04 Machten
wat je al kunt
–een macht met een natuurlijke exponent uitrekenen
wat je leert in deze module
–een macht met een gehele exponent uitrekenen –rekenregels in verband met machten met eenzelfde grondtal toepassen
–een macht van een macht berekenen
–een macht van een product uitrekenen
–een macht van een quotiënt uitrekenen
–de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal gebruiken
Inhoud
Instap
1 Machten met een gehele exponent
2 Rekenregels voor machten met eenzelfde grondtal
3 Macht van een macht
4 Macht van een product
5 Macht van een quotiënt
6 Wetenschappelijke schrijfwijze
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in de kijker
Je controleert de gevonden oplossing.
wiskundetaal
–macht
–grondtal
–exponent
–wetenschappelijke schrijfwijze
Instap
Opdracht 1
De waterhyacint is een snelgroeiende plant die wateroppervlakken bedekt. Bij de start van een onderzoek is 1 km2 van een meer bedekt met de waterhyacint. De onderzoekers stellen vast dat de bedekte oppervlakte elke dag verdubbelt.
a) Vul in hoe groot de bedekte oppervlakte is 1 dag, 2 dagen en 3 dagen na het onderzoek.
b) Schrijf die maatgetallen als een macht van 2.
c) Hoe groot was de bedekte oppervlakte 1 dag voor het onderzoek ?
d) Bereken dit ook voor 2 dagen en 3 dagen voor het onderzoek.
e) Herken je een patroon in de reeds genoteerde machten ?
Schrijf nu ook de resterende maatgetallen als een macht van 2.
3 dagen voor het onderzoek
2 dagen voor het onderzoek
bedekte oppervlakte in km 2 maatgetal als macht van 2
1 dag voor het onderzoek de dag van het onderzoek 1 km2
1 dag na het onderzoek
2 dagen na het onderzoek
3 dagen na het onderzoek
Opdracht 2
Hieronder vind je de diameters van de planeten (in kilometer) uit ons zonnestelsel. Rangschik de planeten van klein naar groot.
4,878 103
Voorbeelden
Wanneer het grondtal een breuk is kunnen we een afgeleide rekenregel gebruiken:
Verwerkingsopdrachten
is 1 2 3
Schrijf als een macht met een positieve exponent.
Reken uit.
Noteer de oplossing als een macht.
b)Hetomgekeerdevan10
1
rekenregel
2 Rekenregels voor machten met eenzelfde grondtal
2.1 Onderzoek
In het onderzoek zullen we bewerkingen uitvoeren met machten met eenzelfde grondtal. opgave uitwerking vaststelling
23 + 24 = 2 · 2 · 2 + 2 · 2 · 2 · 2 = 8 + 16 = 24
25 - 22 = 2 2 2 2 2 - 2 2
= 32 - 4 = 28
Het resultaat is geen macht van 2.
Het resultaat is geen macht van 2.
23 22 = 2 2 2 2 2 = 25 = 32 Het resultaat is een macht van 2. Rekenregel ?
25 : 22 = 25 22 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23 = 8
Het resultaat is een macht van 2. Rekenregel ?
2.2 Machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen
In woorden
Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten bij elkaar op.
In symbolen
a m · a p = a m + p ( a ≠ 0)
Voorbeelden
Merk op
• Net zoals bij de rekenregel in symbolen kunnen de exponenten ook letters zijn.
• De rekenregel kun je ook wiskundig verklaren en in symbolen noteren met behulp van kwantoren (zie differentiatietraject).
rekenregel
3 Macht van een macht
Een macht kun je schrijven als een product.
In woorden
Om een macht van een macht te bepalen, behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten met elkaar. In symbolen
(
Voorbeelden
Merk op
• Net zoals bij de rekenregel in symbolen kunnen de exponenten ook letters zijn.
• De rekenregel kun je ook wiskundig verklaren en in symbolen noteren met behulp van kwantoren (zie differentiatietraject).
Verwerkingsopdrachten
Schrijf als één macht met een positieve exponent.
Schrijf als één macht en reken uit indien mogelijk. De gebruikte letters verschillen van 0.
rekenregel
4 Macht van een product
In woorden
Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor van dat product tot die macht.
In symbolen
( a b) m = am bm ( a ≠ 0, b ≠ 0)
Voorbeelden
De gebruikte letters verschillen van 0.
( 2 ⋅ 9)2 =( 2)2 ⋅ 92
Merk op
• Net zoals bij de rekenregel in symbolen kunnen de exponenten ook letters zijn.
• De rekenregel kan ook omgekeerd gebruikt worden om handiger te rekenen.
23 53 = ( 2 5) 3 = 103 = 1000
Verwerkingsopdrachten
Schrijf zonder haakjes. De gebruikte letters verschillen van 0.
0,1x3 ) 5 = 0,15 (x3 ) 5 = 0,00001x15
• De rekenregel kun je ook wiskundig verklaren en in symbolen noteren met behulp van kwantoren (zie differentiatietraject).
a) ( 5 9)10 = d) (0,5x4 ) 4 = b) (3y)7 = e) ( 8x8 ) 2 =
c) (xyz)8 = f) ( 7xy2 z 3 ) 3 =
(3 5) 3 =(3 5) (3 5) (3 5) = 3 5 3 5 3 5 = 3 3 ⋅ 5 3 ( 4xy) 2 =( 4xy) ( 4xy) =( 4) 2 x 2 y 2 = 16x 2 y 2 8 9
Schrijf zonder haakjes. Reken uit indien mogelijk. De gebruikte letters verschillen van 0.
a) ( xy2 ) 2 = d) (10p3 q4 ) 2 =
b) (2p)5 = e) (a 2 b3 ) 4 =
c) ( 4x 2 ) 2 = f) (0,3k4 ) 2 =
Reken uit door slim te rekenen en gebruik te maken van de rekenregels.
a)0,15 ⋅ 205 = c)
b) 904 304 = d)67 157 :97 =
Pas de rekenregels van machten toe en kleur de vakjes met de juiste oplossingen volledig in. Let op, want soms zijn meerdere antwoorden correct.
Signaaloefeningen
Schrijf de opgave als een macht met een positieve exponent en reken uit.
a)4 2 =
b) 2 3 3 =
c) ( 1) 4 =
d) 4 7 1 =
e) 1 2 5 =
f)5 1 =
Schrijf het resultaat als één macht en reken daarna uit. ( a ≠ 0)
a)24 22 =
b) ( 10)7 : ( 10)5 =
c) ( 0,5) 6 ( 0,5)7 ( 0,5)=
d) 3 5 9 : 3 5 8 =
e) a9 a 6 =
f) a a2 a 2 a 1 =
Schrijf het resultaat als een macht en reken daarna uit. ( a ≠ 0)
a) (22 ) 3 =
b) (103 ) 1 =
c) (a 4 ) 4 =
d) ( a)3 6 =
4
Schrijf zonder haakjes en reken daarna uit. ( a ≠ 0, b ≠ 0)
a) (2a)4 =
b) ( 10b) 2 =
c) (0,1a2 b) 3 =
d) ( 3ab)0 =
Schrijf zonder haakjes en reken daarna uit. ( a ≠ 0, b ≠ 0)
a) 2 3 4 = b) 4 9 2 = c) a2 10 2 = d) 5a b 3 =
Schrijf de vetgedrukte getallen in wetenschappelijke notatie.
a) Een schrikkeljaar duurt 31 622 400 seconden.
b) Een vrouwelijke vlooi drinkt ongeveer 0,000014 liter bloed per dag.
c) De omtrek van de baan die de aarde aflegt rond de zon is iets meer dan 940 miljoen kilometer.
d) Een dun menselijk haar is 0,017 millimeter dik.
e) Elk jaar wordt er wereldwijd ongeveer 620 miljard kilogram graan geteeld.
f) Een waterstofatoom heeft een doorsnede van ongeveer 0,0000000001 meter.
g) In Vlaanderen worden jaarlijks meer dan 1 miljard 500 miljoen eieren gegeten.
6 1 64 heqat voelen 1 32 heqat proeven
Het oog van Horus is verdeeld in breuken van de heqat (een Oud-Egyptische inhoudsmaat die overeen komt met ongeveer 4,8 liter). De onderdelen van het oog symboliseren de zintuigen, aangevuld met het denken.
a) Schrijf de breuken als een macht van 2.
1 16 heqat horen 1 8 heqat denken 1 4 heqat zien 1 2 heqat ruiken
b) Toon aan dat de som van de breuken bijna 1 heqat is.
Schrijf als een macht met een positieve exponent en reken uit.
a) 0,5-3
b) ( -0,1) -5
c) ( -0,2) -4
d) 0,3-3
Bepaal zonder uit te rekenen of het resultaat positief of negatief is.
a) 75 e) ( 0,7) 7
b) ( 1,9)6 f) ( 3) 9
c) 5 3 5 g) ( 4)0 d) ( 2) 4 h) 4 9 2
Reken uit.
a) 2 6 c) ( 0,1) 3 b) ( 17) 1 d) 3 2 4
Schrijf als een macht met een positieve exponent. ( a ≠ 0, b ≠ 0)
a) a 4 c) 1 b 3
b) a b 5 d) ( a) 3
Sommige talstelsels zoals ons tiendelig talstelsel, het binair talstelsel en het hexadecimaal (zestiendelig) talstelsel zijn gebaseerd op een grondtal. De positie van een cijfer (symbool) in een getal bepaalt de bijbehorende macht van dat grondtal.
Tiendelig (decimaal) stelsel – grondtal 10
Het decimale stelsel is ons alledaagse getalsysteem en gebruikt de cijfers 0-9. Elke positie in een getal heeft een waarde die wordt bepaald door een macht van 10.
Het getal 1375 kun je visueel voorstellen.
1 3 7 5
Het getal 12,45 kan je schrijven als
Schrijf nu zelf volgende getallen als een som door gebruik te maken van machten van 10. a) 1647 b) 340 100 c) 759,12
Binair stelsel – grondtal 2
In het binaire stelsel worden alleen de cijfers 0 en I gebruikt. Elke positie in het getal is een macht van 2.
( I00II0I0)2 vertegenwoordigt in het tweedelig talstelsel het getal 154.
(I00II0I0)2
= 128 + 16 + 8 + 2
= 154
Schrijf nu zelf de getallen als een som door gebruik te maken van machten van 2 en zeg welk getal ze vertegenwoordigen in het tiendelig stelsel. a) ( I0I) 2
( I00000) 2
Hexadecimaal stelsel – grondtal 16
Het hexadecimaal stelsel gebruikt 16 symbolen: de cijfers 0-9 en de letters A-F. Elke positie in het getal is een macht van 16.
( 32) 16 = 3 · 161 + 2 · 160 = 50
( 5B) 16 = 5 · 161 + 11 · 160 = 91
Vul de ontbrekende hexadecimale en decimale codes van deze RGB-kleuren in. hexadecimaal kleur decimaal
#A52A2A 165, 42, 42
#ADB887
#5F9EA0
#
#D2691E #
255, 0
127, 80 #6495ED
met
Rekenregels voor
18 19 20 21 22
a) Kleur de opgaven waarbij je de rekenregel voor het vermenigvuldigen van machten met eenzelfde grondtal ( ap · a q = ap+q) kunt gebruiken in het groen.
b) Kleur de opgaven waarbij je de rekenregel voor het delen van machten met eenzelfde grondtal ( ap : aq = ap-q) kunt gebruiken in het blauw.
Vul aan met + of.
⋅ 43 =
b)0,34 :0,3 = 0,34 1
Reken uit door gebruik te maken van een rekenregel van machten met eenzelfde grondtal.
⋅ 24
b) a ⋅ a5
⋅ 0,12
Reken uit door gebruik te maken van een rekenregel van machten met eenzelfde grondtal. De letters zijn verschillend van nul.
a)108 :105 c) 36 32 e)0,56 :0,54 b) a7 : a5 d) x12 x4 f) y 7 y 7
Reken uit door gebruik te maken van een rekenregel van machten met eenzelfde grondtal. De letters zijn verschillend van nul.
a)29 ⋅ 2 5
a 3 a
Reken uit door gebruik te maken van een rekenregel van machten met eenzelfde grondtal. De letters zijn verschillend van nul.
a)10 2 :102 c) 2 2 2 5 e) y 6 : y 7
b) a9 : a 3 d)0,14 :0,1 2 f) x 5 x6
Schrijf als een macht met een positieve exponent, de gebruikte letters verschillen van 0.
a) a3 a4
Reken uit door gebruik te maken van een rekenregel van machten met eenzelfde grondtal. De letters zijn verschillend van nul. a)
Niet alle geluiden zijn voor de mens hoorbaar. Een normaal gesprek heeft een geluidsintensiteit die 106 keer groter is dan het stilste geluid dat een mens kan horen. De geluidsintensiteit van een startend vliegtuig (op 50 m afstand) is 1014 keer groter dan het stilste door de mens waarneembare geluid. Hoeveel keer groter is de geluidsintensiteit van een startend vliegtuig in vergelijking met dat van een normaal gesprek ?
a) Bereken de helft van 210
b) De massa van een zandkorrel is ongeveer 10-3 gram. Hoeveel zandkorrels zitten er bij benadering in een zandzak met een massa van 10 kg ?
c) Een microscoop vergroot een voorwerp 105 keer. In werkelijkheid is het voorwerp 10-5 cm. Hoe groot is het vergrote voorwerp ?
Schrijf als één macht en reken uit.
a) 23 5 e) 103 3
b) 102 4 f) 10 1 6
c) 24 4 g) 22 2 d) 2 2 3 h) 10 5 2
Welke uitdrukkingen horen bij elkaar ? Plaats ze in eenzelfde kleur.
Schrijf als één macht met een positieve exponent en reken uit.
a) 33 2 e) 95 0
b) ( 2)2 4 f) 12 2 1
c) 0,12 3 g) ( 1)4 4 d) 5 1 3 h) 4 1 3
Schrijf als een macht met een positieve exponent. De gebruikte letters verschillen van 0. a) (a5 ) 2 e) (e 6 ) 4 b) (b3 ) 2 f) (f 5 ) 3
c) ( c3 ) 2 g) (g7 ) 1 d) ( d2 ) 3 h) (h0 ) 4 Is het resultaat positief of negatief ?
a) ( 7)2 3 e) 3 4 6 b) ( 4)6 5 f) 8 2 4 c) ( 4)2 8 g) ( 5)3 3 d) ( 2)2 3 h)
Schrijf als een macht met een positieve exponent. De gebruikte letters verschillen van 0.
a) a10 : a3 2 e) e e 2 2 e 3
b) b2 4 b f) f 2 2 f 2 2
c) c2 c3 3 g) g 3 g 3 2
d) d2 2 2 h) h3 h 2 3
Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
a) ( … 2 ) 4 = 256 e) ( … 3 ) 3 = 1
b) ( … 2 ) 2 = 92 f) … 3 = 27
c) ( 4) 4 = 1 2 g) ( … 3 ) 1 = 27
d)0,012 = 10 … h) 1 3 6 = 1 27
Schrijf als één macht. De gebruikte letters verschillen van 0.
a) (ap )q e) (dp )2 d
b) (bp )3 f) (e4 )x (e4 )x
c) (c 5 )q g) (g2 )q + 1
d) (d m + 1 )2 h) (24 )p 2
Gegeven : am en a ≠ 0
Verklaar dat ( am) p = am p .
a)Schrijf 322 210 alseenmachtvan2.
b)Schrijfhetkwadraatvan27alseenmachtvan3.
c)Schrijf 644 164 alseenmachtvan4.
d)Schrijfhetomgekeerdevan125 3 alseenmachtvan5.
Zie oefening 29.
Werk uit. De gebruikte letters verschillen van 0.
Werk uit. De gebruikte letters verschillen van 0. a)
Reken uit het hoofd. Gebruik de juiste rekenregel om slim te rekenen.
a)1253 :253 d)43 253
b)24 54
c)325 :165
Werk uit. De gebruikte letters verschillen van 0.
e)454 :154
f)53 0,23
Je hebt nu alle rekenregels gezien in verband met machten. We kunnen die in symbolen schrijven door gebruik te maken van kwantoren.
Bijvoorbeeld : machten met eenzelfde grondtal vermenigvuldigen ∀ a ∈ q 0, ∀ p, q ∈ z : ap · aq = ap+q
a) Wat betekent ∀ a ∈ q 0 ?
b) Wat betekent ∀ p, q ∈ z ?
c) Schrijf de andere rekenregels ook in symbolen door gebruik te maken van kwantoren.
Werk uit, de gebruikte letters verschillen van 0.
a) a b p c) x 2z y 2 2 b) a3 bp 2 d) xm+1 xm 1 3
Gegeven : ( a : b) p en a ≠ 0, b ≠ 0
Verklaar : ( a : b) p = ap : bp
getallen zijn in
schrijfwijze geschreven ? Duid aan. 12,3 104
000 3,2 10-3
Vul aan met een exponent zodat de gelijkheid klopt.
a)230000 = 2,3 10 …
b)0,00005 = 5 10 …
c)458000000 = 4,58 10 …
d)1500 = 1,5 10 …
10-10
e)0,000000097 = 9,7 10 …
f)0,0004001 = 4,001 10 …
g)24679000 = 2,4679 10 …
h)0,008 = 8 10 …
Schrijf de getallen in wetenschappelijke schrijfwijze.
a)2000000 i)0,42
b)0,00006 j)32000000000
c)48400 k)3,9
d)0,00021
e)540000000
l)0,00000004
m)0,3 ⋅ 108
f)0,007 n)71 ⋅ 10 2
g)71000
o)0,84 10 10
h)0,000101 p)133 10 5
Schrijf de getallen zonder macht van 10.
a)7,3 103
g)1,93 106
b)1,21 10 6 h)1,8 10 7
c)3 ⋅ 10 4
d)5,001 ⋅ 108
e)7,2 ⋅ 108
f)5,3 10 4
i)6,01 ⋅ 102
j)1,038 ⋅ 10 5
k)1,01 ⋅ 1010
l)8,28 10 7
Noteer je antwoord in wetenschappelijke schrijfwijze.
a) Hoe groot is de diameter van een atoomkern als je weet dat die ongeveer een honderdste is van een picometer?
b) Mocht je het DNA van één persoon uitrekken, dan is de lengte ervan 6000 keer de afstand tot de maan en terug. (De afstand tot de maan is 384 000 km.) Hoe lang is het DNA dan ?
c) Van de conceptie tot de geboorte van een baby worden er 15 000 cellen per minuut toegevoegd aan het lichaam. Hoeveel cellen worden er aangemaakt tijdens een zwangerschapsperiode van 40 weken ?
d) In 2024 werd er wereldwijd ongeveer 1,47 102 ZB aan data gegenereerd. In 2034 verwacht men dat dat 1 YB zal zijn. Met hoeveel TB zal de data toegenomen zijn ?
SI-VOORVOEGSEL
Y yotta 1024 y yokto 10-24
Z zetta 1021 z zepto 10-21
E exa 1018 a atto 10-18
P peta 1015 f femto 10-15
T tera 1012 p pico 10-12
G giga 109 n nano 10-9 M mega 106 μ micro 10-6 k kilo 103 m milli 10-3 h hecto 102 c centi 10-2 da deka 101 d deci 10-1
a) Rangschik alle vetgedrukte lengtes van klein naar groot.
b) Noteer deze getallen in wetenschappelijke schrijfwijze in meter.
c) Hoeveel keer past de Bohrstraal van een waterstofatoom in de straal van een muntstuk van 1 euro ?
d) Hoeveel kleiner zijn protonen en neutronen in vergelijking met het molecuul hemoglobine ?
e) Hoeveel bladluizen moet je naast elkaar plaatsen om de lengte van een meisje tussen 2 en 3 jaar te verkrijgen ?
De lengte van de straal van een muntstuk van 1 euro is 1,16 cm
De lengte van een bladluis is 5 mm
De lengte van een meisje tussen 2 en 3 jaar is ongeveer 1 meter
De diameter van een menselijk haar is 70 μm
Protonen en neutronen zijn ongeveer 1,6 fm groot.
De grootte van een molecuul hemoglobine is 10 nm .
De Bohrstraal van een waterstofatoom is ongeveer 52,9 pm .
Plaats volgende getallen van klein naar groot:
0,35; 0,035; 3 10-4; 0,005; 5 10-2; 35 10-3; 3,5 10-2
Bekijk eerst de voorbeelden. Reken daarna uit en noteer je antwoord in wetenschappelijke notatie.
Voorbeeld 1
7,4 108 3,9 107 = 7,4 108 0,39 108
= (7,4 0,39) 108 = 7,01 ⋅ 108
a)4,2 105 + 2,25 105
b)4,8 109 2,7 109
Voorbeeld 2 2,8 106 5 104 = 2,8 5 106 104 = 14 ⋅ 1010 = 1,4 ⋅ 1011
g)8,18 10 6 1,15 10 6
h)3,6 10 3 5 102
c)1,8 107 2 105 i) 7,2 109 8 ⋅ 103
d) 4,5 1014 2,25 108 j) (4 102 ) 3
e) (1,2 ⋅ 103 )2 k) 3,9 10 5 1,3 ⋅ 102
f)4,4 ⋅ 10 2 + 4 ⋅ 10 3 l) 2,5 ⋅ 10 6 ⋅ 4 ⋅ 102
Studiewijzer
Differentiatietraject Doelen
Ik kan een macht met een gehele exponent uitrekenen.
Ik kan de rekenregels voor machten met eenzelfde grondtal toepassen.
Ik kan een macht van een macht uitrekenen.
Ik kan een macht van een product uitrekenen.
Ik kan een macht van een quotiënt uitrekenen.
Ik kan de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal gebruiken.
Doelstellingen pagina
Ik kan een macht met een gehele exponent uitrekenen.
Schrijf de rekenregels op een blad zodat je een overzicht hebt. Kijk of het zinvol is om eerst de macht met een positieve exponent te schrijven. verwerking : 1, 2, 3 signaal : 1 differentiatie : 1 t.e.m. 16
Ik kan de rekenregels voor machten met eenzelfde grondtal toepassen.
Schrijf de rekenregels op een blad zodat je een overzicht hebt. Vooraleer je de rekenregel wil toepassen, kijk goed of het grondtal hetzelfde is en welke de bewerking is.
verwerking : 4, 5 signaal : 2 differentiatie : 17 t.e.m. 30
Ik kan een macht van een macht uitrekenen.
Schrijf de rekenregels op een blad zodat je een overzicht hebt. verwerking : 6, 7 signaal : 3 differentiatie : 31 t.e.m. 40
Ik kan een macht van een product uitrekenen.
Schrijf de rekenregels op een blad zodat je een overzicht hebt. verwerking : 8, 9 signaal : 4 differentiatie : 41 t.e.m. 46
Ik kan een macht van een quotiënt uitrekenen.
Schrijf de rekenregels op een blad zodat je een overzicht hebt. verwerking : 10, 11, 12 signaal : 5 differentiatie : 47 t.e.m. 54
Ik kan de wetenschappelijke schrijfwijze van een getal gebruiken.
Controleer of je wetenschappelijke notatie uit twee stukken bestaat, een macht van 10 en een decimaal getal met 1 cijfer voor de komma, verschillend van 0. verwerking : 13, 14 signaal : 6 differentiatie : 55 t.e.m. 65
3
5
7
8
9
10