3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Geometría y espacio (Clase 14) Juan D Vélez Universidad nacional
Mayo 27 de 2013
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El teorema de Pitágoras Conocemos muy poco sobre la vida de Pitágoras. La información sobre este personaje, casi sobrenatural, proviene de historias transmitidas de manera oral, con frecuencia incongruentes, que se originan entre 150 y 250 años después de su muerte. Lo que hoy sabemos es una mezcla de mitos y leyendas, de invenciones de sus discípulos y seguidores, los pitagóricos, una confraternidad hermética, regida por costumbres esotéricas y símbolos místicos.
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El teorema de Pitágoras Sabemos que nació en Samos, hacia el 580 a. C., y que murió alrededor del año 495 a. C. Pero no fue hasta 800 años después de su muerte que Diógenes Laercio y otros historiadores escribieron las primeras biografías, hoy, únicas fuentes disponibles, y de muy escaso rigor histórico. En ellas, Pitágoras se presenta como el autor de toda la verdad …losó…ca, cuyas ideas habrían plagiado Platón y Aristóteles.
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El teorema de Pitágoras Entre los descubrimientos matemáticos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras, el más célebre es sin duda el teorema que relaciona el cuadrado de la hipotenusa con la suma de los cuadrados de los catetos en todo triángulo rectángulo. Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos es recto, o de 90o . La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto; los catetos son los lados restantes.
hipotenusa cateto ángulo recto cateto
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El teorema de Pitágoras Antes de Pitágoras, en Mesopotamia y en el Antiguo Egipto se conocían ternas de enteros, que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo. Se cree que la gran pirámide de Kefrén se construyó en base a este triángulo, llamado por los egipcios, triángulo sagrado, como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que explique teóricamente esta relación.
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El teorema de Pitágoras No se sabe si Pitágoras descubrió su teorema, pero su nombre se ha asociado a él desde los tiempos clásicos. Sea como fuere, el teorema con…rma su visión del mundo, pues demuestra la existencia de una armonía asombrosa en el universo matemático. El teorema nos dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos: a2 = b 2 + c 2 .
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El teorema de Pitágoras Demostración: observemos los dos cuadrados. Ambos son del mismo tamaño, y todos los triángulos rectángulos que hay dentro de ellos son también del mismo tamaño. Como los cuadrados son iguales, la super…cie blanca que hay dentro de ellos también lo es. Ahora bien, el área del cuadrado blanco de la …gura de la izquierda es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo, a, elevada al cuadrado, y la suma de las áreas de los cuadrados blancos de la …gura de la derecha es igual a la suma de los catetos, b y c, elevados al cuadrado. En otras palabras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a los cuadrados de los dos catetos.
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Geometría esférica La geometría esférica es la geometría de la super…cie de una esfera.En la esfera, las líneas son de…nidas como "las trayectorias más cortas entre los puntos, llamadas geodésicas que corresponden a los círculos máximos. En geometría esférica los ángulos están de…nidos entre los grandes círculos. En esta geometría no es cierto que la suma de los ángulos interiores de un tríangulo sea igual a 180 grados (es mayor).
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Ejercitando las habilidades espaciales: la araña y la mosca Una araña se encuentra en cierto punto A, sobre el piso de una caja de sección rectangular, mientras que una mosca está posada en cierto punto M situado en el techo o cara superior de la caja.
Hallar el camino más corto que debe recorrer la araña para cazar la mosca, suponiendo que camina sobre las paredes de la caja y no da saltos. (Institute)
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Ejercitando las habilidades espaciales: la araña y la mosca, solución La caja desarmada permite hallar de una manera muy simple el camino mínimo.Para hallar la respuesta real, sobre la caja, volvemos a armarla. Sobre sus caras quedará señalada la ruta mínima.
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Cuadratura del cuadrado y cubicación del cubo
Por mucho tiempo se pensó que era imposible dividir un cuadrado en un número …nito de cuadrados menores y de lados diferentes, hasta que en 1938, William T. Tutte, en Cambridge, convirtió el problema en uno de resistencias y corrientes eléctricas, sorprendente transformación que le permitió encontrar una primera solución. Por muchos años se creyó que la anterior solución era la mínima, en cuanto a número de piezas, pero recientemente, A. J. W. Duijvestijn encontró una partición que requiere sólo 21 cuadrados Se ha demostrado que ningún cuadrado puede partirse en 20 o menos cuadrados menores, respetando la condición de que todos tengan lados de diferente longitud.
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Cuadratura del cuadrado y cubicaci贸n del cubo
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Cubicación del cubo
Después de conocer la solución de la cuadratura del cuadrado, pensamos que al pasar a tres dimensiones debe existir una solución análoga; esto es, que un cubo puede partirse en un número …nito de cubos todos diferentes; sin embargo, esto es imposible. ¿Cómo demostrarlo?
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Cubicación del cubo Supongamos resuelto el problema. Metamos el cubo ya armado en una cajita que lo contenga exactamente. Analicemos los cubos que descansan sobre la base de la cajita. Sea A el más pequeño. La …gura a muestra el caso cuando el cubo A linda solo con una de las aristas, y cuando A queda justo en uno de los vértices. Los dos casos son imposibles. En la primera situación, entre el cubo A y el 2 debe quedar un espacio vacío, debido a que el lado del cubo 3 es mayor que el de A. En la segunda, en la cara de la izquierda, y por la misma razón anterior, queda también un espacio vacío:
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Cubicación del cubo
En consecuencia, el cubo pequeño debe quedar en el interior. Ahora, si está situado en el interior, por ser el más pequeño, debe quedar rodeado por cubos más grandes, que forman una especie de foso de sección cuadrada igual al lado de A. Fijémonos ahora en la cara superior de A. Esta debe servir de apoyo a un conjunto …nito de cubos y, obviamente, de lado menor que el de A. Sea B el menor de ellos. Repitiendo el argumento anterior, existirá otro cubo C, el menor de los que se apoyan sobre la cara superior de B. Y así sucesivamente, en un descenso in…nito de cubos cada vez menores. Pero esto contradice el hecho de que la partición del cubo original es …nita.
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Un problema clásico Se tienen tres casas, A, B y C, y tres plantas de servicios X, Y y Z, que suministran energía eléctrica, agua y teléfono. Se trata de conectar los tres servicios a las tres casas, esto es, trazar 9 líneas que unan los puntos X, Y y Z con los puntos A, B y C, pero de tal modo que ningún par de líneas se crucen (En la …gura se muestra un primer intento, aunque falta suministrar el servicio X a la residencia C, para lo cual abría que cortar indefectiblemente una de las líneas ya trazadas.
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Un problema clásico Un famoso teorema de las matemáticas, llamado teorema de la curva de Jordan a…rma algo que parece intuitivo. Dice el teorema: si en un plano se tiene una curva cerrada K, continua y que no se corta a sí misma entonces el plano quedará divido en dos regiones, una exterior a la curva y otra interior, de tal modo que si se conecta por medio de una curva continua L un punto interior A con uno exterior B, dicha línea cortará indefectiblemente la curva K.
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Un problema clásico Del teorema de Jordan se deduce que si se tiene una curva K, cerrada, continua y que no se corta a sí misma, y si unimos dos puntos P y Q de ella por medio de una curva continua que no corte la curva K, entonces, salvo los dos puntos extremos, P y Q, los demás puntos de la curva quedarán o bien dentro de K, o fuera de K.
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Un problema clásico Por otro lado, si se tienen dos puntos P y Q sobre K y una curva continua PQ cuyos puntos, salvo los dos extremos, caen dentro de K, y además se eligen dos puntos también sobre K, P´ y Q´ , situados en cada uno de los dos arcos en que queda partida la curva K (véase parte derecha de la …gura siguiente), entonces toda curva que los conecte y que esté contenida en el interior de K deberá cortar la curva PQ.
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Un problema clásico Supongamos para comenzar que hemos suministrado el servicio X a las residencias A y B (véase …gura siguiente), el servicio Y a las residencias B y C, y el servicio Z a las residencias A y C. En este punto hemos completado una curva cerrada de Jordan, AZCYBXA, que llamaremos K, y aún nos faltan las siguiente tres curvas o suministros: XC, YA y ZB.
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Un problema clásico Si en este punto queremos unir A y Y, lo podemos hacer por dentro de la región delimitada por K, o por fuera. Si elegimos la primera opción (véanse las dos …guras siguientes), al tratar de unir a X con C, necesariamente lo debemos hacer por fuera de K, pues de lo contrario cortaríamos la línea punteada AY. Después de unir X con C, línea punteada en negrilla, nos falta todavía unir Z con B, lo que, según el teorema de Jordan, es imposible sin cortar la curva cerrada determinada por AX, XC, CY, y YA, que contiene en su interior el punto B y en su exterior el Z (un razonamiento análogo se haría en el caso de comenzar uniendo A y Y por fuera de K).
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Puntos …jos:problema de la mesa
Son innumerables las ocasiones de la vida diaria en que nos toca sufrir una mesa de cuatro patas que cojea. La solución más socorrida consiste en poner debajo de una de las patas cualquier objeto plano que nos permita corregir el inconveniente. Sin embargo, existe una solución muy sencilla: rotar la mesa lentamente hasta que al llegar a cierto ángulo, no superior a 90o , la mesa queda estabilizada. Puede establecerse el siguiente teorema: Se tiene una mesa de cuatro patas iguales, puesta sobre un piso que no es perfectamente plano, pero que no presenta discontinuidades en su super…cie, entonces puede girarse la mesa sobre su centro un ángulo de 90o y siempre se encontrará durante el giro al menos una posición en la que las cuatro patas están en contacto con el piso.
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Problema de la mesa: solución Supongamos que en la posición mostrada en la …gura siguiente, parte izquierda, no hay contacto simultáneo de las cuatro patas con el piso. Entonces habrá dos patas, B y D, por ejemplo, que se apoyan en el piso, mientras que las dos restantes, A y C, cojean; es decir, que ejerciendo presión sobre la super…cie de la mesa podemos a voluntad hacer que una de estas dos patas, pero sólo una, toque el piso. En este caso diremos que la mesa se balancea sobre la diagonal BD.
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Problema de la mesa: solución Giremos ahora la mesa sobre su centro 90 grados en la dirección del reloj, manteniendo siempre la presión sobre las patas B, C y D, con el …n de que permanezcan en contacto con el piso. Nótese que al completar los 90 grados, la diagonal AC habrá ocupado el lugar de la BD y BD la de AC; por consiguiente, al terminar el giro será AC la diagonal sobre la que se balancea la mesa y, en consecuencia, la pata A quedará necesariamente en contacto con el piso. De este modo las cuatro patas estarán asentadas contra el piso, lo cual es imposible pues, en razón de la simetría de la mesa, esta ocupará una posición indistinguible de la
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Problema de la mesa: solución
Veremos ahora que durante el giro de 90 grados con las patas B, C y D apretadas contra el piso, necesariamente habrá un punto intermedio, situado sobre el cuarto de círculo descrito por el movimiento de A, en que esta pata toca el piso y la mesa queda en perfecto equilibrio. En efecto, si esto no ocurriera, es decir, si A no tocase ningún punto del piso durante el cuarto de círculo recorrido, estaríamos frente a una contradicción, pues, como se demostró en el párrafo anterior, al llegar justamente a ocupar la posición original de la pata B (parte derecha de la …gura), el contacto de A con el piso sería obligatorio. Esta contradicción nos demuestra que la suposición es falsa y, por tanto, que durante el recorrido efectuado debemos encontrar la anhelada posición en que las cuatro patas tocan simultáneamente el piso.
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Puentes de Könisberg En los tiempos de Euler, la ciudad Könisberg ocupaba las riberas A y C del río Pregel y dos islas (véase …gura siguiente), B y D, unidas entre sí y a las riberas por medio de 7 puentes. Cuentan que los habitantes de Königsberg se entretenían tratando de hacer un paseo que visitara las cuatro regiones A, B, C y D y que utilizara los 7 puentes, pero de tal modo que no se cruzara más de una vez por ninguno ellos. Nunca nadie fue capaz de hacer el paseo, pues es imposible. Euler demostró tal imposibilidad. ¿Sería capaz el lector?
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Puentes de Könisberg: solución Para el análisis podemos simpli…car la topografía y reducirla a la parte esencial, que se muestra en la …gura siguiente.
Ahora bien, como debemos partir de un nodo o vértice y terminar en otro -eventualmente pueden ser el mismo-, dos de los cuatro nodos, por lo menos, deben ser puntos intermedios de nuestro recorrido. Ahora bien, cada nodo intermedio del recorrido debe tener un número par de lados que con‡uyen en él, pues al entrar utilizamos uno y al salir, otro, de tal suerte que de ser impar el número de estos llegaría el momento en que entraríamos pero no podríamos salir por haber agotado los caminos. Pero todos los nodos del recorrido tienen tres líneas, esto es, un número impar, luego es imposible que sean puntos intermedios del recorrido. (Institute)
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Paradojas de Zenon Zenón defendió la …losofía de Parménides, quien enseñó que el mundo de los sentidos es una ilusión, que la pluralidad o multiplicidad del mundo es imposible, así como el movimiento o cualquier tipo de cambio. Este …lósofo fue uno de los primeros pensadores en cuestionarse la naturaleza del continuo. El movimiento, en su opinión, es una ilusión: una ‡echa que se mueve de un punto a otro deberá atravesar primero la mitad de la distancia, luego la mitad de la mitad restante y así ad in…nitum, y de esta manera nunca alcanzará el punto de llegada.
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Primera aporía Imaginemos un móvil que parte del punto A, situado a un metro de distancia de otro punto B, y que avanza hacia éste, a una velocidad constante de un metro por segundo. Suongamos que el espacio puede partirse tan …namente como queramos, y que la punta de la ‡echa, al atravesar este continuo alcanza cada uno de sus puntos. Por otro lado imaginemos que hay una unidad mínima de tiempo por debajo del cual no existirá ninguna fracción de tiempo menor. Si llamamos al punto medio del segmento AB, p1 , al punto medio entre p1 y B, p2 , al punto medio entre p2 y B, p3 y así sucesivamente:
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Primera aporía Entonces la ‡echa tardará1/2 segundo en alcanzar p1 ,1/4 de segundo en recorrer el segmento p1 p2 , 1/8 de segundo en recorrer p2 p3 , etc. Para pasar del punto pn al punto pn +1 tardará 1/2n +1 segundos. Es claro entonces que existirá un primer valor de n, lo su…cientemente grande, para el cual el tiempo en recorrer el segmento pn pn +1 , segundos, será menor que el valor del quantum de tiempo minimal, y por lo tanto la ‡echa no pasará nunca por pn +1 , lo que contradice el hecho de que la ‡echa recorra el continuo sin omitir ningún punto.
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Primera aporía del movimiento Vale la pena mencionar en este punto, que, aunque no se hayan medido intervalos de tiempo menores a 10 43 segundos, tanto la física relativista, como la mecánica cuántica y la física moderna, adoptan como modelos del mundo espacios …nito e in…nito dimensionales construidos sobre los números reales, es decir, sobre el continuo matemático, y hasta donde conozco la discusión sobre la divisibilidad del tiempo y el espacio no parece importar demasiado. Posiblemente esto se deba al carácter metafísico de estos problemas y al hecho de que resulte imposible descartar o preferir un modelo sobre otro, basándose en hechos experimentales. Sin embargo, los físicos han conjeturado que posiblemente no tenga sentido hablar de distancias menores a la distancia de Planck, 10 35 metros, ni tiempos menores al llamado tiempo de Planck, 10 43 segundos. Un móvil que recorriera un quantum de espacio en un quantum de tiempo viajaría a la velocidad máxima posible, que como bien se sabe corresponde a la velocidad de un rayo de luz en el vacío. (Institute)
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Segunda aporía del movimiento Supongamos espacio y tiempo in…nitamente divisibles o continuos. Si suponemos que el espacio y el tiempo están modelados por el continuo matemático de los números reales, la paradoja de la ‡echa desaparece, lo que puede explicarse de la siguiente manera: la suma de una serie in…nita de términos puede ser un número …nito sin que ello implique ninguna contradicción. La ‡echa, por ejemplo, alcanzará el punto medio de su trayectoria, p1 , al cabo de 1/2 segundo, el punto p2 , al cabo de 1/2 + 1/4 de segundo, el siguiente punto al cabo de 1/2 + 1/4 + 1/8, y así sucesivamente. A pesar de que la ‡echa esté obligada a atravesar un número in…nito de puntos espaciales, ello no implica que tarde un tiempo in…nito en hacerlo. En efecto, demorará un tiempo igual a la suma de la serie geométrica in…nita, de razón 1/2: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + .... = 1/(1 (Institute)
1/2)
1 = 1 segundo. Mayo 27 de 2013
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Tercera aporía del movimiento Tercera aporía del movimiento: espacio …nitamente divisible y tiempo in…nitamente divisible.Zenón considera ahora que el espacio que recorre la ‡echa es un espacio discreto, es decir, que éste se encuentra dividido en pequeños trozos minimales, o quanta de espacio. Durante el movimiento, el móvil tendría que saltar de una unidad a la siguiente, sin ocupar posiciones intermedias. Veamos ahora qué ocurre durante un intervalo de tiempo menor que el tiempo que demora la ‡echa en saltar de un punto cualquiera de su recorrido al punto espacial que le sigue. Transcurrido este intervalo de tiempo, Zenón dice que ésta pasaría a ocupar un “punto intermedio” que no existiría, y por lo tanto no estaría realmente en ningún lugar y ¡no existiría en absoluto! En sentido estricto esto no es ninguna contradicción lógica, sin importar cuan chocante resulte a nuestra intuición, aunque, como dice Zenón, sí es cierto que la ‡echa habrá desaparecido durante este intervalo de tiempo para aparecer súbitamente al …nal del mismo. Es posible que la continuidad del movimiento sea una ilusión, como lo es en el cine. (Institute)
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Modelación del mundo físico Con el propósito de simpli…car nuestra discusión suponemos que el movimiento ocurre en una dirección espacial, digamos en la dirección del eje x, que en nuestro modelo será un eje discreto que podemos imaginar como el conjunto de puntos que corresponden a los números naturales 0, 1, 2, etc., de tal forma que no tendrá ningún sentido preguntarse por “puntos intermedios” entre dos posiciones de este eje espacial. En un modelo tridimensional, el espacio será entonces una retícula de puntos con coordenadas enteras, separados unos de otros por la distancia de Planck, una distancia tan pequeña, que ningún experimento físico podría distinguir "puntos espaciales intermedios" entre ellos. así, conceptos tales como la mitad de un intervalo de uno de estos quanta o unidades básicas de espacio no tendrían ningún sentido. Asimismo supondremos que el tiempo consiste de intervalos separados por una unidad mínima, que llamaremos un quantum de tiempo, y tiempos menores a esta unidad carecerán de sentido. (Institute)
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Modelación alternativa del mundo físico El siguiente grá…co de tiempo (horizontal) contra espacio (vertical) describe el movimiento de un cuerpo que se desplaza a la derecha. Durante los dos primeros intervalos minimales de tiempo, ocurre un desplazamiento de dos unidades. En el tercero, el cuerpo permanece en la misma posición, y vuelve a desplazarse a la derecha dos unidades durante el cuarto y quinto “tic” del reloj.
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Modelación alternativa del mundo físico Este modelo tiene la virtud de explicar la cinemática clásica así como la cinemática relativista. Como ya vimos la velocidad máxima en este universo nunca puede superar la velocidad de la luz. Veamos ahora que la velocidad de la luz también es constante, medida por cualquier observador. Para ello imaginemos un móvil M que se desplaza hacia la derecha de un observador O exactamente a la mitad de la velocidad de la luz, y supongamos que desde allí se lanza un rayo de luz también hacia la derecha.
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ModelaciĂłn alternativa del mundo fĂsico
Veamos entonces que la velocidad de este rayo medida por O es exactamente una unidad, que corresponde en nuestras unidades, a la velocidad mĂĄxima.En general podemos ver que si la velocidad de O 0 corresponde a una probabilidad de p1 y desde allĂ se lanza hacia la derecha un objeto con velocidad correspondiente a probabilidad p2 entonces la probabilidad de dicho objeto, medida desde O es de p1 + p2 p1 p2 , lo que da cuenta de la suma de velocidades de la relatividad especial. En el caso de un rayo de luz, esta velocidad es igual a 1/2 + 1 1/2 1 = 1.
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