Page 1


TORE OLDERVOLL • SIGBJØRN HALS AUDHILD VAAJE • OTTO SVORSTØL

M ATEMAT IKK

S1

LÆREBOK I MATEMATIKK STUDIESPESIALISERENDE PROGRAM BOKMÅL

Sinus S1 (2018) book.indb 1

21.03.2018 09:28:44


Foto og grafikk: Omslag og kapittelstart: Colourbox.no. Bildet er fargemanipulert. © Cappelen Damm AS, Oslo 2018 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Kilde for alle eksempeloppgaver og eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet. Alle disse oppgavene er merket med årstall. De er gjengitt med tillatelse. Grafisk formgiver og omslagsdesign: Kristine Steen, 07-Media, 07.no Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad og Daniel Haugstvedt Sats: HAVE A BOOK, Polen 2018 Trykk og innbinding: UAB Balto-Print, Litauen 2018 Utgave nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-57333-1 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Sinus S1 (2018) book.indb 2

21.03.2018 09:28:44


Forord SINUS ER ET MATEMATIKKVERK for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene

fra 2005. Læreboka Sinus S1 er skrevet for programfaget S1 i de studieforberedende utdanningsprogrammene. Boka er tilpasset den nye eksamensordningen fra 2015 der de digitale ferdighetene står sentralt. Boka legger vekt på praktisk bruk av den abstrakte matematikken. Elevene får god trening i bokstavregning og blir kjent med matematisk tankegang. De får god trening i å løse oppgaver uten bruk av digitale hjelpemidler. Men elevene får i tillegg grundig opplæring i bruk av både dynamisk programvare og CAS-verktøy. I boka finner vi detaljert framgangsmåte for programmet GeoGebra. Sinus S1 gir elevene et godt grunnlag for videre arbeid med matematikkfaget. Kapitlene i teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. Stort sett er også alle delkapitlene ordnet på den måten. Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få utbytte av stoffet. Oppgavene i teoridelen er plassert inne i delkapitlene, slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. Oppgavedelen kommer etter teoridelen, og oppgavestoffet er delt i tre: «Øv mer», «Uten hjelpemiddel» og «Med hjelpemiddel». «Øv mer» er repetisjonsoppgaver ordnet etter delkapitlene som i teoridelen. I «Uten hjelpemiddel»-oppgavene trener elevene på å løse oppgaver som er relevante for del 1 av eksamen. «Med hjelpemiddel»-oppgavene er tilpasset del 2 av eksamen. Oppgavene fra de to siste delene er merket slik at de viser hvilke oppgaver eleven skal kunne løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når eleven er ferdig med for eksempel delkapittel 4.5, kan eleven arbeide med alle opp4.5 . gavene foran

Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de er usikre på. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her er det mye tilleggsstoff, blant annet interaktive oppgaver, videoer, animasjoner og løsningsforslag som er ordnet etter kapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige læremidler er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger og innspill til forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Audhild Vaaje Otto Svorstøl

3

Sinus S1 (2018) book.indb 3

21.03.2018 09:28:44


Innhold 1

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Bokstavregning og parenteser . . Kvadratsetningene . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 10 13 15 19 24 27 31

2

Rette linjer og optimering

32

......

2.1 Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Å finne stigningstallet ved regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ettpunktsformelen . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Å løse likningssett grafisk. . . . . . 2.5 Å løse likningssett uten grafer . . 2.6 Områder avgrenset av rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Lineær optimering . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Lineær optimering uten nivålinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Lineær minimering . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

33 38 40 44 47 50 55 63 68 72

Likninger og ulikheter av andre grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1 Grafisk løsning av andregradslikninger. . . . . . . . . . . . . 3.2 Andregradslikninger med to ledd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Andregradsformelen . . . . . . . . . . . . 3.4 Ikke-lineære likningssett . . . . . . . 3.5 Faktorisering av andregradsuttrykk . . . . . . . . . . . 3.6 Andregradsulikheter . . . . . . . . . . . . 3.7 Forenkling av rasjonale uttrykk . . 3.8 Rasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 80 83 88 91 95 100 103 107

4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5

Potenser og logaritmer . . . . . . . . . 108

Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for potenser . . . . . . . Tall på standardform. . . . . . . . . . . . Prosentvis endring i flere perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentialfunksjonen . . . . . . . . Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118 123 126 130 135 139

Matematiske modeller . . . . . . . . . . 140

5.1 Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Definisjonsmengde og verdimengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . 5.5 Polynomregresjon . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Eksponentialregresjon . . . . . . . . . . 5.7 Potensfunksjoner og potensregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Rasjonale funksjoner . . . . . . . . . . . 5.9 Kjennetegn ved funksjoner . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

109 113 116

141 145 148 153 157 162 165 172 177 183

Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . 184

6.1 Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . 6.2 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . 6.3 Grenseverdier for ubestemte uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Vekstfart som grenseverdi. . . . . . 6.5 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Bruk av den deriverte. . . . . . . . . . . 6.7 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Maksimumsverdier og minimumsverdier . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185 190 194 196 200 204 207 214 218 223

4

00 Sinus S1 (2018) Titelsider.indd 4

21.03.2018 12:00:46


7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

BinomialkoeďŹƒsienter. . . . . . . . . . . Pascaltrekanten . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikasjonsprinsippet . . . . . . Ordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . Binomiske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . Hypergeometriske forsøk . . . . . . Valg av sannsynlighetsmodell . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225 227 229 232 235 239 245 253 256

8

1 2 3

4 5 6 7

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rette linjer og optimering . . . . . Likninger og ulikheter av andre grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser og logaritmer . . . . . . . . . Matematiske modeller . . . . . . . . . Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . Sannsynlighetsregning . . . . . . . . .

259 269 292 305 322 345 371

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

5

00 Sinus S1 (2018) Titelsider.indd 5

21.03.2018 12:01:04


1 Algebra MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne

6

Sinus S1 (2018) book.indb 6

regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver

omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere løsningens gyldighet

løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad, både ved regning og med digitalt hjelpemiddel

bruke begrepene implikasjon og ekvivalens i matematisk argumentasjon

1 • Algebra

21.03.2018 09:28:47


1.1 Bokstavregning og parenteser I uttrykket 2x + 4x står x for en variabel eller et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, 2x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall som står mellom plusstegn eller minustegn, kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: 2x  4x  6x I uttrykket 4a 2  2a  1  a 2  3a  1 er det seks ledd. Leddene 4a2 og –a2 er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a2 og 2a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a 2  2a  1  a 2  3a  1  4a 2  a 2  2a  3a  1  1  3a 2  5a OPPGAVE 1.10

Trekk sammen ledd av samme type. a) 2 x  5 y  3x  7 y  1 b) a 2  2a  3  a 2  3a  1 c) 2 x 2  x  y 2  2 x  2 y 2 d) 2 xy  xy 2  x 2 y  2 xy 2  yx

Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra vg1 kjenner vi reglene nedenfor. Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen.

7

Sinus S1 (2018) book.indb 7

21.03.2018 09:28:56


EKSEMPEL

Trekk sammen 5a   3a  2b    4a  2b . LĂ˜SNING:

5a   3a  2b    4a  2b   5a  3a  2b  4a  2b  5a  3a  4a  2b  2b  4a

OPPGAVE 1.11

Løs opp parentesene og trekk sammen. a)  5 x  y    2 x  y  b) a  2b   a  b 



   a  3   a



c) x 2  2 x  1  x 2  2 x  1 d) 2a 2

2

a3



NĂĽr vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: NĂĽr vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, mĂĽ vi multiplisere tallet med hvert ledd som stĂĽr inne i parentesen. NĂĽr vi skal multiplisere to parentesuttrykk, mĂĽ vi multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre.

EKSEMPEL

Regn ut. a) 3 x 2  3x  2



LĂ˜SNING:





b) 3  2 x  4  c)  2 x  3 x  2 



a) 3 x 2  3x  2  3  x 2  3  3x  3  2  3x 2  9 x  6 b) 3  2 x  4    3  2 x   3  4  6 x  12 c)  2 x  3 x  2   2 x  x  2 x  2  3  x  3  2  2 x 2  4 x  3x  6  2 x 2  x  6

8

01 Sinus S1 (2018) kap1 teori.indd 8

1 • Algebra

21.03.2018 12:05:03


EKSEMPEL

Regn ut bĂĽde uten og med hjelpemiddel. 2 y 2   y  3 2 y  1 LĂ˜SNING:

NĂĽr vi multipliserer uttrykk med minus foran, mĂĽ vi beholde parentesen: 2 y 2   y  3 2 y  1  2 y 2   y  2 y  y   1  3  2 y  3   1 







 2 y2  2 y2  y  6 y  3  2 y2  2 y2  5 y  3



 2 y 2  2 y 2  5 y  3  5 y  3 I CAS skriver vi inn uttrykket og trykker pĂĽ ENTER. 

   

Svaret stemmer.

NĂĽr vi skal regne ut 2  3x  1  3  x  2  kan vi gjøre det pĂĽ to mĂĽter. Vi kan multiplisere de positive tallene inn i parentesene og beholde parentesene. 2  3x  1  3  x  2    6 x  2    3x  6   6 x  2  3x  6  3x  8 Men vi kan ogsĂĽ gjøre det slik: 2  3x  1  3  x  2   2   3x  1   3   x  2   6 x  2  3x  6  3x  8 Vanligvis hopper vi over en mellomregning og skriver direkte 2  3x  1  3  x  2   6 x  2  3x  6  3x  8 Her ganger vi altsĂĽ tallet –3 inn i parentesen og fjerner den samtidig. Et produkt av tre faktorer kan vi regne ut pĂĽ flere mĂĽter. Hvis vi skal regne ut  1 2  t  5  t    2 kan vi gjøre det pĂĽ tre forskjellige mĂĽter. Vi kan multiplisere parentesene med hverandre først, eller vi kan multiplisere 2 med ( t – 5) først.

9

Sinus S1 (2018) book.indb 9

21.03.2018 09:29:29


Det lureste her er kanskje å multiplisere 2 med t  12  først, for da slipper vi en del brøkregning: 1  1  2  t  5   t     t  5   2t  2     t  5  2t  1 2  2  2  2t  t  10t  5  2t 2  9t  5

!

NĂĽr vi skal regne ut 2  t  5 t  12 , mĂĽ vi ikke multiplisere begge parentesene med 2. OPPGAVE 1.12

Regn ut uten hjelpemiddel. a) 2  x  4  b) 2  t  3



 



c) 3  2 x  1  2  3x  1 d) 5 x 2  3x  2  5 x 2  1 OPPGAVE 1.13

Trekk sammen uten ĂĽ bruke hjelpemiddel. a) 2  2a  b   3  2a  3b  b) 2a ab  b 2  2b a 2  ab





c)  x  1 2 x  3 d)  3t  2  2t  1





OPPGAVE 1.14

Trekk sammen bĂĽde uten og med CAS. a)  2 x  1 x  3   x  1 x  4  b)  x  3 4 x  1   2 x  1 2 x  3 3 c) 2  x  1 2 x  3 d)  t  3 8t  4  4

1.2 Kvadratsetningene I kapittel 1.1 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Vi skal nĂĽ multiplisere ut tre spesielle uttrykk.

a  b

2

 a  b  a  b  a  a  a  b  b  a  b  b  a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2

a  b

2

  a  b    a  b   a  a  a  b  b  a   b    b   a 2  ab  ab  b 2  a 2  2ab  b 2

 a  b   a  b   a  a  a   b   b  a  b   b   a 2  ab  ab  b 2  a 2  b 2

10

01 Sinus S1 (2018) kap1 teori.indd 10

1 • Algebra

21.03.2018 12:06:13


Vi har nü bevist de tre kvadratsetningene: Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetningen:

 a  b   a 2  2ab  b2 2  a  b   a 2  2ab  b2  a  b    a  b   a 2  b2 2

Mange ganger bruker vi konjugatsetningen den andre veien. Da fĂĽr vi at a 2  b 2   a  b    a  b  . Det gir oss et uttrykk for en differanse mellom to kvadrater. Dermed er ogsĂĽ konjugatsetningen en kvadratsetning. Vi kaller den ofte for tredje kvadratsetning. EKSEMPEL

Regn ut. 2 2 a)  x  3 b)  y  5 

c)  2t  1 2t  1

LĂ˜SNING:

a)  x  3  x 2  2  x  3  32  x 2  6 x  9 2

b)  y  5   y 2  2  y  5  52  y 2  10 y  25 2

c)  2t  1 2t  1   2t   12  4t 2  1 2

Legg merke til at (2t)2 = 2t ¡ 2t = 4t2.

EKSEMPEL

Trekk sammen.

 x  3

2

  x  3  2  x  3 x  3 2

LĂ˜SNING:

 x  3   x  3 2



2

 

 2  x  3 x  3

 

 x2  6 x  9  x2  6 x  9  2 x2  9



 x  6 x  9  x  6 x  9  2 x  18  36 2

2

2

11

Sinus S1 (2018) book.indb 11

21.03.2018 09:30:25


OPPGAVE 1.20

Bruk kvadratsetningene og regn ut.

a)  x  1 b)  x  4  c)  t  5  2

2

d)  t  3  t  3

e)  y  4   y  4 

g)  x  12  h)  2 x  5   2 x  5  2

2

f) t  12 t  12  i)  3x  2 

2

OPPGAVE 1.21

Bruk om mulig kvadratsetningene nĂĽr du regner ut og trekker sammen. 2 2 2 a)  x  1   x  1  x  1 b)  x  3   x  3

c)  2 x  3  4  x  2   x  3 2

d) 2  t  4   t  4   3  t  4 

Vi kan ogsĂĽ bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. EKSEMPEL

Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 19 â‹… 21 b) 31 â‹… 31 c) 39 â‹… 39 d) 53 â‹… 47 LĂ˜SNING:

a) 19 ¡ 21   20  1 ¡  20  1  202  12  400  1  399 b) 31  31  312   30  1  302  2  30 ¡1  12  900  60  1  961 2

c) 39 · 39  392   40  1  402  2  40  1  12  1600  80  1  1521 2

d) 53  47   50  3   50  3  502  32  2500  9  2491

OPPGAVE 1.22

Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 29 â‹… 31 b) 192 c) 212 d) 28 â‹… 32 e) 35 â‹… 45 f) 103 â‹… 97 OPPGAVE 1.23

Regn ut uten ĂĽ bruke lommeregner. a)

12

Sinus S1 (2018) book.indb 12





2 1 



2  1 b)





5 2 



5  2 c)



7 3



7 3



1 • Algebra

21.03.2018 09:31:10


1.3 Faktorisering Et uttrykk bestĂĽr av flere ledd hvis det er sammensatt av flere deler med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket 2 x 2 + 5 x + 6 har tre ledd: 2 x 2, 5x og 6. Uttrykket 5 xy  3  x  y   y 2 bestĂĽr av de tre leddene 5xy, 3  x  y  og y 2. Vi sier at et uttrykk er faktorisert nĂĽr det bestĂĽr av bare ett ledd. Uttrykket 3  x  5   x  3 er faktorisert. Det bestĂĽr av de tre faktorene 3,  x  5  og  x  3 . Uttrykket 3  x  5  y  7 er ikke faktorisert, for det bestĂĽr av to ledd: 3  x  5  y og 7. NĂĽr vi faktoriserer et uttrykk, skriver vi uttrykket som et produkt av flere faktorer. Vi skal lĂŚre flere faktoriseringsmetoder. Dersom leddene i et uttrykk har felles faktorer, kan vi trekke faktorene utenfor en parentes. 4 x  12  4  x  4  3  4  x  3

x2  4 x  x  x  4  x   x  4 x



3x3  9 x  3x  x 2  3x  3  3x x 2  3



Alle de tre uttrykkene er nü faktorisert, for de er et produkt av to eller flere faktorer. De har bare ett ledd. Hvis vi vil kontrollere om en faktorisering er riktig, multipliserer vi faktorene slik vi gjør her:





3x x 2  3  3x  x 2  3x  3  3x3  9 x Vi mĂĽ vĂŚre forsiktige nĂĽr vi setter negative tall utenfor en parentes:



2 x 2  4 x  10  2 x 2  2 x  5



3x  6 x  3x  x  2  2

Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: 3x  x  2   3x  x   3x   2  3x 2  6 x Når vi for eksempel skal faktorisere uttrykket 4 x3 + 8 x 2, er det ikke nok å faktorisere hvert ledd slik vi gjør her: 4 x3  8 x 2  2  2  x  x  x  2  2  2  x  x Uttrykket er fortsatt ikke faktorisert, for det har to ledd. Vi må sette felles faktorer utenfor en parentes. 4 x3  8 x 2  4 x 2  x  2 

13

Sinus S1 (2018) book.indb 13

21.03.2018 09:31:49


OPPGAVE 1.30

Hvor mange ledd bestĂĽr uttrykkene av? Hvilke uttrykk er faktorisert? a) 2 x  x  2   4 x b) x 2  4 x  4 c)  x  4 y   2 x  y 

d)  x  2 

2

OPPGAVE 1.31

Sett mest mulig utenfor en parentes. a) 3x + 6 b) 2 x 2 − 3x c) 2 y 3 − 4 y 2 d) 2 x3  4 x 2  6 x OPPGAVE 1.32

Trekk mest mulig utenfor en parentes. a) 2 xy 2 + 4 x b) 5 xy 2 − 10 xy c) a 2 b 2 + 3a 2 b + ab d) 3x 2  6 xy  9 x

Vi kan bruke konjugatsetningen til ü faktorisere en differanse mellom to kvad­ rater. Da bruker vi setningen slik: a 2  b2   a  b   a  b  EKSEMPEL

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 − 4 b) x 2 − 5 c) 4t 2 − 9 LĂ˜SNING:

a) x 2  4  x 2  22   x  2   x  2  b) x 2  5  x 2 

 5    x  5  x  5  2

c) 4t 2  9   2t   32   2t  3  2t  3 2

Nür vi faktoriserer, mü vi noen ganger sette faktorer utenfor en parentes før vi bruker konjugatsetningen. EKSEMPEL

Faktoriser 3x3 − 48 x bĂĽde uten og med digitalt hjelpemiddel. LĂ˜SNING:









3x3  48 x  3x x 2  16  3x x 2  42  3x  x  4   x  4 

14

Sinus S1 (2018) book.indb 14

1 • Algebra

21.03.2018 09:32:28


I CAS skriver vi inn uttrykket og trykker pĂĽ 

.



  

OPPGAVE 1.33

Faktoriser uttrykkene uten hjelpemiddel. 1 a) x 2 − 9 b) t 2 − 16 c) x 2 − 4

d) 2 x 2 − 8

OPPGAVE 1.34

Faktoriser uttrykkene bĂĽde uten og med digitalt hjelpemiddel hvis det lar seg gjøre. a) 4 x 2 − 9 b) x 2 + 4 c) 9 x 2 − 1 d) 12 x3 − 75 x

1.4 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker nür vi regner med slike uttrykk. EKSEMPEL

Regn ut. 5 7 1 a 4  b) â‹… a)  x 2x 4 2 ab

c)

x x : 4 12

LĂ˜SNING:

a) Fellesnevneren for x, 2x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle für nevneren 4x.

5 7 1 4  5 2  7 1  x 20 14 x 20  14  x 6  x           4x x 2x 4 4  x 2  2x 4  x 4x 4x 4x 4x

b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. 2

2 a 4 a4 a4     2 ab 2  ab 2  a  b b 1

c) Nür vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 3

x x x 12 x  12 12  x 3 :      3 4 12 4 x 4 x 1 4 x 1

15

01 Sinus S1 (2018) kap1 teori.indd 15

21.03.2018 12:07:06


OPPGAVE 1.40

Trekk sammen. a a a a) + + 2 3 6

b)

1 1 1 2 3 4 + + c)   x 2 x 3x 2a 3a 6a

b)

2 x2 5 y 2 â‹… 3y 4x

b)

 x2 5x  x 2  5x 7 x    c)    :  x  3 6  12 6   3

OPPGAVE 1.41

Regn ut. 2a 6 a) â‹… 3 a

c)

8a 4a : 5 15

d)

6a : 2a 5

OPPGAVE 1.42

Trekk sammen. 2 5 1 7 a)    3 a 2 3a

Hvis tellerne inneholder flere ledd, mü vi sette parentes om telleren nür vi setter uttrykkene pü felles brøkstrek. Nür vi skriver inn rasjonale uttrykk i CAS, mü vi sette parentes om telleren dersom den har mer enn ett ledd. EKSEMPEL

Regn ut bĂĽde uten og med hjelpemiddel. 2x  3 x  1 8 x 1  b)  a) 6 3 3 4x LĂ˜SNING:

a)

2 x  3 x  1 2   2 x  3 x  1    3 6 23 6 4 x  6 x  1  4 x  6    x  1    6 6 6 4 x  6  x  1 3x  5   6 6

Husk parentesene!

I CAS mĂĽ vi her sette parentes om tellerne. Parentesene forsvinner etter hvert som vi skriver. 

16

Sinus S1 (2018) book.indb 16

        

1 • Algebra

21.03.2018 09:33:19


De to svarene er like fordi 5 3x  5 3x 5 x 5 1      x 6 6 6 2 6 2 6

2

8 x  1 8   x  1 2  x  1 2 x  2   b)   3x 3 4x 3x 3 4 x 1

I CAS mĂĽ vi sette parentes om bĂĽde telleren og nevneren i det rasjonale uttrykket.        



De to svarene er like fordi

2 x  2 2   x  1 2 x  1    3x 3 x 3 x

EKSEMPEL

Trekk sammen bĂĽde uten og med hjelpemiddel. 2x  1 3 2 b 5 7    b)  a) 3 ab 6a xy x y LĂ˜SNING:

a) Fellesnevneren er xy. 2x  1 3 2 2x  1 3  y 2  x 2x  1 3y 2x         xy x y xy x y yx xy xy xy 2x  1  3y  2x 3y  1   xy xy

NĂĽr vi skal skrive inn produktet xy i GeoGebra, mĂĽ vi skrive enten x â‹… y eller x y (med mellomrom). Hvis vi skriver bare xy, vil GeoGebra oppfatte det som en ny variabel med navnet xy. Et variabelnavn i GeoGebra kan nemlig vĂŚre sammensatt av flere bokstaver. 

 

        

 

Her mĂĽtte vi skrive Forenkle foran uttrykket for at GeoGebra skulle skrive svaret slik vi ville.

17

Sinus S1 (2018) book.indb 17

21.03.2018 09:33:34


b) Her er det lurt ü forkorte før vi finner fellesnevner og trekker sammen. 1

7 7 52 7 10 7 3 1 b 5 b 5           3 ab 6a 3  a  b 6a 3a  2 6a 6a 6a 6 a 2a

2

Husk ĂĽ skrive enten a â‹… b eller a b (med mellomrom) nĂĽr du skal skrive inn ab. 



 





    

Brudne brøker er lettest ü forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for smübrøkene. EKSEMPEL

Regn ut bĂĽde uten og med hjelpemiddel. x +2 2 x 1 + 4 2 LĂ˜SNING:

Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Derfor multipliserer vi med 4 over og under hovedbrøkstreken. x 2 x  x 4 2    4  24 2   2x  8 2 2   2    2 x 1  x 1 1 x x2   4 4 4 4 2  4 2  4 2



   

    

OPPGAVE 1.43

Regn ut bĂĽde uten og med hjelpemiddel. a  2 2a  1 2x  3 x  1  b)  a) 4 6 2 4 x  2 2x  1 2 a2 a3 c) d)    3x a 3a 2x 2a

18

01 Sinus S1 (2018) kap1 teori.indd 18

1 • Algebra

21.03.2018 12:07:50


OPPGAVE 1.44

Regn ut både uten og med hjelpemiddel. x 1 1 1  2b 1 2x 6 5  b)  c)   a) xy y 2ab a 3 xy 2 y OPPGAVE 1.45

Regn ut både uten og med hjelpemiddel. 2x 1 1 1 1 2  + − a) 5 2 b) x 2 c) a b x 1 2 2 1  1+ − x 2 10 a b

1 1  d) x 6 1 1  2 x 3x

1.5 Likninger På vg1 lærte vi å løse likninger. Vi bruker disse reglene: Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet eller uttrykket på begge sidene av likhetstegnet. Det betyr at vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og samtidig skifte fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL

Løs likningen og sett prøve på svaret. 5 x  3  2 x  11 LØSNING:

5 x  3  2 x  11 5 x  2 x  11  3 7 x  14 x  2

19

Sinus S1 (2018) book.indb 19

21.03.2018 09:34:08


Vi setter prøve pü svaret ved ü sette inn x  2 pü begge sidene i likningen i oppgaven. Venstre side: Høyre side:

5 x  3  5   2   3  10  3  7 2 x  11  2   2   11  4  11  7

Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.

OPPGAVE 1.50

Løs likningene og sett prøve pü svaret. a) 2 x  1  5 b) 3x  1  x  2 c) 2 x  2  2 x  2 d) 2 x  2  3x  7 OPPGAVE 1.51

Løs likningene. a) 12 x  13  9 x  7

b) 7 x  11  2 x  3

c) 0, 02 x  0, 7  0, 03x  0, 2

Nür vi skal løse likninger med parenteser eller brøker, kan det ofte svare seg ü bruke denne framgangsmüten: 1. Løs opp parenteser. 2. Multipliser med fellesnevneren pü begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 3. Trekk sammen leddene pü begge sidene av likhetstegnet. 4. Samle alle leddene med den ukjente pü venstre side og alle andre ledd pü høyre side. 5. Trekk sammen leddene pü begge sidene av likhetstegnet. 6. Finn løsningen ved ü dividere pü begge sidene av likhetstegnet med det tallet som stür foran den ukjente. EKSEMPEL

Løs likningene både uten og med hjelpemiddel. 1 x  x a)  1     x  2  3 6 b)

20

Sinus S1 (2018) book.indb 20

x 1 x  1    4    x  6 3 2 3  2

1 • Algebra

21.03.2018 09:34:30


LĂ˜SNING:

x  x 1  x   1 2  3  6 x x 1 1  x  | 6 2 3 6 1 1 x 3 x 2  6  1 6   6   x  6   6 2 3 6

a)

1

1 2

1

1

3x  6  2 x  6 x  1 x  6  6 x  1 x  6x  1  6 7x  7 x 1

3 4 5 6

Vi skriver inn likningen i CAS og trykker pĂĽ 



Tallene viser til numrene i framgangsmĂĽten foran. Fellesnevneren er 6.

.

  



   

x 1 x  1   4    x  6 3 2  3  2 x x x   2   3 | 6 3 6 2 2 1 x x x 3  6 6  2  6   6  3 6 3 6 2

b)

1

1

1

2 x  x  12  3x  18 3x  12  3x  18 3x  3x  18  12 0 x  6 Det fins ikke noe tall slik at 0  x  6. Likningen har ingen løsning. 





   



  

Legg merke til hvordan GeoGebra skriver ingen løsning!

21

Sinus S1 (2018) book.indb 21

21.03.2018 09:34:36


OPPGAVE 1.52

Løs likningene både uten og med hjelpemiddel. 1 1 1 1 a) x  2  x  b) 2  x  1   x  3 3 2 3 3 x2 2 x 1  2x 3 4  2x c)    d) 3 5 5 3 2 OPPGAVE 1.53

Løs likningene både uten og med hjelpemiddel. a) 2  x  1  4  x  2   2  3x  6  2x  5 x 2x  3 b)   3 6 4

Noen ganger inneholder likninger en parameter. Det er et tall med ukjent verdi. EKSEMPEL

Vi har gitt likningen 4 x  3a  x  a a) Løs likningen både uten og med hjelpemiddel. b) Finn uten og med hjelpemiddel en verdi for a slik at likningen får løsningen x = 4. LØSNING:

a) 4 x  3a  x  a 4 x  x  a  3a 3 x  4a 3 x 4a  3 3 4a x 3 

22

Sinus S1 (2018) book.indb 22

        





1 • Algebra

21.03.2018 09:34:52


b) At x = 4 er en løsning, er det samme som å si at x = 4 passer i likningen. 4 x  3a  x  a 4  4  3a  4  a 16  3a  4  a 4a  12 4a  12 a3 Vi kan også løse oppgaven ved å bruke svaret i oppgave a. Når x = 4 er en løsning, må 4a  4 | 3 3 4a  12 a3 Vi bruker den digitale løsningen i oppgave a.   



   

EKSEMPEL

For hvilke verdier av k har likningen ingen løsning? 3kx  4  kx  7 LØSNING:

Vi løser likningen. 3kx  4  kx  7 3kx  kx  7  4 2kx  3 2kx 3  2k 2k 3 x 2k I løsningen kan vi ikke ha 0 i nevneren. Det er når k = 0. Likningen har ingen løsning når k = 0.

23

Sinus S1 (2018) book.indb 23

21.03.2018 09:35:00


OPPGAVE 1.54

Løs likningene uten og med hjelpemiddel. a) 3  x  a   x  5a 1 1 1 1 b)  x  a     x  a   2 4 3 6 OPPGAVE 1.55

For hvilke verdier av k er x = 3 en løsning av likningen? a) kx  3  2 x  6 xk 1 xk b)   2 3 6 OPPGAVE 1.56

For hvilke verdier av a har likningen ingen løsning? a) ax  3  2 x  1 b)  2a  1 x  5  ax  1

1.6 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for ĂĽ vite om en størrelse er større enn eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), â&#x2030;¤ (mindre enn eller lik), > (større enn) og â&#x2030;Ľ (større enn eller lik). NĂĽr vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x â&#x2030;ĽÂ 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at ĂĽpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent pĂĽ samme mĂĽten som likninger. Vi har disse regnereglene: Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet eller uttrykket pĂĽ hver side av ulikhetstegnet. Dermed kan vi flytte et ledd over pĂĽ den andre siden av ulikhetstegnet og skifte fortegn pĂĽ leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, pĂĽ begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, mĂĽ vi snu ulikhetstegnet.

24

Sinus S1 (2018) book.indb 24

1 â&#x20AC;˘ Algebra

21.03.2018 09:35:14


EKSEMPEL

Løs ulikhetene uten og med hjelpemiddel. a) 3x  4  x  8 b) x  2  4  x   5 x  2 LĂ&#x2DC;SNING:

a) Vi bruker reglene foran. 3x  4  x  8 3x  x  8  4 2x  4 x2

Vi skriver inn ulikheten i CAS og trykker pĂĽ 

.

 

x  2  4  x   5x  2

b)

x  8  2 x  5x  2 x  2 x  5x  2  8 2 x  10 2 x 10  2 2 x  5

Vi mĂĽ snu ulikhetstegnet nĂĽr vi deler pĂĽ â&#x20AC;&#x201C;2.

Tegnet â&#x2030;Ľ fĂĽr vi fram pĂĽ tastaturet i GeoGebra. Tastaturet fĂĽr vi fram ved ĂĽ trykke pĂĽ . Men vi kan ogsĂĽ skrive >= i stedet for â&#x2030;Ľ. OPPGAVE 1.60

Løs ulikhetene büde uten og med hjelpemiddel. a) 3x  2  8 b) 2 x  5  x  1 c) x  3  3x  1 d) 2  x  1  3  x  6  OPPGAVE 1.61

Løs ulikhetene både med og uten hjelpemiddel. a) 2 x  5  4 x  1 b) 2  3  x   2  3  x  1 x  c) 2  3x  6 1    0  2

d)

2 5 1  x x 3 2 3

25

Sinus S1 (2018) book.indb 25

21.03.2018 09:35:38


Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv. EKSEMPEL

a) Camilla selger mobiltelefoner. Hun har 500 kr i lønn per dag. I tillegg får hun 100 kr for hver telefon hun selger. Hvor mange telefoner må hun selge for at lønna skal bli høyere enn 1800 kr per dag? b) Camilla får et nytt tilbud: 1000 kr i lønn per dag og 50 kr for hver telefon hun selger. Hvor mange telefoner må hun da selge for at dette tilbudet skal gi høyest lønn? LØSNING:

a) Hvis hun selger x telefoner, er lønna i kroner gitt ved L1  100 x  500 Lønna blir over 1800 kr per dag hvis L1  1800 100 x  500  1800 100 x  1800  500 100 x  1300 100 x 1300  100 100 x  13 Hun må selge mer enn 13 telefoner per dag. b) Med det nye tilbudet er lønna per dag gitt ved L2  50 x  1000 Det nye tilbudet gir høyest lønn hvis L2 > L1. 50 x  1000  100 x  500 50 x  100 x  500  1000 50 x  500 50 x 500 Vi må snu ulikhetstegnet når vi  deler med –50. 50 50 x  10 Det nye tilbudet lønner seg for Camilla hvis hun selger mindre enn 10 telefoner per dag.

26

Sinus S1 (2018) book.indb 26

1 • Algebra

21.03.2018 09:35:47


OPPGAVE 1.62

Anne har en moped. Hun regner med at de årlige utgiftene i kroner når hun kjører x kilometer, er gitt ved U  2, 50 x  2000 a)  Hvor langt kan hun kjøre per år hvis utgiftene skal være mindre enn 4000 kr per år? b) Hvor langt kan hun kjøre hvis utgiftene skal være over 5000 kr? OPPGAVE 1.63

Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 °C og synker med 2,5 grader per time. a) Når er temperaturen over 61 °C? b) Når er temperaturen under 71 °C? OPPGAVE 1.64

Anne og Einar er på tur. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne?

1.7 Logikk For ca. 2500 år siden fant grekerne ut at de måtte bevise all matematisk kunnskap ved hjelp av logikk. Denne tankegangen har siden vært grunnlaget for faget matematikk. I den norske skolen ble det rundt 1970 tatt i bruk mange logiske symboler. Nå skal vi gjøre oss kjent med noen av symbolene fra logikken. Hvis 2 x  1  4, så er 2 x = 3. Med bruk av symboler skriver vi 2x  1  4  2x  3 Tegnet ⇒ er en implikasjonspil som vi leser «fører til at», «medfører at» eller «impliserer at». Denne pila bruker vi mellom to likninger, påstander eller utsagn. Skrivemåten A ⇒ B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig.

27

Sinus S1 (2018) book.indb 27

21.03.2018 09:35:51


Slike påstander trenger ikke være matematiske. Vi kan for eksempel skrive: Personen heter Ola ⇒ Personen er en gutt Det er en riktig slutning. Men slutningen Personen er en gutt ⇒ Personen heter Ola er ikke riktig. Hvis x = 2, fører det til at x 2 = 4 . Med symboler skriver vi x  2  x2  4 Men hvis x 2 = 4 , behøver ikke det bety at x = 2. Det riktige kan være at x  2. Derfor kan vi ikke skrive at x 2  4  x  2. Det riktige er x 2  4  x  2 eller x  2 Noen ganger bruker vi et eget logisk symbol for «eller» og skriver x 2  4  x  2  x  2 Tegnet ∨ leser vi altså «eller». Vi bruker det mellom to påstander for å fortelle at minst én av påstandene må være riktig. Likningene 2 x 2 = 8 og x 2 = 4 har nøyaktig de samme løsningene, nemlig x = 2 og x  2. Vi sier at de to likningene er ekvivalente og skriver 2 x2  8  x2  4 Tegnet ⇔ kaller vi et ekvivalenstegn. Vi leser «er ekvivalent med», «har samme løsning som» eller «hvis og bare hvis». Vi kan også skrive x 2  4  x  2  x  2 Det er ikke bare i matematikk vi bruker ekvivalenstegnet. Vi kan skrive Ola er faren til Jens ⇔ Jens er sønnen til Ola To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er riktig hvis og bare hvis påstand B er riktig. Vi skriver A ⇔ B To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi bruker regnereglene for likninger fra kapittel 1.5, får vi fram nye lik­ ninger med de samme løsningene. Dermed har vi regelen på neste side.

28

Sinus S1 (2018) book.indb 28

1 • Algebra

21.03.2018 09:35:59


Når vi flytter et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning.

EKSEMPEL

Løs likningen. 6x  2  4x  8 LØSNING:

6x  2  4x  8  6x  4x  8  2  2x  6 2x 6   2 2  x3

I denne boka kommer vi normalt ikke til å bruke ekvivalenstegnet ⇔ når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe symbol mellom dem. OPPGAVE 1.70

Sett inn ett av symbolene ⇐, ⇒ eller ⇔ i rutene der det er mulig. Jeg er fra Norge a) Jeg er fra Hamar b) Jeg er fra Bergen c) Jeg er fra Oslo

Jeg er bergenser Jeg heter Odd

d) Jeg er fra Finnmark e) Jeg er fra Oslo

Jeg er fra Alta

Jeg bor i Oslo

OPPGAVE 1.71

Sett inn ett av symbolene ⇐, ⇒ eller ⇔ i rutene der det er mulig. x2 = 4 b) x = 4 x2 = 16 a) 3x 2 = 12 c) x2 = 9

x  3  x  3

d) x3 = x

x=0

29

Sinus S1 (2018) book.indb 29

21.03.2018 09:36:01


I tillegg til tegnet ∨ («eller») har vi tegnet ∧ for «og». Tegnet ∧ bør vi lese «og samtidig». Vi kan for eksempel bruke det når vi løser to likninger med to ukjente. Likningssettet 2x  y  1 x y2 betyr at de to likningene skal være oppfylt samtidig. Vi kan derfor skrive 2x  y  1  x  y  2 Nå kan vi ikke alltid erstatte ordet «og» med tegnet ∧, for tegnet ∧ betyr «og samtidig». Vi kan gjerne si at en likning har løsningene = x 2= og x 3. Det er ikke det samme som å si at likningen har løsningene x  2  x  3. Variabelen x kan ikke samtidig være både 2 og 3. Det riktige er at likningen har løsningen x  2  x  3. OPPGAVE 1.72

Omtrent hvor mange nålevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk ∧ Jeg er kvinne b) Jeg er norsk ∨ Jeg er kvinne c) Jeg er trønder ∧ Jeg er svensk d) Jeg er trønder ∨ Jeg er svensk OPPGAVE 1.73

Finn løsningene. a) x 2  9  x  0 c) 2 x  4  3x  1  4

30

Sinus S1 (2018) book.indb 30

b) x 2  9  x  0 d) 2 x  4  3x  1  4

1 • Algebra

21.03.2018 09:36:08


SAM­M EN­DRAG Ă&#x2026; løse opp parenteser NĂĽr vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, mĂĽ alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi ta bort uten ĂĽ endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes NĂĽr vi skal multiplisere et tall og en parentes, mĂĽ vi multiplisere tallet med hvert ledd som stĂĽr inne i parentesen. NĂĽr vi skal multiplisere to parentesuttrykk, mĂĽ vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. Kvadratsetningene Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetningen:

 a  b   a 2  2ab  b2 2  a  b   a 2  2ab  b2  a  b    a  b   a 2  b2 2

Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet pĂĽ begge sidene av likhetstegnet. Dermed kan vi flytte et ledd over pĂĽ den andre siden av likhetstegnet og samtidig skifte fortegn pĂĽ leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet pĂĽ begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet pĂĽ hver side av ulikhetstegnet. Dermed kan vi flytte et ledd over pĂĽ den andre siden av ulikhetstegnet og skifte fortegn pĂĽ leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, pĂĽ begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, mĂĽ vi snu ulikhetstegnet. Implikasjon A â&#x2021;&#x2019; B betyr at hvis pĂĽstanden A er riktig, sĂĽ er ogsĂĽ pĂĽstanden B riktig. Ekvivalens A â&#x2021;&#x201D; B dersom pĂĽstand A er riktig hvis og bare hvis pĂĽstand B er riktig. Ekvivalente likninger To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene.

31

Sinus S1 (2018) book.indb 31

21.03.2018 09:36:09


2 Rette linjer og optimering MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne

32

Sinus S1 (2018) book.indb 32

omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere løsningens gyldighet

løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad, både ved regning og med digitale hjelpemidler

modellere praktiske optimeringsproblemer i økonomi ved hjelp av lineære likninger og ulikheter

gjøre rede for den geometriske tolkningen av det lineære optimeringsproblemet i to variabler

løse lineære optimeringsproblemer grafisk, ved regning og med digitale hjelpemidler

2 • Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:36:11


2.1 Rette linjer På vg1 lærte vi at y = ax + b er likningen for ei rett linje. Tallet a er stigningstallet, og tallet b er konstantleddet. I koordinatsystemet finner vi igjen disse to tallene som vist her: y

a

Stigningstall

1 b

Konstantledd

x

Vi kan bruke stigningstallet og konstantleddet når vi skal tegne rette linjer i koordinatsystemet. Hvis vi skal tegne linja y = 2x + 3 kan vi gå fram slik: Konstantleddet er 3, og linja skjærer dermed y-aksen i y = 3. Stigningstallet er 2, og da må vi gå to enheter opp når vi går én enhet til høyre for å finne et punkt til på linja. Deretter kan vi trekke linja gjennom de to punktene. Se figuren til venstre nedenfor. y

y

7

7

y = 2x + 3

6

6

5 4

3 1 2

5 2

Stigningstall

3 2

Konstantledd

1 –1 –1

4

x 1 2

3 4 5

6

1 –1 –1

Konstantledd 1

–2

Stigningstall

y = –2x + 3 1 2 3

4 5

x 6

Hvis vi derimot skal tegne linja y = -2x + 3 går vi fram på den samme måten, men nå må vi gå én enhet til høyre og to enheter ned for å finne det andre punktet. Se figuren til høyre ovenfor. Vi kan også bruke stigningstallet og konstantleddet til å finne likningen for ei rett linje.

33

Sinus S1 (2018) book.indb 33

21.03.2018 09:36:12


EKSEMPEL

Finn likningen for linja nedenfor. y 7 6 5 4 3 2 1

x

–1 –1

1 2 3 4 5

6

LØSNING:

y 7 6

Konstantledd

5 4 3

–3

Stigningstall

2 1 –1 –1

x 1 2 3 4 5

6

Da linja skjærer y-aksen i y = 5, er konstantleddet lik 5. På figuren ovenfor ser vi at hvis vi går én enhet til høyre, må vi gå tre enheter ned for å finne et punkt på linja. Dermed er stigningstallet lik -3. Likningen er y = -3x + 5

OPPGAVE 2.10

Tegn linjene ved hjelp av stigningstallet og konstantleddet. 1 3 b) y  4 x  5 c) y  x  2 d) y   x  3 a) y  2 x  1 2 2 OPPGAVE 2.11

Tegn linjene uten å bruke digitale hjelpemiddel. a) y = x b) y   x c) y = 3

34

Sinus S1 (2018) book.indb 34

d) x = 2

2 • Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:36:17


OPPGAVE 2.12

Finn likningen for disse tre linjene: y 5

b)

4 3 c)

2 1

a)

â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;1

x

1 2 3

4 5

Hvis ei rett linje y = ax + b har et stigningstall a som ikke er 0, gĂĽr linja pĂĽ skrĂĽ. Se figuren nedenfor. Hvis stigningstallet a = 0, blir likningen y = b, og linja er horisontal. y y = ax + b

y=b x=c

x

Ei vertikal linje har likningen x = c. Den kan vi ikke skrive pĂĽ formen y = ax + b. Derfor trenger vi en skrivemĂĽte som gjelder for alle rette linjer. Likningen y = ax + b for ei skrĂĽ linje kan vi omforme pĂĽ denne mĂĽten: ax  y  b  a   x  1 y  b Likningen y = b for ei horisontal linje kan vi skrive slik: 0  x  1 y  b Likningen x = c for ei vertikal linje kan vi skrive pĂĽ denne mĂĽten: 1 x  0  y  c Alle rette linjer har dermed en likning pĂĽ formen Ax  By  C

35

Sinus S1 (2018) book.indb 35

21.03.2018 09:36:20


Hvis A ≠ 0 eller B ≠ 0, er også det omvendte riktig. Da er Ax + By = C likningen for ei rett linje. Hvis A ≠ 0 eller B ≠ 0, er Ax + By = C likningen for ei rett linje. Alle rette linjer har en likning som vi kan skrive på den måten. EKSEMPEL

Vi har gitt den rette linja 3x + 2y = 6 a) Finn stigningstallet og konstantleddet. b) Tegn linja uten hjelpemiddel. c) Tegn linja digitalt. LØSNING:

a) Vi omformer uttrykket. 3x  2 y  6 2 y  3x  6

|

1 2

3 y   x3 2 Stigningstallet er a   32 , og konstantleddet er b  3. b) Ved hjelp av konstantleddet og stigningstallet kan vi nå tegne linja: y 5 4 3 2

Konstantledd 1 –

3 2

Stigningstall

1 –1 –1

36

Sinus S1 (2018) book.indb 36

x 1 2 3

4 5

6

2 • Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:36:23


c) Når vi skal tegne linja i GeoGebra, trenger vi ikke omforme uttrykket. Vi skriver bare 3x + 2y = 6 på skrivelinja i algebrafeltet.

GeoGebra har satt på «f:» foran likningen. Navnet på linja er da f. Det kan vi endre ved å høyreklikke på linja og velge Gi nytt navn. I grafikkfeltet har vi nå denne linja: y 5

4 3

2 1

x –2

–1

0

1

2

3

4

5

–1

OPPGAVE 2.13

Ei linje har likningen 6x - 2y = 5 a) Finn stigningstallet og konstantleddet til linja. b) Tegn linja uten hjelpemiddel. c) Tegn linja med et digitalt hjelpemiddel. OPPGAVE 2.14

Tegn de rette linjene uten å bruke digitale hjelpemiddel. a) -4x + 2y = -2 b) 3x + 6y = 12 c) 3x - 2y = 0 d) 2x = 6

37

Sinus S1 (2018) book.indb 37

21.03.2018 09:36:23


2.2 Å finne stigningstallet ved regning Ei linje går gjennom punktene  2, 1 og  5, 7 . Hvis vi skal finne stignings­ tallet til linja, kan vi tegne linja og finne stigningstallet grafisk. Men vi trenger en måte for å finne stigningstallet a ved regning. Vi kan tenke slik: y 8 (5, 7)

7 6 5 4 3

∆y

a 1 (2, 1) 1 ∆x 2

–1 –1

x

1 2 3 4 5

6

Når vi flytter oss fra punktet  2, 1 til punktet  5, 7 , er økningen i x-verdi x  5  2  3 Økningen i y-verdi er y  7  1  6 Stigningstallet a forteller hvor langt det er opp til linja når x øker med 1 enhet. På figuren ovenfor er det to formlike trekanter. Det gir a y  1 x y 6  2 a x 3 Denne tankegangen kan vi gjennomføre for alle rette linjer som går gjennom to punkter,  x1 , y1  og  x2 , y2 . y (x2, y2)

∆y

(x1, y1) 1

38

Sinus S1 (2018) book.indb 38

a ∆x

x

2 • Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:36:29


På figuren på forrige side er y  y2  y1 x  x2  x1 Formlike trekanter gir a y  1 x y y2  y1 a  x x2  x1 Ei rett linje som går gjennom to punkter  x1 , y1  og  x2 , y2 , har stigningstallet a

y y2  y1  x x2  x1

EKSEMPEL

a) Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene 1, 3 og  5, 9 . b) Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene  2, 1 og  2, 9 . LØSNING:

a) Stigningstallet er a

y y2  y1 9  3 6 3     x x2  x1 5  1 4 2

b) Her er a

y y2  y1 9 1 8     2 x x2  x1 2  2 4

OPPGAVE 2.20

Finn stigningstallet til linja som går gjennom punktene 1, 1 og  4, 7 . OPPGAVE 2.21

Finn stigningstallet til linja gjennom disse punktene: a)  2, 7  og  4, 1 b)  1, 2  og  3, 4  c)  3, 2  og  6, 5  d)  4, 1 og  2, 10 

39

Sinus S1 (2018) book.indb 39

21.03.2018 09:36:43


2.3 Ettpunktsformelen Tankegangen som vi brukte da vi skulle finne stigningstallet til ei rett linje, kan vi ogsü bruke til ü finne likningen for ei linje nür vi kjenner stignings­ tallet a og et punkt  x1 , y1  pü linja. Vi skal da finne en sammenheng mellom x og y for et punkt  x, y  pü linja. y (x, y)

â&#x2C6;&#x2020;y

(x1, y1) 1

a â&#x2C6;&#x2020;x

x

Her er y  y  y1 og x  x  x1. Formlike trekanter gir: y a  |  x x 1 y  a  x y  y1  a   x  x1  Nå har vi bevist ettpunktsformelen: Likningen for ei rett linje med stigningstallet a som går gjennom punktet  x1 , y1 , er gitt ved y  y1  a ·  x  x1 

EKSEMPEL

Finn likningen for ei rett linje gjennom punktet  2, 1 med stigningstallet -2. LĂ&#x2DC;SNING:

y  y1  a   x  x1  y  1  2 ·  x  2  y  1  2 x  4 y  2 x  5

4î&#x2020;˛

Sinus S1 (2018) book.indb 40

2 â&#x20AC;˘ Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:36:50


EKSEMPEL

Ei linje gĂĽr gjennom punktene  1, 2  og  3, 10 . a) Finn stigningstallet til linja. b) Finn likningen for linja ved regning. c) Finn likningen digitalt bĂĽde uten og med CAS. LĂ&#x2DC;SNING:

a) Stigningstallet er a

y y2  y1 10  2 8    2 x x2  x1 3  (1) 4

b) NĂĽ vet vi at linja gĂĽr gjennom punktet  1, 2  og har stigningstallet 2. Ettpunktsformelen gir: y  y1  a   x  x1 

y  2  2 ¡  x   1 

y  2  2  x  1 y  2  2x  2 y  2x  4

Vi kunne ogsĂĽ ha brukt at linja gĂĽr gjennom punktet  3, 10 . Det gir y  y1  a   x  x1 

y  10  2 ·  x  3 y  10  2 x  6 y  2x  4

Svaret blir det samme. Vi kan altsĂĽ velge hvilket punkt vi vil bruke. c) NĂĽr vi skal finne likningen uten CAS, skriver vi inn punktene  1, 2  og  3, 10  slik: 

 

Vi trenger ikke skrive ÂŤA =Âť og ÂŤB =Âť foran koordinatene. GeoGebra setter disse navnene pĂĽ punktene automatisk. NĂĽ trykker vi pĂĽ og deretter pĂĽ de to punktene. Det gir dette svaret:   

Vi har fütt likningen pü formen Ax + By = C. Hvis vi vil ha likningen pü formen y = ax + b, høyreklikker vi pü likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir svaret pü neste side.

41

Sinus S1 (2018) book.indb 41

21.03.2018 09:36:56


OPPGAVE 2.81

Løs oppgave 2.70 ved regning uten å bruke nivålinjer. OPPGAVE 2.82

Løs oppgave 2.71 digitalt uten å bruke nivålinjer. OPPGAVE 2.83

Løs oppgave 2.72 digitalt uten å bruke nivålinjer.

2.9 Lineær minimering I de eksemplene vi har sett på til nå, har vi brukt lineær optimering til å gjøre inntekten så høy som mulig. Det kaller vi lineær maksimering. Vi skal nå bruke metoden til å få en størrelse så liten som mulig. Det kaller vi lineær minimering. Metoden er som for lineær maksimering, men nå må vi finne den laveste nivålinja som berører det mulige området. EKSEMPEL

En skole med 480 elever skal på tur. Skolen kan få leie inntil 14 busser av to typer. Type A har 40 plasser, og type B har 32 plasser. Hvor mange busser av hver type må skolen leie for å få utgiftene så lave som mulig når det koster 3600 kr å leie en buss av type A og 2400 kr å leie en buss av type B? Hva blir utgiftene da? Løs oppgaven digitalt både med og uten nivålinjer. LØSNING:

La x være tallet på busser av type A og y tallet på busser av type B. Ettersom skolen kan få leie inntil 14 busser, må x og y oppfylle ulikheten

x  y  14

Alle de 480 elevene må få plass i bussene. Det gir ulikheten

40 x  32 y  480

Dessuten må x og y passe i ulikhetene

68

Sinus S1 (2018) book.indb 68

x ≥ 0 og y ≥ 0

2 • Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:39:05


NĂĽ skriver vi inn ulikhetene og likningen for linjene som avgrenser det mulige omrĂĽdet. 





        

    

Etter at vi har tilpasset koordinatsystemet, bruker vi SkjÌring mellom to objekt og für fram koordinatene til hjørnene i det mulige omrüdet som vist her: 18

y (type B)

16 14 12

(4, 10)

10 8 6 4 2 0

(12, 0) 2

4

6

8

10

12

(14, 0) 14

x (type A)

16

18

Utgiftene i kroner for x busser av type A og y busser av type B er U = 3600x + 2400y Med nivülinje: Nü skriver vi U = 50 000 og likningen U = 3600x + 2400y i algebrafeltet. Det gir en glider og ei nivülinje i grafikkfeltet. Vi høyreklikker pü glideren, velger Egenskaper og üpner fanen Glider. Vi stiller inn glideren slik: 

Vi vil ha utgiftene sü lave som mulig og mü da finne den nivülinja som ligger lavest mulig, og som samtidig berører det mulige omrüdet.

69

Sinus S1 (2018) book.indb 69

21.03.2018 09:39:06


18

y (type B)

16

NivĂĽlinje

14 12

(4, 10)

10 8 6 4 2

(12, 0)

0

2

4

6

8

10

12

(14, 0) 14

16

x (type A) 18

Vi ser at den laveste nivülinja vil berøre det mulige omrüdet i det punktet som har koordinatene x = 4 og y = 10. Glideren viser utgiftene:  

   

Vi ser at de laveste utgiftene er 38 400 kr. Det er nür skolen leier 4 busser av type A og 10 busser av type B. Det er vanskelig ü stille inn glideren helt nøyaktig. Derfor finner vi ogsü utgiftene i kroner ved regning: U  3600 x  2400 y  3600 ¡ 4  2400 ¡10  38 400 Utgiftene blir lavest nür skolen leier 4 busser av type A og 10 busser av type B. Utgiftene blir 38 400 kr. Uten nivülinje: I CAS legger vi inn utgiftsfunksjonen og setter inn koordinatene for hjørnene i den. 

         



 













 

Vi ser at utgiftene er lavest i A, der x = 4 og y = 10.

7î&#x2020;˛

Sinus S1 (2018) book.indb 70

2 â&#x20AC;˘ Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:39:08


Utgiftene er lavest når skolen leier 4 busser av type A og 10 busser av type B. Utgiftene er da 38 400 kr.

Oppgaven i eksempelet kan vi også gjøre uten hjelpemiddel. Da tegner vi det mulige området og finner koordinatene til hjørnene enten grafisk eller ved å løse likninger og likningssett. Når vi skal finne det optimale hjørnet, tegner vi først ei nivålinje som vi parallellforskyver til den møter det mulige området. Vi kan også regne ut utgiftene i hvert hjørne for hånd og se hvor utgiftene er lavest. OPPGAVE 2.90

Løs oppgaven i eksempelet foran både med og uten nivålinjer med disse prisene for bussene: a) Det koster 3200 kr å leie en buss av type A og 2400 kr å leie en buss av type B. b) Det koster 3000 kr å leie en buss av type A og 2400 kr å leie en buss av type B. OPPGAVE 2.91

Skolen med de 480 elevene tar kontakt med et annet busselskap der de kan få leie inntil 12 busser av to typer. Type A har 48 seter og type B har 32 seter. Finn de laveste utgiftene og hvor mange busser av hver type skolen må leie når prisene er som forklart nedenfor. Løs oppgavene både med og uten nivålinje. a) Det koster 3500 kr å leie en buss av type A og 2100 kr å leie en buss av type B. b) Det koster 3600 kr å leie en buss av type A og 2700 kr å leie en buss av type B. c) Det koster 3600 kr å leie en buss av type A og 2400 kr å leie en buss av type B. OPPGAVE 2.92

De 480 elevene skal spise en gryterett på mathuset Sunt og godt. Kokken der er veldig opptatt av næringsinnhold. Retten er en blanding av to typer ferdigmat. Pakkene av type A inneholder 400 g protein, 800 g karbohydrater og 400 g fett. Pakkene av type B inneholder 100 g protein, 400 g karbo­ hydrater og 150 g fett. Hver elev skal ha en tallerken med minst 30 g protein, 80 g karbohydrater og minst mulig fett. Hvor mange pakker av hver type bør kokken blande sammen for at fettmengden skal bli så lav som mulig?

71

Sinus S1 (2018) book.indb 71

21.03.2018 09:39:08


SAM­M EN­DRAG Løsning av et likningssett Å løse et likningssett med to ukjente x og y er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig. Grafisk løsning av et likningssett Når vi skal løse et likningssett grafisk, finner vi først y uttrykt ved hjelp av x i begge likningene. Vi får da likningene for to rette linjer. Vi tegner linjene i et koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom linjene gir løsningen av likningssettet. Innsettingsmetoden Når vi skal løse et likningssett ved regning, finner vi et uttrykk for x eller y i en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss en likning med én ukjent som vi løser. Rette linjer Dersom A ≠ 0 eller B ≠ 0, er Ax + By = C likningen for ei rett linje. Alle rette linjer har en likning av denne typen. Optimal mengde Den optimale mengden er den mengden som for eksempel gir høyest inntekt eller lavest kostnad. Lineær optimering Vi skal bruke x enheter av en type og y enheter av en annen type. Vi er interessert i at en verdi for I gitt ved I ( x, y )  ax  by skal bli så stor eller så liten som mulig, der a og b er konstanter. Vi setter da opp ulikheter som x og y må oppfylle, og finner det mulige området for x og y. Med nivålinje Vi velger en verdi I0 for I. Da vil ax + by = I0 være likningen for ei nivålinje. Vi tegner linja og parallellforskyver den til den akkurat berører det mulige området. Hvis verdien for I skal være så stor som mulig, må nivålinja ligge så høyt som mulig. Hvis verdien for I skal være så liten som mulig, må nivålinja ligge så lavt som mulig. Koordinatene til berøringspunktet gir den optimale mengden. Noen ganger er nivålinjene parallelle med ett av linjestykkene i det mulige området. Da kan alle punktene på dette linjestykket gi en optimal mengde.

72

Sinus S1 (2018) book.indb 72

2 • Rette linjer og optimering

21.03.2018 09:39:09


Uten nivålinje Vi regner ut koordinatene til alle hjørnene i det mulige området og regner ut verdien for I i disse hjørnene. Ett av disse hjørnene gir vanligvis den optimale mengden. Noen ganger gir to hjørner lik verdi for I. Da gir alle punktene på linjestykket mellom disse hjørnene en optimal mengde.

73

Sinus S1 (2018) book.indb 73

21.03.2018 09:39:09


Oppgave 6.341 (Eksamen V-2017) Vi antar at konsentrasjonen av CO2 i lufta var 280 ppm (parts per million) i ĂĽret 1800. Siden den gang har konsent­ rasjonen økt. Tabellen nedenfor viser utviklingen av CO2-konsentrasjonen for noen utvalgte ĂĽr mellom 1870 og 2000. Ă&#x2026;r

1870 1890 1930 1950 1970 2000

CO2-konsentra­ sjon (ppm)

285

287

295

305

325

365

Hvor mye CO2-konsentra­ sjonen har økt siden 1800 (i ppm)

5

7

15

25

45

85

En modell for konsentrasjonen av CO2 i lufta x ĂĽr etter 1870 er gitt ved K ( x)  280  5, 0  1, 022

x

b) Bruk graftegner til ü tegne grafen til K. c) Bestem konsentrasjonen av CO2 i 2050 dersom utviklingen følger modellen K. d) Bruk CAS til ü bestemme nür CO2-konsentrasjonen blir 425 ppm, dersom utviklingen følger modellen K. e) Bestem den momentane vekstfarten til K for x = 120. Hva forteller dette svaret oss?

370

f ( x) 

1 2  x  4 , 0  x  4 2

Under grafen tilâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er det tegnet et rek­ tangel OBCD, slik som figuren nedenfor viser. y 8

4

La x vÌre antall ür etter 1870. a) Bruk regresjon til ü bestemme en funksjon som tilnÌrmet beskriver hvordan CO2-konsentrasjonen har økt siden 1870.

Oppgave 6.342 (Eksamen H-2017) Funksjonenâ&#x20AC;&#x201E;fâ&#x20AC;&#x201E;er gitt ved

D(0, f (x))

C(x, f (x)) x

O

B(x, 0)

4

a) Vis at arealet til rektangelet er gitt ved A( x) 

1 3 x  4 x 2  8 x, 0  x  4 2

b) Bruk CAS til ü bestemme x slik at arealet til rektangelet blir 4. c) Bruk CAS til ü bestemme x slik at arealet til rektangelet blir størst mulig. Hva er det største arealet rektangelet kan ha?

6 â&#x20AC;˘ Vekstfart og derivasjon

Sinus S1 (2018) book.indb 370

21.03.2018 10:15:51


7 Sannsynlighetsregning Ă&#x2DC;V MER 7.1 BINOMIALKOEFFISIENTER

Oppgave 7.110 a) Regn ut. 1) 5! 2) 6! b) Regn ut. 5! 5 2)   1) 3! â&#x2039;&#x2026; 2!  2 Oppgave 7.111 Regn ut disse binomialkoeffisientene. 12  15  a)   b)   5   5 Oppgave 7.112 a) Vis at  3  3   4  1   2   2       b) Vis at for n = 2, 3, 4, ... er  n   n   n  1 1    2    2        Oppgave 7.113 a) Vis at  5  5   6   3   4   4       b) Vis at nĂĽr n og k er naturlige tall og n > k, er  n   n   n  1  k    k  1   k  1      

7.2 PASCALTREKANTEN

Oppgave 7.120 En av radene i pascaltrekanten bestĂĽr av tallene 1â&#x20AC;&#x201A;9â&#x20AC;&#x201A;36â&#x20AC;&#x201A;84â&#x20AC;&#x201A;126â&#x20AC;&#x201A;126â&#x20AC;&#x201A;84â&#x20AC;&#x201A;36â&#x20AC;&#x201A;9â&#x20AC;&#x201A;1 Skriv de to neste radene. Oppgave 7.121 Bruk pascaltrekanten og regn ut. a) ( x + 1) 3 b) ( a + b) 3 c) ( x + 1) 4 d) ( a + b) 4 Oppgave 7.122 Regn ut. a) ( x + 2) 5 b) ( x â&#x20AC;&#x201C; 1) 4 c) ( 2x + 1) 4 d) ( x2 + 2) 3 Oppgave 7.123 I pascaltrekanten finner vi denne ÂŤbloms­ tenÂť (15) med sine kronblad (5, 10, 20, 35, 21 og 6). 1

5 6

7

10 15

21

35

10 20 35

a) Multipliser de tallene som er farget gule, og multipliser de tallene som er farget oransje. Hva finner du? b) Undersøk om vi finner det samme mønsteret i andre blomster i pascal­trekanten.

371

Sinus S1 (2018) book.indb 371

21.03.2018 10:16:03


Oppgave 7.124 «Det magiske 11-mønsteret». Når vi skriver tallene i de fem første radene i pascaltrekanten, får vi:

rad 0: 1 rad 1: 11 rad 2: 121 rad 3: 1331 rad 4: 14641

Undersøk hvilken sammenheng det er mellom tallet 11 og de tallene som står «skrevet» i de fem første radene. 7.3 MULTIPLIKASJONSPRINSIPPET

Oppgave 7.130 I et bryllup er det seks personer som skal holde tale. a) Hvor mange talerekkefølger kan det bli? b) Det er avgjort på forhånd hvem som skal holde den første og den siste talen. Hvor mange tale­ rekkefølger kan vi da få? Oppgave 7.131 I en S1-gruppe er det 15 elever. De skal bruke et grupperom med 15 plasser. Hvor mange måter kan elevene plassere seg på? Oppgave 7.132 Anne og Frank er kjærester, og Berit og Aslak er kjærester. Parene sitter på en benk, og de ønsker ikke å bli delt. På hvor mange måter kan de sitte uten at parene blir delt?

372

Sinus S1 (2018) book.indb 372

Oppgave 7.133 Lille Nora har bursdag, og foreldrene vil gjøre dagen festlig for henne. De drar på isbar. Der ønsker Nora seg en iskrem i kjeks med tre iskuler. Isbaren har tolv ulike sorter iskrem å velge mellom. Nora mener da at to iskremer er forskjellige selv om de inneholder de samme typene iskuler, når iskulene har ulik plassering. a) På hvor mange måter kan Nora velge tre iskuler til iskremen sin når hun kan velge samme type iskule flere ganger? b) På hvor mange måter kan Nora velge tre iskuler til iskremen sin når hun bare skal ha ulike issorter? c) Nora velger iskuler med jordbær, sjokolade og pistasj. På hvor mange måter kan disse tre kulene settes oppå hverandre i iskjeksen? Oppgave 7.134 Passordet til Kine består av sju tegn. De tre første tegnene er bokstaver fra navnet hennes, og de fire siste tegnene er fødselsdatoen hennes. Hver bokstav kan forekomme flere ganger i passordet. Hvor mange ulike kombinasjoner av passord kan Kine lage? Oppgave 7.135 Av bokstavene i navnet OLIVER skal du lage en kode på fire bokstaver. a) Hvor mange slike koder er det mulig å lage hvis hver bokstav kan brukes flere ganger? b) Hvor mange slike koder er det mulig å lage hvis hver bokstav bare kan brukes én gang?

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:16:05


7.4 ORDNEDE UTVALG

7.5 UORDNEDE UTVALG

Oppgave 7.140 En buss har åtte ledige seter. På en holde­ plass kommer det fem nye passasjerer som alle vil sitte. Hvor mange måter kan de sette seg på?

Oppgave 7.150 Lisbeth har sju ulike joggeruter. Hun løper tre av disse rutene hver uke. Hvor mange ulike valg av joggeruter kan hun da gjøre hver uke når vi ser bort fra rekkefølgen hun løper dem i?

Oppgave 7.141 I en bankkortkode er det fire siffer. Tenk deg at vi glemmer koden så vi må prøve oss fram for å finne den. a) Hvor mange ganger må vi høyst prøve hvis vi vet at det første sifferet er 3? b) Vi kjenner alle sifrene, men ikke rekkefølgen. Hvor mange ganger må vi høyst prøve da? c) Hva blir maksi­ malt antall forsøk når vi vet at ett av sifrene er 3, og at ingen av sifrene er like? Oppgave 7.142 Pernille har kjøpt fem kinobilletter til seg og fire venninner. Billettene er til fem seter ved siden av hverandre. a) Hvor mange måter kan Pernille dele ut de fem billettene på? b) Pernille vil sitte i midten. Hvor mange måter kan hun nå dele ut billettene på? Oppgave 7.143 a) Hvor mange positive tresifrede tall kan vi lage av tallene 2, 4, 6 og 8? b) Hvor mange positive hele tall mindre enn 1000 har bare oddetall i sifrene?

Oppgave 7.151 Stein-Otto liker å gå i fjellet, og på nett­ sidene leser han om 11 flotte fjellturer i Flå kommune i Hallingdal. Han bestem­ mer seg for å gå 4 av disse fjellturene. Hvor mange ulike valg av fjellturer kan han da gjøre når han ser bort fra rekke­ følgen han tar turene i? Oppgave 7.152 Et reisefølge på 16 kvinner og 9 menn er kommet til Loen i Nordfjord. Her er det en gondolbane som er blitt en stor turistattraksjon. Det blir bestemt at 3 kvinner og 2 menn skal få gratis tur med gondolbanen. Hvor mange kombinasjoner fins det? Oppgave 7.153 Ane har 28 krimbøker og 12 skjønnlitte­ rære bøker. Hun låner ut 7 bøker til Idar, og 5 av disse bøkene er krimbøker. Hvor mange kombinasjoner fins det? Oppgave 7.154 I klasse 2STA er det 25 elever, og klassen har sammen med 3 lærere fått 10 gratisbilletter til en konsert. a) På hvor mange måter kan billet­ tene deles ut? Ingen får mer enn én billett. b) Klassen lurer på hvor mange måter billettene kan deles ut på når minst én lærer skal være med. Hjelp klassen med å finne løsningen.

373

Sinus S1 (2018) book.indb 373

21.03.2018 10:16:07


Oppgave 7.155 Hver dag ligger det seks forskjellige frukter på et fat. a) En dag får du velge to av fruktene. Hvor mange ulike måter kan du gjøre det på? b) En annen dag får du ta med fire av fruktene. Hvor mange ulike måter kan du gjøre det på? c) Forklar sammenhengen mellom svarene i oppgave a og b. Oppgave 7.156 I en fotballdivisjon er det 14 lag. Alle lagene spiller to ganger mot samme lag (hjemme og borte) i løpet av en sesong. a) Lagene spiller en kamp hver i en serierunde. Hvor mange serierunder blir det i en sesong? b) Hvor mange seriekamper blir det? Oppgave 7.157 På et fat ligger det epler, pærer, bananer, appelsiner og kiwi. Du skal ta med deg frukt på tur, høyst én frukt av hver type. Hvor mange utvalg kan du gjøre?

7. BINOMISKE FORSØK

Oppgave 7.160 Du kaster en terning seks ganger.

a) Hva er sannsynligheten for at du får akkurat én sekser? b) Hva er sannsynligheten for at du får to seksere? c) Hva er sannsynligheten for at du får tre seksere? Oppgave 7.161 Sannsynligheten er 0,15 for at en norsk rekrutt har en høyde over 187 cm. I en patrulje er det fem rekrutter. a) Hva er sannsynligheten for at alle fem er under 187 cm? b) Hva er sannsynligheten for at akkurat én er over 187 cm? c) Hva er sannsynligheten for at akkurat to er over 187 cm? Oppgave 7.162 Fotballkampen mellom Aktiv og Bravo skal avgjøres med straffespark. Hvert lag skal ta fem straffespark. Bravo har plukket ut fem spillere til å ta de fem straffesparkene. Tester har vist at hver av disse spillerne skårer mål på 8 av 10 straffespark. a) Hva er sannsynligheten for at alle de fem spillerne skårer? b) Hva er sannsynligheten for at minst én av spillerne bommer? c) Hva er sannsynligheten for at akkurat tre av spillerne skårer? d) Hva er sannsynligheten for at høyst tre av spillerne skårer?

37

Sinus S1 (2018) book.indb 374

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:16:10


Oppgave 7.163 Et bilfirma gir noe de kaller en total­ garanti på bilen. Det vil si at firmaet tar på seg ansvaret for at bilen blir reparert hvis den stopper langs veien. Delene må eieren selv betale. Totalgarantien blir gitt for ett år fra det tidspunktet bilen gjennomgår en grundig service på verkstedet. Sannsynligheten for stopp i løpet av et år setter vi til 0,2. Firmaet har ti biler med denne garantien. a) Hva er sannsynligheten for at fire av disse bilene stopper i løpet av året? b) Hvor stor er sannsynligheten for at mellom tre og fem biler stopper, tre og fem medregnet? Oppgave 7.164 Lene bruker buss til arbeidet hver dag. Hun arbeider 20 dager hver måned og reiser derfor 40 ganger med bussen hver måned. Iblant er det billettkontroll. Vi tenker oss at hun blir kontrollert gjennom­snittlig hver 20. gang. Kontrollene blir foretatt uavhengig av hverandre. a) Hvor stor er sannsynligheten for at hun unngår kontroll en hel måned? b) Finn sannsynligheten for at hun blir kontrollert minst to ganger på en måned. c) Lene kjøper alltid månedskort. Det koster 800 kr. Hvis hun blir tatt uten gyldig billett, må hun betale 500 kr. Lønner det seg økonomisk for Lene å la være å kjøpe månedskort? (Vi ser altså bort fra det moralske i denne sammenhengen.) Oppgave 7.165 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt norsk rekrutt er over 187 cm høy, er 0,15. En patrulje består av seks

rekrutter. La X være tallet på rekrutter i denne patruljen som er over 187 cm høye. Da er P( X = a) sannsynligheten for at a rekrutter er over 187 cm høye. a) Sett opp et uttrykk for P( X = a) . b) Finn sannsynligheten for at alle er under 187 cm. c) Bestem P( X ≥1) . d) Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt rekrutt er minst 193 cm, er 0,03. Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt rekrutt er mellom 187 cm og 193 cm?

Oppgave 7.166 I ei eske ligger det 20 lyspærer. Seks av lyspærene lyser ikke. Til et forsøk trenger vi ei slik lyspære og trekker derfor tilfeldig ei lyspære fra eska. Vi gjør forsøket fire ganger i løpet av ei uke og legger lyspæra tilbake i eska etter hvert forsøk. a) Hva er sannsynligheten for at vi trekker ei lyspære som lyser i alle fire forsøkene? b) Hva er sannsynligheten for at akkurat to av de fire pærene vi trekker, lyser? c) Hva er sannsynligheten for at minst to av de fire pærene vi trekker, lyser?

375

Sinus S1 (2018) book.indb 375

21.03.2018 10:16:12


Oppgave 7.167 En bedrift har kjøpt seks nye datamaski­ ner. For hver maskin er sannsynligheten 0,20 for at den må til reparasjon i løpet av de to første årene. La X være antallet maskiner som må til reparasjon i løpet av de to første årene. Finn disse sannsynlighetene. a) P( X = 0) b) P( X = 2) c) P( X ≤ 2) d) P( X ≥ 3) Oppgave 7.168 I Norge har 39 % av befolkningen blodtype O. Vi plukker tilfeldig 500 personer og lar X være antallet som har blodtype O blant dem. a) Finn P( X = 200) . b) Finn P( X ≤ 210) . c) Finn P( X ≥ 190) . d) Finn P( 190 ≤ X ≤ 210) . e) Finn P( 189 < X < 211) .

Oppgave 7.169 I en butikk er sannsynligheten 0,70 for at en tilfeldig valgt kunde kjøper frukt eller grønnsaker. Vi ser på 20 tilfeldig valgte kunder som kjøper varer i denne butikken. a) Finn sannsynligheten for at akkurat 14 av disse kundene kjøper frukt eller grønnsaker. b) Finn sannsynligheten for at minst 14 av disse kundene kjøper frukt eller grønnsaker.

376

Sinus S1 (2018) book.indb 376

7.7 HYPERGEOMETRISKE FORSØK

Oppgave 7.170 I et lotteri er det 50 lodd. 10 av loddene gir gevinst. Knut kjøper 4 lodd. a) Hvor mange utvalg av 4 lodd fins det blant de 50 loddene? b) Hva er sannsynligheten for at han vinner på akkurat ett av loddene? c) Hva er sannsynligheten for at Knut vinner på to av loddene? d) Hva er sannsynligheten for at Knut ikke vinner på noen av loddene? Oppgave 7.171 I en butikk står det en stor kasse med 25 blå gensere på tilbud. 15 av genserne er merket L (large), og 10 er merket M (medium). Aisha trekker tilfeldig tre gensere fra kassa. a) Finn sannsynligheten for at alle de tre genserne er merket L. b) Finn sannsynligheten for at akkurat to av genserne er merket L. c) Finn sannsynligheten for at minst én av genserne er merket M. Oppgave 7.172 I en muntlig prøve i naturfag er det 16 emner. Hver elev får trekke ut 4 emner som vedkommende blir spurt i. Stakkars Lars har bare hatt tid til å forberede seg i 12 av disse emnene. a) Hvor stor er sannsynligheten for at Lars trekker fire emner han har lest på? b) Finn sannsynligheten for at han trekker minst ett emne som han har lest på. c) Finn sannsynligheten for at han trekker akkurat tre emner som han har forberedt seg på. d) Hvor mange emner kan han regne med å trekke ut som han har lest på?

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:16:15


Oppgave 7.173 I ei eske ligger det 15 sikringer. Fem av dem er defekte. Vi trekker tilfeldig fire sikringer fra eska. a) Hva er sannsynligheten for at alle fire er brukbare? b) Hva er sannsynligheten for at vi trekker to defekte og to brukbare sikringer? c) Hva er sannsynligheten for at minst tre av de fire er brukbare? Oppgave 7.174 En pokerspiller får utdelt fem kort fra en vanlig kortstokk. a) Regn ut sannsynligheten for at spil­ leren får to spar og tre hjerter. b) Regn ut sannsynligheten for at spilleren får ett ess, to konger og to knekter. c) Hva er sannsynligheten for at spil­ leren får fem kort av samme farge? (Spar, hjerter, ruter og kløver er fargene i kortstokken.)

Regn ut sannsynligheten for at partiet består av 2 jenter fra hver av de tre gruppene. Oppgave 7.176 I ei billigkasse i en butikk ligger det 40 luer. Det er en liten feil på 14 av disse luene. Vi kontrollerer 12 tilfeldig valgte luer. La X være tallet på luer med slik feil blant de kontrollerte luene. a) Finn P( X = 5) . b) Finn P( 3 ≤ X ≤ 7) . c) Finn P( X ≤ 6) . d) Finn P( X ≥ 3) . Oppgave 7.177 I en bilkontroll ble 100 biler stanset og mønsterdybden i dekkene kontrol­ lert. Mønsterdybden var i orden på 80 av disse bilene. Kontrollør Finn Hjul kontrollerte halvparten av bilene som ble stoppet. La X være antallet biler som hadde mønsterdybden i orden blant disse 50. a) Finn P( X = 42) . b) Finn P( X ≤ 42) . c) Finn P( X > 42) . d) Finn P( 39 < X < 46) . 7.8 VALG AV SANNSYNLIGHETSMODELL

Oppgave 7.175 På en videregående skole er et parti elever trukket ut til muntlig eksamen i matematikk S1. Partiet består av 6 kan­ didater. Det er 3 matematikkgrupper på skolen: gruppe 1 har 18 elever, gruppe 2 har 21 elever, og gruppe 3 har 17 elever. a) Regn ut sannsynligheten for at partiet kommer til å ha 2 elever fra hver av de tre gruppene. b) I de tre gruppene er det henholdsvis 4, 8 og 5 jenter.

Oppgave 7.180 Marita selger skrapelodd for håndball­ klubben. Hun selger lodd i et område med 100 husstander. Vi går ut fra at sannsynligheten for å få solgt lodd i en tilfeldig valgt husstand er 0,4. La X være tallet på husstander som kjøper lodd. a) Hvilken modell må vi bruke når vi skal regne sannsynlighet her? b) Finn sannsynlighetene. 1) P( X = 40) 2) P( X ≤ 40) 3) P( 39 < X < 46)

377

Sinus S1 (2018) book.indb 377

21.03.2018 10:16:19


Oppgave 7.181 I ei eske ligger det 40 blü kuler og 10 røde kuler. Idar trekker 20 kuler uten tilbakelegging. a) Hvilken modell mü vi bruke nür vi skal regne sannsynlighet her? b) Hva er sannsynligheten for at Idar trekker 5 røde kuler? c) Løs oppgave b ved ü bruke büde en binomisk og en hypergeometrisk sannsynlighetsmodell. Forklar hvorfor svarene blir forskjellige. Oppgave 7.182 I en soppkurv er det 50 sopper. 30 av disse soppene er sjampinjonger, resten er kantareller. Vi trekker tilfeldig 20 sopper fra denne kurven. a) Finn sannsynligheten for at det er 12 sjampinjonger og 8 kantareller nür du bruker 1) en hypergeometrisk modell 2) en binomisk modell b) Gü ut fra at det lü 5000 sopper i kurven. Forholdet mellom sjampin­ jonger og kantareller er det samme som ovenfor. Vi trekker ogsü nü 20 sopper fra kurven. Bruk en hypergeometrisk modell og finn sannsynligheten for at du nü trekker 12 sjampinjonger og 8 kantareller. Sammenlikn svaret med resultatet i oppgave a og kommenter.

Oppgave 7.183 I en twistpose er det igjen 15 biter. Du syns at 10 av dem er gode. Du tar tre stykker fra posen uten ü se hva slags bit det er. a) Hva kaller vi denne typen forsøk? b) Regn ut hvor stor sannsynligheten er for ü trekke to gode twistbiter fra twistposen blant de tre. Preben fyller ei tønne med twist. I tønna er det 4500 twistbiter, og Preben syns 3000 av dem er gode. Han tar tre biter fra tønna. c) Forklar hvorfor vi kan si at dette er et binomisk forsøk med p = 32 . d) Hvor stor er nü sannsynligheten for ü trekke to gode twistbiter fra tønna blant de tre? Sammenlikn svaret med det du fikk i oppgave b.

UTEN HJELPEMIDDEL Oppgave 7.200 Bruk pascaltrekanten og regn ut. 3 4 a) ( 2x + 1) b) ( x + 3) Oppgave 7.201 Vi har tatt ut dette tallmønsteret fra pascaltrekanten. Finn x og y. 462

x

792

165 y

Oppgave 7.202 a) Sett opp pascaltrekanten for 7 rader. b) Regn ut binomialkoeffisientene 7 7  n  1   ,   og    2  5  n  1 7.2

378

Sinus S1 (2018) book.indb 378

7 â&#x20AC;˘ Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:16:23


Oppgave 7.203 a) Vis at 5 6 2  2   2  5     Vi har markert en spesiell rekke i pascal­ trekanten. 1 1 1 1 1 1 1 1

7

2 3

4 5

6

1 3

6 10

15 21

1

4 10

20 35

1 1 5 15

35

1 6

21

1 7

1



b) Bruk pascaltrekanten til ĂĽ finne 52 og 62 . c) Hvordan kan vi finne kvadrattallene 1, 4, 9, 16, 25, â&#x20AC;Ś ut fra den spesielle rekka?



Oppgave 7.204 Lise har seks bukser, ütte bluser, to jakker og tre par sko. Hvor mange mer eller mindre smakfulle antrekk kan det bli av dette? Oppgave 7.205 En familie pü fem personer er pü fjell­ tur. Turstien er smal, derfor mü de gü pü rad og rekke. a) Pü hvor mange müter kan de plas­ sere seg? b) Lillebror skal gü nest først eller i midten. Hvor mange müter kan de da plas­ sere seg pü?

Oppgave 7.206 Av bokstavkombinasjonen S, I, N, U, S skal vi lage andre kombinasjoner ved ü bytte om pü rekkefølgen av bokstavene. Hvor mange ulike müter kan det gjøres pü? Oppgave 7.207 Vi har gitt tallet 123 215. Hvor mange ulike tall kan vi fü ved ü bytte om pü rekkefølgen av sifrene i dette tallet? Oppgave 7.208 Med bokstavene A, B, C, D, E skal du lage koder pü fire bokstaver. Kodene trenger ikke bety noe. Hver bokstav kan bare brukes Ên gang i hver kode. a) Hvor mange forskjellige koder kan du lage? b) Hvor mange koder kan du lage nür koden skal begynne med en vokal (A eller E)? c) Hvor mange koder kan du fü til nür koden skal begynne med en konso­ nant? d) Hvor mange koder begynner med bokstaven A? e) Hvor mange koder kan du lage nür den tredje bokstaven skal vÌre B? f) Hvor mange koder kan du fü nür koden skal inneholde bokstaven A? Oppgave 7.209 Til ütte sikre plasser pü en valgliste har et parti tolv likeverdige kandidater: fem menn og sju kvinner. a) Hvor mange uordnede utvalg til sikker plass kan partiet gjøre? b) Partiet bestemmer seg for at det skal vÌre like mange kvinner som menn blant de ütte pü sikker plass. Hvor mange uordnede utvalg blir det nü?

379

Sinus S1 (2018) book.indb 379

21.03.2018 10:16:28


Oppgave 7.210 a) Skriv opp de åtte første radene av pascaltrekanten. På «Binom» videregående skole er det fire jenter og tre gutter som gir lekse­ hjelp etter skoletid. b) En ettermiddag er det fire av disse elevene som skal gi leksehjelp i matematikk. Bruk talltrekanten til å bestemme hvor mange måter de fire kan velges på. c) Alle elevene vil gjerne gi leksehjelp i nettopp matematikk. De trekker derfor lodd om hvem som skal være med. Hva er sannsynligheten for at det blir to elever av hvert kjønn som gir leksehjelp? d) Hva er sannsynligheten for at det blir flere gutter enn jenter som gir leksehjelp? Elevene som mottar leksehjelp, har fått fem oppgaver. De kan selve bestemme hvilken rekkefølge de vil regne oppga­ vene i. e) Hvor mange mulige rekkefølger er det? Oppgave 7.211 En campingplass har ti ledige hytter. Så kommer det tre familier som vil leie ei hytte hver. a) På hvor mange måter kan eieren plukke ut de tre hyttene som skal leies ut? b) På hvor mange forskjellige måter kan disse tre familiene bli innlosjert? 7.5

380

Sinus S1 (2018) book.indb 380

Oppgave 7.212 Elisabeth tar skolebuss hver dag. Sann­ synligheten for at bussen kommer for 1. seint en tilfeldig valgt dag, er 10 a) Hva er sannsynligheten for at skole­ bussen kommer for seint hver dag de tre første dagene i uka? b) Hva er sannsynligheten for at skole­ bussen kommer for seint nøyaktig én av de tre første dagene i uka? c) Hva er sannsynligheten for at skole­ bussen kommer for seint minst én dag disse tre dagene? Oppgave 7.213 Tarjei er en god skytter. Sannsynlig­ heten er 0,8 for at han treffer blinken med et skudd. I en konkurranse skal han skyte på fem blinker. a) Forklar hvorfor vi kan se på skud­ dene som et binomisk forsøk. b) Sett opp et uttrykk for sannsynlig­ heten for at han treffer alle de fem blinkene. c) Sett opp et uttrykk for sannsynlig­ heten for at han treffer tre av de fem blinkene.

Oppgave 7.214 I en hatt ligger det ti lodd. 6 av de 10 loddene gir gevinst. Du trekker tilfeldig ut to av loddene. Hva er sannsynligheten for at du trekker ut ett lodd som gir gevinst og ett som ikke gir gevinst?

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:16:31


Oppgave 7.215 Kajsa, Mina og Esmir kjøpte hver sin sykkelhjelm. De kunne velge mellom fargene blü, svart og grü. Vi gür ut fra at det er tilfeldig hvilken farge de velger. Bestem sannsynligheten for at de tre valgte samme farge pü sykkelhjelmen. Oppgave 7.216 I en boks ligger det 6 røde og 3 gule drops. Vi trekker tilfeldig 3 drops. a) Finn sannsynligheten for at vi trekker ut 1 rødt og 2 gule drops nür vi trekker uten tilbakelegging. Hva kaller vi et slikt forsøk? b) Finn sannsynligheten for at vi trekker ut 1 rødt og 2 gule drops nür vi trekker med tilbakelegging. Hva kaller vi et slikt forsøk? Oppgave 7.217 Ei eske inneholder 3 blü og 5 røde kuler. Einar trekker tilfeldig ut to kuler. a) Hva er sannsynligheten for at Einar trekker ut ei blü og ei rød kule? b) Hva er sannsynligheten for at de to kulene har samme farge? Oppgave 7.218 I en urne er det tre røde og tre blü kuler. Vi skal trekke to kuler uten ü legge tilbake den første kula. a) Hvor stor er sannsynligheten for at begge kulene er røde? b) Hvor stor er sannsynligheten for at vi trekker ei kule av hver farge? Urna inneholder pü nytt tre røde og tre blü kuler. Vi trekker ei kule og regist­ rerer fargen. Sü legger vi kula tilbake i urna. Deretter trekker vi kule nr. 2. c) Hvor stor er nü sannsynligheten for at begge kulene er røde? d) Hvor stor er sannsynligheten for at vi trekker ei kule av hver farge?

Oppgave 7.219 I et russestyre er det fem gutter og fire jenter. Rektor ønsker et møte med to av elevene i russestyret. Hege og Trond blir trukket ut til å delta. Når de møter, sier rektor: «Flaks at det ble en elev av hvert kjønn.» Elevene er uenige med rektor, for de mener at det er mest sann­ synlig at det ble slik. Undersøk hvem som har rett. Oppgave 7.220 a) På en eksamen har elevene fått denne oppgaven: I en boks er det 3 røde penner, 2 gule penner og 1 grønn penn. Det skal trekkes tilfeldig ut 2 penner fra boksen, og du skal ta stilling til følgende to påstander: 1) Det er større sannsynlighet for å trekke 2 røde penner enn 1 rød og 1 gul. 2) Det er mindre sannsynlighet for å trekke 1 gul og 1 grønn penn enn 2 røde. b) I den neste oppgaven er det fort­ satt 3 røde penner, 2 gule penner og 1 grønn penn i boksen. Etter eksamen viser Egil fram sin oppstil­ ling av løsning på denne oppgaven:  3   2   1  1    1  . 1 p        6  3   Han husker ikke selve spørsmålet, men hva er det han har regnet ut? Oppgave 7.221 Til en basketballkamp møter det 7 spil­ lere, 5 jenter og 2 gutter. Det blir trukket ut 5 spillere som skal begynne å spille. Hva er sannsynligheten for at begge guttene får begynne?

381

Sinus S1 (2018) book.indb 381

21.03.2018 10:16:34


Oppgave 7.222 a) Vis at 8   = 70  4 En dag fikk skoletannlegen besøk av 8 elever. Av disse hadde 4 elever hull i tennene. Tannlegen kalte inn elevene i tilfeldig rekkefølge. b) Finn sannsynligheten for at de to første elevene hadde hull i tennene. Før lunsj hadde 4 av elevene vært inne hos tannlegen. c) Bestem sannsynligheten for at det blant disse elevene var 3 elever som hadde hull og 1 elev som ikke hadde hull. d) Hva er sannsynligheten for at minst 3 av de 4 elevene hadde hull? Oppgave 7.223 a) Regn ut binomialkoeffisienten

83.

I ei eske ligger det 8 stearinlys som er røde eller gule. Det er like mange røde som gule lys. Vi trekker tilfeldig 3 lys. b) Hva er sannsynligheten for ü trekke 2 røde og 1 gult lys? c) Hva er sannsynligheten for ü trekke minst 1 gult lys? Oppgave 7.224 a) Bruk Pascals talltrekant til ü regne ut ( x + 2) 4. b) I et gruppearbeid i naturfag er det 6 elever. Av disse har 3 elever blü øyne, 2 elever brune øyne og 1 elev grønne øyne. LÌreren trekker tilfel­ dig ut 2 av elevene. 1) Hva er sannsynligheten for ü trekke ut 1 elev med blü øyne og 1 elev med brune øyne? 2) Hva er sannsynligheten for at de to elevene har samme øyefarge?

382

Sinus S1 (2018) book.indb 382

7 â&#x20AC;˘ Sannsynlighetsregning

Oppgave 7.225 I matbutikken «Gammelt og godt» ligger det 24 pakker med kjøttdeig i frysedisken. Holdbarhetstida har gått ut på 8 av pakkene. Du trekker tilfeldig 4 av pakkene og legger dem i handlekur­ ven. Du skal regne ut sannsynligheten for at holdbarhetstida har gått ut på 2 av disse pakkene. Hvilket av alternativene nedenfor er riktig? Begrunn svaret.  8  16   2  2  1)      24  4    4  8  2)       2   24 

2

 16     24 

2

7.8

Oppgave 7.226 (Eksempel 2014) Pü figuren er det tegnet et utsnitt av Pascals trekant. Vi har markert trekant­ tallene an og delsummene Sn av disse. 1 1 an 1 S n 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1

1

2

a) Skriv av og fyll ut tabellen. n

an

an

Sn

2 2

1

  32

1

1

2

3

3

6

10

4

10

20

5

15

35

Sn

33

4

53

b) Se pü mønsteret i tabellen, og foreslü hvordan vi kan skrive an og Sn som binomialkoeffisienter.

21.03.2018 10:16:43


Oppgave 7.227 (Eksamen V-2014) Figuren nedenfor viser et utsnitt av pascaltrekanten.

x

y 28

Vi lar P  X  k  være sannsynligheten for at utfallet A inntreffer k ganger. c) Skriv av og fyll ut sannsynlighets­ modellen nedenfor. k

35

P( X = k)

8x

a) Bestem x og y. Nedenfor ser du utregningen av  a  b  for noen verdier av n.

n

(a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1 · a + 1 · b (a + b)2 = 1 · a2 + 2 · ab + 1 · b2 (a + b)3 = 1 · a3 + 3 · a2b + 3 · ab2 + 1 · b3 (a + b)4 = 1 · a4 + 4 · a3b + 6 · a2b2 + 4 · ab3 + 1 · b4

b) Bruk mønsteret ovenfor til å regne ut 5 a  b . Et forsøk er satt sammen av tre uav­ hengige delforsøk. I hvert delforsøk ser vi om et utfall A inntreffer eller ikke. Sannsynlighetene er P  A   a og P( A) = b. Forsøket kan illustreres med et valgtre. Se figuren. a a

b

b

aaa = a3

b

aab = a2b

a

aba = a2b

b

abb = ab2

a

baa = a2b

b

bab = ab2

a

bba = ab2

b

bbb = b3

a

b Første delforsøk

a

Andre delforsøk

Tredje delforsøk

3

2

1

0

3

a

Oppgave 7.228 (Eksamen H-2014) Med bokstavene A, B, C og D skal vi lage en kode på tre bokstaver.

A C C B D D C A A a) Hvor mange ulike koder kan vi lage

dersom vi tillater at én bokstav kan brukes flere ganger? b) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver bokstav kan brukes bare én gang? c) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver av kodene skal inne­ holde minst to like bokstaver? Oppgave 7.229 (Eksamen V-2015) I en boks ligger det 3 røde og 4 blå kuler.

Thomas skal trekke tilfeldig ut 3 kuler uten tilbakelegging. a) Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde. b) Bestem sannsynligheten for at han trekker ut flere røde enn blå kuler. Thomas skal så trekke tilfeldig ut 3 kuler med tilbakelegging. c) Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde.

383

Sinus S1 (2018) book.indb 383

21.03.2018 10:16:51


Oppgave 7.230 (Eksamen H-2015) a) Skriv ned de 6 første radene i Pascals talltrekant. I kjøleskapet står det fem flasker brus: sitronbrus, appelsinbrus, pærebrus, champagnebrus og cola. Erik skal hente tre av flaskene. b) Hvor mange mulige kombinasjoner av flasker kan han velge? Erik tar tilfeldig tre flasker. c) Bestem sannsynligheten for at cola­ flasken er én av de tre. Oppgave 7.231 (Eksamen V-2016) a) Skriv opp de 7 første radene i Pascals talltrekant. Bestem 74 . b) Beskriv en praktisk situasjon der du får bruk for 74 .





Oppgave 7.232 (Eksamen V-2016) En type pinkode består av fire siffer. Det er ikke lov å la koden begynne med 0. a) Hvor mange slike pinkoder finnes det? b) Hvor mange pinkoder finnes det om en ikke bruker samme siffer flere ganger? Oppgave 7.233 (Eksamen H-2016) Line, Lars og fire venner skal på kino. De har seks nummererte billetter. Billettene blir delt ut tilfeldig. a) Hvor mange måter kan de seks billettene deles ut på? Fire av billettene er på rad 8 og to billetter er på rad 9. b) Bestem sannsynligheten for at Line og Lars får billetter på rad 9.

38

Sinus S1 (2018) book.indb 384

Oppgave 7.234 (Eksamen V-2017) a) Skriv opp de sju første radene i Pascals talltrekant. b) Bestem 63 og 42 .

 

I elevrådet er det fire jenter og to gutter. Blant disse skal det trekkes ut tilfeldig tre personer som skal representere skolen. c) Bestem sannsynligheten for at det blir to jenter og én gutt som skal representere skolen. Oppgave 7.235 (Eksamen H-2017) En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen 2 8 slike bokser har kodelås. 3 9 4 0 For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekke­ følge. a) Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks? 1

5

7

1

For en annen type nøkkel­ boks lages en kode ved å 1 velge et bestemt antall for­ 2 skjellige tall blant tallene 3 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en 4 bestemt rekkefølge. 5 b) Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkel­ boks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall? c) Hvor mange tall må koden bestå av for at antall mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?

3

0

4

1

5 2 6

3

7

4

6 7 8 9 0

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:16:56


Oppgave 7.302 Ole, Ove, Knut, Preben, Anne, Ruth og Unni skal i teateret og skal sitte på sju nummererte plasser ved siden av hverandre. a) På hvor mange måter kan de plas­ sere seg når de kan sette seg hvor de vil? b) På hvor mange måter kan de plas­ sere seg når guttene skal sitte til høyre og jentene til venstre? c) På hvor mange måter kan de sitte gutt – jente – gutt – jente osv.? d) På hvor mange måter kan de plas­ sere seg når Preben skal sitte i midten?

3

1

1 1 1 1

15

7

9

10

6 21

8

10

6

5

1

28 36

3

4

10 20

35 56

84

1 4 5 15

35 70

1 1 6

1

21 56

126 126 84

7 28

1 8

36

45 120 210 252 210 120

1 9

45

1 10

1

b) Undersøk om vi har tilsvarende møn­ ster andre steder i pascaltrekanten. Oppgave 7.301 a) Summer de tallene som er inne i sekskanten på figuren nedenfor. Sam­ menlikn denne summen med det tallet som er ringet inn under sekskanten. Tegn nye like store sekskanter andre steder i pascaltrekanten og lag en hypotese om sammenhengen mellom summen av tallene inne i sekskanten og tallet rett under sekskanten. 1 1

1 1

1

2

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1

3

3

1

b) Bevis hypotesen fra oppgave a. 7.2

Oppgave 7.303 Hvert år arrangerer Bergen Turlag i Bergen «7­fjellsturen». Deltakerne skal da innom 7 fjelltopper på samme dag, og i alt blir 3,5 mil tilbakelagt.

Start 7 fjell Gravdal

Start 4 fjell Årstad vgs.

Sandviksfjellet

1 1

1

Rundemanen

2

Fløyen

1

Ulrikken

1

Løvstakken

1 1

Damsgårsfjellet

Oppgave 7.300 Vi har markert tallene 1, 4, 10, 20, 35 og 70 i pascaltrekanten i et såkalt hockeykølle­mønster. a) Hvilken sammenheng finner du mellom disse tallene?

Lyderhorn

MED HJELPEMIDDEL

Turistinformasjonen i Marken

a) Tenk deg at du skal innom alle toppene én gang, men du bestem­ mer selv hvilken rekkefølge du tar toppene i. Hvor mange ulike turer kan du da få? b) Som trening før «7­fjellsturen» bestemmer du deg for å gå innom fire av toppene. Hvor mange ulike turer kan du da få? c) Hvis du ikke tar hensyn til rekke­ følgen i oppgave b, hvor mange ulike turer kan du da velge?

385

Sinus S1 (2018) book.indb 385

21.03.2018 10:17:00


Oppgave 7.304 I en matematikkgruppe er det 12 gutter og 14 jenter. a) Alle er ute i friminuttet. Hvor mange måter kan de komme inn i klasserommet på når det ringer og de går inn en og en? b) Det er 30 pulter i klasserommet. Hvor mange måter kan de sette seg ned på når de får sette seg hvor de vil? c) To elever i klassen skal velges inn i elevrådet. På hvor mange måter kan vi velge ut to elever i klassen? d) Fire gutter og fire jenter skal plukkes ut til et prosjektarbeid. Hvor mange måter kan det gjøres på? Oppgave 7.305 a) Regn ut sannsynligheten for at minst to elever i en klasse på 25 har bursdag på samme dag. (Vi regner her med at det er 365 dager i et år.) b) Bruk diagrammet nedenfor til å lese av hvor mange personer det må være for at sannsynligheten for at minst to av dem har bursdag på samme dag, skal bli større enn 90 %.

1,0

Sannsynligheten for at minst to har bursdag på samme dag y

0,8 0,6 0,4 0,2

x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Antall personer

c) Funksjonsuttrykket f ( x)  1  0, 9986 x gir tilnærmet sannsynligheten for at minst to av en gruppe på x personer

386

Sinus S1 (2018) book.indb 386

har bursdag på samme dag. Tegn grafen til f for x­verdier mellom 2 og 100. Hvordan stemmer denne tilnær­ mingsgrafen med den eksakte grafen fra oppgave b? d) Bruk funksjonen i oppgave c til å finne svaret på oppgave a. Hvordan stemmer denne tilnær­ mingsverdien med svaret du regnet ut der? 7.5

Oppgave 7.306 En lekseprøve består av fem oppgaver. Det er fire svaralternativer til hver oppgave. Elevene skal velge ett alter­ nativ per oppgave. Ronny har ikke lest leksa, så han må velge tilfeldig et alternativ til hver oppgave. a) Hva er sannsynligheten for at han svarer feil på alle de fem oppga­ vene? b) Hva er sannsynligheten for at han svarer feil på akkurat tre av oppga­ vene? c) Hva er sannsynligheten for at han svarer riktig på høyst én av oppga­ vene? Oppgave 7.307 I en by er det 20 sett med trafikklys. Ingeniører har anslått at i ei vilkårlig uke og for hvert sett med trafikklys er sannsynligheten 0,05 for at det oppstår feil slik at trafikklyset slutter å fungere. Settene med trafikklys fungerer uavhen­ gig av hverandre. Finn sannsynligheten for at a) ingen feil oppstår på trafikklysene i byen b) minst én feil oppstår på trafikklysene c) minst tre feil oppstår på trafikk­ lysene

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:17:04


Oppgave 7.308 Hytteprodusenten «Stølebu» har gjen­ nomført en spørreundersøkelse som viser at 85 % av kundene deres er for­ nøyde. Produsenten trekker tilfeldig ut 20 personer som de har solgt hytter til. a) Skriv opp et uttryk for sannsynlig­ heten for at akkurat x av de 20 per­ sonene er fornøyde kunder. b) Finn sannsynligheten for at akkurat 16 av kundene er fornøyde. c) Finn sannsynligheten for at minst 16 av kundene er fornøyde. d) Bestem x slik at sannsynligheten for at minst x kunder blir fornøyde, er større enn 0,95. Oppgave 7.309 En møbelbutikk har kjøpt inn et større parti med reoler. Det viser seg at det er en produksjonsfeil på 20 % av alle reolene. Vi plukker tilfeldig ut 5 reoler. a) Hva må vi anta for å kunne bruke binomiske sannsynligheter i denne situasjonen? b) Finn sannsynligheten for at 1) det er feil på alle 5 reolene 2) det er feil på nøyaktig 3 reoler 3) det er feil på høyst 3 reoler 4) det er feil på minst 1 reol Oppgave 7.310 En svært populær popgruppe skal ha konsert, og vi kan kjøpe billetter ved å ringe et bestemt telefonnummer. Vi går ut fra at sannsynligheten er 0,01 for å komme igjennom når vi ringer. a) Hva er sannsynligheten for å komme igjennom når Ketil maksimalt orker å ringe 50 ganger? b) Hvor mange ganger må Ketil ringe for at sannsynligheten skal være minst 0,5 for å komme igjennom? 7.6

Oppgave 7.311 I en klasse er det 25 elever. Ti av dem er jenter. Seks av elevene blir trukket ut til muntlig eksamen. a) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut tre jenter og tre gutter? b) Hva er sannsynligheten for at minst fire av de seks er gutter? Oppgave 7.312 En klasse på 12 jenter og 8 gutter er med på Operasjon dagsverk. Fire av elevene skal male et hus. De trekker lodd om hvem som skal male. a) Bestem sannsynligheten for at det er fire jenter som skal male huset. b) Bestem sannsynligheten for at det blir to jenter og to gutter. c) Bestem sannsynligheten for at minst én gutt må være med og male huset. Oppgave 7.313 a) I Norge har 40 % av befolkningen blodtype O. Vi velger tilfeldig ut 15 nordmenn og undersøker blodtypen. 1) Hva er sannsynligheten for at akkurat 6 av disse personene har blodtype O? 2) Hva er sannsynligheten for at mer enn 2 personer i denne gruppen har denne blodtypen? b) En S1-gruppe 15 personer. 6 av disse elevene har blodtype O. Vi velger tilfeldig 10 elever fra denne gruppen. 1) Hva er sannsynligheten for at alle elevene med blodtype O er blant de utvalgte? 2) Hva er sannsynligheten for at akkurat 4 personer har denne blodtypen? 3) Hva er sannsynligheten for at mindre enn 3 personer har denne blodtypen? 7.7

Sinus S1 (2018) book.indb 387

387

21.03.2018 10:17:06


Oppgave 7.314 I klasse 2STC er det 18 jenter og 12 gutter. Fem elever fra klassen skal trekkes tilfeldig ut til en eksamen i matematikk. a) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut tre jenter og to gutter? b) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut minst ei jente blant de fem? Karianne blir trukket ut til eksamen. En av eksamensoppgavene har fire spørsmål. Hvert spørsmål har tre svar­ alternativer. Karianne klarer ikke å løse oppgavene. Hun velger derfor tilfeldig ett av svaralternativene til hvert av de fire spørsmålene. c) Hva er sannsynligheten for at Karianne svarer rett på alle de fire spørsmålene? d) Hva er sannsynligheten for at Karianne svarer rett på to av spørsmålene? e) Hva er sannsynligheten for at Karianne svarer rett på høyst ett av spørsmålene? Oppgave 7.315 Ved St. Hallvard videregående skole blir alle nye elever fotografert. Et bilde er mislykket hvis eleven har lukkede øyne (blunker) idet bildet blir tatt. Vi går ut fra at sannsynligheten for det er 0,10. a) Hva er sannsynligheten for at minst 2 bilder av i alt 10 blir mislykket? Fotografen tar 2 bilder av hver elev. b) Hva er sannsynligheten for at minst ett av de to bildene blir vellykket? c) Hva er da sannsynligheten for at det blir tatt minst ett vellykket bilde av hver elev i en gruppe på 10 elever?

388

Sinus S1 (2018) book.indb 388

Oppgave 7.316 En matematikkgruppe i S1 er satt sammen av 10 elever fra A-klassen og 15 elever fra B-klassen. I løpet av kort tid skal 8 av elevene avlegge teoriprø­ ven til førerprøven for bil. Sannsynlig­ heten for at en person klarer prøven på første forsøk, er 0,60. a) Hva er sannsynligheten for at alle 8 da klarer prøven? b) Hva er sannsynligheten for at 6 av de 8 klarer prøven? c) Hva er sannsynligheten for at minst én av elevene ikke klarer prøven? Seks av elevene skal trekkes tilfeldig ut fra S1-gruppen for å rydde aulaen på skolen. d) Hva er sannsynligheten for at alle elevene kommer fra B-klassen? e) Hva er sannsynligheten for at det blir trukket ut to elever fra A-klassen og fire fra B-klassen? f) Mia, Martine og Rayed er tre gode venner som er elever i denne mate­ matikkgruppen. Hva er sannsynlig­ heten for at minst én av dem blir trukket ut til denne jobben? Oppgave 7.317 Finn Trøen har egen sportsforretning og selger to typer sykler: «Høygir» og «Lavgir». I begynnelsen av ei uke hadde Trøen 45 slike sykler i butik­ ken. I løpet av uka ble alle syklene solgt: 20 sykler av typen «Lavgir» og 25 sykler av typen «Høygir». Vi går ut fra at det var tilfeldig hvilken type kundene valgte. Den første dagen solgte Trøen 6 sykler. a) Bestem sannsynligheten for at han solgte 2 sykler av «Lavgir» og 4 sykler av «Høygir» den dagen. b) Bestem sannsynligheten for at begge typer sykler ble solgt den første dagen.

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:17:08


Oppgave 7.318 En matematikklasse får en uvanlig matematikkprøve, nemlig en flervalgs­ prøve. Prøven består av 30 delspørsmål, der hvert delspørsmål har fem svaralter­ nativer (bare ett av de fem alternativene er riktig). a) Finn sannsynligheten for at en som bare tipper svarene, får 10 riktige svar på prøven. Læreren har sagt at de må ha minst 12 riktige svar for å stå på prøven. b) Finn sannsynligheten for at en elev som bare tipper alle svarene, står på denne prøven. Det er 9 jenter og 8 gutter i matematikk­ klassen. Når elevene får tilbake prøven, trekker læreren ut en gruppe på fem elever fra matematikklassen som skal gjennomgå og begrunne svarene for resten av matematikklassen. c) Finn sannsynligheten for at denne gruppen består av to jenter og tre gutter. d) Finn sannsynligheten for at det i denne gruppen er minst to jenter. Oppgave 7.319 Per har vært i butikken og kjøpt seg en stor pose med gule, grønne og røde drops. Per har anslått at det er 50 % sannsynlighet for å trekke et gult drops ut av posen. a) Per trekker ut 20 drops. Bestem sannsynligheten for at akkurat 10 av disse dropsene er gule. b) Bestem sannsynligheten for at minst 10 av dropsene er gule. Etter en stund er det 25 gule, 18 grønne og 14 røde drops igjen i posen. Per får besøk av Tina og tilbyr henne 10 drops. c) Hva er sannsynligheten for at Tina får 6 gule, 2 grønne og 2 røde drops?

Oppgave 7.320 En influensaepidemi har rammet en kommune. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt innbygger skal bli syk, er 0,37. Kommuneoverlegen plukker tilfeldig ut 100 personer. a) Hva er sannsynligheten for at minst 40 av dem blir syke? b) Hvilken sannsynlighetsmodell har du gjort bruk av i oppgave a? Begrunn valget ditt. På et legekontor i kommunen sitter det 14 pasienter og venter på å få en vaksine. Blant disse pasientene er det 10 kvinner og resten menn. Pasientene har kommet inn i tilfeldig rekkefølge og trukket en kølapp. Denne dagen har legen bare 10 vaksinedoser igjen. c) Hva er sannsynligheten for at alle de 10 kvinnene da blir vaksinert? d) Hva er sannsynligheten for at minst 2 av mennene blir vaksinert? Oppgave 7.321 a) I en kurv ligger det 10 tulipanløk som alle kan spire. Fire av løkene gir gule tulipaner, resten gir røde tulipa­ ner. Katrine trekker tilfeldig fem av løkene. Hva er sannsynligheten for at to av løkene gir gule tulipaner og tre gir røde tulipaner? b) Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt blomsterløk spirer, er 0,80. Gunnar har 10 slike løker. Hva er sannsynligheten for at minst åtte av løkene spirer? c) Gå tilbake til oppgave b. Anta nå at sannsynligheten for at minst åtte av løkene spirer, er 0,90. Hvor stor er da sannsynligheten for at en tilfeldig valgt blomsterløk spirer? 7.8

389

Sinus S1 (2018) book.indb 389

21.03.2018 10:17:09


Oppgave 7.322 (Eksempel 2014) Abelkonkurransen er en matematikk­ konkurranse i skolen. Den består av 20 spørsmål der hvert spørsmål har 5 svaralternativer. Vi vil i dette tilfellet trekke ut våre 20 svar helt tilfeldig uten å løse oppgavene. a) Begrunn hvorfor vi kan se på denne trekningen som et binomisk forsøk. b) Bestem sannsynligheten for å få akkurat 5 rette svar. c) Bestem sannsynligheten for å få minst 5 rette hvis vi trekker ut svarene tilfeldig. Oppgave 7.323 (Eksamen V-2014) Sommeren 2013 viste en undersøkelse at 3 av 4 som hadde tatt lærerutdanning, arbeidet som lærere. I en ny under­ søkelse ble så 20 personer som hadde tatt lærerutdanning, kontaktet. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 15 av disse arbeidet som lærer. b) Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 arbeidet som lærer. Det ble bestemt at flere personer med lærerutdanning skulle kontaktes. c) Hvor mange personer må delta i undersøkelsen for at sannsynlig­heten skal være større enn 95 % for at minst 25 av dem arbeider som lærere? Oppgave 7.324 (Eksamen H-2014) På en bussrute er det 10 stoppesteder i tillegg til endeholdeplassen. Dersom bussen kjører ruten uten å stoppe, tar turen 20 min. For hver gang bussen stopper, går det ett minutt ekstra. Sann­ synligheten for at bussen må stoppe på et vilkårlig stoppested, er 0,40. a) Bestem sannsynligheten for at buss­ turen tar nøyaktig 23 min. b) Bestem sannsynligheten for at buss­ turen tar mindre enn 25 min.

390

Sinus S1 (2018) book.indb 390

En dag er det billettkontroll. I bussen er det 30 passasjerer. Fire av dem har ikke billett. Fem vilkårlige passasjerer blir kontrollert. c) Bestem sannsynligheten for at minst én av de fire uten billett blir kontrol­ lert. Oppgave 7.325 (Eksamen V-2015) En undersøkelse viser at 70 % av norske arbeidstakere er fornøyde med den utdanningen de har valgt. I en ungdoms­ skoleklasse er det 30 elever. a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 21 av elevene kommer til å bli fornøyde med den utdanningen de velger. b) Bestem sannsynligheten for at minst 25 av elevene kommer til å bli fornøyde med den utdanningen de velger. I klassen er det 15 gutter og 15 jenter. Blant disse skal det trekkes ut 6 elever som skal delta i en undersøkelse. c) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut flere jenter enn gutter. Oppgave 7.326 (Eksamen H-2015) I en S1-gruppe er det 10 gutter og 15 jenter. Geir er elev i gruppen. Seks av elevene skal trekkes ut til muntlig eksamen i faget. Vi går ut fra at det skjer ved loddtrekning. a) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter. b) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut både gutter og jenter. c) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter, der Geir er én av guttene.

7 • Sannsynlighetsregning

21.03.2018 10:17:11


Oppgave 7.327 (Eksamen V-2016) Fire personer deltar i et terningspill. Hver deltaker kaster en terning tre ganger i første runde. Sannsynligheten for at en bestemt deltaker fĂĽr minst ĂŠn sekser i løpet av de tre kastene, er p. a) Vis at p â&#x2030;&#x2C6; 0,4213. b) Bestem sannsynligheten for at bare de to første deltakerne fĂĽr minst ĂŠn sekser i løpet av første runde. c) Bestem sannsynligheten for at nøy­ aktig to av deltakerne fĂĽr minst ĂŠn sekser i løpet av første runde. Oppgave 7.328 (Eksamen H-2016) I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra 1 til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene pĂĽ de sju kulene er vinner­ tallene. a) Forklar at sannsynligheten for at nøyaktig 4 av vinnertallene er mindre enn 10, er gitt ved  9   25   4   3       34  7   b) Bestem sannsynligheten for at 3 eller fĂŚrre av vinnertallene er mindre enn 10. Vi lar p vĂŚre sannsynligheten for at tallet 11 ikke er blant vinnertallene i en spilleomgang. c) Vis at p â&#x2030;&#x2C6; 0,794. KĂĽre følger med i Lotto. I løpet av de 10 første spilleomgangene et ĂĽr blir tallet 11 ikke trukket ut en eneste gang. d) Bestem sannsynligheten for at dette skulle skje.

Oppgave 7.329 (Eksamen V-2017) Simon passerer 10 lyskryss pü vei til skolen. Lyskryssene virker uavhengig av hverandre. Det er grønt lys i 24 s hvert minutt i hvert av lyskryssene. a) Begrunn at vi kan se pü dette som et binomisk forsøk med p = 0,40. b) Bestem sannsynligheten for at Simon für grønt lys i nøyaktig fem kryss. c) Bestem sannsynligheten for at Simon für grønt lys oftere enn rødt lys. d) Bestem sannsynligheten for at han für grønt lys i tre kryss etter hverandre og rødt lys i alle de andre kryssene. Oppgave 7.330 (Eksamen H-2017) Jakob har en spilleliste med 20 sanger pü mobilen sin. Fire av sangene pü spillelisten er med artisten Kygo. Prog­ rammet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre. a) Forklar at sannsynligheten alltid er p = 0,2 for at neste sang som blir spilt, er med Kygo. b) Jakob vil høre pü fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøy­ aktig to av sangene han spiller, er med Kygo. c) Hvor mange avspillinger mü han høre pü for at sannsynligheten for ü fü høre minst Ên sang med Kygo skal vÌre større enn 90 %?

391

Sinus S1 (2018) book.indb 391

21.03.2018 10:17:14

Sinus S1 (2018) utdrag  
Sinus S1 (2018) utdrag