07 Machten en vierkantswortels van gehele getallen
Proef exemplaar
Modules Nando 1
Diagnostische module
1 Inzicht in getallen
2 Meetkundige objecten in het vlak
3 Data en onzekerheid
4 Consolidatie
5 Hoofdbewerkingen met gehele getallen
6 Rechten
7 Machten en vierkantswortels van gehele getallen
8 Consolidatie
9 Vlakke figuren
10 Rationale getallen
11 Problemen oplossen deel 1
12 Ruimtefiguren
13 Consolidatie
14 Bewerkingen met rationale getallen
15 Meetkundige tekeningen en constructies
16 Problemen oplossen deel 2
17 Consolidatie
wat je al kunt
–hoofdbewerkingen met gehele getallen uitvoeren –het begrip factor gebruiken
wat je leert in deze module
–machten van natuurlijke getallen berekenen –vierkantswortels berekenen van natuurlijke getallen –het verband tussen het kwadrateren en het berekenen van een vierkantswortel illustreren –machten van gehele getallen berekenen –de volgorde van bewerkingen toepassen met gehele getallen
Inhoud
Instap
1 Machten van natuurlijke getallen
2 Machten van gehele getallen
3 Vierkantswortels
4 Volgorde van bewerkingen
Signaaloefeningen
Differentiatietraject
Studiewijzer
in de kijker
Je controleert je oplossingen nauwkeurig.
wiskundetaal
–macht
–exponent –grondtal –machtsverheffing
–(volkomen) kwadraat –vierkantswortel –vierkantsworteltrekking
Instap
Opdracht 1
• Een groot stuk verhard karton heeft een dikte van 1 mm.
• Het eerste stuk karton wordt gehalveerd, de verkregen stukken worden op elkaar geplaatst.
• De kartonnen stapel wordt opnieuw gehalveerd. De twee delen worden opnieuw op elkaar geplaatst.
• De vorige kartonnen stapel wordt opnieuw gehalveerd en op elkaar geplaatst.
1 mm start stapel 1 stapel 2 stapel 3
a) Vervolledig de tabel.
stapel start ( stapel 0) stapel 1 stapel 2 stapel 3 hoogte van de stapel
b) Wanneer heb je een ladder nodig bij het stapelen als je dit algoritme (rekenschema) blijft herhalen ?
Opdracht 2
Xander berekent dat de oppervlakte van de zes zijvlakken van deze kubus 54 cm2 is. Bepaal de lengte van een ribbe van de kubus.
Opdracht 3
Een schaakbord heeft 64 kleine vierkante vakjes. Je telt aan elke zijde van het bord 8 vierkantjes.
a) Hoeveel vierkantjes liggen aan een zijde van het bord als zo’n groot vierkant 121 vakjes telt ?
b) Hoeveel vierkantjes liggen er aan een zijde van het bord als zo’n groot vierkant bord 400 vakjes telt ?
Opdracht 4
Vul telkens de tabel aan en probeer de algemene formule te vinden. figuur
1 Machten van natuurlijke getallen
Een gedurige som die bestaat uit een aantal keren dezelfde term, kan korter geschreven worden als een product.
Een gedurig product dat bestaat uit een aantal keren dezelfde factor, kan ook korter geschreven worden als een macht .
Woordenschat
3 is het grondtal 5 is de exponent 3 5 3 5 is de macht .
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 3 gedurige som → product (met alleen dezelfde termen)
3 3 3 3 3 = 35 gedurig product → macht (met alleen dezelfde factoren)
Hier wordt de vijfde macht van het getal 3 gezocht. Het bepalen van de macht van een getal is een nieuwe bewerking : de machtsverheffing .
35 lees je als drie tot de vijfde (macht) of de vijfde macht van drie
Voorbeelden
34 = 3 3 3 3 = 81
15 = 1 1 1 1 1 = 1
26 = 2 2 2 2 2 2 = 64
52 = 5 · 5 = 25
definitie an = a a a n factoren met n > 1
In de definitie moet de exponent groter zijn dan 1. We onderzoeken wat er gebeurt als de exponent 1 of 0 is. Je kunt gebruik maken van de regelmaat die je in het patroon herkent.
3 3 3 3 3 = 35 = 243
3 3 3 3 = 34 = 81
3 3 3 = 33 = 27
3 3 = 32 = 9
3 = 31 = 3
1 = 3 0 = 1
Deze redenering is geldig voor elk getal verschillend van 0.
definitie a1 = a
a0 = 1 met a ≠ 0
Merk op 00 is niet gedefinieerd.
Een macht waarbij de exponent gelijk is aan twee is een tweede macht of een kwadraat .
Als je de tweede macht van een getal berekent en je krijgt een natuurlijk getal, dan noemen we dit getal een volkomen kwadraat .
Zo is 49 het kwadraat van 7, want 72 = 49. 49 is een volkomen kwadraat.
Om vlot te kunnen rekenen ken je best onderstaande volkomen kwadraten uit het hoofd. Achteraan in de module vind je handige kaartjes om de volkomen kwadraten snel te leren.
Verwerkingsopdrachten
1
Noteer de macht …
a) waarbij 3 het grondtal is en 4 de exponent.
b) waarbij 2 het grondtal is en 3 de exponent.
c) waarbij 10 het grondtal is en 5 de exponent.
d) waarbij 6 het grondtal is en 2 de exponent.
e) waarbij 5 het grondtal is en 1 de exponent.
f) waarbij 6 het grondtal is en 2 de exponent.
2
Druk uit als een macht. a) het aantal kleine vierkante vakjes
b) het aantal pops c) het aantal zwarte driehoeken d) het aantal kleine kubusjes
Noteer deze producten als een macht.
a) 5 5 5 = e) 10 10 10 =
b) 3 3 3 3 3 = f) 1 1 1 1 1 1 1 =
c) 2 · 2 · 2 · 2 = g) x · x · x =
d) 8 8 = h) a a a a a a =
Noteer deze machten als een product van factoren en werk daarna uit.
a) 25 =
b) 33 = c) 104 =
d) 53 = Reken uit het hoofd.
a)62 = e)80 = i)34 =
b)106 = f)17 = j)43 =
c)52 = g)71 = k)27 =
d)25 = h)08 = l)20260 = 3 4 5
2 Machten van gehele getallen
Voorbeelden ( -3) 3 = ( -3) ( -3) ( -3) = -27 ( -4) 4 = ( -4) ( -4) ( -4) ( -4) = 256 ( -4) 3 = ( -4) · ( -4) ( -4) = -64
) 5 = ( -2) ( -2) ( -2) ( -2) ( -2) = -32
Vaststelling
Bij een negatief grondtal en een oneven exponent is de macht negatief.
Bij een negatief grondtal en een even exponent is de macht positief. definitie ∀ a ∈ z , ∀ n ∈ n :
Merk op
Om het tegengestelde van een macht uit te rekenen, kun je de volgende redenering gebruiken : -32 = -9 want 32 = 9 en -32 is het tegengestelde van 32. -( -2) 4 = -16 want ( -2) 4 = 16 en -( -2) 4 is het tegengestelde van ( -2) 4 -( -5) 3 = 125 want ( -5) 3 = -125 en -( -5) 3 is het tegengestelde van ( -5) 3 .
Verwerkingsopdrachten
6 7
Reken uit.
Een video van een sportclub had om 9 uur 200 views. De video ging viraal en in het volgende uur verdubbelde het aantal kijker elke 5 minuten.
a) Hoeveel views waren er om 10 uur?
b) Schat na hoeveel minuten de video 100 000 views had.
3 Vierkantswortels
De oppervlakte van een vierkant is 16 cm2 z2 = 16
Hoe lang is een zijde van dat vierkant ? z = 4
16 = 4
Je vindt dat z = 4 want 42 = 16 en z moet positief zijn (het gaat hier om een lengte).
Er zijn twee getallen die 16 als kwadraat hebben.
42 = 16 en ( -4) 2 = 16
definitie b is een vierkantswortel van a als en slechts als b2 = a.
Het vierkantswortelteken √ wordt gebruikt om de positieve vierkantswortel aan te duiden : √16 = 4
Om de negatieve vierkantswortel te noteren schrijf je : √16 = 4
Voorbeelden
Merk op
• We kunnen geen vierkantswortel bepalen van een negatief getal.
Het is handig om enkele kwadraten en vierkantswortels paraat te kennen. Op p. 21 vind je kaartjes om enkele vierkantswortels snel te leren.
√ 9 bestaat niet in q omdat er geen rationaal getal bestaat waarvan het kwadraat gelijk is aan -9.
• √16 is het tegengestelde van √16 .
• Er is een verband tussen de worteltrekking en het kwadrateren.
Een vierkantswortel van een rationaal getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat rationaal getal.
Verwerkingsopdracht 6
Bereken de vierkantswortels.
methode
4 Volgorde van bewerkingen
We breiden de volgorde van bewerkingen uit met machten en vierkantswortels. Start
Haakjes ( ) en : ( )
Hoe voer je de volgorde van bewerkingen uit ?
STAP 1 : Indien er haakjes zijn, reken je eerst alles uit binnen de haakjes.
a) machtsverheffingen en vierkantsworteltrekkingen
b) vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts
c) optellingen en aftrekkingen van links naar rechts
STAP 2 : Indien er geen haakjes zijn of nadat de haakjes zijn weggewerkt.
a) machtsverheffingen en vierkantsworteltrekkingen
b) vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts
c) optellingen en aftrekkingen van links naar rechts
Voorbeelden
15 + 25 ( 2)2 + √100
= 15 + 25 4 + 10
= 15 + 100 + 10
= 125 (103 2 25) :25 + 25:5 =(1000 2 25) :25 + 25:5
=(1000 50) :25 + 25:5 = 950:25 + 25:5 = 38 + 5 = 43
( 3)2 + √ 9 + 52 :2
=( 3)2 + √ 9 + 25:2
=( 3)2 + √16:2
= 9 + 4:2
= 9 + 2 = 11
5 + 32 ( 1)
5 + 9 ( 1)
Verwerkingsopdracht
Werk uit.
a) 3 · 4 - 22 e) √144 ⋅ 20 3
b) 7 3 ⋅ 32 + 42 f) 32 √49 72 :21
c) 360: ( 51 + 52 5) g) 32 + 5 ⋅ √16 + 9
d) √120 + 24: ( 2)2 ( 5)2 h) √49 √36 12 + 2 3
Signaaloefeningen
Het instapmodel van een smartphone heeft een opslag van 256 GB.
a) 256 = 28
Hierbij is 2 het en 8 de
b) Je kan 256 ook schrijven als een macht van 4: 256 =
256 is ook een volkomen kwadraat: 256 =
c) Voor een nieuw model wordt gedacht aan een opslag van 512 GB.
Schrijf 512 als een macht met grondtal 2. 512 =
Noteer de volgende producten als een macht.
a) 5 5 5 5 5 5 5 = d) b b b =
b) a a = e) 10 10 10 10 =
c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = f) x x x x x =
3
Reken uit.
a)34 = c)72 = e)43 = b)25 = d)13 = f)104 =
4
5
a) ( 3)3 = c) 24 = e) ( 5)0 = b) ( 2)5 = d) ( 13)1 = f) ( 100)1 = 1 2
Een server verwerkt 28 GB aan data per seconde, een andere server verwerkt 36 GB aan data per seconde. Welke server is het snelste?
Reken uit.
7
a) Reken uit.
√81 = √144 = √100 = √36 = √1 = √1000000 = √121 = √0 =
b) Vul aan.
• De lengte van een zijde van een vierkant met oppervlakte 144 cm² is .
• De lengte van een zijde van een vierkant met oppervlakte 10 000 cm² is . Werk uit met de volgorde van bewerkingen.
Verder oefenen : D23 t.e.m. D30
a) 102 : 52 - 52 c) √40 4: (22 + 2 20 )
b) -5 + 23 ( 15 - 2 5) d) 1 (4 √25)2 + 16:23
Verder oefenen : D31 t.e.m. D36
Differentiatietraject
Gegeven : 20 33 24 43 28 32 21 03 26 13 27
a) Noteer de machten met grondtal 2.
b) Noteer de machten met exponent 3.
a) Vervolledig de zin : 83 noemen we een … waarbij 8 het … is en 3 de … .
b) Noteer de macht waarbij 10 het grondtal en 7 de exponent is.
c) Noteer de macht waarbij 3 het grondtal en 2 de exponent is.
d) Noteer de macht waarbij 5 het grondtal en 4 de exponent is.
e) Noteer de macht waarbij 7 het grondtal en 3 de exponent is.
a) Druk bij elke figuur het aantal stippen uit met behulp van een macht.
b) Noteer met behulp van een lettervorm het aantal stippen voor de n-de figuur.
Gegeven : a, b ∈ z 0
a) Noteer de macht waarbij b het grondtal en a de exponent is.
b) Noteer de macht waarbij a het grondtal en b de exponent is.
c) Noteer de macht waarbij 3a het grondtal en b de exponent is.
d) Noteer de macht waarbij b + 2 het grondtal en a de exponent is. Vul aan met de juiste exponent zodat de gelijkheid klopt.
4 4 5 6
Noteer de volgende producten als een macht.
a) 9 9 9
b) 6 6 6 6
5 5 1 2 3
c) 4 4 4 4 4 4
Noteer de volgende producten als een macht.
a) a a a a b b
c) m t t m m t m t e) a a a a 2 2 2
b) 3 3 3 x x x x d) 4 a a a a 4 4 f) f) x x x y y y y
a) Schrijf 4 4 4 als een macht met grondtal 2.
b) Schrijf 5 · 5 · 5 · 5 als een macht met grondtal 5.
c) Schrijf 3 + 3 + 3 als een macht met grondtal 3.
d) Schrijf 81 als een macht met grondtal 3.
Noteer elke macht als een product en werk daarna uit.
a) 23 c) 104 e) 24
b) 53 d) 106 f) 28
Reken de volgende machten uit.
a) 122 e) 112 i) 03
b) 34 f) 33 j) 17
c) 43 g) 142 k) 92 d) 19 h) 53 l) 132
Welke machten hebben als oplossing 16 ? Duid aan.
‘Wanneer je het product van vier opeenvolgende natuurlijke getallen vermeerdert met één, krijg je een volkomen kwadraat.’ Illustreer deze uitspraak met twee getallenvoorbeelden.
Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
a) 2 = 32 c) 3 = 9 e) 5 = 625
b) 17 = 17 d) 10 = 1 000 000 f) 13 = 1
‘Elk geheel getal kun je schrijven als de som van vijf derdemachten van gehele getallen.’
Illustreer deze uitspraak met twee getallenvoorbeelden.
Ontbind de volgende getallen in priemfactoren. Schrijf je priemfactorisatie zo eenvoudig mogelijk door gebruik te maken van machten.
a) 112
676
Noteer de juiste exponent zodat de gelijkheid klopt.
a) ( -1) ( -1) ( -1) = ( -1) d) ( -10) ( -10) ( -10) ( -10) = ( -10)
b) ( -2) ( -2) = ( -2) e) -8 8 = -8
c) -6 6 6 6 = -6
( -7) ( -7) = ( -7)
Noteer de volgende producten als een macht.
a) ( -5) ( -5) d) ( -8) ( -8) ( -8) ( -8) ( -8
) b) ( -10) ( -10) ( -10)
c) -11 11 11 11 11
Noteer elke macht als een product en werk daarna uit.
Reken uit.
Welke machten hebben als oplossing 64 ? Duid aan.
Vul aan.
a) Als b = -2 dan b2 = … en -b2 = …
c) Als k = -5 dan -k2 = … en -( -k) 3 = …
b) Als m = 3 dan -m2 = … en -m3 = … d) Als q = -4 dan q0 = … en -q1 = …
a) Voor welke waarden van p is p2 positief ? c) Voor welke waarden van p is -p3 positief ?
b) Voor welke waarden van p is p3 positief ? d) Voor welke waarden van p is -p0 = -1 ?
Werk uit.
a) √10000 b) √16
Werk uit.
Vul aan zodat de gelijkheid klopt.
Werk uit.
Bepaal de waarde( n) van a
Welke van de volgende uitdrukkingen hebben een positief resultaat ? Duid aan.
Noteer telkens het geheel getal dat juist kleiner is en het geheel getal dat juist groter is.
Werk uit. Maak gebruik van de volgorde van bewerkingen en noteer de tussenstappen.
a) 5 + 52 ⋅ 2
b) √100:5
In volgende twee situaties merk je waarom de volgorde van bewerkingen belangrijk is. Vertaal beide situaties naar een wiskunde-opgave en los op.
a) In de supermarkt koop je één brood (prijs 3,00 euro) en twee potjes confituur (prijs per potje 1,90 euro). Hoeveel zal je aan de kassa moeten betalen ?
b) Bij Prêt-a-Manger koop je één broodje hummus (5 euro), twee tomatensoepjes (elk 4,50 euro) en drie gebakjes (elk 2,40 euro). Hoeveel zal je betalen ?
Werk uit. Maak gebruik van de volgorde van bewerkingen. Noteer de tussenstappen.
a) 200:102 √4
b) 52 + 2 5 ( 1)3
c) 72 + 3 (5 23 )
d) 42 :24 + 1
e) ( 3)0 + 50 √64
f) 10 √81:3
g) 62 : (24 + 2)
h) √32 + 42 7
Werk uit. Maak gebruik van de volgorde van bewerkingen.
a) 52 √25 + 6 22 31
b) √64 + 23 (10 6)0 2
c) √121 + 42 (14 8) :3
d) 33 √36 : 61 + 10
e) 82 + 62 ( 2)4 : ( 4)2
f) 103 ⋅ 102 : √400 ⋅ 52
g) ( 2)4 32 + 23 + 4 ⋅ 22
h) 33 3 √64: 10 + 21 + 32
a) Noteer de juiste getallen in de cirkels.
b) Noteer de oefening als één opgave en controleer deze opgave.
( )2 -5 -3 · 10
Ons talstelsel steunt op het gebruik van machten samen met de tien cijfers ( 0 tot en met 9) .
Voorbeeld
735 = 5 100 + 3 101 + 7 102 (De positie van het cijfer wijst naar de exponent van 10.)
Er bestaan nog heel wat andere positiestelsels, bv. het hexadecimaal talstelsel. Dit systeem wordt onder andere gebruikt om de RGB-waarde van kleuren weer te geven. Hier worden 16 cijfers gebruikt. De cijfers 0 tot en met 9 worden uitgebreid met de cijfers A, B, C, D, E en F. Hoe ga je daarmee aan de slag ?
Voorbeeld
het hexadecimaal getal 3 B C
C (eerste positie) is het 12e symbool en komt overeen met 12 160 = 12
B (tweede positie) is het 11e symbool en komt overeen met 11 161 = 176
3 (derde positie) is het 3e symbool en komt overeen met 3 162 = 768
3BC in hexadecimale notatie heeft een waarde van 12 + 176 + 768 = 956.
Ga nu zelf aan de slag en plaats de getallen van de hexadecimale notatie naar de decimale notatie.
a) 13 d) FCB
b) E8 e) AB00
c) 7A f) D00F
225 400 10 000 1 000 000
100 121 144 169 196
25 36 49 64
0 1 4
9
81
16
1 000 100 20 15
9 8 7 6 5 14 13 12 11 10
4 3 2 1 0
Studiewijzer
Differentiatietraject
ken het begrip macht.
Ik kan een product, indien mogelijk, als een macht schrijven.
Ik kan een macht, waarbij het grondtal een natuurlijk getal is, uitrekenen.
Ik kan een macht, waarbij het grondtal een geheel getal is, uitrekenen.
Ik kan de volgorde van bewerkingen toepassen.
Doelstellingen
Ik ken het begrip macht.
Leer goed het verschil tussen grondtal, exponent en macht. Geef zelf voorbeelden. verwerking : 1, 2 signaal : 1 differentiatie : 1 t.e.m. 4
Ik kan een product, indien mogelijk, schrijven als een macht.
Wat is het grondtal ? Hoeveel keer komt het voor ? Dat wordt de exponent. verwerking : 2, 3 signaal : 2 differentiatie : 5 t.e.m. 8
Ik kan een macht, waarbij het grondtal een natuurlijk getal is, uitrekenen.
Controleer je antwoord met ICT.
verwerking : 4, 5 signaal : 3, 4 differentiatie : 9 t.e.m. 15
Ik kan een macht, waarbij het grondtal een geheel getal is, uitrekenen.
Let goed op het minteken bij een negatief getal. Staat dit minteken tussen haakjes of niet ? Controleer je antwoord met ICT.
verwerking : 6, 7 signaal : 5 differentiatie : 16 t.e.m. 22
Ik kan vierkantswortels uitrekenen.
Denk aan de link met het kwadraat. Je kunt geen vierkantswortels trekken van een negatief getal. Controleer je antwoord met ICT.
verwerking : 8 signaal : 6 differentiatie : 23 t.e.m. 30
Ik kan de volgorde van bewerkingen correct toepassen.
Herhaal de regels. Haakjes hebben altijd voorrang.
verwerking : 9 signaal : 7 differentiatie : 31 t.e.m. 36
4
4
4
7
8
9
Auteurs Björn Carreyn, Filip Geeurickx en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste editie - Bestelnummer 94 606 0012 (module 7 van 17)
ISBN 978 90 4865 054 5 - KB D/2025/0147/5 - NUR 126
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge