VBTL 5/6 D&A - Leerwerkboek Kansrekenen en statistiek - inkijk methode (materiaal vbtl)

LEERWERKBOEK

Kansrekenen i Statistiek

D&A-finaliteit

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Dit boek bevat vier hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond.

Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

1 2

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Welkom in de boeiende studie van kansrekenen en statistiek. Bij kansrekenen leggen we de klemtoon op boomdiagrammen en de wet van Laplace, die enkel geldt als de uitkomsten bij een kansexperiment even waarschijnlijk zijn. We werken ook met kruistabellen en venndiagrammen.

Statistiek is de wetenschap van het verzamelen, ordenen en interpreteren van gegevens. In het dagelijkse leven kom je voortdurend data, statistieken en resultaten van statistische gegevens tegen. Met kennis en inzicht in de statistische wetenschap ben je beter in staat om daarmee om te gaan en kun je ze op hun (on)waarde taxeren.

De deductieve of beschrijvende statistiek is het deel van de statistiek dat verzamelde data, afkomstig van een steekproef of van de populatie, probeert samen te vatten in een beknopte weergave om globale patronen en kenmerken te ontdekken.

De inductieve statistiek bestaat enerzijds uit de verklarende statistiek en anderzijds uit de inferentiële statistiek. Verklarende statistiek maakt gebruik van de kansrekening ; inferentiële statistiek probeert algemene uitspraken binnen een zeker betrouwbaarheidsniveau te formuleren over de gehele populatie, op basis van een beperkt aantal gegevens : de steekproef.

1

3

4

2

Kansrekenen

Kan kansrekenen je een wereldreis opleveren ? We maken even tijd voor een van de beroemdste problemen uit de kansrekening.

Bij een quizprogramma ben jij de winnaar. Proficiat ! De presentator neemt je mee naar drie deuren. Achter een van die deuren zit een wereldreis. Achter de twee andere bevindt zich niets. Jammer dat je niet weet achter welke deur wat zit. Je kiest, maar voordat jouw deur wordt opengemaakt, komt de presentator eventjes tussen. Hij, die wel weet waar de wereldreis zich bevindt, helpt een beetje (?) door een deur te openen waar niets achter zit. Je zenuwen begeven het bijna als de presentator zegt dat je nu nog van idee mag veranderen. Wat doe je ? Blijf je bij je eerste idee of kies je de andere deur, die nog niet geopend is ?

1 Kansexperimenten

De mens is al lange tijd gefascineerd door het toeval en probeert onzekere verschijnselen te benaderen met een model. Zo kan niemand voorspellen of het opgooien van een correct muntstuk ‘munt’ zal opleveren. Wel aanvaardt iedereen dat bij veel keren opgooien het aantal keren ‘munt’ de helft van het aantal worpen zal zijn.

In gewone taal zeggen we dat de kans om munt te werpen 1 op 2 is.

De bedoeling van kansrekenen is precies dit soort voorspellingen te doen over allerlei ‘experimenten’ waarvan de afloop door het toeval wordt beheerst. We spreken over kansexperimenten

Als je een zuivere dobbelsteen opgooit, mag je wel verwachten dat hij zal neervallen, maar niet dat bijvoorbeeld ‘drie’ boven zal liggen. Het is onmogelijk de afloop van dit experiment te voorspellen maar we kunnen soms zinnige informatie geven over de afloop van een groot aantal herhaalde experimenten over dit verschijnsel.

– Bij 6000 worpen met een normale dobbelsteen mogen we, ruw geschat, zowat in 1000 gevallen een ‘drie’ verwachten.

– Als we 1300 maal een kaart trekken uit een spel van 52 kaarten, dan zal het aantal getrokken ‘azen’ ongeveer 100 bedragen.

– Uit de statistieken blijkt dat in België 51,13% van de pasgeboren baby’s jongens zijn.

Het is dus duidelijk dat het uitvoeren van herhaalde experimenten ons veel kan leren over verschijnselen die door het toeval beheerst worden. Het is dan wel noodzakelijk een aantal afspraken en begrippen in te voeren.

De dobbelstenen waarmee alles begon

Ridder de Méré, een dobbelaar, schrijft in 1654 een brief met vragen aan Blaise Pascal, de wiskundige en filosoof. “Het paar dobbelstenen dat mij geld in het laatje gebracht had, deed het mij nog sneller weer verliezen”, schreef jonker de Méré. Bij het zoeken naar een antwoord op de puzzel van de Méré begon Pascal de beginselen van kansen waarschijnlijkheidsrekening te bestuderen. Hij besprak de vraagstukken met Pierre de Fermat, jurist en raadsheer bij de rechtbank van Toulouse, maar daarnaast een wiskundige bolleboos. Met die brief begon de geschiedenis van de waarschijnlijkheidsrekening. Ridder de Méré had enige tijd goed geboerd door te wedden op de waarschijnlijkheid dat hij met vier worpen van de dobbelsteen minstens één zes kon krijgen. Hij won meer dan hij verloor. Maar toen hij overging op de weddenschap dat twee dobbelstenen in een reeks van 24 worpen hem op zijn minst één dubbele zes zouden bezorgen, verloor hij meer dan hij won. de Méré berekende dat de kans op een zes bij het werpen van een dobbelsteen 1 6 is, bij vier worpen zou de kans dus 4 6 == 2 3 moeten zijn. Op diezelfde manier redeneerde hij voor twee dobbelstenen. De kans op één dubbele zes bij het werpen van twee dobbelstenen is 1 36 , bij 24 worpen zou de kans dus 24 36 == 2 3 moeten zijn. Dit valse spoor leidt tot de conclusie dat de tweede weddenschap even goed is als de eerste. Maar dat is niet zo, zoals de Méré aan den lijve ondervond. Bij gebrek aan een methode van kansrekening kan de Méré niets anders dan een heel groot aantal worpen uitvoeren en dan de aantekeningen bekijken. Ook bij de Grieken was het dobbelen een bekend gokspel. De drie broers Zeus, Poseidon en Hades dobbelden om het heelal : Zeus won de hemelen, Poseidon de zeeën en Hades, de verliezer, kreeg de onderwereld. Op de foto zie je de dobbelende oud-Griekse krijgers Achilles en Ajax. Ze staan op een beroemde amfora, die nog steeds te bezichtigen is in een museum in Vaticaanstad.

2 Uitkomst en uitkomstenverzameling

Het uitvoeren van een experiment geeft aanleiding tot een uitkomst. We noteren de mogelijke uitkomsten door ui , met i ∈ N0 omdat we ons alleen beperken tot kansexperimenten met een eindig aantal uitkomsten.

Bij het gooien van een dobbelsteen kunnen we één, twee, drie, , zes ogen zien verschijnen. We leggen de afloop van dit experiment vast door een van de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6 op te schrijven. We zeggen dat dit de zes mogelijke uitkomsten van het experiment zijn.

De uitkomstenverzameling ( of het universum) U is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment.

U = { u 1, u 2, , un }

Voorbeelden :

– De uitkomstenverzameling bij het experiment ‘gooien met een correcte dobbelsteen’ is :

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ⟹ #U = 6

– De uitkomstenverzameling bij het experiment ‘opgooien van een correct muntstuk’ is :

U = { k , m } ⟹ #U = 2 met k : kruis gooien en m : munt gooien

– De uitkomstenverzameling bij het experiment ‘gooien met twee correcte dobbelstenen’ is :

U = {( 1, 1); ( 1, 2); ( 2, 1); ; ( 6, 6)} ⟹ #U = 36

3 Gebeurtenissen

Bij het gooien met een correcte dobbelsteen is U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Veronderstel dat iemand 3 euro krijgt als hij bij zijn worp een even aantal ogen gooit. Hij heeft dan natuurlijk bijzondere belangstelling voor een deelverzameling A = { 2, 4, 6 } van U.

Die deelverzameling A noemen we een gebeurtenis.

– De uitkomsten die een volkomen kwadraat zijn, vormen de deelverzameling B = { 1, 4 }

– De uitkomsten die priemgetallen zijn, vormen de deelverzameling C = { 2, 3, 5 }

B en C zijn ook gebeurtenissen van het experiment ‘gooien met een dobbelsteen’. Er zijn bij dit experiment in het totaal 26 = 64 gebeurtenissen. Verklaar dit !

gebeurtenis

Bij het uitvoeren van een kansexperiment met uitkomstenverzameling U is een gebeurtenis een deelverzameling van U.

Notatie : – We stellen een gebeurtenis voor met de hoofdletters A, B, C …

– Voor een gebeurtenis A geldt dus : A ⊂ U.

Beschouw opnieuw de gebeurtenis A = { 2, 4, 6 }

Veronderstel dat je een dobbelsteen opwerpt en als uitkomst 2 bekomt.

Omdat 2 ∈ A zeggen we dat de gebeurtenis A optreedt of dat A gerealiseerd wordt.

Enkele bijzondere gebeurtenissen :

a De zekere gebeurtenis

De uitkomstenverzameling U van een experiment is een deelverzameling van zichzelf. We noemen ze de zekere gebeurtenis.

Je merkt op dat bij het gooien met een dobbelsteen U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } steeds gerealiseerd wordt. U is dus een zekere gebeurtenis.

b De onmogelijke gebeurtenis

De lege verzameling ∅ is een deelverzameling van U. We noemen ze de onmogelijke gebeurtenis

Inderdaad : wat ook de uitkomst van een experiment is, die uitkomst kan nooit tot ∅ behoren, ∅ kan zich dus onmogelijk voordoen, ∅ wordt nooit gerealiseerd.

Voorbeeld :

Een zeven werpen met een correcte dobbelsteen is een onmogelijke gebeurtenis.

c Elementaire of enkelvoudige gebeurtenis

Een deelverzameling van U die uit één enkele uitkomst bestaat, een singleton van U dus, noemen we een elementaire of enkelvoudige gebeurtenis

Als U = { u 1, u 2, …, un }, dan zijn E1 = { u 1}, E2 = { u 2}, … , En = { un} elementaire gebeurtenissen.

Voorbeeld :

Bij het experiment ‘gooien met een dobbelsteen’ zijn { 1}, { 2}, , { 6} gebeurtenissen die individuele uitkomsten beschrijven, het zijn de 6 elementaire gebeurtenissen van U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

d Afgeleide gebeurtenissen

Doorsnede van 2 gebeurtenissen

Beschouw 2 gebeurtenissen A en B van een uitkomstenverzameling U.

A ∩ B = { u ∈ U | u ∈ Aen u ∈ B}

De gebeurtenis A ∩ B doet zich voor enkel en alleen als A en B zich beide voordoen.

Vereniging van 2 gebeurtenissen

A ∪ B = { u ∈ U | u ∈ Aof u ∈ B}

De gebeurtenis A ∪ B treedt op als en slechts als de gebeurtenis A en/of de gebeurtenis B zich voordoet.

Verschil van 2 gebeurtenissen

A \ B = { u ∈ U | u ∈ Aen u / ∈ B}

De gebeurtenis A ⧵ B doet zich voor enkel en alleen als A zich voordoet en B niet.

Tegengestelde of complement van een gebeurtenis

A = { u ∈ U | u / ∈ A}

A doet zich voor enkel en alleen als A zich niet voordoet. Merk op dat U = ∅ en ∅ = U.

Disjuncte gebeurtenissen

We zeggen dat twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten of disjunct zijn als hun doorsnede de onmogelijke gebeurtenis is.

A en B zijn disjunct ⟺ A ∩ B = ∅

Twee disjuncte gebeurtenissen kunnen dus nooit tegelijkertijd optreden.

Voorbeeld :

2 verschillende elementaire gebeurtenissen, 2 tegengestelde gebeurtenissen.

Voorbeeld :

Bij het gooien met een dobbelsteen beschouwen we de volgende gebeurtenissen :

A : even aantal ogen

B : aantal ogen is een kwadraat

A ∩ B = { 4 }

A ∪ B = { 1, 2, 4, 6 }

A ⧵ B = { 2, 6 }

4 Relatieve frequentie en kans

De Deltawerken :

A = { 2, 4, 6 }

B = { 1, 4 }

B ⧵ A = { 1 }

A = { 1, 3, 5 }

B = { 2, 3, 5, 6 }

Voordat de overstromingsramp in 1953 plaatsvond, waren de dijken in Nederland op een hoogte dat je zo’n ramp gemiddeld een keer in 300 jaar kon verwachten. Met de afsluiting van de Oosterschelde zijn de Deltawerken voltooid. De dijken zijn nu op deltahoogte. Dat houdt in dat een dijkhoogte is gekozen waarbij een ramp zoals in 1953 gemiddeld één keer in de 10 000 jaar kan voorkomen. Bij de berekening van de hoogte van dijken maken ingenieurs gebruik van kansrekening. Hierbij worden kansen gebruikt die gebaseerd zijn op meetgegevens of ervaringen. Zulke kansen heten empirische kansen. Hoe groot schat je de kans dat een ramp als in 1953 volgend jaar plaatsvindt ? En in het jaar 2045 ?

a Relatieve frequentie van een gebeurtenis

Als bij n experimenten de gebeurtenis A zich n maal voordoet, dan noemen we de relatieve frequentie van A het getal f A = n A n of f A = hetaantalkeerdatdegebeurteniszichvoordoet hetaantalkeerdathetexperimentuitgevoerdwordt

In de beschrijvende statistiek heb je al kennisgemaakt met het begrip relatieve frequentie. We herhalen even met een voorbeeld.

Bij een onderzoek naar het gebruik van internet bij jongeren werd aan 1200 leerlingen van het vijfde jaar gevraagd hoeveel keer per dag ze iets posten op hun sociale media. De resultaten staan in de volgende frequentietabel.

We kiezen willekeurig een leerling van het vijfde jaar. Omdat 168 leerlingen op 1200 niets posten, zeggen we dat de kans op gebeurtenis A, leerling post 0 keer per dag, gelijk is aan

168

1200 = 0,14.

Notatie : P ( leerling post 0 keer per dag) = 0,14 = 14%

De letter P komt van probabilitas, dat is het Latijnse woord voor ‘kans’.

P ( leerling post maximaal 2 keer per dag) = 840 1200 = 70%

b Kans op een gebeurtenis

Je ziet dat de kans op een gebeurtenis niets anders is dan de relatieve frequentie van die gebeurtenis.

In het kanshistogram hiernaast staan de kansen die uit de tabel volgen. De som van alle kansen is 1.

empirische kans

De empirische kans op een gebeurtenis A = P (A) = frequentievanA totalefrequentie

Kansen geef je aan met getallen tussen 0 en 1. Zo ontstaat de kansschaal in de volgende figuur.

KANSSCHAAL

onmogelijk

Het is een jaar lang windstil in Vlaanderen.

Je gooit kruis bij het tossen met een muntstuk.

zeker

Morgen gaat de zon op in Vlaanderen.

posts per dag

c Schatten van de kans op een gebeurtenis

Voorbeeld 1 : geldstukken gooien

Annelies gooit 10 keer met een geldstuk. Ze krijgt drie keer munt en zeven keer kruis. “Dat is onmogelijk”, zegt ze, “die munt is niet zuiver.”

Enkele klasgenoten van Annelies hebben elk met een geldstuk gegooid. Ze telde het aantal keren ‘munt’. De resultaten staan in de tabel.

Bereken telkens de relatieve frequentie van de gebeurtenis ‘munt’. Van welk getal zal de relatieve frequentie van de gebeurtenis ‘munt’ op den duur weinig verschillen als nog veel vaker wordt gegooid ?

Bij een kansexperiment kun je de kans schatten door het experiment een groot aantal keren uit te voeren en de relatieve frequentie te berekenen. De ervaring leert dat de relatieve frequentie een steeds betere schatting geeft van de kans naarmate je het experiment vaker uitvoert. Die eigenschap heet de wet van de grote getallen (zie blz. 18)

Zo komt de relatieve frequentie van de gebeurtenis ‘munt’ steeds dichter bij 0,5 te liggen. De kans op munt is gelijk aan 0,5 of ook P( munt) = P( kruis) = 0,5.

Voorbeeld 2 : kaarten trekken

Als je 1300 keer een kaart zou trekken uit een spel van 52 kaarten ( met terugleggen en telkens goed door elkaar schudden), dan zal het aantal getrokken azen ongeveer 100 bedragen. De relatieve frequentie van de gebeurtenis A ‘een aas trekken uit een spel van 52 kaarten’ is dan gelijk aan 100 1300 = 1 13

Dat is wat we bedoelen als we kortweg zeggen : “De kans op een aas is 1 13 ”. We weten dit ook door de symmetrie ( elke kaart speelt dezelfde rol)

Aangezien 4 van de 52 kaarten azen zijn en er geen enkele reden is om aan te nemen dat bepaalde kaarten meer kans maken om getrokken te worden dan andere, is de kans dat je een aas trekt gelijk aan 4 52 = 1 13

Voorbeeld 3 : gooien met 1 dobbelsteen

Op dezelfde manier weten we dat de kans om met één dobbelsteen een 6 te gooien gelijk is aan 1 6 omdat alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn als de dobbelsteen niet vervalst is.

Dit blijkt ook uit een computersimulatie ( zie figuur) van het werpen van 1 dobbelsteen, waarbij eerst voor 60 worpen en daarna voor 8000 worpen telkens de frequentie grafisch geïllustreerd wordt d.m.v. een histogram. De uniforme verdeling ( alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk) komt goed naar voren bij een zeer groot aantal worpen.

Voorbeeld 4 : gooien met 2 dobbelstenen

We bekijken nu de computersimulatie van het werpen met 2 dobbelstenen.

Hoeveel verschillende uitkomsten ( voor de som van de ogen) zijn er ?

Niet elk van die uitkomsten is even waarschijnlijk. Welke uitkomst heeft de grootste kans ?

De niet-uniforme verdeling (niet alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk) komt goed tot uiting bij een zeer groot aantal worpen. Hoe gaan we de kans op een gebeurtenis berekenen bij een uniforme en een niet-uniforme verdeling ?

5 Uniforme kansverdeling : de wet van Laplace

Als de uitkomstenverzameling U n elementen telt en alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, dan is de kans op elke uitkomst ui ( elementaire gebeurtenis) gelijk aan 1 n

P ({ u i })= P ( u i )= 1 n =⇒ P ( u 1 ) + P ( u 2 ) + P ( u 3 ) + + P ( u n ) = 1

Voor een gebeurtenis A met p elementen is de kans gelijk aan p n

De wet van Laplace :

P (A) = p n

P ( A) lees je als : de kans van A of de waarschijnlijkheid van A of de probabiliteit van A.

De wet van Laplace wordt vaak anders opgeschreven :

P (A) = p n = aantalvoorAgunstigeuitkomsten aantalmogelijkeuitkomsten = #A #U

Gevolgen : • P( U) = 1 en P( ∅) = 0

• ∀ A ⊂ U : 0 ⩽ P( A) ⩽ 1

Je hebt hier een voorbeeld van een theoretische kansberekening. Een theoretische kans kun je precies berekenen zonder het kansexperiment uit te voeren, statistisch cijfermateriaal te raadplegen of metingen te doen. Het is dan belangrijk een overzicht te hebben van alle mogelijke uitkomsten. Vervolgens zoek je de gunstige uitkomsten en bereken je de kans.

In de praktijk vinden we heel wat gevallen van uniforme kansverdelingen :

– het gooien van een zuivere dobbelsteen ;

– het trekken van een knikker uit een vaas ;

– het opgooien van een zuiver muntstuk ;

– het trekken van de hoofdprijs van een tombola ;

– het bepalen van een nummer in een eerlijk roulettespel ;

– het kiezen van een te controleren exemplaar uit een voorraad van geproduceerde stukken ;

– het aanwijzen van een proefpersoon op een lijst met mogelijke namen ;

– het trekken van een kaart uit een goed geschud spel.

6 Enkele toepassingen op de wet van Laplace

Voorbeeld 1 : dobbelstenen

Bij het gooien met een zuivere dobbelsteen beschouwen we de gebeurtenis A : een aantal ogen gooien dat deelbaar is door 3. Bereken de kans van A.

Oplossing :

We vinden dat A = { 3, 6 } ⟹ # A = 2

We weten dat # U = 6.

Omdat het hier gaat om een uniforme kansverdeling kunnen we de wet van Laplace toepassen :

P (A) = 2 6 = 1 3

Voorbeeld 2 : twee dobbelstenen

We gooien met twee zuivere dobbelstenen. Beschouw de gebeurtenis A : de som van het aantal ogen op de twee stenen is gelijk aan 6. Bereken de kans van A.

Oplossing :

In dit geval is U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } × { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Dus U = {( 1, 1); ( 1, 2); ( 2, 1); ( 2, 2); ; ( 6, 6)} ⟹ # U = 36

We vinden de gebeurtenis A = {( 1, 5); ( 2, 4); ( 3, 3); ( 4, 2); ( 5, 1)} ⟹ # A = 5

Volgens de wet van Laplace is dus : P (A) = 5 36 .

Voorbeeld 3 : knikkers

We trekken blindelings een knikker uit een vaas die 3 rode en 7 witte knikkers bevat. Wat is de kans dat de getrokken knikker rood is ?

Oplossing :

We kunnen veronderstellen dat alle knikkers evenveel kans hebben om getrokken te worden. We hebben hier dus te maken met een uniforme kansverdeling. Beschouw de gebeurtenis A : een rode knikker trekken ⟹ # A = 3 Uit het gegeven leiden we af dat # U = 10.

Volgens de wet van Laplace is P (A) = 3 10 = 30%.

Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827)

Laplace wordt geboren op 23 maart 1749 in Beaumont-en-Auge (Normandië) als zoon van een landbouwer. Hij gaat naar school tot zijn zestiende. Al vlug is duidelijk dat wiskunde zijn roeping is en in 1769 wordt hij wiskundeleraar aan de militaire school in Parijs. Daar was in 1784 en 1785 een zekere Napoleon Bonaparte een van zijn leerlingen. Laplace hield zich vooral bezig met de waarschijnlijkheidstheorie en de sterrenkunde. In 1794 wordt hij professor in de wiskunde aan de École Polytechnique in Parijs, waar de beste studenten worden opgeleid tot ingenieurs en legerofficieren. Als Napoleon in 1799 aan de macht komt, benoemt hij Laplace tot minister van Binnenlandse Zaken. Als dank draagt Laplace zijn meesterwerk Mécanique Céleste (hemelmechanica) aan Napoleon op.

Laplace

In 1812 publiceert hij zijn Théorie Analytique des probabilités. Dit boek bevat een overzicht van de kansrekening uitgewerkt door zijn voorgangers Fermat, Pascal en Bernoulli, aangevuld met zijn eigen bevindingen. In verband met kansrekening schreef Laplace het volgende : “De waarschijnlijkheidstheorie is in de grond niets anders dan het gezond verstand gereduceerd tot cijfers. Ze stelt ons in staat precies weer te geven van wat grote genieën instinctief voelen zonder dat ze er rekenschap van geven.”

Laplace overlijdt in Parijs op 5 maart 1827, precies 100 jaar na zijn grote voorganger Newton.

7 Niet-uniforme kansverdeling

De klassieke kansberekening volgens Laplace laat ons in de steek als de symmetrie verbroken wordt, zoals bij een verzwaarde dobbelsteen. De uitkomsten zijn niet meer even waarschijnlijk. In dit geval is het onmogelijk de kans te kennen zonder te steunen op relatieve frequenties.

Voorbeeld 1 : de vervalste dobbelstenen

Voor een normale dobbelsteen verwachten we intuïtief dat in een lange reeks herhaalde experimenten de relatieve frequentie van ‘zes ogen gooien’ niet veel van 1 6 zal afwijken. Dit werd aangetoond met een computersimulatie op blz. 14. Wat echter te denken van een vervalste dobbelsteen die aan één zijde verzwaard is ?

Om dit geval te onderzoeken zetten we een reeks van 1500 herhaalde experimenten op. Na elk groepje van 30 worpen en later na elk groepje van 150 worpen bepalen we het totale aantal zessen en de relatieve frequentie van de gebeurtenis : een zes gooien.

We stellen de resultaten grafisch voor t.o.v. een rechthoekige basis. Op de x -as duiden we de omvang ( aantal worpen) aan, op de y -as de relatieve frequentie. We stellen vast dat de relatieve frequenties in het begin grote schommelingen ondergaan, maar op het einde niet sterk meer veranderen. We constateren dat op den duur vrij kleine schommelingen optreden rond een getal dat tussen 0,3300 en 0,335 ligt, dus ongeveer gelijk aan 1 3

frequentie omvang x y

3030060090012001500

Dit intuïtief aanvoelen krijgt een ruggensteuntje van de experimentele wet van de grote aantallen die zegt dat bij een toenemend aantal pogingen de relatieve frequentie van een bepaalde gebeurtenis zich meer en meer stabiliseert. We nemen hier de relatieve frequentie over een lange periode als waarde voor de kans, bij gebrek aan symmetrieoverwegingen. We kunnen dus stellen dat de kans op zes ogen in dit geval gelijk is aan 1 3 .

Op dezelfde manier bepalen we de kans op de andere uitkomsten. De kansverdeling voor de vervalste dobbelsteen ziet er als volgt uit :

Hieruit blijkt dat kant 1 van de dobbelsteen lichtjes verzwaard is, waardoor 1 minder vaak voorkomt en de overstaande kant 6 daarentegen meer. We berekenen de kans op gebeurtenis A : ten minste 2 ogen gooien.

A = {2,3,4,5,6} =⇒ P (A)= P (2)+ P (3)+ P (4)+ P (5)+ P (6)= 32 36 = 8 9 of

A = {1} =⇒ P A = 1 9 =⇒ P (A)= 1 1 9 = 8 9

Wepassenhierde complementregel toe:P (A)+ P (A)= 1

Voorbeeld 2 : afgekeurde objecten bij industriële productie De volgende tabel geeft het aantal verworpen producten aan bij achtereenvolgens 10 reeksen van 25, 10 reeksen van 250 en 10 reeksen van 2500 voorwerpen, alsook de corresponderende relatieve frequenties van afkeuring.

Voor n = 25 varieert het percentage tussen 0 en 16; voor n = 250 tussen 3,2 en 8,8; voor n = 2500 tussen 5,4 en 6,4. We zien duidelijk het effect van het vermeerderen van het aantal waarnemingen in de reeks, namelijk de grotere stabiliteit van de relatieve frequentie. We stellen vast dat de ware waarde van de relatieve frequentie bij 6% gelegen is. We kunnen hieruit besluiten dat de kans op een afgekeurd object 0,06 is.

Besluiten :

1 Experimentele wet van de grote aantallen :

De relatieve frequentie van een gebeurtenis bij herhaalde experimenten heeft de neiging steeds minder af te wijken van een zeker reëel getal als het aantal experimenten toeneemt. De relatieve frequentie gaat zich meer en meer stabiliseren.

2 De kans op een gebeurtenis :

Bij een experiment met een niet-uniforme kansverdeling is de kans op een gebeurtenis het reële getal waarrond de relatieve frequenties van de gebeurtenis gesitueerd zijn bij een zeer groot aantal herhalingen van het experiment. We nemen de relatieve frequentie over een lange periode als waarde voor de kans, bij gebrek aan symmetrieoverwegingen.

3 De kansverdeling :

– De som van alle kansen van alle uitkomsten moet 1 zijn.

– De kans van een gebeurtenis A ≠ ∅ is de som van de kansen van de uitkomsten in A.

4 Enkele gevallen waarbij de kansverdeling met deze methode van de relatieve frequentie bepaald zal worden :

– bij het opgooien van een vervalste dobbelsteen of een verbogen muntstuk ;

– bij kwaliteitscontroles van nieuwe gloeilampen is de kans op een defecte lamp heel wat kleiner dan de kans op een niet-defecte lamp ;

– voor de diensten van het openbaar vervoer is het belangrijk dat de kans dat trein of bus op tijd aankomt veel groter is dan de kans dat ze niet op tijd zijn ;

– bij het opgooien van een duimspijker kan die op 2 manieren terechtkomen. De kans dat de punt omhoog wijst is niet gelijk aan de kans van het andere geval.

8 Statistisch bepalen van kansen

Voorbeeld 1 : kans op een meisje

Veel mensen denken dat bij een zwangerschap de kans op een meisje 0,5 is.

De enige manier om de kans op een meisje te bepalen, is de statistieken raadplegen. Hieruit blijkt dat in Vlaanderen de kans op een meisje ongeveer 0,4887 is en niet 0,5. Er worden immers ongeveer 48,87 % meisjes geboren en 51,13 % jongens.

Voorbeeld 2 : sterftetafels en overlevingskansen

Ten behoeve van het verzekeringswezen hebben ze sterftetabellen i.v.m. overlevingskansen van bepaalde leeftijdsgroepen opgesteld, zoals in gebruik in de actuariële wiskunde. Herleid op 1 miljoen inwoners registreerden ze het aantal overlevenden ( Lx ) en bijgevolg ook het aantal sterfgevallen ( Dx ) per leeftijdscategorie.

De resultaten staan in de tabellen van bijlage 1 en 2 blz. 165 en 166.

a Gebruik de tabel om de kans af te lezen dat een pasgeboren jongen 80 jaar oud zal worden. Zelfde vraag voor een meisje.

Antwoord :

– Voor een jongen is de kans : L80 L0 = 571123 1000000 = 0,571123 ≈ 57,11%

– Voor een meisje is de kans : L80 L0 = 722256

b Wie heeft de grootste kans om 100 jaar te worden : een meisje van 16 of een vrouw van 80 ?

Antwoord :

De vrouw van 80 is al een eind onderweg en heeft dus logisch gezien meer kans om 100 jaar te worden dan een meisje van 16.

Uit de tabel lezen we af dat de kans om 100 jaar te worden voor een meisje van 16 is :

L100

L16 = 34710 996041 = 0,03484796 ≈ 3,48%

Analoog is de kans om 100 jaar te worden voor een vrouw van 80 :

L100

L80 = 34710 722256 = 0,04805775 ≈ 4,81%

c Bereken de kans dat een jongen van 16 de leeftijd van 65 jaar niet bereikt.

Antwoord :

Uit de tabel lezen we af dat de kans om 65 jaar te worden voor een jongen van 16 is :

L65

L16 = 870382

994950 = 0,87479974 ≈ 87,48%

De kans dat een jongen van 16 geen 65 jaar oud wordt, is 1 0,8748 = 0,1252 = 12,52%

Opmerking :

Die overlevingskansen moeten wel gerelativeerd worden, want de levensverwachting verandert in functie van de tijd. Dankzij de vooruitgang van de geneeskunde en de verbetering van de levensomstandigheden, is de levensverwachting in België tijdens de twintigste eeuw met meer dan 40 % toegenomen. Ook nu weten we niet precies hoe de sterftetafels er binnen 50 of 100 jaar zullen uitzien.

Verder gaan die overlevingskansen over ‘gemiddelde Belgen’. Extra informatie kan de kansen sterk veranderen : weet je bijvoorbeeld dat de betrokkene rookt, dan zakt zijn of haar levensverwachting een heel stuk !

9 Kansen bepalen met behulp van boomdiagrammen

Voorbeeld 1 : kinderen en kansen

In een gezin worden twee kinderen geboren. Neem aan dat bij elke geboorte de kans op een jongen gelijk is aan 0,5113 en de kans op een meisje 0,4887.

Bereken nu de kans :

a dat het eerste kind een jongen en het tweede kind een meisje is.

b dat het kinderen van hetzelfde geslacht zijn.

Antwoord :

Het boomdiagram (of de kansboom) bij deze opgave ziet er als volgt uit :

1e kind

2e kind

0,5113

0,4887

0,4887

0,5113 jongen jongen meisje meisje jongen meisje

0,5113

0,4887

a De kans dat het eerste kind een jongen is en het tweede een meisje :

0,5113 0,4887 = 0,2499 ≈ 24,99%

b De kans dat het twee jongens zijn : 0,5113 0,5113 = 0,26142769 ≈ 26,14%

De kans dat het twee meisjes zijn : 0,4887 0,4887 = 0,23882769 ≈ 23,88%

De kans op twee kinderen van hetzelfde geslacht : 0,26142769 + 0,23882769 = 0,5002554 ≈ 50,03%

Uit deze opgave onthouden we volgende regels :

1 De som van de kansen bij de takken die uit eenzelfde vertakkingspunt vertrekken, is altijd gelijk aan 1.

2 Wanneer we in een kansboom verdergaan langs een bepaalde tak, moeten we de kansen van de deeltakken vermenigvuldigen.

3 Wanneer verschillende takken goed zijn, moeten we de kansen van die takken optellen.

Taak : bereken de gevraagde kansen opnieuw als je aanneemt dat de kans op een jongen gelijk is aan de kans op een meisje. Vergelijk je antwoorden met de vorige.

Voorbeeld 2 : knikkers

In een bak zitten drie witte, vier zwarte en drie rode knikkers.

We nemen lukraak een eerste knikker, leggen hem niet terug en nemen dan lukraak een tweede knikker. Bereken de kans dat de tweede getrokken knikker rood is.

Antwoord :

Het boomdiagram ziet er als volgt uit : eerste knikker tweede knikker

De kans dat de tweede getrokken knikker rood

Merk op dat de kans dat de eerste getrokken knikker rood is ook gelijk is aan 3

Is dat toevallig ?

Bereken bijvoorbeeld de kans dat de derde knikker een rode is (als de eerste twee knikkers niet worden teruggelegd ) en vergelijk met de kans dat de eerste knikker een rode is, namelijk 3 10

Voorbeeld 3 : schaken

Annelies en Bert schaken 18 maal tegen elkaar. Daarvan wint Annelies 9 partijen, Bert wint er 6 en drie spelletjes eindigen met remise. Ze spelen nu nog driemaal tegen elkaar.

Bereken telkens de kans van de volgende gebeurtenissen.

a De drie partijen worden gewonnen door Annelies.

b Twee partijen eindigen op remise.

c Bert wint minstens één keer.

Antwoord :

We beschouwen de volgende gebeurtenissen elk met hun empirische kans, afgeleid uit hun relatieve frequentie.

c De kans dat Bert minstens 1 partij wint = 1 de kans dat Bert geen enkele partij wint (complementregel). De kans dat Bert een partij niet wint is 2 3 . Hieruit volgt dat de kans dat Bert geen enkel van de 3 spellen wint

Voorbeeld 4 : trekkingen met terugleggen

In een vaas zitten 4 gele en 2 rode knikkers. We trekken 3 knikkers met terugleggen. Bereken de kans op precies 1 rode knikker.

In dit geval gaat het om een samengesteld experiment, waarbij de drie deelexperimenten onafhankelijk zijn, omdat een getrokken knikker teruggelegd wordt.

P( 1 rode en 2 gele knikkers) = 3 P (

Voorbeeld 5 : trekkingen zonder terugleggen

In een vaas zitten 4 gele en 2 rode knikkers. We trekken 3 knikkers zonder terugleggen. Bereken de kans op precies 1 rode knikker.

Oplossing :

P( 1 rode knikker) = P( GGR) + P( GRG) + P( RGG) = 1

In dit geval gaat het om een samengesteld experiment, waarbij de drie deelexperimenten afhankelijk zijn. Na het trekken van de eerste knikker blijven er nog 5 knikkers over.

Voorbeeld 6 : lotto

Bij de lotto krijg je 6 getallen van 1 tot 45. Onder het toeziend oog van een deurwaarder en televisiekijkers rollen er dan op de eerstvolgende woensdag of zaterdag zes balletjes uit een doorzichtige ‘trommel’ waarin 45 genummerde balletjes aan het dansen waren.

Bereken de kans om 6 getallen juist te hebben.

Oplossing :

Let op : de volgorde van de zes getallen is van geen tel. Er is dus geen ‘eerste’ aangekruist getal, geen tweede enz. Er zijn gewoon 6 aangekruiste en 39 niet-aangekruiste getallen.

Vul het volgende boomdiagram verder aan :

GOKVERSLAVING

Het is bij wet verboden aan jongeren onder de 18 om deel te nemen aan kansspelen. Ook het lottospel kan verslavend werken. Een gokverslaafde is eerder geneigd om te gokken en vaker te spelen bij spelen waar de uitslag direct bekend is. Hoe merk je dat het de slechte kant uitgaat ? Als je langer speelt dan je van plan was, als je tegen anderen liegt over je gokgedrag en als je (wanneer je niet gokt) altijd aan gokken denkt. Een gewaarschuwd persoon is er twee waard !

De kans dat het eerste balletje een van de zes aangekruiste getallen draagt, is volgens de wet van Laplace 6 45

Als het eerste balletje een van de zes is, dan zitten er nog 44 balletjes in de trommel waarvan 5 goede. In het andere geval zitten er ook nog 44 balletjes in, maar de 6 goede zijn er nog allemaal.

Zo vinden we dat de kans om de 6 getallen juist te hebben gelijk is aan

8145060 (productregel).

Voorbeeld 7 : reacties op kanker

Veronderstel dat een test om kanker op te sporen de eigenschap heeft dat 90% van de mensen die kanker hebben positief reageren en 5% van de mensen die geen kanker hebben ook positief reageren.

Veronderstel bovendien dat in een bepaald ziekenhuis 1% van de patiënten kanker heeft. Kies willekeurig een patiënt in dat ziekenhuis en laat hem de test ondergaan. Als hij positief reageert op de test, wat is dan de kans dat hij kanker heeft ?

Oplossing :

K : een persoon van het ziekenhuis heeft kanker.

K : een persoon van het ziekenhuis heeft geen kanker.

T : een getest persoon van het ziekenhuis reageert positief.

T : een getest persoon van het ziekenhuis reageert niet positief.

We stellen een boomdiagram van het probleem op.

Uit het boomdiagram lezen we af dat de kans dat een getest persoon positief reageert gelijk is aan 0,01 0,9 + 0,99 0,05.

De kans dat een persoon kanker heeft en positief reageert op de test is gelijk aan 0,01 · 0,9.

De kans dat iemand kanker heeft als hij positief reageert, is gelijk aan

0,90 · 0,01

0,90 0,01 + 0,05 0,99

= 2 13

≈ 15,4%

Dat is een verrassend resultaat.

Enerzijds is de diagnosetest zeer betrouwbaar want in 90% van de gevallen waarin kanker aanwezig is, zou de test dat aan het licht brengen.

Anderzijds zou slechts in 15,4% van de gevallen waarin de test kanker aanwijst, werkelijk kanker aanwezig zijn. Dat relativeert heel sterk de betekenis van de testuitslag.

Voorbeeld 8 : toeristen in Tirol

In het bergdorp Oetz in Tirol leven in het toeristische hoogseizoen vier keer zoveel toeristen als bergbewoners. 60% van de toeristen draagt een folkloristische hoed, typisch voor de streek. Slechts 30% van de plaatselijke bevolking draagt echter een tirolerhoed. We komen op straat een persoon met een tirolerhoed tegen. Wat is de kans dat hij geen toerist is ?

Oplossing :

Het boomdiagram ziet er als volgt uit :

geen toerist

hoed hoed toerist geen hoed geen hoed

Uit het boomdiagram lezen we af dat de kans dat een persoon een tirolerhoed draagt gelijk is aan

1 5 3 10 + 4 5 3 5 = 27 50 ( het dragen van een hoed komt voor in twee takken).

De kans dat een persoon geen toerist is en een hoed draagt, is gelijk aan 1 5 3 10 = 3 50 .

Als je dus op straat een persoon met een tirolerhoed tegenkomt, dan is de kans dat hij geen toerist is gelijk aan

10 Kansen bepalen met behulp van venndiagrammen

Sommige kansen van gebeurtenissen kun je berekenen met behulp van venndiagrammen.

Voorbeeld 1 :

In een klas van het zesde jaar met 25 leerlingen vraagt de leerkracht wie er al een rijbewijs heeft.

• 8 leerlingen hebben een rijbewijs voor een bromfiets (BR) ;

• 4 leerlingen hebben een autorijbewijs (AU) ;

• 15 leerlingen hebben geen van beide.

Wat is de kans dat bij aselecte aanduiding van een leerling van die klas die leerling :

a enkel een rijbewijs voor een auto heeft ;

b enkel een rijbewijs voor een bromfiets heeft ;

c een rijbewijs voor beide heeft ?

Oplossing :

Er zijn 15 leerlingen die geen van beide rijbewijzen hebben ; die kunnen we buiten het venndiagram plaatsen.

12 ( = 8 + 4) leerlingen hebben minstens 1 rijbewijs. Aangezien er in totaal maar 10 ( = 25 – 15) leerlingen zijn die een rijbewijs hebben, moeten er 2 zijn die beide rijbewijzen hebben. Zij behoren dus tot de doorsnede van beide verzamelingen. We kunnen dat als volgt overzichtelijk voorstellen :

Antwoord :

aDekansdatdeleerlingenkeleenrijbewijsvooreenautoheeft,is 2 25 .

bDekansdatdeleerlingenkeleenrijbewijsvooreenbromfietsheeft,is 6 25

cDekansdatdeleerlingbeiderijbewijzenheeft,is 2 25

Voorbeeld 2 :

Aan 150 leerlingen van de derde graad wordt voor de vorming van de schoolband gevraagd wie piano, wie gitaar en wie drum speelt.

• 10 bespelen de drie instrumenten;

• 25 leerlingen spelen piano en gitaar;

• 20 spelen gitaar en drum;

• 15 spelen piano en drum;

• 50 leerlingen spelen piano;

• 65 spelen gitaar en 25 drum.

Wat is de kans dat bij aselecte aanduiding de leerling:

a minstens één muziekinstrument bespeelt ; b geen enkel van de instrumenten bespeelt ; c juist twee van de instrumenten bespeelt ; d geen piano speelt?

Oplossing :

We lossen de vragen op met behulp van een klaverbladdiagram. Hierbij ontstaan 8 gebieden.

• 10 leerlingen bespelen de drie instrumenten : in gebied V zitten dus 10 elementen of #( P ∩ G ∩ D) = 10.

• 25 leerlingen spelen gitaar en piano. Het aantal elementen in gebied II en V samen is dus gelijk aan 25. Bijgevolg bevat gebied II 25 – 10 = 15 elementen.

• 20 leerlingen spelen gitaar en drum. Gebied VI bevat dus 20 – 10 = 10 elementen.

• 15 leerlingen spelen piano en drum. Gebied IV bevat dus 15 – 10 = 5 elementen.

• Het aantal elementen in de gebieden I, III en VII kunnen we als volgt berekenen :

Gebied I : 50 – ( 15 + 10 + 5) = 20

Gebied III : 65 – ( 15 + 10 + 10) = 30

Gebied VII : 25 – ( 5 + 10 + 10) = 0

• Aantal elementen in gebied VIII : 150 – ( 20 + 15 + 30 + 5 + 10 + 10 + 0) = 60.

Antwoord :

De kans dat bij aselecte aanduiding van een leerling die leerling :

11 Kansen bepalen met behulp van kruistabellen

Voorbeeld 1 :

In een school werd aan de leerlingen gevraagd of ze soms met de fiets naar school komen of nooit.

Dit waren de resultaten :

• In de eerste graad (G1) komen 72 leerlingen soms met de fiets (F), 94 nooit (F).

• In de tweede graad (G2) komen 88 leerlingen soms met de fiets, 76 nooit.

• In de derde graad (G3) komen 67 leerlingen soms met de fiets, 103 nooit.

We kunnen die gegevens mooi weergeven in een tabel.

F

F

Die voorstelling noemen we een kruistabel.

De getallen op de randen noemen we marginale waarden van de tabel.

Zo’n tabel is handig bij het berekenen van kansen.

Een leerkracht spreekt willekeurig een leerling van de school aan. Wat is de kans dat :

• die leerling soms met de fiets komt ?

aantal mogelijkheden : 500

aantal gunstige : 227

P(F) = 227 500 = 45,4%

• die leerling een leerling uit de tweede graad is ?

aantal mogelijkheden : 500

aantal gunstige : 164

P(G2) = 164 500 = 32,8%

• die leerling een leerling uit de derde graad is die nooit met de fiets komt ?

aantal mogelijkheden : 500

aantal gunstige : 103

P(G3 ∩ F)= 103 500 = 20,6%

Voorbeeld 2 :

Bij een nachtelijk bosspel krijgen de deelnemers drie attributen. Elke deelnemer krijgt een kompas (K), een stafkaart (S) of gps (G) en een zaklamp (Z) of walkietalkie (W).

De verdeling van de attributen vind je in volgende tabel.

Z 32 15 13 60

W 16 6 3 25

totaal 48 21 16 85

Een wandelaar in het bos komt een deelnemer van het bosspel tegen. Wat is de kans dat :

• de deelnemer een stafkaart bij zich heeft ?

P(S) = 21 85 = 24,7%

• de deelnemer een zaklamp bij zich heeft ?

P(Z) = 60 85 = 70,6%

• de deelnemer een walkietalkie en gps bij zich heeft ?

P(W ∩ G) = 3 85 = 3,5%

• de deelnemer geen kompas bij zich heeft ?

P (K)= 21 + 16 85 = 37 85 = 43,5%

• de deelnemer een kompas of gps bij zich heeft ?

P(K ∪ G) = 48 + 16 85 = 64 85 = 75,3%

• de deelnemer een zaklamp en walkietalkie bij zich heeft ?

P(Z ∩ W) = 0 85 = 0,0%

• de deelnemer een zaklamp of stafkaart bij zich heeft ?

P(Z ∪ S) = 32 + 15 + 13 + 6 85 = 66 85 = 77,6%

• de deelnemer geen stafkaart maar wel een zaklamp bij zich heeft ?

P (S ∩ Z)= 32 + 13 85 = 45 85 = 52,9%

12 Samenvatting

• Je kent twee soorten kansverdeling :

1 uniforme kansverdeling

Alle uitkomsten zijn even waarschijnlijk.

Wet van Laplace: P (A) = #A #U = aantalvoorAgunstigeuitkomsten aantalmogelijkeuitkomsten

2 niet-uniforme kansverdeling

De uitkomsten zijn niet meer even waarschijnlijk.

– De kans op een gebeurtenis is het reëel getal waarrond de relatieve frequenties van de gebeurtenis gesitueerd zijn bij een zeer groot aantal herhalingen van het experiment.

– De relatieve frequentie van een gebeurtenis A die zich n A maal voordoet bij n experimenten is f A = n A n

– Hierbij gelden volgende regels :

• De som van alle kansen van alle uitkomsten moet 1 zijn.

• De kans van een gebeurtenis A ≠ ∅ is de som van de kansen van de uitkomsten in A.

• Je kent enkele methodes om kansen te berekenen.

1 boomdiagrammen (kansbomen)

Hierbij gelden volgende regels :

– De som van de kansen bij de takken die uit eenzelfde vertakkingspunt vertrekken, is altijd gelijk aan 1.

– Wanneer we in een boomdiagram verdergaan langs een bepaalde tak, moeten we de kansen van de deeltakken vermenigvuldigen. Dat noemen we de productregel voor kansen. Die regel wordt gebruikt wanneer ‘en’ in de formulering van de kans voorkomt.

– Wanneer verschillende takken goed zijn, moeten we de kansen van die takken optellen. Dat noemen we de somregel. Die regel gebruiken we wanneer ‘of’ in de formulering van de kans voorkomt.

2 complementregel

AlsAen Acomplementairegebeurtenissenzijn,dangeldt:P (A)+ P (A)= 1.

3 venndiagrammen

4 kruistabellen

13 Oefeningen

Gegeven zijn telkens de gebeurtenissen A en B.

Bepaal door omschrijving de gevraagde gebeurtenis en haar kans.

a A : het gooien van een even aantal ogen (met één dobbelsteen)

B : het gooien van een aantal ogen dat een kwadraat is (met één dobbelsteen)

A ∩ B

P( A ∩ B) =

A ∪ B

P( A ∪ B) =

b A : het gooien van een aantal ogen dat een priemgetal is (met één dobbelsteen)

B : het gooien van een even aantal ogen (met één dobbelsteen)

A ∩ B

P( A ∩ B) =

c A : bij het gooien met twee dobbelstenen is de som van de ogen 3

B : bij het gooien met twee dobbelstenen is het product van de ogen 6

A ∪ B

P( A ∪ B) =

d In een kast liggen een zwarte, groene, blauwe en gele trui.

A : de keuze uit een zwarte, groene en gele trui

B : de keuze uit een zwarte, groene en blauwe trui

A ∩ B

P( A ∩ B) =

Opgaven e, f en g hebben betrekking op een standaard kaartspel van 52 kaarten.

e A : een hartenkaart trekken

B : een aas trekken

A \ B

P( A \ B) =

f A : een hartenkaart trekken

B : een aas trekken

B \ A

P( B \ A) =

g A : een hartenkaart trekken

B : een kaart kleiner dan 5 trekken

A ∩ B

P( A ∩ B) =

a Bepaal de kansen met behulp van een boomdiagram. 2 3

Bereken de kans dat je in je klas bij aselecte aanduiding iemand aanduidt die :

a bij een sportclub is aangesloten of een muziekinstrument speelt.

b met de fiets naar school komt en gitaar speelt.

c geen voetbal speelt en bij een jeugdbeweging is aangesloten.

Je gooit een muntstuk driemaal op.

d schoenmaat 40 of groter heeft en niet met het openbaar vervoer naar school komt.

b Geef de uitkomstenverzameling.

c Bereken de kans dat je :

– driemaal kruis gooit ;

– precies één keer kruis gooit ;

– minstens één keer kruis gooit ;

– hoogstens één keer munt gooit.

d Beschouw volgende gebeurtenissen :

A : ten hoogste tweemaal kruis gooien ;

B : driemaal hetzelfde resultaat gooien.

Omschrijf volgende gebeurtenissen en bereken hun kans.

In een doos zitten 5 gele knikkers en 3 rode knikkers.

We nemen er drie willekeurige knikkers uit (zonder terugleggen).

a Stel een kansboom op.

b Geef de uitkomstenverzameling.

c Bereken de kans dat je :

– 3 gele knikkers hebt;

– 2 rode knikkers hebt;

– minstens 1 gele knikker hebt.

Los vorige oefening op waarbij je de getrokken knikker steeds teruglegt in de doos.

Geef de uitkomstenverzameling van het experiment ‘drie knikkers na elkaar trekken uit een bak die drie knikkers met een verschillende kleur ( rood, groen, blauw) bevat’ als :

a elke trekking gebeurt met terugleggen ;

b elke trekking gebeurt zonder terugleggen.

In een trommel zitten 21 identieke ballen, genummerd van 0 tot en met 20. Beschouw volgende gebeurtenissen A en B :

A: het trekken van een getal kleiner dan of gelijk aan 10 ;

B: het trekken van een getal dat een deler is van 18.

Geef van volgende gebeurtenissen telkens de omschrijving en de kans dat ze zich voordoet. Maak gebruik van een venndiagram.

a A ∩ B

b A \ B

c B

d Ga met behulp van het venndiagram na dat A ∪ B = A ∩ B.

9

Stel dat we een spelletje darts spelen met een doel zoals in de figuur hiernaast. Als we een pijltje gooien en de schijf S raken, wat is dan de kans dat we in de roos zitten ?

Beschouw het experiment ‘een cijfer kiezen met behulp van dit rad’. We veronderstellen bovendien dat het rad nooit zal stilstaan op een scheidingslijn.

a Geef de uitkomstenverzameling.

b Bepaal de kans van elke elementaire gebeurtenis. Is de kansverdeling uniform ?

5 4 3 2 1

c Bepaal de kans van de gebeurtenis A : het getrokken cijfer is even of deelbaar door 3. Kun je hier de wet van Laplace toepassen ?

Stel : van een bepaalde afstand mag je met een boog één pijl afschieten naar deze speciale roos.

Als de pijl de roos raakt in een vakje met een bedrag, wat is dan de kans dat je :

a minstens 300 euro hebt?

b bankroet gaat?

Juist of fout ? Verklaar.

b Bij het gooien van een dobbelsteen is de kans op een even aantal ogen 1 op 2.

a Bij een voetbalwedstrijd zijn er drie mogelijkheden : winnen / gelijkspelen / verliezen. De kans dat jouw gok juist is, is dus 1 op 3.

c Voor een toets heb je twee mogelijkheden : geslaagd of niet geslaagd. De kans dat je slaagt is 1 op 2.

In een klas zitten 12 jongens en 10 meisjes.

Stel een boomdiagram op en bereken de kans dat we bij een aselecte aanduiding :

a van 1 leerling een jongen aanduiden.

b van 2 leerlingen twee meisjes aanduiden.

c van 2 leerlingen een jongen en een meisje aanduiden.

d van 2 leerlingen minstens één meisje aanduiden.

c drie enveloppen minstens één prijs hebt? 13 14

Een bepaalde deurbel is van slechte kwaliteit en maakt slechts geluid in 60% van de gevallen dat er aangebeld wordt. Je belt vier keer aan.

a Bereken de kans dat de bel vier keer achter elkaar geen geluid maakt.

b Bereken de kans dat ze minstens driemaal geluid maakt.

c Bereken de kans dat de bel minstens eenmaal werkt.

Op het mosselfestijn van een jeugdbeweging wordt er aan de gasten een tombola aangeboden. In een doos met 2000 enveloppen zitten er in totaal 1400 prijzen. Wat is de kans dat je bij trekking van :

a één envelop prijs hebt?

b drie enveloppen geen prijs hebt?

Wat is de kans bij het gooien van twee dobbelstenen dat :

a de som van de ogen 5 is ?

b de som van de ogen kleiner is dan 6 ?

c je minstens één vijf gooit ?

d de som van de ogen hoogstens 10 is ?

e de som van het aantal ogen op de twee stenen ten minste gelijk is aan 4 ?

f de som van het aantal ogen op de twee stenen een veelvoud van 6 is ?

De drankautomaat in de refter van onze school is tijdens de afgelopen 12 weken 5 dagen defect geweest. Hoe groot is de kans dat hij de volgende schooldag defect is ( vijfdagenweek)?

In een klas zitten 25 leerlingen. Op de vraag ‘wie is er lid van een jeugdbeweging’ antwoorden volgende leerlingen positief : Imran, Vic, Mona, Jef, Nour en Mila. Op de vraag ‘wie is er aangesloten bij een sportclub’ antwoorden volgende leerlingen positief : Yanis, Leo, Mona en Jef. Maak een venndiagramvoorstelling.

We kiezen lukraak een leerling. Wat is de kans dat :

a de leerling enkel aangesloten is bij een jeugdbeweging ?

b de leerling aangesloten is bij een sportclub en een jeugdbeweging ?

c de leerling bij geen enkele vereniging aangesloten is ?

d de leerling aangesloten is bij een jeugdbeweging of een sportclub ?

Een stripwinkel vraagt aan 100 trouwe klanten welke strips ze lezen: Suske en Wiske, Thorgal en/of De Kiekeboes.

Dit zijn de resultaten :

• 50 personen lezen Suske en Wiske;

• 52 personen lezen Thorgal;

• 60 personen lezen De Kiekeboes;

• 27 personen lezen Suske en Wiske

én De Kiekeboes;

• 26 personen lezen Suske en Wiske én Thorgal;

• 30 personen lezen De Kiekeboes én Thorgal;

• 14 personen lezen de drie strips.

Maak een venndiagramvoorstelling.

Wat is de kans dat bij een willekeurige aanduiding van een persoon die persoon:

a twee verschillende stripreeksen leest ?

b enkel Suske en Wiske leest?

c De Kiekeboes leest, maar geen Thorgal?

d geen enkele van de stripreeksen leest?

e minstens één van de stripreeksen leest?

f slechts één van de stripreeksen leest?

Op een bepaalde afdeling in een ziekenhuis werken 18 personen, waarvan :

– één persoon zowel Nederlands, Frans als Engels spreekt;

– drie personen Frans en Engels spreken;

– 13 personen Nederlands spreken en 5 daarvan ook Engels;

– 9 personen Frans spreken;

– er niemand is die uitsluitend Engels spreekt.

Maak een venndiagramvoorstelling.

Als je iemand willekeurig aanduidt, bereken dan de kans dat die persoon :

a enkel Nederlands praat. _________________________________________________________________________

b Frans of Engels spreekt.

Twee koppels gaan samen naar het theater. Ze zetten zich willekeurig op 4 naast elkaar liggende plaatsen. Hoe groot is de kans dat niemand naast z’n partner zit ?

Vijf jongens en vijf meisjes zetten zich willekeurig naast elkaar op een bank. Wat is de kans dat de vijf jongens naast elkaar zitten ?

Hanne gaat met haar zus Lotte naar de film. Ze nodigen ook hun vrienden Mats en Miel uit. Wat is de kans dat als ze willekeurig naast elkaar gaan zitten in de zaal :

a Hanne en Lotte naast elkaar zitten ?

b Mats en Miel niet naast elkaar zitten ?

Twee jagers gaan op fazantenjacht. De waarschijnlijkheid dat de eerste jager raak schiet is 0,65. De tweede jager schiet in 85% van de gevallen raak. Als ze beiden tegelijk naar een fazant schieten, bereken dan de kans dat de fazant het niet overleeft.

Carine en Ahmed gaan naar het dierenasiel om met twee honden te gaan wandelen. In het asiel zijn er nog 3 Mechelse herders, 4 Rhodesian ridgebacks en 5 chihuahua’s.

a Maak een boomdiagram.

b Bereken de kans dat ze twee Mechelse herders meekrijgen.

c Bereken de kans dat ze twee honden van een verschillend ras meekrijgen.

Op de kermis wil Joshua eendjes vissen. Onderaan op elk eendje staan punten geschreven : 1 punt, 5 punten en 10 punten. Hij heeft zijn oog laten vallen op een pluchen beer. Daarvoor moet hij minstens 20 punten halen. Hoe groot is de kans dat hij met 3 geviste eendjes de beer mee naar huis mag nemen als je weet dat er van elk punt 20 eendjes zijn ?

26

In een vogelkooi zitten 3 kanaries, 4 parkieten en 5 vinken. Bij het openlaten van het hok ontsnappen twee vogels.

a Maak een boomdiagram.

b Bereken de kans dat de als eerste ontsnapte vogel een kanarie is.

c Bereken de kans dat er twee parkieten ontsnappen.

d Bereken de kans dat de twee vogels die ontsnappen van dezelfde soort zijn.

28

Voor deze oefening herhalen we graag het driedeurenprobleem van pagina 7.

Bij een quizprogramma ben jij de winnaar. De presentator neemt je mee naar drie deuren. Achter een van die deuren zit een wereldreis. Achter de twee andere bevindt zich niets.

Je mag één deur kiezen om te openen. Maar voordat jouw deur opengemaakt wordt, komt de presentator even tussen. Hij weet wel waar de wereldreis zich bevindt en helpt een beetje (?) door een deur te openen waar niets achter zit. De presentator vraagt of je nog van idee wil veranderen. Wat doe je ? Blijf je bij je eerste deur of ga je toch van idee veranderen ? Verklaar je keuze met behulp van kansrekenen.

29

Van de leerlingen van een school zijn 40% meisjes en 60% jongens. Van de meisjes is 30% ooit al naar Pukkelpop geweest, bij de jongens is dat 35%.

Wat is de kans dat bij een willekeurige aanduiding de leerling:

a een jongen is die al naar Pukkelpop is geweest ?

Op de marketingafdeling van een groot bedrijf werken 5 mannen en 7 vrouwen. De directeur duidt at random een groepje van 3 personen aan die een werkgroep moeten vormen om het jaarlijkse personeelsfeest in elkaar te steken. Wat is de kans dat zij 2 mannen en 1 vrouw aanduidt ? 27

b een meisje is die nog niet naar Pukkelpop is geweest ?

© Jokko/Pukkelpop

Ook met verjaardagen kun je kansrekenen. Neem aan dat de verjaardagen op aselecte wijze verdeeld zijn over de 365 dagen van het jaar. Als je te maken hebt met mensen waarvan je de verjaardag niet kent, bereken dan :

a de kans dat een bepaalde persoon vandaag jarig is.

b de kans dat twee personen vandaag jarig zijn.

c de kans dat twee personen op dezelfde dag jarig zijn.

d de kans dat er in een groep van drie personen minstens twee dezelfde verjaardag hebben.

e de kans dat drie personen die in december verjaren dat doen op drie verschillende dagen.

Hier zie je het knikkerbord van de Britse statisticus Francis Galton (1822–1911).

Je laat een knikker (rood balletje) van boven naar beneden rollen tussen de spijkers (grijze balletjes) door.

Hoe groot is de kans dat een knikker :

a in A terechtkomt?

b in B terechtkomt?

32

Van het mobiele nummer van je vriend ben je enkele cijfers vergeten. Wat is de kans dat je bij een willekeurige keuze van de ontbrekende nummers toch bij hem terechtkomt, als je bovendien zeker bent dat het laatste cijfer een 4 of een 5 is?

047? 82 ?9 0?

33

Wat is de kans dat je de 4 azen trekt als je aselect vier kaarten uit een spel van 52 neemt ?

34

Statistisch gezien is de kans bij geboorte op een jongen 51,13%. Maak een boomdiagram en bereken de kans dat in een gezin met drie kinderen :

a er twee meisjes en één jongen zijn.

b de kinderen van hetzelfde geslacht zijn.

c er minstens één meisje bij is.

Wat is de kans voor een jongen/meisje van 18 jaar om 25 jaar te worden ? Raadpleeg hiervoor de sterftetafels op blz. 165-166.

Een man en een vrouw van 28 jaar huwen. Wat is de kans dat ze hun gouden bruiloft (50 jaar gehuwd) samen zullen vieren ? Raadpleeg de sterftetafels op blz. 165-166.

Wie heeft de grootste kans om 90 jaar te worden : een meisje van 16 of een man van 75 ? Raadpleeg de sterftetafels op blz. 165-166.

In een laatstejaarsklas met tien jongens en twaalf meisjes is iedereen 18 jaar, uitgezonderd twee jongens die 17 jaar zijn. Leerkracht Marie, die 35 jaar is, zou graag een reünie houden met deze klas over 20 jaar. Bereken de kans dat iedereen nog in leven is over 20 jaar. Raadpleeg hiervoor de sterftetafels op blz. 165-166.

De directeur van een tovenaarsschool hanteert strenge normen om leerlingen toe te laten. Ze moeten namelijk slagen voor drie ingangsproeven. Zo slaagt statistisch gezien:

– 35% van de leerlingen in het wegtoveren van zichzelf;

– 40% in het parcours met de bezemsteel;

– 15% van de leerlingen in het bereiden van een wisseldrankje.

Als je wil toegelaten worden aan deze school, wat is dan de kans dat je slaagt voor het ingangsexamen?

Aan een aantal leerlingen van de derde graad wordt gevraagd hoeveel boeken zij per maand lezen. De resultaten staan in de tabel.

Bereken onderstaande kansen.

a Wat is de kans dat een willekeurig gekozen leerling een leerling is die een boek leest per maand ?

b Wat is de kans dat een willekeurig gekozen leerling een jongen is die geen boek leest ?

c Wat is de kans dat een willekeurig gekozen meisje meer dan één boek leest per maand ?

d Wat is de kans dat een willekeurig gekozen leerling die geen boek leest per maand een jongen is ?

e Wat is de kans dat een willekeurig gekozen meisje een boek leest per maand ?

Voor kerstavond spreken drie broers af dat elkeen één cadeautje koopt zonder er een naam op te plakken. De cadeaus worden blindelings en aselect aan een broer toegewezen. Wat is de kans dat niemand zijn eigen cadeau krijgt?

Los dit probleem opnieuw op met respectievelijk vier en vijf broers.

42

Toon gooit met twee identieke dobbelstenen een 3 en een 5. Jonas mag nu gooien en moet proberen om minstens 3 of hoger met de ene dobbelsteen en 5 of hoger met de andere dobbelsteen te gooien. Hoeveel kans heeft hij ?

43

In het damestennis wordt vaak ‘best of three’ gespeeld. Dat wil zeggen : wie het eerst twee sets wint, wint de partij. Tot nu toe heeft Annelies 60% van alle sets die ze tegen Bea gespeeld heeft, gewonnen. Hieronder zie je de kansboom waarin is aangegeven hoe de partij kan verlopen.

a Vervolledig het boomdiagram.

set 1 0,6 set 2 set 3 winnaar

b Bereken de kans dat Bea de partij wint.

Een muis gaat van haar hol (H) naar de kaas (K) en terug. Wat is de kans dat ze de muizenval (V) niet passeert ?

Je leerkracht wiskunde heeft 2 kinderen. Uit betrouwbare bron weet je dat er zeker een jongen bij is.

Je wilt je leerkracht bedanken voor de bijlessen over kansrekening die je kreeg. Terwijl je twee geschenkjes uitzoekt voor de twee kinderen, vraag je je af wat de kans is dat ze allebei een jongen zijn.

46

De ouders van firma Q mogen voor hun kinderen voor het komend kerstfeestje een geschenk kiezen. De keuze bestaat uit een blokkendoos (BD), een boerderij (BO), een poppenset (PS) en een trein (TR). Al die keuzes bestaan in twee uitvoeringen : in hout (H) of in kunststof (K).

De keuzes zijn als volgt :

Als de kerstman een kind aanspreekt, wat is de kans dat het kind :

a een blokkendoos heeft gekozen ?

b houten speelgoed heeft gekregen ? ______________________________________________________________________

c een trein in kunststof heeft gevraagd ?

d geen poppenset heeft gekozen ?

e een boerderij of een trein heeft gekregen ?

f een blokkendoos uit hout of een trein uit hout heeft gevraagd ? ____________________________________________

g geen houten speelgoed en geen boerderij heeft gekozen ?

h houten speelgoed of een blokkendoos heeft gekregen ?

47

Bij een schooluitstap zorgt de school voor een broodje en een drankje voor elk kind. Bij de broodjes kun je kiezen uit een broodje kaas (K), ham (H), tonijn (T) of veggie (V). Bij de drankjes mag elk kind kiezen uit water (W), frisdrank (F) of appelsap (A). In de volgende tabel heb je een overzicht van de lunchpakketten die worden klaargemaakt.

48

Als een leraar een leerling aanspreekt, wat is de kans dat die :

a een broodje met kaas in zijn lunchpakket heeft ?

b water als drankje gekozen heeft ?

c een broodje met ham en frisdrank gekozen heeft ? ________________________________________________________

d geen tonijn gevraagd heeft ?

e appelsap of frisdrank drinkt ?

f water drinkt of een broodje kaas eet ? ____________________________________________________________________

g geen veggiebroodje of water gekregen heeft ? ____________________________________________________________

h geen frisdrank in zijn lunchpakket heeft maar wel een broodje met ham ?

Onder de leerlingen van het vijfde jaar wordt een filmticket verloot. In de tabel zie je hoeveel jongens en meisjes in de drie klassen zitten. Wat is de kans dat bij aselecte aanduiding het ticket terechtkomt bij :

a een jongen ?

b een meisje van 5B ?

c een leerling die niet in 5A zit ?___________________________________________________________________________

Op de kermis worden vier keer meer hamburgers dan hotdogs verkocht. 60% van de hamburgers wordt geserveerd met ketchup en 40% met mosterd. Van de hotdogs wordt 30% met ketchup en 70% met mosterd geserveerd. Als een klant kiest voor mosterd, wat is dan de kans dat het een hamburger betreft ?

Veronderstel dat computers een gelijke waarschijnlijkheid hebben om op maandag, dinsdag, woensdag, donderdag of vrijdag geassembleerd te worden. Van de computers die op maandag geassembleerd worden, zijn er 4% met constructiefouten, op vrijdag is dat 2% en op de andere dagen 1%. Als je nieuwe computer een fout vertoont, wat is dan de kans dat hij op een maandag geassembleerd werd ?

Gegeven is de volgende kruistabel :

Bereken volgende kansen.

aP (R)

bP (

cP (S ∪ K)

dP (T ∩ M)

eP (L)

fP (R ∪ S)

gP (K ∩ L)

hP (K ∩ L)

Vul de kruistabel in aan de hand van de gegevens.

• P (K)= 0,3

• P (E)= 0,2

• P (G)= 0,6

• P (K ∩ G)= 0,15

• P (F ∩ L)= P (F)

• P (L ∩ H)= 0,25

• P (E ∩ L)= P (E ∩ K)

15% van de bevolking van een bepaalde regio in Centraal-Afrika is hiv-besmet. Een willekeurige persoon uit de regio wordt onderworpen aan een hiv-test. Die test wordt gebruikt om bloed te testen op aanwezigheid van het hiv-virus. In feite detecteert de test antilichamen die worden aangemaakt wanneer het aidsvirus in het bloed aanwezig is. Wanneer er antilichamen in het bloed zitten, is de hiv-test positief met een kans van 0,995 en negatief met een kans van 0,005. Is de persoon niet besmet met het hiv-virus, dan geeft de test toch een positief resultaat in 1% van de gevallen en een negatief (dus correct) resultaat met een kans van 0,99. Hoe groot is de kans dat een persoon daadwerkelijk hiv-besmet is als de test positief uitvalt ?

Kansrekenen 1

0

Beschrijvende statistiek 2

Hoofdstuktitel

Hier komt het introductie tekstje. Witregels worden manueel ingegeven.

Wiskunde wordt aan de lopende band gebruikt in het dagelijkse leven. Na het plukken van de appelen in de boomgaard worden die verwerkt. Sommige worden ‘premium’ ingepakt per 6, andere worden in bulk aangeboden en de vruchten die te veel afwijken van het ideale profiel verdwijnen in appelsap. Zullen we aan de hand van gezonde Belgische appelen onze tanden zetten in de basisbegrippen van de statistiek ?

2.5

3

De normale verdeling

Hoofdstuktitel 0

Hier komt het introductie tekstje. Witregels worden manueel ingegeven.

Wiskunde wordt aan de lopende band gebruikt in het dagelijkse leven. Zo ook aan de lopende band … Aan het einde van zo’n band zit een controletoestel dat het gewicht controleert. Als er een afwijking van meer dan 10 gram is, wordt het pakje verwijderd. Statistieken helpen het bedrijf om een antwoord te vinden op vragen als ‘Hoeveel % van de afgeleverde pakken bevat minder dan 1 kg ?’ Maar je kunt ook omgekeerd redeneren en je afvragen hoe de machines afgesteld moeten worden opdat slechts één procent van de pakken in de recyclagebak verdwijnt.

De normale verdeling

Spreidingsdiagrammen 4

In de twee vorige hoofdstukken leerde je telkens werken met één bepaald kenmerk, van het gewicht van een appel tot de lengte van een snoek. In dit stukje statistiek koppelen we twee variabelen aan elkaar en bekijken we wat het verband is. De snelste manier om dat te doen is werken met een spreidingsdiagram. Op de foto zijn enkele duikers bezig met hun afdaling : kun je zomaar besluiten dat, hoe dieper ze gaan, hoe kouder het water wordt ?