Sinus S1 (2021) (utdrag) by Cappelen Damm

Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Sinus S MATEMATIKK

STUDIESPESIALISERENDE PROGRAMFAG VG2 BOKMÅL

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2020. Læreboka Sinus S1 er skrevet for programfaget S1 i de studieforberedende utdanningsprogrammene. I boka blir elevene godt kjent med matematisk tankegang og bruk av matematikk innen økonomi og samfunnsfag. De får god trening i å løse oppgaver uten og med bruk av digitale hjelpemidler. Elevene lærer å bruke både CAS-delen og den grafiske delen av programmet GeoGebra. De får også opplæring i å bruke programmeringsspråket Python. Boka legger spesielt vekt på utforskende matematikk. Når elevene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der elevene skal finne ut egenskaper og regler innen temaet på egen hånd før det er behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å ha gjort de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres enkeltvis. I teoridelen er det en del diskusjonsoppgaver der elever får trening i å kommunisere matematikk. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Der finner vi også en større prosjektoppgave. I disse prosjektoppgavene får elevene bruke stoffet i kapitlet innen økonomi og samfunnsfag. Alle kapitlene blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon av kapitlet. I boka er det i tillegg en oppgavedel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen heter «Øv mer». Her er oppgavene ordnet etter delkapitlene i teoridelen. Den andre delen heter «Blandede oppgaver». Her er det oppgaver som skal løses både uten og med digitale hjelpemidler. Noen ganger står det i oppgaven om elevene skal bruke hjelpemidler eller ikke. I andre oppgaver står eleven fritt til å velge metode. I denne delen er det lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven kan løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter en oppgave, så kan alle oppgavene foran dette merket regnes når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Den tredje delen heter «Åpne oppgaver». Her er det åpne og utforskende oppgaver som kan være mer krevende enn dem i «Blandede oppgaver». Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ukjente ord og uttrykk. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Robin Bjørnetun Jacobsen

Innhold 1

Grunnlaget

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Kvadratsetningene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heltallsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nullpunktsfaktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineære ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 10 14 17 20 23 28 30 36 42 43

Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematiske symboler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser med rasjonale eksponenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiell vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Briggske logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Praktisk bruk av eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Kurvetilpassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 45 52 54 57 61 64 69 73 77 78 80

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Grenseverdier og derivasjon

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Diskontinuerlige funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenseverdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuerlige funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjoner med delt funksjonsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenseverdier der teller og nevner blir 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfart som grenseverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Trinnskatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Krumning og vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.1 4.2

..................................................................

...........................................

82 83 90 94 97 104 108 111 115 123 128 130 132

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Størst og minst verdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Størst og minst vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kostnad, inntekt og overskudd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensfunksjoner og rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enhetskostnad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Etterspørselselastisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eksponentialfunksjoner

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiell vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pris og etterspørsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ønsket etterspørsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Brutto nasjonalprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Sannsynlighet

151 155 157 164 168 172 174 176

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

180 186 190 193 201 205 209 210 212

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Binomialkoeffisienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjonsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uordnet utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sannsynlighet og simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sannsynlighetsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produkt av sannsynligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stokastiske variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomiske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypergeometriske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215 221 228 231 236 243 253 259 266 272 274 276

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Grunnlaget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Grenseverdier og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278 279 288 307 328 354 370

Fasit – teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 Fasit – oppgavedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

GRUNNLAGET

UTFORSK KVADRATSETNINGENE STEG 1

Ved hjelp av to positive tall a og b lager vi to kvadrater. Det ene har sidekant a og det andre sidekant a b som vist på denne figuren:

a+b a a

b a+b

Bruk figuren til å forklare at

a b 2 a2 2ab b2 STEG 2

La nå a og b være to positive tall der b a. Da kan vi lage denne figuren:

a a–b a–b

b a

a) Forklar at det grønne og grå området til sammen har arealet 2ab b2 b) Vis at det gir 2

a2 a b 2ab b2 c) Vis at det gir

a b 2 a2 2ab b2 7

STEG 3

La a og b være to positive tall der b a. Da kan vi lage figuren til venstre nedenfor.

b b a a–b

a–b

a+b

a) På figuren til venstre har vi delt det grå området i to deler. Forklar hvorfor vi kan sette sammen de to delene til rektangelet til høyre ovenfor. b) Bruk dette til å forklare at

a b a b a2 b2

1.1 Kvadratsetningene I Utforsk kvadratsetningene beviste dere sikkert disse tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetningen:

a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b a b a2 b2

I de geometriske bevisene måtte vi forutsette blant annet at a og b var positive tall. Nå beviser vi reglene ved regning. Da ser vi at kvadratsetningene gjelder for alle tall a og b.

a b a b a b

a 2 a b b a b2

a 2 a b a b b2

a 2 2 a b b2

a b a b a b

a2 a b b a b

a 2 a b a b b2

a 2 2 a b b2 a b a b a2 a b b a b b a2 a b a b b2 a 2 b2 Konjugatsetningen kaller vi også for tredje kvadratsetning.

1 | GRUNNL AGE T

EKSEMPEL

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 2 b) x 3

a) a 2

d) 2t 1 2t 1

LØ S N I N G

e) x 2 x 2

c) x 1 x 1

a 2 a 2 2 a 2 2 2 a 2 4a 4 2 x 3 x 2 2 x 3 32 x 2 6x 9 x 1 x 1 x 2 12 x 2 1 2 2t 1 2t 1 2t 12 4t 2 1

f) 2 x 3 2 x 3

a) b) c) d)

x 2 x 2

Legg merke til at 2t

x2 2

Husk at

2x 3 2x 3

2 2 2x 2 2x 3 32 2x 2 2x 3 32

2t 2t 4t 2. 2 2 2.

4 x 2 12 x 9 4 x 2 12 x 9

4 x 12 x 9 4 x 12 x 9 24 x 2

Vi kan få fram de riktige svarene ovenfor uten å bruke kvadratsetningene. Men det som er viktig her, er å trene på kvadratsetningene. Det blir veldig viktig å kunne bruke alle kvadratsetningene, for snart skal vi bruke dem til å faktorisere andregradsuttrykk.

OPPGAVE 1.10

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 2 b) x 1

a) x 5

d) a 3 a 3

c) t 3

e) x 4 x 4

OPPGAVE 1.11

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 1· § a) t 3 t 3 b) ¨ x ¸ 2¹ ©

d) 3x 2

e) 5x 1

c) 2 x 5 2 x 5

OPPGAVE 1.12

Bruk kvadratsetningene om mulig når du regner ut og trekker sammen. 2 2 2 a) x 1 x 1 x 1

b) x 3 x 3

c) 2 x 3 4 x 2 x 3

d) 2 t 4 t 4 3 t 4

1.1 KVADRATSE TNINGENE

DISKUTER

Vi kan bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. Det gir en metode som vi med litt øving kan bruke til hoderegning. 21 19 20 1 20 1 202 12 400 1 399 212 20 1 2 202 2 20 1 12 400 40 1 441 a) Regn ut dette på tilsvarende måte. 1) 32 28 2) 95 105 3) 522 b) Lag egne oppgaver og be medelever regne oppgavene i hodet.

OPPGAVE 1.13

a) Vis ved regning at

a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 b) Gjør som i Utforsk kvadratsetningene og lag en figur som du kan bruke til å vise regelen i oppgave a. Hvilken type figur må det være? OPPGAVE 1.14

a) Vis ved regning at

a b 4 a3 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 b) Hvorfor kan vi ikke lage en geometrisk figur som viser dette?

1.2 Faktorisering Tallene 15 og 28 kan vi skrive på denne måten: 15 3 5 28 2 2 7 Vi sier at tallene er faktorisert. Det vil si at tallene er skrevet som et produkt av to eller flere faktorer. Tallet 15 har dermed faktorene 3 og 5. Nå skal vi faktorisere algebraiske uttrykk på tilsvarende måte. Uttrykket 4x 12 har to ledd, 4x og 12. Ledd er uttrykk eller et tall med eller mellom. Hvis vi skriver 4x 12 4 x 4 3, er ikke uttrykket 4x 12 faktorisert. Det er bare leddene 4x og 12 som er faktorisert. Men ettersom leddene har en felles faktor 4, kan vi trekke 4 utenfor en parentes. 4 x 12 4 x 4 3 4 x 3

1 | GRUNNL AGE T

3.9 Derivasjon av polynomfunksjoner

OPPGAVE 3.90

Løs oppgaven geometrisk og ved hjelp av definisjonen av den deriverte. Vis at a) f (x ) 3x 2 f c(x ) 3 b) f (x ) ax b f c(x ) a c) f (x ) c f c(x ) 0 I oppgave 3.90 beviste du at c c 0, og at ax b c a. I Utforsk den deriverte n 1 av x n kom du sikkert fram til at x n c n x for alle naturlige tall n. For alle

konstanter a, b, og c har vi disse reglene:

c c

ax b c

x c n

n x

n 1

Når vi skal derivere en sum av to funksjoner, kan vi derivere hvert ledd for seg og deretter summere. Den deriverte av et tall gange en funksjon, er tallet gange den deriverte av funksjonen. Dette kan vi uttrykke slik:

u(x ) v(x ) c uc(x ) vc(x ) k u(x ) c k uc(x ) Disse reglene gjelder for alle deriverbare funksjoner u og v og for alle konstanter k. Vi beviser dem på slutten av dette delkapitlet. Ved hjelp av reglene kan vi derivere alle polynomfunksjoner. EKSEMPEL

Finn f c(x) når a) f (x) 3x 2 b) f (x) 2x 3 c) f (x) 3x 2 2x 3 d) f (x) x 3 2x 2 4x 5

LØ S N I N G

f c(x )

f c(x ) 2 x 3 c 2 3x 2

f c(x ) 3 2 x 2 0 6 x 2

f c(x )

3x 2 c

3 0 3 6x 2

2 x 2 4 x 5 c 3x 2 2 2 x 4 0 3x 2 4 x 4

3.9 DERIVASJON AV POLYNOMFUNKSJONER

123

OPPGAVE 3.91

Deriver funksjonene. a) f (x ) 2 x 1 b) f (x ) x 5 2 3 3 2 c) f (x ) x x 7 3 2 OPPGAVE 3.92

Deriver funksjonene. a) f (x) x 2 3x 6 b) g(x) 4x 3 5x 2 2x 1 c) s(t) t 4 4t 2 2t 3 Ved hjelp av derivasjonsreglene kan vi finne vekstfart og tangentlikninger for alle polynomfunksjoner uten hjelpemiddel. EKSEMPEL

Vi har gitt funksjonen f (x) x 2 4x 1 a) b) c) d)

LØ S N I N G

Finn f c(x). Finn vekstfarten når x 1. Finn likningen for tangenten i punktet 1, f (1) . Tegn grafen og tangenten. f (x ) x 2 4 x 1 f c(x ) 2 x 4

b) Vekstfarten når x 1 er f c(1) 2 1 4 2 c) Stigningstallet til tangenten er a

f c(1) 2

Tangenten må da ha en likning y 2x b. Tangenten går gjennom tangeringspunktet 1, f (1) . Når x 1, er y

124

f (1) 12 4 1 1 4

3 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON

Innsatt i likningen y 2x b gir dette 4 2 1 b b 4 2 2 Likningen er y 2x 2 d) Nå tegner vi grafen og tangenten: y 7

y = 2x + 2

6 5 4

3 2 1 –2 –1

–1

x 1

–2 –3

OPPGAVE 3.93

Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 3x 2 a) b) c) d)

Finn f c(x). Finn vekstfarten for x 3. Finn likningen for tangenten i 3, f (3) . Tegn grafen og tangenten.

OPPGAVE 3.94

Funksjonen f er gitt ved f (x )

1 3 5 x x2 x 3 3

Finn f c(x). Finn vekstfarten for x 1. Finn likningen for tangenten i punktet 1, f (1) . Grafen har en tangent som er parallell med tangenten i oppgave c. Finn likningen for denne tangenten. e) Tegn grafen og de to tangentene.

a) b) c) d)

3.9 DERIVASJON AV POLYNOMFUNKSJONER

125

EKSEMPEL

Høyden av et tre i centimeter t år etter at frøet spirte, er gitt ved 1 h(t ) t 3 2t 2 , t [0, 40] 30 Finn høyden og vekstfarten til treet etter 10 år både uten og med hjelpemiddel.

LØ S N I N G

Uten hjelpemiddel: Høyden etter 10 år er 1 h(10) 103 2 102 167 30 Treet er 167 cm høyt etter 10 år. Den deriverte er 1 hc(t ) 3t 2 2 2t 30

1 2 t 4t 10

Dermed er 1 102 4 10 10 40 30 10 Vekstfarten er 30 cm per år etter 10 år. hc(10)

Med hjelpemiddel: Vi går fram på denne måten i CAS:

Etter 10 år er høyden 167 cm og vekstfarten 30 cm per år.

OPPGAVE 3.95

Verdien av det norske oljefondet i milliarder kroner er omtrent gitt ved f (x) 25 x 2 der x er antallet år etter 2000. a) Finn verdien i 2010. b) Finn den momentane vekstfarten når x 10. Hvordan vil du si med ord hva du nå har funnet?

126

3 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON

OPPGAVE 3.96

Folketallet i en kommune om x år er ifølge beregninger gitt ved B(x) 6x 2 120x 2400, x [0, 15] a) Finn folketallet i dag, om 5 år og om 10 år. b) Finn vekstfarten for folketallet i dag, om 5 år og om 10 år. Når tror du folketallet er på sitt høyeste ut fra denne modellen? BEVIS

Bevis for at u(x ) v(x ) c uc(x ) vc(x ), og at k u(x ) c

k uc(x ).

Først setter vi f(x) u(x) v(x), der u og v er deriverbare funksjoner. Så bruker vi definisjonen av f c(x) og grenseverdisetningene fra kapittel 3.1. f c(x )

lim

'x o 0

lim

f (x 'x ) f (x ) 'x u(x 'x ) v(x 'x ) u(x ) v(x )

'x u(x 'x ) v(x 'x ) u(x ) v(x ) lim 'x o 0 'x u(x 'x ) u(x ) v(x 'x ) v(x ) lim 'x o 0 'x ( ) ( ) v(x 'x ) v(x ) · u x ' x u x § lim ¨ ¸ 'x o 0 'x 'x © ¹ u(x 'x ) u(x ) v(x 'x ) v(x ) lim lim 'x o 0 'x o 0 'x 'x uc(x ) vc(x ) 'x o 0

Vi har nå bevist at u(x ) v(x ) c uc(x ) vc(x ). Denne regelen gjelder også for en sum av flere deriverbare funksjoner. Med f (x ) k u(x ) der k er en konstant, får vi f c(x )

f (x 'x ) f (x ) 'x k u(x 'x ) k u(x ) lim 'x o 0 'x § u(x 'x ) u(x ) · lim k ¸ 'x o 0 ¨ 'x © ¹ u( x 'x ) u( x ) k lim 'x o 0 'x k uc(x ) lim

'x o 0

Nå har vi vist at k u(x ) c

k uc(x ).

3.9 DERIVASJON AV POLYNOMFUNKSJONER

127

SAMMENDRAG Stasjonært punkt En funksjon f har et stasjonært punkt x a hvis f c(a) 0. Toppunkt og bunnpunkt Hvis f er kontinuerlig og f c(x ) skifter fortegn i et punkt, er punktet et toppunkt eller et bunnpunkt for f. f c(a) 0 og f cc(a) 0 a, f(a) er et toppunkt f c(a) 0 og f cc(a) ! 0 a, f(a) er et bunnpunkt Maksimalpunkt og maksimalverdi Hvis a, f(a) er et toppunkt, er x a et maksimalpunkt og f(a) en maksimalverdi. Minimalpunkt og minimalverdi Hvis a, f(a) er et bunnpunkt, er x a et minimalpunkt og f(a) en minimalverdi. Terrassepunkt Hvis f c(a) 0 og f c(x ) ikke skifter fortegn i x a, er a, f (a) et terrassepunkt. Monotoniegenskaper f c(x ) ! 0 i et intervall f er voksende i intervallet. f c(x ) 0 i et intervall f er minkende i intervallet. Krumning f cc(x ) ! 0 i et intervall Grafen til f vender den hule siden opp i intervallet. f cc(x ) 0 i et intervall Grafen til f vender den hule siden ned i intervallet. Vendepunkt Et vendepunkt er et punkt der f cc(x ) skifter fortegn. Hvis f s eksisterer i vendepunktet, er f cc(x ) 0 der. Vekstfarten til f har ofte den største eller den minste verdien i et vendepunkt.

172

4 | FUNKSJONER

Maksimumsverdi og minimumsverdi En kontinuerlig funksjon f med definisjonsmengden Df [a, b] har alltid den største verdien (maksimumsverdien) og den minste verdien (minimumsverdien) i et ekstremalpunkt eller i et av endepunktene x a eller x b. Skrå asymptote Ei rett linje er en skrå asymptote for f hvis f (x) ax b o 0 når x o rf. y ax b Kostnad Kostnaden ved å produsere x enheter av en artikkel kan være gitt ved K(x) ax 2 bx c Her er c den faste kostnaden, b er kostnaden per enhet og leddet ax 2 er den overproporsjonale kostnaden. Enhetskostnad Hvis K(x) er kostnaden ved å produsere x enheter, er enhetskostnaden E( x )

K (x ) x

Inntekt Inntekten når vi selger x enheter av en artikkel kan være gitt ved I(x) dx 2 ex Overskudd Overskuddet ved produksjon og salg av x enheter er gitt ved O(x) I(x) K(x) Derivasjonsregler § 1 ·c ¨x¸ © ¹

1 x2

x c

1 2 x

SAMMENDRAG

173

ETTERSPØRSELSELASTISITET Når en bedrift skal sette prisen per enhet for en vare, er det flere hensyn å ta. En høy pris vil gi store inntekter per enhet, men samtidig gir det lav etterspørsel etter varen. En lav pris vil gi høy etterspørsel, men samtidig liten inntekt per enhet. For å finne det beste forholdet mellom pris og etterspørsel bruker økonomer begrepet etterspørselselastisitet. Vi tenker oss at vi gjør en liten endring i prisen til vare. Det vil gi en endring i etterspørselen. Forholdet mellom den prosentvise endringen i etterspørsel og den prosentvise endringen i pris, kaller vi etterspørselselastisitet. Altså er etterspørselselastisiteten E

Vanligvis vil en prisøkning gi en nedgang i etterspørsel. Etterspørselselastisiteten er derfor som regel et negativt tall. Vi sier at etterspørselen etter varen er • elastisk dersom E < −1 • nøytralelastisk dersom E = −1 • uelastisk dersom −1 < E < 0

prosentvis endring i etterspørsel (1) prosentvis endring i priis

Elastisiteter for noen varer Alkohol: Sprit: –1,5 Vin: –1,0 Øl: –0,9

Brus: –0,8 til –1,0 (generelt) Coca-Cola: –3,8 Mountain Dew: –4,4

Flyreiser: Fritidsreisende: –1,5 Første klasse: –0,3 Rabattert: –0,9

Ris: Sri Lanka: –0,73 Vietnam: –0,27

Aviser: –0,1

Brød: –0,13

Kinobesøk: –0,87

Sigaretter: –0,25

Biff: –1,27

Drivstoff: –0,6

Klær: –0,49

Stål: –0,2 til –0,7

Boligtomter: –1,6

Egg: USA: –0,1 Canada: –0,35 Sør-Afrika: –0,55

Måltid på restaurant: –2,27

Transport: Bussreiser: –0,20 Ford kompaktbil: –2,8 Motorvogner: –1,14 Kilde: wikipedia

PROSJEKTOPPGAVE 1 Etterspørselen etter en bestemt vare er q(p) = 1200 – 2p der p er prisen per enhet i kroner. a) Hvor stor etterspørsel er det etter varen dersom prisen er 200 kr? b) Hvor stor vil etterspørselen være dersom prisen øker med 1 %? c) Bruk formel (1) ovenfor til å vise at etterspørselselastisiteten til denne varen er –0,5 når prisen er 200 kr. d) Regn ut etterspørselselastisiteten dersom prisen er 300 kr og øker med 1 %, og dersom prisen er 400 kr og øker med 1 %.

174

4 | FUNKSJONER

PROSJEKTOPPGAVE 2 Vi kan finne en formel for etterspørselselastiteten ved derivasjon. Hvis p er prisen og vi gir den en økning 'p, vil det gi en endring i etterspørselen q. Vi kaller endringen 'q. Den prosentvise endringen i pris er ringen i etterspørsel

'q q

'p p

100 og den prosentvise end-

100. Etterspørselselastisiteten blir da

prosentvis endring i etterspørsel prosentvis endring i priis

a) Vis at vi kan forenkle formelen til E

q 100 q p 100 p p 'q

q 'p

Når etterspørselen q er en funksjon av prisen p, og prisøkningen 'p er liten, er 'q 'p

| q c(p).

b) Forklar at det gir denne formelen for priselastisiteten: E

p qc(p) q p

(2)

PROSJEKTOPPGAVE 3 Vi lar fortsatt etterspørselen etter en vare være gitt ved uttrykket i prosjektoppgave 1. a) Bruk formel (2) til å finne en formel for etterspørselselastisiteten. b) Løs prosjektoppgave 1 c og d med formelen fra oppgave a. Får du samme svar? c) Hvilke priser gir elastisk, nøytralelastisk og uelastisk etterspørsel etter varen? d) Hvis vi selger q(p) enheter til p kroner per enhet, vil inntekten være I(p) = p q(p). Finn funksjonsuttrykket I(p), og bruk det til å finne den prisen som gir størst inntekt. Hva er etterspørselselastisiteten ved denne prisen?

PROSJEKTOPPGAVE 4 La nå etterspørselen være gitt ved q(p) = 1600 – p – 0,01p2. Bruk dette uttrykket og svar på spørsmålene i prosjektoppgave 3 a, c og d. Prøv også med andre uttrykk for q(p). Hvilken sammenheng ser det ut til å være mellom etterspørselselastisiteten og den prisen som gir størst inntekt?

PROSJEKTOPPGAVE 5 a) Hva tror dere ofte kjennetegner varer med elastisk etterspørsel? Enn varer med uelastisk etterspørsel? Bruk gjerne tabellen fra Wikipedia.

b) Kan dere tenke dere til noen grunner til at bedrifter ikke alltid setter den prisen som gir høyest inntekt på en vare? c) Etterspørselselastisiteten er vanligvis negativ. Forklar at den er positiv dersom q c(p) > 0. Hvilken praktisk tolkning har dette? Kan dere tenke dere noen tilfeller der det er slik?

E T TERSPØRSELSEL ASTISITE T

175

REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1

Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon f. y

g) Regn ut koordinatene til vendepunktet til f. h) Finn likningen til vendetangenten. OPPGAVE 4

Funksjonen f er gitt ved

f (x ) x 3 2 x 2 15x , x ª¬ 6, 5º¼

2 1

–2 –1 –1

2 3

a) Lag fortegnslinje for b) Lag fortegnslinje for c) Lag fortegnslinje for

f. f c. f cc.

OPPGAVE 2

Høyden h i centimeter av en plante etter t dager er h(t )

4 3 2 2 t t , t ª¬0,100º¼ 7500 25

a) Når vokser planten raskest? b) Hvor høy er planten på dette tidspunktet? c) Hva er vekstfarten på dette tidspunktet?

a) Bestem nullpunktene til f ved regning. b) Tegn fortegnslinja til f c og bruk den til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. c) Tegn fortegnslinja til f s og bruk den til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til f. d) Vis ved regning at likningen til tangenten i punktet P 3, f (3) er gitt ved y 24x 72. e) Tegn grafen til f og tangenten digitalt i samme koordinatsystem. f) Grafen til f har en annen tangent som er parallell med tangenten fra oppgave d. Bruk CAS til å finne denne tangenten. OPPGAVE 5

OPPGAVE 3

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 3 3x 2 , x ª¬ 1, 4 º¼ Bestem nullpunktene til f. Finn f c(x ). Bestem monotoniegenskapene til f. Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. e) Regn ut maksimumsverdien og minimumsverdien. f) Skisser grafen til f.

a) b) c) d)

176

4 | FUNKSJONER

Forskere har kommet fram til at funksjonen f (x ) 0, 016 x 3 er en god modell for sammenhengen mellom vekta f (x) gram og lengden x cm for fisken i et bestemt fjellvann. a) Bestem f(30) og tolk svaret. b) Løs likningen f (x ) 350 og tolk svaret. c) Bestem f c(30) og tolk svaret.

OPPGAVE 6

OPPGAVE 8

Edel Gran planter et lite grantre. Etter t år er treet h(t) meter, der

Omkretsen av et rektangelformet område er 300 m. Bestem lengden av sidene i rektangelet slik at arealet blir størst mulig. Hvor stort er arealet da?

h(t ) 1, 0 0,18t 1,7 , 0 t d 20 a) Finn høyden av treet da Edel plantet det. b) Hvor høyt er treet etter 10 år? c) Treet er i dag 12 m høyt. Hvor mange år går det før treet er dobbelt så høyt? d) Ask har en annen vekstkurve for sammenhengen mellom høyden og alderen på treet. Den er gitt ved h(t ) a bt c , 0 t d 20 der t er antallet år etter at treet ble plantet, h(t) er høyden av treet i meter, og a, b og c er konstanter. Denne vekstkurven gir disse verdiene: Treet var 1,25 m da det ble plantet. Treet er 32,0 m 20 år etter at det ble plantet. Vekstfarten til treet etter 15 år er 2,0 m/år. Bestem en modell h(t) for vekstkurven. (Du skal altså bestemme konstantene a, b og c. Ta med to desimaler i svarene.) OPPGAVE 7

Vi har gitt funksjonen f (x ) x 3 ax 2 bx Utforsk og finn hvilken sammenheng det er mellom tallene a og b når likningen

OPPGAVE 9

Dyrepopulasjonen innenfor et avgrenset område er 800. Vi regner med at dyrepopulasjonen f (x) etter x år er gitt ved f (x ) 1, 6 x 3 24 x 2 20 x 800, 0 d x d 10 Finn ut mest mulig om dyrepopulasjonen. OPPGAVE 10

En fabrikk har funnet ut at kostnaden i kroner per dag gitt ved å produsere x enheter av en vare er gitt ved K(x) 0,004x 2 40x 64 000 for x [1000, 10 000]. a) Finn et uttrykk for enhetskostnaden E(x) og tegn grafen til E digitalt. b) Finn hvilken produksjonsmengde som gir lavest enhetskostnad og den tilsvarende enhetskostnaden. c) Fabrikken regner med at hele produksjonen blir solgt for 92 kr per enhet. Finn et uttrykk O(x) for overskuddet når det blir produsert x enheter. d) Finn tallet på produserte enheter som gir størst overskudd, og finn det største overskuddet. Løs oppgaven ved regning, grafisk og i CAS.

f c(x ) 0 har 0, 1 eller 2 reelle løsninger. REPE TISJONSOPPGAVER

177

EKSPONENTIALFUNKSJONER Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett • utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene • utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentiallikninger og logaritmelikninger

UTFORSK TALLET e Vi ser på eksponentialfunksjonen f (x ) 2x Vi tegner først grafen i GeoGebra ved å skrive 2^x i algebrafeltet. Skriv deretter a, f c(a) i algebrafeltet. Da får vi fram en glider og et punkt A. Dette punktet ligger da på grafen til f c. Høyreklikk på punktet A og merk av for Vis spor. Når vi så drar glideren fram og tilbake noen ganger, får vi fram denne figuren: y

De svarte punktene ligger på grafen til f c. Vi ser at grafen til den deriverte har samme form som grafen til f, men grafen til den deriverte ligger under grafen til f. Altså er f c(x ) f (x ). STEG 1

Sett nå f (x) 3x Gå fram som forklart ovenfor. Hva kan du nå si om grafen til f c sammenliknet med grafen til f ? STEG 2

Prøv deg nå fram og bestem et tall e med 1 desimal slik at grafen til f (x) e x best faller sammen med grafen til f c.

179

STEG 3

Nå skal vi finne flere desimaler i tallet e fra steg 2. Da skriver vi f (10) og f c(10) i algebrafeltet. Sammenlikn de to tallene. Prøv deg fram med inntil 5 desimaler i e slik at de to tallene blir mest mulig like. Hva ble din verdi for tallet e? STEG 4

Sett nå f(x) e x, g(x) e2x og h(x) e3x der e er tallet du fant i steg 3. Regn ut f c(0), g c(0) og hc(0) i GeoGebra. Hva ser du? Bytt ut tallet 0 med et annet tall og vurder svarene du får. Prøv flere tall! Vi vet at f c(x ) e x . Hva tror du g c(x ) og hc(x ) er? STEG 5

La g(x) e k x. Velg ulike verdier for k og gå fram som i steg 4 for å finne ut hva g c(x ) kan være.

5.1 Den naturlige logaritmen I Utforsk tallet e fant du sikkert ut at e | 2,71828. Vi kaller e eulertallet etter den store matematikeren Leonhard Euler (1707 1783). Tallet e har den egenskapen at

e c x

I CAS kan vi finne eulertallet med flere desimaler. Da trykker vi Alt e og . deretter på

Når vi skal bruke eulertallet e i GeoGebra, må vi taste Alt e. På samme måten som S er e et irrasjonalt tall. Det er ikke mulig å skrive tallet nøyaktig som en brøk eller et desimaltall. Matematikere bruker tallet e mer enn tallet S. I kapittel 2 lærte vi om den briggske logaritmen lg x. Den logaritmen har grunntall 10, for lg x er det tallet vi må opphøye 10 i for å få x. Vi kan også innføre logaritmer med andre grunntall enn 10. Logaritmen log 2 x har grunntall 2. Da er

180

5 | EKSPONENTIALFUNKSJONER

log 2 8 3 fordi 23

log 2 2 1 fordi 21 2 1 1 log 2 1 fordi 2 1 2 21

1 2

DISKUTER

Nå skal dere se på logaritmen log 3 x med grunntall 3 og logaritmen log 4 x med grunntall 4. 1 9

a) Finn uten hjelpemiddel log 3 9, log 3 81 og log 3 . b) Finn uten hjelpemiddel log 4 4, log 4 64, log 4

1 16

1 2

og log 4 .

Når vi bruker tallet e som grunntall for en logaritme, får vi den naturlige logaritmen. Vi kunne ha brukt symbolet log e x om den, men den naturlige logaritmen bruker vi så ofte at den har fått en egen skrivemåte. Vi skriver ln x om den. Den naturlige logaritmen, ln x, til et positivt tall x er det tallet vi må opphøye e i for å få x. e ln x x Ut fra definisjonen finner vi at ln 1 0 ln e 1 ln e x x

fordi e 0 1 fordi e 1 e fordi x er det tallet vi må opphøye e i for å få e x.

Likningen e x 4 har ifølge definisjonen av den naturlige logaritmen løsningen x ln 4 for ln 4 er det tallet vi må opphøye e i for å få 4. Lommeregnere har en egen tast for den naturlige logaritmen ln. Vi bruker den og finner at ln 4 | 1,386

5.1 DEN NATURLIGE LOGARITMEN

181

LØ S N I N G

a) Vi finner antallet i CAS.

Etter 5 uker er det 448 smittebærere og etter 20 uker 40 343. b) Vi løser likningen f (x) 1 000 000 i CAS.

Antallet smittebærere passerer 1 000 000 i løpet av uke 30. c)

f c(x ) 100 e 0,3 x c 100 0, 3 e 0,3 x

30e 0,3 x

d) Vi finner veksthastigheten i CAS.

Økningen er 134 per uke etter 5 uker og 12 103 etter 20 uker.

OPPGAVE 5.31

I et land er 10 000 personer smittebærere av et virus. Vi antar at smitteperioden er 1 uke og at R-tallet er 0,8. Det vil si at en bærer kan smitte andre personer i 1 uke, og at hver av dem i gjennomsnitt smitter 0,8 personer i denne perioden. Antallet smittebærere etter x uker er da gitt ved f (x 10 000 e 0,2x a) b) c) d) e)

192

Tegn grafen til f. Finn antallet smittebærere etter 5 uker og etter 20 uker. Når er antallet smittebærere 10? Finn f c(x) uten hjelpemidler. Finn økningen i antallet smittebærere etter 5 uker og etter 20 uker.

5 | EKSPONENTIALFUNKSJONER

OPPGAVE 5.32

I et land er 100 personer smittebærere av et virus. Vi antar at smitteperioden er 1 uke. I løpet av den uka smitter hver smittebærer i gjennomsnitt R personer. Antallet smittebærere etter x uker er da gitt ved f (x ) 100 e

R 1 x

Finn ut mest mulig om utviklingen for noen verdier for tallet R.

5.4 Pris og etterspørsel Kostnaden ved en produksjon er avhengig av hvor mange enheter vi produserer. Men det er bare de enhetene vi selger, som gir inntekt. Inntekten er derfor avhengig av hvor mange enheter vi selger. Men vi kan ikke alltid regne med å selge alt vi produserer. Hvor mye vi får solgt av en bestemt vare i en periode, kaller vi etterspørselen etter varen. Etterspørselen er blant annet avhengig av prisen på produktet. Det er også andre faktorer som påvirker etterspørselen, slik som behov, kvalitet, design og markedsføring. I dette kapitlet skal vi se hvordan etterspørselen i en periode kan variere med prisen p på varen. Normalt vil etterspørselen etter en vare avta når prisen øker. Men i noen situasjoner kan etterspørselen øke når vi setter opp prisen. For lav pris kan føre til at forbrukeren stiller seg tvilende til kvaliteten på produktet og heller kjøper en noe dyrere vare. La etterspørselen i en periode være q(p) der p er prisen i kroner. Her står q for quantity (mengde). Inntekten i kroner i denne perioden blir da I(p) p q(p) fordi vi har solgt q(p) enheter til p kroner per stk. EKSEMPEL

For en vare er etterspørselen per måned gitt ved q(p) 500 2p, p [50, 150]. a) b) c) d) e)

Hvor mange enheter blir solgt per måned hvis prisen er 100 kr? Hva er prisen når etterspørselen er 250 enheter per måned? Hvor stor er inntekten hvis prisen er 100 kr? Finn funksjonsuttrykket til inntekten I(p). Hvilken pris gir størst inntekt?

5.4 PRIS OG E T TERSPØRSEL

193

LØ S N I N G

a) Når prisen er 100 kr, blir antallet solgte enheter per måned q(100) 500 2 100 300 b) For at etterspørselen skal bli 250 enheter per måned, må q( p) 250 500 2 p 250 2 p 250 p 125 Prisen må være 125 kr. c) Inntekten er prisen antall solgte, altså prisen etterspørselen. Når prisen er 100 kr, er etterspørselen 300 ifølge oppgave a. Dermed er inntekten 100 kr 300 30 000 kr d) Hvis p er prisen i kroner, er inntekten i kroner I ( p)

p q( p)

p 500 2 p

I ( p) 500 p 2 p2 e) Vi finner maksimalverdien ved hjelp av derivasjon. I c( p) 500 4 p I cc( p) 4 I c( p) 0 når 500 4 p 0 4 p 500 p 125 Ettersom I cc( p) 4, er I cc(125) 0. Da er p 125 et maksimalpunkt. Inntekten er høyest når prisen er 125 kr.

DISKUTER

Hvordan kan vi se direkte av andregradsuttrykket I(p) = 500p 2p2 at p 125 er et maksimalpunkt uten å bruke den andrederiverte?

194

5 | EKSPONENTIALFUNKSJONER

OPPGAVE 5.40

For en vare er etterspørselen per uke gitt ved q(p) 1000 20p, p [10, 40] der p er prisen på varen i kroner. a) Hvor mange enheter blir solgt per uke når prisen er 30 kr? b) Hva er prisen når etterspørselen er 600 enheter per uke? c) Finn et uttrykk for inntekten I(p) per uke ved prisen p. d) Tegn grafen til I. e) Finn den prisen som gir maksimal inntekt. Hvor høy er denne inntekten? Løs oppgaven både grafisk og ved regning.

EKSEMPEL

For en vare er etterspørselen per uke gitt ved q(p) 1200 e 0,04p, p [10, 50] der p er prisen på varen i kroner. a) Hvor mange enheter blir solgt per uke når prisen er 40 kr? b) Finn prisen digitalt og ved regning når etterspørselen er 600 enheter per uke. c) Finn et uttrykk for inntekten I(p) per uke ved prisen p. d) Tegn grafen til I. e) Finn den prisen som gir maksimal inntekt. Hvor høy er denne inntekten? f) Den faste kostnaden ved denne produksjonen er 5000 kr per uke. I tillegg koster det 5 kr å produsere én enhet. Finn et uttrykk for overskuddet O(p) per uke ved prisen p. g) Tegn grafen til O. h) Finn den prisen som gir størst overskudd. Hvor stort er dette overskuddet?

LØ S N I N G

a) Vi løser oppgaven i CAS slik:

Når prisen er 40 kr, er etterspørselen 242 enheter per uke.

5.4 PRIS OG E T TERSPØRSEL

195

SANNSYNLIGHET Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg • bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler • analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen • utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene

6.1 Binomialkoeffisienter I sannsynlighetsregningen får vi ofte bruk for produkter av typen 5 4 3 2 1, og det er derfor innført en egen skrivemåte for dette. Produktet 5 4 3 2 1 kaller vi ‘fem fakultet’ og skriver 5!. Dermed er 5 5 4 3 2 1 120 Hvis n er et naturlig tall, er n n n 1 ... 3 2 1 Hvis n 0, setter vi 0 1 EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. a) 3! b) 4!

c) 8!

a) 3 3 2 1 6 b) 4 4 3 2 1 24 c) 8 8 7 6 5 4 3 2 1 40 320

Vi kan regne ut fakulteter digitalt. Mange lommeregnere har en egen tast eller en egen funksjon som er merket !. Når vi skal finne 8! i GeoGebra, skriver vi bare 8! i CAS og får svaret 40 320 som vist her:

OPPGAVE 6.10

Regn ut uten hjelpemidler. a) 2! b) 5! c) 7! OPPGAVE 6.11

Regn ut uten og med digitale hjelpemidler. 5! 10 ! 7! 9! a) b) c) d) 3! 7! 4 ! 3! 6 ! 3!

6.1 BINOMIALKOEFFISIENTER

215

Nå lager vi et program i Python som regner ut n . 1 2 3

svar = input("n =") n = int(svar) fakultet = 1

4 5 6

for i in range(1, n+1): fakultet *= i

7 8

print(svar + "! =", fakultet)

DISKUTER

Forklar hvordan programmet virker.

OPPGAVE 6.12

a) Bruk programmet til å løse oppgave 6.10. b) Tilpass programmet slik at vi kan bruke det til å løse oppgave 6.11. Uttrykk av typen 8! 3! 8 3 !

8! 3! 5!

forekommer ofte i matematikk. Slike uttrykk kaller vi binomialkoeffisienter og vi skriver §8· ¨ ¸ ©3¹

8! 3! 8 3 ! §8·

Symbolet ¨ ¸ leser vi ‘8 over 3’. 3 © ¹

La k og n være to hele tall som er slik at 0 d k d n. Da er binomialkoeffisienten §n· ¨ ¸ ©k¹ EKSEMPEL

LØ S N I N G

216

n! k ! n k ! §7· © 5¹

Regn ut ¨ ¸. §7· ¨ ¸ © 5¹

7! 5! 7 5 !

6 | SANNSYNLIGHE T

7! 5! 2 !

7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 2 1

7 6 2

Vi kan regne ut binomialkoeffisienter digitalt. Mange lommeregnere har en §7·

egen tast eller funksjon som ofte kalles nCr. Når vi skal regne ut ¨ ¸, taster vi 5 da 7 nCr 5 . I GeoGebra gjør vi det slik i CAS:

Vi kan også lage et program i Python som regner ut binomialkoeffisienter. Vi velger å lage det ved hjelp av to funksjoner, en funksjon som regner ut fakultet, og en som regner ut binomialkoeffisienten. 1 2 3 4 5

def fakultet(n): fak = 1 for i in range(1, n+1): fak *= i return fak

6 7 8

def nCr(n,k): return fakultet(n)/(fakultet(k)*fakultet(n-k))

9 10

print(nCr(7,5))

Vi kjører programmet og får dette resultatet: 21.0

DISKUTER

Forklar hvordan programmet virker.

OPPGAVE 6.13

Finn binomialkoeffisientene uten hjelpemidler. §8· §7· §9· a) ¨ ¸ b) ¨ ¸ c) ¨ ¸ ©2¹ ©4¹ ©7¹ OPPGAVE 6.14

Finn binomialkoeffisientene digitalt. § 11 · § 12 · § 15 · § 15 · a) ¨ ¸ b) ¨ ¸ c) ¨ ¸ d) ¨ ¸ 3 4 11 ©4¹ © ¹ © ¹ © ¹

6.1 BINOMIALKOEFFISIENTER

217

DISKUTER §8· §8·

a) Forklar hvorfor ¨ ¸ ¨ ¸ ©6¹ ©2¹ b) Formuler dette som en generell regel og forklar hvorfor regelen er riktig. Vi regner ut noen binomialkoeffisienter. §0· ¨0¸ © ¹

0! 1 1 1 0 ! 0 0 ! 1 0 ! 1 1

§1 · 1! 1 1 1 ¨0¸ ! ! ! 0 1 0 1 1 1 1

© ¹ §1· 1 1! 1 1 ¨1¸ © ¹ 1! 1 1 ! 1 0 ! 1 1 §2· 2! 2! 1 ¨0¸ © ¹ 0 ! 2 0 ! 1 2 ! §2· 2! 2 1 2 2 ¨1 ¸ © ¹ 1! 2 1 ! 1 1! 1 §2· 2! 2! 2! 1 ¨2¸ © ¹ 2 ! 2 2 ! 2 ! 0 ! 2 ! 1 På tilsvarende måte får vi at § 3· ¨ ¸ 1 ©0¹

§3· ¨ ¸ 3 © 1¹

§ 3· ¨ ¸ 3 ©2¹

§3· ¨ ¸ 1 ©3¹

Vi setter opp binomialkoeffisientene i et spesielt system: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 §0· ©0¹

Den øverste raden kaller vi rad 0. Den inneholder ¨ ¸ . Den neste raden kaller § 1·

vi rad 1. Den inneholder ¨ ¸ for k lik 0 og 1. Når vi skal telle radene, begynner k © ¹

§ 2·

vi altså på 0 og teller nedover. Rad 2 og inneholder ¨ ¸ for k lik 0, 1 og 2. k § 3·

Rad 3 inneholder ¨ ¸ for k lik 0, 1, 2 og 3. k © ¹

218

6 | SANNSYNLIGHE T

Vi ser at hver rad begynner og slutter med 1. Et tall inne i en rad er summen av de to tallene som står ovenfor. Det kan vises at dette systemet gjelder for alle binomialkoeffisientene. Vi kan utvide systemet: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Dette er pascaltrekanten som vi så på i Utforsk den deriverte av x n på side 122. § 6·

Når vi skal finne for eksempel ¨ ¸, teller vi 0, 1, 2, …, 6 nedover langs radene 4 © ¹

og 0, 1, 2, 3, 4 innover på raden. Da ser vi at § 6· ¨ ¸ 15 ©4¹ Dette kan vi kontrollere ved regning: § 6· ¨ ¸ ©4¹

6! 4 ! 6 4 !

6! 4 ! 2!

6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1

6 5 15 2

DISKUTER

La n være et naturlig tall. §n· §n· § n ·

§n·

Finn ved regning ¨ ¸ , ¨ ¸ , ¨ ¸ og ¨ n ¸. © 0 ¹ ©1 ¹ © n 1¹ © ¹ Stemmer svarene med pascaltrekanten?

OPPGAVE 6.15

Utvid pascaltrekanten slik at den får ti rader. Bruk trekanten til å kontrollere svarene i oppgave 6.13. OPPGAVE 6.16

Lag et program i Python som skriver ut de seks første radene i pascaltrekanten.

6.1 BINOMIALKOEFFISIENTER

219

UTFORSK MULTIPLIKASJONSPRINSIPPET STEG 1

a) Lina spiser frokost. Hun kan velge mellom to typer brød og tre typer pålegg.

Finn ut hvor mange kombinasjoner av én type brød og én type pålegg det gir. b) Lina skal på skolen og kan velge mellom 3 par sko og 4 ytterjakker.

Finn ut hvor mange ulike kombinasjoner av sko og jakke det gir. c) Når Lina kommer på skolen, kan hun velge mellom 5 klasserom. I hvert klasserom kan hun velge mellom 30 pulter. Hvor mange pulter kan hun velge mellom? d) Hvilken regel gjelder for antallet kombinasjoner når vi skal gjøre to valg? Formuler regelen ved hjelp av symboler. e) Undersøk antallet kombinasjoner når vi skal gjøre tre valg. STEG 2

a) Hvor mange koder med 3 bokstaver kan vi lage ved hjelp av bokstavene A, B og C når vi kan bruke hver bokstav flere ganger? Skriv ned de mulige kodene. b) Hvor mange koder med 3 bokstaver kan vi lage ved hjelp av bokstavene A, B og C når vi bare kan bruke hver bokstav én gang? Skriv ned de mulige kodene. c) Hvor mange koder med 4 bokstaver kan vi lage ved hjelp av bokstavene A, B, C og D når vi kan bruke hver bokstav flere ganger? d) Hvor mange koder med 4 bokstaver kan vi lage ved hjelp av bokstavene A, B, C og D når vi bare kan bruke hver bokstav én gang?

220

6 | SANNSYNLIGHE T

e) Hvor mange koder med 3 bokstaver kan vi lage ved hjelp av bokstavene A, B, C og D når vi kan bruke hver bokstav flere ganger? f) Hvor mange koder med 3 bokstaver kan vi lage ved hjelp av bokstavene A, B, C og D når vi bare kan bruke hver bokstav én gang? g) Hvor mange koder med n bokstaver kan vi lage ved hjelp av n bokstaver når vi kan bruke hver bokstav flere ganger? h) Hvor mange koder med n bokstaver kan vi lage ved hjelp av n bokstaver når vi bare kan bruke hver bokstav én gang?

6.2 Multiplikasjonsprinsippet Når vi skal gjøre flere valg på rad og skal finne antall mulige kombinasjoner, kan vi bruke multiplikasjonsprinsippet, som dere sikkert kom fram til i Utforsk multiplikasjonsprinsippet. Vi skal gjøre k valg. Hvis det er n1 alternativer i det første valget, n2 alternativer i det andre valget, osv., er det i alt n1 n2 ... nk mulige kombinasjoner. Hvis det er n valgmuligheter i hvert valg, er antallet kombinasjoner n k. Når vi fra en samling gjenstander trekker ut noen gjenstander, får vi et utvalg. Det er flere måter å lage utvalg på, og vi skal se på noen av dem. I et lotteri trekker vi vinnertallene fra ei krukke. Det første nummeret gir gevinst nr. 1, det andre nummeret gir gevinst nr. 2, osv. Den rekkefølgen vi trekker loddene i, har betydning. Vi har et ordnet utvalg av vinnertall. Hvis vi ikke legger loddene tilbake i krukka før neste trekning, er det ikke mulig å vinne to gevinster på ett lodd. Vi har et ordnet utvalg uten tilbakelegging. Dersom vi legger vinnerloddene tilbake før neste trekning, kan vi komme til å trekke ut det samme loddet flere ganger. I det tilfellet har vi et ordnet utvalg med tilbakelegging. I statistikkfaget er det vanlig å forklare de forskjellige utvalgene ved hjelp av en slik krukkemodell eller urnemodell. Den første som brukte en slik modell, var den nederlandske fysikeren og matematikeren Christiaan Huygens. I 1650-årene skrev han ei innføringsbok i sannsynlighetsregning.

6.2 MULTIPLIKASJONSPRINSIPPE T

221

UTFORSK BINOMISKE FORSØK STEG 1

Vi kaster 5 terninger og skal finne sannsynligheten for at vi skal få nøyaktig to seksere. Vi kaster en terning om gangen. a) Finn sannsynlighetene for at den første og den andre terningen gir sekser og ingen av de andre. b) Finn sannsynlighetene for at den første og den tredje terningen gir sekser og ingen av de andre. c) Finn sannsynlighetene for at den andre og den fjerde terningen gir sekser og ingen av de andre. d) På hvor mange måter kan vi velge to terninger blant de fem? e) Forklar at sannsynligheten for å to seksere er §5· § 1 · ¨ 2¸ ¨ ¸ © ¹ ©6¹

§5· ¨ ¸ ©6¹

STEG 2

a) Gå fram som i steg 1 og finn sannsynligheten for å få tre seksere når vi kaster fem terninger. b) Finn sannsynligheten for at vi får to seksere når vi kaster seks terninger. c) Finn sannsynligheten for at vi får tre seksere når vi kaster seks terninger. STEG 3

I et lotteri er sannsynligheten 0,1 for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. Vi kjøper ti slike lodd. a) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig to av loddene. b) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig tre av loddene. c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig ett av loddene. STEG 4

I et lotteri er sannsynligheten p for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. a) Sett opp et uttrykk for sannsynligheten for å vinne på nøyaktig to lodd når vi kjøper ti slike lodd. b) Sett opp et uttrykk for sannsynligheten for å vinne på nøyaktig to lodd når vi kjøper n slike lodd. c) Sett opp et uttrykk for sannsynligheten for å vinne på nøyaktig k lodd når vi kjøper n slike lodd.

258

6 | SANNSYNLIGHE T

6.8 Binomiske forsøk I et binomisk forsøk gjør vi flere like delforsøk der vi hver gang undersøker om en hending A inntreffer eller ikke. Hendingen A kan for eksempel være å få en femmer eller en sekser når vi kaster en terning. Vi gjør delforsøket n ganger og teller opp hvor mange ganger hendingen A inntreffer. Det er viktig at forsøkene er uavhengige, slik at sannsynligheten p for hendingen A er den samme hver gang. I Utforsk binomiske forsøk kom dere sikkert fram til dette: Hvis p er sannsynligheten for å vinne på et tilfeldig valgt lodd, er sannsynligheten for å vinne k ganger når vi kjøper n lodd gitt ved §n· k n k ¨ ¸ p (1 p) k © ¹ Det er i samsvar med denne regelen som gjelder for alle binomiske forsøk. I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en hending A. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen A lik p. La X være antallet ganger A inntreffer. Sannsynligheten for at A skal inntreffe nøyaktig k ganger, er P( X

§n· k ) ¨ ¸ pk (1 p)n k ©k¹

Når vi bruker formelen ovenfor til å regne ut sannsynligheter, sier vi at vi bruker en binomisk modell. I et binomisk forsøk kan vi enten gjøre de n handlingene samtidig eller i rekkefølge. Hvis vi kaster terninger, kan vi enten kaste seks terninger samtidig eller én terning seks ganger. Begge forsøkene er binomiske. EKSEMPEL

Vi vet at et ektepar har fem barn. De har ingen eneggede tvillinger. Finn sannsynligheten for at de har a) én gutt b) to gutter c) tre gutter

LØ S N I N G

Her består forsøkene av fødsler. Hendingen A er i dette tilfellet å få en gutt. Sannsynligheten p for å få en gutt ved en fødsel setter vi lik 0,5. Ettersom ingen av barna er eneggede tvillinger, kan vi anta at kjønnet til et barn ikke påvirker kjønnet til det neste. Delforsøkene er dermed uavhengige, og forsøket er da binomisk. La X være tallet på gutter. 6.8 BINOMISKE FORSØK

259

b) Nå justerer vi programmet fra og med linje 16. 16 17 18

sum = 0 for x in range(0, 6+1): sum += binomisk(n,p,x)

19 20

print("P(X <= 6) =", round(sum,4))

Vi kjører programmet og får P(X <= 6) = 0.8474

c) Nå justerer vi programmet slik: 16 17 18

sum = 0 for x in range(4, 30+1): sum += binomisk(n,p,x)

19 20

print("P(X > 3) =", round(sum,4))

Det gir dette svaret: P(X > 3) = 0.6783

d) Nå gjør vi denne justeringen: 16 17 18

sum = 0 for x in range(4, 9): sum += binomisk(n,p,x)

19 20

print("P(3 < X < 9) =", round(sum,4))

Det gir P(3 < X < 9) = 0.6506

OPPGAVE 6.85

I et lotteri er sannsynligheten p 0,2 for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. Vi kjøper ti lodd og lar X være antallet gevinster. Lag et program i Python som skriver ut k, P(X k) og P(X d k) for k 0, 1, 2, …, 10. OPPGAVE 6.86

Løs oppgave 6.83 i Python.

264

6 | SANNSYNLIGHE T

UTFORSK HYPERGEOMETRISKE FORSØK STEG 1

I en klasse er det 15 elever, 8 jenter og 7 gutter. Vi trekker tilfeldig 5 elever fra klassen, og vi skal først finne sannsynlighetene for at vi trekker 3 jenter og 2 gutter. La X være antallet jenter blant de 5 som vi trekker. a) På hvor mange måter kan vi trekke 3 jenter blant 8? b) På hvor mange måter kan vi trekke 2 gutter blant 7? c) På hvor mange måter kan vi trekke 3 jenter blant 8 og 2 gutter blant 7? d) På hvor mange måter kan vi trekke 5 elever blant 15? e) Finn sannsynligheten for at vi trekker 3 jenter og 2 gutter. Forklar at §8· §7· ¨ 3 ¸ ¨ 2 ¸ P ( X 3) © ¹ © ¹ § 15 · ¨ 5¸ © ¹ f) Gå fram som ovenfor og finn P(X 2). g) Finn et uttrykk for P(X a). STEG 2

I en klasse med 30 elever er 18 jenter og 12 gutter. Vi trekker 5 elever fra klassen, og lar X være antallet jenter blant de 5. a) Gå fram som i steg 1 og finn P(X 3) og P(X 2). b) Finn et uttrykk for P(X a). STEG 3

I en klasse med 30 elever er 18 jenter og 12 gutter. Vi trekker 7 elever fra klassen, og lar X være antallet jenter blant de 7. a) Gå fram som i steg 1 og finn P(X 3) og P(X 4). b) Finn et uttrykk for P(X a). STEG 4

I en klasse med 30 elever er 18 jenter og 12 gutter. Vi trekker k elever fra klassen, der k ! 4. La X være antallet jenter blant de k. a) Finn et uttrykk for P(X 3) og for P(X 4). b) Finn et uttrykk for P(X a). STEG 5

I en klasse er n antallet elever, n1 er antall jenter, og n2 er antallet gutter. Vi trekker k elever fra klassen. La X være antallet jenter blant de k. Finn et uttrykk for P(X a).

6.8 BINOMISKE FORSØK

265

6.9 Hypergeometriske forsøk Vi tenker nå at vi har til sammen n gjenstander av to typer. Det er n1 gjenstander av type 1 og n2 gjenstander av type 2. Vi trekker tilfeldig k gjenstander uten tilbakelegging og vil finne sannsynligheten for å få a gjenstander av type 1. Da må det bli b k a gjenstander av type 2. §n ·

De a gjenstandene av type 1 kan vi trekke på ¨ 1 ¸ forskjellige måter. De b a §n ·

gjenstandene av type 2 kan vi trekke på ¨ 2 ¸ forskjellige måter. Etter multib §n · §n ·

plikasjonsprinsippet er det da ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ utfall som gir a gjenstander av type 1 ©a¹ ©b¹ og b gjenstander av type 2. Antallet mulige utfall når vi trekker k gjenstander §n· ©k¹

blant n, er ¨ ¸. Sannsynligheten for å få a gjenstander av type 1 og b gjenstander av type 2 er da

tallet på gunstige utfall tallet på mulige utfall

§ n1 · § n2 · ¨ ¸ ¨ ¸ ©a¹ ©b¹ §n· ¨ ¸ ©k¹

der n1 n2 n og a b k. Vi har god støtte i denne tabellen når vi setter opp uttrykket: Type 1

Type 2

Til sammen

I alt

Trekker

I et hypergeometrisk forsøk har vi n gjenstander av to typer. Det er n1 gjenstander av type 1 og n2 gjenstander av type 2. Vi trekker tilfeldig k gjenstander uten tilbakelegging. La X være antallet gjenstander av type 1. Da er § n1 · § n2 · ¨ ¸ ¨ ¸ a b P ( X a) © ¹ © ¹ §n· ¨ ¸ ©k¹ der n1 n2 n og a b k. Når vi bruker formelen ovenfor til å regne sannsynligheter, sier vi at vi bruker en hypergeometrisk modell.

266

6 | SANNSYNLIGHE T

EKSEMPEL

I ei pakke med 20 lyspærer er det 4 som er defekte. En kunde plukker tilfeldig 5 lyspærer fra pakka. a) Hvor stor er sannsynligheten for at nøyaktig to av lyspærene er defekte? b) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig ei av lyspærene er defekt? c) Hva er sannsynligheten for at minst ei av lyspærene er defekt?

LØ S N I N G

a) Hvis nøyaktig 2 lyspærer skal være defekte, må vi trekke 2 blant de 4 defekte og de 3 andre blant de 16 som ikke er defekte. Defekt

Ikke defekt

Til sammen

I alt

Trekker

Sannsynligheten for å trekke 2 defekte lyspærer er § 4 · § 16 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 3 P ( X 2) © ¹ © ¹ § 20 · ¨ ¸ ©5¹

6 560 15 504

0, 217

b) Hvis nøyaktig ei lyspære skal være defekt, må vi trekke 1 blant de 4 defekte og de 4 andre blant de 16 som ikke er defekte. Det gir denne tabellen: Defekt

Ikke defekt

Til sammen

I alt

Trekker

Sannsynligheten for å trekke 1 defekt lyspære og 4 som ikke er defekte, er § 4 · § 16 · ¨ ¸ ¨ ¸ 1 4 P ( X 1) © ¹ © ¹ § 20 · ¨ ¸ ©5¹

4 1820 15 504

0, 470

c) Sannsynligheten for ingen defekte er § 4 · § 16 · ¨ ¸ ¨ ¸ 0 5 P ( X 0) © ¹ © ¹ § 20 · ¨ ¸ ©5¹

1 4368 15 504

0, 282

Sannsynligheten for minst ei lyspære defekt er dermed P(X ! 0) 1 P(X 0) 1 0,282 0,718 6.9 HYPERGEOME TRISKE FORSØK

267

SAMMENDRAG Fakultet n n n 1 … 3 2 1 og 0 1 Binomialkoeffisient §n· ¨ ¸ ©k¹

n! k ! n k !

Multiplikasjonsprinsippet Vi skal gjøre k valg. Hvis det er n1 alternativer i det første valget, n2 alternativer i det andre valget, osv., er det i alt n1 n2 ... nk mulige kombinasjoner. Hvis det er n valgmuligheter i hvert valg, er antallet kombinasjoner n k. Ordnet utvalg med tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand med tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt nk forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i. Ordnet utvalg uten tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker k ganger uten tilbakelegging. Hvis rekkefølgen vi trekker i, har betydning, er antallet mulige kombinasjoner n! n n 1 ... n k 1

n k ! Uordnet utvalg uten tilbakelegging

§n·

Vi har n gjenstander og skal velge ut k av dem. Det kan vi gjøre på ¨ ¸ k forskjellige måter når rekkefølgen vi velger i, ikke har betydning. © ¹ Gyldig sannsynlighetsmodell Vi har en gyldig sannsynlighetsmodell for et forsøk hvis disse to vilkårene er oppfylt: • Sannsynligheten for hvert utfall er et tall mellom 0 og 1. • Summen av sannsynlighetene for alle de mulige utfallene er 1. Uniform sannsynlighetsmodell I en uniform sannsynlighetsmodell er alle utfallene like sannsynlige. Hvis det er N mulige utfall, er P et utfall

272

1 N

6 | SANNSYNLIGHE T

Hending En mulig hending i sannsynlighetsregning er sammensatt av ett eller flere utfall. Sannsynligheten for en hending finner vi ved å summere sannsynlighetene for de utfallene som inngår i hendingen. Med en uniform sannsynlighetsmodell er sannsynligheten for en hending A gitt ved P ( A)

antallet gunstige utfall for A antallet mulige utfall

Hendingen ikke A P ( A) 1 P ( A) Betinget sannsynlighet Den betingede sannsynligheten P (B | A) er sannsynligheten for at B skal inntreffe når vi vet at A har inntruffet. Uavhengige hendinger To hendinger A og B er uavhengige dersom en opplysning om at B har inntruffet, ikke endrer sannsynligheten for at A skal inntreffe. Da er P (B | A) P(B). Produktsetningen For to hendinger A og B er P ( A B) P ( A) P (B | A). Hvis A og B er uavhengige hendinger, er P ( A B) P ( A) P (B). Binomiske forsøk I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en hending A. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen A lik p. La X være antallet ganger A inntreffer. Sannsynligheten for at A skal inntreffe nøyaktig k ganger, er P( X

§n· k ) ¨ ¸ pk (1 p)n k ©k¹

Hypergeometrisk forsøk I et hypergeometrisk forsøk har vi n gjenstander av to typer. Det er n1 gjenstander av type 1 og n2 gjenstander av type 2. Vi trekker tilfeldig k gjenstander uten tilbakelegging. La X være antallet gjenstander av type 1. Da er § n1 · § n2 · ¨ ¸ ¨ ¸ a b P ( X a) © ¹ © ¹ §n· ¨ ¸ ©k¹ der n1 n2 n og a b k. SAMMENDRAG

273

STATISTIKK Faget statistikk handler om å samle inn et tallmateriale, bearbeide og analysere det, og å presentere materialet på en god måte. I dette arbeidet trenger vi sannsynlighetsregning. Det skal vi se på nå. Statistiske undersøkelser Her er to eksempler på statistiske undersøkelser og spørsmål som kan dukke opp: Vi intervjuer 200 tilfeldig valgte personer i en stor kommune. 110 av dem sier nei til vindkraftutbygging. Kan vi da si at flertallet i kommunen er mot vindkraftutbygging? Eller kan det være tilfeldigheter som gjør at vi fikk 110 motstandere i utvalget vårt? 1000 elever er oppe til eksamen i S1. Gjennomsnittskarakteren for jentene er 3,4, og for guttene er den 3,2. Kan vi ut fra det si at jentene er flinkere enn guttene i S1, eller kan det være tilfeldigheter i utvalget som gir forskjellen? Slike spørsmål kan vi bruke sannsynlighet for å svare på.

Binomisk forsøk Ved et valg fikk Høyre 25,0 % av stemmene. Etterpå intervjuer vi 100 tilfeldige valgte personer. Hvor mange av dem må si at de nå vil stemme på Høyre hvis vi med rimelig sikkerhet skal kunne si at oppslutningen om Høyre har økt? Dette er et binomisk forsøk. Hvis X er antallet som nå ville stemme på Høyre blant de 100, og vi antar at oppslutningen om Høyre fortsatt er 25 %, er sannsynligheten for at vi intervjuer a høyrevelgere gitt ved: P(X = a) =

274

100 a

0,25a 0,75100 – a

6 | SANNSYNLIGHE T

Vi kan regne ut sannsynligheten for de mulige verdiene for a og framstille fordelingen i et histogram. Det er det histogrammet du ser øverst på neste side. Sannsynligheten for at det er minst 30 høyrevelgere blant de 100 enda om oppslutningen fortsatt er 25 %, svarer til den fargelagte delen av histogrammet. En beregning, i for eksempel GeoGebra, gir oss at denne sannsynligheten er 0,1495. Med andre ord er det nesten 15 % sjanse for at det er 30 eller flere høyrevelgere blant de 100 intervjuobjektene. Hvis for eksempel 30 av de 100 vil stemme på Høyre, kan vi ikke si med sikkerhet at oppslutningen faktisk har økt.

P-verdi og signifikansnivå Hva om det i stedet er 32 av de 100 vi intervjuer som vil stemme på Høyre? Nå må vi regne ut P(X ≥ 32). Denne sannsynligheten er 0,0693, og vi kaller det P-verdien for resultatet. Kan vi nå si at oppslutningen har økt? Eventuelt hvor lav må P-verdien være for at vi kan si at oppslutningen har økt? Vi kan ikke kreve at P-verdien skal bli eksakt lik 0, for det blir den aldri. Vi kan heller bestemme oss for at når P-verdien er under for eksempel 0,05, er resultatet så usannsynlig at vi konkluderer med at oppslutningen har økt. Tallet 0,05 kaller vi da signifikansnivået. Hvor mange høyrevelgere vi må ha for at P-verdien skal bli under 0,05, kan vi finne ved prøving og feiling. Med signifikansnivå 0,05 må minst 33 være høyrevelgere blant de 100 hvis vi skal si at oppslutningen har økt.

0,10

0,05

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

PROSJEKTOPPGAVE 1 I artikkelen presenteres det flere resultater fra binomiske forsøk uten å vise utregningene. Kontroller disse utregningene ved å bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. a) P(X ≥ 30) = 0,1495 b) P(X ≥ 32) = 0,0693 c) P(X ≥ 33) < 0.05

PROSJEKTOPPGAVE 2 En stund etter et valg hvor Høyre fikk 25 % av stemmene, intervjuer vi i stedet 1000 tilfeldig valgte personer. a) Hva blir P-verdien hvis 270 av dem sier at de vil stemme på Høyre? b) Hvor mange av de 1000 må si at de vil stemme på Høyre for at vi skal kunne si at oppslutningen har økt med signifikansnivå 0,05? c) Hvor mange må det være hvis vi setter signifikansnivået til 0,02? d) Hvordan vil dere si at antallet intervjuobjekter påvirker resultatet?

PROSJEKTOPPGAVE 3 I en stor kommune blir det påstått at akkurat halvparten av befolkningen er mot vindkraftutbygging. Kommunestyret vil finne ut om det er mer. De intervjuer 200 tilfeldig valgte personer. a) Hva blir P-verdien hvis 110 sier de er motstandere? b) Hvor mange av de 200 må være motstandere hvis vi skal kunne si at mer enn halvparten er motstandere når vi velger signifikansnivå 0,05?

PROSJEKTOPPGAVE 4 Hvilken av to coladrikker er den foretrukne blant ungdom? Smaker A-melk eller B-melk best? Planlegg en smakstest mellom to konkurrerende produkter blant et tilfeldig utvalg elever på skolen. Ta stilling til blant annet dette når dere planlegger: • Er det rimelig å anta at produktene i utgangspunktet er like gode? • Bør forsøket gjennomføres som en blindtest? • Hvordan får vi et utvalg tilfeldig? • Hvordan beregner vi P-verdien? • Hvilket signifikansnivå skal vi bruke? Gjennomfør smakstesten. Hvilke konklusjoner kan dere trekke? STATISTIKK

275

REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1

OPPGAVE 4

Figuren nedenfor viser et utsnitt av pascaltrekanten.

I en reol står det 3 krimbøker og 4 skjønnlitterære bøker. Du tar tilfeldig ut 3 bøker fra reolen uten å sette bøkene tilbake. a) Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 bøkene du tar ut, er krimbøker. b) Bestem sannsynligheten for at du tar ut flere krimbøker enn skjønnlitterære bøker.

y 36

10x + 4

Bestem x og y OPPGAVE 2

I klassen til Henning er det i alt 11 jenter og 14 gutter. Hver dag trekker læreren tilfeldig ut en elev til å rydde søppel. Ingen skal trekkes ut to ganger. På hvor mange måter kan læreren trekke for de tre første dagene?

OPPGAVE 5

OPPGAVE 3 §8· ¸¸ ©4¹

a) Vis at ¨¨

70.

En dag fikk skoletannlegen besøk av 8 elever. Av disse hadde 4 elever hull i tennene. Tannlegen kalte inn elevene i tilfeldig rekkefølge. b) Finn sannsynligheten for at de to første elevene hadde hull i tennene. Før lunsj hadde 4 av elevene vært inne hos tannlegen. c) Bestem sannsynligheten for at det var 3 elever som hadde hull og 1 elev som ikke hadde hull. d) Hva er sannsynligheten for at minst 3 av de 4 elevene hadde hull?

276

Tenk deg at du tar fram ei bok om gangen og setter den tilbake etter at du har bladd i den. Du skal i alt trekke tilfeldig ut 3 bøker på denne måten. Gå ut fra at du ikke husker hvor du plasserer boka. c) Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 bøkene du trekker, er krimbøker.

6 | SANNSYNLIGHE T

Kjeld, Ketil og Therese skal på skoletur, og utenfor skolen står det tre busser. De tre elevene kommer hver for seg og velger buss helt tilfeldig. a) Hvor stor er sannsynligheten for at Kjeld og Ketil kommer på samme buss? b) Hvor stor er sannsynligheten for at Kjeld, Ketil og Therese kommer på samme buss? c) Hvor stor er sannsynligheten for at to av de tre kommer på samme buss? OPPGAVE 6

Tarjei er en god skytter. Sannsynligheten er 0,8 for at han treffer blinken med et skudd. I en konkurranse skal han skyte på fem blinker. a) Forklar hvorfor vi kan se på skuddene som et binomisk forsøk.

b) Finn sannsynligheten for at han treffer alle de fem blinkene. c) Finn sannsynligheten for at han treffer tre av de fem blinkene.

c) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter, der Henrik er én av guttene. OPPGAVE 9

OPPGAVE 7

a) På en eksamen har elevene fått denne oppgaven: I en boks er det 3 røde penner, 2 gule penner og 1 grønn penn. Det skal trekkes tilfeldig ut 2 penner fra boksen, og du skal ta stilling til følgende to påstander: 1) Det er større sannsynlighet for å trekke 2 røde penner enn 1 rød og 1 gul. 2) Det er mindre sannsynlighet for å trekke 1 gul og 1 grønn penn enn 2 røde. b) I den neste oppgaven er det fortsatt 3 røde penner, 2 gule penner og 1 grønn penn i boksen. Etter eksamen viser Egil fram sin oppstilling av løsning på denne oppgaven:

§ 3 · § 2 · §1· ¨1 ¸ ¨1 ¸ .¨1¸ © ¹ © ¹© ¹ §6· ¨3¸ © ¹

Han husker ikke selve spørsmålet, men hva er det han har regnet ut med denne oppstillingen? OPPGAVE 8

På en biologiekskursjon deltar 10 gutter og 15 jenter. Henrik er elev i gruppa. Seks av elevene skal trekkes ut til et gruppearbeid. Det skjer ved loddtrekning. a) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter. b) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut både gutter og jenter.

Du får tilbud om å delta i et terningspill der du skal kaste to terninger. Det koster 10 kr å delta. Hvis du får én sekser, får du utbetalt 20 kr. Hvis du får sekser på begge terningene, får du utbetalt 150 kr. La X være nettogevinsten din. a) Finn de mulige verdiene av X. b) Finn sannsynlighetsfordelingen for X. OPPGAVE 10

Fjelltrim legger hvert år ut turmål. De som har besøkt alle turmålene i løpet av året, blir med i trekningen av tre hovedpremier. Ingen kan vinne mer enn en premie. I 2019 var det 24 kvinner og 18 menn som var kvalifisert til å delta i trekningen om premie. a) Vis at sannsynligheten er p | 0,4328 for at nøyaktig to av de tre vinnerne er kvinner. b) Bestem sannsynligheten for at flertallet av vinnerne er menn. c) Gå ut fra at det var like mange menn og kvinner som var kvalifisert til premie i 2017 og 2018 som i 2019. Hvor stor er sannsynligheten for at det tre år på rad var nøyaktig to kvinner blant de tre vinnerne. På ett av turmålene passerer deltakerne et fint badevann. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person bader, er 0,10. d) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 3 turdeltakere har badet av de 20 første som passerer? e) Hvor mange turdeltakere må minst ha passert for at det skal være minst 50 % sjanse for at 10 personer eller flere har badet? REPE TISJONSOPPGAVER

277

OPPGAVER • Oppgavene i delkapittel.

ØV MER

gir mer trening i grunnleggende regneteknikker fra hvert

BLANDEDE OPPGAVER og ÅPNE OPPGAVER inneholder ofte stoff • Oppgavene i fra flere temaer. Det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver du skal kunne løse når du er ferdig med et delkapittel.

• I blandede oppgaver er det oftest konkrete spørsmålsformuleringer, men du finner også oppgaver der du må vurdere egne og andres løsninger, samt flervalgsoppgaver. • De åpne oppgavene er ofte større og mer komplekse. Her får du blant annet trening i å jobbe med sammensatte tekster og uoppstilte problemer. Du må noen ganger selv lage problemstillinger som du undersøker ved hjelp av ulike strategier som modellering, utforsking og programmering. I disse oppgavene er det meningen at du skal bruke litt mer tid, og de legger til rette for å trene på å skrive matematiske tekster. De åpne oppgavene har ikke alltid en fasit, og det kan derfor være nyttig å diskutere både oppgavene og løsningene med andre.

Grunnlaget ØV MER

Oppgave 1.115

1.1 KVADRATSETNINGENE

Oppgave 1.110

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 a) x 8

b) x 9 x 9

c) x 5

Oppgave 1.116

d) 3x 1 3x 1

Oppgave 1.111

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 a) 3x 2

b) 4 y 2

Det fins et triks for hvordan vi enkelt kan kvadrere tall som ender på 5. Trikset er slik: Hvis vi skal regne ut 652 kan vi regne ut

d) t 3 3 t

Oppgave 1.112

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 a) x 4 x 4 x 4

b) x 2 x 2

c) t 1 t 1 t 1 t 1

d) 3 t 1 t 1 3 t 2

Oppgave 1.113

Regn ut uten å bruke hjelpemiddel. 5 2 a) 5 2

3 2

6 11 6

9 16 1

3 2 11 25

Vi kan bruke kvadratsetningene i hoderegning. Hvordan kan vi bruke kvadratsetninger for å regne ut disse oppgavene i hodet? a) 532 b) 38 42

c) 4a 2 2 4a

b) c) d)

Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 27 33 b) 192 c) 16 24 d) 222

Oppgave 1.114

Bruk konjugatsetningen og regn ut. a) 31 29 b) 48 52

6 6 1 6 7 42 Vi setter så 25 bak dette svaret. Da får vi at 652 4225. c) Regn ut 35 35 med dette trikset. Kontroller svaret med lommeregneren. d) Hvordan kan vi forklare dette regnetrikset med kvadratsetninger? Oppgave 1.117

a) Hvordan kan vi lage et geometrisk bevis for

a b 2 a b 2 4ab b) Kan vi bruke dette til å lage regneregler som gjør bestemte regneoppgaver lettere å løse i hodet?

1 | GRUNNL AGE T

279

Oppgave 3.195

BLANDEDE OPPGAVER

La funksjonen f være gitt ved f (x ) x 3 a) Finn f c(x ). b) Finn vekstfarten for x 2. c) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet 2, f (2) . d) Et annet punkt på grafen til f har en tangent med det samme stigningstallet som tangenten i oppgave c. Finn likningen for denne tangenten. e) Tegn grafen til f sammen med begge tangentene. Oppgave 3.196

Oppgave 3.200

a) Hva er summen av lengdene på de blå og røde linjestykkene på hver av figurene nedenfor?

Lag et program som skriver ut en tabell for funksjonsverdiene med tilhørende verdier for f c når funksjonen f er gitt ved f (x ) x x 20 2

Tabellen skal ha disse x-verdiene: 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

b c

b A

Oppgave 3.201

Finn grenseverdiene a) lim 2 x 2 3x 4 x o1

b) lim

x o0

x 2 (x 2)3

Oppgave 3.202

Finn grenseverdiene. 4 · § a) lim ¨ 3 x o f x 3 ¸¹ © 3x 3 2 x 8 x o f 5x 3 x 2 7

b) lim

Oppgave 3.203

Finn grenseverdiene. x 2 2x a) lim 3 x o 0 x x 2 6x x o2

318

b) lim

b) Hva går summen av de røde og blå linjestykkene mot når antallet linjestykker går mot uendelig og lengden på hvert linjestykke går mot null?

3 g (x ) x 3 x 2 2

Oppgave 3.197

La funksjonen g være gitt ved

a) Finn g c(x ). b) Bruk CAS og finn vekstfarten for x 2. c) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet 2, g (2) . d) Finn likningen for en annen tangent til grafen til g som er parallell med den første tangenten. e) Tegn grafen til g digitalt sammen med begge tangentene.

3 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON

x 2 2x x 3 x 2 6x

Oppgave 3.204

Oppgave 3.208

Hvis P og Q er polynomfunksjoner slik at P(3) Q(3) 0, kan vi ikke bestemme P(x) uten å gjøre grenseverdien lim

En enkel regel for å beregne alderen til en hund, er å multiplisere antallet «menneskeår» den har levd, med 7. Ut fra denne modellen er en hund som har levd 10 «menneskeår», 70 «hundeår». Denne modellen er ikke særlig nøyaktig, fordi en hund eldes raskest i de første leveårene. Størrelsen på hunden, kjønnet og rasen virker også inn på hvor fort den blir gammel. På internett fins det forskjellige kalkulatorer som regner ut antallet «hundeår» når vi skriver inn hvor mange «menneskeår» hunden har levd. En slik modell er gitt ved funksjonsuttrykket

x o3

Q( x )

nærmere undersøkelser. Gi eksempler på slike polynomfunksjoner P og Q slik at P (x ) P (x ) 0 b) lim 7 a) lim x o 3 Q( x ) x o 3 Q( x ) c) lim

x o3

P (x ) ikke eksisterer. Q( x )

Oppgave 3.205

Funksjonen f er gitt ved x 2 1, x 1 ° f (x ) ® 2 x , 1 d x d 1 ° x 2 3x , x ! 1 ¯ Vis at f er kontinuerlig for 2) x 1 1) x 1 Oppgave 3.206

Funksjonen f er gitt ved f (x )

x 1 x

a) Skriv f (x ) som et delt funksjonsuttrykk. b) Tegn grafen til f . c) Undersøk ved regning om f er kontinuerlig for x 1. Oppgave 3.207

Funksjonen P er gitt ved P(x) x 3 5x 2 2x 24

10, 5x , 0 d x d 2 h(x ) ® ¯4 x 13, x ! 2 der x er antallet «menneskeår», og h(x) er det tilsvarende antallet «hundeår». a) Tegn grafen til h når x [0, 15]. b) Vis at h er kontinuerlig for x 2. c) For hvilken verdi av x gir metoden med å multiplisere antallet «menneskeår» med 7 samme antall «hundeår» som vi får ved å bruke h(x)? En annen modell sier at for å regne ut antallet «hundeår» må vi gå fram slik: Ta antallet «menneskeår» hunden har levd, trekk fra 2, multipliser differansen med 4, og legg så til 21. d) For hvilke verdier av x er denne modellen sammenfallende med modellen gitt ved h(x)?

a) Vis at x 3 er en faktor i P(x). b) Bruk blant annet polynomdivisjon til å faktorisere P(x) i lineære faktorer. c) Bestem lim

x o3

x 3 5x 2 2 x 24 x 3 3 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON

319

Oppgave 4.240

Oppgave 4.242

I en bedrift er overskuddet O(x) i kroner ved produksjon av x enheter av en vare

En bedrift vurderer å starte produksjon av et dusjhode som forbruker mindre vann. De antar at funksjonen

O(x) 0,03x 2 120x 72 000 for x [0, 4000]. a) Ved hvilken produksjonsmengde er overskuddet størst? Hva er overskuddet da? b) Ved produksjon av x enheter er prisen på varen i kroner gitt ved p(x) 220 0,01x Finn inntekten I(x) i kroner ved x produserte enheter når alle enhetene blir solgt. c) Vis at kostnadsfunksjonen ved x produserte enheter er gitt ved 2

K(x) 0,02x 100x 72 000 Ved hvilken produksjonsmengde blir enhetskostnaden lavest? Hva er enhetskostnaden da? Oppgave 4.241

En bedrift modellerer kostnadene K ved produksjon av en vare med modellen K(x) ax 2 bx c

K(x) 0,1x 2 150x 9000 er en god modell for kostnadene i kroner ved produksjon og salg av x enheter den første måneden. Bedriften regner med at dusjhodene kan selges for 200 kr per stykk, og at de får solgt alle varene de produserer. I tillegg vil bedriften søke om engangstilskudd fra et miljøfond for å sette i gang produksjonen. a) Hvor stort tilskudd må bedriften få for å kunne gå med 5000 kr i overskudd den første måneden? Bedriften søker om og får innvilget det engangstilskuddet du fant i oppgave a og starter produksjonen. Med erfaringene fra den første måneden regner de med å redusere de faste månedlige kostnadene til 6000 kr, og at de også klarer å redusere materialkostnadene på 150 kr per enhet. b) Hvor mange prosent må bedriften redusere materialkostnadene med hvis de skal gå med 5000 kr i overskudd også den neste måneden?

Her er x er antallet produserte enheter av varen per uke, og a, b og c er positive konstanter. Bruk CAS til å vise at produksjonsmengden som gir den laveste enhetskostnaden ikke avhenger av b. Kan du forklare hvorfor det er slik uten å regne?

▲ 4.7

346

4 | FUNKSJONER

ÅPNE OPPGAVER Oppgave 4.300

På figuren nedenfor ser du grafene til funksjonene f, f c og f s. y 6 5 4 3 2 1 –1,4 –1,2

–1,0 –0,6 –0,2 –0,8 –0,4 –1 –2

x 0,2

06 0,4

1,0 0,8

1,4 1,2

1,8 1,6

2,2 2,0

–3 –4 –5

Bestem hvilken av grafene som er grafen til f, hvilken som er grafen til f c og hvilken som er grafen til f s. Oppgave 4.301

Funksjonen f er gitt ved f (x) ax 3 bx 2 1 Utforsk og beskriv egenskapene til f når a og b er reelle tall. Oppgave 4.302

De to funksjonene f og g er slik at f c(x) g(x). Hvilken av figurene nedenfor viser grafen til f, og hvilken viser grafen til g? y

4 | FUNKSJONER

347

Eksponentialfunksjoner ØV MER

5.1 DEN NATURLIGE LOGARITMEN

Oppgave 5.110

Finn uten å bruke hjelpemiddel. b) lne 3 a) lne 5 c) 2 lne 2 d) ln(e 4 e 2 ) § e3 · § e 0,5 e 3 · e) ln ¨ 7 ¸ f) ln ¨ 1,5 ¸ ©e ¹ © e ¹ Oppgave 5.111

Trekk sammen uttrykkene. a) ln(x 3 ) 2 ln(x 2 ) 1 b) 2 ln(x 2 ) ln x c) ln 2 ln 4 ln 8 Oppgave 5.112

Trekk sammen uttrykkene uten bruk av hjelpemiddel. Løs deretter oppgaven digitalt. 1 a) ln x 5 ln 3 2 ln x 4 x 3 b) ln ln 9 y 3 ln 27 y

Oppgave 5.113

En elev har løst likningen e x 5 i CAS på denne måten:

Eleven syns at svaret ser «rart» ut. Har eleven løst likningen feil? Forklar.

354

5 | EKSPONENTIALFUNKSJONER

Oppgave 5.114

Bruk den naturlige logaritmen, og løs likningene uten hjelpemiddel. b) 3 2x 18 a) 2e x 6 2 x d) e x 81 c) 3 5 18 Oppgave 5.115

Løs likningene både uten hjelpemiddel og digitalt. a) 3 0, 6 x 9 ex 1 b) x 1 2e 3 Oppgave 5.116

Løs likningene. a) ln(x 1) ln 5 b) ln(x 1) 2 c) ln x 3 ln x 2 5 0 1 d) ln x 5 ln 3 4 0 x Oppgave 5.117

Løs likningene uten bruk av digitale hjelpemiddel. a) (ln x )2 ln x 2 0 b) 7 ln x 2(ln x )2 3 c) (ln x )2 ln x 0

Oppgave 5.145

Når en fabrikk produserer x enheter av en vare per dag, er kostnaden i kroner per dag gitt ved K(x) 0,1x 2 200x 5000 for x [0, 500]. a) Finn et uttrykk for enhetskostnaden E(x), og tegn grafen til E digitalt i et koordinatsystem. b) Finn den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad. Hvor stor er enhetskostnaden da? Etterspørselen per dag etter denne varen er gitt ved q(p) 2600 400 ln p, p [250, 500] der p er prisen i kroner. Bedriften produserer akkurat den mengden som blir solgt. c) Finn etterspørselen når prisen er 400 kr. d) Finn den prisen som gir lavest enhetskostnad. e) Finn overskuddet når prisen er 350 kr. Oppgave 5.146

Prisen per kilogram lammelår kan variere mye i løpet av en periode. En forretning har funnet denne sammenhengen mellom prisen p i kroner per kilogram og etterspørselen q(p) i kilogram per uke: q(p) 4500 800 ln p for p [60, 130]. a) Finn etterspørselen når prisen er 90 kr. b) Tegn grafen til q.

c) Finn grafisk prisen når etterspørselen er 670 kg. d) Finn prisen når etterspørselen er 1046 kg. e) Finn et uttrykk for inntekten I(p) i kroner per uke. f) Finn den prisen som gir maksimal inntekt. Oppgave 5.147

En elevbedrift har vært kreativ og innhentet oppskrift på bestemors fiskesuppe. De har spurt skolens ledelse om å få disponere et hjørne av kantina der de kan selge denne suppa til elevene i midttimen. Den daglige etterspørselen antas å følge funksjonen q(p) 600 e 0,02 p der p er prisen per porsjon i kroner. a) Hvor stor blir etterspørselen hvis elevene tar 40 kr per porsjon? b) Finn qc(p) og forklar hvordan etterspørselen er avhengig av prisen. En dag hadde ikke elevene kapasitet til å lage mer enn 300 porsjoner fiskesuppe. c) Hva måtte prisen settes til for at de akkurat skulle få solgt ut alle porsjonene denne dagen? d) Finn et uttrykk for inntekten I(p) per dag ved prisen p, og finn inntekten når prisen er 40 kr. Kostnaden ved å lage suppa er beregnet til 10 kr per porsjon. Vi regner heretter med at all produsert fiskesuppe selges. e) Bestem et uttrykk for overskuddet som elevbedriften vil få per dag. f) Hva må de sette prisen til for at overskuddet skal bli størst mulig, og hvor stort blir dette overskuddet?

5 | EKSPONENTIAL FUNKSJONER

359

5.5 ØNSKET ETTERSPØRSEL

Oppgave 5.152

Oppgave 5.150

For en vare er den prisen i kroner som gir etterspørselen q per uke, gitt ved

I en forretning er den prisen i kroner som gir etterspørselen q i kilogram per dag etter appelsiner, gitt ved

a) b) c)

p(q) 22 0, 025q, q ª¬100, 400 º¼ Finn prisen når etterspørselen er 300 kg per dag. Finn etterspørselen i CAS og ved regning når prisen er 18,00 kr. Finn funksjonsuttrykket I(q) for inntekten per dag når vi kjenner etterspørselen q. Hva er inntekten når etterspørselen er 300 kg per dag? Finn etterspørselsfunksjonen q(p) for appelsinene. Bruk denne funksjonen til å kontrollere svaret i oppgave b.

a) Finn prisen i hele kroner når etterspørselen per uke er 1) 250 2) 340 b) Finn etterspørselen i CAS og ved regning når prisen er 39 kr. c) Finn funksjonsuttrykket I(q) for inntekten per uke ved salg av q enheter av varen. d) Finn i CAS og ved regning den etterspørselen som gir høyest inntekt. Hva er prisen og inntekten da? e) Finn etterspørselsfunksjonen q(p) i CAS og ved regning. Bruk denne funksjonen til å kontrollere svaret i oppgave b.

Oppgave 5.151

Oppgave 5.153

For en vare er den prisen i kroner som gir etterspørselen q per dag, gitt ved

En forretning har funnet ut at den prisen i kroner som gir etterspørselen q per måned etter en vare, er

p(q)

12 000 5q , q ª¬50, 100 º¼ q

a) Hva må prisen være for at etterspørselen skal bli 75 per dag? b) Finn etterspørselen i CAS og ved regning når prisen er 195 kr. c) Finn funksjonsuttrykket I(q) for inntekten per dag ved salg av q enheter av varen. d) Finn inntekten når etterspørselen er 75 per dag. e) Hvor stor er etterspørselen når inntekten er høyest? Hvor stor er inntekten da? f) Finn etterspørselsfunksjonen q(p) for denne varen. Bruk denne funksjonen til å kontrollere svaret i oppgave b.

p(q) 125e 0,004 q , q ª¬200, 400 º¼

360

5 | EKSPONENTIAL FUNKSJONER

p(q) 5000 2200 lg q der q [50, 100]. a) Finn etterspørselen når prisen er 1) 1000 kr 2) 600 kr b) Finn funksjonsuttrykket I(q) for inntekten per måned ved salg av q enheter av varen. c) Tegn grafen til I digitalt. d) Finn digitalt den etterspørselen som gir høyest inntekt. Hvor høy er inntekten da? e) Finn etterspørselsfunksjonen q(p) i CAS og ved regning. Bruk denne funksjonen til å kontrollere svaret i oppgave a.

Oppgave 5.154

Robinson dyrker frukt. Pelle Pirat vil kjøpe noe av frukten til Robinson. Han er villig til å kjøpe q kasser med frukt og betale p(q) kroner per kasse, der p(q) 3000 500 ln q, q ª¬100, 400 º¼ a) Finn den prisen som Robinson får per kasse hvis han selger 300 kasser frukt til Pelle Pirat. Hva blir inntekten da? b) Finn funksjonsuttrykket I(q) for inntekten som Robinson får hvis han selger q kasser med frukt. c) Finn hvor mange kasser Robinson må selge for at inntekten skal blir størst mulig. d) Vis at hvis Robinson vil ha p kroner per kasse, må han selge q(p) kasser frukt til Pelle Pirat, der q( p) 403e 0,002 p e) Bruk uttrykket i oppgave d til å kontrollere svaret i oppgave a.

5.6 REGRESJON

Oppgave 5.160

En større forretning selger appelsiner og har funnet denne sammenhengen mellom prisen p i kroner og etterspørselen q i kilogram per uke: p (kr)

2000

1650

1400

1300

a) Finn ved regresjon den etterspørselsfunksjonen q1 ( p) ap b som passer best med dataene. b) Tegn digitalt grafen til q1 sammen med punktene i tabellen i et koordinatsystem. c) Finn ved regresjon den etterspørselsfunksjonen q2 ( p) ae bp som passer best med dataene i tabellen. d) Forretningen vurderer å sette prisen på appelsinene til 18 kr. Finn forventet etterspørsel etter appelsinene ved å bruke q1 og ved å bruke q2.

5 | EKSPONENTIAL FUNKSJONER

361

BLANDEDE OPPGAVER

Temperaturen T(x) målt i celsiusgrader i en termos er etter t timer gitt ved

Oppgave 5.200

Trekk sammen uttrykket. Vis utregning.

ln x 2 y ln

y x ln 2 x y

Oppgave 5.201

På en matematikkprøve hadde en elev løst likningen

ln x

ln x 12

på denne måten:

ln x

Oppgave 5.204

ln x 12 2 ln x ln x 12 3 ln x 12 12 ln x 4 3 e ln x e 4 x e4 Eleven satte prøve på løsningen og fikk: 2 VS. ln e4 ln e4 8 4 12 HS: 12 Vurder løsningen. Oppgave 5.202

Hvilket av disse to uttrykkene er størst? 1) ln1 ln e ln e 2 ln e 3 · § a2 2 5 2 2) ¨ ln 4 ¸ ln(a b ) ln a © b ¹ Oppgave 5.203

Løs likningene ved regning og digitalt. a) ln x 2 2 ln x 8 b) ln x 3 ln x 2 ln x 12 0 ▲ 5.1

T(x) 91 e 0,08t, t [0, 24] Hvor mye synker temperaturen etter 3 timer? Oppgave 5.205

Vi har en prøve på 100 mg med det radioaktive stoffet polonium. Etter t minutter er mengden polonium i milligram gitt ved P(t) 100 0,794t a) Hvor mye polonium har vi etter 1 minutt og etter 5 minutter? b) Hvor mye avtar mengden polonium etter 1 minutt og etter 5 minutter? c) Bestem halveringstida til polonium. Løs oppgaven på tre forskjellige måter. Oppgave 5.206

Når vi tar medisiner, vil medisinmengden i kroppen avta etter hvert som tida går. For noen medisiner endres mengden etter formelen y 20 e 0,0866t der y er mengden i milligram i kroppen t timer etter at dosen er tatt. Hvor mye minker medisinmengden i kroppen per time 2 timer etter at dosen ble tatt? Oppgave 5.207

Antallet biller i en stamme er 4000. Veksten er 8 % per døgn. Regn ut vekstfarten til billestammen om 5 døgn. ▲ 5.3

364

5 | EKSPONENTIAL FUNKSJONER

Oppgave 5.208

Oppgave 5.210

Etterspørselen etter en vare per måned med prisen p i kroner er

For en vare er den prisen i kroner som gir etterspørselen q hver dag gitt ved

q(p) 600 p 1,6, p [20, 45] a) Finn etterspørselen når prisen er 20 kr. b) Finn prisen når etterspørselen er 344 per måned. c) Finn et uttrykk I(p) for inntekten per måned. d) Hvilken pris gir maksimal inntekt? Hva er inntekten da? e) Finn et uttrykk for prisen p(q) ved etterspørselen q. Bruk uttrykket og kontroller svaret i oppgave b. Oppgave 5.209

I en sesong da prisen er p i kroner, har «AS Sykkelbua» denne etterspørselen etter en bestemt sykkel: q(p) 150 0,03p, p [1800, 3000] Finn den prisen som gir størst inntekt. Hvor stor er etterspørselen da? Hva er inntekten da?

p(q) 180 20 ln q, q [10, 130] a) Hvilken pris må bedriften ta for å selge 80 enheter? b) Lag en formel for etterspørselen som funksjon av prisen. c) Hvilken pris gir den høyeste inntekten? Hva er inntekten da? Oppgave 5.211

Ved produksjon av en vare er etterspørselen q(p) per uke gitt ved q(p) 625e 0,026p, p [20, 70] der p er prisen i kroner. a) Hvor mange enheter blir solgt per uke når prisen er 50 kr? b) Vis at prisen i kroner som funksjon av etterspørselen er tilnærmet gitt ved p(q) 247,6 38,5 ln q c) Hva er prisen når etterspørselen er 300 enheter per uke? Den faste kostnaden for produksjonen er 4000 kr per uke, i tillegg koster det 8 kr å produsere en enhet. d) Vis at overskuddet O(p) per uke uttrykt ved prisen p er gitt ved O(p) 625p 5000 e 0,026p 4000 e) Hva er det største overskuddet, og hva selges varen for da?

5 | EKSPONENTIAL FUNKSJONER

365

Oppgave 5.212

Ved produksjon av en vare er etterspørselen q(p) per dag ved prisen p i kroner gitt ved q(p) 500 e

, p [20, 70]

0,02p

a) Finn etterspørselen når prisen er 40 kr. b) Finn ved regning den prisen som gir etterspørselen 150. c) Finn et uttrykk for inntekten I(p) ved prisen p. d) Finn ved regning den prisen som gir høyest inntekt. Hva er inntekten da? e) Kostnaden K(x) i kroner per dag ved produksjon av x enheter er K(x) 2x 7800 Produsenten selger alle varene som blir produsert. Sett x q(p) og finn kostnaden K(p) ved prisen p. f) Vis at uttrykket for overskuddet O(p) i kroner ved prisen p er O(p) 500 (p 2) e 0,02p 7800 g) Finn den prisen som gir størst overskudd. Hvor stort er overskuddet da? Oppgave 5.213

For en bedrift er overskuddet O(x) i kroner ved produksjon av x enheter gitt ved

b) Hvilket produksjonsvolum gir det største overskuddet, og hva er overskuddet da? Når bedriften produserer x enheter, er kostnaden gitt ved K(x) 0,03x 2 80x 120 000 for x [0, 3000]. c) Sett opp et uttrykk for enhetskostnaden E(x). Ved hvilken produksjonsmengde blir enhetskostnaden lavest? Hva er enhetskostnaden da? Bedriften selger alle enheter som blir produsert. d) Vis at prisen P(x) per enhet ved produksjon av x enheter er gitt ved P(x) 300 0,02x Hva vil prisen på enhetene variere mellom? Bedriften har i tillegg et annet produkt som de produserer og selger en del av. Dette produktet blir priset mellom 120 kr og 180 kr. Bedriften har funnet følgende sammenheng mellom prisen p i kroner og etterspørselen q per uke: p (kr)

120

150

180

1350

1110

900

e) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen på formen q(p) a e k p

O(x) 0,05x 220x 120 000 for x [0, 3000]. a) Ved hvilke produksjonsmengder får bedriften et positivt overskudd?

366

5 | EKSPONENTIAL FUNKSJONER

som passer best med verdiene i tabellen ovenfor. ▲ 5.6

ÅPNE OPPGAVER Oppgave 5.300

Tenk deg at du setter 1000 kr i banken til ei årlig rente på 100 %, og at pengene står urørt i 1 år. a) Hvor mye har du på kontoen etter 1 år når renta blir lagt til én gang i året? b) Hvor mye har du på kontoen etter 1 år når renta blir lagt til hvert kvartal? c) Hvor mye har du på kontoen etter 1 år når renta blir lagt til hver måned? d) Hvor mye har du på kontoen etter 1 år når renta blir lagt til hver dag? e) Hvor mye har du på kontoen etter 1 år når renta blir lagt til hver time? f) Hvor mye har du på kontoen etter 1 år når renta blir lagt til hvert minutt? g) Hvor mye har du på kontoen etter 1 år når renta blir lagt til hvert sekund? h) Tenk deg at renten blir lagt til n ganger i året. Forklar at den innestående summen etter 1 år er gitt ved formelen § 1· K 1000 ¨ 1 ¸ © n¹

og gi en tolkning av resultatet. i) Hvilken sammenheng er det mellom det du fant i oppgave h og eulertallet e? j) Undersøk hvordan det blir hvis du får ei rente på 4 % i stedet for 100 %. Oppgave 5.301

Bedriften «Goodwill» har funnet denne sammenhengen mellom prisen p i kroner og etterspørselen q per dag: p (kr)

200

250

300

350

400

500

425

365

310

270

Bedriften har bedt deg om råd om hvilken pris de bør ta for varen for å få høyest mulig inntekt. Hvilken pris anbefaler du for bedriften?

5 | EKSPONENTIAL FUNKSJONER

367

Sannsynlighet ØV MER

Oppgave 6.114

a) Vis at 6.1 BINOMIALKOEFFISIENTER

Oppgave 6.110

• • • •

ved regning på lommeregneren i GeoGebra ved å bruke pythonprogrammet på side 217

Bestem verdien på tallet k uten å bruke hjelpemiddel. 7 9 7 8 k 8 Oppgave 6.116

En rad i pascaltrekanten er som nedenfor. Skriv de to neste radene. 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Oppgave 6.117

I pascaltrekanten finner vi denne «blomsten» (15) med sine kronblad (5, 10, 20, 35, 21 og 6).

Oppgave 6.113

a) Vis at §3· § 3· § 4 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©1¹ ©2¹ © 2 ¹ b) Vis at for n 2, 3, 4, ... er § n · § n · § n 1· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ©1¹ ©2¹ © 2 ¹

370

6 | SANNSYNLIGHE T

5 6

10 15

10 20

a) Multipliser de tallene som er farget gule, og multipliser de tallene som er farget oransje. Hva finner du? b) Undersøk om vi finner det samme mønsteret i andre «blomster» i pascaltrekanten.

Oppgave 6.173

6.7 STOKASTISKE VARIABLER

Oppgave 6.170

I ei krukke er det tre røde og fem blå terninger. Vi trekker tilfeldig to terninger og lar X være tallet på røde terninger i utvalget. a) Hva er de mulige verdiene for X? b) Regn ut. 2) P(X 1) 1) P(X 0) 3) P(X 2) Oppgave 6.171

La X være tallet på hull i tennene som en pasient har etter at vedkommende fikk stelt tennene sine sist. Tabellen viser de mulige utfallene og de tilhørende sannsynlighetene. x

P(X x)

0,28 0,20 0,10 0,08 0,04

P(X x) står for sannsynligheten for at det er akkurat x hull i tennene. Vi ser bort fra at noen har seks hull eller mer. a) Finn verdien av p. b) Finn P ( X 3). c) Finn P (1 X d 4). d) Et ektepar er kalt inn til tannlegen for en årlig rutinekontroll. Finn sannsynligheten for at de til sammen har mindre enn to hull. Oppgave 6.172

I et lotteri er det i alt 4000 lodd. Det er 10 gevinster med verdi 2500 kr, 50 gevinster med verdi 500 kr og 100 gevinster med verdi 100 kr. Vi trekker tilfeldig ett lodd og lar X være verdien av gevinsten. a) Finn P(X 0). b) Finn sannsynlighetsfordelingen for X. c) Finn P(X ! 0). d) Finn P(X t 500).

I aldersgruppa 16 24 år snuser 18 % av ungdommene. Vi intervjuer tilfeldig valgte ungdommer i denne aldersgruppa. La X være tallet på hvor mange vi må intervjue før vi møter en som snuser. a) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ungdom i den nevnte aldersgruppa ikke snuser. b) Finn utfallsrommet til X. c) Finn P(X 1), P(X 2) og P(X 3). d) Finn P(X d 1), P(X d 2) og P(X d 3). e) Finn en formel for P(X n). f) Bruk formelen fra oppgave e og finn sannsynligheten for at vi må intervjue 10 personer før vi møter en ungdom som snuser. g) Ta utgangspunkt i Pythonprogrammet på side 256 og lag et program som skriver ut P(X a) og P(X d a) for a 1, 2, …, 10. Oppgave 6.174

På en trafikkert skolevei er fartsgrensen 40 km/h. Kontroller over tid har imidlertid vist at 15 % av bilistene har høyere fart enn tillatt. I løpet av en morgentime gjennomføres det fartsmålinger. Politiet bestemmer seg for at de slutter å gjennomføre fartsmålinger med en gang noen blir tatt for å kjøre for fort. La X være tallet på biler som politiet måler farten på. a) Finn P(X 4) b) Finn P(X d 4) c) Lag et program som skriver ut P(X a) og P(X d a) for a 1, 2, …, 15. d) Hvor mange biler må passere for at sannsynligheten for at noen blir tatt skal være på minst 80 %? 6 | SANNSYNLIGHE T

377

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 6.202

Nedenfor ser du fire forskjellige programmer for å regne med fakultetsfunksjonen. Forklar hvordan programmene fungerer, og gjør endringer i de programmene som ikke regner riktig.

Oppgave 6.200

Vi har tatt ut dette tallmønsteret fra pascaltrekanten. 462

165

792

Variant 1: 1

Finn x og y.

n = 5 fak = 1

Oppgave 6.201

a) Vis at

for i in range(n): fak *= i

print(fak)

Variant 2:

Vi har markert en spesiell rekke i pascaltrekanten.

1 2

n = 5 fak = 1

4 5

1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 4

Variant 3: 1

1 2

6 7

c) Hvordan kan vi finne kvadrattallene

while i <= n: fak *= i i += 1

8 9

print(fak)

Variant 4: 1

1, 4, 9, 16, 25, …

n = 5 fak = 1 i = 1

4 5

print(fak)

for i in range(n): fak *= n-i

n = 5 fak = 1

ut fra den spesielle rekka?

4 5 6

while n > 1: n -= 1 fak *= n

7 8 9

382

6 | SANNSYNLIGHE T

print(fak)

Oppgave 6.214

Oppgave 6.216

I ei matematikkgruppe er det 12 gutter og 14 jenter. a) Alle er ute i friminuttet. Hvor mange måter kan de komme inn i klasserommet på når det ringer og de går inn en og en? b) Det er 30 pulter i klasserommet. Hvor mange måter kan de sette seg ned på når de får sette seg hvor de vil? c) To elever i klassen skal velges inn i elevrådet. På hvor mange måter kan vi velge ut to elever i klassen? d) Fire gutter og fire jenter skal plukkes ut til et prosjektarbeid. Hvor mange måter kan det gjøres på?

De 7 vennene Anne, Bahman, Claus, Doris, Ella, Fritz og Gørild skal stille seg i en kø, og de har hvert sitt ønske om rekkefølgen:

Oppgave 6.215

Ei gruppe med 20 elever og 2 lærere har fått 10 billetter til å se en dramaforestilling. De blir enige om å trekke lodd om hvem som skal få billettene. De lurer på hvor mange måter dette kan gjøres på når minst en av instruktørene skal være med. Henriette foreslår denne oppstillingen: § 2 · § 20 · ¨ ¸ ¨ ¸ ©1¹ © 9 ¹

• Anne syns ikke rekkefølgen betyr noe • Bahman vil ikke stå først i køen • Claus vil at Bahman, Fritz og han selv skal ha de 3 første plassene i køen • Doris vil stå på en av de 3 midterste plassene • Ella vil stå ved siden av Fritz • Fritz vil at de ikke skal stå i alfabetisk rekkefølge etter navn • Gørild vil stå et sted mellom Anne og Ella Vennene har også satt opp uttrykk for hvor mange rekkefølger de kan stille seg opp i hvis det tas hensyn til ønskene: 2 6

3 6

7 6

7! 2 3!

3 4

7 1

a) Koble regnestykkene til riktig ønske. b) Er det mulig for vennene å stille seg i køen slik at alle får ønsket sitt oppfylt?

Forklar hvordan Henriette og Grete har tenkt. Er det noen av dem som har tenkt riktig? ▲ 6.3

6 | SANNSYNLIGHE T

385

Oppgave 6.305

200

100

5000

Du er med i et underholdningsprogram på tv hvor du får snurre et av de 4 lykkehjulene nedenfor én gang. Premien blir like mange tusenlapper som det tallet lykkehjulet du velger, stopper på.

36° 300

400

200 36°

300

a) Hvilket av lykkehjulene ville du valgt? Bruk det du kan om sannsynlighetsregning og stokastiske variabler til å begrunne valget. b) Programlederen tilbyr deg at du i stedet for å spinne et hjul én gang, kan du spinne det samme hjulet 100 ganger. Du får så mange 10-kroner som lykkehjulet stopper på i hvert spinn. Vil du velge det samme lykkehjulet i dette tilfellet? Oppgave 6.306

a) Vi velger tilfeldig en mor som er med i statistikken i tabellen nedenfor. Hva er sannsynligheten for at det første barnet hun fikk var jente? Antall kvinner Mødre som har født minst ett barn 1 079 64 1 I alt 525 040 1 jente 554 60 1 1 gutt Mødre som har født minst to barn 860 209 I alt 203 373 2 jenter 430 534 1 jente og 1 gutt 226 302 2 gutter Mødre som har født minst tre barn 368 445 I alt 43 94 1 3 jenter 130 883 2 jenter og 1 gutt 139 951 1 jente og 2 gutter 53 670 3 gutter Mødre som har født minst tre barn 95 993 I alt 6 048 4 jenter 22 484 3 jenter og 1 gutt 34 095 2 jenter og 2 gutter 25 446 1 jente og 3 gutter 7 920 4 gutter Kvinner født om lag 1935–1991. Kvinner med flerlinger og kvinner født i utlandet av utenlandsfødte foreldre er ikke tatt med. Kilde: Befolkningsstatistikk, Statistisk sentralbyrå.

b) «Dersom det første barnet en kvinne får, er et jentebarn, øker sannsynligheten for at det neste barnet også er et jentebarn.» Bruk tallene i tabellen til å drøfte denne påstanden.

398

6 | SANNSYNLIGHE T

Oppgave 6.307

I vennegjengen til Xabi har de en tippekonkurranse hver helg. De velger ut 4 kamper, og så skal vennene tippe hvor mange kamper som ender med hjemmeseier, uavgjort og borteseier. Hvis Xabi vil tippe 3 hjemmeseire, 0 uavgjorte og 1 borteseier, sier vi at tipset hans er 3-0-1. Det har ikke noe å si hvilke av kampene som ender med de ulike utfallene. a) Lag ei liste med alle de mulige resultatene i tippekonkurransen. Hvor mange ulike resultater er det? Xabi registrerer resultatene ved å lage 3 spalter på et ark. Når alle kampene er spilt, har han ei linje med 4 kryss og 2 streker. Eksempel på utfylling: H U B

x x x xx x xx x x

Før kampene Kamp 1 : Uavgjort Kamp 2: Hjemmeseier Kamp 3: Hjemmeseier Kamp 4: Borteseier

b) I hvor mange rekkefølger kan vi sette 4 kryss og 2 streker? Oppgi svaret som en binomialkoeffisient, og regn også ut verdien og sammenlikn med svaret i oppgave a. c) Hvor mange ulike resultater blir det hvis det er 10 kamper i tippekonkurransen i stedet for 4? d) Jørgen har 10 tusenlapper han vil gi til de 5 barnebarna sine. Hvor mange måter kan han fordele tusenlappene på? e) Vi har ei urne med baller i n ulike farger. Vi trekker én ball, noterer fargen, og legger den tilbake i urna. Dette gjør vi k ganger, og skriver så opp hvor mange ganger vi har fått hver farge. § n k 1· ¸. © n 1 ¹

Forklar at antall mulige utfall er ¨ Oppgave 6.308

Liv samler på klistremerker, og mangler bare ett merke for å ha en komplett samling med 200 merker. Hun kjøper klistremerkene i pakker med 5 tilfeldige, men ulike merker per pakke. Hun vil fortsette å kjøpe pakker helt til samlingen er komplett. La X være antall pakker hun må kjøpe før det skjer. a) Forklar at X 5 hvis og bare hvis de 4 første pakkene Liv kjøper, ikke inneholder merket hun mangler, men den 5. pakka hun kjøper, gjør det. b) Vis at P(X 5) 0,9754 0,025 | 0,0226. c) Finn et uttrykk for P(X k). d) Vi sier at variabelen X har en geometrisk fordeling. Finn ut mer om geometriske fordelinger, og lag et eksempel med forklaring.

6 | SANNSYNLIGHE T

399

FASIT TEORIDEL 1

1.25 Se fasit 1.23.

1.10 a) x 2 10x 25 b) x 2 2x 1 c) t 6t 9 d) a 2 9 e) x 2 16

1.30 a) x 1 x 2

b) x 1 x 7

c) x 3 x 1

d) x 1 x 1 x 1 2

1.11 a) t 2 3 1 b) x 2 x 4 c) 4x 2 25 2 d) 9x 12x 4 e) 25x 2 10x 1 1.12 a) 2x 2 b) 12x c) 8x 33 d) 2t 2 3t 20 1.13 b) En terning med sidekant a b 1.14 b) Vi kan ikke tegne 4-dimensjonale figurer. 1.20 a) 3 x 2

b) x 2x 3

c) 2y 2 y 2

d) 2x x 2 2x 3

1.21 a) 2x y 2 2

b) 5xy y 2

c) ab ab 3a 1

d) 3x x 2y 3

1.22 a) x 3 x 3

b) t 4 t 4

x x

1 2

d) 2 x 2 x 2

1.23 a) 2x 3 2x 3

b) Kan ikke faktoriseres c) 3x 1 3x 1

d) 3x 2x 5 2x 5

1.24 Se fasit 1.21.

402

1.31 a) x 2 x 4

b) x 3 x 4

c) x 5 x 3

d) x 3 x 3 x 3 2 1.32 a) 3 x 1 x 3

b) 4 x 1 x 5

c) x x 1 x 2

d) x 2 x 2 x 2

2x 1 x 3

1.41 a) x 3

2 x 2 2

x 1 x 2 x 2 3

6 7 2x 3 2

1.42 a) 4

1.43 a) 1

c) 2

1.44 a)

d) 0

x 4

7 3x 3 1 x 1

1.50 a) x b) x c) x d) x

1 eller x 3 1 eller x 6 1 eller x 4 2 eller x 1

1.60 a) x 2 eller x 3 b) x 3 eller x 2 c) x 1 d) Ingen løsning e) x

4 3

3 2

eller x

1.61 Se fasit 1.60. 1.62 Se fasit 1.60.

1.33 a) Fullstendig kvadrat. x 1 2 b) Ikke fullstendig kvadrat c) Fullstendig kvadrat. x 3 2 d) Fullstendig kvadrat. x 5 2 1.40 a) 2x 3

1.51 a) x b) x c) x d) x

x 4 x 4 3x 10 4 2 x2 x 6 x3 4x

1.63 Lengde: 70 m Bredde: 50 m 1.64 a) To løsninger: x 1 og x 3 b) To løsninger: x 1,68 og x 3,62 c) En løsning: x 1 d) Ingen løsning 1.70 a) x 2 x 6

b) x 1 x 2

c) 2 x 3 x 5

d) 6 x

1 3

2x 1 3x 1

1.71 a) x 2 x 4

b) x 3 2 c) Ikke mulig 1.80 a) x ! 2 1 c) x

b) x 2 d) x d 4

1.81 a) x 3

b) x !

2 3 1 x 2

c) x ! 5 eller x 0 2 eller x 1 2 eller x 5 2 eller x 3

1 2

7 5 2 x ! 9

6.229 x (kr) P(X x)

500

0,76

0,20

0,04

6.230 a) 0,1296 b) 0,5904 c) 0,128 d) 0,192

6.252 a) 0,0355 b) 0,0095 c) 0,3258 d) 0,8891

6.240 a) 0,3950 b) 69 ganger 6.241 a) 0,718 b) 60,1 %

6.253 a) 0,1762 b) 0,5881 c) 0,0571

6.242 Spiller B 6.243 15 a)

6.231 x

P(X x)

2 5

1 5

13 28

6.244 Ja, sannsynligheten er 15 hvis 28

du trekker fra eske A. Den er 15 6.233 a) Utfallsrommet er alle de naturlige tallene. b) 0,0029 c) 0,047 d) 0,266 e) 12 bilister 6.234 a) 0,24 b) 0,26 c) 0,63

b) 0,1821 c) 0,8298 d) x 14

6.245 a) 1 b)

253 689 1265

6.237 b) 1) 0,00032 2) 0,0512 3) 0,9933 4) 0,6723

| 0, 5447

6.257 Alternativ 1 er riktig, hypergeometrisk modell.

6.238 a) 0,290 b) 0,115 c) 0,229 6.239 a) 0,04 b) 0,6296 c) 0,9196 d) Minst 18 kast e) 0,0604

6.258 a) 0,050 b) 0,402 c) 0,498 d) 7

6.248 a) 1) 0,21 2) 0,97 b) 1) 0,04 2) 0,42 3) 0,05 6.249 a) 0,3779 c) e)

1 81 16 27

6.300 a) 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70

b) 0,9944

0, 0123 d) 0, 5926

6.250 a) 0,2639 b) 0,99 c) 0,9044

91 4 | 0, 44 9

6.256 a) 0,4762 b) 0,6778 c) 0,8842

6.255 a) Hypergeometrisk forsøk 45 b) | 0, 49 d)

220 27 220

6.246 78 a) | 0, 3083 b)

6.235 a) 0,358 b) 0,642 c) 0,075 6.236 a) P ( X x )

hvis du trekker fra eske B.

6.254 a) 0,3001 b) Binomisk fordeling c) 0,001 d) 0,9590

8 27

0, 2963

·¸¹ | 0,133 5 6

6.251 a) 0,2951 b) 0,9735

427

STIKKORD A andrederivert 142 andregradsformelen 23 ff, 42 andregradslikning 20 ff andregradsulikhet 36 ff asymptote 163, 173 – horisontal 163 – skrå 164, 173 – vertikal 163 B betinget sannsynlighet 249, 273 bevis – derivasjonsregler 127 binomialkoeffisient 216 ff, 272 binomisk – forsøk 259 ff – modell 259 briggsk logaritme 59 ff, 77 – regneregler 62 ff, 77 bunnpunkt 135, 145, 172 C ceil-funksjon 86 D definisjonsmengde 48 delingspunkt 99 delt funksjonsuttrykk 85, 97 ff, 128 derivasjon se derivert derivasjonsregler 123, 127, 129, 164, 173, 188, 189 deriverbar 116, 120 derivert 115 ff, 118 ff, 129 – andre- 142 – definisjon 118 – dobbelt- 142 – eksponentialfunksjoner 186 ff, 209 – fjerde- 142 – n-te 122 – polynomfunksjoner 123 ff, 129 – rotfunksjon 164 – tolkning 116 – tredje- 142 deterministisk forsøk 253 differanse – mengde- 48 diskontinuerlig funksjon 83 ff diskriminant 26 dobbeltderivert 142

428

E eksponent 50 ff – rasjonal 54 eksponentialfunksjon 57, 186 – derivert 186 ff, 189, 2009 eksponentiallikning 64 ff – praktisk bruk 69 eksponentiell vekst 57 ff, 190 ff ekstremalpunkt 135 ekvivalent 45 ekvivalens 45 – -tegn 45 element i ( -tegnet) 48 eller ( -tegnet ) 45, 47 enhetskostnad 168 etterspørsel 193, 2009 – ønsket 201 ff eulertallet e 180, 209 F faktor 10 faktorisering 10 ff – andregradsuttrykk 13 ff – nullpunkts- 27, 42 faktorisert 10 fakultet 215, 272 fjerdederivert 142 floor-funksjon (heltallsverdi) 86, 128 forsøk – binomisk 259 ff, 273 – deterministisk 253 – hypergeometrisk 266 ff, 273 – stokastisk 253 fortegnslinje 36 ff fullstendig kvadrat 16 funksjon – delt funksjonsuttrykk 85, 97 ff, 128 – den deriverte 115, 123 – diskontinuerlig 83 ff – drøfting 135 ff, 143 ff – eksponential- 57, 186 – grenseverdi 88 ff – kontinuerlig 83, 94 ff, 128 – krumning 143 – logaritme- 205 – polynom- 96 – potens- 164 ff – rasjonal 96 – rot- 164 ff

G gjennomsnittlig vekstfart 108 ff, 110 grenseverdi 90 ff, 103 ff – polynomfunksjon 96 – rasjonal funksjon 96 – rasjonale uttrykk 105, 128 – regler 88 ff – setninger 91, 128 grunntall 50 – logaritme 61 – potens 50 gyldig sannsynlighetsmodell 237, 272 H hele tall 47 heltallsmetoden 13 ff, 42 heltallsverdi (floor) 86, 128 hending 238, 239, 272 – ikke A, A 239, 272 – sannsynlighet 239, 240 – uavhengige 243, 273 horisontal asymptote 163 hypergeometrisk – forsøk 266 ff – modell 266 I implikasjon 45 inntekt 159, 173, 209 intervall – lukket 49 – åpent 49 irrasjonale tall 48 K konjugatsetningen 8, 11, 42 konkav 143 kontinuerlig funksjon 83 ff, 94 ff, 99, 120, 128 – deriverbar 120 konveks 143 kostnad 157, 159, 173 – enhets- 168, 173 – fast 157 – overproporsjonal 157 – proporsjonal 157 – variabel 157 krukkemodell 221 krumning 143, 144, 172 kvadratsetning 8, 42 – andre 8, 42 – første 8, 42 – tredje 8, 11

L ledd 10 likning – andregrads- 20 ff – eksponential- 64 ff – logaritme- 73 ff listeform (mengder) 48 logaritme 59 ff – briggsk 61 ff, 77 – likning 73 ff – naturlig 181, 209 – -regler 62 ff, 77 logaritmefunksjon 205 lukket intervall 49 løsningsmengde 48 M maksimalpunkt 136, 138, 172 maksimalverdi 136, 172 maksimumsverdi 151, 173 minimalpunkt 136, 138, 172 minimalverdi 136, 172 minimumsverdi 151, 173 minkende funksjon 136, 137 mengde – -differanse 48 – løsnings- 48 – tall- 47 momentan vekstfart 111 monotoniegenskap 136 ff, 172 multiplikasjonsprisnippet 221, 272 N n-te derivert 122 naturlig logaritme 181, 209 – regneregler 182, 209 naturlige tall 47 nullpunktsfaktorisering 27, 42 O og samtidig ( -tegnet) 47 overskudd 159, 173 P parabel 34 pascaltrekanten 123, 219 polynomfunksjon 96 – derivert 123 ff, 129 – grenseverdi 96 potens 50 ff, 53 – funksjon 164 ff – prosentvis vekst 57, 77 – rasjonale eksponenter 54 – -regler 53 ff, 77 – -regning 53 produktregelen 20, 42 – generell for sannsynlighet 250

produktsetningen – to hendinger 273 – uavhengige hendinger 244, 273 prosentvis vekst 57, 77 R randomgenerator 233 rasjonal eksponent 55 rasjonal funksjon 96 rasjonale tall 47 rasjonalt uttrykk 18, 42 – grenseverdi 105, 128 reelle tall 48 regneregler – briggske logaritmer 62 ff, 77 – naturlig logaritme 182, 209 – potenser 53 ff, 77 – ulikheter 30, 42 regresjon 205 relativ frekvens 231 rotfunksjon 164 ff S sannsynlighet 231 ff – betinget 249, 273 – hending 273 – punkt- 254 sannsynlighetsfordeling 254 sannsynlighetsmodell 236 ff – gyldig 237, 272 – uniform 238 skrå asymptote 163, 173 snitt (både og) stasjonært punkt 137, 172 stigningstall – til tangenten 111, 112 stokastisk forsøk 253 stokastisk variabel 253 – diskret 254 – kontinuerlig 254 T tall – hele 47 – irrasjonale 48 – -mengde 48 – naturlige 47 – rasjonale 47 – reelle 48 tangent – stigningstall 111, 112 terrassepunkt 137, 172 tilhører ( -tegnet) 48 tilhører ikke ( -tegnet) 48 toppunkt 135, 145, 172 tredjederivert 142

U uavhengige hendinger 243, 244, 273 – produktsetningen 244, 247, 273 ulikhet 30 – andregrads- 36 ff – lineær 30 ff – regneregler 30, 42 uniform sannsynlighets modell 272 urnemodell 221 utfall 236 utfallsrom 236 utvalg 221 – ordnet med tilbakelegging 221, 222, 272 – ordnet uten tilbakelegging 221, 223 ff, 272 – uordnet 228 ff, 272 V valgtre 244 vekst – eksponentiell 57 ff, 190 ff – minst 155 – prosentvis 57 – størst 155 vekstfaktor 57 vekstfart 108, 110, 111, 116 – gjennomsnittlig 108 ff, 110 – momentan 111 – som grenseverdi 115 vendepunkt 143, 145, 172 vendetangent 147 vertikal asymptote 163 voksende funksjon 136, 137 Ø ønsket etterspørsel 201 ff Å åpent intervall 49

429