3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad y mecánica cuántica (Clase 10) Juan D. Vélez Universidad Nacional
Abril 29, 2013
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abril y mecánica 29, 2013 cuántica 1 / 33 (Cla
Stern Gerlach y su experimento (1922) Un aparato de Stern Gerlach, ASG, crea un campo magnético no homogéneo con una orientación espacial de…nida.
Una vez el aparato se orienta en una determinada posición espacial, un chorro de electrones (u otras partículas) es enviado por una canal hacia el aparato, el cual desvía cada electrón hacia arriba o hacia abajo con igual probabilidad. Es decir, se ha observado que la mitad de los electrones, aproximadamente, van hacia arriba y la otra mitad hacia abajo. Los físicos hablan entonces de un electrón con espín positivo, (respectivamente, espín negativo) en la dirección de orientación del aparato. (Universidad Nacional)
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Stern Gerlach y su experimento (1922) Un aparato de Stern Gerlach, ASG, crea un campo magnético no homogéneo con una orientación espacial de…nida.
Una vez el aparato se orienta en una determinada posición espacial, un chorro de electrones (u otras partículas) es enviado por una canal hacia el aparato, el cual desvía cada electrón hacia arriba o hacia abajo con igual probabilidad. Es decir, se ha observado que la mitad de los electrones, aproximadamente, van hacia arriba y la otra mitad hacia abajo. Los físicos hablan entonces de un electrón con espín positivo, (respectivamente, espín negativo) en la dirección de orientación del aparato. (Universidad Introducción al Programa Matemáticas: Abril y mecánica 29, 2013 cuántica 2 / 33 (Cla SiempreNacional) se ha visto3009353 que un electron cuyode espín seaProbabilidad positivo
Stern Gerlach y su experimento (1922) La adición de un segundo par de magnetos a un ASG permite recoger los rayos separados y volverlos a poner en dirección horizontal
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Stern Gerlach, primer experimento Cada uno de estos aparatos (sin y con colector) puede rotarse un ángulo α alrededor del eje y, en la dirección positiva, que simbolizaremos esquemáticamente de la siguiente manera:
ASG α tipo 1
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ASG α tipo 2
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
Para simpli…car la discusión supongamos que las medidas que produce un aparato de tipo α = 0 se llamarán el color del electrón, (blanco si el espín es positivo y negro si es negativo), y el espín de un aparato de tipo 2 (α = 45), la dureza del electrón, (duro si es positivo y blando, si es negativo).
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
Los siguientes hechos se han observado: Usando un aparato de tipo AGS, ฮฑ = 0 se preparan electrones blancos.
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
Los siguientes hechos se han observado: Usando un aparato de tipo AGS, ฮฑ = 0 se preparan electrones blancos. Luego, estos electrones ya preparados se les mide su dureza.
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
Los siguientes hechos se han observado: Usando un aparato de tipo AGS, α = 0 se preparan electrones blancos. Luego, estos electrones ya preparados se les mide su dureza. Independiente del resultado que se obtenga en el paso anterior, al volver a medir su color, se observa que éste pudo haber cambiado.
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
Los siguientes hechos se han observado: Usando un aparato de tipo AGS, α = 0 se preparan electrones blancos. Luego, estos electrones ya preparados se les mide su dureza. Independiente del resultado que se obtenga en el paso anterior, al volver a medir su color, se observa que éste pudo haber cambiado. En forma similar, electrones duros o blandos previamente preparados puede cambiar su estado duro o blando, después de una medición de su color.
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Stern Gerlach, primer experimento De manera esquemática, podría ocurrir algo como se indica en el dibujo:
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Stern Gerlach, segundo experimento
Conectemos ahora un aparato que mide dureza con otro que mide color y alimentamos el primero con electrones blancos:
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Stern Gerlach, segundo experimento
¿Qué esperaríamos como resultado de este segundo experimento? En primer lugar, de 100 electrones blancos que entran a la caja de dureza, 50 aproximadamente son duros y 50 son blandos. De los 50 duros, 25 aprox. son blancos. De los 50 blandos, 25 aprox. son blancos. En total se esperan 50 electrones blancos, aproximadamente.
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Stern Gerlach, segundo experimento
¿Qué esperaríamos como resultado de este segundo experimento? En primer lugar, de 100 electrones blancos que entran a la caja de dureza, 50 aproximadamente son duros y 50 son blandos. De los 50 duros, 25 aprox. son blancos. De los 50 blandos, 25 aprox. son blancos. En total se esperan 50 electrones blancos, aproximadamente. Pero, al realizar el experimento, ¡se observa que todos los electrones que salen de la segunda caja son blancos!
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Stern Gerlach, segundo experimento ¿Qué anda mal? Pongamos un sensor en el punto de salida del primer aparato, digamos en la parte superior, el cual destella al paso de un electrón duro. Al alimentar nuevamente la primera caja con electrones blancos, vemos que el sensor destella la mitad de las veces, aproximadamente. y observamos nuevamente electrones blancos y negros que salen de la segunda caja de color, en igual proporciones. ¡Como uno hubiera esperado!
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
La conclusión de Stern y Gerlach fue la siguiente: Mientras sea imposible determinar "la ruta elegida por el electrón", sólo se observan electrones blancos a la salida de la segunda caja y ¡el fenómeno desaparece cuando se dispone de dicha información!
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
La conclusión de Stern y Gerlach fue la siguiente: Mientras sea imposible determinar "la ruta elegida por el electrón", sólo se observan electrones blancos a la salida de la segunda caja y ¡el fenómeno desaparece cuando se dispone de dicha información! Pero, parece obvio que aunque no sepamos "la ruta seguida por el electrón", el resultado en el segundo aparato debería de todas formas ser de 50% de electrones blancos y 50% de electrones negros.
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Stern Gerlach y su experimento (1922)
La conclusión de Stern y Gerlach fue la siguiente: Mientras sea imposible determinar "la ruta elegida por el electrón", sólo se observan electrones blancos a la salida de la segunda caja y ¡el fenómeno desaparece cuando se dispone de dicha información! Pero, parece obvio que aunque no sepamos "la ruta seguida por el electrón", el resultado en el segundo aparato debería de todas formas ser de 50% de electrones blancos y 50% de electrones negros. ¿Cómo se explica esta paradoja en mecánica cuántica?
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 11 / 33 (Cla
Modelo Cuántico El espín se modela con un vector unitario v de C2 . Denotemos por fu1 (α), u2 (α)g la base que se obtiene de rotar la base estándar u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), un ángulo α.
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Modelo Cuántico Las dos bases están relacionadas mediante las fórmulas: u1 (α) = cos(α)u1 + sin(α)u2 u1 = cos(α)u1 (α) sin(α)u2 (α) u2 (α) = sin(α)u1 + cos(α)u2 u2 = sin(α)u1 (α) + cos(α)u2 (α) Cada representación de un vector v (unitario) en la base fu1 (α), u2 (α)g , v = au1 (α) + bu2 (α) se interpreta de la siguiente manera: al hacer una medición del espín con un aparato AGS rotado un ángulo α, la probabilidad de que éste sea positivo es jaj2 y la probabilidad de que sea negativo es jb j2 (como v es unitario, jaj2 + jb j2 = 1). Decimos que el espín está en un estado de superposición.
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Modelo Cuántico Las dos bases están relacionadas mediante las fórmulas: u1 (α) = cos(α)u1 + sin(α)u2 u1 = cos(α)u1 (α) sin(α)u2 (α) u2 (α) = sin(α)u1 + cos(α)u2 u2 = sin(α)u1 (α) + cos(α)u2 (α) Cada representación de un vector v (unitario) en la base fu1 (α), u2 (α)g , v = au1 (α) + bu2 (α) se interpreta de la siguiente manera: al hacer una medición del espín con un aparato AGS rotado un ángulo α, la probabilidad de que éste sea positivo es jaj2 y la probabilidad de que sea negativo es jb j2 (como v es unitario, jaj2 + jb j2 = 1). Decimos que el espín está en un estado de superposición. La medición del espín tiene el efecto de colapsar la superposición de estados. Si al medir el espín con ángulo α la medición fue, digamos, positiva, entonces su espin original v = au1 (α) + bu2 (α) "colapsa" en el nuevo estado v 0 = 1.u1 (α) + 0u2 (α). (Universidad Nacional)
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Modelo Cuántico
Volvamos a mirar el experimento bajo esta óptica: u1 = blanco, u2 = negro. Si a = π/2, u1 (π/2) = duro, u2 (π/2) = blando. La fórmulas de cambio de base serían: p p duro = 1/ p 2blanco + 1/ p 2negro blando = 1/ 2blanco + 1/ 2negro p p blanco = 1/p 2duro 1/p 2blando negro = 1/ 2duro + 1/ 2blando
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Modelo Cuántico Volvamos a repetir el p segundo experimento: se alimenta un electrón v = p blanco, (blanco = 1/ 2duro 1/ 2blando) en el aparato que mide la dureza. Si se efectúa una medición con el sensor, el estado colapsa con probabilidad 1/2, a duro p o a blando. p +1/ 2negro, (de manera similar, Por otro lado, p duro = 1/ 2blanco p blando = 1/ 2blanco +1/ 2negro) por tanto, al efectuar la segunda medición (color ), en el 50% (aproximadamente) de los casos el estado colapsa a blanco y en el otro 50% colapsa a negro. ¡Como en efecto se observa!
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Modelo Cuántico Ahora, si no se efectúa ninguna medición, en el primer aparato el estado del electrón permanece p original, p en su estado blanco (blanco = 1/ 2duro 1/ 2blando) y la medición en el segundo aparato deberá por tanto ser siempre blanco.
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Modelo Cuántico Otro experimento en el que la medición "colapsa" el estado de superposición es el muy conocido experimento de la doble rendija. Una fuente de electrones emite electrones en forma discreta (uno a la vez) los cuales son obligados a pasar por una pantalla con dos rendijas separadas por una distancia muy pequeña.
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Experimento de las dos rendijas Al tapar la rendija inferior la probabilidad de que un electrón llegue a determinado punto de la pantalla está dada por el siguiente grá…co
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Experimento de las dos rendijas En forma similar, la probabilidad de llegar a la pantalla cuando de tapa la rendija superior es:
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Experimento de las dos rendijas
Sumando estas dos probabilidades, esperaríamos una probabilidad de llegar a la pantalla dada por la suma de ambas probabilidades.
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Experimento de las dos rendijas Sin embargo, lo que se observa es un patrón de interferencia:
Como si los electrones pasaran a través de ambas rendijas al mismo tiempo. El patrón desaparece cundo se coloca un sensor al lado de una de las p rendijas que hace p "colapsar" el estado de superposición v = 1/ 2superior +1/ 2 inferior. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 21 / 33 (Cla
Experimento EPR Dos partículas atómicas, partícula y antipartícula (representadas por los colores rojo y negro) que están inicialmente unidas se separan en t = 0, y viajan varios años luz hasta encontrar, cada una de ellas, tres posibles aparatos de Stern-Gerlach que miden el espín con ángulos de α = 0, 120, 240 grados. Al comienzo del experimento se elije al azar en cada extremo (con probabilidad 1/3) uno de los tres aparato con los que se ha realizar la medición del espín de la partícula que llegue.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 22 / 33 (Cla
Experimento EPR Al realizar el experimento se observa lo siguiente: siempre que se haga una medición con el mismo tipo de aparato a ambos lados, los espines son necesariamente opuestos. Por ejemplo, si se mide en ambos lados el espín con ángulo 120 grados (aparato B), si el espín fue positivo para la partícula, entonces se observa negativo para la antipartícula:
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 23 / 33 (Cla
Experimento EPR Una vez se selecciona (al azar) en cada extremo un determinado aparato, decimos que las mediciones coinciden si el espín de partícula y antipartícula es en ambos casos positivo o en ambos casos negativo. Hecho empírico: al realizar el experimento se obtiene un promedio de coincidencias del 50%. El hecho anterior es paradójico: hagamos los cálculos. Supongamos que cada partícula al separarse viniera con espín predeterminado. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra la partícula con espines predeterminados A+, B + y C , mientras que la antipartícula tendría (necesariamente) espines A , B y C +. La tabla siguiente muestra cuándo habría una coincidencia (si) y cuándo no habría coincidencia (no).
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 24 / 33 (Cla
Experimento EPR El número de coincidencias sería en este caso 4/9 > 1/2 .Calculemos la probabilidad de que ocurra una coincidencia. La tabla siguiente muestra todos los posibles casos para un par partícula-antipartícula, y el número de coincidencias que se registrarían al hacer las mediciones:
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 25 / 33 (Cla
Experimento EPR
De ahí que la probabilidad de que ocurra una coincidencia sería
P
= 1/8 = 1/8
(0 + 4/9 + 4/9 + 4/9 + 4/9 + 4/9 + 4/9 + 0) 24/9 = 1/3
Pero los experimentos muestran que dicha probabilidad debería ser 1/2!
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 26 / 33 (Cla
Experimento EPR, explicación Explicación cuántica del fenómeno Cada par de partículas constituyen un solo ente cuántico que se modela matemáticamente como un vector de C C.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 27 / 33 (Cla
Experimento EPR, explicación Explicación cuántica del fenómeno Cada par de partículas constituyen un solo ente cuántico que se modela matemáticamente como un vector de C C. Cada medición de espín, con ángulo α, corresponde a: una escogencia de base (ortonormal) para C C donde la magnitud de cada coe…ciente del correspondiente vector de la base se interpreta como la probabilidad de que al hacer una medición el estado colapse en ese vector.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 27 / 33 (Cla
Experimento EPR, explicación Explicación cuántica del fenómeno Cada par de partículas constituyen un solo ente cuántico que se modela matemáticamente como un vector de C C. Cada medición de espín, con ángulo α, corresponde a: una escogencia de base (ortonormal) para C C donde la magnitud de cada coe…ciente del correspondiente vector de la base se interpreta como la probabilidad de que al hacer una medición el estado colapse en ese vector. Por ejemplo, la base que "corresponde al aparato A" (α = 0) sería fu1 u1 , u1 u2 , u2 u1 , u2 u2 g. El estado del sistema partícula-antipartícula estaría dado por un vector unitario v = ∑ ai ,j ui uj , es decir ∑ jai ,j j2 = 1. A priori sabemos que i ,j
i ,j
a11 = a22 = 0, puesto que al realizar la medición del espín con α = 0, las dos partículas deberán tener espín opuestos. (Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 27 / 33 (Cla
Experimento EPR, explicación
En lo que sigue, y por comodidad, representaremos a u1 por A+ y a u2 por A . El estado v del sistema en esta base vendrá respresentado entonces por v = a(A+ A ) + b (A A+ ), con jaj2 + jb j2 = 1.
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3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 28 / 33 (Cla
Experimento EPR, explicación
En lo que sigue, y por comodidad, representaremos a u1 por A+ y a u2 por A . El estado v del sistema en esta base vendrá respresentado entonces por v = a(A+ A ) + b (A A+ ), con jaj2 + jb j2 = 1.
De nuevo, los coe…cientes a y b se interpretan del siguiente modo: si se hace una medición del espín para ambas partículas, con el mismo aparato A, v colapsa en uno de los dos estados 1 (A+ A ) + 0 (A A+ ) , o 0 (A+ A ) + 1 (A A+ ), con 2 2 probabilidades jaj y jb j , respectivamente.
(Universidad Nacional)
3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Probabilidad Abrily29, mecánica 2013 cuántica 28 / 33 (Cla
Experimento EPR, explicación
En lo que sigue, y por comodidad, representaremos a u1 por A+ y a u2 por A . El estado v del sistema en esta base vendrá respresentado entonces por v = a(A+ A ) + b (A A+ ), con jaj2 + jb j2 = 1.
De nuevo, los coe…cientes a y b se interpretan del siguiente modo: si se hace una medición del espín para ambas partículas, con el mismo aparato A, v colapsa en uno de los dos estados 1 (A+ A ) + 0 (A A+ ) , o 0 (A+ A ) + 1 (A A+ ), con 2 2 probabilidades jaj y jb j , respectivamente. De manera similar, denotaremos las vectores u1 (120) = B + , u2 (120) = B , u1 (240) = C + , u2 (240) = C , y por B + B , C + C , los correspondientes productos tensoriales.
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Experimento EPR, explicación Notemos que hay otras bases ortonormales como
f A+ f A+
B + , A+
B ,A
B +, A
C + , A+
C ,A
C +, A
B g,
C g, etc.
Las fórmulas para cambiar de una base a otra están inducidas por relaciones de la forma: p A+ = 1/2B + 3/2B p + A = 3/2B + 1/2B p + A = 3/2C + 1/2C p A = 1/2C + 3/2C .. . (Universidad Nacional)
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Experimento EPR, explicación
Así, por ejemplo, un sistema en el estado de superposición p p v = 1/ 2A+ A 1/ 2A A+ , también estará en el estado
v
=
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p p 3/(2 2)A+ B + + 1/2 2A+ p p p B + + 3/(2 2)A 1/2 2A
p
B B .
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Experimento EPR, explicación
Esto último, ya que v
p p 1/ 2A A+ = 1/ 2A+ A p p + ( 3/2B + + 1/2B ) = 1/ 2A p p 1/ 2A (1/2B + 3/2B ) p p p + + = 3/(2 2)A B + 1/2 2A+ B p p p 1/2 2A B + + 3/(2 2)A B .
En este caso la probabilidad de una coincidencia es p p p p [ 3/(2 2)]2 + [ 3/(2 2)]2 = 3/4.
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Experimento EPR, explicación El razonamiento es similar para cualquier par de mediciones con aparatos A, B y C en cada extremo A continuación se listan todas las posibles mediciones con su probabilidad de coincidencia:
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Experimento EPR, explicaciรณn
Luego la probabilidad de una coincidencia es P = 1/9
(0 + 6
3/4) = 2/4 = 1/2.
Como se comprueba en el experimento.
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