InterActie 6.2

6

I nte rActie Auteurs Leo Van Echelpoel Hans Bekaert Bieke De Wilde Dirk Geeroms Gilles Mertens Stefan Meulemans Jan Vaernewijck (†) Rita Van Peteghem m.m.v.

Mieke De Cock

methode fysica leerboek

die Keure

ET2014

2

Opmaak en lay-out die Keure Druk die Keure Tekeningen die Keure + Dirk Vandamme Cartoons Jan Heylen Foto’s Hugo Maertens Leo Van Echelpoel

www.interactie.diekeure.be www.diekeure.be ISBN: 978 90 4862 009 8 K.B.: D/2015/0147/108 Bestelnr.: 90 707 3550 NUR: 126 Š Copyright by Die Keure, Brugge Verantwoordelijke uitgever: Die Keure nv, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge - RPR 0405 108 325 Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

No part of this book may be reproduced in any form by print, microfilm or any other means without written permission from the publisher.

Verhuur van dit boek is niet toegelaten zonder uitdrukkelijke toestemming van de uitgever.

De uitgever heeft naar best vermogen getracht de publicatierechten volgens de wettelijke bepalingen te regelen.

Zij die niettemin menen nog aanspraken te kunnen doen gelden, kunnen dat aan de uitgever kenbaar maken.

Voorwoord

InterActie 62 ET2014 is een methode fysica bestemd voor het zesde jaar van het ASO (component wetenschappen) en gebaseerd op de eindtermen en leerplannen fysica van het VVKSO (uitgave 2014).

Deze methode omvat: •

•

•

dit leerboek met gegevenskaart een lerarenpakket met uitgewerkte oplossingen van de oefeningen, didactische tips, experimenten en het digitale bordboek de website www.interactie.diekeure.be voor online ondersteuning

De vele concrete voorbeelden uit de hedendaagse leefwereld, een duidelijke structuur met afgelijnde definities en eigenschappen en vele foto’s en figuren met een functioneel kleurgebruik zorgen mee voor een gemotiveerd en efficiënt leerproces. Daarbij worden volgende pictogrammen gebruikt:

namica

RAAG KSV E O RZ DE ON

• je kunt een video-opname maken van de beweging: worden er bv. 24 beeldjes per seconde opgenomen, dan kun je om de 1/24 s (= 0,042 s) de positie van het systeem bepalen.

Op deze manier kun je bv. de beweging van het hoofd van een dummy tijdens een crashtest onderzoeken.

Onderzoeksvraag waarbij je onder begeleiding van je leerkracht een antwoord op zoekt.

Zo leer je onderzoeken! Tegelijk zul je door te onderzoeken ook heel wat leren!

© CSM Motion II

☞

Het handje wijst op een definitie, een wet, een eigenschap …

• je kunt gebruik maken van een ‘tikker’: die zet bv. om de 0,02 s een stip op een strook die met het bewegend systeem verbonden is. De eerste stip komt overeen met 0 s, de tweede met 0,02 s, de derde met 0,04 s … Uit de positie van de stip op de strook kun je de positie van het systeem op dat moment bepalen.

Verwijst naar een uitgewerkte oefening. Naast deze voorbeeldoefeningen vind je bijna 400 oefeningen en OEFENING opgaven, telkens ingedeeld in twee reeksen: REEKS 1 zijn eenvoudige oefeningen in volgorde van de leerstof; REEKS 2 bevat wat moeilijkere opgaven die bovendien in willekeurige volgorde staan.

• je kunt ook gebruik maken van een afstandssensor: daar wordt bv. om de 0,10 s een ultrasone puls uitgezonden. Die wordt weerkaatst op het systeem. Uit de tijd tussen vertrek en aankomst van de gereflecteerde puls wordt de positie van het systeem op dat ogenblik bepaald.

Met een pc of je grafisch rekenmachine kun je de resultaten verwerken.

De groene tekst in de marge geeft extra informatie, bijkomende vragen, “valkuilen” waar je moet op Met ‘de’ versnelling bedoelen we letten, leertips … de versnelling op een ogenblik, dus de ogenblikkelijke versnelling.

FLASH Een FLASH is een stukje leestekst, dat de geziene leerstof in een ruimer kader plaatst of een verrassende toepassing op de geziene leerstof behandelt.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:

Bij de oefeningenreeksen vind je een overzicht van wat je moet kennen en kunnen na dat deel.

■ de geziene begrippen zoals rust, beweging, referentiestelsel, baan, puntmassa ... omschrijven ■ uitleggen wat men verstaat onder een beweging registreren ■ verschillende methodes beschrijven om een beweging te registreren

In de appendix vind je puntjes die gespreid over het ganse boek aan bod komen, zoals bv. vectoren, grafieken … Sommige daarvan zag je reeds in het 3e, 4e of 5e jaar.

.indd 10

16/07/15 07:14

Het register laat je toe een onderwerp, begrip, wet … snel terug te vinden.

Dit boek werd samengesteld met veel tijd, energie en zorg. Toch is het mogelijk dat je vragen, opmerkingen of suggesties hebt. Via de website kun je in dat geval contact opnemen met de uitgeverij.

Inhoud Hoofdstuk 1

Hoofdstuk 5

BEWEGING

DE TWEEDE WET VAN NEWTON

1.1 Inleiding

6

1.2 Begrippen

8

Hoofdstuk 6

1.3 Een beweging beschrijven

9

KRACHT EN BEWEGING

Hoofdstuk 2

46

6.1 Kracht als de beweging gekend is

53

6.2 Beweging als de kracht gekend is

62

DE RECHTLIJNIGE BEWEGING 2.1 Positie en verplaatsing

12

Hoofdstuk 7

2.2 Gemiddelde snelheid

13

DE DERDE WET VAN NEWTON

2.3 Ogenblikkelijke snelheid

16

2.4 Gemiddelde versnelling

21

Hoofdstuk 8

2.5 Ogenblikkelijke versnelling

23

VOORBEELDOEFENINGEN

2.6 De eenparig veranderlijke beweging

24

73

76

Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 3

DE GRAVITATIEKRACHT

DE EERSTE WET VAN NEWTON

9.1 Van geocentrisch naar heliocentrisch

3.1 De eerste wet van Newton

29

3.2 De eenparige rechtlijnige beweging (ERB) t.o.v. de x-as

31

wereldbeeld 82 9.2 De gravitatiekracht

84

9.3 Gravitatie- en zwaartekracht

86

Hoofdstuk 10

Hoofdstuk 4

WRIJVINGS- EN WEERSTANDSKRACHT

DE KROMLIJNIGE BEWEGING 4.1 Positie- en verplaatsingsvector

34

10.1 Inleiding

95

4.2 De snelheidsvector

36

10.2 Dynamische wrijving

97

4.3 De versnellingsvector

38

10.3 Statische wrijving

98

4.4 Het frenetstelsel

40 Hoofdstuk 11 OEFENINGEN

100

Deel 1

Kinematica en dynamica

1

Beweging 1.1 Inleiding

Bovenstaande woordenwolk bevat begrippen die je vorige jaren in de lessen fysica zag.

Om die begrippen op te frissen, gebruiken we ze bij het beschrijven van een strafschop.

Terecht of onterecht ‌ een strafschop zorgt voor heel wat emoties als de bal op de stip gelegd wordt, de juiste positie van de bal bij het nemen van een strafschop. De bal is nog even in rust want de zwaartekracht en de normaalkracht compenseren elkaar zodat de resulterende kracht nul is. Op het moment van de trap wordt gedurende een fractie van een seconde een contactkracht op de bal uitgeoefend en waardoor de bewegingstoestand van de bal verandert: hij komt van rust in beweging en krijgt snelheid. De richting, de zin en de grootte van de snelheid bepalen waar de bal zal terechtkomen: snelheid is dan ook een vector!

Gelukkig is de bal geen puntmassa want noch de schutter, noch de keeper zouden er vat op krijgen.

De baan van de bal is niet rechtlijnig, dus zeker niet

eenparig rechtlijnig (ERB), maar kromlijnig: de richting van de snelheidsvector buigt af naar beneden door de zwaartekracht. Die kracht is geen contactkracht, maar een veldkracht.

We laten de weerstandskracht van de lucht buiten beschouwing, hoewel het die kracht is die voor een effectbal kan zorgen! Als de richting van de snelheidsvector verandert, is er ook een snelheidsverandering. In een voldoende klein tijdsinterval is die vector verticaal en naar beneden gericht, juist zoals de zwaartekracht. De resulterende kracht op een systeem en de snelheidsverandering die het systeem daardoor krijgt, zijn dus aan elkaar gekoppeld! Gelukkig hoeft de voetballer dat alles niet te weten!

Een strafschop legt een grote druk op de speler die de penalty gaat nemen. Vanaf 11 meter de bal op doel schieten met een gemiddelde snelheid van meer dan 100 km/h betekent dat de keeper slechts ongeveer 0,3 Ă 0,4 s heeft om te reageren!

De kans om een strafschop te stoppen is dus miniem! Toch wordt ongeveer 1 op 4 strafschoppen gemist, wat ervoor zorgt dat elke strafschop spannend blijft!

7

Deze afbeelding illustreert ook dat zien een actief proces is: zien wordt beïnvloed door wat je denkt!

Tot in de Middeleeuwen dacht men zoals Aristoteles dat een voorwerp maar in beweging kan blijven als er een kracht op wordt uitgeoefend. De baan van de kanonskogel op deze zestiendeeeuwse figuur illustreert dit denken: de stuwkracht doet de kogel volgens een rechte baan voortbewegen tot de stuwkracht “opgebruikt” is. Dan valt de kogel recht naar beneden.

De publicatie van Newtons Principia in 1686 betekende het einde van het aristotelische denken. In dat werk publiceerde Newton drie wetten die de basis vormen van de dynamica.

“Nature and Nature's laws lay hid in night; God said: 'Let Newton be!' and all was light.”

(Alexander Pope)

Isaac Newton (1643-1727)

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Het artikel gaat over kracht en beweging. Het bestuderen en beschrijven van beweging is het domein van de kinematica. Het verband tussen kracht en beweging wordt bestudeerd in de dynamica.

8]

Kinematica en dynamica

1.2 Begrippen 7

Rust en beweging zijn relatief: je bent in rust ten opzichte van de aarde terwijl je deze tekst leest, maar je beweegt met de aarde met een snelheid van 30 km/s rond de zon!

We moeten een ‘referentiestelsel’ afspreken ten opzichte waarvan je beweging beschouwt. We bekijken bewegingen ten opzichte van de aarde.

7

Als een voorwerp beweegt, verplaatst het zich door de ruimte. De ‘baan’ is de verzameling punten die het voorwerp daarbij doorloopt. Die baan kan bijzonder ingewikkeld zijn zoals de kromlijnige baan van een stuntvliegtuig of zeer eenvoudig zoals de rechte baan van een auto op een snelweg.

7

In realiteit is het dikwijls moeilijk te spreken van dé baan van hét voorwerp. Bekijk bijvoorbeeld een hoogspringer tijdens een sprong: de verschillende delen van het lichaam (hand, heup, voet …) volgen een verschillende en ingewikkelde baan! Daarom stellen we een voorwerp voor door een punt: we ‘herleiden het voorwerp tot een puntmassa’. Bij zo’n puntmassa kun je wel spreken van dé baan van het voorwerp.

9

1.3

Of voor een aantal posities het tijdstip waarop het systeem daar passeert.

De beweging van een systeem te beschrijven betekent enerzijds de baan vastleggen, anderzijds de beweging op die baan registreren.

Voor een kromlijnige beweging zoals van een stuntvliegtuig gebruiken we daarvoor een driedimensionaal assenstelsel en moet je voor ‘elk’ moment de positie van het systeem (de x-, yen z-coördinaat) vastleggen.

In de praktijk is dat onmogelijk voor ‘elk’ moment en registreert men de positie voor een aantal tijdstippen.

z

y

x

☞

t (s)

x (m)

y (m)

z (m)

0,00

312

826

-102

0,10

314

824

-108

0,20

317

823

-116

0,30

320

822

-128

0,40

324

822

-139

0,50

328

823

-152

0,60

333

824

-158

0,70

338

826

-164

0,80

344

829

-168

…

…

…

…

De beweging van een systeem registreren betekent voor elk tijdstip t de positie (x, y, z) van het systeem bepalen.

Registreren van een beweging kan op verschillende manieren: • met chronometer en lat: je bepaalt voor een aantal posities het tijdstip t dat het systeem daar passeert (of je bepaalt voor een aantal tijdstippen de positie op dat ogenblik). Hoe meer meetpunten, hoe nauwkeuriger de beweging beschreven is.

0

20

40

60

x (m)

0,00

4,15

7,58

11,19

t (s)

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Een beweging beschrijven

Kinematica en dynamica

• je kunt een video-opname maken van de beweging: worden er bv. 24 beeldjes per seconde opgenomen, dan kun je om de 1/24 s (= 0,042 s) de positie van het systeem bepalen.

Op deze manier kun je bv. de beweging van het hoofd van een dummy tijdens een crashtest onderzoeken. © CSM Motion II

10 ]

• je kunt gebruik maken van een ‘tikker’: die zet bv. om de 0,02 s een stip op een strook die met het bewegend systeem verbonden is. De eerste stip komt overeen met 0 s, de tweede met 0,02 s, de derde met 0,04 s … Uit de positie van de stip op de strook kun je de positie van het systeem op dat moment bepalen.

• je kunt ook gebruik maken van een afstandssensor: daar wordt bv. om de 0,10 s een ultrasone puls uitgezonden. Die wordt weerkaatst op het systeem. Uit de tijd tussen vertrek en aankomst van de gereflecteerde puls wordt de positie van het systeem op dat ogenblik bepaald.

Met een pc of je grafisch rekenmachine kun je de resultaten verwerken.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ de geziene begrippen zoals rust, beweging, referentiestelsel, baan, puntmassa ... omschrijven ■ uitleggen wat men verstaat onder een beweging registreren ■ verschillende methodes beschrijven om een beweging te registreren

2

De rechtlijnige beweging

Tijdens een 100 m-sprint voert de atleet een rechtlijnige beweging uit.

Het beschrijven van zo’n beweging is eenvoudig:

- laat de x-as samenvallen met de (rechte) baan - kies een oorsprong (meestal het punt waar het voorwerp vertrekt) - kies de zin van de x-as (meestal de zin waarin het voorwerp beweegt) - start de chronometer (meestal het moment waarop het voorwerp vertrekt of de oorsprong passeert) - noteer voor een aantal tijdstippen de positie (x-coĂśrdinaat) van het systeem of voor een aantal posities het tijdstip waarop het systeem daar passeert.

0

20

40

60

x (m )

12 ]

Kinematica en dynamica

2.1 Positie en verplaatsing De tabel en de grafiek tonen het resultaat van de registratie van een rechtlijnige beweging. t (s)

x (m)

0,00

0,00

0,20

4,11

0,40

6,98

0,60

8,78

0,80

9,73

1,00

10,00

1,20

9,79

1,40

9,30

1,60

8,70

1,80

8,21

2,00

8,00

2,20

8,27

2,40

9,22

2,60

11,02

2,80

13,89

3,00

18,00

20

x (m)

15

10

5

0

t (s) 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Soms kun je een beweging ook beschrijven met een x(t)-functie. Die functie noemt men de bewegingsvergelijking. Bovenstaande beweging wordt beschreven door de functie

x = 4,00 m/s3 t3 - 18,0 m/s2 ∙ t2 + 24,0 m/s ∙ t

Dat klopt met de tabelwaarde.

De positie op een ogenblik t is de x-coördinaat van het systeem op dat moment.

Op het ogenblik t = 1,40 s is de positie

x (1,40 s) = 4,00 m/s3 (1,40 s)3 - 18,0 m/s2 ∙ (1,40 s)2 + 24,0 m/s ∙ 1,40 s = 9,30 m De verplaatsing in een tijdsinterval ∆t is de verandering van de positie in dat tijdsinterval: ∆x = x2 - x1

Let op: ∆x is de Eindpositie min de Beginpositie!

In het tijdsinterval [0,20 s ; 0,40 s] is de verplaatsing gelijk aan

∆x = 6,98 m - 4,11 m = + 2,87 m

In het tijdsinterval [1,00 s ; 1,20 s] is de verplaatsing gelijk aan ∆x = 9,79 m - 10,00 m = - 0,21 m

De eindpositie is groter dan de beginpositie: de verplaatsing gebeurt in de positieve zin van de x-as. De x(t)-grafiek is stijgend.

De eindpositie is kleiner dan de beginpositie: de verplaatsing gebeurt in de negatieve zin van de x-as. De x(t)-grafiek is dalend.

Opmerking: De ‘afgelegde weg’ (symbool ∆s) waarmee we meestal werken in het dagelijkse leven, is verschillend van de verplaatsing!

In het tijdsinterval [0 s ; 2,00 s] gaat het systeem van de positie 0,00 m naar de positie 10,00 m en gaat dan 2,00 m terug (naar de positie 8,00 m).

De afgelegde weg in dat tijdsinterval is 10,00 m + 2,00 m = 12,00 m.

De verplaatsing in dat tijdsinterval is ∆x = x2 - x1 = 8,00 m - 0,00 m = 8,00 m

☞

Een rechtlijnige beweging van een systeem kun je beschrijven met een (x,t)-tabel, een x(t)-grafiek of met de x(t)-functie (bewegingsvergelijking).

De positie van het systeem op een ogenblik t is de x(t)-waarde voor dat ogenblik.

De verplaatsing van het systeem in een tijdsinterval ∆t is ∆x = x2 - x1 Als het systeem beweegt in de positieve zin van de x-as is ∆x positief.

Als het systeem beweegt in de negatieve zin van de x-as is ∆x negatief.

2.2 Gemiddelde snelheid

270 km/u op trajectcontrole: 10

jaar rijverbod

km/uur: dat Een gemiddelde snelheid van 270 op de trajaar haalde S. B. in september vorig Met zijn n. tere jectcontrole op de E40 in Wet s pieken zelf at Mercedes AMG zou de wegpira moest eren Gist tot 300 km/uur hebben gehaald. chijvers t ond hij voor politierechter Peter D’H niet was t ond nen, maar hij daagde niet op. D’H 9 van traf cels mals: hij gaf de wegpiraat een r mee niet lang maanden. B. mag ook tien jaar auto Zijn te. rijden en krijgt 12.000 euro boe werd verbeurd verklaard.

bron: www.hln.be

Bij trajectcontrole registreren camera’s de tijdsduur die een automobilist nodig heeft om een bepaald traject af te leggen. Daaruit wordt de gemiddelde snelheid berekend door de lengte van het traject te delen door die tijdsduur. Als die waarde hoger ligt dan de toegestane snelheid, krijg je een boete.

Ook op een fietscomputer kun je je gemiddelde snelheid aflezen: het toestel deelt daarvoor de weg die je hebt afgelegd door de tijdsduur die je daarvoor nodig had.

In de fysica gebruiken we volgende definitie:

+

DEFINITIE

Δx x2 – x1 De gemiddelde snelheid vx,g t.o.v. de x-as in het interval Δt is vx,g = = t2 – t1 Δt Snelheid wordt uitgedrukt in m/s.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

13

14 ]

Kinematica en dynamica

In de definitie gebruiken we niet de afgelegde weg ∆ s, maar de verplaatsing ∆ x!

Daaruit volgt dat de gemiddelde snelheid ook negatief kan zijn.

Bekijk terug de tabel met resultaten op pagina 12.

Wiskundig gezien is - 40 m/s kleiner dan + 14 m/s, maar bij - 40 m/s beweegt het systeem sneller dan bij + 14 m/s.

Het teken van de snelheid heeft te maken met de zin waarin het systeem beweegt.

7

In het tijdsinterval [1,00 s ; 1,20 s] is de gemiddelde snelheid

In het tijdsinterval [0,20 s ; 0,40 s] is de gemiddelde snelheid

Waarom is ∆t altijd positief?

vx,g =

Δx 6,98 m ‑ 4,11 m = = + 14 m/s Δt 0,40 s - 0,20 s

De verplaatsing gebeurt in de positieve zin van de x-as: dan is ∆x en dus ook vx,g positief.

De x(t)-grafiek is stijgend.

vx,g =

Δx 9,79 m - 10,00 m = = - 1,1 m/s Δt 1,20 s -1,00 s

De verplaatsing gebeurt in de negatieve zin van de x-as: dan is ∆x en dus ook vx,g negatief.

De x(t)-grafiek is dalend.

Grafische bepaling van de gemiddelde snelheid in een tijdsinterval: De gemiddelde snelheid in een tijdsinterval ∆t is

vx,g =

Δx = tan a Δt

Dat is de helling van de lijn door begin- en eindpunt (fig. a).

Hoe steiler die lijn, hoe groter de gemiddelde snelheid in het interval.

Voor het tijdsinterval [0,20 s ; 0,40 s] is de lijn steiler dan voor het tijdsinterval [1,00 s ; 1,20 s].

De gemiddelde snelheid is het grootst in het interval [0,20 s ; 0,40 s].

x

x (m) 10

x2

5 x1

t1

t2 fig. a

t

0 0,0

t (s) 0,2

0,4

0,6

fig. b

0,8

1,0

1,2

1,4

15

x (m)

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40

0,00 4,11 6,98 8,78 9,73 10,00 9,79 9,30 8,70 8,21 8,00 8,27 9,22

tmidden (s)

vx,g (m)

0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 1,10 1,30 1,50 1,70 1,90 2,10 2,30

• Construeren van de snelheidsgrafiek uit de (x,t)-tabel:

21 14 9,0 4,8 1,4 -1,1 -2,5 -3,0 -2,5 -1,1 1,4 4,8

25

Uit de (x,t)-tabel kun je het verloop van de snelheid van het systeem bepalen.

Je moet daarvoor de gemiddelde snelheid voor de opeenvolgende (kleine) tijdsintervallen berekenen en die uitzetten in de vx,g(t)-grafiek.

Op de horizontale as staan de verschillende tijdsintervallen, op de verticale as de gemiddelde snelheid in de tijdsintervallen. De gemiddelde snelheid zet je uit in het midden van het tijdsinterval.

vx,g (m/s)

20

15

10

5

1,10

0 0,10

0,30

0,50

0,70

0,90

1,30

1,50

1,70

t (s)

1,90 2,10

2,30

2,50

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

t (s)

16 ]

Kinematica en dynamica

2.3 Ogenblikkelijke snelheid Naast de weg staat er soms een bord dat automobilisten attent maakt op de snelheid waarmee ze op dat ogenblik rijden.

Dat is de ogenblikkelijke snelheid.

Een ogenblik is ‘een oneindig kort tijdsinterval’.

Vandaar de definitie:

+

DEFINITIE

De snelheid vx t.o.v. de x-as op het ogenblik t is: vx(t) = lim Δt

Dat is de afgeleide van x naar t: vx(t) =

0

Δx Δt

dx . dt

De vx(t)-functie is de snelheidsvergelijking.

Om de snelheid in punt 1 te bepalen, laten we punt 2 naderen tot punt 1 (fig. a).

Voorbeeld:

Δt (s) 1,00 0,50 0,20 0,10 0,05 0,01

Δx (m) 20,10 10,62 4,310 2,172 1,090 0,2181

Δ x/Δt (m/s) 20,10 21,24 21,55 21,72 21,80 21,81

0s

0m

vx(t)

x

x

2

x2 20,10 m x1

1

x1 1,00 s t2

t1

t

fig. a

Met ‘de’ snelheid bedoelen we de ogenblikkelijke snelheid. In realiteit kun je die snelheid nooit meten, omdat je geen oneindig kleine verplaatsingen of tijden kunt meten.

In de praktijk (bv. snelheidsbord) meet men de gemiddelde snelheid in een klein tijdsinterval.

t

t1 fig. b

De snelheid is de helling van de raaklijn aan de x(t)-kromme (fig. b). Hoe steiler de kromme, hoe steiler de raaklijn en hoe groter de snelheid op dat ogenblik. In onderstaande figuur is vx(t1) groter dan vx(t2); de snelheid vx(t3) is 0.

x

t1

t2

t3

t

17

+

• als je de bewegingsvergelijking kent (de x(t)-functie), kun je daaruit de snelheidsvergelijking bepalen: dx vx(t) = dt Daarmee kun je dan de snelheid op gelijk welk moment berekenen.

• als de x(t)-grafiek gekend is, kun je de snelheid op het ogenblik t grafisch bepalen • als je beschikt over een x(t)-tabel met meetresultaten, Δx kun je de snelheid op ogenblik t benaderend bepalen door de verhouding Δt te berekenen voor een klein interval rond dat tijdstip.

OEFENING

Rekenen met de bewegingsvergelijking Voor de beweging van een systeem ten opzichte van de x-as geldt volgende bewegingsvergelijking:

x = -1,20 m/s3 ∙ t3 + 4,50 m/s2 ∙ t2 - 4,00 m/s ∙ t + 2,00 m a) b) c) d) e) f)

Controleer de eenheden Maak en interpreteer de x(t)- en de vx(t)-grafiek voor het interval [0 s; 2,8 s] Bereken de gemiddelde snelheid vx,g voor het interval [1,00 s; 1,40 s] Bereken de snelheid voor het ogenblik 1,20 s Bereken de verplaatsing voor het interval [1,00 s; 2,00 s] Bereken de oppervlakte onder de vx(t)-kromme voor het interval [1,00 s; 2,00 s]

Oplossing: a) De bewegingsvergelijking is:

x = - 1,20

Voor de eenheden geldt:

…

m ∙ s3 m ∙ s3

t3 + 4,50 s3 + …

2

1

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

m 2 ∙ t - 4,00 s2 m 2 ∙s - … s2

b) Nevenstaande figuur geeft de x(t)-grafiek. Daaruit kun je het volgende afleiden: - het systeem beweegt tot ongeveer 0,6 s in de negatieve zin van de x-as en keert dan om ■ - van 0,6 s tot ongeveer 2,0 s beweegt het in de positieve zin van de x-as en keert dan om ■ - vanaf 2,0 s beweegt het in de negatieve zin van de x-as ■

x(t)-grafiek

Voor de snelheidsvergelijking vind je vx(t) =

dx d = (- 1,20 m/s3 ∙ t 3 + 4,50 m/s2 ∙ t 2 - 4,00 m/s ∙ t + 2,00 m) dt dt

= - 3,60 m/s3 ∙ t 2 + 9,00 m/s2 ∙ t - 4,00 m/s

m ∙ t + 2,00 m s m ∙ s + …m = m s

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Je kunt de snelheid van een systeem op een ogenblik t op verschillende manieren bepalen:

18 ]

Kinematica en dynamica

De snelheid is - negatief van 0 tot ongeveer 0,6 s ■ - positief van 0,6 tot ongeveer 2,0 s ■ - negatief vanaf 2,0 s ■

vx 2 0 0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

-2 -4 -6

Op het ogenblik 2,8 s beweegt het systeem sneller dan op het ogenblik 0 s: de (absolute waarde) van de snelheid is groter op 2,8 s. Dat zie je ook op de x(t)-grafiek: de helling van de raaklijn aan de kromme is groter op 2,8 s dan op 0 s.

-8

vx(t)-grafiek

c) De gemiddelde snelheid in het interval [1,00 s; 1,40 s] is vx,g =

Δx x (1,40 s) - x (1,00 s) = Δt 1,40 s - 1,00 s

We berekenen de posities van het systeem op die twee tijdstippen: x (1,00 s) = -1,20 m/s3 ∙ (1,00 s)3 + 4,50 m/s2 ∙ (1,00 s)2 - 4,00 m/s ∙ 1,00 s + 2,00 m = 1,30 m Voor het ogenblik 1,40 s vind je: x (1,40 s) = 1,93 m De gemiddelde snelheid is vx,g =

1,93 m - 1,30 m = 1,6 m/s 1,40 s - 1,00 s

d) Met de snelheidsvergelijking vx(t) = - 3,60 m/s3 ∙ t2 + 9,00 m/s2 ∙ t - 4,00 m/s kun je de snelheid op het ogenblik 1,2 s berekenen: vx (1,2 s) = - 3,60 m/s3 ∙ (1,2 s)2 + 9,00 m/s2 ∙ 1,2 s - 4,00 m/s = 1,62 m/s Als je deze waarde vergelijkt met c), zie je dat de snelheid op het ogenblik 1,20 s ongeveer gelijk is aan de gemiddelde snelheid in het (kleine) tijdsinterval [1,00 s; 1,40 s] dat rond die waarde van 1,20 s ligt. e) Op het ogenblik 1,00 s is de positie x (1,00 s) = - 1,20 m/s3 ∙ (1,00 s)3 + 4,50 m/s2 ∙ (1,00 s)2 - 4,00 m/s ∙ (1,00 s) + 2,00 m = 1,30 m Voor het ogenblik 2,00 s vind je: x (2,00 s) = 2,40 m De verplaatsing in het interval [1,00 s; 2,00 s] is: ∆x = x2 - x1 = 2,40 m - 1,30 m = 1,10 m

19

+

De oppervlakte onder de vx(t)-kromme tussen twee tijdstippen, is gelijk aan de verplaatsing van het systeem t.o.v. de x-as tussen die twee tijdstippen. vx

0,20 m/s 0,10 s

t Opmerking: De oppervlakte van zo'n blokje wordt hier niet uitgedrukt in m2, maar in m.

Elk blokje heeft immers een basis in seconden (bv. 0,10 s) en een hoogte in m/s (bv. 0,20 m/s).

De oppervlakte van dat blokje is 0,10 s ¡ 0,20 m/s = 0,020 m.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

f) Als je de oppervlakte onder de vx(t)-kromme bepaalt voor het interval [1,00 s; 2,00 s] (bv. met je grafisch rekentoestel) vind je de waarde 1,10 m. Dat is gelijk aan hetgeen je in e) vond voor de verplaatsing in dat tijdsinterval.

20 ]

Kinematica en dynamica

Snelheid berekenen met je grafisch rekentoestel.

Als de bewegingsvergelijking gegeven is, kun je de gemiddelde snelheid, de ogenblikkelijke snelheid en de verplaatsing ook grafisch berekenen.

Voorbeeld: x(t) = 1,20 m/s3 · t3 – 4,50 m/s2 · t2 + 4,00 m/s · t + 2,00 m Voer de bewegingsvergelijking in, bv. als Y1 en maak de grafiek.

• Bepalen van de gemiddelde snelheid Druk Math en kies Math > nDerive(Y1 , X , 2.2 , 0.2)

Y1 is de functievariabele die gebruikt wordt voor de bewegingsvergelijking

( VARS > Y-VARS > Y1).

X is de onafhankelijke variabele.

Het tijdsinterval waarvoor de gemiddelde snelheid berekend wordt, is

[2,2 – 0,2 (s); 2,2 + 0,2 (s)].

• Bepalen van de ogenblikkelijke snelheid

De TI-83/84 Plus kan geen functie afleiden en berekent de ogenblikkelijke snelheid dus niet met de vx(t)-functie zoals in de oefening. Om de snelheid ‘op het ogenblik 2,2 s’ te bepalen, berekent de TI de gemiddelde snelheid in een tijdsinterval van 0,001 s rond dat tijdstip met de instructie nDerive (Y1 , X , 2.2 , 0.001).

dy . dx

Druk 2nd CALC en kies 6:

Voer het tijdstip in waarvoor je de ogenblikkelijke snelheid wil kennen, bv. 2.2 (s).

• Bepalen van de oppervlakte onder de vx(t)-kromme Voer de snelheidsvergelijking vx(t) = 3,60 m/s3 · t2 – 9,00 m/s2 · t + 4,00 m/s in, bv. als Y2 en maak de grafiek.

Druk 2nd CALC en kies 7: f(x)dx.

Voer de tijdstippen in waartussen je de oppervlakte wil bepalen. Die tijdstippen moeten tussen Xmin en Xmax liggen.

Om de gearceerde oppervlakte te wissen: druk 2nd DRAW en kies 1: ClrDraw.

21

2.4 Gemiddelde versnelling

+

DEFINITIE

De gemiddelde versnelling ax,g t.o.v. de x-as in het interval Δt is ax,g =

"a" komt van het Latijnse acceleratio, wat versnelling betekent.

De grootheid a noemt men de versnelling, ook bij een vertraagde beweging!

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Aston Martin is de favoriete wagen van James Bond 007. Het nieuwste model, de V12 Vantage S gaat van 0 naar 100 km/h in 3,9 s. Als de snelheid van een systeem verandert spreken we van versnelling.

Als de grootte van de snelheid toeneemt, versnelt het systeem. Als de grootte van de snelheid afneemt, vertraagt het systeem.

Δvx vx2 – vx1 = Δt t2 – t1

Versnelling wordt uitgedrukt in m/s2.

Ze geeft weer met hoeveel m/s de snelheid toeneemt of afneemt per s.

We onderzoeken nu het teken van de versnelling aan de hand van volgende voorbeelden:

10 s 2 m/s

3 m/s

x

Het systeem versnelt in positieve zin:

Δvx ax,g = Δt vx2 – vx1 = t2 – t1 3 m/s – 2 m/s = 11 s – 10 s

10 s

-3 m/s

-2 m/s

Δvx Δt vx2 – vx1 = t2 – t1 -3 m/s – (-2 m/s) = 11 s – 10 s

= -1 m/s2

3 m/s

2 m/s

x

Δvx Δt vx2 – vx1 = t2 – t1 2 m/s – 3 m/s = 11 s – 10 s

ax,g =

11 s

ax,g =

11 s

Het systeem vertraagt in positieve zin:

= +1 m/s2

Het systeem versnelt in negatieve zin: Als het systeem in de negatieve zin van de x-as beweegt, is vx negatief!

10 s

11 s

x

= -1 m/s2

11 s

10 s

-2 m/s

-3 m/s

Het systeem vertraagt in negatieve zin: Δvx Δt vx2 – vx1 = t2 – t1 -2 m/s – (-3 m/s) = 11 s – 10 s

ax,g =

= +1 m/s2

x

22 ]

Kinematica en dynamica

Daaruit blijkt:

+

De gemiddelde versnelling ax,g is positief als het systeem versnelt in positieve zin van de x-as of vertraagt in negatieve zin; negatief als het systeem versnelt in negatieve zin van de x-as of vertraagt in positieve zin.

Je kunt de gemiddelde versnelling ax,g in een tijdsinterval Δt ook grafisch bepalen uit de vx(t)-grafiek: ax,g =

Δvx = tan a Δt

De verhouding Δvx /Δ t is de helling van de lijn door het begin- en eindpunt. Hoe steiler die lijn, hoe groter de gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval. vx

2

vx2 1

vx1

t1

-

OEFENING

t2

t

Gemiddelde versnelling In 1973 vestigde Craig Breedlove met de Spirit of America op de zoutvlakte van Bonneville (VS) een nieuw record. In 4,654 s behaalde hij met zijn dragster een snelheid van 377,75 mph.

Bereken zijn gemiddelde versnelling.

Oplossing We rekenen eerst de snelheid om naar m/s.

1 mile = 1609 m 377,75 mph = 377,75 · 1609 m/3600 s = 168,8 m/s (= 607,7 km/h)

1

2

0 m/s

168,8 m/s 4,654 s

x

We kiezen de x-as volgens de baan, de oorsprong in het vertrekpunt en de zin van de x-as in de bewegingszin. De snelheid vx2 is dan positief: vx2 = +168,8 m/s De gemiddelde versnelling is ax,g =

Δvx Δt

=

vx2 – vx1 t2 – t1

=

+168,8 m/s – 0 m/s = +36,27 m/s2 4,654 s

Elke seconde nam zijn snelheid toe met 36,27 m/s!

De versnelling is positief omdat het systeem versnelt in de positieve zin van de x-as.

23

2.5

De gemiddelde versnelling in een tijdsinterval zegt niets over de versnelling op een ogenblik in dat interval. Een ogenblik is ‘een oneindig kort tijdsinterval’.

Vandaar de definitie:

+

DEFINITIE

De versnelling ax t.o.v. de x-as op het ogenblik t is: ax(t) = lim ∆t

0

Δvx Δt

Dat is de afgeleide van vx naar t:

ax(t) =

dvx dt

De ax(t)-functie is de versnellingsvergelijking.

Met ‘de’ versnelling bedoelen we de versnelling op een ogenblik, dus de ogenblikkelijke versnelling.

De versnelling is de helling van de raaklijn aan de vx(t)-kromme.

Hoe steiler de vx(t)-grafiek, hoe steiler de raaklijn en hoe groter de versnelling op dat ogenblik.

In onderstaande figuur is de versnelling op het ogenblik t3 (in absolute waarde!) groter dan op t1.

Op tijdstip t2 is de vx(t)-grafiek horizontaal en is de versnelling ax nul.

vx

t1

+

t2

t3

t

Je kunt de versnelling van een systeem op een ogenblik t op verschillende manieren bepalen: • als je de snelheidsvergelijking kent (de vx(t)-functie), kun je de afgeleide berekenen; • als de vx(t)-grafiek gekend is, kun je de versnelling op dat ogenblik grafisch bepalen; Δvx • als je beschikt over een vx(t)-tabel met meetresultaten, kun je de versnelling benaderen door te Δt bepalen voor een klein tijdsinterval rond dat tijdstip.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Ogenblikkelijke versnelling

24 ]

Kinematica en dynamica

2.6 De eenparig veranderlijke beweging vx

2.6.1 Definitie

t1

t2

+

t

DEFINITIE

De snelheid van het verkeer op een snelweg is niet constant, maar verandert voortdurend. De grafiek toont een mogelijke vx(t)-grafiek voor een wagen.

In het tijdsinterval [t1; t2] verandert de snelheid van de wagen volgens een rechte (lineair).

Dat kan bv. het geval zijn bij een wagen die terug sneller gaat rijden na een zone met een snelheidsbeperking.

Een systeem voert in het tijdsinterval [t1; t2] een eenparig veranderlijke beweging (EVB) uit langs de x-as als de snelheid vx lineair verandert. De vx(t)-grafiek is in dat interval dan een schuine rechte.

2.6.2 Eigenschappen In dit hoofdstuk onderzoeken we rechtlijnige bewegingen.

Het voorwerp voert dan een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging (EVRB) uit.

We bewijzen volgende eigenschappen voor een voorwerp dat een EVB uitvoert t.o.v. de x-as.

7

De versnelling ax is constant Dat volgt onmiddellijk uit de definitie: de vx(t)-grafiek is een schuine rechte. Dus vx(t) = m · t + q

(1)

De versnelling is ax(t) =

dvx = m = constante dt

De richtingscoëfficiënt m van de vx(t)-rechte is de versnelling. vx

vx

kleine helling = kleine versnelling

t

grote helling = grote versnelling

t

25

7

De gemiddelde versnelling ax,g is dezelfde voor elk tijdsinterval Δt en is gelijk aan ax De gemiddelde versnelling in een tijdsinterval Δt is Δvx vx2 – vx1 Δt = t2 – t1

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

ax,g =

Invullen van (1) geeft ax,g = m · t2 + q – (m · t1 + q) t2 – t1 (2)

ax,g = m = ax

7

Voor de snelheidsverandering Δvx in een tijdsinterval Δt geldt Δvx = ax · Δt Uit ax,g =

Δvx (definitie) volgt Δvx = ax,g · Δt Δt

Dan geldt volgens (2) Δvx = ax · Δt (3) Dit verklaart ook het begrip eenparig veranderlijk: eenparig betekent gelijkmatig, overal gelijk. In gelijke tijdsintervallen is de snelheidsverandering even groot.

7

De snelheidsverandering in een interval Δt is dus recht evenredig met Δt.

0 m/s

2 m/s

4 m/s

x 0:00

0:01

0:02

0:03

Voor de snelheid vx op een ogenblik t geldt vx(t) = vxo + ax · (t – to) Op het begintijdstip to is de snelheid vxo.

Op het tijdstip t is de snelheid vx.

Dan geldt volgens (3)

Dikwijls kiezen we het begintijdstip to gelijk aan 0 s.

Dan geldt vx = vxo + ax · t

6 m/s

Δvx = ax · Δt vx - vxo = ax · (t – to) of vx = vxo + ax · (t – to)

t0

t

vxo

vx

(4)

Dat is een eerstegraadsfunctie. De vx(t)-grafiek is dus een rechte.

De rico van de rechte is ax. y=m·x+q

7

Voor de verplaatsing Δx in een tijdsinterval Δt geldt Δx = vx v x2 v x1

t1

∆t

t2

t

(vx1 + vx2) · Δt 2

x

26 ]

Kinematica en dynamica

De verplaatsing Δx is gelijk aan de oppervlakte onder de vx(t)-rechte (zie eigenschap p. 19). Δx = opp.

Weet je welke bewijzen je moet kennen?

7

+ opp.

(vx2 – vx1) · Δt 2 2 · vx1 · ∆t + vx2 · ∆t – vx1 · Δt = 2 (vx1 + vx2) = · Δt (5) 2

= vx1 · ∆t +

Voor de positie x op het ogenblik t geldt x = xo + vxo · (t – to) +

ax · (t – to)2 2

We vertrekken van de formule (5) (vx1 + vx2) Δx = · Δt 2 x2 – x1 = t0 x0 v0

ax

t

x

x

vx

(vx1 + vx2) · (t2 – t1) 2

Voor het tijdstip t1 nemen we het begintijdstip to. Op dat tijdstip is de positie xo en de snelheid vxo.

Het tijdstip t2 noemen we t. Op dat tijdstip is de positie x en de snelheid vx.

Dus

x – xo =

vxo + vx · (t – to) 2

en vermits volgens (4) geldt vx = vxo + ax · (t – to) verkrijgen we

Dikwijls kiezen we het begintijdstip to gelijk aan 0 s.

Dan geldt

x = xo + vxo · t +

ax 2 ·t 2

x – xo =

vxo + vxo + ax · (t – to) · (t - to) 2

Daaruit volgt x = xo + vxo · (t – to) +

ax · (t – to)2 2

Dat is een tweedegraadsfunctie.

De x(t)-grafiek is dus een parabool: y = p · x2 + q · x + r

x

x

x0

x0

t0 versnelde beweging

t

t

t0 vertraagde beweging

27

Je kunt de formule ook schrijven als ax · (t - to)2 2

of

+

Δx = vxo · ∆t +

ax · (Δt)2 2

Deze formule geeft de verplaatsing bij een EVB t.o.v. de x-as in een tijdsinterval Δt als de beginsnelheid vxo en de versnelling ax is.

- OEFENING

Interpreteren van een vx(t)-grafiek De beweging van een systeem wordt beschreven door onderstaande vx(t)-grafiek. Teken de bijbehorende x(t)-grafiek. v x

t1

t2 t

t3

Oplossing De snelheid verandert lineair: het systeem voert dus een EVB uit t.o.v. de x-as. De x(t)-grafiek is een parabool.

Van t1 tot t2 vertraagt het systeem want de snelheid gaat naar nul. Vermits de snelheid negatief is, beweegt het systeem in de negatieve zin van de x-as.

Op t2 is de snelheid nul.

Van t2 tot t3 versnelt het systeem. Vermits de snelheid positief is, beweegt het systeem in de positieve zin van de x-as.

De x(t)-parabool ziet er dan als volgt uit:

Het punt x1 mag willekeurig gekozen worden omdat de beginpositie niet gegeven is.

x

x1

Hoe zie je op de x(t)-grafiek dat de snelheid daalt in het tijdsinterval [t1; t2]?

t2 t1

t3

t

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

x – xo = vxo · (t – to) +

28 ]

Kinematica en dynamica

-

OEFENING

De remafstand van een auto Een wagen rijdt aan 70 km/h (= 19 m/s) en komt door te remmen tot stilstand na 3,0 s. Bereken de remafstand. Beschouw de beweging als eenparig veranderlijk.

Oplossing We kiezen de x-as volgens de baan en in de zin van de beweging. De beginsnelheid van de auto is dan positief. De wagen voert een EVB uit.

Je kunt deze oefening op twee manieren oplossen: 1e manier

2e manier

∆x Welke manier je ook kiest, maak steeds een schets met de gegevens.

x

vx1 = 19 m/s

vx2 = 0 m/s

∆t = 3,0 s De remafstand is de verplaatsing ∆x. Daarvoor geldt ∆x =

(vx1 + vx2) · ∆t 2

to = 0 s

te = 3,0 s

xo = 0 m

xe

vxo = 19 m/s

vxe = 0 m/s ax x(t) = xo + vxo · (t – to) + · (t – to)2

2

vx(t) = vxo + ax · (t – to) Invullen van de gegevens geeft

Invullen van de gegevens geeft (19 m/s + 0 m/s) ∆x = · 3,0 s 2

x

xe = 0 m + 19 m/s · (te – 0 s) +

ax · (te – 0 s)2 2

vxe = 19 m/s + ax · (te – 0 s)

= 29 m en dus xe = 19 m/s · 3,0 s +

ax · (3,0 s)2 2

0 m/s = 19 m/s + ax · 3,0 s

(1) (2)

Uit (2) volgt ax = –6,3 m/s2

Dat invullen in (1) geeft xe = 29 m

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ uitleggen hoe je een rechtlijnige beweging registreert ■ de definitie geven van positie, afgelegde weg, gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid t.o.v. de x-as, snelheidsvergelijking, gemiddelde en ogenblikkelijke versnelling t.o.v. de x-as ■ de gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid en versnelling t.o.v. de x-as zowel wiskundig als grafisch bepalen ■ de betekenis geven van het teken van snelheid en versnelling t.o.v. de x-as ■ de definitie geven van een EVB t.o.v. de x-as en de geziene eigenschappen bewijzen ■ oefeningen op de EVB t.o.v. de x-as oplossen

3

De eerste wet van Newton el aan de nek en/ Een whiplash is een typisch lets auto die langs een of rug voor inzittenden van fd krijgt daarhoo Het . achter wordt aangereden daarbij een kan Er n. tere bij een slag naar ach structuren en s fsel wee te zach beschadiging aan ing tot klachten in de nek optreden, die aanleid tellen op korte geeft. De meeste slachtoffers hers ook blijvende termijn, maar een whiplash kan een pijnlijke is h last veroorzaken. Een whiplas ton.

New van illustratie van de eerste wet

3.1 De eerste wet van Newton Ook zonder whiplash krijg je in het dagelijkse leven voortdurend te maken met de eerste wet van Newton.

• Als je rechtstaat in een bus die bruusk vertrekt, vlieg je naar achteren.

• Misschien zag je ooit de demonstratie waarbij een tafelkleed snel onder een servies wordt weggetrokken.

• Je kunt met één hand een blaadje van de wc-rol trekken, als je dat doet met een snelle beweging.

In elk van die voorbeelden is het systeem (jij, servies, wc-rol) in rust en tracht het in rust te blijven.

© Scania

• Als je in een bus zit die plots remt, vlieg je naar voren.

• Bij een crashtest houdt de gordel de dummy op de zetel, maar armen, benen en hoofd bewegen naar voren.

• Een hamerkop kun je vastzetten door de steel op de grond te kloppen.

• Een vrachtwagen die een bocht neemt, kan in die bocht zijn lading verliezen.

In elk van die voorbeelden heeft het systeem (jij, de dummy, de hamerkop, de lading) een bepaalde snelheid (grootte en richting) en tracht het die te behouden.

+

WET

Die wet noemt men ook de wet van de traagheid, omdat een voorwerp zich lijkt te verzetten tegen een verandering van bewegingstoestand.

Een voorwerp komt niet vanzelf in beweging of tot rust, of buigt niet uit zichzelf af. Daarvoor is er een ‘uitwendige invloed’ nodig. In het 3e jaar leerde je reeds dat we zo’n uitwendige invloed kracht noemen. De eerste wet van Newton zegt hoe een systeem beweegt als de resulterende kracht erop nul is.

Als er op een voorwerp geen (resulterende) kracht wordt uitgeoefend, behoudt het zijn bewegingstoestand: • is het voorwerp in rust, dan blijft het in rust; • beweegt het voorwerp, dan blijft het bewegen met constante snelheid en in dezelfde richting en zin.

Dat is de eerste wet van Newton.

Een systeem waarop geen resulterende kracht werkt, voert dus een eenparige rechtlijnige beweging (ERB) uit. Die beweging, die je reeds leerde kennen in het derde jaar, bekijken we in de volgende paragraaf.

Omdat op een voorwerp op aarde altijd de zwaartekracht werkt (en meestal ook wrijving), kun je die wet op aarde niet aantonen. In de ruimte lukt dat wel: als er geen zwaartekracht is, kan een ruimtetuig blijven voortbewegen zonder dat de motoren werken.

In de beschreven experimenten, bv. het blad onder het glas wegtrekken, werkt de kracht gedurende zo een korte tijd dat ze nauwelijks effect heeft. (zie ook oef. 97 p. 118)

30 ]

Kinematica en dynamica

Praktische toepassing: de airbag Om de bestuurder en passagier te beschermen, zijn hedendaagse wagens uitgerust met airbags. Zo’n airbag vervangt de gordel niet, maar vangt de ‘knik’ van het hoofd op bij een frontaal ongeval, zodat bv. letsels aan de nekwervels voorkomen kunnen worden.

De airbag is een dunne opgeplooide zak die in het stuurwiel of dashbord opgeborgen zit. De ‘crash’-sensor registreert wanneer de bag moet opgeblazen worden. Er bestaan verschillende types van deze sensoren, maar allemaal steunen ze op de wet van de traagheid.

Een veel gebruikt type werkt als volgt: in een buisje zit een stalen bol die door een magneet wordt vastgehouden.

Bij een frontale botsing komt de knikker los van de magneet (wet van de traagheid) en vliegt tegen een schakelaar.

Daardoor wordt een elektrisch circuit gesloten en de ontsteking geactiveerd. Door de ontsteking gebeurt er een chemische reactie tussen NaN3 en KNO3 en ontstaat N2-gas waardoor de airbag in ongeveer 0,03 s wordt opgeblazen. Het omhulsel van de airbag haalt hierbij een snelheid tot 300 km/h!

 bewegingsrichting

Onmiddellijk daarna ontsnapt het gas uit de kleine poriën in de bag, zodat de bestuurder terug vrij kan bewegen. Het poeder dat ontsnapt, is meestal talk en gebruikt men om de airbag in samengevouwen vorm soepel te houden.

31

3.2 De eenparige rechtlijnige beweging (ERB) t.o.v. de x-as

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

vx

3.2.1 Definitie Bij grote verkeersdrukte op de autosnelweg geeft de wegenpolitie opdracht tot blokrijden. Hierbij rijden alle wagens met een constante snelheid.

t t1

+

DEFINITIE

Een systeem voert in het tijdsinterval [t1; t2] een eenparige beweging (EB) uit t.o.v. de x-as als de snelheid vx constant is. De vx(t)-grafiek is in dat interval een horizontale rechte.

3.2.2 Eigenschappen We bewijzen volgende eigenschappen voor een voorwerp dat een EB uitvoert t.o.v. de x-as.

De versnelling ax is nul

7

Dat volgt onmiddellijk uit de definitie: vx(t) = cte De versnelling is ax(t) =

dvx =0 dt

Je kunt een EB dus beschouwen als een bijzonder geval van een EVB met ax = 0.

Voor de positie x op het ogenblik t geldt x = xo + vx · (t – to)

7

We vertrekken van de formule voor x(t) van een EVB

Dikwijls kiezen we het begintijdstip to gelijk aan 0 s.

Dan geldt x = xo + vx · t

x = xo + vxo · (t – to) +

ax · (t – to)2 2

Vermits ax = 0 en vx = cte = vxo is x = xo + vx · (t – to)

x

(1)

Dat is een eerstegraadsfunctie. De x(t)-grafiek is een schuine rechte: y=m·x+q

x0

t0

t2

t

32 ]

Kinematica en dynamica

7

De gemiddelde snelheid vx,g is dezelfde voor elk tijdsinterval Δt en is gelijk aan vx De gemiddelde snelheid in een tijdsinterval Δt is

Dit kun je ook vaststellen met een fietscomputer: als je gedurende een bepaalde tijd met een constante snelheid van 20 km/h fietst, is je gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval ook 20 km/h.

Δx Δt x2 – x1 = t2 – t1

vx,g =

Invullen van (1) geeft vx,g =

xo + vx · (t2 – to) – [xo + vx · (t1 – to)] t2 – t1

Dat uitwerken geeft vx,g = vx (2)

7

Voor de verplaatsing Δx in een tijdsinterval Δt geldt Δx = vx · Δt Uit vx,g =

Δx (definitie) volgt Δt

Δx = vx,g · Δt Dan geldt volgens (2) Δx = vx · Δt Maak ook dit jaar een formularium met alle geziene definities en eigenschappen.

50 km/h

50 km/h

De verplaatsing Δx in een interval Δt is dus recht evenredig met Δt.

In gelijke tijdsintervallen verandert de positie met dezelfde waarde.

50 km/h

50 km/h

50 km/h

50 km/h

x

OEFENING

Tijdens de Ronde van Frankrijk heeft een kopgroep op een bepaald ogenblik een voorsprong van 2,00 km op een groepje achtervolgers met daarin gele trui Chris Froome. De kopgroep rijdt aan 48,0 km/h, de achtervolgers aan 54,0 km/h. Het parcours is een lange rechte weg. a) Na hoeveel tijd halen de achtervolgers de kopgroep in? b) De kopgroep bevindt zich op dat ogenblik op 12,0 km van de aankomst. Halen de achtervolgers de kopgroep in voor de streep? Zo nee, hoeveel m komen ze te kort?

33

achtervolgers

kopgroep

12,00 km

0

2,00 km

x

Beide groepen voeren een ERB uit. De bewegingsvergelijking van de kopgroep is

xk(t) = xo + vx ∙ (t - to)

= 2,00 km + 48,0 km/h ∙ (t - 0 s) = 2,00 ∙ 103 m + 13,3 m/s ∙ t De bewegingsvergelijking van de groep achtervolgers is

xa(t) = xo + vx ∙ (t - to)

= 0 km + 54,0 km/h ∙ (t - 0 s) = 15,0 m/s ∙ t Het tijdstip waarop de achtervolgers de kopgroep inhalen, noemen we ti.

Op dat ogenblik is de positie x dezelfde voor beide groepen:

xk(t i) = xa(t i) 2,00 ∙ 103 m + 13,3 m/s ∙ t i = 15,0 m/s ∙ t i Daaruit ti berekenen geeft t i = 118 ∙ 101 s = 19,7 min Het is niet nodig de eenheden om te zetten: de eenheid km valt weg en je verkrijgt de tijdsduur onmiddellijk in uur.

b) We berekenen de tijdsduur die de kopgroep nodig heeft om de finish te bereiken. Uit vx =

Δx Δx 12,0 km volgt ∆t = = 0,250 h = 0,25 ∙ 60 min = 15,0 min = Δt v x 48,0 km/h

De kopgroep bereikt de streep na 15,0 min. De achtervolgers hebben 19,7 min nodig om de groep in te halen. Ze komen dus bijna 5 min te kort.

De achtervolgers bevonden zich op 14,0 km van de meet bij aanvang van de achtervolging. Als de kopgroep de meet bereikt, hebben ze 15,0 min achtervolgd aan 54,0 km/h. In die tijdsduur is: ∆x = vx ∙ ∆t

= 15,0 m/s ∙ 15,0 min = 15,0 m/s ∙ 900 s = 135 ∙ 102 m = 13,5 km Ze komen 14,0 km - 13,5 km = 0,5 km te kort.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ de 1e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven ❏ ■ de definitie geven van een ERB t.o.v. de x-as en de geziene eigenschappen bewijzen ❏ ■ oefeningen op de EB t.o.v. de x-as oplossen

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Oplossing: a) We kiezen de x-as zoals in de figuur en leggen de oorsprong waar de groep achtervolgers zich bevindt bij aanvang van de achtervolging.

4

De kromlijnige beweging

In het dagelijkse leven voeren de meeste systemen, zoals bv. een skischansspringer, geen rechtlijnige maar een kromlijnige beweging uit, waarbij het systeem versnelt, vertraagt, afbuigt. In dat geval werkt op het systeem een kracht, zoniet zou het een eenparige rechtlijnige beweging uitvoeren. In dit hoofdstuk beschrijven we de kromlijnige beweging. Voor de eenvoud beperken we ons tot tweedimensionale kromlijnige bewegingen, d.w.z. bewegingen in een vlak. Het (x, y)-assenstelsel kiezen we in dat vlak.

4.1 Positie- en verplaatsingsvector

+

DEFINITIE

De positie van het systeem op een tijdstip t geven we weer met de positievector (of plaatsvector) → r. y

y

P

→ ex en → ey zijn respectievelijk de eenheidsvectoren volgens de x- en de y-as ry ey

P

r

4 ey

x

rx e x fig. a

In drie dimensies wordt de positie van het voorwerp op het ogenblik t bepaald door drie coördinaten: x, y en z.

r

x

3 ex fig. b

r heeft componenten rx en ry (fig. a).

De vector → De componenten rx en ry op een ogenblik t zijn gelijk aan de coördinaten x en y van het punt P waar het systeem zich op dat tijdstip bevindt.

35

Voorbeeld:

Als het systeem een baan beschrijft in het (x, y)-vlak, verandert de richting en/of de grootte van de r . We bekijken de beweging van het systeem van het tijdstip t1 tot t2. vector → Op het tijdstip t1 is de positievector → r1, op tijdstip t2 is die vector → r2. y

1

1 2

∆

r1

∆ = r2 + (–r1)

2

– r1 r2

r2 x

+

DEFINITIE

De afgelegde weg Δs is de afstand die het systeem in die tijd langs de baan aflegt. Δs is een getal en is altijd positief.

De verplaatsing Δ→ r =→ r2 - → r1 = → r2 + (–→ r1). Dat is een vector die wijst van punt 1 naar punt 2.

Als het tijdsinterval Δt klein is, is de grootte van Δ→ r ongeveer gelijk aan de afgelegde weg Δs.

De vector Δ→ r geeft dan bij benadering de richting, zin en afgelegde weg weer als het systeem van 1 naar 2 beweegt.

Voor de componenten van de vector Δ→ r geldt Δ→ r = → r2 – → r1 = (x2 – x1; y2 – y1) = (Δx; Δy) (zie appendix) De componenten van Δ→ r komen dus overeen met de verplaatsing Δx en Δy t.o.v. respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd.

In nevenstaande figuur is Δx positief en Δy negatief.

y

∆

∆

∆

x

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

De plaatsvector → r heeft als componenten rx = +3 ry = +4

In fig. b heeft P als coördinaten x=3 y=4

36 ]

Kinematica en dynamica

4.2 De snelheidsvector 7

+

DEFINITIE

Gemiddelde snelheid De gemiddelde snelheid → vg in een tijdsinterval Δt definiëren we als   ∆r vg = ∆t Dat is een vector met de richting en de zin van Δ→ r , vermits Δt positief is.

Is de vector → vg = Δ→ r /Δt groter of kleiner dan de vector Δ→ r ? Je kunt die twee verschillende grootheden niet vergelijken, zoals je ook niet kunt zeggen wat het grootst is: 15 s of 20 kg. De lengte van de vector → vg hangt af van de schaal

y

1

∆

2

∆

die je gebruikt voor de snelheid! (bv. 1 cm = 2 m/s).

1

vg =

∆ ∆

2

x

Als Δt klein is, is de grootte van de verplaatsingsvector ongeveer gelijk aan de afgelegde weg: vg ≈

Δs Δt

Dat is de gemiddelde snelheid van het systeem (in tijdsinterval Δt) zoals die gebruikt wordt in het dagelijkse leven.

Voor de componenten van de vector → vg geldt

∆r→ ⎛ ∆ x ∆ y ⎞ =⎜ ; ⎟ → vg = ∆t ⎝ ∆t ∆t ⎠

(zie appendix)

= (vx,g; vy,g) De componenten van → vg komen dus overeen met de gemiddelde snelheid vx,g en vy,g t.o.v. respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd. In onderstaande figuur is vx,g positief en vy,g negatief. y

1 vy,g

vg 2

vx,g

x

37

+

DEFINITIE

Ogenblikkelijke snelheid De ogenblikkelijke snelheid → v is gedefinieerd als →

v = lim

∆→ r

∆t →0 ∆t

=

dr→ dt

y

y

1

P vg

vy

v

2

x Dat de snelheidsvector raakt aan de baan leerde je al in het 3e jaar.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

7

v

vx

Om de snelheid → v in punt 1 te bepalen, laten we punt 2 (tijdstip t2) naderen tot punt 1 (tijdstip t1).

De snelheid → v is de limietvector. De vector → v raakt aan de baan en wijst in de zin van de beweging.

Dat geldt algemeen. Δt (s)

grootte van ∆→ r (m)

vg (m/s)

0,40

3,305

8,756

0,20

1,758

8,790

0,10

0,880

8,799

0,02

0,176

8,802

0s

0m

v(t)

Voor de componenten van de vector → v geldt →

⎛∆ x ∆ y⎞ ∆→ r = lim ⎜ ; ⎟ ∆t →0 ∆t ∆t →0 ⎝∆t ∆t ⎠

v = lim

⎛ ∆y ⎞ ∆x ; lim = ⎜lim ⎟ ⎝∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ⎠ ⎛dx dy ⎞ = ⎜ ; ⎟ = (vx ; v y ) ⎝ dt dt ⎠ Let op het correct gebruik van de vectorpijltjes! → v is de snelheids­ vector, v is de grootte van de vector.

De groottte van de snelheid → v

De componenten van → v komen dus overeen met de ogenblikkelijke snelheid vx en vy t.o.v. respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd.

Voor de grootte van → v geldt

noemt men ook de baansnelheid.

v = vx2 + v y2

x

38 ]

Kinematica en dynamica

4.3 De versnellingsvector 7

+

DEFINITIE

Gemiddelde versnelling De gemiddelde versnelling → ag in een tijdsinterval Δt definiëren we als a→g =

Waarom heeft → ag dezelfde richting en zin als ∆→ v?

∆→ v ∆t

Dat is een vector met de richting en zin van Δ→ v. y

∆

1 v1

vg

v1

2 v2

v2

= v2 – v1

– v1 v2

x

In de figuur zie je dat de vector → ag naar de binnenkant van de baan wijst. Dat geldt algemeen. y

ag =

∆ ∆

1

ay,g

2

ax,g

x

Voor de componenten van → ag geldt →

→

v (v2 − v1 ) ∆→ = ∆t ∆t ⎛ vx2 − vx1 v y2 − v y1 ⎞ ; =⎜ ⎟ ∆t ⎠ ⎝ ∆t

a→g =

⎛ ∆vx ∆v y ⎞ ; =⎜ ⎟ ⎝ ∆t ∆t ⎠

= (ax,g ; ay,g )

De componenten van → ag komen dus overeen met de gemiddelde versnelling ax,g en ay,g t.o.v. respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd.

39

+

Ogenblikkelijke versnelling De ogenblikkelijke versnelling → a definiëren we als

∆→ v d→ v = ∆t →0 ∆t dt

a→ = lim

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

7

y

a

1

ay

P

2

ax

x

Om de versnelling in punt P te verkrijgen, bepalen we de gemiddelde versnelling → ag in het interval [t1; t2] rond P en laten we ∆t naar nul gaan. De versnelling → a is de limietvector.

De vector → a wijst naar de binnenkant van de baan. Dat geldt algemeen.

Voor de componenten van de vector → a geldt →

⎛ ∆vx ∆v y ⎞ ⎛ ∆vx ∆v y ⎞ ⎛ dvx dv y ⎞ ∆→ v ; lim = lim ⎜ ; ⎟ =⎜ ; ⎟ = ⎜ lim ⎟ = (ax ; ay ) ∆ ∆ t → 0 t → 0 ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ⎝ ∆t ∆t ∆t ⎠ ⎝ dt dt ⎠ ∆t ⎠ ⎝

a = lim

De componenten van → a komen dus overeen met de ogenblikkelijke versnelling ax en ay t.o.v. respectievelijk de x- en de y-as, zoals vroeger gedefinieerd. In bovenstaande figuur zijn ax en ay positief.

De grootte van een vector is altijd positief!

Voor de grootte van → a geldt

+

a = ax2 + ay2

De positievector → r heeft als componenten (x, y).

De snelheidsvector → v raakt aan de baan, wijst in de zin van beweging en heeft als componenten

vx =

dy dx en v y = . dt dt

Voor de grootte van de snelheid geldt: v = v x2 + v y2 De versnellingsvector → a wijst naar de binnenkant van de baan en heeft als componenten dvx dv y ax = dt en ay = dt .

40 ]

Kinematica en dynamica

4.4 Het frenetstelsel Het frenetstelsel is een assenstelsel dat hoort bij het punt waar het voorwerp zich op dat ogenblik bevindt. Het bestaat uit een t-as (tangentiële as) en een n-as (normaalas).

De t-as raakt aan de baan in dat punt en wijst in de zin van de beweging. De t-as valt samen met de snelheidsvector → v in dat punt.

De n-as staat loodrecht op de t-as en wijst naar de binnenkant van de baan.

y

y n

n

an

→ a

P

→ a

P at → v t

t

x

We projecteren de versnellingsvector → a in het frenetstelsel.

x

• De component volgens de t-as is de tangentiële versnelling at (of de baanversnelling).

Men kan aantonen dat at =

dv dt

dv

v is de grootte van de snelheid in dat punt; is dus de verandering van de grootte van de snelheid met dt de tijd. dv positief is, neemt de grootte van de snelheid rond dat punt toe: het systeem versnelt. dt dv Als negatief is, neemt de grootte van de snelheid rond dat punt af: het systeem vertraagt. dt dv Als nul is, verandert de grootte van de snelheid rond dat punt niet. dt ax · vx + ay · vy Je kunt bewijzen dat at = . (zie oef. 25 p. 110) v

Als

+

De tangentiële versnelling at in een punt P geeft informatie over de verandering van de grootte van de snelheid rond dat punt: at =

dv ax · vx + ay · vy =

dt v

41

• De component volgens de n-as is de normaalversnelling an (of de centripetale versnelling).

Men kan aantonen dat an =

v2 ρ

ρ is de kromtestraal van de baan in dat punt. Het is de straal van de cirkel die de kromming van de baan rond dat punt geeft.

Als de baan weinig gekromd is, is ρ groot en verandert de richting van → v weinig. De normaal­ versnelling an is klein.

Als de baan sterk gekromd is, is ρ klein en verandert de richting van → v veel. De normaal­versnelling an is groot.

Als de baan recht is, is ρ oneindig groot en verandert de richting van → v niet. De normaal­versnelling an is dan nul.

v1

1 2

v1

v1

v2

v2

ρ groot, an klein

+

v2

ρ klein, an groot

an is nul

De normaalversnelling an in een punt P geeft informatie over de verandering van de richting van de

snelheid rond dat punt: an =

v2 ρ

Voor de grootte van de versnelling geldt a = at2 + an2 t(s)

- OEFENING

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 x (m) 2,30 2,40 35 2,50 2,60

Een auto rijdt in het ravijn en maakt een kromlijnige beweging in het (x, y)-vlak. Om de 0,10 s werd de x- en de y-positie bepaald (zie tabel). y (m) 40

30

20

10

0

0

5

10

15

20

25

30

x(m) 0,00 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60 10,80 12,00 13,20 14,40 15,60 16,80 18,00 19,20 20,40 21,60 22,80 24,00 25,20 26,40 27,60 28,80 30,00 31,20

y(m) 35,00 34,95 34,80 34,56 34,22 33,78 33,24 32,60 31,86 31,03 30,10 29,07 27,94 26,72 25,40 23,98 22,46 20,84 19,12 17,31 15,40 13,39 11,28 9,08 6,78 4,38 1,88

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Waarom kan de normaalversnelling an niet negatief zijn?

42 ]

Kinematica en dynamica

Je kunt die functies opstellen door met bv. je grafisch rekentoestel een functiefit te doen voor de (x, t)- en de (y, t)-waarden.

Verder zul je zien dat deze beweging een horizontale worp is.

Na analyse blijkt dat beweging t.o.v. de x-as gegeven wordt door x = 12,00 (m/s) · t De beweging t.o.v. de y-as wordt gegeven door y = -4,90 (m/s2) · t2 + 35,00 (m) Bepaal de positie, de snelheid → v, de versnelling → a , de componenten at en an en de kromtestraal ρ op t = 1,00 s. Bepaal eveneens het soort beweging t.o.v. de x- en de y-as.

Oplossing a) De beweging t.o.v. de x-as wordt gegeven door x = 12,00 m/s · t De x-coördinaat op t = 1,00 s is x = 12,00 m/s · 1,00 s = 12,0 m

40

y (m)

P

30,1

De beweging t.o.v. de y-as wordt gegeven door y = -4,90 m/s2 · t2 + 35,00 m De y-coördinaat op t = 1,00 s is y = -4,90 m/s2 · (1,00 s)2 + 35,00 m = 30,1 m Op het ogenblik t = 1,00 s is het voorwerp in punt P (12,0 m; 30,1 m). b) De snelheid → v heeft componenten vx en vy.

Voor vx geldt

20 → r

10

0

dx d vx = = (12,00 m/s · t) = 12,00 m/s dt dt

De snelheid t.o.v. de x-as is constant.

De snelheid vx op t = 1,00 s is vx = 12,00 m/s Je kunt vx en vy ook benaderen met de tabel door ∆x/∆t en ∆y/∆t te bepalen voor een klein interval rond 1,00 s.

Bv.

∆y (29,07 m – 31,08 m) = ∆t (1,10 s – 0,90 s) = -9,8 m/s

0

10 12,0

20

Voor de y-component geldt vy =

dy d = (-4,90 m/s2 · t2 + 35,00 m) = -9,80 m/s2 · t dt dt

De snelheid vy op t = 1,00 s is vy = -9,80 m/s2 · 1,00 s = -9,80 m/s De snelheidsvector → v in het punt P heeft als componenten (+ 12,00 m/s; -9,80 m/s).

De grootte van de vector → v is

v = v x2 + v y2 = 15, 5 m/s

Als je die vector tekent, zie je dat hij aan de baan raakt.

30

x (m) 35

43

40

y (m)

35

2 cm ↔ 10 m/s

→ v

m –9,80 – s = vy

25

2 cm ↔ 10 m/s

20 K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Denk eraan dat je een eenvoudige schaal kiest om vx en vy te kunnen tekenen.

vx = 12,00 m/s

P

30

15 10 5 0

0

5

10

15

20

25

30

x (m) 35

c) De versnelling → a heeft componenten ax en ay.

Voor ax geldt

x (m) 35

dvx d ax = dt = dt (12,00 m/s) = 0 m/s2 Voor ay geldt dvy d ay = dt = dt (-9,80 m/s2 · t) = -9,80 m/s2 De versnellingsvector → a in het punt P heeft als componenten (0 m/s2; -9,80 m/s2).

De grootte van de vector is a = ax2 + ay2 = 9,80 m/s2

Als je → a tekent, zie je dat die vector naar de binnenkant van de baan en verticaal naar beneden wijst. y (m)

40 35

P

30 Denk eraan dat je een bruikbare schaal kiest om ax en ay te kunnen tekenen.

3 cm ↔ 10 m/s2 25 20

→ a

15 3 cm ↔ 10 m/s2 10 5 0

0

5

10

15

20

25

30

35

x (m)

44 ]

Kinematica en dynamica

d) Voor de at-component geldt: ax · vx + ay · vy v 0 m/s2 · 12,00 m/s + (-9,80 m/s2) · (-9,80 m/s) = + 6,20 m/s2 = 15,5 m/s

at =

De tangentiële component at is positief. Dat betekent dat de snelheid van het systeem rond het tijdstip 1,00 s toeneemt.

Uit a = at2 + an2 volgt an = a2 − at2 2

2

= (9,80 m/s2 ) − (6,20 m/s2 ) = 7,59 m/ s2

40

y (m)

35 P

30 De componenten at en an kunnen ook grafisch bepaald worden door  de vector a te projecteren op de t- en de n-as.

Je moet dan wel werken in een orthonormaal assenstelsel.

3 cm ↔ 10 m/s2

at

an

25

t

20 n 15

→ a

10 5 0

0

5

10

15

20

25

30

x (m) 35

45

e) Vermits v2 ρ

is v2 ρ = an =

(15,5 m/s)2 = 31,7 m 7,59 m/s2

De kromming van de baan rond het punt P komt overeen met die van een cirkel met straal 31,7 m.

f) De snelheid t.o.v. de x-as wordt gegeven door vx = 12,00 m/s Vermits de snelheid constant is, voert het systeem een EB uit t.o.v. de x-as.

De snelheid t.o.v. de y-as wordt gegeven door y (m)

vy = -9,80 m/s2 · t 40

Dat is een eerstegraadsfunctie; de snelheid verandert lineair met de tijd.

Het systeem voert dus een EVB uit t.o.v. de y-as.

35 30 25 20 15 10 5 0

0

5

10

15

20

25

30

x (m) 35

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ de definitie en kenmerken geven van de vectoren positie, verplaatsing, gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid, gemiddelde en ogenblikkelijke versnelling en die zowel wiskundig als grafisch bepalen ■ de definitie geven van het frenetstelsel ■ de componenten van de geziene vectoren bepalen (op x-as, y-as, t-as, n-as) en de betekenis ervan geven ■ oefeningen op vectoren en de kromlijnige beweging oplossen

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

an =

5

De tweede wet van Newton

De eerste wet van Newton zegt ons wat er gebeurt als er op een systeem geen (resulterende) kracht werkt: het systeem is dan in rust of voert een ERB uit (→ v is constant).

De tweede wet zegt ons wat er gebeurt als er op een systeem wel een (resulterende) kracht werkt.

Wie denk je dat er gelijk heeft in onderstaande conceptcartoon?

Š CNO (Centrum Nascholing Onderwijs) Soms kunnen die twee effecten ook tegelijkertijd optreden, bv. een auto die tegen een boom botst, wordt vervormd en komt tot stilstand.

In het derde jaar zag je dat een kracht een statisch of een dynamisch effect kan hebben.

Voorbeeld

Effect

Plooien van een staaf.

Statisch effect: de staaf wordt vervormd.

Vertrek van een Space Shuttle.

Dynamisch effect: de raket versnelt.

47

Zijwind.

Dynamisch effect: de sterke zijwind kan een wagen van zijn rijrichting doen afwijken.

De tweede wet van Newton gaat over het dynamisch effect van een kracht, het versnellen, vertragen en/of afbuigen van een systeem door een kracht.

In elk van die gevallen verandert de snelheidsvector → v - versnellen: → v wordt groter - vertragen: → v wordt kleiner - afbuigen: → v verandert van richting.

Er is een snelheidsverandering ∆→ v en dus een versnelling → a!

+

Kracht veroorzaakt versnelling!

Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag: AG SVRA OEK Z R DE ON

→ Welke verband bestaat er tussen de (resulterende) kracht F op een systeem en de versnelling → a van het systeem?

We onderzoeken de vraag aan de hand van volgende twee voorbeelden.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Een zwaan die landt op het water.

Dynamisch effect: de zwaan vertraagt en komt tot stilstand.

48 ]

Kinematica en dynamica

Voorbeeld 1: de parachutesprong van Felix Baumgartner.

Felix Baumgartner is een Oostenrijkse basejumper die in 2012 als eerste door de geluidsmuur ging bij een vrije val. Hij sprong daarvoor uit een heliumballon vanop 39 km hoogte en haalde na ongeveer 40 s een snelheid van 1200 km/h, de geluidssnelheid. Zijn snelheid liep daarna nog op tot 1357 km/h!

Op 39 km hoogte is er nagenoeg geen lucht meer aanwezig. Daarom droeg hij een speciaal pak. Er → is geen luchtweerstand: de zwaartekracht Fz is de enige kracht die op hem werkte. Die kracht is verticaal en naar beneden gericht.

→

Fz

Omdat hij uit een ballon sprong, was zijn baan rechtlijnig en verticaal.

De figuur toont zijn snelheid op twee verschillende tijdstippen bij het begin van zijn sprong. → v1 is de snelheid op ogenblik t1. → v2 is de snelheid op (het iets latere) ogenblik t2.

Zijn gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is

→ v 1

∆→ v → v2 - → v1 → v2 + (-→ v1) → ag = = = ∆t

-→ v1 ∆→ v → v 2

→ v 2

→ a

g

∆t

∆t

Als je de vector → ag bepaalt, zie je dat die verticaal en naar beneden gericht is zoals de zwaartekracht.

Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling → a.

49

Voorbeeld 2: het droppen van een voedselpakket.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

In conflictgebieden worden voedselpakketten gedropt om de burgerbevolking te helpen.

→ Fw

We bekijken de resulterende kracht op zo’n pakket in punt P. Op het pakket werken → twee krachten: de zwaartekracht Fz en de → luchtweerstand Fw. De som van die twee → vectoren geeft de resulterende kracht F zoals in de figuur.

P

→ F

→ Fz

Het pakket valt niet recht naar beneden maar volgt een kromlijnige baan.

De figuur toont de snelheid van het pakket op twee verschillende tijdstippen rond punt P. → v1 is de snelheid op ogenblik t1. → v2 is de snelheid op ogenblik t2.

→ v 1

P

→ v 2

De gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is -→ v

∆→ v → v2 – → v1 → v2 + (-→ v1) → ag = = = ∆t

→ v

1

1

∆t

∆t

Als je de vector → ag construeert, zie je dat die dezelfde richting en zin heeft als de resulterende kracht!

Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling → a.

P v ∆→ → a g

→ v 2

→ v 2

50 ]

Kinematica en dynamica

→ Uit deze twee voorbeelden blijkt dat de (resulterende) kracht F op een systeem en de versnelling → a van het systeem (veroorzaakt door die kracht) dezelfde richting en zin hebben. Dat geldt algemeen: → De (resulterende) kracht F op een systeem en de versnelling → a van het systeem hebben dezelfde richting en zin. (1)

+

Daarmee weten we nog niet welk verband er bestaat tussen de grootte van de kracht en grootte van de versnelling.

7

a m = cte

Experimenteel blijkt dat: - de versnelling van een systeem recht evenredig is met de kracht die op het systeem werkt: hoe harder je duwt bij het vertrek met de fiets, hoe groter je versnelling.

a~F - de versnelling van een systeem omgekeerd evenredig is met de massa van het systeem: met twee zware fietszakken op je fiets, is je versnelling kleiner dan zonder (als je dezelfde kracht uitoefent!).

a~

a F = cte

1 m

Daaruit volgt F a~ of m

F

F a m~

1/m

F = cte · a m

F = cte · m · a Door de keuze van de newton als eenheid van kracht in het SI-stelsel is de cte in deze formule gelijk aan 1 en onbenoemd.

☞

Als een systeem met massa m een versnelling heeft met grootte a, werkt op het systeem een (resulterende) kracht met grootte

F = m ∙ a (2) Kracht wordt uitgedrukt in newton, symbool N:

1 N = 1 kg ∙ m/s2

De eigenschappen (1) en (2) kunnen samengevoegd worden:

☞

WET

→ Als op een systeem een (resulterende) kracht F werkt, heeft het systeem een versnelling a→ en geldt →

F = m ∙ a→

Dat is de tweede wet van Newton.

51

De tweede wet van Newton geldt enkel voor puntmassa’s. Reële voorwerpen kunnen als gevolg van de resulterende kracht ook een rotatieversnelling krijgen.

→

F3

→

a

F

F5 F4

Als op een systeem meerdere krachten inwerken, behouden die elk hun eigen uitwerking, onafhankelijk van elkaar. Dat staat bekend als het onafhankelijkheidsbeginsel.

Volgende gedachteproef illustreert dat: hoog boven het aardoppervlak wordt vanuit een ballon in rust een speelgoedvliegtuigje gelanceerd. → Het motortje oefent een constante en horizontale kracht Fm uit. → De zwaartekracht Fz is verticaal en naar beneden gericht. Elk van die krachten heeft zijn effect: het vliegtuigje zal horizontaal versnellen door de motorkracht en verticaal naar beneden versnellen door de zwaartekracht. De figuur toont het resultaat. De baan is recht en het is alsof er één enkele kracht op het systeem werkt, de resulterende kracht.

7 We laten de wrijvingskracht buiten beschouwing.

x

30 27

20

12 10

→ Fm

3

0

0

x

4,9

→ Fz

10

→ F

19,6 20

30

40 44,2 50

y

y

Bekijk nu eens terug de conceptcartoon van p. 46. Wie heeft er gelijk? Ben je van mening veranderd?

Zo ja, waar zat dan de fout in je redenering?

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

ls er op een voorwerp verschillende krachten inwerken, moet je alle krachten vectorieel samentellen.

A → De kracht F is dan de resulterende kracht op het systeem.    F2 F = ∑ Fi = m ⋅ a

F1

7

52 ]

Kinematica en dynamica

Praktische toepassing: de oplooprem van een aanhangwagen Aanhangwagens waarvan de maximale massa meer dan 750 kg mag bedragen, moeten voorzien zijn van een eigen remsysteem. Dat zegt het Koninklijk Besluit (K.B.) van 15 maart 1968 Art. 47.

Met de tweede wet van Newton is dat te begrijpen: hoe groter de massa, hoe kleiner de vertraging bij een gegeven remkracht. Bij een lichte aanhangwagen volstaat de remkracht van de auto om het hele systeem af te remmen, bij een zware aanhangwagen niet.

Meestal is de aanhangwagen in dat geval voorzien van een oplooprem. Het in werking treden daarvan steunt op de wet van de traagheid: als de auto remt, behoudt de aanhangwagen zijn snelheid (eerste wet van Newton) en drukt zo een as in; daardoor worden de remmen van de aanhangwagen in werking gezet.

Om te vermijden dat de oplooprem bij het achteruitrijden wordt ingedrukt, is er een staafje voorzien waardoor de afstand tussen aanhangwagen en auto gefixeerd kan worden. Bij het vooruitrijden zorgt een veer ervoor dat het staafje automatisch terugspringt. In de ambtelijke taal van het K.B. dat dit voorschrijft, klinkt het als volgt: …Wanneer om het achteruitrijden van de sleep toe te laten een aanhangwagen uitgerust is met een inrichting waardoor de bedrijfs­rem van het oplooptype buiten werking kan worden gesteld, moet deze inrichting zodanig zijn opgevat en uitgevoerd dat bij het vooruitbewegen van het voertuig de rem in bedrijfsvaardige toestand terugkeert …

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ de 2e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven ■ het onafhankelijkheidsbeginsel uitleggen en illustreren met een voorbeeld

6

Kracht en beweging 6.1 Kracht als de beweging gekend is

De beweging kan beschreven worden door een x(t)- en y(t)-tabel, door de bewegings­ vergelijkingen of door de x(t)- en y(t)-grafiek. In dit voorbeeld werken we met de bewegingsvergelijkingen.

De foto toont één beeld uit een video-opname van een crashtest. Door de positie van bv. het hoofd in elk frame te registreren, kun je de beweging daarvan vastleggen. Met die gegevens kun je de kracht op het hoofd en de invloed van bv. de kreukelzone, de gordel enz… onderzoeken.

In deze paragraaf leer je hoe je de kracht op een systeem kunt bepalen als je de beweging van het systeem kent. We volgen daarbij Stefanie die een pretpark bezoekt.

6.1.1 Stefanie op de achtbaan y P

x

Stefanie (massa 53,4 kg) doet een rit op de achtbaan (rollercoaster). We bekijken een deel van de baan dat in een verticaal vlak ligt rond een top. We kiezen het (x, y)-assenstelsel zoals in de figuur.

De positie (x en y-coördinaat) van Stefanie werd gemeten om de 0,1 s. De tabel geeft de resultaten rond de top.

Ga na hoe vx, vy, v, ax, ay en a berekend werden. Rond voor de eenvoud af op 2 decimalen. Interpreteer het teken (wat betekent het bv. dat ay negatief is?). Op welk ogenblik overschrijdt Stefanie de top?

Punt P

t (s)

x (m)

y (m)

vx (m/s)

vy (m/s)

v (m/s)

2,80

13,77

26,17

2,90

14,26

3,00

ax (m/s) ay (m/s)

a (m/s)

26,21

4,93

0,23

4,94

14,76

26,22

5,01

-0,03

5,01

0,84

-2,52

2,66

3,10

15,27

26,20

5,10

-0,28

5,11

0,92

-2,45

2,62

3,20

15,78

26,16

5,19

-0,52

5,22

1,00

-2,39

2,59

3,30

16,30

26,10

5,30

-0,76

5,35

1,07

-2,32

2,56

3,40

16,84

26,01

5,41

-0,98

5,50

1,15

-2,26

2,53

3,50

17,39

25,90

5,53

-1,21

5,66

1,23

-2,19

2,51

3,60

17,95

25,77

5,66

-1,42

5,83

1,31

-2,12

2,49

3,70

18,52

25,62

5,79

-1,63

6,02

3,80

19,10

25,45

54 ]

Kinematica en dynamica

→ We berekenen de kracht F op Stefanie op 3,60 s. Ze bevindt zich dan in punt P juist na de top.

→ De kracht F is de resulterende kracht!

Fx = m ∙ ax = 53,4 kg ∙ 1,31 m/s2² = 70,0 N Fy = m ∙ ay = 53,4 kg ∙ (-2,12 m/s2) = -113 N F = Fx2 + Fy2 = 133 N De tangentiële component van de kracht kun je grafisch bepalen of berekenen:

De tangentiële component is positief. Dat betekent dat de snelheid van Stefanie rond dat punt toeneemt.

Vermits F = Ft2 + Fn2 vind je voor de normaalcomponent Fn = F 2 - Ft2 = ^133 N h2 - ^95, 5 N h2 = 92, 6 N Dat deel van de resulterende kracht zorgt voor de afbuiging.

26,5

y (m)

26,5

y (m)

Fx

P

P

25,5

25,5

Ft t

Fn

Fy

→

→

F

F

n 24,5 17,0

x (m) 18,0 → F, Fx en Fy

19,0

24,5 17,0

x (m) 18,0 → F, Ft en Fn

19,0

55

In het Engels spreekt men ook van een gravitron.

•

+

DEFINITIE

Stefanie wil de draaiende ton doen. In dat cilindervormig toestel moet ze zich samen met de andere deelnemers tegen de wand plaatsen. Het toestel begint dan rond te draaien. Bij een bepaalde draaisnelheid laat men de bodem naar beneden zakken en blijft iedereen tegen de wand hangen! Ze voert dan een cirkelvormige beweging uit waarbij de grootte van de snelheid constant is. Zo’n beweging noemt men een eenparige cirkelvormige beweging.

Definitie Een systeem voert een eenparige cirkelvormige beweging (ECB) uit als - de baan cirkelvormig is; - de grootte van de snelheid constant is.

Andere voorbeelden: een cd in een cd-lezer, een band van een auto die een EB uitvoert, de beweging van de aarde rond de zon …

Omdat het systeem geen ERB uitvoert, is er een resulterende kracht. Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

AG SVRA OEK Z R DE ON

Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de (resulterende) kracht op een systeem dat een ECB uitvoert?

We bepalen die kracht vanuit de beweging van het systeem.

y

r

•

Hoeksnelheid

x

We kiezen het (x, y)-vlak zo, dat de baan van het systeem in dat vlak ligt en het in tegenwijzerzin beweegt. De oorsprong kiezen we in het middelpunt van de cirkel.

De positiehoek θ is de hoek tussen de x-as en de vector → r. Die hoek meten we in tegenwijzerzin.

Op t1 is de positiehoek θ1.

Op t2 is de positiehoek θ2.

De afgelegde of doorlopen hoek in het tijdsinterval [t1; t2] is Δθ = θ2 – θ1

y

r

Vermits het voorwerp beweegt in tegenwijzerzin, is θ2 groter dan θ1 en is Δθ positief. x

+ Vermits Δθ en Δt allebei positief zijn, zijn ωg en ω positief.

De hoeksnelheid kan uitgedrukt worden in °/s of rad/s.

De gemiddelde hoeksnelheid ωg in het interval Δt is ωg =

∆θ ∆t

De ogenblikkelijke hoeksnelheid ω (t) is gelijk aan ω (t) = lim

∆ t→0

∆θ dθ = ∆t dt

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

6.1.2 Stefanie in draaiende ton (ECB)

56 ]

Kinematica en dynamica

De periode T is de tijd nodig voor één omwenteling.

De frequentie f is het aantal omwentelingen per seconde.

Eén cyclus per seconde noemt men een hertz (Hz).

Tussen periode en frequentie bestaat het volgende verband: f=

In het dagelijkse leven gebruikt men meestal het toerental i.p.v. de hoeksnelheid.

Dat geeft het aantal toeren per minuut weer waarmee bv. een automotor ronddraait.

Voorbeeld: Een boormachine doet 600 toeren per minuut.

600 toeren/1 min = 600 toeren/60 s = 10 toeren per s = 10 Hz De periode T bedraagt T=

•

1 T

1 1 = = 0,10 s f 10 Hz

Positie Van een voorwerp dat een ECB uitvoert, verandert de x- en de y-coördinaat voortdurend.

Voor de x-coördinaat geldt

We schrijven x(t) en θ (t) om duidelijk te maken dat x en θ veranderen met de tijd.

x(t) = r · cos θ (t) want cos θ =

x r

Deze formule geldt in elk kwadrant. Ga dat na (let op het teken!).

Voor de y-coördinaat geldt y(t) = r · sin θ(t)

•

Snelheid Voor de x-component van de snelheid → v geldt dx dt d dθ = [r · cos θ(t)] = r · [-sin θ(t)] · = -r · sin θ · ω dt dt

vx = We gebruiken hier de kettingregel die je in de lessen wiskunde leerde.

Voor de y-component geldt dy dt d dθ = [r · sin θ(t)] = r · [cos θ(t)] · = r · cos θ · ω dt dt

vy =

y

r θ

x

x

57

De grootte van de snelheid is v = vx2 + v y2 = (-r ∙ ω ∙ sin θ )2 + (r ∙ ω ∙ cos θ )2 = r 2 ∙ ω 2 ∙ (sin2 θ + cos2 θ ) = r ∙ ω

De snelheidsvector raakt in elk punt aan de cirkel. Dat zie je ook aan de vonken die wegvliegen bij een slijpschijf. y

v

x

Eenheden van ω In de formule v = ω · r kloppen de eenheden niet. In feite moet er staan

v=

ω·r … rad /s · … m m = = ...

(1) rad (1) rad s

Die 1 rad is afkomstig van de afgeleide van sin x of cos x en schrijft men meestal niet. (zie lessen wiskunde) Als je de hoeksnelheid ω uitdrukt in rad/s kloppen de eenheden wel:

v=

ω·r … rad /s · … m m = = ...

(1) rad (1) rad s

+

Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, geldt voor de grootte van de snelheid v=ω·r als je ω uitdrukt in rad/s.

Vermits v = w · r, hangt de snelheid v af van de afstand tot het middelpunt: hoe groter r, hoe groter v.

Dat merk je op een paardenmolen: hoe verder je aan de buitenkant zit, hoe sneller je beweegt.

De hoeksnelheid ω is wel gelijk voor iedereen die op de paardenmolen zit!

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

De oplossing v = -r · ω, die wiskundig ook mogelijk is, kan fysisch niet omdat v, r en ω positief zijn.

58 ]

Kinematica en dynamica

Uit de formule v = ω · r leiden we nog volgende eigenschappen voor de ECB af: • ω is constant v Uit v = ω · r volgt ω = . r Vermits v en r constant zijn (definitie ECB), is ω ook constant.

Wiskundig kan dat op dezelfde manier bewezen worden zoals bv. bij de EB bewezen werd dat vx,g = vx.

• ωg is constant en gelijk aan ω

Als de hoeksnelheid op elk ogenblik dezelfde waarde heeft, is de gemiddelde hoeksnelheid daaraan gelijk.

• ω =

2π T

ω = ωg (zie vorige eigenschap) =

Δθ (definitie) ∆t

Als het voorwerp éénmaal de cirkelvormige baan doorloopt, is de afgelegde hoek Δθ = 2π (rad) en Δt = T. Dus: 2π ω = T

• We gebruiken hier opnieuw de kettingregel.

Versnelling Voor de x-component van de versnelling → a geldt dvx dt d = [-r · w · sin θ(t)] dt dθ = -r · w · [cos θ(t) · ] dt = -r · w2 · cos θ ax =

Voor de y-component geldt dvy dt d = [r · w · cos θ(t)] dt dθ = r · w · [-sin θ(t) · ] dt = -r · ω 2 · sin θ ay =

De grootte van de versnelling is De oplossing a = -r · ω2, die wiskundig ook mogelijk is, kan niet omdat a, r en ω2 positief zijn.

a = ax2 + ay2 = (-r ∙ ω 2 ∙ cos θ )2 + (r ∙ ω 2 ∙ sin θ )2 = ω 2 ∙ r

59

Voor de versnelling bij een ECB gelden nog volgende eigenschappen: y

v

Dat volgt onmiddellijk uit a = ω 2 · r vermits ω en r constant zijn.

Alhoewel de snelheid constant is, is er toch een versnelling!

De oorzaak hiervan is dat versnelling de verandering van de snelheidsvector geeft (per s): de grootte   van v is weliswaar constant, maar de richting van v verandert voortdurend!

y • De versnellingsvector a is altijd gericht naar het middelpunt van de cirkel. y

at a x

De versnelling bij een ECB noemt men daarom ook de middelpuntzoekende of centripetale versnelling.

n

a

x

  S tel dat a niet naar het middelpunt zou gericht zijn, dan heeft a een tangentiële component at verschillend van nul. Maar als at verschilt van nul, verandert de grootte van de snelheid en dat is niet het geval.

• a = an =

v2 r

Vermits a = De oplossing a = -an, is wiskundig ook mogelijk, maar kan fysisch niet omdat a en an positief zijn.

an

t

a =

at2 + an2 en at = 0, is

an2 = an

v2 en ρ de straal r van de cirkel is, is ρ v2 a = an = r

Vermits an =

Je kunt de formule ook afleiden als volgt: v = ω · r en dus ω =

v r

Invullen in a = ω 2 · r geeft a =

+

v2 v2 2 ·r= r r

Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, is a = ω2 · r =

v2 r

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

• De versnelling a is constant.

60 ]

Kinematica en dynamica

•

Kracht bij een ECB Bij een ECB is de versnelling op elk ogenblik naar het middelpunt van de cirkel gericht.

Omdat de resulterende kracht en de versnelling dezelfde richting en zin hebben, is de kracht op het systeem op elk ogenblik ook naar het middelpunt gericht. → Daarom noemt men die kracht de middelpuntzoekende (of centripetale) kracht, symbool Fc. Voor de grootte van de versnelling geldt a=

v2 r

Daaruit volgt F=m·a=m·

+

v2 r

Fc

Op een systeem dat een ECB uitvoert, werkt een kracht die steeds naar het middelpunt gericht is, de middelpuntzoekende of centripetale kracht.

De grootte van die kracht is

Fc = m ∙ v 2/r Voorbeeld 1: een wagen die een bocht neemt Een wagen die op een horizontaal wegdek een cirkelvormige bocht neemt met constante snelheid voert een ECB uit. De resulterende kracht is de middelpuntzoekende kracht: v2 die is horizontaal, gericht naar de binnenkant van de bocht en heeft als grootte F = m · . r → De kracht die daarvoor zorgt, is de wrijvingskracht Fw. Vermits F = m ·

v2 geldt: hoe groter de snelheid, hoe groter de kracht die nodig is. r

Vermits de wrijvingskracht echter begrensd is, is er een maximale snelheid waarmee je een bocht kunt nemen. Die snelheid hangt ook af van de kromtestraal van de bocht: hoe scherper de bocht, hoe kleiner r en hoe groter F moet zijn. Daarnaast speelt ook het wegdek een rol: bij ijzel is de wrijvingskracht zo klein dat je de bocht slechts met een zeer kleine snelheid kunt nemen. Als de wrijvingskracht nul is, kun je de bocht niet nemen en gaat de wagen rechtdoor (eerste wet van Newton).

Fw Fw

Fw

Voorbeeld 2: hamerslingeren Na enkele omwentelingen kun je de beweging van de bol bij het hamerslingeren beschouwen als een ECB in een horizontaal vlak. → De resulterende kracht F is de middelpuntzoekende kracht: v2 die is horizontaal, gericht naar het middelpunt en heeft als grootte F = m · . r Als we de luchtweerstand buiten beschouwing laten, is die kracht het gevolg van twee krachten: → → de zwaartekracht Fz en de kracht Fa die de atleet via het touw uitoefent.

Hoe sneller de bol wordt rondgezwierd, hoe groter de kracht van de atleet moet zijn.

Als hij het touw loslaat, vliegt de bol weg rakend aan de cirkel (eerste wet van Newton). m F Fa

r

F

r

F

Fz

- OEFENING

ECB van een ruimteveer Een ruimteveer beweegt op een hoogte van 300 km eenparig cirkelvormig rond de aarde in 90 minuten.

Bereken de hoeksnelheid, de grootte van de snelheid en van de versnelling.

Oplossing a) De hoeksnelheid is 2π ω = T 300 km 2π 2π = = 1,2 · 10-3 (rad)/s = 90 min 90 · 60 s rA

Maak een tekening. Dan zie je zo dat r de afstand is tot het middelpunt van de aarde!

b) De snelheid is v = ω · r De afstand r is de hoogte + de aardstraal: r = h + rA = 300 km + 6371 km = 6671 km = 6671 · 103 m Dus v = 1,2 · 10-3 (rad)/s · 6671 · 103 m = 80 · 102 m/s (= 8,0 km/s = 29 · 103 km/h) c) De versnelling is a = ω2 · r = (1,2 · 10-3 (rad)/s)2 · 6671 · 103 m = 9,6 m/s2

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

61

62 ]

Kinematica en dynamica

6.2 Beweging als de kracht gekend is

Reusachtige planetoïde zet koers richting aarde op dit moEen reusachtige planetoïde zet laat ruimDat e. aard ment koers richting de hemelHet en. wet SA tevaartorganisatie NA (2015) ari janu 26 g lichaam zal op maanda . eren pass rakelings onze planeet ter geen Volgens NASA hoeven we ons ech 4 BL86 200 de, etoï plan zorgen te maken. De werd) ekt ontd 4 200 in genaamd (omdat hij and afst ige veil een op (…) zal onze planeet nog n, rme tete ruim in passeren, al blijft het, ruim dat m, haa ellic steeds dichtbij: het hem

ft, zal op een halve kilometer diameter hee ons vervan er ‘slechts’ 1,2 miljoen kilomet is onDat ren. wijderd langs de aarde sche tot de e aard de geveer 3 keer de afstand van maan.

bron: De Standaard 20/01/2015, National Geographic, NASA

Planetoïden (ook asteroïden genoemd) zijn kleine stukken materie die - evenals de planeten - rond de Zon bewegen. De meeste bevinden zich tussen de planeten Mars en Jupiter. De grootste zijn bijna 1000 km groot, maar de overgrote meerderheid is minuscuul klein. Op zo’n planetoïde werkt de gravitatiekracht (zie verder). De kracht die op de planetoïde werkt, bepaalt de baan en de beweging ervan. Zo kan op voorhand berekend worden wanneer en op welke afstand een planetoïde voorbij de aarde zal vliegen.

In deze paragraaf leer je hoe je de baan en de beweging op de baan kunt bepalen als de kracht gekend is.

We bekijken eerst het geval waarbij de kracht op het systeem constant is, waarbij de grootte en de richting van de kracht dus niet veranderen. Een voorbeeld daarvan is de valbeweging.

6.2.1 Val in vacuüm Een valschermspringer bedoelt met een vrije val niet een val in vacuüm, maar de tijd vóór het openen van het valscherm.

De zwaartekracht is op die hoogte ietsje kleiner, maar dat laten we buiten beschouwing.

In 2012 sprong Felix Baumgartner uit een ballon op 39 km hoogte. Op die hoogte is nagenoeg geen lucht aanwezig (vacuüm) en kunnen we de luchtweerstand verwaarlozen. Een val in vacuüm noemt men een vrije val.

De resulterende kracht is dan de zwaartekracht. Die is constant en verticaal naar beneden gericht.

We kiezen het (x, y)-assenstelsel zoals in de figuur. De oorsprong ligt waar zijn val begint. Zijn beginsnelheid is 0. x → Fz

y

63

Projecteren van die wet geeft op de x-as: Fx = m · ax op de y-as: Fy = m · ay In dit geval geldt Fx = 0 en dus ax = 0. Het systeem versnelt niet t.o.v. de x-as en voert dus een EB uit t.o.v. de x-as.

Omdat de beginsnelheid nul is, verandert zijn positie niet t.o.v. de x-as en valt hij recht naar beneden.

De valversnelling en de zwaarteveldsterkte worden door hetzelfde symbool g voorgesteld. Verder zullen we aantonen dat die twee grootheden identiek zijn.

Fy = Fz = constant en dus ay = cte. Het systeem heeft een constante versnelling t.o.v. de y-as en voert dus een EVB uit t.o.v. de y-as.

De snelheid van het systeem neemt lineair toe. De versnelling is constant en noemt men de valversnelling g. vy

ay g

t Op de maan is er geen atmosfeer en vallen bv. een hamer en een pluimpje even snel. Dat werd in 1971 door astronaut David Scott gedemonstreerd tijdens één van de maanlandingen.

t

Experimenteel blijkt: • De valversnelling in vacuüm is onafhankelijk van de massa of van de vorm van het voorwerp: alle voorwerpen vallen in vacuüm ‘even snel’.

• De valversnelling is afhankelijk van de plaats op aarde en van de hoogte (zie p. 92). Meestal neemt men voor de valversnelling dicht bij het aardoppervlak de gemiddelde waarde 9,81 m/s2.

Dat is ook de waarde in onze streken.

• Ook op andere planeten is er een valversnelling.

+

Bij een val in vacuüm voert het systeem een EVRB uit. De valversnelling g is onafhankelijk van het voorwerp en bedraagt in onze streken 9,81 m/s2.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Volgens de tweede wet van Newton geldt → F =m·→ a

64 ]

Kinematica en dynamica

6.2.2 Val in een fluïdum Wrijvings- en weerstandskrachten bekijken we in detail in hoofdstuk 10.

Vloeistoffen en vaste stoffen noemen we fluïda, omdat die kunnen ‘vloeien’.

→ Een voorwerp dat boven het aardoppervlak wordt losgelaten, valt door de zwaartekracht Fz naar beneden. → Door wrijving met de lucht werkt op het systeem ook een weerstandskracht Fw. Weerstandskracht werkt ook op bv. een steen die in water naar beneden valt. Wanneer een voorwerp valt in een gas of een vloeistof, is er wrijving met die stof en spreekt men van een val in een fluïdum. → Fw x → F

→ Fz

y

aarde

aarde

→ → Fz en Fw

resulterende kracht

Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

AG SVRA OEK Z R DE ON

Hoe ziet de beweging (vy(t)- en ay(t)-grafiek) eruit voor een systeem dat een val in een fluïdum uitvoert?

De weerstandskracht is tegengesteld aan de snelheid → v en is dus verticaal naar boven gericht. De resulte→ rende kracht F is

→ → → F = Fz + Fw

→ Voor de grootte van F geldt F = Fz - Fw Zoals bij een val in vacuüm valt het voorwerp recht naar beneden en versnelt, maar de versnelling neemt geleidelijk aan af.

Die eindsnelheid hangt af van de massa van het systeem, de frontale oppervlakte en de middenstof. Voor een valschermspringer ligt de eindsnelheid rond 200 km/h.

Voor een regendruppel ligt de eindsnelheid rond 20 km/h.

Verklaring: In het begin van de val is de weerstandskracht nul en is de versnelling van het systeem gelijk aan valversnelling g (9,81 m/s2). Naarmate het systeem sneller beweegt, wordt de weerstandskracht groter en de resulterende kracht kleiner. De versnelling van het systeem wordt dus kleiner: de snelheid neemt nog wel toe, maar minder snel. Op een bepaald moment is de snelheid zo groot dat de weerstandskracht gelijk wordt aan de zwaartekracht: de resulterende kracht is dan nul en het systeem versnelt niet meer. Het systeem bereikt zijn eindsnelheid en voert vanaf dat ogenblik een EB uit.

65

ay

vy

(m/s2)

v y, e

→ Fw

t

→ Fz

+

Bij een val in een fluïdum neemt de snelheid toe tot een bepaalde eindsnelheid. Het systeem voert vanaf dat ogenblik een EB uit.

6.2.3 De horizontale worp

• We bekijken de beweging van de pijl na de lancering.

Waarom is het belangrijk het assenstelsel ‘goed’ te kiezen?

Bewegingsvergelijking Een pijl die horizontaal wordt weggeschoten, beschrijft een horizontale worp.

Laten we de luchtweerstand buiten be→ schouwing, dan is de zwaartekracht Fz de → resulterende kracht F. Die is constant en verticaal naar beneden gericht (fig.a).

We kiezen het (x,y)-assenstelsel zoals in de figuur. De oorsprong ligt op de aarde en verticaal onder het vertrekpunt van de pijl. De beginhoogte van de pijl is h, de beginsnelheid → v0 (fig. b).

t

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

9,81

66 ]

Kinematica en dynamica

y

y

→ v0

h

→ Fz

aarde

x

x

fig b

fig a

Volgens de tweede wet van Newton geldt → F =m·→ a Projecteren geeft: op de x-as: Fx = m ∙ ax op de y-as: Fy = m ∙ ay Vermits Fx = 0, is ax = 0 en voert het systeem een EB uit t.o.v. de x-as.

Vermits Fy = cte ≠ 0, is ay = cte ≠ 0 en voert het systeem een EVB uit t.o.v. de y-as. y

y

Fz

Fz

x

x

+

EB t.o.v. de x-as

EVB t.o.v. de y-as

Een kracht zorgt enkel voor een versnelling in de richting en zin waarin ze werkt. Een systeem dat een horizontale worp uitvoert en waarop enkel de zwaartekracht werkt, voert horizontaal een EB uit en verticaal een EVB.

67

y

→ v

0

(y0 =) h

Invullen van de begingegevens xo = 0 m (het systeem vertrekt boven de oorsprong) vx = + vo to = 0 s (we starten de chronometer als het systeem vertrekt)

→ a

geeft x = 0 m + vo · (t – 0 s)

x 0 (= x0)

+

Voor de x(t)-functie bij een horizontale worp geldt x = vo · t (1)

Dat is een eerstegraadsfunctie. De x(t)-grafiek is een schuine rechte.

x

Voor de y(t)-functie geldt y = yo + voy · (t – to) + T.o.v. de y-as voert het systeem een EVB uit. De versnelling ay is dan constant. Die versnelling is gelijk aan de valversnelling g.

De component ay is negatief omdat het systeem versnelt in de negatieve zin van de y-as.

Dus ay = -g = -9,81 m/s2

+

ay · (t – to)2 2 t

Invullen van de begingegevens yo = h (het systeem vertrekt op hoogte h) voy = 0 m/s to = 0 s ay = -g geeft (-g) · (t – 0 s)2 y = h + 0 m/s · (t – 0 s) + 2 Voor de y(t)-functie bij een horizontale worp geldt y=h–

g 2 · t (2) 2

y h

Dat is een tweedegraadsfunctie. De y(t)-grafiek is dus een parabool. Het nulpunt van de y(t)-parabool geeft het tijdstip waarop het voorwerp op de grond terecht komt. t

•

De baan De baan is de y(x)-functie. Die functie krijg je door t te elimineren uit de vergelijkingen (1) en (2).

Uit (1) volgt t=

x vo

Invullen in (2) geeft y=h–

()

g x · 2 vo

2

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Voor de x(t)-functie geldt dan x = xo + vx · (t – to)

68 ]

Kinematica en dynamica

+

Voor de baan bij een horizontale worp geldt g · x2 y=h– (3) 2 · vo2

Dat is een tweedegraadsfunctie.

-g · x2 2 · vo2

y = c + b · x + a · x2 ↔ y = h + 0 · x + Verwar de y(x)-functie niet met de y(t)-functie. De y(x)-parabool geeft de baan van het systeem weer, de y(t)-parabool geeft de beweging van het systeem weer t.o.v. de y-as.

Een systeem dat een horizontale worp uitvoert, volgt dus een parabolische baan. Het nulpunt van de y(x)parabool geeft de plaats aan waar het systeem op de grond terecht komt.

De x-coördinaat van de top van de parabool wordt gegeven door -b 2a 0 = =0 2·h

xtop =

Het vertrekpunt van het systeem is de top van de parabool.

y vo

In de functie y = h –

g · x2 2 · vo2

g · x2 aan hoeveel hoogte het 2 · vo2 systeem verloren heeft als de (horizontale)

hoogteverlies = h

geeft de term

g · x2 2 · vo2

x x

positie x is.

Dat hoogteverlies hangt af van de beginsnelheid vo en van de afstand x.

Hoe groter de beginsnelheid, hoe kleiner het hoogteverlies.

Hoe groter de afstand x die je beschouwt, hoe groter het hoogteverlies.

Om het hoogteverlies bij het boogschieten zo klein mogelijk te maken, moet je de boog goed opspannen, zodat de pijl een grote beginsnelheid heeft.

•

Het bereik Het bereik of de dracht d is de horizontale afstand die het systeem aflegt tijdens de horizontale worp, tot het op de grond terecht komt: d = xe – xo

y h

en vermits xo = 0 m d = xe

vo

xe is een nulpunt van de parabool: y=h– x xo

d

xe

h=

g · xe2 =0 2 · vo2

g · xe2 2 · vo2

69

xe2 =

2 · vo2 · h g

+

xe = + vo ·

2·h

g

(xe is positief)

Voor het bereik (de dracht) bij een horizontale worp geldt

d = vo ∙

2∙h g

Het bereik hangt af van de beginsnelheid vo en van de vertrekhoogte h.

Hoe groter de beginsnelheid, hoe groter het bereik.

Hoe groter de vertrekhoogte, hoe groter het bereik.

•

Snelheid De snelheid vx t.o.v. de x-as is constant en is gelijk aan vo: vx = vo Voor de snelheid vy t.o.v. de y-as geldt vy = voy + ay · (t – to) Invullen van de gegevens voy = 0 m/s, to = 0 s en ay = - g geeft vy = 0 m/s – g · (t – 0 s) vy = - g · t De grootte van de snelheid t.o.v. de y-as neemt toe met de tijd. y

h

vo

x

 De grootte van de snelheidsvector v wordt gegeven door v = vx2 + v y2 = vo2 + (- g ∙ t )2

De snelheid v neemt toe met de tijd.

+

 Voor de grootte van de snelheid v bij een horizontale worp geldt

v = vo2 + g2 ∙ t 2

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Dus

70 ]

Kinematica en dynamica

-

OEFENING

Een C-130 vliegt met een snelheid van 290 km/h en dropt een voedselpakket op een hoogte van 250 m.

Hoe ver komt het pakket terecht en met welke snelheid?

290 km/h

250 m

Oplossing Het voedselpakket beschrijft een horizontale worp. a) Voor de dracht geldt d = vo ·

2 · 250 m 2·h = 80,6 m/s · 7,14 s = 575 m = 290 km/h · g 9,81 m/s2

b) De snelheid van het pakket is v = vo2 + g2 ∙ t 2

(*)

We berekenen het tijdstip waarop het pakket op de grond komt met de y(t)-functie:

y = h –

g 2 ·t 2

= 250 m –

9,81 m/s2 2 ·t 2

Op dat tijdstip is y = 0 m. Dus 0 m = 250 m –

9,81 m/s2 2 ·t 2

Daaruit volgt Merk op dat je het tijdstip t = 7,14 s ook al in a) verkreeg.

Kun je dat verklaren?

t =

2 ∙ 250 m = 7,14 s 9,81 m/s2

Invullen in (*) geeft Let op de eenheden.

v = (290 km/h)2 + (9, 81 m/s2 )2 · (7,14 s)2 = 107 m/s = 385 km/h

71

6.2.4 Niet-constante kracht

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Meestal werkt op een systeem een kracht die niet constant is, maar waarvan zowel de grootte en/of de richting verandert. Wiskundig is die situatie veel moeilijker (en soms onmogelijk) om op te lossen. Benaderend kan in dat geval de baan en de beweging op de baan bepaald worden door de iteratieve methode.

Daarbij werken we met kleine tijdsintervalletjes Δt. In zo’n interval kun je de kracht als constant beschouwen. Dan kun je de krachtcomponenten Fx en Fy bepalen, de versnelling ax en ay, de verandering van de snelheid Δvx en Δvy in het tijdsinterval Δt, de nieuwe positie van het voorwerp bij het begin van het volgende tijdsinterval …

Op die manier kan de baan van het voorwerp bij benadering bepaald worden.

1 Een kracht waarvoor geldt F + 2 r voldoet aan de ‘omgekeerde kwadratische’ wet. Een voorbeeld van zo’n kracht is de gravitatiekracht die de zon op de planeten uitoefent (zie p. 84).

Voorbeeld: Een voorwerp met massa 2,00 kg bevindt zich op t = 0 s in het punt x = 100 m, y = 0 m.

Het heeft op dat ogenblik snelheid vx = 0 m/s en vy = 7,00 m/s. Het bevindt zich op een afstand r van de oorsprong. Op het voorwerp werkt een kracht die altijd naar de oorsprong 1 gericht is en waarvoor geldt F  2 . r

y

We nemen hiervoor de evenredigheidsconstante 20,0 · 103 Nm2. Dus 3 F = 20,0 ∙ 10 Nm2

r2 Voor de eenvoud laten we de eenheden weg.

Doe de berekeningen voor het punt (100; 0).

Voor de afstand r geldt r2 = x2 + y2 = (100)2 + (0)2 = (100)2 r = 100 De grootte van de kracht is 3 20,0 ∙ 103 20,0 ∙ 10 F= = = 2,00 r2 (100)2 De kracht is naar de oorsprong gericht. Dus is Fx = -2,00 Fy = 0 De versnelling is F - 2, 00 ax = x = = -1, 00 m 2, 00 Fy 0 ay = = =0 m 2, 00

We beschouwen een tijdsinterval Δt = 1,00 (s).

Waarom … bij benadering … ?

De verandering van de snelheid in dat tijdsinterval is bij benadering Δvx = ax · Δt = -1,00 · 1,00 = -1,00 Δvy = ay · Δt = 0 · 1,00 = 0

→

v (7, 00 m/s)

→

F

x (100 m; 0 m)

72 ]

Kinematica en dynamica

De nieuwe snelheid wordt vx = vxo + Δvx = 0 + (-1,00) = -1,00 vy = vyo + Δvy = 7,00 + 0 = 7,00 Waarom … bij benadering … ?

De verplaatsing is bij benadering Δx = vx · Δt = -1,00 · 1,00 = -1,00 Δy = vy · Δt = 7,00 · 1,00 = 7,00 De nieuwe positie wordt x = xo + Δx = 100 + (-1,00) = 99 y = yo + Δy = 0 + 7,00 = 7,00 Herhaal nu de berekeningen als het voorwerp zich in het punt (99; 7,00) bevindt.

Voor de afstand r geldt r2 = x2 + y2 = (99)2 + (7,00)2 r = 99,2 De grootte van de kracht is 20, 0 ∙ 103 20, 0 ∙ 103

F = = = 2, 03 r2 (99,2)2 De kracht is naar de oorsprong gericht. Daaruit kan je Fx en Fy bepalen …

In een rekenblad zoals Excel kun je zo’n iteratie snel laten uitvoeren.

Je verkrijgt dan volgende tabel: t

vx

vy

x

y

r

F

Fx

Fy

ax

ay

0

0,00

7,00

100

0

100,00

2,00

-2,00

0,00

-1,00

0,00

1

-1,00

7,00

99

7

99,25

2,03

-2,03

-0,14

-1,01

-0,07

2

-2,01

6,93

97

13,9

97,98

2,08

…

…

…

…

y (m) 50,00

Uit deze oefening blijkt dat een voorwerp waarop een omgekeerd kwadratische kracht werkt, een ellipsvormige baan kan volgen. Dat is bv. het geval voor de beweging van de planeten rond de zon.

Zet je de x- en y-waarden uit dan verkrijg je de baan van het voorwerp: de punten lijken op een ellips te liggen. Hoe kleiner het tijdsinterval Δt, hoe beter de ellips benaderd wordt en hoe beter de aansluiting met het beginpunt.

30,00 10,00 –40,00

–20,00 –10,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

–30,00 –50,00 –70,00

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: � de resulterende kracht en het effect ervan op een systeem bepalen als de beweging van het systeem gekend is � de definitie geven van een ECB, de geziene eigenschappen bewijzen en de kenmerken van de kracht geven � de val van een systeem in vacuüm en in fluïdum beschrijven en verklaren met de kracht(en) � de definitie geven van de horizontale worp, de geziene eigenschappen bewijzen en de beweging verklaren met de kracht op het systeem � oefeningen en denkvragen m.b.t. de ECB, de valbeweging en de horizontale worp oplossen

x (m)

7

De derde wet van Newton

Als er op een systeem een kracht wordt uitgeoefend, is er altijd een ander systeem dat die kracht levert.

Voorbeelden: • Lien werpt een bal weg: op de bal wordt een kracht uitgeoefend, want de bal versnelt. Dat is systeem 1. Lien oefent de kracht uit: zij is systeem 2.

• Ben krijgt een boksstoot: op hem wordt een kracht uitgeoefend. Hij is systeem 1. De bokser die hem de slag toedient, oefent de kracht uit: hij is systeem 2.

Bij het uitoefenen van een kracht is er dus een interactie tussen twee systemen. Newton was de eerste die besefte dat niet alleen het ene systeem een kracht uitoefent op het andere, maar dat tegelijk ook dat systeem een kracht uitoefent op het eerste.

→ Als een systeem 1 een kracht F12 uitoefent op een systeem 2, oefent systeem 2 een even grote tegenge→ stelde kracht F21 uit op systeem 1: → → F12 = F21

+

Dat is de derde wet van Newton.

Q1 →

F21

+

Q1 →

F21

We bekijken enkele voorbeelden die deze wet illustreren.

Q2

+

→ F12

 F12 is de kracht van 1 op 2.

Q2

–

–

 F21

→ F12

 F12

• Vorig jaar leerde je de coulombkracht kennen: een positieve lading Q1 (systeem 1) oefent een afstotingskracht uit op een positieve lading Q2 (systeem 2). De lading Q2 (systeem 2) oefent een even grote tegengestelde kracht uit op lading Q1 (systeem 1).

• Sla met een houten hamer een spijker in een eiken plank. Tijdens de fractie van een seconde waarin de hamer contact maakt met de spijker, oefent de hamer (systeem 1) een kracht uit op de spijker (systeem 2), want die komt in beweging en dringt in de plank. De spijker (systeem 2) oefent een kracht uit op de hamer (systeem 1), want die vertraagt. Bovendien wordt de hamer lokaal vervormd: er ontstaat een afdruk van de spijkerkop in de houten hamer.

• Om uit een roeibootje naar de kant te stappen, oefen jij (systeem 1) een kracht uit op het bootje (systeem 2). Het bootje (systeem 2) oefent een kracht uit op jou (systeem 1), waardoor je naar de kant kunt stappen. Maar … door de kracht die jij uitoefent op het bootje, komt dat ook in beweging en kun je in het water terecht komen!

• Soms zie je het effect van de ene kracht wel, maar van de andere kracht niet: als Dany tegen een muur → leunt, oefent hij (systeem 1) een kracht F12 uit op de muur (systeem 2), maar van die kracht merk je → niets omdat de muur niet vervormt of in beweging komt! De muur (systeem 2) oefent een kracht F21 uit op Dany (systeem 1) waardoor hij in evenwicht kan blijven.

74 ]

Kinematica en dynamica

→ → Dat de kracht F12 van systeem 1 op systeem 2 even groot is als de kracht F21 van systeem 2 op systeem 1, blijkt uit volgende experimenten: • Oefen een kracht uit van bv. 2,0 N op een dynamometer (1): die wijst dan 2,0 N aan. Je kunt daarvoor ook een dynamometer (2) gebruiken. Dynamometer 1 (systeem 1) ondervindt een kracht van dynamometer 2 (systeem 2) en wordt uitgerekt. Dynamometer 2 (systeem 2) ondervindt een kracht van dynamometer 1 (systeem 1) en wordt ook uitgerekt. Beide krachten zijn even groot! systeem 1

F21

systeem 2

F12

• Plaats een magneet en een massief ijzeren blok elk op een lichtlopend wagentje.

De magneet (systeem 1) oefent een kracht uit op het ijzeren blok (systeem 2), want het wagentje met het blok komt in beweging. Het blok (systeem 2) oefent een kracht uit op de magneet (systeem 1), want dat wagentje komt ook in beweging. Als je de krachten meet, zie je dat ze even groot zijn, ook al is de massa van het blok en de magneet verschillend! systeem 1

F21

F12

systeem 2

Enkele opmerkingen: • Volgens de derde wet van Newton treden krachten nooit alleen op, maar altijd per twee.

• Men noemt deze wet ook wel de wet van actie en reactie: de ene kracht (de ‘actie’) heeft als gevolg dat er ook een andere kracht (‘de reactie’) optreedt. Maar het is niet zo dat de ene kracht eerst optreedt en daarna (als reactie) de andere. Beide krachten treden gelijktijdig op: als de ene kracht er is, is de andere er ook! Die wet zou dus beter ‘de wet van de gelijktijdige interactie’ genoemd worden.

• De twee krachten grijpen aan op twee verschillende systemen: de ene kracht op het ene systeem, de andere op het andere systeem. Daarom kun je geen resultante bepalen van een koppel actie- en reactiekrachten!

• Alhoewel de twee krachten even groot zijn, kan de versnelling van de twee systemen toch verschillend zijn: als je uit een boom springt, val je naar beneden omdat de aarde een kracht op je lichaam uitoefent. Jij oefent een even grote (tegengestelde) kracht uit op de aarde, maar omdat de massa van de aarde zo veel groter is, valt de aarde niet merkbaar naar boven!

75

‘Middelpuntvliedende krachten’

F

Een systeem waarin de wetten van Newton gelden noemt men een inertiaal systeem.

Voor een waarnemer in een systeem dat versnelt, gelden de wetten van Newton niet. Zo’n systeem noemen we een nietinertiaal systeem.

Nog een voorbeeld: een blokje zit aan een veer op een wrijvingsloze en horizontale schijf die ronddraait. Het blokje voert een ECB uit.

De veer is uitgerekt.

Voor een buitenstaander (A) is dit begrijpelijk: het blokje oefent op de veer een kracht uit die naar buiten gericht is (wet van de traagheid!); de veer oefent op het blokje een (reactie)kracht uit die naar binnen gericht B is. Daardoor voert het blokje de ECB uit.

Voor een waarnemer (B) op de schijf is het blokje in rust. Toch is de veer uitgerekt! Voor B kan dit maar als op het blokje een kracht inwerkt die naar buiten gericht is. Die kracht is echter fictief, want er is geen enkel systeem dat die kracht uitoefent. Het is die fictieve ‘kracht’ die je zelf ook ervaart als je op een paardenmolen zit en die de middelpuntvliedende of centrifugale kracht genoemd wordt.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: � de 3e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Als je in een carrousel zit, heb je de indruk dat je naar buiten geduwd wordt. In het dagelijkse leven noemt men dat wel eens ‘de middelpuntvliedende kracht’. Als je de krachten op Stefanie in de draaiende ton (p. 59) bekijkt, zie je echter dat er geen naar buiten gerichte kracht is, integendeel, de resulterende kracht is naar binnen gericht! De ‘kracht’ die zij dus meent te ervaren is er in werkelijkheid niet!

Er zijn nog situaties waarin je zo’n schijnkracht ervaart: in een auto die een bocht neemt, heb je het gevoel dat je naar buiten gedrukt wordt; in een vliegtuig dat vertrekt, word je tegen de stoel gedrukt; bij een auto-ongeval word je tegen je gordel gedrukt.

Zo’n schijnkrachten treden op telkens je deel uitmaakt van een systeem dat een versnelling heeft.

We bekijken wat er gebeurt aan de hand van een wagen die een bocht neemt.

Voor de bocht bewegen wagen en passagiers rechtlijnig met een constante snelheid.

Wanneer de wagen de bocht ingaat, zullen passagiers, door de wet van de traagheid, rechtdoor bewegen. Wanneer de wrijvingskracht van de stoel op de passagier voldoende groot is, zal die kracht ervoor zorgen dat de passagier ‘meegenomen’ wordt en de bocht neemt. Indien die kracht te klein is, beweegt de passagier rechtdoor, terwijl de auto de bocht neemt en dus onder de passagier ‘doorschuift’. Zo komt de passagier tot tegen de deur; die zal op hem een kracht uitoefenen, waardoor hij de bocht kan nemen. Die kracht is de reactiekracht van de kracht die hijzelf op de deur uitoefent. Als er geen deur aanwezig is, vliegt hij rechtdoor uit de wagen!

Voor een buitenstaander is het ‘naar buiten gedrukt worden’ dus een gevolg van de wet van de traagheid. Daarom noemt men die schijnkrachten ook wel traagheidskrachten.

A

8

Voorbeeldoefeningen Bekijk eventueel eerst het stappenplan op p. 81.

- OEFENING

De normaalkracht Sergeï (massa 58,9 kg) staat op een koord. Bepaal de krachten die op hem inwerken als hij op de koord even in rust staat.

Om de reactiekracht te bepalen, moet je de volgorde omdraaien: … van Sergeï op de koord … wordt … van de koord op Sergeï …

Oplossing Het systeem dat we beschouwen is Sergeï. → Op zijn lichaam werkt de zwaartekracht Fz. → Door de zwaartekracht oefent Sergeï op de koord een kracht FSk uit: → FSk is de kracht van Sergeï op de koord.

Volgens de derde wet van Newton oefent de koord op Sergeï een even grote tegengestelde (reactie)kracht uit: → FkS is de kracht van de koord op Sergeï. → → Op Sergeï werken twee krachten: Fz en FkS. y

 FkS

 FkS x

 Fz Voor een kracht zoals → Fz waarvan je de richting kent, kun je de componenten onmiddellijk uitdrukken als functie van de grootte (hier: Fz,x = 0 en Fz,y = -Fz).  Voor een kracht zoals FkS , waarvan we de richting niet kennen, moet je werken met de componenten (hier FkS,x en FkS,y).

Volgens de tweede wet van Newton geldt → → a Fz + FkS = m · →

 FSk

 Fz

We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de x-as: 0 + FkS,x = m · ax (1) op de y-as: -Fz + FkS,y = m · ay (2) Voor de zwaartekracht geldt Fz = m · g = 58,9 kg · 9,81 N/kg = 578 N  De versnelling a is nul, omdat hij even in rust is (en blijft).

De vergelijkingen (1) en (2) worden dan FkS,x = m · 0 -578 N + FkS,y = m · 0

y

 FkS x

 Fz

Daaruit volgt FkS,x = 0 N FkS,y = 578 N (= Fz) De kracht van de koord op Sergeï is verticaal en bedraagt 578 N.

+ Wat is het verschil tussen → → FN en Fn?

Als een voorwerp ondersteund wordt, oefent het steunvlak op het voorwerp een kracht uit. Die kracht → staat loodrecht op het steunvlak en noemen we de normaalkracht FN. FN

FN

77

Krachten bij het vertrek met een caravan Brecht vertrekt met zijn auto (massa 1620 kg) en caravan (massa 659 kg) uit rust met versnelling 1,50 m/s2. a) Bepaal de krachten op het geheel. b) Bepaal de krachten op de caravan.

Oplossing a) Het systeem dat we beschouwen is de auto met de caravan. y →

→

FN

→

FN

 → FaN

→

Fm

Fm →

Fz

→

Fz Op dat systeem werken drie krachten: → de zwaartekracht Fz → de normaalkracht FN → de kracht van de motor die voor de versnelling zorgt Fm

Let op de vectorpijltjes!

Volgens de tweede wet van Newton geldt → → → a Fz + FN + Fm = m · → We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft op de x-as: 0 + 0 + Fm = m · ax (1) op de y-as: -Fz + FN + 0 = m · ay (2) Voor de zwaartekracht geldt Fz = m · g = (1620 kg + 659 kg) · 9,81 N/kg = 224 · 102 N  De versnelling a is horizontaal en naar voor gericht:

De wagen kan slechts versnellen door de wrijvingskracht met het wegdek. Als er praktisch geen wrijving is, zoals bv. op een verijsd wegdek, kan de wagen niet versnellen!

De vergelijkingen (1) en (2) worden dan Fm = (1620 kg + 659 kg) · 1,50 m/s2 -224 · 102 N + FN = 0 Daaruit volgt Fm = 342 · 101 N FN = 224 · 102 N

ax = +1,50 m/s2 en ay = 0.

x

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

- OEFENING

78 ]

Kinematica en dynamica

y

 FN,c

b) Het systeem dat we beschouwen is de caravan.

Op dat systeem werken drie krachten: → de zwaartekracht Fz,c → de normaalkracht FN,c

 Fac

→ de kracht van de (trekhaak van de) auto op de caravan Fac

x

 Fz,c

Volgens de tweede wet van Newton geldt → → → ac Fz,c + FN,c + Fac = m · → Voor de zwaartekracht geldt Fz,c = mc · g = 659 kg · 9,81 N/kg = 646 · 101 N

 De versnelling ac van de caravan is horizontaal, naar voor gericht en is eveneens 1,50 m/s2.

Projecteren geeft op de x-as: 0 + 0 + Fac = 659 kg · 1,50 m/s2 (1) op de y-as: -Fz,c + FN,c + 0 = 0

(2)

Daaruit volgt Fac = 989 N FN,c = 646 · 101 N Bindingskrachten →

De (trekhaak van de) auto oefent op de caravan een kracht Fac uit. De caravan oefent op → de auto een even grote tegengestelde (reactie)kracht Fca uit.

Beschouw je de auto en de caravan als één systeem, dan zijn dat krachten tussen onderdelen van het systeem (van de auto op de caravan en omgekeerd). We noemen dat bindingskrachten. Die bindingskrachten zijn er bv. ook tussen alle atomen en moleculen van de auto. Met de bindingskrachten van een systeem hoeven we geen rekening te houden aangezien dat geen uitwendige krachten zijn! →

Als je de caravan als systeem beschouwt, is de kracht Fca wel een uitwendige kracht.

→

→

Fac

+

Fac

→

Fca

Bindingskrachten zijn krachten tussen onderdelen van één systeem. Daarmee hoeven we geen rekening te houden.

79

- OEFENING

Krachten op een wagen bij het takelen

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Een takelwagen trekt een wagen (massa 1200 kg) omhoog met een constante snelheid van 0,20 m/s.

De hellingshoek is 7,0°. Bepaal de krachten op de wagen. De wrijvingskracht mag je verwaarlozen.

Oplossing Het systeem dat we beschouwen is de auto.

Op de auto werken drie krachten: → de zwaartekracht Fz de normaalkracht → FN → de trekkracht van de kabel Fk

+

De trekkracht die een kabel of touw op een voorwerp uitoefent, werkt volgens de richting van de kabel. y

y

→

FN →

Fk

Fn

Ft

x

FN

x

Fk

→

Fz

30

Fz

Volgens de tweede wet van Newton geldt → → → a Fz + FN + Fk = m · → Waarom kiezen we het assenstelsel zo?

We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur en projecteren op de x-as: Fz,x + 0 + Fk = m · ax (1) op de y-as: Fz,y + FN + 0 = m · ay (2)

Fz y x

Fz, x Fz, y 7,0°

Denk aan de tekens bij het projecteren: Fz,x en Fz,y zijn negatief. Waarom?

Voor de zwaartekracht geldt Fz = m · g = 1200 kg · 9,81 N/kg = 11,8 kN Fz,x = -Fz · sin 7,0° = -1,4 kN Fz,y = -Fz · cos 7,0° = -11,7 kN

Fz

De versnelling a is nul, omdat de snelheid van de auto constant is en de baan recht.

De vergelijkingen (1) en (2) worden dan Daaruit volgt -1,4 kN + Fk = m · 0 P Fk = 1,4 kN -11,7 kN + FN = m · 0 FN = 11,7 kN Opmerkingen: - De normaalkracht is hier kleiner dan de zwaartekracht omdat de wagen op een helling staat. Hoe groter de helling, hoe kleiner de normaalkracht. Bij een loodrechte helling duwt de wagen niet meer op de helling en is de normaalkracht nul. → - De kracht Fk is even groot en tegengesteld aan de component van de zwaartekracht volgens de helling: Fk = 1,4 kN Fz,x = -1,4 kN Als je de wrijvingskrachten verwaarloost, maakt het geen verschil uit of de auto in rust is of met → constante snelheid wordt opgetrokken: de kracht Fk is in beide gevallen even groot!

80 ]

Kinematica en dynamica

- OEFENING

Zwiercarrousel Bobbejaan zit in een zwiercarrousel en beschrijft een ECB. De massa van het geheel (Bobbejaan + zitje) is 85,2 kg. De periode is 5,74 s. De straal van de beschreven cirkel is 9,60 m. Bepaal de krachten op Bobbejaan en zijn zitje. y

→

Oplossing Het systeem dat we beschouwen is Bobbejaan en zijn zitje.

Op dat systeem werken twee krachten: → de zwaartekracht Fz → de kracht van de kabel Fk

Fk

x

→ → Volgens de tweede wet van Newton geldt Fz + Fk = m · → a We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft op de x-as: 0 + Fk,x = m · ax (1) op de y-as: -Fz + Fk,y = m · ay (2)

→

Fz

Voor de zwaartekracht geldt Fz = m · g = 85,2 kg · 9,81 N/kg = 836 N →

Fk

 Vermits het systeem een ECB uitvoert, is a horizontaal en naar het middelpunt van de baan gericht: ax = a Voor de grootte van de versnelling geldt 2 2 ⎛ 2 π⎞ ⎛ 2π ⎞ 2 ⎟ · 9,60 m = 11, 5 m/s a = ω2 · r = ⎜ ⎟ · r = ⎜ ⎝T ⎠ ⎝ 5, 74 s⎠

→

Fz

Dus ax = a = 11,5 m/s2 ay = 0 De vergelijkingen (1) en (2) geven Fk,x = 85,2 kg · 11,5 m/s2 -836 N + Fk,y = 0 Daaruit volgt Fk,x = 980 N Fk,y = 836 N  De grootte van de kracht Fk is

y

y

→

Fk 836 N x 980 N

x →

Fc

836 N →

Fz

1

Fk = (Fk,x2 + Fk,y2 ) = (980 N)2 + (836 N)2 = 129 · 10 N Opmerking: → → De kracht Fz (836 N) is even groot als en tegengesteld aan de y-component van Fk (836 N). Die twee → → compenseren elkaar. De x-component van Fk geeft de resulterende kracht Fc. Zoals verwacht bij een ECB wijst die resulterende kracht naar het middelpunt van de baan.

81

- OEFENING

Middelpuntzoekende kracht op de maan

Oplossing Het systeem dat we beschouwen is de maan. → Vermits het systeem een ECB uitvoert, is de kracht Fc naar het middelpunt (van de aarde) gericht.

→

Fc

Een staalkabel met breeksterkte 170 · 103 N/cm2 moet een diameter hebben van 386 km om deze kracht te kunnen weerstaan!

Voor de grootte van de kracht geldt 2 ⎛ 2π ⎞ 2 ⎜ ⎟ = m · ·r Fc = m · ω · r ⎝T ⎠

Invullen van de gegevens (zie gegevenskaart) geeft

2

⎞ 2π 8 20 Fc = 7, 35 · 10 kg · ⎜ ⎟ · 3, 84 · 10 m = 2, 00 · 10 N 6 ⎝ 2,36 · 10 s⎠ 22

⎛

Stappenplan voor het oplossen van oefeningen op de wetten van Newton 1. Kies het systeem.

2. Teken de uitwendige kracht(en) op het systeem: dat zijn de krachten die de omgeving op het systeem uitoefent.

3. Pas de tweede wet van Newton toe op dat systeem.

/ F→ = m · →a

i

4. Kies een (zo efficiënt mogelijk) assenstelsel en projecteer de vectoren. Let op de tekens!

5. Bepaal de onbekende grootheid(heden) met de vergelijkingen. Gebruik eventueel de formules uit de kinematica.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ oefeningen en denkvragen m.b.t. de wetten van Newton oplossen ■ de begrippen normaalkracht, bindingskracht en trekkracht uitleggen aan de hand van voorbeelden

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

De maan voert (bij benadering) een ECB uit rond de aarde.

Bereken de middelpuntzoekende kracht die op de maan werkt.

9

De gravitatiekracht

9.1 Van geocentrisch naar heliocentrisch wereldbeeld Tot in de 16e eeuw geloofde men dat de aarde het centrum van het heelal was en dat planeten, sterren, de zon … rond de aarde draaiden (geocentrisch wereldbeeld). Het stuitte dan ook op heel wat tegenstand, o.a. van de kerkelijke overheden, toen o.a. Copernicus en Galilei het heliocentrische wereldbeeld voorop stelden, waarbij de zon als centrum wordt beschouwd. De beweging van de planeten rond de zon kan dan beschreven worden door de drie wetten van Kepler:

+

WETTEN

Galileo Galilei

Eerste wet: de planeten bewegen op ellipsvormige banen rond de zon, met de zon in een brandpunt.

Tweede wet: de voerstraal (de lijn tussen zon en planeet) beschrijft in gelijke tijden gelijke oppervlakken (perkenwet).

∆t ∆t

Controleer de derde wet van Kepler voor enkele planeten met behulp van je gegevenskaart.

Derde wet: de verhouding van de derde macht van a (lengte van de halve lange as) tot het kwadraat van T ­(periode) is dezelfde voor alle planeten:

a3 = cte T2

: Gravitatie Trefwoorden: Aristoteles, Galilei, Copernicus, Tycho Brahe, Kepler, Newton, Cavendish, Einstein Zoek een antwoord op volgende vragen: • Welke bijdrage leverden de hierboven vermelde wetenschappers aan de gravitatietheorie?

• Hoe bepaalde Cavendish de gravitatieconstante?

• Maak een tijdsas met de belangrijkste bijdragen op dat vlak.

• Wat is het verschil tussen ‘trage massa’ en ‘zware massa’?

83

De ellips

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Een ellips is een kromme waarvan de som van de afstanden tot twee gegeven punten F1 en F2 constant is: voor elk punt van de ellips is de afstand d1 + d2 dezelfde.

De punten F1 en F2 zijn de brandpunten van de ellips.

Je kunt een ellips tekenen door de eindpunten van een koordje in twee punten (de brandpunten) te fixeren en een lijn te tekenen waarbij het touw gespannen blijft.

b

d1

a F2

F1 d2

P

Uit de tabel blijkt dat b/a ≈ 1; de banen zijn dus praktisch cirkelvormig.

Een ellips heeft twee symmetrieassen: een lange en een korte as. De lengte van de halve lange as is a, die van de halve korte as is b.

De verhouding b/a is een maat voor de afplatting van de ellips. Die waarde ligt tussen 0 (rechte) en 1 (cirkel). hemellichaam

straal baan (m)

periode T (s)

b/a

Zon

1,99 · 1030

6,96 · 108

Mercurius

3,30 · 1023

2,43 · 106

5,79 · 1010

7,60 · 106

0,978

24

6

11

7

1,000

Venus

4,88 · 10

6,05 · 10

1,08 · 10

1,94 · 10

Aarde

5,976 · 1024

6,371 · 106

1,496 · 1011

3,15 · 107

Maan Mars Met volgende zin kun je de volgorde van de planeten rond de zon onthouden: MEt VEel AAndacht MAakt JUlia ‘S Avonds URenlang NEpalese PLooirokjes.

Sinds 2006 wordt Pluto niet meer als een planeet beschouwd.

straal hemellichaam (m)

massa m (kg)

7,35 · 10

22

6

1,74 · 10

8

3,84 · 10

0,999 6

2,36 · 10

0,998

6,42 · 1023

3,38 · 106

2,28 · 1011

5,93 · 107

0,996

27

7

11

8

Jupiter

1,90 · 10

6,98 · 10

7,78 · 10

3,74 · 10

0,999

Saturnus

5,68 · 1026

5,82 · 107

1,43 · 1012

9,30 · 108

0,998

25

7

12

9

Uranus

8,68 · 10

2,35 · 10

2,87 · 10

2,65 · 10

0,999

Neptunus

1,03 · 1026

2,27 · 107

4,50 · 1012

5,20 · 109

1,000

22

6

12

9

(Pluto

1,26 · 10

2,39 · 10

5,90 · 10

7,83 · 10

0,969)

84 ]

Kinematica en dynamica

9.2 De gravitatiekracht Het feit dat de planeten een kromlijnige baan beschrijven, betekent dat er op de planeten voortdurend een kracht inwerkt. Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

AG SVRA OEK Z R DE ON

+

Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de kracht die zorgt voor de kromlijnige baan van de planeten?

Isaac Newton beschreef die kracht voor het eerst in 1687.

WET

→ Twee massa’s m1 en m2 oefenen op elkaar door hun massa een aantrekkingskracht uit: de gravitatiekracht Fg. Voor de grootte van deze kracht geldt

Gravitatie komt van het Latijnse woordje ‘gravitas’, wat zwaar, zwanger … betekent.

Fg =

G ⋅ m1 ⋅ m2 r2

r is de afstand tussen de twee massa’s.

G is de gravitatieconstante: G = 6,673 · 10-11 N · m2/kg2.

Dat is de algemene gravitatiewet. m1

→ Fg

→ Fg

m2

r

Vermits de constante G erg klein is, is de gravitatiekracht tussen voorwerpen slechts merkbaar als één van beide voorwerpen een grote massa heeft.

Welke afstand r moet je gebruiken in de gravitatiewet?

Voor puntmassa’s is de afstand r de afstand tussen die punten.

Bij reële voorwerpen is die afstand niet zomaar te bepalen: elk deeltje (proton, neutron, elektron …) van het ene voorwerp oefent immers gravitatiekracht uit op elk deeltje van het andere voorwerp. Al die krachten samen geven de resulterende gravitatiekracht op het voorwerp. m2 We doen nu volgende gedachteproef: m1 je vervangt de twee voorwerpen F21 F12 door puntmassa’s en zet die op een zodanige afstand r dat de gravitatiekracht dezelfde is als tussen de voorwerpen. Dat is de afstand r tussen de voorwerpen die we zoeken.

F12 m2 m1 F21 In oefeningen krijg je de afstand r opgegeven. De zon en de planeten beschouwen we als homogene en r regelmatige bollen. Dan mag je de afstand tussen de middelpunten gebruiken.

85

- OEFENING

Grootte van de gravitatiekracht

Oplossing De grootte van de gravitatiekracht is G ⋅ m1 ⋅ m2 Fg = r2 6, 673 · 10−11 N · m2 /kg2 · 58,33 kg · 52,8 kg = 9, 13 · 10−8 N = (1,50 m)2

FTJ

FJT

Die kracht is zo klein dat je daar in praktijk niets van merkt!

- OEFENING

Getijden Hoe groot is de gravitatiekracht die de maan op het stuwmeer in de figuur uitoefent? Het volume water in het meer is 15,9 · 103 m3.

→ Fg meer

Oplossing De grootte van de gravitatiekracht is Fg =

Maak een schets zodat je ziet wat de afstand r is.

G ⋅ m1 ⋅ m2

r2

De afstand r is r = raarde-maan – ra = 3,84 · 108 m – 6,371 · 106 m = 3,78 · 108 m

ra raarde-maan

De massa water in het meer is m=ρ·V

= 1,000 · 103 kg/m3 · 15,9 · 103 m3 = 15,9 · 106 kg Dus Fg =

6, 673 ∙ 10-11 ∙ N ∙ m2 /kg2 ∙ 15, 9 ∙ 106 k g ∙ 7,35 ∙ 1022 kg (3,78 ∙ 108 m)2

= 546 N

Omdat de maan rond de aarde draait, verandert de gravitatiekracht van de maan op de zeeën en ­oceanen voortdurend. De stroming die daardoor ontstaat, veroorzaakt de getijden. In een nagenoeg afgesloten zee zoals de Middellandse Zee, zijn er nauwelijks of geen getijden.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Hoe groot is de gravitatiekracht tussen Jan (massa 58,3 kg) en Tine (52,8 kg) als ze zich 1,50 m van elkaar bevinden?

SYST 1 SYST 2

86 ]

Kinematica en dynamica

- OEFENING

Gravitatiekracht van de aarde op de maan Hoe groot is de gravitatiekracht die de aarde op de maan uitoefent?

Oplossing

→ Fg

r

De grootte van de gravitatiekracht is Fg =

G ⋅ m1 ⋅ m2 r2

=

6, 673 · 10−11 · N · m2 /kg2 · 5,9976 · 1024 kg · 7,35 · 1022 kg (3,84 · 108 m)2

= 1, 99 · 1020 N

De middelpuntzoekende kracht die nodig is om de maan haar cirkelvormige baan te laten beschrijven, is F = 2,00 · 1020 N (zie oef. p. 81) Deze kracht is (op een afronding na) even groot als de gravitatiekracht.

Daaruit blijkt dat de beweging van de maan rond de aarde verklaard kan worden met de gravitatiekracht.

9.3 Gravitatie- en zwaartekracht 9.3.1 De zwaartekracht Met de gravitatiekracht kun je niet alleen de beweging van de planeten verklaren, maar ook de zwaartekracht.

+ Ook op en rond andere planeten en hemellichamen is er zwaartekracht omwille van de gravitatiekracht die die hemellichamen uitoefenen.

De zwaartekracht is de gravitatiekracht die de aarde op elk voorwerp uitoefent.

Dat blijkt uit de kenmerken van beide krachten op een voorwerp op aarde: - zowel de zwaartekracht als de gravitatiekracht zijn verticaal en naar beneden gericht; - beide krachten veranderen op eenzelfde manier met de hoogte; - de zwaartekracht en de gravitatiekracht die de aarde op een voorwerp uitoefent zijn even groot.

We bekijken dat laatste puntje voor een auto met massa 1250 kg.

De grootte van de zwaartekracht is Fz = m · g = 1250 kg · 9,81 N/kg = 123 · 102 N

De term zwaartekracht gebruiken we meestal voor de gravitatiekracht op een voorwerp op aarde.

De term gravitatiekracht gebruiken we in het algemeen, bv. voor de kracht tussen de aarde en de maan.

De grootte van de gravitatiekracht is G ∙ m ∙ ma Fg = r2 6, 673 ∙ 10-11 N ∙ m2 /kg2 ∙ 1250 kg ∙ 5,976 ∙ 1024 kg = = 123 ∙ 102 N 6 2 (6,371 ∙ 10 m)

9.3.2 De valversnelling → Een voorwerp met massa m waarop een resulterende kracht F werkt, krijgt een versnelling → a met als grootte a=

F m

De versnelling van een voorwerp als gevolg van de zwaartekracht is de valversnelling g. Vermits Fz = Fg geldt F F g= z = g m m G · m · ma = 2 r ·m G · ma = 2 r

Op het aardoppervlak is r gelijk aan de aardstaal ra.

Dan is G ∙ ma m g = GG ∙∙ 2m g = ra2 aa g = ra2 11 6,r673 ∙ 10 --11 N ∙ m2 /kg 2 ∙ 5, 976 ∙ 10 24 kg a ∙ 10 -11 N ∙ m22 /kg 226∙ 5,2976 ∙ 10 24 kg = 6, 673 m /kg 6∙m5h,2976 ∙ 10 24 kg = 6, 673 ∙ 10 ^6N, ∙371 = ^ 6, 371 ∙∙ 10 h 10 6 mh2 ^6, 371 ∙ 10 kg ∙ m m m = 9, 820 m/s 22 = 9, 820 N/kg = 9, 820 kg 2 ∙m = 9, 820 N/kg = 9, 820 skg = 9, 820 m/s 2 2 ∙ ∙ kg m/s = 9, 820 N/kg = 9, 820 s 2 ∙ kg = 9, 820 m s ∙ kg s2

+ In onze streken is g gelijk aan 9,81 m/s2. De kleine afwijking die we hier vinden, is een gevolg van het feit dat de aarde geen perfecte en homogene bol is en roteert.

Hoe deze factoren g beïnvloeden, behandelen we op p. 92.

De valversnelling g op een hemellichaam met massa m en straal r is g =

G ∙m . r2

Dat is in overeenstemming met de wetten van de vrije val die je in 6.2.1 zag: • de valversnelling is constant en onafhankelijk van de massa van het voorwerp; • de valversnelling aan het aardoppervlak is 9,82 m/s2.

Met de formule g =

G ·m

kun je ook de valversnelling op bv. de maan berekenen: r2 voor m en r moet je dan respectievelijk de massa en de straal van de maan gebruiken.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

87

Kinematica en dynamica

m

9.3.3 De zwaarteveldsterkte

Fg

Een (bron)massa mb creëert in de ruimte een gravitatieveld of zwaarteveld: een andere massa m die zich in de buurt bevindt, → ondervindt de gravitatiekracht Fg. Om de invloed van de bronmassa mb te beschrijven, definiëren we de grootheid ‘gravitatie- of zwaarteveldsterkte’.

+

DEFINITIE

→ De gravitatie- of zwaarteveldsterkte Fg in een punt P in de buurt van een bronmassa is de verhouding van de gravitatiekracht op een proefmassa m in dat punt tot die massa: →

Fg

→

Eg =

Vergelijk deze definitie met die van de ‘elektrische veldsterkte’, die je vorig jaar leerde kennen.

m

Voor de grootte van de zwaarteveldsterkte op het aardoppervlak geldt Eg =

Fg

=

G ∙ ma ∙ m ra2

=

G ∙ ma

m ra2 ∙m

Je vindt dezelfde formule terug als voor de valversnelling g!

De zwaarteveldsterkte Eg op een hemellichaam met massa m en straal r is Eg = G ∙ m . r2

+

De zwaarteveldsterkte en de valversnelling zijn één en dezelfde grootheid.

Daarom kunnen we voor beide grootheden hetzelfde symbool gebruiken, nl. g.

Relativiteitstheorie

Albert Einstein

88 ]

“Space tells matter how to move.

Matter tells space how to curve.”

(John Archibald Wheeler)

De aanwezigheid van een massa in de ruimte verandert die ruimte, ook letterlijk. Dat volgt uit de relativiteitstheorie van Einstein: in de buurt van een massa is de ruimte gekromd. In zo’n ruimte is de gewone (euclidische) meetkunde niet meer geldig: zo is bv. de som van de hoeken van een driehoek er verschillend van 180°!

Volgens de relativiteitstheorie bewegen lichtstralen niet rechtlijnig in de buurt van een massa, maar buigen ze af. Dat werd voor het eerst vastgesteld tijdens een zonne-eclips in 1919.

Een tweede bevestiging van de relativiteitstheorie was de baan van de planeet Mercurius, die niet kon verklaard worden met de wetten van Newton, maar wel met de relativiteitstheorie.

89

9.3.4 Het gewicht van een voorwerp

Maar wat is gewicht dan wel?

Elk voorwerp op aarde wordt door de aarde aangetrokken. Als het voorwerp ondersteund wordt, oefent → het daardoor een kracht uit op zijn steun. Die kracht is het gewicht van het voorwerp, symbool Gw. Als die steun een dynamometer of een weegschaal is, kun je de grootte van het gewicht onmiddellijk aflezen.

Volgens de derde wet van Newton oefent de steun een even grote tegengestelde kracht uit op het → voorwerp, de normaalkracht FN:

FN

FN

→ → Gw = - FN en dus Gw = FN

GW

+

DEFINITIE

De massa m van een voorwerp is een maat voor de hoeveelheid materie en wordt uitgedrukt in kg. → Het gewicht Gw van een voorwerp is de kracht die het voorwerp uitoefent op zijn steun en staat in N. → → De normaalkracht FN is de kracht van de steun op het voorwerp en is even groot als het gewicht Gw. G w = FN We bekijken het gewicht van een voorwerp in verschillende situaties.

y

7

FN FZ

x

Het gewicht van een voorwerp in rust op een horizontaal oppervlak Obelix staat op een weegschaal in rust. Zijn massa is 110 kg. → → Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht Fz en de normaalkracht FN. Beschouw je Obelix als systeem, dan geldt volgens de tweede wet van Newton

→ → Fz + FN = m · → a

Vermits hij in rust is en blijft, is → a gelijk aan nul.

GW

We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de x-as: 0 + 0 = m · 0 (1) op de y-as: -Fz + FN = m · 0 (2) Vergelijking (2) geeft FN = Fz = m · g = 110 kg · 9,81 N/kg = 108 · 10 N Bijgevolg Gw = FN = 108 · 10 N

+

Voor een voorwerp in rust op een horizontaal vlak, is het gewicht even groot als de zwaartekracht: Gw = m · g

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

De massa en het gewicht van een voorwerp worden dikwijls met elkaar verward. Zo vraagt de dokter je gewicht, maar in feite bedoelt hij je massa (uitgedrukt in kg).

90 ]

Kinematica en dynamica

7

Het gewicht van een voorwerp dat opwaarts versnelt Obelix staat op een weegschaal in een lift die opwaarts vertrekt. → → Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht Fz en de normaalkracht FN.

y

FN FZ

x

→ a

GW

Volgens de tweede wet van Newton is → → Fz + FN = m · → a  Vermits de lift opwaarts versnelt, is a verticaal en naar boven gericht: ax = 0 en ay = a.

We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren: op de x-as: 0 + 0 = m · 0 (1) op de y-as: -Fz + FN = m · a (2) Vergelijking (2) geeft FN = Fz + m · a = m · g + m · a = m · (g + a) Zijn gewicht is Gw = FN = m · (g + a)

Op analoge wijze kun je de formules opstellen voor een lift die vertraagt of die naar beneden vertrekt. (zie oef. 77 p. 116)

+

Zijn gewicht is groter dan de zwaartekracht.

Bv. als de lift versnelt met 3,0 m/s2, vind je Gw = 110 kg · (9,81 m/s2 + 3,0 m/s2) = 141 · 10 N Dat klopt met de waarneming: als de lift vertrekt, geeft de weegschaal een grotere waarde aan.

Voor het gewicht van een voorwerp dat opwaarts versnelt, geldt Gw = m · (g + a)

Je gewicht kun je bepalen met een ‘weeg’schaal, maar toch lees je daarop je massa af.

Hoe kan dat?

In feite is een weegschaal een soort dynamometer: de uitwijking van de schaal wordt veroorzaakt door de vervorming van veren.

Stel dat je massa 63,0 kg bedraagt.

De zwaartekracht die op je lichaam werkt, is Fz = m · g = 63,0 kg · 9,81 m/s2 = 618 N De kracht – je gewicht – die je op de weegschaal uitoefent is even groot: Gw = 618 N Zet men op de schaal

Gw uit, dan kun je onmiddellijk je massa aflezen: g

Gw 618 N = = 63, 0 kg g 9, 81 m/s 2

618 N

: 9,81

N kg

63,0 kg

91

7

Gewichtloosheid

FN

x

FZ

GW

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Obelix staat in een lift. Plots breekt de liftkabel. → → Op zijn lichaam werken twee krachten: de zwaartekracht Fz en de normaalkracht FN.

y

Volgens de tweede wet van Newton is → → Fz + FN = m · → a  De versnelling van Obelix en de lift is neerwaarts gericht en is gelijk aan de valversnelling g .

We kiezen een assenstelsel zoals in de figuur en projecteren op de y-as: -Fz + FN = m · (-g) -m · g + FN = -m · g FN = m · g – m · g = 0 Het gewicht van Obelix is Gw = FN =0 Het gewicht is nul: Obelix is gewichtloos! Dat klopt ook met de waarneming: tijdens de valbeweging geeft de weegschaal in de lift de waarde nul aan! Als hij zijn knots loslaat, ziet hij die zweven. Je kunt dat als volgt begrijpen: tijdens de val van de lift werkt enkel de zwaartekracht op de lift, op Obelix, op zijn knots … De versnelling als gevolg van die kracht (de valversnelling) is voor alle voorwerpen dezelfde.

+

Op een voorwerp dat een vrije val uitvoert, werkt enkel de zwaartekracht. Het gewicht van zo’n voorwerp is nul: het is gewichtloos.

Een systeem waarop geen enkele kracht werkt, is eveneens gewichtloos.

Paraboolvluchten Om fenomenen in gewichtloze toestand te onderzoeken, organiseert de ESA parabool­ vluchten met de Caravelle. Het vliegtuig stijgt daarbij tot ongeveer 7 500 m hoogte (punt A: zie fig.). In dat punt heeft het een snelheid van 460 km/h, worden de kleppen van de vleugels ingeklapt en de motoren stilgelegd. De ‘liftkracht’ en de stuwkracht valt dan weg en enkel de zwaartekracht werkt nog in op het vliegtuig. Tussen punt A en B volgt het vliegtuig een parabolische baan zoals een voorwerp dat een schuine worp uitvoert.

Het toestel (en alles in het toestel) is gewichtloos tot in punt B. Dan worden de motoren terug aangezet en eindigt de gewichtloze fase. y (m)

© ESA

7500

A

B

x

92 ]

Kinematica en dynamica

9.3.5 Factoren die g beïnvloeden De valversnelling g is niet overal even groot. Ver van de aarde bv. is g gelijk aan nul (waaruit kun je dat besluiten?).

Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag: AG SVRA OEK Z R DE ON

h

Van welke factoren hangt de valversnelling g af?

7

Invloed van de hoogte Vroeger zag je al dat g =

G ∙ ma r2

Op een hoogte h boven het aardoppervlak is r = ra + h en dus g =

G ∙ ma (ra + h)2

We kunnen dat ook schrijven als g=

G ∙ ma ra2

+

∙

ra2 2

(ra + h)

= 9, 820 m/s2 ∙

ra2 (ra + h)2 g (m/s2)

hoogte (km)

g (m/s2)

0

9,82

12

5

9,81

10

10

9,79

8

50

9,67

6

100

9,52

4

300

8,96

1000

7,34

100 000

0,035

2 0

h (km) 0

2000

3000

4000

5000

6000

De valversnelling (of de zwaarteveldsterkte) g daalt met de hoogte: ra2 g = 9, 820 m/s2 ∙ (ra + h)2

7

Invloed van de vorm van de aarde De aarde is niet bolvormig maar afgeplat: de straal is het grootst aan de evenaar en het kleinst aan de polen.

+

1000

plaats

aardstraal

g (m/s2)

Noordpool

6356,8 km

9,87

Evenaar

6378,1 km

9,80

Als gevolg van de afplatting van de aarde neemt g af van de polen naar de evenaar.

93

Wat zou er gebeuren als de gravitatiekracht plots zou wegvallen?

Let op de eenheden!

Hoeksnelheid moet je uitdrukken in rad/s!

Invloed van de aardrotatie Omdat de aarde roteert om haar as, voert een voorwerp op aarde een ECB uit. Daarvoor is de centripe→ tale kracht Fc nodig.

Voor de grootte van de krachten geldt Fg = m ∙ g = m ∙ 9,820 m/s2 Fc = m ∙ w2 ∙ r

w is de hoeksnelheid van de aarde = a

2∙rk = 7,27 ∙ 10-7 (rad)/s 24 h

r is de straal van de cirkel die een voorwerp beschrijft.

We bekijken 3 plaatsen: Op de evenaar: De straal van de cirkel die het voorwerp beschrijft is gelijk aan de aardstraal ra = 6378,1 km

"

Fg ra

"

F

"

Fc

De grootte van de centripetale kracht is Fc = m · w 2 ∙ ra Als de aarde zo snel zou ronddraaien dat Fc = Fg, is F = 0 en zou een voorwerp niet meer vallen! (zie oef. 72 p. 116)

Een gedeelte van de gravitatiekracht zorgt voor die centripetale kracht. De rest van de gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling (die je effectief meet): → → → → → → F = Fg - Fc en dus Fg = F + Fc "

Die kracht F is naar het middelpunt van de aarde gericht. Omdat de gravitatiekracht en de centripetale → kracht dezelfde richting en zin hebben, geldt voor de grootte van F F = Fg - Fc = m ∙ g - m ∙ w2 ∙ ra = m ∙ (g - w2 ∙ ra) De grootte van de effectieve valversnelling is ge = F / m = m ∙ (g - w2 ∙ ra) / m = g - w2 ∙ ra = 9,820 m/s2 - [7,27 ∙ 10-7 (rad)/s]2 ∙ 6378,1 ∙ 103 m = 9,820 m/s2 - 0,0337 m/s2 = 9,786 m/s2

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

7

94 ]

Kinematica en dynamica

Op de polen: Het voorwerp beschrijft een cirkel met een straal nul.

De grootte van de centripetale kracht is Fc = m ∙ w2 ∙ r = m ∙ w2 ∙ 0 = 0 De volledige gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling: → → → → → F = Fg - Fc = Fg - 0 = Fg

ra

"

Fg

Die kracht is naar het middelpunt van de aarde gericht.

De grootte van de effectieve valversnelling is Fg m ∙ g

ge = F = = = g = 9, 820 m/s 2 m m m

7

Op breedtegraad m: Het voorwerp beschrijft een cirkel met een straal r gelijk aan r = ra ∙ cos λ want cos λ = r/ra. r "

"

Fc

"

Fg

- Fc

"

Fg

"

F

r ra

De grootte van de centripetale kracht is Fc = m ∙ w2 ∙ r = m ∙ w2 ∙ ra ∙ cos λ

plaats Noordpool België Evenaar

λ (°) ge (m/s2) 90 51 0

+

9,820 9,807 9,786

Een gedeelte van de gravitatiekracht zorgt voor die centripetale kracht. De rest van de gravitatiekracht zorgt voor de valversnelling (die je effectief meet): → → → → →

F = Fg - Fc = Fg + (- Fc)

→ Omdat de gravitatiekracht en de centripetale kracht niet dezelfde richting hebben, wijst de kracht F niet naar het middelpunt van de aarde! Een voorwerp valt daardoor niet naar het middelpunt van de aarde, maar (op het noordelijk halfrond) iets meer naar het zuiden. De effectieve valversnelling is kleiner. Op onze breedtegraad vindt men ge = 9,807 m/s2

Door de rotatie van de aarde neemt de effectieve valversnelling af van de polen naar de evenaar.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ de gravitatiewet formuleren ■ de zwaartekracht verklaren met de gravitatiekracht ■ aantonen dat de zwaarteveldsterkte en de valversnelling identieke grootheden zijn ■ de definitie geven van het gewicht van een systeem ■ uitleggen van welke factoren g afhankelijk is ■ oefeningen en denkvragen m.b.t. de gravitatiekracht oplossen

10

Wrijvings- en weerstandskracht 10.1 Inleiding Aan alles zijn twee kanten: je ouders zorgen voor je en geven je zakgeld, maar stellen eveneens regels en normen. Ook voor wrijving geldt die natuurwet. Enerzijds is wrijving vervelend: omwille van de wrijving moet je blijven duwen als je fietst en kan een automotor vastlopen als de olie is weggelekt. Anderzijds zorgt wrijving ervoor dat je op je fiets kunt raken en vertrekken; op een verijsd wegdek lukt dat nauwelijks!

Er zijn verschillende soorten wrijvings- en weerstandskrachten. Zo’n kracht is altijd tegengesteld aan de zin waarin het voorwerp beweegt.

Weerstandskracht in een fluïdum

7

Een voorwerp dat beweegt in een gas of in een vloeistof ondervindt weerstand van dat fluïdum.

Dat is bijvoorbeeld het geval bij een valschermspringer of een rijdende auto.

De kracht die daardoor op het voorwerp inwerkt, is tegengesteld aan de snelheid.

Ze hangt af van de grootte van de snelheid, de vorm van het voorwerp en van het fluïdum.

Om de luchtweerstand zo klein mogelijk te maken, krijgen auto’s een aërodynamische vorm. Bij vrachtwagens worden dakspoilers gebruikt.

© Scania

Bij lage snelheden is de grootte van de weerstandskracht recht evenredig met en tegengesteld " " aan de snelheid: Fw = - m · v m is de weerstandscoëfficiënt.

7

Rolweerstand Op de plaats waar een band van bv. een auto of een fiets tijdens het rijden contact maakt met het wegdek, wordt de band vervormd. Dat veroorzaakt de ‘rolweerstand’. Die kracht voel je tijdens het fietsen als de banden van je fiets slecht opgepompt zijn. Om die kracht zo klein mogelijk te maken, rijden wielrenners op smalle tubes. Die worden opgepompt tot ongeveer 10 bar en vervormen praktisch niet tijdens het rijden. Bij mountainbiken is de rolweerstand groter omdat men rijdt met brede banden die minder hard opgepompt worden.

96 ]

Kinematica en dynamica

7

Glijdende wrijving Glijdende wrijving of dynamische wrijving ontstaat wanneer twee systemen over elkaar schuiven. Dat is bv. het geval als een auto remt en de wielen blokkeren. De wielen (systeem 1) schuiven dan over het wegdek (systeem 2). Ook als je met je fiets remt is er glijdende wrijving: de remblokjes (systeem 1) wrijven over de velg van het wiel (systeem 2).

7

Statische wrijving Wrijving kan ook optreden tussen systemen die t.o.v. elkaar niet bewegen.

Op een verijsde helling kun je niet blijven staan en glijd je naar beneden door de zwaartekracht.

Als die helling niet verijsd is, lukt dat zonder problemen.

De oorzaak hiervan is de statische wrijvingskracht tussen je schoenen en het oppervlak van de helling. Ook bij het muurklimmen maak je gebruik van statische wrijving.

In hetgeen volgt, behandelen we enkel statische en dynamische wrijving.

Stappen en rijden

"

Fv

Stappen lijkt zo eenvoudig: je doet het elke dag zonder er bij stil te staan! Toch is het een complex gebeuren.

Als je een stap wil zetten, trek je je spieren samen en duw je je voet op de grond en " naar achteren met een kracht Fv. Hierbij oefen je door de wrijving op de grond een " kracht Fwg uit die naar achteren gericht is. De grond oefent op je voet een even " " grote tegengestelde kracht Fwv uit, die naar voren gericht is. " Fwv Als er weinig wrijving is, bv. bij ijzel, is de kracht Fwv te klein (kleiner dan " de kracht Fv) en zal je voet naar achteren bewegen en slip je. "

Fwg

"

Is de wrijvingskracht groot genoeg (zo groot als de kracht Fv), dan is de resulterende kracht op je voet gelijk aan nul: je voet blijft staan en je hebt een vast punt ten opzichte waarvan je je kunt afzetten en je lichaam naar voren kunt verplaatsen. Nu niet vergeten je andere voet bij te trekken en vooruit te plaatsen en ‌ je eerste stap is gezet! Stappen steunt dus fundamenteel op statische wrijving.

Ook het fietsen en rijden steunt daarop: dankzij de statische wrijvings­ kracht tussen wegdek en banden kun je vooruit geraken. Het gedeelte van de band dat contact maakt met de grond heeft snelheid nul, juist zoals de voet bij het stappen!

De groeven in een band moeten bij regenweer het water onder de band afvoeren. Daarom moeten autobanden wettelijk een minimale diepte hebben. Als het water niet snel genoeg afgevoerd wordt, ontstaat er een waterlaagje tussen band en wegdek (aquaplaning). Omdat de wrijving met het wegdek dan erg klein is, kun je zo de controle over het voertuig verliezen. Die paar vierkante centimeters contact tussen het rubber van de banden en het wegdek zorgen voor de wrijving waardoor je kunt versnellen, vertragen en bochten nemen.

97

10.2

Bij curling glijdt een schijf horizontaal over het ijs. Na enige tijd komt de schijf tot rust. Volgens de tweede wet van Newton moet er dus een kracht op de schijf inwerken. Die kracht is de dynamische → wrijvingskracht Fw.

De oorzaak van die kracht zijn de oneffenheden tussen de schijf en het oppervlak. Die oneffenheden ‘haken’ op elkaar in en zorgen voor weerstand. Op atomair vlak is de wrijving een gevolg van de elektrische wisselwerking tussen de deeltjes (atomen, elektronen ...) van beide oppervlakken.

Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

AG SVRA OEK Z R DE ON

Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de dynamische wrijvingskracht? → Experimenteel kun je vaststellen dat de dynamische wrijvingskracht Fw tegengesteld is aan de snelheid → → van het voorwerp. De grootte van Fw is recht evenredig met de grootte van de normaalkracht FN. De normaalkracht is de kracht waarmee beide oppervlakken tegen elkaar drukken.

Hoe groter de normaalkracht, hoe harder de schijf op het oppervlak drukt, hoe groter de wrijvingskracht.

Dat kun je ook vaststellen bij het remmen: hoe harder je remt, hoe meer je de remblokjes tegen de velg trekt, hoe groter de normaalkracht en hoe groter de wrijvingskracht.

Fw ~ FN F = cte · F w N Deze constante is afhankelijk van de aard van beide oppervlakken en noemt men de dynamische wrijvingscoëfficiënt µd.

Fw = µd · FN

… onafhankelijk van de snelheid …

Dat geldt enkel als de snelheid niet te groot is.

+

µd is onbenoemd. → Hoe groter µd, hoe groter de wrijvingskracht Fw. De grootte van de dynamische wrijvingskracht is onafhankelijk van de grootte van het contactoppervlak en van de snelheid waarmee het voorwerp over het oppervlak glijdt. → De dynamische wrijvingskracht Fw is tegengesteld aan de snelheid van het voorwerp.

Voor de grootte geldt Fw = µd · FN . µd is de dynamische wrijvingscoëfficiënt tussen de twee oppervlakken.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Dynamische wrijving

98 ]

Kinematica en dynamica

10.3 Statische wrijving Een doos kun je maar verschuiven als je hard genoeg duwt. Bij een te kleine kracht blijft de doos staan. → Volgens de tweede wet van Newton is de resulterende kracht in dat geval nul. De duwkracht F wordt → gecompenseerd door de statische wrijvingskracht Fw (fig. a en b).

F = Fw F = Fw fig. a

fig. b

F > Fw,max fig. c

Is de kracht groot genoeg, dan komt de doos in beweging (fig. c). Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

AG SVRA OEK Z R DE ON

Welke kenmerken heeft de statische wrijvingskracht? "

We gebruiken het symbool Fw zowel voor de statische als voor de dynamische wrijvingskracht.

→ De grootte van de statische wrijvingskracht Fw heeft geen vaste waarde! Het enige wat je kunt zeggen, is dat ze kleiner is dan of gelijk aan een maximale waarde Fw,max: Fw  Fw,max Om een systeem in beweging te brengen, moet je een kracht uitoefenen die groter is dan Fw,max.

Experimenteel kun je vaststellen dat de maximale statische wrijvingskracht Fw,max recht evenredig is met de normaalkracht FN: Fw,max ~ FN en dus Fw,max = cte · FN

µs is onbenoemd en is groter dan µd (zie tabel).

+

Deze constante is afhankelijk van de aard van beide oppervlakken en noemt men de statische wrijvingscoëfficiënt µs.

Fw,max = µs · FN → → De statische wrijvingskracht Fw is altijd kleiner dan de maximale waarde Fw,max.

Voor Fw,max geldt Fw,max = µs · FN

µs is de statische wrijvingscoëfficiënt tussen de twee oppervlakken.

Typische waarden voor wrijvingscoëfficiënten

µd

µs

rubber - droog beton

0,85

0,95

rubber - nat beton

0,50

0,60

rubber - droog asfalt

0,90

0,95

rubber - nat asfalt

0,60

0,65

rubber - ijs

0,10

0,15

hout - hout

0,20

0,40

hout - sneeuw

0,050

0,15

staal - staal

0,60

0,70

staal - ijs

0,010

0,012

99

- OEFENING

De remafstand van een auto

Oplossing Het systeem dat we beschouwen is de wagen.

Er is geen motorkracht: tijdens het remmen geef je immers geen gas!

FN a

Fw

v

Op dat systeem werken drie krachten: → de zwaartekracht Fz → de normaalkracht FN → de (dynamische) wrijvingskracht Fw

FZ y

Volgens de tweede wet van Newton geldt → → → a Fz + FN + Fw = m · →

FN

We kiezen het assenstelsel zoals in de figuur. Projecteren geeft op de x-as: 0 + 0 – Fw = m · ax (1) op de y-as: -Fz + FN + 0 = m · ay (2)

Fw x

FZ

De zwaartekracht is Fz = m · g.

Voor de wrijvingskracht geldt Fw = µd · FN.  De versnelling a is horizontaal en naar achteren gericht. Dan is ay = 0.

Invullen in (1) en (2) geeft -µd · FN = m · ax (3) -m · g + FN = 0 (4)

Is ax positief of negatief?

Verklaar.

Vergelijking (4) geeft FN = m · g en dat invullen in (3) geeft -µd · m · g = m · ax ax = -µd · g (5) → Als de wrijvingskracht Fw constant is, voert de wagen een EVB uit t.o.v. de x-as en geldt Δx =

vx1 + vx2 v +0 v · Δt = · Δt = · Δt 2 2 2

(6)

Uit Δvx = ax · Δt volgt 0 – v = ax · Δt en dus Δt = Dat invullen in (6) geeft Δx =

+

v2 2 ∙ µd ∙ g

-v v = ax µd ∙ g

Bij glijdende wrijving is de remafstand Δx voor een wagen met snelheid → v Δx =

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

Een wagen remt met geblokkeerde wielen op een horizontale weg (glijdende wrijving). Leid de formule af die de remafstand geeft als functie van de beginsnelheid → v.

v2 2 ∙ µd ∙ g

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: ■ de verschillende soorten weerstandskrachten beschrijven met voorbeelden uit het dagelijkse leven ■ de kenmerken van de dynamische en de statische wrijvingskracht geven en afleiden ■ oefeningen en denkvragen m.b.t. wrijvingskracht oplossen

11 HOOFDSTUK 1

REEKS 1 1. Een auto heeft een olielek. Hoe zou je daarmee de beweging van de auto kunnen registreren?

2. Als je de beweging van een systeem registreert met een afstandssensor, kun je de tijdsintervallen Δt groot of klein nemen. a) Wat is het nadeel als je de tijdsintervallen groot neemt? b) Als je de tijdsintervallen erg klein neemt, vertoont de snelheidsgrafiek grote onregelmatigheden. Verklaar.

∆ t groot

HOOFDSTUK 2

Oefeningen

4. Welke figuren kloppen niet? Wat is fout? a) b) 200 m

100 m

0s

1s

c) x

x

200 m

100 m

1s

2s

100 m

200 m

-2 m/s

-3 m/s

2s

1s

3 m/s

2 m/s

d)

x

x

5. In 2009 vestigde Usain Bolt een nieuw wereldrecord op de 100 m met een tijd van 9,58 s. Bereken zijn gemiddelde snelheid.

∆ t klein

3. Na een feestje rijdt Bob huiswaarts. Op een bepaald ogenblik ziet hij in de verte een alcoholcontrole. Bespreek zijn reactie bij elk van de onderstaande grafieken (bv. stoppen en terugkeren …). a) x

b)

x

t

t

c) x

d)

t = plaats politiepost

6. E en hovercraft stuift van Dover naar Duinkerke in 55 min (afstand 36 km). Bereken zijn gemiddelde snelheid.

7 a) Jo rijdt 10 km met een snelheid van 20 km/h en dan 10 km met een snelheid van 40 km/h.

Bereken zijn gemiddelde snelheid over het hele traject. b) Leen rijdt 30 min met een snelheid van 20 km/h en dan 30 min met een snelheid van 40 km/h. Bereken haar gemiddelde snelheid over het hele traject. c) Maak voor beide gevallen de x(t)- en de vx(t)-grafiek.

8. Welke uitspraken zijn juist? Verklaar.

x

x

t t1

t2

t3

t

a) Op t1 beweegt het voorwerp in de positieve zin van de x-as. b) Op t2 beweegt het systeem met een constante snelheid. c) Op t3 is de snelheid negatief. d) De gemiddelde snelheid in het tijdsinterval [t1; t2] is nul. e) De verplaatsing tussen t1 en t3 is nul. f) Het voorwerp beweegt op t1 sneller dan op t3.

101

9. De beweging van een systeem wordt gegeven door x(t) = 1,00 · t2 – 2,00 · t + 3,00 a) Geef de eenheden voor elke coëfficiënt. b) Maak de x(t)- en de vx(t)-grafiek tussen 0 s en 3 s. c) Bepaal de positie op t = 0 s, 1,00 s en 2,00 s. d) Bepaal de verplaatsing in [0 s; 1,00 s] en [1,00 s; 2,00 s]. e) Bepaal de snelheid op t = 0 s, 1,00 s en 2,00 s.

13. Julie vertrekt met de fiets en versnelt tot 20,0 km/h in 5,0 s. Bereken haar gemiddelde versnelling.

15. De vx(t)-grafiek geeft in grote lijnen weer hoe het hoofd van een dummy beweegt tijdens een crashtest.

10. Bekijk voor elke grafiek of het voorwerp versnelt of vertraagt en of het voorwerp in de positieve of in de negatieve zin van de x-as beweegt. a) vx b) vx

t

vx

t3

t

d) vx

c) vx

t

11. De snelheidsvergelijking van een auto die vertrekt, wordt gegeven door vx(t) = 1,00 m/s4 · t3 – 4,75 m/s3 · t2 + 7,00 m/s2 · t a) Maak de vx(t)- en de ax(t)-grafiek voor het interval [0 s; 3 s]. b) Bereken de gemiddelde versnelling in het interval [0,20 s; 0,60 s]. c) Bereken de ogenblikkelijke versnelling op het ogenblik 0,40 s. d) Bereken de oppervlakte onder de ax(t)-kromme tussen 0,20 s en 0,60 s. e) Bereken de verandering van de snelheid Δvx tussen 0,20 s en 0,60 s en vergelijk met d). Besluit? f) Bespreek het teken van ax op t = 0,40 s en 1,50 s.

12. Een Ferrari F355 accelereert van 0 naar 100 km/h in 4,7 s.

Bereken de gemiddelde versnelling.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

14. Ik rijd 90,0 km/h en vertraag tot 60,0 km/h in 3,0 s.

Bereken mijn gemiddelde versnelling.

t

t1

t4

t5

t2

t

a) Bekijk voor de tijdstippen t1, t2, t3, t4 en t5 of het hoofd naar voor, naar achteren of niet beweegt. b) Bekijk voor de tijdstippen t1, t2, t3, t4 en t5 of het hoofd versnelt, vertraagt of een constante snelheid heeft. c) Op welk tijdstip is de versnelling van het hoofd het grootst? d) Beschrijf de beweging die het hoofd maakt bij deze crashtest en geef een mogelijke verklaring.

16. Teken de bijbehorende ax(t)- en de x(t)-grafiek voor onderstaande vx(t)-grafiek. vx

t

Kinematica en dynamica

17. Onderstaande x(t)-grafiek is een stuk van een bergparabool.

Teken de bijbehorende vx(t)- en de ax(t)-grafiek.

26. N aar aanleiding van een treinongeval staat in een krantenartikel : “Een trein die 140 km/h rijdt, heeft 600 à 700 m nodig om te stoppen”. Bereken de gemiddelde versnelling van de trein.

x

27. B ereken de stopafstand als je pa 130 km/h rijdt, de reactietijd 1,00 s is en de versnelling 6,00 m/s2.

t

28. H et is mistig en de zichtbaarheid is 50 m. Je reactietijd is 1,0 s. Hoe groot mag je maximale snelheid zijn? (versnelling 6,0 m/s2)

18. Voor de snelheidsvergelijking van een systeem geldt vx(t) = 3,00 t3 – 2,00 t2 + 1,00 t + 2,00 a) Geef de eenheden voor elke coëfficiënt. b) Maak de vx(t)- en de ax(t)-grafiek tussen 0 s en 3 s. c) Bereken de verplaatsing in [1,00; 2,00 s]. d) Bereken de snelheid op 1,00 s en op 2,00 s. e) Bereken de gemiddelde snelheid in [1,00 s; 2,00 s]. f) Bereken de gemiddelde versnelling in het interval [1,00 s; 2,00 s]. g) Bereken de ogenblikkelijke versnelling op 1,50 s.

29. B ereken de afgelegde weg als je versnelt van 60,0 km/h naar 80,0 km/h in 3,0 s.

30. Op een vliegdekschip helpt een stoomkatapult straaljagers voldoende te versnellen bij de start.

Bereken de versnelling als een F14 op 80 m een snelheid van 260 km/h bereikt.

19. Een speleoloog ontdekt in een grot een diepe put. Met een ultrasone zender stuurt hij een geluidssignaal in de put. Na 1,48 s ontvangt hij de gereflecteerde puls. Hoe diep is de put? (geluidssnelheid = 340 m/s) 20. Een Boeing 747 versnelt en bereikt vanuit rust na 15 s een snelheid van 180 km/h. Bereken de versnelling en de verplaatsing op de startbaan.

21. Ann rijdt 90,0 km/h en komt door te remmen tot stilstand in 4,00 s. Bereken de afstand die tijdens het remmen wordt afgelegd gedurende de eerste seconde en de laatste seconde.

22. Een wagen rijdt 80,0 km/h als hij betrokken raakt bij een frontale botsing. De gordel vangt de passagier op waardoor die tot rust komt in 0,030 s. Bereken zijn versnelling en de verplaatsing.

23. Een sportieve wagen kan van 0 km/h naar 100 km/h ver­ snellen in 9,3 s. Bereken de versnelling en de verplaatsing.

24. Elise rijdt van Antwerpen naar Luik (= 100 km) met een snelheid van 110 km/h. Steven doet het traject aan 130 km/h.

Hoeveel minuten is hij vlugger?

25. De stopafstand is gelijk aan de reactieafstand (EB) plus de remafstand (EVB). a) Stel dat de reactietijd gelijk is aan 1,0 s, de snelheid 50 km/h en de vertraging 6,0 m/s2. Bereken de stopafstand. b) Idem voor snelheid 100 km/h.

HOOFDSTUK 3

102 ]

31. Zoek voorbeelden die de eerste wet van Newton illustreren.

32. Leg met de 1e wet van Newton uit wat er juist gebeurt bij een whiplash.

33. An fietst van Gent naar Aalst (25,0 km) met een snelheid van 20,0 km/h. Tien minuten daarna vertrekt Pieter uit Aalst naar Gent aan 15,0 km/h. Waar en wanneer ontmoeten ze elkaar?

34. Bepaal telkens de x- en de y-component, de som y en het scalair product van de vectoren. a)

y a (10)

b (10)

115°

b (15)

30°

x x c) y c) y

x

b) y

10)

b (15)

30°

39. Welke grafieken zijn onmogelijk? Verklaar. a) y b) y a (10) a) y b) y

t t d) y d) y

x

a (10)

t t

115°

40. Teken voor elk geval de verplaatsingvector, bepaal het teken van ∆x en ∆y en duid de afgelegde weg aan. a) y

x

x

x x

b) y

x

35. Bepaal het scalair product van de vectoren a) (3; -2) en (0; 3) b) (5; 2) en (-1; -4)

c) y

x d) y

36. Bepaal de hoek tussen de vectoren (2; -3) en (5; -10).

37. Bepaal telkens de x- en de y-component van de vector. a) y b) y c) y

15

70°

90°

130°

10

x

d) y

10

x

e) y

x

f) y 180°

10

15 15

45°

110° x

x

38. Teken de volgende vectoren en bepaal telkens de grootte (grafisch en met de formule). a) (-3; 5) b) (2; 0) c) (3; -2)

x

x

x

41. Voor de beweging van een voorwerp geldt x = 3,00 · t2 + 5,00 · t y = 5,00 · t3 + 2,00 · t2 – 10,0 · t + 5,00 a) Teken de baan van het voorwerp tussen 0 s en 1,00 s. b) Bepaal de positie van het systeem op t = 0,300 s en op t = 0,800 s.   c) Bepaal de snelheid v en de versnelling a op die ogenblikken en teken die vectoren in de punten. d) Bepaal at, an en ρ voor die ogenblikken.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

HOOFDSTUK 4

103

Kinematica en dynamica

42. Bespreek volgende formules. Is de formule altijd, soms of nooit waar? Verklaar. a) at =

dv dt

b) a = an c) a = at

(kromlijnige beweging)

d) a = at + an (at ≠ 0 en an ≠ 0) e) ax = ax,g f) ag =

∆v (ECB) ∆t

43. Een voorwerp beschrijft een kromlijnige baan. In een punt P is de versnelling a = 20 m/s2.

Welke van de volgende combinaties zijn dan mogelijk? a) an = -10 m/s2 en at = 30 m/s2 2 b) an = -10 m/s en at = 17,3 m/s2 2 c) an = +10 m/s en at = 10 m/s2 2 d) an = +10 m/s en at = -17,3 m/s2

HOOFDSTUK 5

44. De oprit van de E17 in Burcht heeft een kromtestraal van 190 m. Bereken de snelheid waarmee de bocht kan genomen worden als de centripetale versnelling van een wagen 8,0 m/s2 mag zijn.

HOOFDSTUK 6

104 ]

49. De maan voert bij benadering een ECB uit rond de aarde. Bereken de grootte van de snelheid en de versnelling van de maan.

50. De aarde draait in een dag rond haar as. a) Bereken de hoeksnelheid van de aarde, waarbij je aanneemt dat een dag gelijk is aan 24 h. b) Zoek, bv. op internet, het verschil tussen een siderische dag en een zonnedag. Bereken de hoeksnelheid van de aarde, waarbij je de correcte daglengte gebruikt.

51. Iedereen op aarde voert een ECB uit omdat de aarde rond haar as draait. Kabila zit op de evenaar; Bart zit in Brussel op 51° NB. Bereken de hoeksnelheid, de grootte van de snelheid en de versnelling voor beide.

52. Bereken de frequentie waarmee je een bol aan een touw met lengte 1,50 m horizontaal moet rondzwieren zodat de bol een centripetale versnelling zou hebben gelijk aan 9,81 m/s2.

53. Bereken de centripetale kracht op de aarde in haar baan rond de zon.

45. De verplaatsing in een tijdsinterval kan a) groter zijn dan de afgelegde weg in dat tijdsinterval b) gelijk zijn aan de afgelegde weg in dat tijdsinterval c) kleiner zijn dan de afgelegde weg in dat tijdsinterval

54. Bij het hamerslingeren wordt een bol met massa 7,260 kg rondgezwierd. Bereken de kracht die de atleet moet uitoefenen op de kabel als de hamer een ECB beschrijft in een horizontaal vlak met straal 1,20 m en periode 0,85 s.

46. Zoek voorbeelden die de tweede wet van Newton illustreren.

a) Beschrijf de situatie.

b) Welke krachten werken er op het systeem?

c) Is er een resulterende kracht?

d) Wat is het effect van de resulterende kracht?

55. a) In de film Point Break duikt een parachutist in vrije val achter iemand aan. Hoe kan hij ervoor zorgen dat hij de andere inhaalt? b) Wat valt in vacuüm het snelst: een loden bol of een rubberen bol met dezelfde grootte?

47. Een radiogestuurd autootje met massa 2,6 kg beschrijft een kromlijnige baan. Tussen de ogenblikken 0 s en 2,0 s wordt de beweging beschreven door

x = 4,00 t3 – 18,0 t2 + 24,0 t

y = 1,00 t2 + 5,00 t Maak met je grafisch rekentoestel of met je pc de grafiek van de baan en bepaal voor het ogenblik 1,30 s:

Fx, Fy, F, Ft, Fn.

56. Jan gooit een bal omhoog. De bal bereikt een hoogte van 10 m. Hoe groot was zijn beginsnelheid?

48. Een paardenmolen heeft diameter 12,0 m en draait 8,0 toeren per minuut.

Koen zit op 2,0 m van het middelpunt en Sofie op 4,0 m.

Bepaal zowel voor Koen als voor Sofie de hoeksnelheid, de grootte van de snelheid en de versnelling.

57. Wout valt uit een boom vanaf 5,00 m hoogte. Bereken de snelheid waarmee hij op de aarde terecht komt.

64.

Alison slaat een tennisbal terug.

De bal vertrekt op 8,00 m van het net, horizontaal, op een hoogte van 1,10 m, met snelheid 140 km/h en vliegt loodrecht naar het net. De hoogte van het net is 0,91 m. Raakt de bal erover?

HOOFDSTUK 7

58.

Een luchtballon bevindt zich op een hoogte van 440 m en beweegt verticaal naar beneden met een snelheid van 5,00 m/s als Tine haar fototoestel laat vallen. Hoelang duurt het voordat het toestel beneden is? Met welke snelheid valt het op aarde?

66.

Een vlot met 10 personen aan boord meert aan en wordt niet vastgelegd. Waarom is het risico om in het water te vallen veel groter voor de laatste dan voor de eerste die uitstapt?

59. E en voorwerp wordt verticaal omhoog gegooid. Welke uitspraak is juist?

In het hoogste punt is a) v = 0 en a = 0 b) v ≠ 0 en a=0 c) v = 0 en a≠0 d) v ≠ 0 en a≠0

67.

“Een paard staat voor een kar. Als het paard een kracht uitoefent op de kar, oefent de kar een even grote tegengestelde kracht uit op het paard volgens de derde wet van Newton. Dus kan het paard de kar nooit in beweging krijgen!” Bespreek deze redenering.

7,00 m

5,00 m

62.

Een volleybal wordt boven het net op een hoogte van 2,50 m horizontaal gesmasht met een snelheid van 10 m/s. Bereken het bereik van de bal. Waarom zal het bereik in realiteit kleiner zijn?

63. Een pijl wordt horizontaal weggeschoten met een beginsnelheid van 30 m/s. Het doel staat 10 m verder. Hoeveel zakt de pijl over die afstand?

HOOFDSTUK 8

60. E en kogel wordt met een Long Rifle horizontaal weggeschoten met een snelheid van 450 m/s van op 1,60 m hoogte. Bereken het bereik van de kogel en de snelheid waarmee hij op de grond terecht komt.

61. Bij een ongeval komt een wagen in een dok terecht. Bereken de beginsnelheid van de wagen met de gegevens van de figuur.

65.

Zoek voorbeelden die de derde wet van Newton illustreren

a) Beschrijf de situatie.

b) Welke zijn de twee systemen?

c) Waaruit blijkt dat systeem 1 op systeem 2 een kracht uitoefent?

d) Waaruit blijkt dat systeem 2 op systeem 1 een kracht uitoefent?

68. W elke wet van Newton wordt door volgende fenomenen geïllustreerd? Verklaar.

a) Een natte hond die zich afschudt.

b) Als je uit een boom valt, komt de aarde een (heel klein) beetje naar boven.

c) Je kunt met één hand een plasticzakje van de rol trekken op de groenteafdeling in het warenhuis.

d) Een zwaar binnenschip kun je van de kant wegduwen, maar dit gaat zeer langzaam.

e) Een honkbalknuppel op de hoedenplank van de auto is levensgevaarlijk.

f) Als ik uit een roeibootje stap, gaat het bootje achteruit en kan ik in het water vallen.

g) Het uitkloppen van een tapijtje.

h) Een ei gaat niet stuk als je het op een matras laat vallen.

i) De schoenen van een fietser die door een auto is aangereden, vindt men dikwijls een eind verder terug.

j) Een slacentrifuge.

k) Een vrachtwagen die op sneeuw langzaam tegen een auto glijdt, veroorzaakt toch veel schade.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

105

Kinematica en dynamica

69. Altijd, soms of nooit waar? (met kracht wordt de resulterende kracht bedoeld)

a) Kracht veroorzaakt verplaatsing.

b) Om een voorwerp in beweging te krijgen is er een kracht nodig.

c) Als er op een voorwerp een kracht werkt, kan de snelheid nul zijn.

d) Om een voorwerp in beweging te houden is er een kracht nodig.

e) Kracht veroorzaakt versnelling.

f) Als op een voorwerp een kracht werkt, kan de versnelling nul zijn.

g) Als je in een wagen zit die een bocht neemt, werkt op je lichaam een kracht die naar de buitenkant van de bocht gericht is.

73. Een Volkswagen New Beetle (massa 1250 kg) rijdt met een constante snelheid van 70 km/h op een vlakke weg. De wrijvingskracht bedraagt 410 N. Teken en bereken alle krachten.

74. Chris Froome (massa van fiets + Chris is 74,3 kg) rijdt met een constante snelheid van 21,3 km/h een helling van 10° op. Teken en bereken alle krachten (verwaarloos de wrijving).

75. Een auto (massa 1250 kg) met caravan (massa 700 kg) wordt op een vlakke weg in gang getrokken door een horizontale kabel die een kracht van 500 N uitoefent.

a) Bereken de versnelling van het systeem.

b) Bereken de krachten op de auto en de caravan (verwaarloos de wrijving).

70. Een piloot (massa 85,9 kg) voert met een F-16 een verticale looping uit met straal 600 m. Rond het onderste punt is zijn snelheid constant en gelijk aan 680 km/h.

Bereken zijn versnelling en teken de krachten op zijn lichaam in dat punt.

71. Teken de krachten op het systeem in de volgende situaties.

Is er een resulterende kracht?

a) Joris fietst met constante snelheid over een vlakke weg naar huis.

b) Heleen fietst al remmend een steile helling af.

c) Hans is een duiker en daalt met constante snelheid in de Caraïbische zee.

d) Peter zit in een wagen die een bocht neemt met constante snelheid.

e) Bij een motorongeval vliegt Ben naar voor.

72. Een Citroën Jumpy heeft massa 1400 kg en trekt op een vlakke, horizontale weg in 20,4 s op van 0 km/h tot 100 km/h.

Teken en bereken alle krachten tijdens het optrekken

(verwaarloos de wrijving).

76. Op een vliegdekschip landt een Tomcat met massa 23,8 ton tegen een snelheid van 220 km/h en komt met behulp van een remkabel tot stilstand in 2,5 s.

a) Bereken de vertraging en de kracht die de piloot (massa 76,0 kg) tijdens het remmen ondervindt.

b) Bereken de kracht op de kabel.

HOOFDSTUK 9

106 ]

77. a) Bereken de grootte van de gravitatiekracht tussen twee vrachtwagens van 10,0 ton die op 5,00 m van elkaar staan. b) Bereken de gravitatiekracht van de maan op de tientonner (aarde, tientonner en maan in deze volgorde op één lijn). c) Bereken de gravitatiekracht die de aarde op de tientonner uitoefent. Bereken eveneens de grootte van de zwaartekracht op die tientonner.

Wat kun je besluiten?

107

zon

Mars

86. Bereken de valversnelling op

a) de maan; b) Mars; c) Pluto.

Pluto

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

78. De zon, Mars en Pluto bevinden zich op een bepaald ogenblik op een lijn. Bereken de resulterende gravitatiekracht op Mars.

87. Wat is het verschil tussen massa, gewicht, zwaartekracht en normaalkracht?

88. In zijn ruimtepak leest Neil Armstrong op een weegschaal op aarde 245 kg af.

79. Bereken de gravitatiekracht van de zon op de aarde.

Vergelijk deze met de middelpuntzoekende kracht op de aarde. Wat kun je besluiten?

80. De aarde voert een ECB uit rond de zon. Bereken daaruit de massa van de zon.

81. De maan voert een ECB uit rond de aarde. Bereken daaruit de afstand van de maan tot de aarde. © NASA

82. Een ruimteveer voert een ECB uit rond de aarde op 300 km hoogte.

Bereken zijn periode.

83. De aarde oefent op elke massa gravitatiekracht uit. Deze kracht is gelijk aan de zwaartekracht en kun je meten met een dynamometer. Voor een massa van 1,00 kg vind je 9,81 N. Bepaal daaruit de massa van de aarde. (Hiertoe moet G gekend zijn. Daarom noemt men de proef van Cavendish waarbij de waarde van G bepaald werd ‘het wegen van de aarde’.)

84. Joris heeft een massa van 60 kg. Bereken de zwaarte­kracht die op zijn lichaam werkt op

a) de aarde;

b) de maan; c) Venus; d) Jupiter; e) Saturnus.

85. a) Op welke hoogte is de valversnelling gehalveerd?

b) Hoe groot is de valversnelling daar als je de invloed van de maan mee in rekening brengt? Onderstel dat de aarde, het punt en de maan op een rechte liggen.

a) Hoe groot is dat gewicht op aarde? b) Hoe groot is die massa op de maan? c) Hoe groot is het gewicht op de maan? d) Welke waarde leest hij op die weegschaal af op de maan?

89. Lien staat in een lift en draagt een zak levensmiddelen met massa 12,6 kg.

a) Waar grijpt het gewicht van de zak aan?

b) Bereken het gewicht van de zak • als de lift in rust is; • als ze opwaarts vertrekt met versnelling 3,0 m/s2.

90. Een ruimteveer voert een ECB uit rond de aarde op 300 km hoogte.

a) Bereken de valversnelling op die hoogte.

b) Toon aan dat de astronauten gewichtloos zijn.

Kinematica en dynamica

91. T ijdens een rit op een roetsjbaan zit Sofie (massa 62,5 kg) in het middelste wagentje. Rond punt P (het onderste punt) heeft ze een constante snelheid van 70,0 km/h. De kromtestraal van de baan is op die plaats 50,0 m.

a) Teken en bereken de krachten op Sofie in dat punt. Hoe groot is haar gewicht in dat punt?

b) Waarom en waarin verschilt haar ervaring met die van Peter die vooraan zit?

Sofie

94. Op welke manier speelt wrijving een rol bij volgende zaken?

a) racewagens hebben brede banden; b) handbal; c) stappen;

d) met een fiets een bocht nemen; e) als je met de mountainbike op een modderig pad naar boven klimt, slipt je achterwiel minder gemakkelijk als je wat naar achter gaat hangen;

f) het hitteschild van een ruimteveer.

95. Teken alle krachten op het systeem.

a) Je rijdt met je fiets aan een constante snelheid een steile helling af.

b) Een puck beweegt wrijvingsloos over een horizontaal oppervlak.

96. Waarom is het moeilijker een kast in beweging te krijgen dan ze in beweging te houden?

97. Een trein heeft snelheid 140 km/h en doet een noodstop. Door natte bladeren op de sporen is de wrijvingscoëfficiënt tussen wielen en sporen 0,30.

Bereken de remafstand.

Peter

P

HOOFDSTUK 10

108 ]

92. Een schaatser met massa 75,6 kg laat zich ‘uitbollen’ op een ijsbaan.

De dynamische wrijvingscoëfficiënt van het staal op het ijs is 0,010. Bereken de grootte van de wrijvingskracht.

93. Op een blok hout met massa 150 g wordt horizontaal een toenemende kracht uitgeoefend. Bij een kracht van 1,10 N komt het blok juist in beweging. Hoe groot is de statische wrijvingscoëfficiënt tussen het hout en de ondergrond?

98. Een wagen met massa 1300 kg vertrekt op een horizontaal en verijsd wegdek. De wrijvingscoëfficiënt tussen banden en wegdek is 0,12.

a) Bereken de maximaal mogelijke versnelling.

b) Hoelang duurt het eer de wagen een snelheid van 40 km/h bereikt?

99. Hoe snel mag men rijden op een besneeuwd wegdek (µs = 0,20) om eenzelfde remafstand te hebben als aan 50 km/h op een droog wegdek?

100. D e opstelling in de figuur laat toe de wrijvings­coëfficiënt tussen bv. een schoen en een tegel te bepalen.

Als de helling voorzichtig groter gemaakt wordt, begint de schoen te glijden bij een hoek α.

Toon aan dat µs = tan α.

101. Curling is een precisiesport, waarbij een grote, platte, granieten steen over het ijs schuift. Met een bezem maakt men de weg naar het doel (een cirkel) zo glad mogelijk. Bepaal de wrijvingscoëfficiënt tussen de steen en het ijs als de steen met een beginsnelheid van 1,5 m/s een afstand van 16,0 m aflegt.

REEKS 2 1. Sarah rijdt 40 km/h en komt door te remmen tot stilstand in 4,0 s. Bereken haar remafstand.

2. Hoe lang doet het zonlicht erover om de aarde te bereiken?

3. Toon aan dat de remafstand recht evenredig is met het kwadraat van de beginsnelheid.

4. Je rijdt 80 km/h. Je reactietijd is 1,0 s. Welke afstand moet je bewaren ten opzichte van je voorganger (vertraging 6,0 m/s2)?

5. Een vrachtwagen rijdt 90 km/h. De chauffeur is verstrooid en merkt pas op 30 m een stilstaande file. Na een reactietijd van 1,0 s remt hij met vertraging 6,0 m/s2. Komt hij tijdig tot stilstand? Zo niet, met welke snelheid botst hij op de staart van de file?

6. Een vrij elektron in koper botst bij kamertempera­tuur gemiddeld 4 · 1013 maal per s. Tussen twee botsingen legt het elektron gemiddeld 2 · 10-10 m af. Bereken de gemiddelde snelheid van het elektron.

7. Michiel rijdt 60,0 km/h en Lies 80,0 km/h. Ze haalt Michiel in.

Als ze naast mekaar gekomen zijn, remmen beiden gelijktijdig met een vertraging van 7,0 m/s2. a) Bereken de remafstand van Michiel. b) Welke snelheid heeft Lies nog op het moment dat Michiel stilstaat? Hoeveel verder dan Michiel is Lies op dat ogenblik? c) Welke afstand moet Lies nog afleggen tot stilstand vanaf dat punt?

8. Bij een demarrage versnelt Tom Boonen vanaf 42,0 km/h. Na 10 s heeft hij een voorsprong van 100 m op het peloton. Bereken zijn versnelling.

9. Een vliegtuig landt op een vliegdekschip met een snelheid van 220 km/h en komt tot rust in 2,0 s. Bereken de versnelling die de piloot ondervindt en de afstand waarover het vliegtuig wordt afgeremd.

10. Met een bepaalde motor kun je van 0 tot 100 km/h versnellen in 5,2 s. Bereken de versnelling.

11. Bewijs met integraalrekenen a) dat de oppervlakte onder de vx(t)-curve tussen t1 en t2 gelijk is aan Δx; b) d at de oppervlakte onder de ax(t)-curve tussen t1 en t2 gelijk is aan Δvx.

12. Tijdens een vorige editie van de ronde van Burkina Faso vond een wonderbaarlijke ontsnapping plaats.

Ongezien slaagde een renner erin om in een tijdsverloop van 5 minuten een voorsprong van 15 minuten op te bouwen. Bespreek dit ‘mirakel’. Wat zou er kunnen gebeurd zijn? Neem voor de snelheid van de groep 25 km/h.

13. Hoelang duurt het voordat een atleet bij de start van de 200 m het startschot hoort als hij 14 m van het pistool verwijderd is (geluidssnelheid = 340 m/s)?

14.

De afstand tussen twee steden bedraagt 500 km. Een vlieg­tuigje doet over een vlucht heen en terug normaal 2 h 0 min. a) Bereken de gemiddelde snelheid. b) Stel dat het bij de heenreis een tegenwind heeft van 100 km/h (en dus 100 km/h trager vliegt) en bij de terugreis 100 km/h wind mee heeft (en dus 100 km/h sneller vliegt). Doet het vliegtuig over de totale vlucht dan even lang, minder of meer?

Reken uit, trek je besluit en bewijs dit ook algemeen.

15.

Een marathon bedraagt 42,195 km. In 2003 liepen zowel Paul Tergat bij de mannen als Paula Ratcliffe bij de vrouwen een nieuw wereldrecord met respectievelijk 2 h 04 min 55 s en 2 h 15 min 25 s. Welke afstand moet Paula nog afleggen op het ogenblik dat Paul aankomt (als ze samen gelopen hadden)?

16. I k rijd 50 km/h en word ingehaald door een auto die 80 km/h rijdt. Op het moment dat hij me passeert, trek ik op met een constante versnelling van 2,0 m/ s2. Na welke afstand heb ik de wagen ingehaald en wat is dan mijn snelheid?

17. De snelheid van een wagen verandert eenparig van vx1 tot vx2.

De versnelling is ax. a) Bewijs dat voor de verplaatsing geldt v 2 − vx12

∆ x = x2

2 ∙ ax b) Kan ∆x negatief zijn? Zo ja, wanneer?

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

109

110 ]

Kinematica en dynamica

18. De snelheid vx van een voorwerp verandert zoals weergegeven in de grafiek. Bereken de gemiddelde snelheid gedurende de eerste 10 seconden. vx (m/s) 5 4 3

a) Reken dat na en verklaar. b) Stel dat de lift eenparig versnelt gedurende een tijd Δt1, dan met een constante snelheid beweegt gedurende tijd Δt2 en ten slotte eenparig vertraagt in eenzelfde tijd Δt1. Bereken de tijd Δt2. (tip: teken de vx(t)-grafiek en bepaal de oppervlakte onder de curve)

2 1 0

0

2

4

6

8

10

t (s)

19. Pol rijdt 50,0 km/h in een bebouwde kom en kan juist tot stilstand komen voor een overstekende voetganger. Met welke snelheid zou hij de voetganger aangereden hebben, moest zijn snelheid 60,0 km/h geweest zijn? Veronderstel in beide gevallen een reactietijd van 1,00 s en een remvertraging van 7,00 m/s2. a) 10 km/h b) 20 km/h c) 30 km/h d) 40 km/h.

20. Bij de lancering bereikt een ruimteveer na 2,5 min een hoogte van 45 km. Bereken zijn snelheid op die hoogte en zijn versnelling. Onderstel dat de raket een EVB uitvoert.

21. Arne rijdt met zijn auto van Hasselt naar Namen (afstand 100 km) met een snelheid van 110 km/h. Niels vertrekt 10 minuten later. Met welke snelheid moet hij rijden om samen met Arne in Namen aan te komen?

22. De Taipei 101 heeft een hoogte van 508 m en staat in de Taiwanese hoofdstad Taipei. Op de 89e verdieping bevindt zich een observatorium.

In een krantenartikel staat: ‘… Het observatorium ligt op een hoogte van 382 meter. Twee liften bedienen de verdieping en brengen bezoekers tegen 60,6 km/h naar boven zodat het precies 39 seconden duurt … ‘.

23. Een voorwerp voert zowel t.o.v. de x-as als t.o.v. de y-as (een EB uit). De snelheid vx en vy is verschillend.

Toon aan dat de baan van het voorwerp recht is.

24. Een bromfietser rijdt met een constante snelheid van 36,0 km/h en passeert een stilstaande politiewagen.

Na 5,00 s vertrekt de wagen en versnelt eenparig met een constante versnelling van 2,00 m/s2. a) Op welk ogenblik en na welke afstand haalt de politiewagen de bromfietser in? b) Hoe groot is de snelheid van de wagen op dat ogenblik?

25. Toon aan dat at =

ax · vx + ay · vy v

26. I ndiana Jones zwemt een wildwaterrivier over met een snelheid van 1,0 m/s. De rivier is 100 m breed en stroomt met een snelheid van 2,0 m/s. a) Hoever drijft hij af? b) Hoe kan hij ervoor zorgen dat hij loodrecht oversteekt? c) Bereken in beide gevallen de tijd die hij nodig heeft voor de oversteek.

111

31.

Op aarde kun je vanaf 3,0 m zonder al te groot risico naar beneden springen. En op de maan (de valversnelling op de maan bedraagt 1,60 m/s2)?

32. A ls de laserstraal het spoor op een cd leest op 5,80 cm van het middelpunt, is de hoeksnelheid van de cd 215 toeren per minuut. a) Bereken de lengte van het spoor dat de laserstraal leest in 1 s (dat is de leessnelheid). b) Bereken het toerental als de laserstraal op 3,5 cm van het middelpunt staat (het toerental van de schijf wordt aangepast, zodat de leessnelheid dezelfde blijft).

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

27.

Bij het ‘kompas­ schieten’ wordt de staprichting gemeten in wijzerzin t.o.v. het noorden. Ik stap 100 m op 70° en vervolgens 150 m op 120°. Bepaal de afstand en richting van mijn eindpunt t.o.v. mijn vertrekpunt.

  dv .“  dv “ a 28. Marie zegt: Vermits = geldt ook a = dt dt Saïd zegt: “Nee, dat klopt niet altijd.“ Wie heeft gelijk? Verklaar.

29.

Iemand stelt je het volgende spel voor: “Ik neem een briefje van 10 euro bovenaan vast tussen duim en wijsvinger en laat het naar beneden hangen. Jij legt je hand op een tafel juist onder het biljet zodat het tussen je duim en wijsvinger kan vallen. Als ik het loslaat moet jij het proberen te pakken door duim en wijsvinger samen te knijpen. Als je het beet hebt, is het van jou, anders betaal je mij 10 euro”. Zou je op het voorstel ingaan?

33.

Een pijl wordt horizontaal afgeschoten uit punt P en treft een verticale wand in punt A.  Verdubbelt men de beginsnelheid v o van de pijl, dan zal deze de wand treffen in punt P

vo

O D C

a) A b) B c) C d) D (modelvraag fysica Olympiade)

30. De verhuisfirma ‘Hoog en droog’ is een verhuis bezig naar de zevende verdieping met een ladderlift. Op de derde verdieping werkt Tess. Op een bepaald ogenblik hoort ze een vloek. Ze kijkt naar buiten en ziet een kast haar raam passeren. Ze is enorm accuraat, ziet meteen dat het raam een hoogte heeft van 1,20 m en de kast 0,10 s nodig had om het raam te passeren. Van hoe hoog viel de kast naar beneden?

34. Een bal A valt uit rust verticaal naar beneden. Bal B voert een horizontale worp uit en heeft beginsnel heid vo.

Ze vertrekken op hetzelfde ogenblik en op dezelfde hoogte. Welke bal is eerst beneden? a) bal A b) bal B c) beide samen d) er zijn te weinig gegevens

B

A

112 ]

Kinematica en dynamica

35. Een steen wordt in vacuüm verticaal omhoog gegooid.

De figuur stelt de verticale positie h als functie van de tijd t schematisch voor (niet op schaal). h(m)

5m

39. De skater springt horizontaal van een ramp met snelheid 2,8 m/s. Hoever van de ramp en onder welke hoek komt de skater op de grond?

y

1,50 m

ho x

0

t(s) 5

De hoogte ho waarop de steen vertrok op het ogenblik t = 0 s, is dan ongeveer gelijk aan a) 25 m b) 50 m c) 75 m d) 100 m (modelvraag fysica Olympiade) 36.

Een Mirage voert een horizontale ECB uit aan een snelheid van 800 km/h. Om bewustzijnsverlies te vermijden mag de versnelling van de piloot maximaal 5 g (= 5 · 9,81 m/s2 ) bedragen. Bereken de diameter van de baan in dat geval.

40. Op hetzelfde ogenblik dat iemand van op de grond een steentje precies 5 m omhoog gooit, schiet een ander op 10 m hoogte een kogeltje recht vooruit.

Welk van de twee raakt als eerste de grond? a) het steentje b) het kogeltje c) ze raken de grond gelijktijdig (Vrij naar de Nationale Wetenschapskwis 1995) 41. Een voorwerp voert een valbeweging uit in vacuüm.

We beschouwen drie tijdstippen to, t1 en t2 (zie tabel).

t

vx

x

to

0 m/s

0m

t1

vx1

x1

t2

3 · vx1

?

De positie x op het ogenblik t2 is dan a) 3 · x1 b) 6 · x1 c) 9 · x1 d) 12 · x1 42.

Een basketbal vliegt horizontaal met snelheid 4,0 m/s tegen de doelplaat en botst horizontaal terug.

De bal komt 2,60 m van de plaat op de grond terecht. Bereken de snelheid waarmee de bal op de plaat terugbotste.

37.

Maak gebruik van het scalaire product om aan te tonen dat bij een ECB   a) v raakt aan de baan (en dus loodrecht staat op r);   b) a wijst naar het middelpunt (en dus tegengesteld is aan r).

38. Een C130 vliegt horizontaal met een snelheid van 250 km/h op een hoogte van 190 m. Een voedselpakket moet terecht komen op een bepaalde plaats. Hoever voor dat punt moet het pakket dan gedropt worden? Waarom niet juist boven die plaats?

3,30 m

2,60 m

43. Tijdens een achtervolging in een film moet een stunt­man van een plat dak op een ander springen. Het hoogteverschil is 3,50 m, de horizontale afstand 3,0 m. Bereken de snelheid waarmee hij moet aanlopen voor deze horizontale sprong.

3,50 m 3,00 m

44. Een steen wordt van op 15,0 m verticaal naar boven gegooid met beginsnelheid 15 m/s.

Bereken de snelheid waarmee de steen op de grond terechtkomt en de tijd dat de steen onderweg is.

45. Zoek eens terug de wet van Archimedes op. Hoe kun je daarmee de derde wet van Newton illustreren?

46. Een touw met lengte 10 m wordt opgespannen door twee ploegen van een jeugdbeweging. In het midden hangt de leider op het touw en oefent zo een neerwaartse kracht uit van 300 N. Hoe groot is de kracht die elke ploeg moet uitoefenen als de hoek α = 10°? α

α

47. Verklaar volgende fenomenen: a) Na een zwaar frontaal auto-ongeval kunnen de haarvaatjes in de ogen ‘gesprongen’ zijn en kan de aorta gedeeltelijk van het hart losgescheurd zijn.

b) Dankzij de wet van actie en reactie kun je stappen.

c) Waarmee moet je rekening houden als je van een rijdende tractor zou springen?

d) Waarom gebruikt men een elastiek en geen touw bij benji-springen?

e) Welke kracht zorgt ervoor dat je naar voor valt in een bus die plots remt?

f) Ga met je vriend(in) tegenover elkaar allebei op een weegschaal staan. Steek je handen uit.

Duw je vriend(in) naar boven.

Wat merk je?

g) Bergbeklimmers gebruiken ‘dynamische touwen’: dit zijn touwen die rekken als ze belast worden.

48. Een eenvoudige versnellingsmeter kun je maken door een massa aan een touwtje te hangen.

Bij een voorwaartse versnelling gaat α het blokje naar achteren hangen. a) Verklaar dit.

b) Toon aan dat voor de versnelling a geldt a = g · tan α.

49. De figuur stelt een ramp voor in een skatecircuit.

Tussen de punten A en C duwt Steven (massa 58,6 kg) zich niet af.

a) Teken de krachten die op hem inwerken in punt A, B en C.

b) B ereken de krachten op Steven in punt C (kromtestraal 4,00 m) als zijn snelheid daar 15,0 km/h is. Verwaarloos de wrijving.

C B A 50. Om een ruimtevaarder (massa 90,0 kg) te trainen in het omgaan met grote versnellingen, gebruikt men een soort centrifuge. Daarbij voert hij horizontaal een ECB uit in een zetel die gemonteerd is op het einde van een arm met lengte 5,50 m. Teken en bereken de krachten op zijn lichaam als de centripetale versnelling 9,0 · g (= 9,0 · 9,81 m/s2) bedraagt.

51. Voor de beweging van een voorwerp geldt x = 2,0 t y = 4,0 t2 a) Wat voor soort beweging voert het voorwerp uit t.o.v. de x-as? b) Wat voor soort beweging voert het voorwerp uit t.o.v. de y-as? c) Stel de formule voor de baan op. d) Werkt er een kracht op het voorwerp?

Zo ja, bepaal de kenmerken ervan.

52. Een wagen (massa 1250 kg) vertrekt op een helling van 10° met een caravan (600 kg).

Tijdens het vertrek is de versnelling 1,0 m/s2.

Bereken de grootte van de krachten op de caravan.

53. Aagje (massa 48,6 kg) komt met snelheid 2,0 m/s verticaal neer op een trampoline, die daardoor 40 cm wordt ingedrukt. Bereken de kracht die door Aagje op de trampoline wordt uitgeoefend.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

113

Kinematica en dynamica

54. De figuur toont een opstelling om het verband tussen kracht en versnelling te onderzoeken: door de val van het blokje komt het wagentje in beweging. Bereken de grootte van de kracht die de krachtsensor registreert tijdens de beweging. versnellingssensor

250 g

krachtsensor

100 g

55. Altijd, soms of nooit waar? (met kracht wordt de resulterende kracht bedoeld)

a) Een systeem beweegt in dezelfde richting en zin als de kracht die erop inwerkt.

b) Kracht veroorzaakt snelheid.

c) Als een systeem met constante snelheid beweegt op een kromme baan, werkt er een kracht op het systeem.

d) Op een voorwerp dat eenparig rechtlijnig beweegt, werkt er een kracht in dezelfde richting en zin als de verplaatsing.

56. Een wagen met massa 1260 kg neemt een bocht met kromtestraal 180 m aan een snelheid van 53,6 km/h.

Teken en bereken alle krachten op het systeem.

57. An (60 kg) zit in een auto die snelheid 70 km/h heeft en draagt haar veiligheidsgordel. Op haar schoot zit haar dochtertje Merel (14 kg). Bij een botsing komt de auto tot stilstand in 0,15 s. Bereken de kracht die zij moet uitoefenen op Merel om te voorkomen dat ze uit de wagen vliegt.

58. Een Land Rover Defender 90 (massa 1720 kg) met een caravan (massa 600 kg) rijdt met een constante snelheid van 50 km/h een helling af van 33 %. Men remt op de motor. Teken en bereken de krachten op de caravan.

(Grosmont - Groot-Brittannië)

114 ]

59. Op een tafel staan twee karretjes. Aan elk karretje zit een touw. Elk touw hangt naar beneden via een katrol aan de tafelrand. Aan het ene touw hangt een massa van 5 kg. Aan het andere touw trekt iemand met een kracht die overeenkomt met de zwaarte van die 5 kg. Welk karretje komt sneller op gang?

a) het karretje met de hangende massa;

b) het karretje met de trekkende persoon;

c) het maakt niet uit.

(Vrij naar de Nationale Wetenschapskwis 2003) 60. Een piloot (massa 85,9 kg) voert met een F-16 een verticale looping uit met straal 600 m. In het bovenste punt is zijn snelheid constant en gelijk aan 230 km/h. Bereken zijn versnelling en teken de krachten op zijn lichaam in dat punt.

P

Q

61. Een fietswiel staat P verticaal.

Vanaf punt P is een draad (recht naar beneden) naar punt Q en een tweede draad schuin naar een (willekeurig) punt R gespannen.

R Een kraal kan vanuit rust wrijvingsloos langs de baan PQ of Q PR vallen.

Toon aan dat de tijd daarvoor dezelfde is. Je hoort dus maar één tik als je beide kralen in P tegelijk loslaat. Dat fenomeen werd al door Galilei proef­ondervindelijk vastgesteld.

(Tip: de driehoek PQR is rechthoekig)

62. Vorig jaar leerde je dat op een lading Q die beweegt in een magnetisch veld de lorentzkracht werkt. Als de lading (massa  m) met snelheid v loodrecht in een homogeen magnetisch veld met grootte B terecht komt, voert ze een ECB uit met straal m∙v r= S B∙ Q

a) Toon dat aan.

B

b) Bereken de afstand RS x x x voor α-deeltjes met snelheid v = 20 · 103 km/h x x x als B = 5,0 mT. r

Q

+

v

x

x

x

x

x

x

R

65. De figuur stelt de machine van Atwood voor. Als je de massa’s niet ondersteunt is

a) de versnelling 1 2 3 g; g; g; g 2 3 4

b) de spankracht in het touw 1 3 m ∙ g; m ∙ g; m ∙ g; 2 m ∙ g 2 2

m

3·m

66. Baron von Münchhausen was een fantast die de meest wonderbaarlijke verhalen wist te vertellen.

30,0 m Zo zou hij zichzelf met zijn paard uit een moeras omhoog hebben getrokken.

Leg uit volgens welke wet dat niet kan.P

63. Een bol voert een slingerbeweging uit aan een touw. Welke fi­­guur toont de resulterende kracht op de bol in het uiterste punt?

67.

Toon aan dat de zwaarteveldsterkte g (= 9,81 N/kg) en de valversnelling g (= 9,81 m/s2) dezelfde eenheden hebben.

geen kracht

a)

b)

c)

d)

64. Een bol voert een slingerbeweging uit aan een touw.

Welke figuur toont de resulterende kracht op de bol in het onderste punt?

geen kracht

a)

b)

c)

68. Stel dat de straal van de aarde twee maal zo groot zou zijn en de dichtheid dezelfde. Hoe groot is de valversnelling op het aardoppervlak dan?

69. In het perihelium is een planeet het dichtst bij de zon, in het aphelium het verst. Toon aan dat een planeet versnelt op weg naar het perihelium en vertraagt op weg naar het aphelium.

perihelium

aphelium

d) 70. Maak met je grafisch rekentoestel de grafiek die de valversnelling als functie van de hoogte weergeeft.

Bepaal wiskundig en grafisch de hoogte waarop g nog maar 10 % is van de valversnelling op aarde.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

115

116 ]

Kinematica en dynamica

71. Bereken de resulterende gravitatiekracht die de twee massa’s van 50,0 kg op de massa van 1,0 kg uitoefenen. In welk punt moet een puntmassa van 100,0 kg gezet worden om dezelfde kracht te geven?

1,0 kg

50,0 kg

1,0 m

50,0 kg

1,0 m

72. In welke tijd zou de aarde om haar as moeten draaien, opdat de valversnelling op de evenaar nul zou zijn?

73. Leid de formule af voor het gewicht als je op een helling staat.

78. Een piloot (massa m) voert met een F-16 een verticale looping uit met straal r.

a) In het onderste punt is  zijn snelheid v. Stel de formule op die de grootte van zijn gewicht geeft in dat punt.

b) In het bovenste punt is hij gewichtloos.

Stel de formule op voor de grootte van zijn snelheid in dat punt.

79. De staaf in onderstaande figuur heeft een homogene massaverdeling. m staaf met massa M

d

a) b)

74. De massa van Robbe bedraagt 78 kg. Hij staat in een lift die bij het opwaarts stoppen vertraagt met 4,0 m/s2. Bepaal zijn gewicht.

75. Je schiet een pijl horizontaal weg met beginsnelheid 26 m/s van op 1,58 m hoogte.

a) Bepaal het bereik. Verwaarloos de wrijving.

b) Hoe groot zou het bereik op de maan zijn?

76. Een geostationaire satelliet is een satelliet die steeds op eenzelfde punt t.o.v. de aarde blijft. Zo’n satellieten worden gebruikt voor telecommunicatie en hebben dezelfde hoeksnelheid als de aarde.

a) Toon aan dat zo’n satelliet zich in het evenaars­vlak moet bevinden.

b) Bereken de hoogte voor zo’n satelliet.

77. Leid de formules af voor het gewicht van een lichaam in volgende situaties:

a) Leen staat in een lift die opwaarts vertraagt;

b) Moshe staat in een lift die neerwaarts vertrekt;

c) Kristien leunt schuin tegen een muur.

lengte l

Met een integraal-berekening kun je aantonen dat de gravitatiekracht die de staaf op de G ⋅m⋅M massa m uitoefent gegeven wordt door Fg = . d ⋅ (d + l )

We vervangen de staaf nu door een puntdeeltje met massa M. Op welke afstand r moet je die massa plaatsen zodat de gravitatiekracht op m even groot zou zijn?

80. Heeft de aarde een gewicht?

81. Bij langdurig verblijf in een ruimtestation degenereren de spieren omwille van de gewichtloze toestand.

Om kunstmatig gravitatiekracht op te wekken, kan men het ruimtestation laten ronddraaien.

a) Teken alle krachten op een astronaut in een buitencompartiment. b) Bepaal de periode T opdat de versnelling daar 9,81 m/s2 zou bedragen. De straal r is 450 m.

r

82. Een astronaut in een ruimteveer begint op een bepaald moment te zweven a) omdat hij ver genoeg verwijderd is van de aantrekkingskracht van de aarde; b) omdat zijn ruimtevaartuig precies tussen twee zwaartekrachtvelden hangt; c) omdat de motor van zijn ruimtetuig afgezet is.

(Vrij naar de Nationale Wetenschapskwis 2003) 83. Uit welke wet volgt dat de gravitatiekracht van een massa 1 op een massa 2 even groot en tegengesteld is aan die van massa 2 op massa 1?

84. Het eenvoudigste atoom dat er bestaat is het 1H-atoom: het heeft 1 proton in de kern en 1 elektron dat gemiddeld op 5,3 · 10-11 m rond die kern beweegt. Bereken en vergelijk de gravitatiekracht en de elektrische kracht van de kern op het elektron.

85. De planeten bewegen op nagenoeg cirkelvormige banen rond de zon. a) Bewijs voor dat geval de tweede wet van Kepler. b) Bereken de constante in die wet voor de aarde.

86. De planeten bewegen op nagenoeg cirkelvormige banen rond de zon. Volgens de derde wet van Kepler geldt

a3 = cte

T2

a) Bewijs voor dat geval de derde wet G · mz van Kepler en toon aan dat die cte = .

4π 2

b) Bereken die cte en controleer ze voor enkele planeten.

c) Geldt de derde wet van Kepler ook voor de a3 manen van Jupiter? Waaraan is de verhouding 2 in dat T geval gelijk?

87. In een advertentie voor een bepaald type band beweert het Michelin­mannetje: “van 100 (km/h) naar 0 in 3,3 s”. Van welke wrijvingscoëfficiënt tussen band en wegdek wordt uitgegaan bij deze bewering?

88. De ‘bodemloze ton’ is een kermisattractie waarbij een ton sneller en sneller wordt rondgedraaid.

Bij een bepaalde hoeksnelheid zakt de bodem weg, maar blijven de deelnemers door de wrijvingskracht hangen tegen de zijkant. Bereken die hoeksnelheid als de wrijvings­coëfficiënt tussen de deelnemers en de wand 0,50 is en de diameter van de ton 8,00 m.

89. Een parachutist heeft tijdens zijn vrije val een con­ stante snelheid van 180 km/h. De totale massa van het systeem is 92,3 kg. Als hij zijn parachute opentrekt, neemt zijn snelheid af tot 6,0 m/s in 2,85 s. Bereken de weerstandskracht van de lucht op de parachutist

a) tijdens de vrije val;

b) tijdens het opengaan van de parachute;

c) tijdens het dalen met geopende parachute.

90. Regelmatig gebeuren er ongevallen waarbij een vracht­wagen inrijdt op een stilstaande file. Bij zo’n ongeval noteerde een expert: “Er is een remspoor van 50 m. De wrijvingscoëfficiënt tussen banden en wegdek is 0,80. Uit de geblokkeerde stand van de snelheidsmeter blijkt dat de vrachtwagen met een snelheid van 40 km/h op de file is ingereden”. Bepaal de snelheid van de vrachtwagen bij het begin van het remmen.

91. De oprit van de E-19 te Kontich heeft op een bepaalde plaats een kromtestraal van 85 m. Wat is de maximale snelheid waarmee je deze bocht kan nemen bij droog weer (µs = 0,95) en bij regen (µs = 0,60)?

© Michelin

92. Ondersteun de uiteinden van een lat met je twee wijsvingers. Probeer langzaam één vinger naar het midden van de lat te schuiven (zonder trucjes te gebruiken!). Lukt het? Verklaar.

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

117

Kinematica en dynamica

93. Wat is het nut van een achterspoiler bij een race­wagen?

98. Mag je de formule Fw = µd · FN ook schrijven als   Fw = µ ⋅ FN ? Verklaar.

99. Dixie Dansercoer trekt zijn slee (massa 140 kg) horizontaal vooruit met constante snelheid. De kracht die hij uitoefent maakt horizontaal een hoek van 25°. De wrijvingscoëfficiënt tussen de slee en het ruwe ijs is 0,10. Bereken de grootte van de kracht die hij moet uitoefenen.

94. Wat is de richting en de zin van de statische wrijvingskracht?

95. Ine sleept een reiskoffer (massa 19,3 kg) vooruit met constante snelheid van 1,5 m/s.

Ze oefent een constante kracht uit van 130 N onder een hoek van 30°.

Bereken de 30° grootte van de wrijvingscoëfficiënt tussen de koffer en de ondergrond.

96. Een doos met massa 12,0 kg ligt in de laadbak van een vrachtwagen die 80,0 km/h rijdt. De statische wrijvingscoëfficiënt tussen bodem en doos is 0,60.

a) Wat gebeurt er als de vrachtwagen bruusk remt? Verklaar.

b) Hoe groot mag de maximale vertraging van de vrachtwagen zijn, opdat de doos zou blijven liggen?

97. Om de wet van de traagheid te illustreren trekt Axel een blad papier (massa m1) weg van onder een blok (massa m2, lengte l) door er gedurende een korte tijd Δt een constante kracht F op uit te oefenen. De wrijvingscoëfficiënt tussen blad en blok is µ, de wrijving tussen blad en tafel is te verwaarlozen. 

a) Wat gebeurt er als de kracht F klein is? b) Als de kracht F groot genoeg is, komt het blad van onder het blok, maar zal het blok toch een beetje verschuiven. Leid de formule af die de verschuiving geeft als functie van de uitgeoefende kracht. Veronderstel dat het blok onmiddellijk stopt als het blad er onderuit is.

© Circles

118 ]

100. E en wagen remt met geblokkeerde wielen. Van welke factoren hangt de remafstand af?

O van de massa van de wagen O de valversnelling op die plaats O hoe hard de bestuurder op het rempedaal drukt O de beginsnelheid O de wrijvingscoëfficiënt tussen banden en wegdek 101. L een remt op een verijsd wegdek. Sofie zegt: “Als ze remt en haar wielen blokkeren, is de remweg het kortst”. Aïsha zegt: “Neen, dan is haar remweg juist langer”. Wie heeft gelijk?

119

K INE M ATICA E N DY NAM ICA

102.

Verklaar wat je met volgende foto’s en tekeningen kunt illustreren.

fig. 1

fig. 3

fig. 5

fig. 7

fig. 2

fig. 4

fig. 6

fig. 8