3009353 Introducción al Programa de Matemáticas: Geometría y espacio (Clase 13) Juan D. Vélez Universidad Nacional
Mayo 20 2013
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Ejercitando las habilidades espaciales: la polilla perforadora Una polilla perfora 5 volúmenes de una enciclopedia, cada uno de 500 hojas, dispuestos de forma vertical sobre un estante, y lo hace de izquierda a derecha, comenzando con la primera hoja del volumen 1 y terminando su labor después de perforar la última hoja del volumen 5. ¿Sin contar las pastas, cuántas hojas perforó el bicho?
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Ejercitando las habilidades espaciales: la polilla, soluci贸n) Soluci贸n: La polilla comienza su trabajo en la primera hoja del primer volumen y luego pasa al segundo volumen, lo perfora completamente y hace lo mismo con los dos siguientes, en total 1 500 hojas m谩s. Para terminar su tarea destructora, perfora la 煤ltima hoja del volumen 5. En total, perfora 1 502 hojas.
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Cuatro monedas en línea
A partir de la …gura siguiente, formada con 4 monedas, hay que obtener, en 4 movimientos, una línea recta. Cada movimiento debe hacerse de tal modo que ninguna de las monedas restantes se mueva, y al …nal del movimiento, la moneda usada debe quedar haciendo contacto con otras dos.
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Cuatro monedas en l铆nea: soluci贸n
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Marrano alegre Con 11 palillos se ha formado un marranito que mira hacia la izquierda. Si su cola estĂĄ levantada, el marranito estĂĄ alegre. Si la cola apunta hacia abajo, es porque estĂĄ achantado. Se deben mover dos palillos de tal modo que el animal quede mirando hacia la derecha, y estĂŠ alegre.
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Marrano alegre: soluci贸n
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Falsa miopía Para no prestar el servicio militar obligatorio, algunas simulaban tener visión defectuosa. Para reconocer la mentira, un optómetra situaba al sujeto en el centro de una pieza de 8 metros de longitud en la cual se disponía, sobre una pared, de un letrero con letras simétricas, esto es, que se ven igual miradas en un espejo, dispuestas en línea de tamaño decreciente, mientras que en la pared opuesta ponía un espejo plano. Al examinando se le pedía que leyera las letras hasta llegar a las del menor tamaño posible. Después de esto se le pedía que diera media vuelta y leyera las mismas letras, pero re‡ejadas en el espejo plano. ¿Cómo descubría a los mentirosos?
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Falsa miopía: solución
Si en la segunda lectura el sujeto mentiroso, por ingenuidad, lee hasta la misma línea que leyó en el primer intento, está mintiendo, pues las letras re‡ejadas están al doble de la distancia de las primeras, las reales y, en consecuencia, su tamaño es solo la mitad.
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Un punto de encuentro Esta es la descripciĂłn de un viaje posible entre MedellĂn y Cartagena, con velocidad variable y algunas posibles paradas en el camino. La distancia total por tierra, D es igual a 650km. Viaje de ida: salida: 6:05 a.m.; llegada 5:55 p.m. Regreso a la semana siguiente: salida: 6:10 a.m.; llegada 5:40 p.m.
Probar que existe al menos un punto en el camino en el que tanto a la ida como a la venida, el viajero pasa por ĂŠl exactamente a la misma hora, T . (Institute)
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Un punto de encuentro: solución
Existe una sencilla e inesperada solución, pero después cambiar el problema. Se simulan los dos viajes el mismo día; esto es, dos personas, el mismo día, repiten con absoluta …delidad lo que los viajeros hicieron en sus respectivos recorridos. Ahora bien, necesariamente deben encontrarse en un punto del camino, y para los dos, el reloj debe marcar la misma hora. Podría ocurrir que después del primer encuentro, uno de los viajeros se viera obligado a devolverse. En este caso, si llegase a superar al otro viajante (nuevo punto de encuentro), para después devolverse y continuar su viaje en la dirección original, volvería a ocurrir un nuevo punto de encuentro. En total serían tres, número impar. De repetirse esta situación, podríamos tener 5 puntos de encuentro, ó 7, etcétera.
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Un punto de encuentro: solución grá…ca Los dos viajes, de ida y regreso, pueden gra…carse (ida, en rojo, regreso en azul). Sus grá…cas han de cortarse en un punto (D0 , T0 ), donde, desde luego, se pasa en T = T0
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El problema del millón de puntos
¿Será posible separar, por medio de una recta, un millón de puntos situados al azar en un plano, dejando la mitad a cada lado? En otras palabras, ¿existirá una recta que separe el conjunto de puntos en dos subconjuntos de 500 000 puntos cada uno?
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El problema del millón de puntos Sí, existe dicha recta. Primero, vamos a resolver el problema para 4 puntos, pero de manera que pueda generalizarse a un millón. Tracemos un círculo su…cientemente grande como para que encierre los puntos, luego formemos las 6 parejas posibles de puntos y por cada una de ellas tracemos una recta que los una (véase …gura siguiente). Seleccionemos ahora en el plano un punto A por fuera del círculo y tal que no pertenezca a ninguna de las rectas dibujadas.
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El problema del mill贸n de puntos (soluci贸n, cont.) Tracemos ahora una recta por A, que no corte el c铆rculo construido y sea distinta de las ya existentes, y comencemos a rotarla sobre dicho punto en direcci贸n horaria, de tal modo que al girar vaya recorriendo uno a uno los puntos del conjunto.
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El problema del millón de puntos (solución, cont.)
Es claro que la recta giratoria no puede pasar simultáneamente por dos puntos del conjunto, pues si así fuese, el punto A estaría sobre una de las 6 rectas, pero sabemos que dicho punto se eligió precisamente de tal manera que no perteneciera a ninguna de ellas. Ahora todo es cuestión de contar los puntos por los que va pasando la recta al girar. Cuando superemos los primeros 2 (500 00 en el problema propuesto) nos detenemos, y esa será la solución buscada.
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*De la casa a la escuela Diariamente, un padre recoge (en carro) a su hija, al medio día en la escuela. Cierto día la hija sale una hora antes de lo acostumbrado. Con el …n de no hacerle perder tiempo a su padre, emprende a pie el camino a casa, hasta que se encuentran en cierto punto del camino, y desde allí regresan juntos, de tal modo que llegan a su destino veinte minutos antes de lo acostumbrado. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando la niña? Suponemos que el padre siempre tarda el mismo tiempo en ir de un punto cualquiera del camino hasta la escuela que en regresar de la escuela al mismo punto.
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De la casa a la escuela: solución Representaremos por L el punto del recorrido en que se produjo el encuentro del padre con su hija. Sabemos que el padre economizó 20 minutos cuando dejó de hacer el recorrido de ida y vuelta entre L y E. Ahora, Dado que gasta igual tiempo en ir de L a E que en regresar de E a L, deducimos entonces el recorrido de L a E le tomó 10 minutos. Supongamos que el padre no se hubiera detenido al encontrarse con su hija en el punto L, sino que hubiese seguido su camino en dirección a la escuela. Denotemos por K el punto del recorrido ocupado por la niña en el momento justo en que su padre llega a la escuela E.
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De la casa a la escuela: solución
Es claro que cuando el padre llega a E, la niña lleva caminando una hora y se encuentra en K (recuerde que la niña salió una hora antes). Ahora bien, como el tiempo que tarda la niña en caminar de L a K es igual al tiempo que invierte su padre en ir de L a E, que ya sabemos es 10 minutos, de los 60 minutos caminando de E a K, 50 se habrán invertido para ir de E a L, que es el tiempo que deseábamos conocer.
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Estación de bombeo Encontrar un punto C , situado sobre la rivera de un río, para construir en él una estación de bombeo que permita surtir de agua a las poblaciones A y B, de tal modo que la longitud total de tubería utilizada, esto es, para que la suma AC + CB sea mínima.
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Estación de bombeo: solución La idea que convierte el problema en una trivialidad es convertir el río en un espejo, por medio del cual hallamos A0 , simétrico de A respecto a la recta que corresponde al río, y unirlo con B por medio de una recta.
El punto C donde la recta corta la que representa el río será la solución. En efecto, cualquier recorrido distinto, como A0 C 0 B es más largo que el encontrado, pues la línea recta es siempre el camino más corto entre dos puntos situados en un plano (Institute)
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Carreteras y puente
Se desea unir las ciudades A y B por medio de dos carreteras rectas y un puente que cruce el rĂo, de tal modo que la longitud total del recorrido sea mĂnima.
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Carreteras y puente:Solución La estrategia de solución no es más que una variante de la del problema anterior. Se dibuja A0 de tal manera que AA0 sea igual al ancho del río, y se une A0 con B por medio de una recta. El camino mínimo será: BCDA. Cualquier otro recorrido, digamos, BFGA, será más largo por la misma razón señalada en el problema anterior.
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*Tablero trunco
Probar que es imposible cubrir el tablero trunco 6 17 ‌chas 2 1.
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6 (de 34 casillas) con
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Tablero trunco: solución A los a…cionados al ajedrez se les puede ocurrir una idea feliz, muy sencilla, que permite llegar a una solución elemental: sombrear la mitad de las casillas como en el tablero de ajedrez. Realizado esto, quedan 18 casillas negras y 16 blancas.
Ahora bien, como cada …cha, póngase vertical u horizontalmente, cubre siempre una casilla blanca y una negra, resulta imposible cubrir todo el tablero con 17 …chas, pues estas cubren 17 casillas blancas y 17 negras. (Institute)
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*Unir rojos y azules Sobre un plano se dibujan N puntos rojos y N azules. Probar que siempre es posible unir uno a uno los puntos rojos con los azules mediante N segmentos de recta, de tal modo que las lĂneas dibujadas no se corten.
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*Unir rojos y azules: solución
La idea central para la solución de este problema es muy sencilla: sabemos que en todo triángulo, la longitud de cada lado es menor que la suma de las de los otros dos. Supongamos, para comenzar, que se unen los puntos rojos con los azules, uno a uno, sin importar si los segmentos de línea utilizados se cortan o no. A cada conjunto de rectas que unan los N puntos azules con los N rojos -y son numerosísimos- lo llamaremos una unión. Imaginemos ahora el universo completo de todas las uniones, córtense o no los segmentos de recta utilizados. De ese inmenso universo escojamos aquella unión en que la suma de las longitudes de los N segmentos de recta utilizados sea mínima (si existen dos o más mínimas, elegimos cualquiera de ellas). Probemos ahora que las N rectas utilizadas en la unión mínima no se cortan entre sí.
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*Unir rojos y azules: solución Para probarlo, neguemos la a…rmación anterior, esto es, supongamos que hay por lo menos dos segmentos de recta, RA y R´A´, que se corta en un punto P
Tracemos los segmentos de recta auxiliares AR´ y A´R (líneas punteadas). Ahora bien, si sustituimos los segmentos A´R´ y AR por AR´ y A´R, respectivamente, la suma de las longitudes de los segmentos sustituidos es mayor que la de los sustitutos, pues, en todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos; es decir: AP + PR´ > AR´ y A´P + PR > A´R. (Institute)
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*Unir rojos y azules: solución Al sumar término a término las dos desigualdades se obtiene: AP + PR´ + A´P + PR > AR´ + AR´.
Por tanto, la unión que resulta al sustituir las líneas continuas por las punteadas y dejar el resto de segmentos (no mostrados en la …gura) sin cambio tiene una longitud total inferior a la mínima, lo que es imposible.
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*Los antĂpodas
Probar que siempre existen, sobre la super‌cie terrestre, dos puntos antipodales (diametralmente opuestos) que poseen la misma temperatura.
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*Los antĂpodas Hagamos un recorrido desde un punto A, situado sobre el ecuador terrestre, hasta llegar a su punto antipodal, B, siguiendo la lĂnea ecuatorial.
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*Los antĂpodas Representemos en el plano cartesiano el recorrido, de tal modo que sobre la horizontal marcamos la distancia entre el punto A y cualquier punto C del recorrido, y sobre la vertical, la diferencia de temperatura entre el punto C y su antĂpoda, C´.
Es evidente que la ordenada de la curva en A es igual pero de signo contrario a la de B (A y B son puntos antipodales), pues ambas miden la diferencia de temperatura entre el punto dado y su antĂpoda, en ese orden. Debe existir al menos un punto, Z, en que la curva corta el eje horizontal. En ese punto, justamente, las temperaturas son iguales. (Institute)
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