Sinus Forkurs Grunnbok (2022) Utdrag by Cappelen Damm

Innhold

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Tall og variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tall og tallregning .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bokstavregning og parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flere potensregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tall på standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratrøtter og røtter av høyere orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser med en brøk som eksponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Likninger og ulikheter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 To lineære likninger med to ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Formler i Python .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Lineære ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tallinjer og intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Mengdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Doble ulikheter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Linjer og grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Å finne likningen for ei linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Grafisk løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Grafisk løsning av ulikheter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Andregradsfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratsetningene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heltallsmetoden .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsformelen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ikke-lineære likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nullpunktsfaktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsulikheter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5.1

Polynomer og rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Polynomfunksjoner .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7 13 17 20 24 28 31 34 38 42

Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 112 114 116 119 122 124 128 133 136 140 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 4

26.05.2022 10:52:12

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resten ved en polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering av polynomer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger og ulikheter av tredje grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doble andregradsulikheter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Grenseverdier og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenseverdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuerlige funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertikale asymptoter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horisontale og skrå asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fart og akselerasjon .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Funksjonsdrøfting .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krumning og vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimering i geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensfunksjoner og rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammensatte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av et produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av en kvotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Logaritmer og eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Briggske logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger med naturlige logaritmer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonen f(x) = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av logaritmefunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av eksponentialfunksjoner .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9.1 9.2 9.3 9.4

Trigonometri og geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pytagorassetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinus og cosinus .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 154 158 163 167 171 175 178 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 184 186 191 197 202 209 213 216 221 226 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 232 233 241 249 253 258 264 269 271 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 278 280 283 290 294 299 305 308 313 317 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 322 324 330 335 339

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 5

26.05.2022 10:52:12

9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

Arealsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prismer og sylindere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramider, kjegler og kuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

Trigonometriske likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vinkelmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sirkelsektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generelle trigonometriske definisjoner .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinuslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinuslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger med tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enhetsformelen og andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometriske formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinusfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplitude, periode og likevektslinje .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinusfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangensfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometriske ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av de trigonometriske funksjonene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av trigonometriske funksjoner .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorer i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lengden av en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren mellom to punkter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sum, differanse og produkt av tall og vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatformlene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorregning i Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallelle vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dekomponering .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for vektorer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7

Skalarprodukt og parameterframstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatformelen for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonale vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for skalarproduktet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterframstillinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med parameterframstillinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rettlinjet bevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

343 347 352 356 360 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 368 369 376 379 386 391 397 402 408 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 414 416 419 428 434 438 441 445 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 450 451 456 460 464 470 473 475 479 483 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 488 489 493 496 503 507 512 517 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 6

26.05.2022 10:52:12

14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9

Vektorer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktkoordinater og vektorkoordinater .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med vektorkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trevektorproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger for plan .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rette linjer i rommet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterframstilling for et plan .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8

Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rekker .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aritmetiske følger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aritmetiske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske følger .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uendelige rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske rekker med variable kvotienter .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7

Integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Integralet ∫ dx .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Integrasjon av eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestemt integral som grense for en sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fundamentalsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal ved regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal mellom to grafer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9

Integrasjonsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samlet resultat .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tilnærmingsmetoder for integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trapesmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simpsonmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variabelskifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delvis integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delbrøkoppspalting .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrasjon og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fasit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698

522 523 526 533 537 544 552 558 562 567 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 576 578 585 588 591 595 599 605 609 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 614 616 621

623 628 636 639 646 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 650 652 657 661 666 670 674 678 684 689 Sammendrag .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 7

26.05.2022 10:52:12

UTFORSK BRØK STEG 1

a) Bruk figuren til høyre til å forklare at

1 2 = . 2 4

b) Bruk figuren til høyre til å forklare at

2 6 = . 3 9

3 9 = . 5 15 d) Forklar ut fra oppgave a, b og c at du kan gange og dele med det samme tallet i en brøk uten at brøken skifter verdi. c) Lag en figur som forklarer hvorfor

STEG 2

2 3 a) Bruk figuren til å bestemme + . 7 7 2 7

3 7

b) Hvordan summerer vi etter dette brøker med samme nevner? c) Hva må vi gjøre med denne figuren hvis vi skal bruke den til å regne ut 2 5 + ? 7 14 2 7

5 14

d) Hva må vi gjør når vi skal summere brøker som ikke har samme nevner? STEG 3

1 Å regne ut ⋅ 6 er det samme som å finne en tredel av 6, som er 2. 3 1 Dermed er 6 2. 3 1 6 6 2 1 6 2 ⋅ er en tredel av , som er . Altså er . 3 7 7 7 3 7 7

1 | Tall og variabler

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 12

26.05.2022 10:52:26

6 2 4 er dobbelt så mye som en tredel, altså lik 2 . 7 7 7 2 6 4 Dermed er . 3 7 7 Denne metoden kan vi bruke til å gange brøker i hodet. 1 1 4 3 4 a) Regn ut ⋅ 4, ⋅ og ⋅ med metoden ovenfor. 2 2 5 2 5 1 1 12 3 12 b) Regn ut ⋅12 , ⋅ og ⋅ med metoden ovenfor. 4 4 13 4 13 c) Bruk metoden ovenfor og regn ut 2 9 2 10 1) ⋅ 2) ⋅ 3 7 5 11 To tredeler av

1.2 Brøkregning Tidligere har vi lært å forkorte og utvide brøker. Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

5 slik at nevneren blir 56. 8 18 b) Forkort brøken . 30 a) Utvid brøken

a) Ettersom 8 7 56, multipliserer vi telleren og nevneren med 7. 5 5 7 35 8 8 7 56 b) 6 er det største tallet som går opp i både 18 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6. 18 18 : 6 3 = = 30 30 : 6 5

1.2 Brøkregning

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 13

26.05.2022 10:52:28

Vi kan bruke lommeregneren til å forkorte brøker. Da skriver vi bare inn brøken, enten som et delingsstykke eller som en brøk som vist her: M

OPPGAVE 1.20

Forkort brøkene både uten og med lommeregner. 4 9 18 42 a) b) c) d) 6 15 21 54 OPPGAVE 1.21

Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. 72 126 132 153 117 a) b) c) d) e) 120 294 198 51 78

308 231

Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 7 3 a) + 12 8

5 4 17 b) 3 + + c) 3 ⋅ 6 9 18

14 6 35 28 ⋅ e) : 15 49 12 27

a) Fellesnevneren er 24. 7 3 7 ⋅ 2 3 ⋅ 3 14 9 23 + = + = + = 12 8 12 ⋅ 2 8 ⋅ 3 24 24 24 b) Fellesnevneren for de to brøkene er 18. 5 4 3 5 4 3 ⋅ 18 5 ⋅ 3 4 ⋅ 2 3+ + = + + = + + 6 9 1 6 9 1 ⋅ 18 6 ⋅ 3 9 ⋅ 2 =

54 15 8 54 + 15 + 8 77 + + = = 18 18 18 18 18

1 | Tall og variabler

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 14

26.05.2022 10:52:31

Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 3 i oppgave b til en brøk ved å skrive 3 tallet som . 1 1

17 3 17 17 c) 3 6 18 18 6

Det er lurt å forkorte før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.

14 6 14 6 2 2 4 d) 15 49 15 49 5 7 35 5

Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.

35 28 35 27 35 27 5 9 45 e) : 12 27 12 28 12 28 4 4 16

Svarene ovenfor kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke 45 13 gjøre om til 2 . I denne boka bruker vi ikke slike blandede tall. Grunnen 16

er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Vi vet at 2x betyr 2 ⋅ x. Da er det rimelig å tro at 2

13 16

betyr 2 ⋅

13 13 , i stedet for 2 + , som er det rette. 16 16

Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar. Brøkstykkene ovenfor kan vi regne på gode lommeregnere. Vi skriver inn regnestykkene med tallene på brøkform eller som et delingsstykke. Svaret blir kommer da ferdig forkortet som en brøk. M

En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 4 15 6 5

Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det og

4 15

som er

småbrøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken.

1.2 Brøkregning

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 15

26.05.2022 10:52:33

SAMMENDRAG Regnerekkefølge 1. Regn først ut parentesene. 2. Regn deretter ut potensene. 3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

1 | Tall og variabler

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 42

26.05.2022 10:53:51

Kvadratrøtter Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik x. x = a dersom a ≥ 0 og a 2 = x La a og b være to positive tall. Da er a a = b b

a b a b Røtter av høyere orden

x er det tallet som opphł yd i tredje potens er lik x.

x = a dersom a 3 = x

x er det positive tallet som opphøyd i fjerde potens er lik x. 4

x = a dersom a ≥ 0 og a 4 = x

Brøkeksponenter La a være et positivt tall, og la m og n være hele tall. Da er 1

an = n a m

eller a n n a m

Potensregler a 0 = 1 a -n =

1 a

a m an a m n

an a n m m a

a b

a an b = n b

a m

a b

Tall på standardform Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som a 10n der n er et helt tall og a er et tall som er større enn eller lik 1 og mindre enn 10.

1.9 Potenser med en brøk som eksponent

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 43

26.05.2022 10:53:55

GRENSEVERDIER OG DERIVASJON Studentene skal kunne: • • • • • •

bestemme grenseverdier til polynomer og rasjonale uttrykk regne ut horisontale, vertikale og skrå asymptoter regne med rasjonale funksjoner gi en grafisk beskrivelse av kontinuitet og diskontinuitet gjøre rede for begrepene deriverte og differensial og kjenne ulike skrivemåter av disse anvende den geometriske betydningen av den deriverte

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 184

26.05.2022 10:58:33

UTFORSK GRENSEVERDIREGLER Nå skal vi finne ut hva som skjer med funksjonsverdiene f (x ) til en funksjon f når x nærmer seg et bestemt tall a. Hvis f (x ) da nærmer seg et bestemt tall b, sier vi at f har grenseverdien b. Vi skriver f (x ) → b når x → a eller lim f (x ) b. x a

Vi kan finne en tilnærmingsverdi for grenseverdien for brøker der teller eller nevneren nærmer seg 0. Programmet nedenfor gir en tilnærmingsverdi for x2 1 lim . x 1 x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

def f(x): return (x**2 - 1)/(x - 1) svar = input("Hva skal x nærme seg?") a = float(svar) t = 0.1 while t > 0.00001: print(f"f({round(a-t, 5)}) = {round(f(a-t), 5)}") t = t/10 t = 0.1 while t > 0.00001: print(f"f({round(a+t, 5)}) = {round(f(a+t), 5)}") t = t/10

STEG 1

Studer programmet ovenfor, og forklar hvordan det virker. STEG 2

Tilpass programmet og finn tilnærmingsverdier for grenseverdiene hvis det er mulig. 2x 6 x 1 a) lim b) lim x 3 x 1 x 3 2x 6 x2 x 2 2x 6 d) lim x 3 x 3 x 1 x 1

c) lim

2x 2 8 2x 2 8 f) lim x 2 x 2 x 2 x 2

e) lim

2x 2 8 2x 2 8 h) lim x 2 x 2 x 2 x 2

g) lim STEG 3

Studer svarene i steg 2. Hvilke regler ser ut til å gjelde? Lag noen egne oppgaver der du undersøker om reglene dine stemmer. 6.1 GRENSEVERDIER

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 185

185

26.05.2022 10:58:38

6.1 Grenseverdier Funksjonen f gitt ved f (x )

x 2 2x 8 2x 4

er ikke definert for x = 2 fordi nevneren da blir lik null. Det er ikke mulig å regne ut f (2). Definisjonsmengden er D f =  \ {2} Grafen til f har et bruddpunkt for x = 2. y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

x 1

Av grafen ser vi at hvis vi velger x nær 2, vil f (x) bli nær 3. Vi kan få f (x) så nær 3 vi vil hvis vi bare velger x nær nok 2. Med matematiske symboler skriver vi enten f (x) → 3 når x → 2 eller lim f (x ) 3 x 2

Uttrykket lim f (x ) 3 leser vi ’grenseverdien av f (x ) når x går mot 2, er lik 3’. x 2

Hvis vi legger inn funksjonen f i Python-programmet på forrige side, får vi denne utskriften: Hva skal x nærme seg? 2 f(1.9) = 2.9 f(1.99) = 2.99 f(1.999) = 2.999 f(1.9999) = 2.9999 f(2.1) = 3.1 f(2.01) = 3.01 f(2.001) = 3.001 f(2.0001) = 3.0001

186

6 | Grenseverdier og derivasjon

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 186

26.05.2022 10:58:40

Det kan også her se ut som om lim f (x ) 3. x 2

Det skal vi nå vise ved regning. I funksjonsuttrykket x 2 2x 8 2x 4 er både telleren og nevneren null når x = 2. Da er x 2 en faktor både i telleren og i nevneren. Ettersom 2 4 2 og 2 4 8, er x 2 2x 8 x 2 x 4 Videre er 2x 4 2 x 2 Nå finner vi grenseverdien på denne måten:

x 2 ( x 4) x 4 2 4 x 2 2x 8 3 lim lim x 2 x 2 x 2 2x 4 2 2 2 x 2

lim f (x ) lim x 2

Merk at vi må ha med lim i hvert ledd helt til vi setter inn x = 2 i telleren. x →2

Metoden ovenfor kan vi bruke i alle brøkuttrykk der både telleren og nevneren er polynomer som nærmer seg null. Grenseverdien av et rasjonalt uttrykk der både telleren og nevneren er polynomer som går mot null, finner vi ved å faktorisere og forkorte uttrykket.

EKSEMPEL

Finn grenseverdien x2 1 x 1 x2 x 2

lim LØ S N I N G

Både telleren og nevneren nærmer seg null når x nærmer seg 1, og (x - 1) er derfor en faktor i både telleren og nevneren. Vi faktoriserer telleren ved hjelp av den tredje kvadratsetningen. x 2 1 x 1 x 1 Ettersom 2 1 1 og 2 1 2, er x 2 x 2 x 2 x 1

6.1 Grenseverdier

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 187

187

26.05.2022 10:58:42

UTFORSK SAMMENSATTE FUNKSJONER Vi har gitt funksjonene u(x ) 2 x 1 og g (x ) = x 2 Da kan vi danne den sammensatte funksjonen f (x ) g u(x ) Den virker slik: f (2) g u(2) g 2 2 1 g (5) 52 25 Vi kan illustrere dette slik: 2

u(2)

g(u(2))

g(u(2)) = f(2)

Slik regner vi ut f (1). f (1) g u(1) g 2 1 1 g (3) 92 9 STEG 1

Bruk funksjonene ovenfor og regn ut f (−2) og f (3). STEG 2

h(x ) = u( g (x )) der g og u er funksjonene ovenfor. Regn ut h(−2) og h(3). Nå lager vi et program i Python som regner ut funksjonsverdier for en sammensatt funksjon.

262

7 | Funksjonsd røfting

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 262

26.05.2022 11:02:32

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

def u(x): return 2*x + 1 def g(x): return x**2 def f(x): return g(u(x)) svar = input("Verdi for a:") a = float(svar) print(f"f({svar}) = {f(a)}")

STEG 3

Bruk programmet til å løse oppgaven i steg 1. OPPGAVE 4

Tilpass programmet og bruk det til å løse oppgaven i steg 2. STEG 5

Tilpass programmet slik at det automatisk skriver ut f (a) for a = −5, - 4, …, 20. Vi kan finne funksjonsuttrykket til sammensatte funksjoner. Hvis u(x ) 2 x 1 og g (x ) = x 2, blir f (x ) g (u(x )) g 2 x 1 2 x 1 4 x 2 4 x 1 2

STEG 6

a) Finn funksjonsuttrykket til h(x ) = u( g (x )) med u(x ) 2 x 1 og g (x ) = x 2. b) Finn funksjonsuttrykket til f (x ) = g (u(x )) og h(x ) = u( g (x )) med u(x ) 3x 1 og g (x ) x 2 3x . STEG 7

La g (x ) x 2 2 x og u(x ) = x 2. a) Vis at f (x ) g (u(x )) x 4 2 x 2. b) Finn g ′(x ), u′(x ) og f ′(x ). c) Regn ut g ′(u(1)), u′(1) og f ′(1). d) Regn ut g ′(u(2)), u′(2) og f ′(2). e) Regn ut g ′(u(3)), u′(3) og f ′(3). f) Se på svarene i hver av oppgavene c, d og e. Hvilken regel ser ut til å gjelde? g) Undersøk om regelen din stemmer for andre x-verdier. h) Klarer du vise at regelen gjelder for alle verdier for x?

7.5 Potensfunksjoner og rotfunksjoner

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 263

263

26.05.2022 11:02:40

7.6 Sammensatte funksjoner Funksjonen f (x ) x 2 1 kan vi oppfatte som en sammensatt funksjon. Hvis vi setter u(x ) x 2 1 blir f (x ) = u(x ) Funksjonen u(x ) x 2 1 kaller vi kjernen eller den indre funksjonen. Kvadratrotfunksjonen kaller vi den ytre funksjonen. Hvis vi kaller kvadrat rotfunksjonen g, blir f (x ) g u(x ) En sammensatt funksjon kan vi alltid skrive på denne måten. EKSEMPEL

Funksjonen f er gitt ved f (x ) 2x 3

Skriv f som en sammensatt funksjon. LØ S N I N G

Her er det naturlig å velge kjernen u(x ) 2 x 3 Da blir f (x ) u(x )

OPPGAVE 7.60

Finn en kjerne u(x) og skriv f som en sammensatt funksjon.

a) f (x ) 2 x 1 b) f (x ) x 2 2 x

c) f (x ) 2 x 1 d) f (x ) 2

3x 1

Når vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen. Vi beviser den på slutten av dette delkapittelet. Hvis f (x ) = g (u(x )), så er f (x ) g (u(x )) u (x )

264

7 | Funksjonsd røfting

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 264

26.05.2022 11:02:44

Det kan være vanskelig å skjønne innholdet i denne regelen, men det er svært viktig å lære hvordan vi bruker den. EKSEMPEL

Deriver funksjonene ved hjelp av kjerneregelen. 4 a) f (x ) x 2 1

b) f (x ) 2 x 1

c) f (x ) x 2 1 1 d) f (x ) 2x 1 LØ S N I N G

a) Vi setter kjernen u(x ) x 2 1. Da er

f (x ) x 2 1 u(x )

Den ytre funksjonen er g(x) = x 4. Da er f (x ) g u(x ) . Videre er

g (x ) x 4 4 x 3 , og u (x ) 2 x . Kjerneregelen gir

f (x ) g u(x ) u (x ) 4 u(x ) u (x ) 4 x 2 1 2 x 8 x x 2 1 3

Med litt trening gjør vi dette uten å bruke u(x). Da gjør vi det slik:

4 x

f (x ) x 2 1

1 x 2 1 4 x 2 1 2x 8x x 2 1 3

b) Her velger vi kjerne u(x ) 2 x 1 og ytre funksjon g (x ) = x 3. Da er g (x ) 3x 2 og u (x ) 2. Det gir f (x ) g u(x ) u (x ) 3 u(x ) u (x ) 3 2 x 1 2 6 2 x 1 2

Som oftest gjør vi dette slik:

f (x ) 2 x 1

3 2x 1 2x 1 3 2x 1 2 6 2x 1 2

c) Nå setter vi u(x ) x 2 1 og g (x ) = x . Da er u (2 x ) 2 x og g (x )

1 2 x

1 1 2x x u (x ) 2x 2 2 2 u(x ) 2 x 1 2 x 1 x2 1

f (x ) g u(x ) u (x )

Med litt trening gjør vi det slik: f (x )

x2 1

1 2

2 x 1

x2 1

1 2

2 x 1

2x 2

2 x 1

7.6 Sammensatte funksjoner

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 265

x x2 1

265

26.05.2022 11:02:52

SKALARPRODUKT OG PARAMETER FRAMSTILLING Studentene skal kunne • bruke og tolke skalarproduktet, vektorproduktet og det skalare trevektorproduktet ved beregning av vinkler, areal og volum • bruke vektorregning for å finne liknings- og parameterfremstillinger til linjer og plan

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 488

26.05.2022 11:18:22

13.1 Skalarproduktet Til nå har vi lært å summere vektorer, finne differansen mellom vektorer og multiplisere vektorer med tall. Nå skal vi lære å multiplisere to vektorer. Resultatet av multiplikasjonen blir ikke en ny vektor; det blir et tall, en skalar. Produktet kaller vi skalarproduktet. Vi skal bruke dette skalarproduktet blant annet til å finne vinkler.   to vektorer a og b er den minste vinkelen vi får når vi Vinkelen α mellom   tegner a og b med et felles utgangspunkt. b

Vinkelen α mellom vektorene er alltid mellom 0° og 180°. 0 , 180

  Vi definerer skalarproduktet av to vektorer a og b slik:     a b a b cos

  der α er vinkelen mellom a og b. Ettersom lengden av vektorene er skalarer (tall med eventuell enhet) og cosinus av en vinkel er et tall, blir skalarproduktet en skalar.    a , b om vinkelen mellom vektorene a Noen ganger bruker vi skrivemåten  og b. Da skriver vi definisjonen av skalarproduktet slik:       a b a b cos a , b

EKSEMPEL

    La a og b være to vektorer som er slik at a = 5, b = 4, og slik at vinkelen mellom vektorene er 120°. Regn ut skalarproduktene.       a) a ⋅ b b) a ⋅ a c) b ⋅ b

b 120°

a 5

13.1 Skal arproduk te t

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 489

489

26.05.2022 11:18:29

LØ S N I N G

a) Vi bruker definisjonen av skalarproduktet.     a b a b cos 5 4 cos120 10   b) Vinkelen mellom a og a er 0°. Dermed er     a a a a cos0 5 5 1 25   c) Vinkelen mellom b og b er også 0°.     b b b b cos0 4 4 1 16    For en fritt valgt vektor a er vinkelen mellom a og a lik 0°. Dermed er       2 a a a a cos0 a a 1 a

OPPGAVE 13.10     La a og b være to vektorer der a = 3 og b = 4. La α være vinkelen mellom vektorene.   Finn skalarproduktet a ⋅ b når a) α = 60° b) α = 90° c) α = 120° OPPGAVE  13.11

 La a og b være to vektorer som ikke er nullvektorer.   Hva kan du si om vektorene når du får vite at a b 0? DISKUTER

Hva kan dere si om vinkelen mellom to vektorer når skalarproduktet av vektorene er positivt, når det er 0, og når det er negativt? I fysikk får vi bruk regne ut for skalarproduktet når vi for eksempel skal  arbeidet en kraft K utfører for å flytte en kasse en strekning s . I fysikk er arbeid det samme som energien gjenstanden. På figuren som kraften tilfører  s og kraftkomponenten K nedenfor har vi tegnet kraften K , strekningen p,  som er parallell med s . Det er bare K p som bidrar til arbeid på kassen. K α

490

13 | Skal arproduk t og parame terframstilling

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 490

26.05.2022 11:18:36

 La α være vinkelen mellom K og s . Da er K p lengden av den hosliggende kateten i en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden K . Ifølge definisjonen av cosinus er da K p K cos  Arbeidet W får vi ved å multiplisere K p med den avstanden s blir tilbakelagt. W K p s K cos s K s cos  Vi gjenkjenner dette som skalarproduktet av vektorene K og s . W K s Denne formelen er riktig selv om vinkelen α > 90°. DISKUTER

Hva kan vi si om arbeidet W dersom α = 90°? Hva kan vi si om arbeidet W dersom α > 90°?

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Finn arbeidet W som blir utført når vi trekker en gjenstand 15 m bortover et golv med en kraft på 120 N som danner en vinkel på 60° med horisontalplanet. Arbeidet er W K s K s cos 120 N 15 m cos 60 = 900 Nm = 900 J

OPPGAVE 13.12

Mons drar en kloss 40 m bortover. Han drar med en kraft på 260 N. Finn arbeidet som Mons utfører, når vinkelen mellom kraften og farts retningen er a) 60° b) 90° c) 135° OPPGAVE 13.13

En bil begynner å trille nedover en slak bakke. Filip forsøker å stoppe den ved å dytte på bilen med en kraft på 600 N i motsatt retning av bilens forflytning. Bilen fortsetter å trille 3,0 meter før den stopper opp. Finn arbeidet som Filip utfører på bilen.

13.1 Skal arproduk te t

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 491

491

26.05.2022 11:18:41

DISKUTER

Victoria drar en kasse til høyre bortover golvet med en kraft F = 40 N. På kassen virker det også en normalkraft N = 100 N fra golvet, en tyngdekraft G = 100 N og en friksjonskraft R = 40 N. Alle kreftene er tegnet inn på  figuren med kraftretningen angitt. Victoria drar kassen en avstand s = 4, 0 m mot høyre. På hvilken måte bidrar de ulike kreftene til forflytningen av kassen? N = 100 N F = 40 N

s = 4,0 m

R = 40 N G = 100 N

Hvor stort er arbeidet W som hver av de fire kreftene utfører på kassen? Hvor stort er arbeidet W som alle kreftene sammenlagt utfører på kassen?

UTFORSK KOORDINATFORMELEN FOR SKALARPRODUKTET STEG 1

   La u1 5, 0 , u2 0, 4 og v 4, 3 a) Tegn vektorene med utgangspunkt i origo.  b) Finn v .   c) Finn cos α der α er vinkelen mellom u1 og v.   d) Regn ut skalarproduktet u1 ⋅ v .   e) Finn skalarproduktet u2 ⋅ v på tilsvarende måte. STEG 2

   La u1 x1 , 0 , u2 0, y1 og v x2 , y2 der de ukjente koordinatene er positive tall.   a) Lag en figur, og finn et uttrykk for cos α der α er vinkelen mellom u1 og v.   b) Regn ut skalarproduktet u1 ⋅ v .   c) Finn skalarproduktet u2 ⋅ v . STEG 3

   For tre vektorer a, b og c skal dere i Utforsk regneregler for skalarproduktet på side 274 vise at        a b c a c b c   Bruk dette og det dere fant i steg 2 til å finne en formel for u ⋅ v når   u x1 , y1 og v x2 , y2 .

492

13 | Skal arproduk t og parame terframstilling

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 492

26.05.2022 11:18:50

13.2 Koordinatformelen for skalarproduktet I Utforsk skalarproduktet kom dere sikkert fram til denne formelen:   Hvis u x1 , y1 og v x2 , y2 , finner vi skalarproduktet ved hjelp av formelen   u v x1 , y1 x2 , y2 x1x2 y1 y2 EKSEMPEL

  La a 1, 3 og b 1, 2 .   Finn a ⋅ b .

LØ S N I N G

Vi regner først ut skalarproduktet ved hjelp av formelen ovenfor.   a b 1, 3 1, 2 1 ( 1) 3 2 1 6 5

OPPGAVE 13.20

Regn ut skalarproduktene. a) 2, 1 1, 3 b) 4, 3 3, 4 c) 2, 2 4, 1 OPPGAVE 13.21

   Vi har gitt vektorene u 3, 1 , v 2, 6 og w 4, 2 .    a) Tegn vektorene u, v og w. b) Regn ut skalarproduktene.       1) u ⋅ v 2) u ⋅ w 3) v ⋅ w Nå skal vi lære å bruke skalarproduktet til å finne vinkler. EKSEMPEL

  Finn vinkelen mellom vektorene u 2, 1 og v 1, 4 ved regning og digitalt. y 6 5 4 3

2 1

u 1

x 3

13.2 Koordinatformelen for skal arproduk te t

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 493

493

26.05.2022 11:19:00

a) Regn ut summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste naturlige tallene. Sammenlikn med trekanttallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? b) Hvordan kan du ved hjelp av figuren se at regelen i oppgave a er riktig? c) Bruk regelen til å finne summen av de 100 minste naturlige tallene. STEG 2

I Utforsk figurtall så vi på rektangeltallene:

R1 = 2

R2 = 6

R3 = 12

Vi fant denne formelen: Rn n n 1 a) Regn ut summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste positive partallene. Sammenlikn med rektangeltallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regelen din ved å summere flere partall. b) Forklar regelen i oppgave a ut fra figuren. c) Bruk formelen til å finne summen av de 50 minste partallene. STEG 3

I Utforsk figurtall så vi på kvadrattallene Kn = n 2 og framstilte dem som figurtall på denne måten:

K1 = 1

K2 = 4

K3 = 9

K4 = 16

a) Regn ut summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste positive oddetallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regelen din ved å summere flere oddetall. b) Forklar regelen i oppgave a ut fra figuren. c) Bruk formelen til å finne summen av de 50 minste positive oddetallene. d) Hvilken sammenheng må det være mellom svarene i oppgave c i stegene 1, 2 og 3?

584

15 | Følger og rekker

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 584

26.05.2022 11:30:07

15.2 Rekker Det regnestykket vi får når vi skal summere leddene i en tallfølge, kaller vi ei rekke. Tallfølgen 6, 12, 24, 48, 96 gir rekka 6 + 12 + 24 + 48 + 96 Tallene 6, 12, 24, 48 og 96 er leddene i rekka. Rekka har fem ledd og er et eksempel på ei endelig rekke. Den uendelige tallfølgen 1, 2, 4, 8, … gir den uendelige rekka 1+2+4+8+… Ei uendelig rekke har uendelig mange ledd. På samme måten som for tallfølger bruker vi ofte symbolet a1 om det første leddet i ei rekke, a2 om det andre leddet osv. I rekka 6 + 12 + 24 + 48 + 96 er a1 = 6, a2 = 12, a3 = 24, a4 = 48 og a5 = 96 Det tallet vi får når vi legger sammen leddene i ei endelig rekke, kaller vi summen av rekka. Vi bruker sn som symbol for summen av de n første leddene. I rekka 6 + 12 + 24 + 48 + 96 er s3 = 6 + 12 + 24 = 42 s5 = 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 186 Generelt er sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an Med symboler kan vi skrive denne summen slik: n

sn ai i 1

Ofte er leddene i ei rekke gitt ved en formel. EKSEMPEL

Leddene i ei uendelig rekke er gitt ved an = 2n - 1 a) Skriv opp de fem første leddene i rekka. b) Finn s3 og s5 ved regning.

15.2 Rekker

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 585

585

26.05.2022 11:30:11

LØ S N I N G

a) Først finner vi de fem første leddene i rekka a1 2 1 1 1 a2 2 2 1 3 a3 2 3 1 5 a4 2 4 1 7 a5 2 5 1 9 b) s3 a1 a2 a3 1 3 5 9 s5 1 3 5 7 9 25

OPPGAVE 15.20

Finn summene s5, s6, s7 og s8 i rekka 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 OPPGAVE 15.21

Leddene i ei rekke er gitt ved an = 3n - 2 Finn summen s6. OPPGAVE 15.22

Leddene i ei rekke er gitt ved an = 2 ⋅ n 2 a) Finn summen s5 ved regning. b) Finn s101 - s100. Vi kan bruke Python til å summere rekker. Programmet nedenfor finner summen av ei rekke der leddene er gitt ved an = 2n - 1. 1 2 3 4 5 6 7 8

antall_ledd = int(input("Antall ledd? ")) sum = 0 for n in range(1, antall_ledd + 1): sum += 2*n - 1 print(f"Summen av {antall_ledd} ledd er {sum}.")

Programmet gir summen av 50 ledd på denne måten: Antall ledd? 50 Summen av 50 ledd er 2500.

586

15 | Følger og rekker

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 586

26.05.2022 11:30:15

OPPGAVE 15.23

Bruk Python til å finne summen s20 i ei rekke der leddene er gitt ved an = 3n - 2 OPPGAVE 15.24

Bruk Python til å finne summen s15 i ei rekke der leddene er gitt ved an = 2 ⋅ n 2

UTFORSK ARITMETISKE FØLGER STEG 1

I en aritmetisk følge er det en fast differanse d mellom et ledd og leddet foran. Følgen 2, 5, 8, 11, … er aritmetisk med differanse d = 3, for differansen mellom et ledd og leddet foran er 3 for de leddene som er oppgitt. Dermed kan vi også finne et nytt ledd ved å legge 3 til det forrige leddet. a) Hvor mange ganger må vi legge til differansen 3 for å komme fra a1 = 2 til a4 = 11 i følgen ovenfor? b) Hvor mange ganger må vi legge til differansen 3 for å komme fra a1 = 2 til a10? Bruk dette til å forklare at a10 = 29. c) Hvor mange ganger må vi legge til differansen 3 for å komme fra a1 = 2 til an? Bruk dette til å forklare at an = 3n - 1. STEG 2

I en aritmetisk følge med differanse d er a1 = 2. a) Skriv opp uttrykk for de fem første leddene i følgen. b) Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra a1 til a5? c) Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra a1 til a7? d) Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra a1 til an? Bruk dette til å forklare at an = 2 + (n - 1) ⋅ d. STEG 3

La a1 være det første leddet i en aritmetisk følge med differanse d. a) Skriv opp uttrykk for de fem første leddene i følgen. b) Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra a1 til a5? c) Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra a1 til a8? d) Hvor mange ganger må vi legge til differansen d for å komme fra a1 til an? Bruk dette til å forklare at an = a1 + (n - 1) ⋅ d. 15.3 ARITME TISKE FØLGER

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 587

587

26.05.2022 11:30:19

15.3 Aritmetiske følger I en aritmetisk følge er det er en fast differanse d mellom to ledd som følger etter hverandre. Følgen 1, 5, 9, 13, … er aritmetisk med differanse d = 4, for differansen mellom et ledd og leddet foran er 4 for alle de leddene som er oppgitt. Dermed kan vi finne et nytt ledd ved å legge til 4 til det forrige. Dermed er an = an - 1 + 4 når n > 1. Vi har en tilsvarende rekursiv formel for alle aritmetiske følger. En tallfølge er aritmetisk dersom det fins et tall d slik at an = an - 1 + d for alle n > 1.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

I en aritmetisk følge er a1 = 9 og d = −2. Finn de fem første leddene. a1 9 a2 a1 d 9 2 7 a3 a2 d 7 2 5 a4 a3 d 5 2 3 a5 a4 d 3 2 1 For å komme fram til ledd nr. n i en aritmetisk følge må vi legge differansen d til a1 i alt (n - 1) ganger. Det gir denne eksplisitte formelen for leddet an i en aritmetisk følge. La a1 være det første leddet i en aritmetisk følge med differanse d. Ledd nr. n er da gitt ved formelen an = a1 + (n - 1) ⋅ d

EKSEMPEL

588

I en aritmetisk følge er det første leddet a1 = 3, og differansen d = 2. a) Finn en formel for ledd nr. n. b) Finn ledd nr. 37. c) Finn nummeret til leddet 69. 15 | Følger og rekker

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 588

26.05.2022 11:30:22

LØ S N I N G

a) Ledd nr. n er gitt ved formelen an a1 n 1 d 3 n 1 2 3 2n 2 an 2n 1 b) Ledd nr. 37 er a37 2 37 1 75 c) La n være nummeret til leddet 69. Da må an 69 2n 1 69 2n 68 n 34

OPPGAVE 15.30

Skriv opp de fem første leddene i en aritmetisk følge der a) a1 = −12 og d = 5 b) a1 = 24 og d = −2 OPPGAVE 15.31

Finn differansen og en formel for leddet an i de aritmetiske følgene. a) 5, 11, 17, 23, … b) 81, 64, 47, 30, … OPPGAVE 15.32

Kari får 100 kr i ukepenger i uke nr. 1. Beløpet skal økes med 2 kr hver uke. a) Finn en formel for beløpet i uke nr. n. b) Omtrent hvor mye får hun i ukepenger om 2 år? OPPGAVE 15.33

I en aritmetisk følge er det femte leddet a5 = 13 og differansen d = 4. a) Finn det første leddet a1. b) Finn en formel for ledd nr. n. c) Finn nummeret til leddet 105. OPPGAVE 15.34

I en aritmetisk følge er a3 = 11 og a5 = 8. a) Finn det første leddet a1 og differansen d. b) Finn en formel for ledd nr. n.

15.3 Aritme tiske følger

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 589

589

26.05.2022 11:30:26

UTFORSK UENDELIGE REKKER STEG 1

Finn digitalt summen av de 10 første, de 20 første og de 100 første leddene i rekka 1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16 Hva ser du? STEG 2

I kvadratet nedenfor har sidekanten lengden 1. 1 1 4 1 2

1 2

1 1 16 1 64

1 8

1 32

1 2

Del kvadratet i to like store deler som vist ovenfor. Hver del får arealet . 1

Del den ene av de to delene i to like deler. Hver av de to nye delene får da 1 44

arealet 1 . Fortsett slik, og bruk figuren til å si noe om den uendelige rekka 1 2

1 4

1 8

+ + +

1 16

+ ....

1 2

STEG161 3

1 a) Bruk formelen for summen av ei geometrisk rekke til å vise at summen av 8 1 64 1 de 32 n første leddene i rekka

1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16 er gitt ved sn 1

1 2n

b) Finn lim sn . n

1 2

1 4

1 8

c) Hva vil du nå si om summen av den uendelige rekka + + +

604

1 16

+ ...?

15 | Følger og rekker

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 604

26.05.2022 11:31:35

15.7 Uendelige rekker I Utforsk uendelige rekker viste dere sikkert at summen av de n første leddene i rekka 1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16 er gitt ved sn 1

1 2n

Hvis vi lar tallet n på ledd gå mot uendelig, går sn 1

1 1 når n → ∞ 2n

1 2n

mot null. Da vil

Altså er lim sn 1. Da sier vi at rekka konvergerer og har summen s = 1. n

Ei uendelig rekke konvergerer og har summen s hvis summen sn av de n første leddene nærmer seg tallet s når n → ∞, altså hvis lim sn s. n

Hvis summen sn av de n første leddene ikke nærmer seg noe bestemt tall når n → ∞, sier vi at rekka divergerer.

OPPGAVE 15.70

Finn et uttrykk for summen sn av de n første leddene i hver rekke. Avgjør om rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av de uendelige rekkene. a) 625 + 125 + 25 + 5 + … b) 2 + 5 + 8 + 11 + … c) 100 + 100 ⋅ 1,1 + 100 ⋅ 1,12 + … d) 100 + 100 ⋅ 0,9 + 100 ⋅ 0,92 + … Nå skal vi studere den uendelige geometriske rekka a1 + a1 ⋅ k + a1 ⋅ k 2 + a1 ⋅ k 3 + ... Vi ønsker å finne ut når rekka konvergerer. Hvis a1 = 0, er alle leddene i rekka lik null. Rekka konvergerer og har summen 0. Vi forutsetter heretter at a1 ≠ 0. Hvis k = 1, er sn = n ⋅ a1, og da vil absoluttverdien av sn vokse over alle grenser når n → ∞. Rekka divergerer.

1.7 UENDELIGE REKKER

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 605

605

26.05.2022 11:31:41

SAMMENDRAG Tallfølge (følge) En tallfølge er en serie av tall i en bestemt rekkefølge. a1 , a2 , a3 ,... Rekke Vi får ei rekke når vi summerer leddene i en tallfølge. Ei rekke er dermed et uttrykk av typen a1 + a2 + a3 + ... Tallene i rekka kaller vi ledd. I ei uendelig rekke er det uendelig mange ledd. Summen av ei endelig rekke Det tallet vi får når vi summerer leddene i ei endelig rekke, kaller vi summen sn av rekka. sn a1 a2 a3 ... an Aritmetisk følge I en aritmetisk følge er det en fast differanse d mellom et ledd og leddet foran. For n > 1 er an an 1 d Ledd nr. n finner vi med formelen an a1 n 1 d Aritmetisk rekke I ei aritmetisk rekke danner leddene en aritmetisk følge. Summen sn av de n første leddene er gitt ved formelen sn

612

a1 an n 2

15 | Følger og rekker

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 612

26.05.2022 11:32:16

Geometrisk følge I en geometrisk følge fins det et tall k slik at hvert ledd er lik det foregående leddet multiplisert med kvotienten k. For n > 1 er an k an 1 Ledd nr. n finner vi med formelen an a1 k

n 1

Geometrisk rekke I ei geometrisk rekke danner leddene en geometrisk følge. Dersom kvotienten k ≠ 1, er summen sn av de n første leddene gitt ved formelen sn a1

kn 1 k 1

Dersom k = 1, er summen sn = n ⋅ a1. Konvergent rekke Ei rekke konvergerer og har summen s dersom summen sn av de n første leddene nærmer seg tallet s når n går mot uendelig. Divergent rekke Ei rekke divergerer hvis den ikke konvergerer. Uendelig geometrisk rekke Ei uendelig geometrisk rekke med a1 ≠ 0 konvergerer hvis og bare hvis kvotienten k 1, 1 . Summen s av rekka blir da s

a1 1 k

Sammendrag

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 613

613

26.05.2022 11:32:19

INTEGRALREGNING Studentene skal kunne • gjøre rede for definisjonene av ubestemt og bestemt integral • beregne integraler ved hjelp av antiderivasjon, substitusjon, delvis integrasjon og • beregne arealer av områder i planet

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 614

26.05.2022 11:32:27

UTFORSK ANTIDERIVERT Vi ser på to funksjoner F og f. Hvis F (x ) f (x ), sier vi at funksjonen F er en antiderivert til f. STEG 1

En funksjon f er gitt ved at f(x) = 3x 2 + 4x + 5. a) Vis at funksjonen F1 gitt ved F1(x) = x 3 + 2x 2 + 5x er en antiderivert til f. b) Finn andre funksjoner som er antiderivert til f. Hvor mange slike funksjoner fins det, tror du? c) La C være en konstant. Vis at F(x) = x 3 + 2x 2 + 5x + C er en antiderivert til f. STEG 2

La H være en funksjon som er slik at H ′(x) = 0 for alle reelle tall x. a) Forklar at grafen til H må være kontinuerlig og ha en horisontal tangent i alle punkter. b) Forklar at da er H(x) = C der C er en konstant. STEG 3

I steg 1 viste dere at F1(x) = x 3 + 2x 2 + 5x var en antiderivert til f (x) = 3x 2 + 4x + 5. La nå F være en fritt valgt antiderivert til f, og la H(x) = F(x) - F1(x). a) Vis at H ′(x) = 0. b) Bruk steg 2 til å vise at F(x) = F1(x) + C der C er en konstant. c) Forklar at dere nå har vist at F(x) = x 3 + 2x 2 + 5x + C er en antiderivert til f (x) = 3x 2 + 4x + 5 for enhver verdi for konstanten C, og at alle antideriverte kan skrives slik. STEG 4

La nå f være en fritt valgt funksjon som har en antiderivert F1. Bruk tankegangen ovenfor til å vise at alle de antideriverte til f da kan skrives som F(x) = F1(x) + C

16.1 UBESTEMT INTEGRAL

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 615

615

26.05.2022 11:32:34

16.1 Ubestemt integral La funksjonene f og F1 være gitt ved f (x) = 4x + 3 og F1(x) = 2x 2 + 3x + 5. Da er F1 (x ) f (x ), og vi sier at F1 er en antiderivert til f. Å finne en antiderivert funksjon F når vi kjenner en funksjon f, kaller vi antiderivasjon. I Utforsk antiderivert viste dere sikkert dette: La F1 være en antiderivert til en funksjon f. Enhver antiderivert til f kan da skrives som F(x) = F1(x) + C der C er en konstant. Hvis vi klarer å finne én funksjon som har f som derivert, kan vi finne alle. EKSEMPEL

En funksjon f er gitt ved f (x ) 6x 2 4 x 3 a) Finn funksjonsuttrykket F(x) for alle de antideriverte til f. b) Finn den antideriverte F til f som er slik at F(1) = 0.

LØ S N I N G

a) Funksjonen F1 gitt ved F1 (x ) 2 x 3 2 x 2 3x er en antiderivert til f fordi F1 (x ) 2 3x 2 2 2 x 3 6 x 2 4 x 3 f (x ) Alle de antideriverte til f har da funksjonsuttrykk av typen F ( x ) 2 x 3 2 x 2 3x C der C er en konstant. b) Kravet F(1) = 0 gir en likning som vi kan bruke til å finne C. F (1) 0 2 13 2 12 3 1 C 0 2 2 3 C 0 1 C 0 C 1 Den antideriverte som oppfyller kravet, er F ( x ) 2 x 3 2 x 2 3x 1

616

16 | Integralregning

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 616

26.05.2022 11:32:41

OPPGAVE 16.10

Finn funksjonsuttrykket for alle de antideriverte til funksjonen f når a) f (x ) 4 x 2 b) f (x ) x 2 4 x c) f (x ) 2 x 3 x d) f (x ) 4 x 3 6 x 1 OPPGAVE 16.11

Funksjonen f er gitt ved f (x ) 8 x 3 12 x 2 10 x 3 Finn den antideriverte F til f som er slik at F(−1) = 2. Vi bruker symbolet ∫ f (x )dx for funksjonsuttrykket til alle de antideriverte til en funksjon f. Vi skriver for eksempel at

2x 1 dx x

x C

fordi vi kan skrive alle de antideriverte til 2x + 1 som x2 + x + C. Symbolet ∫ er et integraltegn. Uttrykket ∫ f (x )dx kaller vi et ubestemt integral, og funksjonsuttrykket f (x) kaller vi integranden. Vi sier at integralet er ubestemt fordi det inneholder en ubestemt konstant C. Å integrere f vil si å finne de antideriverte til f. Symbolet dx i ∫ f (x )dx viser hvilken variabel vi skal bruke når vi integrerer. Det er viktig når vi for eksempel skal regne ut x 2 y 2 dx . Da skal vi se på x som en variabel og y som en konstant.

EKSEMPEL

Finn de ubestemte integralene. a)

LØ S N I N G

4 x 6 dx

4t 1 dt

a) Her skal vi finne alle funksjonene som har 4x + 6 som derivert. Ettersom 2 x 2 6 x 4 x 6, er

(4 x 6)dx 2x

6x C

b) Nå skal vi finne de antideriverte til 6t 2 - 4t + 1. Ettersom 2t 3 2t 2 t 6t 2 4t 1, er

(6t

4t 1)dt 2t 3 2t 2 t C

16.1 Ubestemt integral

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 617

617

26.05.2022 11:32:52

DISKUTER

Finn ut hvordan programmet ovenfor virker.

OPPGAVE 17.34

Etter en tid bremser bilen i eksemplet ovenfor og stopper. Tabellen viser farten i meter per sekund t sekunder etter at bilen begynte å bremse. t (s)

v (m/s)

a) Bruk et pythonprogram til å finne bremselengden. b) Utvid programmet slik at vi kan finne omtrent hvor stor farten var da bilen hadde bremset i 80 m. OPPGAVE 17.35

Når vi lader en elbil, vil effekten P øke litt i begynnelsen til batteriet er skikkelig varmt. Når batteriet nærmer seg fulladet, vil effekten P avta igjen. Tabellen viser effekten målt i kilowatt etter t minutter. t (min)

P (kW)

100

125

115

100

a) Lag et program med Python som bruker trapesmetoden til å finne energimengden i kilowattimer i løpet av de 40 minuttene. b) Utvid programmet slik at vi kan se omtrent hvor lang tid det går til vi har 30 kWh på batteriet.

17.4 Simpsonmetoden Simpsonmetoden er en tilnærmingsmetode for å regne ut bestemte integraler. Ideen bak Simpsonmetoden er å tilnærme grafen med parabelbuer i stedet for med rette linjer slik som i trapesmetoden. Fordi Simpson-metoden tar hensyn til krumningen til grafen, vil den vanligvis gi en bedre tilnærmingsverdi for det bestemte integralet enn trapesmetoden.

666

17 | Integrasjonsm e toder

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 666

26.05.2022 11:39:20

Som i trapesmetoden deler vi integrasjonsområdet a, b i n like store deler, men i Simpson- metoden må n være et partall. Grunnen er at vi skal legge den første parabelbuen gjennom de tre første delingspunktene på grafen, dvs. over de to første delintervallene, den andre parabelbuen over tredje og fjerde delintervall, den tredje parabelbuen over femte og sjette delintervall osv. Når vi regner ut arealet under disse parabelbuene, får vi denne formelen: La a og b være to vilkårlige tall der b > a . La n være et partall, og la x La xi a i x , i 1, 2,..., n. Da er b

f (x)dx a

b a . n

x f (a) 4 f (x1 ) 2 f (x2 ) 4 f (x3 ) ... 2 f (xn 2 ) 4 f (xn 1 ) f (b) 3

Merk koeffisientene 4 og 2 i annethvert ledd unntatt første og siste ledd. EKSEMPEL

Vi ser på integralet 3

x 3 1 dx

a) Bruk simpsonmetoden med 4 delintervaller til å finne en tilnærmingsverdi for integralet. b) Lag et program i Python som finner en tilnærmingsverdi ved å dele integrasjonsområdet i 100 deler. LØ S N I N G

a) Vi deler 1, 3 i n = 4 delintervaller. Da blir x

3 1 2 0, 5 4 4

Da blir x1 = 1, 5, x2 = 2 ogx3 = 1, 5. Vi får 3

x f (1) 4 f (1, 5) 2 f (2) 4 f (2, 5) f (3) 3 0, 5 1, 4142 4 2, 0916 2 3 4 4, 0774 5, 2915 3 6, 2303

x 3 1 dx

17.4 Simpsonme toden

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 667

667

26.05.2022 11:39:29

b) Her kan vi bruke dette pythonprogrammet: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

from math import sqrt def f(x): return sqrt(x**3+1) a = 1 #Nedre grense b = 3 #Øvre grense n = int(input("Antall deler?")) if int(n/2) < n/2: print("Antallet må være et partall.") else: delta_x = (b-a)/n k = 4 sum = f(a) for i in range(1, n): sum += k*f(a+i*delta_x) if k==4: k = 2 else: k = 4 sum += f(b) print(f"Integralet er ca. {delta_x/3*sum:.4f}.")

Programmet gir denne utskriften: Antall deler? 100 Integralet er ca. 6.2300. 3

x 3 1 dx 6, 2300

I eksemplet ovenfor fikk vi svaret 6,2303 når vi delte området i 4 deler og svaret 6,2300 når vi delte i 100 deler. Vi kan vise at det riktige svaret med fire desimaler er 6,2300. Simpsonmetoden gir dermed en veldig god tilnærming om vi bruker en inndeling med veldig få punkter. Metoden er dermed svært godt egnet når vi regner uten bruk av digitale hjelpemidler.

668

17 | Integrasjonsm e toder

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 668

26.05.2022 11:39:32

OPPGAVE 17.40

Vi skal nå bestemme integralet 4

I x 2 1 dx 0

a) Bruk simpsonmetoden med 4 deler til å finne en tilnærmingsverdi for I. b) Tilpass programmet ovenfor og bruk 40 delintervaller til å finne en tilnærmingsverdi for I. c) I en formelsamling finner vi dette ubestemte integralet x 2 2 a2 x a ln x x 2 a 2 C 2 2 Bruk dette til lå finne den eksakte verdien av I. d) Bruk svaret i oppgave c til å finne en tilnærmingsverdi for I. Sammenlikn med svaret i oppgave a og b. x 2 a 2 dx

OPPGAVE 17.41

Vi skal nå bestemme integralet

I sin x dx 0

a) Bruk simpsonmetoden med 6 deler til å finne en tilnærmingsverdi for I. b) Bruk et pythonprogrammet med 60 delintervaller til å finne en tilnærmingsverdi for I. I Python kan vi hente sin x og π slik: 1

from math import sin, pi

c) Finn den eksakte verdien av I. Sammenlikn med svaret i oppgave a og b. OPPGAVE 17.42

Nå skal vi se på dette integralet: 2

I e x dx 2

Det fins ingen antiderivert til e - x som vi kan skrive uten å bruke integrasjons tegn. Dermed klarer vi ikke å finne en eksakt verdi for integralet I. a) Bruk simpsonmetoden med 4 deler til å finne en tilnærmingsverdi for I. b) Tilpass programmet ovenfor og bruk 100 delintervaller til å finne en tilnærmingsverdi for I. OPPGAVE 17.43

Bruk Simpsonmetoden til å anslå tilbakelagt avstand i oppgave 17.34. 17.4 Simpsonme toden

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 669

669

26.05.2022 11:39:37

UTFORSK OMVENDT KJERNEREGEL STEG 1

5 a) Bruk kjerneregelen og regn ut e 3 x og 2 x 1 .

b) Bestem ∫ 3e 3 x dx og 10 2 x 1 dx . 4

c) Bestem ∫ 3e 3 x dx og 10 2 x 1 dx . STEG 2

og e

a) Regn ut ln x 2 1

2 x2 3

b) Finn to funksjoner f og g slik at f (x ) c) Bestem STEG 3

a) Regn ut

2 x dx og x e 2 x 3dx . x 1

2 x 2 3 og e k x der k er en konstant. x

b) Bestem STEG 4

2 x og g (x ) x e 2 x 3 . x 1

2x 3

dx og e k x dx .

Bestem ∫ xe x dx og 2 x 1 dx. 2

17.5 Variabelskifte La F være en antiderivert til en funksjon f. Med u som variabel blir da F (u) f (u). Da er

f (u)du F (u) C Vi tenker oss at u er en funksjon av en annen variabel x. Da skriver vi at u = u(x). Funksjonen F blir dermed en sammensatt funksjon som vi kan derivere ved hjelp av kjerneregelen.

F u(x) F u(x) u (x) f u(x) u (x) Etter definisjonen av det ubestemte integralet er da

f (u(x)) u (x)dx F (u(x)) C F (u) C

670

17 | Integrasjonsm e toder

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 670

26.05.2022 11:39:52

Vi har to integraler som begge er F(u) + C. De to integralene må være like.

f (u(x )) u (x)dx f (u)du

der u = u(x)

Her har vi skiftet integrasjonsvariabel fra x til u, og denne metoden kaller vi derfor integrasjon ved variabelskifte eller substitusjon. Det kan være vanskelig å forstå innholdet i denne regelen. Det blir klarere når vi bruker regelen til å bestemme noen integraler. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut 2 x e

x2 1

dx .

Vi setter f(x) = e x og u(x) = x 2 + 1. Da er f (u(x )) = e u( x ), og dessuten u ′(x) = 2x. Regelen ovenfor gir x2 1

2x e

dx e

x2 1

2 x dx e u( x ) u (x ) dx e u du e u C e

x2 1

Når vi skifter variabel, bruker vi ofte en forenklet skrivemåte. Den bygger på skrivemåten for den deriverte som Gottfried Wilhelm Leibniz (1646−1716) brukte. Han skrev

du dx

i stedet for u′(x). Leibniz og Isaac Newton (1643−1727)

er opphavsmennene til teorien om derivasjon og integrasjon. Leibnizskrivemåten for den deriverte er svært vanlig i blant annet fysikk den dag i dag. I eksemplet ovenfor er u = x 2 + 1. Da er du du x2 1 2x dx dx

Hvis vi nå tillater oss å multiplisere med symbolet dx på begge sidene av likhetstegnet, får vi du = 2x dx Symbolene dx og du kaller vi differensialer. I integralet bytter vi nå ut x 2 + 1 med u og 2x dx med du. Vi får

2x e

x2 1

dx e

x2 1

2 x dx e udu e u C e

x2 1

På slutten her må vi bytte tilbake fra u til x 2 + 1, for u er bare en hjelpe størrelse. Integralet inneholder bare x og ikke u. Når vi bruker denne metoden, må vi passe på at ingen av integralene inne holder både u og x. Hvert integral må inneholde enten bare x eller bare u.

17.5 Variabelskifte

Sinus Forkurs_Grunnbok_2022_Book.indb 671

671

26.05.2022 11:40:01