PĂĽl Lauritzen
Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ med relevante eksempler for økonomistudenter
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 3
29.09.15 10.12
kapittel 1
Innledning Denne brukerveiledningen er skrevet for brukere av kalkulatoren HP 10bII+ Financial Calculator og er basert på eksempler fra matematikk, finans, statistikk og bedriftsøkonomi. Eksemplene er typiske for studier ved Handelshøyskolen BI og er relevante for mange av kursene. Handelshøyskolen BI har vedtatt å bruke kalkulatoren som eksamenskalkulator fra og med høsten 2015. Denne brukerveiledningen kan medbringes på eksamener der kalkulator eller alle hjelpemidler er tillatt.
[[til o tekt s defin som
Bokens innledende kapitler om begrensninger og innstillinger må leses før man begynner å bruke kalkulatoren. Kapitlet om begrensninger lister kort opp hva kalkulatoren ikke kan gjøre, slik at man unngår å bruke tid på å lete etter bruksområder som ikke er dekket. Det er videre viktig å lese kapitlet om innstillinger for å unngå regnefeil. Kalkulatoren kan innstilles på to beregningsmåter som av og til gir forskjellig resultat. Dette skyldes ikke at den regner feil, men at de to metodene bruker forskjellige prinsipper for rekkefølgen av regneoperasjonene. Bokens hoveddel er inndelt etter emneområder. De enkelte emnene kan finnes igjen i forskjellige fag og kurs ved Handelshøyskolen BI. Meningen er at man skal kunne slå opp på det emnet som er relevant, uten å måtte lese alt som står foran. Emneområder som dekkes, er matematiske beregninger, renteregning, annuiteter, kontantstrømsanalyse, obligasjoner, avskrivning og statistikk. Funksjoner som ikke er relevante for økonomiske studier, som trigonometriske funksjoner, er ikke beskrevet i denne boken. Bruk av minne er beskrevet i et eget kapittel. Denne boken er ikke ment som en lærebok, men som en støtte til riktig bruk av kalkulatoren HP 10bII+ Financial Calculator. Eksemplene er vist 7
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 7
29.09.15 10.12
s. 8 i elder
kapittel 1
med fullstendige løsningsforslag i tillegg til beskrivelser av hvordan løsningen finnes pü kalkulatoren.
8
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 8
29.09.15 10.12
kapittel 2
Begrensninger Kalkulatoren mangler noe funksjonalitet i forhold til de kalkulatorene som var tillatt tidligere. De viktigste begrensningene er følgende: – Kalkulatoren er ikke programmerbar. Det innebærer at du ikke kan legge inn egne formler som du ofte bruker. For eksempel kan du ikke forhåndsprogrammere abc-formelen. Det finnes ikke muligheter for å laste ned ferdigprogrammerte formler fra Internett. – Kalkulatoren er ikke grafisk. Det betyr at du ikke kan tegne grafer i displayet. Det er dermed ikke mulig å beregne slike ting som maksimumspunkter, minimumspunkter eller bestemte integraler ved hjelp av grafer. Det finnes heller ikke ferdigprogrammerte funksjoner for dette. – Det er ikke mulig å foreta symbolske operasjoner på kalkulatoren.1 Det innebærer at den bare kan regne med tall, ikke med bokstaver. Dermed er det for eksempel ikke mulig å derivere funksjoner eller beregne ubestemte integraler på kalkulatoren.
1 Kalkulatorer med symbolske operasjoner har heller ikke vært tillatt på BI tidligere, og bare forsøksvis på videregående skole.
9
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 9
29.09.15 10.12
kapittel 2
10
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 10
29.09.15 10.12
kapittel 3
Grunnleggende om bruk og innstillinger 3.1
Kjekt å vite
Kalkulatoren slås på ved å taste ON og av ved å taste
og OFF.
Hvis kalkulatoren har stått på, men ikke har blitt brukt på fem minutter, vil den automatisk slå seg av for å spare batteriet. Når kalkulatoren slås på igjen, vil verdiene i minnet fortsatt være uforandret. Kalkulatoren har et sett av funksjonsområder, for eksempel prosentregning, avskrivning, obligasjoner, statistikk, annuiteter og kontantstrømmer.
3.2 Antall desimaler Kalkulatoren kan vise tallene i vinduet med inntil ni desimaler. De fleste ønsker to. Dette stilles inn slik: DISP 2
Vær oppmerksom på at selv om kalkulatoren bare viser to desimaler, vil den bruke flere desimaler i beregningene.
11
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 11
29.09.15 10.12
kapittel 3
Eksempel Hvis kalkulatoren står innstilt på to desimaler og du taster 0.857 = vises 0.86 i vinduet. Hvis du nå taster ×
× 1 000 = vises 857.00
3.3 Beregningsmetoder Det er mulig å velge forskjellige beregningsmetoder for rekkefølgen av regneoperasjoner. De to mulige innstillingene er Alg (algebraisk) eller Chain (kjede). Valg av innstilling gjøres slik: Alg/Chain
Da bytter kalkulatoren innstilling. Hvilken innstilling den settes til, vises i displayet et par sekunder. Eksempelet nedenfor illustrerer forskjellen mellom de to innstillingene:
Eksempel 3 =
5+7×3 blir 26.00 hvis kalkulatoren står innstilt på Alg, og 36.00 hvis den står innstilt på Chain. Velger du Alg, utføres regneoperasjonene etter algebraiske regler der multiplikasjon og divisjon utføres før addisjon og subtraksjon.
= 26
5 + 7 × 3 = 5 + 21 = 26
12
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 12
29.09.15 10.12
grunnleggende om bruk og innstillinger
Velger du Chain, utføres regneoperasjonene i den rekkefølgen du skriver dem, slik at
5+7
5 + 7 × 3 = 12 × 3 = 36 Her utføres multiplikasjon før addisjon fordi det er den rekkefølgen det ble skrevet inn. En mulighet er å benytte parentesene på kalkulatoren. Da regnes parentesene ut først. Uttrykket
(5 +
(5 + 7) × 3 = 12 × 3 = 36 blir da 36.00 uavhengig av om du bruker Alg eller Chain. Det anbefales å bruke Alg siden dette er logisk når det gjelder vanlige algebraiske regneregler. Når kalkulatoren står innstilt på beregningsmetoden Alg, vil regneoperasjonene bli utført i denne rekkefølgen: 1
yx
2
×,÷
3
+,−
4
)
5
=
yx ×, ÷ +, − ) =
Legg merke til at det er først når du avslutter en parentes, at det som står inne i parentesen, beregnes. Når du taster et likhetstegn, avsluttes alle høyreparenteser, og sluttresultatet regnes ut. Denne boken viser begge beregningsmetodene dersom de er forskjellige.
3.4 Tilbakestilling av variablene Du kan tilbakestille alle variablene i kalkulatoren ved å taste og C ALL 13
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 13
29.09.15 10.12
kapittel 3
For å nullstille tallet som er synlig i kalkulatorens vindu, taster du C
Dette er den samme tasten som du bruker når du har tastet feil tall. Da vil hele tallet slettes. Du kan også benytte (venstre pil) dersom du bare ønsker å fjerne det siste sifferet du tastet. Det er også mulig å tilbakestille variablene som bare angår én type funksjoner, for eksempel alle tallene som inngår i en kontantstrømsanalyse. Dette gjør du ved å taste CMEM 0
Variablene innstilles i dette tilfellet til standardverdier. I en kontantstrøm er for eksempel standardverdien for alle beløpene null. På tilsvarende måte kan man tilbakestille variablene for de andre typene av funksjoner på kalkulatoren: CMEM 0
sletter minnet for kontantstrømmer
CMEM 1
sletter TVM-minnet
CMEM 4
sletter breakeven-minnet
CMEM 7
sletter minnet for obligasjoner
C STAT
sletter statistikk-minnet
C ALL
sletter alle minner
14
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 14
29.09.15 10.12
kapittel 4
Matematiske beregninger I mange tilfeller er utregningen uavhengig av om kalkulatoren står innstilt på Alg eller Chain. Der dette har noe å si, er det kommentert. I denne boken er antall desimaler satt til to.
4.1
Enkel aritmetikk
Enkle regneoperasjoner som addering, subtrahering, multiplikasjon eller divisjon av to tall gjøres rett frem ved å taste = til slutt. For eksempel regnes 15 + 24 ut ved å taste
15 + 2
15 +
15 + 24 = og kalkulatoren viser 39.00 Divisjon, for eksempel uttrykket 2 : 3, regnes ut ved å taste
2 ÷
2÷3= og kalkulatoren viser 0.67. Det er ikke mulig å vise svaret som en brøk.
4.2 Potenser og kvadratrøtter 5.6 beregnes ved å taste 5.6
5.6 (
x
Svar: 2.37
15
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 15
29.09.15 10.12
x
kapittel 4
8762 beregnes ved å taste 2=
yx 2 =
876
Svar: 767 376.00
let, det i
Legg merke til at komma brukes for å gruppere sifrene i grupper på tre og tre for å gjøre tallene mer lesbare. Når du skriver tallene inn, kommer kommaet av seg selv uten at behøver å taste det inn. 1 Når du skal regne ut en potens der eksponenten er noe annet enn 2 (kvadratrot) eller 2, må du benytte tasten y x .
Eksempler Problem
Tast
3 5=
53
5
5 =
1.045
1.04
2−4
2
y x 4 +∕− =
8
yx
3
+|-
=
)) = +|-
3
=
1
8 = 83
2.4 −0.2
2.4
Svar yx 3 =
125.00
yx 5 =
1.22
(1 ÷ 3
0.063 )=
y x 0.2 +⁄− =
2.00 0.84
I mer sammensatte regnestykker er det viktig å ta hensyn til om du skal bruke Alg eller Chain.
Eksempel 6⋅3
2
Problem: 6 × 32
2 =
)) =
Alg:
6×3
Chain:
6×
yx 2 = (3
yx 2
)=
Svar: 54.00 Årsaken til at parentesen kan utelates når du bruker Alg, er at etter algebraiske regneregler regnes potensene ut før det multipliseres. 16
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 16
29.09.15 10.12
matematiske beregninger
Nedenfor vises et eksempel på hvordan beregningen av en sluttverdi er avhengig av hvilken beregningsmetode kalkulatoren står innstilt på:
Eksempel 200 000 kroner forrentes med 4 % årlig, diskret rente. Hva har beløpet vokst til etter tolv år? Vi bruker formelen
Kn =
K n = K 0 × (1 + r)n og får
K12 =
K 12 = 200 00 × (1 + 0.04)12 = 320 206.44
På kalkulatoren Alg:
200 000 ×
Chain: 200 000 ×
(1 + 0.04 (
)
(1 + 0.04
2000
y x 12 = )
x
y 12
2000
)=
320,2
Svar: 320 206.44 Dersom du skal beregne funksjonsverdier for en polynomfunksjon, er beregningsmetoden avgjørende. I slike tilfeller er det enklere hvis kalkulatoren står innstilt på Alg.
Eksempel Beregn verdien til f ( x ) = 4 x 3 − 5 x 2 + 10 x når x = 2
På kalkulatoren yx3 − 5 × 2
Alg:
4×2
Chain:
(4 × ) (2 x (2 )y 2 )
4 ×
y x 2 + 10 × 2 = yx 3 )+
) )− (10 × 2
(5 × )=
)
(Rød
Svar: 32.00 17
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 17
29.09.15 10.12
kapittel 4
4.3 Potenser med grunntall e og naturlige logaritmer Potenser med grunntall e beregnes ved at du legger inn tallet for eksponenten først (det du opphøyer i). Deretter velges funksjonen e x .
il) e x2 x
2
⋅e5 ⋅e=
e
Tast
2
2
4 × 5 × e2
Svar e
x
4×5×2
7.39 ex=
147.78
Når du skal regne ut uttrykk med potenser der eksponenten er et produkt, må du tenke på at etter algebraiske regneregler regnes potensene ut før det multipliseres.
il)ee2⋅x3
0
Problem
Problem e
Tast
2×3
Svar (2 × 3
x
e =
)
403.43
Eksempel 100 000 kroner forrentes med 3 % årlig kontinuerlig forrentning. Hva har beløpet vokst til etter åtte år? Vi bruker formelen ⋅ e r ⋅t
Kt = K0 × er×t og får
24.92
K 12 = 100 000 × e 0.03×8 = 127 127.92
På kalkulatoren Tast
24.92 ex =
24.92 00 =
Svar
100 000 ×
(0.03 × 8
)
x
e =
127 124.92
Det kan være lettere å regne ut e 0.03⋅8 = e 0.24 først for deretter å multiplisere med 100 000. I både Alg og Chain taster du 0.24
e x × 100 000 = og får 127 124.92 til svar.
18
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 18
29.09.15 10.12
matematiske beregninger
Kalkulatoren har funksjoner for naturlige logaritmer med grunntall e (LN). Også her skrives det tallet du skal ta logaritmen til først. Legg merke til at man i matematiske lærebøker bruker ln, mens symbolet på kalkulatoren er LN. Problem
Tast inn
Svar
ln3
3
1.10
2 ⋅ ln1.4
2 × 1.4
LN
ln(2 × 3)
(2 × 3
ln1.30.4
(1.3
LN =
3 (Rø 2 ×
0.67
)
LN
y x 0.4
)
(Rød ln(2 ⋅
1.79 LN
(Rød
0.10
Eksempel En typisk oppgave (fra eksamen 29.05.07 i Matematikk for økonomer på BI) er å finne x av ligningen
17 ⋅1.
17 × 1.02x = 25 Utregingen kan gjøres på denne måten: 1.02 x =
25 17
25 17 x ⋅ ln1.02 = ln25 − ln17
ln1.02 x = ln
x=
ln25 − ln17 = 19.48 ln1.02
På kalkulatoren ln25 − ln17 På kalkulatoren må du kunne beregne . Dette gjøres slik: ln1.02 Alg: Chain: 25
(25
LN − 17
LN − 17
LN
LN ÷ 1.02
) ÷ 1.02
[[tab
(Rød
LN =
25 (R
LN =
Svar: 19.48 19
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 19
29.09.15 10.12
kapittel 4
4.4 Inverse verdier Funksjonen 1/x kan brukes til å regne ut den inverse verdien av et uttrykk. For eksempel er den inverse verdien av x = 0.43 følgende: 1 = 2.33 0.43
På kalkulatoren 1/ x
:]] 1/ x
0.43
1/x
Funksjonen 1/x kan også være nyttig når du skal regne ut en brøk der nevneren er mer komplisert enn telleren. Da regner du ut nevneren først, deler på teller og «snur» brøken ved å taste 1/x. Problem Tast inn
1/ x
1 3− 2
(3 − 2
15 =
15 0.2 3 −1
(3
Svar x y x 0.2 − 1
)
1/x
0.63
)
1/x × 15 =
61.04
I det siste eksempelet regner vi først ut 30.2 − 1 , inverterer dette uttrykket og multipliserer med 15 etterpå.
4.5 Prosentregning Eksempler på de vanligste regneoperasjonene i forbindelse med prosentregning: Problem
Tast inn
Svar
Hvor mye er 25 % av 420?
420 × 25 % =
105.00
Hvor mye er 129 pluss 25 %?
129 + 25 % =
161.25
Hvor mye er 256 minus 30 %?
256 − 30 % =
179.20
Hvor mye er 15 i % av 32?
15 ÷ 32 % =
46.88 (%)
20
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 20
29.09.15 10.12
matematiske beregninger
4.6 Prosentvis endring Det er enkelt å regne ut prosentvis endring med enkle matematiske utregninger, men kalkulatoren har likevel en egen funksjoner for dette. Verdien på boligen din har endret seg fra 1 450 000 kroner i 1998 til 3 200 000 kroner i 2007. Du vil finne den prosentvise endringen i perioden totalt sett.
På kalkulatoren Du taster 1 450 000
1450
% CHG 3 200 000 =
Svar: 120.69 (%) Boligens verdi har steget med 120.69 % i løpet av de ni årene.
21
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 21
29.09.15 10.12
kapittel 4
22
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 22
29.09.15 10.12
kapittel 5
Renteregning 5.1
Sluttverdi av enkeltbeløp
Sluttverdien ( K t ) av et beløp ( K 0 ) etter t år er avhengig av hvor ofte rentepåtegningen skjer, og beregnes etter følgende formler: (1)
Kt =
r K t = K 0 × (1 + )n×t (2) n r×t (3) Kt = K0 × e
Kt =
K t = K 0 × (1 + r)t
Årlig rentepåtegning Rentepåtegning n ganger i året Kontinuerlige rentepåtegninger
Eksempel 3 000 kroner settes i banken med årlig rentepåtegning. Den årlige renten er 1.5 %. Hva har beløpet vokst til etter sju år? Formel (1) gir
K7 =
K 7 = 3 000 × (1 + 0.015)7 = 3 329.53
På kalkulatoren Alg:
3 000 ×
Chain: 3 000 ×
(1 + 0.015 (
)
(1 + 0.015
yx 7 = )
yx 7
)=
Svar: 3 329.53
23
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 23
29.09.15 10.12
ød pil) ( 4 × 10(Rød pil) ) (Rød pil) ) =
kapittel 5
Eksempel 5 000 kroner settes i bakken med fire rentepåtegninger i året. Den årlige renten er 2 %. Hva har beløpet vokst til etter ti år? Formel (2) gir
ene eps, om type m eps ! 4 ×10
K 7 = 5 000 1+
0.02 4
4 10
= 6 103.97
På kalkulatoren Alg:
5000 ×
Chain: 5000 ×
(1 + 0.02 ÷ 4 (1 +
(
(4 × 10
)
yx
(0.02 ÷ 4
(4 × 10 )
)
)= yx
)=
)
Svar: 6 103.97
Eksempel 12 000 kroner forrentes kontinuerlig med 3 % årlig rente. Hva har beløpet vokst til etter fem år? Formel (3) gir
42.01
K 7 = 12 000 × e0.03×5 = 13 942.01
På kalkulatoren x
e =
12 000 ×
(0.03 × 5
)
ex =
Svar: 13 942.01
24
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 24
29.09.15 10.12
renteregning
5.2 Konvertering mellom effektiv og nominell rente Sammenhengen mellom effektiv rente (reff ) og nominell rente (rnom ) med n rentepåtegninger i året er gitt ved formelen r reff = (1 + nom )n − 1 n Kalkulatoren har funksjoner for å regne ut dette.
Eksempel Hvilken effektiv rente vil tilsvare en nominell årlig rente på 8 % med tolv rentepåtegninger i året? 12 0.08 reff = 1+ 1 = 0.0830 = 8.30 % 12
NB! p forsv måtte pdf fr 8( og vi i illus
På kalkulatoren (nullstill display)
C
8
NOM%
12
P/YR
12 (
(sett nominell rente til 8 %) (sett antall rentepåtegninger per år til 12)
(Rø
(beregn den effektive renten)
EFF%
Svar: 8.30 (effektiv rente) Det er også mulig å regne ut den nominelle renten når den effektive renten er kjent etter formelen 1
rnom = ((reff + 1)n − 1) × n
25
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 25
29.09.15 10.12
kapittel 5
Eksempel Den effektive renten er 9.5 % når det er fire rentepåtegninger i året. Hva blir den nominelle renten?
På kalkulatoren (nullstill display)
C
FF%
9.5
P/YR
4
OM%
EFF% P/YR NOM%
(sett effektiv rente til 9.5 %) (sett antall rentepåtegninger per år til 4) (beregn den nominelle renten)
Svar: 9.18 (nominell rente)
26
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 26
29.09.15 10.12
kapittel 6
Annuiteter (TVM) TVM-funksjonene brukes til å analysere jevne kontantstrømmer, slik vi for eksempel har for annuitetslån eller oppsparing av et fast beløp hver periode. TVM-variablene er å finne på de fem tastene som er merket med N, I/YR, PV, PMT og FV. I tillegg har man TVM-variablene xP/YR, P/YR, Beg/End. Betydningen av variablene er følgende:
N
Antall perioder. Dersom man betaler eller sparer ett beløp hvert år, er N det samme som antall år. Ofte vil tilbakebetaling på lån skje månedsvis. Da er N antall måneder, slik at for et lån over 20 år med månedlig tilbakebetaling er N = 240.
I/YR
Årlig rentefot. Rentefoten legges inn som antall prosent. Det vil si at hvis den årlige renten er 4 %, settes I/Y = 4.
PV PMT FV P/YR
Nåverdi. For et lån er dette det samme som lånebeløpet. For opp sparing settes normalt PV = 0. Periodens faste beløp. For et lån er PMT det faste beløpet som tilbakebetales i hver periode. For en oppsparing er PMT periodens faste sparebeløp. Sluttverdi. For et lån settes normalt FV = 0 fordi lånet skal betales helt ned i løpet av låneperioden. For en oppsparing er FV det samlede oppsparte beløp. Antall betalinger eller innskudd per år.
Amortiseringsfunksjon. Denne benyttes til å beregne renter, avdrag og balanse for hver periode. Beg/End Forskuddsvis eller etterskuddsvis annuitet. Beg/End brukes til å angi om betaling skal skje i begynnelsen av perioden (Beg) eller i slutten av perioden (End). I utgangspunktet er denne innstilt på End. For et annuitetslån betyr det at første tilbakebetaling skjer ved utgangen av første periode, andre tilbakebetaling ved utgangen av andre periode og så videre. For å endre innstillingen trykker du: AMORT
Beg/End Hvis kalkulatoren står i Beg-modus, vil det stå BEG med små bokstaver nederst i diplayet, ellers er innstillingen satt til End.
27
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 27
29.09.15 10.12
kapittel 6
Tabellen nedenfor viser de tilsvarende symbolene slik de vanligvis brukes i lærebøker: Symbol på kalkulator
N
I/YR
PV
PMT
FV
Symbol i formel
n
r ⋅100
K0
K
An
For de fem funksjonene N, I/YR, PV, PMT og FV må du legge inn verdier på fire av dem for å kunne regne ut den siste. For å beregne den siste v erdien trykker du på symbolet for denne verdien. For å tømme minnet til TVM-variablene, trykker du C MEM 1
6.1
Sluttverdi av annuitet (oppsparingsannuitet)
For å beregne verdien av et fast sparebeløp rett etter siste innskudd bruker vi formelen (1 + r )n − 1 An = K × r
Eksempel på årlig sparing Du setter 2 000 kroner inn på en sparekonto hvert år i sju år. Renten på sparekontoen er 2.4 %. Du vil beregne verdien av det totale sparebeløpet rett etter det siste innskuddet. (1 + 0.024)7 − 1 A7 = 2 000 × = 15 049.30 0.024
28
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 28
29.09.15 10.12
annuiteter (tvm)
På kalkulatoren C MEM 1
(sett N, I/YR, PV, PMT og FV tilbake til standardverdiene)
NB! S kalku satt i tekst
Sett kalkulatoren til End og antall innbetalinger per år til en. Beg/End
1
P/YR
(til det ikke står BEG nederst i displayet) (P/YR = 1.00 (en innbetaling per år))
Legg inn resten av variablene og beregn sluttverdien. 7N
(N = 7.00 (antall perioder som her er antall år))
2.4 I/YR
(I/YR = 2.40 (årlig rente))
0 PV
(PV = 0.00 (nåverdi))
2 000 + − PMT (PMT = –2 000 (årlig tilbakebetaling)) FV
(beregn sluttverdien)
Svar: FV = 15 049.30 Legg merke til at vi benyttet + − til å legge inn sparebeløpet som –2 000, siden dette er noe man betaler. Sluttverdien er da positiv, siden det er noe man mottar. FV får alltid motsatt fortegn av PMT.
Eksempel på månedlig sparing Du setter 1 200 kroner inn på en sparekonto hver måned i fem år. Den årlige renten på sparekontoen er 1.8 %. Du vil beregne verdien av det totale sparebeløpet rett etter det siste innskuddet.
29
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 29
29.09.15 10.12
kapittel 6
På kalkulatoren C MEM 1
(sett N, I/YR, PV, PMT og FV tilbake til standard verdiene)
Sett kalkulatoren til End og antall innbetalinger per år til 12: Beg/End
12
P/YR
(til det ikke står BEG nederst i displayet) (P/YR = 12.00 (12 innbetaling per år))
Så bruker vi betalingsmultiplikatoren til å beregne antall måneder: 5
xP/YR N (N = 60 (antall perioder, som her er antall måneder))
Legg inn resten av variablene og beregn sluttverdien: 1.8 I/YR
(I/YR = 1.80 (årlig rente))
0 PV
(PV = 0.00 (nåverdi))
1 200 + − PMT (PMT = –1 200 (årlig tilbakebetaling)) FV
(beregn sluttverdien)
Svar: FV = 75 280.40 Periodens rente, altså månedens rente, blir regnet som 1.8% = 0.15% 12 Det er likevel vanlig å si at den nominelle årlige renten er 1.8 %, men at den effektive renten blir noe høyere2. I de to foregående eksemplene antok vi at innbetalingene skjedde i slutten av perioden (End). Andre ganger skjer innbetalingene i begynnelsen av perioden (Beg). I det neste eksempelet ser vi på verdien av fast årlig sparing ett år etter siste innskudd.
2 Effektiv rente = 1.001512 − 1 = 0.01815 = 1.815 %
30
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 30
29.09.15 10.12
annuiteter (tvm)
Formelen vi da bruker, er (1 + r )n − 1 An = K × (1 + r ) × r
Eksempel Du setter 3 500 kroner inn på en sparekonto hvert år. Den årlige renten er 2 %. Beregn verdien av det totale sparebeløpet ett år etter det 15. innskuddet. (1 + 0.02)15 − 1 An = 3 500 × (1 + 0.02) × = 61 737.50 0.02
På kalkulatoren C MEM 1
(sett N, I/YR, PV, PMT og FV tilbake til standard verdiene)
Sett kalkulatoren til Beg og antall innbetalinger per år til en. 1
Beg/End
(til det står BEG nederst i displayet)
P/YR
(P/YR = 1.00 (en innbetaling per år))
Legg inn resten av variablene og beregn sluttverdien: 15 N
(N = 15.00 (antall perioder som her er antall år))
2 I/YR
(I/YR = 2.00 (årlig rente))
0 PV
(P = 0.00 (nåverdi))
3 500 + − PMT (PMT = –3 500 (årlig tilbakebetaling)) FV
(beregn sluttverdien)
Svar: FV = 61 737.50
31
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 31
29.09.15 10.12
kapittel 6
6.2 Nåverdi av annuitet Nåverdien av kontantstrøm med like beløp beregnes etter formelen (1 + r )n − 1 K0 = K × (1 + r )n × r Forutsetning for denne formelen er at nåverdien beregnes ett år før første beløp betales eller mottas.
Eksempel Du vurderer å ta opp et lån og kan tilbakebetale 50 000 i året. Den årlige renten på lånet er 6 %. Hvor mye kan du låne hvis du skal betale tilbake lånet med faste årlige beløp hvert år i 20 år og første tilbakebetaling skal skje ett år etter låneopptak? (1 + 0.06)20 − 1 K 0 = 50 000 × = 573 496.06 (1 + 0.06)20 × 0.06
På kalkulatoren C MEM 1
(sett N, I/YR, PV, PMT og FV tilbake til standardverdiene)
Sett kalkulatoren til END og antall innbetalinger per år til en: Beg/End
1
P/YR
(til det ikke står BEG nederst i displayet) (P/YR = 1.00 (en innbetaling per år))
Legg inn resten av variablene og beregn nåverdien: 20 N
(N = 20.00 (antall perioder som her er antall år))
6 I/YR
(I/YR = 6.00 (årlig rente))
50 000 + − PMT (PMT = –5 000 (årlig tilbakebetaling)) 0 FV
(FV = 0.00 (sluttverdi))
PV
(beregn nåverdien)
Svar: PV = 573 496.06
32
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 32
29.09.15 10.12
annuiteter (tvm)
6.3 Amortisering Beregning av det faste beløpet du betaler på et annuitetslån, er gitt ved formelen (1 + r )n × r K = K0 × (1 + r )n − 1
Eksempel på årlig nedbetaling av lån Du låner 500 000 kroner til en årlig rente på 6 % som skal tilbake betales etter annuitetsprinsippet i løpet av 15 år. Betalingene skjer årlig, og første tilbakebetaling skjer ett år etter låneopptak. Du vil finne ut hvor mye du må betale hvert år. (1 + 0.06)15 × 0.06 K = 500 000 × = 51 481.38 (1 + 0.06)15 − 1
På kalkulatoren C MEM 1
(sett N, I/YR, PV, PMT og FV tilbake til standardverdiene)
Sett kalkulatoren til End og antall innbetalinger per år til en: Beg/End (til det ikke står BEG nederst i displayet)
1
P/YR (P/YR = 1.00 (en innbetaling per år))
Legg inn resten av variablene og beregn den årlige betalingen: 15 N
(N = 15.00 (antall perioder som her er antall år))
6 I/YR
(I/YR = 6.00 (årlig rente))
500 000 PV
(PV = 500 000.00 (nåverdi))
0 FV
(FV = 0.00 (sluttverdi))
PMT
(beregn den faste betalingen)
Svar: PMT = –51 481.38
33
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 33
29.09.15 10.12
kapittel 6
Eksempel på månedlig nedbetaling av lån Du låner 2 300 000 kroner til en årlig rente på 6 %, og lånet skal tilbakebetales etter annuitetsprinsippet i løpet av 25 år. Betalingene skjer månedlig, og første tilbakebetaling skjer en måned etter låneopptak. Du vil finne ut hvor mye du må betale hver måned. 0.06 12× 25 0.06 × ) 12 12 = 14 818.93 K = 2 300 000 × 0.06 12× 25 (1 + ) −1 12 (1 +
På kalkulatoren C MEM 1
(sett N, I/YR, PV, PMT og FV tilbake til standardverdiene)
Sett kalkulatoren til End og antall innbetalinger per år til tolv: Beg/End
12
P/YR
(til det ikke står BEG nederst i displayet) (P/YR = 12.00 (12 innbetaling per år)
Deretter bruker du betalingsmultiplikatoren til å beregne antall perioder og legger inn resten av verdiene for å regne ut den månedlige betalingen: 25
xP/Y N
(N = 300 (antall perioder, som her er antall måneder))
6 I/YR
(I/YR = 6.00 (årlig rente))
2 300 000 PV
(PV = 2 300 000.00 (nåverdi))
0 FV
(FV = 0.00 (sluttverdi))
PMT
(beregn den faste betalingen)
Svar: PMT = –14 818.93
34
105728 GRMAT Slik bruker du eksamenskalkulatoren HP 10bII+ 150201.indd 34
29.09.15 10.12