3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática y mundo vivo (Clase 11-12) Juan D. Vélez Universidad Nacional
Mayo 6, 2013
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 1 / 57 11-1
Forma y evolución La evolución de los seres vivos, pensada en abstracto, no es más que un gigantesco conjunto de problemas de optimización, resueltos por todas las especies, gracias a la infalible técnica del ensayo y el error, y tiempo en cantidades geológicas... Sobrevivieron y nos acompañan ahora aquellas que han sabido encontrar las soluciones mejores, y las han incorporado en sus estructuras biológicas. Aquellas que han sobrevivido hasta la edad reproductiva (adaptación), y se han reproducido con e…ciencia.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 2 / 57 11-1
Forma y evolución La morfología de los seres vivos debe ser adaptativa. El gradiente de temperatura decrece al alejarse del piso. De allí que los camellos, para no recalentar sus vísceras con el calor del desierto, hayan alargado sus patas.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 3 / 57 11-1
Forma y evolución Los masai también han desarrollado adaptaciones morfológicas al calor, entre las cuales están la mayor longitud de sus piernas y un cuerpo alargado y delgado. (Poseen el promedio de estatura más alto entre todos los grupos humanos)
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 4 / 57 11-1
Forma y evolución (círculo) La victoria regia usa el círculo para obtener el máximo de energía solar con el mínimo de perímetro. Además, en el perímetro tiene una banda que le da forma de barco para ayudarla a ‡otar en el agua.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 5 / 57 11-1
Forma y evolución (esfera) La araña dorada del desierto del Namib (Camparachne aureo‡ava), al detectar un enemigo, enrolla su cuerpo en forma de rueda y se echa a rodar por la duna. Velocidad de 44 r.p.s. (corresponde a un automóvil a 360 kilómetros por hora).
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 6 / 57 11-1
Forma y evolución (catenaria) La catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenar¼¬us (propio de la cadena). Una catenaria en plena selva...
Catenaria
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 7 / 57 11-1
Forma y evolución (catenaria) Gaudí usa sus catenarias en la catedral de la Sagrada Familia, en Barcelona, un templo que se levanta vertical y limpiamente por encima de los ciento cincuenta metros. Gaudí comprendió la catenaria y la usó en bellísimas series en muchos edi…cios que aún se pueden admirar.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 8 / 57 11-1
Forma y evolución (el hexágono) La calzada de los Gigantes es un área en la costa nororiental de Irlanda que contiene unas 40,000 columnas de basalto provenientes del enfriamiento relativamente rápido de la lava en un cráter, evento que ocurrió hace unos 60 millones de años.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013 vivo (Clase 9 / 57 11-1
¿Con cuáles de los polígonos regulares se puede llenar el plano? Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una super…cie plana son: el hexágono, el triángulo equilátero y el cuadrado.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 10 / 57 11-1
¿Con cuáles de los polígonos regulares se puede llenar el plano? La razón es que alrededor de cada vértice la suma de los ángulos debe ser 360o , esto para que no queden espacios vacíos. Para un polígono de n lados, el ángulo comprendido entre dos lados debe ser 2β = 180 α = 180 360/n.
Por tanto, si k polígonos regulares de n lados se acomodan sin dejar espacios alrededor de uno de los vértices, entonces se debe cumplir que 2βk = 360, y por tanto k (180 360/n) = 360 =) k (1 2/n) = 2 =) k (n 2) = 2n. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 11 / 57 11-1
¿Con cuáles de los polígonos regulares se puede llenar el plano? De la ecuación k (n
2) = 2n
(1)
se deduce que n divide a 2k. Por tanto, njk, si n es impar y n/2 divide a k, si n es par. En el primer caso, k n y en consecuencia k (n 2) n(n 2) > 2n, si n > 3. Por tanto, la ecuación k (n 2) = 2n no puede satisfacerse, si n > 3. Cuando n = 3, se puede escoger k = 6 y se satisface 1 (6 tríangulos equiláteros se pueden acomodar alrededor de uno de los vértices). De otro lado, cuando n es par, si n > 6 se tiene que n/2 > 3, y como n/2 divide a k se tendría que k > 6. De aquí que k (n 2) > 6(n 2) > 2n. Por inspección se ve que las únicas soluciones de la ecuación 1 con k 6 son n = 4, k = 4 y n = 6, k = 3, que corresponden a una teselación con cuadrados y hexágonos, respectivamente. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 12 / 57 11-1
La teselación descubierta por las abejas De las tres soluciones: triángulos equiláteros, cuadrado y hexágonos, las abejas descubrieron la mejor para sus colmenas.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 13 / 57 11-1
Teselaciones semiregulares Una teselación semi-regular está hecha con dos o más polígonos regulares. ¡El patrón debe ser el mismo en todos los vértices! Sólo existen 8 teselaciones semi-regulares:
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 14 / 57 11-1
Teselaciones complejas La tercera teselación, de izquierda a derecha, es la célebre teselación de Penrose. (Referencia: http://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n_de_Penrose)
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 15 / 57 11-1
El huevo cónico del pájaro niño. La forma del huevo toma un patrón casi único, del cual se ha derivado el término ovoide. Existe una excepción: el huevo cónico del pájaro niño, el cual es un cono.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 16 / 57 11-1
El huevo cónico del pájaro niño. El cono el único sólido simple que posee la propiedad de que al echarlo a rodar, describe una trayectoria circular con centro en su propio vértice.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 17 / 57 11-1
El huevo cónico del pájaro niño. Para un ave que anida en altas y estrechas repisas sobre los acantilados, la forma cónica de los huevos se convierte en un ingenioso seguro contra rodadas al vacío.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 18 / 57 11-1
Espiral logarítmica El ángulo entre el radio vector y la recta tangente es constante. Su ecuación en cordenadas polares es r = ab θ . La curva no cambia de forma al alejarse de su centro; sólo cambia de escala. En Maple los comandos with(plots): r:=(a,b,theta)->a*b^theta; polarplot(r(4,1.2,theta), theta=0..6*Pi); producen espirales logarítmicas
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 19 / 57 11-1
Espiral logarítmica y el Nautilo
La concha describe una espiral logarítmica perfecta.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 20 / 57 11-1
Razón aúrea Partir un segmento de recta en dos partes de tal modo que la relación entre la mayor y la menor sea igual a la razón entre la mayor y el segmento entero.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 21 / 57 11-1
Razón aúrea y estética Una preferencia anatómica que parece universal tiene que ver con la relación entre los diámetros de la cadera y la cintura en la mujer. Las encuestas apuntan a que los hombre se inclinan por una relación de 0.7.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 22 / 57 11-1
Pirámide de Keops y Partenón En la pirámide de Keops se utilizó la aproximación φ = 1.6, como la relación entre el lado de la base y la altura de la pirámide. El número φ se usó también en el Partenón y en el pórtico de la catedral de Chartres. En la Edad Media la usaron las cofradías, gremios, asociaciones y arquitectos.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 23 / 57 11-1
Razón aúrea y Partenón
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 24 / 57 11-1
Sucesión de Fibonacci an = an
1
+ an
2,
a1 = 0, a2 = 1.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, . . . El límite de los cocientes 5/3 = 1, 6666 . . . 21/13 = 1, 61538 . . . 377/233 = 1, 618025 . . . 610/377 = 1, 618037 . . . es la razón áurea 1, 61803398. . . Los números de Fibonacci no son un accidente: son consecuencia de la geometría universal, la cristalografía de las estructuras vegetales. En realidad las plantas no pueden evitar los números de Fibonacci, igual que los cristales de sal no pueden evitar ser cúbicos. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 25 / 57 11-1
Sucesión de Fibonacci
En girasoles y margaritas, los estambres forman espirales logarítmicas. Unas en sentido horario; otras en sentido antihorario. El número de espirales siempre son dos números de Fibonacci consecutivos. Los girasoles medianos contienen 34 espirales en sentido horario y 55 en sentido antihorario. El girasol gigante tiene 89 espirales a izquierda y 55 a derecha. En los supergigantes, 233 y 144.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 26 / 57 11-1
Sucesi贸n de Fibonacci
Girasol
(Universidad Nacional)
3009353 Introducci贸n al Programa de Matem谩ticas: Matem谩tica Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 27 / 57 11-1
Espacio tridimensional y el oído Vivimos en un mundo espacial tridimensional. Una dirección especí…ca en el espacio se puede determinar si se conocen las tres proyecciones del vector dirección, según tres ejes mutuamente perpendiculares. Se explica, entonces, que los tres canales semicirculares del oído interno, órgano del equilibrio y de la orientación en el espacio, estén situados en tres planos mutuamente ortogonales.El nivel del líquido contenido en ellos varía con la inclinación de la cabeza respecto al campo gravitatorio, y así le suministra al cerebro en todo instante las tres componentes necesarios, de los cuales aquél deduce la dirección exacta de la vertical.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 28 / 57 11-1
Simetrías
Para animales de vida sésil, como los pólipos y las hidras, o para aquellos que viajan al garete sobre las olas, como hacen las medusas, la simetría radial es el mejor diseño morfológico.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 29 / 57 11-1
Simetrías Pero es diferente cuando un animal decide desplazarse a voluntad. En este caso resulta ventajoso romper la monotonía de la simetría radial y optar por un cuerpo alargado, dotado de simetría bilateral. A este modelo se acogieron los gusanos planos o platelmintos, que según parece fueron los pioneros. Por contracciones alternas de músculos longitudinales, dispuestos a lado y lado del cuerpo, el animal es capaz de desplazarse por el agua o arrastrarse, aunque con torpeza, por el fondo de las charcas.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 30 / 57 11-1
Fractales Los fractales son estructuras geométricas generadas por una función de tipo recurrente. El nombre de fractal se debe a que los objetos geométricos generados tienen "dimensiones fraccionarias".
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 31 / 57 11-1
Números complejos Recordemos primero que un número complejo es una número de la forma a + bi, donde i representa la raíz cuadrada de 1, es decir, i 2 = 1. Los números complejos se suman y multiplican de la siguiente manera:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i (a + bi )(c + di ) = (ac bd ) + (ad + bc )i Todo número complejo puede representarse por un punto en el plano: a + bi se representa como el punto (a, b )
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 32 / 57 11-1
El conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot, en honor al matemático Benoit Mandelbrot, se de…ne así: Sea ζ = a + bi un número complejo cualquiera. A partir de ζ, se construye una sucesión (de números complejos) por inducción: zn +1 = zn2 + ζ, tomando z0 = 0. Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que ζ pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo. Por ejemplo, si ζ = 0 + 0.5i, la sucesión zi sería z0 = 0, z1 = 0 + 0.5i, z2 = .025 + 0.5i, z 3 = .1875 + .250i...
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 33 / 57 11-1
El conjunto de Mandelbrot A menudo se representa ese conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al in…nito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen, el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco nos indica que se ha tardado mucho más en escapar al in…nito (se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2 no pertenecen al conjunto.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 34 / 57 11-1
El conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot es un objeto autosimilar: sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducciรณn al Programa de Matemรกticas: Matemรกtica Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 35 / 57 11-1
Fractales aproximados en la naturaleza Algunas estructuras anatómicas intrincadas y complejas, como son la red de vasos sanguíneos, el conjunto de alvéolos pulmonares, las vellosidades del intestino, las rami…caciones de las plantas y la arborización de las neuronas ("las misteriosas mariposas del alma", como las llamó poéticamente su descubridor, Santiago Ramón y Cajal), tienen una geometría de tipo fractal.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 36 / 57 11-1
Fractales aproximados en la naturaleza
(Universidad Nacional)
3009353 Introducciรณn al Programa de Matemรกticas: Matemรกtica Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 37 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer
Los sistemas Lindenmayer, también conocidos como sistemas L, fueron introducidos en 1968 por Aristid Lindenmayer, biólogo y botánico húngaro, como una herramienta para modelar el crecimiento de algunos tipos de plantas. Un sistema L está compuesto por un alfabeto, por ejemplo, fF , +, , [, ]g, unos axiomas y unas reglas de producción. A manera de ejemplo, si el axioma es F y la regla de producción es F ! F [+F ]F [ F ]F , entonces a partir del axioma se procede a aplicar la regal(s) de producción de manera iterativa, y así se obtendría la siguiente secuencia: S1 = F , S2 = F [+F ]F [ F ]F , S3 = F [+F ]F [ F ]F [F [+F ]F [ F ]F ] F [+F ]F [ F ]F [ F [+F ]F [ F ]F ] F [+F ]F [ etc. Cada cadena de símbolos puede interpretarse de manera grá…ca. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 38 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer Por ejemplo, aquí S1 = F signi…ca dibujar la …gura
comenzando en p1 y terminando en p2 , con el lápiz apuntando en dirección vertical. El símbolo + signi…ca mover el lápiz 20 grados a la izquierda, el símbolo , moverlo 20 grados a la derecha, y toda expresión entre corchetes debe ejecutarse de tal manera que "[" guarda la posición y orientación actual del lápiz, mientras que "]" restaura la posición y orientación previamente guardada. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 39 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer Así, para dibujar la secuencia S2 , se comienza por dibujar la …gura F , terminando en p2 y donde el lápiz tiene la orientación vertical. Esta posición y orientación del lápiz se recuerdan, (p2 , "), y a continuación se proceden a ejecutar las instrucciones dentro del corchete. Una vez ejecutadas, se retorna a p2 , con el lápiz apuntando hacia arriba
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 40 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer El símbolo siguiente en la cadena S2 , F , se dibuja luego (comenzando en p2 y apuntando hacia arriba, y terminando en p3 , apuntando de nuevo hacia arriba).
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 41 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer Luego se adiciona [ F ], y se retorna a p3 con el lรกpiz hacia arriba)
(Universidad Nacional)
3009353 Introducciรณn al Programa de Matemรกticas: Matemรกtica Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 42 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer Finalmente, desde (p3 , ") se procede a adicionar F , para completar así la cade de instrucciones codi…cadas en S1
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 43 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer Las instrucciones codi…cadas en S2 se muestran a continuación
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 44 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer La potencia de este método, el cual puede extenderse a 3 dimensiones, puede evidenciarse en los siguientes jardines virtuales, creados de esta manera (tomado del libro The Algorithmic Beauty of Plants).
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 45 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer
(Universidad Nacional)
3009353 Introducciรณn al Programa de Matemรกticas: Matemรกtica Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 46 / 57 11-1
Sistemas de Lindemayer Programas similares se han utilizado para reproducir paisajes naturales (http://cvdmark.home.xs4all.nl/newgall.html)
(Universidad Nacional)
3009353 Introducciรณn al Programa de Matemรกticas: Matemรกtica Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 47 / 57 11-1
Matemática de las abejas El biólogo austriaco Karl von Frisch describió en 1945 la danza de las abejas y encontró, maravillado que la abeja danzarina describe con sus movimientos una …gura en forma de ocho, como se ilustra en la …gura siguiente, y mientras recorre la parte central de la …gura, esto es, la parte común a los dos óvalos, el tiempo que tarda en recorrerla es proporcional a la distancia entre el panal y la fuente de alimento. Además, el ángulo formado por la vertical y el eje de la …gura descrita por la danzarina es igual al que forma la línea que une el panal con la fuente de alimento y aquella que une el panal con el Sol
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 48 / 57 11-1
Matemática de las abejas (cálculo in…nitesimal) La danza, en consecuencia, contiene toda la información necesaria para localizar inequívocamente la fuente de alimento: esto es, dirección y magnitud del recorrido desde el panal hasta la meta. Las compañeras que presencian el espectáculo sólo necesitan, con el …n de transferir al terreno lo observado y realizar la excursión de aprovisionamiento, identi…car la posición del Sol en ese preciso momento.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 49 / 57 11-1
Matemática de las abejas (cálculo in…nitesimal) La danza, en consecuencia, contiene toda la información necesaria para localizar inequívocamente la fuente de alimento: esto es, dirección y magnitud del recorrido desde el panal hasta la meta. Las compañeras que presencian el espectáculo sólo necesitan, con el …n de transferir al terreno lo observado y realizar la excursión de aprovisionamiento, identi…car la posición del Sol en ese preciso momento. Si el Sol está visible, basta observarlo, pero si el día está nublado, hacen falta otras guías. Esta contingencia no les preocupa, pues su equipo sensorial ha previsto este imprevisto. En caso de que haya algún parche de cielo descubierto, el plano de polarización de la luz proveniente de él les basta para adivinar la posición ocupada por el Sol en ese momento. Y si este recurso llegase a fallar, la poca radiación ultravioleta que se …ltra a través de las nubes, para la cual poseen una sensibilidad extraordinaria, les permite completar la información requerida. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 49 / 57 11-1
Matemática de las abejas las abejas han elegido para sus celdas la forma de prisma hexagonal, geometría que les permite construir sus panales sin dejar intersticios desaprovechados y que, al mismo tiempo, les proporciona el habitáculo más espacioso a las larvas, por disponer de los rincones menos agudos (ángulos internos de 120 grados, contra 90 y 60 en el cuadrado y en el triángulo, respectivamente). El fondo de las celdas está formado por una pirámide limitada por tres rombos iguales, con ángulos de tal valor, que la super…cie total, y por ende el consumo de cera, es matemáticamente el mínimo posible.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 50 / 57 11-1
Matemática de las abejas La celda que construyen las abejas se puede obtener a partir de un prisma hexagonal al que se le quitan tres pirámides (una de ellas es ACBG, y se le agregan como se ilustra en la parte derecha de la …gura. Lo anterior equivale a cortar las pirámides siguiendo, para la primera, el triángulo ACG, y luego girarla 180 grados sobre el eje AC.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 51 / 57 11-1
Matemática de las abejas
Construida la celda de la manera ilustrada, el volumen resultante es el mismo del prisma original, independientemente del ángulo de corte, 0 α π/2, pues las pirámides suprimidas se agregan de nuevo. Pero la super…cie lateral total sí cambia al cambiar el ángulo, por lo que tiene pleno sentido preguntar por el valor que debe tomar dicho ángulo para hacer mínima la super…cie lateral total de la celda construida de la manera ya descrita.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 52 / 57 11-1
Matemática de las abejas
Las siguientes relaciones se establecen fácilmente a partir de la …gura anterior
p = m sin(60) = m 3/2, BH = m cos(60) = m/2 p AC = 2AH = m 3, GH = BH/ sin(α) = m/(2 sin(α)), GS = 2GH = m/ sin(α), GB = BH cot(α) = m cot(α)/2, GM = h m cot(α)/2 AH
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 53 / 57 11-1
Matemática de las abejas La super…cie total está formada por seis trapecios iguales a GMNC , más tres rombos iguales a GCSA. Por tanto, S = 6(h + GM ) m/2 + 3AC GS /2. Si reemplazamos GM, AC y GS por los valores dados más arriba, después de simpli…car obtenemos: 3 2 3p 2 3m csc(α) + 6mh m cot(α) S (α) = 2 2 Si el ángulo α se mide en grados, la grá…ca de la ecuación es como sigue
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 54 / 57 11-1
Matemática de las abejas El mínimo de esta función se obtiene cuando α = 54, 74 grados (es fácil probarlo usando el criterio del a primera derivada). Pues bien, la gran sorpresa es que el valor de a medido en el panal coincide exactamente con el hallado por medio de la geometría y el cálculo diferencial, como si las abejas hubiesen descubierto el cálculo in…nitesimal millones de años antes de nacer Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Los historiadores de la ciencia cuentan que al serle propuesto al joven matemático suizo Samuel Köening -se vivía el año 1712- el problema anterior, usando los métodos del recién descubierto cálculo in…nitesimal, llegó a un resultado que difería, del valor medido en el panal, apenas en dos minutos de arco. De todos modos -pensaría satisfecho Koening-, es ya una hazaña formidable de las abejas haberse acercado a la solución óptima hasta diferir en una cantidad apreciable sólo con instrumentos de precisión.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 55 / 57 11-1
Matemática de las abejas
Pero la irritante diferencia hizo que aparecieran los escépticos. Al revisarse los cálculos, se encontró con gran sorpresa que la falla no era de las abejas, sino que estaba escondida en la aproximación de la raíz cuadrada de 3 empleada por Köening. Corregido el pequeño error, los ángulos coincidieron exactamente con los valores medidos en el panal. En consecuencia, las abejas habían resuelto de manera instintiva y desde tiempos remotos un problema matemático que estuvo fuera del alcance de los grandes geómetras egipcios y griegos. Sólo después de los geniales descubrimientos de Leibniz y Newton, el hombre contó con la herramienta adecuada para entender y emular a las abejas.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Matemática Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 56 / 57 11-1
El Arte de Maurice Escher (interludio)
(Universidad Nacional)
3009353 Introducciรณn al Programa de Matemรกticas: Matemรกtica Mayo y mundo 6, 2013vivo (Clase 57 / 57 11-1