3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría de Probabilidades (Clase 9) Juan D. Vélez Universidad Nacional
Abril 22, 2013
(Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 1 / 329)
Falacias en probabilidades
A un hombre lo aterroriza viajar en avión, pero un día se ve obligado a tomar un vuelo. Al abordar el avión, la azafata y sus vecinos notan que el hombre lleva un zapato rojo y otro azul. Cuando el pasajero nota las risas de sus compañeros de viaje, replica:
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 2 / 329)
Falacias en probabilidades
A un hombre lo aterroriza viajar en avión, pero un día se ve obligado a tomar un vuelo. Al abordar el avión, la azafata y sus vecinos notan que el hombre lleva un zapato rojo y otro azul. Cuando el pasajero nota las risas de sus compañeros de viaje, replica: Sé que la probabilidad de que un avión se venga a tierra es baja. Pero nunca he oído que un avión se estrelle con un pasajero abordo que lleve zapatos de colores diferentes; !la probabilidad ha de ser nula!
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 2 / 329)
Falacias en probabilidades Un joven le dice a su novia: tus padres hubiesen podido engendrar 223 223 = 70, 368, 744, 177, 664 hijos diferentes. Si en el momento de la fecundación tu madre se hubiese movido un milímetro, el espermatozoide "triunfador" hubiese sido otro y tu no existirías. Tampoco estarías aquí si cualquier otro evento, sin importar cuán minúsculo, hubiese cambiado antes de que fueras concebida. Tampoco estarías aquí de haberse roto uno solo de los eslabones de esa cadena in…nita de eventos que llevó a que …nalmente tus padres se enamoraran, se casaran, y luego un día determinado te procrearan. Y lo mismo es cierto para tu padre, para tu madre, tus abuelos, tus bisabuelos, tus tatarabuelos. . .
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 3 / 329)
Falacias en probabilidades Un joven le dice a su novia: tus padres hubiesen podido engendrar 223 223 = 70, 368, 744, 177, 664 hijos diferentes. Si en el momento de la fecundación tu madre se hubiese movido un milímetro, el espermatozoide "triunfador" hubiese sido otro y tu no existirías. Tampoco estarías aquí si cualquier otro evento, sin importar cuán minúsculo, hubiese cambiado antes de que fueras concebida. Tampoco estarías aquí de haberse roto uno solo de los eslabones de esa cadena in…nita de eventos que llevó a que …nalmente tus padres se enamoraran, se casaran, y luego un día determinado te procrearan. Y lo mismo es cierto para tu padre, para tu madre, tus abuelos, tus bisabuelos, tus tatarabuelos. . . Luego, mi amor, ¡eres el fenómeno más improbable que haya conocido en toda mi vida, eres un verdadero milagro viviente!
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 3 / 329)
Falacias en probabilidades Un estudio realizado en Canadá mostró que el tamaño del pie está correlacionado con una mejor ortografía. Sujetos con pies más grandes cometieron menos errores de ortografía en una examen realizado por el Instituto para el desarrollo de la Niñez. ¿Qué explicación podría haber?
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 4 / 329)
Falacias en probabilidades Un estudio realizado en Canadá mostró que el tamaño del pie está correlacionado con una mejor ortografía. Sujetos con pies más grandes cometieron menos errores de ortografía en una examen realizado por el Instituto para el desarrollo de la Niñez. ¿Qué explicación podría haber?
El estudio se realizó en un colegio, desde primero de primaria hasta el grado once. ¡La razón es evidente! (Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 4 / 329)
Pablo y sus dos novias Pablo tiene dos novias, una que vive en Envigado, Elvira, y otra que vive en Bello, Beatriz. Pablo las quiere por igual, así que cada vez que llega a la estación San Antonio, decide a cuál de las dos visitar, dependiendo del primer metro que parta hacia uno de los dos destinos: si el primer metro que llega, sale para Bello, entonces visita a Beatriz. Pero si sale hacia Envigado, decide ir donde Elvira. Los trenes parten puntuales cada diez minutos, con diferencias de un minuto en los horarios: Envigado 12 : 00 12 : 10 12 : 20 12 : 30 .. .
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Bello 12 : 01 12 : 11 12 : 21 12 : 31 .. .
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Pablo y sus dos novias
¿Cómo se explica que Beatriz viva furiosa con Pablo, por desinteresado, mientras que Elvira está feliz con su cumplido novio?
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 6 / 329)
Pablo y sus dos novias
Si Pablo llega a la estación San Antonio en cualquier hora del día que esté por fuera de la región verde, tomará el metro hacia Envigado, y visitará a Elvira solo cuando llegue en la zona verde visitará a Beatriz.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 7 / 329)
Falacia del votante En una votación de millones de electores el votante sabe que su voto tiene un peso despreciable con respecto al resultado …nal; sin embargo, siente que si deja de votar, su candidato resultará perjudicado. Cuando se les alega a los votantes …eles que un simple voto no decide nada y que, por tanto, si de decidir el resultado de la votación se trata, votar es "botar el tiempo", probablemente argumentarán: “si así pensaran todos, nunca podríamos ganar”. ¿Es correcto este razonamiento?
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 8 / 329)
Falacia del votante En una votación de millones de electores el votante sabe que su voto tiene un peso despreciable con respecto al resultado …nal; sin embargo, siente que si deja de votar, su candidato resultará perjudicado. Cuando se les alega a los votantes …eles que un simple voto no decide nada y que, por tanto, si de decidir el resultado de la votación se trata, votar es "botar el tiempo", probablemente argumentarán: “si así pensaran todos, nunca podríamos ganar”. ¿Es correcto este razonamiento? No obstante, el condicional "si así pensaran. . . " no tiene validez sino para una persona que tuviese tal poder de in‡uencia en el grupo social que su decisión de no votar fuese seguida por la mayoría. Y ese, con seguridad, no es el caso del votante anónimo. Alessandro Pizzorno, sociólogo de Harvard, cree que esa ilusión del votante se deriva del sentido de responsabilidad y del sentimiento de pertenencia involucrados en el acto de votar. (Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 8 / 329)
Falacia del votante El matemático André Weil escribió: “Cuántas veces, también por ejemplo cuando comento que nunca voy a votar en las elecciones, se me ha objetado: ‘Pero si todo el mundo hiciera lo mismo. . . ´ , a lo que suelo contestar que esta eventualidad no me parece lo su…cientemente verosímil para que me sienta obligado a tenerla en cuenta”.
A Weil (Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La Teoría Abril de Probabilidades 22, 2013 (Clase 9 / 329)
Falacia del votante
Tratemos de precisar los términos de la discusión y veamos que de hecho es posible demostrar con perfecto rigor que votar en una elección en la que, digamos, hay dos candidatos y potencialmente varios millones de votantes es, en efecto, un acto insensato. En primer lugar, un acto A que se realiza con la intención o propósito de que ocurra el suceso B se denominara insensato si satisface las siguientes dos condiciones: i) la probabilidad de que B ocurra como consecuencia de A, que denotaremos por p (A =) B ), es muy pequeña. Y, ii) ejecutar A implica un cierto costo, que denotaremos por C , no despreciable. Este costo puede ser monetario, en tiempo, en energía, en recursos, etcétera.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 10 (Clase / 329)
Falacia del votante
Una medida del grado de insensatez de A dependerá obviamente de la magnitud de p (A =) B ) y de C . Un ejemplo posiblemente sirva para aclarar los términos y para persuadir al lector de que nuestra de…nición es razonable. A se de…ne como el acto de enviar una carta al Papa para persuadirlo de que apruebe el matrimonio gay. El costo, C , es escribirla más los costos de papelería y envío. Este acto es claramente insensato, ya que satisface las dos condiciones (i) y (ii) de nuestra de…nición, porque la probabilidad de lograr el objetivo es in…nitesimal mientras que el costo involucrado no es despreciable.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 11 (Clase / 329)
Falacia del votante Si aceptamos que esta de…nición de insensatez es razonable, el acto, A, de votar por un candidato cualquiera con el propósito, B, de que éste gane las elecciones, es insensato, ya que satisface i) y ii). Veamos: la probabilidad de que B sea una consecuencia de A es la probabilidad de que mi voto cambie el resultado de las elecciones, lo que ocurriría solo de haber un perfecto empate. La probabilidad, de que esto ocurra, aunque difícil de estimar (¿quién se atreve a propone un modelo?), es in…nitesimal (tan pequeña como la probabilidad de persuadir al Papa en el ejemplo anterior) si tenemos la certeza de que, digamos, al menos un millón de personas votarán, aunque posiblemente basta saber que cien mil lo harán. La condición ii) también se satisface, ya que el costo aunque pequeño no es nulo: hay que registrar la cédula, ir hasta el lugar de la votación, hacer …la... La conclusión es ineludible: votar es, en consecuencia, un acto insensato. (Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 12 (Clase / 329)
Falacia del votante
Otra forma de ver la insensatez que implica votar es “invertir” el orden de la votación, lo que obviamente no alterará el resultado …nal. Supongamos que el día de la votación, el ferviente votante deposita su voto al …nal de la jornada electoral, y una vez se hayan contabilizado los demás votos. El total se mantiene en absoluto secreto y es desconocido, tanto para él como para el resto de los electores. Una vez depositado su voto, éste se suma a los ya contabilizados y …nalmente se anuncia el ganador. Para depositar el voto, el votante debe viajar a media noche desde un pueblo vecino hasta la capital. ¿Votaría el lector en estas circunstancias? Es evidente que votar de último, o a cualquier otra hora del día, es claramente irrelevante.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 13 (Clase / 329)
Probabilidades en medicina Supongamos que una determinada enfermedad (digamos, el SIDA) tiene una prevalencia en un determinado grupo humano, de un individuo por cada 10, 000 habitantes. Supongamos además que un determinado examen médico, por ejemplo, de sangre, es capaz de detectar la enfermedad con un 99% de con…abilidad, aunque sujeto a un 1% de falsos positivos. Es decir, si un individuo padece la enfermedad, el examen con absoluta seguridad la detecta. Pero ocurre que, en promedio, uno de cada 100 individuos sanos muestra, por error, un resultado positivo en dicho examen. Un sujeto de dicho grupo, y escogido al azar, y del cuál no tenemos ninguna información médica, resulta positivo en ese examen. ¿Qué tan probable resulta que sí padezca la enfermedad? La pregunta se realizó entre los mejores médicos egresados de las diez escuelas de medicina más prestigiosas de USA. Solo un puñado de ellos estimó correctamente la probabilidad.
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Probabilidades en medicina Supongamos que la población en cuestión tiene tamaño N, y denotemos por R el porcentaje de individuos enfermos. Si p = R/100, esto nos dice que en dicha población hay pN enfermos (en el ejemplo anterior, R = 0.01%). Luego el número de individuos sanos es N pN = N (1 p ). Si todos los individuos se sometieran al examen médico, aquellos enfermos, pN en total, darían positivo en el examen; y dentro la población sana, habría qN (1 p ) falsos positivos, donde q = 0.01. El siguiente diagrama muestra en color verde a los enfermos, y en azul, el conjunto de falsos positivos.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 15 (Clase / 329)
Probabilidades en medicina
Luego la probabilidad buscada corresponde al cociente de individuos en el círculo verde dividido por el total de individuos en ambos círculos: Probabilidad =
=
pN pN + Nq (1 p ) p . p + q pq
En nuestro caso, p = 0.0001, q = 0.01 nos da una probabilidad de aproximadamente 0.01, es decir, de un 1 en 100. Es decir, aunque el examen es altamente con…able, ¡la probabilidad de estar realmente enfermo es apenas del 1% !
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 16 (Clase / 329)
**El juego del "Agalludo" (complemento que no hace parte de la evaluación) Dos personas se turnan en el lanzamiento de un dado. En su turno, cada jugador hace una serie de lanzamientos, y va sumando los puntajes obtenidos. En cualquier momento puede decidir que no lanza más, y el puntaje obtenido se adiciona al total acumulado, el cual se contabiliza en una tabla. En cualquier momento del juego, y durante el turno de un determinado jugador, si el dado llegase a caer en 1, entonces el total acumulado en dicho turno (y solo en este turno) se anula, y el jugador deberá ceder el dado a su contrincante. Quien primero acumule 100 puntos se convierte en el ganador de la partida. ¿Cómo jugar este juego de manera óptima? De manera precisa, una primera aproximación al problema podría plantearse de la siguiente manera: si cada jugador decide jugar rachas de máximo n lanzamientos, ¿cuál sería el puntaje promedio esperado si juega con esta estrategia? ¿Cuál sería el valor de n que maximiza dicho puntaje? (Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 17 (Clase / 329)
**El juego del "Agalludo" (solución) Llamaremos una secuencia de n lanzamientos, una secuencia "válida", si en ninguno de los lanzamientos el dado cae en el número 1. Estas son precisamente las secuencias que le aportan al jugador un puntaje positivo durante su turno. Cada secuencia de lanzamientos, que denotaremos por l = (a1 , . . . , an ), consiste de una secuencia de enteros (resultados de cada una de las tiradas del dado), 2 ai 6, que aporta una suma igual a σ ( l ) = a1 + + a6 . Denotemos por Ln el conjunto de todos los posibles secuencias "válidas" de n lanzamientos. Entonces, en promedio, después de 6n posibles juegos (algunos, donde salga en algún lanzamiento el número 1, aportarán suma cero), la suma total obtenida será Sn = ∑ σ(l ). Es decir, el promedio a la larga será l 2L n
f (n ) =
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Sn 6n
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 18 (Clase / 329)
**El juego del "Agalludo" (solución) Veamos ahora como computar Sn . En claro que S1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20. Supongamos conocido el valor de Sn 1 . Entonces, por cada n 1 tupla …ja l = (a1 , . . . , an 1 ) en Ln 1 pueden fabricarse cinco n-tuplas, (l, 2) = (a1 , . . . , an 1 , 2), (l3 , 3) = (a1 , . . . , an 1 , 3), (l, 4) = (a1 , . . . , an 1 , 4), (l, 5) = (a1 , . . . , an 1 , 5) y (l, 6) = (a1 , . . . , an 1 , 6). De ahí que Sn
= =
∑ σ (l, 2) + σ(l, 3) + σ(l, 4) + σ(l, 5) + σ(l, 6) =
l 2L n
1
l 2L n
1
∑ (20 + 5σ(l )) = 5 ∑ σ(l ) + 20
= 5Sn
(Institute)
1
+ 20
5n
1
l 2L n
5n
1
1
.
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 19 (Clase / 329)
**El juego del "Agalludo" (solución)
De la fórmula anterior obtenemos: 51 = 20
S2 = 5S1 + 20 S3 = 5 S4 = 5
(20 (20
2
2
5) + 20
3
52 ) + 20
La fórmula general será entonces Sn = 20 f (n ) =
(Institute)
20n5n 6n
5 2
5 = 20 53 = 20 n
5n
1,
3 4
52 53
y en consecuencia
1
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 20 (Clase / 329)
**El juego del "Agalludo" (solución) Gra…quemos ahora la función f (x ) = 20x5x
(Institute)
1 /6x .
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 21 (Clase / 329)
**El juego del "Agalludo" (solución)
En la grá…ca anterior observamos que el máximo se obtiene entre 5 y 6 jugadas (en x ' 5.5) aproximadamente.
(Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 22 (Clase / 329)
**El juego del "Agalludo" (solución)
En la grá…ca anterior observamos que el máximo se obtiene entre 5 y 6 jugadas (en x ' 5.5) aproximadamente. Luego, el mejor promedio al jugar "agalludo" se obtiene jugando la mitad de las veces rachas de cinco lanzamientos, y la otra mitad, rachas de 6 lanzamientos.
(Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 22 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on (no hace parte de la evaluación) Existe un curioso experimento de tipo probabilístico que permite obtener un valor aproximado del número π. Se conoce con el nombre de experimento de la aguja de Bu¤on, pues se realiza con una aguja y se atribuye su descubrimiento a George Luis Leclerc, Conde de Bu¤on, naturalista y escritor francés del siglo XVIII.
Bu¤on (Institute)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 23 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on
El experimento se realiza así: sobre una hoja amplia de cartulina se dibuja un conjunto de rectas paralelas separadas entre sí una distancia …ja D. ahora se lanza, sobre la hoja y al azar, una aguja, también de longitud D, y se anotan tanto el número de lanzamientos, N, como el número de cortes, C ; esto es, el número de veces en que la aguja al caer hace contacto con alguna de las rectas dibujadas. Calculamos luego 2N/C , cociente que se irá aproximando a π a medida que se aumente el número de lanzamientos, por lo que su límite, cuando dicho número tienda a in…nito, será precisamente π.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 24 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on La razón de esto estriba en que la probabilidad de corte, medida de forma aproximada por el cociente C /N, es exactamente 2/π, como veremos a continuación. Si ahora despejamos π de la igualdad (aproximada) C /N ' 2/π, llegamos a la fórmula π ' 2N/C . En 1901, un matemático italiano de apellido Lazzarini tuvo la paciencia su…ciente para realizar a mano el experimento 3408 veces y obtuvo, según él, 2169 cortes de línea, lo que da para π un valor de 3, 14246196. . . , que coincide con π hasta la segunda cifra decimal. Como veremos al …nal, dicho resultado es sospechoso.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 25 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on Suponga que la aguja es un segmento de longitud D = 1, y que la distancia entre las rectas paralelas es también 1. Entonces cualquier lanzamiento de la aguja equivale en el modelo teórico a …jar dos números: la distancia X (véase …gura siguiente) del extremo izquierdo del segmento (la aguja) a la línea vertical del mismo lado, número que varía entre 0 y 1, y el ángulo a que dicho segmento forma con un eje horizontal y que varía entre π/2 y π/2. Ahora bien, para que el segmento corte la línea de la derecha se requiere que la distancia X , más la proyección horizontal del segmento, esto es, cos a, dé un total mayor o igual que 1. Es decir, que X + cos a 1, de lo cual se deduce que X (1 cos a), o, de forma equivalente, que X caiga en el intervalo [1 cos a, 1].
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 26 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on Gra…quemos ahora la función f (z ) = 1 cos z, para π/2 z π/2. Pues bien, todos los puntos del rectángulo MNSR, que pertenezcan a la región A, comprendida entre la curva f (z ) y la línea horizontal X = 1 (parte sombreada de color verde), corresponden a cortes de la aguja; aquellos situados por debajo de la curva no corresponden a cortes.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 27 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on
Por tanto, la probabilidad de obtener un corte será igual a la relación entre el área A y el área total de R (el área sombreada contiene sólo aquellos puntos que corresponde a posiciones de caída de la aguja en que se producen cortes), que es igual a π. Pero el área A es igual al área del rectángulo R menos el área bajo la curva f (z ), por tanto, A=π
Z π/2
(1
cos z )dz = 2.
π/2
En consecuencia, la probabilidad de corte será 2/π.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 28 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on
El siguiente programa en Maple simula dicho experimento. El procedimiento r toma como entrada dos números a < b, y genera un número aleatorio entre a y b > r:=proc(a,b) > a+(b-a)*evalf( rand()/10^12 ); > end proc: El procedimiento "aguja" toma un entero n y genera iterativamente (n veces) y aleatoriamente, dos reales: w , en el intervalo [ π/2, π/2], y x en [0, 1], los cuales parametrizan una caida de una aguja, con base en x y ángulo w . Si 1 cos (w ) < x, el porque la aguja corta una de las líneas en el experimento de Bu¤on, y en este caso c se incrementa en una unidad.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 29 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on El programa aguja(n) retorna una pareja p = c/n y 2/p. Este último valor aproxima a π. >aguja:=proc(n) >local c,i,w,x,p; > c:=0; > for i from 1 to n do > w:=r(-Pi/2,Pi/2); x:=r(0,1); > if evalf( 1-cos(w)< x ) then > c:=c+1; end if; > end do; > p:=evalf(c/n); > [p, 2/p]; > end proc:
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 30 (Clase / 329)
La aguja de Bu¤on
Con 10000 lanzamientos se obtiene una aproximación para π igual a 3.129. Con el número de lanzamientos supuestamente realizado por Lazzarini, 3408, se obtiene la aproximación 3.192. Para obtener la segunda cifra decimal de π, se necesitan más de 100, 000 tiradas (aguja(100000) = 3.149). ¿Mintió Lazzarini?
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 31 (Clase / 329)
Probabilidad y mecánica cuántica (Anexo)
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: La TeoríaAbril de Probabilidades 22, 2013 32 (Clase / 329)