Sinus R1 (2021) utdrag by Cappelen Damm

Foto og grafikk: Bildene er fargemanipulert. Omslagsfoto: iStock / Getty Images Plus / plej92 Kapittel 1: Adobe Stock / magann Kapittel 2: Adobe Stock / Bits and Splits Kapittel 3: Adobe Stock / salajean Kapittel 4: Unsplash / erol ahmed Kapittel 5: Unsplash / william Kapittel 6: iStock / Getty Images Plus / schulzie Oppgavedel: Adobe Stock / araho Side 208: Radiosonde / Thomas Olsen Side 303: Unsplash / Vlad Busuioc © Cappelen Damm AS, Oslo 2021 Sinus R1 følger læreplan (LK20) i matematikk for realfag R1 fra 2020, for vg2 programfag i utdannings program for studiespesialisering. Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til ånds verk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktører: Bjørn-Terje Smestad og Henning Vinjusveen Myhrehagen Sats: HAVE A BOOK, Polen 2021 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2021 Utgave nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-69615-3 www.cdu.no sinus.cdu.no

00_Sinus R1-2021_tittelsider.indd 2

15.03.2021 12:39:04

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter lære planene fra 2020. Læreboka Sinus R1 er skrevet for programfaget R1 i de studie forberedende utdanningsprogrammene. Boka legger vekt på den abstrakte matematikken, og elevene blir godt kjent med matematisk tankegang. De får god trening i å løse oppgaver uten og med bruk av digitale hjelpemiddel. Elevene lærer å bruke både CAS-delen og den grafiske delen av programmet GeoGebra. De får også opplæring i å bruke programmeringsspråket Python. Boka legger spesielt vekt på utforskende matematikk. Når elevene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der elevene skal finne ut egenskaper og regler innenfor temaet på egen hånd, før det er behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å ha gjort de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppe arbeid, men de kan også gjøres enkeltvis. I teoridelen er det en del diskusjons oppgaver der elever får trening i å kommunisere matematikk. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Der finner vi også en større prosjektoppgave. I noen av disse prosjektoppgavene får elevene bruke stoffet i kapitlet innenfor andre fagfelt. I andre oppgaver får elevene lære ny og spennende matematikk. Alle kapitlene blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon av kapitlet. I boka er det i tillegg en oppgavedel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen heter «Øv mer». Her er oppgavene ordnet etter delkapitlene i teoridelen. Den andre delen heter «Blandede oppgaver». Her er det oppgaver som skal løses både uten og med digitale hjelpemiddel. Noen ganger står det i oppgaven om elevene skal bruke hjelpemiddel eller ikke. I andre oppgaver står eleven fritt til å velge metode. I denne delen er det lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven kan løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter en oppgave, så kan alle oppgavene foran dette merket regnes når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Den tredje delen heter «Åpne oppgaver». Her er det åpne og utforskende oppgaver som kan være mer krevende enn dem i « Blandede oppgaver». Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ukjente ord og uttrykk. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Einar Gustafsson – Robin Bjørnetun Jacobsen

00_Sinus R1-2021_tittelsider.indd 3

15.03.2021 12:39:04

Innhold 1

Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Matematiske symboler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Potensregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Briggske logaritmer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Eksponentiallikninger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Praktisk bruk av eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Eksponentiallikninger og naturlige logaritmer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Logaritmelikninger og naturlige logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Logaritmiske skalaer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

6 7 14 19 22 26 29 35 38 42 45 46 48

Grenseverdier og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1 Grenseverdier .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kontinuerlige funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Funksjoner med delt funksjonsuttrykk .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Grenseverdier der teller og nevner blir 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Vekstfart som grenseverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Vekstfart med numeriske metoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Derivasjon av polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Fart og akselerasjon .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Hookes lov .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Funksjonsdrøfting .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Krumning og vendepunkter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Drøfting av funksjoner med delt uttrykk .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Størst og minst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Potensfunksjoner og rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Kjerneregelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Omvendte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Mer om omvendte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Lineær regresjon .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

54 61 69 74 80 87 93 98 102 104 106

109 118 126 131 138 145 150 159 164 166 170

Eksponential- og logaritmefunksjoner .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.1 Funksjonen f (x) = ln x .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.2 Derivasjon av eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

00_Sinus R1-2021_tittelsider.indd 4

15.03.2021 12:39:04

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Derivasjon av et produkt .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av rasjonale funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av logaritme- og eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logistisk vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfarten ved logistisk vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Lufttrykk .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Vektorer i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Lengden av en vektor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Vektoren mellom to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sum, differanse og produkt av tall og vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Koordinatformlene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Digital vektorregning .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Parallelle vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Dekomponering .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Regneregler for vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Determinanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

187 191 197 203 207 208 210

214 220 225 229 236 239 242 245 249 252 254 256

Skalarprodukt og parameterframstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

6.1 Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Koordinatformelen for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ortogonale vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Regneregler for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Parameterframstillinger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Regning med parameterframstillinger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Rettlinjet bevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgave: Parameterkurver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

Oppgaver .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Grenseverdier og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Funksjonsdrøfting .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Eksponential- og logaritmefunksjoner .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Skalarprodukt og parameterframstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304

263 268 276 280

287 293 299 300 302

305 331 352 376 397 415

Fasit – teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Fasit – oppgavedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Stikkord .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

00_Sinus R1-2021_tittelsider.indd 5

15.03.2021 12:39:04

GRENSEVERDIER OG DERIVASJON Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer • bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier • bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter • gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 50

12.03.2021 08:17:21

UTFORSK GRENSEVERDIREGLER Nå skal vi finne ut hva som skjer med funksjonsverdiene f (x) til en funksjon f når x nærmer seg et bestemt tall a. Hvis f (x) da nærmer seg et bestemt tall b, sier vi at f (x) har grenseverdien b når x går mot a. Vi skriver at f (x) har grense verdien b når x → a eller lim f (x ) b. x a

Vi kan finne en tilnærmingsverdi for grenseverdien lim 3x 6 ved hjelp av x 2 dette programmet: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

def f(x): return 3*x - 6 svar = input("Velg verdi for a:") a = float(svar) t = 0.1 while t > 0.0000001: print("f(" + str(round(a - t, 7)) + ") =", round(f(a - t), 7)) t = t/10 t = 0.1 while t > 0.0000001: print("f(" + str(round(a + t, 7)) + ") =", round(f(a + t), 7)) t = t/10

STEG 1

a) Studer programmet ovenfor og forklar hvordan det virker. b) Bruk programmet, og finn tilnærmingsverdier for lim 3x 6 når x a 1) a = 1 2) a = 2 3) a = 5 STEG 2

Tilpass programmet, og finn tilnærmingsverdier for lim x 3 2 x 2 når x a 1) a = 1 2) a = 2 3) a = 5 STEG 3

a) Tilpass programmet, og finn tilnærmingsverdier for lim x 3 2 x 2 3x 6 x a når 1) a = 1 2) a = 2 3) a = 5 b) Sammenlikn svarene her med svarene i steg 1 og 2. Hvilken regel ser ut til å gjelde?

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 51

12.03.2021 08:17:47

STEG 4

a) Tilpass programmet, og finn tilnærmingsverdier for lim 3 x 2 x x a 1) a = 1 2) a = 2 3) a = 5 b) Sammenlikn svarene her med svarene i steg 2. Hvilken regel ser ut til å gjelde? STEG 5

når

a) Tilpass programmet, og finn tilnærmingsverdier for lim 3x 6 x 3 2 x 2 x a når

1) a = 1 2) a = 2 3) a = 5 b) Sammenlikn svarene her med svarene i steg 1 og 2. Hvilken regel ser ut til å gjelde? STEG 6

x 3 2x 2 a) Tilpass programmet, og finn tilnærmingsverdier for lim når x a 3x 6 1) a = 1 2) a = 2 3) a = 5 b) Sammenlikn svarene her med svarene i steg 1 og 2. Hvilken regel ser ut til å gjelde?

2.1 Grenseverdier Når vi arbeider med grenseverdier, kan vi bruke disse grenseverdisetningene: Dersom lim f (x ) og lim g (x ) eksisterer, så er x →a

x →a

lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x )

x a

lim f (x ) g (x ) lim f (x ) lim g (x )

x a

lim k f ( x ) k lim f ( x ) der k er en konstant

x a

lim f (x ) f (x ) x a hvis lim g (x ) 0 x a g (x ) x a lim g (x ) lim

x a

2 | Grenseverdier og derivasjon

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 52

12.03.2021 14:51:31

EKSEMPEL

Bruk grenseverdisetningene til å finne grenseverdiene. 5x 2 4 x a) lim x 2 b) lim 5x 2 c) lim 5x 2 4 x d) lim x →3 x →3 x 3 x 3 x 1

LØ S N I N G

a) lim x 2 lim x x lim x lim x 3 3 9 x 3

b) c) d)

x 3

lim 5x 5 lim x 5 9 45

x 3

lim 5x 4 x lim 5x 2 lim 4 x 45 4 3 57

x 3

5x 4 x 5x 4 x lim 57 57 x 3 x 3 lim x 1 x 1 3 1 2 lim

x 3

Ovenfor fant vi grenseverdier når x nærmer seg et bestemt tall. Vi kan også finne grenseverdier når x vokser over alle grenser (x → ∞). Da utnytter vi ofte 1 1 → 0 når x → ∞. Dette at → 0 når x → ∞. Hvis a er en konstant, vil også x +a

kan vi skrive slik: lim

1 1 0 og lim 0 x x x a

Det samme gjelder når x → - ∞. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Finn grenseverdiene. 5 3 a) lim b) lim 4 x x x x 5

3x 2 5x 2 d) lim 2 x x 1 x x 1

c) lim

5 1 1 lim 5 5 lim 5 0 0 x x x x x x

a) lim b)

3 1 lim 4 4 3 4 3 0 4 xlim x x 5 5

1 2 3 3x 2 x 3x 2 x 3 0 3 lim c) lim lim x x 1 x 1 x 1 1 0 1 x 1 x x 1 5 2 2 5x 2 x 2 5x 2 x x 0 0 0 lim d) lim 2 lim x x 1 x x 1 1 1 2 1 0 x2 1 2 x x

2.1 Grenseverdier

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 53

12.03.2021 08:19:39

Legg merke til metoden vi brukte i oppgave c og d i eksemplet på forrige side. 1 Vi multipliserte telleren og nevneren med n , der n er graden av polynomet i x nevneren.

OPPGAVE 2.10

Bruk grenseverdisetningene og regn ut.

a) lim 2 x 1 b) lim 2 x 2 5x c) lim x 5

x 1

2x 3 x 2 d) lim 2 x x 2x 1 3

OPPGAVE 2.11

For funksjonene f og g vet vi at lim f (x ) 1 og at lim g (x ) 5. x 3

x 3

Bruk grenseverdisetningene til å finne disse grenseverdiene: a) lim f (x ) g (x ) b) lim f (x ) g (x ) c) lim 5 f (x ) 4 g (x ) x 3

x 3

d) lim f (x ) e) lim 2

x 3

f (x ) 2 g (x ) g (x ) f (x )

OPPGAVE 2.12

Finn grenseverdiene. 2 5000 a) lim 1 b) lim 1 x x x 1 x

2x 3 x x2 1

c) lim

2x 2 2x 1 x x2 3

d) lim

DISKUTER

P (x ) , der P(x) og Q(x) er polynomer. Q( x ) Hva kan dere si om denne grenseverdien når graden av P(x) er 1) lavere enn graden av Q(x) 2) lik graden av Q(x) 3) høyere enn graden av Q(x)

Nå skal vi se på lim

2.2 Kontinuerlige funksjoner En funksjon er kontinuerlig i et intervall hvis grafen er en sammenhengende kurve i intervallet. Da kan vi tegne grafen uten å løfte blyanten fra papiret. Hvis en funksjon ikke er kontinuerlig i et punkt, sier vi at den er diskontinuerlig i punktet. Grafen gjør da et sprang der.

2 | Grenseverdier og derivasjon

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 54

12.03.2021 08:21:02

Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom poengene på en eksamens besvarelse i R1 og karakteren. Karakteren f (x) er en funksjon av poengene x. y Karakter

6 5 4 3 2 1

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Poeng

Denne grafen er ikke sammenhengende i definisjonsmengden Df = [0, 60]. Den gjør for eksempel et sprang for x = 45. Funksjonen er da diskontinuerlig der. Heltallsverdien til et tall er det største hele tallet som er mindre enn eller lik tallet. Heltallsverdien av 3,4 er 3. Heltallsverdien av −3,4 er −4. Når vi skal ha heltallsverdien til x, kan vi skrive heltall(x). I engelskspråklig programvare heter denne funksjonen ofte floor(x). Når vi skriver inn floor(x) i algebra feltet i GeoGebra, får vi fram dette:

Legg merke til skrivemåten. Vi har i tillegg en funksjon som runder av oppover til nærmeste heltall. Den heter ceil(x) i GeoGebra. Ceil er forkorting av ceiling (tak). Når vi skriver inn ceil(x), får vi dette resultatet:

EKSEMPEL

En funksjon f er gitt ved 9 f (x ) heltall(x ), x 0, 2 a) Tegn grafen til f i GeoGebra. b) For hvilke x-verdier er funksjonen diskontinuerlig?

2.2 Kontinuerlige funksjoner

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 55

12.03.2021 08:21:07

LØ S N I N G

9 a) I GeoGebra skriver vi Funksjon floor(x ), 0, . Det gir denne grafen: 2

b) Funksjonen er diskontinuerlig for= x 1,= x= 2, x 3= og x 4.

OPPGAVE 2.20

Figuren viser omrisset av veggene i et rom. y 4

B(x, y)

3 2

f(x)

g(x)

A(x, 0) 0

C(3, 0) 2

x 5

a) La f (x) være avstanden fra punktet A(x, 0) på den ene veggen til punktet B(x, y) på motsatt vegg. For hvilke x er f diskontinuerlig? b) La g(x) være avstanden fra punktet C(3, 0) på den ene veggen til punktet B(x, y) på motsatt vegg. For hvilke x er g diskontinuerlig?

2 | Grenseverdier og derivasjon

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 56

12.03.2021 08:21:16

OPPGAVE 2.21

I 2020 var det ikke merverdiavgift på elbiler. Det ble diskutert ulike modeller for merverdiavgift på dyre elbiler. Her er to forslag: 1. Det blir 15 % merverdiavgift for alle elbiler der prisen uten merverdiavgift er over 600 000 kr. 2. Det blir 25 % merverdiavgift på den delen av prisen som er over 600 000 kr. a) For hvilken av disse to modellene er prisen med merverdiavgift en kontinuerlig funksjon av prisen uten merverdiutgift for x = 600 000? b) Tegn grafer som viser prisen med merverdiavgift som funksjon av prisen uten merverdiavgift for hver av disse modellene. OPPGAVE 2.22

Vi har gitt funksjonen f (x) = x - heltall(x), x∈〈0, 5〉 a) Tegn grafen til f i GeoGebra. b) For hvilke x er funksjonen diskontinuerlig? OPPGAVE 2.23

Vi har gitt dette Python-programmet: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

from math import floor svar = input("Oppgi et tall a:") a = float(svar) if floor(a) == a: print("Tallet", svar , "er et helt tall.") if floor(a/2) == a/2: print("Tallet", svar, "er et partall.") else: print("Tallet er ikke et helt tall.")

a) Forklar hvordan programmet virker. b) Utvid programmet slik at det skriver ut om et oppgitt tall er et oddetall. DISKUTER

Vi har gitt de to funksjonene = f (x )

heltall(x ) x = og g (x ) x heltall(x )

Finn ut mest mulig om disse to funksjonene uten hjelpemiddel. Tegn deretter grafene i GeoGebra. 2.2 Kontinuerlige funksjoner

02_Sinus R1-2021_kap2_teori.indd 57

12.03.2021 08:21:22

3.5 Potensfunksjoner og rotfunksjoner I kapittel 2 brukte vi derivasjonsformelen

x n x n

n 1

når n var et naturlig tall. Men formelen gjelder også når n er et negativt tall, et desimaltall eller en brøk. Det beviser vi i kapittel 4.8. Nå skal vi se på noen eksempler. EKSEMPEL

Finn f ′(x ) når

1 1 a) f (x ) = x 2,3 b) f (x ) = c) f (x ) = 3 x x LØ S N I N G

a) f (x) = x 2,3 ⇒ f ′(x) = 2,3 ⋅ x 2,3 – 1 = 2,3x 1,3 b) Vi vet at

1 = a–n n a

Dermed er 1 x 1 x 1 1 1 f ( x ) x 1 1 x x 2 2 x 1 f (x ) 3 x 3 x 3 3 1 f (x ) x 3 3 x 3x 4 4 x f (x )

EKSEMPEL

La funksjonen f være gitt ved f (x ) = x , Df = [0, →〉 a) Finn f ′(x). b) Finn vekstfarten når x = 4. c) Finn likningen for tangenten i punktet (4, f (4)). d) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem.

138

3 | Funksjonsd røf ting

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 138

12.03.2021 08:47:12

LØ S N I N G

a) Fra kapittel 1 vet vi at m an = a m . Dermed er f (= x)

x1 = x 2

= x

1 1 f (x ) x 2 2

1 1 1 1 1 1 1 x 2 1 2 2 2 2 x 2 x x b) Vekstfarten når x = 4 er

f (4)

2 4

1 1 2 2 4

c) Stigningstallet til tangenten i (4, f (4)) er a f (4)

1 4

Tangenten har dermed likningen y 1 x b. Når x = 4, er 4

= y f= ( 4)

4 =2

Det gir 1 2 4 b 4 2 1 b b 1 Tangenten har likningen 1 y x 1 4 d) Nå tegner vi grafen og tangenten. y 4 3

2 1 x

6 7

9 10

3.5 Potensfunksjoner og rotfunksjoner

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 139

139

12.03.2021 08:47:56

I eksemplet foran har vi vist disse derivasjonsreglene:

1 1 x x 2

x 2 1 x

OPPGAVE 3.50

Finn f ′(x ) når

1 c) f (x ) = x 3 x5

f (x ) = a) f (x ) = x1,7 b) OPPGAVE 3.51

La funksjonen f være gitt ved f (x ) =

1 x2

a) Finn f ′(x ). b) Finn vekstfarten når x = 1. c) Finn likningen for tangenten i punktet (1, f (1)). d) Tegn grafen til f og tangenten digitalt. Ved hjelp av regnereglene fra kapittel 2 kan vi nå derivere summer der potenser og kvadratrøtter inngår. EKSEMPEL

LØ S N I N G

EKSEMPEL

Deriver funksjonene. a) f (x ) 3x 2,3 4 x 2,3 2 ,3 1

f (x ) 3 2, 3x

f (x ) 3x 2 4

b) f (x ) x 3 4 x

4 2, 3 x

1 2 x

3x 2

2 ,3 1

6, 9 x1,3 9, 2 x 3,3

2 x

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x

4 x

a) Finn f ′(x ) og f ′′(x ). b) Finn topp- og bunnpunkter uten hjelpemiddel. c) Finn alle asymptotene til f. d) Tegn grafen til f uten hjelpemiddel.

140

3 | Funksjonsd røf ting

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 140

12.03.2021 08:49:16

LØ S N I N G

f (x ) x

4 x 4 x 1 x

f (x ) 1 4 ( 1) x

1 1

1 4 x 2 1

4 x2

f (x ) 1 4 x 2 f (x ) 0 4 ( 2) x

2 1

8 x 3

8 x3

b) Først finner vi de stasjonære punktene. f (x ) 0 4 1 2 0 | x 2 x 2 x 4 0 x2 4 x 2 x 2 Nå regner vi ut funksjonsverdien og den andrederiverte i de stasjonære punktene. 4 2 2 4 2 8 8 f ( 2) 1 3 2 8 f ( 2) 2

4 2 2 4 2 8 8 f (2) 3 1 2 8 f (2) 2

Ettersom f ( 2) 0, er x = −2 et maksimalpunkt. Da f (2) 0, er x = 2 et minimalpunkt. Funksjonen har et toppunkt 2, 4 og et bunnpunkt 2, 4 . 4 x

1 x

c) Når x → 0, vil → ±∞. Da vil også f (x) = x + → ±∞. Dermed har f en vertikal asymptote x =0 4 x

4 x

Ettersom f (x) − x = og → 0 når x → ±∞, har f en skrå asymptote y=x

3.5 Potensfunksjoner og rotfunksjoner

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 141

141

12.03.2021 08:49:58

d) Når vi skal tegne grafen uten hjelpemiddel, tegner vi først asymptotene. Deretter plasserer vi topp- og bunnpunktet. Da trenger vi bare regne ut noen få ekstra punkter når vi skal tegne grafen. 10

8 6

4 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –2

x 1

2 3

–4 –6 –8

OPPGAVE 3.52

Deriver funksjonene. 2 2 3 2 a) f (x ) x 2 2 x b) f (x ) 2 x 3 2 c) f (x ) 2 3 x x x x OPPGAVE 3.53

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 x a) Finn f ′(x). b) Finn likningen for tangenten til grafen i punktet (4, f (4)). c) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem. OPPGAVE 3.54

Funksjonen f er gitt ved f (x ) 2x 1

2 x

a) Finn f ′(x) og f ″(x). b) Finn topp- og bunnpunkter uten hjelpemiddel. c) Finn alle asymptotene til f. d) Tegn grafen til f uten hjelpemiddel.

142

3 | Funksjonsd røf ting

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 142

12.03.2021 08:50:26

UTFORSK SAMMENSATTE FUNKSJONER Vi har gitt funksjonene u(x) = 2x + 1 og g (x) = x 2 Da kan vi danne den sammensatte funksjonen f (x) = g (u(x))

Den virker slik: f (2) = g (u(2)) = g (2 ⋅ 2 + 1) = g (5) = 52 = 25 Vi kan illustrere dette slik: 2

u(2)

g(u(2))

g(u(2)) = f(2)

Slik regner vi ut f (1). f (1) = g (u(1)) = g (2 ⋅ 1 + 1) = g (3) = 92 = 9 STEG 1

Bruk funksjonene ovenfor og regn ut f (−2) og f (3). STEG 2

h(x) = u (g(x)) der g og u er funksjonene ovenfor. Regn ut h(−2) og h(3). Nå lager vi et program i Python som regner ut funksjonsverdier for en sammensatt funksjon. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

def u(x): return 2*x + 1 def g(x): return x**2 def f(x): return g(u(x)) svar = input("Verdi for a:") a = float(svar) print("f(" + svar + ") =", f(a))

3.5 Potensfunksjoner og rotfunksjoner

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 143

143

12.03.2021 08:50:26

STEG 3

Bruk programmet til å løse steg 1. STEG 4

Tilpass programmet og bruk det til å løse steg 2. STEG 5

Tilpass programmet slik at det skriver ut f (a) for a = −5, - 4, ..., 10. Vi kan finne funksjonsuttrykket til sammensatte funksjoner. Hvis u(x) = 2x + 1 og g(x) = x 2, blir

f (x) = g(u(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1) = 4x + 4x + 1 2

STEG 6

a) Finn funksjonsuttrykket til h(x) = u (g(x)) med u(x) = 2x + 1 og g(x) = x 2. b) Finn funksjonsuttrykket til f (x) = g (u(x)) og h(x) = u (g (x)) med u(x) = 3x - 1 og g(x) = x 2 + 3x. STEG 7

La g(x) = x 2 + 2x og u(x) = x 2. a) Vis at f (x) = g (u(x)) = x4 + 2x 2. b) Finn g ′(x), u′(x) og f ′(x). c) Regn ut g ′(u(1)), u′(1) og f ′(1). d) Regn ut g ′(u(2)), u′(2) og f ′(2). e) Regn ut g ′(u(3)), u′(3) og f ′(3). f) Se på svarene i hver av oppgavene c, d og e. Hvilken regel ser ut til å gjelde? g) Undersøk om regelen din stemmer for andre x-verdier. h) Klarer du vise at regelen gjelder for alle verdier for x? STEG 8

a) På side 89 lagde vi et program i Python som finner gode tilnærmingsverdier for den deriverte. Lag et program som skriver ut tilnærmingsverdier for g′(u(a)), u′(a) og f ′(a) når a = −5, -4, ..., 10. Stemmer regelen du fant i steg 7? b) Sett inn andre funksjonsuttrykk for u(x) og g(x), og se om regelen fortsatt gjelder.

144

3 | Funksjonsd røf ting

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 144

12.03.2021 08:50:26

3.6 Kjerneregelen Funksjonen f (x ) x 2 1 kan vi oppfatte som en sammensatt funksjon. Hvis vi setter u(x) = x 2 + 1 og g (x ) = x , blir f (x) = g (u(x)). Funksjonen u(x) = x 2 + 1 kaller vi kjernen eller den indre funksjonen. Funksjonen g kaller vi den ytre funksjonen. EKSEMPEL

Funksjonen f er gitt ved f (x) = (2x - 3)

Skriv f som en sammensatt funksjon. LØ S N I N G

Her velger vi kjerne

u(x ) 2 x 3

og ytre funksjon

g (x ) = x 3 .

Dette kan vi kontrollere slik: f (x) = g (u(x)) = g (2x - 3) = (2x - 3)

OPPGAVE 3.60

Bestem kjerne u(x) og ytre funksjon g.

a) f (x ) 2 x 1 b) f (x ) x 2 2 x c) f (x ) 2 x 1 2 ,7

d) f (x ) 2

3x 1

Når vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen. Det er den regelen du sikkert fant i Utforsk sammensatte funksjoner. Vi beviser den i slutten av dette delkapitlet. Hvis f (x) = g (u(x)), så er

f (x ) g u(x ) u (x )

Det kan være vanskelig å skjønne innholdet i denne regelen. Det viktige er å lære hvordan vi bruker den. 3.6 K jerneregelen

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 145

145

12.03.2021 08:51:16

EKSEMPEL

Deriver funksjonene ved hjelp av kjerneregelen. 4 a) f (x ) x 2 1

b) f (x ) 2 x 1

c) f (x ) x 2 1 LØ S N I N G

a) Vi setter kjernen u(x) = x 2 + 1. Da er

f (x ) x 2 1 u(x )

Den ytre funksjonen er g(x) = x 4. Da er f (x) = g (u(x)). Videre er g (x ) x 4 4 x 3 , og u (x ) 2 x . Kjerneregelen gir

f (x ) g u(x ) u (x ) 4 u(x ) u (x ) 4 x 2 1 2 x 3

f (x ) 8 x x 2 1

Med litt trening gjør vi dette uten å bruke u(x). Da gjør vi det slik: 3 4 3 f (x ) x 2 1 4 x 2 1 x 2 1 4 x 2 1 2x

f (x ) 8 x x 1 2

b) Her velger vi kjerne u(x) = 2x - 1 og ytre funksjon g(x) = x 3. Da er g (x ) 3x 2 og u (x ) 2. Det gir f (x ) g (u(x )) u (x ) 3 u(x ) u (x ) 3 2 x 1 2 6 2 x 1 2

Som oftest gjør vi dette slik:

f (x ) 2 x 1

3 2x 1 2x 1 3 2x 1 2 6 2x 1 2

c) Nå setter vi u(x) = x 2 + 1 og g (x ) = x . Da er u (x ) 2 x og g (x ) f (x ) g u(x ) u (x )

f (x )

1 2 x

1 1 2x u (x ) 2x 2 2 u(x ) 2 x 1 2 x2 1

x2 1

Med litt trening gjør vi det slik: f (x )

146

f (x )

x2 1 x

1 2

2 x 1

x2 1

1 2

2 x 1

2x 2 x2 1

x2 1

3 | Funksjonsd røf ting

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 146

12.03.2021 08:52:51

EKSEMPEL

Finn f ′(x) når f (x )

LØ S N I N G

1 2x 1 1

Med u(x) = 2x + 1 og g (x) = blir f (x) = g (u(x)). Ettersom u′(x) = 2 og x 1 g′(x) = - 2 , blir x

f (x ) g (u(x )) u (x )

u(x )

u (x )

2x 1

I praksis gjør vi det slik: 1 1 1 f (x ) 2 x 1 2 2 2 2 x 1 2x 1 2x 1 2 2 2x 1

OPPGAVE 3.61

Deriver funksjonene. 2 3 a) f (x ) 2 x 3 b) f (x ) x 2 1 c) f (x ) x 3 5x

d) f (x ) 2 x 3 e) f (x )

1 x 1 2

Når vi skal derivere en sum av flere ledd der leddene er sammensatte funksjoner, må vi kunne derivere uten å bruke u(x). EKSEMPEL

Deriver funksjonen gitt ved

LØ S N I N G

f (x ) x 2 1 2x 3

f (x )

x 1 2x 3 2 x 1 x 1 3 2x 3 2x 3 2

2 x 2 1 2 x 3 4 x 2 12 x 9 2 4 x x 2 1 6 4 x 2 12 x 9 3

4 x 4 x 24 x 72 x 54 4 x 24 x 76 x 54

3.6 K jerneregelen

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 147

147

15.03.2021 08:19:20

OPPGAVE 3.62

Deriver funksjonene. 4 a) f (x ) 5x 2 x 1 4 3 c) h(x ) 3x 1 x 2 3

b) g (x ) 3 x 2 2

OPPGAVE 3.63

Deriver funksjonene.

a) f (x ) x 2 1 x 2 1 b) f (x ) BEVIS

1 2x 1 x 3 2

Bevis for kjerneregelen. Vi skal finne f ′(x ) når f (x ) g u(x ) . Vi forutsetter at g og u er deriverbare og dermed kontinuerlige funksjoner. Videre forutsetter vi at u (x ) 0. Da er u(x x ) u(x ) 0 når ∆x er nær 0. f (x ) lim

x 0

lim

x 0

lim

f (x x ) f (x ) x g u(x x ) g u(x ) x g u(x x) g u(x) u(x x) u(x)

u(x x ) u(x ) x g u(x x ) g u(x ) u(x x ) u(x ) lim x 0

x 0

lim

x 0

u(x x ) u(x ) g u(x x ) g u(x ) u(x x ) u(x )

u(x x ) u(x ) lim x 0 x x

Ovenfor multipliserte vi med u(x + Δx) - u(x) i telleren og i nevneren. Deretter brukte vi en grenseverdisetning. Nå setter vi t = u(x) og Δt = u(x + Δx) - u(x). Da er u(x + Δx) = u(x) + Δt = t + Δt. Ettersom u er kontinuerlig, nærmer u(x + Δx) seg u(x) når ∆x → 0. Dermed nærmer Δt seg 0 når ∆x → 0. Vi setter inn i uttrykket ovenfor og får g (t t ) g (t ) u(x x ) u(x ) lim t 0 x 0 t x

f (x ) lim

Etter definisjonen av den deriverte er den første grenseverdien lik g ′(t ), og den andre er lik u′(x ). Dermed er f (x ) g (t ) u (x ) g u(x ) u (x )

148

3 | Funksjonsd røf ting

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 148

12.03.2021 08:55:10

UTFORSK OMVENDTE FUNKSJONER Ane ber Stian om å tenke på et tall. Deretter skal han legge 3 til tallet, gange svaret med 4 og til slutt trekke fra 5. Tallet han nå har, sier han til Ane. Hun skal finne ut hvilket tall Stian tenkte på. STEG 1

a) Stian tenker på tallet 6. Hvilket tall sier han til Ane? b) Stian tenker på tallet x. Finn et funksjonsuttrykk S(x) for tallet han sier til Ane. STEG 2

a) Stian tenker på et tall, gjør regneoperasjonene og sier tallet 3 til Ane. Hvilket tall tenkte han på? b) Stian sier tallet x til Ane. Finn et funksjonsuttrykk A(x) Ane kan bruke for å finne ut hvilket tall Stian tenkte på. STEG 3

Bruk funksjonsuttrykkene fra steg 1 og 2, og finn funksjonsuttrykket for den sammensatte funksjonen f (x) = A(S(x)). Forklar det du finner. Nå ber Stian Ane om å tenke på et tall. Deretter skal hun trekke 1 fra tallet, gange svaret med seg selv og til slutt legge til 3. Tallet hun nå har, sier hun til Stian, som skal finne ut hvilket tall Ane tenkte på. STEG 4

a) Ane tenker på tallet 6. Hvilket tall sier hun til Stian? b) Ane tenker på tallet x. Finn et funksjonsuttrykk a(x) for tallet hun sier til Stian. STEG 5

a) Ane tenker på et tall, gjør regneoperasjonene og sier tallet 3 til Stian. Hvilket tall tenkte hun på? b) Ane tenker på et tall, gjør regneoperasjonene og sier tallet 4 til Stian. Hvorfor kan ikke Stian nå vite hvilket tall Ane tenkte på? c) Foreslå en regel Stian gir for hvilke tall Ane får lov å tenke på, slik at han alltid kan finne tallet. d) Ane følger den nye regelen fra oppgave c og sier tallet x til Stian. Finn et funksjonsuttrykk s(x) Stian kan bruke for å finne ut hvilket tall Ane tenkte på. STEG 6

Bruk funksjonsuttrykkene fra steg 4 og 5, og finn et funksjonsuttrykk for den sammensatte funksjonen g(x) = s(a(x)). Forklar det du finner.

3.6 K jerneregelen

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 149

149

12.03.2021 08:55:10

3.7 Omvendte funksjoner Vi slipper en stein fra et sted 80 m over bakken. Høyden over bakken er da en funksjon av tida, for hver mulig verdi for tida gir nøyaktig én verdi for høyden. Hvis vi ser bort fra luftmotstanden og setter tyngdeakselerasjon g til 10 m/s2, er høyden over bakken i meter etter t sekunder gitt ved f (t) = 80 - 5t 2 Funksjonen har denne grafen: h(m) 80 60 40

20 1

2 3

4 t(s)

Grafen viser at definisjonsmengden til f er Df = [0, 4], og at verdimengden er Vf = [0, 80]. Men her er også tida t en funksjon av høyden h. For hver mulig verdi for høyden h∈[0, 80] kan vi finne nøyaktig én verdi for tida t. La g være den funksjonen som gir tida t når vi kjenner høyden h. Funksjonen g er da den omvendte funksjonen til f. Høyden i meter etter 2 s er f (2) = 80 - 5 ⋅ 22 = 80 - 20 = 60 Når høyden er 60 m, er tida 2 s. Da er g(60) = 2. Ettersom f (3) = 80 - 5 ⋅ 32 = 80 - 45 = 35 er g(35) = 3. Den omvendte funksjonen g er bestemt slik at f (a) = b ⇒ g(b) = a Se grafen ovenfor. Fra grafen ser vi også at definisjonsmengden til g er Dg = [0, 80], og at verdimengden er Vg = [0, 4].

150

3 | Funksjonsd røf ting

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 150

12.03.2021 08:55:11

Vi kan da finne funksjonsuttrykket til den omvendte funksjonen g. Det gjør vi slik: h 80 5t 2 5t 2 80 h 80 h t2 5 80 h t 5 Ettersom t ≥ 0, er t

80 h 5

Tida t er dermed gitt ved funksjonen g der 80 h 5

g (h)

Nå skal vi se på en annen situasjon. Vi står på bakken og kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken etter t sekunder er nå gitt ved f (t) = −5t 2 + 20t, t∈[0, 4] Funksjonen har denne grafen: h(m) 20 15 10

5 1

4 t(s)

Her er ikke tida t en funksjon av høyden h, for nesten alle de mulige verdiene for h gir to verdier for t. Funksjonen f har dermed ingen omvendt funksjon.

3.7 Omvendte funksjoner

03_Sinus R1-2021_kap3_teori.indd 151

151

12.03.2021 08:55:27

OPPGAVE 4.70

I et land tror myndighetene at folketallet i millioner om t år er gitt ved f (t )

30 1 2e 0,05t

a) Finn digitalt og ved regning folketallet nå og etter lang tid. b) Finn f ′(t ). c) Finn digitalt og ved regning vekstfarten nå og om 5 år. d) Finn vekstfarten etter lang tid. e) Når er veksten størst? Hva er folketallet da? f) Tegn en graf som viser folketallet de 50 første åra. OPPGAVE 4.71

I Reinheim er det en reinstamme på 300 dyr. Vi regner med at om t år er tallet på dyr gitt ved f (t )

200 1

1 e 0,1t 3

a) Finn digitalt og ved regning vekstfarten i begynnelsen og etter 10 år. b) Finn vekstfarten etter lang tid. c) Tegn en graf som viser utviklingen de 20 første åra. d) Når er stammen i ferd med å minke med 5 dyr per år? OPPGAVE 4.72

Det oppstår et ondsinnet rykte på en skole med 300 elever. Ryktet sprer seg logistisk. I begynnelsen kjente 3 personer til ryktet. Etter 5 døgn gjaldt det 33 elever. Etter lang tid har alle hørt ryktet. Finn ut mest mulig om ryktespredningen. OPPGAVE 4.73

La N, a og k være tre positive tall. Vis ved regning at funksjonen f gitt ved f (t )

N 1 a e k t lna N , og at funksjonsverdien da er . k 2

har et vendepunkt når t =

206

4 | Eksponential- og logaritmefunksjoner

04_Sinus R1-2021_kap4_teori.indd 206

12.03.2021 00:41:33

SAMMENDRAG Logaritmefunksjonen ln x Logaritmefunksjonen f (x) = ln x er voksende og kontinuerlig med definisjonsmengde Df = 〈0, →〉 og verdimengde Vf = ℝ. Videre er f (x )

1 x

Eksponentialfunksjonen e x Eksponentialfunksjonen f (x) = e x er voksende og kontinuerlig med definisjonsmengde Df = ℝ og verdimengde Vf = 〈0, →〉. Videre er f (x ) e x Derivasjon av a x

a a x

ln a

Produktregelen

u v u v u v Kvotientregelen u u v u v v v2 Logistisk vekst Ved en logistisk vekst er et antall gitt ved f (t )

N k t 1 a e

der N, a og k er positive konstanter. Etter lang tid vil antallet nærme seg N. lna N . Antallet er da . k 2

Vekstfarten er størst i vendepunktet der t =

Sammendrag

04_Sinus R1-2021_kap4_teori.indd 207

207

12.03.2021 00:42:10

LUFTTRYKK Når meteorologer skal lage gode værmeldinger, må de kjenne temperaturen og lufttrykket oppover i atmosfæren. Slike målinger er også viktige når vi skal studere klimaendringer.

1 Pa = 1 N/m2

Meteorologer bruker som oftest enheten hPa der 1 hPa = 100 Pa. Vi måler lufttrykk med et barometer. Normalt lufttrykk ved havover flaten er 1013 hPa. Dette er en gjennom snittsverdi over en lang periode, for lufttrykket varierer med tida. Vi har lavtrykk og høytrykk. Dette skaper vind fordi luft vil strømme fra høytrykk mot lavtrykk for å jevne ut trykk forskjellene. Det laveste trykket som er målt i Norge, er 938,5 hPa, og det høyeste er 1061 hPa. Begge disse trykkene ble målt i 1907. Forskere måler trykket og tempera turen oppover i atmosfæren ved hjelp av

v ærballonger. Det er en ballong med helium eller hydrogen. Under den henger en liten kapsel med måleinstrumenter som sender data til bakken ved hjelp av ei mobilantenne. Når ballongen er ca. 30 km over havet, sprek ker ballongen og faller ned. Det blir sendt opp værballonger flere ganger om dagen fra 6 steder i Norge: Jan Mayen, Ekofisk, Sola, Ørland, Bodø og Bjørnøya. 100 90 80

Mesosfære

70 Høyde i km

Lufttrykket på et sted er tyngden per arealenhet av luftsøyla over et flatestykke. Lufttrykket vil dermed avta med høyden over havet, for luftsøyla blir kortere når vi flytter oss oppover. Men trykket er også avhengig av temperaturen. Vi måler trykk i pascal (Pa) der

60 50 40

Stratosfære

30 20 10 0

Mt. Everest Polare strøk

Troposfære

Tropiske strøk 1013 hPa

200 400 600 800 1000 1200 Lufttrykk i hektopascal (hPa)

Ballongslipp på Jan Mayen.

208

4 | Eksponential- og logaritmefunksjoner

04_Sinus R1-2021_kap4_teori.indd 208

12.03.2021 00:42:10

PROSJEKTOPPGAVE 1 Vi skal se på data fra en værballong som ble det sendt opp fra Sola ved Stavanger 1. juni 2016. Høyden h er målt i meter og trykket p i Pascal (Pa). Høyde h (m)

2898

5470

9030

11 770

Trykk p (Pa)

99 400

70 000

50 000

30 000

20 000

Vi antar nå at temperaturen avtar med 6,5 grader per 1000 m, altså 0,0065 grader per meter. Her skal vi måle temperaturen i kelvingrader (K) og ikke i celsiusgrader. Vi går ut fra at temperaturen på bakken var 27 °C. Temperaturen i kelvingrader var (27 + 273) K = 300 K. Temperaturen i kelvingrader h meter over bakken er da gitt ved

T = 300 – 0,0065 ⋅ h

Utvid tabellen med tre rader, en rad med temperaturen T, en rad med ln T og en rad med ln p. Framstill de to nederste radene i et koordinatsystem med ln T langs førsteaksen og ln p langs andreaksen. Tegn ei rett linje gjennom punktene. Finn stigningstallet a og konstantleddet b for linja slik at ln p = a ⋅ ln T + b Bruk dette til å finne en formel for p uttrykt ved temperaturen T. Finn så en formel for trykket p uttrykt ved h. Bruk GeoGebra og tegn en graf som viser trykket som en funksjon av høyden, sammen med punktene fra tabellen ovenfor.

PROSJEKTOPPGAVE 2 På nettsidene til Sinus finner du et regneark som inneholder alle dataene fra værballongen fra Sola 1. juni 2016. Kopier dataene til regnearket i GeoGebra, og tegn dem som punkter i koordinatsystemet fra oppgave 1. Hvordan passer modellen?

PROSJEKTOPPGAVE 3 Tegn grafen til f (x) = e–x og linja y = 1 – x i GeoGebra. Hva kan du ut fra dette si om e–x når x er nær 0?

PROSJEKTOPPGAVE 4 Skriv om formelen for trykket fra oppgave 1 slik at den blir på formen p = c ⋅ (1 – d ⋅ h)k. Bruk deretter oppgave 3 til å skrive formelen på formen p = c ⋅ e–f ⋅ h. Framstill formelen grafisk i koordinatsystemet fra oppgave 1. For hvilke høyder syns du denne formelen passer godt?

Luf t trykk

04_Sinus R1-2021_kap4_teori.indd 209

209

15.03.2021 08:29:19

REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1

OPPGAVE 3

Deriver funksjonene uten bruk av hjelpemiddel. x2 1 a) f (x ) x 2

Funksjonen f er gitt ved

b) f (x ) 4 x x 1 2

c) f (x ) x 2e

1 x2

d) f (x ) (x 2 1) ln(x 2 1) OPPGAVE 2

En funksjon f er gitt ved f (x ) =

ex x

a) Tegn grafen digitalt. b) Finn f ′(x ) ved regning. c) Finn bunnpunktet til f ved regning. d) Undersøk om f har vendepunkter. Et barn veier 4 kg ved fødselen. Etter x uker er vekta i kilogram gitt ved funksjonsuttrykket g (x ) 0, 04 x ln x 1 4, x 0 , 52

a) Finn eventuelle nullpunkter for f . b) Finn eventuelle asymptoter for f. c) Finn f ′(x ). d) Finn eventuelle toppunkter og bunnpunkter. e) Vis at

x f (x )

f (x ) x ln x 1 , x 0

2x 2 e x x

e) Hvor mye veier barnet etter ett år? f) Når er barnet lettest, og hvor mye veier barnet da? g) Hvor mange dager går det før barnet har fått tilbake fødselsvekta? h) Tegn en graf som viser hvordan vekta utvikler seg i det første leveåret.

f) Undersøk om grafen har vende punkter.

210

4 | Eksponential- og logaritmefunksjoner

04_Sinus R1-2021_kap4_teori.indd 210

15.03.2021 08:31:04

OPPGAVE 4

OPPGAVE 5

Funksjonen f er gitt ved

Jan S. Preking har følt seg i dårlig form i flere år. Han bestemmer seg derfor for å begynne å løfte vekter flere ganger i uka. De første ukene føler Jan liten framgang, men deretter går det lettere og lettere. Han har lagd en statistikk for hvor mye han løfter i benkpress. Nedenfor har Jan satt opp disse verdiene for hver andre uke.

f (x )

20 x x 2 , Df  x2 5

a) Finn nullpunktene til f. b) Finn eventuelle asymptoter til f både ved regning og i CAS. c) Vis ved regning at

f (x )

10 2 x 2 x 10 2

d) Finn både ved regning og i CAS koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter. e) Tegn grafen til f med asymptoter. Tante Mari har et soverom som holder omtrent 15 °C. Hvis temperaturen synker mye, sørger en regulator for at litt varme blir tilført rommet. Et døgn varierte temperaturen T(x), målt i °C, på soverommet slik: T (x ) 15 f (x ), x 0, 24 der x er antall timer etter midnatt og f er den funksjonen vi definerte i innledningen. f) Når var temperaturen på sitt laveste? Løs oppgaven både ved regning og i CAS. Hva var temperaturen da? g) Når var temperaturen igjen 15 °C? h) Tegn grafen til T. i) Hvilken temperatur vil tante Mari til slutt få i rommet hvis modellen T(x) gjelder lenger enn ett døgn?

Uke

Vekt (kg)

a) La f (x) være vekten etter x uker, og finn ved regresjon den logistiske funksjonen f som passer best med tallene i tabellen. Tegn grafen sammen med data punktene. b) Hvor mye løfter Jan i benkpress etter 5 uker og etter 15 uker? c) Finn f ′(x), og bruk denne til å vise at Jan S. Preking hele tida løfter økt antall kg i benkpress. d) Hva vil vekstfarten til f bli etter lang tid? Hvor mye løfter Jan S. Preking i benkpress da? Kommenter svaret.

REPE TISJONSOPPGAVER

04_Sinus R1-2021_kap4_teori.indd 211

211

12.03.2021 08:42:56

VEKTORER Mål for opplæringen er at eleven skal kunne • forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 212

12.03.2021 09:23:14

UTFORSK – ØST, VEST, NORD OG SØR Øystein, Stine, Vibeke og Nils er venner. Vibeke snakker med Nils på telefonen og spør: «Hvor bor Øystein i forhold til deg?» Nils svarer: «Øystein bor 3 km sør og 4 km øst herfra.» «Å ja!» svarer Vibeke, «Stine bor også 3 km sør og 4 km øst for meg.» «Javel?» sier Nils, før han fortsetter: «Hvor bor Øystein i forhold til deg, da?» Vibeke svarer: «Øystein bor 8 km rett øst for meg.» «Aha!» sier Nils. «Nå vet jeg nøyaktig hvor alle bor.» Nils

Øystein

Nord

Vest

Øst Sør

STEG 1

Bruk et rutenett til å lage et kart som viser hvor Øystein, Stine, Vibeke og Nils bor. La hver rute være 1 km × 1 km. Tegn piler i rutenettet basert på informasjonen du får fra telefonsamtalen. Vi har allerede tegnet inn piler for informasjonen vi får når Nils sier «Øystein bor 3 km sør og 4 km øst herfra». Tegn piler for veien fra Nils til Vibeke og fra Øystein til Stine. STEG 2

Hvem passer utsagnene nedenfor til? a) «Stine bor 3 km mot sør og 4 km vest for meg.» b) «Det bor en gutt 3 km nord og 4 km øst for meg.» c) «En venn bor 5 km fra meg.» STEG 3

Finn et presist utsagn for å beskrive a) hvor Vibeke bor i forhold til Øystein b) hvor Nils bor i forhold til Stine c) hvor Stine bor i forhold til Øystein d) hvor Nils bor i forhold til Vibeke STEG 4

a) Hva slags geometrisk figur er firkanten som har hjørner der de 4 vennene bor? b) Se på rutenettet og bestem hvilke piler som er helt like i både lengde og retning. c) Hvorfor kan Stine og Vibeke komme til ulike personer selv om de kan beskrive bevegelsen på nøyaktig samme måte?

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 213

213

12.03.2021 09:23:14

5.1 Vektorer i koordinatsystemet Mange størrelser er helt bestemt av et tall og en måleenhet. Det gjelder for eksempel temperatur, masse og areal. En slik størrelse kaller vi en skalar. Ikke alle størrelser er helt bestemt av et tall og en enhet. Vi må i tillegg angi en retning. En slik størrelse kaller vi en vektor. Kraft, forflytning og fart er eksempler på vektorer. Hvis vi dytter en kommode med en kraft som er rettet på skrått nedover, vil kommoden flytte seg tregere enn om vi bruker en like stor kraft som går rett framover. Når vi skyter ut ei kule, er både retningen og farten vesentlig for hvor den lander. En orienteringsløper må kjenne både avstanden og retningen til neste post for å komme fram. En vektor har både størrelse og retning. Vektorer tegner vi som piler - for ei pil har både en lengde og en retning. For å vise at en variabel er en vektor, setter vi ei pil over variabelnavnet.   En fartsvektor kan vi kalle v. Symbolet v leser vi som ‘v-vektor’ eller ‘vektor v’. DISKUTER

Hvilke av disse størrelsene er vektorer, og hvilke er skalarer? Tid Forflytning Avstand Volum Akselerasjon Energi I Utforsk - Øst, vest, nord og sør oppdaget du sikkert at vi kunne beskrive forflytning som piler på et rutenett ved hjelp av retningene øst, vest, nord og sør. I matematikken lar vi ofte vektoren beskrive en forflytning i et koordinatsystem. Nå skal vi betrakte vektorer i et plan. Da kan vi bruke et todimensjonalt koordinatsystem hvor vi teller antall enheter vi forflytter oss i x-retning og i y-retning. y 3 2

1 x

4 1

214

5 | Vek torer

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 214

12.03.2021 09:23:17

 Her ser vi at v svarer til å forflytte seg 4 enheter i positiv x-retning (til høyre) og 3 enheter i positiv y-retning (oppover). Da skriver vi  v 4, 3  Da har vi skrevet vektoren på koordinatform, og vi sier at v har vektor koordinatene 4, 3 . Vi bruker hakeparenteser for å skille vektoren 4, 3 fra punktet 4, 3 . En vektor på koordinatform er gitt ved  v x , y Vektoren går x enheter i positiv x-retning og y enheter i positiv y-retning.

EKSEMPEL

Finn koordinatene til vektorene.

n variant (50 %)

2 w

2 –1 b

1 –1

x 1

–4

–3

–2

–1

1 b

–1

LØ S N I N G

 Vektoren u går fire enheter i positiv x-retning og to enheter i positiv y-retning. Da er  u 4, 2  Vektoren v går fire enheter i positiv x-retning og én enhet i negativ y-retning. Da er  v 4, 1  Vektoren w går én enhet i negativ x-retning og to enheter i positiv y-retning. Da er  w 1, 2

5.1 Vek torer i koordinatsysteme t

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 215

215

15.03.2021 08:33:05

Disse punktene ligger på linje hvis og bare hvis vektorene AB og AC er parallelle.

EKSEMPEL

Punktene A, B og C ligger på linje ⇔ AB AC

Finn ut ved regning om punktene A(-1, -1), B (1, 3) og C (4, 9) ligger på linje. y 10 C

9 8 7 6 5 4 3

2 1 –3 –2 –1 A –1

LØ S N I N G

x 1

Ut fra figuren kan det se ut som punktene ligger på linje, men vi kan ikke vite om de ligger nøyaktig før vi har regnet det ut. Først finner vi på linje, koordinatene til AB og AC . AB 1 1 , 3 1 2, 4 AC 4 1 , 9 1 5, 10 Punktene ligger på linje hvis AB og AC er parallelle. Det er tilfellet hvis det fins et tall t, slik at t AB AC t 2, 4 5, 10 2t , 4t 5, 10 2t 5 4t 10 10 5 5 t t 2 4 2 Begge likningene gir den samme t-verdien. Vektorene er da parallelle. Punktene A, B og C ligger på linje.

244

5 | Vek torer

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 244

12.03.2021 09:48:30

OPPGAVE 5.72

Finn ut om punktene ligger på linje. a) (-2, 3), (1, -3) og (2, -5) b) (-10, -8), (-2, 4) og (8, 18) OPPGAVE 5.73

I trapeset ABCD er A(1, 0), B (3, 1) og C (2, 4). AB og CD er de parallelle sidene. Punktet D ligger på linja med likningen y = x + 4. Finn koordinatene til D.

5.8 Dekomponering  Vi har gitt en vektor v som vi tegner med utgangspunkt i origo O. La P være  endepunktet for v. y P v

α O

v Vi går vinkelrett fra P ned på x-aksen og kommer til punktet A. La x = OA og v y = AP. Da er    v vx v y   Det vi nå har gjort, er å dekomponere vektoren v i en vektor v x som er parallell  med x-aksen, og en vektor v y som er parallell med y-aksen.  La α være vinkelen mellom den positive x-aksen og vektoren v. Hvis   0 , 90 , kan vi bruke trigonometri til å finne lengden av v x og av v y .   v x v cos   v y v sin Hvis vi kjenner lengden av komponentene, kan vi finne vinkelen α ved hjelp av tangens.  vy tan  vx 5.8 Dekomponering

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 245

245

15.03.2021 08:42:32

La nå   e x 1, 0 og e y 0,1

 Disse vektorene har lengde 1. Vi kaller dem enhetsvektorer. Vektoren e x er    parallell med x-aksen, og e y er parallell med y-aksen. Da må e x og v x være parallelle. Da fins det et tall x slik at   v x x ex   Ettersom e y og v y er parallelle, fins det et tall y slik at   vy y ey Da er      v v x v y x ex y e y y

y · ey

x ex

x · ex

 Men nå må x , y være vektorkoordinaten til v. Nå har vist dette:

    v x , y v x e x y e y

 Hvis v 2, 3 , er    v 2e x 3e y EKSEMPEL

LØ S N I N G

246

På figuren nedenfor ser vi ei jente som drari en kasse  F med kraften | F | = 100 N. Vinkelen mellom F og horisontalplanet er 30°. 30° Finn lengden av kraftkompoFx   nentene Fx og Fy .

  Fx F cos 30 100 N cos 30 87 N   Fy F sin 30 100 N sin 30 50 N 5 | Vek torer

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 246

12.03.2021 09:50:35

DISKUTER

Ovenfor sa vi at vi kunne summere vektorkomponentene en til vektor for å få den opprinnelige vektoren. Det må da være sånn at F Fx Fy .  Hvordan kan det være mulig når | F | = 100 N, Fx = 87 N og Fy = 50 N?

OPPGAVE 5.80

 Finn vektorkoordinatene til v.       a) v 2e x 3e y b) v 3e x e y OPPGAVE 5.81

  Skriv vektoren ved hjelp av enhetsvektorene e x og e y .    v 1, 2 c) v 3, 1 a) v 2, 5 b) OPPGAVE 5.82

 Muhammed kaster en snøball. Snøballen har hastigheten v når den forlater hånda til Muhammed. Vektoren danner en vinkel på 59° med horisontal planet.    Bestem lengden av komponentene v x og v y når v = 10 m/s. v

α = 59°

OPPGAVE 5.83

 Kristin drar enkjelke med en kraft på 80 N. Vi sier da at | F | = 80 N. Kraftvektoren F danner en vinkel på 35° med horisontalplanet. Bestem lengden av vektorkomponentene Fx og Fy . OPPGAVE 5.84

   Wilhelm slår til en golfball med startfarten v, der v x = 30 m/s og v y = 25 m/s. a) Hvilken vinkel danner ballen med horisontalplanet når den slås ut?  b) Hva er startfarten til golfballen, altså lengden | v | av fartsvektoren?

5.8 Dekomponering

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 247

247

12.03.2021 09:52:03

SAMMENDRAG Skalar

En skalar er et tall med en enhet. Den har ingen retning. Vektor

En vektor er en størrelse som har både lengde og retning. Vektor på koordinatform

 En vektor u x , y går x enheter i positiv x-retning og y enheter i positiv y-retning. Lengden av en vektor

  Lengden av vektoren v x , y er v x 2 y 2 . Like vektorer

To vektorer er like når og bare når vektorkoordinatene er parvis like. Nullvektor

 Nullvektoren 0 har lengden 0. Enhetsvektor

  En enhetsvektor e har lengden 1. Enhetsvektoren e x 1, 0 er parallell med  x-aksen, og e y 0, 1 er parallell med y-aksen. Vektoren mellom to punkter

Vektoren fra origo O (0, 0) til punktet A(x, y) har koordinatene OA x , y . Vektoren fra A(x1, y1) til B (x2, y2) har koordinatene AB x2 x1 , y2 y1 . Sum av vektorer

   Når vi skal finne summen av to vektorer u og v, tegner vi først u. Deretter     tegner vi v med utgangspunkt i endepunktet for u. Summen u + v går nå fra   utgangspunktet for u til endepunktet for v. Differanse av vektorer

    Vi finner differansen u - v ved å summere u og (-v ).     u v u v Produkt av tall og vektor

   Vektoren t ⋅ v er parallell med v og er |t| ganger så lang som v.   Hvis t er et positivt tall, har v og t ⋅ v samme retning.   Hvis t er et negativt tall, har v og t ⋅ v motsatt retning.

252

5 | Vek torer

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 252

12.03.2021 09:57:42

Parallelle vektorer

    u og v er parallelle hvis og bare hvis det fins et tall t slik at t u v . Regneregler for vektorkoordinater

x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 t x , y t x , t y Avstanden mellom to punkter

Avstanden mellom punktene (x1, y1) og (x2, y2) er d

x2 x1 y2 y1 2

Noen regneregler for vektorer

          a b b a a b c a b c        t a b t a t b s a t a s t a

  s t a s t a

Sammendrag

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 253

253

12.03.2021 09:58:21

DETERMINANTER I matematikk får vi ofte bruk for å regne ut uttrykk av typen x1 y2 - y1 x2. Vi har en egen skrivemåte for dette uttrykket, som vi kaller en determinant.

x1 x2

y1 = x 1 y2 − y 1 x 2 y2

PROSJEKTOPPGAVE 1 Regn ut determinantene. 3 −2 7 3 a) b) 1 2 2 1

5 4 −3 2

2x 3

x 2

  Hvis u =  x 1 , y 1  og v =  x 2 , y2  er to vektorer, er determinanten til vektorene definert slik:

x y   det ( u , v ) = 1 1 = x 1 y2 − y 1 x 2 x 2 y2

Determinanten til to vektorer er en skalar (et tall med benevning).

PROSJEKTOPPGAVE 2       a) Regn ut det ( u , v ) og det ( v , u ) når u = 2, −3  og v =  −5, − 1.

    Hvilken sammenheng er det mellom det ( u , v ) og det ( v , u ) i dette tilfellet?

b) Bevis at sammenhengen i oppgave a gjelder for alle vektorer. PROSJEKTOPPGAVE 3

y På figuren nedenfor ser du en trekant som er 4   utspent av vektorene u = 4, 2  og v = 1, 3 . a) Finn arealet av trekanten ved å regne ut 3 arealet av det store rektangelet og trekke fra v = [1, 3] 2 arealet av tre trekanter. u = [4, 2] Hvilken sammenheng er det mellom 1   det ( u , v ) og arealet av trekanten? x b) Velg to andre vektorer slik at vinkelen 1 2 3 4 5 mellom vektorene blir over 90 °. Finn arealet av trekanten med den samme metoden som i oppgave a. Gjelder den samme sammenhengen mellom determinanten og arealet nå?   c) La u =  x 1 , y 1  og v =  x 2 , y2 . Lag en tilsvarende figur som ovenfor og finn arealet av trekanten som er utspent av de to vektorene.   Hvilken sammenheng er det mellom arealet av trekanten og det ( u , v )?

254

5 | Vek torer

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 254

12.03.2021 09:58:21

PROSJEKTOPPGAVE 4 I oppgave 3 beviste dere sikkert at arealet T av en trekant utspent av to vektorer og er gitt ved

y P(x, y)

  1 T = ⋅ det ( u , v ) 2

Nå skal vi bruke dette til å finne likningen for ei linje gjennom to punkter. På figuren til høyre har vi tegnet punktene A(x1, y1), B(x2, y2) og P(x, y).

B(x2, y2) A(x1, y1) x

a) Bruk determinanter til å finne et uttrykk for arealet av △ABP. b) Forklar at P ligger på linja gjennom A og B hvis og bare hvis arealet av △ABP er 0.

Bruk dette til å finne en formel for likningen for linja gjennom punktene A og B.

c) Bruk formelen i oppgave b til å finne likningen for linja gjennom A(2, 1) og B(5, 7). PROSJEKTOPPGAVE 5 a) Løs likningssettet i CAS. 2x - 3y = 6 - x + 5y = 1

b) Nå ser vi på determinantene

2 6 2 −3 6 −3 , og −1 1 −1 5 1 5

1) Finn ut hvordan vi har lagd de tre determinantene. 2) Regn ut de tre determinantene. 3) Hvilken sammenheng er mellom de tre determinantene og løsningen av likningssettet i oppgave a?

c) Hvis vi har et likningssystem med to lineære likninger med to ukjente, kan vi vise at sammenhengen fra oppgave b alltid gjelder. Bruk dette til å lage et program i Python som dere kan bruke til å løse likningssettet ax + by = c dx + ey = f

når dere oppgir verdier for a, b, c, d, e og f. Bruk programmet til å løse likningssettet

2x + y = 10 3x - 2y = 1

DETERMINANTER

05_Sinus R1-2021_kap5_teori.indd 255

255

12.03.2021 09:58:22

REPETISJONSOPPGAVER OPPGAVE 1

Vi har gitt punktene A(2, -3), B (0, 5), C (8, 7) og D (4, 6). a) Finn AD ⋅ BC. b) Finn AD og BC . c) Finn vinkelen mellom AD og BC. d) Undersøk om punktene B, C og D ligger på linje. e) Vis at AB ⊥ BD. OPPGAVE 2

Otto kan i stille vann svømme med farten 0,5 m/s. I ei elv renner vannet med farten 0,4 m/s. Hvor stor fart har Otto når han svømmer a) nedover elva? b) oppover elva? c) normalt på strømretningen? d) I hvilken retning må Otto svømme for å svømme korteste vei over elva? Hvor stor fart har han da? OPPGAVE 3

I trapeset ABCD er AB parallell med DC. Videre har vi: ∠A = 60° AB = 4 AD = 3 DC = 6 Vi setter a = AB og b = AD.   a) Finn CA og CB uttrykt ved a og b.       b) Finn a ⋅ a , b ⋅ b og a ⋅ b . c) Finn CA og CB . d) Finn ∠ACB ved vektorregning.

302

OPPGAVE 4

Vi har gitt punktene A(2, 1), B (8, 4) og C (1, 8). a) Finn AB og AB . b) Finn en parameterframstilling for linja l gjennom A og B.  c) Vis at vektoren r 1, 2 står vinkelrett på AB. d) Finn en parameterframstilling for normalen n fra C ned på AB. e) Finn koordinatene for fotpunktet D til normalen fra C ned på AB. f) Finn arealet av ABC. g) Finn avstanden fra A til linja gjennom B og C. OPPGAVE 5

I et koordinatsystem med origo O har vi gitt punktene A(3, -1) og B (−2, 1) og  vektoren v 1, 2 . a) Finn vinkelen mellom vektorene OA  og v. b) Vi lar l være den linja som går  gjennom A og er parallell med v. Forklar hvorfor både

x 3 t x 1 3s l: og m : y 1 2t y 3 6s

er en parameterframstilling for l. c) Undersøk om noen av punktene (−1, 6) og (2, 1) ligger på linja l. d) La P være et punkt med koordinatene (3 - t, -1 + 2t). Bestem t slik at 1) OP ⊥ v 2) OP OB 3) OP = OB

6 | Skal arproduk t og parame terframstilling

06_Sinus R1-2021_kap6_teori.indd 302

12.03.2021 10:32:50

OPPGAVE 6

OPPGAVE 7

Posisjonen til to droner A og B er gitt ved parameterframstillingene

Posisjonen til båten Tigris følger en parameterframstilling gitt ved

x 18t 8 x 10t lA : lB : y 10 3t y 20 6t Alle lengdemål er gitt i kilometer, og tida t er gitt i timer. a) Bestem farten til hver av dronene. b) Vis ved regning at dronene ikke kolliderer. c) Forklar at avstanden d mellom dronene er gitt ved

d(t ) (8t 8)2 (3t 10)2

d) Finn ved regning den minste avstanden mellom dronene. e) Når er de nærmest hverandre? f) Illustrer ferden til de to dronene digitalt.

x (t 2)3 l: 2 y 2(t 2) der t 0, 5 . Her måles t i timer, og enheten på koordinataksene er kilometer. Båten Elvegris starter 1 time etter Tigris og posisjonen følger parameterfram stillingen gitt ved x 4s 8 m: 8 8 y 3 s 3 der s 1, 5 . Utforsk og beskriv bevegelsen til de to båtene.

REPE TISJONSOPPGAVER

06_Sinus R1-2021_kap6_teori.indd 303

303

12.03.2021 10:33:26

OPPGAVER • Oppgavene i delkapittel.

ØV MER

gir mer trening i grunnleggende regneteknikker fra hvert

BLANDEDE OPPGAVER og ÅPNE OPPGAVER inneholder ofte stoff • Oppgavene i fra flere temaer. Det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver du skal kunne løse når du er ferdig med et delkapittel.

• I blandede oppgaver er det oftest konkrete spørsmålsformuleringer, men du finner også oppgaver der du må vurdere egne og andres løsninger, samt flervalgsoppgaver. • De åpne oppgavene er ofte større og mer komplekse. Her får du blant annet trening i å jobbe med sammensatte tekster og uoppstilte problemer. Du må noen ganger selv lage problemstillinger som du undersøker ved hjelp av ulike strategier som modellering, utforsking og programmering. I disse oppgavene er det meningen at du skal bruke litt mer tid, og de legger til rette for å trene på å skrive matematiske tekster. De åpne oppgavene har ikke alltid en fasit, og det kan derfor være nyttig å diskutere både oppgavene og løsningene med andre.

11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 304

15.03.2021 09:01:46

Potenser og logaritmer ØV MER

Oppgave 1.112

Sett inn riktig tegn (⇐, ⇒ eller ⇔) i rutene. a) x = −2 x 2 = 4

1.1 MATEMATISKE SYMBOLER

Oppgave 1.110

Undersøk om vi kan bruke noen av tegnene ⇐, ⇒ og ⇔ i rutene nedenfor, og sett inn riktig tegn. a) x = 2 x er et partall b) Sidene i en trekant er 3 cm, 4 cm og Trekanten er rettvinklet 5 cm c) Alle vinklene i en trekant er 60° Trekanten er likesidet d) To vinkler i en trekant er 45° Trekanten er rettvinklet e) To sider i en trekant er like lange Trekanten er likebeint

 

  

Oppgave 1.111

På en videregående skole er det 500 elever. På denne skolen er 8 % av alle elevene venstrehendte. 15 gutter er venstrehendte. 270 av elevene på skolen er jenter. Hvor mange av elevene passer til denne beskrivelsen? a) Eleven er en gutt ∧ Eleven er høyre hendt b) Eleven er en gutt ∨ Eleven er høyre hendt c) Eleven er ei jente ∧ Eleven er ikke høyrehendt d) Eleven er høyrehendt ∨ Eleven er ei jente

  x = 3

b) x 2 - 9 = 0

Oppgave 1.113

Finn løsningene. a) x 2 - 16 = 0 ∨ 3x = 6 b) x 2 = 16 ∧ 4x = −16 c) x 2 = 25 ∨ 2x + 1 = 13 d) x 2 + 4x + 3 = 0 ∧ x > 0 e) 3x + y = 7 ∧ x - 2y = 0 Oppgave 1.114

Finn løsningsmengden til likningene. a) 2x 2 - 5x - 3 = 0 b) 2 (x 2 + 1)(x - 4) = 0 c) x (x 2 - 4) = 0 d) 2x + 4 = 4x + 8 Oppgave 1.115

Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. a) 9 N

 b) π  Q c) −3  Z 2

Oppgave 1.116

For hvilke verdier av x er utrykkene definert? x2 + 3 4 a) b) 2 x −1 x 4x 2 c) 2 x 2x 8

1 | POTENSER OG LOGARITMER

11_Sinus R1-2021_kap1_opgaver.indd 305

305

12.03.2021 10:39:40

BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 2.200

Finn grenseverdiene. a) lim 2 x 2 3x 4 x 1

b) Tegn grafen til f digitalt. c) For hvilke verdier er funksjonen diskontinuerlig? Oppgave 2.203

a) Hva er summen av lengdene på de blå og røde linjestykkene på hver av figurene nedenfor?

x 2 b) lim x 0 ( x 2)3 Oppgave 2.201

Finn grenseverdiene. 4 a) lim 3 x x 3

Oppgave 2.202

Tabellen nedenfor viser hvor mye du må betale i bot ved en fartsovertredelse. a) På et sted er fartsgrensen 80 km/h. Skriv opp et delt funksjonsuttrykk f (x) for hvor mye du må betale i bot ved en fartsovertredelse der farten er x km/h, x > 80.

60-sone og lavere

b) Hva går summen av lengdene av de røde og blå linjestykkene mot når antallet linjestykker går mot uende lig og lengden på hvert linjestykke går mot null? C b

70 70 og 80-sone

90 90/100/110-sone

<0, 5]

800 kr

<5, 10]

2 100 kr

<10, 15]

2 100 kr 3 800 kr + 2 prikker

3 400 kr

<15, 20]

5 500 kr + 3 prikker

4 700 kr + 2 prikker

<20, 25]

8 500 kr + 3 prikker

6 400 kr + 3 prikker

<25, 30]

Førerkort blir inndratt

8 500 kr + 3 prikker

<30, 35]

10 200 kr + 3 prikker

<35, 40]

Førerkort blir inndratt

10 650 kr + 3 prikker

<40, →>

342

3x 3 2 x 8 b) lim 3 x 5x x 2 7

Førerkort blir inndratt

2 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON

12_Sinus R1-2021_kap2_opgaver.indd 342

12.03.2021 11:09:09

Oppgave 2.204

Oppgave 2.208

Hvis P og Q er polynomfunksjoner slik at P(3) = Q(3) = 0, kan vi ikke bestemme P (x ) uten å gjøre grenseverdien lim

En enkel regel for å beregne alderen til en hund er å multiplisere antallet «menneskeår» den har levd, med 7. Ut fra denne modellen er en hund som har levd 10 «menneskeår», 70 «hundeår». Denne modellen er ikke særlig nøyaktig, fordi en hund eldes raskest i de første leveårene. Størrelsen på hunden, kjønnet og rasen virker også inn på hvor fort den blir gammel. På internett fins forskjellige kalkulatorer som regner ut antallet «hundeår» når vi skriver inn hvor mange «menneskeår» hunden har levd. En slik modell er gitt ved funksjonsuttrykket

x → 3 Q( x )

nærmere undersøkelser. Gi eksempler på slike polynom funksjoner P og Q slik at P (x ) P (x ) a) lim 0 b) lim 7 x 3 Q( x ) x 3 Q( x ) c) lim

x →3

P (x ) ikke eksisterer. Q( x )

Oppgave 2.205

Finn grenseverdiene. x 2 2x a) lim 3 x 0 x x 2 6x x 2 2x b) lim 3 x 2 x x 2 6x 2 x 2 2 x 12 c) lim x 3 4 x 12 Oppgave 2.206

Funksjonen f er gitt ved x 2 1, x 1 f ( x ) 2 x , 1 x 1 x 2 3x , x 1 Vis at f er kontinuerlig for 1) x = −1 2) x = 1 Oppgave 2.207

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 1 x a) Skriv f (x) som et delt funksjons uttrykk. b) Tegn grafen til f. c) Undersøk ved regning om f er kontinuerlig for x = 1.

10, 5x , 0 x 2 h(x ) 4 x 13, x 2 der x er antallet «menneskeår», og h(x) er det tilsvarende antallet «hundeår». a) Tegn grafen til h når x∈[0, 15]. b) Vis at h er kontinuerlig for x = 2. c) For hvilken verdi av x gir metoden med å multiplisere antallet «menneskeår» med 7 samme antall «hundeår» som vi får ved å bruke h(x)? En annen modell sier at for å regne ut antallet «hundeår» må vi gå fram slik: Ta antallet «menneskeår» hunden har levd, trekk fra 2, multipliser differansen med 4, og legg så til 21. d) For hvilke verdier av x er denne modellen sammenfallende med modellen gitt ved h(x)?

2 | Grenseverdier og derivasjon

12_Sinus R1-2021_kap2_opgaver.indd 343

343

12.03.2021 11:10:04

Oppgave 2.234

Oppgave 2.237

Bestem numerisk en tilnærmingsverdi med 3 desimaler til grenseverdien

En gjenstand har etter t sekunder forflyttet seg s(t) meter langs ei rett linje, der

4x 1 x

lim

x 0

s(t) = −0,02t 3 + 0,6t + 8

Oppgave 2.235

Innbyggertallet i en kommune er i dag 7500. Etter x år regner planleggerne med at innbyggertallet f (x) vil være f (x) = −1,4x 2 + 140x + 7500, x∈[0, 70] Finn vekstfarten til f om 1) 20 år 2) 50 år Oppgave 2.236

En elev fant f ′(4) til funksjonen f (x) = x 2 - x - 4 ved hjelp av definisjonen av den deriverte på denne måten: f (4 x ) f (4) 4 x

lim

x 4

(4 x)

lim

x 4

lim

(4 x ) (42 4)

x 16 8 x ( x )2 4 x 12

4 x 12 7 x ( x )2 12 lim 4 x 4 x 7 x x 4 lim 7 x lim x 4 x 4 x 7 4 4 7 x 4

Eleven deriverer funksjonen ved å bruke derivasjonsregelen for polynom og får f ′(x) = 2x - 1 f ′(4) = 2 ⋅ 4 - 1 = 7

Finn farten og akselerasjonen etter 10 s. Oppgave 2.238

Tenk deg at du skal kjøre 170 km på en rett veistrekning mellom to byer. I denne oppgaven er tre forskjellige kjøreturer beskrevet. For hver kjøretur skal du tegne grafen (posisjonsgrafen) til avstanden s (i km) fra startpunktet som funksjon av tida t (målt i timer fra starttidspunktet). Bestem også funksjonsuttrykket s(t) for posisjonsfunksjonen ved de tre kjøreturene. 1) Du kjører først med farten 80 km/h i 1 time. Så oppdager du at du er seint ute og holder farten 90 km/h den neste timen. 2) Du kjører først med farten 85 km/h i 1 time. Så tar du en kaffepause på ½ time og fortsetter deretter med farten 85 km/h til du er framme. 3) Du kjører med farten 90 km/h i 1,5 timer, men må stoppe på grunn av en ulykke som har gjort at veien er sperret. Du venter i 15 minutter, men veien er fortsatt sperret, så du snur og kjører tilbake til startpunktet med farten 90 km/h. Oppgave 2.239

Løs likningen

Eleven fikk samme svar ved begge disse måtene å løse oppgaven på. Kommenter besvarelsen til eleven.

348

3x 2 x 2 ▲ 2.9

2 | GRENSEVERDIER OG DERIVASJON

12_Sinus R1-2021_kap2_opgaver.indd 348

12.03.2021 11:11:19

ÅPNE OPPGAVER Oppgave 2.300

I et flyshow viser en pilot fram sitt mot og sine ferdigheter gjennom luftakrobatikk. Idet flyshowet begynner, er flyet 1000 m over havet. Etter t sekunder er flyets høyde over bakken h(t) meter. Piloten lar flyet ende opp på samme høyde som det begynte, når showet slutter etter 2 minutter. I løpet av showet gjennomfører flyet én loop og ett stupdykk der piloten lar flyet falle så å si loddrett ned, for så å vende nesa opp igjen i siste liten. a) Skisser en mulig graf for h for et slikt flyshow, og forklar hvorfor grafen ser ut som den gjør. b) Er det rimelig å anta at funksjonen h er kontinuerlig for alle t∈[0, 120]? c) Er det rimelig å ta for gitt at funksjonen h er deriverbar for alle t∈[0, 120]? d) Fins det en verdi for t som er slik at det ut fra grafen din ser ut til at h′(t) = 0? Gi i så fall en slik t-verdi, og beskriv bevegelsen til flyet i dette øyeblikket. Oppgave 2.301

På et museum er et av rommene L-formet, som vist på figuren nedenfor. Det skal settes opp et overvåkningskamera på den ene veggen. Finn et delt funksjonsuttrykk f (x) som beskriver hvor mange prosent av rommet som overvåkes av kameraet, hvis det settes x meter fra hjørnet. 3m

Overvåket område Ikke overvåket område

10 m

2 | Grenseverdier og derivasjon

12_Sinus R1-2021_kap2_opgaver.indd 349

349

12.03.2021 11:11:19

Oppgave 5.312

Herons formel sier at arealet T av en trekant med sidelengder a, b og c er gitt ved T s(s a)(s b)(s c) Her er s

a b c 2

halve omkretsen til trekanten. a) Skriv et program som tar koordinatene til de tre hjørnene i en trekant som input, og deretter skriver ut arealet av trekanten. Hvis alle vinklene i en firkant er mindre enn 180°, sier vi at firkanten er konveks. b) Utvid programmet slik at det tar koordinatene til de fire hjørnene i en konveks firkant som input, og deretter skriver ut arealet av firkanten. c) Endre programmet ditt fra oppgave b slik at det også kan regne ut arealet av firkanter som ikke er konvekse. Oppgave 5.313

Alf og Beate spiller et spill i et koordinatsystem. Alf plasserer en brikke i punktet (0, 0), og Beate plasserer en brikke i punktet (10, 0). Deretter flytter de brikkene sine annenhver gang. Alf har lov å flytte brikken sin med en av de fire vektorene [± 1, 0] og [0, ± 1]. Beate har lov å flytte brikken sin med en av de åtte vektorene [± 2, 0], [0, ± 2], [± 1, ±1]. Alf begynner. Beate vinner hvis hun klarer å flytte brikken sin til punktet der brikken til Alf, i løpet av høyst 100 trekk. a) Hvem av dem har en vinnende strategi? b) Utforsk hvem av dem som har en vinnende strategi når Beate starter i et annet punkt enn (10, 0). 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2

–1

–2 –3 –4

414

–5

5 | VEK TORER

15_Sinus R1-2021_kap5_opgaver.indd 414

12.03.2021 15:33:44

Skalarprodukt og parameter framstilling ØV MER

Oppgave 6.114

6.1 SKALARPRODUKTET

Oppgave  6.110

  La a og b være to vektorer der a = 3 og b = 8. La u være vinkelen mellom vektorene.   Finn skalarproduktet a ⋅ b når a) u = 30° b) u = 60° c) u = 150° d) u = 180° Oppgave 6.111

 a har lengden 6, og vektoren Vektoren  b har lengden 5. Skalarproduktet av vektorene er 24,6.   Finn vinkelen mellom a og b. Oppgave 6.112

 La e x være en horisontal enhetsvektor,  og la e y være en vertikal enhetsvektor.  Vektoren v er gitt ved at    v 4 ex 6 e y a) Tegn vektorene.  b) Finn v .   c) Finn vinkelen mellom v og e x .   d) Regn ut skalarproduktet v ⋅ e x.   e) Finn skalarproduktet v ⋅ e y . Oppgave  6.113

 La a og b være to vektorer der vinkelen mellom vektorene er u. Videre er   a 2 b .     a) Finn a og b når a b 9 og u = 45°.     b) Finn a og b når a b 25 og u = 135°.

Lene drar en kjelke etter seg med et tau som danner vinkelen u med den horisontale bakken. Lene drar kjelken med kraften 150 N langs tauet. Finn det arbeidet som Lene utfører når hun drar kjelken 100 m og vinkelen u er a) 45° b) 60° c) 70°

Oppgave 6.115

Gro og Mette trekker en kasse 10 m langs et horisontalt golv. Kraften F de trekker med, er på 700 N rettet oppover med en vinkel på 37° med fartsretningen. F 700 N R 250 N

37°

a) F er summen av en horisontal og en vertikal kraft. Den horisontale kraf ten har lengden Fx, og den vertikale kraften har lengden Fy .Tegn disse kreftene og finn Fx og Fy . b) Hvilket arbeid gjør Fx, og hvilket arbeid gjør Fy ? c) Det oppstår en friksjonskraft R langs golvet når de trekker kassen. Denne kraften er på 250 N rettet mot bevegelsen, slik figuren viser. Finn arbeidet som kraften gjør.

6 | SKAL ARPRODUK T OG PARAME TERF RAMSTILLING

16_Sinus R1-2021_kap6_opgaver.indd 415

415

12.03.2021 12:46:02

Oppgave 6.303

En median i en trekant er et linjestykke fra et hjørne i trekanten til midtpunktet på den motstående siden. a) Tegn ABC når A = (0,0), B = (7, 3) og C = (2, 6), og vis at de tre medianene til trekanten skjærer hverandre i samme punkt T. b) Finn avstanden fra T til A, B og C, og fra T til de tre midtpunktene på sidene i trekanten. c) Lag en hypotese fra svarene i oppgave b, og undersøk om hypotesen stemmer også for andre trekanter. Oppgave 6.304

Mengden av alle punkter som ligger i en gitt avstand r til et gitt punkt S, kaller vi en sirkel med sentrum S og radius r. En sirkel c har sentrum O = (0, 0) og radius 5. La P = (x, y) være et punkt i planet. a) Forklar at OP = 5 hvis og bare hvis P ligger på sirkelen c. b) Vis at likningen OP = 5 kan skrives om til x 2 + y 2 = 25. Vi sier at likningen x 2 + y 2 = 25 er likningen for sirkelen c. c) Finn likningen for en sirkel med sentrum (x0, y0) og radius r. d) Bestem sentrum og radius i sirkelen som har likningen x 2 - 4x + y 2 + 6y = 36

Oppgave 6.305

Vi har gitt to punkter A = (−1, 0) og B = (1, 0). Utforsk hvilke punkter P = (x, y) som er slik at AP BP 4. Utforsk også hva som skjer hvis du endrer på koordinatene til A og B og tallet 4 på høyre side av likningen. Oppgave 6.306

Et gitterpunkt er et punkt (x, y) i planet der både x og y er hele tall. Hvis hjørnene i en trekant alle er gitterpunkter, er det en sammenheng mellom arealet av trekanten, antall gitterpunkter som ligger på sidekantene til trekanten, og antall gitterpunkter som ligger inni trekanten. Finn denne sammenhengen. Gjelder sammenhengen for andre mangekanter enn trekanter? y 4 3 2 1

x 1

432

2 3

6 | SKAL ARPRODUK T OG PARAME TERF RAMSTILLING

16_Sinus R1-2021_kap6_opgaver.indd 432

12.03.2021 13:04:23

Oppgave 6.307

  Når vi skriver 3, 4 mener vi 3e x ( 4)e y .  1 3 Vi lager nå en ny vektor e3 , og innfører en ny notasjon ved å la 2 2   a, b aex be3 . For eksempel er

3, 2 3 1, 0 2 12 ,

3 3, 0 1, 2

3 3 1, 3 4, 3 .

I vanlig vektorregning har vi blant annet formelen a, b a 2 b2 , og skalarproduktet på koordinatform a, b c, d a c b d. Undersøk om det fins liknende koordinatformler for a, b og a, b c, d . Oppgave 6.308

Ved tida t ≥ 0 har tre partikler posisjonene A = (t, t 2), 1 1 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 t , t t . B t t , t t og C t 2 2 2 2 2 2 2 2 Utforsk farten og akselerasjonen til partiklene og hvordan de beveger seg i forhold til hverandre. Oppgave 6.309

Vi har gitt en parameterframstilling x a bt l: y c dt der a, b, c og d er hele tall. Noen av punktene på linja vil ha heltallige koordinater, for eksempel (a, c). Utforsk avstanden mellom punkter med heltallige koordinater på linja for ulike verdier av a, b, c og d. Oppgave 6.310

Anette drar på tur med båten sin rundt Galte fyr, som ligger 8 km øst for båtplassen. Hun følger kurven gitt ved parameterframstillingen 2 x 4t 16t c: 3 2 y t 6t 8t

Avstandene er målt i kilometer, og tida t i timer. Hun starter ved tida t = 0 og avslutter når hun er tilbake ved båtplassen. Utforsk og gi en beskrivelse av båtturen.

6 | Skal arproduk t og parame terf ramstilling

16_Sinus R1-2021_kap6_opgaver.indd 433

433

15.03.2021 09:48:50