Nando 3 D-4u - Module 3 Vectoren - inkijk methode

Nando 3

D-FINALITEIT 4 UUR – MEETKUNDE

03  Vectoren

wat je al kunt

–een verschuiving volgens een vector herkennen en bepalen

–het begrip 'drager van een lijnstuk' –lijnstukken op 1 mm nauwkeurig meten en tekenen

–een evenwijdige rechte tekenen aan een gegeven rechte door een gegeven punt

–het midden van een lijnstuk construeren –de zwaartelijnen in een driehoek herkennen, definiëren en tekenen

wat je leert in deze module

–de kenmerken van een vector

–in het vlak de som en het verschil van vectoren tekenen –de scalaire vermenigvuldiging van een vector met een scalair

–vectoren gebruiken om vraagstukken met krachten, verplaatsing en snelheden op te lossen –rekenen met coördinaten van vectoren in het vlak voorzien van een assenstelsel

–een vector ontbinden in zijn componenten

Inhoud Instap

1 Vectoren

2 Rekenen met vectoren in het vlak

3 Vectoren en coördinaten

Signaaloefeningen

Differentiatietraject Studiewijzer

in de kijker

De wiskunde functioneel gebruiken in toepassingen uit de de fysica / mechanica.

wiskundetaal

–een vector –nulvector –de richting –de zin –de norm van een vector –het aangrijpingspunt –vertegenwoordiger van een vector –som en verschil van vectoren –resultante –parallellogramregel –tegengestelde vectoren –scalair veelvoud van een vector –coördinaat van een vector –eenheidsvector

Instap

Opdracht 1

Teken t #–AB (ΔXYZ)

t #–AB # –AB (verschuif volgens de vector t #–AB # –AB ).

Hoe lees je deze verschuiving?

Opdracht 2

In een game moeten diamanten worden verzameld. Jasper zegt: “De diamant is 3 hokjes van het mannetje verwijderd.”

a) Waarom bevat deze uitspraak onvoldoende informatie?

b) Je stelt vast dat een getal en een eenheid niet voldoende zijn om het mannetje juist aan te sturen. Welke informatie heb je nog nodig om het mannetje wel tot bij de diamant te doen bewegen?

c) Soms hebben we nood aan grootheden die naast de grootte (en bijhorende eenheid) ook bepaald worden door de richting, de zin en het aangrijpingspunt. We noemen dit vectoriële grootheden. Duid in een kleur aan welke volgens jou vectoriële grootheden zijn. Met andere woorden: bij welke grootheden spelen zin, richting en aangrijpingspunt een rol?

Snelheid (in m/s)

Massa (in kg)

Versnelling (m/s2)

Temperatuur (in °C)

Kracht (in N)

Volume (in m3)

Lengte (in m)

Positie (t.o.v. start)

TIP

Opdracht 3

Op een zwaar voorwerp worden twee krachten uitgeoefend. Bekijk aandachtig de voorbeelden en zoek het verband tussen de uitgeoefende krachten en de nettokracht.

Voorbeelden

TIP

De grootheid van kracht wordt uitgedrukt in F (naar het Engelse 'force'). De eenheid van kracht wordt uitgedrukt in N (Newton).

Teken telkens één kracht die hetzelfde effect heeft als de twee getekende krachten, we noemen dat de nettokracht.

In de fysica stelt men een vector doorgaans zo voor:

Opdracht 4

Hoe kan een bestuurder van een wagen …

• de grootte van de snelheid veranderen?

• de richting van de beweging veranderen?

rechtlijnige baan

kromlijnige baan

1 Vectoren

1.1 Het begrip vector

Op deze tekening zie je het punt A en de driehoek BCD verschoven volgens een vector.

# –XY is een vector, dit is een lijnstuk met een beginpunt X en een eindpunt Y of anders een lijnstuk waarop een oriëntatie of pijlpunt staat.

notatie # –XYof #–v

Dit lees je als 'de vector # –XY #–v ' of 'de vector # –XY #–v '.

Met behulp van meetkundesoftware kun je het beeld tekenen van meetkundige objecten door een verschuiving volgens een vector.

Merk op

Een vector kan ook aangeduid worden met een kleine letter met een pijl: # –KL = #–k #–K L

1.2 Kenmerken van een vector

Na het uitvoeren van de verschuiving hebben we 5 vectoren :

# –AA′ , # –BB′ , # –CC′ , # –DD′ , # –XY

• Dedragersvandevectorenhebbendezelfde richting :XY//AA′ //BB′ //...

• Devectorenhebbendezelfde grootte :

• Devectorenhebbendezelfde zin :

We kunnen besluiten dat een vector wordt bepaald door drie kenmerken :

• grootte ;

• richting ;

• zin.

Merk op

• In wetenschappen is het aangrijpingspunt een vierde kenmerk bij het bepalen van een vector.

• Een vector met hetzelfde beginpunt als eindpunt noemen we de nulvector .

We noteren dit als #–0

De lengte van het lijnstuk [XY] noemen we de grootte of de norm van vector #–u .

We noteren dit als || #–u || #–X

Y

We lezen dit als: de norm van vector #–u

|| #–u || = 3cm

Als we de vectoren #–t , #–w ,en #–v meten dan is …

|| #–w || = 3,2cm

|| #–v || = 3,2cm

|| #–t || = 1,8cm

De vectoren #–w en #–v zijn even lang of || #–w || = || #–v ||.

Een eenheidsvector is een vector met norm 1.

1.3 Gelijke en tegengestelde vectoren

#–#–

#–

Bij een verschuiving gebruiken we gelijke vectoren . Ze hebben eenzelfde grootte, richting en zin.

Merk op

Hoewel je meerdere vectoren ziet, spreken we slechts van één vector. De getekende vectoren noemt men dan verschillende vertegenwoordigers van dezelfde vector.

Vectoren die eenzelfde grootte en richting hebben, maar een verschillende zin, noemen we tegengestelde vectoren

De vectoren # –ABen # –CD zijn tegengesteld.

notatie # –AB = # –CD

definitie Tegengestelde vectoren zijn vectoren die eenzelfde grootte en richting hebben, maar een verschillende zin.

Merk op

# –AB ≠ # –BADitzijngeengelijkevectoren. Zehebbeneenanderezin.

# –AB = # –BADitzijnwelgelijkevectoren.

1.4 Toepassingen van vectoren

In de fysica worden de meeste grootheden voorgesteld door een getal (scalair) gevolgd door een eenheid.

Voorbeelden van scalaire grootheden lengte: l = 1,84 m volume: V = 1 cm3 oppervlakte: A = 37,72 km² massa: m = 200 g temperatuur: T = 100 °C druk: p = 3 bar

Voor sommige grootheden, zoals snelheid en kracht, is niet enkel de grootte maar ook de richting, de zin en het aangrijpingspunt van belang. Kortom, hier zullen vectoren worden gebruikt.

Voorbeelden van vectoriële grootheden snelheid: v = 5 m/s kracht: F = 10 N (newton)

In het dagelijkse leven, maar ook in wetenschappen, programmeren of artificiële intelligentie spelen vectoren een rol.

Voorbeeld 1

#–#–

#–#–

Een man duwt een grasmaaier vooruit. Op de grasmaaier werken verschillende krachten:

# –Fw1

# –Fw2

# –Fw1

Een auto rijdt op een kronkelweg. De richting van de snelheid van de wagen verandert als de auto een bocht neemt. Ook de grootte van de snelheid van de auto verandert. De auto rijdt vrij langzaam in de bocht, maar na de bocht volgt er een versnelling.

Voorbeeld 2 #–

• de kracht #–F waarmee de man op de stang van de grasmaaier duwt

# –Fw1

• de wrijvingskrachten # –Fw1

#–FN

en

# –Fw2

tussen de wielen van de grasmaaier en het gras

• de zwaartekracht

#–FZ

• de opwaartse kracht

# –Fw2

# –Fw2

#–FN

#–FN

(kracht die de bodem op de grasmaaier uitoefent)

#–FN

#–FZ

#–FZ

Die krachten verschillen niet enkel in grootte, maar heel wat krachten hebben ook een andere richting of zin.

#–FZ

a) Meet en noteer de norm van #–u in symbolen.

#–

b) Schrap wat niet past.

#–

De richting / zin van deze vector is verticaal.

De richting / zin van deze vector is naar beneden.

a) Noteer de vectoren met dezelfde richting en de vectoren met dezelfde grootte.

#–

#–

#–

vectoren met dezelfde richting:

vectoren met dezelfde grootte:

b) Noteer de gelijke vectoren en de tegengestelde vectoren. #– #– #– #–

#–#–

gelijke vectoren:

tegengestelde vectoren:

Bestudeer de volgende afbeelding. Markeer daarna de juiste opties in de tekst.

• De kracht die het rechtse team uitoefent op de tegenstander wordt hier weergegeven met de vector #–F1 / #–F2

• De vectoren #–F1 / #–F2 en #–F1 / #–F2 hebben dezelfde richting / zin maar een tegenstelde richting / zin

• Het linkse team oefent een kracht uit die groter / even groot / kleiner is dan het rechtse team.

• Daarom wint het rechtse team / geen enkel team / het linkse team.

methode

2 Rekenen met vectoren in het vlak

Meestal werken er meerdere krachten in op een voorwerp. Op zo’n moment is het handig om al die krachten te kunnen uitdrukken met één kracht. Daarvoor zullen we bewerkingen uitvoeren met vectoren.

2.1 Som van vectoren tekenen in het vlak

Om de som van 2 vectoren #–a en #–b te vinden, kun je twee methodes gebruiken :

de kop-staart-regel of driehoekregel de parallellogramregel

Je verbindt de kop van de eerste vector met de staart van de tweede vector.

Hoe teken je de som van twee vectoren?

STAP 1 : Verschuif het beginpunt van de ene vector naar het eindpunt van de andere vector.

STAP 2 : Verbind het beginpunt van de eerste vector met het eindpunt van de tweede vector.

Hoe teken je de som van twee vectoren?

STAP 1 : Verschuif beide vectoren zodat ze hetzelfde beginpunt hebben.

STAP 2 : Teken vervolgens een parallellogram met als zijden de twee vectoren.

STAP 3 : Teken de diagonaal die vertrekt uit het beginpunt van de twee vectoren, dit is de somvector.

De somvector wijst van het vrije beginpunt naar het vrije eindpunt zoals in de figuur.

Merk op

De somvector wijst van het gemeenschappelijke beginpunt naar het tegenoverliggende hoekpunt zoals in de figuur.

Een belangrijke toepassing van de vectoren vinden we bij krachten. De som van alle krachtvectoren die op een voorwerp inwerken, noemen we de resulterende kracht

methode

Als de vectoren #–a en #–b dezelfde richting hebben, herleidt de constructie van het parallellogram of de driehoek zich tot een rechte lijn. We onderscheiden twee gevallen :

• De vectoren #–a en #–b hebben dezelfde zin :

#–#–

#–#–#–

De somvector #–s heeft dezelfde richting en zin als de vectoren #–a en #–b .

Om de grootte van de somvector te bepalen, moet je de grootte van de vectoren #–a en #–b optellen.

• De vectoren #–a en #–b hebben een tegengestelde zin : #–#–#–

#–#–

De somvector #–s heeft dezelfde richting als de vectoren #–a en #–b en de zin van de grootste vector.

Om de grootte van de somvector te bepalen, moet je de grootte van de vectoren #–a en #–b van elkaar aftrekken (de grootste min de kleinste).

2.2 Verschil van vectoren tekenen in het vlak

Het verschil van een vector #–u met een vector #–v definiëren we als de som van de eerste vector #–u met het tegengestelde van de tweede vector #–v :

#–u #–v = #–u + #–v

Hoe teken je het verschil van twee vectoren?

STAP 1 : Je keert de zin van de ene vector #–v #–v #–u om, zodat je zijn tegengestelde #–v #–v #–u verkrijgt.

STAP 2 : Tel de tweede vector #–v #–v #–u op met de tegengestelde vector #–v #–v #–u

2.3 Formule van Chasles-Möbius

Het eindpunt van # –AB # –BC # –AC is het beginpunt van # –AB # –BC # –AC . Als we bij deze twee vectoren de kop-staart-regel toepassen dan is # –AB # –BC # –AC de somvector. Of # –AB + # –BC = # –AC middelste letters zijn dezelfde

formule FORMULE CHASLES-MÖBIUS

2.4 Scalaire vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal tekenen in het vlak

• De vector #–v 3 #–v 0,5 #–v 4 3 #–v

#–v #–v is twee keer korter dan #–v 3 #–v 0,5 #–v

3 #–v 2 #–v #–v en heeft dezelfde richting en zin als #–v 3 #–v 0,5 #–v 4 3 #–v 2 #–v #–v

• De vector #–v 3 #–v 0,5 #–v 4 3 #–v 2 #–v #–v is vier derde keer langer dan #–v 3 #–v 0,5 #–v 4 3 #–v 2 #–v #–v en heeft dezelfde richting en zin als #–v 3 #–v 0,5 #–v 4 3 #–v 2 #–

Merk op

• De term ‘scalair’ is een synoniem van het begrip ‘reëel getal’.

• De gebruikelijke rekenregels blijven geldig.

• Bij het noteren van een scalair veelvoud staat het getal niet onder het pijltje.

2.5 Ontbinding van een vector in zijn componenten

In een cartesiaans assenstelsel plaatsen we op elke as een vector met lengte 1. We noemen dit ook eenheidsvectoren .

Elke vector #–v in het vlak kun je op een eenduidige manier ontbinden in vectorcomponenten volgens de eenheidsvectoren #–ex en #–ey .

In het voorbeeld zie je dat #–v = 3 #–ex + 5 #–ey .

Teken de somvector # –AB + # –CD die het punt A als beginpunt heeft … a) met de kop-staart-regel.

b) met de parallellogramregel.

Teken telkens een vertegenwoordiger van de gevraagde vector.

a) # –PQ # –RS

b) # –PQ + # –RS

a) Mijn hond beweegt zich volgens de vector #–f .

Ik trek aan de leiband volgens de vector #–g . Geef de somvector weer van de uiteindelijke beweging van de hond (= de resulterende vector).

b) Een auto rijdt eerst achteruit volgens de vector # –PQ . Nadien verplaatst hij zich volgens de vector # –RS Geef de somvector (= de resulterende vector) weer van deze beweging.

Gegeven: de ruit EVAN

Gevraagd: Vul telkens aan met één vector.

Los op zonder gebruik te maken van een figuur. #

Teken het punt X zodat a)

Ontbind de vector #–v in zijn componenten.

Teken de vector #–v die ontbonden werd in eenheidsvectoren.

a) #–v = 3 #–ex + 4 #–ey

b) #–v = 6 #–ex + 3 #–ey

3 Vectoren en coördinaten

3.1 Coördinaat van een puntvector

De vector # –OP heeft als beginpunt de oorsprong O, en als eindpunt het punt P met coördinaat ( 3, 4) .

Een vector waarvan het beginpunt de oorsprong is, noemen we een puntvector . Kortweg noteer je deze vector als #–P .

Om de coördinaat van #–P te bepalen, volstaat het om de coördinaat van P te bepalen.

Dus de coördinaat van #–P is ( 3, 4).

3.2 Coördinaat van een willekeurige vector

De vector # –AB heeft als beginpunt A( 1, 2) en als eindpunt B( 5, 4) . Vector #–Q is een puntvector met coördinaat ( 4, 2) .

Aangezien # –AB en #–Q gelijke vectoren zijn, hebben ze ook dezelfde coördinaat.

Dus: co # –AB = co #–Q = (4,2).

op

Algemeen:

De coördinaat van een willekeurige vector # –AB met als beginpunt

3.3 Bewerkingen met coördinaten van vectoren

A) Som van twee vectoren

Van twee puntvectoren #–u ( -5, 2) en #–v ( 3, 1) wordt de somvector #–w bepaald. We doen dit aan de hand van de parallellogramregel.

De coördinaat van #–w is ( -2, 3)

We stellen vast:

#–u ( 5,2) #–v (3,1) + #–w ( 2,3)

Algemeen:

Als #–u (x1 , y1 ) en #–v (x2 , y2 ) dan heeft de vector #–u + #–v als coördinaat (x1 + x2 , y1 + y2 )

B) Verschil van twee vectoren

Van twee puntvectoren #–u ( 2, 5) en #–v ( 6, 1) wordt het verschil #–w bepaald. We doen dit aan de hand van de kop-staart-regel.

De coördinaat van #–w is ( -4, 4) .

We stellen vast:

#–u (2,5)

#–v (6,1)

#–w ( 4,4)

Algemeen:

Als #–u (x1 , y1 ) en #–v (x2 , y2 ) dan heeft de vector #–u #–v als coördinaat (x1 x2 , y1 y2 )

C) Scalair veelvoud van een vector

De puntvector #–u ( -4, 2) en zijn veelvoud 3 2 #–u staan getekend in het assenstelsel.

De coördinaat van 3 2 #–u is ( -6, 3) .

We stellen vast:

3 2 #–u = 3 2 ( 4,2) = 3 2 ( 4) , 3 2 2 = ( 6,3)

Algemeen:

Als #–u (x1 , y1 ) en k is een reëel getal dan heeft de vector k #–u als coördinaat (kx1 , ky1 )

Bepaal de coördinaat van de vier vectoren in de onderstaande figuur.

co #–w =

Bepaal de coördinaat van de vector # –AB als …

a)A(2,3) enB(5,9)

co # –AB =

b)A( 3,5) enB(7,11)

co # –AB =

c)A( 16,4) enB(30, 12)

co # –AB =

d)A(0, 10) enB( 4, 9)

co # –AB =

15

Bereken de coördinaat van de vector #–w = #–u + #–v als …

a) #–u (4,2) en #–v (3,1). co #–w =

b) #–u ( 5,2) en #–v (8, 2). co #–w =

c) #–u ( 6,3) en #–v ( 3, 4) co #–w =

d) #–u 4 3 , 2 en #–v 19 3 ,4 .co #–w =

16

Bereken de coördinaat van de vector #–w = #–u #–v als …

a) #–u ( 2,4) en #–v (6,1). co #–w =

b) #–u (4,0) en #–v (1, 3) co #–w =

c) #–u 7 4 , 2 5 en #–v 3, 8 5 co #–w =

a) Bereken de coördinaat van de vector 1 4 #–v als #–v = ( 7,12).

co 1 4 #–v =

b) Bereken de coördinaat van de vector √2 #–u als #–u = 3, √2 .

co √2 #–u =

Gegeven: parallellogram PQRS

De diagonalen snijden elkaar in het punt M.

V ∈ [QR]

MV ⫽ PQ

Gevraagd: Vul telkens één vector in. Je mag geen minteken of een getal voor de vector schrijven.

a) # –PM + # –MQ =

b) 2 ⋅ # –PM =

c) 2 # –SM + # –QR =

d) # –MP + # –MR =

e) # –RQ =

f) 2 ⋅ # –VM =

g) 2 # –MQ + # –PS =

h) # –PR # –PQ =

i) # –QS # –MS =

j)

# –RM # –QM =

f) 2 # –VM =

g) 2 ⋅ # –MQ + # –PS =

h) # –PR # –PQ =

i) # –QS # –MS =

j) # –RM # –QM =

3

4

Teken telkens een vertegenwoordiger van de vector #–s = # –AB + # –CD. a)

5

Teken telkens een vertegenwoordiger van de vector

b)

a)

a) Gegeven: co #–A =( 4,9) enco #–B =(3,5)

Gevraagd: Bepaal de coördinaat van …

#–s = #–a + #–b co #–s =

#–v = #–b #–a co #–v =

#–p = 3 #–a co #–p =

b) Gegeven: 2 punten A(1, 9) en B(4, -3)

Gevraagd:

co # –AB =

co 1 2 # –AB =

>>> Verder oefenen : D62 t.e.m. D69

Differentiatietraject

Noteer de naam van de vectoren en rangschik de norm van de vectoren van klein naar groot.

Stel hieronder de volgende vectoren voor: # –AD, # –BA, # –AC, # –BB, # –DB.

Welke speciale benaming geeft men aan de vector # –BB?

Teken telkens de vertegenwoordiger van de vector # –AB die het punt C als beginpunt heeft. a) b) c)

Teken telkens nog twee andere vertegenwoordigers van de vector #–v . a) b) c)

#–#–

#–

Hieronder zijn enkele vectoren getekend. Teken de tegengestelde vector van elke getekende vector.

Vul aan.

De tegengestelde vector van # –ABis # –AB = # –BA .

De tegengestelde vector van # –CD is… = …

De tegengestelde vector van #–EF is… = … .

Teken telkens de vertegenwoordiger van de vector # –AB die het punt D als eindpunt heeft. a) b)

# –

# –

Hieronder werd de vector #–v getekend. Teken een vector #–u die voldoet aan:

• dezelfde richting als #–v ;

• tegengestelde zin als #–v ;

• || #–u || = 3|| #–v || #–

Teken twee vertegenwoordigers van de vector # –PQ.

Q

Teken de vector #–v die

• het punt O als beginpunt heeft;

• naar linksonder wijst;

• een hoek van 30° met de horizontale maakt;

• || #–v || = 5 waarbij als lengte-eenheid 1 cm werd gebruikt.

Gegeven: A, B, C en D zijn de hoekpunten van een parallellogram en BD ⫽ CE. Gevraagd: Welke van de volgende uitspraken zijn waar?

Teken telkens een vertegenwoordiger van de vector # –XY met … - beginpunt A; - eindpunt Z.

12

Noem een vector die gelijk is aan zijn tegengestelde vector. Zijn er meerdere oplossingen?

13

Wat kun je met zekerheid zeggen als je weet dat # –AB = # –CDenA = C?

Er zijn meerdere antwoorden mogelijk.

a) AB = CD

b) AB ⫽ CD

c) devierhoekABCDiseenparallellogram

d) devierhoekABCDiseenrechthoek

e) # –AC = # –BD

f) || # –AB|| = || # –CD||

g) || # –AB|| = || # –DC||

h) || # –AD|| = || # –CB||

Vectoren in de wiskunde mag je evenwijdig met zichzelf verschuiven en hebben geen aangrijpingspunt. Dat zijn ‘vrije’ vectoren. De vectoren in de fysica hebben dezelfde eigenschappen als de vectoren in de wiskunde, maar ze hebben wel een aangrijpingspunt (= het voorwerp waar die vector bij hoort). Daarom noemt men dat ‘gebonden’ vectoren.

vrije vectoren gebonden vector

Snelheid en kracht zijn vectoriële grootheden omdat zij een grootte, een richting, een zin en een aangrijpingspunt hebben. Teken op onderstaande foto’s de snelheidsvector van het voorwerp in het aangrijpingspunt (rode punt).

Hebben de snelheidsvectoren dezelfde grootte, richting, zin en aangrijpingspunt?

Tijdens een aflevering van een televisieprogramma gaan de deelnemers in twee teams op zoek naar een vrijstelling. Met deze vrijstelling kunnen zij zeker zijn van hun plaats in de volgende aflevering. Onderweg krijgen ze bij elke geslaagde opdracht een tip over de locatie van de vrijstelling.

Om de juiste locatie te vinden, moeten de teams de juiste afstand afleggen, maar ook in de juiste richting en zin lopen.

Team ‘Marlies’ krijgt de volgende tip :

JE VINDT DE PLAATS ALS JE 6 MINUTEN RECHTDOOR LOOPT AAN 25 KM/H.

Wat kunnen ze met deze tip te weten komen?

Team ‘Philip’ slaagt in de volgende opdracht en ontvangt de volgende tip :

VOLG DE NZ-MERIDIAAN.

Wat kunnen ze met deze tip te weten komen?

Kan team ‘Philip’ vertrekken?

Team ‘Philip’ lost ook als eerste de volgende opdracht correct op en vindt : GA

Kunnen beide teams vertrekken en de juiste locatie terugvinden?

17

Gegeven: parallellogram ABCD (de hoekpunten worden in wijzerzin benoemd)

P is het midden van [ AC]

Door P trekt men een rechte l die evenwijdig is met AD l en AB snijden elkaar in het punt Q l en CD snijden elkaar in punt R

Te bewijzen: # –QP = # –PR

TIP

Maak een tekening en toon eerst aan dat # –QPen # –PR dezelfde richting en zin hebben. Toon vervolgens aan dat |QP| = |PR|. Zoek hiervoor naar twee congruente driehoeken met als overeenkomstige zijden [QP] en [PR]. Toon tenslotte de congruentie van deze twee driehoeken aan.

Teken in elk van de volgende gevallen een vertegenwoordiger van de vector #–w = # –AB + # –CD.

Teken de somvector van de vectoren

22

Een lijnvliegtuig heeft 4 straalmotoren (‘jet engines’). Elke motor produceert een voorwaartse kracht van 100 kN (kN staat voor kilonewton, 1 kN = 1000 N). Bepaal de grootte van de resulterende kracht.

23

Een appel valt van de boom. Beschouw de beweging van de appel. Beschrijf ...

• de richting van de snelheid van de appel.

• de zin van de snelheid van de appel.

• de grootte van de snelheid van de appel.

24

Wat is de nettokracht op een doos die naar links geduwd wordt met een kracht van 40 N en naar rechts geduwd wordt met een kracht van 10 N? Geef de grootte, richting en zin van de nettokracht.

Teken telkens de vector # –XY = # –AB + # –CD. a) b)

Hieronder zijn de vectoren #–v en #–w getekend. Teken de somvector #–u = #–v + #–w . a) b)

Teken

Teken telkens een vertegenwoordiger van de gevraagde vector. a) b) c)

Hieronder werd de vector #–w getekend. Teken de gevraagde vectoren.

Twee kinderen duwen samen een slee vooruit. Het ene kind duwt met een horizontale kracht van 80 N. Het andere kind duwt met een horizontale kracht van 140 N. De wrijvingskracht tussen de slee en de sneeuw bedraagt 60 N. Bepaal de grootte van de nettokracht op de slee.

32

Een glazenwasser zit in het midden van een stelling. Op de stelling werken er verschillende krachten:

• de trekkracht in het linkertouw (verticale kracht naar boven)

• de trekkracht in het rechtertouw (verticale kracht naar boven)

• het gewicht van de glazenwasser (verticale kracht naar beneden, 900 N)

• het eigen gewicht van de stelling (verticale kracht naar beneden, 100 N)

De glazenwasser zit in het midden van de stelling zodat de trekkrachten in beide touwen even groot zijn. Bereken de grootte van deze trekkrachten.

33

De tekening in de vorige oefening toont een glazenwasser die op een stelling zit. De glazenwasser en de stelling zijn in rust. De glazenwasser weegt 600 N. Elk touw heeft een trekkracht van 400 N. Wat is het gewicht van de stelling?

Teken in elk van de volgende gevallen de vertegenwoordiger van de vector # –AB + # –CD die het punt A als beginpunt heeft. Bekijk het opgeloste voorbeeld.

Voorbeeld

Teken de vector #–c zodat #–c =

a +

b . Gebruik de parallellogramregel. a) b)

Teken twee vectoren #–v en #–u , verschillend van de nulvector, waarvan de som #–w = #–v + #–u een horizontale richting heeft.

Teken het punt X zodat

a) # –BX = 2 ⋅ # –AX

b) # –BX = 3 ⋅ # –AC

a) # –BX = 2 # –AX

b) # –BX = 3 # –AC

42

Vul het gepaste getal in zodat de uitspraak waar is:

# –PQ = 5 # –RS ⟹ [PQ]is maalzolangals[RS]

43

Welk verband kan er bestaan tussen # –PQen # –RS als je weet dat [PQ] driemaal zolang is als [RS]?

44

Zijn de volgende uitspraken waar of niet waar?

45

46 47

a) # –CD = ( 3) # –AB ⟹ AB ⫽ CD

b)

# –CD = ( 3) ⋅ # –AB ⟹ AB ⫽ CD

AB ⫽ CD ⟹ # –CD = ( 3) # –AB

AB ⫽ CD ⟹ # –CD = ( 3) # –AB

c) || #–a || + || #–b || = || #–a + #–b ||

Vul het juiste rationaal getal in.

A B D C I E M L

G F K J

H

# –AB = … # –GH

# –AD = … #–BJ

# –FK = … # –EA

# –DC = … #–KJ

#–

LF = … #–HI

# –LM = … #–DI

#–EF = … # –LM

# –KG = … # –MF

Een boot vaart 5 km naar het noorden om vervolgens 3 km naar het westen te varen. De vector #–v geeft de eindpositie van de boot aan ten opzichte van zijn vertrekpunt.

a) Bepaal de norm van #–v .

b) Wat is de betekenis van de norm van #–v ?

c) Ontbind #–v in zijn componenten.

Gegeven: De vectorcomponenten van een vector halveren.

a) Wat gebeurt er met de richting van de vector?

b) Wat gebeurt er met de norm van de vector?

49

Waar of niet waar?

||

a || = 2 #–b

#–a = 2 #–b

Een stelling weegt 250 N. Op de stelling staan twee glazenwassers.

De ene weegt 600 N en de andere weegt 800 N.

De trekkracht in het linkertouw bedraagt 1000 N. Hoe groot is de trekkracht in het rechtertouw?

50

51

Jochen bevindt zich op een trein die met een constante snelheid van 108 km/h oostwaarts rijdt. Hij wandelt in de wagon tegen de rijrichting van de trein in. De relatieve snelheid van Jochen t.o.v. de trein is 1,1 m/s. Bereken de totale snelheid van Jochen t.o.v. de grond. Deze snelheid noemen we de absolute snelheid van Jochen.

Een touw is over een katrol gespannen. De grootte van de trekkracht #–FR #–Ft in het touw is 4000 N. Teken met behulp van de parallellogramregel de resultante #–FR #–Ft van deze twee trekkrachten. Meet met behulp van je geodriehoek de grootte van #–FR #–Ft en de hoek die deze vector maakt met de horizontale.

Merel hangt aan een touw. Ze is in rust. Er werken twee krachten op Merel in, namelijk:

• de zwaartekracht #–Fz #–Ft die naar beneden wijst (grootte: 600 N)

• de trekkracht #–Fz #–Ft in het touw.

Teken beide krachten op de figuur. Bepaal de grootte, richting en zin van de trekkracht in het touw.

Ontbind elke vector in zijn componenten en bepaal hun norm.

59

60

Matthis hangt aan twee identieke touwen. De touwen hangen niet verticaal, maar maken een hoek van 30° met de horizontale. Matthis is in rust. Matthis ondervindt de zwaartekracht #–Fz #–Ft (grootte: 720 N). De grootte van de trekkracht in beide touwen is gelijk. Teken alle krachten die op Matthis inwerken en meet met je lat de grootte van de trekkracht van elk touw.

61

Een motorboot reist de afstand van 210 km tussen twee havens af in 5 uur als hij stroomafwaarts vaart en in 6 uur als hij stroomopwaarts vaart. De relatieve snelheid van de boot t.o.v. het stromende water blijft constant. Bereken de relatieve snelheid van de boot en de stroomsnelheid van het water.

Een zwaar voorwerp hangt aan twee touwen, zoals op de figuur voorgesteld. Het voorwerp heeft een massa van 400 kg, zodat de zwaartekracht op het voorwerp bij benadering gelijk is aan 4000 N. Duid de trekkrachten in beide touwen op een figuur aan en meet met je lat hun grootte. De trekkrachten in beide touwen zijn niet noodzakelijk gelijk.

30°

45°

64

Bepaal de coördinaat van de getekende vectoren.

Bepaal de coördinaat van de getekende vectoren.

Gegeven: co #–a =( 3,5),co #–b =(7,1) enco #–c =( 2, 4)

Gevraagd:

a)co #–a + #–b

b)co #–a #–b

c)co 2 #–b

d)co #–a

e)co 2 #–b #–a

f)co #–b + #–c

g)co 1 2 #–c #–b

h)co #–a + 2 3 #–b

65

a) Teken een vector #–P die op de x-as ligt en lengte 3 heeft. De vector wijst naar rechts.

b) Bepaal de coördinaat van #–P

c) Teken een vector #–Q met norm || #–Q || = 7 4 die ligt volgens de y-as. De zin van #–Q is de negatieve zin van de y-as.

d) Wat is de coördinaat van #–Q ?

e) Teken de vectoren #–R 3 2 ,0 en #–S 0, 1 2

f) Schrap wat niet past: als een vector evenwijdig is met de x-as, dan is het eerste/tweede coördinaatgetal van deze vector gelijk aan 0.

g) Schrap wat niet past: de vector #–T (0, 2) is evenwijdig met de x-as/y-as.

h) Wat is de coördinaat van de nulvector #–0 ?

66

Waar of niet waar?

Alle vectoren met als eerste coördinaatgetal 0 hebben een verticale richting.

67

Gegeven: A(4,5);B( 2,1) enC( 3, 5)

Gevraagd:

a)co # –AB

b)co 2 # –AB

c)co #–A + #–B

d)co 3 #–C

e)co 2 #–A 4 #–B

TIP

Een vector waarvan het beginpunt de oorsprong is, noemen we een puntvector.

De vector #–v heeft als coördinaat (6, -10). Een vertegenwoordiger van #–v vertrekt vanuit het punt (-1, 3).

Wat is de coördinaat van het uiteinde van #–v ?

Bepaal de coördinaat van de getekende vectoren.

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik kan het begrip vector definiëren en realistisch benaderen.

Ik kan de som en het verschil van vectoren en de scalaire vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal definiëren en construeren. Ik kan een vector ontbinden in zijn componenten en de norm van een vector bepalen.

Ik kan bewerkingen met vectoren uitvoeren met behulp van coördinaatgetallen.

Doelstellingen pagina in module pagina in vademecum

Ik kan het begrip vector definiëren en realistisch benaderen.

Noteer de definities en notaties en herhaal aan de hand van een tekening. verwerking : 1, 2, 3 signaal : 1 differentiatie : 1 t.e.m. 17

Ik kan de som en het verschil van vectoren en de scalaire vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal definiëren en construeren. Ik kan een vector ontbinden in zijn componenten en de norm van een vector bepalen.

Maak bebruik van de kop-staart- of driehoekregel of de parallellogramregel om de som van twee vectoren te tekenen. Het verschil van een vector is hetzelfde als de som met de tegengestelde vector.

Voor de scalaire vermenigvuldiging met een negatief getal kan je de tegengestelde vector gebruiken. Vectoren in de fysica hebben dezelfde eigeschappen als de vectoren in de wiskunde, maar ze hebben wel een aangrijpingspunt. Snelheid en kracht zijn vectoriële grootheden. Maak gebruik van de kenmerken van vectoren en je kennis over de bewerkingen met vectoren om vraagstukken op te lossen.

verwerking : 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 signaal : 2, 3, 4, 5, 6 differentiatie : 18 t.e.m. 61

4

8

Ik kan bewerkingen met vectoren uitvoeren met behulp van coördinaatgetallen. 14 Gebruik de formule om coördinaten te bepalen.

verwerking : 12, 13, 14, 15, 16 signaal : 7, 8 differentiatie : 62 t.e.m. 69

Auteurs Björn Carreyn, Silke Steelandt en Claudia Van De Weghe

Met medewerking van Steven Van Geluwe

Eerste druk 2024/0221 – Bestelnummer 94 606 0105 (Module 03 van 17)

ISBN 978 90 4864 970 9 – KB D/2024/0147/203 – NUR 126/128/129 – Thema YPMF

Illustrator Jona Jamart - Design en Lay-out die Keure

Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge