Tenk det!: Utdrag

Lisbet Karlsen

Tenk det!

Utforsking, forståelse og samarbeid – elever som tenker sjæl i matematikk

2. utgave

Forord

Innholdet i denne boka har blitt til over flere år. Det startet i 2002 da jeg ble ansatt ved Høgskolen i Vestfold og invitert inn i utviklingen av et realfagssenter som først ble til Høgskolen i Vestfolds Besøkssenter i matematikk, og som vi i mange år kalte Matematikkverkstedet ved Høgskolen i Vestfold. Jeg vil takke Erik Eliassen som trakk meg med i dette arbeidet, og som trodde på mine ideer. I dag lever tankene fra senteret videre, selv om det ikke finnes et fysisk verksted. I denne reviderte boka er det også med noen opplegg fra nyere tid, opplegg som er blitt til gjennom forfatterens observasjoner av undervisning på barnetrinnet (se kapitlene 4 og 5). Dette er undervisning der lærerne bruker vertikale tavler. Alle oppleggene i boka er diskutert med lærere i skolen.

Besøkssenteret i matematikk var et sted for å diskutere hva god matematikkundervisning er, et sted for å utvikle og prøve ut opplegg med vekt på utforsking og matematiske samtaler og et sted for samarbeid mellom høgskolens matematikklærere, lærere fra praksisfeltet og studenter. Jeg vil takke alle de som har deltatt, for et spennende og utviklende samarbeid. Det er gjennom alle diskusjonene i forkant, observasjonene ved gjennomføring og refleksjonene i etterkant at oppleggene i boka har blitt til. De blir aldri ferdige, men er i konstant endring.

I en periode ble to lærere fra hver sin kommune ansatt ved høgskolen for å delta i prosjektet ved Besøkssenteret. Oppleggene vi da laget, ble laget på bestilling fra skoler i de to kommunene. Jeg vil takke Rosemarie Bjerkøy og Birgitte Skonnord for mange gode og viktige innspill. De bidro også til å sette fokus på en matematikkundervisning med vekt på utforsking, kommunikasjon og samarbeid i sine kommuner. I tillegg bidro de til at lærerne fra høgskolen fikk en tettere kontakt med praksisfeltet.

Etter at arbeidet med boka kom i gang, fikk jeg behov for å teste ut om det var greit for lærere å omsette min tekst til praktisk arbeid i eget klasserom. Jeg vil takke lærerne som lot meg overvære undervisning på bakgrunn av oppleggene i boka. Spesielt vil jeg takke Renate Simonsen og Henrikke Gjerstad som testet ut flere opplegg, og ga verdifulle tilbakemeldinger.

Jeg vil også gjerne takke Anne Line Wittek ved Høgskolen i Vestfold for god veiledning og mye oppmuntring i arbeidet med boka. Flere av matematikkollegene mine har dessuten lest deler av boka og gitt konstruktive tilbakemeldinger. Det gjelder både Signe Knudtzon, Elise Klaveness og Per Vinje-Christensen. Takk til dem også.

Oppleggene fra barnetrinnet har kommet med etter observasjon av undervisning hos Astrid Erdal ved Reier skole og Øystein Spernes ved Kurland skole. Takk for at dere åpnet klasserommet og var villige til å diskutere opplegg med meg. Takk også til Inger Lise Risøy ved Krokstad skole og tre av hennes kolleger som lot meg observere problemløsing på de tre laveste trinnene og diskutere matematikkundervisning på disse trinnene.

Jeg må dessuten takke elevene til Renate, Astrid, Øystein og Inger Lise som lot meg ta bilder av deres arbeid.

I tillegg til de nye kapitlene fra barnetrinnet har denne reviderte utgaven henvisninger til den nyeste læreplanen (Utdanningsdirektoratet, 2020). Jeg har dessuten tatt med flere eksempler på de ulike oppgavetypene i kapittel 3, også fra barnetrinnet.

DEL 1

Tenke sjæl

hva, hvordan og hvorfor

«Dette var kult! Nå skal jeg rett hjem å laste ned, altså. Det er gratis! Det ble jo så lett å forstå funksjoner!» Kommentaren stammer fra en gutt på tiende trinn på besøk i Høgskolen i Vestfolds Besøkssenter i matematikk (se beskrivelse av senteret lenger ned). Ei gruppe lærerskolestudenter hadde laget et opplegg om funksjoner med veiledning fra faglæreren sin. De hadde lagt opp til seks ulike stasjoner. Gutten i eksempelet kom fra en stasjon der elevene brukte GeoGebra til å utforske lineære funksjoner. De diskuterte ivrig hvordan de skulle velge funksjonsuttrykk slik at de fikk parallelle grafer. De viste tydelig at de var fornøyde fordi de plutselig forsto hva som skulle til. Det ble en fin faglig klassesamtale om både stigningstall og konstantledd i en lineær funksjon etterpå (se kapittel 11 om funksjoner).

Kort om boka

Hvordan kan vi engasjere elever til å utforske matematiske sammenhenger slik at de forstår matematikken, og slik at de lærer? Hvordan kan vi lage undervisningsopplegg med vekt på elevaktivitet, der prosessen fram til innsikt er viktig, i stedet for at elevene får presentert regler og sammenhenger av læreren uten å måtte tenke på hvorfor en regel fungerer? Hvordan kan vi sikre refleksjon og stadfesting av regler og sammenhenger? Hvordan kan

Diskusjon ved ei digital tavle om stigningstall og konstantledd i lineære funksjoner

vi få elevene til å tenke? Og hvorfor er alt dette så viktig? Denne boka er skrevet for å gi noen svar på disse og andre spørsmål knyttet til undervisning og læring av matematikk i grunnskolen. Da jeg startet som lærer på ungdomstrinnet, slo det meg hvor mange sterke følelser det var knyttet til matematikkfaget. Noen elsket faget. Noen hadde bestemt seg for at dette var et fag de aldri ville få til. Andre hatet faget. Atter andre syntes det var det kjedeligste faget i verden. Når vi vet hvor mye status som er knyttet til å mestre matematikken, er det grunn til å se etter måter å inspirere elevene på, slik at flere elever kan få tro på at de kan forstå faget. Det er dessuten morsommere for både lærere og elever å jobbe med mer utforskende opplegg, der elevene sammen med læreren kan diskutere og finne ut av sammenhenger og regler. Det er fantastisk å oppleve elever som plutselig forstår noe de har strevd med en stund! Det er utrolig når du ser elever som tenker sjæl, ikke bare kopierer læreren.

Som lærerutdanner, som kursholder for lærere og i samarbeidsprosjekter med både studenter og matematikklærere har behovet for ei bok som denne blitt tydelig for meg. Det har vært et ønske om avklaring av en del viktige begreper, og det har vært et ønske om noen eksempelopplegg. Mange syns det er vanskelig å finne de rette oppgavene for å få elevene til å tenke sjæl. Denne boka kan brukes som pensum for lærerskolestudenter, og den kan brukes av lærere som ønsker å undervise matematikk med vekt på mer elevaktivitet, på en mer spørrende måte, og med vekt på problemløsing. Grunnskolelærerutdanningene har i dag stort fokus på profesjon. Denne boka vil være et bidrag for studentene til å se sammenhengen mellom teori og praksis.

Boka er delt i to deler:

Del 1 gir forklaring på en del viktige begreper knyttet til en utforskende matematikkundervisning, en undervisning med vekt på inquiry, en undervisning som kan få elevene til å tenke sjæl. Det gis også en begrunnelse for at det er viktig å jobbe slik.

Del 2 består av åtte undervisningsopplegg. De er ment som inspirasjon for å komme i gang med en mer spørrende holdning i matematikkundervisningen, en undervisning som inviterer elever til å tenke sjæl.

De fleste oppleggene har blitt til gjennom flere år. De er laget i samarbeid mellom lærere i grunnskolen og

matematikkdidaktikere fra Høgskolen i Vestfold. Noen av oppleggene har også blitt laget i samarbeid med studenter ved lærerutdanningene. Arbeidet har vært knyttet til et matematikkverksted som vi kalte Høgskolen i Vestfolds Besøkssenter i

matematikk. Verkstedet lever ikke lenger, men arbeidsmåtene og tankegodset lever videre ved lærerutdanningen ved Vestfolds avdeling av Universitetet i Sørøst-Norge. Senteret, eller verkstedet, ble etablert med et ønske om å skape et sted der vi kunne undersøke og utvikle god matematikkundervisning gjennom diskusjon, praktisk gjennomføring med elever og refleksjon. Matematikkseksjonen ved høgskolen ble i 2002 utfordret til å være med på å utvikle et realfagssenter der elever kunne komme til høgskolen, og der lærere fra høgskole og grunnskole kunne diskutere realfag. Dette ble etter hvert til et rent matematikkprosjekt. Matematikkverkstedet ble en viktig arena for studenter for å knytte teori og praksis tettere sammen under veiledning av både høgskolens lærere og praksislærere. I en periode ble to lærere fra hver sin kommune frikjøpt i en liten prosent stilling til å delta i prosjektet. Sammen med matematikklærere fra høgskolens lærerutdanning, og delvis med studenter, utviklet vi opplegg som vi reiste rundt med og gjennomførte i disse kommunenes skoler. Oppleggene fra dette arbeidet er prøvd ut med elever. De fleste av dem er brukt flere ganger og dermed også revidert flere ganger. Målet med revisjonene har vært at oppleggene skulle passe for flere elever, helst alle i klassen, at flere elever skulle få lyst til å engasjere seg, og at flere skulle få utbytte av å delta. Målet er hele tiden å få elevene til å tenke sjæl.

Elever i arbeid med å finne det gylne snitt på egen kropp

Samarbeidet som har ført til utvikling av disse oppleggene, har vært preget av en spørrende holdning, et ønske om å undersøke og diskutere ulike muligheter innenfor et gitt tema. Denne holdningen har ført til spørsmål som: Hvilke oppgaver vil være gode for å engasjere elevene på dette trinnet? Kan vi finne en oppgave som på en bedre måte fører til innsikt i det aktuelle temaet? Vil denne oppgaven kunne løses av alle? Har den likevel nok muligheter til å gi utfordringer også til de som kan mye fra før? Finnes det et utforskingsmateriell som passer her? Gir oppgaven rom for ulike løsninger og bruk av ulike representasjoner? Gruppa som står bak oppleggene, har hatt ulike utgangspunkt for samarbeidet: lærerne fra grunnskolen med sin erfaring fra flere år med undervisning, lærerutdannerne fra høgskolen med sine studier av forsking og studentene med sine ganske ferske erfaringer som elever. Dette har ført til diskusjoner og refleksjoner som har fortsatt etter gjennomføring av oppleggene med elevene. Hvordan gikk dette? Hva fungerte bra? Hvorfor fungerte enkelte deler ikke slik vi hadde tenkt? Hva kan vi gjøre bedre neste gang? Som en av de deltakende lærerne fra en barneskole sa: «Det er disse diskusjonene vi hele tiden har hatt underveis i verkstedarbeidet, den undrende og undersøkende holdningen i dem, som har utviklet meg som lærer.» Arbeidet med å utvikle opplegg med vekt på utforsking har dermed i seg selv vært utforskende. Inspirasjon til modellen for utvikling av opplegg er hentet fra den japanske modellen «Lesson study», som også brukes til utviklingsarbeid i Norge (Fernandez & Yoshida, 2004; Lewis & Hurd, 2011; Munthe et al., 2015; Stigler & Hiebert, 1999). Denne formen for utviklingsarbeid bygger på at endring tar tid. Lærere grupperes på tvers av skoler, men på samme trinn, og samarbeider om å utvikle nye opplegg over lang tid. De bruker kanskje et halvt år på å lage et undervisningsopplegg. De bruker tid på å diskutere hvilket problem som kan passe for ei gruppe elever, hvilket materiell de kan bruke, hvilke spørsmål som kan være lure å stille, osv. Så observeres en i gruppa mens opplegget prøves ut, før det revideres og trykkes for bruk av andre. Samarbeidet, diskusjonene og refleksjonene rundt utvikling og gjennomføring av opplegg har vi tatt med i vårt arbeid.

De nyeste oppleggene i boka har blitt til gjennom observasjon av undervisning. De er tatt med for å vise metoder som er særlig egnet for å få elevene til å tenke sjæl (se kapittel 4 og 5). Oppleggene viser bruk av vertikale tavler (Liljedahl, 2023) og bruk av Matematikk i tre akter (Wallace & Jensen, 2017). De har blitt til ved at forfatteren har observert undervisning, diskutert opplegget med læreren i etterkant og til slutt diskutert med andre lærere om hvordan de kunne bruke oppleggene i egne klasser.

Målet med oppleggene i del 2 er at elevene skal forstå matematikken, ikke bare lære oppskriftene. En kortsiktig konsekvens av å forstå bedre er at elevene kan gjøre det bedre til eksamen og på nasjonale prøver. En langsiktig konsekvens er at mange elever kan ta skolematematikken med seg videre i livet. Filosofien er at læring oppnås best ved å bygge på forståelse gjennom motivasjon og inspirasjon til å undersøke og til å tenke sjæl. Oppgavene er nøye planlagt med målsettingen om å møte alle elever i en sammenholdt klasse, ved å velge oppgaver som lar seg utvide og forenkle, og oppgaver der man kan samarbeide om å finne en løsning. Tilpasset opplæring i matematikk har ofte vært tilrettelagt ved nivådeling og egne grupper for de som sliter mest, eller for de som viser spesielt gode evner. Ved siden av at det for mange er stigmatiserende, har mange av tiltakene gitt lite i form av bedre karakterer (Lunde, 1997). Ved å velge det vi kaller rike oppgaver, eller LIST-oppgaver (se kapittel 3), ønsker jeg her å vise en annen mulighet for tilpasning.

Jeg har ikke lagt vekt på å lage ei bok som dekker alle ønskelige opplegg. Mine valg av opplegg er styrt av prosjektene vi har gjennomført i Høgskolen i Vestfolds Besøkssenter, eller Matematikkverkstedet, og av den undervisningen forfatteren har observert. Målet er at boka kan brukes som inspirasjon til arbeidet med å lage egne opplegg i andre temaer. Studerer man nåværende læreplan (Utdanningsdirektoratet, 2020), vil man likevel

Elever i aksjon med å teste hypoteser

se at alle kjerneelementene derfra er nevnt i boka, og at de fleste matematikkemnene er med.

I teoridelen forklarer jeg først hva jeg legger i elevaktivitet, undring og utforsking, hva det vil si at elevene skal tenke sjæl. Jeg ser også på hvordan man kan jobbe for å få elever til å forstå matematikken. Videre presenterer jeg aktuelle begreper knyttet til en spørrende holdning til matematikkundervisning. Jeg presenterer også begreper knyttet til oppgavetyper som er aktuelle når vi ønsker elever som utforsker. I den praktiske delen presenteres åtte opplegg i temaene de fire regningsartene, brøkforståelse, algebraisk tenkning og figurtall, variabelbegrepet, måling, geometri om sammenhengen mellom lengde, areal og volum, det gylne snitt og funksjoner.

Oppleggene kan ikke gjennomføres uten en viss tilpasning. De som ønsker å bruke oppleggene, må gjøre dem til sine egne og foreta nødvendige endringer slik at de passer til de aktuelle elevene. Lærere og studenter som har brukt oppleggene slik, beskriver at jobben med å sette seg inn i hva, hvorfor og hvordan har gitt dem nye innspill og ideer til egne opplegg seinere. Det er også målet mitt – å inspirere lærere og studenter slik at de selv kan lage liknende opplegg.