dus: ∀n ∈ N0 : u n u n +1 (2)

Uit (1) en (2) volgt: ∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 : b < u n 0 u n 0 +1 u n 0 +2 b

Kortom : ∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒ b < u n b

=⇒∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 , ∀n ∈ N0 : n > n 0 =⇒ b < u n < b + ( > 0)

=⇒∀ ∈ R + 0

Bijgevolg is lim n → +∞ u n = b (definitie limiet)

⟹ ( un ) convergeert naar b

Op een analoge manier kunnen we bewijzen : 012345678 un n bovengrens

Een monotoon dalende rij die naar onderen begrensd is, convergeert.

Het infimum van de rij is de limiet van de rij.

012345678 un n

Voorbeelden :

① In de voorgaande paragrafen hebben we aangetoond dat de rij 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,..., n n + 1 ,... stijgend is en naar boven begrensd, want alle termen zijn kleiner dan 1. Volgens de voorgaande stelling is de rij dus convergent.

Dat resultaat hebben we vroeger afgeleid uit lim n → +∞ n n + 1 = 1

Merk op dat de limiet van de algemene term gelijk is aan het supremum van de rij.

② Beschouw de rij :

,...,

,

De limiet van de algemene term is hier onmogelijk te bepalen, want als n → +∞ wordt het aantal factoren in teller en noemer oneindig groot.

• De rij is dalend want voor elke n ∈ N0 geldt : u n +1 u n =

=⇒∀n ∈ N0 : u n +1 < u n .Derij ( u n ) isdusdalend.

• De rij is ook naar onderen begrensd: alle termen zijn groter dan 0. Volgens het convergentiekenmerk is de rij dus convergent.

9Insluitstelling

Voor sommige rijen ( un ) kun je nagaan of ze convergent zijn door twee convergente rijen ( vn ) en ( wn ) te zoeken die de gegeven rij ( un ) insluiten. Dat doe je met de zogeheten insluitstelling

insluitstelling

Als er voor de rij ( un ) twee convergente rijen ( vn ) en ( wn ) met limiet b te vinden zijn waarvoor vanaf een zeker rangnummer k geldt dat vn ⩽ un ⩽ wn , dan is de rij ( un ) convergent met limiet b

in symbolen:

lim n → +∞ vn = lim n → +∞ w n = b en

∀n ∈ N0 met n k : vn u n w n

In de grafiek zie je een voorbeeld waarbij vanaf de 5e term geldt: vn ⩽ un ⩽ wn

Bewijs :

• Kieseenwillekeurige in R + 0

Noemenwe n 0 hetgrootstevanbeiderangnummers

Dangeldt: n > n 0 =

Wehebbendusaangetoonddat ∀

Volgensdedefinitievaneindigelimietislim

Voorbeeld 1:

Gegevenisderij ( u n ) met u n = 1 n p met p ∈ N0 .

Deconvergentievandezerijisalbewezenvoor p = 1(zieblz.21).

Voorhogeremachtenindenoemerkunjedeinsluitstellinggebruiken.

Immers: ∀n ∈ N0 : n p n

∀n ∈ N0 :0 < 1 n p 1 n

Determenvanderij ( u n ) liggendustussen0en 1 n in.Enditzijndetermenvantweerijendiebeidenaar

0convergeren,wantlim n → +∞ 0 = 0enlim n → +∞ 1 n = 0(ziestandaardlimietenblz.21).

Volgensdeinsluitstellingzalderij ( u n ) ooknaar0convergerenendus:

lim n → +∞ 1 n p = 0als p ∈ N0

Voorbeeld 2:

Gegevenisderij ( u n ) met u n = sin n n

∀n ∈ N0 : 1 n sin n n 1 n

Derijen ( vn ) en ( w n ) met vn = 1 n en w n = 1 n

convergerennaar0,wantlim n → +∞ 1 n = 0enlim n → +∞ 1 n = 0. Volgensdeinsluitstellingzalderij ( u n ) ooknaar0convergeren.

Bernoulli

lim n → +∞ sin n n = 0

Jakob Bernoulli (Bazel 1654 – Bazel 1705)

Jakob was een Zwitserse wiskundige die in 1687 hoogleraar in de wiskunde werd in Bazel. Hij studeerde theologie op wens van zijn vader Niclaus, een magistraat met 10 kinderen, maar legde zich tegen zijn vaders zin toe op wiskunde en astronomie, waarvoor hij Frankrijk en Nederland bezocht. Sinds Leibniz zijn eerste ontdekking van de differentiaalrekening had bekendgemaakt (1684), probeerde Jakob samen met zijn broer Johann (1667–1748) die rekenwijze te ontwikkelen en te verbeteren. Bij Jakob vinden we het gebruik van poolcoördinaten, de studie van de kettinglijn, de parabolische en logaritmische spiralen. Hij bestudeerde o.a. de lemniscaat (1694) en de harmonische reeks en bepaalde de elastische lijn van een balk die aan één uiteinde belast is (wet van Bernoulli-Euler). Jakob Bernoulli hield zich ook bezig met de waarschijnlijkheidsrekening, waarover hij zijn ‘Ars conjectandi’ schreef, dat na zijn dood verscheen.

10Convergentie van rijen met een recursief voorschrift

Voorbeeld 1 :

Benadering van √3 met de methode van Heroon Beschouw de rij met recursief voorschrift :



 u 1 = 1

u n +1 = 1 2 u n + 3 u n

We berekenen enkele termen van de rij

u 1 = 1

u 2 = 1 2 u 1 + 3 u 1 = 2

u 3 = 1 2 u 2 + 3 u 2 = 1,75

u 4 = 1 2 u 3 + 3 u 3 = 1,732142857

u 5 = 1 2 u 4 + 3 u 4 = 1,73205081

u 6 = 1 2 u 5 + 3 u 5 = 1,732050808

Uit de grafiek van de rij blijkt dat ze convergeert naar een getal b , gelegen tussen 1 en 2.

M.a.w. lim n → +∞ u n = lim n → +∞ u n +1 = b

Berekening van b : u n

b 2 = 3

b = √3of b = √3

Alletermenvanderijzijnpositief

b = √3

Merk op dat de rij snel nadert naar √3 . Met ICT vinden we dat √3 ≈ 1,732050808 ; dat is de zesde term van de rij.

Heroon (10–75?)

Hero van Alexandrië, ook Heroon genoemd, was een Griekse wiskundige die waarschijnlijk leefde in de eerste eeuw na Christus. Zijn wiskundige geschriften waren oorspronkelijk één groot werk, maar er werden slechts kleine deeltjes als leerboeken gebruikt. In zijn werk Metrica, dat pas in 1896 werd teruggevonden, komen we de ‘formule van Heroon’ tegen. Ook op natuurkundig gebied liet hij zijn sporen na. Hij behandelde pompen en allerhande toestellen die berusten op de werking van hete lucht en stoom. Hij bestudeerde ook de hefbomen en het hellende vlak.

Voorbeeld 2 :

Discreet dynamisch model

Een patiënt krijgt gedurende een aantal dagen een pijnstillend middel. De eerste dag wordt 100 mg werkzame stof via een injectie toegediend en daarna elke dag 50 mg. Na 24 uur is 40% van de pijnstiller door het lichaam afgebroken. We kunnen de hoeveelheden van het pijnstillend middel die zich in het lichaam bevinden onmiddellijk na de injectie op de eerste, tweede, derde … dag voorstellen door een rij u 1, u 2, u 3, …

a Schrijf een recursief voorschrift voor die rij.

b Bewijs door volledige inductie dat de rij stijgend en naar boven begrensd is.

c De behandelende arts vindt een hoeveelheid van meer dan 130 mg in het bloed van de patiënt niet verantwoord. Doet zo’n overdosis zich voor?

Oplossing :

a u 1 = 100 ; u 2 = 0,6 100 + 50 = 110 ; u 3 = 0,6 110 + 50 = 116

Een recursief voorschrift voor de rij is: u n +1 = 3 5 u n + 50met u 1 = 100.

Door het opstellen van een recursief voorschrift bij deze situatie werken we met een discreet model. We bekijken de hoeveelheid van het pijnstillend middel uitsluitend op het moment dat er weer 50 mg wordt toegevoegd. Daarvoor zijn tussenliggende tijdstippen niet van belang. Discreet geeft aan dat je alleen naar het aantal ‘losse’ tijdstippen kijkt (bijvoorbeeld per minuut, per uur, per dag) en dat je de tussenliggende momenten buiten beschouwing laat. Tegenover een discreet model staat een continu model. Bij een continu model bekijk je ook alle tussenliggende tijdstippen. Denk maar aan het lineaire model en het exponentiële model. Het woord dynamisch geeft aan dat je met tijdsafhankelijke processen te maken hebt.

b Uit de grafiek van de rij leiden we af dat de rij stijgt en dat ze naar boven begrensd is door 130. We bewijzen dit vermoeden door volledige inductie.

1 De rij is stijgend.

•u 1 = 100; u 2 = 110 dus u 1 < u 2

• We nemen aan dat

derij ( u n ) isstijgend

2 130 is een bovengrens

• u 1 ⩽ 130

• We nemen aan dat

dus:

Volgenshetconvergentiekenmerk convergeertderijnaareengetal b .Hieruit volgtdatlim

c De aanwezige hoeveelheid medicijn heeft een verzadigingsniveau b

van b

Een overdosis van 130 mg in het bloed komt dus nooit voor.

Taak : onderzoek of de grenswaarde van 125 mg afhangt van de hoeveelheid van het pijnstillend middel dat de patiënt de eerste keer toegediend kreeg.

11 Samenvatting

• Je kent de ongelijkheid van Bernoulli en kunt ze aantonen.

∀n ∈ N0 \{1}, ∀ x ∈] 1, +∞[ \{0} : (1 + x )n > 1 + nx

• Je weet dat als a > 1 is lim n → +∞ a n =+∞ en als –1 < a < 1 is lim n → +∞ a n = 0 . Je kunt dat aantonen.

• Je weet dat rekenkundige rijen steeds divergent zijn, behalve als ze constant zijn. Je weet dat een meetkundige rij met eerste term verschillend van nul convergeert als en slechts als –1 < q ⩽ 1.

• Je weet dat als –1 < q < 1 de som van de termen van de oneindige meetkundige rij met eerste term u 1 en reden q gelijk is aan u 1 1 q : s = +∞ i = 1 u i = u 1 1 q

• Je kent de betekenis van (strikt) monotoon stijgende of dalende rijen evenals van alternerende rijen.

Eenrij ( u n ) ismonotoonstijgend ⇐⇒∀n ∈ N0 : u n u n +1

Een rij ( un) is monotoon stijgend

Eenrij ( u n ) isstriktmonotoonstijgend ⇐⇒∀n ∈ N0 : u n < u n +1

Een rij ( un) is strikt monotoon stijgend

Eenrij ( u n ) ismonotoondalend ⇐⇒∀n ∈ N0 : u n u n +1

Een rij ( un) is monotoon dalend

Eenrij ( u n ) isstriktmonotoondalend ⇐⇒∀n ∈ N0 : u n > u n +1

Een rij ( un) is strikt monotoon dalend

Eenrij ( u n ) isconstant ⇐⇒∀n ∈ N0 : u n = u 1

Een rij ( un) is constant

Een rij ( un) is alternerend

Eenrij ( u n ) isalternerend ⇐⇒∀n ∈ N0 : u n u n +1 < 0

• Je kunt formuleren wanneer een rij naar boven of naar onderen begrensd is en je kent de betekenis van een supremum en infimum.

– Een rij ( un ) is naar boven begrensd als ze minstens één majorant (bovengrens) b heeft zodat

∀n ∈ N0 : un ⩽ b .

– Een rij ( un ) is naar onderen begrensd als ze minstens één minorant (ondergrens) b heeft zodat

∀n ∈ N0 : un ⩾ b

– Is een rij naar boven en naar onderen begrensd, dan noemen we ze begrensd.

– b is het supremum of de kleinste bovengrens van een rij ( un ) ⇐⇒∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 : b < u n 0 b

– b is het infimum of de grootste ondergrens van een rij ( un ) ⇐⇒∀ ∈ R + 0 , ∃n 0 ∈ N0 : b u n 0 < b +

• Je weet dat een monotoon stijgende rij die naar boven begrensd is, convergeert. Een monotoon dalende rij die naar onderen begrensd is, convergeert ook.

• Je kent de insluitstelling.

Als er voor ( un ) twee convergente rijen ( vn ) en ( wn ) met limiet b te vinden zijn waarvoor vanaf een zeker rangnummer k geldt dat vn ⩽ un ⩽ wn , dan is de rij ( un ) convergent met limiet b

in symbolen :

lim

n → +∞ vn = lim n → +∞ w n = b en

∀n ∈ N0 met n k : vn u n w n

12Oefeningen

Hoeveel liter verf hebben we nodig als we met 1 liter verf 6 m2 kunnen schilderen ? 1 2 3 4 5

Welke van de onderstaande rijen zijn rekenkundig? Welke zijn meetkundig? Onderzoek de convergentie en bereken zo mogelijk de limiet.

a 7,3, 1, 5,...

b 1 2 , 1 3 , 2 9 , 4 27 ,...

c 1,2, 4,8, 16,...

d 1 3 , 4 9 , 16 27 , 64 81 ,...

Bepaal de volgende sommen van (oneindige) meetkundige rijen.

a 16 + 8 + 4 + 2 + ...

b 1 3 4 + 9 16 27 64 +

e π, π, π, π,...

f200;0,2;0,0002;0,0000002;...

c1 + 0,8 + 0,64 + 0,512 + ...

d2 + 3 + 9 2 + 27 4 + e 1 3 + 1 33 1 35 + 1 37 f100 + 10 + 1 + 10 1 + ...

Schrijf de volgende repeterende decimale vormen als een breuk.

a 0,6666...

b2,9999...

Het quotiënt 8,6666... 2,3333... is gelijk aan :

c3,83333...

d0,7575... e1,002002... f4,571428571428...

Een patiënt krijgt gedurende een aantal dagen een pijnstillend middel. Iedere morgen wordt 50 milligram van het middel via een injectie toegediend. Na 24 uur is 75% van de pijnstiller door het lichaam afgebroken. Met sn wordt bedoeld: het aantal milligram werkzame stof in het bloed, direct na de n-de injectie.

a Toon aan dat s3 = 50 + 50 0,25 + 50 ( 0,25)2

b Stel een formule op voor sn .

c Bereken s7

d De behandelende arts vindt een hoeveelheid van meer dan 70 milligram in het bloed van de patiënt niet verantwoord. Doet zo’n overdosis zich voor ?

We vormen een toren door kubusvormige houten blokken op elkaar te stapelen (zie figuur). Hierbij is de ribbe van de onderste kubus 6 m. Vier hoekpunten van de tweede kubus vallen samen met de middens van de bovenste ribben van de eerste kubus. We gaan oneindig lang door met dit procedé.

a Toon aan dat de ribbe van de tweede kubus 3√2 m is.

b Bereken de ribbe van de derde kubus.

c Bestaat er een gebouw waarin we deze toren kunnen opstellen ?

Zo ja, hoe hoog moet dat gebouw dan minstens zijn?

d We willen deze toren schilderen.

Beschouw een gelijkzijdige driehoek T0 met oppervlakte 1. Verdeel T0 in 4 even grote gelijkzijdige driehoeken T1 door de middenparallel te tekenen. Verwijder de centrale driehoek (zie figuur).

Behandel de drie overgebleven driehoeken op dezelfde wijze en blijf dit proces oneindig voortzetten. Het eindresultaat heet de zeef van Sierpi´nski

a Schrijf de rij van de oppervlakten van de verwijderde driehoeken T1,T2, T3, …

b Welke rij is dit ?

Je verdeelt een cirkel met straal 4 in 12 gelijke delen en verbindt de deelpunten met het middelpunt. Uit een van de deelpunten laat je de loodlijn neer op de volgende straal; vanuit het voetpunt van die loodlijn laat je opnieuw een loodlijn neer op de volgende straal en je blijft dat proces oneindig doorzetten. Bereken de som van de lengten van deze loodlijnen. M

Een heimachine slaat een betonnen paal in de grond. Bij de eerste klop gaat de paal 200 cm de grond in. Bij elke volgende klop gaat de paal 20% minder ver de grond in dan bij de voorgaande klop.

a Hoe diep slaat de machine de paal in de grond na 15 kloppen ?

b Hoe ver kan de heimachine de paal maximaal in de grond slaan ?

Controleer je antwoorden met ICT.

De volgende rijen zijn gegeven met een recursief voorschrift. Als we aannemen dat ze convergeren, bereken dan de limiet door gebruik te maken van lim n → +∞ u n +1 = lim n →

a u n +1 = 8 + u n 2 met u 1 = 20

b u n +1 = 0,6 u n + 15met u 1 = 20

c u n +1 = 1 2 u n + 2 u n met u 1 = 1g

d u n +1 = 0,1 u n + 0,3 u 2 n met u 1 = 2

chemischestof

In een tank is 50 kg chemische stof opgelost in water. De tank wordt doorgespoeld met schoon water zodat per uur 15% van de aanwezige stof wordt afgevoerd. Elk uur voegt een technicus 10 kg van deze stof toe. We kunnen de hoeveelheden van de chemische stof die zich in de tank bevonden, voorstellen door een rij ( un ).

a Geef een recursief voorschrift van de rij.

b Hoeveel kg van de chemische stof is na 10 uur in de tank aanwezig? Rond af op 3 decimalen.

c Plot de tijdgrafiek. Treedt er verzadiging op ?

d Bereken het verzadigingsniveau algebraïsch.

Een stad heeft op 1 januari 2020 een inwonersaantal van 80000. Het aantal sterfgevallen is groter dan het aantal geboorten. Jaarlijks is er hierdoor een afname van 5%. Bovendien vertrekken elk jaar 1000 inwoners naar andere plaatsen.

a Stel het recursief voorschrift op voor de rij van het aantal inwoners per jaar.

b Geef het aantal inwoners op 1 januari 2030.

c In welk jaar zijn er op 1 januari voor het eerst minder dan 20000 inwoners ?

d Wat gebeurt er op lange termijn met het aantal inwoners? Verklaar.

Controleer met ICT.

Dries ontwaakt zaterdagmorgen met hevige kiespijn. Zijn tandarts is met vakantie en kan hem pas dinsdagmorgen onderzoeken. Om de pijn te verzachten neemt hij om negen uur ‘s morgens een aspirine van 500 mg en vervolgens om de zes uur nog eens 100 mg. Om de zes uur wordt 40% van de aspirine afgebroken.

Na n keer zes uur is er nog un mg aspirine in zijn lichaam.

a Stel een recursief voorschrift op voor de rij ( un )

b Hoeveel aspirine is er 24 uur na de eerste inname in het lichaam van Dries ?

c Dries meldt zich aan bij de tandarts op dinsdagmorgen om 10uur. Hoeveel aspirine heeft hij dan nog in zijn lichaam ?

d Toon aan dat de rij ( un ) convergeert.

e Bereken de grenswaarde van de hoeveelheid aspirine in het lichaam van Dries.

Hangt de grenswaarde af van de hoeveelheid aspirine die hij de eerste keer ’s morgens om 9 uur inneemt ?

Van de Italiaanse koopman en wiskundige Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, kennen we de volgende rij: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Een recursief voorschrift voor die rij is: u n + 1 = u n + u n – 1 met u 1 = u 2 = 1 (1) Een van de meest interessante eigenschappen van de rij komt tevoorschijn in de rij van de verhoudingen van de opeenvolgende termen: qn +1 = u n + 1 u n

De eerste 10 termen van de rij ( q n ) zijn: 1,2, 3 2 , 5 3 , 8 5 , 13 8 , 21 13 , 34 21 , 55 34 , 89 55

De rij blijkt te convergeren, dus benadert q n een limiet.

a Laat zien dat je het recursief voorschrift (1) kunt herschrijven tot qn +1 = 1 + 1 qn .

b Bewijs dat lim n → +∞ qn = ϕ = 1 + √5 2 .

(goddelijke verhouding of gulden snede)

De gulden snede

De gulden snede of goddelijke verhouding is een vaststaande maat, die in de kunstwereld en in de architectuur een zeer grote rol speelt. Het is de verdeling van een lijnstuk waarbij het grootste deel zich verhoudt tot het kleinste deel zoals het hele lijnstuk tot het grootste.

∣ AB ∣

∣ BC ∣ == ∣ AC ∣ ∣ AB ∣

∣ AB ∣ == ∣ BC ∣ ∣ AC ∣ A B C

Het grootste deel is dus het meetkundige gemiddelde van het kleinste deel en het hele lijnstuk.

De ‘gulden verhouding’ x == ∣ AB ∣ ∣ BC ∣ is een oplossing van x2 – x – 1 = 0 en is ongeveer 1,618033989.

De rij van Fibonacci duikt in allerlei takken van de wiskunde op vanwege zijn bijzondere eigenschappen en onverwachte verbanden met onder andere de meetkunde, de natuur en de muziek. Ook is er een rechtstreeks verband met de gulden snede.

Zoek informatie op het internet over :

a de Fibonaccigetallen en de gulden snede ;

b de Fibonaccigetallen in de natuur, de meetkunde en de muziek ;

c de Lucasrij ;

d de gulden rij ;

e de rij van Fibonacci en de driehoek van Pascal ;

f het leven van Fibonacci.

Leonardo van Pisa of Fibonacci (1175 – 1250)

Leonardo was een Italiaan die uitgroeide tot de grootste en de productiefste wiskundige van de westerse middeleeuwen. Hij moet zeer begaafd zijn geweest. Hij werd door zijn vader voor de handel voorbestemd en doorkruiste zo de landen aan de Middellandse Zee. Op die manier kon hij bij de Arabieren wiskunde leren. En toen hij in 1202 terugkwam, publiceerde hij zijn beroemdste boek Liber Abaci. Het werd het eerste van een reeks verhandelingen over meetkunde en sterrenkunde. In dit boek introduceerde hij de huidige Arabische getalnotatie in West-Europa. Het werken met dit tientallig stelsel en het gebruik van het cijfer 0 betekenden een grote vooruitgang na het moeizame geploeter met Romeinse cijfers.

18

Het aantal zeehonden is door de jacht geslonken. Met recursie kun je proberen een voorspelling te doen over de invloed van de jacht op de grootte van de populatie. In een bepaald deel van Canada telden de onderzoekers 14000 zeehonden in januari 2023. Elk jaar is het aantal geboorten 40% van de totale populatie aan het begin van dat jaar. Verder blijkt dat 15% van de populatie jaarlijks sterft.

Stel dat men elk jaar 2000 zeehonden vangt.

a Hoeveel zeehonden waren er in januari 2024 en in januari 2025 ?

b Geef het recursief voorschrift van die groei.

c In januari van welk jaar is het aantal zeehonden voor het eerst meer dan 40000?

d Wat gebeurt er als er 3000 zeehonden per jaar gevangen worden?

e Is er een toegestane vangstgrootte waarbij het aantal zeehonden constant of nog net groeiend is ?

Onderzoek of de rijen met onderstaande expliciete voorschriften naar boven en/of naar onderen begrensd zijn.

Zo ja, geef dan de kleinste bovengrens (supremum) respectievelijk de grootste ondergrens (infimum). (zonder bewijs voor a, d, g, h; met bewijs voor b, c, e, f)

a u n =( 1)n π

b u n = n 2 1 n 2

c u n = 2n n + 1

d u n = sin n · π 2

e u n = n 2n + 1

f u n = 3n 5n 1

g u n = n n 2

h u n = ( 1)n n n ( 1)n

Toon aan dat de rijen met onderstaande expliciete voorschriften convergeren door te bewijzen dat ze (monotoon) stijgend en naar boven begrensd zijn of dat ze (monotoon) dalend en naar onderen begrensd zijn.

a u n = 12 n (n + 1)

b u n = n 2 1 n 2

c u n = n 2n + 1

d u n = 2 4 6...2n 3 · 5 · 7... (2n + 1)

e u n = 2n n !

f u n = 3 10 n

g u n = 1 4 7... (3n 2) 3n n !

h u n = sin 1 n

Gegeven is de rij met algemene term u n = 2 + 2 + + √2 (n wortelvormen).

a Schrijf een recursief voorschrift voor de rij en plot de grafiek ervan.

b Bewijs dat de rij convergent is door aan te tonen met volledige inductie dat ze stijgend is en naar boven begrensd.

c Bepaal de limiet van de rij door gebruik te maken van lim n → +∞ u n +1 = lim n → +∞ u n

Controleer het gevonden resultaat aan de hand van de grafiek.

Bereken de limiet van de volgende rijen ( u n) door gebruik te maken van de insluitstelling. Noteer de rangnummers van de rijen ( v n) en ( w n) die je daarbij gebruikt en laat zien dat aan alle voorwaarden van de insluitstelling voldaan is.

a u n = cos n + sin n n 2 b u n = 1 + sin2 n n c u n = n 3n

(Hint bij c: bewijs eerst door volledige inductie dat ∀n ∈ N0 : n < 2n)

Als we een elastisch balletje laten vallen op een houten vloer, dan botst het terug tot op de helft van de hoogte waarvan het viel. Als we het laten vallen van op 1 meter hoogte en we laten het botsen, welke afstand zal het dan in totaal afleggen ?

(A) 2 m (B) 2,5 m(C) 2,6666… m (D) 3 m (E) oneindig

VWO 2002 tweede ronde, vraag 29 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Beginnend met een gelijkbenige rechthoekige driehoek A1 (met rechthoekszijde a ), verlengen we een rechthoekszijde en brengen daarop een tweede gelijkvormige driehoek A2 aan, waarvan de afmetingen de helft zijn van de eerste (zie figuur). We doen dit opnieuw uitgaande van A2 om A3 te construeren, tot in het oneindige. Er ontstaat een soort zaagtandfunctie. Bepaal de totale oppervlakte van deze figuur. a

Rijen 1

Limieten van functies

Het leuke aan de rij van Fibonacci zijn de talloze voorbeelden die je tegenkomt in de natuur. Van de schubben van een ananas tot de zaadjes in een framboos, van de bladeren van de aloë vera tot de pitjes van een zonnebloem. Deze foto combineert zelfs twee toepassingen, de bloemetjes en de bijtjes ... De voortplanting bij bijen zou een inspiratiebron geweest zijn voor Fibonacci, weet je nog waarom precies? En de bloem waarop de bij zit, is een wilde bertram. Het onderste deel van de steel splitst zichzelf in tweeën, daarna splitst een van de twee takken zich in tweeën. De eerste twee takken splitsen zichzelf daarna opnieuw, en zo gaat het maar door, mooi volgens de rij van Fibonacci.

Limieten van functies

Afgeleide van een functie

In dit hoofdstuk gaat het vooral om het beschrijven van de verandering van functiewaarden. Hoe kun je op de grafiek van een functie zien of er sprake is van een toename of afname? In welke intervallen is de functie stijgend? In welke intervallen is ze dalend? Waar bereikt de functie een maximum en waar een minimum? Hoe kun je aan de grafiek zien of er sprake is van een snelle of minder snelle verandering? En hoe kun je de snelheid waarmee de verandering in een interval plaatsvindt, uitdrukken in een getal? Al die kennis speelde een grote rol bij de bouw van deze rollercoaster. Topingenieurs ontwierpen elke bocht, elke versnelling en elke afremeenheid op het parcours. Voor een ritje op deze Formula Rossa moet je naar Ferrari World in Abu Dhabi. Misschien wel de moeite als je weet dat hij een topsnelheid haalt van 240 km/h, tweemaal zo snel als je op een Belgische snelweg mag rijden …

Afgeleide van een functie

3.1

3.2 Rekenregels voor afgeleiden

3.3 Toepassingen van afgeleiden

Getallen i Algebra i Data en onzekerheid 1

Eigenschappen van continue en afleidbare functies

4

Getallen rondom ons 4 Rationale getallen

In dit hoofdstuk gaan we na hoe we zonder grafiek, dus louter vanuit het functievoorschrift en met behulp van afgeleiden, kunnen ontdekken waar een functie stijgt of daalt, waar ze extreme waarden bereikt en waar de buigpunten van de grafiek van de functie te situeren zijn. Extreme waarden zijn maxima of minima die nuttig zijn bij oppervlakteen inhoudsproblemen (denk maar aan de bouwsector), maar ook om bijvoorbeeld minimale kosten en maximale winsten te berekenen.