Sinus Forkurs Oppgavesamling (2022) Utdrag

Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Sinus

FORKURS OPPGAVESAMLING

Foto og grafikk:

Omslagsfoto: Unsplash/Philip Myrtorp Bildet er fargemanipulert.

s. 176: GettyImages/zaricm

© Cappelen Damm AS, Oslo 2022

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS

Omslagsdesign: Kristin Gjestrum

Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad

Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022

Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022

Utgave nr. 4 Opplag nr. 1

ISBN 978-82-02-75303-0

www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord

SinusForkurs er et matematikkverk for ettårig forkurs for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning utviklet etter planene fra 2021. Verket består av to bøker, SinusForkursGrunnbok og SinusForkursOppgavesamling, i tillegg til et tilhørende nettsted.

Om grunnboka

Matematikk er både et teorifag og et ferdighetsfag. SinusForkursGrunnbok inneholder de matematiske teoriene, ofte sammen med eksempler fra dagliglivet og fra andre fag. Boka gir en grundig innføring i tradisjonell matematikk, der bevisene har en sentral stilling. Studentene får god trening i analytiske metoder. Studentene lærer å behandle grafer digitalt ved hjelp av GeoGebra 6. De får også opplæring i å bruke en enkel kalkulator. Studentene skal lære å bruke programmering i matematikk. Boka inneholder en del eksempler der vi bruker programmeringsspråket Python. På nettsidene til boka finner vi et gratis kurs med den grunnleggende opplæringen i Python. Der finner vi også læringsmålene innen programmering.

Når studentene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der studentene skal finne ut egenskaper og regler før stoffet blir behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å gjøre de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres enkeltvis.

I teoridelen er det en del diskusjonsoppgaver der studentene får trening i å kommunisere matematikk.

Oppgavestoffet i teoriboka er plassert inne i delkapitlene slik at studentene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Hvert kapittel avsluttes med et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Bak i boka finner vi fasit og et stikkordregister. Det er viktig at studentene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de er usikre på ord og uttrykk.

Om oppgavesamlingen

Denne boka, SinusForkursOppgavesamling, er ei egen oppgavebok som hører til grunnboka. Den inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Den følger grunnboka kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i to deler, Øvmer og Blandede oppgaver. Oppgavene i Øvmer er ordnet etter delkapitler som i grunnboka. I delen Blandedeoppgaver er ikke oppgavene ordnet etter delkapitler. Her må studenten finne fram til riktig stoff på egen hånd og må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. I Blandedeoppgaver finner vi også tidligere eksamensoppgaver i faget.

Om nettstedet

Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her finner vi blant annet et introduksjonskurs i pythonprogrammering, nyttig tilleggsstoff og løsninger av oppgavene i grunnboka. På nettstedet legger vi ut eventuelle feil i fasit eller i andre deler av bøkene.

Kontakt oss

I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha melding om feil eller ønsker om forandringer. Ta kontakt på sinus@cappelendamm.no. Vi ønsker studentene lykke til i arbeidet med faget.

ToreOldervoll–OttoSvorstøl–RobinBjørnetunJacobsen

Tall og variabler

ØV MER

1.1 TALL OG TALLREGNING

Oppgave 1.110

Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 b) π c) –3

Oppgave 1.111 Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 121012 ,,,, b) 35335 ,,,,

Oppgave 1.112 Skriv mengdene på listeform. a) Mengden av de hele tallene som er større enn –3 og mindre enn 4. b) Mengden av de positive partallene som er større enn 4 og mindre enn 10. c) Mengden av de positive hele tallene som går opp i 18.

Oppgave 1.113 Regn ut både med og uten kalkulator. a) 2 334 b) 5732 c) 4524 d) 429 3

Oppgave 1.114 Regn ut både med og uten kalkulator. a) 34 5 b) 534 c) 6 5432 d) 412623 :

Oppgave 1.115 Regn ut uten kalkulator. a) 2 3234223 b) 325521245 c) 2 34621 d) 43172324

Oppgave 1.116 Regn ut både med og uten kalkulator. a) 6 22 b) 323 22 c) 2 3252 d) 3 32 23

Oppgave 1.117 Med ett addisjonstegn, ett subtraksjonstegn, ett multiplikasjonstegn og én parentes skal du sette sammen tallene 3, 4, 5 og 6 slik at verdien av talluttrykket blir a) 9 b) 14 c) 11

1.2 BRØKREGNING

Oppgave 1.120 Forkort brøkene både uten og med kalkulator. a) 8 64 b) 19 38 c) 42 63 d) 28 77

Oppgave 1.121 Forkort brøkene både uten og med kalkulator. a) 112 224 b) 116 348 c) 150 600

Oppgave 1.122 Skriv brøkene med 18 som nevner. a) 1 9 b) 5 6 c) 2 3

Oppgave 1.123 Regn ut uten kalkulator. a) 3 5 4 5 2 5 b) 2 5 3 5 1 10 c) 3 2 3 d) 2 3 5 3 1 6

Oppgave 1.124 Regn ut uten kalkulator. a) 25 16 32 50 b) 3 7 15 28 : c) 4 15 5 16 d) 4 9 6:

Oppgave 1.125 Regn ut både uten og med kalkulator. a) 2 4 7 5 21 b) 4 2 3 1 7 c) 2 5 3 1 2 7 30

Oppgave 1.126 Regn ut både uten og med kalkulator. a) 2 1 2 b) 1 2 2 3 c) 2 5 3 10

Oppgave 1.127 Regn ut uten kalkulator. a) 1 2

1 2 1 3 b) 1 4 2 3 1 12 c) 1 3 5 6 2 3 5 12 d) 1 5 2 25 1 10 3 5

1.3 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER

Oppgave 1.130 Trekk sammen. a) 2 3534 xxyyx b) 2 332 ababa c) 5234 xyxy d) 6 253 abab

Oppgave 1.131 Trekk sammen. a) 3121 xx b) 42332 xx c) abba23 d) abbabb 122 2

Oppgave 1.132 Trekk sammen. a) 53242 xyxyx b) 423222 abcabc c) 2 23234 xyxyy d) 42233 abab

Oppgave 1.133 Regn ut. a) 313 2 aaaa b) xxxxxx 225123

Oppgave 1.134 Multipliser ut og trekk sammen. a) 21212121 xxxx b) 2 22xx c) 323512 xxxx d) 2 112xxx

Oppgave 1.135 Multipliser ut og trekk sammen. a) 2 3 33aba b) 1 5 2510 abab c) 3 4 1 3 4 3 abab

3.7 ANDREGRADSFUNKSJONER

Oppgave 3.170

Funksjonen f er gitt ved fxxx () 2 2 1 x –4–3–2–1012 f (x)9114

a) Kontroller de utregnede funksjonsverdiene i tabellen. b) Fyll ut tabellen. c) Tegn grafen til f.

Oppgave 3.171 Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 2x 3

a) Tegn grafen til f uten bruk av hjelpemidler. Velg x 5, 4 når du tegner grafen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f. d) Finn verdimengden Vf .

Oppgave 3.172

Funksjonen g er gitt ved g (x) x 2 4x 5

a) Tegn grafen til g uten bruk av hjelpemidler. Velg x 2, 6 b) Finn nullpunktene til g. c) Finn ekstremalpunktet til g. d) Finn verdimengden V g.

Oppgave 3.173

Funksjonen f er gitt ved f (x) x 2 4x 12

a) Tegn digitalt grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f. d) Finn verdimengden Vf

Oppgave 3.174 Funksjonen f er gitt ved fxaxx () 2 45

der a er en konstant. a) Sett a = 1. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –1. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn toppunktet på grafen til f. 3) Finn verdimengden til f. c) La a ha forskjellige verdier og tegn hver gang grafen til f. Hvilket fortegn må konstanten a ha for at grafen til f skal ha 1) et bunnpunkt 2) et toppunkt

Oppgave 3.175 En funksjon f er gitt ved fxxax () 2 8

der a er en konstant. a) Sett a 2. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = –2. 1) Tegn grafen til f. 2) Finn nullpunktene til f 3) Finn bunnpunktet på grafen til f. 4) Finn verdimengden til f. c) La a ha ulike verdier og tegn hver gang grafen til f. Finn ut hvordan bunnpunktet forskyver seg med ulike verdier av a.

Oppgave 3.176

Funksjonen f er gitt ved

f (x) x 3 6x 2 ,    Df 7, 2

Finn nullpunktene, ekstremalpunktene og verdimengden til f.

Oppgave 3.177

I en vannrakett benytter vi oss av Newtons tredje lov, som sier at kraft og motkraft er like store, men motsatt rettet. En enkel utgave av en slik rakett er ei tom plastflaske på 1,5 L som vi fyller ca. halvfull med vann. Så setter vi i en gummipropp som vi kan pumpe luft gjennom. Når lufttrykket over vannet er høyt nok, presser lufta ut proppen og skyver vannet ut av flaska. Kraften som skyver ut vannet, har retning nedover, og motkraften får flaska til å fare oppover med stor fart.

I et forsøk med en mer avansert vannrakett ble høyden som raketten nådde, målt til 534 m over bakken. I denne oppgaven ser vi bort fra luftmotstand og velger positiv retning oppover.

Vi bruker formelen vvas 2 0 2 2 , der v er farten til raketten i høyden s over bakken, v0 er startfarten og a er tyngdeakselerasjonen, som er 9,8m/s2.

a) Hva er v idet raketten når sitt høyeste punkt?

b) Bruk formelen ovenfor til å regne ut startfarten v0 målt i m/s. Rund av til nærmeste hele tall.

c) Hva blir startfarten målt i km/h?

d) Forklar at den maksimale høyden over bakken er en funksjon av startfarten v0

e) Finn en formel for den maksimale høyden s, uttrykt ved v0.

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 3.200

Finn likningen for linjene på figuren. 4 5 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5

y x 24 135 –4–2–3 –5–1

Oppgave 3.201 Lucy har lagd et program for å lage tabeller med funksjonsverdier: print(" x | y") for x in range(-5, 5): y = 2*x + 1 print(f"{x} | {y}")

1 2 3 4 5 6

a) Skriv av programmet og kjør det. Kan du forklare hvordan programmet fungerer?

b) Tilpass programmet slik at det skriver ut en verditabell for linja med likning yx 1 2 3 2 for x-verdiene 3, 2,  , 6, 7.

Oppgave 3.202

Ei rett linje har stigningstall 3.Linja skjærer x-aksen for x 1 3 . Bestem likningen for linja.

Oppgave 7.226 En potensfunksjon f er gitt ved fxax () , 15 Finn a når f ()416.

Oppgave 7.228 (Eksamen 2019) Hva må forholdet mellom høyden og radien i en sylinder med bunn, men uten lokk, være for at overflatearealet skal være minst mulig når volumet er 1 liter?

2

Oppgave 7.227 En funksjon f er gitt ved fx xxx xx () , ,

241 21

Oppgave 7.229 (Eksamen 2019) Bestem den deriverte til funksjonen fx x xx () 3 4 2

Oppgave 7.230 (Eksamen 2020) Deriver funksjonen fxxx()() 3 3

() () () ()()

a) Vis at f er kontinuerlig for x 1. b) To studenter har regnet ut likningen for tangenten i punktet 1, f (1) på disse måtene: Student 1: f fxx f yyfxxx y

121412 44 14140

() () () ()(

1212 2 1 2 11 1 1 1 1

2 11 201 2 () x y Student 2: f fxxx x x f yyfx

1 2 1 1 2 1 2 1 x xx yx yxx

1 211 121

) ()

Kommenter løsningene til de to studentene. Har noen av dem riktig svar?

y 2 –4–6–8 –1

7 4

6 3

Oppgave 7.231 (Eksamen 2020) Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon f. Du kan få bruk for de stiplede linjene til å løse oppgaven. 5 1 2 –261012 48 x

a) Finn likningene til eventuelle asymptoter til funksjonen f med graf i figuren.

b) Tegn fortegnslinje for fx() og fx(). c) Finn eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter. Bruk én desimal.

p(x)

Oppgave 7.232 (Eksamen 2021) Kalle Kanin har fått Geogebra til å tegne en funksjon f, dens deriverte, f , og dens dobbelderiverte, f . Se figur under. 2 1

q(x) r(x)

y x 21 –1 –2 –1 –2

Hvilken graf er f , hvilken graf er f , og hvilken graf er f ? Begrunn svaret.

Oppgave 7.233 (Eksamen 2021) Finn tangenten til fxxx () 2 42 i punktet 44,(). f

Oppgave 7.234 (Eksamen 2021)

Vi har et rektangel med omkrets 24 m, bredden x og høyden h. Når dette rektanglet roteres horisontalt 360° om den ene sidekanten h, fremkommer det en sylinder med volum V(x). a) Vis at dette volumet som funksjon av x kan skrives Vxxx ()() 2 12

b) Finn det største volumet en slik sylinder kan ha.

Oppgave 7.235 (Eksamen 2021) En tredjegradsfunksjon, g (x), har en graf som vist under. Den har toppunkt 0, 6 , bunnpunkt i 3, 21 og vendepunkt i 3 2 15 2 ,. Funksjonen har ingen andre ekstremal- eller vendepunkter enn de som allerede er nevnt. 40 20

45

y x 21 –1 –23 –20 –40 –60

a) Tegn fortegnslinjene til den deriverte og den dobbelderiverte til funksjonen g (x) b) Finn funksjonsuttrykket til g (x)

La fx() være funksjonen gitt ved fxxxx () 1 3 3 32

c) Bestem intervallene der f er voksende og synkende. Finn eventuelle topp- og bunnpunkter. d) Bestem intervallene der f krummer opp og krummer ned. Finn eventuelle vendepunkter.

8

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

ØV MER

8.1 BRIGGSKE LOGARITMER

Oppgave 8.110

Bruk definisjonen av den briggske logaritmen og bestem a) lg1000 b) lg10 5 c) lg0,01 d) lg1000000 e) lg1 f) lg( 10)

Oppgave 8.111 Bruk definisjonen av den briggske logaritmen og regn ut. a) lg10 3 b) lg 1 1000 c) lg10 2 5

Oppgave 8.112 Skriv så enkelt som mulig. a) 10lg2 b) 10 1 2 lg c) 10lg a

Oppgave 8.113 Du får oppgitt at 100,477 3, og at 101,079 12.

Bruk dette til å finne tilnærmingsverdier for disse logaritmene: a) lg36 b) lg9 c) lg144 d) lg4 e) lg 1 4 f) lg1,2 g) lg30 h) lg120 i) lg 1 3 j) lg12 1

Oppgave 8.114 Trekk sammen uttrykkene og skriv dem ved hjelp av lg a og lg b a) lglgaba b b) lglglgabb a 23

Oppgave 8.115 Trekk sammen uttrykkene. a) lglg39 2 xx b) lglglg 2 4 8 3 2 4 x x x c) lglg520xx d) lglglgxxx 36

Oppgave 8.116 Trekk sammen uttrykkene. a) lglglgxyxyxy 22 b) lglglgxyy x x y 5 2 4

Oppgave 8.117 Skriv så enkelt som mulig. lg lg 102 101

2 3 3 2

Oppgave 8.118 Lydnivået L målt i desibel (dB) fra en høyttaler med fast styrkeinnstilling avtar med avstanden x målt i meter. Sammenhengen mellom L og x er gitt ved La 20 lg x der a er en konstant. a) I avstanden 5,0 m fra høyttaleren er lydnivået 55 dB. Bestem konstanten a. b) Finn ved regning avstanden fra høyttaleren når lydnivået er 49 dB. c) I en bestemt avstand x1 er lydnivået L1. Når avstanden er dobbelt så stor, er lydnivået L2. Bestem differansen L1 L2.

8.2 EKSPONENTIALLIKNINGER

Oppgave 8.120 Løs likningene. a) 2x 5 b) 5x 10 c) 1,03x 2 d) 0,95x 0,8

Oppgave 8.121 Finn de eksakte løsningene av likningene. a) 5 3x 25 b) 2 4x 18 c) 3 7x 5x d) 2 32x 12

Oppgave 8.122 Løs likningene. a) 2 · 52x 10 b) 6 · 33x 24 c) 3 · 34x 15 d) 4 · 33x 1 36 e) 8 · 52x 2 32

Oppgave 8.123 Løs likningene. a) 8x 2 3x b) 1 2 3 4

Oppgave 8.126 a) En funksjon f er gitt ved f (x) ax b Vi vet at f (16) 120,5 og f (625) 48,2 Vis at a 241 og b 0,25. b) Et pattedyr som veier x kg, har hvilepulsen f (x) målt i hjerteslag per minutt, der f er den funksjonen som er gitt i oppgave a. 1) En hund har en hvilepuls på 143 hjerteslag per minutt. Finn ved regning hvor mye hunden veier. 2) En elefant har en hvilepuls på 33 hjerteslag per minutt. Finn ved regning hvor mye elefanten veier.

x

Oppgave 8.124 Løs likningene. a) 4 2x 2 3x b) 2 5x 5 2x c) 35 35 2 35 35 35 2 3x

Oppgave 8.125 En student har løst en likning som vist nedenfor. Undersøk om studenten har løst likningen riktig, og finn eventuelle feil.

Oppgave 8.127 Løs likningene. a) 8 412 8 2 xx b) 312270 3 2 xx c) 185 5 52 x x x d) 527 21 21 x x x

Oppgave 8.128 Bil A er i dag verdt 220 000 kr. Bil B er verdt 178 000 kr. Vi regner med at verdien av bil A synker med 15 % årlig, og at verdien av bil B synker med 12 % årlig. a) Finn ved regning når bil A er verdt 135 000 kr. b) Finn ved regning når bil B er verdt 64 000 kr. c) Når har bilene samme verdi? Løs oppgaven både ved regning og digitalt.

Oppgave 12.144

Vi har gitt vektorene a, b og c b a c

Finn ved tegning. a) abc b) abc c) abc

Oppgave 12.145

Et legeme er angrepet av tre krefter F1 , F2 og F3 slik at summen av de tre kreftene er nullvektoren. Kreftene F1 og F2 er tegnet inn på figuren. F1 F2

Tegn inn kraften F 3 som angriper midt under legemet.

Oppgave 12.148

Tegn to vektorer u og v som ikke er parallelle. Finn ved tegning. a) 2 3 uv b) 1 2 uv c) uv 5 2 d) 32uv

12.5 KOORDINATFORMLENE

Oppgave 12.150 Vi har gitt disse vektorene: a 12 , b 21 , c 31 , a) Finn ab , bc og ac ved regning. b) Finn abc ved regning.

Oppgave 12.151 Vektorene p 23 , og q 11 , er gitt.

a) Finn 2 p og 3q ved tegning. b) Finn pq ved regning. c) Finn 32pq ved regning.

C

Oppgave 12.146 I trekanten ABC setter vi ABb og ACc . c b AB

a) Uttrykk BC ved hjelp av b og c . b) Hvilken vektor svarer til bc ?

Oppgave 12.147

Tegn tre vektorer u , v og w der ingen av dem er parallelle. Finn ved tegning. a) uvw b) uvw c) uvw d) uvw

Oppgave 12.152 Vi har gitt disse vektorene: a 42 , b 28 , c 63 ,

a) Finn abc ved regning. b) Finn 2 1 2 1 3 abc ved regning. c) Finn 3 2 ab ved regning. d) Finn tatb 2 ved regning.

Oppgave 12.153

Vi har gitt punktene A 1, 2 , B 2, 3 , C 2, 4 og D 0, 3 . a) Finn 2 AB, 3CD og 1 2 1 4 BCBA. b) Finn koordinatene til punktet Px, y slik at ABBCCDDP 0

Oppgave 12.154

Punktene A 3, 0 , B 1, 2 og C 4, 1 er gitt. Et punkt D er plassert slik at ADBCAB 1 2 a) Tegn figur og plasser punktet D. b) Finn koordinatene til D ved regning. Oppgave 12.155 Punktene A 1,  3 , B 2, 0 og C 3, 1 er gitt. Et punkt D er plassert slik at BDABAC 1 3 1 2 Finn koordinatene til D. Oppgave 12.156 Løs vektorlikningene. a) xyxy ,,, 24 b) 322 ,,, tsts c) 22241 ttss ,,,

Oppgave 12.157 Finn koordinatene til x . a) x 1023 ,, b) 392 , xx c) 1 2 20 4 x ,

Oppgave 12.158

Punktene A 2, 2 , B 3,  2 og punktet C 5, 5 er tre av hjørnene i et parallellogram. a) Finn AB og AB b) Finn koordinatene til det siste hjørnet i parallellogrammet. Oppgaven har tre løsninger.

Oppgave 12.159

Vi har gitt punktene P 5, 0 , Q 1,  3 og Rx, y Videre er det gitt at PR 5 og QR 52 a) Finn PR og QR uttrykt ved x og y. b) Bestem x og y.

12.6 VEKTORREGNING I PYTHON

Oppgave 12.160 Vektorene a 30 , og b 22 , er gitt. a) Finn ab med Python. b) Finn 2 3 1 2 ab med Python.

Oppgave 12.161

Punktene A 1, 4 , B 8, 0 og C 9, 8 er hjørner i et parallellogram ABCD. a) Finn koordinatene til punktet D med Python. b) Finn lengden av alle sidene i parallellogrammet med Python.

Oppgave 12.162

I ABC har vi gitt hjørnene A 2, 1 , B 9, 3 og C 3, 5 a) Finn koordinatene til midtpunktet M på BC med Python. b) Finn lengden av AM med Python.

Oppgave 12.163 En student har lagd to forskjellige programmer. Forklar hva programmene regner ut. Hva er forskjellen på programmene? from numpy import array a = array([3, 2]) b = array([5, 1]) c = b - a print(c)

1 2 3 4 5 6 7 from numpy import array # Vektor a x1 = float(input("x1 =")) y1 = float(input("y1 =")) a = array([x1, y1]) # Vektor b x2 = float(input("x2 =")) y2 = float(input("y2 =")) b = array([x2, y2]) c = b - a print("Vektor c = ", c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Oppgave 12.164

Finn koordinatene til punktet C i en rombe ABCD (et parallellogram der alle sidene er like lange) når A 2, 1 , AB 31 , og AD 13,.

12.7 PARALLELLE VEKTORER

Oppgave 12.170

Undersøk om vektorene a og b er parallelle. a) a 21 , og b 42 , b) a 32 , og b 12 , c) a 14 , og b 28 ,

Oppgave 12.171

Finn ut om vektorene a og b er parallelle når a) a 23 , og b 69 , b) a 1 3 4, og b 2 5 8 15 , c) a 3 2 1 4 , og b 4 3 1 16 , Oppgave 12.172 Bestem x slik at p blir parallell med q. a) px ,4 og q 32 , b) px 1, og q 21 , c) p 15 , og qx ,2

Oppgave 12.173 Finn verdien av t slik at vektorene p og q er parallelle. a) pt 1 2 , og q 28 , b) ptt 11 , og q 21 , c) pttt t 2,22 og qtt3336 ,

Oppgave 12.174

Vi har gitt punktene A 1, 1 , B 3, 2 og C 7, 4 . a) Finn AB og AC . b) Finn ut om punktene A, B og C ligger på samme linje.

Oppgave 12.175

Vi har gitt punktene A 1, 1 , B 2, 5 og C 8, 10 .

a) Finn AB og AC .

b) Ligger punktene A, B og C på samme linje?

Oppgave 12.176

a) Forklar at tre punkter Ax1, y1 , Bx2, y2 og Cx3, y3 ligger på ei rett linje hvis xx xx yy yy 21 31

21 31 .

Oppgave 12.177

a) Undersøk om punktene A 1, 3 , B 2,  1 og C 2, 0 ligger på samme linje.

b) Finn verdien av t slik at punktene A 2, 5 , B 2, 3 og C 5, t ligger på samme linje. c) Vis at punktene A 1,  2 , B 4,  3 , C 6, 1 og D 3, 2 er hjørnene i et parallellogram.

Jenny har begynt å lage et program som avgjør om tre punkter ligger på ei rett linje: 1 2 3 4 5 6 7

11

x1 = float(input("Oppgi x1:")) y1 = float(input("Oppgi y1:")) x2 = float(input("Oppgi x2:")) y2 = float(input("Oppgi y2:")) x3 = float(input("Oppgi x3:")) y3 = float(input("Oppgi y3:"))

if (KODE MANGLER): print("Punktene ligger på ei rett linje.") else: print("Punktene ligger ikke på ei rett linje.")

b) Fullfør programmet til Jenny.

c) Punktene 1, 3 , 4, 9 og 5, 11 ligger på den rette linja y 3x 1. Test programmet på disse punktene. Må du gjøre noen endringer i koden?

d) Punktene 2, 3 , 7, 4 og 3, 3 ligger ikke på ei rett linje. Test programmet på disse punktene. Må du gjøre noen endringer i koden?

e) Utvid programmet slik at det også skriver ut •likningen for linja •hvilket av punktene som ligger mellom de to andre når punktene ligger på ei rett linje.

Oppgave 12.178 ABCD er gitt ved hjørnene A 3, 0 , B 1,  2 , C 2, 2 og D 2, 4 . a) Finn AB og BD . b) Vis at firkanten er et parallellogram. c) Et punkt R på linjestykket AB ligger slik at AR AB 2 3 . Finn koordinatene til R. d) Et punkt P ligger på linjestykket DC slik at DPDC 1 3 Finn ut om DR er parallell med PB .

12.8 DEKOMPONERING

Oppgave 12.180

Tegn vektoren v og bestem lengden av den. a) vee xy 32 b) vee xy 25

Oppgave 12.181 Vi har gitt vektoren vee xy 34 . a) Finn vektorkoordinatene til v . b) Bestem vektorkoordinatene til 1 2 v .

Oppgave 13.172

Oppgave 13.174

a) Linjene l og m har parameterframstillingene l xt yt m xt yt

: :

33 4 52 124

1) Tegn linjene i et koordinatsystem. 2) Finn skjæringspunktet mellom linjene grafisk og ved regning. b) Vi tenker oss at posisjonen til to båter A og B er gitt ved parameterframstillingene til l og m i oppgave a, med tida t som parameter.

1) Forklar at båtene ikke kolliderer. 2) Vi setter parameterframstillingen for båt B til m xt yat : 52 4 Hvilken verdi må konstanten a ha for at båtene skal kollidere, når båt A har samme parameterframstilling som tidligere?

Oppgave 13.173

To kuler med radius 10 cm ruller i et koordinatsystem. Posisjonen til sentrum av kulene etter t sekunder er gitt ved l xt yt m xt yt

: ,, ,, : , ,,

2709 8632 1444 4505

Her er x og y målt i meter. Vil kulene kollidere?

I denne oppgaven er alle avstander målt i meter, og tida t er målt i sekunder. En fugl flyr parallelt med havoverflaten med farten u 307 ,, og er i punktet A 10,2, 8,2 ved t 0. a) Hvor stor fart flyr fuglen med? b) Finn en parameterframstilling for den rette linja l som fuglen vil følge.

En annen fugl flyr også i samme høyde og parallelt med havoverflaten. Den har farten v 312 ,, og er i punktet B 8, 8,5 ved t 0. c) Finn en parameterframstilling for den rette linja m som denne fuglen vil følge. d) Bestem skjæringspunktene mellom de to linjene. e) Bestem et uttrykk d(t) for avstanden mellom de to fuglene. f) Hvor nært passerer de to fuglene hverandre?

BLANDEDE OPPGAVER

Oppgave 13.200

a) Bestem a slik at vektoren va 4, står vinkelrett på u 24 , . b) Bestem b slik at vektoren vbb 4 2 , er parallell med u 612 , .

Oppgave 13.203

Oppgave 13.201 Vektorene a,b og c er tegnet i koordinatsystemet nedenfor. 4 5 3 2 1 –2 –1 –3 –4 –5

y x 45 23 1 –2 –3 –4–5 –1

b a c a) Finn koordinatene til a,b og c . b) Finn ved regning og tegning 1) ab 2) abc c) Undersøk om bc . Løs oppgaven både ved regning og ved å bruke Python. d) Finn a og bc .

Oppgave 13.202

Vi har gitt punktene A 2,  1 , B 4, 5 og C 1, 6 a) Undersøk om ABBC . b) Finn koordinatene til et punkt D slik at firkanten ABCD blir et parallellogram.

Punktene A 2, 4 , B 2,  2 og C 8, 2 er gitt. a) Bruk vektorregning og vis at trekanten ABC er rettvinklet. b) Bruk vektorregning og vis at trekanten ABC er likebeint. c) Bruk vektorregning og finn koordinatene til et punkt D slik at firkanten ABCD blir et kvadrat. d) Finn lengden av diagonalene i kvadratet ABCD. e) Diagonalene i kvadratet skjærer hverandre i et punkt E Finn koordinatene til dette punktet.

Oppgave 13.204

De tre vektorene a, b og c er slik at abac . a) Amy mener at da må bc Forklar at Amy ikke har rett. b) Har Amy rett hvis vi også får oppgitt at abac ,, ?

Oppgave 13.205

I ABC har vi gitt punktene A 1, 2 , B 1, 2 og C 3, 3 a) Finn ABAC , og CB. b) Bestem lengdene av sidene i trekanten. c) Bestem alle vinklene i trekanten.

Oppgave 13.206

Vi har gitt punktene A 1, 2 , B 3, 3 , C 2, 4 og D 5 t,4 2t . a) Finn ABACABAC ,,og . b) Finn den verdien for t som er slik at CDAB . c) Finn koordinatene til punktet D for denne verdien av t.

Oppgave 17.242 Finn integralet sincosxxdx på fem forskjellige måter: a) ved å bruke variabelskiftet ux sin b) ved å bruke variabelskiftet ux cos c) ved å bruke delvis integrasjon med ux sin og vx cos d) ved å bruke delvis integrasjon med ux cos og vx sin e) ved å bruke formelen sinsincos 22xxx f) Hvorfor ser det ut som svarene i oppgave a–e ikke er like?

Oppgave 17.243 Bestem arealet av det skraverte området på figuren nedenfor. 1 y x 4 23 1 –1 –2 –3 –1

g(x) = sin(x) f (x) = cos(x)

Oppgave 17.244 På figuren nedenfor er et flatestykke avgrenset av grafen til en sinusfunksjon og x-aksen. Finn arealet av flatestykket. 1 2 3 4 5 6 y x 0,80,91,0 0,60,7 –10,10,20,30,40,5

Oppgave 17.245 a) Bruk figuren til å uttrykke a, b og v ved u. –1

y b a u v

f (x) = √1 – x2

1 1 O x

I en matematisk formelsamling står denne formelen: 1 1 2 1 24 2 0 xdxuuu u cos sincos der u 0 2 , . b) Forklar at formelen stemmer ved å bruke figuren ovenfor. c) Bruk formelen til å bestemme 1 2 0

1 2 2 xdx

Oppgave 17.246 a) Bruk delvis integrasjon to ganger til å vise at exdxexexexdx xxxx sinsincossin b) Finn integralet exdx x sin . c) Bestem konstantene A og B slik at ekxdxeAkxBkxC cxcxsinsincos for alle c og k.

Oppgave 17.247

Vi definerer en følge ved axdx n nsin 0 for n 0, 1, 2, a) Finn a0 og a1. b) Bruk delvis integrasjon til å vise at ann 1 an 2 n 1 an og vis at det gir formelen aa nn n n 1 2

c) Regn ut sin 4 0 xdx og sincos52 0 xxdx ved å bruke formelen.

Oppgave 17.248 (Eksamen 2019) Regn ut integralene. a) xedx x b) 21 2 xxdx sin() c) x xx dx 1 13 0

1 ()()

Oppgave 17.249 (Eksamen 2019) Gitt en trekant ABC hvor koordinatene til A er 0, 0 , koordinatene til B er 8, 0 , A 45 og B 45 Regn ut volumet av legemet vi får når trekanten ABC roterer 360 rundt x-aksen.

Oppgave 17.250 (Eksamen 2019)

a) Regn ut det ubestemte integralet cos sin x x dx 2

b) Bestem volumet til rotasjonslegemet som fremkommer ved å rotere området mellom x-aksen og grafen til ye x , fra x 0 til x 1, om x-aksen.

Oppgave 17.251 (Eksamen 2020) a) Vis at formelen sincos 2 1 2 12 xx stemmer. b) Benytt formelen i oppgave a til å bestemme sin. 2 xdx

c) Benytt delvis integrasjon til å bestemme sin. 2 xdx Kommenter eventuelle forskjeller i resultatet fra oppgave b.

Oppgave 17.252 (Eksamen 2020) Bestem integralene.

2 3 b) 422 41 2 xx x dx

a) cos sin x x dx 2

Oppgave 17.253 (Eksamen 2021) Figuren nedenfor viser grafen til funksjonen

F(x)

Fxeexx () 1 2 y x 21

1 2 3 4 –10 –2

Vi ser på flatestykket som er avgrenset av denne grafen, linjene x 1 og x 1 og x-aksen. a) Finn arealet av dette flatestykket. b) Finn volumet av omdreiningslegemet som kommer frem ved å dreie dette flatestykket 360 om x-aksen.

Oppgave 17.254 (Eksamen 2021) Finn arealet begrenset av fxxex (), 1 2 gxe x () 2 og linjene x 0 x 1.

FASIT

1 1.110 a) b) c) 1.111 a) b) 1.112 a) 2, 1, 0, 1, 2, 3 b) 6, 8 c) 1, 2, 3, 6, 9, 18

1.113 a) 18 b) 80 c) 12 d) −4 1.114 a) 17 b) 17 c) 32 d) 5 1.115 a) 10 b) 16 c) 23 d) 0 1.116 a) 24 b) 9 c) 56 d) 33

1.117 a) F.eks. 3 5 4 6 b) F.eks. 4 5 3 6 c) F.eks. 5 4 3 6 1.120 a) 1 8 b) 1 2 c) 2 3 d) 4 11 1.121 a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 1.122 a) 2 18 b) 15 18 c) 12 18 1.123 a) 1 b) 1 10 c) 7 3 d) 13 6

1.124 a) 1 b) 4 5 c) 1 12 d) 2 27 1.125 a) 7 3 b) 2 3 c) 6 5 1.126 a) 4 b) 3 4 c) 4 3 1.127 a) 9 10 b) 11 c) 6 13 d) 6 25 1.130 a) 3x 2y b) 6a 5b c) 2x 6y d) a 5b 1.131 a) 5 5x b) 11x 14 c) 2a 2ab 3b d) 3ab 1.132 a) 5x 7y b) 2a 4b 5c c) 8xy d) 2a 2b 1.133 a) 2a 2 3 b) 5 1.134 a) 4x 2 b) 2x 2 8 c) 8 2x 2 d) 2x 3 4x 2 2x 4 1.135 a) 2 3 226 2 aaabb b) ab22 4 c) 1 3 3 4 3 4 22 aabb 1.136 x 4, y 2, z 3 1.137 y og x

1.140 a) 121 4 a b) 2110 35 a c) 1 4 d) x 1 6 1.141 a) 25 4 x x b) 7 2 2 x x c) 20 6 x x 1.142 a) 31 5 x x b) 58 12 y c) z z 1 1.143 a) 2 5 a b) 41 3 b b 1.144 a) 6xy 2 b) b c) a ab 1 2 d) 92 6 x 1.145 a) a b b) x y 2 2 c) 1 2 2 x x d) 45 2 y y 1.146 a) 7 9 b) 3 1.147 a) 154 530 x x b) 2 1.150 a) 16 b) 16 c) 16 1.151 a) 27 128 b) 22 4 c) 5 d) 3 1 3 1 1.152 a) 4 b) 9 c) 1 2 d) 4

1.153 a) 3 b) 25 1.154 a) 3 2 b) 2 1.155 a) 1 a b) a n 1 1.156 2 og 4 1.160 a) 4 27 x b) xy 4 c) y 24 d) 9 64 1.161 a) 8 125 b) 25 9 c) 3 2 x d) 16 25 2 x 1.162 2 5

1.170 3,4 106 og 34 105 34 000 000 og 0,34 108

1.171 a) 7,5 1016 b) 3,4 107 c) 1,28 10 7 d) 4,0 10 6

1.172 a) 3 108 m/s b) 9,11 10 31 kg c) 9,46 1015 m d) 1,6 10 19 C

1.173 a) 1) 7,6 10 9 m 2) 3,589 106 kg 3) 3,153 104 s b) 1) 1,238 1011 kgm 2) 1,474 103 kgm/s 3) 1,425 10 15 kgm/s2

3 , 5 2

3 , 2 5 , 2 5

0 , 2 5

1 , 2 5

2 1.163 a) 25 9 b) y x

10 5 c) 40 1.164 a) 1 7 b) 9b c) 2a 9 1.165 a) 1 b) 4 2 x c) 12 1.166 a) a b 7 3 b) 2 3 5 a b 1.167 x y

5 5 4 1.168 a) 7200 b) 0,36 c) 0,01 d) 8,1

1.174 a) 1,2 103 b) 7,7 106 c) 9,4 1022 d) 4,5 10 8 1.175 3 10 23 g 1.176 5 105 1.177 a) 5 109 b) 10 000

1.178 a) 876 000 timer 8,76 105 timer b) Én undervisningstime er mer enn ett mikroårhundre. 1 mikroårhundre er 0,876 timer.

1.179 a) 1,42 1027 m 3 b) 1,4 103 kg/m3 1.180 a) 1 2 b) 3 5 c) 9 13 d) 5 1.182 a) 2 b) 5 c) 2 d) 1 e) 2 f) 100

1.183 a) 1,24 b) 1,66 c) 2,01 d) 2,30 1.184 a) a b) 20 c) 0,1 d) 400 1.185 a) 7 b) 37 c) 20 1.186 a 3 b4 1.187 2,00 cm 1.188 a) 1) 5801 K 2) 5528 C b) 1) 254 K 2) 19  C 1.190 a) 1) 3 2) 4 3) 25 4) 16 1.191 a) 2 b) 4 c) 2 d) 3 2 1.192 a) 3 b) 0,71 c) 1,12 d) 0,25 e) 1,22 f) 656,14 1.193 a) 2 4 3 b) 3 c) 1 d) 2 1.194 a) a 3 b) a 1.195 a) 33 b) 0 c) 2 6 1.196 a) 1) 1 25 2) 5 8 b) 1) 2 2) 8 4 d) 1) 777 19 6 3 6 2) 43

17.236 a) 1 b) 9 c) xxxxxC 2 22 sincossin

17.237 a) 2 2 b) 2 17.238 152,8 mL 17.239 a) 0,1 s b) 12,7 m c) 0,033 s 17.240 a) 1 2 2 sin xC b) xC 17.241 1 4 2 2 ln cos cos x x C 17.242 a) 1 2 2 sin xC b) 1 2 2 cos xC c) 1 2 2 sin xC d) 1 2 2 cos xC e) 1 2 4 cos xC f) Integrasjonskonstanten C er ikke den samme i svarene. 17.243 2 2 17.244 2 3 3 17.245 a) aubuvu cos,sin, 2 c) 2 8

17.246 b) 1 2 exxC x sincos c) Ac ck22 og B k ck22 17.247 a) aa 01 2 , c) 3 8 16 105 og 17.248 a) exC x 1 b) cos x 2 1 c) lnln 2 1 2 3 17.249 128 3 17.250 a) 1 sin x C b) 1 2 1 2 e 17.251 b) 1 2 1 4 2 xxC sin c) 1 2 1 2 xxxC sincos Svarene i oppgave b og c er de samme ettersom sinsincos. 22xxx

17.252 a) ln 3 2 b) 5 2 213 2 ln xxxC 17.253 a) e e 1 b) 4 4 1 2 2 e e 17.254 1 2 1 e