tilstandslikningen for idealgass kinetisk gassteori og statistisk mekanikk termodynamikkens 1. lov varmekraftmaskiner entropi varmeledning stråling fuktig luft negativ absolutt temperatur termodynamikk for universet
Boka gir en beskrivelse av de ulike temaene og har mange eksempler. Det er løsningsforslag til alle oppgavene i boka. Samtlige oppgaver og eksempler har overskrifter for at det skal være lett å finne frem til temaer leseren er interessert i. Boka inneholder også en liste med ordforklaringer og en formelsamling. Målgruppen er studenter ved ingeniørutdanninger og universitets-studier i fysikk på bachelornivå. Boka egner seg både som pensum og til selvstudium. Øyvind G. Grøn er norsk fysiker. Han er professor ved Høgskolen i Oslo og Akershus og professor II ved Universitetet i Oslo. Grøn studerte realfag ved Universitetet i Oslo, ble meteorolog og lektor i 1973 og forsvarte doktorgraden i fysikk ved Universitetet i Oslo i 1990 på en avhandling om frastøtende gravitasjon. Grøn mottok i 1988 H.M. Kongens gullmedalje og Illustrert Vitenskaps forskerpris. I 2004 fikk han Høgskolen i Oslos pris for forskning og utvikling og i 2010 Høgskolen i Oslos formidlingspris. Grøn ble medlem av Det Kongelige Norske Videnskabers Selskab i 2005 og æresmedlem av Norsk Astronomisk Selskap i 2010.
Termodynamikk for høgskole og universitet
• • • • • • • • • •
Øyvind G. Grøn GRØN
Denne grunnboka i termodynamikk gir leseren innsikt i hvordan væsker og gasser utvikler seg under ulike betingelser. Sentrale temaer som blir belyst, er:
ISBN 978-82-02-42052-9
www.cda.no
Omslag17x24.indd 1
22.01.15 11:46
Termodynamikkens betydning Termodynamikken dreier seg om å beskrive hvordan væsker og gasser utvikler seg under forskjellige betingelser. Man ser gjerne på avgrensede systemer med en bestemt mengde materie, for eksempel en gass avstengt i en sylinder med et bevegelig stempel. Slike systemer ble karakterisert ved dets temperatur, trykk og volum, eventuelt dets tetthet. Allerede for over 200 år siden var man klar over at en forståelse av hvordan disse størrelsene endres ved ulike prosesser, for eksempel ekspansjon ved konstant trykk, eller ved en varmeisolert, dvs. adiabatisk, utvidelse av en gass, hadde betydning for å kunne forstå virkemåten av motorer der kjemisk energi ble utnyttet til å få utført et arbeid. Etter hvert ble det også klart at man måtte forstå både de termodynamiske og hydrodynamiske prosessene i atmosfæren for å kunne etablere et solid teoretisk fundament for værvarslinga. For å kunne varsle for eksempel at i morgen er det utrygt for regnbyger utpå ettermiddagen, må man vite hvilke forhold i atmosfæren som frembringer regnbyger. I vår tid er temaet «energihus» aktuelt. Det dreier seg om å bygge hus med minst mulig varmetap samtidig som komforten skal være på topp. I denne sammenhengen kreves betydelig innsikt når det gjelder utveksling av varme med omgivelsene, hvordan man uten å bruke for mye energi skal unngå å få det for kaldt inne om vinteren og for varmt om sommeren. I sammenheng med kondens og fuktighetsskader er kunnskaper om fuktig luft sentrale. Dette er også et grunnleggende viktig tema i meteorologien. Videre kreves termodynamiske kunnskaper for å vite hva man snakker om i debatten om økt drivhuseffekt og global oppvarming. I denne sammenhengen har strålingsbalansen avgjørende betydning, så kunnskaper om den elektromagnetiske strålingens termodynamikk er viktige. En dypere forståelse av de makroskopiske termodynamiske relasjonene kommer fra kinetisk gassteori og statistisk mekanikk. For eksempel kan tilstandslikningen for idealgasser utledes fra den kinetiske gassteorien der en betrakter molekylenes bevegelser. Entropibegrepet og den termodynamiske tidspilen ble knyttet til fysiske systemers mikroskopiske tilstander av Ludvik Boltzmann som bidro til utviklingen av den statistiske mekanikken.
18
TERMODYNAMIKKENS BETYDNING
I denne boka har jeg også inkludert et par temaer som vanligvis ikke finnes i lærebøker i termodynamikk. I 2013 ble det rapportert om eksperimenter med systemer som har negativ absolutt temperatur. Den grunnleggende teorien for slike systemer ble konstruert i 1950årene, men er særlig blitt aktualisert ved de nye eksperimentene. Boka rundes av med et kapittel om termodynamikk for universet. Det viser seg at noen grunnleggende termodynamiske begreper er tilstrekkelig for å forstå sentrale trekk ved universets ekspansjon. For eksempel er varme definert som energioverføring på grunn av temperaturforskjell. Observasjoner tyder på at universet er ensartet i stor skala. Det vil si at hvis universet deles i terninger med sidekanter på omtrent en milliard lysår, så er alle terningene like. Det betyr at i stor skala er det ingen varmeoverføring fra et sted til et annet. Følgelig ekspanderer universet adiabatisk.
Idealgass
I dette kapitlet skal vi beskrive sammenhengen mellom trykk, temperatur og volum for en avstengt gassmengde, dvs. en gass der antall molekyler ikke endres selv om trykket, temperaturen og volumet endres. Gassens tilstand kan karakteriseres ved disse størrelsene, og tilstandslikningen for en gass beskriver sammenhengen mellom dem. Hvis en gass er i en tilstand der den er på nippet til å kondensere, begynner kreftene mellom molekylene samt molekylenes størrelse å få betydning for gassens tilstand, og de må inkluderes i tilstandslikningen. Hvis en gass er ganske tørr og langt fra en tilstand hvor den kondenserer, kan kreftene mellom molekylene og molekylenes eget volum neglisjeres i tilstandslikningen. En slik gass kalles en idealgass, og man snakker om tilstandslikningen for idealgass. For de fleste gasser, for eksempel luft, er dette en svært god idealisering.
22
KAPITTEL 1 IDEALGASS
1.1 Definisjoner og viktige ideer Et termodynamisk system er en bestemt mengde materie som kan avgrenses med en grenseflate. Alt utenfor grenseflaten kalles omgivelsene. Et termodynamisk system pluss dets omgivelser kalles universet. En termodynamisk tilstand spesifiseres ved å oppgi et sett av målbare egenskaper tilstrekkelig til å regne ut alle andre egenskaper for systemet. I termodynamikken betyr ordet spesifikk «per masseenhet». For eksempel er spesifikt volum v ¼ V=m,
ð1:1:1Þ
der V er volumet til massen m. (Det er vanlig å bruke små bokstaver om spesifikke størrelser.) Tetthet defineres som masse per volum, ¼ m=V
ð1:1:2Þ
med SI-enhet kg/m3 . Vi ser at v ¼ 1= :
ð1:1:3Þ
Vi kommer vanligvis til å betrakte gasser i likevekt: En likevektstilstand er en tilstand der egenskapene til et system har verdier som ikke forandrer seg.
1.2 Temperatur Temperatur oppfattes som et mål for bevegelsesenergien til molekylene i en gass. Det finnes mange temperaturskalaer. Den som brukes i dagliglivet i Norden, er celsiusskalaen der temperaturen angis i grader Celsius som betegnes med C. Celsiusskalaen har vannets kokepunkt og frysepunkt som faste punkter med temperaturer på henholdsvis 100 C og 0 C. Da denne skalaen ble innført, var ikke vår tids kunnskaper om atomer og molekyler utviklet enda. Nå er det vanlig å innføre en temperaturskala der null grader svarer til null bevegelsesenergi for stoffets molekyler. Dette er den laveste temperaturen i universet. Den svarer til at molekylene er i ro. Kelvinskalaen, også kalt den absolutte temperaturskalaen, er en slik temperaturskala. Den ble opprinnelig foreslått av Lord Kelvin i 1848. I denne skalaen kalles temperaturenheten Kelvin og betegnes med K. En temperaturdifferanse på 1 K svarer til samme temperaturforskjell som i celsiusskalaen. Det er altså 100 K mellom frysepunktet og
1.3 INDRE ENERGI I EN IDEALGASS
23
kokepunktet til vann. Men de to skalaene har forskjellig nullpunkt. Frysepunktet til vann svarer til 273,15 K, og det absolutte nullpunktet, som har 0 K, svarer til 273,14 C. Hvis temperaturen målt i celsiusgrader betegnes med t og temperaturen målt i den absolutte temperaturskalaen betegnes med T, kan sammenhengen mellom de to skalaene skrives (figur 1.1) T ¼ t þ 273,15 K:
ð1:2:1Þ
Et fysisk system sies å være i termisk likevekt dersom alle delene av systemet har samme temperatur. Figur 1.1 Sammenhengen mellom Celsius og Kelvin temperaturskalaene
273,15 K 0
100
200
300
400
500
600
Kelvin
K
Celsius
°C –200
–100
0
100
200
300
–273,15 °C
1.3 Indre energi i en idealgass Den indre energien i en idealgass er det samme som molekylenes bevegelsesenergi. I en fleratomig gass, dvs. en gass der hvert molekyl består av flere atomer, kan molekylene og atomene ha flere typer bevegelse, for eksempel en translatorisk bevegelse av molekylet som helhet, en rotasjonsenergi eller en vibrasjonsenergi. Vi skal først se på enatomig idealgass der den indre energien utgjøres av molekylenes translatoriske bevegelsesenergi. Vi definerer nå den absolutte temperaturen, T, ved at den gjennomsnittlige bevegelsesenergien per molekyl i en enatomig idealgass settes lik ð3=2ÞkT, der k ¼ 1,38 10 23 J=K er Boltzmanns konstant. Dette gir 1^ 2 3 m v ¼ kT, 2 2
ð1:3:1Þ
^ er massen av et molekyl, v er gjennomsnittsfarten (absoluttverdi) der m til molekylene, og T er gassens temperatur målt i Kelvin. Anta at gassen består av N enatomige molekyler. Da er den indre energien til gassen 1 ^ 2 3 v ¼ NkT: U ¼ N m 2 2
ð1:3:2Þ
24
KAPITTEL 1 IDEALGASS
Denne likningen viser at den absolutte temperaturen, dvs. temperaturen målt i Kelvin, er et mål for den indre energien i en gass (figur 1.2). Den britiske fysikeren William Thomson, adlet til Baron Kelvin, innførte i 1848 den absolutte temperaturen. Det ble senere vist at den er relatert til molekylenes bevegelsesenergi ved likning (1.3.1). Vi har her valgt å bruke denne relasjonen som en definisjon av T. Uttrykket for bevegelsesenergien per molekyl i likning (1.3.1) gjelder bare for enatomige gasser. I toatomige gasser består hvert molekyl av to atomer. Et eksempel på en toatomig gass er oksygen. Da vil også rotasjonsenergi, dvs. at atomene i et molekyl roterer om molekylets massesenter, og vibrasjonsenergi, bidra til gassens indre energi. En gass med N mol toatomige molekyler har indre energi U ¼ 5 NkT: 2
ð1:3:3Þ
Størrelsen Nk kalles gassens gasskonstant, og Boltzmanns konstant, k, er gasskonstanten per molekyl. Et mol partikler er NA ¼ 6,023 1023 partikler. Antall partikler i et mol NA kalles Avogadros konstant. R ¼ NA k ¼ 8,31 J=mol K er gasskonstanten for et mol gassmolekyler og kalles den molare gasskonstanten. Det er en universell konstant som har samme verdi for alle typer gasser. Den indre energien til n mol av henholdsvis enatomige og toatomige molekyler er 3 U ¼ nRT 2
og
5 U ¼ nRT: 2
ð1:3:4Þ
Den indre energien til en gass er en såkalt tilstandsfunksjon, dvs. den avhenger bare av gassens tilstand. Dersom gassen føres fra en tilstand 1 med temperatur T1 til en tilstand 2 med temperatur T2 , så avhenger endringen i gassens indre energi bare av temperaturene T1 og T2 , ikke av hva slags prosesser som har ført gassen fra tilstand 1 til 2. Figur 1.2 Gass med lav og høy temperatur
Lav temperatur
Høy temperatur
Illustrasjon av gass med lav temperatur (til venstre) og høy temperatur (til høyre).