5.1 Lineære modeller En av de oppgavene vi trenger matematikk til, er å finne sammenhenger mellom forskjellige størrelser i naturfag, teknikk og samfunnsfag. Slike sammenhenger kaller vi matematiske modeller. Noen ganger gir modellene et helt riktig bilde av situasjonen. Andre matematiske modeller gir bare en grov oversikt over situasjonen. Når sammenhengen mellom to størrelser x og y er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi lineær vekst. Det fins da to tall (konstanter) a og b slik at y = ax + b. Disse konstantene a og b kan vi finne både uten og med digitalt hjelpemiddel. Når vi finner en slik sammenheng y = ax + b mellom to størrelser x og y, sier vi at vi bruker en lineær matematisk modell.
EKSEMPEL I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall x (år) y (millioner)
1900 0 2,22
1920 20 2,62
1940 40 2,96
1960 60 3,57
1980 80 4,08
2000 100 4,48
2010 110 4,86
a) Sett av punktene (x, y) i et koordinatsystem og vurder om vi kan bruke en lineær modell. b) Finn et uttrykk y = ax + b som omtrent gir folketallet i millioner x år etter 1900. c) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave b. d) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? e) Hva blir folketallet i 2050 med denne modellen? Løsning:
a) Vi merker av punktene i et koordinatsystem og trekker ei linje gjennom det første og det siste punktet. Punktene ligger omtrent på linje, og vi kan bruke en lineær modell.
144
Sinus S1 > Matematiske modeller
y 7 6 5 4 3 2 1
x 0
20
40
60
80
100
120