1.1 Snijdende rechten
A)Snijdende rechten ( m ⫽ n )
definitie Snijdende rechten zijn rechten die in hetzelfde vlak liggen en precies één punt gemeenschappelijk hebben.
Het punt S noemen we het snijpunt van de rechten m en n
symboollees je als
m ⫽ nm snijdt n
B)Loodrechte stand ( m ⊥ n )
Wanneer je naar het kunstwerk van Piet Mondriaan kijkt, dan zie je verschillende snijdende rechten die ook loodrecht op elkaar staan. We spreken hier van de loodrechte stand
definitie Twee snijdende rechten staan loodrecht op elkaar als ze een hoek vormen van 90°.
symboollees je als
m ⊥ n m staat loodrecht op n
Voorbeeld
Voor nevenstaande figuur zeggen we:
• m is de loodlijn uit U op n.
• Z is het snijpunt van de loodlijn m op n.
We noemen het punt Z het voetpunt van de loodlijn m op n
Merk op
• Als twee rechten loodrecht op elkaar staan, dan duiden we dit op de tekening aan door bij het punt waar de rechten elkaar loodrecht snijden het symbool ∟ te plaatsen.
• Een axioma is een uitspraak die we aannemen, geloven, zonder bewijs. Eén van de axioma’s uit de Euclidische meetkunde is dat een rechte hoek altijd dezelfde grootte (90°) heeft, ongeacht hoe die gevormd wordt.
Verwerkingsopdracht
Vul de tabel aan. Geef telkens twee voorbeelden.
kruisende rechtenstrikt evenwijdige rechtensnijdende rechten
a)Teken een rechte b zodat b ⫽ a. b)Teken een rechte d zodat die c niet loodrecht snijdt. c)Teken een rechte f die de rechte e kruist.
e c a e c a e c a
3 Evenwijdigen en loodlijnen tekenen
3.1 Evenwijdige rechten tekenen
axiomaDoor een punt P buiten een rechte a, gaat precies één rechte die evenwijdig loopt met de rechte a
Hoe teken je een rechte door een punt evenwijdig met een gegeven rechte ?
methodeSTAP 1:Leg de tekenzijde van de geodriehoek gelijk met de gegeven rechte a
STAP 2: Verschuif de geodriehoek evenwijdig met de gegeven rechte a Maak gebruik van de evenwijdige hulplijnen op je geodriehoek. De tekenzijde van je geodriehoek moet door punt B gaan.
STAP 3: Teken met behulp van de tekenzijde een rechte b door het punt B.
3.2Loodlijnen tekenen
Hoe teken je een rechte door een punt loodrecht op een gegeven rechte ?
methodeSTAP 1: Leg de nullijn van de geodriehoek op de gegeven rechte a
STAP 2: Verschuif de geodriehoek over de rechte a tot de tekenzijde door het punt B gaat.
STAP 3: Teken de rechte b. Plaats het symbool ∟ in een hoek gevormd door de snijdende rechten a en b.
Verwerkingsopdrachten
e)Teken uit A een evenwijdige aan CP. 4 2 5 2
Gegeven: een bovenaanzicht van een hockeyveld, een zwembad en een honkbalveld
a)Teken op elk bovenaanzicht in het groen een paar evenwijdige rechten en in het blauw een paar loodrechte rechten. Benoem de rechten en het voetpunt.
b)Noteer onder de tekening de ligging in symbolen met behulp van ⫽ of ⊥.
a)Teken een rechte b zodat P ∈ b en a ⫽ b.b)Teken een rechte d zodat K ∈ d en d ⊥ c.
Gegeven: een orthonormaal assenstelsel
a)Plaats de punten A( -3, 2) , B( 5, 4) en C( 2, -1) in het assenstelsel.
b)Teken de rechte AB.
c)Teken de loodlijn uit C op AB, noem het voetpunt P.
d)Geef de coördinaat van het voetpunt P.
4 Eigenschappen in verband met onderlinge ligging van rechten
Wanneer je de onderlinge ligging van drie rechten in eenzelfde vlak onderzoekt, kom je tot de volgende eigenschappen.
eigenschapin woorden
Als twee rechten evenwijdig zijn met een derde rechte, dan zijn ze onderling evenwijdig.
in symbolen
m ⫽ o en n ⫽ o ⇒ m ⫽ n
eigenschapin woorden
Als twee rechten loodrecht op een derde rechte staan, dan zijn ze onderling evenwijdig.
in symbolen
m ⊥ o en n ⊥ o ⇒ m ⫽ n m o n
eigenschapin woorden
Als een rechte loodrecht op één van twee evenwijdige rechten staat, dan staat die rechte ook loodrecht op de andere rechte.
in symbolen
o ⊥ m en m ⫽ n ⇒ o ⊥ n o
Verwerkingsopdracht 5
Maak bij iedere opgave een tekening. Vul nadien in met ⫽ of ⊥.
a) p ⊥ o en o ⊥ s ⇒ p s
b) p ⫽ o en o ⫽ s ⇒ p s
c) p ⫽ o en s ⊥ p ⇒ s o
5 Afstand van een punt tot een rechte
Jens (J) bevindt zich in het zwembad en wil langs de kortste weg naar de overkant zwemmen.
Om de kortste weg te weten, moeten we een loodlijn l tekenen op de rechte s door het punt J. De afstand tussen het punt J en het punt N is de afstand van het punt J tot de rechte s.
Jens zal uiteindelijk de overkant bereiken in het punt N.
Voorbeeld
|JN| is de afstand van J tot s. N is het voetpunt van de loodlijn uit J op s
definitie De afstand van een punt tot een rechte is de afstand tussen dit punt en het voetpunt van de loodlijn uit dit punt op de rechte.
Verwerkingsopdracht 6
Thor wil zijn huis aansluiten op de gasleiding.
• Welke van de plaatsen A, B, C, D, E, F is het voordeligst?
• Waarom is deze plaats het voordeligst?
• Verduidelijk op de tekening.
Op welke afstand zal de aansluiting komen?
(1 cm op de tekening is 1,5 m in werkelijkheid.)
6 Afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten
Niels (N) wil met zijn step de kortste weg nemen om de drukke straat over te steken.
Om de kortste weg te bepalen, moeten we een loodlijn l tekenen op de rechte b door het punt N.
De loodlijn l snijdt de rechte b in het punt M.
Niels zal uiteindelijk de overkant van de straat bereiken in punt M.
Voorbeeld
De afstand tussen de twee evenwijdige rechten a en b is de lengte van het lijnstuk [NM].
Dit noteert men als |NM|.
De loodlijn snijdt de strikt evenwijdige rechten in de punten N en M.
definitie De afstand tussen twee strikt evenwijdige rechten is de afstand tussen de snijpunten van deze rechten met een gemeenschappelijke loodlijn.
Verwerkingsopdracht 7
Meet de afstand tussen x en v op 1 mm nauwkeurig. v x
De afstand tussen x en v bedraagt cm.
8 Bissectrice van een hoek
Voorbeeld
P s
In module 2 leerde je al de bissectrice van een hoek tekenen.
definitie De bissectrice van een hoek is de rechte door het hoekpunt die deze hoek in twee even grote delen verdeelt.
eigenschapElk punt van de bissectrice van een hoek ligt even ver van de dragers van de benen van die hoek.
Voorbeeld
s is de bissectrice van P .
D is een willekeurig punt op de bissectrice s
We tekenen vanuit D de loodlijn op beide benen van de hoek.
De snijpunten noemen we G en H.
|DG| = |DH|
Verwerkingsopdracht
Teken de bissectrices van onderstaande hoeken.
9
Teken alle punten die op 2 cm van de rechte j liggen.
>>> Verder oefenen: D31 t.e.m. D35
Teken de middelloodlijn n van [AB].
Tekendebissectricesvan K1 , K2 , K3 en K4 K 1 3 24
>>> Verder oefenen: D36 t.e.m. D41
a)Watsteljevastinverbandmetdebissectricesvan K1 en K3 endebissectricesvan K4 en K2 ?
b)Hoe liggen de bissectrices ten opzichte van elkaar?
>>> Verder oefenen: D42 t.e.m. D47
Differentiatietraject
Vink het best passende antwoord voor de stand van de afgebeelde rechten a en b aan.
snijdend snijdend snijdend snijdend evenwijdig evenwijdig loodrecht loodrecht
Teken de gevraagde rechten. Kruis alle juiste antwoorden aan.
a)AB en CD zijn snijdend. zijn strikt evenwijdig. staan loodrecht op elkaar. zijn samenvallend.
b)AD en AB zijn snijdend. zijn strikt evenwijdig. staan loodrecht op elkaar. zijn samenvallend.
c)AB en BD zijn snijdend.
zijn strikt evenwijdig. staan loodrecht op elkaar. zijn samenvallend.
d)CE en DC zijn snijdend. zijn strikt evenwijdig. staan loodrecht op elkaar. zijn samenvallend.
a)Teken de rechten CD en PO. Noteer hun onderlinge stand.
b)Teken de rechten CO en DP. Noteer hun onderlinge stand.
Vul de naam van een rechte in zodat de uitspraak waar is.
Soms zijn meerdere antwoorden mogelijk.
a)PT en … zijn strikt evenwijdige rechten.
b)PR en … zijn snijdende rechten.
c)QT en … zijn samenvallende rechten.
d)RS en … staan loodrecht op elkaar.
Verbind elke figuur met de juiste uitspraak.
• Kruisende rechten zijn rechten die niet in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
• Twee snijdende rechten staan loodrecht op elkaar als ze een hoek van 90° vormen.
• Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die in eenzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
• Snijdende rechten zijn rechten die in hetzelfde vlak liggen en precies één punt gemeenschappelijk hebben.
• Samenvallende rechten zijn rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben.
Noteer of de uitspraak waar is of niet.
a) Snijdende rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
b) Samenvallende rechten zijn evenwijdige rechten die alle punten gemeenschappelijk hebben.
c) Kruisende rechten zijn rechten die niet in eenzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
d) Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die in eenzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Gegeven: a ⫽c
Vul het best passende symbool in: = , ⫽, ⊥ of ⫽
a)CD … AB
b)DE … BF
c) FG … c
d) d … FG
e) FG … CF
Evenwijdigen en loodlijnen tekenen
a)Teken door het punt P een rechte b evenwijdig met a a P
STAP 1: Leg de tekenzijde van de geodriehoek gelijk met de gegeven rechte a
STAP 2: Verschuif de geodriehoek evenwijdig met de gegeven rechte a. Maak gebruik van de hulplijnen op je geodriehoek. De tekenzijde van je geodriehoek moet door punt P gaan.
STAP 3: Teken met behulp van de tekenzijde een rechte b door het punt P.
b) Teken door het punt S een rechte d loodrecht op c. Noem het voetpunt V. Plaats het symbool ∟. c S
STAP 1: Leg de nullijn van de geodriehoek op de gegeven rechte c.
STAP 2: Verschuif de geodriehoek over de rechte c tot de tekenzijde door het punt S gaat.
STAP 3: Teken de rechte d. Plaats het symbool ∟ in een hoek gevormd door de snijdende rechten en noem het voetpunt V.
a) Een punt Q ligt op 2 cm van een rechte a
Teken door het punt Q een rechte b evenwijdig met de rechte a.
b) Een punt P ligt op 1,5 cm van een rechte b.
Teken de loodlijn uit P op de rechte b
TIP
TIP
Gegeven: de punten X, Y, en Z en de rechten u en w Gevraagd:
a) Teken door X de rechte a evenwijdig met u
b) Teken door Y de rechte b evenwijdig met w
c) Teken door Z de rechte c evenwijdig met u.
d) Teken door Z de rechte d evenwijdig met w
Gegeven: de punten Z, U en S en de rechten k en i Gevraagd:
a)Teken door Z de loodlijn a op k
b)Teken door U de loodlijn b op i
c)Teken door S de loodlijn c op k
d)Teken door Z de loodlijn d op i
a)Teken de rechte a door A en loodrecht op BC.
b)Teken de rechte b door C en evenwijdig met AB.
c)Wat is de onderlinge stand van de rechten a en b ?
Bepaal de afstand van het punt tot de rechte.
TIP
• Teken de loodlijn b uit P op de rechte a
•Noem het voetpunt Q.
Meet de afstand tussen P en Q: |PQ| = … (tot op 1 mm nauwkeurig)
Teken de loodlijn en meet op 1 mm nauwkeurig.
• Teken de loodlijn d uit S op de rechte c.
•Noem het voetpunt T.
• Meet de afstand tussen S en T: |ST| = (tot op 1 mm nauwkeurig)
Teken de loodlijn uit A op BC.
Noem het voetpunt S.
Teken de loodlijn uit D op EF.
Noem het voetpunt T. |AS| = … |DT| = …
Teken de loodlijn uit A op BC.
Noem het voetpunt R. Meet op 1 mm nauwkeurig.
|AR| =
S en T liggen op de middelloodlijn van [KM].
Teken het lijnstuk [KM].
a)Teken de middelloodlijn m van [AC].
b)Teken de middelloodlijn p van [BC].
c)Het snijpunt van m en p noemen we Z.
d)Wat weet je over de afstanden |AZ|, |BZ| en |CZ|?
e) Wat weet je over de middelloodlijn van [AB] zonder die te tekenen?
a)Teken een lijnstuk [PO].
b)Teken de middelloodlijn m van [PO].
c)Duid op m een punt Y aan.
d)Teken een punt Z op m zodat de rechte PO de middelloodlijn van [YZ] is.
Bissectrice
Gegeven: een ruit ABCD
Gevraagd:
a)Tekendebissectricevanhoek Aenhoek C.
b)Hoeliggendetweebissectricestenopzichtevanelkaar?
Teken een willekeurige ruit.
Teken de bissectrices van de drie hoeken van ∆BOL.
Wat stel je vast?
Tekeneenstompehoek R.Verdeeldehoek Rinvierevengrotehoeken.
Bepaal een punt V dat even ver ligt van de rechten d en e
Ik kan de afstand bepalen van een punt tot een rechte.
Leg uit met woorden hoe je de afstand bepaalt van een punt tot een rechte.
verwerking : 8 signaal : 6 differentiatie: 25 t.e.m. 30
Ik kan de afstand bepalen tussen twee strikt evenwijdige rechten.
Leg uit met woorden hoe je de afstand bepaalt tussen twee strikt evenwijdige rechten.
verwerking : 9 signaal : 7 differentiatie: 31 t.e.m. 35
Ik kan een middelloodlijn van een lijnstuk tekenen.
Schrijf de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk op en maak een tekening.
Leg de begrippen uit door middel van een tekening.
verwerking: 10 signaal : 8 differentiatie: 36 t.e.m. 41
Ik kan de bissectrice van een hoek tekenen.
Schrijf de definitie van een bissectrice van een hoek op en maak een tekening.
Leg de begrippen uit door middel van een tekening.
verwerking : 11 signaal : 9 differentiatie: 42 t.e.m. 47
10
11
Auteurs Björn Carreyn, Filip Geeurickx en Roger Van Nieuwenhuyze
Eerste editie - Bestelnummer 94 606 0012 (module 06 van 17)
ISBN 978 90 4865 054 5 - KB D/2025/0147/100 - NUR 126 - Thema YPMF
Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure
Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge
RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge
12
14